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勾股定理逆定理练习题1. 问题描述勾股定理逆定理是指：如果一个三角形的三个边长满足勾股定理的条件，即a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形一定是直角三角形。
现在我们给出一些三角形的边长，请判断它们是否是直角三角形。
2. 题目列表以下是一些勾股定理逆定理练习题，请根据题目中给出的三边长度，判断其是否构成直角三角形。
题目1:三角形ABC，已知边长a=3，b=4，c=5。
是否构成直角三角形？如果是，请说明直角在哪个角上。
题目2:三角形XYZ，已知边长x=7，y=24，z=25。
是否构成直角三角形？如果是，请说明直角在哪个角上。
题目3:三角形PQR，已知边长p=8，q=15，r=12。
是否构成直角三角形？如果是，请说明直角在哪个角上。
题目4:三角形LMN，已知边长l=20，m=21，n=29。
是否构成直角三角形？如果是，请说明直角在哪个角上。
题目5:三角形UVW，已知边长u=5，v=12，w=13。
是否构成直角三角形？如果是，请说明直角在哪个角上。
3. 解题思路根据勾股定理逆定理，我们只需要判断给定的边长是否满足a^2 + b^2 = c^2的条件即可。
如果满足条件，则可判定为直角三角形，否则不是。
4. 题目解答题目1:三角形ABC，已知边长a=3，b=4，c=5。
是否构成直角三角形？是直角在哪个角上？∠C题目2:三角形XYZ，已知边长x=7，y=24，z=25。
是否构成直角三角形？是直角在哪个角上？∠Z题目3:三角形PQR，已知边长p=8，q=15，r=12。
是否构成直角三角形？是直角在哪个角上？∠P题目4:三角形LMN，已知边长l=20，m=21，n=29。
是否构成直角三角形？是直角在哪个角上？∠L题目5:三角形UVW，已知边长u=5，v=12，w=13。
是否构成直角三角形？是直角在哪个角上？∠W5. 总结在解题过程中，我们通过判断给定的三边是否满足勾股定理的条件，即a^2 + b^2 = c^2，来确定是否构成直角三角形。
期中复习专题03勾股定理与逆定理【板块一勾股定理的应用】1、勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m （m ≥3，m 为正整数），则其弦是（结果用含m 的式子表示）．2、已知一个直角三角形的两直角边长分别为4和5，则这个三角形的第三边长是．3．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的第三边长为．4．如果直角三角形的两条边长为1,1-，第三边的长度是．5．在Rt △ABC 中，AC =5，BC =12，则AB 边的长是．6．如图，在数轴上表示1的点为A ，以OA 为边构造正方形AOCB ，以O 为圆心，OB 为半径画圆弧交数轴于点D ，则D 点表示的数为．7．如图，点A 在数轴上所对应的数为3，AB ⊥OA ，且AB ＝2，以原点O 为圆心，以OB 为半径作弧，则弧与数轴的交点C 表示的数为．8．如图，数轴上的点A 表示的数是1-，点B 表示的数是2，CB AB ⊥于点B ，且2BC =，以A 点为圆心，AC 为半径画弧交数轴于点D ，则点D 表示的数是9．如图，在平面直角坐标系中，A （4，0），B （0，3），以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点C ，则点C 坐标为．10．如图，在数轴上C 点表示1，D 点表示﹣1，CA ＝CB ，∠BDC ＝90°，BD ＝1．则点A 所表示的数是．11．如图，阴影部分表示以Rt ABC △的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作1S 和2S ．若1230S S +=，13AB =，则ABC 的周长是12．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A ，B ，C ，D 的面积分别为6，10，4，6，则最大正方形E 的面积是13．如图，阴影部分表示以Rt △ABC 的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S 1和S 2．若S 1＋S 2＝7，AB ＝6，则△ABC 的周长是14．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，以ABC 的三边为边向外作正方形ACDE ，正方形CBGF ，正方形AHIB ，连结EC ，CG ，作CP CG ⊥交HI 于点P ，记正方形ACDE 和正方形AHIB 的面积分别为1S ，2S ，若1144S =，2169S =，则:ACP BCP S S △△等于13．以直角三角形的三边为边长向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A 的面积为．14．如图，直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 、b 的面积分别为5和11，则c 的面积为15．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如右图），∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，从三角板的刻度可知AB ＝20cm ，小聪想知道砌墙砖块的厚度（每块砖的厚度相等），下面为砌墙砖块厚度的平方是（）A ． uu t cm2B ． u tcm2C ． uu t cm2D ． u tcm 216．如图，由单位长度为1的4个小正方形拼成的一个大正方形网格，连接三个小格点，可得ABC ，则AC 边上的高是17．如图，边长为6的等边ABC 中，AD BC ⊥于D 点．(1)求AD 的长；(2)求ABC 的面积．18．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°（1）若AB t ，AC t ，求BC 2（2）若AB ＝4，AC ＝1，求AB 边上高．19．等腰ABC 中，,120AB AC A =∠=︒，若ABC S = BC 的长度为（）A ．B ．C ．D ．20．△ABC 中，AB ＝2AC ，CD 是的边AB 上的高，若AD ＝1， t ，则BC 边的长度是．21．在ABC 中，17,25AB AC ==，BC 边上的高为15，则ABC 的面积是．22．已知92ABC S =，AM 为ABC 的高且3,1AM CM ==，N 为AB 中点，则MN 的长度为．23，求这个三角形的周长。
《勾股定理的逆定理》经典试题一、填空题（每题4分）1．如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是______三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的______．2．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做____________；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的____________．3．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有____________．(填序号) 4．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，①若a2＋b2＞c2，则∠c为____________；②若a2＋b2＝c2，则∠c为____________；③若a2＋b2＜c2，则∠c为____________．5．若△ABC中，(b－a)(b＋a)＝c2，则∠B＝____________；6．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC是______三角形．7．若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以a－2、a、a ＋2为边的三角形的面积为______．8．△ABC的两边a，b分别为5，12，另一边c为奇数，且a＋b＋c是3的倍数，则c应为______，此三角形为______．二、选择题（每题3分）9．以下列数组为三角形的边长：（1）5，12，13；（2）10，12，13；（3）7，24，25；（4）6，8，10，其中能构成直角三角形的有（）A．4组B．3组C．2组D．1组10．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（）11．下列命题中，真命题是（ ） A ．如果三角形三个角的度数比是3：4：5，那么这个三角形是直角三角形B ．如果直角三角形两直角边的长分别为a 和b ，那么斜边的长为a 2+b 2C ．若三角形三边长的比为1：2：3，则这个三角形是直角三角形D ．如果直角三角形两直角边分别为a 和b ，斜边为c ，那么斜边上的高h 的长为ab c12．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A ．若a=b ，则a 2=b 2B ．全等三角形的周长相等C ．若a=0，则ab=0D ．有两边相等的三角形是等腰三角形13．下列线段不能组成直角三角形的是( )．(A)a ＝6，b ＝8，c ＝10(B)3,2,1===c b a (C)43,1,45===c b a (D)6,3,2===c b a14．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．(A)1∶1∶2(B)1∶3∶4 (C)9∶25∶26 (D)25∶144∶16915．已知三角形的三边长为n 、n ＋1、m (其中m 2＝2n ＋1)，则此三角形( )．(A)一定是等边三角形(B)一定是等腰三角形 (C)一定是直角三角形 (D)形状无法确定三．解答题（16、17、18、19、20每题6分21、22、23每题7分）16.如图，△ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求CD 的长．17．已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，求四边形ABCD 的面积．18．已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且CE ＝CB 41，求证：AF ⊥FE ．19．在B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?21．如图所示，四边形ABCD 中，BA ⊥DA ，AB=2，AD=23，CD=3，BC=5，求∠ADC 的度数．20．已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．21．已知a、b、c是△ABC的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断三角形的形状．22．观察下列各式：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262，…，你有没有发现其中的规律?请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．23．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？。
勾股定理课时练（1）1。
在直角三角形ABC 中，斜边AB=1，则AB 222AC BC ++的值是( ）A 。
2 B.4 C 。
6 D 。
82.有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10 cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是______ cm （结果不取近似值）.3。
直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为_______．4.一根旗杆于离地面12m 处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面,旗杆顶落于离旗杆地步16m ，旗杆在断裂之前高多少m ?5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米.6。
飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?7。
如图所示，无盖玻璃容器，高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点C 处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm 的F 处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度。
8。
一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm ，AB=4cm ，BD=12cm 。
求CD 的长。
第5题图 第7题图 第8题图9。
如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2，CD=3，求AB 的长.10. 如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家。
他要完成这件事情所走的最短路程是多少？11如图,某会展中心在会展期间准备将高5m ,长13m ，宽2m 的楼道上铺地毯，已知地毯平方米18元,请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8:00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00,甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？第9题图5m 13m 第11题勾股定理的逆定理（2）一、选择题1.下列各组数据中,不能作为直角三角形三边长的是( ）A.9，12，15 B 。
勾股定理及应用 题集一、勾股定理与逆定理A. B. C. D.1.如图所示的一块地，，，，，，这块地的面积为（ ）．【答案】B 【解析】连接，在中，，∴，∵，，，∴是直角三角形，．【标注】【知识点】勾股逆定理的应用2.如图，在四边形中，，，，．求的度数．【答案】．【解析】连接，在中，，，∴，∴，∴，∵，，∴．在中，，∴是直角三角形，即，∵，∴．【标注】【知识点】勾股定理的逆定理【知识点】勾股定理的证明A.尺B.尺C.尺D.尺3.如图，有一个水池，其底面是边长为尺的正方形，一根芦苇生长在它的正中央，高出水面部分的长为尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则这根芦苇的长是（ ）．【答案】C 【解析】苇长尺，则水深尺，∵尺，∴尺，∵中，．∴．【标注】【知识点】勾股定理与实际问题（1）（2）4.如图，一架云梯长米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面米．这个梯子底端离墙有多少米．如果梯子的顶端下滑米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了米吗？【答案】（1）（2）米．不是．【解析】（1）（2）由题意得此时米，米，根据，∴可求米．设滑动后梯子的底端到墙的距离为米，得方程，，解得，所以梯子向后滑动了米．综合得：如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底部在水平方向不是滑米．【标注】【知识点】勾股定理的综合应用A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5.若的三边长，，满足，则是（ ）．【答案】D【解析】∵，∴或．∴或．∴为等腰三角形或直角三角形．【标注】【知识点】勾股逆定理的应用A. B. C. D.6.如图，已知在中，，分别以、为直径作半圆，面积分别记为、，则等于（ ）．【答案】A【解析】由勾股定理可知：．，，∴．【标注】【知识点】勾股定理与几何问题（1）（2）7.下表中给出的每行三个数、、满足，根据表中已有的数的规律填空：当时， ， ．用含字母的代数式分别表示、，，．【答案】（1）（2）;; 【解析】（1）（2）∵，∴，．∵，，；，，；，，；∴，．【标注】【知识点】勾股树（1）（2）（3）8.若一个直角三角形的两条直角边长为、，斜边为，斜边上的高为．求证：．．以、、为边构成的三角形是直角三角形．【答案】（1）（2）（3）证明见解析证明见解析证明见解析【解析】（1）（2）（3）∵，，∴，代入得，∴．由，，则，∴，即，∴略【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用二、勾股定理的方程思想1.如图，已知等腰的底边，是腰上一点，且，，求的周长．【答案】．【解析】由勾股定理逆定理得，是直角三角形．在中，应用勾股定理，设，代入数值得，.所以的周长=．【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用2.如图，在中，，平分，，，求的长．【答案】．【解析】过作，∵平分，∴，∵，∴由勾股定理得，设，则，在由勾股定理得：，解得，∴．【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用（1）（2）3.如图，在中，，，，的平分线与相交于点，过点作，垂足为．求的长．求的长．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）∵平分，，，∴，在和中，（2），∴≌，∴．∵，，，∴在中，，∴，．设，则，，在中，，，解得，∴．【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用4.如图，在中，，，，求边上的高．【答案】．【解析】设为，则，∵为的高，∴在中，，在中，，∴．即，解得：．∴．∴在中，．【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用（1）（2）5.如图，在中，，，，点为边上的动点，点从点出发，沿边往运动，当运动到点时停止，设点运动的时间为秒，速度为每秒个单位长度．若是直角三角形，求的值．若是等腰三角形，求的值．【答案】（1）（2）或．，或．【解析】（1）（2）当时，是直角三角形，，，故．∵，∴，即，，．当时，是直角三角形，此时与重合，∴，，综上所述，或．当时，即，解得，当时，取中点，连接．∵，∴，∴，∴，∴，即．当时，过点作于点．∵，，，∴，在中，，即，综上所述，的值为，或．【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用6.如图，是一张直角三角形纸片，，两直角边、，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为 ．【答案】【解析】依题可知≌，∴．设，则，在中，，，∴，解得，，∴．【标注】【知识点】翻折问题与勾股定理7.如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在斜边上，与点重合，为折痕，则 ．【答案】 或【解析】在中，，∵将折叠得到，∴，，∴．设，则．在中，，∴，解得．∴．【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用A. B. C. D.8.如图，在矩形中，，，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则线段的长为（ ）．【答案】A【解析】设，则，∵四边形为矩形，∴，，，∴，由题意得：，∴，∴，由勾股定理得，即，解得：，∴，∴．【标注】【知识点】其它翻折问题9.如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，的长为 ．【答案】或【解析】当为直角三角形时，有两种情况：图图①当点落在矩形内部时，如答图所示．连接，在中，，，，沿折叠，使点落在点处，，当为直角三角形时，只能得到，点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，，，，设，则，，在中，，，解得，；②当点落在边上时，如答图所示．此时为正方形，．综上所述，的长为或．故答案为：或．【标注】【知识点】四边形与折叠问题三、勾股定理与最短路径问题A. B. C. D.1.如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（ ）．【答案】B【解析】将长方体展开，连接、，根据两点之间线段最短，（）如图，，，由勾股定理得：．（）如图，，，由勾股定理得，．（）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：∵长方体的宽为，高为，点离点的距离是，∴，，在直角三角形中，根据勾股定理得：∴．由于，故最短距离为．【标注】【知识点】勾股定理与展开图最短路径问题2.如图所示，无盖玻璃容器，高，底面周长为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口的处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度．【答案】最短路线长为．【解析】如下图可知，最短路线的长度为线段的长度，作于，则，，∵底面周长为，∴，∴．∴最短路线长为．【标注】【知识点】勾股定理与展开图最短路径问题。
一、选择题1．如图：在△ABC 中，∠B=45°，D 是AB 边上一点，连接CD ，过A 作AF ⊥CD 交CD 于G ，交BC 于点F ．已知AC=CD ，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（ ）①∠ACD=2∠FAB ②27ACD S ∆= ③272CF=- ④ AC=AF A ．①②③ B ．①②③④ C ．②③④ D ．①③④2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若（a ＋b ）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．如果正整数a 、b 、c 满足等式222+=a b c ，那么正整数a 、b 、c 叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x y +的值为（ ）A ．47B ．62C ．79D ．984．如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…按照此规律继续下去，则S 2016的值为（ ）A．（22）2013B．（22）2014C．（12）2013D．（12）20145．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，D为BC边上的一点，现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm6．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30,40,60B．7,12,13C．6,8,10D．3,4,67．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．245B．5 C．6 D．88．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，2，5，分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（）A．②B．①②C．①③D．②③9．如图，点A和点B在数轴上对应的数分别是4和2，分别以点A和点B为圆心，线段AB的长度为半径画弧，在数轴的上方交于点C．再以原点O为圆心，OC为半径画弧，与数轴的正半轴交于点M，则点M对应的数为（）A ．3．5B ．23C ．13D ．36210．已知三角形的两边分别为3、4，要使该三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ）A ．5B ．7C ．5或7D ．3或4二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上，且OA 1=A 1A 2=1，以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3，以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 3A 4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA 2018A 2019，则点A 2019的坐标为________．12．如图，RT ABC ，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则B FC '△的面积为______．13．如图，在四边形ABCD 中，22AD =，3CD =，45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=︒，则BD 的长为__________．14．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．15．如图，长方形ABCD 中，∠A =∠ABC =∠BCD =∠D =90°，AB =CD =6，AD =BC =10，点E 为射线AD 上的一个动点，若△ABE 与△A ′BE 关于直线BE 对称，当△A ′BC 为直角三角形时，AE 的长为______．16．如图，长方体纸箱的长、宽、高分别为50cm 、30cm 、60cm ，一只蚂蚁从点A 处沿着纸箱的表面爬到点B 处.蚂蚁爬行的最短路程为_______cm.17．一块直角三角形绿地，两直角边长分别为3m ，4m ，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长长为3m 的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为____m 2．18．已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式2222()0c a b a b --+-=，则△ABC 的形状为___________19．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，2AC BC ==，D 为BC 边上一动点，作如图所示的AED ∆使得AE AD =，且45EAD ∠=，连接EC ，则EC 的最小值为__________．20．如图的实线部分是由Rt ABC ∆经过两次折叠得到的.首先将Rt ABC ∆沿高CH 折叠，使点B 落在斜边上的点B '处，再沿CM 折叠，使点A 落在CB '的延长线上的点A '处.若图中90ACB ∠=︒，15cm BC =，20cm AC =，则MB '的长为______.三、解答题△中，∠ACB = ∠DCE=90°．21．如图，在两个等腰直角ABC和CDE（1）观察猜想：如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是，位置关系是；△绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？（2）探究证明：把CDE说明理由；△绕点C在平面内自由旋转，若AC = BC=10，DE=12，当A、E、（3）拓展延伸：把CDED三点在直线上时，请直接写出 AD的长．22．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE．（1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝度；（2）若∠AED＝a，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（3）如图2，过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，求证：EH2+CH2＝2AE2．23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm 的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．24．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k . （1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？（2）已知ABC 为优三角形，AB c =，AC b =，BC a =，①如图1，若90ACB ∠=︒，b a ≥，6b =，求a 的值.②如图2，若c b a ≥≥，求优比k 的取值范围.（3）已知ABC 是优三角形，且120ABC ∠=︒，4BC =，求ABC 的面积.25．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可. 请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.26．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合．(1)若∠A ＝35°，则∠CBD 的度数为________；(2)若AC ＝8，BC ＝6，求AD 的长；(3)当AB ＝m(m>0)，△ABC 的面积为m ＋1时，求△BCD 的周长．(用含m 的代数式表示)27．已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过顶点A 作射线AP .（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.①试证明ABD ∆是直角三角形；②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.28．如图，己知Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，ED 为AB 垂直平分线，且23DE =，连接DB ，DA .（1）直接写出BC =__________，AC =__________；（2）求证：ABD ∆是等边三角形；（3）如图，连接CD ，作BF CD ⊥，垂足为点F ，直接写出BF 的长；（4）P 是直线AC 上的一点，且13CP AC =，连接PE ，直接写出PE 的长. 29．如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AC ，BC 上的点，且满足DE ⊥EF ，垂足为点E ，连接DF ．（1）求∠EDF= （填度数）；（2）延长DE 交AB 于点G ，连接FG ，如图2，猜想AG ，GF ，FC 三者的数量关系，并给出证明；（3）①若AB=6，G 是AB 的中点，求△BFG 的面积；②设AG=a ，CF=b ，△BFG 的面积记为S ，试确定S 与a ，b 的关系，并说明理由．30．已知，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证：四边形AFCE 为菱形．（2）如图1，求AF 的长．（3）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，点P 的速度为每秒1cm ，设运动时间为t 秒．①问在运动的过程中，以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t 和点Q 的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q 的速度为每秒0.8cm ，当A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据等腰三角形的性质得到1802ACD CDA ∠=︒-∠，根据AF CD ⊥得到90FAB CDA ∠=︒-∠，可以证得①是正确的，利用勾股定理求出AG 的长，算出三角形ACD 的面积证明②是正确的，再根据角度之间的关系证明AFC ACF ∠=∠，得到④是正确的，最后利用勾股定理求出CF 的长，得到③是正确的．【详解】解：如图，过点C 作CH AB ⊥于点H ，∵AC CD =，∴CAD CDA ∠=∠，1802ACD CDA ∠=︒-∠，∵AF CD ⊥，∴90AGD ∠=︒，∴90FAB CDA ∠=︒-∠，∴2ACD FAB ∠=∠，故①正确；∵3CG =，1DG =，∴314CD CG DG =+=+=，∴4AC CD ==，在Rt ACG 中，221697AG AC CG =--=， ∴1272ACD S AG CD =⋅= ∵90CHB ∠=︒，45B ∠=︒，∴45HCB ∠=︒，∵AC CD =，CH AD ⊥， ∴12ACH HCD ACD ∠=∠=∠， ∵45AFC B FAB FAB ∠=∠+∠=︒+∠，45ACF ACH HCB ACH ∠=∠+∠=∠+︒，12ACH ACD FAB ∠=∠=∠， ∴AFC ACF ∠=∠，∴4AC AF ==，故④正确； ∴47GF AF AG =-=-在Rt CGF 中，()2222347272CF CG GF =+=+-=，故③正确．故选：B ．【点睛】本题考查几何的综合证明，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定，勾股定理和三角形的外角和定理．2．C解析：C【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知2()a b + =21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。
一、选择题1.在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是( )A．2√2B．√5C．3√5D．√1022.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为( )A．5B．6C．8D．103.已知Rt△ABC中，∠C=90∘，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是( )A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm24.下列各组数中，以a，b，c为边长的三角形不是直角三角形的是( )A．a=3，b=4，c=5B．a=5，b=12，c=13，b=2，c=3．C．a=1，b=2，c=√5D．a=325.如图，某吊灯的内部是一个底面直径为40厘米，高为15厘米的圆柱，吊绳AB，CD的长度都为25厘米，AC是灯座底盘的直径，BD是圆柱的上表面直径，若AC=10厘米，则该底盘的圆心O到圆柱的下表面圆心Oʹ的距离为( )A．30厘米B．33厘米C．35厘米D．37厘米6.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( )A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米7.如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG=GE，AF=3，BF=2，△ADG 的面积为2，则点F到BC的距离为( )A．√55B．2√55C．4√55D．4√338.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是( )A．B．C．D．9.如图，四边形ABCD中，AB=4 cm，BC=3 cm，CD=12 cm，DA=13 cm，且∠ABC=90∘，则四边形ABCD的面积为( )A．6 cm2B．30 cm2C．24 cm2D．36 cm210.折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在边BC的点F处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长为( )A．3B．4C．√3D．5二、填空题11.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△AʹMN，连接AʹC．在MN上存在一动点P．连接AʹP，CP，则△AʹPC周长的最小值是．12.已知Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=BC，直线m经过点C，分别过点A，B作直线m的垂线，垂足分别为点E，F，若AE=3，AC=5，则线段EF的长为．13.等腰直角三角形ABC中，AB=AC，则AB:BC=．14.如图，在四边形ABCD中，AD=2√2，AB=12，BC=13，CD=√17，∠ADC=90∘，那么四边形ABCD的面积=．15.如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则三角形为三角形．16.如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=2BC=2，在AC上截取CD=CB．在AB上截取AP=AD，则AP=．17.Rt△ABC中，∠C=90∘，两直角边分别是a和b，斜边是c，若a=6，b=8，则c=．三、解答题18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=6，AB=10，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E．求CE的长．19.如图，在长方形ABCD中，AB=CD=24，AD=BC=50，E是AD上一点，且AE:DE=9:16，判断△BEC的形状，并说明理由．20.在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90∘到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B．(1) 求高台A比矮台B高多少米？(2) 求旗杆的高度OM；(3) 求玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．21.我们学习了勾股定理后，都知道"勾三、股四、弦五"．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；……，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．(1) 请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；(2) 若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．22.在△ABC中，AB=AC=4，点P在BC边上运动：猜想AP2+PB⋅PC的值是否随点P位置的变化而变化，并证明你的猜想．23.中国的拱桥始建于东汉中后期，已有一千八百余年的历史，如图，一座拱桥在水面上方部分是AB，拱桥在水面上的跨度AB为8米，拱桥AB与水面的最大距离为3米．(1) 用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心O；(2) 求拱桥AB所在圆的半径．24.一个直角三角形的两边长分别为3和4，求第三边长．25.阅读材料，回答问题：(1) 中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C=90∘，BC=a，AC=b，AB=c，那么a，b，c三者之间的数量关系是．(2) 对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：证明：∵S△ABC=12ab，S正方形ABDE=c2，S正方形MNPQ=，且=，∴(a+b)2=4×12ab+c2，整理得a2+2ab+b2=2ab+c2，∴．(3) 如图3，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB=4，BC=8，求BE的长．答案一、选择题1. 【答案】D【解析】方法一：如图，经过P，Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分，由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD，∴AM=PB，∴PM=AB，∴PM=√32+12=√10，∴AB=√10，故选：D．方法二：如图，EF为剪痕，过点F作FC⊥EM于点G．∵EF将该图形分成了面积相等的两部分，∴EF经过正方形ABCD对角线的交点，∴AF=CN，BF=DN，易证△PME≌△PDN，∴EM=DN，而AF=MG，∴EG=EM+MG=DN+AF=DN+CN=DC=1，在Rt△FGE中，EF=√GF2+EG2=√32+12=√10．【知识点】勾股定理2. 【答案】C【解析】∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD∵AB=5，AD=3，∴BD=√AB2−AD2=4，∴BC=2BD=8．【知识点】角平分线的性质、勾股定理3. 【答案】A【解析】∵a+b=14，∴(a+b)2=196，∴2ab =196−(a 2+b 2)=96， ∴12ab =24．【知识点】勾股定理4. 【答案】D【解析】A ．∵32+42=52，∴ 以 a =3，b =4，c =5 为边的三角形是直角三角形； B ．∵52+122=132，∴ 以 a =5，b =12，c =13 为边的三角形是直角三角形； C ．∵12+22=(√5)2，∴ 以 a =1，b =2，c =√5 为边的三角形是直角三角形； D ．∵(32)2+22≠32，∴ 以 a =32，b =2，c =3 为边的三角形不是直角三角形． 【知识点】勾股逆定理5. 【答案】C【知识点】勾股定理的实际应用6. 【答案】C【解析】由题意得 AʹB =AB ． 在 Rt △ACB 中，∵∠ACB =90∘，BC =0.7 米，AC =2.4 米， ∴AB 2=0.72+2.42=6.25． 在 Rt △AʹBD 中，∵∠AʹDB =90∘，AʹD =2 米， ∴BD 2+AʹD 2=AʹB 2， ∴BD 2+22=6.25， ∴BD 2=2.25， ∵BD >0， ∴BD =1.5 米，∴CD =BC +BD =0.7+1.5=2.2（米）． 故选C ．【知识点】勾股定理的实际应用7. 【答案】B【知识点】勾股定理之折叠问题、三角形的面积8. 【答案】C【解析】A、72+242=252，152+202≠242，222+202≠252，故A不正确；B、72+242=252，152+202≠242，故B不正确；C、72+242=252，152+202=252，故C正确；D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正确．故选：C．【知识点】勾股逆定理9. 【答案】C【解析】连接AC．∵∠ABC=90∘，AB=4 cm，BC=3 cm，∴AC=5 cm，∵CD=12 cm，DA=13 cm，AC2+CD2=52+122=169=132=DA2，∴△ADC为直角三角形，∴S四边形ABCD=S△ACD−S△ABC=12AC×CD−12AB×BC=12×5×12−12×4×3=30−6=24( cm2).故四边形ABCD的面积为24 cm2．【知识点】勾股逆定理10. 【答案】A【解析】设EC的长为x cm，∴DE=(8−x)cm．∵△ADE折叠后的图形是△AFE，∴AD=AF，∠D=∠AFE，DE=EF．∵AD=BC=10cm，∴AF=AD=10cm．又∵AB=8cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2=AF2，∴82+BF2=102，∴BF=6cm．∴FC=BC−BF=10−6=4cm．在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2=EF2，∴42+x 2=(8−x )2，， 即 16+x 2=64−16x +x 2， 化简，得 16x =48． ∴x =3．故 EC 的长为 3 cm ．【知识点】勾股定理之折叠问题二、填空题11. 【答案】 32√17−32+3√5【解析】分两步： ①连接 AP ， 则 AP =APʹ，∴△AʹPC 周长 =AʹP +PC +AʹC =AP +PC +AʹC ， ∵AP +PC >AC ，当 A ，P ，C 三点共线时，AP +PC 有最小值，是 AC 的长， ∴AC 与 MN 的交点就是点 P ， 由勾股定理得：AC =√32+62=3√5， ②连接 CM ， ∵AʹC >CM −AʹM ，∴ 当 M ，Aʹ，C 三点共线时，AʹC 有最小值， 此时，∵M 是 AD 的中点， ∴AM =DM =1.5，∴MC =√62+(32)2=32√17， 由折叠得：AM =AʹM =1.5，∴AʹC =MC −AʹM =3=32√17−1.5，∴△AʹPC 周长的最小值是：32√17−32+3√5．【知识点】勾股定理之折叠问题、勾股定理、三角形的三边关系12. 【答案】 1 或 7【解析】分两种情况：①如图 1 所示： ∵∠ACB =90∘，∴∠1+∠2=90∘，∵BF⊥m，∴∠BFC=90∘，∴∠2+∠3=90∘，∴∠1=∠3，∵AE⊥m，∴∠AEC=90∘，∴CE=√AC2−AE2=√52−32=4，在△BCF和△CAE中，{∠3=∠1,∠BFC=∠AEC=90∘, BC=AC,∴△BCF≌△CAE(AAS)，∴CF=AE=3，∴EF=CE−CF=4−3=1．②如图2所示：∵△ACB=90∘，∴∠1+∠2=90∘，∵BF⊥m，∴∠BFC=90∘，∴∠2+∠3=90∘，∴∠1=∠3，∵AE⊥m，∴∠AEC=90∘，∴CE=√AC2−AE2=√52−32=4，在△BCF和△CAE中，{∠3=∠1,∠BFC=∠AEC=90∘, BC=AC,∴△BCF≌△CAE(AAS)，∴CF=AE=3，∴EF=CE+CF=4+3=7．综上所述：线段EF的长为：1或7．故答案为：1或7．【知识点】勾股定理13. 【答案】√22【知识点】勾股定理14. 【答案】30+√34【知识点】勾股逆定理15. 【答案】直角【解析】∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，∴a2+b2+c2−6a−8b−10c+50=0，即a2−6a+9+b2−8b+16+c2−10c+25=0，∴(a−3)2+(b−4)2+(c−5)2=0，∴a=3，b=4，c=5，∵a2+b2=c2，∴三角形为直角三角形．【知识点】勾股逆定理16. 【答案】√5−1【解析】在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=√5，∵AB=2BC=2，AP=AD，CD=CB，∴CD=1，∴AD=√5−1，∴AP=AD=√5−1．【知识点】勾股定理17. 【答案】10【知识点】勾股定理三、解答题18. 【答案】在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，∴BC =√AB 2−AC 2=√102−62=8，∵DE 垂直平分 AB ，分别交 AB ，BC 于点 D ，E ，∴AE =BE ；设 CE =x ，则 AE =BE =8−x ，在 Rt △ACE 中，∠C =90∘，∴CE 2+AC 2=AE 2，即 x 2+62=(8−x )2，解得 x =74，即 CE =74．【知识点】勾股定理、垂直平分线的性质19. 【答案】 ∵AE:DE =9:16，AD =50，∴AE =18，DE =32，在 Rt △ABE 中，AB =24，AE =18，∴BE =√242+182=30，在 Rt △DEC 中，CD =24，DE =32，∴CE =√242+322=40，∵BE 2+CE 2=BC 2，∴△BEC 是直角三角形．【知识点】勾股逆定理20. 【答案】(1) 10−3=7（米）(2) 如图，作 AE ⊥OM ，BF ⊥OM ，∵∠AOE +∠BOF =∠BOF +∠OBF =90∘，∴∠AOE =∠OBF ．在 △AOE 和 △OBF 中，{∠OEA =∠BFO,∠AOE =∠OBF,AO =OB,∴△AOE ≌△OBF (AAS )，∴OE =BF ，AE =OF ，即 OE +OF =AE +BF =CD =17 m ．∵EF =EM −FM =AC −BD =10−3=7(m )，∴2EO +EF =17，则 2EO =10，所以 OE =5 m ，OF =12 m ，所以 OM =OF +FM =15 m ．(3) 由勾股定理得 OB =OA =ON =13，∴MN =15−13=2(m )．玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度 MN 为 2 米．【知识点】角角边、勾股定理的实际应用21. 【答案】(1) 11，60，61(2) 后两个数表示为n 2−12和n 2+12． ∵n 2+(n 2−12)2=n 2+n 4−2n 2+14=n 4+2n 2+14， (n 2+12)2=n 4+2n 2+14， ∴n 2+(n 2−12)2=(n 2+12)2． ∵n ≥3，且 n 为奇数，∴ 由 n ，n 2−12，n 2+12 三个数组成的数是勾股数． 【解析】(1) 下一个勾为 11，根据所提供的例子发现股是勾的平方减去 1 的二分之一，弦是勾的平方加 1 的二分之一． 所以勾股数为 11，60，61 ．(2) 根据所提供的例子发现股是勾的平方减去 1 的二分之一，弦是勾的平方加 1 的二分之一． 所以后两个数为 n 2−12和n 2+12．【知识点】勾股定理22. 【答案】 AP 2+PB ⋅PC 的值不会随点 P 位置的变化而变化．理由：如图，过点 A 作 AH ⊥BC 于点 H ．AP 2+PB ⋅PC =AH 2+PH 2+(BH −PH )(CH +PH )=AH 2+PH 2+BH 2−PH 2=AH 2+BH 2=AB 2=16, 即 AP 2+PB ⋅PC =16，16 是定值，∴ AP 2+PB ⋅PC 的值不会随点 P 位置的变化而变化．【知识点】勾股定理23. 【答案】(1) 如图所示，点 O 即为所求；(2) 如图，取 AB⏜ 的中点 D ，连接 OD 交 AB 于点 E ，连接 OA ， 则 OD ⊥AB ，且 AE =EB =4，由题意得，DE =3，设圆的半径为r，在Rt△AEO中，AE2+EO2=OA2，即42+(r−3)2=r2，．解得r=256即拱桥AB所在圆的半径为25．6【知识点】垂径定理的应用、勾股定理、作圆24. 【答案】5或√7【知识点】勾股定理25. 【答案】(1) a2+b2=c2；4S△ABC+S正方形ABDE；a2+b2=c2(2) (a+b)2；S正方形MNPQ(3) ∵矩形ABCD折叠后点C与点A重合，∴AE=CE．设AE=x，则BE=8−x．在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2+BE2=AE2，即42+(8−x)2=x2，解得x=5，∴BE=8−5=3．【知识点】勾股定理、勾股定理之折叠问题。
一、选择题1. 如图，AB ，BC ，CD ，DE 是四根长度均为 5 cm 的火柴棒，点 A 、 C 、 E 共线．若 AC =6 cm ，CD ⊥BC ，则线段 CE 的长度是 ( )A ． 6 cmB ． 7 cmC ． 6√2 cmD ． 8 cm2. 在下列长度的各组线段中，不能组成直角三角形的是 ( )A ． 1，√3，√5B ． √3，√6，3C ． 10，8，6D ． 7，24，253. 如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面 3 尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为 6 尺，则水深 ( )A ． 3.5 尺B ． 4 尺C ． 4.5 尺D ． 5 尺4. 正方形 ABCD 的边长为 1，其面积记为 S 1，以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为 S 2，⋯ 按此规律继续下去，则 S 2019 的值为 ( )A ． (12)2019B ． (12)2018C ．(√22)2019 D ．(√22)20185. 如图，将长方形 ABCD 沿 EF 折叠，使顶点 C 恰好落在 AB 边的中点 C ´ 上，若 AB =6，BC =9，则 BF 的长为 ( )A．4B．3√2C．4.5D．56.如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分的面积为( )A．6B．12C．6πD．12π7.如图，反比例函数y=kx(k>0)的图象与矩形AOBC的边AC，BC分别相交于点E，F，点C的坐标为(8,6)，将△CEF沿EF翻折，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为( )A．214B．6C．12D．2128.如图，将一根长为8cm(AB=8cm)的橡皮筋水平放置在桌面上，固定两端A和B，然后把中点C竖直地向上拉升3cm至D点，则拉长后橡皮筋的长度为( )A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm9.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )A．20B．25C．30D．3210.如图，圆锥的底面半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是( )A．8B．10√2C．15√2D．20√2二、填空题11.若等腰直角三角形斜边长为2，则它的直角边长为．12.定义：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，如果Rt△ABC是奇异三角形，那么a:b:c=．13.如图所示的网格是正方形网格，则∠CBD+∠ABC=∘（点A，B，C，D是网格线交点）．14.在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为．15.如图，圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径r=2．若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是．（结果保留根式）16.如图，在Rt△ACB中，∠C=90∘，BC=4，AB=5，BD平分∠ABC交AC于点D，则AD=．17.已知正方形ABCD边长为4，点P为其所在平面内一点，PD=√5，∠BPD=90∘，则点A到BP的距离等于．三、解答题18.阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？(1) 【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，从而得数学等式：（用含字母a，b，c的式子表示）；化简证得勾股定理：a2+b2=c2．(2) 【初步运用】（1）如图1，若b=2a，则小正方形面积∶大正方形面积=；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a=4，b=6，此时空白部分的面积为．(3) 【迁移运用】如果用三张含60∘的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60∘的三角形三边a，b，c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．知识补充：如图4，含60∘的直角三角形，对边y∶斜边x=定值k．19.在如图所示的4×4方格中，每个小方格的边长都为1．(1) 在图（1）中画出长度为√17的线段，要求线段的端点在格点上．(2) 在图（2）中画出一个三条边长分别为3，2√2，√5的三角形，使它的端点都在格点上．20.如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，DE是BC的垂直平分线，DE分别交BC，AB于点D，E．(1) 求证：△ABC为直角三角形；(2) 求AE的长．21.在如图所示的4×4的方格中，每个小正方格的边长都为1．(1) 在图中画△ABC，使AB=2√2，BC=3，AC=√5；(2) 作出AC边上的高线BH，并求BH的长．22.在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=a，AC=b，AB=c．将Rt△ABC绕点O依次旋转90∘，180∘和270∘，构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．(1) 请利用这个图形证明勾股定理；(2) 请利用这个图形说明a2+b2≥2ab，并说明等号成立的条件；(3) 请根据（2）的结论解决下面的问题：长为x，宽为y的长方形，其周长为8，求当x，y取何值时，该长方形的面积最大？最大面积是多少？23.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h．一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到点C处，有一车速检测仪在路对面的30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离变为50m．这辆小汽车超速了吗？24.如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，BC=10cm，AB=8cm，求：(1) FC的长；(2) EF的长.25.阅读材料，回答问题：(1) 中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C=90∘，BC=a，AC=b，AB=c，那么a，b，c三者之间的数量关系是．(2) 对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：证明：∵S△ABC=12ab，S正方形ABDE=c2，S正方形MNPQ=，且=，∴(a+b)2=4×12ab+c2，整理得a2+2ab+b2=2ab+c2，∴．(3) 如图3，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB=4，BC=8，求BE的长．答案一、选择题1. 【答案】D【解析】由题意知，AB=BC=CD=DE=5cm，AC=6cm，过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，则∠BMC=∠CND=90∘，AM=CM=12AC=12×6=3，CN=EN，∵CD⊥BC，∴∠BCD=90∘，∴∠BCM+∠CBM=∠BCM+∠DCN=90∘，∴∠CBM=∠DCN，在△BCM和△CDN中，{∠CBM=∠DCN,∠BMC=∠CND, BC=DC,∴△BCM=△CDN(AAS)，∴BM=CN，在Rt△BCM中，∵BC=5，CM=3，∴BM=√BC2−CM2=√52−32=4，∴CN=4，∴CE=2CN=2×4=8．【知识点】等腰三角形“三线合一”、勾股定理2. 【答案】A【知识点】勾股逆定理3. 【答案】C【解析】如答图，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，即AC为红莲的长．设水深 ℎ 尺，由题意得在 Rt △ABC 中，AB =ℎ，AC =ℎ+3，BC =6， 由勾股定理得 AC 2=AB 2+BC 2， 即 (ℎ+3)2=ℎ2+62，解得 ℎ=4.5．【知识点】勾股定理的实际应用4. 【答案】B【解析】在图中标上字母 E ，如图所示．∵ 正方形 ABCD 的边长为 1，△CDE 为等腰直角三角形， ∴DE 2+CE 2=CD 2，DE =CE ， ∴S 2+S 2=S 1．观察，发现规律：S 1=12=1，S 2=12S 1=12，S 3=12S 2=14，S 4=12S 3=18，⋯， ∴S n =(12)n−1，当 n =2019 时，S 2019=(12)2019−1=(12)2018，故选：B ．【知识点】勾股定理、用代数式表示规律5. 【答案】A【知识点】勾股定理之折叠问题6. 【答案】A【解析】 ∵△ABC 是直角三角形，AC =3，BC =4， ∴AB 2=AC 2+BC 2， ∴AB =5．∵S 阴影=S 半圆BC +S 半圆AC +S △ABC −S 半圆AB=12π×(BC 2)2+12π×(AC 2)2+12AC ⋅BC −12π×(AB 2)2=6.【知识点】勾股定理7. 【答案】D【解析】∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的M点处，∴∠EMF=∠C=90∘，EC=EM，CF=MF，∴∠DME+∠FMB=90∘，而ED⊥OB，∴∠DME+∠DEM=90∘，∴∠DEM=∠FMB，∴Rt△DEM∼Rt△BMF，又∵EC=AC−AE=8−k6，CF=BC−BF=6−k8，∴EM=8−k6，MF=6−k8，∴EMMF =8−k66−k8=43；∴ED:MB=EM:MF=4:3，而ED=6，∴MB=92，在Rt△MBF中，MF2=MB2+BF2，即(6−k8)2=(92)2+(k8)2，解得k=212．【知识点】反比例函数与四边形综合、勾股定理之折叠问题8. 【答案】B【解析】Rt△ACD中，AC=12AB=4cm，CD=3cm，根据勾股定理，得：AD=√AC2+CD2=5cm，同理可得BD=5cm，∴AD+BD=10cm，故拉长后橡皮筋的长度为10cm，故选B．【知识点】勾股定理的实际应用9. 【答案】B【解析】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=√BD2+AD2=√152+202=25；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=√BD2+AD2=√102+252=5√29；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴AC=CD+AD=20+10=30，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：∴AB=√AC2+BC2=√302+52=5√37；∵25<5√29<5√37，∴蚂蚁爬行的最短距离是25．【知识点】勾股定理的实际应用10. 【答案】D【知识点】圆锥的展开图、勾股定理、平面展开-最短路径问题二、填空题11. 【答案】√2【知识点】勾股定理12. 【答案】1:√2:√3【解析】∵Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=c，AC=b，BC=a，∴根据勾股定理得：c2=a2+b2，记作①，又Rt△ABC是奇异三角形，∴2a2=b2+c2, ⋯⋯②将①代入②得：a2=2b2，即a=√2b（不合题意，舍去），∴2b2=a2+c2, ⋯⋯③将①代入③得：b2=2a2，即b=√2a，将b=√2a代入①得：c2=3a2，即c=√3a，则a:b:c=1:√2:√3．【知识点】勾股定理13. 【答案】45【解析】取格点F，连接FB=FD，设网格正方形边长为1，所以BF=√22+32=√13，DF=√22+32=√13，BD=√12+52=√26，所以BF2+DF2=13+13=26，BD2=(√26)2=26所以BF2+DF2=BD2，且BF=DF，所以△BDF是等腰直角三角形，所以∠FBD=45∘，由图可知，∠ABC=∠FBC，所以∠ABC+∠CBD=∠FBC+∠CBD=∠FBD=45∘．【知识点】勾股定理、等腰直角三角形、勾股逆定理14. 【答案】42或32【解析】此题应分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=√152−122=9，在Rt△ACD中，CD=√AC2−AD2=√132−122=5．∴BC=5+9=14，∴△ABC的周长为：15+13+14=42．（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=√152−122=9，在Rt△ACD中，CD=√AC2−AD2=√132−122=5，∴BC=9−5=4，∴△ABC的周长为：15+13+4=32，∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．【知识点】勾股定理15. 【答案】8√2【解析】该圆锥的侧面展开图是一个半径为8，弧长为4π的扇形，如答图所示，所以圆心角∠AOAʹ=90∘，从展开图上可以看出小虫爬行的最短距离应为弦AAʹ的长，由勾股定理可得为8√2．【知识点】平面展开-最短路径问题、勾股定理16. 【答案】53【解析】过D作DE⊥AB，垂足为E，如图所示，∵BD平分∠ABC，∠C=90∘，∴DE=DC，∵BC=4，AB=5，∴AC=√AB2−BC2=√52−42=3，∵S△ABD+S△BCD=S△ABC，∴12AB⋅DE+12BC⋅DC=12BC⋅AC，∴ 12×5⋅DC +12×4⋅DC =12×3×4， 解得，DC =43，∴ AD =AC −CD =3−43=53，故答案为：53．【知识点】勾股定理17. 【答案】3√3+√52或3√3−√52【解析】 ∵ 点 P 满足 PD =√5，∴ 点 P 在以 D 为圆心，√5 为半径的圆上， ∵∠BPD =90∘，∴ 点 P 在以 BD 为直径的圆上， ∴ 如图，点 P 是两圆的交点，若点 P 在 AD 上方，连接 AP ，过点 A 作 AH ⊥BP ， ∵CD =4=BC ，∠BCD =90∘， ∴BD =4√2， ∵∠BPD =90∘，∴BP =√BD 2−PD 2=3√3， ∵∠BPD =90∘=∠BAD ，∴ 点 A ，点 B ，点 D ，点 P 四点共圆， ∴∠APB =∠ADB =45∘，且 AH ⊥BP ， ∴∠HAP =∠APH =45∘， ∴AH =HP ，在 Rt △AHB 中，AB 2=AH 2+BH 2， ∴16=AH 2+(3√3−AH)2， ∴AH =3√3+√52（不合题意），或 AH =3√3−√52， 若点 P 在 CD 的右侧，同理可得 AH =3√3+√52．综上所述：AH=3√3+√52或3√3−√52．【知识点】判断四点共圆的方法、勾股定理三、解答题18. 【答案】(1) (a+b)2=c2+4×12ab(2) 5∶9；28(3) 结论：a2+b2−ab=c2．理由：大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形面积，即12(a+b)×k(a+b)=3×12×b×ka+12×c×ck，∴(a+b)2=3ab+c2，∴a2+b2−ab=c2．【知识点】勾股定理之折叠问题、勾股定理、等边三角形面积公式19. 【答案】(1) 如图（1）所示，线段AB即为所求：(2) 如图（2）所示，△CDE即为三边长分别为3，2√2，√5的三角形．【知识点】勾股定理20. 【答案】(1) 由已知可得AC=3，AB=4，BC=5，∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC为直角三角形．(2) 连接CE，如图，设AE=x，则BE=4−x，∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，在Rt△AEC中，x2+32=(4−x)2，x=78，∴AE长为78．【知识点】垂直平分线的性质、勾股定理、勾股逆定理21. 【答案】(1) 如图所示：△ABC即为所求．(2) S△ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BH，∴12×3×2=12×√5×BH∴BH=6√55．【知识点】一般三角形面积公式、勾股定理22. 【答案】(1) ∵边长为c的正方形面积为c2，它也可以看成是由4个直角三角形与1个边长为(a−b)的小正方形组成的，它的面积为4×12ab+(a–b)2=a2+b2，∴c2=a2+b2．(2) ∵(a−b)2≥0，∴a2+b2−2ab≥0，∴a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．(3) 依题意得2(x+y)=8，∴x+y=4，长方形的面积为xy，由（2）的结论知2xy≤x2+y2=(x+y)2−2xy，∴4xy≤(x+y)2，∴xy≤4，当且仅当x=y=2时，长方形的面积最大，最大面积是4．【知识点】勾股定理、完全平方公式23. 【答案】在Rt△ABC中，BC2=AB2−AC2=502−302=402，所以BC=40m，所以小汽车的速度是40÷2=20(m/s)．即小汽车的速度是72km/h，故小汽车超速了．【知识点】勾股定理的实际应用24. 【答案】(1) 由题意，得AF=AD=10(cm)，在Rt△ABF中，∵AB=8，∴BF=√AF2−AB2=6(cm)，∴FC=BC−BF=10−6=4(cm)．(2) 由题意，得EF=DE，设DE的长为x，则EC=8−x，在Rt△EFC中，由勾股定理，得(8−x)2+42=x2，解得x=5，即EF的长为5cm．【知识点】勾股定理之折叠问题25. 【答案】(1) a2+b2=c2(2) (a+b)2；S；4S△ABC+S正方形ABDE；a2+b2=c2正方形MNPQ(3) ∵矩形ABCD折叠后点C与点A重合，∴AE=CE．设AE=x，则BE=8−x．在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2+BE2=AE2，即42+(8−x)2=x2，解得x=5，∴BE=8−5=3．【知识点】勾股定理、勾股定理之折叠问题。
32520勾股定理评估试卷（1）一、选择题（每小题3分，共30分）1.直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为().（A）30（B）28（C）56（D）不能确定2.直角三角形的斜边比一直角边长2cm，另一直角边长为6cm，则它的斜边长（A）4cm（B）8cm（C）10cm（D）12cm3.已知一个△Rt的两边长分别为和4，则第三边长的平方是（）（A）25（B）14（C）7（D）7或254.等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为()（A）13（B）8（C）25（D）645.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）7242524202425207242015715 (A)7(B)1515(C)25(D)6.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是()（A）钝角三角形（B）锐角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形. 7.如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是()（A）25（B）12.5（C）9（D）8.5D8.三角形的三边长为(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是()（A）等边三角形（B）钝角三角形A C（C）直角三角形（D）锐角三角形.B9△.ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金（）.（A）50a元（B）600a元（C）1200a元（D）1500a元10.如图，A B⊥CD于△B，ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC的长为（）.B .（A ）12（B ）7 （C ）5 （D ）13AEDC 5 米 3 米B（第 10 题）（第 11 题） （第 14 题）二、填空题（每小题 3 分，24 分）11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.12. 在直角三角形 ABC 中，斜边 AB =2，则 AB 2 + AC 2 + BC 2 =______.13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .14. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边 AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________.AEB（第 15 题）（第 16 题） （第 17 题）15. 如图，校园内有两棵树，相距 12 米，一棵树高 13 米，另一棵树高 8 米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.16. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AB 垂直平分线交 BC 于 DDC若 BC =8，AD =5，则 AC 等于______________.C17. 如图，四边形 ABCD 是正方形， AE 垂直于 BE ，且BDAE =3， BE =4，阴影部分的面积是______.A第18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为 7cm,则正方形 A ， ，C ，D 的面积之和为___________cm 27cm18 题 图三、解答题（每小题8分，共40分）19.11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？20.如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.21.如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？BALC D第21题图22.如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。
