广东省惠州市惠阳一中实验学校高中数学 第一章 集合单元小结(无答案)新人教B版必修1

数学 必修1 复习知识提纲第一章 集合与函数概念 一 集合规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

集合有n 个元素，其子集有n 2个，真子集有12-n 个，非空真子集有22-n 个。

练习:（1）设集合{|M x y ==，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则M N = （答：[4,)+∞）； （2）}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+R A ，求a 的取值。

（答：a ≤0）二 函数1、求具体函数定义域(1)分母不为零； (2) 被开偶次方根数大于等于零； (3)对数式的真数大于零；(4)指数、对数式的底大于零且不等于1。

（5）0的0 次幂没意义。

(6)保证实际问题有意义。

2、函数值域常见求法： 1）、配方法；2）换元法。

练习:（1）、求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域（答：[4,8]）；（2）、当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是__（答：21-≥a ）； （3）、求3224-⨯-=xx y 值域，设x t 2=，相当求)0(,322>--=t t t y 。

提醒：运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围 3、求函数的解析式。

方程的思想练习:（1）、已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式（答：2()33f x x =--）； （2）、已知()f x 是奇函数，)(xg 是偶函数，且()f x +)(x g =11-x ,则()f x = __（答：21xx -）。

4、分段函数的概念。

练习:（1）、设函数2(1).(1)()41)x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围是____ ___（答：(,2][0,10]-∞- ）；（2）、已知1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是_____（答：3(,]2-∞）5、单调性。

1.2.1 集合之间的关系课堂探究探究一判断集合之间的关系判断两个集合A，B之间是否存在包含关系有以下几个步骤：第一步：明确集合A，B中元素的特征．第二步：分析集合A，B中的元素之间的关系．(1)当集合A中的元素都属于集合B时，有A⊆B.(2)当集合A中的元素都属于集合B，但集合B中至少有一个元素不属于集合A时，有A B.(3)当集合A中的元素都属于集合B，并且集合B中的元素都属于集合A时，有A＝B.(4)当集合A中至少有一个元素不属于集合B，并且集合B中至少也有一个元素不属于集合A时，有A⃘B，且B⃘A，即集合A，B互不包含．【典型例题1】 (1)设M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为( )A.P⊆N⊆M⊆Q B．Q⊆M⊆N⊆PC．P⊆M⊆N⊆Q D．Q⊆N⊆M⊆P(2)有下列关系：①0∈{0}；②∅{0}；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a，b)}＝{(b，a)}．其中正确的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：(1)由于四边形包括正方形、菱形、平行四边形，故集合M，N，Q均为P的子集，再结合正方形、菱形、平行四边形的概念易知Q⊆M⊆N⊆P.(2)①中根据元素与集合的关系可知0∈{0}正确；②中由空集是任意非空集合的真子集可知∅{0}正确；③中集合{0,1}的元素是数，而集合{(0,1)}的元素是点，因此没有包含关系，故③错误；④中集合中的元素是点，而点的坐标有顺序性，因此{(a，b)}≠{(b，a)}，故④错误．综上，应选B.答案：(1)B (2)B探究二确定集合的子集、真子集1．(1)集合A是集合B的真子集，需要满足以下两个条件：①集合A是集合B的子集；②存在元素x∈B，但x∉A.所以，如果集合A是集合B的真子集，那么集合A一定是集合B的子集，反之，不成立．(2)若集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，则A是B的子集，也是真子集，用符号A⊆B与A B均可，但用A B更准确．2．与子集、真子集个数有关的四个结论假设集合A中含有n个元素，则有：(1)A的子集的个数为2n；(2)A的真子集的个数为2n－1；(3)A的非空子集的个数为2n－1；(4)A的非空真子集的个数为2n－2.【典型例题2】集合A＝{x|0≤x<3，且x∈N}的真子集的个数是( )A．16 B．8 C．7 D．4解析：因为0≤x<3，x∈N，所以x＝0,1,2，即A＝{0,1,2}，所以A的真子集的个数为23－1＝7.答案：C【典型例题3】求满足条件{x|x2＋5＝0}M⊆{x|x2－1＝0}的集合M.思路分析：M是集合{x|x2－1＝0}的子集，又{x|x2＋5＝0}是空集，它是M的真子集，所以M不是空集．因此问题归结为求{x|x2－1＝0}的非空子集．解：因为{x|x2＋5＝0}＝∅，{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，其非空子集为{－1}，{1}，{－1,1}．探究三两个集合相等及其应用1．判断两个集合相等可以看两个集合中的元素是否相同，有两种方法：(1)将两个集合的元素一一列举出来，进行比较；(2)看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否一致，若均一致，则两个集合相等．2．两个集合相等的问题一般转化为解方程(组)，但要注意最后需检验，看是否满足集合元素的互异性．3．找好问题的切入点是解决集合相等问题的关键．【典型例题4】已知集合A＝{2，x，y}，B＝{2x,2，y2}，若A＝B，求x，y的值．思路分析：A＝B―→列方程组―→解方程组求x，y解：∵A＝B，∴集合A与集合B中的元素相同．∴或解得或或验证得，当x＝0，y＝0时，A＝{2,0,0}，这与集合元素的互异性相矛盾，舍去．∴x，y的取值为或探究四根据子集的关系，确定参数的值对于两个集合A，B，若A或B中含有待确定的参数(字母)，且A⊆B或A＝B，则集合B中的元素与集合A中的元素具有“包含关系”，解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的方法．1．分类讨论是指：(1)A⊆B在未指明集合A非空时，应分A＝∅和A≠∅两种情况来讨论．(2)因为集合中的元素是无序的，由A⊆B或A＝B得出的两个集合中的元素对应相等的情况可能有多种，因此需要分类讨论．2．数形结合是指对A≠∅这种情况，在确定参数时，需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清实心点与空心点，确定两个集合之间的包含关系，列不等式(组)求出参数．3．解决集合中含参数问题时，最后结果要注意验证．验证是指：(1)分类讨论求得的参数的值，还需要代入原集合中看是否满足互异性．(2)所求参数的取值范围能否取到端点值．【典型例题5】已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，Q＝{x|ax＋1＝0}，满足Q P，求a 的取值．思路分析：先明确集合P，再结合Q P对Q中的a分两种情况讨论．解：P＝{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}．当a＝0时，Q＝{x|ax＋1＝0}＝∅，Q P成立．当a≠0时，Q＝{x|ax＋1＝0}＝，要使Q P成立，则有－＝2或－＝－3，即a＝－或a＝.综上所述，a＝0或a＝－或a＝.反思本题易漏掉当a＝0时的情况，要清楚当a＝0时，ax＋1＝0是无解的，即此时Q 为空集．探究五易错辨析易错点忽略B为∅这一特殊情况而致误【典型例题6】 集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 满足的条件；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数．错解：(1)由题意并结合数轴(如下图)，≤3.m 2≤解得得 所以实数m 满足的条件是2≤m ≤3.(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，255.＝1－82的非空真子集的个数为A 所以 错因分析：(1)中忽略了B ＝∅时的情形；(2)中误认为是求A 的真子集或A 的非空子集的个数．正解：(1)①当B ＝∅时，∅⊆A ，符合题意，此时m ＋1>2m －1，解得m <2.②当B ≠∅时，由题意结合数轴(如下图)．≤3.m 2≤解得得 综合①②，可知m 满足的条件是m ≤3.(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，254.＝2－82的非空真子集的个数为A 所以 反思空集是一种特殊的集合，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．当B⊆A 时，B 可能为∅易被忽视，在条件不明确时，要注意分类讨论．。

必修一导学案 学科：数学 编号：15 编写人：朱亮 审核人： 使用时间：班级 姓名： 小组序号： 组长评价： 教师评价课题：函数的基本性质小结（第1课时）【学习目标】1、能记住函数的单调性与奇偶性的定义，能说出它们的几何意义。

2、会运用灵活函数的单调性与奇偶性 ，会解决函数问题。

3、体验数形结合与分类讨论的数学思想。

【学习重点与难点】1、教学重点：函数单调性、奇偶性和最值的研究。

2、教学难点：抽象函数问题的研究。

【使用说明与学法指导】1、带着预习案中问题导学中的问题自主设计预习提纲，通读教材27--38页内容，2、认真完成基础知识梳理，在“我的疑惑”处填上自己不懂的知识点，在“我的收获”处填写自己对本课自主学习的知识及方法收获。

3、熟记函数基础知识梳理中的重点知识。

预习案一、问题导学1、增函数、减函数、最值、奇函数、偶函数分别是如何定义的？2.判断和证明函数的单调性、奇偶性的步骤是怎样的？3.根据奇偶性和函数在（0，+∞）上的解析式，你能否求出函数在（-∞，0）上的解析式？二、知识梳理1.偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 。

奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 .2.若奇函数在定义域上有最大值M ，则此函数一定有最小值 .3.单调性是函数的 性质，奇偶性是函数的 性质.(填“整体”或“局部”).4.奇偶性实质是图像的对称性，奇函数关于 对称，偶函数关于 对称. 一个函数存在奇偶性的前提条件是 .三、预习自测1. 已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（ ）A.2a ≤-B.2a ≥-C.6-≥aD.6-≤a2．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A ．)2()1()23(f f f <-<- B ．)2()23()1(f f f <-<- C ．)23()1()2(-<-<f f f D ．)1()23()2(-<-<f f f . 3．下列判断正确的是（ ）A ．函数22)(2--=x x x x f 是奇函数 B ．函数()(1f x x =-C ．函数()f x x =+D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数4．若函数2()1x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________.探究案一、合作探究 探究1、已知函数()()0p f x x m p x=++≠是奇函数， (1) 求m 的值；（2）若1p =-，用定义证明函数()1f x x x =-在区间()0,+∞上的单调性。

高中数学第一章集合与常用逻辑用语总结(重点)超详细单选题1、已知集合M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N，则P的真子集共有（）A．2个B．3个C．4个D．8个答案：B分析：根据交集运算得集合P，再根据集合P中的元素个数，确定其真子集个数即可.解：∵M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5}∴P={1，3}，P的真子集是{1},{3},∅共3个.故选：B.2、已知集合A={1,2,3},B={(x,y)|x∈A,y∈A,|x−y∣∈A}中所含元素的个数为（）A．2B．4C．6D．8答案：C分析：根据题意利用列举法写出集合B，即可得出答案.解：因为A={1,2,3}，所以B={(2,1),(3,1),(3,2),(1,2),(1,3),(2,3)},B中含6个元素．故选：C.3、若集合A={x∣|x|≤1,x∈Z}，则A的子集个数为（）A．3B．4C．7D．8答案：D分析：先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.解：A={x∥x∣≤1,x∈Z}={−1,0,1}，则A的子集个数为23=8个，故选：D.4、已知集合M={x|1−a<x<2a}，N=(1,4)，且M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．(−∞,2]B．(−∞,0]C．(−∞,13]D．[13,2]答案：C分析：按集合M 是是空集和不是空集求出a 的范围，再求其并集而得解.因M ⊆N ，而ϕ⊆N ，所以M =ϕ时，即2a ≤1−a ，则a ≤13，此时 M ≠ϕ时，M ⊆N ，则{1−a <2a 1−a ≥12a ≤4⇒{a >13a ≤0a ≤2，无解，综上得a ≤13，即实数a 的取值范围是(−∞,13]. 故选：C5、已知集合P ={x|1<x <4}，Q ={x|2<x <3}，则P ∩Q =（ ）A ．{x|1<x ≤2}B ．{x|2<x <3}C ．{x|3≤x <4}D ．{x|1<x <4}答案：B分析：根据集合交集定义求解.P ∩Q =(1,4)∩(2,3)=(2,3)故选：B小提示：本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.6、已知集合S ={x ∈N|x ≤√5}，T ={x ∈R|x 2=a 2}，且S ∩T ={1}，则S ∪T =（ ）A ．{1，2}B ．{0，1，2}C ．{-1，0，1，2}D ．{-1，0，1，2，3}答案：C分析：先 根据题意求出集合T ，然后根据并集的概念即可求出结果.S ={x ∈N|x ≤√5}={0,1,2}，而S ∩T ={1}，所以1∈T ，则a 2=1，所以T ={x ∈R|x 2=a 2}={−1,1}，则S ∪T ={−1,0,1,2}故选：C.7、设集合A ={x |−2<x <4}，B ={2,3,4,5}，则A ∩B =（ ）A ．{2}B ．{2,3}C ．{3,4}D ．{2,3,4}答案：B分析：利用交集的定义可求A∩B.由题设有A∩B={2,3}，故选：B .8、下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}答案：C分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.多选题9、若集合A={x|x=m2+n2,m,n∈Z}，则（）A．1∈A B．2∈A C．3∈A D．4∈A答案：ABD解析：分别令m2+n2等于1,2,3,4，判断m,n是否为整数即可求解.对于选项A：m2+n2=1，存在m=0,n=1或m=1,n=0使得其成立，故选项A正确；对于选项B：m2+n2=2，存在m=1,n=1，使得其成立，故选项B正确；对于选项C：由m2+n2=3，可得m2≤3，n2≤3，若m2=0则n2=3可得n=±√3，n∉z，不成立；若m2=1则n2=2可得n=±√2，n∉z，不成立；若m2=3，可得n2=0，此时m=±√3，m∉z，不成立；同理交换m与n，也不成立，所以不存在m,n为整数使得m2+n2=3成立，故选项C不正确；对于选项D：m2+n2=4，此时存在m=0,n=2或m=2,n=0使得其成立，故选项D正确，故选：ABD.10、已知全集U =R ，集合A ={x|−2≤x ≤7}，B ={x|m +1≤x ≤2m −1}，则使A ⊆∁U B 成立的实数m 的取值范围可以是（ ）A ．{m|6<m ≤10}B ．{m|−2<m <2}C ．{m|−2<m <−12}D ．{m|5<m ≤8}答案：ABC分析：讨论B =∅和B ≠∅时，计算∁U B ，根据A ⊆∁U B 列不等式，解不等式求得m 的取值范围，再结合选项即可得正确选项.当B =∅时，m +1>2m −1，即m <2，此时∁U B =R ，符合题意，当B ≠∅时，m +1≤2m −1，即m ≥2，由B ={x|m +1≤x ≤2m −1}可得∁U B ={x|x <m +1或x >2m −1}，因为A ⊆∁U B ，所以m +1>7或2m −1<−2，可得m >6或m <−12， 因为m ≥2，所以m >6，所以实数m 的取值范围为m <2或m >6，所以选项ABC 正确，选项D 不正确；故选：ABC.11、“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）A ．m >14B ．0<m <1C ．m >2D ．m >1 答案：CD解析：先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.因为“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”，所以等价于二次方程的x 2−x +m =0判别式Δ=1−4m <0，即m >14. 所以A 选项是充要条件，A 不正确；B 选项中，m >14不可推导出0<m <1，B 不正确；C 选项中，m >2可推导m >14，且m >14不可推导m >2，故m >2是m >14的充分不必要条件，故C 正确；D 选项中，m >1可推导m >14，且m >14不可推导m >1，故m >1是m >14的充分不必要条件，故D 正确. 故选：CD.小提示：名师点评本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．12、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（ ）A ．函数F (x )是偶函数B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图．由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确；函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C 项错误，D 项正确．故选：ABD[0,1]13、使a∈R，|a|<4成立的充分不必要条件可以是（）A．a<4B．|a|<3C．−4<a<4D．0<a<3答案：BD分析：根据集合的包含关系，结合各选项一一判断即可.由|a|<4可得a的集合是(−4,4)，A.由(−4,4)⊂≠(−∞,4)，所以a<4是|a|<4成立的一个必要不充分条件；B.由(−3,3)⊂≠(−4,4)，所以|a|<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；C.由(−4,4)=(−4,4)，所以−4<a<4是|a|<4成立的一个充要条件；D.由(0,3)(−4,4)，所以0<a<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；故选：BD.填空题14、已知集合M={m|m=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|，x、y、z为非零实数}，则M的子集个数______答案：8分析：按x、y、z的正负分情况计算m值，求出集合M的元素个数即可得解.因为集合M={m|m=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|，x、y、z为非零实数}，当x、y、z都是正数时，m=4，当x、y、z都是负数时，m=-4，当x、y、z中有一个是正数，另两个是负数时，m=0，当x、y、z中有两个是正数，另一个是负数时，m=0，于是得集合M中的元素有3个，所以M的子集个数是8.所以答案是：815、设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2两个元素，Q中含有1，6两个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中a∈P，b∈Q，则P+Q中元素的个数是_________．答案：4分析：求得P+Q的元素，由此确定正确答案.依题意，0+1=1,0+6=6,2+1=3,2+6=8，所以P+Q共有4个元素.所以答案是：416、已知全集U=Z，定义A⊙B={x|a⋅b,a∈A,b∈B}，若A={1,2,3}，B={−1,0,1}，则∁U(A⊙B)______．答案：{x∈Z||x|≥4}分析：利用集合运算的新定义和补集运算求解.全集U=Z，定义A⊙B={x|a⋅b,a∈A,b∈B}，A={1,2,3}，B={−1,0,1}所以A⊙B={−3,−2,−1,0,1,2,3}，所以∁U(A⊙B)={x||x|≥4,x∈Z}.所以答案是：{x||x|≥4,x∈Z}解答题17、已知集合A={x|(x−a)(x+a+1)≤0}，B={x|x≤3或x≥6}.（1）当a=4时，求A∪B；（2）当a>0时，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围.答案：（1）A∪B={x|x≤4或x≥6}；（2）(0,3].解析：（1）当a=4时，解出集合A，计算A∪B；（2）由集合法判断充要条件，转化为A⊆B，进行计算.解：（1）当a=4时，由不等式(x−4)(x+5)≤0，得−5≤x≤4，故A={x|−5≤x≤4}，又B={x|x≤3或x≥6}，所以A∪B={x|x≤4或x≥6}.（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，等价于A⊆B，因为a>0，由不等式(x−a)(x+a+1)≤0，得A={x|−a−1≤x≤a}，又B={x|x≤3或x≥6}，要使A⊆B，则a≤3或−a−1≥6，综合可得a的取值范围为(0,3].小提示：名师点评有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：(1)若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；(2)若p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；(3)若p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；(4)若p是q的既不充分又不必要条件，q对应集合与p对应集合互不包含．18、已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．(1)若M⊆N，求实数a的取值范围；(2)若M⊇N，求实数a的取值范围．答案：(1)a∈∅(2)a≤3分析：（1）利用M⊆N，建立不等关系即可求解；（2）利用M⊇N，建立不等关系即可求解，注意当N＝∅时，也成立（1）∵M⊆N，∴{a+1≤22a−1≥5，∴a∈∅；（2）①若N＝∅，即a+1＞2a﹣1，解得a＜2时，满足M⊇N．②若N≠∅，即a≥2时，要使M⊇N成立，则{a+1≥22a−1≤5，解得1≤a≤3，此时2≤a≤3．综上a≤3．。

广东省惠州市惠阳一中实验学校【最新】高一数学必修1检测题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,2,4,1,3,5,7U A B ===，则()U A C B ⋂等于（ ） A ．{}2,4,6B ．{}1,3,5C ．{}2,4,5D ．{}2,42．已知集合A ={x |x 2-1=0}，则下列式子中：①1∈A ；②{-1}∈A ；③∅⊆A ；④{1，-1}⊆A ．正确的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．若f:A →B 能构成映射，下列说法正确的有 （ ） （1）A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一； （2）A 中的多个元素可以在B 中有相同的像； （3）B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像； （4）像的集合就是集合B .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．若函数()()2212f x x a x =--+在(],4-∞上是递减的，则a 的取值范围是（ ）A ．3a ≥-B ．3a ≤-C ．5a ≤D ．5a ≥5．下列各组函数是同一函数的是（ ）①()f x =与()f x =()f x y ==()f x x =与()g x =③()0f x x =与()01g x x=；④()221f x x x =--与()221g t t t =--． A ．① ② B ．① ③ C ．③ ④D ．① ④6．根据表格中的数据，可以判定函数()2xf x e x =--的一个零点所在的区间为（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()2,3D ．()1,27．若lg lg x y a -=,则33lg lg 22x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．3aB ．32a C ．aD ．2a 8．若定义运算,,b a b a b a a b<⎧⊕=⎨≥⎩ ，则函数212()log log f x x x =⊕的值域是（ ）A ．[1,)+∞B ．(0,1]C ．[0,)+∞D ．R9．函数y=a x 在[0，1]上最大值与最小值的和为3，则a= A ．2B ．12C ．4D ．1410．下列函数中，在(0，2)上为增函数的是( )A ．()12log 1y x =+B ．log y =C ．21log y x=D ．()2log 45y x x =-+ 11．下表显示出函数值y 随自变量x 变化的一组数据，判断它最可能的函数模型是（ ）A ．一次函数模型B ．二次函数模型C ．指数函数模型D ．对数函数模型12．下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ）①我离开学校不久，发现自己把作业本忘在教室，于是立刻返回教室里取了作业本再回家；②我放学回家骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；③我放学从学校出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速. A ．（1）（2）（4） B ．（4）（1）（2） C ．（4）（1）（3）D ．（4）（2）（3）二、填空题 13．函数()2f x x =+的定义域为 ． 14．若()f x 是一次函数，()41f f x x =-⎡⎤⎣⎦且，则()f x = ________. 15．已知幂函数()y f x =的图象过点(，则()9f =______．16．一次函数()f x ax b =+的零点为2，那么函数()2g x bx ax =-的零点为______.三、解答题17．已知集合{}121A x a x a =-<<+，{}01B x x =<<，若A B =∅，求实数a的取值范围.18．已知定义在R 上的函数()y f x =是偶函数，且0x ≥时，()()2ln 22f x x x =-+.（1）当0x <时，求()f x 解析式； （2）写出()f x 的单调递增区间.19．某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为4000元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？20．已知函数()()23(0)2012(0)x x f x x x x ⎧->⎪==⎨⎪-<⎩，（1）画出函数()f x 图像； （2）求()()()()21,3f a a R ff +∈的值；（3）当43x -≤<时，求()f x 取值的集合.21．探究函数4(),(0,)f x x xx=+∈+∞的最小值，并确定取得最小值时x的值.列表如下：请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题.函数4()(0)f x x xx=+>在区间（0，2）上递减；函数4()(0)f x x xx=+>在区间上递增.当x=时，y=最小.证明：函数4()(0)f x x xx=+>在区间（0，2）递减.思考：函数4()(0)f x x xx=+<时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）参考答案1．D 【解析】由题意可得：{}2,4,6U C B =， 结合交集的定义，则(){}2,4U A C B ⋂=. 本题选择D 选项.2．C 【解析】 【分析】先解得集合A 的元素．然后根据元素的具体情况进行逐一判断即可． 【详解】因为A ＝{x |x 2﹣1＝0}， ∴A ＝{﹣1，1} 对于①1∈A 显然正确；对于②{﹣1}∈A ，是集合与集合之间的关系，显然用∈不对； 对③∅⊆A ，根据集合与集合之间的关系易知正确； 对④{1，﹣1}⊆A ．同上可知正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查的是集合元素与集合的关系问题．在解答的过程当中充分体现了解方程的思想、逐一验证的技巧以及元素的特征等知识，属于基础题． 3．B 【解析】根据映射的定义，对于集合A 的每一个元素在集合B 中都有唯一的元素与其对应.所以(1)正确.(2)正确.（3）错.(4)错.B 中可以有多余元素. 4．D 【分析】利用二次函数的对称轴改变函数的单调性，只需对称轴14x a =-≥，解不等式即可求解. 【详解】函数()()2212f x x a x =--+，开口向上，在(],4-∞上是递减的，所以对称轴14x a =-≥， 解得5a ≥， 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，根据二次函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题. 5．C 【解析】 【分析】定义域相同，对应关系一致的函数是同一函数，由此逐项判断即可. 【详解】①中()f x =的定义域为(),0∞-，()f x =(),0∞-，但()f x ==-()f x =①不是同一函数；②中()f x x =与()g x =R ，但()g x x ==与()f x x =对应关系不一致，所以②不是同一函数； ③中()0f x x =与()01g x x =定义域都是{}|0x x ≠，且()01f x x ==，()11g x x ==对应关系一致，所以③是同一函数；④中()221f x x x =--与()221g t t t =--定义域和对应关系都一致，所以④是同一函数.故选C 【点睛】本题主要考查同一函数的概念，只需定义域和对应关系都一致即可，属于基础题型. 6．D 【分析】由给出的数据，求出对应的函数值(1)f -，(0)f ，()1f ，()2f ，()3f ，根据零点存在性定理：函数是连续不断的，当()()0f a f b <时，()f x 在区间(,)a b 存在零点，来判断零点所在的区间． 【详解】解：因为(1)0.3710f -=-<；(0)120f =-<；()1 2.7230f =-<； ()27.3940f =->； ()320.0950f =->所以()()120f f <；所以()f x 在区间(1,2)上有零点． 故选：D 【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用，求出函数在各端点值的符号是解题的关键，属于基础题． 7．A 【解析】lg lg x y a -=,lg ,x a y ⎛⎫∴=∴ ⎪⎝⎭33lg lg 22x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3332lg[]lg 3lg 32x x x a y y y ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭,故选A. 8．C 【分析】定义运算是取两者间较大者，由此求得分段函数()f x 的解析式，进而求得函数()f x 的值域. 【详解】根据定义运算,,b a ba b a a b <⎧⊕=⎨≥⎩可知，运算a b ⊕是取,a b 两者间较大值.()122log ,01log ,1x x f x x x <<⎧⎪=⎨⎪≥⎩ ，画出()f x 图像如下图所示，由图可知，函数()f x 的值域为[0,)+∞.故选C.【点睛】本小题主要考查新定义运算的理解和运用，考查分段函数解析式的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.9．A【分析】y=a x在[0，1]上是单调函数，即当x=0和1时，y=a x取得最值，代入即可得到最值.【详解】y=a x在[0，1]上是单调函数，即当x=0和1时，y=a x取得最值，由题意，a0+a1=3，即1+a=3，所以a=2，故选A．【点睛】这个题目考查了指数函数的单调性问题，指数函数的单调性由a和1的大小关系决定，当a>1时，函数单增，当0<a<1时函数单减,无论函数增减，均过定点（0，1）.10．DA ：()12log 1y x =+以12为底，则在()0,2上为减函数，错误；B ：2log y =()0,2，错误；C ：21log y x=在()0,2为减函数，错误； D ：()2log 45y x x =-+，令245,log u x x y u =-+=，则245u x x =-+在()0,2减函数，log y u =减函数，则原函数()2log 45y x x =-+在()0,2为增函数，正确， 故选D ． 11．A 【分析】观察图表中函数值y 随自变量x 变化规律，得到：随着自变量每增加1个单位，函数值增加2个单位，函数值是均匀增加的，由此可以确定该函数模型是一次函数模型. 【详解】根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2， 因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关根据实际问题选择函数模型的问题，在解题的过程中，需要认真分析题中所给的表格，分析所给的数据之间的关系，从而得到结果，属于简单题目. 12．B 【分析】根据开始后为0，不久又回归为0可得（1）与（4）吻合；根据中间有一段函数值没有发生变化，可得（2）与（1）吻合；根据函数的图象上升速度越来越快，可得（3）与（2）吻合. 【详解】（1）根据回学校后，离学校的距离又变为0，可判断（1)的图象开始后不久又回归为0，与（4）吻合；（2）由途中遇到一次交通堵塞，可判断中间有一段函数值没有发生变化，与（1）吻合； （3）由为了赶时间开始加速，可判断函数的图象上升速度越来越快，与（2）吻合, 所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（4）（1）（2），故选B.本题考查的知识点是函数的图象，数形结合思想的应用以及利用所学知识解答实际问题的能力，属于中档题. 13．【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足40{20x x +≥+≠，所以[4,2)(2,)x ∈--⋃-+∞考点：函数定义域 14．123x -或21x -+ 【分析】可设()()0f x ax b a =+≠，代入可得()41f f x x =-⎡⎤⎣⎦，可得关于a 与b 的方程，解方程可得到结论. 【详解】由题意可设()()0f x ax b a =+≠，()()2f f x a ax b b a x ab b ⎡⎤∴=++=++⎣⎦， 又()41f f x x ⎡⎤=-⎣⎦，241a ab b ⎧=∴⎨+=-⎩，解得213a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩或21a b =-⎧⎨=⎩， ()123f x x ∴=-或()21f x x =-+，故答案为123x -或21x -+.【点睛】本题主要考查函数的解析式，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式. 15．3 【分析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数()y f x =的解析式，再求()9f 的值.【详解】设()a y f x x ==，由于图象过点(,12,2a a ==， ()12y f x x ∴==，()12993f ∴==，故答案为3.【点睛】本题考查幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.16．10,2- 【分析】由已知条件找到,a b 之间的关系代入函数()g x ，再解()g x 对应的方程即可．【详解】因为函数()f x ax b =+有一个零点是2，所以20a b +=，即2b a =-所以()()2221g x ax ax ax x =--=-+ 所以由()210ax x -+=解得0x =或12x =- 所以函数()g x 的零点是10,2-【点睛】 本题考查函数零点的求法，属于简单题．17．[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦【分析】分别在A =∅和A ≠∅两种情况下来讨论，根据交集为空集可确定不等关系，从而求得结果.【详解】当121a a -≥+，即2a ≤-时，A =∅，满足A B =∅当121a a -<+，即2a >-时，A ≠∅若A B =∅，则需：210a +≤或11a -≥ 解得：122a -<≤-或2a ≥ 综上所述：[)1,2,2a ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦【点睛】 本题考查根据交集结果求解参数范围问题，易错点是忽略了对于集合为空集的讨论. 18．（1）0x <时，()()2ln 22f x x x =++；（2）(1,0)-和()1,+∞. 【分析】（1）设0x <，得0x ->，可求出()f x -的表达式，然后利用偶函数的性质得出 ()()f x f x =-得出函数()y f x =在0x <的解析式；（2）利用复合函数同增异减法得出函数()y f x =在[)0,+∞上的单调增区间和减区间，再利用偶函数的性质得出函数()y f x =在(),0-∞上的增区间，于此得出函数()y f x =的单调递增区间.【详解】（1）设0x <，得0x ->，此时()()()()22ln 22ln 22f x x x x x ⎡⎤-=--⨯-+=++⎣⎦， 由于函数()y f x =是R 上的偶函数，则()()()2ln 22f x f x x x =-=++， 因此，当0x <时，()()2ln 22f x x x =++； （2）当0x ≥时，()()2ln 22f x x x =-+，设()222211u x x x =-+=-+， 则内层函数()211u x =-+在[)0,+∞上的增区间为()1,+∞，减区间为()0,1， 外层函数ln y u =为增函数，由复合函数同增异减的规律可知，函数()y f x =在[)0,+∞上的的增区间为()1,+∞，减区间为()0,1.由于函数()y f x =是R 上的偶函数，所以，函数()y f x =在(),0-∞上的增区间为()1,0-，因此，函数()y f x =的单调递增区间为()1,0-和()1,+∞.【点睛】本题考查偶函数解析式的求解，考查复合函数单调区间的求解，考查函数的单调性与奇偶性的综合问题，解题时要注意函数奇偶性与单调性之间的关系，具体关系如下：（1）奇函数()y f x =在区间(),a b 和区间(),b a --上具有相同的单调性；（2）偶函数()y f x =在区间(),a b 和区间(),b a --上具有相反的单调性.19．（1）80辆；（2）当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元.【分析】（1）当每辆车的月租金定为4000元时，未租出的车辆数为400030002050-=，从而可得到租出去的车辆数；（2）设每辆车的月租金为x 元，租赁公司的月收益函数为y =f (x )，建立函数解析式，利用配方法求出最大值即可．【详解】（1）当每辆车的月租金定为4000元时，未租出的车辆数为400030002050-=，100﹣20=80， 所以这时租出了80辆车.（2）设每辆车的月租金定为 x 元，则租赁公司的月收益为30003000()(100)(150)505050x x f x x --=---⨯， 整理得21()(4050)30705050f x x =--+， 所以，当4050x =时， ()f x 最大，最大值为(4050)307050f =，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元.【点睛】本题考查二次函数的应用，结合实际问题列出合适的函数模型是解题的关键，属中档题. 20．（1） 图像（略）；（2）((3))f f =(5)f -＝11 ；(3){}|59y y -<≤.【解析】试题分析：（1）一次函数、二次函数的部分图像；（2）求函数值，只需代入解析式计算即可；（3）求不等式的解集，注意分段函数应分段分别求解，最后对各段的解求并集．试题解析：（1）图像（略）．作图时注意定义域中区间的端点函数值及是否包含端点．（2）22242(1)3(1)22f a a a a +=-+=--+，()(3)(6)13f f f =-=（3）当时，，解得，．当时，符合题意． 当时，，解得 综上，()2f x ≥时，x 的取值的范围为1{|001}2x x x x ≤-=<≤或或． 另解：由图像知，当()2f x ≥时，10012x x x ≤-=<≤或或 故x 的取值的范围为1{|001}2x x x x ≤-=<≤或或 考点：作分段函数的图像、求函数值、解不等式．21．(2,)+∞；当2 4.x y ==最小时证明见解析；(,0),2,4x x y ∈-∞=-=-最大时时【解析】试题分析：本题考查对勾函数的单调性，利用单调性定义进行证明. 试题解析：()2,+∞；当2 4.x y ==最小时证明：设12,x x 是区间，（0，2）上的任意两个数，且12.x x <()()()12121212121212444441f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()1212124x x x x x x --= ∵12120x x x x <∴-<又()12121212,0,204400x x x x x x y y ∈∴<<∴-∴-∴函数在（0，2）上为减函数. 思考：()4,0,2,4y x x x y x =+∈-∞=-=-最大时时。