人教版数学高一-新课标人教A版数学必修2 2.备课资料(4.1.2 圆的一般方程)

4.1.2 圆的一般方程问题导学一、圆的一般方程的定义活动与探究1判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．迁移与应用1．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0 2．下列方程能表示圆的是________． (1)x 2＋y 2＋2x ＋1＝0；(2)x 2＋y 2＋2ay －1＝0； (3)x 2＋y 2＋20x ＋121＝0；(4)x 2＋y 2＋2ax ＝0．3．若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求实数m 的取值范围及圆心坐标和半径．形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法： (1)由圆的一般方程的定义，若D 2＋E 2－4F ＞0，则表示圆，否则不表示圆； (2)将方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方为⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4求解． 二、求圆的一般方程活动与探究2△ABC 的三个顶点分别为A (－1,5)，B (－2，－2)，C (5,5)，求其外接圆的方程．迁移与应用求经过点C (－1,1)和D (1,3)且圆心在直线y ＝x 上的圆的一般方程．用待定系数法求圆的方程：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r ．(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出参数D ，E ，F ．三、求动点的轨迹方程活动与探究3已知动点M 到点A (2,0)的距离是它到点B (8,0)的距离的一半． (1)求动点M 的轨迹方程；(2)若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹．迁移与应用1．到两个点A (－1,2)，B (3，－4)的距离相等的点的轨迹方程是________． 2．自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．求动点的轨迹方程就是建立动点的横、纵坐标x ，y 的方程，因而，在求动点的轨迹方程时，先设出动点的坐标(x ， y )，再代入题目中给出的等量关系，化简即得动点的轨迹方程．当堂检测1．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长为( )A ．2πB ．2πC ．22πD ．4π2．若圆x 2＋y 2－2kx －4＝0关于直线2x －y ＋3＝0对称，则k 等于( ) A ．32 B ．－32C ．3D ．－33．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－1,0) D ．(0，－1)4．过三点O (0,0)，A (4,0)，B (0，－2)的圆的一般方程为________________．5．已知线段AB 的长为4，且端点A ，B 分别在x 轴与y 轴上，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为__________．答案：课前预习导学【预习导引】1．定点定长圆心半径2．(x－a)2＋(y－b)2＝r2预习交流1提示：圆的标准方程是由圆心坐标与半径确定的，因此求圆的标准方程只需求出圆心坐标与半径．3．点在圆外点在圆上点在圆内预习交流2提示：判断点与圆的位置关系有两种方法：①将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：若|CM|＝r，则点M在圆上；若|CM|＞r，则点M在圆外；若|CM|＜r，则点M在圆内．②可利用圆的标准方程来确定：点M(m，n)在圆C上⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2；点M(m，n)在圆C外⇔(m－a)2＋(n－b)2＞r2；点M(m，n)在圆C内⇔(m－a)2＋(n－b)2＜r2．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：第(1)题可直接利用圆的标准方程求解，第(2)题可先利用两点间距离公式求出半径，再用圆的标准方程求解．解：(1)∵圆心为(2,3)，半径为2，即a＝2，b＝3，r＝2，∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4．(2)方法一：∵圆的半径r＝|CP|＝(5－8)2＋(1＋3)2＝5，圆心在点(8，－3)，∴圆的方程是(x－8)2＋(y＋3)2＝25．方法二：∵圆心为C(8，－3)，故设圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝r2．又∵点P(5,1)在圆上，∴(5－8)2＋(1＋3)2＝r2，∴r2＝25，∴所求圆的方程是(x－8)2＋(y＋3)2＝25．迁移与应用 1．B2．解：设圆心C (a ，b )，半径为r ，则由中点坐标公式，得a ＝4＋62＝5，b ＝9＋32＝6．再由两点距离公式，得r ＝|CP 1|＝(4－5)2＋(9－6)2＝10．∴所求圆的方程是(x －5)2＋(y －6)2＝10．活动与探究2 思路分析：先求出两直线的交点坐标即圆心坐标，再求出半径并写出方程，求出A ，B ，C 各点与圆心的距离，分别与半径比较，判断出点与圆的位置关系．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，x －2y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴圆心M 的坐标为(0,1)．半径r ＝|MP |＝52＋(1－6)2＝52．∴圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝50． ∵|AM |＝(2－0)2＋(2－1)2＝5＜r ，∴点A 在圆内． ∵|BM |＝(1－0)2＋(8－1)2＝50＝r ，∴点B 在圆上． ∵|CM |＝(6－0)2＋(5－1)2＝52＞r ，∴点C 在圆外．∴圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝50． 点A 在圆内，点B 在圆上，点C 在圆外． 迁移与应用 1．B 2．(1，＋∞)活动与探究3 思路分析：解答本题，可用待定系数法，设出圆的标准方程求解，也可根据圆的几何性质求出圆的圆心坐标和半径．解：方法一：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10．方法二：由A (2，－3)，B (－2，－5)得，AB 的中点为(0，－4)，k AB ＝12，∴AB 的垂直平分线的方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.∴圆心为(－1，－2)，半径r ＝(2＋1)2＋(－3＋2)2＝10．故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10． 方法三：设点C 是圆心，∵点C 在直线l 上，∴设点C (2b ＋3，b )． 又∵|CA |＝|CB |，∴(2b ＋3－2)2＋(b ＋3)2＝(2b ＋3＋2)2＋(b ＋5)2，解得b ＝－2，∴圆心为C (－1，－2)，半径r ＝10，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10．迁移与应用 1．x 2＋(y ＋4)2＝52．解：方法一：由题意得圆心在x 轴上．设圆心坐标为M (a,0)，则|MA |＝|MB |，即(a －5)2＋(0－2)2＝(a －3)2＋(0＋2)2， 解得a ＝4．所以圆心坐标为(4,0)，半径r ＝|MA |＝5． 所以圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝5．方法二：线段AB 的垂直平分线方程为y ＝－12(x －4)，即x ＋2y －4＝0．令y ＝0，得x＝4，所以圆心坐标为(4,0)，半径r ＝|MA |＝5．所以圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝5． 【当堂检测】 1．D 2．C 3．A 4．(x ＋2)2＋(y －1)2＝25 5．(x －2)2＋y 2＝10 4．1．2 圆的一般方程 课前预习导学 【预习导引】1．x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2 r ＝D 2＋E 2－4F 2预习交流1 提示：不是．只有当D 2＋E 2－4F ＞0时，该方程才表示圆； 当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2； 当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形． 2．坐标(x ，y )预习交流2 提示：求动点轨迹方程的步骤是： (1)设出动点M 的坐标为(x ，y )；(2)根据条件列出关于x ，y 的关系式f (x ，y )＝0； (3)化简f (x ，y )＝0． 课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：解答本题可直接利用D 2＋E 2－4F ＞0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数．解：方法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2． 因此，当m ＝2时，它表示一个点； 当m ≠2时，原方程表示圆， 此时，圆的圆心为(2m ，－m )， 半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|．方法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2， 因此，当m ＝2时，它表示一个点； 当m ≠2时，原方程表示圆， 此时，圆的圆心为(2m ，－m )， 半径为r ＝5|m －2|．迁移与应用 1．C 2．(2)(4)3．解：将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ，由1－5m ＞0得m ＜15．所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，15，圆心坐标为(－m ，1)，半径r ＝1－5m ．活动与探究2 思路分析：由于所求的圆过三个点，因而选用一般式，从而只要确定系数D ，E ，F 即可；注意到三角形外接圆的圆心为各边的垂直平分线的交点，所以也可先求圆心，再求半径，从而求圆的方程．解：方法一：设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0．则由题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧－D ＋5E ＋F ＋26＝0，－2D －2E ＋F ＋8＝0，5D ＋5E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20.故所求的圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0．方法二：由题意可求得AC 的中垂线方程为x ＝2，BC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0． ∴圆心P 是两条中垂线的交点(2,1)．∴半径r ＝|AP |＝(2＋1)2＋(1－5)2＝5．∴所求的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝25， 即x 2＋y 2－4x －2y －20＝0．迁移与应用 解法一：设方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－D 2＝－E 2，2－D ＋E ＋F ＝0，10＋D ＋3E ＋F ＝0.∴D ＝E ＝－2，F ＝－2．∴方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0．解法二：线段CD 的垂直平分线方程为x ＋y －2＝0． 又∵圆心在直线y ＝x 上，∴解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝x得圆心坐标为(1,1)．则半径r ＝(1＋1)2＋(1－1)2＝2．∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4， 则一般方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0．活动与探究3 思路分析：(1)已知动点M 到两定点的距离满足特定关系，求动点的轨迹方程，可以设出点M 的坐标，然后根据条件列出方程，化简可得轨迹方程．(2)N 点随M 点运动而运动，将M 点坐标用A ，N 两点坐标表示，再将M 点坐标代入(1)中的轨迹方程，即得N 的轨迹方程，从而得点N 的轨迹．解：(1)设动点M 的坐标为(x ，y )，∵A (2,0)，B (8,0)，|MA |＝12|MB |，∴(x －2)2＋y 2＝14[(x －8)2＋y 2]．化简得x 2＋y 2＝16，即动点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝16．(2)设点N 的坐标为(x ，y )， ∵A (2,0)，N 为线段AM 的中点， ∴点M 的坐标为(2x －2,2y )． 又点M 在圆x 2＋y 2＝16上，∴(2x －2)2＋4y 2＝16，即(x －1)2＋y 2＝4．∴点N 的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆． 迁移与应用 1．2x －3y －5＝02．解：设P (x ，y )，O 为原点，连接OP ，当x ≠0时，OP ⊥AP ，即k OP ·k AP ＝－1，∴y x ·yx －4＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0．①当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．【当堂检测】 1．C 2．B 3．D 4．x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0 5．x 2＋y 2＝4。

（一）教学目标1．知识与技能（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件.（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.2．过程与方法通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.3．情感态度与价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.（二）教学重点、难点教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F.教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.（三）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图课题引入问题：求过三点A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程.让学生带着问题进行思考设疑激趣导入课题.概念形成与深化请同学们写出圆的标准方程：(x–a)2 + (y –b)2 = r2，圆心(a，b)，半径r.把圆的标准方程展开，并整理：x2 + y2 –2ax – 2by + a2 + b2 –r2=0.取D = –2a，E = –2b，F = a2 +b2–r2得x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0①这个方程是圆的方程.反过来给出一个形如x2+ y2+ Dx+Ey + F = 0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0配方得整个探索过程由学生完成，教师只做引导，得出圆的一般方程后再启发学生归纳.圆的一般方程的特点：（1）①x2和y2的系数相同，不等于0.②没有xy这样的二次项.（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.（3）与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二通过学生对圆的一般方程的探究，使学生亲身体会圆的一般方程的特点，及二元二次方程表示圆所满足的条件.22224()()224D E D E Fx y +-+++=②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？（1）当D 2 + E 2– 4F ＞0时，方程②表示以(,)22D E--为圆心， 22142D E F +-为半径的圆； （2）当D 2 + E 2– 4F = 0时，方程只有实数解,22D Ex y =-=-，即只表示一个点(,)22D E--； （3）当D 2+ E 2– 4F ＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.综上所述，方程x 2 + y 2+ Dx + Ey + F = 0表示的曲线不一定是圆.只有当D 2 + E 2– 4F ＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x 2 + y 2+ Dx + Ey + F = 0的表示圆的方程称为圆的一般方程.次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显.应用举例例 1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.（1）4x 2 + 4y 2– 4x + 12y + 9 = 0（2）4x 2 + 4y 2– 4x + 12y + 11 = 0解析：（1）将原方程变为x 2 + y 2 – x + 3y +94= 0D = –1，E =3，F =94.∵D 2 + E 2– 4F = 1＞0 ∴此方程表示圆，圆心（12，32-），半径r =12.（2）将原方程化为x 2 + y 2 – x + 3y +114= 0 D = –1，E =3，F =114. 学生自己分析探求解决途径：①用配方法将其变形化成圆的标准形式.②运用圆的一般方程的判断方法求解.但是，要注意对于（1）4x 2 + 4y 2– 4x + 12y + 9 = 0来说，这里的D = –1，E = 3，94F =而不是D = –4，E = 12，F = 9. 通过例题讲解使学生理解圆的一般方程的代数特征及与标准方程的相互转化更进一步培养学生探索发现及分析解决问题的能力.D 2 +E 2 – 4F = –1＜0∴此方程不表示圆.例2 求过三点A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.解：设所求的圆的方程为：x 2 + y 2+ Dx + Ey + F = 0∵A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D 、E 、F 的三元一次方程组：即02042200F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解此方程组，可得：D = –8，E =6，F = 0∴所求圆的方程为：x 2 + y 2– 8x + 6y = 0221452r D E F =+-=； 4,322D F-=-=-. 得圆心坐标为(4，–3).或将x 2 + y 2– 8x + 6y = 0左边配方化为圆的标准方程，(x – 4)2+ (y+ 3)2= 25，从而求出圆的半径r = 5，圆心坐标为(4，–3).例2 讲完后 学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：1．根据题设，选择标准方程或一般方程.2．根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程组；3．解出a 、b 、r 或D 、E 、F ，代入标准方程或一般方程.例3 已知线段AB 的端点B 的坐标是(4，3)，端点A 在圆上(x + 1)2 + y 2= 4运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.解：设点M 的坐标是(x ，y )，点A的坐标是(x 0，y 0)由于点B 的坐标是(4，3)且M 是线段AB 中重点，所以 0043,22x y x y ++==，① 于是有x 0 = 2x – 4，y 0 = 2y – 3因为点A 在圆(x + 1)2 + y 2= 4上运动，所以点A 的坐标满足方程(x + 1)2教师和学生一起分析解题思路，再由教师板书.分析：如图点A 运动引起点M 运动，而点A 在已知圆上运动，点A 的坐标满足方程(x+ 1)2 + y 2= 4.建立点M 与点A 坐标之间的关系，就可以建立点M 的坐标满足的条件，求出点M 的轨迹方程.备选例题例1 下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心和半径.（1）x 2 + y 2+ x + 1 = 0；（2）x 2 + y 2 + 2ac + a 2= 0 (a ≠0)；（3）2x 2 + 2y 2+ 2ax – 2ay = 0 (a ≠0). 【解析】（1）因为D ＝ 1，E ＝ 0，F ＝ 1，所以D 2 + E 2– 4F ＜0 方程（1）不表示任何图形；（2）因为D ＝ 2a ，E ＝ 0，F ＝ a 2，所以D 2 + E 2 – 4F ＝ 4a 2 – 4a 2= 0， 所以方程（2）表示点(–a ，0)；（3）两边同时除以2，得x 2 + y 2+ ax – ay = 0，所以D = a ，E = – a ，F = 0. 所以D 2 + E 2– 4F ＞0， 所以方程（3）表示圆，圆心为(,)22a a -，半径|r a =. 点评：也可以先将方程配方再判断.例2 已知一圆过P (4，–2)、Q (–1，3)两点，且在y 轴上截得的线段长为圆的方程. 【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时，为简化运算，则利用垂径直径定理和由半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之.【解析】法一：设圆的方程为： x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ① 将P 、Q 的坐标分别代入①得4220310D E F D E F -+=-⎧⎨--=⎩令x = 0，由①，得y 2+ Ey + F = 0 ④由已知|y 1 – y 2| = y 1，y 2是方程④的两根.∴(y 1 – y 2)2 = (y 1 + y 2) – 4y 1y 2 = E 2– 4F = 48 ⑤ 解②③⑤联立成的方程组，得2012D E F =-⎧⎧⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=-⎩⎩D=-10或E=-8F=4 故所求方程为：x 2 + y 2 – 2x – 12 = 0或x 2 + y 2– 10x – 8y + 4 = 0. 法二：求得PQ 的中垂线方程为x – y – 1 = 0 ①∵所求圆的圆心C 在直线①上，故设其坐标为(a ，a – 1)， 又圆C的半径||r CP == ②由已知圆C 截y轴所得的线段长为C 到y 轴的距离为|a|.222r a =+ 代入②并将两端平方，得a 2– 5a + 5 = 0， 解得a 1 = 1，a 2 = 5.∴12r r ==故所求的圆的方程为：(x – 1)2+ y 2= 13或(x – 5)2+ (y – 4)2= 37.【评析】(1)在解本题时，为简化运算，要避开直接去求圆和y 轴的两个交点坐标，否则计算要复杂得多.（2）涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之，以简化运算.例3 已知方程x 2 + y 2 – 2(t + 3)x + 2(1 – t 2)y + 16t 4+ 9 = 0表示一个圆，求 （1）t 的取值范围；（2）该圆半径r 的取值范围.【解析】原方程表示一个圆的条件是D 2 +E 2 – 4F = 4(t + 3)2 + 4(1 – t 2)2 – 4(16t 4 + 9)＞0即7t 2– 6t – 1＜0，∴117t -<<（2）2222224224(3)(1)(169)76143167()77D E F r t t t t t t +-==++--+=-++=--+∴2160,07r r <≤<<②③。

4.1.2 圆的标准一般方程一、教学目标1、目标：（1）在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心、半径.掌握方程x2＋y2＋D x＋E y＋F=0表示圆的条件,通过对方程x2＋y2＋D x＋E y＋F=0表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析、解决问题的能力.（2）能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法和轨迹法求圆的方程.2、解析：圆的标准方程的优点在于明确直观地指出圆心坐标和半径的长.我们知道,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,它有利于研究圆的有关性质和作图.而由圆的一般方程可以很容易判别一般的二元二次方程中,哪些是圆的方程,哪些不是圆的方程,它们各有自己的优点,在教学过程中,应当使学生熟练地掌握圆的标准方程与圆的一般方程的互化,尤其是由圆的一般方程通过配方化为圆的标准方程,从而求出圆心坐标和半径.要画出圆,就必须要将曲线方程通过配方化为圆的标准方程,然后才能画出曲线的形状.这充分说明了学生熟练地掌握这两种方程互化的重要性和必要性.二、预习导引1，圆的一般方程的定义当D2+E2-4F＞0.时，二元二次方程称为圆的一般方程，此时圆心坐标，半径。

三，问题引领、探究新知问题1：前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法?问题2：这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢?问题3：给出式子x 2+y 2+D x +E y +F=0,请你利用配方法化成不含x 和y 的一次项的式子.问题4：把式子(x －a )2＋(y －b )2=r 2与x 2+y 2+D x +E y +F=0配方后的式子比较,得出x 2+y 2+D x +E y +F=0表示圆的条件.问题5：对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较,看各自有什么特点?师生活动：学生思考，回答。

教师总结后得出讨论结果：1、以前学习过直线,我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式,最后学习一般式.大家知道,我们认识一般的东西,总是从特殊入手.如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、…)展开整理而得到的.2、我们想求圆的一般方程,可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方程,把标准形式展开,整理得到,也是从特殊到一般.3、把式子x 2+y 2+D x +E y +F=0配方得 (x +2D )2+(y +2E )2=4422F E D -+. 4、(x －a )2＋(y －b )2=r 2中,r ＞0时表示圆,r =0时表示点(a ,b ),r ＜0时不表示任何图形. 因此式子 (x +2D )2+(y +2E )2=4422F E D -+. (ⅰ)当D 2+E 2-4F ＞0时,表示以(-2D ,-2E )为圆心,21F E D 422-+为半径的圆；(ⅱ)当D 2+E 2-4F=0时,方程只有实数解x =-2D ,y =-2E ,即只表示一个点(-2D ,-2E ); (ⅲ)当D 2+E 2-4F ＜0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形. 综上所述,方程x 2+y 2+D x +E y +F=0表示的曲线不一定是圆,由此得到圆的方程都能写成x 2+y 2+D x +E y +F=0的形式,但方程x 2+y 2+D x +E y +F=0表示的曲线不一定是圆,只有当D 2+E 2-4F ＞0时,它表示的曲线才是圆.因此x 2+y 2+D x +E y +F=0表示圆的充要条件是D 2+E 2-4F ＞0.我们把形如x 2+y 2+D x +E y +F=0表示圆的方程称为圆的一般方程.5、圆的一般方程形式上的特点:x 2和y 2的系数相同,不等于0.没有xy 这样的二次项.圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显.练习内化例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.(1)4x 2+4y 2-4x +12y +9=0;(2)4x 2+4y 2-4x +12y +11=0.解:(1)由4x 2+4y 2-4x +12y +9=0,得D=-1,E=3,F=49, 而D 2+E 2-4F=1+9-9=1＞0,所以方程4x 2+4y 2-4x +12y +9=0表示圆的方程,其圆心坐标为(21,-23),半径为21； (2)由4x 2+4y 2-4x +12y +11=0,得 D=-1,E=3,F=411,D 2+E 2-4F=1+9-11=-1＜0, 所以方程4x 2+4y 2-4x +12y +11=0不表示圆的方程. 点评:对于形如A x 2+B y 2+D x +E y +F=0的方程判断其方程是否表示圆,要化为x 2+y 2+D x +E y +F=0的形式,再利用条件D 2+E 2-4F 与0的大小判断,不能直接套用.另外,直接配方也可以判断.变式训练：求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x 2+y 2-8x +6y =0;(2)x 2+y 2+2by =0.(2)x 2+y 2+2by =0配方,得x 2＋(y +b )2=b 2,所以圆心坐标为(0,-b ),半径为|b |例2 ：求过三点O(0,0)、M 1(1,1)、M 2(4,2)的圆的方程,并求圆的半径长和圆心坐标. 解:方法一：设所求圆的方程为x 2+y 2+D x +E y +F=0,由O 、M 1、M 2在圆上,则有 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=.02024,02.0F E D F E D F 解得D=-8,E=6,F=0,故所求圆的方程为x 2+y 2-8x +6y =0,即(x －4)2＋(y +3)2=52.所以圆心坐标为(4,-3),半径为5.方法二：先求出OM 1的中点E(21,21),M 1M 2的中点F(25,23), 再写出OM 1的垂直平分线PE 的直线方程 y -21=-(x -21), ① AB 的垂直平分线PF 的直线方程 y -23=-3(x -25), ② 联立①②得⎩⎨⎧=+=+,93,1y x y x 得⎩⎨⎧-==.3,4y x则点P 的坐标为(4,-3),即为圆心.OP=5为半径.点评：请同学们比较,关于何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程.一般说来,如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往往设圆的一般方程.小结①圆的标准方程.②点与圆的位置关系的判断方法.③根据已知条件求圆的标准方程的方法.④利用圆的平面几何的知识构建方程.⑤直径端点是A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)的圆的方程是(x -x 1)(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0.设计意图：回顾和总结本节课的主要内容。