2019-2020学年八年级数学 第11章 全等三角形拔高题 新人教版

桑水初中数学试卷桑水出品第十一章 全等三角形测试题（A ）4分，共40分） 、下列说法正确的是（ ）：全等三角形是指形状相同的两个三角形 C ：全等三角形的周长和面积分别相等 C ：全等三角形是指面积相等的两个三角形 D ：所有的等边三角形都是全等三角形 2、如图：若△ABE ≌△ACF ，且AB=5，AE=2，则EC 的长为（ ）A ：2B ：3C ：5D ：2.5、如图：在△ABC 中，AB=AC ，∠BAD=∠CAD ，则下列结论：①△ABD ≌△ACD ，②∠B=∠C ，③BD=CD ，④AD ⊥BC 。

其中正确的个数有（ ）：1个 B ：2个 C ：3个 D ：4个4、如图：AB=AD ，AE 平分∠BAD ，则图中有（ ）对全等三角形。

A ：2 B ：3 C ：4 D ：5、如图：在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，AE ⊥BC 于E ，∠B=40°，∠BAC=82°，则∠DAE=（ ） ：7 B ：8° C ：9° D ：10° 、如图：在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 于F ，且FB=CE ，则下列结论：：①DE=DF ，②AE=AF ， ③BD=CD ，④AD ⊥BC 。

其中正确的个数有（ ） ：1个 B ：2个 C ：3个 D ：4个7、如图：EA ∥DF ，AE=DF ，要使△AEC ≌△DBF ，则只要（ ） A ：AB=CD B ：EC=BF C ：∠A=∠D D ：AB=BC8、如图：在不等边△ABC 中，PM ⊥AB ，垂足为M ，PN ⊥AC ，垂足为N ，且PM=PN ，Q 在AC 上，PQ=QA ，下列结论：①AN=AM ，②QP ∥AM ，③△BMP ≌△QNP ，其中正确的是（ ） A ：①②③ B ：①② C ：②③ D ：①9、如图：直线a ，b ，c 表示三条相互交叉环湖而建的公路，现在建立一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A ：1个B ：2个C ：3个D ：4个10、如图：△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB=6㎝，则△DEB 的周长是（ ） A ：6㎝ B ：4㎝ C ：10㎝ D ：以上都不对 11、如图：AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且有BF=AC ，FD=CD 。

全等三角形拔高题1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ，连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。

2. 已知等边三角形ＡＢＣ中，ＢＤ＝ＣＥ，ＡＤ与ＢＥ相交于点Ｐ，求∠ＡＰＥ的大小。

3. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，•PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系．4. 如图所示，P 为∠AOB 的平分线上一点，PC ⊥OA 于C ，•∠OAP+∠OBP=180°，若OC=4cm ，求AO+BO 的值．A B C DE P D ACM NPDA CBO5.如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE•⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，可以得到BD平分EF，为什么？若将△DEC的边EC沿AC方向移动，变为如图所示时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．6.如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF.(1)求证：BG=CF;(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由。

7.已知：如图E在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC。

(1)求证：∠ABE=∠C；(2)若∠BAE的平分线AF交BE于F，FD∥BC交AC于D，设AB=5，AC=8，求DC的长。

GD FAC BEGD FACBEFED CBAG8. 如图，在△ABC 和△DCB 中，AB = DC ，AC = DB ，AC 与DB 交于点M ．（1） 求证：△ABC ≌△DCB ；（2）过点C 作CN ∥BD ，过点B 作BN ∥AC ，CN 与BN 交于点N ，试判断线段BN 与CN 的数量关系，并证明你的结论．9. 已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，（1） 求证：△AED ≌△EBC ．（2） 观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：10. 如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．（1） 求证：MB =MD ，ME =MF（2） 当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．BA DMOE D C B A11. 如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ．（1） 若BD 平分∠ABC ，求证CE=12BD ；（2） 若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。

人教新课标版初中八上第11章全等三角形拔高题精选一、学科内综合题(每小题8分，共32分)1.假设三角形的两条边分别为10和7，那么第三条边的中心线的值范围是多少？2．如图11-全-1所示，已知△abc中，ab=ac，d是cb延长线上的一点，∠adb=60°，e是ad上一点，且有de=db．求证：ae=be+bc．3.如图11-2所示，C点是AB线上的任意点（C点与a点和b点不重合），用AC表示bc为边在直线ab的同侧作等边△acd和等边△bce，ae与cd相交于点m，bd与ce相交于点n．（1）核实：△ 王牌≌ △ DCB；（2）验证：Mn‖ab4．如图11-全-3所示，在△abc中，af平分∠bac交bc于f，fd⊥ab于d，fe⊥acE.验证：AF垂直对分De二、学科间综合题（6分）5.如图11-quan-4所示，这是一种室内木地板图案，其中AB=BC=CD=Da，AE=CE=CF=FA；图案由深色的全等三角形木块（阴影部分）和浅色的全等三角形土块（无阴影部分）拼成，这个图案的面积是0.05m2,若房间的面积是13m2，问最少需要深色木块和浅色木块各多少块？三、申请问题（每个子问题6分，共12分）6．传说在19世纪初，一位将军率领部队在一河边与敌军激战，为使炮弹准确落到河对岸的敌人的将领陈棣站在河边，放下帽子，视线正好落在河对岸帽沿的边线上。

然后他一步一步地后退，直到视线落到他站在河岸上的位置，如图11-5所示1此时，他后退的距离就是河流的宽度。

请考虑一下。

为什么？7．如图11-全-6所示，要在两条公路的中间建一座加油站，位置选在距两条公路的距离相到两条公路交叉口a的距离为2cm（参考图中的距离）。

图中的加油站在哪里？请解释原因四、创新题（每小题7分，共49分）8.如图11-7所示，已知ad是△ ABC，AE是我们的中线△ abd，ab=BD.验证：ac=2ae．9.如图11-8所示①, a、 e、F和C在一条直线上，AE=CF，de⊥ 分别在e和F之后，bf⊥ac，若ab=cd．验证：BD将EF一分为二。

第11章三角形压轴题训练1．如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有；阅读下面的内容，并解决后面的问题：(1)如图2，AP、CP分别平分、，若，，求的度数；(2)①在图3中，直线AP平分的外角，CP平分的外角，猜想与、的关系，并说明理由．②在图4中，直线AP平分的外角，CP平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论，无需说明理由．③在图5中，AP平分，CP平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论，无需说明理由．2．如图，在中，，D为射线上一点，过点D作于点E．(1)如图①，当点在线段上时，请直接写出与的数量关系；(2)如图②，当点在的延长线上时，交的延长线于点，探究与的数量关系，并说明理由；(3)在（）的条件下，若点为线段上一点，过点作于点，连接，且，，延长，交于点，求的度数．3．如图，直线MN的同侧放置着角度分别为45°、45°、90°的三角板OAB和角度分别为30°、60°、90°的三角板OCD．点A、O、C在直线MN上，点O、B、D三点共线，OA=OB=OC=3cm．(1)如图1，连接BC，则∠BCD=_________．(2)如图2，把三角板OAB向右沿NM方向平移1cm得△，交OD于点G，求四边形的面积．(3)如图3，三角板OAB绕着点O旋转，当AB MN时，AB与OD交于点H，在OA上取一点P，∠PHO的角平分线HQ与线段BO的延长线交于点Q，试探索∠AHP与∠HQB 的数量关系，并说明理由．(4)如图4，若将图1中的三角板OAB绕着点O以每秒5°的速度顺时针旋转一周，当边OA或OB与边CD平行时，求旋转时间t的值．4．如图，已知AB CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N．点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MA，NC上，连接PE，QE，PF平分∠MPE，QF平分∠CQE．（1）如图1，若PE⊥QE，∠EQN＝64°，则∠MPE＝°，∠PFQ＝°．（2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，当PE⊥QE时，若∠APE＝150°，∠MND＝110°，过点P作PH⊥QF交QF 的延长线于点H．将直线MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为，同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△，当直线MN首次落到CD上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线恰好平行于△的一条边，请直接写出所有满足条件的t的值．5．如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E，平分，交的平分线于点P，与相交于点G，的平分线与相交于点Q．(1)若，则____________，____________；(2)若，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？并说明理由；(3)若，则____________，____________；（用含x的代数式表示）；(4)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数．6．在平面直角坐标系中，，，直角三角形的边与轴分别相交于、两点，与直线分别交于、点，．(1)将直角三角形如图位置摆放，如果，则______；(2)将直角三角形如图位置摆放，为上一点，①若，请直接写出与之间的等量关系：______；②若，请判断与之间的等量关系，并说明理由．(3)将直角三角形如图位置摆放，若，延长交于点，点是射线上一动点，探究，与的数量关系，请直接写出结论题中的所有角都大于小于：______．7．在中，(1)如图（1），、的平分线相交于点．①若，求的度数．②若，则_________．(2)如图（2），在中的外角平分线相交于点，，求的度数．(3)如图（3），的、的平分线相交于点，它们的外角平分线相交于点．请回答：与具有怎样的数量关系？并说明理由．8．（1）如图1，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，则∠P的度数是 ．（2）如图2，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠EBC和∠FCD，则∠P的度数是 ．（3）如图3，∠A＝70°，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACD，求∠P的度数．9．如图，，点A、分别在、上运动（不与点重合）．(1)若是的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点．①若，则______；②猜想：的度数是否随A，的移动发生变化？并说明理由．(2)如图，若，，则______；(3)若将改为（如图3），，，其余条件不变，则______（用含，的代数式表示，其中）．10．（1）如图1，F是OC边上一点，求证：∠AFC＝∠AOC＋∠OAF；（2）如图2，∠AOB＝36°，OC平分∠AOB，点D、E在射线OA、OC上，点P是射线OB 上的一个动点，连接DP交射线OC于点F．设∠EDP＝x，若DE⊥OA，是否存在这样的x使得∠EFD＝3∠EDF？若存在，求出x；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，若射线DA绕点D顺时针旋转至DO后立即回转，射线EO绕点E顺时针旋转至ED停止，射线DA转动的速度是4.5°/s，射线EO转动的速度是1°/s．若射线DA先旋转2s，射线EO才开始绕点E顺时针旋转，在射线EO到达ED之前，射线EO旋转到第________s时，射线DA与射线EO互相平行．11．已知AD∥BC，∠ADB＝28°，点E在直线BD上，点F在射线BC上，E不与B、D 重合，F不与B、C重合．(1)如图1，当点E在线段BD的延长线上，点F在线段BC上时，连EF，求证：∠EFB ＋∠DEF＝152°；(2)如图2，当点E在直线DB上运动，点F在线段BC上时，连EF，探究∠EFB与∠DEF 之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点E在线段BD延长线上，点Q在线段BC延长线上，点F在射线BC上，且点Q在点F的右侧时，直线DP平分∠ADE，直线FP平分∠EFQ，DP、FP交于点P，直接写出∠DEF和∠DPF的关系．12．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．(1)如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．(2)如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，AD、BC的延长线交于点F，点A、B在运动的过程中，∠F=；DE、CE又分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小也不发生变化，其大小为∠CED=.(3)如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F，则∠EAF= ；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．13．如图1，直线GH分别交AB，CD于点E，F（点F在点E的右侧），若∠1+∠2＝180°．(1)求证：AB CD；(2)如图2所示，点M、N在AB，CD之间，且位于E，F的异侧，连MN，若2∠M＝3∠N，则∠AEM，∠NFD，∠N三个角之间存在何种数量关系，并说明理由．(3)如图3所示，点M在线段EF上，点N在直线CD的下方，点P是直线AB上一点（在E的左侧），连接MP，PN，NF，若∠MPN＝2∠MPB，∠NFH＝2∠HFD，则请直接写出∠PMH与∠N之间的数量．14．【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明；【简单应用】（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数；解：∵AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD∴∠1=∠2，∠3=∠4由（1）的结论得：①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D∴∠P =(∠B+∠D)=26°．①【问题探究】如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想的度数，并说明理由．②【拓展延伸】在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为：（用α、β表示∠P），并说明理由．15．如图1，在平面直角坐标系中，，过C作轴于B．(1)如图1，则三角形的面积_____________；(2)如图2，若过B作交y轴于D，则的度数为_____________；若分别平分，求的度数；(3)若线段与y轴交点M坐标为，在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，已知点E在四边形ABCD的边BC的延长线上，BM、CN分别是∠ABC、∠DCE 的角平分线，设∠BAD＝α，∠ADC＝β．(1)如图1，若α＋β＝180°，判断BM、CN的位置关系，并说明理由：(2)如图2，若α＋β＞180°，BM、CN相交于点O．①当α＝70°，β＝150°时，则∠BOC＝_______；②∠BOC与α、β有怎样的数量关系？说明理由．(3)如图3，若α＋β＜180°，BM、CN的反向延长线相交于点O，则∠BOC＝______．（用含α、β的代数式表示）．17．已知：直线，动点在直线上运动，探究，，之间的关系．(1)【问题发现】若，，求的度数．(2)【结论猜想】当点在线段上时，猜想，，三个角之间的数量关系，并说明理由．(3)【拓展延伸】若点在射线上或者在射线上时（不包括端点），试着探究，，之间的关系是否会发生变化，请挑选一种情形画出图形，写出结论，并说明理由．18．中，，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点，令，，．初探：(1)如图1，若点P在线段AB上，且，则_____________；(2)如图2，若点P在线段AB上运动，则∠1，∠2，之间的关系为_____________；(3)如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，则∠1，∠2，之间的关系为_____________；再探：(4)如图4，若点P运动到的内部，写出此时∠1，∠2，之间的关系，并说明理由．19．如图，AB、CD被AC所截，，∠CAB＝108°，点P为直线AB上一动点（不与点A重合），连CP，作∠ACP和∠DCP的平分线分别交直线AB于点E、F．(1)当点P在点A的右侧时①若∠ACP＝36°，则此时CP是否平分∠ECF，请说明理由．②求∠ECF的度数．(2)在点P运动过程中，直接写出∠APC与∠AFC之间的数量关系．20．已知，如图，AB CD，直线交于点，交于点点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分．(1)如图，当时，______；(2)如图，猜想与之间的数量关系，并说明理由；(3)如图，在问的条件下，若，，过点作交的延长线于点将绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的的值．参考答案：1．(1)(2)①，理由见解析；②；③【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠P+∠3=∠1+∠ABC，∠P+∠2=∠4+∠ADC，相加得到2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC+∠ADC，继而得到2∠P=∠ABC+∠ADC，代入数据得∠P的值；（2）①按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠PAD+∠P=∠PCD+∠D，∠PAB+∠P=∠4+∠B，分别用∠2，∠3表示出∠PAD 和∠PCD，再整理即可得解；②按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠BAP+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+∠PCD+∠D=360°，分别用∠2，∠3表示出∠BAP 和∠PCD，再整理即可得解；③按解析图标记好∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据题干的结论列出∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，∠2+∠P=∠PCD+∠D，分别用∠2，∠3表示出∠BAD、∠BCD 和∠PCD，再整理即可得解；（1）解：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=∠1+∠4，由（1）的结论得：∠P+∠3=∠1+∠ABC①，∠P+∠2=∠4+∠ADC②，①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC+∠ADC，∴2∠P=∠ABC+∠ADC，∴∠P=（∠ABC+∠ADC）=（36°+16°）=26°．（2），理由如下：①∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4．由（1）的结论得：∠PAD+∠P=∠PCD+∠D③，∠PAB+∠P=∠4+∠B④，∵∠PAB=∠1，∠1=∠2，∴∠PAB=∠2，∴∠PAD=∠PAB+∠BAD=∠2+180°－2∠2=180°－∠2，∴∠2+∠P=∠3+∠B⑤，③+⑤得∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D，∴∠2+∠P+180°－∠2+∠P=∠3+∠B+180°－∠3+∠D即2∠P+180°=∠B+∠D+180°，∴．②，理由如下：如图4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAD=180°﹣2∠1，∠BCD=180°﹣2∠3，由题干可知：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，∴（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，在四边形APCB中，∠BAP+∠P+∠3+∠B=360°，即（180°﹣∠2）+∠P+∠3+∠B=360°，⑥在四边形APCD中，∠2+∠P+∠PCD+∠D=360°，即∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，⑦⑥+⑦得：2∠P+∠B+∠D+∠2﹣∠2+∠3﹣∠3=360°∴2∠P+∠B+∠D=360°，∴；③，理由如下：如图5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，由题干结论得：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，即2∠2+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D⑧，∠2+∠P=∠PCD+∠D，即∠2+∠P=（180°﹣∠3）+∠D⑨，⑨×2﹣⑧得：2∠P﹣∠B=180°+∠D，∴．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8”字形的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．2．(1)∠BAC=2∠EDC(2)∠BAC=2∠EDC，理由见解析(3)∠EKA=18°【分析】（1）如图1中，作AH⊥BC于H，利用等腰三角形的性质，等角的余角相等解决问题即可；（2）作AM⊥BC于M，由（1）同理可证∠BAC=2∠EDC；（3）如图2中，设∠C=∠FAC=∠ABC=x，则∠BAF=∠BFA=2x，构建方程求出x即可解决问题．（1）如图1中，作AH⊥BC于H，∵，∴∠BAC=2∠CAH．∵DE⊥AC，∴∠AHC=∠DEC=90°，∴∠C+∠CAH=90°，∠C+∠CDE=90°，∴∠CAH=∠CDE，∴∠BAC=2∠EDC．（2）结论：∠BAC=2∠EDC．理由如下：如图2中，作AM⊥BC于M，∵AB=AC，∴∠BAC=2∠CAM．∵DE⊥AC，∴∠AMC=∠DEC=90°，∴∠C+∠CAM=90°，∠C+∠CDE=90°，∴∠CAM=∠CDE，∴∠BAC=2∠EDC．（3）∵∠AFG=∠CFG，FG⊥AC，∴∠FAC=∠C．设∠C=∠FAC=∠ABC=x，∴∠BAF=∠BFA=2x．在△BAF中，∠BAF+∠BFA+∠ABC=180°，∴2x+2x+x=180°，解得：x=36°，∴∠EAK=∠ABC+∠C=36°+36°=72°．∵KE⊥EC，∴∠E=90°，∴∠EKA=90°−∠EAK=18°．【点评】本题考查等腰三角形的判定及性质，等角的余角相等，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质等知识．解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．3．(1)15(2)四边形的面积=(2+3) ×1=2.5；(3)∠AHP=2∠HQB；(4)旋转时间t的值为12或30或48或66秒．【分析】（1）求得∠OBC =∠BCO=45°，利用角的和差即可求解；（2）求得AO= GO=3-1=2(cm)，利用梯形面积公式即可求解；（3）由角平分线的定义得到并设∠PHQ=∠QHO=α，推出∠AHP+2α=90°，∠HQB+α=∠BOH=45°，消去α即可求解；（4）分四种情况讨论，画出图形，利用解方程的方法求解即可．（1）解：∵OA=OB=OC=3cm，∠AOB=∠BOC=90°，∠DCO=60°，∴∠OBC =∠BCO=45°，∴∠BCD=∠DCO-∠BCO=15°，故答案为：15；（2）解：∵=1cm，∠GAO=45°，∴AO= GO=3-1=2(cm)，∴四边形的面积=(2+3) ×1=2.5()；（3）解：∠AHP=2∠HQB，理由如下：∵HQ平分∠PHO，∴∠PHQ=∠QHO，设∠PHQ=∠QHO=α，∵AB MN，∴∠BOC=∠B=45°，∠AHO=∠HOC=90°，∴∠BOH=45°，∴∠AHP+2α=90°，∠HQB+α=∠BOH=45°，∴∠AHP+2α=2∠HQB+2α=90°，∴∠AHP=2∠HQB；（4）解：由题意得旋转的角度为5t，当OA CD时，如图：∴∠AOD=∠D=30°，∠AON=90°-30°=60°，∴5t=60，解得：t=12(秒)；当OB CD时，如图：∴∠BOC=∠DCO=60°，∴∠AOC=90°-60°=30°，∴∠AON=180°-30°=150°，∴5t=150，解得：t=30(秒)；当OA CD时，如图：∴∠AOC=∠DCO=60°，∴5t=180+60，解得：t=48(秒)；当OB CD时，如图：∴∠BON=∠DCO=60°，∴∠AON=90°-60°=30°，∴5t=360-30，解得：t=66(秒)；综上，当边OA或OB与边CD平行时，旋转时间t的值为12或30或48或66秒．【点评】本题目考查了平行线的性质，旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键．掌握分类思想，注意不能漏解．4．（1）26；135；（2）2∠PFQ-∠PEQ=180°，理由见解析；（3）t=或或．【分析】（1）延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，设∠MPE=2α，则∠FPE=∠BPE=α，根据AB CD可表示出∠PGQ，进而根据三角形内角和推论表示出∠EQC，进而表示出∠EQH，然后结合△EQH和△PFH内角和得出关系式，进一步得出结果；（2）类比（1）的方法过程，得出结果；（3）分为△的三边分别与平行，分别画出图形求解即可．【详解】解：（1）如图1，延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，设∠BPE=2α，则∠FPE=∠BPE=α，∵AB∥CD，∴∠PGQ=∠BPE=2α，∵PE⊥QE，∴∠QEH=QEG=90°，∴∠EQC=∠QEG+∠PGQ=90°+2α，∴∠EQH=∠EQC=45°+α，∵∠EQN=64°，∴∠EGQ=26°，∴∠BPE=26°．在△EQH和△PFH中，∵∠HEQ+∠HQE+∠EHQ=180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH=180°，∠PHF=∠EHQ，∴∠HEQ+∠HQE=∠FPH+∠PFH，即：90°+45°+α=α+∠PFH，∴∠PFH=135°，故答案为：26；135；（2）2∠PFQ-∠PEQ=180°，理由如下：如图1，延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，设∠BPE=2α，则∠FPE=∠BPE=α，∵AB CD，∴∠PGQ=∠BPE=2α，∵∠GEQ=180°-∠PEQ，∴∠EQC=∠QEG+∠PGQ=180°-∠PEQ+2α，∴∠HQE=∠EQC=90°+α-∠PEQ，在△EQH和△PFH中，∵∠PEQ+∠HQE+∠EHQ=180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH=180°，∠PHF=∠EHQ，∴∠PEQ+∠HQE=∠FPH+∠PFH，即：∠PEQ+90°+α-∠PEQ=α+∠PFQ∴2∠PFQ-∠PEQ=180°；（3）根据题意，需要分三种情况：∵∠APE=150°，∴∠BPE=30°，∵PF平分∠MPE，∴∠FPE=∠BPF=15°，由（2）得2∠PFQ-∠PEQ=180°，又∠PEQ=90°，∴∠PFQ =135°，∴∠HPF=45°，∴∠HPB=30°，由题意得∠=10t，则∠=30+10t，∠=5t，则∠=110-5t，设与AB的交点为I，则∠=∠，如图3（1），当时，∠=∠=∠，110-5t=30+10t，∴t=，如图3（2），当时，∠=10t，则∠=30+10t，∴∠=∠-∠=90-（180-10t-30），同理∠=∠，∴90-（180-10t-30）=110-5t，∴t=，如图3（3），当时，∠=10t，则∠=5t-15，∴∠=∠，∴110-5t=10t-15，∴t=，综上所述：t=或或．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理及其推论，四边形内角和等知识，解决问题的关键是正确分类，并找出相等关系列方程．5．(1)115，25(2)不发生变化，理由见解析(3)，(4)45°，60°，120°，135°【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；（2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；（3）将（2）中换成，同理即可求解；（4）设，由（3）可知，．再由不变，即可分类讨论①当时，②当时，③当时和④当时，分别列出关于x的等式，解出x即可．（1）∵，∴．∵平分，∴．∵，∴，．∵平分，∴．∴；∵，∴．∵CP平分，CQ平分，∴，．∵，∴，即，∴．故答案为：115，25；（2）当的度数发生变化时，、的度数不发生变化理由如下：∵，∴．∵，∴，．∵平分，平分，∴，．∴．∴由（1）可知不变，∴．∴当的度数发生变化时，、的度数不发生变化；（3）∵，∴．∵，∴，．∵平分，平分，∴，．∴．∴．由（1）可知不变，∴．故答案为：，；（4）设，由（3）可知，．∵，∴可分类讨论：①当时，∴，解得：，∴；②当时，∴，解得：，∴；③当时，∴，解得：，∴；④当时，∴，解得：，∴．综上可知或或或．【点评】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．6．(1)(2)①；②，见解析(3)或【分析】（1）过点作，可得轴，则，，结合，可得，即可得出答案．（2）①过点作轴，可得轴，则，，结合已知条件与邻补角的定义可得，根据，可得，结合，可得出答案．②由轴，可得，，结合已知条件与邻补角的定义可得，最后由，可得出答案．（3）当点在上时，或当点在线段的延长线上时，分别利用平行线的性质可得出答案．（1）解：过点作，，，轴，轴，，，，，，，．故答案为：．（2）解：①过点作轴，轴，，，，，，，，，，整理得．故答案为：．．理由如下：轴，，，，，，，．（3）解：当点在上时，过点作，，，，，．当点在线段的延长线上时，，，，，，．故答案为：或．【点评】本题考查平行线的判定与性质、角的计算及坐标与图形，能够添加恰当的辅助线是解答本题的关键．7．(1)①；②；(2)；(3)【分析】（1）①运用三角形的内角和定理及角平分线的意义，首先求出，进而求出，即可解决问题；②方法同①；（2）根据三角形的外角性质分别表示出和，再根据角平分线的性质求出，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）由（1）得，由（2）可得，两式相加即可得到结论．（1）解：①∵∠A=64°，∴∠ABC+∠ACB=116°，∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，∴，∴，∴，②∵∠A=n°，∴∠ABC+∠ACB=180°-n° ，∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，∴，∴，∴，故答案为：；（2）解：∵外角和的平分线相交于点Q，∴∴，∵，∴，（3）解：由（1）得，由（2）可得，∴【点评】本题主要考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识，灵活运用三角形内角和定理、外角的性质是解答本题的关键．8．（1）125°（2）55°（3）35°【分析】（1）根据三角形的内角和定理，角平分线的性质即可求解；（2）应用角平分线的性质，补角的概念即可求解；（3）综合（1）、（2）解题思路即可求解；【详解】解：（1）∵BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB），＝×（180°﹣∠A）＝55°，∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝125°，故答案为：125°．（2）∵∠EBC＝∠A+∠ACB，∠FCB＝∠A+∠ABC，∴∠EBC+∠FCB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，＝180°+70°＝250°，∵BP、CP分别平分∠EBC和∠FCB，∴∠PBC＝∠EBC，∠PCB＝∠FCB，∴∠PBC+∠PCB＝（∠EBC+∠FCB），＝125°，∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝55°，故答案为：55°．（3）∠ACD＝∠A+∠ABC，∵CP平分∠ACD，BP平分∠ABC，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCA＝∠ACD＝∠A+∠ABC，∵∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCA+∠ACB），＝∠A＝35°，即∠P等于∠A的一半，答：∠P的度数是35°．【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．9．(1)①；②不随A，的移动发生变化，理由见解析(2)(3)【分析】（1）①先利用角平分线的定义求出，利用三角形内角和定理可得，即可得到，利用角平分线的定义可得，即可求解；②设，证明过程与①类似；（2）设，解题过程与（1）类似；（3）与（1）（2）类似，设出的度数，再进行推导即可．（1）解：①，平分，，，，，是的平分线，，，，，故答案为：；②的度数不随，的移动发生变化，理由如下：设，平分，，，，，是的平分线，，，，，的度数不随，的移动发生变化；（2）解：设，，，，，，，，，，，，，故答案为：；（3）解：设，，，，，，，，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查三角形内角和定理，列代数式，角的计算等知识点，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．10．（1）见解析；（2）存在，当x＝27°或18°时，∠EFD＝3∠EDF；（3）或．【分析】（1）根据三角形的内角和定理与平角的定义证明即可；（2）求出∠AOC＝18°，然后分情况讨论：①若DP在DE左侧，求出∠FED＝72°，根据三角形内角和定理可得x＋3x＋72°＝180°，解方程可得x的值；②若DP在DE右侧，求出∠DEO ＝72°，根据三角形外角的性质可得x＋3x＝72°，解方程可得x的值；（3）分两种情况进行讨论：DP在DE左侧，DP在DE右侧，分别根据平行线的性质，列方程求解即可．【详解】（1）证明：由三角形的内角和定理可得：∠OAF＋∠AOC＋∠AFO＝180°，∵∠AFC＋∠AFO＝180°，∴∠AFC＝∠AOC＋∠OAF；（2）解：存在这样的x的值，使得∠EFD＝3∠EDF．∵∠AOB＝36°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝18°，分两种情况：①如图，若DP在DE左侧，∵DE⊥OA，∴∠FED＝90°−18°＝72°，∴x＋3x＋72°＝180°，解得x＝27°；②如图，若DP在DE右侧，∵DE⊥OA，∴∠DEO＝90°−18°＝72°，∵∠DEO＝∠EDF＋∠EFD，∴x＋3x＝72°，解得x＝18°；综上所述，当x＝27°或18°时，∠EFD＝3∠EDF；（3）解：分两种情况：①当射线DA向DO旋转时，如图，当时，∠1＝∠2，设射线EO旋转的时间为t秒，则∠1＝（72−t）°，∠2＝90−4.5（t＋2）＝（81－4.5t）°，∴72−t＝81－4.5t，解得t＝；②当射线DA由DO回转时，如图，当时，∠1＝∠2，设射线EO旋转时间为t秒，则∠1＝（72−t）°，∠2＝4.5（t＋2）−270＝（4.5t－261）°，∴72−t＝4.5t－261，解得t＝；综上，射线EO旋转到第或s时，射线DA与射线EO互相平行，故答案为：或．【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，一元一次方程的应用等知识，掌握三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和是解题的关键，另外在解题时注意分类讨论思想的运用．11．(1)见详解(2)当E点线段BD的延长线上时，∠EFB+∠DEF=152°；当E点在线段BD上（不含端点）时，∠DEF-∠EFB=28°；当E点在线段DB的延长线上时，∠DEF+∠EFB=28°，理由见详解(3)2∠DPF-∠DEF=180°，理由见详解【分析】（1）根据，可得∠ADB=∠DBF，再根据三角形内角和定理即可求证；（2）根据E点位置不同，分当E点线段BD的延长线上时、当E点在线段BD上（不含端点）时、当E点在线段DB的延长线上时，三种情况讨论，利用三角形的外角的定义与性质即可求解；（3）设DP交EF于点N，M点是PD延长线上的一点，延长DP交BQ于点G，根据DP平分∠ADE，可得∠ADM=∠EDM=76°，在根据，可得∠PGF=∠ADM，由PF平分∠EFQ，得到∠PFG=∠EFQ，再根据三角形的外角的定义与性质有∠DPF=∠PGF+∠PFG，∠DBF+∠DEF=∠EFQ，即可求解．（1）∵，∴∠ADB=∠DBF，∵∠ADB=28°，∴∠DBF=28°，∵∠DBF+∠EFB+∠DEF=180°，∴∠EFB+∠DEF=180°-∠DBF=180°-28°=152°，得证；（2）根据E点位置不同，∠EFB与∠DEF之间的数量关系也不同，当E点线段BD的延长线上时，∠EFB+∠DEF=152°；当E点在线段BD上（不含端点）时，∠DEF-∠EFB=28°；当E点在线段DB的延长线上时，∠DEF+∠EFB=28°，理由如下，分情况讨论，第一种情况，当E点线段BD的延长线上时，根据（1）的结果可知：∠EFB+∠DEF=152°；第二种情况，当E点在线段BD上（不含端点）时，如图，∵∠EFB+∠DBF=∠DEF，又∵∠DBF=28°，∴∠EFB+28°=∠DEF，∴∠DEF-∠EFB=28°，此时数量关系为：∠DEF-∠EFB=28°；第三种情况，当E点在线段DB的延长线上时，如图，∵∠EFB+∠DEF=∠DBF，又∵∠DBF=28°，∴∠EFB+∠DEF=∠DBF=28°，∴∠EFB+∠DEF=28°，此时数量关系为：∠DEF+∠EFB=28°；（3）2∠DPF-∠DEF=180°，理由如下，设DP交EF于点N，M点是PD延长线上的一点，延长DP交BQ于点G，如图，∵∠ADB=28°，∴∠ADE=180°-28°=152°，∵DP平分∠ADE，∴∠ADM=∠EDM=∠ADE=76°，∵，∴∠PGF=∠ADM=76°，∵PF平分∠EFQ，∴∠PFG=∠EFQ，∵∠DPF=∠PGF+∠PFG，∠PGF=76°，∴∠DPF=76°+∠EFQ，∵∠DBF=28°，∠DBF+∠DEF=∠EFQ，∴∠DPF=76°+∠EFQ=76°+(28°+∠DEF)，∴2∠DPF-∠DEF=180°，得证．【点评】本题主要考查了平行线的性质、三角形的外角定义及性质、角平分线的性质等知识．注重分类讨论的思想是解答本题的关键．12．(1)不变，∠AEB＝135°；(2)45°，67.5°；(3)90°；∠ABO的度数为60°或45°．【分析】（1）先求出∠BAO＋∠ABO＝90°，结合角平分线的定义可得∠BAE＋∠ABE＝45°，再利用三角形的内角和定理可求解∠AEB的度数；（2）由平角的定义求出∠BAP＋∠ABM＝270°，利用角平分线的定义可求∠DAB＋∠ABC＝135°，利用三角形的内角和定理可求出∠F，然后根据四边形的内角和定理可得∠ADC＋∠BCD＝225°，再由角平分线的定义及三角形的内角和定理可求解；（3）先求出∠EAF＝90°，∠ABO＝2∠E，然后根据△AEF中，有一个角是另一个角的3倍分4种情况求解即可．（1）解：不变，∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠AOB＋∠BAO＋∠ABO＝180°，∴∠BAO＋∠ABO＝90°，∵AE平分∠BAO，BE平分∠ABO，∴∠BAE＝∠BAO，∠ABE＝∠ABO，∴∠BAE＋∠ABE＝45°，∵∠BAE＋∠ABE＋∠AEB＝180°，∴∠AEB＝135°；（2）∵∠ABO＋∠BAO＝90°，∴∠BAP＋∠ABM＝180°＋180°−90°＝270°，∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠DAB＝∠BAP，∠ABC＝∠ABM，∴∠DAB＋∠ABC＝135°，∴∠F＝180°－∠DAB－∠ABC＝45°，又∵∠DAB＋∠ABC＋∠ADC＋∠BCD＝360°，∴∠ADC＋∠BCD＝225°，∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE＝∠ADC，∠DCE＝∠BCD，∴∠CDE＋∠DCE＝112.5°，∴∠CED＝180°－∠CDE－∠DCE＝67.5°，故答案为：45°，67.5°；（3）∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，∴∠EAO＝∠BAO，∠FAO＝∠OAG，∵∠BAO＋∠OAG＝180°，∴∠EAO＋∠FAO＝90°，即∠EAF＝90°，∵OE平分∠BOQ，∴∠BOQ＝2∠EOQ，∵∠EOQ＝∠E＋∠OAE，∠BOQ＝∠ABO＋∠BAO，∴∠ABO＝2∠E，在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍，故有4种情况：①∠EAF＝3∠E＝90°时，则∠E＝30°，∠ABO＝60°；②∠EAF＝3∠F＝90°时，则∠F＝30°，∴∠E＝90°－30°＝60°，∴∠ABO＝120°，（不合题意，舍去）；③∠F＝3∠E时，∵∠E＋∠F＝90°，∴∠E＝22.5°，∴∠ABO＝45°；④∠E＝3∠F时，∵∠E＋∠F＝90°，∴∠E＝67.5°，∴∠ABO＝135°，（不合题意，舍去）；综上，∠ABO的度数为60°或45°．故答案为：90°．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，四边形的内角和问题，灵活运用三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°来求解角的度数是解题的关键．13．(1)见解析(2)，理由见解析(3)，理由见解析【分析】（1）根据平行线的判定定理即可得到结论；（2）设，，，，过作，过作，推出，根据平行线的性质得到，，得到，于是得到结论；（3）设，，，，根据平行线的性质得到，由三角形的外角的性质得到，根据平角的定义得到，于是得到结论．（1）解：，，，，；（2）解：设，，，，过作，过作，，，，，，，，，，，；（3）解：，，设，，，，，，，，，，，，．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，四边形的内角和，三角形的外角的性质，解题的关键是正确的识别图形．14．（1）见解析；（2）①26°，理由见解析；②∠P=α+β，理由见解析【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明．（2）【问题探究】由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+（180°-∠1）=∠ADC+（180°-∠3），∠P+∠1=∠ABC+∠4，推出2∠P=∠ABC+∠ADC，即可解决问题．【拓展延伸】由（1）的结论易求∠P+∠PDC=∠C+∠CAP，∠P+∠PAB=∠B+∠BDP，再将已知条件代入化简即可求解∠P．【详解】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AEB=180°，∠C+∠D+∠CED=180°，∴∠A+∠B+∠AEB=∠C+∠D+∠CED，∵∠AEB=∠CED，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）①解∶如图3，∵AP平分∠FAD，CP平分∠BCE∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，∴由（1）可得：∠P+180°-∠2=∠D+180°-∠3，∠P+∠PAB=∠B+∠4，又∠1=∠PAB，∴∠P+∠1=∠B+∠4，又∠P+180°-∠2=∠D+180°-∠3，∴2∠P+∠1+180°-∠2=∠B+∠4+∠D+180°-∠3，又∠1=∠2，∠3=∠4，∴2∠P=∠B+∠D∴∠P =(∠B+∠D)=26°②解：∠P=α+β．理由：∵∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，∴∠BAP=∠CAB，∠BDP=∠CDB，由（1）可得：∠P+∠PDC=∠C+∠CAP，∠P+∠PAB=∠B+∠BDP，∴∠P+∠CDB =∠C+∠CAB，①∠P+∠CAB=∠B+∠CDB，②①×2+②，得2∠P+∠CDB+∠P+∠CAB=2∠C+∠CAB+∠B+∠CDB，∴3∠P=2∠C+∠B∴∠P==α+β．【点评】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常考题型．15．(1)4；(2)90°，45°；(3)存在，或．【分析】（1）根据题意求出BC=2，AB=OA+OB=4，根据三角形面积公式即可求出三角形的面积为；（2）根据题意求出∠OBD+∠ODB=90°，根据得到∠OBD=∠BAC，即可得到；连接，得到，，，根据三角形内角和为180°和即可求出；（2）设P点坐标为，根据三角形和三角形的面积相等，得到，求出或，问题得解．（1）解：∵，轴，∴BC=2，AB=OA+OB=4，∴三角形的面积为；故答案为：4（2）解：∵OB⊥OD，∴∠BOD=90°，∴∠OBD+∠ODB=90°，∵∴∠OBD=∠BAC，∴，故答案为：90°；连接，如图2，∵，分别平分，，∴，，∴，∵，即，而，∴，∴；（3）解：存在．如图3，设P点坐标为，∵三角形和三角形的面积相等，∴，即，即∴或，∴P点坐标为或．【点评】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，三角形的内角和，直角三角形两锐角互余等知识，综合性较强，难度较大，理解相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．16．(1)BM CN，理由见解析(2)①20°；②，理由见解析(3)【分析】（1）由α+β=180°先判断AB CD，根据平行线的性质得出∠DCE=∠ABC，再由角平分线的性质证得结论；（2）①根据α和β的度数，求出∠ABC+∠BCD，根据角平分线的性质可知，∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，设∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，利用外角表示∠BOC即可；②根据α和β的度数，求出∠ABC+∠BCD=180°-（α+β），根据角平分线的性质可知，∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，设∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，利用外角表示∠BOC 即可；（3）根据α和β的度数，求出∠ABC+∠BCD=180°-（α+β），根据角平分线的性质可知，∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，设∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，利用外角表示∠BOC 即可．（1）解：CN BM，理由如下：∵α+β=180°，∴AB CD，∴∠DCE=∠ABC，∵BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的角平分线，∴∠ECN=∠CBM，∴CN BM；（2）解：①∵α=70°，β=150°，∴∠ABC+∠BCD=360°-70°-150°=140°，∵BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的角平分线，∴∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，设∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，∵∠ECN=∠BOC+∠CBM，∴x=∠BOC+y，∴∠BOC=x-y，∵∠ECD+∠DCB=180°，∴2x+140°-2y=180°，∴x-y=20°，∴∠BOC=20°．故答案为：20°；②∠BOC=，理由如下：∵四边形内角和为360°，∴∠ABC+∠BCD=360°-（α+β），∵BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的角平分线，∴∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，设∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，∵∠ECN=∠BOC+∠CBM，∴x=∠BOC+y，∴∠BOC=x-y，∵∠ECD+∠DCB=180°，∴2x+360°-（α+β）-2y=180°，∴，∴∠BOC=；（3）解：∠BOC=，理由如下：∵四边形内角和为360°，∴∠ABC+∠BCD=360°-（α+β），∵BM、CN分别是∠ABC、∠DCE的角平分线，∴∠ECN=∠DCN，∠CBM=∠ABM，设∠ECN=∠DCN=x，∠CBM=∠ABM=y，∵∠CBM=∠BOC+∠BCO，∠ECN=∠BCO，∴y=∠BOC+x，∴∠BOC=y-x，∵∠ECD+∠DCB=180°，∴2x+360°-（α+β）-2y=180°，∴，∴∠BOC=．故答案为：∠BOC=．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是根据多边形的内角和正确表示出各个角．17．(1)60°；(2)∠DPC=∠ADP+∠PCB，理由见解析；(3)∠PCB=∠DPC+∠ADP；或∠ADP=∠DPC+∠PCB，图及理由见解析．【分析】（1）过P作，由，利用平行于同一条直线的两直线平行，得到PM平行于AB，由PM平行于CD，利用两直线平行内错角相等得到∠ADP=∠DPM，∠CPM=∠BCP，而∠DPC=∠DPM+∠CPM，等量代换可得证；（2）过P作，由，利用平行于同一条直线的两直线平行，得到PM平行于AB，由PM平行于CD，利用两直线平行内错角相等得到∠ADP=∠DPM，∠CPM=∠BCP，而∠DPC=∠DPM+∠CPM，等量代换可得证；（3）分别就两种情况画图2和图3，根据平行线的性质和外角的性质可得结论．（1）如图1，过P作，。

2019-2020 学年八年级数学《第十一章全等三角形》综合测试A新人教版一、选择题（每题 3 分，共 30 分。

每题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填在下面的表格中）题号12345678910答案1．以下判断中错误的是（）．．A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等E C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D．有一边对应相等的两个等边三角形全等D2．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE，BD分别与N CD， CE 交于点 M ， N ，有以下结论：A M BC①△ ACE ≌△ DCB ；② CM CN ；③ AC DN ．其中，正确结论的个数是（）（第 2 题）A．3 个B． 2 个C． 1 个D． 0 个3．某同学把一块三角形的玻璃打碎了 3 块，现在要到玻璃店去配一块完好相同的玻璃，那么最省事的方法是（）A．带①去B．带②去（第 3 题）C．带③去D．带①②③去4．△ABC≌△DEF， AB=2，AC=4，若△DEF的周长为偶数，则 EF的取值为（）A ．3B ．4C ．5D ．3 或 4 或 55．如图，已知，△ABC的三个元素，则甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙6．三角形ABC的三条内角平（第 5 题）分线为 AE、 BF、CG、下面的说法中正确的个数有（）①△ ABC的内角均分线上的点到三边距离相等②三角形的三条内角均分线交于一点③三角形的内角均分线位于三角形的内部④三角形的任一内角均分线将三角形分成面积相等的两部分（第 7 题）A ．1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个7．如图，长方形 沿 AE 折叠，使 D 点落在边上的 F 点处，∠=600，那么∠等于（）ABCDBCBAFDAEA ．150B ．300C ． 450D ． 6008．以下列图， △ ABE 和△ ADC 是△ ABC 分别沿着 AB ，AC 边翻折 180°形成的，若∠ 1∶∠ 2∶∠ 3=28∶ 5∶ 3，则∠ α 的度数为（）A ．80°B ．100°C ．60°D ．45°9. 在△ ABC 和△ A B C 中 , 已知 A A , ABAB , 在下面判断中错误的（第 8 题）是 ( )A. 若增加条件 ACA C , 则△ ≌△A B CABC B. 若增加条件 BCB C , 则△ ABC ≌△ A B C C. 若增加条件 BB , 则△ ABC ≌△ A B CD. 若增加条件CC , 则△ ABC ≌△ A B C10. 如图 , 在△ ABC 中 , ∠ C = 90 , AD 均分∠ BAC ,DE ⊥ AB 于 E ,则以下结论 : ① AD 均分∠ CDE ；②∠ BAC =∠ BDE ；③ DE 均分∠ ADB ；④ BE +AC =AB . 其中正确的有 ()A.1 个B.2 个 个个二、填空题（每题3 分，共 30）第 10 题11．如图， AB ， CD 订交于点 O ， AD ＝ CB ，请你补充一个条件，使得△AOD ≌△ COB ．你补充的条件是 ______________________________ ．12．如图， AC ，BD 订交于点 O ， AC ＝BD ， AB ＝CD ，写出图中两对相等的角 ______ ．13．如图，△ ABC 中，∠ C ＝ 90°， AD 均分∠ BAC ， AB ＝ 5， CD ＝2，则△ ABD 的面积是 ______．BDACADE OOCDAD B B C ABC的面 14．如图（，第直11线题）AE ∥ BD ，点 C 在（BD 第上12，题若） AE ＝4， BD （＝第8，13△题ABD ）的面积为 （16第，14则题△）ACE 积为 ______． 15．在△ ABC 中，∠ C =90°， BC =4CM ，∠ BAC 的均分线交 BC 于 D ，且 BD ：DC =5：3，则 D 到 AB 的距离为 _____________ ．16．如图，△ ABC 是不等边三角形， DE =BC ，以 D ，E 为两个极点作地址不相同的三角形，使所作的三角形与△ ABC全等，这样的三角形最多可以画出_____个．（第 16 题）17．如图，AD， A D 分别是锐角三角形ABC 和锐角三角形 A B C 中 BC , B C 边上的高，且AB A B ， AD A D ．若使△ ABC ≌△ A B C ，请你补充条件___________．（填写一个你认为合适的条件即可）18．如图，若是两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是__________．A A'ADBCB''C'D DBE C（第 17、 18 题）（第 19 题）19．如图，已知在ABC 中， A 90 , AB AC , CD均分ACB ， DE BC 于 E ，若BC 15cm ，则△ DEB 的周长为cm ．20．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=900， E 是 BC的中点， DE均分∠ ADC，∠CED=350，如图16，则∠ EAB是多少度？大家一起热忱地谈论交流，小英第一个得出正确答案，是 ______．三、解答题（每题9 分，共 36 分）21．如图，O为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，OA， OB为海岸线，一轮船从码头开出，计划沿∠ AOB的均分线航行，航行途中，测得轮船与灯塔A，B 的距离相等，此时轮船有没有偏离航线？画出图形并说明你的原由．AOB22．如图，在△ABC中，BD=DC，∠ 1=∠ 2 ，求证：AD⊥BC．23．如图，OM均分∠POQ，MA⊥OP, MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠ OAB=∠ OBA24．如图，已知AD∥BC，∠PAB的均分线与∠CBA的均分线订交于E，CE的连线交 AP于 D．求证：AD+BC=AB．PCEDA B四、解答题（每题10 分，共 30 分）25．如图，△ABC中，AD是∠CAB的均分线，且AB=AC+CD，求证：∠ C=2∠ BACD B26．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于 E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交 AC于点 M．（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点搬动到如图②的地址时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请恩赐证明；若不成立请说明原由．27．已知：如图，DC∥ AB，且 DC=AE， E 为 AB的中点，（1）求证：△AED≌△EBC．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△ AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：AE O DB C五、（每题12 分，共24 分）28．如图，△ABC中，∠BAC=90 度，AB=AC，BD是∠ABC的均分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于，直线交的延长线于．E CE BA F求证： BD=2CE．FAEDB C29.已知 : 在△ABC中 , ∠BAC= 90 , AB=AC, AE是过点A的一条直线 , 且BD⊥AE于D, CE⊥AE于 E.(1)当直线 AE 处于如图①的地址时,有 BD=DE+CE,请说明原由；(2)当直线 AE处于如图②的地址时,则 BD、DE、 CE的关系如何？请说明原由；(3)归纳 (1) 、(2), 请用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的关系 . 第十一章全等三角形综合测试 A 参照答案。

人教版初中八年级数学上册第十一章《全等三角形》精品试题班级姓名考号一．相信你的选择1. 两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是（）A. 两角和一边B. 两边及夹角C. 三个角D. 三条边2.下列各图中，不一定全等的是（）A．有一个角是45°腰长相等的两个等腰三角形B. 周长相等的两个等边三角形C. 有一个角是100°，腰长相等的两个等腰三角形D. 斜边和和一条直角边分别相等的两个直角三角形。

3.如图，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF，则图中全等三角形的组数是（）A. 3B. 4C. 5D. 64.在△ABC和△A/B/C/中，AB=A/B/，∠A=∠A/，若证△ABC≌△A/B/C/还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（）A. ∠B=∠B/B. ∠C=∠C/C. BC=B/C/，D. AC=A/C/，5.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）（A）带①去（B）带②去（C）带③去（D）带①和②去6、如图在△ABD和△ACE都是等边三角形，则ΔADC≌ΔABE的根据是（）A. SSSB. SASC. ASAD. AAS7、如图，∠1=∠2，∠C=∠D ，AC 、BD 交于E 点，下列结论中不正确的是（ ）A. ∠DAE=∠CBEB. CE=DEC.ΔDEA 不全等于ΔCBED.ΔEAB 是等腰三角形8、如图在ΔABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB于E ，若AB=6cm ，则ΔDBE 的周长是（ ）A. 6cmB. 7cmC. 8cmD. 9 cm9．如图，△ABC 是直角三角形，∠A =90°，BD 是角平分线，AD =n ，BC =m ，则△BDC 的面积是（ ）A ．mnB ．12mn C ．2mn D ．14mn 10.如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建造一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A ．一处B ．两处C ．三处D ．四处l 1 l 2l 3二、试试你的身手11．由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案 全等图形，DCB A而由同一张底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片 全等图形（填“是”或“不是”）．12．如图1，点D 在AB 上，点E 在AC 上，CD 与BE 相交于点O ，且AD ＝AE ，AB ＝AC ，若∠B =20°，则∠C = ．13．在△ABC 中，∠C =90°，AD 为△ABC 角平分线，BC =40，AB =50，若BD ∶DC =5∶ 3，则△ADB 的面积为 ．14．如图2，∠ACB =∠DBC ，要想说明△ABC ≌△DCB ，只需增加的一个条件是 ．（只需填一个你认为合适的条件）15．如图3，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，S △ABC =36cm 2，AB =18cm ，BC =12cm ，则DE = cm ．三、挑战你的技能16、 已知:如图,点B,E,C,F 在同一直线上,AB ∥DE,且AB=DE,BE=CF.求证: ΔCAB≌ΔDEF17、如图，AD ⊥BC 于D ，AD=BD ，AC=BE 。

三角形章节同步测试题（满分：100分，时间：45分钟）一、精心选一选（每小题3分，共24分）1．请根据凸多边形的定义，判断下列选项中不是凸多边形的是（ ）2．小华在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，则他计算不对的是（ ） A ．0720 B ．01080 C ．01440 D ．01900 3．随着一个多边形的边数增加，它的外角和（ ）A ．随着增加B ．随着减少C ．保持不变D ．无法确定 4．过多边形的一个顶点的所有对角线把这个多边形分成6个三角形，则这个多边形的内角和等于（ ）A ．0720 B ．0900 C ．01080 D ．012605．若四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D=1：2：4：5，则∠A+∠D 等于（ ） A ．030 B ．075 C ．0180 D ．0210 6．能进行镶嵌的正多边形组合是（ ）A ．正三角形和正八边形B ．正五边形和正十边形C ．正方形和正八边形D ．正六边形和正八边形7．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE 的外角，且∠1=∠2=∠3=∠4=070，则∠AED 的度数是（ ）A ．0110 B ．0108 C ．0105 D ．0100 8．能构成如图所示的图案的基本图形是（ ）ABCDABCDABC DE1 234二、细心填一填（每小题4分，共32分）9．正十边形的内角和等于 度，每个内角等于 度． 10．如果正多边形的一个外角为072，那么它的边数是 ． 11．如图是三个完全相同正多边形拼成的无缝隙，不重叠图形的一部分，这种正多边形是正 边形．12．“三江”黄金广场用三种不同的正多边形地砖铺设（每种只选一块），其中已知选好了用正方形和正六边形这两种，还需再选用 ，使这三种组合在一起的广场铺满．13．多边形每一个内角都等于0140，则从此多边形一个顶点出发的对角线有 条． 14．若一个多边形的各边长相等，其周长为63厘米，且内角和为0900，那么它的边长为 厘米．15．过a 边形的一个顶点有7条对角线，正b 边形的内角和与外角和相等，c 边形没有对角线,d 边形有d 条对角线，则代数式ab dc )( = ．16．小华骑自行车在一个正多边形广场上训练，在训练中小华发现，每5分钟就要转弯一次，当他汽车一圈回到出发点发现正好用了30分钟，则此多边形的内角和为 ．三、专心解一解（共44分）17．（5分）小华想：2012年奥运会在伦敦举办，设计一个内角和为02012的多边形图案多有意义，他的想法能实现吗？请说明理由．18．（7分) 小华画了一个八边形，请问： （1）从八边形的一个顶点出发，可以引几条对角线？它们将八边形分成几个三角形？（2）请你求出八边形的内角和是外角和的几倍？ 19．（7分）如图，已知五边形ABCDE 中，AE ∥CD ，∠A=0130，∠C=0135，求∠B 的度数．20．（8分）小华从点A 出发向前走10m ，向右转036A BCDE第19题图第11题图ABCD EFG第21题图Q P然后继续向前走10m ，再向右转036，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A 吗？若能，当他走回点A 时共走多少米？若不能，写出理由．21．（8分）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F +∠G 的度数．22．（9分）如图所示，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为R 的扇形草坪．（1）图1中草坪的周长为 ； （2）图2中草坪的周长为 ； （3）图3中草坪的周长为 ；（4）如果多边形边数为n ，其余条件不变，那么，你认为草坪的周长为 ．加强卷（满分：50分，时间：30分钟）一、精心选一选（每小题3分，共15分）1．若一个多边形的每个外角都是锐角，那么这个多边形的边数至少是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．62．鹿鸣社区里有一个五边形的小公园（如图所示），王老师每天晚饭后都要到公园里去散步，已知图中的∠1=095，王老师沿公园边由A 点经B →C →D →E 一直到F 时，他在行程中共转过了（ ）A ．0265 B ．0275 C ．0360 D ．04453．一个多边形的每一个内角都是0144，则它的内角和等于（ ） A ．01260 B ．01440 C ．01620 D ．01800第22题图图1图2 图 31 ABCDE F第2题图4．四边形ABCD 中，∠A+∠C=∠B+∠D ，∠A 的一个外角为0105，则∠C 的度数为（ ） A ．075 B ．090 C ．0105 D ．0120 5．一个广场地面的一部分如图所示，地面的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的大理石地砖拼成，从里往外共10层（不包括中央的正六边形地砖），每一层的外界都围成一个多边形，若中央正六边形地砖的边长是1米，则第10层的外边界围成的多边形的周长是（ ）A ．54B ．54C ．60D ．66 二、细心填一填（每小题3分，共15分）6．若一个多边形的每个外角都等于030，则这个多边形的对角线总条数为 ． 7．一个多边形的每一个外角都相等，且比它的内角小0140，则这个多边形的边数是 ．8．一个四边形的四个内角中做多有 个钝角，最多有 个锐角．9．一个正方形的截取一个角后，得到的图形的内角和可能是 ．10．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAC= ．（提示：由AB=AC ，可得∠BAC=∠BCA ）三、专心解一解（共20分）11．（8分）多边形除一个内角外，其余各内角和为01200． （1）求多边形的边数；（2）此多边形必有一外角为多少度？12．（12分）如图，把△ABC 沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 、∠1及∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是什么？试说明你找出的规律的正确性．第5题图 ABC DE第10题图第12题图BCAED12参考答案一、1～4 ADCA ；5～8 CCDD ．二、9．1440，45； 10．5； 11．六； 12．正十二边形； 13．6； 14．9； 15．3； 16．0540．三、17．解：不能，理由如下．设存在n 边形的内角和为02012，有02012180)2(=-n ，解得n ≈13.18．∵多边形的边数不能为小数，∴不存在内角和为02012的多边形．18．解：（1）从八边形的一个顶点出发，可以引5条对角线？它们将八边形分成6个三角形．（2）2360180)28(0=-．故八边形的内角和是外角和的2倍． 19．解：∵AE ∥CD ，∴∠D+∠E=0180．∵ABCDE 是五边形，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=0180)25(-． 即0130+∠B 0135++0180=0540，解得∠B=095． 20．解：小华能回到A 点，当他回到A 点时共走了100m ． 21．解:∵∠QPE=∠D+∠G ，又∠QPE+∠E+∠F+∠FQP=0360,即∠D+∠G+∠E+∠F+∠FQP=0360． ∴∠D+∠G+∠E+∠F=0360—∠FQP ．∵∠A+∠B+∠C+∠AQC=0360，∴∵∠A+∠B+∠C=0360—∠AQC ．故∠A+∠B+∠C+∠D+∠G+∠E+∠F=(0360—∠AQC)+（0360—∠FQP ）=0720—(∠AQC+∠FQP ）=0720—0180=0540．22．解：（1）R π；（2）R π2；（3）R π3；（4）R n π)2(-．加强卷一、1．C ； 2．B ； 3．B ； 4．C ； 5．D ．二、6．54； 7．18； 8．3，3； 9．0180，0360或0540； 10．036． 三、11．解：（1）设该多边形的一个内角为0x ，边数为n ，依题意，有0001200180)2(x n +=-．∵00012061801200⋅⋅⋅⋅⋅⋅=÷，∴01201806180)2(x n ++⨯=-． 又∵1800<<x ，∴180120=+x ，解60=x ．把60=x 代入原方程，得0601200180)2(+=-n ，解得9=x ． ∴该多边形的边数为9．（2）∵该多边形有一角为060，∴此多边形必有一外角为0120． 12．解：规律为∠1+∠2=2∠A ．∵∠B+∠C=A ∠-0180，∠ADE+∠AED=A ∠-0180，又∠B+∠C+∠CDE+∠DEB=0360，即∠B+∠C+∠2+∠ADE+∠1+∠AED=0360． ∴A ∠-0180+∠1+∠2+A ∠-0180=0360， 整理，得∠1+∠2=2∠A ．。

人教版八年级上册数学11章三角形复习常考（含解析）一、选择题（共20小题；共40分）1. ，，是的三个内角，下列条件能确定是钝角三角形的条件是A. B.C. D.2. 如图，是的角平分线，点在上，且于点，，，则的度数为A. B. C. D.3. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是：A. B. C. D.4. 一个多边形的每个内角都相等，且每个内角与相邻补角的差为，那么这个多边形是A. 七边形B. 八边形C. 九边形D. 十边形5. 如图，，，，，则等于A. B. C. D.6. 如图所示，在中，的平分线和的平分线相交于点．已知，，则的度数为A. B. C. D.7. 两根木棒分别长和，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒长的取值情况有A. 种B. 种C. 种D. 种8. 已知三角形两边的长分别是和，则此三角形第三边的长可能是A. B. C. D.9. 如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上，如果，那么的度数为A. B. C. D.10. 如图，在五边形中，，，分别平分，，则的度数是A. B. C. D.11. 若中，，则是A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定12. 已知等腰三角形的底边的长为，那么腰的长可能是A. B. C. D.13. 在等腰三角形中，，其周长为，则边的取值范围是A. B.C. D.14. 一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则的度数是A. B. C. D.15. 如图，在中，点在上，，，则的度数为A. B. C. D.16. 如图，直线，，，则的度数是A. B. C. D.17. 已知三角形两边长分别为和，则该三角形第三边的长可能是A. B. C. D.18. 如图，中，、分别是、的平分线，，则等于A. B. C. D.19. 如图，，，，垂足分别为，，，则下列说法不正确的是A. 是的高B. 是的高C. 是的高D. 是的高20. 下列长度的三条线段能组成三角形的是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，二、填空题（共10小题；共30分）21. 一个多边形的内角和比外角和的倍多，则它的边数是．22. 如图，，其理由是．23. 如图，在中，，，分别平分，，与相交于点，，，，，则．24. 如图，已知：是的角平分线，是的高，，，则的度数为．25. 若的三个内角满足，则这个三角形是三角形．26. 过边形的一个顶点可作条对角线，可将边形分成个三角形．27. 一个三角形的两条边长分别为和，且第三条边长为偶数，则第三条边长是．28. 已知一个等腰三角形两边分别为和，则第三边长是．29. 等腰三角形的两边长分别是和，则周长是30. 如图，有一圆柱，其高为，它的底面半径为，在圆柱下底面处有一只蚂蚁，它想得到上面处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为．（取）三、解答题（共5小题；共50分）31. 一个多边形的内角和是它的外角和的倍，求这个多边形的边数．32. （1）下列图形中具有稳定性的是；（只填图形序号）（2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．33. 如图，是等腰三角形，，请你作一条直线将分成两个全等的三角形，并证明这两个三角形全等．34. 把多边形的某些边向两方延长，其他各边若不全在延长所得直线的同侧，则把这样的多边形叫做凹多边形，如图（）四边形中，作的延长线，则边，分别在直线的两侧，所以四边形就是一个凹四边形，我们来简单研究凹多边形的边和角的性质．（1）请你画一个凹五边形；（2）如图②，在凹六边形中，探索与，，，，之间的关系；（3）如图①，在凹四边形中，证明．35. 如图，已知中，，，是边上的高，是的平分线，求的度数．答案第一部分1. D2. A3. A4. C 【解析】设这个多边形的每个外角为，则每个内角为，则，解得，所以多边形边数为．5. A【解析】在中，，，，在与中，，，，，故，在四边形中，，．6. C7. B 【解析】设第三边长为，则．因为为偶数，所以可以是，，，，共种．8. C9. D10. A11. B12. A 【解析】当腰长为，，时，不能构成三角形，故选A.13. B 【解析】设，则，．根据三角形的三边关系，得，解得所以 .14. A 【解析】由题意可得，而，所以，所以．15. B【解析】在中，，，，，，是的一个外角，．16. C17. B18. B19. C20. D第二部分21.22. 两点之间线段最短23.24.25. 直角26. ，27. 或28.29. 或30.【解析】最短距离为的长．由题意得，，．由勾股定理，得．第三部分31. 设这个多边形有条边．由题意得：，解得．故这个多边形的边数是．32. （1）①④⑥（2）如图所示：33. 如图，取中点，作直线，则直线将分成两个全等的三角形，即．理由如下：在和中，．34. （1）如图所示：即为凹五边形．（2）如图，连接，由多边形内角和定理可得：五边形的内角和为：，的内角和为：，故则（3）如图，设与直线的交点为，在中，，中，，故，则．35. 在中，因为，是的平分线，所以．又因为是边上的高，所以，因为在中，，所以．。

A CFED（第6题）（第7题）ABECD（第5题）AB C D E （第4题） A O D B C（第1题）ABFEDC 第十一章 全等三角形第1课时 全等三角形一、选择题1．如图，已知△ABC ≌△DCB ，且AB=DC ，则∠DBC 等于（ ） A ．∠A B ．∠DCB C ．∠ABC D ．∠ACB2．已知△ABC ≌△DEF ，AB=2，AC=4，△DEF 的周长为偶数，则EF 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题3．已知△ABC ≌△DEF ，∠A=50°，∠B=65°，DE=18㎝，则∠F=___°，AB=____㎝． 4．如图，△ABC 绕点A 旋转180°得到△AED ，则DE 与BC 的位置关系是___________，数量关系是___________． 三、解答题5．把△ABC 绕点A 逆时针旋转，边AB 旋转到AD ，得到△ADE ，用符号“≌”表示图中与△ABC 全等的三角形，并写出它们的对应边和对应角．6．如图，把△ABC 沿BC 方向平移，得到△DEF ． 求证：AC ∥DF 。

7．如图，△ACF ≌△ADE ，AD =9，AE =4，求DF 的长．AD B C （第2题） A FE CD B（第3题） A B C （第4题）一、选择题1． 如果△ABC 的三边长分别为3，5，7，△DEF 的三边长分别为3，3x －2，2x －1，若这两个三角形全等，则x 等于（ ）A ．73 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题2．如图，已知AC=DB ，要使△ABC ≌△DCB ，还需知道的一个条件是________．3．已知AC=FD ，BC=ED ，点B ，D ，C ，E 在一条直线上，要利用“SSS”，还需添加条件___________，得△ACB ≌△_______．4．如图△ABC 中，AB=AC ，现想利用证三角形全等证明∠B=∠C ，若证三角形全等所用的公理是SSS 公理，则图中所添加的辅助线应是_____________________． 二、解答题5． 如图，A ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB=FD ，BC =DE ，AE=FC ．求证：△ABC ≌△FDE ．6．如图，AB=AC ，BD=CD ，那么∠B 与∠C 是否相等？为什么？7．如图，AB=AC ，AD = AE ，CD=BE ．求证：∠DAB=∠EAC ．DC EB A （第5题） （第6题） AC D DCE BA （第7题）ABCED（第6题）A C DB E F（第2题） A B E D C（第1题） 一、填空题 1．如图，AB ＝AC ，如果根据“SAS”使△ABE ≌△ACD ，那么需添加条件________________．2．如图，AB ∥CD ，BC ∥AD ，AB=CD ，BE=DF ，图中全等三角形有_____________对． 3．下列命题：①腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；③有两边和一角对应相等的两个三角形全等；④等腰三角形顶角平分线把这个等腰三角形分成两个全等的三角形．其中正确的命题有_____________． 二、解答题4． 已知：如图，C 是AB 的中点，AD ∥CE ，AD=CE ．求证：△ADC ≌△CEB ．5． 如图， A ，C ，D ，B 在同一条直线上，AE=BF ，AD=BC ，AE ∥BF . 求证：FD ∥EC ．6．已知：如图，AC ⊥BD ，BC=CE ，AC=DC ． 求证：∠B+∠D=90°；（第4题） AB CD E DCF BA（第5题）E D CB A（第4题）A B C DOA ECBDAFEDC一、选择题1．下列说法正确的是（ ）A ．有三个角对应相等的两个三角形全等B ．有一个角和两条边对应相等的两个三角形全等C ．有两个角和它们夹边对应相等的两个三角形全等D ．面积相等的两个三角形全等 二、填空题2．如图，∠B ＝∠DEF ，BC ＝EF, 要证△ABC ≌△DEF ， （1）若以“SAS”为依据，还缺条件 ； （2）若以“ASA”为依据，还缺条件 ． 3．如图，在△ABC 中，BD ＝EC ，∠ADB ＝∠AEC ， ∠B ＝∠C ，则∠CAE ＝ ．三、解答题4．已知：如图，AB ∥CD ，OA=OC ．求证：OB=OD5．已知：如图，AC ⊥CE ，AC=CE ，∠ABC=∠CDE=90°，求证：BD=AB+ED6．已知：如图，AB=AD ，BO=DO ，求证：AE=ACOE ADBC （第6题）（第3题）（第5题）（第2题）3421EDCBA AB EDCF（第3题）（第5题）（第6题）（第4题）ADBCo一、选择题1．已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．只有乙D ．只有丙 二、填空题2．如图，已知∠A=∠D ，∠ABC=∠DCB ，AB=6,则DC= ．3．如图，已知∠A=∠C ，BE ∥DF ，若要用“AAS ”证△ABE ≌△CDF ，则还需添加的一个条件是 ．（只要填一个即可）三、解答题4．已知：如图，AB=CD ，AC=BD ，写出图中所有全等三角形， 并注明理由．5．如图，如果AC ＝EF ，那么根据所给的数据信息，图中的两个三角形全等吗？请说明理由．6．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，EC ＝AD ， 求证：AB ＝BEDCB A（第2题）（第3题） （第4题） A B D F C E 一、选择题1．使两个直角三角形全等的条件是（ ）A ．一个锐角对应相等B ．两个锐角对应相等C ．一条边对应相等D 。