湖南师大附中2017届高三数学上学期第二次月考试卷理附答案

【高效整合篇】专题七 集合与简易逻辑、算法、推理与证明、复数（一）选择题（12*5=60分）1．【福建省福州外国语学校2017届高三适应性考试（三）】设集合{}||1|3P x x =+≤，1|(),(2,1)3x Q y y x ⎧⎫==∈-⎨⎬⎩⎭，则P Q =（ ） A ．1(4,)9-B ．1(,2]9C ．1(,2]3D ．1(,2)3【答案】C2．【重庆市第八中学2017届高三上学期第二次适应性考试】已知首项为正的等比数列{}n a 的公比为q ，则“01q <<”是“{}n a 为递减数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由于数列首项为正，根据11n n a a q -=，当01q <<时，数列是递减数列，反之也成立，故为充要条件.3．【2017届四川成都市高三一诊考试】命题“若a b >，则a c b c +>+”的否命题是（ ）．A ．若a b ≤，则a c b c +≤+B ．若a c b c +≤+，则a b ≤C ．若a c b c +>+，则a b >D ．若a b >， 则a c b c +≤+【答案】A【解析】 “若p 则q ”的否命题是“若p ⌝则q ⌝”，所以原命题的否命题是“若b a ≤，则c b c a +≤+”，故选A.4．【2017届河北衡水中学高三12月月考】已知21i z i=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】()()()2121111i i i z i i i i -===+++-,1z i =-,所以z 的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选D ．5．【2017届江西省高三第三次联考】已知()2 a i b i a b R i+=+∈，，其中i 为虚数单位，则a b +等于（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】由题意得，()2a i i b i +=+，即21a i bi +=-+，所以 1 2a b =-=，，所以1a b +=，故选B.6．【黑龙江、吉林两省八校2017届高三上学期期中】已知：命题p ：若函数||)(2a x x x f -+=是偶函数，则0=a .命题q ：),0(+∞∈∀m ，关于x 的方程0122=+-x mx 有解.在①q p ∨；②q p ∧；③q p ∧⌝)(；④)()(q p ⌝∨⌝中为真命题的是（ ）A ．②③B ．②④C ．③④D ．①④【答案】D7．【2017届四川凉山州高三上学期一诊】公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）1.732≈，sin150.2588︒≈，sin 7.50.1305︒≈）A ．12B ．24C ．36D ．48【答案】B8．【2017届广东省高三上学期阶段性测评一】执行如图所示的程序框图，若[][] 0 4x a b y ∈∈，，，，则b a -的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】程序框图的功能为求分段函数21 04 0x x y x x x +<⎧=⎨-≥⎩，，的函数值， 如图可知[]2 a b ∈，，当0 2a b ==，或 2 4a b ==，时符合题意，∴2b a -≥．选A ．9．【2017届安徽皖南八校高三联考二】中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”愿意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，则9117用算筹可表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由定义知: 千位9为横式；百位1为纵式；十位1为横式；个位7为纵式，选A10．【2017届河北定州中学高三高补班周练9.25】已知三角形的三边分别为,,a b c ，内切圆的半径为r ，则三角形的面积为()12s a b c r =++；四面体的四个面的面积分别为1234,,,s s s s ，内切球的半径为R ．类比三角形的面积可得四面体的体积为（ ） A. ()123412V s s s s R =+++ B. ()123413V s s s s R =+++ C. ()123414V s s s s R =+++ D. ()1234V s s s s R =+++ 【答案】D【解析】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．类比三角形的面积可得四面体的体积为：)(314321S S S S R V +++=．故选D.11．【2017届湖南师大附中高三上月考三】将圆的一组n 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录k （k n ≤）个点的颜色，称为该圆的一个“k 阶色序”，当且仅当两个k 阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k 阶色序．若某国的任意两个“k 阶色序”均不相同，则称该圆为“k 阶魅力圆”．“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C12．【2017届辽宁庄河市高级中学高三9月月考】观察下列各等式：5325434+=--，2622464+=--，7127414+=--，102210424-+=---，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（ ）A ．()82484n n n n -+=---B ．()()()15121414n n n n ++++=+-+- C ．()42444n n n n ++=-+- D ．()()1521454n n n n +++=+-+- 【答案】A 【解析】各等式可化为：()585254854-+=---，()282224824-+=---，()787274874-+=---． ()1081021048104-+=---，可归纳得一般等式：()82484n n n n -+=---，故选项为A.（二）填空题（4*5=20分）13．【2017届江苏如东高级中学等四校高三12月联考】若“x ∃∈R ，220x x a ++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是__________．【答案】()1,+∞【解析】由题意得“x ∀∈R ，220x x a ++>”是真命题，因此440 1.a a ∆=-<⇒>14．【2017届四川双流中学高三必得分训练1】已知命题:p m R ∈，且10m +≤；命题2:,10q x R x mx ∀∈++>恒成立，若p q ∧为假命题，则m 的取值范围是__________．【答案】(],2(1,)-∞--+∞15．【2017届江西吉安一中高三周考12.11】图中是应用分形几何学做出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图，我们彩用 “坐标”来表示图乙各行中的白圈黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数）比如第一行记为()0,1，第二行记为()1,2，第三行记为()4,5，照此下去，第四行中白圈与黑圈的“坐标”为_________．【答案】()13,14【解析】有图甲所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为2个黑圈1个白圈，记某行白圈x 个，黑圈y 个为(),x y ，则第一行记为()0,1，第二行记为()1,2，第三行记为()4,5，第四行白圈数为25414⨯+=，黑圈数为52413+⨯=，第四行中白圈与黑圈的“坐标”为()13,14，故答案为()13,14．。

炎德·英才大联考湖南师大附中2017届高三月考试卷(四）数学(文科）命题人：贺忠良洪利民黄钢审题人：高三文科数学备课组本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共10页.时量120分钟。

满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是(A）（A)等腰三角形(B)直角三角形（C)钝角三角形(D)锐角三角形【解析】由集合里元素的互异性可知选A.（2)已知命题p：若a>b，则a2〉b2；q：“x≤1”是“x2＋2x－3≤0"的必要不充分条件．则下列命题是真命题的是(B）（A)p∧q（B）綈p∧q（C)綈p∧綈q（D）p∧綈q【解析】命题p：若a〉b,则a2>b2，不正确，举反例：取a＝1,b＝－2，不成立；q：由x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，因此“x≤1”是“x2＋2x －3≤0”的必要不充分条件，是真命题．∴p∧q，綈p∧綈q,p∧綈q，是假命题，綈p∧q是真命题，故选B.(3)已知等差数列{a n｝的前n项和为S n，若a2＝7，a6＋a8＝－6，则S n取最大值时，n的值为(C）(A）3 (B)4 (C)5 (D)6【解析】在等差数列｛a n}中,由a6＋a8＝－6，得2a7＝－6，a7＝－3又a2＝7，∴d＝错误!＝错误!＝－2，∴a n＝a2＋（n－2）d＝7－2（n －2）＝11－2n.由a n＝11－2n〉0，得n<错误!,∵n∈N＊,∴S n取最大值时，n的值为5.故选C.（4）函数y＝错误!的图象大致为（B）【解析】易得该函数为奇函数可排除A，C，当－1<x<0时y〉0,故选B.(5)过抛物线y2＝2px(p〉0）的焦点的直线交抛物线于A，B两点，且|AB｜＝4，这样的直线可以作2条，则p的取值范围是(D)（A）(0,4）(B)(0，4] (C）（0，2］(D)（0，2)【解析】由已知可得0〈2p〈4⇒p∈(0,2），故选D.（6)已知a n＝log n＋1（n＋2)（n∈N*)，观察下列算式:a1·a2＝log23·log34＝错误!·错误!＝2;a1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·…·log78＝错误!·错误!·…·错误!＝3,…;若a1·a2·a3·…·a m＝2 016(m∈N＊），则m的值为(C）（A)22 016＋2 （B）22 016（C)22 016－2 (D)22 016－4【解析】由已知得a1·a2·a3·…·a m＝错误!＝2 016，lg（m＋2)＝lg 22 016，解得m＝22 016－2。

湖南师大附中2025届高三月考试卷(二)英语第二部分阅读(共两节，满分50分)第一节(共15小题；每小题2.5分，满分37.5分)阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。

AThe Virgin Islands National Park is a tropical(热带的)paradise on the island of St. John,which covers more than half of the small island.It is surrounded by the Atlantic Ocean to the north and the Caribbean Sea to the south,where the climate is warm all year.The island's white sand beaches and clear blue seas are considered to be among the most beautiful in the Caribbean,gaining reputation and popularity among visitors across the world.How the national park was formedLaurence Rockefeller was an American millionaire,businessman and conservationist.He visited St.John in the 1950s. He quickly fell in love with the island's clean,pure beauty.He first purchased a small resort there, Caneel Bay. He also purchased more than 2,000 hectares of the island and donated it to the government.That donation created the U.S.Virgin Islands National Park.It was officially opened as a national park on December 1,1956.How to get to the parkThe only way to reach the park is by boat.Some people arrive on their own sailboats.Others come in on large cruise ships.Visitors also arrive on water taxis from the island of St.Thomas.What to do at the parkFrom the tropical hills to the blue waters there are many things to do at the Virgin Islands National,Park.Visitors enjoy fishing,camping,sailing,scuba diving, snorkeling (浮潜),and bird watching.Of all of the park's beaches,Trunk Bay Beach is said to be the most striking.Below the clear blue water is a 200-meter snorkeling path. Hawksnest Beach is also a popular place for snorkeling.Near the shore are three small reefs of Elkhorn Coral.The Elkhorn Coral gets its name from its shape.The reef looks similar to the huge horns(角)of an animal called elk.It is a very rare kind of reef.Scientists say it is in danger of becoming extinct.The Virgin Islands National Park is often called America's paradise.It protects St. John's pristine nature,and preserves the record of human history in the Caribbean.Don't hesitate! Come here and put yourself in the paradise!1. What is most likely attractive to tourists when they visit the Virgin Islands National Park?A. Its tropical climate.B. Its location.C. Its beautiful scenery.D. Its activity.2. What can we learn about the Virgin Islands National Park?A. An animal called elk is at risk of becoming dying out.B. Visitors can choose any means of transportation to get to the park.C Laurence's donation greatly contributed to the foundation of the park..D. There is a 200-meter snorkeling path beneath the water of the Hawksnest Beach.3. Where is the text probably taken from?A. A speech script.B. A travel brochure.C. An academic essay.D. A geographic journal.BBoeing’s Starliner spacecraft landed in a New Mexico desert late on Friday,months after its original departure date and without the two astronauts it carried when it launched in early June.The Nasa astronauts Suni Williams and Butch Wilmore should have flown the Starliner back to Earth in June, a week after launching in it.But thruster (推进器) failures and helium (氦气) leaks marred their ride. Instead, they will remain at the International Space Station (ISS) for the rest of the year and will return in February aboard the SpaceX Dragon spacecraft.their empty seats and blue spacesuits along with some old station equipment.After Nasa’s space shuttles were retired more than a decade ago, Nasa hired Boeing and SpaceX for orbital (轨道的) taxi service. Boeing ran into so many problems on its first test flight with no one onboard in 2019 that it had to repeat it. The 2022 do-over uncovered even more flaws and the repair bill topped $1.5bn.The Starliner finally blasted into space on 5 June from Florida’s Cape Canaveral Space Force Station after unsuccessful launches on 6 May and 1 June. On the first launch attempt,a problem was found with a valve (阀门) on the second stage,or upper portion, of the rocket. On the second,a computer tripped an automatic hold just three minutes and 50 seconds from liftoff. That was later attributed to a single ground power supply fault within one of the launch control computers.Even after it successfully launched,helium leaks continued to trouble the spacecraft. As the Starliner approached the ISS, two leaks were detected but Nasa determined the spacecraft remained stable. What started as an eight-day mission dragged on for three months after the leaks and faulty thrusters raised safety concerns.However, Nasa and Boeing officials insisted that the astronauts were not trapped and that the technical difficulties did not threaten the mission. “We’ll come home when we’re ready,” Steve Stich, Nasa’s commercial crew program manager, said in the press conference in July.4. What does the underlined word “marred” in paragraph 2 mean?A. Underwent.B. Stimulated.C. Facilitated.D. Blocked.5. What do we know about Boeing’s spacecraft launches?A. They were filled with delays and setbacks.B. Starliner’s initial launch went smoothly.C. The 2019 manned spaceflight was a failureD. Reasons of the problems were still unidentified.6. Why didn’t the two astronauts come back to Earth on time?A. Because the project went over the original budget.B. Because they were both in serious health conditions.C. Because it was dangerous to take the Starliner then.D. Because Nasa officials failed to reach an agreement.7. What can be implied according to the last two paragraphs?A. The two astronauts would come back soon.B. Officials considered the situation within control.C. Nasa officials were pessimistic and pressed.D. The mission would be completed in 3 months.CActor Alicia Silverstone worried fans on social media recently. While on a trip to England, she posted a TikTok video of herself tasting a kind of poisonous berries she found along a sidewalk. Silverstone, who appeared in the 1995 movie Clueless, said she thought the fruit was a tomato. But when she bit into it and found that it had an unusual taste, she realized that it was not the common food.Plant expert, Jessica Damiano, recently wrote about poisonous plants that look like common foods for the Associated Press. She said the fruit that looked like a tomato appears to have been a Jerusalem cherry.Often sold as a houseplant, all parts of the Jerusalem cherry are poisonous.The American Society for the Prevention of Cruelty to Animals says the plant is not only harmful to humans but also to dogs, cats and horses.Eating large amounts can be deadly. Silverstone was lucky because she did not swallow the berries. She was also lucky because the berries were reddish orange, which meant they were ripe. While all parts of the Jerusalem cherry are poisonous, the plant’s unripe berries can be especially dangerous.They can cause problems with the central nervous and gastrointestinal (肠胃的) systems.The Jerusalem cherry is not the only toxic plant that looks like a safe one.The poisonous Carolina horsenettle fruit also looks like a tomato. It is also known as devil’s potato to add to the confusion.The Virginia creeper fruit also looks like blueberries, and it can be deadly if eaten.Wild parsnip has flowers like a carrot and leaves like parsley (欧芹). Simply touching it can cause a skin problem. Creeping buttercup looks like flat-leaf parsley. It can cause severe stomach pain,vomiting (呕吐) and heart problems. And Canadian moonseed can be confused with wild grape. However, its taste is so bitter that you would likely spit it out before swallowing it. This is a good thing because eating it can lead to death.If you think you have swallowed a toxic plant by mistake, contact a poison control center in your area or your doctor immediately. There is additional information on the website .Damiano advises using common sense with plants you find in the wild. If you are not completely sure that something is food, do not eat it.8. What is the purpose of the first paragraph?A. To present the author’s argument.B. To introduce the topic of the article.C. To raise the public’s attention of wild plants.D. To popularize the knowledge of medical science.9. Why was Silverstone thought to be fortunate?A. The berries she had a bite were ripe.B. She found the fruit she ate was a tomato.C. She had a good knowledge of wild plants.D. The amount of the berries she consumed was large.10. According to the description,what plants can be most harmful to people?A. Carolina horsenettle and wild parsnip.B Virginia creeper and creeping buttercup..C. Wild parsnip and Canadian moonseed.D. Canadian moonseed and Virginia creeper.11. What may be the suitable measure if someone mistakenly swallows a poisonous plant?A. Spitting it out as quickly as possible.B. Making an appointment with their doctor.C. Getting in touch with the local authority instantly.D. Searching for the relevant information on the Internet.DSuperhuman artificial intelligence has played a role in our life. When it comes to playing games like chess, or solving difficult scientific challenges like predicting protein structures, computers are well ahead of humans. But we have one superpower they aren’t close to mastering:mind reading.We are blessed with a mysterious ability to reason the goals,desires and beliefs of others, a crucial skill that means we can anticipate other people’s actions and the consequences of our own.If AIs are to become truly useful in everyday life — to cooperate effectively with us or to understand that a child might run into the road after a bouncing ball — we have to give them this gift that evolution has given us to read other people's minds.In psychology, the ability to infer another’s mental state is referred to as theory of mind. In humans, this capacity develops at a very young age. How to reproduce the capability in machines is far from clear, though.One of the main challenges is context. For instance, if someone asks whether you are going for a run and you reply “it’s raining”, they can quickly conclude the answer is no. But this requires huge amounts of background knowledge about running, weather and human preferences.Besides, whether humans or AI, the theory of mind is supposed to emerge naturally from one’s own learning process. Building prior knowledge into AI makes it reliant on our imperfect understanding of theory of mind.In addition, AI may be capable of developing approaches we could never imagine. There can be many forms of theory of mind that we don’t know about simply because we live in a human body that has certain types of senses and a certain ability to think.But we might still want AI to have a more human-like form of theory of mind. Humans can clearly explain their goals to each other using common language and ideas. While letting AI form the theory of mind in their learning process is likely to lead to developing more powerful AI,plainly building in shared ways to represent knowledge may be crucial for humans to trust and communicate with AI.It is important to remember, though, that the pursuit of machines with theory of mind is about more than just building more useful robots. It is also a stepping stone on the path towards a deeper goal for AI and robotics research: building truly self-aware machines.Whether we will ever get there remains to be seen. But along the way thinking about other people and other agents, we are on the path to learning to think about ourselves.12. According to the passage,which of the following contexts can AI understand well?A. When asked where an object is, a naughty kid points in the wrong direction.B. When a teacher asks for a boy’s homework,he answers “my dog ate it” .C. When you are treated with a hotpot for dinner, you reply “a sore throat” .D. When a mom tells her kid milk is good for health, the kid drinks it up.13. Which statement will the author agree with most about theory of mind?A. Humans’ theory of mind is far from perfect.B. Humans limit AI’s theory of mind to an extent.C. AI’s theory of mind development has been totally decoded.D. Shared forms of theory of mind result in more powerful AI.14. What is the author’s attitude toward truly self-aware machines?A. AmbiguousB. Conservative.C. Skeptical.D. Approving.15. Which would be the best title for the passage?A. AI’s Theory of Mind Will Define Our FutureB. AI with Its Own Theory of Mind Is ExpectedC. AI’s Theory of Mind — a Blessing or Suffering to HumansD. Theory of Mind Bridges the Gap Between Humans and AI第二节(共5小题；每小题2.5分，满分12.5分)阅读下面短文，从短文后的选项中选出可以填入空白处的最佳选项。

湖南省师大附中2019届高三数学上学期月考试题（二）理（含解析）时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A ＝{}1，2，B ＝{}1，2，3，4，则满足A∪X＝B 的集合X 的个数为(D) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】集合X 可以是{}3，4，{}1，3，4，{}2，3，4，{}1，2，3，4共4个，故选D.2．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 满足sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝3sin Asin B ，则角C 的大小为(A)A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】由正弦定理知：a 2＋b 2－c 2＝3ab ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32，又0°<C<180°，则C ＝30°.3．已知随机变量X 服从正态分布N(5，σ2)，且P(X<7)＝0.8，则P(3<X<5)＝(C) A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2【解析】由题意，随机变量X 服从正态分布N(5，σ2)，所以正态曲线的对称轴为x ＝5， 因为P(X<7)＝0.8，所以P(X≥7)＝0.2，根据正态分布曲线的对称性可知，所以P(3<X<5)＝0.5－0.2＝0.3，故选C.4．已知数列{}a n 是首项为3，公差为d(d∈N *)的等差数列，若2 019是该数列的一项，则公差d 不可能是(D)A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】由题设，a n ＝3＋(n －1)d ，2 019是该数列的一项，即2 019＝3＋(n －1)d ，所以n ＝2 016d＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 016的约数，故d 不可能是5，故选D.5．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出n 的值为(参考数据：3≈1.732，sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)(B)A ．12B ．24C ．48D ．96【解析】执行程序：n ＝6，S ＝3sin 60°＝332，不满足条件S≥3.10；n ＝12，S ＝6sin 30°＝3，不满足条件S≥3.10；n ＝24，S ＝12sin 15°≈12×0.258 8＝3.105 6，满足条件S≥3.10，退出循环． 输出n 的值为24.故选B.6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≥x，x ＋3y≤4，x ≥－2，则z ＝|x －3y|的取值范围是(C)A ．[2，8]B ．[4，8]C ．[0，8]D ．[8，＋∞)【解析】作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≥x，x ＋3y≤4，x ≥－2对应的可行域如图，z ＝|x －3y|＝10|x －3y|10，其中|x －3y|10表示可行域内的点(x ，y)到直线x －3y ＝0的距离，由图可知，点A(－2，2)到直线x －3y ＝0的距离最大，最大为810；又距离最小显然为0，所以z ＝|x －3y|的取值范围为[0，8]，故选C.7.已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，记展开式中系数最大的项为第k 项，则k ＝(B)A ．6B ．7C ．6或7D ．5或6【解析】∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，所以n ＝4＋7＝11，第r ＋1项系数为T r ＋1＝C r11(－1)r，r ＝6时T r ＋1最大，故展开式中系数最大的项为第7项．8．如图直角坐标系中，角α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2和角β⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<β<0的终边分别交单位圆于A ，B 两点，若B 点的纵坐标为－513，且满足S △OAB ＝34，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6的值为(A)A.1213 B.513 C ．－1213 D ．－513【解析】由图知∠xOA＝α，∠xOB ＝－β，且sin β＝－513.由于S △OAB ＝34知∠AOB＝π3，即α－β＝π3，即α＝β＋π3. 则 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π2＝cos β＝1－sin 2β＝1213.故选A.9．已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是(A)A.39π4＋3 3B.45π4＋3 3C.23π2 D.49π4【解析】几何体为圆锥挖掉14个圆台. 其表面积为：S 表＝34π×22＋14π×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×2π×2×4＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14×2π×1×2＋（1＋2）×32×2＝39π4＋3 3.故选A. 10．将函数f(x)＝ln(x ＋1)(x≥0)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0，α])，得到曲线C ，若对于每一个旋转角θ，曲线C 都仍然是一个函数的图像，则α的最大值为(D)A ．π B.π2 C.π3 D.π4【解析】函数f(x)＝ln(x ＋1)(x≥0)的图像绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，当且仅当其任意切线都不经过y 轴时，其图像都仍然是一个函数的图像. 因为f′(x)＝1x ＋1在[0，＋∞)是减函数且0<f′(x)≤1，当且仅当x ＝0时等号成立，故函数f(x)＝ln(x ＋1)(x≥0)的图像的切线中，在x ＝0处切线的倾斜角最大，其值为π4. 由此可知αmax＝π2－π4＝π4，故选D.11．已知抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为3，则|AB|的最大值为(C) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【解析】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，所以|AB|≤|AF|＋|BF|＝x 1＋x 2＋2＝8， 当弦AB 过焦点F(1，0)时取得最大值8. 故选C. 12．在棱长为6的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是BC 的中点，点P 是正方形DCC 1D 1面内(包括边界)的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则三棱锥P －BCD 的体积最大值是(D)A ．36B ．24C ．18 3D ．12 3【解析】易知△APD∽△MPC，则PD PC ＝ADMC ＝2，欲使三棱锥P －BCD 的体积最大，只需高最大，通过坐标法得到动点P 运动轨迹(一段圆弧)，进而判断高的最大值23，所以(V P －BCD )max＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×6×23＝12 3. 二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x∈R ，复数z 1＝1＋xi ，z 2＝2＋i ，若z 1z 2为纯虚数，则实数x 的值为__－2__．【解析】z 1z 2＝1＋xi 2＋i ＝（1＋xi ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝2＋x 5＋2x －15i 为纯虚数，则2＋x5＝0，即x ＝－2.14. M 、N 分别为双曲线x 29－y216＝1左、右支上的点，设v 是平行于x 轴的单位向量，则||MN →·v 的最小值为__6__．【解析】由向量数量积的定义，MN →·v 即向量MN →在向量v 上的投影与v 模长的乘积，故求||MN →·v 的最小值，即求MN →在x 轴上的投影的绝对值的最小值，由双曲线的图像可知||MN →·v 的最小值为6.15．某单位周一至周五要安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人至少值一天班，则甲连续值两天班的概率为__110__．【解析】记甲连续值2天班为事件A ，每人至少值一天班记为事件B. 则m(A)＝4A 33＝24，m(B)＝C 14A 35＝240，则P(A ＋B)＝m （A ）m （B ）＝110.16．已知函数f(x)＝ln （2x ）x ，关于x 的不等式f 2(x)－af(x)>0只有2个整数解，则实数a 的取值范围是__⎣⎢⎡⎭⎪⎫ln 63，ln 2__．【解析】作出函数f(x)的图像： ①若a>0，由f 2(x)－af(x)>0，可得f(x)<0或f(x)>a ，显然f(x)<0没有整数解，则f(x)>a 有2个整数解，由图可知：ln 63≤a<ln 2； ②若a<0，由f 2(x)－af(x)>0，可得f(x)<－a 或f(x)>0，显然f(x)<－a 没有整数解，而f(x)>0有无数多个整数解，不符题意，舍去；③若a ＝0，由f 2(x)－af(x)>0，可得f(x)≠0，有无数多个整数解，不符题意，舍去．综上可知：a∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫ln 63，ln 2.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分． 17．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝(λ＋1)S n ＋1(n∈N *，λ≠－2)，且3a 1，4a 2，a 3＋13成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 4a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n <169.【解析】(1)因为a n ＋1＝(λ＋1)S n ＋1，① 所以当n≥2时，a n ＝(λ＋1)S n －1＋1，②由①－②得a n ＋1－a n ＝(λ＋1)a n ，即a n ＋1＝(λ＋2)a n (n≥2)，2分又因为λ≠－2，且a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，λ＋2为公比的等比数列， 故a 2＝λ＋2，a 3＝()λ＋22，由题知8a 2＝3a 1＋a 3＋13，所以8()λ＋2＝()λ＋22＋16， 整理得λ2－4λ＋4＝0，解得λ＝2，4分所以a n ＝4n －1.6分(2)因为a n b n ＝log 4a n ＋1，即4n －1·b n ＝log 44n， 所以b n ＝n4n －1，8分则T n ＝1＋24＋342＋…＋n －14n －2＋n4n －1 ，③14T n ＝14＋242＋…＋n －14n －1＋n4n ，④ ③－④得34T n ＝1＋14＋142＋…＋14n －1－n 4n ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n －n 4n ，T n ＝169－4＋3n9×4n －1，11分又n∈N *，所以T n <169.12分18．(本小题满分12分)如图，α∩β＝l ，二面角α－l －β的大小为θ，A ∈α，B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 上的射影为B 1.已知AB ＝2，AA 1＝1，BB 1＝ 2.(1)若θ＝120°，求直线AB 与平面β所成角的正弦值； (2)若θ＝90°，求二面角A 1－AB －B 1的余弦值．【解析】 (1)如图， 过点A 作平面β的垂线交于点G ，连接GB 、GA 1， 因为AG⊥β. 则∠ABG 是AB 与β所成的角． Rt △GA 1A 中， GA 1A ＝60°，AA 1＝1, ∴AG ＝32. Rt △AGB 中，AB ＝2，AG ＝32， sin ∠ABG ＝34， 故AB 与平面β所成的角的正弦值为34. 5分 (2) 解法一：∵BB 1⊥α，∴平面ABB 1⊥α.在平面α内过A 1作A 1E ⊥AB 1交AB 1于E ，则A 1E ⊥平面AB 1B.过E 作EF⊥AB 交AB 于F ，连接A 1F ，则由三垂线定理得A 1F ⊥AB, ∴∠A 1FE 就是所求二面角的平面角．在Rt △ABB 1中，∠BAB 1＝45°，∴AB 1＝B 1B ＝2. ∴Rt △AA 1B 中，A 1B ＝AB 2－AA 21＝4－1＝ 3. 由AA 1·A 1B ＝A 1F ·AB 得 A 1F ＝AA 1·A 1B AB ＝1×32＝32，∴在Rt △A 1EF 中，sin ∠A 1FE ＝A 1E A 1F ＝63，∴二面角A 1－AB －B 1的余弦值为cos θ＝1－sin 2∠A 1FE ＝33.12分解法二： 如图，建立坐标系， 则A 1(0，0，0)，A(0，0，1)，B 1(0，1，0)，B(2，1，0)．在AB 上取一点F(x ，y ，z)，则存在t∈R ，使得AF →＝tAB →， 即(x ，y ，z －1)＝t(2，1，－1), ∴点F 的坐标为(2t, t ，1－t)．要使A 1F →⊥AB →，须A 1F →·AB →＝0, 即(2t, t ，1－t) ·(2，1，－1)＝0, 2t ＋t －(1－t)＝0，解得t ＝14， ∴点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫24，14， 34 ， ∴A 1F →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24，14， 34. 设E 为AB 1的中点，则点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 12. ∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24，－14，14.又EF →·AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24，－14，14·(2，1，－1)＝12 － 14 － 14＝0, ∴EF →⊥AB →， ∴∠A 1FE 为所求二面角的平面角．又cos ∠A 1FE ＝A 1F →·EF→|A 1F →|·|EF →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24，14，34·⎝ ⎛⎭⎪⎫24，－14，14216＋116＋916·216＋116＋116＝18－116＋31634·12＝13＝33，∴二面角A 1－AB －B 1的余弦值为33.12分 19．(本小题满分12分)某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为k ，当k≥85时，产品为一级品；当75≤k<85时，产品为二级品，当70≤k<75时，产品为三级品，现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果：(以下均视频率为概率)(1)若从B 配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的B 配方产品中至少1件二级品”为事件C ，求事件C 发生的概率P(C)；(2)若两种新产品的利润率y 与质量指标k 满足如下关系：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，k ≥85，5t 2，75≤k<85，t 2，70≤k<75，其中0<t<15，从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？【解析】(1)由题意知，从B 配方产品中随机抽取一次抽中二级品的概率为25，则没有抽中二级品的概率为35，所以P(C)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝98125.5分(2)A 配方产品的利润分布列为所以E(y)A ＝0.6t ＋2t 2，8分B 所以E(y)B ＝0.55t ＋2.05t ，11分因为0<t<15，所以E(y)B －E(y)A ＝0.05t 2－0.05t ＝0.05t(t －1)<0，所以从长期来看，投资A 配方产品的平均利润率较大12分． 20. (本小题满分12分)如图，已知圆E ：(x ＋1)2＋y 2＝8，点F(1，0)，P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q.(1)求动点Q 的轨迹Г上的方程；(2)已知A ，B ，C 是轨迹Г上的三个动点，点A 在一象限，B 与A 关于原点对称，且|CA|＝|CB|，问△ABC 的面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相应直线AB 的方程；若不存在，请说明理由．【解析】(1)∵Q 在线段PF 的垂直平分线上， ∴|QP|＝|QF|，得|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝|PE|＝22，又|EF|＝2＜22，∴Q 的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为22的椭圆，∴Г的方程为x 22＋y 2＝1. 5分(2)由点A 在第一象限，B 与A 关于原点对称，设直线AB 的方程为y ＝kx(k ＞0)， ∵|CA|＝|CB|，∴C 在AB 的垂直平分线上， ∴直线OC 的方程为y ＝－1kx.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 22＋y 2＝1(1＋2k 2)x 2＝2，|AB|＝2|OA|＝2x 2＋y 2＝22（k 2＋1）2k 2＋1，7分 同理可得|OC|＝2（k 2＋1）k 2＋2， S △ABC ＝12|AB|×|OC|＝4（k 2＋1）2（2k 2＋1）（k 2＋2），9分 方法1：设t ＝k 2＋1≥1，则k 2＝t －1， 故S △ABC ＝4t2（2t －1）（t ＋1）＝4－1t 2＋1t＋2＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122＋94， 由二次函数的图像及性质可求得当t ＝2，即k ＝1时，S △ABC 有最小值为43.12分方法2：∵(1＋2k 2)(k 2＋2)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋2k 2）＋（k 2＋2）22＝9（1＋k 2）24，∴S △ABC ＝4（1＋k 2）2（1＋2k 2）（k 2＋2）≥169＝43， 当且仅当1＋2k 2＝k 2＋2，即k ＝1时取等号．∴S △ABC ≥43.综上，当直线AB 的方程为y ＝x 时，△ABC 的面积有最小值43.12分21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax ＋2aln x ，a ∈R ＋，g(x)＝e x －1＋aln x ＋x ，其中e 为自然对数的底数． (1)若曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线经过(0，－2)，证明：f(x)≤g(x)－1； (2)若函数y ＝f(x)与y ＝2g(x)－ln x 的图像有且仅有一个公共点P(x 0，y 0)，证明：x 0<74.【解析】(1)f′(x)＝a ＋2ax ，k ＝f′(1)＝3a ，又k ＝a －（－2）1－0，由3a ＝a ＋2得a ＝1，2分令F(x)＝g(x)－f(x)＝ex －1－ln x(x>0)，则F′(x)＝ex －1－1x，3分 当x∈(0，1)时F′(x)<0，函数F(x)单调递减， 当x∈(1，＋∞)时F′(x)>0，函数F(x)单调递增，故函数F(x)的最小值为F(1)＝1，即f(x)≤g(x)－1.5分(2)G(x)＝2g(x)－ln x －f(x)＝2e x －1－ln x ＋2x －ax ，由题意函数G(x)有且仅有一个零点，因为G′(x)＝2ex －1－1x ＋2－a ，G ′′(x)＝2e x －1＋1x2>0，7分 则G′(x)为(0，＋∞)上的增函数，且其值域为R ，故G′(x)在(0，＋∞)上有唯一的零点，设为t ，则当x∈(0，t)时G′(x)<0，则G(x)单调递减， 当x∈(t，＋∞)时G′(x)>0，则G(x)单调递增， 从而函数G(x)在x ＝t 处取得最小值，又函数G(x)有唯一零点x 0，则必有t ＝x 0，9分所以：⎩⎪⎨⎪⎧G′（x 0）＝0，G （x 0）＝0⎩⎪⎨⎪⎧2ex 0－1－1x 0＋2－a ＝0，2ex 0－1－ln x 0－ax 0＋2x 0＝0， 消去a 整理得：(2－2x 0)ex 0－1＋1－ln x 0＝0，令H(x)＝2(1－x)e x －1＋1－ln x ，显然x 0为其零点，而H′(x)＝－x ⎝⎛⎭⎪⎫2ex －1＋1x 2<0，故H(x)在(0，＋∞)上单调递减， 而H(1)＝1>0，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫74＝1－32e 34－ln 74<0，所以H(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，74内有且仅有一个零点， 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞内无零点，即x 0<74.12分(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α·t y ＝－1＋sin α·t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 为参数，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4. (1)分别写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点P(2，－1)，直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，若||MN 2＝6||PM ·||PN ，求直线l 的斜率．【解析】(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α·t y ＝－1＋sin α·t(t 为参数)消去参数t 可得y ＋1＝tan α(x －2)，∴直线l 的普通方程为y －tan αx ＋2tan α＋1＝0.2分由ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，得ρ2＝2ρ(cos θ－sin θ)，将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入上式，得x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，∴曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.5分(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α·t ，y ＝－1＋sin α·t代入(x －1)2＋(y ＋1)2＝2中，整理得t 2＋2cos α·t －1＝0，设M ，N 两点对应参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－2cos α，t 1·t 2＝－1，7分因为||MN 2＝6||PM ·||PN ，所以(t 1－t 2)2＝6||t 1·t 2＝－6t 1·t 2，所以(t 1＋t 2)2＋2t 1·t 2＝0，即4cos 2α－2＝0，cos α＝22，α＝π4，tan α＝1， 所以直线l 的斜率为1. 10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x|＋|x ＋a|.(1)若存在x 使得不等式f(x)≤3a－1成立，求实数a 的取值范围； (2)若不等式f(x)≤3a－1的解集为[]b ，b ＋3，求实数a ，b 的值． 【解析】(1)对x ∈R ，f(x)＝|x|＋|x ＋a|≥|x－(x ＋a)|＝|a|，2分当且仅当x(x ＋a)≤0时取等号，故原条件等价于||a ≤3a－1，即－3a ＋1≤a≤3a－1，解得a≥12，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.5分 (2)由(1)知实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞， 故－a<0，故f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －a ，x<－a ，a ，－a≤x≤0，2x ＋a ，x>0的图象如图所示，8分精品K12教育教学资料精品K12教育教学资料 由图可知⎩⎨⎧－2b －a ＝3a －12()b ＋3＋a ＝3a －1⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝－136.10分。

湖南师大附中2025届高三月考试卷（三）数学时量：120分钟满分：150分得分：________________一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合的真子集个数是（ ）A.7B.8C.15D.162.“”是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则（ ）A.B.C.D.4.设向量，满足，等于（ ）A. B.2C.5D.85.若无论为何值，直线与双曲线总有公共点，则的取值范围是（ ）A. B.C.，且 D.，且6.已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则等于（ ）A.B.C. D.7.已知正三棱台所有顶点均在半径为5的半球球面上，且棱台的高为（ ）A.1B.4C.7D.1或78.北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：{}0,1,2,311x -<240x x -<αP ()3,4a a 0a ≠sin2α=4372524252425-a b a b += a b -=a b ⋅ θsin cos 10y x θθ⋅+⋅+=2215x y m -=m 1m ≥01m <≤05m <<1m ≠1m ≥5m ≠()2f x ()()130f x f x ++-=()2,4x ∈()()12log 2f x x m =--+()()2025112f f -=-m 132323-13-111ABC A B C -AB =11A B =“怎么求这些酒坛的总数呢？”经过反复尝试，沈括提出对于上底有个，下底有个，共层的堆积物（如图所示），可以用公式求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列，的和.若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，则该垛积最上层的小球个数为（）A.2B.6C.12D.20二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，则下列正确的是（）A. B.C. D.10.对于函数和，下列说法中正确的有（）A.与有相同的零点B.与有相同的最大值点C.与有相同的最小正周期D.与的图象有相同的对称轴11.过点的直线与抛物线交于，两点，抛物线在点处的切线与直线交于点，作交于点，则（）A.B.直线恒过定点C.点的轨迹方程是D.的最小值为选择题答题卡题号1234567891011得分ab cd n()()()2266n nS b d a b d c c a⎡⎤=++++-⎣⎦ab()()()()()()11,22,,11a b a b a n b n cd+++⋅++-+-=2024220240122024(12)x a a x a x a x+=++++2024a=20240120243a a a+++=012320241a a a a a-+-++=12320242320242024a a a a-+--=-()sin cosf x x x=+()sin cos22g x x xππ⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x()g x()f x()g x()f x()g x()f x()g x()0,2P2:4C x y=()11,A x y()22,B x yC A2y=-N NM AP⊥AB M5OA OB⋅=-MNM()22(1)10y x y-+=≠ABMN答案三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数，的模长为1，且，则________.13.在中，角，，所对的边分别为，，已知，，，则________.14.若正实数是函数的一个零点，是函数的一个大于e 的零点，则的值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）现有某企业计划用10年的时间进行技术革新，有两种方案：贷款利润A 方案一次性向银行贷款10万元第1年利润1万元，以后每年比前一年增加的利润B 方案每年初向银行贷款1万元第1年利润1万元，以后每年比前一年增加利润3000元两方案使用期都是10年，贷款10年后一次性还本付息（年末结息），若银行贷款利息均按的复利计算.（1）计算10年后，A 方案到期一次性需要付银行多少本息？（2）试比较A 、B 两方案的优劣.（结果精确到万元，参考数据：，）16.（本小题满分15分）如图，四棱锥中，底面为等腰梯形，.点在底面的射影点在线段上.（1）在图中过作平面的垂线段，为垂足，并给出严谨的作图过程；（2）若.求平面与平面所成锐二面角的余弦值.17.（本小题满分15分）1z 2z 21111z z +=12z z +=ABC ∆A B C a b c 5a =4b =()31cos 32A B -=sin B =1x ()2e e xf x x x =--2x ()()()3e ln 1e g x x x =---()122e ex x -25%10%101.12.594≈101.259.313≈P ABCD -ABCD 222AD AB BC ===P Q AC A PCD H 2PA PD ==PAB PCD已知函数，为的导数.（1）证明：当时，；（2）设，证明：有且仅有2个零点.18.（本小题满分17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的两个焦点为、，为椭圆上一动点，设，当时，.（1）求椭圆的标准方程.（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点、（在，之间），若为椭圆上一点，且，①求的取值范围；②求四边形的面积.19.（本小题满分17分）飞行棋是大家熟悉的棋类游戏，玩家通过投掷骰子来决定飞机起飞与飞行的步数.当且仅当玩家投郑出6点时，飞机才能起飞.并且掷得6点的游戏者可以连续投掷骰子，直至显示点数不是6点.飞机起飞后，飞行步数即骰子向上的点数.（1）求甲玩家第一轮投掷中，投郑次数的均值）（2）对于两个离散型随机变量，，我们将其可能出现的结果作为一个有序数对，类似于离散型随机变量的分布列，我们可以用如下表格来表示这个有序数对的概率分布：（记，）()e sin cos x f x x x =+-()f x '()f x 0x ≥()2f x '≥()()21g x f x x =--()g x xOy 2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F P C 12F PF θ∠=23πθ=12F PF ∆C ()0,2B l M N M B N Q C OQ OM ON =+ OBMOBNS S OMQN X 11()()lim ()n n k k E X kP k kP k ∞→∞==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑ξη()()()11,m i i ijj p x p x p x y ξ====∑()()()21,njjiji p y p y p x y η====∑ξη1x 2x ⋯nx 1y ()11,p x y ()21,p x y ⋯()1,n p x y ()21p y 2y ()12,p x y ()22,p x y()2,n p x y ()22p y1若已知，则事件的条件概率为.可以发现依然是一个随机变量，可以对其求期望.（ⅰ）上述期望依旧是一个随机变量（取值不同时，期望也不同），不妨记为，求；（ⅱ）若修改游戏规则，需连续掷出两次6点飞机才能起飞，记表示“甲第一次未能掷出6点”表示“甲第一次掷出6点且第二次未能掷出6点”，表示“甲第一次第二次均掷出6点”，为甲首次使得飞机起飞时抛掷骰子的次数，求.⋯⋯⋯⋯⋯⋯my ()1,m p x y ()2,m p x y ⋯(),n m p x y ()2m p y ()11p x ()12p x()1n p x i x ξ={}j y η={}{}{}()()1,,j i i j jii i P y x p x y Py x P x p x ηξηξξ=======∣i x ηξ=∣{}{}1mi j j i j E x y P y x ηξηξ===⋅==∑∣∣()()111,mj i j i i y p x y p x ==⋅∑ξ{}E ηξ∣{}E E ηξ⎡⎤⎣⎦∣0ξ=1ξ=2ξ=ηE η湖南师大附中2025届高三月考试卷（三）数学参考答案题号1234567891011答案CACBBDABBCACDBC一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C 【解析】集合共有（个）真子集.故选C.2.A 【解析】解不等式，得，解不等式，得，所以“”是“”的充分不必要条件.3.C 【解析】根据三角函数的概念，，，故选C.4.B 【解析】.5.B 【解析】易得原点到直线的距离，故直线为单位圆的切线，由于直线与双曲线总有公共点，所以点必在双曲线内或双曲线上，则.6.D 【解析】依题意函数的图象关于原点对称，所以为奇函数，因为，故函数的周期为4，则，而，所以由可得，而，所以，解得.7.A 【解析】上下底面所在外接圆的半径分别为，，过点，，，的截面如图：{}0,1,2,342115-=240x x -<04x <<11x -<02x <<11x -<240x x -<44tan 33y a x a α===22sin cos 2tan 24sin211tan 25ααααα===+()2211()()1911244a b a b a b ⎡⎤⋅=+--=⨯-=⎣⎦ 1d ==2215x y m -=()1,0±01m <≤()f x ()f x ()()()133f x f x f x +=--=-()f x ()()20251f f =()()11f f -=-()()2025112f f -=-()113f =()()13f f =-()121log 323m --=13m =-13r =24r =A 1A 1O 2O，，，故选A.8.B 【解析】由题意，得，，则由得，整理得，所以.因为，为正整数，所以或6.因此有或而无整数解，因此.故选B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.BC 【解析】对于A ：令，则，故A 错误；对于B ：令，则，故B 正确；对于C ：令，则，故C 正确；对于D ，由，两边同时求导得，令，则，故D 错误.故选BC.10.ACD 【解析】，.令，则，；令，则，，两个函数的零点是相同的，故选项A 正确.的最大值点是，，的最大值点是，，两个函数的最大值虽然是相同的，但最大值点是不同的，故选项B 不正确.由正弦型函数的最小正周期为可知与有相同的最小正周期，故选项C 正确.曲线的对称轴为，，曲线的对称轴为，，两个函数的图象有相同的对称轴，故选项D 正确.故选ACD.11.BC 【解析】作图如下：24OO ==13OO ==211h OO OO ∴=-=6c a =+6d b =+()()()772223866b d a b dc c a ⎡⎤++++-=⎣⎦()()()()77262126623866b b a b b a a a ⎡⎤++++++++-=⎣⎦()321ab a b ++=773aba b +=-<a b 3ab =6,3a b ab +=⎧⎨=⎩5,6.a b ab +=⎧⎨=⎩63a b ab +=⎧⎨=⎩6ab =0x =01a =1x =20240120243a a a +++= 1x =-012320241a a a a a -+-++= 2024220240122024(12)x a a x a x a x +=++++ 202322023123202420242(12)232024x a a x a x a x ⨯⨯+=++++ 1x =-12320242320244048a a a a -++-=- ()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()3244g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0f x =4x k ππ=-+k ∈Z ()0g x =34x k ππ=+k ∈Z ()f x 24k ππ+k ∈Z ()g x 324k ππ-+k ∈Z 2πω()f x ()g x 2π()y f x =4x k ππ=+k ∈Z ()y g x =54x k ππ=+k ∈Z设直线的方程为（斜率显然存在），，，联立消去整理可得，由韦达定理得，，A.，，故A 错误；B.抛物线在点处的切线为，当时，，即，直线的方程为，整理得，直线恒过定点，故B 正确；C.由选项B 可得点在以线段为直径的圆上，点除外，故点的轨迹方程是，故C 正确；D.，则，，，则，设，，当单调递增，所以，故D 错误.故选BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.AB 2y tx =+211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭22,4,y tx x y =+⎧⎨=⎩x 2480x tx --=124x x t +=128x x =-221212444x x y y =⋅=1212844OA OB x x y y ⋅=+=-+=- C A 21124x x x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2y =-11121244282222x x x x x t x x =-=-=+=-()2,2N t -MN ()122y x t t +=--xy t=-MN ()0,0M OP O M ()22(1)10y x y -+=≠2MN AB ===22ABMN ===m =m ≥12ABm MN m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1f m m m =-m ≥()2110f m m=+>'m ≥()f m min ()f m f==12.1【解析】设，，因为，所以.因为，，所以，所以，所以，，所以.【解析】在中，因为，所以.又，可知为锐角且.由正弦定理，，于是.将及的值代入可得，平方得，故.14.e 【解析】依题意得，，即，，，即，，，，，又，，同构函数：，则，又，，，，又，，单调递增，，.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）A 方案到期时银行贷款本息为（万元）.……（3分）()1i ,z a b a b =+∈R ()2i ,z c d cd =+∈R 21111z z +=1222111z z z z z z +=111z z =221z z =121z z +=()()i i i 1a b c d a c b d -+-=+-+=1a c +=0b d +=()()12i 1z z a c b d +=+++=ABC ∆a b >A B >()31cos 32A B -=A B -()sin A B -=sin 5sin 4A aB b ==()()()5sin sin sin sin cos cos sin 4B A A B B A B B A B B ⎡⎤==-+=-+-⎣⎦()cos A B -()sin A B -3sin B B =2229sin 7cos 77sin B B B ==-sin B =1211e e 0xx x --=1211e e xx x -=10x >()()322e ln 1e 0x x ---=()()322e ln 1e x x --=2e x >()()()131122e e e e ln 1x x x x x ∴-==--()()()11122e e ln 1e x x x x +∴-=--()()()21ln 11112e e ln 1e e x x x x -++⎡⎤∴-=--⎣⎦2ln 1x > 2ln 10x ->∴()()1e e ,0x F x x x +=->()()312ln 1e F x F x =-=()()111e e e e e 1e x x x x F x x x +++=-+'=-+0x > 0e e 1x ∴>=e 10x ∴->1e 0x x +>()0F x ∴'>()F x 12ln 1x x ∴=-()()()31222222e ln 1e e e eeex x x x ---∴===()1010110%26⨯+≈（2）A 方案10年共获利：（万元），……（5分）到期时银行贷款本息为（万元），所以A 方案净收益为：（万元），……（7分）B 方案10年共获利：（万元），……（9分）到期时银行贷款本息为（万元），……（11分）所以B 方案净收益为：（万元），……（12分）由比较知A 方案比B 方案更优.……（13分）16.【解析】（1）连接，有平面，所以.在中，.同理，在中，有.又因为，所以，，所以，，故，即.又因为，，平面，所以平面.平面，所以平面平面.……（5分）过作垂直于点，因为平面平面，平面平面，且平面，有平面.……（7分）（2）依题意，.故为，的交点，且.所以过作直线的平行线，则，，，两两垂直，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，()1091.2511125%(125%)33.31.251-+++++=≈- 1010(110%)25.9⨯+≈33.325.97-≈()()101010.31 1.3190.310123.52⨯-⨯++++⨯=⨯+= ()()10109 1.11.11(110%)(110%)110%17.51.11-++++++=≈- 23.517.56-≈PQ PQ ⊥ABCD PQ CD ⊥ACD ∆2222cos 54cos AC AD CD AD CD ADC ADC =+-⋅⋅∠=-∠ABC ∆222cos AC ABC =-∠180ABC ADC ∠+∠= 1cos 2ADC ∠=()0,180ADC ∠∈ 60ADC ∠=AC =222AC CD AD +=AC CD ⊥PQ AC Q = PQ AC ⊂PAC CD ⊥PAC CD ⊂PCD PCD ⊥PAC A AH PC H PCD ⊥PAC PCD PAC PC =AH ⊂PAC AH ⊥PCD AQ DQ ==Q AC BD 2AQ ADCQ BC==23AQ AC ==PQ ==C PQ l l AC CD C则：，，，，所以，，，.设平面的法向量为，则取.同理，平面的法向量，，……（14分）故所求锐二面角余弦值为.……（15分）17.【解析】（1）由，设，则，当时，设，，，，和在上单调递增，，，当时，，，则，函数在上单调递增，，即当时，.()1,0,0D P ⎛ ⎝()A 12B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭()1,0,0CD = CP ⎛= ⎝ 0,AP ⎛= ⎝ 1,2BP ⎛= ⎝ PCD (),,m x y z =)0,0,m CD x m CP y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩()0,m =- PAB )1n =-1cos ,3m n m n m n ⋅==13()e cos sin xf x x x =+'+()e cos sin xh x x x =++()e sin cos xh x x x =+'-0x ≥()e 1x p x x =--()sin q x x x =-()e 10x p x ='-≥ ()1cos 0q x x ='-≥()p x ∴()q x [)0,+∞()()00p x p ∴≥=()()00q x q ≥=∴0x ≥e 1x x ≥+sin x x ≥()()()e sin cos 1sin cos sin 1cos 0xh x x x x x x x x x =-+≥+-+=-++≥'∴()e cos sin x h x x x =++[)0,+∞()()02h x h ∴≥=0x ≥()2f x '≥（2）由已知得.①当时，，在上单调递增，又，，由零点存在定理可知，在上仅有一个零点.……（10分）②当时，设，则，在上单调递减，，，，在上单调递减，又，，由零点存在定理可知在上仅有一个零点，综上所述，有且仅有2个零点.……（15分）18.【解析】（1）设，为椭圆的焦半距，，，当时，最大，此时或，不妨设，当时，得，所以，又因为，所以，.从，而椭圆的标准方程为.……（3分）（2）由题意，直线的斜率显然存在.设，.……（4分），同理，..……（6分）联立，……（8分）()e sin cos 21xg x x x x =+---0x ≥()()e cos sin 220x g x x x f x =+='+--'≥ ()g x ∴[)0,+∞()010g =-< ()e 20g πππ=->∴()g x [)0,+∞0x <()2sin cos (0)e x x xm x x --=<()()2sin 10exx m x -=≤'()m x ∴(),0-∞()()01m x m ∴>=e cos sin 20x x x ∴++-<()e cos sin 20x g x x x ∴=++-<'()g x ∴(),0-∞()010g =-< ()e 20g πππ--=+>∴()g x (),0-∞()g x ()00,P x y c C 12122F PF p S c y ∆=⋅⋅00y b <≤ 0y b =12F PF S ∆()0,P b ()0,P b -()0,P b 23πθ=213OPF OPF π∠=∠=c =12F PF S bc ∆==1b =c =2a =∴C 2214x y +=l ()11: 2.,l y kx M x y =+()22,N x y 1112OBM S OB x x ∆∴=⋅=2OBN S x ∆=12OBM OBN S xS x ∆∆∴=()22222,141612044y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩，.……（9分）又，，，同号..，，.令，则，解得，.……（12分）（3），.且四边形为平行四边形.由（2）知，，.而在椭圆上，.化简得.……（14分）线段，……（15分）到直线的距离……（16分）.……（17分）()()222Δ(16)4121416430k k k∴=-⨯⨯+=->234k ∴>1221614k x x k -+=+ 12212014x x k=>+1x ∴2x ()()2222122121212216641421231414k x x x x k k x x x x k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭∴===++++234k > ()2226464164,1331434k k k ⎛⎫∴=∈ ⎪⎛⎫+⎝⎭+ ⎪⎝⎭211216423x x x x ∴<++<()120x x λλ=≠116423λλ<++<()1,11,33λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1,11,33OBM OBN S S ∆∆⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ OQ OM ON =+()1212,Q x x y y ∴++OMQN 1221614k x x k -+=+()121224414y y k x x k ∴+=++=+22164,1414k Q k k -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭Q C 2222164441414k k k -⎛⎫⎛⎫∴+⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2154k =∴MN ====O MN d ==OMQN S MN d ∴=⋅==四边形19.【解析】（1），，2，3，…，所以，，2，3，…，记，则.作差得：，所以，.故.……（6分）（2）（ⅰ）所有可能的取值为：，.且对应的概率，.所以，又，所以.……（12分）（ⅱ），；，；，，，故.……（17分）()11566k P X k -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭1k =()56k k k P X k ⋅==1k =()21111512666nn k kP k n =⎛⎫=⨯+⨯++⨯ ⎪⎝⎭∑ 211112666n n S n =⨯+⨯++⨯ 2311111126666n n S n +=⨯+⨯++⨯ 1211111511111111661666666556616n n n n n n n S n n ++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-⨯=-⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- 611155566n n n S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅-+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()16615556n nn k kP k S n =⎛⎫⎛⎫==-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑116616()()lim ()lim 5565nn n n k k E X kP k kP k n ∞→∞→∞==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-+=⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑{}E ηξ∣{}i E x ηξ=∣1,2,,i n = {}{}()()()1ii i p E E x p x p x ηξηξξ=====∣∣1,2,,i n = {}()()()()()111111111[{}],,nnm n m i i j i j i j i j i i j i j i E E E x p x y p x y p x y p x y p x ηξηξ=====⎛⎫==⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∣∣()()()()21111111,,,n m m n mn mj i j j i j j i j j j i j j i j i j y p x y y p x y y p x y y p y E η=======⎛⎫⋅=⋅==⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑{}E E E ηξη⎡⎤=⎣⎦∣{}01E E ηξη==+∣156p ={}12E E ηξη==+∣2536p ={}22E η==3136p ={}()()5513542122636363636E E E E E E ηηηηηξ⎡⎤==++++⨯=+⎣⎦∣42E η=。

数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}2|log 1A x x =<，{}|2,0x B y y x ==≥，则A B =（ ）A ．∅B ．{}|12x x <<C ．{}|12x x ≤<D ．{}|12x x <≤2.将直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ） A ．1133y x =-+ B ．113y x =-+ C ．33y x =- D ．113y x =+ 3.已知命题p ：(,0)x ∃∈-∞，23xx<；命题q ：(0,)2x π∀∈，sin x x <，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝4.某工厂生产某种产品的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）有如下几组样本数据：据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ） A ．0.7 2.05y x =+ B ．0.71y x =+ C ．0.70.35y x =+ D ．0.70.45y x =+5.已知3sin()25πα-=，则cos(2)πα-的值为（ ） A ．2425B ．725C ．725-D ．2425-6.等比数列{}n a 中，42a =，55a =，则数列{}lg n a 的前8项和等于（ ） A ．6B ．5C ．4D ．37.已知0a >，则821a a ++的最小值为（ ）A ．B ．4C ．52D ．728.已知a 与b 为单位向量，且a b ⊥，向量c 满足||2c a b --=，则||c 的范围为（ ）A ．1,1⎡+⎣B ．22⎡⎣C ．D ．3⎡-+⎣9.已知两定点(1,0)A -和(1,0)B ，动点(,)P x y 在直线:3l y x =+上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ）A B C D 10.已知偶函数()y f x =对于任意的[0,)2x π∈满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式中成立的是（ ）A ()()34f ππ-<B ()()34f ππ-<-C ．(0)()4f π>-D ．()()63f ππ<11.定义{}()max ,()a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，已知实数x ，y 满足||2x ≤，||2y ≤，设{}max 4,3z x y x y =+-，则z的取值范围是（ ） A ．[]7,10-B ．[]6,10-C ．[]6,8-D ．[]7,8-12.将圆的一组n 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录k （k n ≤）个点的颜色，称为该圆的一个“k 阶色序”，当且仅当两个k 阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k 阶色序．若某国的任意两个“k 阶色序”均不相同，则称该圆为“k 阶魅力圆”．“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．10第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数2()f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．14.若52345012345(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则135a a a ++= ．15.对于数列{}n x ，若对任意*n N ∈，都有212n n n x x x +++<成立，则称数列{}n x 为“减差数列”．设2122n n tn nb t --=-，若数列5b ，6b ，7b ，…，n b （5n ≥，*n N ∈）是“减差数列”，则实数t 的取值范围是 ．16.如图，一块均匀的正三角形的钢板的质量为kg ，在它的顶点处分别受力1F ，2F ，3F ，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是60︒，且123||||||F F F ==．要提起这块钢板，123||,||,||F F F 均要大于x kg ，则x 的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2c =，60C =︒． （1）求sin sin a bA B++的值；（2）若a b ab +=，求ABC ∆的面积．18.为了参加师大附中第30届田径运动会的开幕式，高三年级某6个班联合到集市购买了6根竹竿，作为班期的旗杆之用，它们的长度分别为3.8,4.3,3.6,4.5,4.0,4.1（单位：米）．（1）若从中随机抽取两根竹竿，求长度之差不超过0.5米的概率；（2）若长度不小于4米的竹竿价格为每根10元，长度小于4米的竹竿价格为每根a 元．从这6根竹竿中随机抽取两根，若期望这两根竹竿的价格之和为18元，求a 的值．19.已知正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，1AA D 为AC 的中点，点E 在线段1AA 上． （1）当1:1:2AE EA =时，求证：1DE BC ⊥；（2）是否存在点E ，使二面角D BE A --等于60︒？若存在，求AE 的长；若不存在，请说明理由．20.如图，抛物线1C ：28y x =与双曲线2C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）有公共焦点2F ，点A 是曲线1C ，2C 在在第一象限的交点，且2||5AF =．（1）求双曲线2C 的方程；（2）以1F 为圆心的圆M 与双曲线的一条渐进线相切，圆22:(2)1N x y -+=．已知点P ，过点P作互相垂直分别与圆M 、圆N 相交的直线1l 和2l ，设1l 被圆M 解得的弦长为s ，2l 被圆N 截得的弦长为t ．试探索st是否为定值？请说明理由．21.设函数3211()32f x ax bx cx =++（a ，b ，c R ∈，0a ≠）的图象在点(,())x f x 处的切线的斜率为()k x ，且函数1()()2g x k x x =-为偶函数．若函数()k x 满足下列条件：①(1)0k -=；②对一切实数x ，不等式211()22k x x ≤+恒成立．（1）求函数()k x 的表达式； （2）设函数212()()ln (23)f x h x x m x x=-++（0x >）的两个极值点1x ，2x （12x x <）恰为2()ln x x sx tx ϕ=--的零点．当2m ≥时，求1212()'()2x x y x x ϕ+=-的最小值． 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程为2,,x y θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为2cos 6sin ρθθ=+．（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）在同一坐标系下，曲线1C ，2C 是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由． 23.选修4-5：不等式选讲设对于任意实数x ，不等式|7||1|x x m ++-≥恒成立． （1）求实数m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，解关于x 的不等式：|3|2212x x m --≤-．湖南师大附中2017届高三月考试卷（三）数学（理科）答案一、选择题二、填空题 13.512 14.122 15.3(,)5+∞ 16.10 三、解答题17.解：（1）由正弦定理可得：2sin sin sin sin 60a b c A B C ====︒，所以11sin 4222ABC S ab C ∆==⨯⨯= 18.解：（1）因为6根竹竿的长度从小到大依次为3.6,3.8,4.0,4.1,4.3,4.5，其中长度之差超过0.5米的两根竹竿长可能是3.6和4.3,3.6和4.5,3.8和4.5．2631()5P A C ==，所以14()1()155P A P A =-=-=， 故所求的概率为45． （2）设任取两根竹竿的价格之和为ξ，则ξ的可能取值为2a ，10a +，20，其中2611(2)15P a C ξ===，1124268(10)15C C P a C ξ=+==，24266(20)15C P C ξ===， 所以1862402(10)201515153a E a a ξ+=⨯++⨯+⨯=． 令240183a +=，得7a =． 19.（1）证明：连接1DC ，因为111ABC A B C -为正三棱柱，所以ABC ∆为正三角形，又因为D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥， 又平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC平面11ACC A AC =，所以BD ⊥平面11ACC A ，所以BD DE ⊥．因为1:1:2AE EA =，2AB =，1AA =AE =1AD =， 所以在Rt ADE ∆中，30ADE ∠=︒，在1Rt DCC ∆中，160C DC ∠=︒，所以190EDC ∠=︒，即1DE DC ⊥， 又1BDDC D =，所以DE ⊥平面1BDC ，1BC ⊂平面1BDC ，所以1DE BC ⊥． （2）假设存在点E 满足条件，设AE m =，取11A C 的中点D 1，连接1DD ，则1DD ⊥平面ABC ， 所以1DD AD ⊥，1DD BD ⊥，分别以DA ，DB ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -， 则(1,0,0)A，B ，(1,0,)E m ，所以DB =，(1,0,)DE m =，(AB =-，(0,0,)AE m =， 设平面DBE 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则110,0,n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1110,0,x mz =+=⎪⎩令11z =，得1(,0,1)n m =-，同理，平面ABE 的一个法向量为2222(,,)n x y z =，则220,0,n AB n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2220,0,x mz ⎧-=⎪⎨=⎪⎩取21y =，得2(3,1,0)n =，所以121|cos ,|cos602n n <>==︒=，解得2m =<， 故存在点E，当AE =时，二面角D BE A --等于60︒．20.解：（1）∵抛物线1C ：28y x =的焦点为2(2,0)F ， ∴双曲线2C 的焦点为1(2,0)F -，2(2,0)F ，设00(,)A x y 在抛物线1C ：28y x =上，且2||5AF =，由抛物线的定义得025x +=，∴03x =，∴2083y =⨯，∴0y =±，1||7AF ==，又∵点A 在双曲线上，由双曲线定义得2|75|2a =-=，所以1a =，∴双曲线的方程为：2213y x -=． （2）st为定值.下面给出说明：设圆M 的方程为222(2)x y r ++=，双曲线的渐近线方程为y =．∵圆M 与渐近线y =相切，∴圆M 的半径为2r ==故圆M ：22(2)3x y ++=． 依题意1l 、2l 的斜率存在且均不为零，所以设1l 的方程为(1)y k x -=-，即0kx y k -+=，设2l 的方程为1(1)y x k=--，即10x ky +-=，∴点M 到直线1l 的距离1d =，点N 到直线2l 的距离2d =∴直线1l 被圆M截得的弦长s =， 直线2l 被圆N截得的弦长t ==，∴s t =st21.解：由已知可得2()'()k x f x ax bx c ==++，∵函数1()()2g x k x x =-为偶函数， ∴11()()()()22g x k x x k x x -=---=-，即221122ax bx c x ax bx c x -++=++-恒成立，所以12b =．又(1)0k -=，∴102a c -+=，12a c +=，又∵对一切实数x ，不等式211()22k x x ≤+恒成立，∴2111()0222a x x c -++-≤恒成立，∴10,21114()()0,422a a c ⎧-<⎪⎪⎨⎪∆=---≤⎪⎩∴14a c ==，∴2111()424k x x x =++． （2）由（1）得，32111()1244f x x x x =++，∴2()2ln 32h x x x mx =++-（0x >），222(1)'()22x m x h x x m xx-+=+-=，由题意得2121240,,1,m x x m x x ⎧∆=->⎪+=⎨⎪⋅=⎩又2m ≥，∴221212()92x x m x x +=≥，解得12102x x <≤，∵1x ，2x （12x x <）为2()ln x x sx tx ϕ=--的零点， ∴21111()ln x x sx tx ϕ=--0=，22222()ln 0x x sx tx ϕ=--=，两式相减得，11212122ln()()()x s x x x x t x x x --+--0=， 又1'()2x sx t xϕ=--，从而12121212122()'()()()2x x y x x x x s x x t x x ϕ⎡⎤+=-=--+-⎢⎥+⎣⎦1211222()ln x x x x x x -=-+1211222(1)ln 1x x xx x x -=-+，设12x n x =（102n <≤）， 则1212()'()2x x y x x ϕ+=-2(1)ln 1n n n -=-+（102n <≤）记为()M n ， 222(1)(1)1(1)'()20(1)(1)n n n M n n n n n +----=-=<++，∴()M n 在1(0,]2上单调递减，∴min 12()()ln 223M n M ==-，故1212()'()2x x y x x ϕ+=-的最小值为2ln 23-．22.解：（1）由2,x y θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）得22(2)10x y ++=，曲线1C 的普通方程为22(2)10x y ++=，∵2cos 6sin ρθθ=+，∴22cos 6s in ρρθρθ=+，∴有2226x y x y +=+，即22(1)(3)10x y -+-=为所求曲线2C 的直角坐标方程． （2）∵圆1C 的圆心坐标(2,0)-，圆2C 的圆心坐标为(1,3)，∴12||C C ==<设相交弦长为d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段12C C ，∴222()()22d+=，∴d =23.解：（1）|7||1|x x ++-可以看做数轴上的点x 到点7-和点1的距离之和， ∴min (|7||1|)8x x ++-=，∴8m ≤．（2）由（1）得m 的最大值为8，原不等式等价于|3|24x x --≤， ∴有3,324x x x ≥⎧⎨--≤⎩或3,324,x x x <⎧⎨--≤⎩从而3x ≥或133x -≤<， ∴原不等式的解集为1|3x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．。

2020届湖南师大附中2017级高三第六次月考数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合x A {y |y 2,x R}==∈,B {x |y x R}==∈,则A B (⋂= )A. {}1B. ()0,∞+C. ()0,1D. (]0,1【答案】D【解析】化简集合,A B ,根据交集的定义计算A B ⋂．【详解】因为集合{}()|2,0,x A y y x R ==∈=+∞,化简{}(]|1B x y x R ，==∈=-∞, 所以(]0,1A B ⋂=,故选D ．2.复数()1z i i -=（i 为虚数单位）,则z 的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】C【解析】由复数除法求出z ,写出共轭复数,写出共轭复数对应点坐标即得 【详解】解析：()()()1111111222i i i i z i i i i +-+====-+--+,1122z i ∴=--, 对应点为11(,)22--,在第三象限．故选：C ．3.“搜索指数”是网民通过搜索引擎,以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大,表示网民对该关键词的搜索次数越多,对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2018年9月到2019年2月这半年中,某个关键词的搜索指数变化的走势图.根据该走势图,下列结论正确的是（ ）A. 这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B. 这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C. 从网民对该关键词的搜索指数来看,去年10月份的方差小于11月份的方差D. 从网民对该关键词的搜索指数来看,去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值【答案】D【详解】选项A 错,并无周期变化,选项B 错,并不是不断减弱,中间有增强．C 选项错,10月的波动大小11月分,所以方差要大．D 选项对,由图可知,12月起到1月份有下降的趋势,所以去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值．选D.4.已知函数()(1)()f x =x - a x+b 为偶函数且在(0,)+∞单调递减,则(3)0f -x <的解集为（ ）A. (2,4)B. (,2)(4,)-∞⋃+∞C. (-1,1)D. (,1)(1,)-∞-+∞ 【答案】B【解析】根据函数奇偶性定义,求出a,b 的关系,结合函数的单调性判断a 的符号,然后根据不等式的解法进行求解即可．【详解】∵f（x ）=（x-1）（ax+b ）=ax 2+（b-a ）x-b 为偶函数,∴f（-x ）=f （x ）,则ax 2-（b-a ）x-b=ax 2+（b-a ）x-b,即-（b-a ）=b-a,。

炎德·英才大联考湖南师大附中2018届高三月考试卷（五）数学（理科）命题人：徐凡训黄祖军审题人：周正安本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分,共10页.时量120分钟。

满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)复数错误!的虚部是(C）（A）i (B）－i (C）1 （D) －1【解析】错误!＝错误!＝2＋i,则复数错误!的虚部是1，故选C。

（2)若集合A＝{x∈R||x－4|≤2｝，非空集合B＝｛x∈R｜2a≤x≤a＋3}，若B A，则实数a的取值范围是（D）（A）（3，＋∞）（B) [－1，＋∞）（C）（1，3）（D) [1,3］【解析】∵集合A＝｛x∈R|｜x－4|≤2}＝［2,6]，由集合B不为空集可得2a≤a＋3,即a≤3,由B A得错误!解得a∈［1,3]，故选D。

（3)若q＞0，命题甲：“a，b为实数，且|a－b｜＜2q”；命题乙:“a,b为实数，满足｜a－2｜＜q，且|b－2|＜q”，则甲是乙的(B)（A) 充分而不必要条件(B）必要而不充分条件（C）充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件【解析】若a,b为实数,且｜a－b|＜2q,则取a＝8，b＝6，q＝2时，不满足|a－2|〈q，且|b－2｜<q；若a，b为实数,满足|a－2|<q，且｜b－2｜〈q,则|a－b｜＝｜(a－2）－（b－2)｜≤|a－2｜＋|b－2｜〈q＋q＝2q，所以甲是乙的必要而不充分条件,故选B。

(4）MOD(a，b）表示求a除以b的余数，若输入a＝34，b＝85，则输出的结果为（B)(A) 0（B）17（C）21（D) 34【解析】模拟执行程序框图，可得a＝34，b＝85，不满足条件a＞b，c＝34，a＝85，b＝34，m＝MOD（85，34)＝17,a＝34,b＝17，不满足条件m＝0，m＝MOD（34，17)＝0，a＝17，b＝0,满足条件m＝0，退出循环,输出a的值为17。

第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：（本大题共8个小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.已知全集{2,4,6,8,10}M N=,(){10}U=,集合,M N满足{4}C N M=，则M=U（）A．｛2,4｝B．{4,8，10｝C．｛4，6，10｝D．｛4,10}2.已知命题p:∃x∈R,x2－3x＋3≤0，则下列说法正确的是（)A．p⌝：∃x∈R，2330－＋，且p⌝为真命题x x>B．p⌝：∃x∈R，2330－＋，且p⌝为假命题x x>C．p⌝：∀x∈R，2330－＋，且p⌝为真命题x x>D．p⌝：∀x∈R,2330－＋，且p⌝为假命题x x>3.动点(cos ,sin )P θθ()R θ∈关于直线2y x =-的对称点是P '，则PP '的最大值为（ ) A ．222- B ．21+ C ．22 D ．222+4。

已知函数2()2f x xax b =-+，则“12a <<”是“(1)(3)f f <”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.若1OA =，4OB =，2OA OB ⋅=，OA OB OC +=，则△ABC 的面积是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．23【答案】C 【解析】试题分析：因为OA OB OC +=，所以OA OC OB BC =-=,OB OC OA AC =-=，又6。

一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( ）A 。

12π B.3πC 。

3π D.123π考点:三视图、球的表面积、正方体的外接球7。

点P 是双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>与圆22222x y a b C :+=+的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，其中12F F 、分别为双曲线C 1的左右焦点，则双曲线1C 的离心率为（ ） A 31B 31+ C 51+ D 518。