勾股定理知识点、经典例题及练习题带答案

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3 ）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角 等于30°。

5.勾股定理的作用:（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3） 用于证明线段平方关系的问题。

（4） 利用勾股定理，作出长为j n 的线段6、2、勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法八下第18章《勾股定理》勾股定理知识点导航一、勾股定理:1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a 2+ b 2= C 2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2+ b 2= c 2,那么这个三角形是直角三角形。

2.勾股数：满足 a 2+ b 2= C 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么 ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。

）* 附：常见勾股数：3,4,5 ; 6,8,10 ; 9,12,15 ; 5,12,13 如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是:（1）确定最大边（不妨设为 C ）； （2）若c 2= 3 +孑，则^ ABC 是以/ C 为直角的三角形;若a 2+ b 2< C 2,则此三角形为钝角三角形（其中若a 2+ b 2> C 2,则此三角形为锐角三角形（其中4. 注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半a ，b ，斜边长为C ，那么3.判断直角三角形: 其他方法：（1） 有一个角为90°的三角形是直角三角形。

勾股定理复习一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。

公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。

2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。

二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积求：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边例如图2，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高，AD＝8，则边BC的长为（）A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对【强化训练】：1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为．2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．（结论：直角三角形的两条直角边的积等于斜边与其高的积，ab=ch）考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．考点四:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题例、某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 ．考点五、利用列方程求线段的长（方程思想）１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？【强化训练】：折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC 。

勾股定理一、探索勾股定理【知识点1】勾股定理定理内容：在RT△中，勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键在于确定斜边或直角典型题型1、对勾股定理的理解（1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边长c，则下列关于a,b,c的关系不成立的是（）A、c²- a²=b²B、c²- b²=a²C、a²- c²=b²D、a²+b²= c²（2）在直角三角形中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（）A、BC²- AB²=AC²B、BC²- AC²=AB²C、AB²+AC²= BC²D、AC²+BC²= AB²2、应用勾股定理求边长（3）已知在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长.（4）在直角△中，若两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为．3、利用勾股定理求面积（5）已知以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为25π，16π，求另一个半圆的面积。

（6）如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A的面积为。

（7）如图（2），三角形中未知边x与y的长度分别是x=,y=。

（8）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的长为（）A、6B、8C、10D、12 （9）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S12、、S S S S S S341234、，则+++=_____________。

【知识点2】勾股定理的验证推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。

知识点及例题知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。

（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。

（3）理解勾股定理的一些变式：c2=a2+b2, a2=c2-b2，b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。

图（1）中，所以。

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。

图（2）中，所以。

方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。

在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。

，所以。

知识点三：勾股定理的作用1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3．用于证明平方关系的问题；4．利用勾股定理，作出长为的线段。

2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。

熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。

经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

勾股定理经典例题(含答案)勾股定理经典例题类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°(1)已知a=6， c=10，求b ， (2)已知a=40，b=9，求c ； (3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

举一反三【变式】:如图∠B =∠ACD =90°, AD =13,CD =12, BC =3,则AB 的长是多少?类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC 的长.1、某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ） A 、450a 元 B 、225a 元C 、150a 元D 、300a 元举一反三【变式1】如图，已知：，，于P . 求证：.150°20m30m【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD的面积。

类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

（1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。

【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。

勾股定理：直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。

也就是说，设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a2+b2=c2o勾膻定理勾股数★满足关系a2+b2=c2的3个正整数a,b,c称为勾股数。

★常见的勾股数有：①3,4,5；②6,8,10；③8,15,17:④7,24,25；⑤5,12,13；⑥9,12,15…注意：①3,4,5既是勾股数，又是三个连续整数，它们非常特殊，不要认为三个连续整数都是勾股数；②每组勾股数的相同倍数也是勾股数；（如：3,4,5；6,8,10；9,12,15）③勾股数必须都是正整数，（如：0.3,0.4,0.5都是小数，因而不是勾股数）3米例2、一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树的底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是多少米？巩固、如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米？巩固、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000m 处,过了20秒，飞机距离这个女孩头顶5000m,则飞机速度是多少？例3、暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝.他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为km.丄埋宝藏点632登陆点8巩固、轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9km，由于遇到冰山，只好又向南航行4km，再向西航行6km，再折向北航行2km，最后又向西航行9km，到达目的地B,求AB 两地间的距离.例4、一个圆桶，底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为多少厘米?如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是分米？B例5、下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A,B，C,D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是？巩固、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积的和是cm2.巩固、如图所示，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为?例6、如图，已知直角三角形两直角边BC，AC的长分别为3cm和4cm,那么CD有多长?巩固、三角形的三边长分别为6,&10，它的最短边上的高为，最长边上的高为巩固、若直角三角形的三边长分别为X,6,8,则X2=例7、等腰三角形ABC的腰长为10,底边上的高为6,则底边的长为多少？巩固、如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。

典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A.CD、EF、GHC. AB、CD GHB.AB、EF、GHD. AB、CD EF愿路分乐屮1）題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠2）解題思器；可利用勾脸定理直接求出各边长，再试行判断•』解答过整屮在取DEAF中，Af=l, AE=2,根据勾股定理，得昇EF = Q抡於十£尸° = Q +F二艮同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5计算发现W十◎血尸=（鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. *縮題后KJ思专：*1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于说角三角形和钝角三角形・因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口*2.在运用勾股左理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为就是斜迫而“固执”地运用公式川二/十就其实，同样是S6"不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐3.直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从卅形s—个三角形是直角三角形）到懺 y =沖十沪）的过程，而直角三角形的判定是一①从嗦（一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件）到偲个三角形是直角三角形）的过程.a4•在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性，遊免漏辭.初例玉如圏，有一块直角三角形®椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m・现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于（、*C/) "禎B. 3cm G-Icnin題童分析，本题着查勾股定理的应用刎：）解龜思路；車题若直接在△MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的，因为貝知遒一条边卫0的长，由题意可知，AACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED ・进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2＞黄泱，则在Rt A ABO中，由勾股定理可得^=^（^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl）2= d驚解得尸九4解龜后的思琴尸勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。

勾股定理知识点一、勾股定理的证明例1试通过等积法得出啊a ，b ，c 三者的关系。

首先勾股定理只在直角三角形中才存在；其次就是三边存在关系a 2＋b 2＝c 2。

即勾股定理可以表述为：二、勾股定理的定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

简单的说，勾股定理就是直角三角形三边的一种数量关系。

其中较短的直角边我们叫它：勾；较长长边我们叫它：股；斜边叫它：弦。

ABCa b c弦股勾既然直角三角形三边是这样关系，那么对于锐角三角形和钝角三角形又是怎样的关系呢？这里大家可以通过特殊三角形来记忆：锐角三角形就通过边长为1的等边三角形来特殊化，显然a 2＋b 2＞c 2对于钝角三角形，可以通过底角为30度，腰为2的等腰三角形来记忆，计算可知a 2＋b 2＜c 2大家不仅要掌握勾股定理，对于勾股定理的逆定理也是必须掌握的，它是我们判断直角三角形时一个很好的方法，那我们看看它的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： A 、若已知边长：（1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）B 、若未知边长，则直接进行第二步。

b ccaa bDCAEB例2：在∆ABC 中，若2a =（b +c ）（b -c ），则∆ABC是 三角形，且∠︒90三、对于勾股定理，还有个很重要的概念：勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 四、勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

勾股定理复习一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么a2 + b2= c2。

公式的变形：a2 = c2- b2，b2= c2-a2 。

勾股定理在西方叫毕达哥拉斯定理，也叫百牛定理。

它是直角三角形的一条重要性质，揭示的是三边之间的数量关系。

它的主要作用是已知直角三角形的两边求第三边。

勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。

2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。

二、知识结构：三、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积求：（1） 阴影部分是正方形； （2） 阴影部分是长方形； （3） 阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边例如图2，已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高，AD ＝8，则边BC 的长为（ ）A ．21B ．15C ．6D ．以上答案都不对【强化训练】：1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为．直角三角形 勾股定理应用判定直角三角形的一种方法2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．（结论：直角三角形的两条直角边的积等于斜边与其高的积，ab=ch）考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，求①AD的长；②ΔABC的面积．考点四:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题例、某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为．分析：如何利用所学知识，把折线问题转化成直线问题，是问题解决的关键。

经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法 1.在Rt△ABC中,∠C=90°(1)已知a=6, c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求 a. 思绪点拨:写解的进程中,必定要先写上在哪个直角三角形中,留意勾股定理的变形运用. 解析：(1) 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b=(2) 在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c=(3) 在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a=触类旁通【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是若干?【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4∴AB的长是 4. 类型二：勾股定理的结构运用 2.如图,已知：在中,,,. 求：BC的长.思绪点拨：由前提,想到结构含角的直角三角形,为此作于D,则有,,再由勾股定理盘算出AD.DC的长,进而求出BC的长. 解析：作于D,则因, ∴（的两个锐角互余）∴（在中,假如一个锐角等于, 那么它所对的直角边等于斜边的一半）.依据勾股定理,在中,. 依据勾股定理,在中,. ∴.触类旁通【变式1】如图,已知：,,于P. 求证：.解析：贯穿连接BM,依据勾股定理,在中,. 而在中,则依据勾股定理有. ∴又∵（已知）, ∴. 在中,依据勾股定理有, ∴. 【变式2】已知：如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2.求：四边形ABCD的面积.剖析：若何结构直角三角形是解本题的症结,可以贯穿连接AC,或延伸AB.DC交于F,或延伸AD.BC交于点E,依据本题给定的角应选后两种,进一步依据本题给定的边选第三种较为简略. 解析：延伸AD.BC交于 E.∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°.∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==.∵DE2= CE2-CD2=42-22=12,∴DE==. ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=类型三：勾股定理的现实运用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3.如图所示,在一次夏令营运动中,小明从营地A点动身,沿北偏东60°偏向走了到达B点,然后再沿北偏西30°偏向走了500m到达目标地C点. （1）求A.C两点之间的距离.（2）肯定目标地C在营地A的什么偏向.解析：（1）过B点作BE//AD∴∠DAB=∠ABE=60°∵30°+∠CBA+∠ABE=180°∴∠CBA=90°即△ABC为直角三角形由已知可得：BC=500m,AB=由勾股定理可得：所以（2）在Rt△ABC中, ∵BC=500m,AC=1000m ∴∠CAB=30°∵∠DAB=60°∴∠DAC=30°即点C在点A的北偏东30°的偏向触类旁通【变式】一辆装满货色的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门外形如图的某工场,问这辆卡车可否经由过程该工场的厂门?【答案】因为厂门宽度是否足够卡车经由过程,只要看当卡车位于厂门正中央时其高度是否小于CH．如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CD⊥ＡＢ, 与地面交于H．解：OC＝1米(大门宽度一半), OD＝0.8米（卡车宽度一半）在Rt△OCD中,由勾股定理得：CD＝＝＝０.６米, CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．是以高度上有0.4米的余量,所以卡车能经由过程厂门．（二）用勾股定理求最短问题4.国度电力总公司为了改良农村用电电费过高的近况,今朝正在全国各地农村进行电网改革,某地有四个村庄A.B.C.D,且正好位于一个正方形的四个极点,现筹划在四个村庄结合架设一条线路,他们设计了四种架设筹划,如图实线部分．请你关心盘算一下,哪种架设筹划最省电线．思绪点拨：解答本题的思绪是：最省电线就是线路长最短,经由过程运用勾股定理盘算线路长,然落后行比较,得出结论．解析：设正方形的边长为1,则图（1）.图（2）中的总线路长分离为AB+BC+CD＝3,AB+BC+CD＝ 3 图（3）中,在Rt△ABC中同理∴图（3）中的路线长为图（4）中,延伸EF交BC于H,则FH ⊥BC,BH＝CH由∠FBH＝及勾股定理得：EA＝ED＝FB＝FC＝∴EF＝1－2FH＝1－∴此图中总线路的长为4EA+EF＝3＞ 2.828>2.732 ∴图（4）的衔接线路最短,即图（4）的架设筹划最省电线．触类旁通【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高ＡＢ为4cm,ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A动身,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短旅程．解：如图,在Rt△ＡＢＣ中,ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm,依据勾股定理得（提问：勾股定理）∴ AC＝＝＝≈１０．７７（cm）（勾股定理）．答：最短旅程约为１０．７７cm．类型四：运用勾股定理作长为的线段5.作长为..的线段.思绪点拨：由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和1的直角三角形斜边长就是,相似地可作.作法：如图所示（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB,使AB为斜边;（2）以AB为一条直角边,作另一向角边为1的直角.斜边为;（3）按序如许做下去,最后做到直角三角形,如许斜边...的长度就是....触类旁通【变式】在数轴上表示的点.解析：可以把看作是直角三角形的斜边,,为了有利于绘图让其他双方的长为整数,而10又是9和1这两个完整平方数的和,得别的双方分离是3和1.作法：如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以OC为半径,以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为.类型五：逆命题与勾股定理逆定理6.写出下列原命题的逆命题并断定是否准确1．原命题：猫有四只脚．（准确）2．原命题：对顶角相等（准确）3．原命题：线段垂直等分线上的点,到这条线段两头距离相等．（准确）4．原命题：角等分线上的点,到这个角的双方距离相等．（准确）思绪点拨：控制原命题与逆命题的关系.解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫（不准确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不准确）3. 逆命题：到线段两头距离相等的点,在这条线段的垂直等分线上．•（准确）4. 逆命题：到角双方距离相等的点,在这个角的等分线上．（准确）总结升华：本题是为了进修勾股定理的逆命题做预备.7.假如ΔABC的三边分离为a.b.c,且知足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,断定ΔABC的外形.思绪点拨：要断定ΔABC的外形,须要找到a.b.c的关系,而标题中只有前提a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该前提入手,解决问题.解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0.∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0.∴ a=3,b=4,c=5.∵ 32+42=52,∴ a2+b2=c2.由勾股定理的逆定理,得ΔABC是直角三角形.总结升华：勾股定理的逆定理是经由过程数目关系来研讨图形的地位关系的,在证实中也常要用到.触类旁通【变式1】四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.【答案】：贯穿连接AC∵∠B=90°,AB=3,BC=4∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）∴AC=5∵AC2+CD2=169,AD2=169∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）【变式2】已知:△ABC的三边分离为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),断定△ABC是否为直角三角形.剖析:本题是运用勾股定理的的逆定理, 只要证实:a2+b2=c2即可证实：所以△ABC是直角三角形.【变式3】如图正方形ABCD,E为BC中点,F为AB上一点,且BF=AB.请问FE与DE是否垂直?请解释.【答案】答：DE⊥EF.证实：设BF=a,则BE=EC=2a, AF=3a,AB=4a,∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2.衔接DF（如图）DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2.∴ DF2=EF2+DE2,∴ FE⊥DE.经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的根本用法 1.若直角三角形两直角边的比是3：4,斜边长是20,求此直角三角形的面积.思绪点拨：在直角三角形中知道双方的比值和第三边的长度,求面积,可以先经由过程比值设未知数,再依据勾股定理列出方程,求出未知数的值进而求面积.解析：设此直角三角形两直角边分离是3x,4x,依据题意得：（3x）2+（4x）2＝202化简得x2＝16; ∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x2＝96 总结升华：直角三角形边的有关盘算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程（组）求解. 触类旁通【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积.【答案】如图,等边△ABC,作AD⊥BC于 D 则：BD＝BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）∵AB＝AC＝BC＝2（等边三角形各边都相等）∴BD＝ 1 在直角三角形ABD中,AB2＝AD2+BD2,即：AD2＝AB2－BD2＝4－1＝ 3 ∴AD＝S△ABC＝BC·AD＝注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a,则其面积为 a.【变式2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积. 【答案】设此直角三角形两直角边长分离是x,y,依据题意得：由（1）得：x+y＝7, （x+y）2＝49,x2+2xy+y2＝49 (3) (3)－(2),得：xy＝12∴直角三角形的面积是xy＝×12＝6（cm2）【变式3】若直角三角形的三边长分离是n+1,n+2,n+3,求n. 思绪点拨：起首要肯定斜边（最长的边）长n+3,然后运用勾股定理列方程求解. 解：此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得：（n+1）2+（n+2）2＝（n+3）2化简得：n2＝ 4 ∴n＝±2,但当n＝－2时,n+1＝－1<0,∴n＝ 2 总结升华：留意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方,在标题没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情形下,起首要先肯定斜边,直角边. 【变式4】以下列各组数为边长,能构成直角三角形的是（）A.8,15,17 B.4,5,6 C.5,8,10 D.8,39,40 解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行断定, 对数据较大的可以用c2＝a2+b2的变形：b2＝c2－a2＝（c－a）（c+a）来断定. 例如：对于选择D, ∵82≠（40+39）×（40－39）, ∴以8,39,40为边长不能构成直角三角形. 同理可以断定其它选项.【答案】：A【变式5】四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.解：贯穿连接AC∵∠B=90°,AB=3,BC=4∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）∴AC=5∵AC2+CD2=169,AD2=169 ∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=36类型二：勾股定理的运用2.如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN＝30°,点A处有一所中学,AP＝160m.假设拖沓机行驶时,四周100m以内会受到噪音的影响,那么拖沓机在公路MN上沿PN偏向行驶时,黉舍是否会受到噪声影响？请解释来由,假如受影响,已知拖沓机的速度为18km/h,那么黉舍受影响的时光为若干秒？思绪点拨：（1）要断定拖沓机的噪音是否影响黉舍A,本质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响,大于100m则不受影响,故作垂线段AB并盘算其长度.（2）请求出黉舍受影响的时光,本质是请求拖沓机对黉舍A的影响所行驶的旅程.是以必须找到拖沓机行至哪一点开端影响黉舍,行至哪一点后停止影响黉舍. 解析：作AB⊥MN,垂足为 B. 在RtΔABP中,∵∠ABP＝90°,∠APB＝30°, AP＝160,∴AB＝AP＝80. （在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半）∵点A到直线MN的距离小于100m, ∴这所中学会受到噪声的影响. 如图,假设拖沓机在公路MN上沿PN偏向行驶到点C处黉舍开端受到影响,那么AC＝100(m), 由勾股定理得：BC2＝1002-802＝3600,∴BC＝60.同理,拖沓机行驶到点D处黉舍开端离开影响,那么,AD＝100(m),BD＝60(m), ∴CD＝120(m). 拖沓机行驶的速度为: 18km/h＝5m/s t＝120m÷5m/s＝24s.答：拖沓机在公路MN上沿PN偏向行驶时,黉舍会受到噪声影响,黉舍受影响的时光为24秒. 总结升华:勾股定理是求线段的长度的很主要的办法,若图形缺乏直角前提,则可以经由过程作关心垂线的办法,结构直角三角形以便运用勾股定理.触类旁通【变式1】如图黉舍有一块长方形花圃,有少少数工资了避开拐角而走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m）,却踩伤了花卉.解析：他们本来走的路为3+4＝7(m) 设走“捷径”的路长为xm,则故少走的路长为7－5＝2(m) 又因为2步为1m,所以他们仅仅少走了4步路.【答案】4【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形,如许的三角形称为单位正三角形. （1）直接写出单位正三角形的高与面积. （2）图中的平行四边形ABCD含有若干个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是若干？（3）求出图中线段AC的长（可作关心线）.【答案】（1）单位正三角形的高为,面积是. （2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形,是以其面积. （3）过A作AK⊥BC于点K（如图所示）,则在Rt△ACK中,,,故类型三：数学思惟办法（一）转化的思惟办法我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,结构直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决．3.如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E.F分离是AB.AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5．求线段EF的长.思绪点拨：现已知BE.CF,请求EF,但这三条线段不在统一三角形中,所以症结是线段的转化,依据直角三角形的特点,三角形的中线有特别的性质,不妨先衔接AD．解：衔接AD．因为∠BAC=90°,AB=AC．又因为AD为△ABC的中线, 所以AD=DC=DB．AD⊥BC．且∠BAD=∠C=45°．因为∠EDA+∠ADF=90°．又因为∠CDF+∠ADF=90°．所以∠EDA=∠CDF．所以△AED≌△CFD（ASA）．所以AE=FC=5．同理：AF=BE=12．在Rt△AEF中,依据勾股定理得：,所以EF=13.总结升华：此题考核了等腰直角三角形的性质及勾股定理等常识.经由过程此题,我们可以懂得：当已知的线段和所求的线段不在统一三角形中时,应经由过程恰当的转化把它们放在统一向角三角形中求解.（二）方程的思惟办法4.如图所示,已知△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,,求..的值.思绪点拨：由,再找出.的关系即可求出和的值. 解：在Rt△ABC中,∠A=60°,∠B=90°-∠A=30°, 则,由勾股定理,得. 因为,所以,,,. 总结升华：在直角三角形中,30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半. 触类旁通：【变式】如图所示,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EF的长. 解：因为△ADE与△AFE关于AE对称,所以AD=AF,DE=EF. 因为四边形ABCD是矩形,所以∠B=∠C=90°, 在Rt△ABF中,AF=AD=BC=10cm,AB=8cm,所以.所以. 设,则. 在Rt△ECF中,,即,解得.即EF的长为5cm.。