配方法公式法练习题 It was last revised on January 2, 2021
1、若224()x x p x q -+=+，那么p 、q 的值分别是（ ）
A 、p=4，q=2
B 、p=4，q=-2
C 、p=-4，q=2
D 、p=-4，q=-2
2若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ）
A ．3
B ．-3
C ．±3
D ．以上都不对
3．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）
A ．（a-2）2+1
B ．（a+2）2-1
C ．（a+2）2+1
D ．（a-2）2-1
4．把方程x 2+3=4x 配方，得（ ）
A ．（x-2）2=7
B ．（x+2）2=21
C ．（x-2）2=1
D ．（x+2）2=2
5．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ）
A ．2．-2±．．6．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ）
A ．总不小于2
B ．总不小于7
C ．可为任何实数
D ．可能为负数
7.将方程x x x 32332-=++化为标准形式是______________________，其中a =____
__，b =______，c =______．
8．关于x 的方程x 2＋mx －8=0的一个根是2，则m =______，另一根是______． 用配方法解一元二次方程
用公式解法解下列方程。
1、0822=--x x
2、22
314y y -= 3、y y 32132=+ 4、01522=+-x x 5、1842-=--x x 6、02322=--x x
1代数式2221
x x x ---的值为0，求x 的值． 2解下列方程：
（1）x 2+6x+5=0； （2）2x 2+6x-2=0； （3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0. 3用配方法求解下列问题
（1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。
某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台
1、配方法解方程2x 2-43
x-2=0应把它先变形为（ ） A 、（x-13）2=89 B 、（x-23）2=0 C 、（x-13）2=89 D 、（x-13）2=109
2、用配方法解方程x 2-23
x+1=0正确的解法是（ ）
A 、（x-13）2=89，x=13±3
B 、（x-13）2=-89
，原方程无解
C 、（x-23）2=59，x 1=23+3x 2=23-
D 、（x-23）2=1，x 1=53，x 2=-13
1．一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac ≥0时，它的根是_____，当b-4ac<0时，方程_________．
2．若方程3x 2+bx+1=0无解，则b 应满足的条件是________．
3．关于x 的一元二次方程x 2+2x+c=0的两根为________．（c ≤1）
4．用公式法解方程x 2=-8x-15，其中b 2-4ac=_______，x 1=_____，x 2=________．
5．已知一个矩形的长比宽多2cm ，其面积为8cm 2，则此长方形的周长为________．
6.无论x 、y 取任何实数，多项式222416x y x y +--+的值总是_______数．
7.如果16（x-y ）2+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________．
8.（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2
9.若22(3)49x m x +-+是完全平方式，则m 的值等于________．
用配方法解下列一元二次方程。
1、.0662=--y y
2、x x 4232=-
3、9642=-x x
4、0542=--x x
5、01322=-+x x
6、07232=-+x x
7、01842=+--x x
8、0222=-+n mx x
9、()00222>=--m m mx x
一、 用公式解法解下列方程。
1、0822=--x x
2、22
314y y -= 3、y y 32132=+ 4、01522=+-x x 5、1842-=--x x 6、02322=--x x
（1）x 2+4x+1=0；（2）2x 2-4x-1=0；
（3）9y 2-18y-4=0；（4）x 2
高中数学方法篇之配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab； a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b 2 )2＋（ 3 2 b）2； a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝1 2 [(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2] a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2； x2＋1 2 x ＝(x＋ 1 x )2－2＝(x－ 1 x )2＋2 ；……等等。 一、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a n }中，a 1 ?a 5 +2a 3 ?a 5 +a 3 ?a 7 =25，则 a 3 ＋a 5 ＝_______。 2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 4
解一元二次方程练习题(配方法) 配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a 看做未知数x ，222)(2b a b ab a +=+±并用x 代替，则有。 222)(2b x b bx x ±=+±配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+ ）2 ②、x 2－5x+ =（x － ）2；③、x 2+ x+ =（x+ ）2 ④、x 2－9x+ =（x － ）2 2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．将x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为___ ____， 所以方程的根为_________． 5．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是 7．把方程x 2+3=4x 配方，得 8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为 9．用配方法解下列方程： （1）3x 2-5x=2． （2）x 2+8x=9
（3）x 2+12x-15=0 （4） x 2-x-4=04 110.用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。 解一元二次方程练习题(公式法) 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程的求根公式： )0(02≠=++a c bx ax
解一元二次方程练习题 (配方法) 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+）2②、x 2－5x+=（x －）2；③、x 2+ x+=（x+）2④、x 2－9x+=（x －）22．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．将x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______， ? 所以方程的根为_________．5．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是 7．把方程x 2+3=4x 配方，得 8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为 9．用配方法解下列方程： （1）3x 2-5x=2．（2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）41 x 2-x-4=0 10.用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。
解一元二次方程练习题(公式法) 一、填空题 1．一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac ≥0时，它的根是_____ 当b-4ac<0时，方程_________． 2．方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等的实数根，则有________，?若有两个不相等的实数根，则有_________，若方程无解，则有__________． 3．用公式法解方程x 2=-8x-15，其中b 2-4ac=_______，x 1=_____，x 2=________． 4．已知一个矩形的长比宽多2cm ，其面积为8cm 2，则此长方形的周长为________． 5．用公式法解方程4y 2=12y+3，得到 6．不解方程，判断方程：①x 2+3x+7=0；②x 2+4=0；③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有个 7．当x=_____ __时，代数式与的值互为相反数． 8．若方程x-4x+a=0的两根之差为0，则a 的值为________． 二、利用公式法解下列方程 （1）25220x x （2）（3）x=4x 2+2 13x 22 1 4x x 012632x x
数学方法篇一：配方法 把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法． 【范例讲析】 1．配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用 在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。 例1、二次根式322+-a a 中字母a 的取值范围是_________________________. 点评：经过配方，观察被开方数，然后利用被开方数必须大于等于零求得所需要的解。 2．配方法在化简二次根式中的应用 在二次根式的化简中，也经常使用配方法。 例2、化简526-的结果是___________________. 点评：题型b a 2+一般可以转化为y x y x +=+2 )(（其中? ??==+b xy a y x ）来化简。 3．配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用 在证明代数式的值为正数或负数，配方法也是一种重要的方法。 例3、不管x 取什么实数，322-+-x x 的值一定是个负数，请说明理由。 点评：证明一个二次三项式恒小于0的方法是通过配方将二次三项式化成“2a -+负数”的形式来证明。 4．配方法在解某些二元二次方程中的应用 解二元二次方程，在课程标准中不属于考试内容，但有些问题，还是可以利用我们所学的方法得以解决。 例4、解方程052422=+-++y x y x 。 点评：把方程052422=+-++y x y x 转化为方程组???=-=+010 2y x 问题，把生疏问题转化为熟悉 问题，体现了数学的转化思想，正是我们学习数学的真正目的。 5．配方法在求最大值、最小值中的应用 在代数式求最值中，利用配方法求最值是一种重要的方法。可以使我们求出所要求的最值。 例5、若x 为任意实数，则742++x x 的最小值为_______________________. 点评：配方法是求一元二次方程根的一种方法，也是推导求根公式的工具，同时也是求二次三项式最值的一种常用方法。 6．配方法在一元二次方程根的判别式中的应用 配方法是求一元二次方程根的一种方法，也是推导求根公式的工具，并且也是解决其他问题的方法，其用途相当广泛。在一元二次方程根的判别式中也经常要应用到配方法。 例6、证明：对于任何实数m ，关于x 的方程()22231470x m x m m +-+--=都有两个不相等的实数根。 点评：利用判别式证明方程根的情况是一种常见的题型，其实质上判断判别式的正负，一般都可以利用配方法解决。 7．配方法在恒等变形中的应用 配方法在等式的恒等变形中也经常用到，特别是含有多个二次式时，经常把他们分别配方，转变为平方式。然后再进行解决。 例7、已知ac bc ab c b a ++=++222又知a 、b 、c 为三角形的三条边， 求证：该三角形是等边三角形。 点评：配方法在等式恒等变形中的应用，经常会让我们收到意想不到的效果。
1、若22 4()x x p x q -+=+，那么p 、q 的值分别是（ ） A 、p=4，q=2 B 、p=4，q=-2 C 、p=-4，q=2 D 、p=-4，q=-2 2若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 3．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 4．把方程x 2+3=4x 配方，得（ ） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 5．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2．-2．．6．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 7.将方程x x x 32332-=++化为标准形式是______________________，其中a =____ __，b =______，c =______． 8．关于x 的方程x 2＋mx －8=0的一个根是2，则m =______，另一根是______． 用配方法解一元二次方程 0542=--x x 01322=-+x x 07232=-+x x 01842=+--x x 0222=-+n mx x ()00222>=--m m mx x 用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y - = 3、y y 32132=+
4、01522=+-x x 5、1842-=--x x 6、02322=--x x 1代数式2221 x x x ---的值为0，求x 的值． 2解下列方程： （1）x 2+6x+5=0； （2）2x 2+6x-2=0； （3）（1+x ）2 +2（1+x ）-4=0. x x 5322=- 01072=+-x x ()()623=+-x x 012=--x x 02932=+-x x ()()213=-+y y 3用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台 电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电 脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
一元二次方程的根 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解． 例1：下面哪些数是方程0121022=++x x 的根？ —4、—3、—2、—1、0、1、2、3、4 分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可． 复习 ()2222b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=- 根据公式完成下面的练习： (1)()22____________8-→+-x x x (2)()2 2______3______129+→++x x x (3)()22____________+→++x px x (4) ()2 2____________6+→++x x x (5)()22____________5-→+-x x x (6) ()2 2____________9-→+-x x x 例2：解方程：2963=++x x 2532=-x x 解：由已知，得：()232=+x 解：方程两边同时除以3，得3 2352=-x x 直接开平方，得：23±=+x 配方，得22265326535??? ??+=?? ? ??+-x x 即23=+x ，23-=+x 即 3649652=??? ? ?-x ，6765±=-x ，6765±=x 所以，方程的两根231+-=x ，232--=x 所以，方程的两根267651=+=x ，3 167652-=-=x 像这种求出一元二次方程的根的方法叫做配方法。 练一练： (1)982=+x x (2)015122=-+x x (3) 044 12=--x x (4) 03832=-+x x (5)08922=+-x x (6) ()x x 822=+ 练一练
第六课时：配方法与公式法 ［知识要点］ 1配方法：①移项②二次项系数化为1③方程两边同时加上一次项系数一半的平方④开方 2、公式法：当b2 4ao 0时，它的根是X12广b±炉^ 3、由2可以推导：X1 X2b c X[ ? X2 a a ［典型例题］ 例1用配方法解下列方程： 1 2 5 5 门2 (1) X X 0(2)3X 6X 2 0 2 2 4 例2用公式法解下列方程： (1) 3X25X 2 0 2 (2) 2X 3X 3 0 2 (3) X22X 1 2 例3设X i,X2是方程2x 4x 30的两个根，禾U用根与系数的关系，求下列各式 的值 (1 ) (X1 2)(X2 2)；(2) X2 X i X i X2 （难点）
［经典练习］ 1、若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则 m 的值是（） A . 3 B . -3 C . ± 3 D .以上都不对 2、用配方法将二次三项式 a 2-4a+5变形，结果是（ ） A . (a-2) 2 +1 B . (a+2) 2-1 C . (a+2) 2+1 D . (a-2) 2-1 3、用配方法解方程 x 2+4x=10 的根为（） A . 2± B . -2土14 C . -2+、10 4、用公式法解方程 4y 2=12y+3，得到（） A . y=L 2 B . y=^6 2 C . y= 3 D . y=^J 2 a ( 1+x 2)+2bx-c 5、已知a 、b 、c 是厶ABC 的三边长，且方程 △ ABC 为（） A .等腰三角形 B .等边三角形 6将一元二次方程X 2 -2X -4=0用配方法化成（x+a ） 2=b 的形式为 C .直角三角形 方程的根为 （1-x 2） =0的两根相等，则 D .任意三角形 ，所以 7、不解方程，判断方程：①x 2+3X +7=0;②X 2+4=0:③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有 8、当 x= 1 时，代数式— 3 2 x - 2x 与 - x 1 亠」的值互为相反数. 4 9、用适当的方法解下列方程: （1） 3X 2-5X =2. (2) X 2+8X =9 (3) x 2 5.2x 2 0 (4) 2x (x — 3) =x — 3
21.2 解一元二次方程 教学目标 1. 掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的基本步骤和过程． 2. 了解一元二次方程求根公式的推导过程，会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等． 3. 了解一元二次方程的根与系数的关系． 4. 能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理． 教学重点 1. 掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的基本步骤和过程，明确各种解法的来源和特点． 2. 一元二次方程求根公式的推导过程． 教学难点 1. 在具体问题时，如何根据方程的特点恰当选择解方程的基本方法． 2. 一元二次方程求根公式的推导过程． 课时安排 7课时． 第1课时 教学内容 21.2.1 配方法（1）． 教学目标 1．能运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程． 2．通过实例，合作探讨，建立数学模型，掌握直接开平方法的的基本步骤． 3．在经历用直接开平方法解一元二次方程的过程中，进一步体会化归思想． 教学重点 运用开平方法解形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程，领会降次—转化的数学思想． 教学难点 通过根据平方根的意义解形如x2＝p的方程，然后知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程． 教学过程 一、导入新课 问题：一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 通过问题，导入新课的教学． 二、新课教学 1．解决问题． 学生思考、讨论，教师引导，汇报解题过程和步骤． 设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
1、若224()x x p x q -+=+，那么p 、q 的值分别是（） A 、p=4，q=2 B 、p=4，q=-2 C 、p=-4，q=2 D 、p=-4，q=-2 2若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 3．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 4．把方程x 2+3=4x 配方，得（） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 5．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（） A ．2．-2．．6．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 7.将方程x x x 32332-=++化为标准形式是______________________，其中a =____ __，b =______，c =______． 8．关于x 的方程x 2＋mx －8=0的一个根是2，则m =______，另一根是______． 用配方法解一元二次方程 用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y -=3、y y 32132=+ 4、01522=+-x x 5、1842-=--x x 6、02322=--x x 1代数式2221 x x x ---的值为0，求x 的值． 2解下列方程： （1）x 2+6x+5=0；（2）2x 2+6x-2=0；（3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0. 3用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你
配方法与公式法解一元二次方程 基础篇 一、填空题 1．+-x x 82 _________=(x －__________)2． 2．x x 2 3 2- ＋_________=(x －_________)2． 3．+-px x 2 _________=(x －_________)2． 4．x a b x - 2＋_________=(x －_________)2． 5．关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的根是______． 6．一元二次方程(2x ＋1)2－(x －4)(2x －1)=3x 中的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______． 二、选择题 7．用配方法解方程0132 2=-- x x 应该先变形为( )． A ．98 )31(2=-x B ．9 8)3 1 (2 - =-x C ．9 10 )31(2=-x D ．0)3 2 (2=-x 8．用配方法解方程x 2＋2x =8的解为( )． A ．x 1=4，x 2=－2 B ．x 1=－10，x 2=8 C ．x 1=10，x 2=－8 D ．x 1=－4，x 2=2 9．用公式法解一元二次方程x x 24 1 2 =-，正确的应是( )． A ．25 2±-=x B ．25 2±=x C ．2 5 1±= x D ．2 3 1±= x 10．方程mx 2－4x ＋1=0(m ＜0)的根是( )． A ．4 1 B ．m m -±42 C ． m m -±422 D ． m m m -±42 三、解答题(用配方法解一元二次方程)
11．x 2－2x －1=0． 12．y 2－6y ＋6=0． 四、解答题(用公式法解一元二次方程) 13．x 2＋4x －3=0． 14．.03232=--x x 五、解方程(自选方法解一元二次方程) 15．x 2＋4x ＝－3． 16．5x 2＋4x =1．
用配方法和公式法解一元二次方程 一.教学内容： 用配方法和公式法解一元二次方程 1.知道配方法的意义及用配方法解一元二次方程的主要步骤，能够熟练地用配方法解系数较简单的一元二次方程． 2.理解用配方法推导出一元二次方程的求根公式，了解求根公式中的条件b2－4ac≥0的意义，知道b2－4ac的值的符号与方程根的情况之间的关系． 3.能熟练地运用求根的公式解简单的数字系数的一元二次方程． 二. 知识要点： 1.形如x2＝p或（mx＋n）2＝p（p≥0）的方程用开平方法将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程． 通过配方，方程的左边变形为含x的完全平方形式（mx＋n）2＝p（p≥0），可直接开平方，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程．这样解一元二次方程的方法叫做配方法． 3.用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把二次项系数化为1； （2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项； （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）用直接开平方法求出方程的根． （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．
三. 重点难点： 本讲重点是用配方法和公式法解一元二次方程，难点是配方的过程和对求根公式推导过程的理解． 例2.用配方法解方程： （1）x2＋2x－5＝0；（2）4x2－12x－1＝0； （3）（x＋1）2－6（x＋1）2－45＝0． 分析：方程（1）是一元二次方程的一般形式，且二次项系数为1，所以直接移项、配方、求解即可；方程（2）要先把二次项系数化为1；方程（3）不要急于打开括号，可把（x ＋1）2看成一个整体合并，可避免重复配方． （3）将方程整理得 （x＋1）2－6（x＋1）2＝45， －5（x＋1）2＝45， （x＋1）2＝－9， 由于x取任意实数时（x＋1）2≥0，则上式都不成立，所以原方程无实数根．
配方法公式法练习题 It was last revised on January 2, 2021
1、若224()x x p x q -+=+，那么p 、q 的值分别是（ ） A 、p=4，q=2 B 、p=4，q=-2 C 、p=-4，q=2 D 、p=-4，q=-2 2若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 3．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 4．把方程x 2+3=4x 配方，得（ ） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 5．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2．-2±．．6．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 7.将方程x x x 32332-=++化为标准形式是______________________，其中a =____ __，b =______，c =______． 8．关于x 的方程x 2＋mx －8=0的一个根是2，则m =______，另一根是______． 用配方法解一元二次方程 用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y -= 3、y y 32132=+ 4、01522=+-x x 5、1842-=--x x 6、02322=--x x 1代数式2221 x x x ---的值为0，求x 的值． 2解下列方程： （1）x 2+6x+5=0； （2）2x 2+6x-2=0； （3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0. 3用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台
一元二次方程解法 ---配方法和公式法 【知识要点】 1．一般的一元二次方程，可用配方法求解．其步骤是： ①化二次项系数为1，并把常数项移项到方程的另一侧，即把方程化为q px x -=+2的形式； ②方程两边都加上22??? ??p ，把方程化为44222 q p p x -=??? ?? +； ③当042≥-q p 时，利用开平方法求解． 2．一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的求根公式是：() 04242 2≥--±-=ac b a ac b b x ． 3．解一元二次方程，直接开平方法是一种特殊方法，配方法与求根公式法是一般方法，对于任何一元二次方程都可使用。解题的关键是要根据方程系数的特点及方程的不同形式，选择适当的方法，使解法简捷． 【典型例题】 例1． 用配方法解下列方程： （1）0542=--x x （2）01322=-+x x （3）07232=-+x x （4）01842=+--x x 类题练习： 用配方法解下列方程： （1）01722=++x x （2）04522=--x x
例2．用公式法解下列方程： （1）01522=+-x x （2）1842-=--x x （3）02322=--x x （4）()()()0112=-++-y y y y 【经典练习】 1．把方程0562=+-x x 化成()k m x =+2 的形式，则m =_______，k =_________。 2．将方程01232=-+x x 配方成()_______2 =+x ，从而求得此方程的根是 。 3．把下列各式配成完全平方式 （1）()22_________2 1-=+-x x x （2）()22______ _____3 2 +=++ x x x （3）()2 2__________-=+- x x a b x （4）()22____25____-=+-x x x 4．若x 2 +6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 5．用配方法解方程013 2 2=++ x x ，正确的解法是（ ）． A ．3223198312 ±-==??? ??+x x ， B ．98312 -=??? ?? +x ，原方程无实数根． C ．35295322 ±-==??? ??+x x ， D ．95322 -=??? ?? +x ，原方程无实数根． 6将二次三项式6422+-x x 进行配方，正确的结果是（ ）． A ．()4122 --x B ．()4122 +-x C ．()2222 --x D ．()2222 +-x 7．通过配方，将下列各方程化成()2 x m n +=的形式． （1）2261x x += （2）21815x x -= （3）26100x x -= （4）23 22 x x -=
二次函数图像和性质（5） 学习目标： 1．配方法求二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴； 2．熟记二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标公式； 3．会画二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象． 学习重点：配方法或公式法求二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴； 学习难点：配方法求二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴； 学习过程： 一、复习引入 1、()k h x a y +-=2 的图像和性质填表： 2.抛物线()1222 ++=x y 的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ， 当x = 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 是由抛物线2 2x y =先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到的。 二、自主探究 探究一：配方法求顶点坐标、对称轴 （1）问题：你能直接说出函数222++=x x y 的图像的对称轴和顶点坐标吗？ （2）你有办法解决问题①吗？ 222++=x x y 222++=x x y 的对称轴是 ，顶点坐标是 . （3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式， 从而直接得到它的图像性质. （4）用配方法把下列二次函数化成顶点式： ①222+-=x x y ②232 ++=x x y ③ y ＝12 x 2－6x ＋21 对称轴 对称轴 对称轴 顶点 顶点 顶点 ④4322 +-=x x y ⑤232 ++-=x x y ⑥x x y 22 --= 对称轴 对称轴 对称轴 顶点 顶点 顶点
探究二：用公式法求顶点坐标、对称轴 c bx ax y ++=2 = 对称轴 顶点坐标 用公式法把下列二次函数的顶点坐标、对称轴： ①4322 +-=x x y ②232 ++-=x x y ③x x y 22 --= 三、合作交流 根据c bx ax y ++=2的图象和性质填表： 四、精讲点拨 1、抛物线2 2()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ ） A ．()m n ， B ．()m n -， C ．()m n -， D ．()m n --， 2、二次函数2 365y x x =--+的图象的顶点坐标是（ ） A ．(18)-， B ．(18)， C ．(12)-， D ．(14)-， 3、在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 A ．222-=x y B ．222+=x y C ．2)2(2-=x y D ．2)2(2+=x y 4、抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，3） B ．（－2，3） C ．（2，－3） D ．（－2，－3） 5、二次函数2(1)2y x =++的最小值是（ ）． A ．2 B ．1 C ．－3 D ． 2 3 6、将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A ．22(1)y x =+ B ．22(1)y x =- C ．221y x =+ D ．221y x =- 7、抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为 （A ）（-2，7） （B ）（-2，-25） （C ）（2，7） （D ）（2，-9） 8、把二次函数3412+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式 A.()22412+--=x y B. ()42412+-=x y C.()42412++-=x y D. 3212 12 +??? ??-=x y 9、把抛物线2 y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 A ．2 (1)3y x =--- B ．2 (1)3y x =-+- C ．2(1)3y x =--+ D ．2 (1)3y x =-++
配方法 高考问题求解中的数学方法一般是指“配方法、换元法、待定系数法、反证法、数学归纳法、”等.有时在解决更小范围内的数学问题所使用的的具体方法是“代入法、消元法、比较法、割补法、等积法”等. 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简.何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方.有时也将其称为“凑配法”. 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b)2 ＝a 2 ＋2ab ＋b 2 ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a 2 ＋b 2 ＝(a ＋b)2 －2ab ＝(a －b)2 ＋2ab ；a 2 ＋ab ＋b 2 ＝(a ＋b)2 －ab ＝ (a －b)2 ＋3ab ＝(a ＋ b 2)2＋（32 b ）2；a 2＋b 2＋ c 2＋ab ＋bc ＋ca ＝12[(a ＋b)2＋(b ＋c)2＋(c ＋a)2] a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＝(a ＋b ＋c)2 －2(ab ＋bc ＋ca)＝(a ＋b －c)2 －2(ab －bc －ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sin αcos α＝（sin α＋cos α）2 ；x 2 ＋ 12x ＝(x ＋1x )2－2＝(x －1x )2＋2 ；解析几何中的韦达定理和弦长公式；…… 等等. 练一练： 1若实数a,b,c 满足,92 2 2 =++c b a 则()()()2 2 2 a c c b b a -+-+-的最大值为 2方程x 2＋y 2 －4kx －2y ＋5k ＝0表示圆的充要条件是_____ 3 已知sin 4α＋cos 4 α＝1，则sin α＋cos α的值为______ 4 函数y ＝log 1 (－2x 2 ＋5x ＋3)的单调递增区间是_____ 5. 已知方程x 2+(a-2)x+a-1=0的两根x 1、x 2，则点P(x 1,x 2)在圆x 2+y 2 =4上，则实数a ＝_____ 6 双曲线 12 22 2=-b y a x 的两个焦点 F 1，F 2，点P 在双曲线上，若21PF PF ⊥，求P 到x 轴的距离. 解析： 1：如何求最大值，只有对所求值重新整理，凑用题设和配方切入， ()()()()()()(). 27,2793222322 222222222222所求最大值为∴≤++-?=+++++-++=---++=-+-+-c b a ca bc ab c b a c b a ca bc ab c b a a c c b b a 2：配方成圆的标准方程形式(x －a)2 ＋(y －b)2 ＝r 2 ，解r 2 >0即可，k<14或k>1。 3：已知等式配方凑成(sin 2 α＋cos 2 α)2 －2sin 2 αcos 2 α＝1，求出sin αcos α，然后求出所求式的平方值，再开方求解, 1或－1。 4：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解，[54,3]。 5 根与系数的关系中配凑整体思维,()()()142)(,0)1(4222212--=-=+≥---=?a a x x a a ，解得3－11. 6 构建方程组，用圆锥曲线的定义需配方，为简化运算需整体代入.设点P 到x 轴的距离为L ，2211 r PF ,r PF ==，
一元二次方程解法 ---配方法和公式法 【知识要点】 1．一般的一元二次方程，可用配方法求解．其步骤是： ①化二次项系数为1，并把常数项移项到方程的另一侧，即把方程化为q px x -=+2的形式； ②方程两边都加上22??? ??p ，把方程化为44222q p p x -=?? ? ??+； ③当042≥-q p 时，利用开平方法求解． 2．一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的求根公式是：() 042422≥--±-=ac b a ac b b x ． 3．解一元二次方程，直接开平方法是一种特殊方法，配方法与求根公式法是一般方法，对于任何一元二次方程都可使用。解题的关键是要根据方程系数的特点及方程的不同形式，选择适当的方法，使解法简捷． 【典型例题】 例1． 用配方法解下列方程： （1）0542=--x x （2）01322=-+x x （3）07232=-+x x （4）01842=+--x x （5）0222=-+n mx x
类题练习： 用配方法解下列方程： （1）01722=++x x （2）()00222>=--m m mx x 例2．用公式法解下列应用题 （1）01522=+-x x （2）1842-=--x x （3）02322=--x x （4）()()()0112=-++-y y y y 类题练习： 用公式法解下列方程： （1）36 31352=+ x x （2）()()213=-+y y （3）)0(0)(2≠=++-a b x b a ax （5）03)19(32=--+a x a x 【经典练习】 1．把方程0562=+-x x 化成()k m x =+2 的形式，则m =_______，k =_________。 2．将方程01232=-+x x 配方成()_______2 =+x ，从而求得此方程的根是 。
§运用配方法的因式分解法 【学习目标】 1. 理解掌握运用配方法进行因式分解； 2. 能根据具体情况灵活运用各种方法进行因式分解。 【重点、难点】 1. 配方法的运用方法； 2. 根据具体情况灵活选择方法进行因式分解 【新课引入】 1. 把下列各多项式因式分解： 1）962-+x x ； 2）2842--x x
小结：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法。 说明：配方法的关键是将二次三项式变形为：A2—B2的形式，然后要平方差公式继续分解。
【例题选讲】 例1. 把下列各多项式因式分解： 1）12366+--x y x ； 2）422497y y x x +-； ★3）ab b ax x 2222+-- 例2. 把下列各多项式因式分解： 1）362025422--+ab b a ； 2）16)5(6)5(222--+-x x x x
说明：把一个多项式因式分解的基本步骤： 1）如果多项式各项有公因式， 那么先提取公因式； 2）如果多项式各项没有公因 式，那么可以尝试运用公式来 分解； 3）如果上述两种方法不能分
解，那么可以尝试分组或十字相乘法或配方法来分解； 4） 分解因式时，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 【巩固练习】 把下列各多项式因式分解： 1）18724--x x ； 2）22484n mn mx x -+-
【小结】 把一个多项式因式分解的基本方法： 提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法和配方法 【课后练习】 把下列各多项式因式分解： 1）y xy x x 621552-+-； 2） 432234ab b a b a b a --+； 3）142222---+xy y x y x
一元二次方程定义 配方法公式法 只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．． 就是一元二次方程。 )0(02≠=++a c bx a 不等于0” ，分清a ， b ， c 的意义，包括前面符号！ 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 关于y 的一元二次方程()432-=-y y 的一般形式是 。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。 2、若方程 ()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。 3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 例1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例2、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 必有一根为 。 例3、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根， 则m 的值为 。 1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 ★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程 311=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。 ★3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。 ()m x m m ±=?≥=,02 ※※对于()m a x =+2，()()22n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法
配方法因式分解集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]
§2.3运用配方法的因式分解法 【学习目标】 1. 理解掌握运用配方法进行因式分解； 2. 能根据具体情况灵活运用各种方法进行因式分解。 【重点、难点】 1. 配方法的运用方法； 2. 根据具体情况灵活选择方法进行因式分解 【新课引入】 1. 把下列各多项式因式分解： 1）962-+x x ；2）2842--x x 小结：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法。 说明：配方法的关键是将二次三项式变形为：A 2—B 2的形式，然后要平方差公式继续分解。 【例题选讲】 例1. 把下列各多项式因式分解： 1）12366+--x y x ；2）422497y y x x +-；★3）ab b ax x 2222+-- 例2.把下列各多项式因式分解： 1）362025422--+ab b a ；2）16)5(6)5(222--+-x x x x 说明：把一个多项式因式分解的基本步骤： 1）如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； 2）如果多项式各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； 3）如果上述两种方法不能分解，那么可以尝试分组或十字相乘法或配方法来分解； 4）分解因式时，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 【巩固练习】 把下列各多项式因式分解： 1）18724--x x ；2）22484n mn mx x -+- 【小结】 把一个多项式因式分解的基本方法：
提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法和配方法 【课后练习】 把下列各多项式因式分解： 1）y xy x x 621552-+-；2）432234ab b a b a b a --+； 3）142222---+xy y x y x