复变函数学习课件(3)

解 (2) f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny
u e x cos y, x v e x sin y, x
u e x sin y u v
y v
e x cos y
x v
y u
在R
2成立，
y
x y
且u, v在R2上偏导数连续
故 f (z) e x (cos y i sin y)在复平面C上可导，解析; 且f '(z) u i v e x cos y ie x sin y f (z)。
定理 设f (z)= u + i v, z= x +i y, z0=x0+i y0, 则f (z)在
(1) u( x, y), v( x, y)在( x0 , y0 )可微 ,
z0处可导 (2)
u x
v ,
y
u y
v x
在(
x0
,
y0
)成立.
定义 方程
u v v u x y x y
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
1.导数的概念
定义2.1.1 设函数f (z)在z0的某邻域N( z0 ,δ)内有定
义, 且极限 lim f (z0 z) f (z0 )存在，则称函数
z0
z
f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数
记作
dw f '(z0 ) dz zz0
lim z0
f (z0 z) z
z
z
x x x x x iy x iy
当z取实数趋于0时, f z 1; 当z取纯虚数趋于0时, f z
0;

为复数。其中 i 2 1 , i称为虚单位。
•复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)
• 复数的模 | z | x2 y2 0
• 判断复数相等 z1 z2 x1 x2 , y1 y2 , 其 中z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 z 0 Re(z) Im( z) 0
一般, 任意两个复数不能比较大小。
2. 代数运算
•四则运算 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)
z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
z
z1 z2
x1 x2 y1 y2 | z2 |2
1i
1i i 1 i
§2 复数的表示方法
1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法
1. 点的表示
易见，z x iy 一对有序实数( x, y), 在 平 面 上 取 定 直 角 坐 标系 ， 则 任意点P( x, y) 一对有序实数( x, y) z x iy 平面上的点P( x, y) 复数z x iy可用平面上坐标为( x，y)的点P表示. 此时，x轴 — 实轴 y轴 — 虚轴
3.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.
•共轭复数的性质
(complex conjugate)
(1) (z1 z2 ) z1 z2 (2) z z
(z1z2 ) z1z2
(4)z z 2 Re(z)

1
znn|来自z |[cos(1Argz)
i sin( 1
Argz)]
n
n
n | z |[cos(1 arg z 2k ) i sin(1 arg z 2k )]
n
n
n
n
可以看到，k=0,1,2,…,n-1时，可得n个不同的
值，即z有n个n次方根，其模相同，辐角相差
一个常数，均匀分布于一个圆上。这样，复
z1 x1 iy1 x1 iy1 z1
三角表示的乘法：
利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示 复数的乘法与除法 ，设
z1 | z1 | (cos Argz1 i sin Argz1)
z2 | z2 | (cos Argz2 isin Argz2)
则有 z1z2 | z1 || z2 | [cos( Argz1 Argz2 )
(a1 ib1)(a2 ib2 ) (a1a2 b1b2 ) i(a1b2 a2b1)
(a1 (a2
ib1) ib2 )
a1a2 a22
b1b2 b22
i
a2b1 a1b2 ) a22 b22
复数在四则运算这个代数结构下，构成一个
复数域(对加、减、乘、除运算封闭），记为 C，复数域可以看成实数域的扩张。
例2 则，z1z2 (x1iy1)(x2 iy2 )
(x1x2 y1y2 ) i(x1y2 y1x2 ) (x1x2 y1y2 ) i(x1y2 y1x2 ) [x1x2 ( y1)( y2 )] i[x1( y2 ) ( y1)x2 ] (x1 iy1)(x2 iy2 ) z1z2
| z1 / z2 || z1 | / | z2 |
Arg(z1 / z2 ) Argz1 Argz2

z 3 z 2 z 1 0根为i, 1, i
且z z z 1 ( z i)( z 1)( z i)
3 2
§1.2 复平面上的曲线和区域
一、复平面上的曲线方程 平面曲线有直角坐标方程 和参数方程
F ( x, y ) 0
x x(t ) 两种形式。 y y (t )
5 5 z 2 r2 cos i sin 6 6
3 1 r2 r2i 2 2
3 1 3 1 则z r1 2 r1i r2 2 r2i 2 2 2 2
例4
求方程
3 2
z z z 1 0 的根。并将
1 3 2 z 13 13 13
2 2
2 arg( z ) arctan 3
（3）
i 4i i i 4i i 1 3i,
10 25 10
| z | (1) 2 32 10 ,
(4)
arg( z ) arctan 3
17512ii????232357arg21argii????57re57imii???例2求下列复数的模与辐角例2求下列复数的模与辐角12i??3i231?34iii??25104ni?????????231解12231215argarctan63zz???????????1??22321131313z????????????????32arctanarg??z132133232323231iiiii??????????????23144102510iiiiiii????????103122????z3arctanarg???z3313argarctan3ii????模为141?z23arg??knz??23nkk????????满足的313cossin233niinnei????????????????3argarctan323ez????模为14例3求满足下列条件的复数z

arg z arg z ,
33
3
是角形域, 无界的单连通域(如图).
(3) 1 3 z
1 3 z 1,
z
3
是以原点为中心, 半径为1 3
的圆的外部, 无界的多连通域.
16
(4) z 1 z 1 4 z1 z1 4 表示到1, –1的距离之 和为定值4的点的轨迹, 是椭圆, z 1 z 1 4表示该椭圆内部, 有界的单连通域.
例如：iz相当于将z所对应的oz沿逆时针旋转
2
2
2、参数方程形式
x
y
xt yt
zt
xt
iyt
3
例1：指出满足下列条件的点集
(1) z i z 1
(2) Reiz 3
(3) z 3 z 3 10 (4) z 1 z 1 2 (5) z 2
z1
解 （1）i与-1连线中垂线上的点，y=-x
注：闭区域不是区域，也未必有界
13
(3) 单连通域与多连通域的定义:
复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一条简单闭曲线,而 曲线的内部总属于B, 就称为单连通域. 一个区域如果不是单
连通域, 就称为多连通域.
单连通域
多连通域
14
例1 指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还
是无界的,单连通的还是多连通的.
(2) z x y, z x iy iz y ix y 3,表示z x 3i x2 y2
(3) a 5,c 3; 1 25 16
4
(5) z 2 z1
z 2 z 1 z z 2z 1 z 1
x2 y2 2x2 y2 2x 1
x 22 y2 2
17
(5) z 1 z 1 1

复 变
z0 在C 内, g(z0 ) 2(6z02 1)πi.
函
数
第三章 复变函数的积分
哈
尔 滨
§3.2 柯西公式
工
程
大 学
学习要点
复
变 函
熟练掌握柯西积分公式
数
熟练掌握高阶导数公式
一、柯西积分公式
哈 1. 问题的提出
尔 滨
设f (z)在以圆C :| z z0 | r0(0 r0 )为边界
工
程 的闭圆盘上解析，f (z)沿C的积分为零。
大
学 考虑积分
f (z)
哈 尔
定理2 解析函数 f (z) 的导数仍为解析函数,
滨 工
它的 n 阶导数为:
程
大 学
复
Ñ f
(n)(z)
n! 2πi
C
(
f ( )
z)n1
d
(n 1,2,L )
变
函 数
其中 C为在函数 f (z)的解析区域 D 内围绕
z的任何一条正向简单闭曲线, 而且它的内
部全含于 D.
高阶导数公式提供了计算某些复变函数
C z z0
C z z0
复
变
Ñ Ñ 函
数
C
f (z0 ) dz z z0
f (z0 )
C
z
1 z0
dz
2
if
(z0
).
2. 柯西公式
哈 定理1 (柯西公式)
尔
滨 工
设D是以有限条简单闭曲线C为边界的有界
程 大
区域, 设f (z)在D及C所组成的闭区域D上解析，
学 那么在D内任一点z，有
复
变 函 数

7
学习方法
• 复变函数论作为一门学科，它不仅在内 容上与实变函数微积分有许多类似之处， 而且在研究问题的方面与逻辑结构方面 也非常类似 .但也有其自身的特点和研究 方法与研究工具，在学习过程中，应注 意与微积分理论的比较，从而加深理解， 同时也须注意复变函数本身的特点，并 掌握它自身所固有的理论和方法，抓住 要点，融会贯通.
(a , b) (c , d ) (ac bd , bc ad )
ac bd bc ad 2 2 ( a , b) ( c , d ) ( 2 2 , 2 2 ) , c d 0 c d c d
27
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铃
2 复平面
2.1 复平面的定义
复数 z x iy 与有序实数对 ( x , y ) 成一一 对应. 因此, 一个建立了直角坐标系的平面可以 用来表示复数, 通常把横轴叫实轴或x 轴, 纵轴 叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平面叫复平 面.
9
参考书目：
• [4] 余家荣，复变函数，高等教育出版社. 北京：高等教育出版社，2000.3 • [5] 庞学诚、梁金荣、柴俊编著，复变函 数，科学出版社，2003.9 • [6] 盖云英、邢宇明编，复变函数与积分 变换（中文版、英文版），北京：科学 出版社，2007.8
10
第一章 复数与复变函数
Ch 0 引言 复变函数课程简介
1
研究对象
• 复变函数就是自变量为复数的函数.复变 函数论是分析学的一个分支，故又称复 分析. • 其主要研究对象是解析函数 .
2
研究的主要内容
• 本课程主要讲授：单复变函数的一些基本知识， 以解析函数为研究对象，分别从导数、积分、 级数、残数、映射五个方面来刻画解析函数的 性质及其应用. • 首先从复数域开始，引入复变函数，再给出解 析函数的概念，再以它为研究对象，介绍解析 函数的导数、积分、解析函数的幂级数表示法， 解析函数的罗朗展式与孤立奇点，残数理论及 其应用.

故对于每一个固定的 k , 下式确定一个单值函数, w = Lnz = ln z + 2kπ i ( k ∈ ) 称为 Ln z 的一 个 分支. 特别的, 当 z = x > 0 时, Lnz 的主值 ln z = ln x ,
是实变数对数函数.
© Copyright ＬＹNＵ 2008
DEPARTMENTOFMATHEMATICS
(3) e Lnz 2008
DEPARTMENTOFMATHEMATICS
2.计算公式及多值性说明： 计算公式及多值性说明： 计算公式及多值性说明
令 z = e , w = u + iv,
临沂师范学院数学系 iθ
w =Lnz ⇔ e w =z ⇔ e u+ iv = re iθ
例1 求 Ln 2, Ln ( − 1) 以及与它们相应的主值 .
临沂师范学院数学系
解
因为 Ln 2 = ln 2 + 2kπi , π
所以 Ln2 的主值就是 ln2. 因为 Ln( −1) = ln 1 + iArg( −1)
= ( 2k + 1)πi ( k为整数 ) 所以 Ln( −1) 的主值就是 πi . 注意: 在实变函数中, 负数无对数, 注意 在实变函数中 负数无对数 而复变数对 数函数是实变数对数函数的拓广. 数函数是实变数对数函数的拓广
′ = 1 , (Lnz )′ = 1 . (ln z ) z z
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性质(3) 设 z = x + iy , 当 x < 0 时, 证 性质 临沂师范学院数学系 lim− arg z = − π, lim+ arg z = π,

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§2.3 初等函数
1. 指数函数 2. 三角函数和双曲函数 3. 对数函数 4. 乘幂与幂函数 5. 反三角函数与反双曲函数
第21页/共46页
内容简介
本节将实变函数的一些常用的初等 函数推广到复变函数情形，研究这些初等 函数的性质，并说明它的解析性。
第22页/共46页
u 2x u 2 y v 0 v 0
x
y
x
y
仅在点z = 0处满足C-R条件，故
w z 2 仅在z 0处可导，但处处不解析。
第16页/共46页
例2 求证函数
w
u( x, y) iv( x,
y)
x2
x
y2
i
x2
y
y2
1 z
在z x iy 0处 解 析 ， 并 求dw . dz
e zi e zi cosz
(3)
2i
2
称 为z的 正 弦 与 余 弦 函 数
第27页/共46页
正弦与余弦函数的性质
1)sinz及cosz是T 2 周期函数
[cos(z 2 ) ei(z2 ) ei(z2 )
eize2i eize2i
2
2
eiz eiz
cos z]
sin( z 2 ) sin z
u v v u x y x y
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切 的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可 以求出导数来.
利用该定理可以判断那些函数是不可导的.
第12页/共46页
使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性，
(因为u(x,y),v(x,y)具有一阶连续偏导数可推出它们可 微)

1. 根式函数 定义2.9 若z=wn,则称w为z的n次根式函数，记为：
w n z , 根式函数 w n z 为幂函数z=wn 的反函数.
(1) 根式函数的多值性. z0 wn00
i2k
z0 w knzkn|z|e n
k0 ,1 ,
n 1
a r gz z的 主 辐 角
下面以二次根式 例函 ，数 简为 单介绍多 的值 特函 点数 。
定义2 设想把平面割开，借以分出多值函数的单值分 支的割线，称为多值函数的支割线. 如 w n z 可以以负实轴为支割线. 注 a) 支割线可以有两岸. b) 单值解析分支可连续延拓到岸上. c) 支割线改变各单值分支的定义域，值域也随之改变. d) 对 w n z ，当以负实轴为支割线时，当zx0 时取正值的那个分支称为主值支.
w 0 n r e i 0 2 w 1 n r e i1
2 2 w 2nrei2 2 k w knre ik
2 (n 1 ) w n 1 nre in 1
从原点O起到点∞任意引一条射线将z平面割破，该 直线称为割线，在割破了的平面(构成以此割线为边
但 z的z若 沿 幅某 角一 不条 变根 不 ， 闭 式 包 因 合 的 含 而 C 曲 值 1环 原 二 线 也 绕 点 次保 一 的持 周不 回置 变 到， 。 原
(2) 分k 出根 n 2 k 式z 函= a r 数0 g z 的n 2 w 单k k值 k 解n 0 ,z 析1 ,k 分n 支n 1 r .e i n 2 k nre ik
界的区域，记为G)上，argz<2，从而可将其转化
为单值函数来研究。
常用方法： 从原点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根式函数:
w n z 分成w 如k 下(的nnz个)k单值n函r(数z)e ：iarzg )n 2 (k,k0 ,1 , ,n 1