下载文档原格式
北京师大附中2018－2019学年下学期高一年级期中考试数学试卷本试卷第一部分有三道大题，考试总时长100分钟，满分100分第一部分:中文卷(80分)一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.sin15cos15︒︒的值是( )A.14B.12【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二倍角的正弦公式与特殊角的三角函数求解即可. 【详解】sin15cos15sin15c 111112sin 3022os15224︒︒︒︒=⨯==⨯=,故选A. 【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.2.cos15cos 45sin15sin 45︒︒︒︒+等于( )A.12D. 1【答案】C 【解析】 【分析】直接逆用两角差的余弦公式，结合特殊角的三角函数求解即可. 【详解】cos15cos 45sin15sin 45︒︒︒︒+()3cos 4515cos30︒︒=-==故选C. 【点睛】本题主要考查两角差余弦公式与特殊角的三角函数，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题,3.已知平面向量(1,2),(1,0)a b =-=，则向量3a b +等于（ ） A. ()2,6-B. ()2,6--C. ()2,6D.()2,6-【答案】A 【解析】 【分析】直接根据平面向量的坐标运算法则求解即可. 【详解】因为(1,2),a =-所以()33,6a =-， 又因为(1,0)b =，所以()()331,602,6a b +=-++=-，故选A.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算法则，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.4.设m R ∈，向量(1,2),(,2)b a m m =-=-，若a b ⊥，则m 等于( )A. 23-B.23C. －4D. 4【答案】D 【解析】 【分析】直接利用向量垂直的充要条件列方程求解即可. 【详解】因为(1,2),(,2)b a m m =-=-，且a b ⊥，所以()(1,2)(,2)220a m m m m b ⋅=-⋅-=--=， 化为40m -=，解得4m =，故选D.【点睛】利用向量的位置关系求参数是命题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.5.若4cos 5a =-，α是第三象限的角，则sin()4πα+等于（ ）A. 10-B.10C. 10-D.22221:4AA A AC C CCv a r v v a v r === 【答案】A 【解析】 【分析】先由同角三角函数的关系求出α的正弦值，再利用两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数求解即可.【详解】因为4cos 5a =-，α是第三象限的角，所以3sin 5α==-，sin()4πααα+=342525⎛⎫⎛⎫=⨯-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10-，故选A. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系、两角和的正弦公式以及特殊角的三角函数，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.6.下列向量的线性运算正确的是（ ） A. AB AC BC += B. AB CB AC += C. AB CB AC -= D. AB AC BC -=【答案】C 【解析】分析：由三角形法逐一验证选项中的运算是否正确即可. 详解：对于,A 因为 AC AB BC -=,故A 选项错误；对于B ，AB CB AC -=，故B 选项错误；对于C ，AB CB AB CA AB CA AC -=-+=-=, 故C 选项正确； 对于D ，AB AC BC -=-，故D 选项错误，故选C.点睛：本题主要考查平面向量的线性运算，注意掌握三角形法则的应用是解题的关键.7.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么a b -等于（ ）A. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】 先求得12a b ⋅=，再求出2a b -的值，然后开平方即可得结果. 【详解】因为,a b 均为单位向量，且它们的夹角为60， 所以111,1,cos601122a b a b a b ==⋅==⨯⨯=， 2221211212a b a b a b -=+-⋅=+-⨯=， 1a b -=r r，故选A.【点睛】本题主要考查向量的模以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =.8.已知向量(1,2),(3,4)a b =-=，则2a a b -⋅=（ ）A. 0B. －1C. 2或－2D.12【答案】A 【解析】 【分析】先求出22145,385a a a b ==+=⋅=-+=，从而可得结果. 【详解】因为(1,2),(3,4)a b =-=，所以22145,13245a a a b ==+=⋅=-⨯+⨯=，所以2a ab -⋅=550-=，故选A.【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+.二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分。
2018-2019学年江苏省南京一中高一（下）2月月考数学试卷一、填空题1．（3分）等差数列{a n}中，a1+a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为．2．（3分）在△ABC中，a＝7，b＝4，则△ABC的最小角为弧度．3．（3分）在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为千米．4．（3分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若8a2+a5＝0，则＝．5．（3分）在△ABC中，∠B＝30°，AB＝2，面积S＝，AC＝．6．（3分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．7．（3分）在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝5，A＝，cos B＝，则边c＝．8．（3分）在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A、B、C的对边，若b＝2a，B＝A+60°，则A＝．9．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．已知a+c＝2b，sin B ＝sin C，则cos A＝．10．（3分）已知在△ABC中，D是AC边上的点，且AB＝AD，BD＝AD，BC＝2AD，则sin C的值为．11．（3分）已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S4＝2S2+4，若对任意的n∈N*，都有S n≥S8成立，则首项a1的取值范围．12．（3分）已知两个等差数列{a n}、{b n}，它们的前n项和分别是S n、T n，若＝，则＝．13．（3分）各项均为实数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10＝10，S30＝70，则S40等于．14．（3分）在△ABC中，若tan A tan B＝tan A tan C+tan c tan B，则＝．二、解答题15．设等比数列{a n}的前n项的和为S n，若S2+S3＝2S4，求数列的公比q．16．已知{a n}为等差数列，且a1+a3＝8，a2+a4＝12．（Ⅰ）求{a n}的通项公式（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，若a1，a k，S k+2成等比数列，求正整数k的值．17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，2a cos C+2c cos A＝a+c．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，且c﹣a＝8，求△ABC的面积S．18．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝，EA＝2．∠ADC＝，且∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列．（1）求sin∠CED；（2）求BE的长．19．市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域是半径为R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB ＝AD＝2万米，BC＝3万米，CD＝1万米．（注解：圆内接四边形对角互补）（1）求原棚户区建筑用地ABCD中对角A，C两点的距离；（2）请计算出原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆的半径R；（3）因地理条件的限制，边界AD，DC不能变更，而边界AB，BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P，使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值20．（16分）设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S n是前n项和．记b n＝，n∈N*，其中c为实数．（1）若数列{c n}满足c n＝，证明：数列{c n}等差数列（2）若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：S nk＝n2S k（k，n∈N*）；（3）若{b n}是等差数列，证明：c＝0．2018-2019学年江苏省南京一中高一（下）2月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a1+a5＝10，得2a3＝10，∴a3＝5．又a4＝7，∴数列{a n}的公差d为a4﹣a3＝7﹣5＝2．故答案为：2．2．【解答】解：∵在△ABC中，a＝7，b＝4，∴由大边对大角可知，边c所对的角C最小，由余弦定理可得：cos C＝＝＝．∵0＜C＜π，∴C＝．故答案为：．3．【解答】解：由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC＝x，∵∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，∴∠ACB＝180°﹣75°﹣60°＝45°∴AD＝x∴在Rt△ABD中，AB•sin60°＝xx＝（千米）答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：下由正弦定理求解：∵∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，∴∠ACB＝180°﹣75°﹣60°＝45°又相距2千米的A、B两点∴，解得AC＝答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为：4．【解答】解：∵8a2+a5＝0∴8a1q+a1q4＝0∴q＝﹣2∴＝故答案为：﹣11．5．【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝30°，AB＝2，面积S＝＝AB•BC•sin B＝，∴解得：BC＝2，∴由余弦定理可得：AC＝＝＝2．故答案为：2．6．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n＝a1q n﹣1，又4S2＝S1+3S3，即4（a1+a1q）＝a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为7．【解答】解：∵cos B＝，a＝5，A＝，∴sin B＝＝，∴由正弦定理可得：b＝＝＝4，∴由余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即：32＝25+c2﹣6c，解得：c＝7或﹣1（舍去）．故答案为：7．8．【解答】解：因为b＝2a由正弦定理得：sin B＝2sin A，∵B＝A+60°∴sin（A+60°）＝2sin Asin A+cos A＝2sin Acos A＝3sin Atan A＝，而A∈（0，180°）所以A＝30°故答案为：30°．9．【解答】解：将sin B＝sin C利用正弦定理化简得：b＝c，代入a+c＝2b中得a+c＝2c，即a＝c，∴cos A＝＝＝．故答案为：10．【解答】解：在△ABC中，D是AC边上的点，且AB＝AD，BD＝AD，则：在△ABD中，利用余弦定理可得：cos A＝＝＝，由于0＜A＜π，则：sin A＝＝，在△ABC中，利用正弦定理：，AB＝AD，BC＝2AD，解得：sin C＝．故答案为：．11．【解答】解：依题意，{a n}是公差为d的等差数列，S4＝2S2+4，即4a1+6d＝4a1+2d+4，所以d＝1，又因为对任意的n∈N*，都有S n≥S8成立，所以，所以，解得﹣8＜a1≤﹣7．故答案为：（﹣8，﹣7]．12．【解答】解：因为＝，所以设S n＝（2n+3）k，T n＝（3n﹣1）k，则＝＝＝＝＝＝．故答案为：．13．【解答】解：若公比q＝1，由S10＝10可得S30＝30≠70，故公比q≠1，∴S10＝＝10，①S30＝＝70，②可得＝1+q10+q20＝7，解得q10＝2，或q10＝﹣3，∵等比数列{a n}的各项均为实数，∴q10＝2，代回①式可得＝﹣10∴S40＝＝﹣10×（1﹣24）＝150故答案为：150．14．【解答】解：已知等式即，亦即，即＝1，即．所以，，故．故答案为：3．二、解答题15．【解答】解：∵S2+S3＝2S4，∴2a4+a3＝0，∴a4＝﹣a3，∴q＝﹣16．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差等于d，则由题意可得，解得a1＝2，d＝2．∴{a n}的通项公式a n＝2+（n﹣1）2＝2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得{a n}的前n项和为S n＝＝n（n+1）．∵若a1，a k，S k+2成等比数列，∴＝a1S k+2 ，∴4k2 ＝2（k+2）（k+3），k＝6 或k＝﹣1（舍去），故k＝6．17．【解答】解：∵2a cos C+2c cos A＝a+c由正弦定理：2sin A cos C+2sin C cos A＝sin A+sin C∴sin A+sin C＝2sin（A+C）＝2sin（π﹣B）＝2sin B∴a+c＝2b…①．（Ⅰ）∵，∴…②．由①②得：．（Ⅱ）∵c﹣a＝8，a+c＝2b．∴b＝a+4，c＝a+8，∵由余弦定理得：，解得：a＝6．∴b＝10．故得△ABC的面积．18．【解答】解：（1）由于∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列，可得：2∠BEC＝∠BCE+∠CBE，又∠CBE+∠BEC+∠BCE＝π，可得：∠BEC＝，设α＝∠CED，在△CDE中，由余弦定理得EC2＝CD2+ED2﹣2CD•DE cos∠CDE，即7＝CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6＝0，解得CD＝2或CD＝﹣3，（舍去），在△CDE中，由正弦定理得＝，则sinα＝＝＝，即sin∠CED＝．（2）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα＝＝＝，而∠AEB＝﹣α，∴cos∠AEB＝cos（﹣α）＝cos cosα+sin sinα＝﹣+＝，在Rt△EAB中，cos∠AEB＝＝，故BE＝＝＝4．19．【解答】解：（1）∵∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD＝2，BC＝3，CD＝1，∴由余弦定理，得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC cos∠ABC＝AD2+DC2﹣2AD•DC cos∠ADC∴cos∠ABC＝，∵∠ABC∈（0°，180°），∴∠ABC＝60°，∠ADC＝120°∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC cos∠ABC＝7，∴AC＝，即原棚户区建筑用地ABCD中对角A，C两点的距离为万米；（2）S ABCD＝由正弦定理，得2R＝，∴R＝；（3）S APCD＝S△ADC+S△APC，又S△ADC＝，设AP＝x，CP＝y，则S△APC＝xy，由余弦定理，得AC2＝x2+y2﹣2xy cos60°＝x2+y2﹣xy≥2xy﹣xy＝xy，∴xy≤7，当且仅当x＝y＝时取等号，∴S APCD＝，∴作AC的垂直平分线与圆弧ABC的交点即为点P，最大面积为．20．【解答】证明：（1），c n＝＝，∵c n+1﹣c n＝﹣＝为常数，∴数列{c n}等差数列；（2）若c＝0，则a n＝a1+（n﹣1）d，S n＝，．当b1，b2，b4成等比数列时，则，即：（a+）2＝a（a+），得：d2＝2ad，又d≠0，故d＝2a．因此：，S nk＝（nk）2a＝n2k2a，．故：S nk＝n2S k（k，n∈N*）；（3）b n＝＝＝＝．①若{b n}是等差数列，则{b n}的通项公式是b n＝A n+B型．观察①式后一项，分子幂低于分母幂，故有：，即c＝0，而≠0，故c＝0．经检验，当c＝0时{b n}是等差数列．。
江苏省扬州中学2018—2019学年第二学期期中卷高 一 数 学 2019.4一、选择题（每小题5分，合计50分）1．若直线过点(3,－3)和点(0,－4),则该直线的方程为（ ★ ） A ．y ＝33x －4 B. y ＝33x ＋4 C . y ＝3x －6 D. y ＝33x ＋2 2. 不等式201xx -<+的解集为（ ★ ） A. {}12>-<x x x 或 B. {}12<<-x x C. {}21>-<x x x 或 D. {}21<<-x x 3．如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11)在同一直线上，那么k 的值是（ ★ ） A. －6 B. －7 C. －8 D . －9 4．下列四个命题中错误的是( ★ )A ．若直线a ，b 互相平行，则直线a ，b 确定一个平面B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C ．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面5. 在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（ ★ ）A ．无解B ．一解C ． 二解D ．不能确定6．设m ，n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∥γ⇒β∥γ；② ⎭⎪⎬⎪⎫α⊥β m ∥α⇒m ⊥β；③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ∥β⇒α⊥β；④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n n ⊂α⇒m ∥α.其中正确的命题是( ★ ) A ．①④ B ．②③ C ．①③D ．②④7. 在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ★ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形8．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AD 的中点，则异面直线C 1E 与BC 所成的角的 余弦值是( ★ )A. 13B.1010C. 105D.223 9．已知b>a >0且a ＋b=1，则有 （ ★ ） A ． a ab b a b >>>+>21222B ． a ab b a b >>>+>22122 C ． ab a b b a 22122>>>>+ D ． a 2＋b 2＞b ＞a ＞12＞2a b10．三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，且BC AB ⊥，21===AA BC AB ，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ★ ）A ．π48B ．π32C ．π12D ．π8 二、填空题（每小题5分，合计30分）. 11．不等式2680x x -+->的解集为___▲____.12．若圆锥的母线长是5，高是 4，则该圆锥的体积是__▲____.13．过点)1,2(-P ，在x 轴上和y 轴上的截距分别是b a ,且满足b a 3=的直线方程为___▲____.14. 若钝角三角形ABC 三边长分别是,1,2()a a a a N ++∈，则三角形ABC 的周长为__▲___. 15．已知直线l :320mx y m -++=()m R ∈,则l 恒过定点___▲____.16. 在ABC ∆中，若sin 2cos cos C A B =，则22sin sin A B +的最小值为_ ▲ _. 三、解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分=70分）17．(5分+5分)在直三棱柱111C B A ABC -中, AB BC ⊥, D 为棱1CC 上任一点. (1)求证：直线11A B ∥平面ABD ； (2)求证：平面ABD ⊥平面11BCC B .18. (4分+8分)在锐角ABC △中，已知sin A =(1) 求cos()B C +的值； (2) 若2a =，ABC S =△b 的值.19. (6分+6分)如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且AD=DB ，点C 为圆O 上一点，且BC=AC ．点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD=DB ．（1）求证：PA ⊥CD ；（2）求二面角C ﹣PB ﹣A 的余弦值．20．(4分+8分)直线l 过点)1,2(-P 且斜率为k k (＞)1，将直线l 绕P 点按逆时针方向旋转45°得直线m ，若直线l 和m 分别与y 轴交于Q ，R 两点．（1）用k 表示直线m 的斜率；（2）当k 为何值时，PQR ∆的面积最小？并求出面积最小时直线l 的方程．21．(4分+8分)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB ，AC 和以BC 为直径的半圆弧BC ⌒组成，其中AC 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π3．若在半圆弧BC ⌒，线段AC ，线段AB 上各建一个观赏亭D ，E ，F ，再修两条栈道DE ，DF ，使DE ∥AB ，DF ∥AC .记∠CBD ＝θ（π3≤θ＜π2）．（1）试用θ表示BD 的长；（2）试确定点E 的位置，使两条栈道长度之和最大.22. (6分+6分)已知函数21()21x x f x -=+,（1）若存在0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式22(sin sin )(2sin )f f k θθθ-<-有解，求实数k 的 取值范围；（2）若函数()g x 满足[]()()222x xf xg x -⋅+=-，若对任意x ∈R 且0x ≠，不等式(2)()10g x m g x ⋅-≥恒成立，求实数m 的最大值．命题、校对: 凌卫红、江金彪、徐孝慧等(第21题图)。
上海市南洋模范中学2018-2019学年高一下学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题”是“sin sin A B >”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积为（ ） A.212R B.21sin1cos12R S C.()211sin1cos12R - D.()21sin1cos1R -3.已知知 △ABC 内接于单位圆.则长为sin A 、sin B 、sin C 的三条线段（ ） . A. 能构成一个三角形， 其面积大于△ABC 面积的12B. 能构成一个三角形， 其面积等于△ABC 面积的12C. 能构成一个三角形， 其面积小于△ABC 面积的12D. 不一定能构成三角形 4.已知函数f(x)=cos(sinx)，g(x)=sin(cosx)，则下列说法正确的是（ ）A.f(x)与g(x)的定义域都是[−1,1]B.f(x)为奇函数，g(x)为偶函数C.f(x)的值域为[cos1,1]，g(x)的值域为[−sin1,sin1]D.f(x)与g(x)都不是周期函数第II 卷（非选择题）二、解答题5.已知8tan cot 23απαα<<-=-, (1)求tan α的值；(2)求sin 22πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值． 6.在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C所对的边，且满足()2cos cos b A C =．(1)求A 的大小；(2)在(1)的条件下，现在给出三个条件:2,,4a B c π===，试从中选出两个可以确定ABC ∆的条件，写出你的选择，并以此为依据求ABC ∆的面积(请至少选出两种可行的方案)．7.如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空，ABC ∆外的地方种草，ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花，若1BC =，ABC θ∠=，02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，设ABC ∆的面积为1S ，正方形的面积为2.S(1)用θ表示1S 和2S ；(2)当θ变化时，求12S S 的最小值及此时角θ的大小.8.某种波的传播是由曲线()()()sin 0f x A x A ωφ=+>来实现的，我们把解析式()()sin f x A x ωφ=+称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A 类波”，把两个波的解析式相加称为波的叠加.(1)已如“1类波”中的两个波，()1sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭加后是一个“A 类波”，求A 的值；(2)已知三个不同的“A 类波”，从()()()()1122sin sin f x A x f x A x φφ=+=+，，()()33sin f x A x φ=+(其中123φφφ、、互不相同)，三个波叠加后是“平波”0y =，即()()()1230f x f x f x ++=，求()()()122331cos cos cos φφφφφφ---的值.9.某同学用“五点法”画函数()()sin 0,2f x A x πωφωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：(1)请写出上表的122x x y ,,及函数()f x 的解析式； (2)将函数()f x 的图像向右平移23π个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，求()g x 的解析式及()12log 2y g x ⎡=-⎢⎣⎦的单调递增区间；(3)在(2)的条件下，若()()()213F x g x a g x =+⋅-在()02019x π∈，上恰有奇数个零点，求实数a 与零点个数n 的值. 三、填空题10.已知角的终边在射线()0y x x =-≤上，则cos α=________. 11.已知()tan 3πθ-=，则3sin 2cos 2sin cos θθθθ-=+_______.12.已知3sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_______． 13.已知()tan 7,04πααπ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭,，则cos α=________. 14.函数sin2xy =的最小正周期为________.15.函数2cos 2sin 2y x x =+-的值域为_______.16.下图为函数()()sin 0,0,02f x A x A πωφωφ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图像，,M N 是它与x 轴的两个交点，,D C 分别为它的最高点和最低点，()0,1E 是线段MD 的中点，且OME ∆为等腰直角三角形，则()f x 的解析式为()f x =_____________.17.已知方程sin 1x x m =+在[]0x π∈，上有两个不相等的实数解，则实数m 的取值范围是_________.18.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120︒的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD ，已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径OA 的长约为________(精确到1米).19.设12,R αα∈，且()121201820192sin 2sin 2αα+=++，则()12tan αα+=_______.20.已知函数()()2sin 22cos10,f x x x x R ωωω=-+>∈，若函数()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内没有零点，则ω的取值范围为_________.参考答案1.C【解析】1.在三角形中，若A B >，则a b >，由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin A B >，若sin sin A B >，则正弦定理sin sin a b A B=，得a b >，则A B >，A B ∴>是sin sin A B >的充要条件，故选C. 2.D【解析】2.算出扇形的面积和三角形的面积后可得弓形的面积． 如图，AB 的长为2R ，故2AOB ∠=（弧度）， 所以211sin 2sin 222OAB S R R R ∆=⨯⨯⨯=， 而扇形的面积为2122S R R R =⨯⨯=， 故弓形的面积为()2221sin 21sin1cos12R R R -=-． 故选：D.3.C【解析】3.由正弦定理得asinA =bsinB =csinC =2，故以sin A 、sin B 、sin C 组成的三角形与△ABC 相似， 其面积为△ABC 面积的14, 选C. 4.C【解析】4.根据复合函数的性质结合三角函数的性质分别进行判断即可．A ．f(x)与g(x)的定义域都是R ，故A 错误，B ．f(−x)=cos(sin(−x))=cos(−sinx)=cos(sinx)=f(x)，则f(x)是偶函数，故B 错误，C ．∵−1⩽sinx ⩽1，−1⩽cosx ⩽1，∴f(x)的值域为[cos1，1]，g(x)的值域[−sin1，sin1]，故C 正确，D ．f(x +2π)=cos(sin(x +2π))=cos(sinx)=f(x)则f(x)是周期函数，故D 错误，故选：C ． 5.（1）3-（2）45【解析】5.（1）利用倒数关系可得关于tan α的方程，从而可得tan α的值． （2）利用万能公式可求cos2α，再利用诱导公式可得sin 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． （1）由8tan cot 3αα-=-可得18tan tan 3αα-=-，整理得到：23tan 8tan 30αα+-=，故tan 3α=-或1tan 3α=，因2παπ<<，故tan 0α<，所以tan 3α=-．（2）221tan 194sin 2cos 221tan 195παααα--⎛⎫-=-=-=-= ⎪++⎝⎭．6.（1）6π；（2）2,,14ABC a B S π∆===或2,,ABC a c S ∆==【解析】6.（1）利用正弦定理及两角和的正弦可得cos 2A =，从而得到A 的大小．（2）可以选择2,4a B π==或2,a c ==，两者都可以确定ABC ∆．前者可以用正弦定理算出另外两条边，从而求出面积，后者可利用余弦定理算出另外两条边，从而求出面积．（1）因为()2cos cos b A C =，所以()2sin cos cos B C A A C =，从而2sin cos cos cos B A C A A C =+即()2sin cos B A C A B =+，因sin 0B >，所以cos 2A =，因()0,A π∈，故6A π=．（2）选择2,4a B π==或2,a c ==，两者都可以确定ABC ∆．若2,4a B π==，则512C π=，由正弦定理有： sin sin sin a b cA B C==，故25sin sin sin 6412bcπππ==， 所以4sin4b π==，514sin4sin 4126422c πππ+⎛⎫==+=⨯= ⎪⎝⎭故111sin 1222ABC S bc A ∆==⨯⨯=．若2,a c ==，则由余弦定理有22222222cos 43c b bc A b b b =+-=-=，所以2b =，故c =，所以111sin 2222ABC S bc A ∆==⨯⨯= 所以2,4a B π==时1ABC S ∆=+或2,a c ==时ABC S ∆=．7.（1）2121sin cos sin cos 41sin cos S S θθθθθθ⎛⎫== ⎪+⎝⎭，；（2）最小值944πθ=，【解析】7.（1）在Rt ABC ∆中，可用,R θ表示,AB AC ，从而可求其面积，利用三角形相似可得PS 的长度，从而可得2S .（2）令sin 2t θ=，从而可得(]21144,0,14t t S t S ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，利用(]4,0,1s t t t=+∈的单调性可求12S S 的最小值.（1）在Rt ABC ∆中，cos ,sin AB AC θθ==，所以11sin cos 2S θθ=，02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，. 而BC 边上的高为sin cos sin cos 1θθθθ=， 设APS ∆斜边上的为1h ，ABC ∆斜边上的高为2h ， 因APSABC ∆∆，所以12sin cos sin cos h PS PSBC h θθθθ-==， 故sin cos 1sin cos PS θθθθ=+，故222sin cos 1sin cos S PS θθθθ⎛⎫== ⎪+⎝⎭，02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，. （2）()()212221sin cos 2sin 224sin 2sin cos 1si 1sin cos 2sin cos n cos S S θθθθθθθθθθθθ++===⎛⎫ ⎪+⎝⎭，令(]sin 2,0,1t t θ=∈，则()212214444t t S t t S+⎛⎫==++ ⎪⎝⎭. 令(]4,0,1s t t t=+∈，设任意的1201t t <<≤， 则()()1212121240t t t t s s t t ---=>，故(]4,0,1s t t t=+∈为减函数， 所以min 5s =，故m 12in94S S ⎛⎫=⎪⎝⎭，此时1t =即4πθ=. 8.（12）18-【解析】8.(1)利用两角和的正弦公式和辅助角公式化简()()12f x f x +可得所求的A . (2)利用两角和的正弦公式化简恒等式()()()1230f x f x f x ++=后可得312cos cos s 0co φφφ++=，123sin sin sin 0φφφ++=.平方消元后可得()121os 2c φφ=--，其余类似.(1) ()()12sin sin 63x f x f x x ππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭= sin coscos sinsin coscos sin6633x x x x ππππ+++=)sin cos n 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭=，故2A =. (2)由题设有()()()1230f x f x f x ++=，即()()()123sin sin sin 0x x x φφφ+++++=恒成立，所以112233cos sin cos sin cos sin sin cos s 0in cos sin cos x x x x x x φφφφφφ+++++=， 即()()123123cos sin sin cos co sin sin 0s cos x x φφφφφφ+++++=恒成立， 所以312cos cos s 0co φφφ++=，123sin sin sin 0φφφ++=. 所以()()122212cos cos sin sin 1φφφφ+++=， 故1122cos cos 2sin si 1n 2φφφφ=-+即()121os 2c φφ=--， 同理()()2331cos co 12s φφφφ==---，所以()()()1223311cos cos cos 8φφφφφφ---=-. 9.（1）122171,,()13323x x y f x x πππ⎛⎫====+ ⎪⎝⎭； （2）()5()2,226g x x k k k Z ππππ⎡⎫=++∈⎪⎢⎣⎭,；（3）2,3029a n ==.【解析】9.（1）根据表中数据可得关于,ωφ的方程组，解出,ωφ的值后可得122x x y ,,的值，再由表中数据可得A =.（2）先求出()g x 的解析式，再求出()12log 2y g x ⎡=-⎢⎣⎦的定义域，结合三角函数的单调性可得复合函数的单调增区间.（3）令sin t x =，设方程2310t at +-=的根为()1212,t t t t t t ==<，分①1111t t -<<<；②()[]121,1,1,1t t ∈-∉-；③[]()121,1,1,1t t ∉-∈-三种情况讨论()F x 在(]0,2π及()0,π上零点个数，再根据周期性得到()0,2019π的零点个数，结合题设条件可得a 的值及相应的零点个数.（1）根据表中的数据可得20332πωφππωφ⎧-⨯+=⎪⎪⎨⎪⨯+=⎪⎩ ，解得123ωπφ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故2312313232x x ππππ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎪⨯+=⎪⎩，所以234373x x ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又A =()21y =-=.所以()23x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）将函数()f x 的图像向右平移23π个单位，所得图像的解析式为： ()2332x x f x ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像， 故()g x x =. 此时()1122log log y g x x ⎡==⎢⎣⎦⎭，0x >，则1sin 2x >，故52,2,66x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭. 当2,262x k k ππππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭时，t x =为增函数， 故()12log 2y g x ⎡=-⎢⎣⎦为减函数；当52,226x k k ππππ⎡⎫∈++⎪⎢⎣⎭时，2t x -=为减函数； 故()12log y g x ⎡=⎢⎣⎦为增函数.所以()12log y g x ⎡=⎢⎣⎦的增区间为52,2,26k k k Z ππππ⎛⎤++∈ ⎥⎝⎦. (3)()23sin sin 1F x x a x =+⋅-，()F x 的周期为2T π=，当(]0,2x π∈时，令sin t x =，考虑方程2310t at +-=的根情况，因2120a ∆=+>，故2310t at +-=在R 必有两个不同的实数根1212,,t t t t t t ==<， 因为()F x 在()0,2019π有奇数个零点，故[]11,1t ∈-或[]21,1t ∈-.若1111t t -<<<，则方程1sin t x =、2sin t x =在(]0,2π共有4个不同的实数根， 在()0,π有0个实数根或2个实数根， 故()0F x =在()0,2019π有20191440362-⨯=个根或201914240382-⨯+=个根， 与()F x 有奇数个零点矛盾，舍去.若()[]121,1,1,1t t ∈-∉-，则1sin t x =在(]0,2π共有2个不同的实数根，在()0,π有0个实数根或2个实数根， 故()0F x =在()0,2019π有20191220182-⨯=个根或20191222018220202-⨯+=+=， 与()F x 有奇数个零点矛盾，舍去. 同理[]()121,1,1,1t t ∉-∈-也不成立，所以11t =-或21t =，若11t =-，则2a =，11,13t t ==-，方程1sin 3x =、1sin x -=在(]0,2π共有3个不同的实数根，而在()0,π上，1sin 3x =有两个不同的根，1sin x -=无解， 所以()0F x =在()0,2019π有201913230292-⨯+=个根，符合要求； 若11t =，则2a =-，11,13t t =-=，方程1sin 3x -=、1sin x =在(]0,2π共有3个不同的实数根，而在()0,π上，1sin 3x -=无解，1sin x =有一个根， 所以故()0F x =在()0,2019π有201913130282-⨯+=个根，与题设矛盾，舍去. 综上，2a =，()F x 在()0,2019π共有3029个不同的零点.10.2-【解析】10.利用角的余弦的定义可以计算其余弦值. 在α的终边选一点()1,1P -，则PO =cos 2α==-.故答案为：2-. 11.115【解析】11.先利用诱导公式求出tan θ，再利用商数关系将三角函数式化为与正切有关的代数式，从而得到所求的三角函数式的值.因为()tan 3πθ-=，所以tan 3θ=-，故cos 0θ≠，所以()()sin 323323sin 2cos 3tan 211cos sin 2sin cos 2tan 1231521cos θθθθθθθθθθ-⨯----====++⨯-++. 故答案为：115.【解析】12.先利用同角的三角函数的基本关系式可求cos α，再根据两角和的正弦可求sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 因为3sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5=-α，而1sin sin cos cos sin sin 3332πππααααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， 代入sin ,cos αα的值后可得134sin 3255πα⎛⎫⎛⎫+=⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，13.45【解析】13.先利用两角差的正切求出tan α，再根据同角的三角函数的基本关系式可求cos α的值． 因为713tan tan 441714ππαα⎡⎤-⎛⎫=+-== ⎪⎢⎥+⨯⎝⎭⎣⎦，又()0,απ∈， 由tan 0α>可得0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以14cos 554α=====．故答案为：45． 14.2π【解析】14.利用正弦函数的最小正周期求出sin y x =的最小正周期，从而可求sin 2xy =的最小正周期.因为sin y x =的最小正周期为2T π=，而sin y x =的图像是将sin y x =在x 轴上方的图像保持不动，x 轴下方的图像翻折到x 轴上方，故sin y x =的最小正周期为π，故sin 2x y =的最小正周期为212ππ=，故答案为：2π. 15.[]4,0-【解析】15.先利用平方关系把原函数化为关于sin x 的函数，换元后利用二次函数的性质可求原函数的值域.()222cos 2sin 2sin 2sin 1sin 1y x x x x x =+-=-+-=--，令sin t x =，则[]1,1t ∈-，故()[]210,4t -∈，故函数的值域为[]4,0-，故答案为：[]4,0-.16.2sin 44x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】16.先根据()0,1E 得到2D y =，从而得到A 的值，再根据OME ∆为等腰直角三角形得到18T=，解得周期后可得ω的值，最后利用最高点D 算出φ后可得()f x 的解析式. 因为()0,1E 是线段MD 的中点，故D 的纵坐标为2，所以2A =.因为OME ∆为等腰直角三角形，故1OM =，过D 作x 轴的垂线，垂足为F ， 则1OF =，故24T=即8T =，故28πω=即4πω=. 因()1,2D ，故22sin 14πφ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，故12,42k k Z ππφπ⨯+=+∈，所以2,4k k Z πφπ=+∈，而02πφ<<，故4πφ=.所以()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故答案为：2sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭.17.)1,1【解析】17.令()[]sin ,0,f x x x x π=∈，则直线1y m =+与()f x 的图像有两个不同的交点，考虑()f x 的单调性后可得实数m 的取值范围.令()[]sin ,0,f x x x x π=∈，则()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，当06x π≤≤时，332x πππ≤+≤，令3t x π=+，因sin y t =在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，3t x π=+在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，故()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数.当6x ππ<≤时，4233x πππ<+≤，令3t x π=+， 因sin y t =在4,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦为减函数，3t x π=+在,6ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦为增函数，故()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在,6ππ⎛⎤⎥⎝⎦为减函数.因26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0f =()f π=由直线1y m =+与()f x 12m ≤+<11m ≤<，故答案为：)1,1. 18.445m【解析】18.在DCO ∆中利用余弦定理求出OC 的长，从而可估计OA 的长． 由题设可知1050500OC =⨯=，650300AD =⨯=，在OCD ∆中，300OD OA =-，OC OA =，18012060CDO ∠=︒-︒=︒， 由余弦定理可以得到：2222cos60OC CD OD CD OD =+-⨯⨯⨯︒，即()()222500300500300OA OA OA =+--⨯-， 故490044511OA =≈（m ）． 故答案为：445m 19.1【解析】19.利用三角函数的有界性可求12sin ,sin 2αα的值，再得到12,αα的值后可得()12tan αα+的值.因为112si 2n α≤+≤，故1122s 11in α≤+≤， 同理()22018100920182sin 2α≤≤+，故()121201820192sin 2sin 2αα+≤++，当且仅当12sin 11α+=及()2201820182sin 2α=+时等号成立， 此时122k παπ=-，222,,2l k l Z παπ=-∈，故2,4l l Z παπ=-∈，故()12tan tan tan 321244k l πππππαα-+-⎛⎫+==- ⎪⎭=⎝. 故答案为：1.20.1150,,848⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】20.先把()f x 化为()24f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求出其零点的一般形式后利用函数()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内没有零点构建关于,k ω的不等式组，通过讨论k 的范围可得ω的取值范围. 因为()()2sin 22cos 10,f x x x x R ωωω=-+>∈，故()sin 2cos 224f x x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令()0f x =，则2,4x k k Z πωπ-=∈，故函数的零点为,28k x k Z ππωω=+∈.因为函数在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内无零点，故存在整数k ，使得()282128k k πππωωπππωω⎧+≤⎪⎪⎨+⎪+≥⎪⎩，故()141128k k ωω⎧≥+⎪⎪⎨+⎪≤+⎪⎩，因ω为正实数，故()111284k k ++≥+，故34k ≤， 又()11028k ++>，故1k ≥-，故1k =-或0k =.当1k =-时，108ω<≤，当0k =时，1548ω≤≤. 故1150,,848ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.故答案为：1150,,848⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.。
江苏省南通中学2018-2019学年度第二学期高一数学试卷一、选择题：（本小题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 圆2240x y x ++=的圆心坐标和半径分别是（ A ）A. (－2，0) 2B. (－2，0) 4C. (2，0) 2D. (2，0) 4 2．若方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则m 的取值范围是（ C ）A ．2m ≤B ．2m <C ．12m < D ．12m ≤3. 若直线1:260l ax y ++=与直线()2:150l x a y +-+=垂直，则实数a 的值是 （ A ）A. 23B. 1C. 12D. 24. 设m ，n 为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是 ( C )A ．m ⊥n ，α⇒⊥αB ．m ⊥n ，m ⊥α⇒αC ．，m ⊥α⇒n ⊥α D ．，α⇒α5. 设(,)P x y 为圆22(2)(1)1x y -+-=上任一点，(1,5)A -，则AP 的最小值是 ( B )A．4 C ．6 D ．3 6. 直线l 过点()1,3P ，且与轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是 （ A ）A. 360x y +-=B.3100x y +-=C. 30x y -=D. 380x y -+= 7. 直线l 过点P (1,2)，且M (2,3)、N (4,－5)到l 的距离相等，则直线l 的方程是 ( C )A. 4－6=0B. 4y －6=0C. 32y －7=0或4－6=0D.23y －7=0或4y －6=0 8. 已知点(1,0),(1,0)P Q -，直线b x y +-=2与线段相交，则b 的取值范围是 ( A )A. [-2,2]B. [-1,1]C. [-21,21] D. [0,2]9.在平面直角坐标系中，设直线2+-=x y 与圆()0222>=+r r y x 交于A ，B 两点．圆上存在一点C ，满足OB OA OC 4345+=，则r 的值是（ A ）3C.10.在平面直角坐标系中，过点P (－5，a )作圆x 2＋y 2－2＋2y －1＝0的两条切线，切点分别为11(,)M x y 、22(,)N x y ，且2112211220y y x x x x y y -+-+=-+，则实数a 的值是 （ B ）A.3B.3或2-C. 3-或2D.2 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11.已知两点(4,9),(2,3)P Q ，则以线段PQ 为直径的圆的标准方程为 ．22(3)+ (y-6)10x -=12.正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，则侧棱与底面所成角为 ．45°13.若直线l 的倾斜角的变化范围为,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则直线斜率的取值范围是.33⎣ 14.若点()n m M ,为直线0243:=++y x l 上的动点，则m 2＋n 2的最小值为．25415.一张坐标纸对折一次后，点()4,0A 与点()0,8B 重叠，若点()3,2C 与点(),D m n 重叠，则m n +=．716.在平面直角坐标系中，圆()()32:22=-++m y x C ，若圆C 上存在以G 为中点的弦，且2，则实数m 的取值范围为 ．[−√2,√2] 三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）如图，已知三棱柱111C B A ABC -中，1AA ⊥平面，＝，M ，N 分别是棱1CC ，的中点．（1）求证：⊥平面11A ABB ； （2）求证：∥平面1AMB ；18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,对应的边分别为c b a ,,，已知()1cos 32cos =+-C B A . （1）求角A 的大小； （2）若ABC ∆的面积5,35==b S ，求C B sin sin 的值.解：5(1);(2)37π19．（本小题满分14分）已知两直线 （1）求直线与的交点的坐标；（2）求过12,l l 交点P ，且在两坐标轴截距相等的直线方程； （3）若直线3:l 与、不能构成三角形，求实数的值.12:240,:4350.l x y l x y -+=++=1l 2l P 260ax y +-=1l 2l a解：（1）P (-2,1); (2)1=0或20; (3)8-123，，20.（本小题满分14分）如图，某海面上有O 、A 、B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东 45方向处，B 岛在O 岛的正东方向20km 处.（1）以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴正方向，1km 为单位长度，建立平面直角坐标系，写出A 、B 的坐标，并求A 、B 两岛之间的距离；（2）已知在经过O 、A 、B 三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一船在O 岛的南偏西30︒方向距O 岛40km 处，正沿着北偏东 45行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？解：（1）如图所示，A 在O的东北方向，B 在O 的正东方向20km ，∴(40,40)A 、(20,0)B ，由两点间的距离公式得||AB =km ）；（2）设过、A 、B 三点的圆的方程为220xy Dx Ey F ++++=，将(0,0)O 、(40,40)A 、(20,0)B 代入上式得22240404040020200F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩，解得20D =-、60E =-、0F =，所以圆的方程为2220600xy x y +--=，圆心为(10,30)，半径r =设船起初所在的位置为点C ，则(20,C --，且该船航线所在直线的斜率为1，由点斜式得船航行方向为直线:l 200x y -+-=，圆心到:l 200x y -+-的距离为 d ==，所以该船有触礁的危险．21.（本小题满分14分）已知圆C ：()1322=-+y x 与直线m ：360x y ++=，动直线l 过定点(1,0)A -.（1）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆C 相交于P 、Q 两点，点M 是的中点，直线l 与直线m 相交于点N ．探索AN AM ⋅是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． MCQPO解：（1）直线l 的方程为1-=x 或4340x y -+=． （2）∵CM ⊥MN ，∴AM •()AN AC CM =+•AN AC =•AN +CM •AN AC =•AN 若直线l 与x 轴垂直时，不符合题意；所以l 的斜率存在，设直线l 的方程为(1)y k x =+，则由36(1)13360513k x y k x k x y ky k --⎧=⎪=+⎧⎪+⇒⎨⎨++=-⎩⎪=⎪+⎩，即365(,)1313k k N k k ---++．∴55(,)1313kAN k k--=++，从而AM •AN AC =•51551313kAN k k--=+=-++． 综上所述，AM •AN 5=-． 22．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知圆C 经过()2,0A 、()0,0O 、()()00,>t t D 三点，M 是直线上的动点，12,l l 是过点B （1,0）且互相垂直的两条直线，其中1l 交y 轴于点E ，2l 交圆C 于P 、Q 两点．（1）若6t PQ ==，求直线2l 的方程； （2）若t 是使≤2恒成立的最小正整数，求三角形的面积的最小值．解：（I ）由题意可知，圆C 的直径为，所以，圆C 方程为：22(3)(1)10x y -+-=．1分设2l 方程为：(1)y k x =-，则222(21)3101k k -+=+，解得 10k =，243k =， (3)分0k =时，直线1l 与y 轴无交点，不合，舍去．所以，43k =此时直线2l 的方程为4340x y --=．（）设(,)M x y ，由点M 在线段上，得12x y t+=，即220x ty t +-=．由≤2ＢM ，得224220()()339x y -++≥．依题意知，线段与圆224220()()339x y -++≥至多有一个公共点，故88||t -≥t ≤t ≥．因为t 是使≤2恒成立的最小正整数，所以，4． 所以，圆C 方程为：22(2)(1)5x y -+-=（1）当直线2l ：1x =时，直线1l 的方程为0y =，此时，2EPQS =；（2）当直线2l 的斜率存在时，设2l 的方程为：()1-=x k y （0k ≠），则1l 的方程为：1(1)y x k=--，点1(0,)E k．所以，BE =又圆心Ｃ到2l，所以，PQ ==故12EPQ S BE PQ =⋅=．13分2<所以，()EPQ min S =。
华中师大一附中2018—2019学年度下学期高一期中检测数 学 试 题第I 卷（选择题，共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果0a b <<，那么下列不等式中正确的是A ．22a b > B ．2ab a > C ．2b ab > D ．||||a b < 【答案】A【详解】对于A 选项，，A 选项正确．令．对于C 选项，所以C 选项错误．对于B 选项，，故B 选项错误．对于D 选项，，故D 选项错误．综上所述，本小题选A ． 2．若函数()sin(2)f x x φ=+为R 上的偶函数，则φ的值可以是 A ．4π-B ．4π C ．2πD ．π 【答案】C3．若||2cos75,||4cos15a b ==，a 与b 的夹角为30，则a b ⋅的值是 A ．23 B ．3 C ．12 D ．32【答案】B【解析】由题意可得：||•||•cos，2sin15°4cos15°cos30°＝2sin60°，故选：B ．4．已知等比数列{}n a 的公比2q =，且123,1,a a a +成等差数列，则其前5项和为 A ．32 B ．30 C ．64 D ．62 【答案】D【解析】a 1，a 2+1，a 3成等差数列，∴2（a 2+1）＝a 1+a 3， ∴2（2a 1+1）＝a 1（1+22），解得a 1＝2；则其前5项和S 562；故选：D ．5．现存入银行a 万元，年利率为2.50%，若采用1年期自动转存业务，则恰好满5年后的本金和利息共有( )万元A ．31.025a ⨯ B ．41.025a ⨯ C ．51.025a ⨯ D ．61.025a ⨯ 【答案】C【解析】存入银行a 万元，年利率为2．50%，若采用1年期自动转存业务，第一年末的本利和为 1.025a ⨯万元，第二年末的本利和为21.025a ⨯万元，第三年末的本利和为31.025a ⨯万元，依次下去，第5年末的本利和为51.025a ⨯万元，答案选C6．已知向量,a b 满足()2a b a ⋅+=，且(1,2)a =，则向量b 在a 方向上的投影为A ．3- BC． D． 【答案】D【解析】由(1,2)a =，可得5a =，()2a b a ⋅+=，可得22a b a ⋅+=，∴3a b ⋅=-，∴向量b 在a 方向上的投影为35a b ⋅=-D ．7．数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n *()n N ∈项的和，若7143S π=，则4sin()2a π+=A ．12 B ．12-CD ．．8lg 2C =，则ABC ∆的形状是A ．直角三角形B ．等边三角形C ．不能确定D ．等腰三角形 【答案】D 【解析】sin sin lglg 2,2,sin 2cos sin cos sin cos sin A AA B C B C B C===，sin()2cos sin ,sin cos cos sin 0,B C B C B C B C +=-=sin()0,B C B C -==，等腰三角形．9．已知数列{}n a 满足12211111(1)(1)(1)(1)n na a a a a -⋅-⋅-⋅⋅-=（*n N ∈），则数列{}n a 的通项公式为A ．1n a n =+B ．n a n =C ．21n a n =-D 【答案】1)(1)n a -=111)(1)(1)n a --=-11)(1)n a -11(n n -=≥1的等差数列．于是10.,，数列数列{}n b 前n 项的和为n S ，若关于t 的不等式23n S t t <-*()n N ∈恒成立，则实数t 的取值范围为A ．(,1][4,)-∞-+∞B ．(,1)(4,)-∞-+∞C ．(1,4)-D ．[1,4]-12n n ++= 11n n ++-+11的最小值是4；②若0,2a b >>且3a b +=，则③已知n S 是等差数列{}n a 的前，则数列{}n S 中的最大项为11S ；④在ABC ∆中，若2ab c >其中正确的个数是A ．1B ．2C ．3D ． 4123(,,,,,)n A a a a a =(n N ∈列2431,,,,)n n a a a a a +--(括号中的第(2,2,2,2,)，且1a C ．48【解析】设序列A 的首项为d ，则序列(,1,2,)A d d d =++，则它的第n 项为1d n +-，因此序列A 的第n 项12111()()=(2)(4)(22)n n n a a a a a a a d d d d n -=+-+-++++++++-=1(1)(2)(1)a n d n n +-+--，则n a 是关于n 的二次多项式，其中2n 的系数为1，因为151,15a a =-=，所以1d =，则81(1)(2)(1)1742=48a a n n n =+-+--=-++或逆推可以或解方程点睛：本题主要考查数列的概念和表示，属于中档题。
江苏南师附中等五校2019高三下期初教学质量调研-数学2018、02本卷须知1、本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分、本试卷总分值为160分，考试时间为120分钟、2、答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内、试题的答案写在答．题卡．．上对应题目的答案空格内、考试结束后，交回答题卡、【一】填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分、请把答案填写在答题．．卡．相应位置上．．．．．、 1、集合A ={－1,0,1,2}，B ={x |x 2－x ≤0}，那么A ∩B =▲、2、设a 为实数，假设复数(1＋2i)(1＋a i)是纯虚数，那么a 的值是▲、3、某工厂对一批产品进行抽样检测，依照抽样检测后的产品净重〔单位：g 〕数据绘制的 频率分布直方图如下图，产品净重的范围是区间[96，106]，样本中净重在区间 [96，100)的产品个数是24，那么样本中净重在区间[98，104)的产品个数是▲、4、如下图的流程图的输出S 的值是▲、 〔第3题〕〔第4题〕5、假设将一颗质地均匀的骰子〔一种各面上分别标有1，2先后抛掷两次，那么两次点数之和为偶数的概率是▲、6、设k 为实数，向量a →＝(1，2)，→b ＝(－3，2)，且(ka →＋→b7、在平面直角坐标系xOy 中，假设角α的始边与x 〔x ＞0〕上，那么sin5α＝▲、 8.实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥-+2,2,02y x y x ，那么z ＝2x ＋y 的最小值是▲、9、双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到渐近线的距离是a ，那么双曲线的离心率的值是▲、10、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，C 、a ＝2，3b sin C －5c sin B cos A ＝0，那么△ABC 面积的最大值是▲、 11、定义在实数集R 上的偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数、假设f (1)＜f (ln x )，那么x 的取值范围是▲、12、假设点P 、Q 分别在函数y ＝e x 和函数y ＝ln x 的图象上，那么P 、Q 两点间的距离的最小值是▲、 13、一个数列只有21项，首项为1100，末项为1101，其中任意连续三项a ，b ，c 满足b ＝2aca ＋c ，那么此数列的第15项是▲、14、设a 1，a 2，…，a n 为正整数，其中至少有五个不同值.假设关于任意的i ，j (1≤i ＜j ≤n )，存在k ，l 〔k ≠l ，且异于i 与j 〕使得a i ＋a j ＝a k ＋a l ，那么n 的最小值是▲、【二】解答题：本大题共6小题，共90分、请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、15.〔本小题总分值14分〕如图，摩天轮的半径为50m ，点O 距地面的高度为60m ，摩天轮做匀速转动，每3min 转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最低点处.〔1〕试确定在时刻t 〔min 〕时点P 距离地面的高度；〔2〕在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过85m? (第15题) 16、〔本小题总分值14分〕如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥面ABCD ，AD ∥BC ，CD =13，AB=12，BC =10，AD ＝12BC .点E 、F 分别是棱PB 、边CD 的中点. 〔1〕求证：AB ⊥面PAD ； 〔2〕求证：EF ∥面PAD .〔〔第16题〕17、〔本小题总分值14分〕某商场销售某种商品的经验说明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3＜x ＜6，a 为常数、销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克、 〔1〕求a 的值； 〔2〕假设该商品的成品为3元/千克,试确定销售价格x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大、18、〔本小题总分值16分〕在平面直角坐标系xOy 中，如图，椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上、下顶点分别为A 、B ，点P错误！未找到引用源。
天才出于勤奋（共 10 页）（共 10 页）江苏省四校（南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学）2019届高三数学下学期期初调研检测试题6. 从 3 个男生、2 个女生中随机抽取 2 人，则抽中的 2 人不全是男生的概率是 ▲ .7. 已知正四棱锥的体积为4，底面边长为 2，则该正四棱锥的侧棱长为 ▲ ．3注意事项8．若将函数 y ＝cos x － 3sin x 的图象向左平移 m (m ＞0)个单位后，所得图象关于 y 轴对称，则实考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页，包含填空题(第 1 题～第 14 题，共 14 题)、解答题(第 15 题～第 20 9. 数 m 的最小值为 ▲ ． 函数 f (x )＝a ·e x －e －x 在 x ＝0 处的切线与直线 y ＝2x －3 平行，则不等式 f (x 2－1)＋f (1－x )＜0 题，共 6 题)两部分。
本次考试时间为 120 分钟。
考试结束后，只要将答题卡交回。
的解集为 ▲ ． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在10. 首项为7 的数列{a n }满足：(n ＋1)a n ＋1－(n ＋2)a n ＝0，则 a 2019－a 2018 的值为 ▲ ． 答题卡上，并用 2B 铅笔把答题卡上考试证号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮 擦干净后，再正确涂写。
3．答题时，必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。
4．如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
→ → 11. 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB ＝2，AD ＝1， AB · AC ＝5，则 cos ∠CAB ＝ ▲ ．(第 11 题)参考公式：1．锥体的体积公式为：V ＝1Sh ，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高；3n － －2．一组数据 x 1，x 2，…，x n 的方差为： s 2 ＝1 n ∑ (x i － x )2，其中 x 是数据 x 1，x 2，…，x n 的 i ＝113. 在平面直角坐标系 xOy 中， M ，N 是两定点，点 P 是圆 O ：x 2＋y 2＝1 上任意一点，满足： 平均数． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．上．．1．已知集合 A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4，5}，则 A ∩B ＝ ▲ ．PM ＝2PN, 则 MN 的长为 ▲ ．2．已知复数 z 满足(1－i)z ＝3＋i(i 为虚数单位)，则 z ＝ ▲ ．3. 一组数据 96， 98， 100，102， 104 的方差为 ▲ .4. 一个算法的伪代码如下图所示，执行此算法，已知输出值 y 为 2，则输入值 x 为 ▲ ．Read xIf x ≤0 Theny ← e x二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤．Else y ← x 2＋1End IfPrinty天才出于勤奋(第 4 题)5．已知双曲线x 2－y 2＝1(a ＞0)的一个焦点坐标为(2，0)，则它的离心率为 ▲ ．做题破万卷，下笔如有神（共 10 页） （共 10 页）n 16．（本小题满分 14 分）如图，在直四棱柱 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，已知点 M 为棱 BC 上异于 B ，C 的一点. （1）若 M 为 BC 中点，求证：A 1C //平面 AB 1M ；（2）若平面 AB 1M ⊥平面 BB 1C 1C, 求证：AM ⊥BC ．18．（本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2＋y 2＝1(a ＞b ＞0)，过左焦点 F (－ 3，0)的直线 l 与椭a 2b 2 圆交于 A ，B 两点．当直线 l ⊥x 轴时，AB ＝1． （1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若点 P 在 y 轴上，且ΔPAB 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线 AB 的方程．（第16 题）17.（本小题满分 14 分）如图，l 1 是经过城市 O 与城郊小镇 A 的东西方向公路，城市 O 与小镇 A 相距 8 3km ，l 2 是经过 城市 O 的南北方向的公路．现准备在城市 O 的西北区域内选址 P ，建造开发区管委会，并开发19．（本小题满分 16 分）已知函数 f (x )＝ln x ＋m （m ∈R ）的极大值为 1．x （第 18 题）三角形区域 PAO 与 PBO ．其中，AB 为计划修建的经过小镇 A 和管委会 P 的绕城公路(B 在 l 2 上，且位于城市 O 的正北方向)，PO 为计划修建的管委会 P 到城市 O 的公路，要求公路 PO 与公路PA 的总长为 16km(即 PO ＋PA ＝16)．设∠BAO ＝θ．（1）记 PA ＝f (θ)，求 f (θ)的函数解析式，并确定θ的取值范围； （2）当开发的三角形区域 PAO 的面积最大时，求绕城公路 AB 的长．（1）求 m 的值；（2）设函数 g (x )＝x ＋1，当 x 0＞1 时，试比较 f (x 0)与 g (x 0)的大小，并说明理由；e x（3）若 b ≥ 2 ，证明：对于任意 k ＜0，直线 y ＝kx ＋b 与曲线 y ＝f (x )有唯一公共点．e20．（本小题满分 16 分）已知 q 为常数，正．项．数列{a n }的前 n 项和 S n 满足：S n ＋(a n －S n )q ＝1，n ∈N *．（1）求证：数列{a n }为等比数列；（）若 ∈ ，且存在 ∈ ，使得 － 为数列 中的项． 2 q N * tN * 3a t ＋2 4a t ＋1{a n } （第 17 题）① 求 q 的值； ② 记 b ＝log a n ＋1列．做题破万卷，下笔如有神a n＋2，求证：存在无穷多组正整数数组(r，s，k)，使得b r，b s，b k 成等比数（共 4 页）（共 4 页）2019 届期初数学学科调研测试试卷数学 II （附加题）【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作．答．，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C 的方程为 x 2＝2py (p ＞0)，过点 P (m ，0)(m ≠0)的直线 l 与抛→ → → →物线 C 交于 A ，B 两点，与 y 轴交于点 Q ，设 PA ＝λ QA ， PB ＝μ QB (λ，μ∈R )．（1）当 Q 为抛物线 C 的焦点时，直线 l 的方程为 y ＝1x ＋1，求抛物线 C 的标准方程；3（2）求证：λ＋μ为定值．21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 共 3 小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．． 若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修 4-2：矩阵与变换] （本小题满分 10 分）－1 123．（本小题满分 10 分）（第 22 题）已知 m ∈R ，矩阵 A ＝（1）求实数 m ；的一个特征值为－2． m 0 设集合 M ＝{1，2，3，…，m }，集合 A ，B 是 M 的两个不同子集，记|A ∩B |表示集合 A ∩B 的元 素个数．若|A ∩B |＝n ，其中 1≤n ≤m －1，则称(A , B )是 M 的一组 n 阶关联子集对(（A ，B ）与（B ，（2）求矩阵 A 的逆矩阵 A －1．B ．[选修 4-4：坐标系与参数方程] （本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P 是曲线 E : {x ＝cos θ， y ＝2＋2cos θ（θ为参数）上的一 点．以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，以 C 为圆心的圆的极坐标方程为ρ＝ 2cos θ，求线段 PC 长的最大值．C ．[选修 4-5：不等式选讲] （本小题满分 10 分）已知 x ＞0，求证：x 3＋y 2＋3≥3x ＋2y ．A ）看作同一组关联子集对)，并记集合 M 的所有 n 阶关联子集对的组数为 a n ．（1）当 m ＝3 时，求 a 1，a 2；（2）当 m ＝2019 时，求{a n }的通项公式，并求数列{a n }的最大项．江苏省海门中学2019 年期初数学学科调研测试试卷一、填空题数学I参考答案（2）过B 作BP ⊥B1M ,垂足为P平面AB1M ⊥平面B1BCC1平面AB1M 平面B1BCC1 =B1MBP ⊂平面BB1C1C∴BP ⊥平面AB1M1. {2，3}2.1+2i3.84.15.2336.7107. 38.2π39.(0，1) 10.7211. 5714AM ⊂平面AB1M12. (－∞，－e]∪[e，＋∞) 13.3 14. 2＋ 3∴BP ⊥AM直四棱柱ABCD -A B C D 中,BB ⊥平面ABCDe e 2 5二、解答题1 1 1 1 1AM ⊂平面ABCD15.（1）因为cos B＝－5，B∈(0，π)，∴BB1 ⊥AM5所以sin B＝1－cos2B＝1－(－5)2＝2 5．5 5在三角形ABC 中，sin A＝sin(π－(B＋C))＝sin(B＋C)＝sin(B＋π)＝sin B cosπ＋cos B sinπ．4 4 4故sin A＝2 5× 2＋(－5)× 2＝10．又BP BB1 =BBP, BB1 ⊂平面BB1C1C∴AM ⊥平面BB1C1C又BC ⊂平面BB1C1C∴AM ⊥BC ．…………………14 分5 2 5 2 108×1017.解：（1）如图，在∆PAO 中，设PA =x ，l则因为PO +PA = 16 ，所以PO = 16 -x，由正弦定理知AC ＝BC ，所以BC＝AC·si n A＝ 10 ＝2 2. …………………6 分又因为AO = 8 3 ，∠BAO =θ，sin B sin A sin B 255所以由余弦定理得：x2 3)2⨯8 3x cosθ= (16 -x)2 ，……（2）在三角形ABC 中，cos A＝cos(π－(B＋C))＝－cos(B＋π)＝－cos B cosπ＋sin B sinπ，解得x ………4 分l ∙∙4 4 4 2 -3cosθ1 A O故cos A＝5× 2＋2 5× 2＝310．当∠POA =π时，(8 3)2 + (16 -x)2 =x2 ，解得x = 14 ，（第17 题）5 2 5 2 10 2因为cos2A＝2cos2A－1＝2(3 10)2－1＝4,此时，cosθ=．105sin2A＝2sin A cos A＝2×3 10× 10＝3，14 7π10105设0 <α<，且cosα=2，则结合P 位于城市O 的西北区域内，B 在l2 上，7因此cos(2A＋π)＝cos2A cosπ－sin2A sinπ＝4×2－3× 2＝2．…………………14 分π4 4 45 2 5 2 10 且位于O 北，得α<θ<，216．证明：（1）连接A1B 交AB1 于N做题破万卷，下笔如有神（共 10 页）（共 10 页）∵直四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AA 1B 1B 为平行四边形综上，公路 PA 段长关于θ 的函数解析式为 PA = 4 ，θ 的取值范围为 (α, π) ，2∴ N 为 A 1B 的中点 π其中， 0 < α< ，且 cos α = ………………………6 分又 M 为 BC 中点∴ MN // A 1C 又 A 1C ⊄ 平面 AB 1M 2 （2）由（1） PA = 7，α < θ < π ，结合 AO 3 ， ∠BAO = θ ， 2MN ⊂ 平面 AB 1M ∴ A 1C //平面 AB 1M .…………………6 分得开发的三角形区域 PAO 面积： S (θ) = 1AO ⋅ PA sin θ2 = 1 4sin θ 2做题破万卷，下笔如有神4e1 m2（2） ∆PAB 为P 为直角顶点的等腰直角三角形，设AB 中点为M ，∴AB = 2PM （2）f(x0)－g(x0)＝ln x0＋1－x0＋1＝1(ln x0＋1－x0（ⅰ）直线AB 与x 轴垂直，AB =1，OF = 3 ,x0不合题意，舍.2⎨22=，α<θ<π．⎧2 3cosθ2⎪∆≥0⎪所以S'(θ)=θ-θ)] 则⎪x +x-k2=⎪1 21+4k2=，α<θ<π．⎪ 12k 2- 4x x(2 cosθ)2 2⎪1⋅⎩=21+4k2由S'(θ) = 0 ，得θ=π，因为cosπ=<3，所以π>α，∴AB =| x -2x6 6 27 61 2 1 2 1 2) 4(1+k2 )=1+4kAB 中点为M 的横坐标为1+4k-k21+4k2所以，当θ=π时，[S(θ)]=S(π3 ，PM =-2| |6 max 61+4k2 2此时，AB =AO==)|=4(1+k)cosπ6 2即开发的三角形区域PAO 面积最大时，绕城公路AB 的长为16km ．…………14 分k∴k =11+ 4k21+ 4k 2⎧c⎪11直线AB 的方程为y =(11或y =(3)⎪ b218．解：（1）由已知，得⎨2⋅ =1综上：直线AB 的方程为y = 1 (或y = 1 (或y =0. (16)⎪ a⎪⎧a2 =4解得⎨⎪⎩b2 =1⎪a2 =b2+c2⎩19.解：（1）f '(x)＝1－m－ln x, 令f'(x)＝0 得：x＝e1－m,x2所以f(x)在(0，e1－m)单调增，在(e1－m，＋∞)单调减.2 1－m 1∴椭圆E 的标准方程为：x+y2 = 1．…………………4 分所以f(x)＝f(e)＝＝1, 得m＝1. ……………3 分－＋x0)做题破万卷，下笔如有神（共 10 页）（共 10 页）e x 0 x 0 e x 0(ⅱ)直线 AB 与 y 轴垂直， AB = 4 ， P 为 或 (0, -2) ，适合题意。
