因式分解
一、因式分解的概念：
因式分解（分解因式）：把一个多项式化为几个整式（）的形式。
二、因式分解的方法：
1、提公因式法：
（1）公因式的构成一般情况下有三部分：
①系数一各项系数的最大公约数；
②字母——各项含有的相同字母；
③指数——相同字母的最低次数；
（2）提公因式法的步骤：
第一步是找出公因式；
第二步是提取公因式并确定另一因式。
（3）注意：①提取完公因式后，看另一个因式的项数与原多项式的项数是否一致，可用来检验是否漏项；
②提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；
③如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。
2、公式法：
运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；
常用的公式：
①平方差公式： a2－b2＝
②完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝
a2－2ab＋b2＝
3、十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=
特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
一、按知识点：
题型一: 概念的理解：
例1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说出理由。
（1）、()ay ax y x a +=+ （2）、()()()112122
2
-+++=-++y y y x x y xy x
(3)、)3)(3(92
-+=-x x a a ax （4）、2
22)1(12x
x x x +=+
+ （5）、a a a a ••=223
题型二: 提公因式法：
例2、（1）1+++b a ab （2）、m m m 261642
3-+-
（3）)3(2)3(a a m -+- （4）3
2
)(2)(6b a a b a ---
题型三: 完全平方公式：
例4、（1）49142+-a （2）4
12
---m m
（3）2
2
)()(2c b c b a a ++++ （4）2
2
363y xy x -+-
题型四: 平方差公式：
例3、下列各式中能用平方差公式分解因式的是（ ） ①2
2
b
a -- ②2
242b
a - ③42
2--y x ④192
2+-b a ⑤
22)()(x y y x -+- ⑥14-x
题型五：十字相乘法：
例5、(1) 652
++x x (2) 672
+-x x (3)24142
++x x
(4)36152+-a a (5)542-+x x (6)22
-+x x
二、按解题技巧：
技巧一 ：符号变换
例：(m+n)(x-y)+(m-n)(y-x) 分解因式：-a 2-2ab-b 2
技巧二 ：系数变换
例：分解因式 4x 2-12xy+9y 2 分解因式2
2
1439
xy y x ++
技巧三 ：指数变换
例：分解因式x 4-y 4 分解因式 a 4-2a 4b 4+b 4
技巧四： 展开变换
例：a(a+2)+b(b+2)+2ab 分解因式x(x-1)-y(y-1)
技巧五 ：添项变换
例：分解因式x 2+4x-12 分解因式x 2-6x+8 分解因式a 4+4
技巧六 ：分组分解法
（1）分组后能直接提公因式：
例：分解因式：bn bm an am +++ 分解因式bx by ay ax -+-5102
（2）分组后能直接运用公式：
例：分解因式：ay ax y x ++-2
2
分解因式：2
222c b ab a -+-
因式分解在计算中的应用：
计算212122+-++-++-+656543432222…+2010
20092010200920092008200920082
222+-++-
应用扩展：
因式分解在解方程与等式变换中的应用：
解方程0)2753)(3555()2653)(3555(=++-++x x x x
