有限元分析第二讲杆单元分析

引入边界位移约束和载荷：
则系统平衡方程化为：
2 2 0 0 F1 EA 2 3 1 u P 2 L 0 F 0 1 1 3
上述方程组中删除第１，３个方程，得到：
解得：
（四）举例
例1 求图示２段杆中的应力。
解：分２个杆单元，单元之间在节点２连接。 各单元的刚度矩阵分别为：
参考前面弹簧系统的方法，装配２杆系统的有限元方 程（平衡方程）如下：
2 2 0 u1 F1 EA 2 3 1 u 2 F2 L u F 0 1 1 3 3
2 杆单元

一、一维等截面杆单元及其刚度矩阵
考虑一个2节点一维等截面杆单元： L— 杆长 A— 截面积
E— 弹性模量
ui 单元节点位移：d u j
fi 单元节点力：f fj
u u ( x)
——杆单元位移
——杆单元应变 ——杆单元应力

du dx
( x) ( x)
应变—位移关系： 应力—应变关系：
E
（一）直接法导出单元特性 杆单元伸长量：
u j ui
应变：
应力：
L E E L
EA EA k 杆内力： F A L L
EA 杆的轴向刚度： k L
轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同， 因此杆单元的刚度矩阵为：
EA k L
比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：
f i k k ui EA 1 1 ui f j k k u j L 1 1 u j
式中N N i

N j , 称为单元形函数矩阵。

注意：采用一次多项式是因为单元只有2个轴向位 移分量，对应2个多项式系数。
du d N d Bd 2、单元应变： dx dx
B
——单元应变矩阵
u Ni

ui N j Nd u j
T T T T
对杆单元应用虚位移原理，得：
T d d f d B E B dV V
T T
考虑到 d 的任意性，立刻得到：
T f B E B dV d k d V
k B T EBdV
V
——杆单元刚度矩阵
这就是刚度矩阵的一般形式，可推广到其他类型的单元。

d B N i ( x ) N j ( x ) 1 / L 1 / L dx
3、单元应力：


E EBd
4、应用弹性体虚功原理导出单元刚度方程。 虚功原理 弹性体受力平衡时，若发生虚位移，则外力虚功等于 弹性体内的虚应变能。 ——平衡条件
对于杆单元，定义虚位移如下：
对于上面的杆单元：
与前面直接法得到的公式相同！
（三）关于杆单元的讨论 1）在单元坐标系下，每个节点一个未知位移分量，单元 共有2个自由度。 2）单元刚度矩阵元素的物理意义： 刚度方程中令： ui 1 u j 0
单元刚度方程
则： f i k11 f j k21
1）本例中单元应力的计算采用了材料力学中的方法,与采 用有限元单元应力公式 E EBd 的结果相同。
f i k11 f j k 21
k12 ui k 22 u j
所以，单元刚度矩阵的第i（i=1,2)列元素表示当维持单元 的第i个自由度位移为１，其它自由度位移为０时，施加 在单元上的节点力分量。（也可以用此方法直接导出杆单 元的刚度矩阵元素，试练习） ３）单元刚度矩阵性质：对称、奇异、主对角元素恒正。
单元1应力：
1 u 2 u1 E PL P 1 E 1 E E 0 L L L 3EA 3A
单元2应力：
u3 u2 E 2 PL P 2 E 2 E E 0 L L L 3EA 3A
提示：
u1 0 PL 位移解： u 2 1 u 3EA 0 3
2 2 0 0 F1 EA u P 2 3 1 2 L 0 F 0 1 1 3
（二）公式法导出杆单元特性 1、单元上假设近似位移场——位移模式
单元上位移假设为简单多项式函数： u( x ) a0 a1 x
用插值法把多项式中的待定系数 a0 , a1 转化为节点位移 从而得到插值形式的假设位u( x ) N i ( x )ui N j ( x )u j
ui 节点虚位移： d u j
单元虚位移：
u Nd
d 则单元虚应变： (u ) Bd dx
节点力（外力）虚功： 单元虚应变能：
d f
T
T dV d B EBddV d B EBdV d V V V
上式中：
Ni ( x) 1 x N j ( x) L x L
N i , N j 是插值基函数，有限元中称为形状函数，简称形函数。
单元位移模式写成矩阵形式：
u Ni

ui N j Nd u j

u( x ) N i ( x )ui N j ( x )u j