1
若x 2 4x p (x q)2，那么p 、q 的值分别是(
)
A 、p=4, q=2
B 、p=4, q=-2
C 、p=-4 , q=2
D 、p=-4 , q=-2
2若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则 m 的值是() A . 3 B . -3 C .土 3 D .以上都不对
3 .用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是(
)
A . (a-2) 2+1
B . (a+2) 2-1
C . (a+2) 2+1
D . (a-2) 2-1 4 .把方程x 2+3=4x 配方，得(
)
A . (x-2) 2=7
B . (x+2) 2=21
C . (x-2) 2=1
D . (x+2) 2=2 5 .用配方法解方程x 2+4x=10的根为(
)
A . 2 ±、、10
B . -2 土、、14
C . -2+、一币
D . 2- .10 6 .不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值( ) A .总不小于2 B .总不小于7 C .可为任何实数
D .可能为负数
7. ____________________________________________________________ 将方程x 2 x <3 3 2j3x 化为标准形式是 _____________________________________________________ ，其中a =
—，b= ______ ，c= ______ .
&关于x 的方程x 2+ mx — 8=0的一个根是2，则m= __________ ，另一根是 _______ .
用配方法解一元二次方程
2 2 2
x 4x 5
0 2x 3x 1 0 3x 2x 7 0
用公式解法解下列方程。 1、x 2 2x 8 0
2、4y 1 3y 2
3、3y 2 1 2.3y
2
2
4x 8x 1
0 2 2
x 2mx n 0
2 2
x 2mx m 0 m 0
2
3x 9x 2
3用配方法求解下列问题
(2 )求-3X 2+5X +1的最大值。
某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81台
电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电 脑？若
病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700台？
2
4、 2x 5x 1 0
5、 4x 2
8x
6、■: 2x 3x ::■: 2 0
2
1代数式
x 2
1
2
的值为0,求x 的值.
2解下列方程:
(1)
X
2
+6X +5=0;
2 (2) 2x +6x-2=0 ; 2
(3) (1+x ) +2 (1+x ) -4=0.
2x 2
3 5x
x 2 7x 10 0
2 4
1、配方法解方程 2x -
x-2=0应把它先变形为( )
3
2 9
2、用配方法解方程 x -
x+1=0正确的解法是( )
3
C (x- 2 ) 2=5
3 9
x_2+苗 ,x 1= +
3 3
X 2=2
5
3
D 、(x- 2 ) 2=1, x 1=—,
X 2=-—
3
3 3
1 .一般地，对于 兀二次方程 ax 2+bx+c=0 (a 工0),当 b 2
-4ac > 0 时, 它的根是 当b-4ac<0 时，方程 ______________ .
2 .若方程3x 2+bx+仁0无解，则b 应满足的条件是 _____________ .
3 .关于x 的一元二次方程 x 2+2x+c=0的两根为 ____________ . (c < 1)
4.用公式法解方程 X 2=-8X -15，其中 b 2-4ac=___________ , x i = ______ , X 2= ________ . 5 .已知一个矩形的长比宽多
2cm ，其面积为8cm 2，则此长方形的周长为 ____________
6. 无论x 、y 取任何实数，多项式 x 2 y 2 2x 4y 16的值总是 __________________ 数.
C O
=
2
8 - 9 =
2
1 - 3
-
X
z(\
1 - 3
-
X
Z/IX
x=l ± 2 2
B
1 2 8
、(x- 1 ) 2=- ，原方程无解
3 3
3 9
2
3、 x 4x 96
2 4、 x 4x 5 0 2
5 、 2x 3x 1 0
2
6、3x 2x 7
2
7、 4x 8x 1 0
C
2 c 2 c
8、 x 2mx n 0
2 2
9、 x 2mx m 0 m 0
10_9
2_一
\17
D
8 - 9 =
2
8 - 9 =
2
用公式解法解下列方程。
3、3y2 1 2 3y
1、x2 2x 8 0
2、4y 1 3 2
2y
2
4、2x 5x 1 0
5、4x28x 1
6、.2x2J 3x ::: 2 0
2 2
(1) x+4x+1=0; (2) 2x-4x-仁0 ;
(1) 求2X2-7X+2的最小值;
(3) 9y2-18y-4=0 ; (4) x2+3=2.3x.
平方差公式专项练习题 一、选择题 1．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（） A．只能是数B．只能是单项式C．只能是多项式D．以上都可以2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A．（a+b）（b+a）B．（－a+b）（a－b）C．（1 3 a+b）（b－ 1 3 a）D．（a2－b）（b2+a） 3．下列计算中，错误的有（） ①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2； ③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2． A．1个B．2个C．3个D．4个 4．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（） A．5 B．6 C．－6 D．－5 二、填空题5．（－2x+y）（－2x－y）=______．6．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4． 7．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2．8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____． 三、计算题9．利用平方差公式计算：202 3 ×21 1 3 ．10．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）． （1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）；（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－ 4016 3 2 ． 2．（一题多变题）利用平方差公式计算：2009×2007－20082． （1）一变：利用平方差公式计算： 22007 200720082006 -?．（2）二变：利用平方差公式计算： 2 2007 200820061 ?+ ． 二、知识交叉题3．（科内交叉题）解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）． C卷：课标新型题 1．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，（1－x）（?1+x+x2+x3）=1－x4． （1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+…+x n）=______．（n为正整数） （2）根据你的猜想计算：①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______． ②2+22+23+…+2n=______（n为正整数）．③（x－1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=_______．（3）通过以上规律请你进行下面的探索：①（a－b）（a+b）=_______． ②（a－b）（a2+ab+b2）=______．③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______．
高中数学方法篇之配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab； a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b 2 )2＋（ 3 2 b）2； a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝1 2 [(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2] a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2； x2＋1 2 x ＝(x＋ 1 x )2－2＝(x－ 1 x )2＋2 ；……等等。 一、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a n }中，a 1 ?a 5 +2a 3 ?a 5 +a 3 ?a 7 =25，则 a 3 ＋a 5 ＝_______。 2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 4
完全平方公式——配方法 一．选择题（共2小题） 1．（2018?宜宾模拟）已知x2+mx+25是完全平方式，则m的值为（）A．10 B．±10 C．20 D．±20 2．（2017秋?凉州区期末）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于（） A．3 B．﹣5 C．7 D．7或﹣1 二．填空题（共1小题） 3．（2017秋?资中县期末）小丽在计算一个二项式的平方时，得到正确结果m2﹣10mn+■，但最后一项不慎被墨水污染，这一项应是． 三．解答题（共7小题） 4．（2016秋?卢龙县期末）将多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方．则添加单项式的方法共有多少种？请写出所有的式子及演示过程． 5．（2012秋?仪征市校级月考）小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸上，将一个三项式前后两项污染得看不清楚了，中间项是12xy，请帮他把前后两项补充完整，使它成为完全平方式，有几种方法？（至少写出三种不同的方法） 三项式：■+12xy+■=2． （1）； （2）； （3）．
6．（2012春?都江堰市校级期中）如果a2﹣2（k﹣1）ab+9b2是一个完全平方式，那么k=． 7．已知4x2﹣100x+m是完全平方式，求m的值并说明理由． 8．已知x2﹣（m﹣1）xy+49y2是一个完全平方式，求m的值． 9．将下列式子配成完全平方式： （1）1﹣0.5 （2）8+4． 10．若9（x﹣y）2+M+4是一个完全平方公式，求M的表达式．
完全平方公式——配方法 参考答案与试题解析 一．选择题（共2小题） 1．B． 2．D． 二．填空题（共1小题） 3．25n2． 三．解答题（共7小题） 4．解：添加的方法有5种，其演示的过程分别是（1分） 添加4x，得4x2+1+4x=（2x+1）2；（2分） 添加﹣4x，得4x2+1﹣4x=（2x﹣1）2；（3分） 添加4x4，得4x2+1+4x4=（2x2+1）2；（4分） 添加﹣4x2，得4x2+1﹣4x2=12；（5分） 添加﹣1，得4x2+1﹣1=（2x）2．（6分） 5．解：（1）4x2+12xy+9y2=（2x+3y）2； （2）4x2y2+12xy+9=（2xy+3）2； （3）x2y2+12xy+36=（xy+6）2； 故答案为：（1）4x2+12xy+9y2=（2x+3y）2；（2）4x2y2+12xy+9=（2xy+3）2；（3）x2y2+12xy+36=（xy+6）2 6．解：∵a2﹣2（k﹣1）ab+9b2=a2﹣2（k﹣1）ab+（3b）2， ∴﹣2（k﹣1）ab=±2×a×3b， ∴k﹣1=3或k﹣1=﹣3， 解得k=4或k=﹣2． 即k=4或﹣2． 7．解：m=25．理由如下： ∵4x2﹣100x+m是完全平方式， ∴100x=2×2x×，
解一元二次方程练习题(配方法) 配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a 看做未知数x ，222)(2b a b ab a +=+±并用x 代替，则有。 222)(2b x b bx x ±=+±配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+ ）2 ②、x 2－5x+ =（x － ）2；③、x 2+ x+ =（x+ ）2 ④、x 2－9x+ =（x － ）2 2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．将x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为___ ____， 所以方程的根为_________． 5．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是 7．把方程x 2+3=4x 配方，得 8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为 9．用配方法解下列方程： （1）3x 2-5x=2． （2）x 2+8x=9
（3）x 2+12x-15=0 （4） x 2-x-4=04 110.用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。 解一元二次方程练习题(公式法) 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程的求根公式： )0(02≠=++a c bx ax
平方差与完全平方公式教案与答案
15.2.1 平方差公式 知识导学 1．平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2 即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 2. 平方差公式的灵活运用：通过变形，转化为符合平方差公式的形式，也可以逆用平方差公式，连续运用平方差公式，都可以简化运算。 典例解悟 例1. 计算：（1）(2x+3y)(2x-3y) (2) (-4m2-1)(-4m2+1) 解：（1）(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2-(3y)2=4x2-9y2 (2) (-4m2-1)(-4m2+1)=(-4m2)2-12=16m4-1 感悟：正确掌握平方差公式的结构，分清“相同项”与“相反项”，再结合已学知识计算本题。其中第（2）题中的相同项是-4m2,不能误以为含有负号的项一定是相反项。 例2.先化简，再求值：(x+2y)(x-2y)-(2x-y)(-2x-y),其中x=8,y=-8. 解：原式=(x2-4y2)-(y2-4x2)=5x2-5y2. 当x=8，y=-8时，原式=5×82-5×(-8)2=0.
感悟：本题是整式的混合运算，其中两个多项式相乘符合平方差公式的特征。在本题(2x-y)(-2x-y)中，相同项是-y，相反项是2x与-2x，应根据加法的交换律，将此式转化为（-y+2x）（-y-2x）。阶梯训练 A级 1.下列各多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A.(-a-b)(a+b) B.(-a-b)(a-b) C.(-a+b)(a-b) D.(a+b)(a+b) 2.在下列各式中，计算结果是a2 -16b2 的是（） A．（-4b+a）（-4b-a） B.(-4b+a)(4b-a) C．（a+2b）（a-8b） D.(-4b-a)(4b-a) 3.下列各式计算正确的是（） A.（x+3）（x-3）=x2 -3 B．（2x+3）（2x-3）=2x2 -9 C.（2x+3）（x-3）=2x2 -9 D．（2x+3）（2x-3）=4x2 -9 4．（0.3x-0.1）（0.3x+0.1）=_________ 5. (2 3x+3 4 y) (2 3 x-3 4 y) = _________ 6.（-3m-5n）（3m-5n）=_________
解一元二次方程练习题 (配方法) 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+）2②、x 2－5x+=（x －）2；③、x 2+ x+=（x+）2④、x 2－9x+=（x －）22．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．将x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______， ? 所以方程的根为_________．5．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是 7．把方程x 2+3=4x 配方，得 8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为 9．用配方法解下列方程： （1）3x 2-5x=2．（2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）41 x 2-x-4=0 10.用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。
解一元二次方程练习题(公式法) 一、填空题 1．一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac ≥0时，它的根是_____ 当b-4ac<0时，方程_________． 2．方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等的实数根，则有________，?若有两个不相等的实数根，则有_________，若方程无解，则有__________． 3．用公式法解方程x 2=-8x-15，其中b 2-4ac=_______，x 1=_____，x 2=________． 4．已知一个矩形的长比宽多2cm ，其面积为8cm 2，则此长方形的周长为________． 5．用公式法解方程4y 2=12y+3，得到 6．不解方程，判断方程：①x 2+3x+7=0；②x 2+4=0；③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有个 7．当x=_____ __时，代数式与的值互为相反数． 8．若方程x-4x+a=0的两根之差为0，则a 的值为________． 二、利用公式法解下列方程 （1）25220x x （2）（3）x=4x 2+2 13x 22 1 4x x 012632x x
配完全平方及应用 姓名： 日期： 【知识要点】 1.配完全平方,即利用公式2222222()2()a b ab a b a b ab a b ++=++-=-及把一个展开了的多项式配成另一个多项式的平方的形式,有些多项式可以刚好配成,则称之为完全平方式. 2.配方的作用一般有： ①求最小值：如果一个式子配成了形如22()()(,.,.)m a b n c d k m n k ++++其中为常数,且m,n 同正的形式，则其可取的最小值为k . ②降次：将一个复杂的等量关系本转化为几个简单的等量关系，如一个复杂的多项式可以配成形如22()()0(.),0,0m a b n c d m n a b c d +++=+=+=为常数,且m,n 同号则可以得出． 3.配方的方法就在于利用两项来确定第三项来配（如有22a b +了则第三项一定是 2ab 或2ab -，有了22a ab +或22a ab -则第三项一定是2b ） ．不过，在某些较为复杂的题目中，还需要利用一些分拆的技巧，需要注意． 【课前热身】 1．填空：x 2+( )+ 4 1=( )2； 4x 2+12xy+( ) =( )2； 21x 2-6xy+( ) =( )2； 2x 2+( )+18y 2 =( )2； 2．如果(x+y)2—4(x+y)+4=0，则x+y=_____________ 3．已知(x+y)2-2x-2y+1=0，则x+y=__________ 4．已知2216x ax ++是一个完全平方式，则a 的值等于 5．如果4x 2—axy+9y 2是一个完全平方式，则a 的值是 【典型例题】
例1．（1）已知0122 =--a a ，求841a a +的值． （2）已知()21a b +=，()225a b -=．求22a b ab ++． 例2．当a ,b 为何值时，多项式224618a b a b +-++有最小值？并求出这个最小值。 例3．求多项式222451213x xy y y -+-+的最小值。 例4．已知x 、y 满足不等式2x 2+3y 2+5≤4x+6y,求x+y 的值. 例5．若a 、b 、c 为正数，且满足444222222,a b c a b b c c a ++=++那么a 、b 、c 之间有什么关系？为什么？ 【经典练习】 1．已知(x+y)2-2x-2y+1=0，则x+y=__________ 2．如果x 2+y 2-2x+6y+10=0，则x+y= 3．如果22530a ab m -+是一个完全平方式，那么m = 。 4.将下列各式配成完全平方与一个常数的和。 （1）23x x -+ （2）2459x x +- 5.如果(a 2+b 2)(a 2+b 2-6)+9=0，求a 2+b 2 6.（1）如果x 2+y 2-4x-6y+13=0，求xy （2）已知0444522=+--+b ab b a ，求a+b 7．已知的值则ca bc ab c b a c b b a ---++=--=-222,5,2。 8．已知22242221,032y y xy x x y x ++--=--求的值。 9．可取的最小值为多少则若222,3 2211z y x z y x ++-=+=-？ 10（思考题）．若1003722=+b a ，1007322=+d c ，10037=+bc ad ，求c d b a - 的值. 课后作业
1．若M (3x －y 2)＝y 4－9 x 2，则代数式M 应是 ( ) A ．－(3 x +y 2) B ．y 2－3x C ．3x + y 2 D ．3 x － y 2 2．( )(1－2x )＝1—4 x 2． 3．(－3x +6 y 2)(－6 y 2－3 x )＝ ． 4．(x －y+z )( )＝z 2－( x －y )2． 5．(4 x m －5 y 2) (4 x m +5y 2)＝ ． 6．(x+y －z ) (x －y －z )＝( ) 2－( ) 2． 7．(m+n+p+q ) (m －n －p －q )＝( ) 2－( ) 2． 8．计算． (1)(0.25 x － 41)(0.25 x +0.25)； (2)(x －2 y )(－2y － x )－(3x +4 y )(－3 x +4 y )； (3)(2 a + b －c －3d ) (2 a －b －c+3d )； (4) ( x －2)(16+ x 4) (2+x )(4+x 2)． 9．某农村中学进行校园改造建设，他们的操场原来是正方形，改建后变为长方形，长方形的长比原来的边长多5米，宽比原来的边长少5米，那么操场的面积是比原来大了，还是比原来小了呢?相差多少平方米? 10．化简． (1)( x － y )( x + y ) ( x 2+ y 2) ( x 4+ y 4)·…·(x 16+ y 16)； (2)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)． 11．先化简，再求值．(a 2 b －2 ab 2－ b 3)÷b －( a+b )(a －b )，其中a ＝ 2 1，b ＝－1．
数学方法篇一：配方法 把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法． 【范例讲析】 1．配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用 在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。 例1、二次根式322+-a a 中字母a 的取值范围是_________________________. 点评：经过配方，观察被开方数，然后利用被开方数必须大于等于零求得所需要的解。 2．配方法在化简二次根式中的应用 在二次根式的化简中，也经常使用配方法。 例2、化简526-的结果是___________________. 点评：题型b a 2+一般可以转化为y x y x +=+2 )(（其中? ??==+b xy a y x ）来化简。 3．配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用 在证明代数式的值为正数或负数，配方法也是一种重要的方法。 例3、不管x 取什么实数，322-+-x x 的值一定是个负数，请说明理由。 点评：证明一个二次三项式恒小于0的方法是通过配方将二次三项式化成“2a -+负数”的形式来证明。 4．配方法在解某些二元二次方程中的应用 解二元二次方程，在课程标准中不属于考试内容，但有些问题，还是可以利用我们所学的方法得以解决。 例4、解方程052422=+-++y x y x 。 点评：把方程052422=+-++y x y x 转化为方程组???=-=+010 2y x 问题，把生疏问题转化为熟悉 问题，体现了数学的转化思想，正是我们学习数学的真正目的。 5．配方法在求最大值、最小值中的应用 在代数式求最值中，利用配方法求最值是一种重要的方法。可以使我们求出所要求的最值。 例5、若x 为任意实数，则742++x x 的最小值为_______________________. 点评：配方法是求一元二次方程根的一种方法，也是推导求根公式的工具，同时也是求二次三项式最值的一种常用方法。 6．配方法在一元二次方程根的判别式中的应用 配方法是求一元二次方程根的一种方法，也是推导求根公式的工具，并且也是解决其他问题的方法，其用途相当广泛。在一元二次方程根的判别式中也经常要应用到配方法。 例6、证明：对于任何实数m ，关于x 的方程()22231470x m x m m +-+--=都有两个不相等的实数根。 点评：利用判别式证明方程根的情况是一种常见的题型，其实质上判断判别式的正负，一般都可以利用配方法解决。 7．配方法在恒等变形中的应用 配方法在等式的恒等变形中也经常用到，特别是含有多个二次式时，经常把他们分别配方，转变为平方式。然后再进行解决。 例7、已知ac bc ab c b a ++=++222又知a 、b 、c 为三角形的三条边， 求证：该三角形是等边三角形。 点评：配方法在等式恒等变形中的应用，经常会让我们收到意想不到的效果。
完全平方公式典型题型 一、公式及其变形 1、 完全平方公式：222()+2a b a ab b +=+ （1）222()2a b a ab b -=-+ （2） 公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。 注意： 222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- 222)()]([)(b a b a b a -=--=+- 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。 2、公式变形 (1)+（2）得:22 22 ()()2a b a b a b ++-+= (12)-）（得: 22 ()()4 a b a b ab +--= ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+，ab b a b a 4)()(22-+=- 3、三项式的完全平方公式：bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 二、题型 题型一、完全平方公式的应用 例1、计算（1）（－ 21ab 2－3 2c ）2； （2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）； 练习1、(1)（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）；（2）、（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）； 题型二、配完全平方式 1、若k x x ++22是完全平方式，则k = 2、.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是 3、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2 是一个完全平方式，则N = 4、如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k = 题型三、公式的逆用 1．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 2．（3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________．
平方差公式、完全平方公式、整式的化简 【平方差公式】 ()()b a b a b a ——+=22（b a ,可以表示任何数或者代数式，善于观察） 例：（1）()()77—x x + （2）()()1111———m m + （3）()()t s t s 310310+— （4）()()2 2212x x —+ 变式：下列计算对吗？如果不对，请改正 （1）()()22422a b b a a b ——=+ （2）()()2 2n m n m n m —————= 例：计算（1）108112× （2）7 1117610× （3）5.495.50× （4）2567956805678—× （5） ()()b a b a 3232+— （6）()()()() 112121212842+++++ 变式：当41=x 时，求())2 12(21234—）（—x x x x ++ 例：甲、乙两家超市3月份的销售额均为a 万元，在4月和5月这两个月中，甲超市的销售额平均每月增长 X ％，而乙超市的销售额平均每月减少x ％ （1）5月份甲超市的销售额比乙超市多多少 （2）若a=150，x=2，则5月份甲超市的销售额比乙超市多多少 变式：有两块底面呈正方形的长方体金块，它们的高都为h ，较大一块的底面边长比0.5大acm ，较小一块的 底面边长比0.5小acm ，已知金块的密度为19.33 /cm g ,问两金块的质量相差多少？请表示出来
【完全平方公式】 ()2222b ab a b a ++=+（b a ,可以表示任何数或者代数式，善于观察） ()2222b ab a b a +=——（b a ,可以表示任何数或者代数式，善于观察） 例：计算（1）()22b a + （2）()23y x +— （3）()2 32y x —— （4）()2 c b a ++ 例：一块方巾铺在正方形的茶几上，四周都刚好垂下15cm,如果设方巾的边长为a,,怎样求茶几的面积？请用a 的多项式表示 变式：将一张边长为a 的正方形纸板的四角各剪去一个边长为x 的小正方形，然后把它折成一个无盖纸盒，求 纸盒的容积，结果用a ，x 的多项式表示。 ? 例：已知4 5,3= =+xy y x ，你能求出22y x +、()2y x — 、22y x —吗？ 【利用公式对整式化简】 整式的化简应遵循：先乘方、再乘除、最后算加减的顺序，能运用乘法公式的则运用公式。总而言之，怎么 简单怎么做，计算顺序不能错 例：口算：（1）298 = （2）2 51= （3）101×99 = （4）2515121+×— =
一元二次方程的根 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解． 例1：下面哪些数是方程0121022=++x x 的根？ —4、—3、—2、—1、0、1、2、3、4 分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可． 复习 ()2222b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=- 根据公式完成下面的练习： (1)()22____________8-→+-x x x (2)()2 2______3______129+→++x x x (3)()22____________+→++x px x (4) ()2 2____________6+→++x x x (5)()22____________5-→+-x x x (6) ()2 2____________9-→+-x x x 例2：解方程：2963=++x x 2532=-x x 解：由已知，得：()232=+x 解：方程两边同时除以3，得3 2352=-x x 直接开平方，得：23±=+x 配方，得22265326535??? ??+=?? ? ??+-x x 即23=+x ，23-=+x 即 3649652=??? ? ?-x ，6765±=-x ，6765±=x 所以，方程的两根231+-=x ，232--=x 所以，方程的两根267651=+=x ，3 167652-=-=x 像这种求出一元二次方程的根的方法叫做配方法。 练一练： (1)982=+x x (2)015122=-+x x (3) 044 12=--x x (4) 03832=-+x x (5)08922=+-x x (6) ()x x 822=+ 练一练
1.6完全平方公式(一) ●教学目标 (一)教学知识点 1.完全平方公式的推导及其应用. 2.完全平方公式的几何背景. (二)能力训练要求 1.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力. 2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力. (三)情感与价值观要求 1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣. 2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力. ●教学重点 1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释. 2.完全平方公式的应用. ●教学难点 1.完全平方公式的推导及其几何解释. 2.完全平方公式结构特点及其应用. ●教学方法 自主探索法 学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释、代数运算角度的推理，揭示其结构特点，然后达到合理、熟练地应用. ●教具准备 投影片四张 第一张：试验田的改造，记作(§1.6.1 A) 第二张：想一想，记作(§1.6.1 B) 第三张：例题，记作(§1.6.1 C) 第四张：补充练习，记作(§1.6.1 D) ●教学过程 Ⅰ.创设问题情景，引入新课 ［师］去年，一位老农在一次“科技下乡”活动中得到启示，将一块边长为a米的正方形农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大.今年，又一次“科技下乡”活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加b米，形成四块试验田，种植不同的新品种. 同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？ (同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径) ［生］我能帮这位爷爷. ［师］你能把你的结果展示给大家吗？ ［生］可以.如图1－25所示，这就是我改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.
乘法的平方差公式 平方差公式的推导 两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，22 (a+b)(a-b)=a-b，平方差公式结构特征： 左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ①右边是乘式中两项的平方差。即用相同项的平方减去相反项的平方 熟悉公式：公式中的a和b既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。 22 (a+b)(a-b)=a-b (5+6x)(5-6x)中是公式中的a，是公式中的b (5+6x)(-5+6x)中是公式中的a，是公式中的b (x-2y)(x+2y)中是公式中的a，是公式中的b (-m+n)(-m-n)中是公式中的a，是公式中的b （a+b+c）(a+b-c)中是公式中的a，是公式中的b （a-b+c）(a-b-c)中是公式中的a，是公式中的b （a+b+c）(a-b-c)中是公式中的a，是公式中的b 填空： 1、(2x-1)( )=4x2-1 2、(-4x+ )( -4x)=16x2-49y2 第一种情况：直接运用公式 1.（a+3）(a-3) 2..( 2a+3b)(2a-3b) 3. (1+2c)(1-2c) 4. (-x+2)(-x-2) 5. (2x+1 2)(2x-1 2 ) 6. (a+2b)(a-2b) 7. (2a+5b)(2a-5b) 8. (-2a-3b)(-2a+3b)
第二种情况：运用公式使计算简便 1、1998×2002 2、498×502 3、999×1001 4、1.01×0.99 5、30.8×29.2 6、（100-1 3）×（99-2 3 ）7、（20-1 9 ）×（19-8 9 ） 第三种情况：两次运用平方差公式 1、（a+b）(a-b)(a2+b2) 2、(a+2)(a-2)(a2+4) 3、(x- 1 2)(x2+ 1 4 )(x+ 1 2 ) 第四种情况：需要先变形再用平方差公式 1、（-2x-y）(2x-y) 2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1)
一、重点、难点分析 本节教学的重点是完全平方公式的熟记及应用．难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)．完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础。 1．两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．即：这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的． 这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍；公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式． 2．只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式． 在运用公式时，有时需要进行适当的变形，例如可先变形为或或者，再进行计算．在运用公式时，防止发生这样错误． 3．运用完全平方公式计算时，要注意： （1）切勿把此公式与公式混淆，而随意写成． （2）切勿把“乘积项” 中的2丢掉． （3）计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式条件的形式，则应运用乘法法则进行计算． 4．与都叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式． 二、教法建议 1．在公式的运用上，与平方差公式的运用一样，应着重让学生掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，教科书把公式中的字母同具体题目中的数或式子，用“ ”连结起来，逐项比较、对照，步骤写得完整，便于学生理解如何正确地使用完全平方公式进行计算．2．正确地使用公式的关键是确定是否符合使用公式的条件．重要的是确定两数，然后再看是否两数的和（或差），最后按照公式写出两数和（或差）的平方的结果． 3．如何使学生记牢公式呢？我们注意了以下两点． （1）既讲“法”，又讲“理” 在教学中要讲法则、公式的应用，也要讲公式的推导，使学生在理解公式、法则道理的基础上进行记忆．我们引导学生借助面积图形对完全平方公式做直观说明，也是对说理的重视．在“明白道理”这个前提下的记忆，即使学生将来发生错误也易于纠正．
21.2 解一元二次方程 教学目标 1. 掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的基本步骤和过程． 2. 了解一元二次方程求根公式的推导过程，会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等． 3. 了解一元二次方程的根与系数的关系． 4. 能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理． 教学重点 1. 掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的基本步骤和过程，明确各种解法的来源和特点． 2. 一元二次方程求根公式的推导过程． 教学难点 1. 在具体问题时，如何根据方程的特点恰当选择解方程的基本方法． 2. 一元二次方程求根公式的推导过程． 课时安排 7课时． 第1课时 教学内容 21.2.1 配方法（1）． 教学目标 1．能运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程． 2．通过实例，合作探讨，建立数学模型，掌握直接开平方法的的基本步骤． 3．在经历用直接开平方法解一元二次方程的过程中，进一步体会化归思想． 教学重点 运用开平方法解形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程，领会降次—转化的数学思想． 教学难点 通过根据平方根的意义解形如x2＝p的方程，然后知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程． 教学过程 一、导入新课 问题：一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 通过问题，导入新课的教学． 二、新课教学 1．解决问题． 学生思考、讨论，教师引导，汇报解题过程和步骤． 设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
巧用完全平方公式解题例析 完全平方公式“(a±b)2＝a2±2ab+b2”是整式运算中非常重要的一个公式，灵活运用完全平方公式的一些变形和技巧，可以使运算化繁为简，化难为易。为帮助大家及早掌握完全平方公式的有关用法，现结合实例对完全平方公式的应用技巧作如下分类小结. 一、对号入座，直接应用 例1．计算：()2 22 +。 x y 32 简析：上式括号内是两个单项式（2 3x与2 2y）的和，括号外是这两个单项式和的完全平方，因此可将2 3x与2 2y分别看作a、b而直接套用完全平方公式进行计算。 解：原式=()2 222222224224 +=+??+=++。 32(3)232(2)9124 x y x x y y x x y y 二、适当变换，间接应用 1、符号变换 例2．计算：2 --。 (2) x y 简析：上式括号内的两项均带负号，计算时可先逆用乘法分配律，将负号变换到括号外，待处理好符号后再应用完全平方公式进行计算。 解：原式=[]222222 -+=+=+??+=++。 x y x y x x y y x xy y (2)(2)(2)2244 2、系数变换 例3．计算：(32)(96) m n m n --。 简析：因上式后一个括号内的两项9m与-6n含有公因数3，（逆用乘法分配律）将3作为公因式提取后，可得(32) -，与前一个括号相同，所以本题可先 m n 变换第二个括号内的系数，然后再套用完全平方公式进行计算。 解：原式=22222 m n m n m n m mn n m mn n --=-=-+=-+。 3(32)(32)3(32)3(9124)273612 3、指数变换 例4．计算：22 -+ ()() m n m n 简析：上式若按运算顺序先用完全平方公式展开再相乘，则较麻烦，但若逆
平方差公式专项练习题 A卷：基础题 一、选择题 1．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（） A．只能是数B．只能是单项式C．只能是多项式D．以上都可以2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A．（a+b）（b+a）B．（－a+b）（a－b） C．（1 3 a+b）（b－ 1 3 a）D．（a2－b）（b2+a） 3．下列计算中，错误的有（） ①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2； ③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2． A．1个B．2个C．3个D．4个 4．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（） A．5 B．6 C．－6 D．－5 二、填空题 5．（－2x+y）（－2x－y）=______． 6．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4． 7．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2． 8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____． 三、计算题 9．利用平方差公式计算：202 3 ×21 1 3 ． 10．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．
B卷：提高题 一、七彩题 1．（多题－思路题）计算： （1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）； （2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－ 4016 3 2 ． 2．（一题多变题）利用平方差公式计算：2009×2007－20082． （1）一变：利用平方差公式计算： 22007 200720082006 -? ． （2）二变：利用平方差公式计算： 2 2007 200820061 ?+ ． 二、知识交叉题 3．（科内交叉题）解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）． 三、实际应用题 4．广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？ 四、经典中考题 5．（2007，泰安，3分）下列运算正确的是（） A．a3+a3=3a6B．（－a）3·（－a）5=－a8 C．（－2a2b）·4a=－24a6b3D．（－1 3 a－4b）（ 1 3 a－4b）=16b2－ 1 9 a2
1、若224()x x p x q -+=+，那么p 、q 的值分别是（） A 、p=4，q=2 B 、p=4，q=-2 C 、p=-4，q=2 D 、p=-4，q=-2 2若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 3．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 4．把方程x 2+3=4x 配方，得（） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 5．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（） A ．2．-2．．6．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 7.将方程x x x 32332-=++化为标准形式是______________________，其中a =____ __，b =______，c =______． 8．关于x 的方程x 2＋mx －8=0的一个根是2，则m =______，另一根是______． 用配方法解一元二次方程 用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y -=3、y y 32132=+ 4、01522=+-x x 5、1842-=--x x 6、02322=--x x 1代数式2221 x x x ---的值为0，求x 的值． 2解下列方程： （1）x 2+6x+5=0；（2）2x 2+6x-2=0；（3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0. 3用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你