复数和复变函数25页PPT

xrcosq, yrsinq,
q q 复数z=x+yi 可表示为 z r (c o s is in),称为复
数z的三角表示式. 再利用Euler公式
eiqcosqisin q,
复数z=x+yi 又可表示为 z reiq , 称为复数的
指数表示式, 其中r=|z|, q=Argz.
例1.3 将 z 122i化为三角表示式与指数表示式.
5
解： 显然, r = | z | = 1, 又
sin
5
cos
2
5
cos 3 ,
10
cos
5
sin
2
5
sin 3
10
.
因此 zcos3isin3ei130
10
10
当 z 0时, ArgzArgz. 当 z reiq 时, z reiq .
共轭复数的几何性质
一对共轭复数z和 z 在 复平面的位置是关于 实轴对称的.
由此引出方根的概念。
二、复数的乘幂与方根
2. 复数的方根 复数求方根是复数乘幂的逆运算。
定义 设 z是给定的复数，n 是正整数，求所有满足 wn z的 复数 w ，称为把复数 z开 n 次方，或者称为求复数 z的 n 次方根，记作 wn z 或 wz1/n. 复数 z的 n 次方根一般是多值的。
二、复数的乘幂与方根
有时, 在进行说明后, 把主辐的角是定辐角义主为值满, 单足位是弧
>> x=sym('x','real');y=sy
0q2 的辐角, 这时上式仍然>成> 立x=3. ;y=4;z=x+y*i;
当z=0时, Argz没有意义, 即零>>向th量eta没=a有ng确le(z定)

对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应.
例如，设 z1 1, z2 i, 则 z1 z2 i,
Argz1 2n, (n 0, 1, 2,),
A故Arrgg3(zz21z22)2(m2πm2n),2kπ(m, (k02,k01,,,1只2,,须2),k,),m n 1.
1. 两复数的和:
z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ).
2. 两复数的积:
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ).
3. 两复数的商:
z1 z2
x1 x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
.
9
三、复数的共轭运算
6
2.复数: 对于任意两实数 x, y, 我们称 z x yi
或 z x iy 为复数. 其中 x, y 分别称为z 的实部和虚部, 记作 x Re(z), y Im( z). 当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数; 当 y 0 时, z x 0i, 我们把它看作实数x.
y z x iy
y
(x, y)
面上的点( x, y) 表示.
o
x
x
14
2. 复数的模(或绝对值) 复数 z x iy 可以用复平面上的向量OP 表示,
向量的长度称为z 的模或绝对值,
记为 z r x2 y2 . 显然下列各式成立 x z, y z,
y
y
r
o
Pz x iy
x
x
复变函数与积分变换
教材:《复变函数与积分变换》
朱传喜 刘二根 主编 ,江西高校出版社
参考教材：1. 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室 编著,高等教育出版社 2. 《复变函数与拉普拉斯变换》,金忆丹编著,浙江大学出版 社 3. 《复变函数与积分变换》,马柏林等编 复旦大学出版社

例1 指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还
是无界的,单连通的还是多连通的.
(1) Re(z2 ) 1; (2) arg z ; (3) 1 3;
3
z
(4) z 1 z 1 4; (5) z 1 z 1 1.
解 (1)当 z x iy 时,
Re(z2 ) x2 y2, Re(z2 ) 1 x2 y2 1, 无界的单连通域(如图).
y z
z
o
x
有界！
17
1.2.2 区域与Jordan曲线
定义1.5 区域: 如果平面点集D满足以下两个条件,则称它
为一个区域.
(1) D是一个开集； (2) D是连通的,就是说D中任何 两点都可以用完全属于D的一条
D
z2
z1
•
•
折线连结起来.
D加上D的边界称为闭域。记为D＝D+D
18
说明
不包含边界！
第一章 复数与复变函数
• 第一节 复数 • 第二节 复平面上的点集 • 第三节 复变函数 • 第四节 复球面与无穷远点
1
第一节 复数
• 1 复数域
形如 z x iy y x 的数，称为复数。其中实数 和
分别称为复数的实部和虚部，常记为
x Re z, y Im z
全体复数并引进四则运算后称为复数域
32
(3) 0 z 1 i 2,
以 (1 i) 为圆心, 2为半径 的去心圆盘, 是多连通域. (4) arg( z i) ,
4 以 i 为端点, 斜率为1的半射线 (不包括端点i ), 不是区域.
33
(5) 0 arg z i , zi 4
当 z x iy 时,
zi zi

导数的性质
导数具有线性、可加性、可乘性和链式法则等性质。这些性质在计算复杂函数 的导数时非常有用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
隐函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角 函数等基本初等函数，其导数都有固 定的公式可以查询和使用。
如果一个函数$F(x, y) = 0$，我们可 以通过对$F$求关于$x$或$y$的偏导 数来找到隐函数的导数。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数
将周期函数表示为无穷级数，通过正 弦和余弦函数的线性组合来逼近原函 数。
傅里叶变换
将函数从时间域转换到频率域，通过 积分形式实现。
傅里叶变换的性质与应用
线性性质
若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是 可傅里叶变换的，$a, b$ 是常数，则 $af(t) + bg(t)$ 也可进行傅里叶 变换。
复数的几何意义
复数可以用平面上的点来 表示，实部为横坐标，虚 部为纵坐标。
复数的运算
复数可以进行加法、减法、 乘法和除法等运算，满足 交换律、结合律和分配律。
02 复数与复变函数
复数及其运算
复数
由实部和虚部构成的数， 表示为 a + bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。
复数的运算
加法、减法、乘法和除法 等。
共轭复数
如果一个复数的虚部变号， 则得到该复数的共轭复数。
复变函数及其定义域
复变函数
从复平面到复平面的映射。
定义域
复变函数的输入值的集合。
单值函数和多值函数
根据定义域和值域的关系进行分类。
复变函数的极限与连续性
极限
描述函数值随自变量变化的行为。
连续性
函数在某一点处的极限值等于该 点的函数值。

记为 z r x2 + y2 .
y
y
显然成立：
r
o
x z, y z,
Pz x + iy
x
x
z x+ y.
14
复数辐角的定义 当 z 0时，则把正实轴与向量OP 的夹角称为
z 的辐角(arg ument ), 记作 Argz . 注意 1 任何一个复数 z 0有无穷多个辐角,
已知复数z x + iy, 如何确定辐角？
16
z 0 辐角的主值

arctan π,
y x
,
2 arg z
arctan
y x

π,

π,
x 0, x 0, y 0, x 0, y 0, x 0, y 0.
(其中 arctan y )
3
•19世纪，奠定理论基础。A.L.Cauchy、维尔斯特 拉斯分别用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复 变函数的映射性质 •20世纪，发展为数学分支,在解析性质、映射性质、 多值性质、随机性质、函数空间及多复变函数等方 面有重要成果。
4
空气动 力学
流体 力学
复变函数论
电学
热学
•复变函数论在空气动力学、流体力学、电学、热学、 理论物理等领域有重要应用。
3
5,
6
故
z

4cos
5
6
+
i sin
5
6


5i
4e 6 .
20
(2) z sin + i cos
5
5
显然 r z 1,

R。x=Rez，y=Imz分别为z的实部和虚部，
i为虚数单位，其意义为i2=-1
复数的集合 C = {x + iy x, y ? R}
复数相等 z1=z2，当且仅当Rez1= Rez2且Imz1=
Imz2
复数的无序性 复数不能比较大小。
复变函数与积分变换
第1章 复数与复变函数
（二）复数的四则运算
设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数
Arg(- 2- 2i)=- 3 p + 2kp ,(k ? z) 4
Arg(- 1)=p + 2kp ,(k ? z) Arg(- 3+ 4i)=-arctan 4 + (2k + 1)p ,(k ? z)
3
例1.5 已知流体在某点M的速度 v = 1- 3i 求其大小和方向
v = 2 arg v = - p 3
复变函数与积分变换
第1章 复数与复变函数
（二）单连通区域与多（复）连通区域
平面曲线
设x(t)和y(t)是两个实变函数，在闭区间[a,b]上连 续，则由方程
ìïïíïïî
x= y=
x( t ) y( t )
或复数方程
z(t) = x(t) + iy(t),(a ＃t
b)
所决定的点集C称为z平面上的一条连续曲线
加减运算
z1 ± z2 =(x1 ± x2) +i(y1 ± y2 )
乘法运算 z1z2 = ( x1x2 - y1 y2 ) + i( x1 y2 + x2 y1 )
除法运算
z1 = z2
x1x2 + x22 +
y1 y2 y22

sin z sinx iy
sin x cosiy cosx sin iy
sin x ey e y cos x ey e y
2
2i
sin2 x ey e y 2 cos2 x ey e y 2
4
4
1 sin 2 x e2 y 2 e2 y cos2 x e2y 2 e2y 2
所有的无穷大复数（平面上无限远点）投影到唯一的北极 N。故我们为 方便，将无穷远点看作一个点。其模无穷大，幅角无意义。
§1.2 复变函数
1. 定义
zz0
邻域
以复数 z0 为圆心，以任意小实数 为半径
作一圆，则圆内所有点的集合称为z0的邻域.
内点
z0 和它的邻域都属于 E， 则 z0 为 E 的内点。
(2) 极坐标
x cos y sin
z x iy cos i sin 复数的极坐标表示
模 幅角, Argz x2 y2
arctg( y / x)
由于三角函数的周期性，复数的幅角不唯一，且 彼此相差2π的整数倍.
)
,
lim
zz0
g(z)
g ( z0 ),则
lim [ f (z) g(z)]
zz0
f (z0) g(z0)
lim
zz0
f (z)g(z)
f
(z0 )g(z0 )
lim f (z) f (z0 ) zz0 g(z) g(z0 )
(g(z0 ) 0)
§1.4 可导与可微
第一章 复数与复变函数
§1.1 复数与复数运算 1. 复数的基本概念

，z2对应的向量分别为 1， 由复数的运算法那么知复数的加减法与向量
的加减法一致，于是在平面上以
为邻边的平行四边形的对角线 就表示
复数z1+z2〔图1.2〕，对角线 就表示复数z1-z2.
图1.2
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复变函数与积分变换
由上述几何解释知下面两个不等式成立：
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其中
表示向量 的长度，也就是复平面上点z1，z2之间的距
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复变函数与积分变换
复数域 形如
1.1复数
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的数称为复数，其中x和y是任意的实数，分别称为复数z的实部与虚部，记作
x=Re z，y=lm z；而i(也可记为 )称为纯虚数单位.
当Im z=0时，z=Re z可视为实数；而当Re z=0,Im z≠0时，z称为纯虚数；特别
地，当Re z=Im z=0时，记z=0+i0=0.
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如图1.1所示，复数z=x+iy还可以用向量 来表示，x与y分别是向量 在x轴与 y轴上的投影.这样，复数z就与平面上的向量 建立了一一对应的关系. 引进了复平面后，为方便起见， “复数z〞、“点z〞及“向量 〞三者不再区分. 向量 的长度称为复数z=x+iy的模或绝对值，记作|z|，于是
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复变函数与积分变换
例1.4求z=1的n次方根. 解因为 所以 特别地，1的立方根为
它们均匀地分布在以原点为中心，以1为半径的圆周上 〔图1.5〕.
图1.5
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iθ
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15
第一章
复数与复变函数
第16页 16页
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.
1) z = − 12 − 2i; 2) z = sin + i cos . 5 5 解： 1) r =| z |= 12 + 4 = 4.
z在第三象限, 所以
3 5 −2 θ = arctan −π = arctan 3 −π = − 6π. − 12
第21页 21页
加减法与平行四边形法则的几何意义:
z1 + z2
z2
z2 − z1
z1
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21
第一章
复数与复变函数
第22页 22页
乘、除法的几何意义:
z1 = r1 e
iθ 1 ,
z 2 = r2 e
iθ 2
,
z1 z 2 = r1 r2 e
i (θ 1 + θ 2 )
,
z1 z 2 = r1 r2 = z1 z 2 Argz1 z 2 = A rg z1 + Argz 2
z 与x轴正向的夹角θ
记作Arg z=θ .
任何一个复数z≠0有无穷多个幅角,将满足
−π <θ0≤π 的θ0 称为 称为Arg z的主值 记作θ0=arg z .则 的主值, 的主值
Arg z=θ0+2kπ =arg z +2kπ (k为任意整数)
结 束
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第一章
复数与复变函数
第13页 13页
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8
第一章
复数与复变函数
第9页
§1.1 复数及其表示法