达标训练
基础·巩固·达标
1．方程3x 2-4＝-2x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A.3，-4，-2
B.3，2，-4
C.3，-2，-4
D.2，-2，0
提示：将一元二次方程化为一般形式再确定二次项系数、一次项系数、常数项. 答案：B
2．用公式法解方程4x 2+12x +3=0，得到（ ） A.x =263±- B.x =263± C.x =2
3
23±- D.x =2323± 提示：按公式法的步骤进行，注意各系数及常数应包括前面的符号. 答案：A
3．方程x 2-2x -1=0的较小的根为m ，方程x 2-22x -2=0的较大的根为n ，则m +n 等于（ ）
A.3
B.-3
C.22
D.-22
提示：两个方程的根都用公式法求出，易知m=1- 2，n= 2+2.所以m+n=（1-2）+（2+2）=3. 答案： A
4．若代数式x 2-6x ＋5的值等于12，那么x 的值为（ ）
A.1或5
B.7或-1
C.-1或-5
D.-7或1
提示：考虑x 为何值时，等式x 2-6x ＋5=12成立，通过解此方程可达到目的.
解：由x 2-6x ＋5=12，得x 2-6x-7=0，
所以()()()286264612714662±=±=⨯-⨯⨯--±--=
x ，x 1=7，x 2=-1. 故选
B. 答案：B
5．用公式法解下列方程：
（1）x 2+2x -2=0；（2）y 2-3y +1=0；（3）x 2+3= 22x .
提示：用公式法解一元二次方程时，一般要先将方程化为一般形式，再确定a ，b ，c 的值，代入求根公式求方程的解.
解：（1）a=1，b=2，c=-2.
b 2-4ac=22
-4×1×（-2）=12＞0.
31,31.3123221212221--=+-=±-=±-=⨯±-=x x x .
（2）a=1，b=-3，c=1.
b 2-4ac=（-3）2-4×1×1=5＞0. ()2
53,253,253125321-=+=±=⨯±--=y y y . （3）移项，得x 2- 22x+3=0.a=1，b=-22，c=3.
b 2-4ac=（-22）2-4×1×3=-4＜0.所以原方程没有实数根. 6.方程x 2+ax +b =0的一个根是2，另一个根是正数，而且是方程(x +4)2=3x +52的根，求a 、b 的值. 提示：①由根的意义知4+2a+b=0；②方程(x+4)2=3x+52的正根也是方程x 2+ax+b=0的一根.解：(x+4)2=3x+52的根为x 1=4,x 2=-9，故4是方程x 2+ax+b=0的根，由根的意义知2a+b=-4，4a+b=-16，所以a=-6，b=8.
7.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八寸，两相去适一丈.问户高，广各几何.”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈,那么门的高和宽各是多少? 提示：本题涉及到古代数学的一道应用型题.注意直角三角形的三边关系符合勾股定理. 解：设门的高为x 尺，根据题意，得
x 2+(x-6.8)2=102，
即 2x 2+13.6x-9 953.760.
解这个方程，得x 1=9.6， x 2 =-2.8(不合题意，舍去).
∴x-6.8=2.8.
答：门的高是9.6尺,宽是2.8尺.
综合·应用·创新
8．2010北大附中下学期调研解方程：061
512=++-+x x x x ）（. 提示：利用换元法,将方程化为一元二次方程再求解.
解：令1
+=x x y ，则原方程为y 2-5y+6=0. 解之得y 1=2,y 2=3.当y=2时，x=-2;当y=3时，x=-4.检验：（略），∴原方程的解为x 1=-2,x 2=-3.
9．要建一个面积为130 m 2的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16 m ），并在与墙平行的一边开一道1 m 宽的门，现有能围成32 m 长的木板，求仓库的长和宽.
提示：由于仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1 m 宽的门，所以本题的相等关系是：（1）2×宽+长-1=32；（2）长×宽=130.
解：设仓库的宽为x m ，则长为（33-2x ）m.于是有x （33-2x ）=130.
整理，得2x 2
-33x+130=0.解方程，得x 1=10，x 2=6.5.
当x=6.5时，33-2x=20＞16（墙长16 m ），不合题意；当x=10时，33-2x=13，符合题意. 答：仓库的长为13 m ，宽为10 m. 10．对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)，满足b 2-4ac ≥0时，试探究其两根x 1,x 2的关系式x 1+x 2和
x 1·x 2的值.
解:当a ≠0，b 2
-4ac ≥0时，由求根公式知a ac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-=, ∴x 1+x 2=-a b ,x 1x 2=a c . 评注:当一元二次方程有实数根时，这两个根与它们的系数有关，即两根之和为-a b ，两根之积为a c .
运用此结论解某些有关的题时较为简便，如已知α、β是方程2x 2+3x-4=0的两个实数根，求α+αβ+β的值.由于α+β=-23,αβ=-2,所以α+αβ+β=-23-2=-27.
11.2010北大附中下学期调研如果a ,b 是方程x 2+x -1=0的两个根，求代数式a 3+a 2b +ab 2+b 3的值. 解：由已知，得⎩⎨⎧=-=+1
1ab b a
()()()[]
()()()312122223223-=-+=+-+=++=+++b a ab b a b a b a b ab b a a 回顾热身展望
12.四川眉山模拟 解方程：x 2-2x -1=0.
提示：用公式法解此方程.
解：（1）a=1，b=-2，c=-1.
b 2-4ac=（-2）2-4×1×（-1）=8＞0.
()31,21.212
322128221-=+=±=±=⨯±--=x x x . 13.重庆模拟 解方程：x 2-2x -2=0.
提示：用公式法解此方程.
解：（1）a =1，b=-2，c=-2.
b 2-4ac=（-2）2-4×1×（-2）=12＞0.
()31.31.312
3221212221-=+=±=±=⨯±--=x x x . 14.福建厦门模拟若关于x 的方程x 2+2(a +1)x +(a 2+4a -5)=0有实数根，试求正整数a 的值. 提示：要注意两个条件：①有实数根；②a 是正整数.
解：由方程有实根知b 2-4ac ≥0,
故［2(a+1)］2-4×1×(a 2+4a-5)≥0，整理，得-2a+6≥0，所以a ≤3.
因为a 是正整数，所以a=1，2，3.
