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高二物理竞赛（9）几何光学和波动光学班级：_____________ 姓名：_________________ 座号：_____________一、一平凸透镜焦距为f，其平面上镀了银，现在其凸面一侧距它2f处，垂直于主轴放置一高为H的物，其下端在透镜的主轴上（如图所示）。
（1）用作图法画出物经镀银透镜所成的像，并标明该像是虚、是实；（2）用计算法求出此像的位置和大小。
二、有一水平放置的平行平面玻璃板H，厚3.0cm，折射率n=1.5。
在其下表面下2.0cm处有一小物S；在玻璃扳上方有一薄凸透镜L，其焦距f=30cm，透镜的主轴与玻璃板面垂直；S位于透镜的主轴上，如图所示。
若透镜上方的观察者顺着主轴方向观察到S的像就在S处，问透镜与玻璃板上表面的距离为多少？三、一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射，经透镜折射后，会聚于透镜f=48cm处，透镜的折射率n=1.5。
若将此透镜的凸面镀银，物置于平面前12cm处，求最后所成像的位置。
四、图中，三棱镜的顶角α为60°，在三棱镜两侧对称位置上放置焦距均为f=30.0cm的两个完全相同的凸透镜L1和L2。
若在L1的前焦面上距主光轴下方y=14.3cm处放一单色点光源S，已知其像S 与S对该光学系统是左右对称的。
试求该三棱镜的折射率。
五、两个薄透镜L1和L2共轴放置，如图所示。
已知L1的焦距f1=f，L2的焦距f2=-f，两透镜间距离也是f。
小物体位于物面P上，物距u1=3f。
（1）小物体经这两个透镜所成的像在L2的__________边，到L2的距离为_________，是__________倍（虚或实）、____________像（正或倒），放大率为_________________；（2）现在把两透镜位置调换，若还要给定的原物体在原像处成像，两透镜作为整体应沿光轴向____________边移动距离_______________。
这个新的像是____________像（虚或实）、______________像（正或倒），放大率为________________。
全国高中物理竞赛波动光学专题波动光学光的干涉是一种现象，当两束或多束光波相遇时，它们会在重叠区域内合成成一束光波，形成强弱相间的稳定分布。
这种叠加称为相干叠加，而合成光波的光强在空间形成强弱相间的稳定分布则称为干涉条纹。
其中强度极大值的分布称为明条纹，强度极小值的分布称为暗条纹。
为了使两束光波发生相干，需要满足三个条件：频率相同，振动方向几乎相同，在相遇点处有恒定的相位差。
光程差是指两列光波传播到相遇处的光程之差，而相位差是指两列光波传播到相遇处的相位之差。
在满足相干条件的前提下，两相干光叠加干涉场中各点的光强可以用双光束干涉强度公式计算。
杨氏双缝干涉实验是一种经典的干涉实验，实验装置如图1所示。
在近轴区内，屏幕上的是平行、等间距的明暗相间的直条纹。
干涉条纹的位置可以用公式计算，其中整数k称为干涉级数，用以区别不同的条纹。
薄膜干涉是指扩展单色光源照射到薄膜上反射光干涉的情况。
在实验中，光源发出的任一单条光线经薄膜上下两个面反射后，形成两条光线，在实验室中可用透镜将它们会聚在焦平面处的屏上进行观察。
薄膜上下两个表面反射的两束光线的光程差可以用公式计算。
二、光的衍射光的衍射现象指的是当一束平行光通过狭缝K时，在屏幕E上会呈现出光斑。
如果狭缝的宽度比波长大得多，那么屏幕上的光斑和狭缝完全一致，可以视为光沿直线传播。
但是，如果缝宽与光波波长可以相比拟，屏幕上的光斑亮度会降低，但光斑范围会增大，呈现出明暗相间的条纹，这就是光的衍射现象，其中偏离原来方向传播的光称为衍射光。
XXX原理表述了任何时刻波面上的每一点都可以作为子波的波源，从同一波面上各点发出的子波在空间相遇时，可以相互叠加产生干涉。
XXX和夫琅禾费衍射是两种不同的衍射现象。
如果光源到障碍物或障碍物到屏幕的距离是有限远的，那么这种衍射称为XXX衍射。
如果光源到障碍物和障碍物到屏幕的距离都是无限远的，那么入射光和衍射光均可视为平行光，这种衍射称为XXX费衍射。
三、光的偏振光波是电磁波，其电矢量称为光矢量。
在垂直于传播方向的平面内，光矢量E可能具有的振动状态（矢量端点的轨迹）称为光的偏振态。
光矢量的振动方向和光传播方向所组成的平面称为振动面。
偏振光是指振动方向具有一定规则的光波。
如果一束光的光矢量E只沿一个固定的方向振动，那么这种光就是线偏振光，其振动面固定不动，也称为平面偏振光。
如果一束光的E矢量按一定频率旋转，其矢端沿着一圆形轨道运动，那么这种光就是圆偏振光。
如果E矢量末端沿着一椭圆形轨道运动，那么这种光就是椭圆偏振光。
部分偏振光是指一束光的光矢量在垂直于传播方向的各个方向上都有分布，各个振动之间没有固定的相位关系，但沿某方向的振动总比其他方向更占优势。
偏振片是将具有“二向色性”物质制成的器件，可以获取线偏振光。
当一束线偏振光通过偏振片时，透射光的强度可以用马吕斯定律表示，即2I=Icosα，其中I为入射线偏振光的强度，α为入射线偏振光的振动方向与偏振片的偏振化方向之间的夹角。
反射和折射时的偏振布儒斯特定律是指入射光的偏振方向与反射或折射光的偏振方向在同一平面内，且入射角等于反射角或折射角。
在两种透明介质的交界面上，当自然光以一定入射角入射时，会发生反射光和折射光的现象。
这两种光都是部分偏振光，其中反射光中垂直于入射面的振动分量占主导地位，而折射光中平行于入射面的振动分量占主导地位。
当入射角为特定角度时，反射光变成垂直于入射面的线偏振光，这个特定角度被称为XXX角。
布儒斯特角的大小由布儒斯特定律决定，即tani=(n2/n1)，其中n1和n2分别是入射空间和折射空间的折射率。
表面与光轴平行的晶体薄片被称为波片。
当一束光正入射于波片时，由于它们的传播速度不同，会产生一定的光程差。
这个光程差可以用公式δ=(n-ne)d来计算，其中d为波片的厚度。
对应的相位差是Δφ=2π(n-ne)d/λ。
如果让d满足o光和XXX在通过波片后产生π/2的相位差，那么这个波片就被称为该波长的1/4波片；如果相位差为π（或光程差为λ/2），那么这个波片就被称为该波长的半波片。
在偏振光的干涉实验中，实验装置如图5所示。
在两个偏振化方向成一定角度的偏振片之间插入一个波片，使自然光变成线偏振光后，线偏振光进入波片后，投射光形成偏振方向相互垂直的o光和e光。
再经过检偏振器，使o光和e光变为同方向的振动，以满足偏振光的干涉条件，形成干涉条纹。
在XXX双缝干涉的实验装置中，S2缝上盖厚为h、折射率为n的透明介质，会导致光通过它的光程差发生变化。
设从S1、S2到屏上P点的距离分别为r1、r2，则到P点的光程差为δ=(r2-h+nh)-r1.当δ=0时，对应零级条纹的位置应满足(r2-r1)=-(n-1)h。
原来两光路中没有介质时，零级条纹的位置满足r2-r1=λ/2，与有介质时相比，(r2-r1)=-(n-1)h<0，可见零级明条纹应该向着有介质的小孔一侧偏移。
如果零级明条纹移动到原来的第k级明条纹位置，那么必须满足(r2-r1)=kλ，其中λ是入射光的波长。
从公式推导中得到牛顿环的条件为2n-1=kλ/r^2，其中k为负整数。
由此可以求得水对不同波长的光的折射率，再利用小角度棱镜的偏向角公式可以求得两种色光的偏向角的角间距的近似值为(2j+1)[(λ'/r_j')^2-(λ/r_j^2)]A，代入数据计算即可得到最终结果。
在菲涅尔双棱镜实验中，通过计算光路可以得到光线的折射率，根据几何关系可以求得肥皂膜的厚度最小值为2l(n'-1)A。
一、肥皂膜的厚度计算在肥皂膜插入前，根据XXX双缝干涉，相邻两条干涉条纹之间的光程差为$\delta=d\sin\theta$，其中$d$为双缝间距，$\theta$为入射光线与法线的夹角。
根据干涉条件，相邻两条干涉条纹之间的光程差应为波长的整数倍，即$\delta=j\lambda$，其中$j$为整数。
因此，有$d\sin\theta=j\lambda$。
在肥皂膜插入后，由于肥皂膜的折射率不同于空气和玻璃，会对光程差产生影响。
假设肥皂膜的厚度为$t$，折射率为$n$，则在肥皂膜上反射的光线会产生$\pi$的相位差，即光程差为$2nt$，而在肥皂膜下方折射的光线不会产生相位差，光程差为$0$。
因此，相邻两条干涉条纹之间的光程差为$\delta=j\lambda+2nt$。
在图(c)中，相邻两条干涉条纹之间的距离为$S_1$，而在肥皂膜插入后，相邻两条干涉条纹之间的距离变为$S_2$，两者之差为$t$。
根据几何关系，有$\frac{S_1}{r}=\frac{y}{l}$，$\frac{S_2}{r}=\frac{y'}{l}$，其中$r$为透镜的曲率半径，$l$为透镜到干涉屏的距离，$y$和$y'$为入射光线与主光轴的夹角。
因此，$S_2-S_1=\frac{r(y'-y)}{l}$。
将相邻两条干涉条纹之间的光程差代入，有$(j+1)\lambda+2nt-j\lambda=2nt+\lambda$。
因此，有$\frac{r(y'-y)}{l}=\lambda$，即$y'-y=\frac{l\lambda}{r}$。
将上述结果代入$t=\frac{(y'-y)l(n'-n)}{r(n-1)}$，即可得到肥皂膜的最小厚度$t$。
代入数据，得$t=4.8\times10^{-5}\text{m}$。
二、透镜干涉条纹数目的计算在图(a)中，透镜的焦距为$f=10\text{cm}$，物点S到透镜的距离为$u=-15\text{cm}$，屏到透镜的距离为$v=50\text{cm}$。
设分开的缝之间的距离为$d$，则在屏上观察到的干涉条纹的间距为$\Delta x=\frac{D\lambda}{d}$，其中$D$为分开的缝到屏的距离。
根据透镜成像公式，可以求得物点S在透镜上的像距为$v'=\frac{fuv}{(u+f)^2}=-30\text{cm}$。
由于分开的缝之间的距离很小，可以认为它们在透镜上的像点非常接近，因此可以将它们看作相干的点光源。
这两个点光源发出的光线经过透镜后，在屏上形成干涉条纹。
根据几何关系，可以求得两个点光源在屏上的距离为$d'=\frac{Dd}{u+f}$。
因此，在屏上观察到的干涉条纹的数目为$n=\frac{d'}{\Deltax}=\frac{D\lambda(u+f)}{d^2}$。
代入数据，得$n=20$。
三、油膜厚度和干涉极大值的波长计算在油膜上反射的光线会产生$\pi$的相位差，而在油膜下方折射的光线不会产生相位差。
因此，在反射光线的干涉图样中，油膜的厚度为相邻两个干涉极小值之间的光程差除以$2$。
设油膜的厚度为$t$，则有$2nt=\frac{m\lambda_1}{2}-\frac{m\lambda_2}{2}$，其中$m$为整数，$\lambda_1=5000\text{\AA}$，$\lambda_2=7000\text{\AA}$。
因此，油膜的厚度为$t=\frac{(m\lambda_1-m\lambda_2)}{4n}=\frac{(2m+1)d}{4n}$，其中$d$为相邻两个干涉极小值之间的距离。
当入射光波波长为$\lambda$时，反射光线的光程差为$2nt+\frac{\lambda}{2}$。
当光程差为波长的整数倍时，会出现干涉极大值。
因此，有$2nt+\frac{\lambda}{2}=m\lambda_0$，其中$\lambda_0$为反射光的波长。
解得$\lambda_0=\frac{2nt+\frac{\lambda}{2}}{m}$。
代入数据，可以求得在$5000\text{\AA}$和$7000\text{\AA}$之间，当入射光波波长为$6125\text{\AA}$时，反射光得到干涉极大值。
在光从空气中垂直入射到玻璃上油膜的情况下，油膜上、下两表面的反射光都没有半波损失，其相邻反射光波的光程差为 $2nh=2\times1.38h\Delta l/\Delta x=20$ 条。
反射光干涉极小的条件为 $2nh=(2k+1)\lambda/2$，对 $\lambda_1=7000$ Å 和$\lambda_2=5000$ Å 的光都是反射干涉极小，故有$2nh=(2k+1)\lambda_1/2=(2k'+1)\lambda_2/2$，式中 $k$ 和$k'$ 均为整数。
由于 $\lambda_1>\lambda_2$，所以 $k'>k$。
又由于在 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 之间没有其他波长的光发生干涉极小，故必须有 $k'=k+1$。
