无锡一中07-08上期中高二数学 理

无锡市第一中学2007—2008学年第一学期期中试卷高 二 数 学（理科）命题：谢文 审核：易姗咪一．填空题 （共10题，每题5分）1．某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，采用分层抽样从他们中间抽取样本，若从老年人中抽取人数是6人，则抽取的样本的人数是 ．2．掷一个骰子，事件A 表示“小于5的偶数点数出现”，事件B 表示“小于5的点数出现，则在试验中B A +发生的概率为_____________．3．某人5次上班途中所花费的时间（单位：分钟）分别为9,8,7,,y x ，若这组数据的平均数为8，方差为4，则y x -的值为 ．4．已知双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标是)0,3(-，且焦距与实轴长之比为3:5，则双曲线的标准方程是_______________________．5．命题01,:2<-+∈∀x x R x p 的否定是________________________．6．以椭圆125922=+y x 长轴两个端点为焦点，准线过椭圆焦点的双曲线的渐近线的斜率是__． 7．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x （千元／年）与居民人均消费水平y （千元／年）统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为562.166.0+=x y ，若某城市居民人均消费水平为675.7(千元／年)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为__________________．(精确到0.1%)8．在长为cm 18的线段AB 上任取一点Ｍ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于236cm 与281cm 之间的概率为_____________ ． 9．设F 是椭圆1422=+y x 的右焦点，椭圆上的点与点F 的最大距离是M ，最小距离是m ，则椭圆上与点F 的距离等于)(21m M +的点的坐标是_____________． 10．已知抛物线)0(22>-=p px y 的焦点F 恰好是椭圆12222=+by a x的左焦点，且两曲线的公共点的连线过F ，则该椭圆的离心率为_____________．二．选择题（共6题，每题4分）11．y x >是y x lg lg >的-----------------------------------------------------------------（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现有一个水平放置的椭圆形台球盘，点21,F F 是它的两个焦点，其长轴长为a 2，焦距为c 2，将静放在1F 点的小球（半径忽略不计）沿直线击出，经过椭圆壁反弹后再回到1F 点，则小球经过的路程是 ------------------------------------------（ ）A ．)(2c a -B ．)(2c a +C ．a 4D ．A 、B 、C 均有可能13．从N 个编号中抽取n 个号码入样，若采用系统抽样方法进行抽取，则分段间隔应为（其中[]x 表示不超过x 本身的最大整数）---------------------------（ ）A ．n NB ．nC ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡n ND ．1+⎥⎦⎤⎢⎣⎡n N 14．有下列命题：①对角线不垂直的平行四边形不是菱形；②“若0=+y x ，则0=xy ”的逆命题；③“,R x ∈若0≠x ，则02>x ”的否命题；④“若方程02=++c bx ax 有两个不相等的实根，则0<ac ”的逆否命题．其中是真命题的共有--------------------（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．已知双曲线的两个焦点P F F ),0,5(),0,5(21-为双曲线上的一点，且1PF ⊥2,212=⋅PF PF PF ，则双曲线的标准方程为-------------------------------（ ）A ．13222=-y xB ．12322=-y x C ．1422=-y x D ．1422=-y x16．如图，⊙)0,2(),0,2(,16:22B A y x O -=+为两定点，l 是⊙O的一条动切线，若过A ，B 两点的抛物线以直线l 为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是-------------------------------------------------------（ ）A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆三．解答题：17．（本题8分）在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日到5月30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组统计，绘制了频率分布直方图，已知从左到右各长方形的高的比为2:3:4:6:4:1，第三组的频数为12 ． ⑴本次活动共有多少件作品参加评比？⑵第几组上交的作品数量最多，有多少件？⑶请画出频率分布直方图和折线图；⑷经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，这两组哪组获奖率较高？18．（本题6分）袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1只，有放回地抽取3次． 求：⑴3只全是红球的概率；⑵3只颜色全相同的概率；⑶3只颜色不全相同的概率．19．（本题10分）将抛物线:C y x 42-=上每一点的横坐标变为原来的21，纵坐标变为原来的3倍，得到曲线M ．⑴求曲线M 的方程；⑵直线l 过点)0,3(，若曲线C 上存在两点关于直线l 对称，求直线l 的斜率的取值范围．20．（本题10分）已知函数)(,4)1()(2R a x a x x f ∈+++=．命题Ｐ：函数)(x f 在区间),3[+∞上是增函数；命题Ｑ：当2≥x 时，0)(>x f 恒成立．若P 或Q 为真，P 且Q 为假，求实数a 的取值范围．21．（本题12分）已知椭圆C 的中心为原点，点)0,1(F 是它的一个焦点，直线l 过点F 与椭圆C 交于B A , 两点，且当直线l 垂直于x 轴时，65=⋅ ⑴求椭圆C 的方程；⑵是否存在直线l ，使得在椭圆C 的右准线上可以找到一点P ，满足ABP ∆为正三角形．如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，说明理由．无锡市第一中学2007—2008学年第一学期期中考试答案一．填空题1．36 2．32 3．6 4．116922=-y x 5．01,2≥-+∈∃x x R x 6．2± 7．82.7% 8．61 9．)1,0(± 10．12- 二．选择题11．B 12．D 13．C 14．B 15．C 16．B三．解答题17．解：⑴共60件-------------------------2分⑵第四组上交的作品数量最多，有18件-------1分⑶见图-----直方图2分，折线图2分，若纵轴和坐标未标注则扣1分⑷第四组获奖率≈55.6%；第六组获奖率≈66.7%，所以第六组获奖率较高-------------------1分18．解：设所求概率为P ⑴81=P ⑵4182==P ⑶4386==P （或43411=-=P ） 答：略每小题2分，若无“设”或无“答”，则总扣1分19．解：⑴设曲线M 上任意一点),(y x P ，则)3,2(y x P '在C 上 34)2(2y x ⨯-=∴ 即32y x -=为曲线M 的方程---------------------------------------------------------------2分 ⑵设l )3(:-=x k y 显然k 存在，且0≠k 抛物线C 上关于l 对称的两点),(),,(2211y x B y x A ，AB 中点),(00y x P法1：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=22212144y x y x 两式相减得2410212121x x x x x y y k -=-+=--=-------------------------2 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-==∴kx k y k x 32)3(2000------------------------------------------------------------------2 因为P 在抛物线含焦点的弓形内部4200x y -<∴ --------------------------------------------------------------------3 0)13)(1(0123223>++-⇒>--∴k k k k k1>∴k --------------------------------------------------------------1法2：设b x ky AB +-=1: (*)0444122=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=kb x kx y x b x k y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-==+=⇒b k b x k y k x x x 2002102122-----------------3分 代入l )3(:-=x k y 得2232kk b +-= -----------------------------------------------1分 又由（*）⇒<⇒>-=∆22101616kb b k -----------------------------------------------3分 0)13)(1(0123223>++-⇒>--∴k k k k k1>∴k -----------------------------------------------1分20．解：P 真：22)21(4)21()(+-+++=a a x x f 由题意7321-≥⇒≤+-a a Q 真：法1：⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-0)2(221f a 即5->a 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+->+-0)21(221a f a 即∅ 综上：5->a ----------------------------------------------------------------2分 法2：0)(>x f 在),2[+∞∈x 恒成立 即xx x a 42++->在),2[+∞∈x 恒成立 即5)14(4)()(2max -≤++-=++-=>xx x x x x g x g a 55)(max ->∴-=a x g --------------------------------------------------4分 因为P 或Q 为真，P 且Q 为假，所以P 和Q 一真一假P 真Q 假⎩⎨⎧-≤-≥57a a 或 P 假Q 真⎩⎨⎧->-<57a a -------------------------------------------------3分 57-≤≤-∴a --------------------------------------------------------------------1分21．解：⑴设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 122=-∴b a ① ----------------------------------------1分当直线l 垂直于x 轴时，),1(),,1(22ab B a b A - 42246651b a ab OB OA =⇒=-=⋅∴② ------------------------------------------1分由①②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒=--∴21230162224b a b b 1232:22=+∴y x C ------------------------------------------1分 ⑵设存在满足条件的直线l①当l 斜率不存在时，3622==a b AB 焦点F 到右准线的距离为AB c c a d 23212≠=-=，此时的直线l 不满足----------2分 ②当l 斜率存在时，设)1(:-=x k y l ，),(),,(2211y x B y x A ，AB 中点为M 03612)26(1232)1(222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y 2636,136********+-=+=+k k x x k k x x ，13322+=k k x M 13)1(6122212++=-+=k k x x k AB ------------------------------------2分 )13(2)1(311122222+++=-+=k k k k x x k MP P M -----------------------------------2分 13)1(623)13(2)1(3123222222++=+++∴=k k k k k k AB MP 1±=∴k -------------------------------------------------2分 满足条件的直线l 存在，方程为01=--y x 或01=-+y x ------------------------1分。