高二数学上学期期末试题

2022-2023学年河南省信阳市信阳高级中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．双曲线22132x y -=的渐近线方程是（ ）A ．23y x =± B ．32y x =±C ．y =D ．y = 【答案】D【分析】根据焦点在横轴上双曲线的渐近线方程直接求解即可.【详解】由题得双曲线的方程为22132x y -=，所以a b =，所以渐近线方程为b y x a =±=． 故选：D2．若平面α的法向量为μ，直线l 的方向向量为v ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是（ ） A ．cos ||||v v μθμ⋅=B ．||cos ||||v v μθμ⋅=C ．sin |||vv μθμ⋅=∣D ．||sin ||||v v μθμ⋅=【答案】D【分析】由线面角的向量求法判断 【详解】由题意得||sin ||||v v μθμ⋅=， 故选：D3．若抛物线C ：22x py =的焦点坐标为()0,1，则抛物线C 的方程为（ ） A ．22x y =- B ．22x y =C ．24x y =-D ．24x y =【答案】D【分析】由已知条件可得12p=，求出p ，从而可求出抛物线的方程. 【详解】因为抛物线C ：22x py =的焦点坐标为()0,1，所以12p=，得2p =， 所以抛物线方程为24x y =， 故选：D4．函数()f x 的定义域为R ，导函数()f x '的图象如图所示，则函数()f x （ ）A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点 【答案】C【分析】设()f x '的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为1234,,,x x x x ，根据导函数的图象写出函数的单调区间，再根据极值点的定义即可得出答案.【详解】解：设()f x '的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为1234,,,x x x x ， 当1x x <或23x x x <<或4x x >时，0fx，当12x x x <<或34x x x <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()1,x -∞，()23,x x 和()4,x +∞上递增， 在()12,x x 和()34,x x 上递减，所以函数()f x 的极小值点为24,x x ，极大值点为13,x x ， 所以函数()f x 有两个极大值点、两个极小值点. 故选：C ．5．已知点1,0A ，直线l ：30x y -+=，则点A 到直线l 的距离为（ ）A ．1B ．2C D ．【答案】D【分析】利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】已知点(1,0)A ，直线:30l x y -+=，则点A 到直线l =故选：D .6．已知A ，B ，C ，D ，E 是空间中的五个点，其中点A ，B ，C 不共线，则“存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+是“//DE 平面ABC ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用存在实数x ，y ，使得DE xAB y AC =+⇔//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，结合充分必要条件的定义即可求解.【详解】若//DE 平面ABC ，则,,DE AB AC 共面，故存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+，所以必要性成立；若存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+，则,,DE AB AC 共面，则//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，所以充分性不成立；所以 “存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+是“//DE 平面ABC ”的必要不充分条件， 故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数x ，y ，使得DE xAB y AC =+⇔//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC 是解题的关键，属于基础题.7．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．（1B ．（1C ．∞）D ．，＋∞）【答案】C【分析】根据渐近线的斜率的范围可求离心率的范围. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为by x a=，由题意得2b a >，所以双曲线的离心率c e a ==故选：C.8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()0xf x f x '-<，且()20f -=，则不等式()0f x x>的解集是（ ）． A ．()()2,00,2-⋃ B ．()(),22,∞∞--⋃+ C ．()()2,02,-+∞ D ．()(),20,2-∞-【答案】D 【分析】记()()(),0f x g x x x=≠.判断出()g x 的奇偶性和单调性，即可解不等式. 【详解】记()()(),0f x g x x x=≠.因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x -= 因为()()()()f x f x g x g x x x --==-=--，所以()g x 为奇函数，所以()()()()222222f fg g --==-=--. 因为()20f -=，所以()()220g g -==. 当0x >时，()()()20xf x f x g x x'-'=<，所以()g x 在()0,∞+上单减.因为()g x 为奇函数，图像关于原点对称，所以()g x 在(),0∞-上单减. 不等式()0f x x>即为()0g x >.当0x >时， ()g x 在()0,∞+上单减，且()20g =，所以()0g x >的解集为()0,2； 当0x <时， ()g x 在(),0∞-上单减，且()20g -=，所以()0g x >的解集为(),2-∞-. 综上所述：()0f x x>的解集为()(),20,2-∞-.故选：D二、多选题9．下列导数运算正确的有（ ）A ．211x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()(1)x x xe x e '=+C ．()222x x e e '=D ．()2ln 2x x'=【答案】BC【分析】根据导数的运算法则逐项运算排除可得答案.【详解】对于A ，()12211x x x x --'⎛⎫'==-=- ⎪⎝⎭，故错误；对于B ， ()()(1)x x x x xe x e x e x e '''==++，故正确； 对于C ， ()()22222x x x e x e e ''==，故正确； 对于D ， ()()''11ln 222x x x x==，故错误. 故选：BC.10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，其公差1d >，且7916+=a a ，则（ ）． A ．88a = B ．15120S = C ．11a < D ．22a >【答案】ABC【分析】利用等差数列基本量代换，对四个选项一一验证.【详解】对于A ：因为7916+=a a ，所以978216a a a +==，解得：88a =.故A 正确； 对于B ：()1158151521581512022a a a S +⨯⨯===⨯=.故B 正确；对于C ：因为88a =，所以178a d +=，所以187a d =-. 因为1d >，所以11a <.故C 正确；对于D ：因为88a =，所以268a d +=，所以286a d =-. 因为1d >，所以22a <.故D 错误. 故选：ABC11．已知曲线1C ：函数()nx m f x x m+=-的图像，曲线()()2222:12C x y r -+-=，若1C 的所有对称轴平分2C ，且1C 与2C 有公共点，则r 的值可以等于（ ）．ABCD ．3【答案】BD【分析】先将()f x 整理成()nm mf x n x m+=+-可得()f x 的所有对称轴都经过(),m n ，故可求得1,2m n ==，再计算()f x 上的点到圆心()1,2M 的最短距离即可求得答案【详解】因为()nx m nm mf x n x m x m++==+--，且()f x 是由nm m y x +=向右平移m 个单位长度，向上平移n 个单位长度得到，nm my x+=的所有对称轴都经过()0,0， 所以()nx m nm mf x n x m x m++==+--的所有对称轴都经过(),m n ， 因为1C 的所有对称轴平分2C ，所以1C 的所有对称轴经过2C 的圆心()1,2M ， 所以1,2m n ==，所以()321f x x =+-， 设函数()f x 图象上的动点3,21P x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，则()()2233121611MP x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+≥-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，当且仅当311x x -=-时，取等号， 所以()f x 上的点到圆心()1,2M 的最短距离为6， 若1C 与2C 有公共点，则6r ≥ 故选：BD12．我国知名品牌小米公司今年启用了具备“超椭圆”数学之美的全新Logo ．新Logo 将原本方正的边框换成了圆角边框（如图），这种由方到圆的弧度变化，为小米融入了东方哲学的思想，赋予了品牌生命的律动感．设计师的灵感来源于数学中的曲线:1nnC x y +=，则下列有关曲线C 的说法中正．确．的是（ ）．A ．对任意的n ∈R ，曲线C 总关于原点成中心对称B ．当0n >时，曲线C 上总过四个整点（横、纵坐标都为整数的点） C ．当01n <<时，曲线C 围成的图形面积可以为2D ．当1n =-时，曲线C 上的点到原点最近距离为22【答案】ABD【分析】对于A ：利用代数法验证；对于B ：直接求出曲线C 过四个整点()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--，即可判断；对于C ：先判断出||||1x y +=与坐标轴围成的面积为2，再判断出1n nx y +=在||||1x y +=内部,即可判断；对于D ：表示出距离222221x d x y x x ⎛⎫=+=+ ⎪-⎝⎭.令()11x t t -=>-,利用基本不等式求出最小值.【详解】对于A ：在曲线:1nnC x y +=中,以x -替换x ,以y -替换y ,方程不变,则曲线C 关于原点成中心对称.故A 正确；对于B,当0n >时,令0x =,得1y =±；令0y =,得1x =±.曲线C 总过四个整点()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--.故B 正确；对于C ：当01n <<时,由1n nx y +=,得:1,1x y ≤≤,且等号不同时成立. ∴||||||||1n n x y x y +>+=.又||||1x y +=与坐标轴围成的面积为2222⨯=，且1n nx y +=在||||1x y +=内部,则曲线C 围成图形的面积小于2.故C 错误.对于D ：当1n =-时,曲线C 的方程为：11||||1x y --+=.不妨令,x y 均大于0,曲线化为111x y +=，即1x y x =-，则222221x d x y x x ⎛⎫=+=+ ⎪-⎝⎭. 令()11x t t -=>-,则2222222112(1)2228t t d t t t t t t ++=++=++++≥=，当且仅当221t t =且22t t=,即1t =时等号成立.结合对称性可知,曲线C上点到原点距离的最小值为故D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知{}n a 是公比为2的等比数列，则1234a a a a ++的值为______． 【答案】14##0.25【分析】利用等比数列的通项公式计算即可. 【详解】{}n a 是公比为2的等比数列，121113411123148124a a a a a a a a a a ++∴===++ 故答案为：14.14．设点P是曲线32y x =+上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是______.【答案】20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【分析】求出23'=y xtan α≥α的范围可得答案. 【详解】∵23y x '=≥∴tan α≥ 又∵0απ≤≤， ∴02πα≤<或23a ππ≤< 则角α的取值范围是20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.故答案为：20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.15．已知数列{}n a 满足()21n a n m n =--，若满足123456a a a a a a <<<<<且对任意[)9,n ∈+∞，都有1n n a a +>，则实数m 的取值范围是______．【答案】1016,1117⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由123456a a a a a a <<<<<解出1111m -<，由对任意[)9,n ∈+∞，都有1n n a a +>，解出1117m ->，即可求出实数m 的取值范围. 【详解】因为()21n a n m n =--，若满足123456a a a a a a <<<<<，所以()()()()()()222222111212313414515616m m m m m m --⨯<--⨯<--⨯<--⨯<--⨯<--⨯，解得：1111m -<. 因为对任意[)9,n ∈+∞，都有1n n a a +>，由二次函数的性质可得：()()101910212m m ⎧--<⎪+⎨-<⎪--⎩，解得：1117m ->. 所以1111711m <-<，解得：10161117m <<. 所以实数m 的取值范围为1016,1117⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：1016,1117⎛⎫⎪⎝⎭16．若方程2l e n 1x x ax x -=--存在唯一实根，则实数a 的取值范围是_____.【答案】(]1,01e ⎧⎫-∞+⎨⎬⎩⎭【分析】方程2l en 1xx ax x -=--存在唯一实根，则2ln 1e x x a x x-++=存在唯一实根，则函数y a =与函数()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>有唯一的交点，利用导数分析()f x 的单调性，并在同一坐标系中做出y a =与函数()e ln 1x f x xx x +=+的图象，即可求解【详解】方程2l e n 1x x ax x -=--存在唯一实根， 则2ln 1e x x a x x-++=存在唯一实根，令()()2ln 10e ,x x x x xf x -++=>，则()()2221e n e e 2l 1x x x x x x x x x x f x ---⎛⎫-+⋅- +⎪⎭+⎝'= ()222231l e l e n e n x x x x x x x x xx x ----+==-⋅-- 令()()()2211ln e e ln xxx x h x x x x x --⋅=-++⋅=，注意到()10h =，则()10f '=，且当()0,1x ∈时，210,ln 0,0,e 0x x x x >-<><， 所以()()22110,n e el 0x xx x x x x ⋅⋅--<+<，即()0h x <； 当()1,x ∈+∞时，210,ln 0,0,e 0x x x x >->>>， 所以()()22110,n e el 0x xx x x x x ⋅⋅-->+>，即()0h x >； 所以当()0,1x ∈时，0fx，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； 又()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>， 当()1,x ∈+∞时，()0f x >恒成立； 当0x →时，()f x →-∞；所以()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>的大致图象为：由2ln 1e xx a x x-++=存在唯一实根，则函数y a =与函数()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>有唯一的交点，由图象可知0a ≤或11ea =+时满足条件，所以方程2l e n 1x x ax x -=--存在唯一实根时， 实数a 的取值范围是(]1,01e a ⎧⎫∈-∞⋃+⎨⎬⎩⎭故答案为：(]1,01e ⎧⎫-∞⋃+⎨⎬⎩⎭四、解答题17．已知函数321()213f x x x =-++.（1）求()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值与最小值.【答案】（1）单调递增区间为[]0,4；单调减区间为(),0∞-和()4,+∞；（2）()min 1f x =；()max 193f x =. 【解析】（1）求出导函数，令0fx，求出单调递增区间；令()0f x '<，求出单调递减区间.（2）求出函数的单调区间，利用函数的单调性即可求解. 【详解】(1)函数()f x 的定义域是R ， 2()4f x x x '=-+，令()0f x '≥，解得04x ≤≤ 令()0f x '<，解得>4x 或0x <， 所以()f x 的单调递增区间为[]0,4， 单调减区间为(),0∞-和()4,+∞； (2)由()()1f x 在[)1,0-单调递减，在[]0,2单调递增，所以()()min 01f x f ==，而()81928133f =-++=，()11012133f -=++=， 故最大值是()9231f =. 18．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线与x 轴交于点()1,0M -．（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点M 的直线l 与抛物线C 相切，求直线l 的方程．【答案】（1）24y x =；（2）10x y -+=或10x y ++=【解析】（1）利用准线方程2p x =-求解 （2）设出直线方程，与抛物线方程联立，利用0∆=求解.【详解】（1）2:2(0)C y px p =>的准线2p x =-过()1,0M - 故12p -=-，则2p = 抛物线方程为24y x =（2）设切线方程为1x my =-与抛物线方程联立有2440y my -+=()24160m ∆=-=故1m =±故直线l 的方程为：10x y -+=或10x y ++=【点睛】求抛物线的切线方程的方法：方法一：将抛物线转化为二次函数，然后利用导数求解切线方程，这在开口朝上的抛物线中经常用到。

一、单选题1．直线的倾斜角为（ ） 50x +=A ． B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】D【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角.【详解】直线可化为 50x +=y x =则斜率，满足， tan k α==α0180α≤<︒所以倾斜角为. 150︒故选：D2．下列有关数列的说法正确的是（ ）A ．数列1，0，，与数列，，0，1是相同的数列 1-2-2-1-B ．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列C ．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为 2n a n =D ，…的一个通项公式为n a =【答案】D【分析】根据数列的定义和表示方法，逐一判断，即可得到本题答案.【详解】对于选项A ，数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1中的数字排列顺序不同，不是同一个数列，故A 错误；对于选项B ，常数数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B 错误； 对于选项C ，当时，，故C 错误；1n =120a =≠对于选项D ，因为123a a a =====4a ==…，所以数列的一个通项公式为D 正确. n a =故选：D3．已知直线l 过点且方向向量为，则l 在x 轴上的截距为（ ） ()3,4-()1,2-A ． B ．1C ．D ．51-5-【答案】A【分析】先根据方向向量求得直线的斜率，然后利用点斜式可求得直线方程，再令，即2k =-0y =可得到本题答案.【详解】因为直线的方向向量为，所以直线斜率， l ()1,2-2k =-又直线过点，所以直线方程为，即， l ()3,4-42(3)y x -=-+220x y ++=令，得，所以在x 轴上的截距为-1. 0y ==1x -l 故选：A4．已知，“直线与平行”是“”的（ ）m ∈R 1:0l mx y +=22:910l x my m +--=3m =±A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据平行的成比例运算即可求解.【详解】直线与平行1:0l mx y +=22:910l x my m +--=则， 210=91m m m ≠--所以， 29m =解得，3m =±经检验，均符合题意， 3m =±故选：C.5．已知等差数列中，，是函数的两个零点，则{}n a 5a 14a 232()=--x x x f 381116a a a a +++=（ ） A ．3 B ．6C ．8D ．9【答案】B【分析】由等差数列的性质进行计算即可.【详解】由已知，函数的两个零点，即方程的两根，， 232()=--x x x f 2320x x --=1x 2x ∴， 51412331a a x x -+=+=-=∵数列为等差数列， {}n a ∴， 3168115143a a a a a a +=+=+=∴. 3811166a a a a +++=故选：B.6．已知圆关于y 轴对称的圆与直线相切，则m 的值为（ ）221:230C x y x ++-=2C x m =A ．B ．3C ．或3D ．1或1-1-3-【答案】C【分析】先求出关于y 轴对称的圆的标准方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径，列出方2C 程求解，即可得到本题答案.【详解】由圆，可得标准方程，圆心为，半径， 221:230C x y x ++-=22(1)4x y ++=(1,0)-2r =故关于轴对称的圆的圆心为，半径，则其标准方程为， y 2C (1,0)2r =22(1)4x y -+=又因为圆与直线相切，所以圆心到切线的距离等于半径， 2C x m =即，解得或. 12m -=1m =-3m =故选：C7．已知数列满足，且，则数列的前项和为（ ） {}n a 13n n a a +=11a =-{}2n a n +5A ． B ． C ． D ．151-91-91151【答案】B【分析】由等比数列的定义判断出数列为等比数列，再使用分组求和法求解即可. {}n a 【详解】∵数列满足，且， {}n a 13n n a a +=11a =-∴数列是首项为，公比为的等比数列，{}n a 1-3∴，11133n n n a --=-⨯=-∴数列的前项和为，{}2n a n +5()()()()()01234532343638310S =-++-++-++-++-+()()0123433333246810=-----+++++()()51132105132-⨯-+⨯=+-12130=-+.91=-故选：B.8．已知椭圆过点且与双曲线有相同焦点，则椭圆的离心率22221(0)x y a b a b +=>>()3,2-22132x y -=为（ ）A B C D 【答案】C【分析】由题可得，，联立方程可求得，然后代入公式，即225a b -=22941a b +=22,a b e =可求得本题答案.【详解】因为椭圆与双曲线有相同焦点，所以椭圆两个焦点分别为22132x y -=12(F F ，则①， 2225c a b =-=又椭圆过点，所以②， ()3,2P -22941a b +=结合①，②得，，2215,10a b ==所以， e ==故选：C9．已知圆与圆的公共弦长为2，则m 的值为221:2220C x y x y +-+-=222:20(0)C x y mx m +-=>（ ）A B ．C D ．332【答案】A【分析】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解. 【详解】联立和, 222220x y x y +-+-=2220x y mx +-=得，由题得两圆公共弦长，(1)10m x y -+-=2l =圆的圆心为，半径， 221:2220C x y x y +-+-=(1,1)-r 2=圆心到直线(1,1)-(1)10m x y -+-=，===平方后整理得,， 2230m -=所以 m m =故选：A.10．“斐波那契数列”又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，…，即斐波那契数列满足，，设其前n 项和为，若，则{}n a 121a a ==21++=+n n n a a a n S 2021S m =2023a =（ ） A ． B ．mC ．D ．1m -1m +2m 【答案】C【分析】由斐波那契数列满足，归纳可得，令{}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+21m m a S +=+2021m =，即可求得本题答案.【详解】因为斐波那契数列满足， {}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+所以，321a a a =+， 432211a a a a a =+=++， 5433211a a a a a a =+=+++……， 21122111m m m m m m m a a a a a a a a S ++--=+=++++++=+ 则. 2023202111a S m =+=+故选：C11．如图，在直四棱柱中，底面ABCD 是边长为2的正方形，，M ，N 分1111ABCD A B C D -13D D =别是，AB 的中点，设点P 是线段DN 上的动点，则MP 的最小值为（ ）11B CA B C D 【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，根据两点距离公式表示，利用二次函数求值P MP 域，即可得到本题答案.【详解】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空D 1,,DA DC DD x y z 间直角坐标系.因为底面ABCD 是边长为2的正方形，，所以， 13D D =(1,2,3)M ∵点在平面上，∴设点的坐标为，P xOy P ()[],,0,0,1x y y ∈∵在上运动，∴，∴，∴点的坐标为， P DN 2AD x y AN==2x y =P (2,,0)y y==∵，∴当时， 取得最小值. []0,1y ∈45y =MP 故选：D12．已知双曲线C ：l 与C 相交于A ，B 两2221(0)y x b b-=>点，若线段的中点为，则直线l 的斜率为（ ） AB ()1,2NA ．B ．1CD ．21-【答案】B【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线的斜率.l 【详解】因为双曲线的标准方程为，2221(0)y x b b-=>所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为， (,0)c 0bx y -=所以焦点到渐近线的距离，化简得，解得，d =2222(1)b c b =+22b =所以双曲线的标准方程为，2212y x -=设，所以①，②， 1122(,),(,)A x y B x y 221112y x -=222212y x -=①-②得，，222212121()()02x x y y ---=化简得③，121212121()()()()02x x x x y y y y +--+-=因为线段的中点为，所以， AB ()1,2N 12122,4x x y y +=+=代入③，整理得， 1212x x y y -=-显然，所以直线的斜率. 1212,x x y y ≠≠l 12121y y k x x -==-故选：B二、填空题13．已知A （1，－2，11）、B （4，2，3）、C （x ，y ，15）三点共线，则xy=___________. 【答案】2．【详解】试题分析：由三点共线得向量与共线，即，，AB AC ABk AC = (3,4,8)(1,2,4)k x y -=-+，解得，，∴． 124348x y -+==-12x =-4y =-2xy =【解析】空间三点共线．14．已知抛物线的焦点为F ，直线与抛物线交于点M ，且，则22(0)x py p =>2x =2MF =p =_______. 【答案】2【分析】先求点的纵坐标，然后根据抛物线的定义，列出方程，即可求得的值.M p 【详解】把代入抛物线标准方程，得，2x =22(0)x py p =>2(2,)M p 根据抛物线的定义有，，化简得，，解得. 222p MF MH p==+=244p p +=2p =故答案为：215．已知点，点为圆上的任意一点，点在直线上，其中为坐标原(1,1)--P M 22:1C x y +=N OP O点，若恒成立，则点的坐标为______.|||MP MN =N【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】设和的坐标，由，列等式，利用点在圆上，点在直线上，NM |||MP MN =M N OP 化简得恒成立的条件，求得点的坐标.N 【详解】易知直线的方程为，由题意可设，OP 0x y -=00(,)N x x 设，则可得，由，可得(,)M x y ''221x y ''+=||||MP MN 22222200||(1)(1)||()()MP x y MN x x y x ''+++==''-+-， 2002()322()12x y x x y x ''++=''-+++则，化简得，2002()322()12x y x x y x ''''⎡⎤++=-+++⎣⎦200(24)()41x x y x ''++=-即，[]00(12)2()(12)0x x y x ''+++-=若恒成立，则，解得，故.|||MP MN =0120x +=012x =-11,22N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭故答案为：11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭16．已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，，其中与抛物线的22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F 2F 28y x =焦点重合，点P 在双曲线C 的右支上，若，且，则的面积为122PF PF -=1260F PF ∠=︒12F PF △_______. 【答案】【分析】结合题目条件与余弦定理，先算出的值，然后代入三角形的面积公式12PF PF ⋅，即可得到本题答案. 1212121sin 2F PF S PF PF F PF =⋅∠A 【详解】由双曲线右焦点与抛物线的焦点重合，可得，所以， 2F 28y x =2(2,0)F 124F F =设，则，1122,PF r PF r ==122r r -=因为，所以， 22212121212||||2cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠22121212162r r r r +-⨯=则，解得，21212()16r r r r -+=1212r r =所以，. 12121sin 602F PF S r r =︒=A故答案为：三、解答题17．已知数列满足，且点在直线上.{}n a 11a =111,n n a a +⎛⎫⎪⎝⎭2y x =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前n 项和. 1n n n b a a +={}n b n T 【答案】(1) 121n a n =-(2) 21nn + 【分析】（1）先求出数列的通项公式，从而可得到数列的通项公式；1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a （2）根据（1）中数列的通项公式，可写出数列的通项公式，再利用裂项相消的方法即可{}n a {}n b 求得前n 项和.n T 【详解】（1）由题意得，即， 1112n n a a +=+1112n n a a +-=所以数列是首项为，公差为2的等差数列，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a =故，即. 1112(1)21n n n a a =+-=-121n a n =-（2）由（1）知，11111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭所以1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111123352121n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪-+⎝⎭. 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+18．已知的顶点坐标分别是，，. ABC A ()3,0A ()1,2B ()1,0C -(1)求外接圆的方程；ABC A (2)若直线l ：与的外接圆相交于M ，N 两点，求. 3480x y +-=ABC A MCN ∠【答案】(1) 22(1)4x y -+=(2) 60MCN ∠=︒【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点，求出方程组的解，即可得到本题答案； ,,A B C （2）先求出圆心到直线的距离，即可得到，然后求出，即可得到本题答MN 30PMN ∠=︒MPN ∠案.【详解】（1）设圆的一般方程为：，， 220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->代入点得，(3,0),(1,2),(1,0)A B C -，解得，9+30142010D F DEF D F +=⎧⎪++++=⎨⎪-+=⎩203D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以圆的一般方程为：， 22230x y x +--=标准方程为：.22(1)4x y -+=（2）圆心到直线的距离，(1,0)P :3480l x y +-=d 又因为，在等腰中，， 2PM =PMN A 30PMN ∠=︒所以圆心角，则.260120MPN ∠=⨯︒=︒60MCN ∠=︒19．如图所示，在四棱锥中，平面ABCD ，，，且P ABCD -PA ⊥AD BC ∥AB BC ⊥，.1AB AP BC ===2AD =(1)求证：平面；CD ⊥PAC (2)若E 为PC 的中点，求与平面所成角的正弦值.PD AED 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先证，，由此即可证得平面； AC CD ⊥PA CD ⊥CD ⊥PAC （2）建立空间直角坐标系，求出,平面的一个法向量为，然后利用公(0,2,1)PD =- AED ()1,0,1n =- 式，即可求得本题答案. sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅==⋅ 【详解】（1）作，垂足为，易证，四边形为正方形.CF AD ⊥F ABCF 所以，又1CF AF DF ===CD ==AC ==因为，所以.222AC CD AD +=AC CD ⊥因为平面，平面，所以.PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA CD ⊥又，平面，平面，所以平面.AC PA A ⋂=AC ⊂PAC PA ⊂PAC CD ⊥PAC（2）以点为坐标原点，以所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间A ,,AB AD AP 直角坐标系，则，，，，. ()0,0,0A ()0,0,1P ()1,1,0C ()0,2,0D 111,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，，. (0,2,0)AD = (0,2,1)PD =- 111(,,)222AE = 设平面的法向量为，AED (),,n x y z = 由，得， 00n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11102220x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩令，可得平面的一个法向量为.1z =AED ()1,0,1n =- 设与平面所成角为，PD AED θ则sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅====⋅ 20．已知抛物线：（）的焦点为，过上一点向抛物线的准线作垂线，垂足C 22y px =0p >F C P 为，是面积为.Q PQF △(1)求抛物线的方程；C (2)过点作直线交于，两点，记直线，的斜率分别为，，证明：()1,0M -l C A B FA FB 1k 2k .120k k +=【答案】(1)24y x =(2)证明见解析【分析】（1）由等边三角形的面积可以求出边的长，再求出中的长，即可求出QF Rt FQN A FN 的值，从而求出抛物线的标准方程；p （2）设过的直线方程，与抛物线方程联立，借助，坐标表示，化简证明即可.M A B 12k k +【详解】（1）如图所示，的面积 PQF △1sin 602PQF S PQ PF =︒A ∴， 4PF PQ QF ===设准线与轴交于点，则在中，， x N Rt FQN A 906030FQN ∠=︒-︒=︒∴， 122p FN QF ===∴抛物线的方程为.C 24y x =（2）由题意知，过点的直线l 的斜率存在且不为，()1,0M -0∴设直线的方程为：（），l l ()1y k x =+0k ≠直线的方程与抛物线的方程联立，得，消去y 整理得， l C 2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，()2222240k x k x k +-+=当，即时，设，， ()2242440k k ∆=-->()()1,00,1k ∈-⋃()11,A x y ()22,B x y 则，， 212224k x x k =-+-121=x x 由第（1）问知，，()1,0F ∴直线的斜率，直线的斜率， FA 1111y k x =-FB 2221y k x =-∴. ()()()()()()()()()12112121212121221121011111111x x k x x y y k x k x x k k x x x x x -++--+=+===------+∴原命题得证.21．已知数列满足，且.{}n a 12n n a a +=12314++=a a a (1)求的通项公式；{}n a (2)设，数列的前n 项和为，若对任意的，不等式2n n b n a =⋅{}n b n T n *∈N ()2224844n n T n n λ++-≥-恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】(1)2n n a =(2) 3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由，可得数列为等比数列，公比，代入到，算出12n n a a +={}n a 2q =12314++=a a a ，即可得到本题答案；1a （2）根据错位相减的方法求得，然后将不等式，逐步等价转化为n T ()2224844n n T n n λ++-≥-，再利用单调性求出的最大值，即可得到本题答案. 2112n n λ-≥2112n nn c -=【详解】（1）因为，所以是公比为2的等比数列， 12n n a a +={}n a 所以，故，1231112414a a a a a a ++=++=12a =故.2n n a =（2），1222n n n b n n +=⋅=⋅则，23411222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ 所以，()345121222321222n n n n n T ++⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯= 两式相减得，，()()2234122221222222212412n n n n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=-⋅-- 因此. 2(1)24n n T n +=-⋅+由，可得，所以， ()2224844n n T n n λ++-≥-222844n n n n λ+⋅≥-2112nn λ-≥该式对任意的恒成立，则. n *∈N max2112n n λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭令，则， 2112n n n c -=()1112111211132222n n n n n n n n c c ++++----=-=当时，，即数列递增，当时，，即数列递减，6n ≤10n n c c +->{}n c 7n ≥10n n c c +-<{}n c所以当时，， 7n =()max 3128n c =所以实数λ的取值范围是. 3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭22．已知椭圆M ：的短轴长为. 22221(0)x y a b a b +=>>(1)求椭圆M 的方程；(2)若过点的两条直线分别与椭圆M 交于点A ，C 和B ，D ，且共线，求直线AB 的()1,1Q -,AB CD 斜率.【答案】(1)22193x y +=(2) 13【分析】（1）由短轴长可求出可求出，由此即可求得本题答案； 23b =29a =（2）设点，因为共线，可设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ,AB CD ,AQ QC BQ QD λλ== ，可得，，代入椭圆方程，然后相减，即可得到本题答案. 13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩24241(1)xx y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩【详解】（1）因为短轴长为，b =23b =因为离心率，所以，可得， e 2222213c b a a =-=2213b a =29a =所以椭圆M 的方程为. 22193x y +=（2）设.()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y 设，则，即， AQ QC λ= 13131(1)1(1)x x y y λλ-=-⎧⎨--=+⎩13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩代入椭圆方程，得， ()()22112211193x y λλλλ+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+=即① ()()221141211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭同理可得② ()()222241211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭由②-①，得， 11229393x y x y -=-所以，()12123y y x x -=-所以直线AB 的斜率. 121213y y k x x -==-【点睛】思路点睛：把共线这个条件，转化为，是解决此题的关键. ,AB CD ,AQ QC BQ QD λλ==。

2022-2023学年山西省怀仁市第一中学校高二上学期期末数学试题一、单选题1．椭圆22152x y +=的长轴长为（ ）A ．BC ．4D ．2【答案】A【分析】根据椭圆的几何性质即可求出长轴.【详解】由椭圆22152x y +=，得25a =，a =2a =故选：A ．2．过点(2,1)的等轴双曲线的标准方程为（ ）A ．22133y x -=B ．22155x y -=C ．22133y x -=D ．22155y x -=【答案】A【分析】先设出双曲线的方程为22x y λ-=（0λ≠），代点进行求解即可. 【详解】设双曲线的方程为22x y λ-=（0λ≠）， 代入点(2,1)，得3λ=，故所求双曲线的方程为223x y -=，其标准方程为22133y x -=．故选：A ．3，则 ）A ．第11项B ．第12项C ．第13项D ．第14项【答案】B【分析】根据被开方数的特点求出数列的通项公式，最后利用通项公式进行求解即可.【详解】，由数列的前几项观察归纳，知被开方数是以6为首项，4为公差的等差数列，所以通项公式n a令n a =12n =. 故选：B.4．在直三棱柱111ABC A B C 中，若AC a =，AB b =，1AA c =，则1BC =（ ）A ．a b c +-B ．a b c --C ．a b c -+D ．a b c -+-【答案】C【分析】根据空间向量线性运算的性质进行求解即可.【详解】由已知得()111BC CC CB CC AB AC a b c =-=--=-+， 故选：C5．在等差数列{}n a 中，2610120a a a ++=，则6a =（ ） A ．70 B ．60 C ．50 D ．40【答案】D【解析】根据等差数列的性质，得到63120a =，即可求解． 【详解】根据等差数列的性质，可得21062a a a +=， 因为2610120a a a ++=，即63120a =，可得640a =． 故选：D.6．以点()1,2A 为圆心，两平行线10x y -+=与2270x y -+=之间的距离为半径的圆的方程为（ ） A ．()()229122x y +++= B ．()()2225128x y -+-= C ．()()2225128x y +++= D ．()()229122x y -+-=【答案】B【分析】利用平行直线间距离公式可求得圆的半径，由圆心和半径可得圆的方程. 【详解】直线2270x y -+=方程可化为702x y -+=， 则两条平行线之间距离()227152211d -==+-52r =，∴所求圆的方程为：()()2225128x y -+-=. 故选：B.7．已知数列{}n a 满足11n n a n a n++=，13a =，则数列{}n a 的通项公式是（ ） A ．3n a n = B ．2n a n =+C ．21n a n =+D ．23n a n =【答案】A【分析】由题意可得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为3的常数列，从而可得出答案.【详解】由题意得11n n a a n n +=+，即1213121n n a a a an n +=====+所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以131a =首项为的常数列，则3na n=，得3n a n =. 故选：A8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:1O x y +=，222:(4)4O x y -+=，动点P 在直线0-=x b 上，过P 点分别作圆1O ，2O 的切线，切点分别为A ，B ，若存在点P 满足2PB PA =，则实数b 的取值范围是（ ） A ．2812,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[)28,12,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦C ．20,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)20,4,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】分别求出两圆圆心和半径，利用PAPB 2PB PA =可求点P 轨迹方程为圆，又P 在直线0-=x b 上，结合圆心到直线的距离小于等于半径可求b 的取值范围. 【详解】由题意()10,0O ，11r =，()24,0O，22r =，设(),P x y ，若2PB PA =，PA PB =()2222(4)4x y x y∴-+=+，22816033x y x ∴++-=，即2246439x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，圆心坐标为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为83，动点P 在直线0-=x b 上，存在点P 满足2PB PA =，∴直线与圆22816033x y x ++-=有交点，∴圆心到直线的距离83d =≤，2043b ∴-≤≤， 即实数b 的取值范围是20,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：C ．二、多选题9．已知{}n a 为等差数列，满足5323a a -=，{}n b 为等比数列，满足21b =，44b =，则下列说法正确的是（ ）A ．数列{}n a 的首项为1B ．73a =C ．616b =D ．数列{}n b 的公比为2±【答案】BCD【分析】由5323a a -=可推得163a d +=，即可判断A 、B ；由21b =，44b =，可推得64416b b ==，24q =，即可判断C 、D.【详解】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q . 对于A ，由5323a a -=，得()()112423a d a d +-+=， 整理可得，163a d +=，所以1a 不确定，故A 错误； 对于B ，因为163a d +=，所以有73a =，故B 正确； 对于C ，因为64424b b b b ==，所以64416b b ==，故C 正确； 对于D ，由已知可得，2424b q b ==，所以2q =±，故D 正确. 故选：BCD.10．关于双曲线22146x y -=与双曲线221(46)46x y t t t -=-<<+-，下列说法不正确的是（ ） A ．实轴长相等 B ．离心率相等C ．焦距相等D ．焦点到渐近线的距离相等【答案】ABD【分析】利用双曲线的性质对每个选项逐个判断即可【详解】双曲线22146x y -=中，实轴长为124a =，虚轴长为1226b =，焦距长为12246210c =+=，右焦点为()10,0，所以离心率111102c e a ==，渐近线方程为62y x =±，不妨取62y x =即620x y -=， 所以焦点到渐近线的距离为1610664d ⨯==+， 双曲线221(46)46x y t t t-=-<<+-中实轴长为2224a t =+，虚轴长为2226b t =-，焦距长为22210c =，右焦点为()10,0，所以离心率22210401044c t e a t t +===++，渐近线方程为64t y x t -=±+，不妨取64t y x t-=+即()640t x t y --+=，所以焦点到渐近线的距离为2610610t d t -⨯==-， 综上，两条双曲线只有焦距相等， 故选：ABD11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点，F 为11A D 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的有（ ）A ．132DB =B ．向量AE 与1AC 15 C ．平面AEF 的一个法向量是()4,1,2-D ．11A D BD ⊥ 【答案】BCD【分析】A 选项，求得1DB 的坐标，进而求出1DB ；B 选项，利用空间向量夹角公式求解；C 选项，记()4,1,2n =-，验证0,0AE AF n n ⋅⋅==即可；D 选项，验证110A D BD ⋅=即可.【详解】对于A ，()0,0,0D ，()12,2,2B ，()12,2,2DB =，1123D DB B ==A 错误； 对于B ，()2,0,0A ，()2,2,1E ，()10,2,2C ，()()10,2,1,2,2,2AE AC ==-，则111cos ,5AE AC AE AC AE AC ⋅===B 正确； 对于C ，()1,0,2F ，()()0,2,1,1,0,2AE AF ==-，记()4,1,2n =-， 则042(1)120,(1)40(1)220AE F n A n =⨯+⨯-+⨯==-⨯+⨯⋅-⨯=⋅+，所以,A A n E F n ⊥⊥，又,AE AF ⊂平面AEF ，AE AF A ⋂=，则n ⊥平面AEF ， 故()4,1,2-是平面AEF 的一个法向量，故C 正确；对于D ，()()()()112,0,2,0,0,0,0,0,2,2,2,0A D D B ，()()11112,0,2,2,2,2,0A D BD A D BD =--=--⋅=，故D正确. 故选：BCD.12．已知抛物线2:2C x py =的焦点坐标为F ，过点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，点12⎫⎪⎭在抛物线上．则（ ） A ．1p = B ．当AB y ⊥轴时，||4AB =C ．11||||AF BF +为定值1 D ．若2AF FB =，则直线AB 的斜率为【答案】BCD【分析】将点12⎫⎪⎭代入可判断A ；求出焦点可判断B ；设直线AB 的方程为1y kx =+，将直线与抛物线方程联立，利用韦达定理即可判断C ；由向量的坐标表示以及韦达定理可判断D. 【详解】对于选项A ，将点12⎫⎪⎭代入抛物线方程，可得2p =，故选项A 错误；对于选项B ，焦点(0,1)F ，点(2,1)在抛物线上，可得||4AB =，故选项B 正确； 对于选项C ，设点A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，直线AB 的方程为1y kx =+，联立方程24,1,x y y kx ⎧=⎨=+⎩ 消去y 后整理为2440x kx --=，可得()2121212124,4,242,x x k x x y y k x x k +==-+=++=+221212121,||1,||116x x y y AF y BF y ===+=+，有1212121212121111221||||1112y y y y AF BF y y y y y y y y +++++=+===+++++++， 故选项C 正确；对于选项D ，有()()1122,12,1x y x y --=-，可得212x x =-，由1212214,4,2,x x k x x x x +=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩有2224,24,x k x -=⎧⎨-=-⎩解得24k =±，故选项D 正确． 故选：BCD三、填空题13．点()1,3-关于直线20x y ++=的对称点的坐标为__________． 【答案】()5,1--【分析】设点为()00,x y ，根据条件可得00311y x -=+以及00132022x y -+++=，解出即可得到. 【详解】设点()1,3-关于直线20x y ++=对称的点为()00,x y . 因为直线20x y ++=的斜率为1-，由对称关系，两点连线与直线20x y ++=垂直，所以00311y x -=+， 又因为两点连线段的中点0013,22x y -+⎛⎫⎪⎝⎭在直线20x y ++=上， 代入得00132022x y -+++=， 两式联立0000311132022y x x y -⎧=⎪+⎪⎨-+⎪++=⎪⎩，即可解得0051x y =-⎧⎨=-⎩，所以对称点为()5,1--．故答案为：()5,1--．14．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.【答案】26米【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为2x my =， 将A （2，-2）代入2x my =， 得m=-2，∴22x y =-，代入B ()0,3x -得06x 故水面宽为2626 【解析】抛物线的应用15．设两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,且794n n S nT n =+,则33a b =__________. 【答案】57【分析】根据等差数列性质,将33a b 写为()()15155252a ab b +⋅+⋅,即55S T ,代入题中等式即可得出结果. 【详解】解:由题意可得{}n a 和{}n b 均为等差数列,所以()()153********2753552529544972a a a a Sb b b b T +⨯⨯======+⨯⨯+. 故答案为:5716．已知点,A B 是椭圆:G 22221x y a b+=(0)a b >>上的两点.且直线AB 恰好平分圆222x y R +=(0)R >，M 椭圆G 上与点,A B 不重合的一点，且直线,MA MB 的斜率之积为13-，则椭圆G 的离心率为__________. 6【分析】设()11,A x y ，()00,M x y ，则2221022210y y b x x a -=--.由已知可推得()11,B x y --，根据13MA MA k k ⋅=-，可得出2213b a =，然后即可求出离心率.【详解】设()11,A x y ，()00,M x y .依题意有22112222002211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得2222101022x x y y a b -=--，所以2221022210y y b x x a -=--. 因直线AB 恰好平分圆222x y R +=，则()11,B x y --， 则1010MA y y k x x -=-，1010MBy y k x x --=--. 由已知，13MA MB k k ⋅=-，所以，222102221013y y b x x a -=-=--，即2213b a =. 所以椭圆G的离心率为e =四、解答题17．已知数列{}n a 满足1a 1=，n 1n a 3a 2+=+．()1证明：数列{}n a 1+是等比数列；()2设n n 1n 2332b a 1a 1log log 22++=++⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】（1）详见解析；（2）n 2nS n 1=+. 【分析】()1对数列的递推式两边加1，结合等比数列的定义，即可得证；()2由对数的运算性质可得()n nn 1n 1n 2333322211b 2a 1a 1log 3log 3n n 1n n 1log log 22+++⎛⎫====- ⎪++⋅++⎛⎫⎛⎫⎝⎭⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由裂项相消求和，化简可得所求和．【详解】解：()1证明：数列{}n a 满足1a 1=，n 1n a 3a 2+=+， 可得()n 1n a 13a 1++=+，即有数列{}n a 1+是首项为2，公比为3的等比数列；()2由()1可得n 1n a 123-+=⋅，即有()n n n 1n 1n 2333322211b 2a 1a 1log 3log 3n n 1n n 1log log 22+++⎛⎫====- ⎪++⋅++⎛⎫⎛⎫⎝⎭⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 的前n 项和n 1111112n S 2121223n n 1n 1n 1⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18．已知圆C 的方程为22460x y x y m +-+-=． (1)求实数m 的取值范围；(2)若圆C 与直线:30l x y ++=交于M ，N两点，且MN =m 的值． 【答案】(1)13m >- (2)8m =-【分析】（1）将圆C 的一般方程用配方法化为标准方程，进而得到130m +>，解之即可； （2）利用弦长公式MN =rm 的值. 【详解】（1）方程22460x y x y m +-+-=可化为22(2)(3)13x y m -++=+， ∵此方程表示圆，∴130m +>，即13m >-，即()13,m ∈-+∞. （2）由（1）可得圆心(2,3)C -，半径r = 则圆心(2,3)C -到直线:30l x y ++=的距离为d ==由弦长公式MN =及MN ==r =∴r ==8m =-．19．已知双曲线C ：22212x y b-=（0b >），直线l 与双曲线C 交于P ，Q 两点．(1)若点()4,0是双曲线C 的一个焦点，求双曲线C 的渐近线方程；(2)若点P 的坐标为()，直线l 的斜率等于1，且83PQ =，求双曲线C 的离心率．【答案】(1)y =(2)355 【分析】（1）利用双曲线的焦点坐标及标准方程，结合双曲线中,,a b c 三者的关系及双曲线的渐近线方程即可求解. （2）根据已知条件及直线的点斜式方程，将联立双曲线方程与直线方程，利用韦达定理及点在直线上，结合两点间的距离公式及双曲线的离心率公式即可求解. 【详解】（1）∵点()4,0是双曲线C 的一个焦点，∴4c =，又∵222c a b =+且22a =，解得214b =，∴双曲线C 的方程为221214x y -=， ∴双曲线C 的渐近线方程为7y x =±；（2）设直线l 的方程为2y x =+且()11,Q x y ，联立2222,1,2y x x y b⎧=+⎪⎨-=⎪⎩,可得()222242420b x x b ----=， 则124222x b -+=-，∴2122222b x b +=-，即21122222b y x b =+=-， ∴()22222221122222228242223b b b PQ x y b b b ⎛⎫⎛⎫=++=+== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 解得245b =，即由222c a b =+可得2145c =， 故双曲线C 的离心率为1435552c e a ===． 20．如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，6PA =，2AB =，π3ABC ∠=，1BC =，D ，E 分别是PC 上的三等分点，F 是PB 的中点．(1)证明：⊥AE 平面PBC ；(2)求平面ADF 与平面BDF 的夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析 (2)55 【分析】（1）用余弦定理求出3AC =，从而得到222AB AC BC =+，CA CB ⊥，建立空间直角坐标系，利用空间向量证明出线面垂直；（2）求出平面的法向量，进而求出两平面的夹角余弦值.【详解】（1）证明：2AB =，1BC =，π3ABC ∠=， 根据余弦定理得22π12cos4122332AC AB BC AB BC =+-⋅=+-⨯⨯=， 所以222AB AC BC =+，所以CA CB ⊥， 以C 点为坐标原点，CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，经过C 点垂直于CA ，CB 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()030A ，，，()100B ，，，()036P ，，，36033E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，23260,,33D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，136222F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，， 2360,,33AE ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,6CP =，()1,0,0CB =， 23636033AE CP ⋅=-⨯+⨯=，0AE CB ⋅=， CP CB C ⋂=，AE ∴⊥平面PBC ；（2）3260AD ⎛= ⎝⎭，，1362DF ⎛= ⎝⎭，226133BD ⎛=- ⎝⎭，，， 设平面ADF 的一个法向量为()n x y z =，，，由00AD n DF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以0102y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，令z =43x ，4y =，可得(234n =，， 设平面BDF 的一个法向量()m a b c =，，，由100200a DF m BD m a ⎧=⎪⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=⎩⎪-=⎪⎩，，，令1c =，得0a =，b = 可得()02m =-，，42cos 3m nm n m n-⋅∴===⋅⨯， 所以平面ADF 与平面BDF 21．在数列{}n a 中，11a =，且11221n n n a a n ++=++-．(1)证明：2nn a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； (2)求{}n a 的前n 项和n S ．【答案】(1)证明见解析(2)()()112122n n n n S n ++=+-⋅-【分析】（1）利用构造法证明该数列为等差数列；（2） 利用错位相减法与分组求和法可得n S .【详解】（1）由11221n n n a a n ++=++-，得112221n n n a a n n ++=++++， 等式左右同除12n +，得111221n n n na n n a ++++=++， 故数列2n n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11112a +=为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1）得()112nn a n n n +=+-=， 故2n n a n n =⋅-，设2n n b n =⋅，其前n 项和为n T ，则()231122232122n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅，()23412122232122n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅， 故()()2311121222222221212nn n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=---⋅-，即()1212n n T n +=+-⋅，故()121212n n n S n a a a b b b =+++=+++-+++()()112122n n n n ++=+-⋅-. 22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为6，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且以12B B 为直径的圆经过点(20)M ，． (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A B ，两点．试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠ 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22194x y += (2)存在定点9(,0)2P ；【分析】（1）根据题意确定,a b 的值，即可求得椭圆方程；（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为2x my =+，联立方程可得根与系数的关系式，假设x 轴上存在定点P ，使PM 平分APB ∠，则可得0PA PB k k += ，结合根与系数的关系化简，求得参数的值，可得结论.【详解】（1）因为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为6，故=3a ， 椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且以12B B 为直径的圆经过点(20)M ，，则=2b ， 所以椭圆C 的方程是 22194x y +=； （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为2x my =+，将直线AB 的方程与椭圆C 的方程22194x y +=联立， 消去x 得22(49)16200m y my ++-=，因为M 点在椭圆内，则必有0∆>，所以1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+， 假设x 轴上存在定点P ，使PM 平分APB ∠，则直线PA PB ，的倾斜角互补， 所以0PA PB k k += ，设(0)P t ， ，则有 12120y y x t x t+=-- ， 将11222,2x my x my =+=+代入上式，整理得1212122+(2)(+)0(+2)(+2)my y t y y my t my t ---=， 所以12122(2)()0my y t y y +-+=，将 1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+代入上式，整理得(29)0t m -+= ， 由于上式对任意实数m 都成立，所以92t = ， 综上，存在定点9(,0)2P ，使PM 平分APB ∠ ．。

2023-2024学年广东省深圳高二上册期末数学试题一、单选题1．已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a n +=+，则3a =（）A ．3B ．7C ．8D ．9【正确答案】C【分析】直接把1n =和2n =代入递推关系式求解即可．【详解】解： 数列{}n a 满足11a =，12n n a a n +=+，21213a a ∴=+=，32228a a =+=，故选：C ．2．设R a ∈，直线1:210l ax y +-=，直线22:(1)0l x a y a ++-=，若12l l ⊥，则=a （）A ．1B ．2-C ．23-D ．1或2-【正确答案】C【分析】由题意，根据两直线垂直的性质列方程即可求得a 的值．【详解】R a ∈ ，直线1:210l ax y +-=，直线22:(1)0l x a y a ++-=，12l l ⊥，()1210a a ∴⨯+⨯+=，求得23a =-，故选：C ．3．已知数列{}n a 满足13a =，11n n n a a a +=-，则2023a =（）A ．12-B ．23C ．32D ．3【正确答案】D【分析】根据已知的递推关系式求出数列的前4项，即可发现循环，求出数列的周期，进而求得结果即可．【详解】解：因为数列{}n a 满足13a =，11n n n a a a +=-，所以2111a a a =-，解得223a =，由2321a a a =-，解得312a =-，由3431a a a =-，解得413a a ==，L ，故可得数列{}n a 是周期为3的数列，且前三项为：3，23，12-，因为202367431=⨯+，所以202313a a ==.故选：D4．如图，在四面体PABC 中，E 是AC 的中点，F 是PB 上靠近P 点的四等分点，则FE =（）A ．111232PA PB PC-+B ．111242PA PB PC-+C ．111343PA PB PC ++D ．212343PA PB PC -+ 【正确答案】B【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解．【详解】解：E 是AC 的中点，F 是PB 上靠近P 点的四等分点，则()1111142242FE FP PE PB PA PC PA PB PC =+=-++=-+．故选：B ．5．已知直线*:34560(N )n l x y n n -+-=∈与圆222:(2)(0)n n n C x y a a -+=>，给出下面三个结论：①直线n l 与直线1n l +平行且两直线距离为1；②若直线n l 与圆n C 相切，则22n a n =；③若直线n l 与圆n C 相切，圆1n C +与圆n C 构成的圆环面积最小值为3π．其中正确的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【正确答案】D【分析】由直线*:34560(N )n l x y n n -+-=∈，可得直线1n l +的方程，进而判断两直线的关系，判n a =，进而求得22n a n =，判断②；利用同心圆可求圆环的面积，进而可求圆环面积最小值判断③．【详解】由直线*:34560(N )n l x y n n -+-=∈，可得直线1:345(1)60n l x y n +-++-=，即34510x y n -+-=，∴直线n l 与直线1n l +平行，直线n l 与直线1n l +1=，故①正确；由圆222:(2)(0)n n n C x y a a -+=>，得圆心(2,0)n C ，半径为n a ，若直线n l 与圆n C 相切，n a =，22n a n ∴=，故②正确；圆1n C +与圆n C 是同心圆，且*N n ∈，故圆1n C +与圆n C 构成的圆环面积为221π()π()π(21)3πn n a a n +-=+≥，当且仅当1n =时取等号，故圆1n C +与圆n C 构成的圆环面积最小值为3π，故③正确．故选：D ．6．设椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过原点O 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若||2MN c =，22:1:MF NF =C 的离心率为（）A ．4B ．37C ．12D ．37【正确答案】B【分析】由已知易得四边形12MF NF 是矩形，设2||MF m =，1MF =，进而可得123F F m =，利用212+=MF MF a ，求解即可．【详解】 过原点O 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，MN ∴被O 平分，又12F F 被O 平分，∴四边形12MF NF 是平行四边形，又122MN c F F ==，∴四边形12MF NF 是矩形，22:1:MF NF = ，由对称性可得12MF NF =，∴设2||MF m =，1MF =，123F F m ∴=，23c m ∴=，21223c MF MF a ∴+==，∴c a =．故选：B ．7．关于x4kx =+有唯一解，则实数k 的取值范围是（）A ．2k ≤-或2k ≥B ．2k ≤-或2k ≥或k =C ．2k <-或2k >或k =D ．2k <-或2k >【正确答案】C【分析】将问题转化为曲线y =与4y kx =+有唯一交点，采用数形结合的方式可确定临界状态，结合圆的切线方程的求解方法可求得临界值，结合图形可得结果.4kx =+有唯一解等价于曲线y =4y kx =+有唯一交点，由y =得：()2204y x y +=≥，则其图形为以()0,0为圆心，2为半径的圆的上半部分；4y kx =+为恒过定点()0,4的直线；作出y =与4y kx =+图象如下图所示，由图象可知：当3k k =或4k k =或1k k >或2k k <时，曲线y =与4y kx =+有唯一交点；当直线4y kx =+与圆()2204y x y +=≥2，解得：k =即3k =，4k =又140202k -==+，240202k -==--，∴4kx =+有唯一解时，实数k 的取值范围为2k <-或2k >或k =.故选：C.8．已知曲线22:1C x y x y +=-）ABC ．1D ．1+【正确答案】A【分析】利用222222x y x y x y ++-≤≤【详解】 曲线22:1C x y x y +=-，221()x y x y ∴=-+，又222222x y x y x y ++-≤≤，当且仅当x y =时取等号，2222221()22x y x y x y ++∴-≤-+≤，∴221132x y +≤≤，∴22232x y ≤+≤，∴3≤≤，．故选：A ．二、多选题9．设{},,a b c是空间一个基底，则下列选项中正确的是（）A ．若a b ⊥ ，b c ⊥，则a c⊥ B ．a c + ，b c + ，c a +一定能构成空间的一个基底C ．对空间中的任一向量p ，总存在有序实数组(,,)x y z ，使p xa yb zc=++ D ．存在有序实数对，使得c xa yb=+【正确答案】BC【分析】根据空间向量的基本定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【详解】对于A ，a b ⊥ ，b c ⊥，不能得出a c ⊥ ，也可能是a 、c 相交不一定垂直，选项A 错误；对于B ，假设向量a b +，b c + ，c a + 共面，则()()a b x b c y c a +=+++ ，x 、R y ∈，化简得()(1)(1)x y c x b y a +=-+-r r r，所以a 、b 、c 共面，这与已知矛盾，所以选项B 正确；对于C ，根据空间向量基本定理知，对空间任一向量p，总存在有序实数组(x ,y ,)z ，使p xa yb zc =++，选项C 正确；对于D ，因为{},,a b c 是空间一个基底，所以a 与b 、c不共面，选项D 错误．故选：BC ．10．已知直线:50l x y -+=，过直线上任意一点M 作圆22:(3)4C x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则有（）A ．MA 长度的最小值为2B ．不存在点M 使得AMB ∠为60C ．当MC AB ⋅最小时，直线AB 的方程为210x y --=D ．若圆C 与x 轴交点为,P Q ，则MP MQ ⋅的最小值为28【正确答案】BD【分析】由题知圆C 的圆心为()3,0，半径为2r =，进而根据圆的切线问题依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：由题知圆C 的圆心为()3,0，半径为2r =，对于A ，因为圆心()3,0到直线:50l x y -+=的距离为d ==min MC =min MA =A 错误；对于B ，假设存在点M 使得AMB ∠为60 ，如图，则30∠= AMC ，故在Rt AMC △中，24MC r ==，由A 选项知min 4MC =>，故矛盾，即不存在点M 使得AMB ∠为60 ，故B 正确；对于C ，由于MC AB ⊥,故四边形MACB 的面积为1222MACB MAC S MC AB S MA r MA =⋅==⋅=△，所以，4MC AB MA ⋅=，故当MC AB ⋅最小时，MA 最小，由A 选项知min MA =此时MC l ⊥，//l AB ，即直线AB 的斜率为1，由于直线210x y --=的斜率为12，故C 错误；对于D ，由题知()()1,0,5,0P Q ，设(),5M x x +，则()()()()()221,55,55152430MP MQ x x x x x x x x x ⋅=---⋅---=--++=++ ()2212828x =++≥，当且仅当=1x -时等号成立，故MP MQ ⋅的最小值为28，故D 正确；故选：BD11．已知双曲线()222:10x C y a a-=>，若圆22(2)1x y +-=与双曲线C 的渐近线相切，则（）A ．双曲线CB ．双曲线C 的离心率2e =C ．点P 为双曲线C 上任意一点，点P 到C 的两条渐近线的距离分别为1d ，2d ，则2134d d =D ．直线1y k x m =+与C 交于,A B 两点，点D 为弦AB 的中点，若OD （O 为坐标原点）的斜率为2k ，则123k k =【正确答案】ABD【分析】先根据直线与圆的位置关系求得双曲线C 的标准方程，由双曲线的性质判断AB ，利用点到直线的距离公式化简整理判断C ，将直线与双曲线联立，利用韦达定理求得D 点坐标进而求得2k 判断D.【详解】双曲线()222:10x C y a a-=>的渐近线方程为1y x a =±即0ay x ±=，因为圆22(2)1x y +-=与双曲线C 的渐近线相切，1=，解得a =C 的方程为2231x y -=，选项A ：双曲线C的实轴长23a =，正确；选项B：c ==2c e a ==，正确；选项C ：设P 点为00(,)x y ，则220031x y -=，点P0y x ±=，则2222000012211(3)1334413x y x y d d --==+⎝⎭，错误；选项D ：直线1y k x m =+与双曲线C 联立可得22211(3)210k x k mx m ----=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由韦达定理得1122123k m x x k +=-，所以12112216()23my y k x x m k +=++=-，因为点D 为弦AB 的中点，所以D 点坐标为122113,33k m m k k ⎛⎫⎪--⎝⎭，所以2121121303303ODmk k k k mk k --===--，所以123k k =，正确；故选：ABD12．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列{}n a 满足10a =，11,,n n na n n a a n n +++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则（）A ．46a =B ．()221n n a a n +=++C ．221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数D ．数列{}(1)nn a -的前2n 项和为()1n n +【正确答案】BCD【分析】直接由递推公式求出4a 即可判断A 选项；分n 为奇数或偶数即可判断B 选项；分n 为奇数或偶数结合累加法即可判断C 选项；由分组求和法即可判断D 选项.【详解】对于A ，213243112,24,318a a a a a a =++==+==++=，A 错误；对于B ，当n 为奇数时，1n +为偶数，则211n n a a n ++=++，11n n a a n +=++，可得()221n n a a n +=++；当n 为偶数时，1n +为奇数，则2111n n a a n ++=+++，1n n a a n +=+，可得()221n n a a n +=++，B 正确；对于C ，当n 为奇数且2n ≥时21324312111,2,31,,21,1n n n n a a a a a a aan a an ---=++=+=++=+-+=+- ，累加可得111231211n a a n n =+++++++-++- ()()113121241n n =+++++-+++++- 2211211122222n n n n n +--+---=⋅+⋅=，1n =时也符合；当n 为偶数且2n ≥时21324312111,2,31,,2,11n n n n a a a a a a a an a an ---=++=+=++=+-=+-+ ，累加可得111231211n a a n n =+++++++-+-+ ()()113111242n n =+++++-+++++- 221122222222n n n n n +-++--=⋅+⋅=；则221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，C 正确；对于D ，设数列{}(1)nn a -的前2n 项和为2n S ，则21234212n n n S a a a a a a -=-+-+--+ ，又()()222212211222n n n n a a n ----=-=，()22224212n nS n n n n +=+++=⋅=+ ，D 正确.故选：BCD.本题的关键点在于利用题目中的递推关系式，分n 为奇数或偶数两种情况来考虑，同时借助累加法即可求出通项，再结合分组求和法以及等差数列求和公式即可求得前2n 项和，使问题得以解决.三、填空题13．抛物线22y x =的焦点坐标是______.【正确答案】10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.【详解】因为抛物线方程212x y =，焦点坐标为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，且14p =，所以焦点坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为.10,8⎛⎫⎪⎝⎭14．设点(3,5)A ，点B 和C 分别为直线:220l x y -+=和y 轴上的两动点，则ABC 的周长的最小值为__．【正确答案】【分析】由题可求点A 关于y 轴的对称点M ，A 关于:220l x y -+=的对称点D ，然后利用数形结合即得.【详解】因为点(3,5)A ，则A 关于y 轴的对称点M 为(3,5)-，设A 关于:220l x y -+=的对称点为(),D a b ，则511323522022b a a b -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪-⨯+=⎪⎩，解得5,1a b ==，即()5,1D，所以MC CA =，AB BD =，所以ABC 的周长为MC CB BD ++，则当,,,M C B D 共线时，ABC 的周长的值最小，此时三角形周长为DM ==故15．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，124AA AB ==，E 是1BB 的中点，F 是11A C 的中点，若过A ，E ，F 三点的平面与11B C 交于点G ，则1AG =__________．【正确答案】3【分析】以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -，可设()0,,4G a ，求出平面AEF 的法向量，再根据0AG m ⋅= 求出a ，即可得出答案．【详解】如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -，则)A，)1A ，()0,2,2E，1,42F ⎫⎪⎪⎝⎭，由题可设()0,,4G a ，则()2AE =，1,42AF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,4AG a =- ，设平面AEF 的法向量(),,m x y z =，则201402y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，令x =93,55y z ==，故93,55m ⎫=⎪⎭ ，由()91231055AG m a ⋅=-+-+= ，得43a =，则11,03G A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，13A G ==．16．在数列{}n a 中，如果对任意*n ∈N ，都有211n n n na a a a λ+++-=（λ为常数），则称数列{}n a 为比等差数列，λ称为比公差，现给出以下命题：①若数列{}n c 满足()*12121,1,3,n n n c c c c c n n N --===+≥∈，则该数列不是比等差数列；②若数列满足132n n a -=⋅，则该数列是比等差数列，且比公差0λ=；③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列．其中所有正确的序号是_________；【正确答案】①②【分析】①数列{}n c 为斐波那契数列,根据数列的性质代入211n n n na a a a +++-化简即可判断;②数列为等比数列,所以代入公式211n n n n a a a a +++-化简即可判断;③利用具体数列,代入即可判断;④列举一个等差数列与一个等比数列,代入即可判断.【详解】对于①,数列{}n c 为斐波那契数列,所以21111111n n n n n n n n n n n n n nc c c c c c c c c c c c c c +++--+++++-=-=-≠常数不满足比等差数列的定义,所以①正确;对于②,数列132n n a -=⋅,则1211132322203232n nn n n n n n a a a a +++-+⋅⋅-=-=-=⋅⋅满足比等差数列的定义,所以②正确;对于③,设等比数列11n n a a q -=,则1211111110n n n n n n n n a a a q a q q q a a a q a q +++-+⋅⋅-=-=-=⋅⋅,所以等比数列一定是比等差数列;当等差数列为常数数列时,2111111110n n n n a a a a a a a a +++-=-=-=也是比等差数列,所以③错误;对于④,{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列,所以设,2n n na b n ==则2n n n a b n =⋅所以()()()2121112212122n n n n n n n n n n a a a a n n +++++++⋅+⋅-=-+⋅⋅()()()2221211n n n n n n ++=-=-≠++常数不满足比等差数列的定义,所以④错误.综上可知,①②正确故答案为:①②本题考查了数列的新定义应用,注意理解所给条件,结合等差与等比数列的通项公式及性质判断,可利用特殊数列进行判定错误选项,属于难题.四、解答题17．已知圆C 的圆心在直线1:1y x l =--上，且经过(0,1)A -，(2,1)B -两点．(1)求圆C 的方程；(2)已知过点(0,2)P 的直线2l 与圆C 相交，被圆C 截得的弦长为2，求直线2l 的方程．【正确答案】(1)22(1)(2)2x y -++=(2)0x =或158160x y +-=．【分析】（1）求得线段AB 的中点坐标和斜率，可得AB 的垂直平分线的方程，与直线=1y x --联立，可得圆C 的圆心，求得||AC ，可得圆的半径，进而得到圆的方程；（2）讨论直线2l 的斜率不存在和存在的两种情况，结合弦长公式和点到直线的距离公式，可得所求直线2l 的方程．【详解】（1）线段AB 的中点为(1,1)-，直线AB 的斜率为11020AB k -+==-，所以线段AB 的垂直平分线为1x =，由11y x x =--⎧⎨=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以圆心为(1,2)C -，半径为AC ==所以圆C 的方程为22(1)(2)2x y -++=；（2）当直线2l 的斜率不存在时，则方程为0x =，由220(1)(2)2x x y =⎧⎨-++=⎩，得1y =-，或=3y -，即直线0x =与圆C 相交所得弦长为1(3)2---=，符合题意，当直线2l 的斜率存在时，设直线2l 的方程为2y kx =+，即20kx y -+=，由于圆C 到2l 1=1=，解得158k =-，所以1528y x =-+，即158160x y +-=，综上所述，直线2l 的方程为0x =或158160x y +-=．18．已知函数21()2cos 2f x x =-．(1)求函数()f x 的单调增区间与值域；(2)在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知()0f A =，1b =，ABC 求tan B 的值．【正确答案】(1)单调增区间为ππ,π,Z 2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，值域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)tan 3B =或tan B 【分析】（1）利用二倍角公式化简，再根据余弦函数的性质即可求；（2）先根据()0f A =求出A ，再由面积可得c 边长度，再利用余弦定理可得a 边长度，再利用正弦定理即可得sin B ，从而可得tan B 的值．【详解】（1）211()2cos cos 222f x x x =-=+，令2ππ22πk x k -≤≤，Z k ∈，则πππ2k x k -≤≤，Z k ∈，则()f x 的单调增区间为ππ,π,Z 2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当22πx k =，即πx k =，Z k ∈时，max 13()122f x =+=，当22ππx k =+，即ππ2x k =+，Z k ∈时，min 11()122f x =-+=-，则()f x 的值域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）由()0f A =，1cos 202A ∴+=，1cos 22A ∴=-，0πA << ，022πA ∴<<，2π23A ∴=或4π3，π3A ∴=或2π3，则sin A =，又ABC的面积为2，∴1sin 22bc A =，1b =Q ，2c ∴=，当π3A =时，2222cos 142a b c bc A =+-=+-，a ∴=则ABC为直角三角形，则tan 3B =，当2π3A =时，2222cos 142a b c bc A =+-=++，a ∴=在ABC中，1sin sin 3B =sin B ∴=π02B <<，cos B =则tan 5B =，综上tan B =tan B 19．设首项为112a =的数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足()111n n n n a a n a na ++=+-(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列n n T ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：1211134n S S S +++< ．参考公式：()()222211231216n n n n ++++=++ ．【正确答案】(1)1n n a n =+(2)证明见解析【分析】（1）由已知可得111n n n n a a ++-=，即数列{}n n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，然后求解即可；（2）由参考公式可得()()123n n n n S ++=，则()()()13112112n S n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦，然后累加求和即可．【详解】（1）数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足()111n n n n a a n a na ++=+-.则111n n n n a a ++-=,又112a =，112a =，则数列{}n n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，则()211n n n n a =+-=+1n n a n ⇒=+；（2）由（1）可得1212311n n T n n =⨯⨯⨯=++ ，则2n n n n T =+则()()()()()22221112312312162n n n S n n n n n +=+++++++++=+++ ()()123n n n ++=.则()()()()()133********n S n n n n n n n ⎡⎤==-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦则()()()121113111121223233411112n S S S n n n n +++=-+-++⨯⨯⨯⨯⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭ ()()311322412n n ⎡⎤=-<⎢⎥++⎢⎥⎣⎦.20．已知双曲线22 1.416x y -=(1)过点(1,4)N 的直线与双曲线交于,S T 两点，若点N 是线段ST 的中点，求直线ST 的方程；(2)直线l ：(2)y kx m k =+≠±与双曲线有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴于0(,0)A x ，0(0,)B y 两点．当点M 运动时，求点00(,)P x y 的轨迹方程.【正确答案】(1)30.x y -+=(2)221(0)10025x y y -=≠.【分析】（1）设11(,)S x y ，22(),T x y ，采用“点差法”可求得直线ST 的斜率，即可求得答案；（2）根据直线l ：(2)y kx m k =+≠±与双曲线有唯一的公共点M ，联立方程可得到224(4)m k =-，从而求得点M 坐标，由此表示出过M 且与l 垂直的直线方程，求得00,x y ，化简可得其关系，即可得答案.【详解】（1）设11(,)S x y ，22(),T x y ，则2211222214161416x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得22221212416x x y y --=，即121212124y y x x x x y y -+=⨯-+，因为点(1,4)N 是线段ST 的中点，所以1212214124y y x x -⨯=⨯=-⨯，即直线ST 的斜率为1，所以直线ST 的方程为41y x -=-，即3y x =+,联立方程组2231416y x x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,得236250x x --=，满足0∆>，故直线ST 的方程为30.x y -+=（2）联立方程组22416x y y kx m⎧-=⎨=+⎩,得222(4)2(16)0k x kmx m ---+=，因为直线l ：(2)y kx m k =+≠±与双曲线有唯一的公共点M ，根据双曲线的对称性可知,k m 都不等于0，()()22222Δ444160k k m k m '≠±⎧⎪∴⎨=+-+=⎪⎩，得224(4)m k =-，则244M km k x k m ==--,则4(16M k m y k mm =⨯+=--,所以M 的坐标为416(,k m m--，其中0km ≠，因为过点M 且与l 垂直的直线方程为1614()k y x m k m +=-+，令0y =，得020k x m =-，令0x =，020y m =-，所以2222002224004001600(4)10010044k m x y m m m==+=+=+，故点00(,)P x y 的轨迹方程为.221(0)10025x y y -=≠方法点睛：（1）涉及到弦的中点问题时，一般采用“点差法”解答，较为简便；（2）求动点的轨迹方程时，要能根据题意选择恰当的方法，想法得到动点的坐标之间的变化关系，化简可解.21．已知：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥平面ABCD ，点M 为PD 中点，1PA AD ==．(1)求证：平面MAC ⊥平面PCD ；(2)求点P 到平面MAC 的距离．【正确答案】(1)证明见解析(2)3.【分析】（1）以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，以AP 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出相关向量的坐标，利用向量数量积证明线面垂直，继而可证明结论.（2）利用向量法求得平面MAC 的法向量，根据距离的向量求法求点P 到平面MAC 的距离．【详解】（1）证明：PA ⊥ 平面ABCD ，ABCD 为正方形，以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，以AP 所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系．由已知可得()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()0,0,1P M 为PD 的中点，110,,22M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，所以110,,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()1,0,0CD =- ，()1,1,0AC = ，所以·0AM CD = ，所以AM CD ⊥，又点M 为PD 中点，1PA AD ==，所以AM PD ⊥，PD CD D = ，,PD CD ⊂平面PCD ，AM ∴⊥平面PCD ，又因为AM ⊂平面MAC ,故平面MAC ⊥平面PCD ．（2）设平面MAC 的法向量为(),,n x y z = ，则1100,22·00n AM y z n AC x y ⎧⎧⋅=+=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪⎩+=⎩ ，令1x =，则1,1y z =-=，()1,1,1n ∴=- ，()0,0,1PA =- ，设点P 到平面MAC 的距离为d，3PA n d n ⋅∴== ,∴点P 到平面MAC的距离为3．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点A．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 与椭圆C 交于不同的M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列．椭圆C 上是否存在一点P ，使得四边形OMPN 为平行四边形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)2212x y +=(2)存在，10x ±-=或10x =．【分析】（1）由离心率的值，可得a ，b 的关系，设椭圆的方程，将A 点的坐标代入椭圆的方程，可得b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由四边形OMPN 为平行四边形可得P 的坐标，将P 的坐标代入椭圆的方程，可得参数的关系，求出直线OM ，ON 的斜率之积，由直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列可得参数的关系，进而求出参数的值，即求出直线l 的方程．【详解】（1）由离心率2c e a =，可得222a b =，所以椭圆的方程为：222212x y b b +=，将点A代入椭圆的方程可得：2213144b b+=，解得21b =，所以椭圆的方程为2212x y +=；（2）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：x my t =+，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立2222x my t x y =+⎧⎨+=⎩，整理可得：222()2220m y mty t +++-=，222244(2)(2)0m t m t ∆=-+->，即222t m <+，且12222mt y y m -+=+，212222t y y m -=+，()12122422t x x m y y t m +=++=+，因为四边形OMPN 为平行四边，OP 与MN 互相平分，所以2242,22t mt P m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，因为P 在椭圆上，则2222422122t mt m m ⎛⎫ ⎪-+⎛⎫⎝⎭+= ⎪+⎝⎭，整理可得：2242t m =+，①又因为直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，即122121y y m x x =⋅，即21212x x m y y =，而()()()222221222122221212222222t m my t my t x x mt t m t m mt m y y y y t t t +++--==+⋅+=+---，可得2222t m t =，②由①②可得：22m =，21t =，符合△0>，可得m =，1t =±，所以直线l的方程为：10x -=或10x +=．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，等比数列的性质的应用，属于中档题,本题的关键是韦达定理求得根与系数的关系，求得点P 的坐标，以及表示写了的关系.。

5．若函数
f
(
x)
=
a
ln
x
+
b x
+
c x2
(a
¹
0)
既有极大值也有极小值，则（
）．
A． bc > 0
B． ab > 0
C． b2 + 8ac > 0
D． ac < 0
三、填空题
6．设椭圆 C1
:
x2 a2
+
y2
= 1(a
> 1) ， C2
:
x2 4
+
y2
= 1 的离心率分别为 e1, e2
．若 e2
（1）当 a = e 时，求曲线 y = f ( x) 在点(1, f (1)) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面
积；
（2）若不等式 f ( x) ³ 1 恒成立，求 a 的取值范围．
20．已知椭圆 C 的方程为
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>b
> 0) ，右焦点为 F(
2,0) ，且离心率为
6． 3
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16．已知数列 {an }
满足
a1
=
1
，
an+1
=
ìíîaann
+1, n为奇数, + 2, n为偶数.
（1）记 bn = a2n ，写出 b1 ， b2 ，并求数列{bn} 的通项公式；
（2）求{an} 的前 20 项和.
17．记
Sn
为数列 {an }
的前
n
项和，已知
a1

高二上学期数学期末测试题The document was prepared on January 2, 2021高 二 上 学 期 数 学 期 末 测 试 题一、选择题：1．不等式212>++x x 的解集为 A.()()+∞-,10,1 B.()()1,01, -∞- C.()()1,00,1 - D.()()+∞-∞-,11, 2．0≠c 是方程 c y ax =+22 表示椭圆或双曲线的 条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．不充分不必要3.若,20πθ≤≤当点()θcos ,1到直线01cos sin =-+θθy x 的距离为41,则这条直线的斜率为 B.－1 C.23 D.－334.已知x 的不等式01232>+-ax ax 的解集是实数集 R ,那么实数a 的取值范围是A.0,916 B.0, 916 C.916,0 D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡38,0 5.过点2,1的直线l 被04222=+-+y x y x 截得的最长弦所在直线方程为： A. 053=--y x B. 073=-+y x C. 053=-+y x D. 013=+-y x6.下列三个不等式：①;232x x >+②2,0,≥+≠∈ba ab ab R b a 时、；③当0>ab 时,.b a ba +>+其中恒成立的不等式的序号是 A.①② B.①②③ C.① D.②③7.圆心在抛物线x y 22=上,且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 A ．041222=---+y x y x B ．01222=+-++y x y x C ．01222=+--+y x y xD ．041222=+--+y x y x8.圆C 切y 轴于点M 且过抛物线452+-=x x y 与x 轴的两个交点,O 为原点,则OM 的长是 A ．4 B ． C ．22 D ．29.与曲线1492422=+y x 共焦点,而与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为A ．191622=-x yB ．191622=-y xC ．116922=-x yD ．116922=-y x10.抛物线x y 42-=上有一点P,P 到椭圆1151622=+y x 的左顶点的距离的最小值为A ．32B ．2+3C ．3D ．32-11.若椭圆)1(122>=+m y mx与双曲线)0(122>=-n y nx 有相同的焦点F 1、F 2,P 是两曲线的一个交点,则21PF F ∆的面积是 A ．4B ．2C ．1D ．12.抛物线px y 22=与直线04=-+y ax 交于两点ＡＢ,其中点Ａ坐标为1,2,设抛物线焦点为Ｆ,则|FA |+|FB |= Ａ.7 Ｂ.6 Ｃ.5 Ｄ.4二、填空题13. 设函数,2)(+=ax x f 不等式6|)(|<x f 的解集为-1,2,则不等式()1≤x f x的解集为 14.若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 始终平分圆014222=+-++y x y x 的圆周,则ba11+的最小值为______ 15．若曲线15422=++-a y a x 的焦点为定点,则焦点坐标是 . 16.抛物线x y 22-=上的点M 到焦点F 的距离为3,则点M 的坐标为____________. 三、解答题： 18．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点)221(，M ,其离心率为22,设直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于B A 、两点．Ⅰ求椭圆C 的方程；Ⅱ已知直线l 与圆3222=+y x 相切,求证：OA ⊥OBO 为坐标原点；Ⅲ以线段OA,OB 为邻边作平行四边形OAPB,若点Q 在椭圆C 上,且满足OP OQ λ=O 为坐标原点,求实数λ的取值范围．19．已知圆C y 轴对称,经过抛物线x y 42=的焦点,且被直线x y =分成两段弧长之比为1：2,求圆C 的方程.20. 平面内动点Px,y 与两定点A-2, 0, B2,0连线的斜率之积等于-1/3,若点P 的轨迹为曲线E,过点Q (1,0)-作斜率不为零的直线CD 交曲线E 于点C D 、．1求曲线E 的方程； 2求证：AC AD ⊥；3求ACD ∆面积的最大值．21．已知直线l 与圆0222=++x y x 相切于点T ,且与双曲线122=-y x 相交于A 、B 两点.若T 是线段AB 的中点,求直线l 的方程. 22、设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ,上顶点为A ,过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆与x 轴正半轴Q P 、两点,且PQ AP 58=I 求椭圆离心率e ；II 若过A,F,Q 三点的圆恰好与直线033:=++y x l 相切,求椭圆方程答案一、ABDB A CD D A A C A 二、13. {x|x>21或52≤x }; 14. 4 ; 15.0,±3; 16．－5,25±. 三、17．解：由062322<--+-x x x x ,得0)2)(3()2)(1(<+---x x x x 18．Ⅰ椭圆方程为2212x y +=；Ⅱ见解析Ⅲ22λ-<<且0λ≠．解析试题分析：Ⅰ由已知离心率为22,可得等式222b a =；又因为椭圆方程过点(1M 可求得21b =,22a =,进而求得椭圆的方程； Ⅱ由直线l 与圆2223x y +=相切,可得m 与k 的等式关系即222(1)3m k =+,然后联立直线l 与椭圆的方程并由韦达定理可得122412kmx x k +=-+,21222212m x x k -=+,进而求出=21y y 222212m k k -+,所以由向量的数量积的定义可得→→⋅OB OA 的值为0,即结论得证；Ⅲ由题意可分两种情况讨论：ⅰ当0m =时,点A 、B 原点对称；ⅱ当0m ≠时,点A 、B不原点对称.分别讨论两种情形满足条件的实数λ的取值范围即可.试题解析：Ⅰ222c e a b c a==+离心率,222a b ∴= 222212x y b b ∴+=椭圆方程为,将点(12M ，代入,得21b =,22a =∴所求椭圆方程为2212x y +=．Ⅱ因为直线l 与圆2223x y +=相切,所以=即222(1)3m k =+ 由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩,得222(12)4220k x kmx m +++-=．设点A 、B 的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y ,则122412kmx x k +=-+,21222212m x x k -=+,所以1212()()y y kx m kx m =++=221212()k x x km x x m +++=222212m k k -+,所以1212OA OB x x y y ⋅=+=222212m k -++222212m k k -+=22232212m k k --+=0,故OA OB ⊥, Ⅲ由Ⅱ可得121222()212my y k x x m k +=++=+, 由向量加法平行四边形法则得OA OB OP +=,OP OQ λ=,OA OB OQ λ∴+= ⅰ当0m =时,点A 、B 原点对称,则0λ= 此时不构成平行四边形,不合题意． ⅱ当0m ≠时,点A 、B 不原点对称,则0λ≠,由OA OB OQ λ+=,得12121(),1().Q Q x x x y y y λλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 即224,(12)2.(12)Q Qkm x k m y k λλ-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩点Q 在椭圆上,∴有222242[]2[]2(12)(12)km mk k λλ-+=++, 化简,得222224(12)(12)m k k λ+=+．2120k +≠,∴有2224(12)m k λ=+． ①又222222164(12)(22)8(12)k m k m k m ∆=-+-=+-,∴由0∆>,得2212k m +>． ②将①、②两式,得2224m m λ>0m ≠,24λ∴<,则22λ-<<且0λ≠．综合ⅰ、ⅱ两种情况,得实数λ的取值范围是22λ-<<且0λ≠．19.解：设圆C 的方程为)(2a y x -+22r =, 抛物线x y 42=的焦点()0,1F221r a =+∴ ①又直线x y =分圆的两段弧长之比为1：2,可知圆心到直线x y =的距离等于半径的,21即22r a = ②解①、②得2,12=±=r a 故所求圆的方程为 2)1(22=±+y x20．1223144x y +=(2)x ≠±；2略；31. 解析试题分析：1根据题意可分别求出连线PA ,PB 的斜率PA k ,PB k ,再由条件斜率之积为13列出方程,进行化简整理可得曲线E 的方程,注意点P 不与点,A B 重合.根据斜率的计算公式可求得2PA y k x ,2PB yk x ,所以12223y yx x x ,化简整理可得曲线E 的方程为223144x y +=(2)x ≠±； 2若要证AB AC ,只要证0AB AC ,再利用两个向量数量积为零的坐标运算进行证明即可.那么由题意可设直线BC 的方程为1myx ,1122,,,C x y D x y ,联立直线与椭圆的方程消去x ,可得y 的一元二次方程032)3(22=--+my y m ,由违达定理知33,32221221+-=+=+m y y m m y y ,则12122623x x m y y m ,()()21212243113m x x my my m -+⋅=--=+,又112,ACx y ,222,AD x y ,所以()()()121212*********AC AD x x y y x x x x y y ⋅=+++=++++=,从而可以证明AB AC ；3根据题意可知122111223ACDS AQ y y m △=⋅-=⨯=+,=故当0m =时,ACD △的面积最大,最大面积为1.试题解析：1设动点P 坐标为(,)x y ,当2x ≠±时,由条件得：1223y y x x ⋅=--+,化简得223144x y +=, 故曲线E 的方程为223144x y +=(2)x ≠±. 4分说明：不写2x ≠±的扣1分 2CD 斜率不为0,所以可设CD 方程为1+=x my ,与椭圆联立得：032)3(22=--+my y m 设),(),,(2211y x D y x C , 所以33,32221221+-=+=+m y y m m y y ,. 6分 01323)1(31)()1(),2(),2(2222212122211=+++++-=++++=+⋅+m m m m y y m y y m y x y x ,所以AC AD ⊥ 8分3ACD ∆面积为2222221)3(334394||21+-+=++=-m m m m y y , 10分 当0=m 时ACD △的面积最大为1. 12分考点：1.椭圆的方程；2.向量法证明两直线垂直；3.三角形面积的计算.21．解：直线l 与x 轴不平行,设l 的方程为 a my x += 代入双曲线方程 整理得而012≠-m ,于是122--=+=m amy y y B A T 从而 12--=+=m a a my x T T 即 )1,1(22mam am T -- 点T 在圆上 012)1()1(22222=-+-+-∴mam a m am 即22+=a m ① 由圆心)0,1(-'O .l T O ⊥' 得 1-=⋅'l T O k k 则 0=m 或 122+=a m当0=m 时,由①得 l a ∴-=,2的方程为 2-=x ；当122+=a m 时,由①得 1=a l m ∴±=,3的方程为13+±=y x . 故所求直线l 的方程为2-=x 或 13+±=y x22．解：I ），（）、）（，（），由，（设b A b a c c F x Q 000220-=- 知),(),,(0b x AQ b c FA -==. cb x b cx AQ FA 2020,0,==-∴⊥ .设PQ AP y x P 58),,(11=由,得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+==+=b b yc b x x 135581,138581581201 因为点P 在椭圆上,所以1)135()138(22222=+bb ac b 整理得ac c a ac b 3232222=-=）（，即 02322=-+⇒e e .21=⇒e II 由I,a c a c a c b ac b 21,21;23,3222====得由得 于是AQF a Q a F ∆-),0,23(),0,21(的外接圆圆心为)0,21(a ,半径.21a FQ r ==因为这个圆与直线033:=++y x l 相切,所以a a =+2|321|,解得a =2, ∴c=1,b=3,所求椭圆方程为13422=+y x。

2024北京西城高二（上）期末数 学2024.1本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线3410x y −+=不经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.抛物线26x y =的焦点到其准线的距离等于（ ） A.32B.3C.6D.8 3.在空间直角坐标系O xyz −中，点()4,2,8A −到平面xOz 的距离与其到平面yOz 的距离的比值等于（ ） A.14 B.12C.2D.4 4.在312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为（ ） A.3 B.6 C.9 D.125.在正四面体ABCD 中，棱AB 与底面BCD 所成角的正弦值为（ ）C.13D.36.已知直线,a b 和平面α，且b α⊂，则“直线a ∥直线b ”是“直线a ∥平面α”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设,A B 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的左､右顶点，M 为双曲线E 上一点，且AMB 为等腰三角形，顶角为120，则双曲线E 的一条渐近线方程是（ ）A.y x =B.2y x =C.y =D.y =8.在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（ ）A.12种B.24种C.32种D.36种9.如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，13,4,AB BC CC E ===为棱11B C 的中点，P 为四边形11BCC B 内（含边界）的一个动点.且DP BE ⊥，则动点P 的轨迹长度为（ ）A.5B.10.在直角坐标系xOy 内，圆22:(2)(2)1C x y −+−=，若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A.⎡⎣B.44⎡−−⎣C.22⎡−−−⎣D.22⎡−+⎣第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.过点()2,3A −且与直线30x y ++=平行的直线方程为__________.12.在4(21)x +的展开式中，所有项的系数和等于__________.（用数字作答）13.两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于__________.14.若方程22124x y m m+=+−m 的取值范围是__________；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是__________.15.如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，2,AB E =为棱1BB 的中点，F 为棱1CC （含端点）上的一个动点.给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得1B F ∥平面1A ED ；②不存在符合条件的点F ，使得BF DE ⊥；③异面直线1A D 与1EC 所成角的余弦值为5； ④三棱锥1F A DE −的体积的取值范围是2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 其中所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题10分）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动.（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17.（本小题15分）如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，1,3,4BA BC BC AB AA ⊥===.（1）证明：直线1AB ⊥平面1A BC ；（2）求二面角1B CA A −−的余弦值.18.（本小题15分）已知C 经过点()1,3A 和()5,1B ，且圆心C 在直线10x y −+=上.（1）求C 的方程； （2）设动直线l 与C 相切于点M ，点()8,0N .若点P 在直线l 上，且PM PN =，求动点P 的轨迹方程.19.（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为)，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆22(1)25x y −+=的圆心为,M P 为此圆上一点.（1）求椭圆C 的离心率； （2）记线段MP 与椭圆C 的交点为Q ，求PQ 的取值范围.20.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，AD ⊥平面,PAB AB ∥,DC E 为棱PB 的中点，平面DCE 与棱PA 相交于点F ，且22PA AB AD CD ====，再从下列两个条件中选择一个作为已知.条件①：PB BD =；条件②：PA BC ⊥.（1）求证：AB ∥EF ；（2）求点P 到平面DCEF 的距离；（3）已知点M 在棱PC 上，直线BM 与平面DCEF 所成角的正弦值为23，求PM PC的值. 21.（本小题15分） 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与椭圆C 相交于,A B 两点.已知椭圆C 的离心率为21,2ABF 的周长为8. （1）求椭圆C 的方程；（2）判断x 轴上是否存在一点M ，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线？若存在，求点M 的坐标；若不存在，说明理由.参考答案一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1.D2.B3.B4.D5.B6.D7.A8.C9.B 10.A二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.10x y ++= 12.81 13.414.()(),24,∞∞−−⋃+；()()2,11,4−⋃ 15.①②④注：第14题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，有两个选对且无错选得3分，有一个选对且无错选得2分，其他得0分.三､解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16.（本小题10分）解：（1）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动，选择方法数为310C 120=种.（2）从10名志愿者中选2男1女，选择方法数共有2164C C 60=种，故从10名志愿者中选2男1女，且分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为213643C C A 360=种.17.（本小题15分）解：（1）在直三棱柱111ABC A B C −中，因为1AA ⊥.平面,ABC BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥.又因为1,BA BC BA AA A ⊥⋂=，所以BC ⊥平面11AA B B ，所以1BC AB ⊥.由14AB AA ==，得四边形11AA B B 为正方形.所以11AB A B ⊥.又因为1BC A B B ⋂=，所以1AB ⊥平面1A BC .（2）因为1BB ⊥平面,ABC BA BC ⊥，所以1,,BA BC BB 两两互相垂直，故以B 为原点，1,,BA BC BB 的方向分别为x 轴､y .轴､z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则()()()()114,0,0,0,3,0,4,0,4,0,0,4A C A B .所以()()14,3,0,0,0,4AC AA =−=.设平面1A AC 的法向量为(),,m x y z =，则10,0,m AC m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即430,40.x y z −+=⎧⎨=⎩令3x =，则4,0y z ==.于是()3,4,0m =.由（1）可知：()14,0,4AB =−是平面1A BC 的一个法向量.因为11112cos ,1042||AB m AB m AB m ⋅−===−⨯， 由图可知二面角1B CA A −−的平面角为锐角，所以二面角1B CA A −−的余弦值为10. 18.（本小题15分）解：（1）由题意，设C 的圆心(),1C a a +，半径为r ，则222222(1)(31),(5)(11).a a r a a r ⎧−+−−=⎨−+−−=⎩ 解得：5,5.a r =⎧⎨=⎩ 所以C 的方程为22(5)(6)25x y −+−=.（2）由平面几何，知PMC 为直角三角形，且PM MC ⊥，所以222||||||PM MC PC +=.由PM PN =，得222||||||PN MC PC +=.设(),P x y ，则2222(8)25(5)(6)x y x y −++=−+−.即36140x y −−=，经检验符合题意.所以动点P 的轨迹方程为36140x y −−=.19.（本小题15分）解：（1）由题意，得222212,c ab a b c ===+，所以3,2a b ==，所以椭圆C的离心率3c e a ==. （2）由题意，得5PQ MP MQ MQ =−=−.设()11,Q x y ，则2211194x y +=. 所以MQ ===. 因为[]13,3x ∈−，所以当195x=时，min ||MQ =；当13x =−时，max ||4MQ =.所以PQ 的取值范围为1,55⎡−⎢⎣⎦. 20.（本小题15分）解：选择条件①：（1）因为AB ∥,DC AB ⊄平面,DCEF DC ⊂平面DCEF ，所以AB ∥平面DCEF .又因为AB ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面DCEF EF =，所以AB ∥EF .（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥.又因为,22PB BD PA AB AD CD =====，所以PAB DAB ≅.因此90PAB DAB ∠∠==，即,,AB AD AP 两两垂直.如图，以A 为原点，,,AB AD AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，所以()()()()0,2,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0D C P B .由（1），得AB ∥EF ，且E 为棱PB 的中点，所以点F 为棱PA 的中点.()()1,0,1,0,0,1E F ，故()()()0,0,1,0,2,1,1,0,0FP DF CD ==−=−.设平面DCEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则20,0,DF n y z CD n x ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩取1y =，则0,2x z ==，即()0,1,2n =.所以点P 到平面DCEF 的距离255FP nd n ⋅==. （3）设[],0,1PM PCλλ=∈， 则()()1,2,2,2,2PM PC λλλλλ==−=−.所以()2,2,22BM BP PM λλλ=+=−−.设直线BM 与平面DCEF 所成角为θ，所以||sin |cos ,|||||BM n BM n BM n θ⋅=<>== 23=. 化简，得29610λλ−+=，解得13λ=， 即13PM PC =. 选择条件②：（1）与上述解法相同，略.（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥，又因为,PA BC BC ⊥与AD 相交，所以PA ⊥平面ABCD . 所以PA AB ⊥.即,,AB AD AP 两两垂直.以下与上述解法相同，略.21.（本小题15分）解：（1）由题意，得22248,1,2,a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩ 解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）假设x 轴上存在一点()0,0M x 符合题意.由题意，设直线()()()()1122:10,,,,AB y k x k A x y B x y =+≠.联立方程()221,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y ， 得()22223484120k x k x k +++−=. 所以221212228412,3434k k x x x x k k−+=−=++. 由题意，知直线AM 的斜率存在，且为()11101010AMk x y k x x x x +−==−−， 同理，直线BM 的斜率为()22202010BM k x y k x x x x +−==−−. 所以()()12102011AM BM k x k x k k x x x x +++=+−−()()()()12120120102022k x x x x x x x x x x x x ⎡⎤++−+−⎣⎦=−−. 因为1MF 为AMB 的一条内角平分线，所以0AM BM k k +=.所以()()12120120220k x x x x x x x x ⎡⎤++−+−=⎣⎦.因为上式要对任意非零的实数k 都成立， 所以2220022241288220343434k k k x x k k k−⨯−+⨯−=+++， 解得04x =−.故x 轴上存在一点()4,0M −，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线.。

2022-2023学年甘肃省庆阳市宁县第二中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线132x y-=的纵截距为（ ）A ．2-B ．12-C ．13D ．3【答案】A【分析】根据直线方程即得. 【详解】因为直线132x y-=，令0x =，可得=2y -，所以直线132x y-=的纵截距为2-.故选：A.2．已知直线1:20l ax y +=与直线()2:140l x a y +++=平行，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．23C ．1D ．2-或1【答案】D【分析】由两直线平行的条件直接列式求解，注意检验是否重合． 【详解】由(1)20a a +-=，解得2a =-或1a =，经过验证满足题意. 故选：D.3．已知圆1C ：22(5)(3)9x y -+-=，圆2C ：224290x y x y +-+-=，则两圆的位置关系为（ ） A ．外离 B ．外切C ．相交D ．内切【答案】C【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和与差的关系，判断圆与圆的位置关系． 【详解】圆1C ：22(5)(3)9x y -+-=的圆心为1(5,3)C ，半径13r =，圆2C ：224290x y x y +-+-=，即22(2)(1)14x y -++=，圆心1(2,1)C -，半径2r =两圆的圆心距125C C =353<，即211221r r C C r r -<<+， 所以圆1C 与圆2C 相交. 故选：C4．五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为（ ） A ．12种 B ．48种 C ．72种 D ．120种【答案】C【分析】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节即可得．【详解】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节，方法数为3234A A 72=.故选：C ．5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>224y x =的准线上，则双曲线的顶点到渐近线的距离为（ ）A ．6B ．C ．3D 【答案】D【分析】由题可得ba=6c =，然后根据点到直线的距离公式即得. 【详解】因为224y x =的准线为6x =-，所以双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一个焦点为()6,0-，即6c =，由题意可知ba=b ，所以222436a b a =+=，所以3a =，b =所以顶点()3,0±到渐近线y =故选：D ．6．若圆224x y +=上恰有一个点到直线:0l x y a -+=的距离为1，则a 的值为（ ）A ．±B ．CD ．【答案】A【分析】根据圆的性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】圆224x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径为2，因为圆224x y +=上恰有一个点到直线:0l x y a -+=的距离为1， 所以圆心到直线:0l x y a -+=的距离为3，所以有223321(1)a a =⇒=±+-.故选：A.7．已知数列{}n a 的各项均为正数，若对于任意的正整数p ，q 总有p q p q a a a +=⋅，且627a =，则10a =（ ） A ．81 B ．162 C ．243 D ．486【答案】C【分析】由题意条件能够求出42,a a ，从而10a 可求.【详解】由题意可得，422a a a =⋅，()3642227a a a a =⋅==，所以23a =，49a =， 所以1064279243a a a =⋅=⨯=. 故选：C.8．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，A 为双曲线右支上一点，直线1AF 交y 轴于点M ，原点O 到直线1AF 距离为32a，且12MF AF =﹐则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．5【答案】B【分析】根据定义结合条件2AM a =，取AM 的中点为B ，可得23BF a =，进而可得223c a =，即得.【详解】因为12MF AF =，122AF AF a -=，所以12112AF AF AF MF A a M -=-==，又12MF MF =， 所以122MF AF MF ==，取AM 的中点为B ，连接2BF ，则21BF AF ⊥，因为O 为12F F 的中点，原点O 到直线1AF ，所以2BF ，又2AM a =， 所以1222MF AF MF a ===，所以2222222211934F BF B a c F F a =+=+=，所以223c a =，即e 故选：B.二、多选题9．在8212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，下列说法正确的是（ ）A ．展开式中所有项的系数和为256B ．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128C ．展开式中含x 项的系数为448-D ．展开式中二项式系数的最大项为第四项【答案】BC【分析】令1x =可判断选项A ；所有奇数项的二项式系数和为12n -可判断选项B ；由展开式的通项可判断选项C ； 利用展开式中二项式系数的性质可判断选项D.【详解】对于A ：令1x =，可得展开式中所有项的系数和为()8211-=，故A 不正确； 对于B ：展开式中所有奇数项的二项式系数和为87221282==，故B 正确；对于C ：8212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()()88168238C C 2112kk k k k kk xx x ---⎛⎫=⎝-- ⎪⎭，令1631k -=得5k =，所以展开式中含x 项的系数为()55858C 21568448--=-⨯=-，故C 正确； 对于D ：展开式中共有9项，中间项即为第五项的二项式系数最大，故选项D 不正确. 故选：BC.10．已知1B <，直线l 的方程为10x By -+=，则直线l 的倾斜角可能为（ ） A ．0 B ．π7C ．π2D ．6π7【答案】CD【分析】对B 分类讨论结合斜率与倾斜角的关系即得.【详解】当0B <时，则直线的斜率为10k B =<，所以直线的倾斜角可能为6π7， 当0B =时，则直线的斜率不存在，所以直线的倾斜角为π2，当01B <<时，则直线的斜率为11k B=>，所以直线的倾斜角范围为ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭，不可能为0和π7.故选：CD.11．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ）A ．若任意选择三门课程，选法总数为37A B ．若物理和化学至少选一门，选法总数为1226C CC ．若物理和历史不能同时选，选法总数为3175C C -D ．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为121255C C C -【答案】ABD【分析】若任意选择三门课程，由组合的概念可知选法总数为37C 种，可判断A 错误；若物理和化学至少选一门，由分步乘法计数原理知选法总数为12212525C C C C +种，可判断B 错误；若物理和历史不能同时选，利用间接法可知选法总数为3175C C -种，可判断C 正确；若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D 错误．【详解】对于A ，若任意选择三门课程，选法总数为37C 种，故A 错误对于B ，若物理和化学选一门，有12C 种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有25C 种选法若物理和化学选两门，有22C 种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有15C 种选法由分步乘法计数原理知，总数为12212525C C C C +种选法，故B 错误对于C ，若物理和历史不能同时选，选法总数为3213172575·C C C C C -=-种，故C 正确对于D ，若物理和化学至少选一门，有3种情况， 只选物理不选历史，有1214C C 种选法 选化学，不选物理，有1215C C 种选法物理与化学都选，不选历史，有2124C C 种选法故总数为121221141524610420C C C C C C ++=++=种，故D 错误 故选：ABD12．已知椭圆()2211221110x y a b a b +=>>的离心率为1e ,双曲线()2222222210,0x y a b a b -=>>的离心率为2e ,两曲线有公共焦点12,F F ，P 是椭圆与双曲线的一个公共点，1260F PF ∠=︒，以下结论正确的是（ ）A ．22221122a b a b -=-B ．22123b b =C ．221213144e e += D ．2212e e +的最小值为1【答案】BCD【分析】根据椭圆与双曲线有相同的焦点可判断A ，根据椭圆与双曲线的定义及余弦定理可判断B ；由分析B 中所得结论2221234a a c +=可判断C ；利用“1”的变形及均值不等式即可判断D. 【详解】由题意可得22221122a b a b -=+，所以A 错误；可设P 是第一象限的点，1||PF m =，2||PF n =， 由题可得12m n a +=，22m n a -=，解得12m a a =+，12n a a =-，又222221122a b a b c -=+=， 因为1260F PF ∠=︒，在△12F PF 中，由余弦定理可得2222221212121241cos 222PF PF F F m n c F PF PF PF mn +-+-∠===⋅，化为2221234a a c +=，则22222212123(33)0b b a c c a -=---=，故B 正确； 由2221234a a c +=，可得22122234a a c c +=，即有2222121213113,444e e e e ++==，故C 正确；由22211222222112222221311311()()(13)(4444e e e e e e e e e e +=++=+++≥+，当且仅当2221e ， 取得等号，即有2212e e +的最小值为1，故D 正确．故选：BCD.三、填空题13．10871087A 89A 8A --=_________．【答案】0【分析】根据排列数的定义计算．【详解】10871087A 89A 8A 10!898!8!8!8!0--=-⨯-=-=.故答案为：0.14．已知点()2,1P ，若抛物线24y x =的一条弦AB 恰好是以P 为中点，则弦AB 所在直线方程是_______．【答案】230x y --=【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，得122y y +=，代入抛物线方程相减可得直线AB 斜率，从而得到所求直线方程．【详解】2x =时，y =1>，P 在抛物线内部（含焦点的部分）， 设1122(,),(,)A x y B x y ，122y y +=，由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，相减得22121244y y x x -=-， ∴1212124422y y x x y y -===-+，即2AB k =， 直线AB 方程为12(2)y x -=-，即230x y --=， 故答案为：230x y --=．15．某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院选派5名医生支援，5名医生要分配到3个不同的病毒疫情严重的地方，要求每一个地方至少有一名医生．则有_________种不同的分配方法． 【答案】150【分析】把5名医生分成3组，然后再分配即得. 【详解】根据题意，先把5名医生分成3组再分配，一是分成3,1,1然后分配，共有3353C A 10660⋅=⨯=种分配方法，二是分成2,2,1然后分配，共有22353322C C 30A 690A 2⋅=⨯=种分配方法，所以共有6090150+=种分配方法. 故答案为：150.16．已知圆C 的方程为222x y +=，点P 是直线250x y --=上的一个动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则四边形PACB 的面积的最小值为______【分析】依题意可得122||||2||2PACB PACS SPA AC PA ==⨯⋅=，由点到直线的距离公式结合勾股定理求出||PA 的最小值，即可求得四边形PACB 的面积的最小值； 【详解】解：由圆222x y +=，得到圆心(0,0)C ，半径2r = 由题意可得：PA PB =，PA CA ⊥，PB CB ⊥，122||||2|2PACB PACS SPA AC PA ∴==⨯⋅，在Rt PAC △中，由勾股定理可得：2222||||||2PA PC r PC =-=-， 当||PC 最小时，||PA 最小，此时所求的面积也最小， 点P 是直线250x y --=上的动点， 当PC l ⊥时，||PC 有最小值()22512d +-||3PA =∴所求四边形PACB 236=6四、解答题17．已知圆22:1O x y +=，点()0,2A ，动点P 与点A 的距离等于过点P 所作圆O 2倍． (1)求点P 的轨迹：(2)过点()1,1Q -的直线交点P 的轨迹于B ，C 两点，且弦BC 被Q 点平分，求直线BC 的方程． 【答案】(1)点P 的轨迹为()0,2-10为半径的圆；(2)0x y +=.【分析】（1）设出(),P x y ，根据题意列出方程，化简即得由；（2）根据圆的性质可知BC QM ⊥，然后根据直线垂直的斜率关系及点斜式即得. 【详解】（1）由圆22:1O x y +=，可知圆心为()0,0O ，半径为1， 设(),P x y ，()0,2A ，平方得：222244222x y y x y +-+=+-， 化简得：22460x y y ++-=， 即()22210x y ++=，所以点P 的轨迹为以()0,2-为半径的圆；（2）由上可知点P 的轨迹为()0,2M -为半径的圆， 由圆的性质可知BC QM ⊥，又()1,1Q -， 所以21101QM k -+==-，1BC k =-， 所以直线BC 的方程为()11y x +=--，即0x y +=. 18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n n S =-． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)12n n a -=；(2)221n n -+.【分析】（1）根据n S 与n a 的关系即得；（2）根据等差数列的定义结合条件求出n b ，然后利用分组求和法即得. 【详解】（1）因为21n n S =-， 所以，当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()11121212n n n n n n a S S ---=-=---=，此时11a =也满足上式，所以12n n a -=；（2）因为数列{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列，所以()121n n b a n =+--，即1221n n b n -=+-，12112311223212n n n T b b b b n -=++=+++++++-+++()21211122122n n n n n +-==--++-. 19．已知直线1:210l x y --=和直线2:270l x y ++=相交于点P ，O 是坐标原点，直线3l 经过点P 且与OP 垂直． (1)求直线3l 的方程；(2)求以O 点为圆心10为半径的圆与直线3l 的交点Q 的坐标． 【答案】(1)3100x y ++=； (2)(10,0)-或(8,6)-．【分析】（1）解方程组求得P 点坐标，求出直线斜率后，由点斜式得直线方程并整理； （2）由直线方程设(310,)Q b b --，然后由10OQ =可得．【详解】（1）由210270x y x y --=⎧⎨++=⎩得13x y =-⎧⎨=-⎩，即(1,3)P --，331OP k -==-，∴313l k =-，3l 的方程为13(1)3y x +=-+，即3100x y ++=；（2）设(310,)Q b b --，由10OQ ==，解得0b =或6b =-， 所以Q 点坐标为(10,0)-或(8,6)-．20．已知圆()()22:434C x y -+-=，直线():1l y k x =-，直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点．(1)若PQ l 的方程： (2)若直线l 与直线:20l x y '++=交于点N ，直线l 过定点A ，求证：AM AN ⋅为定值． 【答案】(1)3430x y --=或4340x y --=；(2)证明见解析.【分析】（1）根据圆的弦长公式结合条件即得；（2）根据圆的性质结合平面几何知识可得AM AN AB AC ⋅=⋅，然后根据距离公式即得. 【详解】（1）由圆()()22:434C x y -+-=，可知圆心为()4,3C ，半径为2， 因为2915PQ =，直线():1l y k x =-，即kx y k 0--=， 所以2224391451k k k ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 解得34k =或43k =， 所以直线方程为()314y x =-或()413y x =-， 即3430x y --=或4340x y --=；（2）由直线():1l y k x =-可知直线过定点1,0A ，又()4,3C ，可知30141CA k -==-，又直线:20l x y '++=，l k '=-1， 所以AC l '⊥，如图设AC l B '=，又M 为线段PQ 的中点，直线l 与直线:20l x y '++=交于点N ，所以CM MN ⊥，Rt Rt ABN AMC ∽，所以AB AN AM AC=，即AM AN AB AC ⋅=⋅， 又12322AB +()2241332AC =-+所以9AM AN ⋅=为定值，若直线l 过圆心，则M 与C 重合，N 与B 重合，显然9AM AN ⋅=，综上，9AM AN ⋅=为定值.21．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且()1111,0n n n n a a S S S ++=-=≠．(1)证明：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； (2)求数列2n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T ； 【答案】(1)详见解析；(2)()()2332124n n n +-++.【分析】（1）首先根据1n a +与1,n n S S +的关系得到1111n n S S +-=，即可证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）利用裂项相消法求解n T 即可.【详解】（1）因为11n n n a S S ++=-，()110n n n n a S S S ++=≠，所以11·n n n n S S S S ++-=， 两边同除以·1n n S S +得1111Sn Sn-=-+， 因为11a =-，所以111S =-， 因此数列1Sn ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1-，公差为1-的等差数列； （2）由（1）知1n n S =-，即1n S n=-， ∴()11112222n n n n n S n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭+， ∴111111123242n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111112212n n ⎛⎫=-+-- ⎪++⎝⎭()()2332124n n n +=-++. 22．已知双曲线C 的两个焦点坐标分别为()()122,0,2,0F F -，双曲线C 上一点P 到12,F F 距离差的绝对值等于2．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点()2,1M 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程：(3)已知定点()1,2G ，点D 是双曲线C 右支上的动点，求1DF DG +的最小值．【答案】(1)2213y x -=； (2)6110x y --=；2.【分析】（1）根据双曲线的定义及焦点坐标可得双曲线方程；（2）利用点差法求直线方程；（3）根据双曲线的定义可得12222DF DG DF DG GF ++≥=++，进而即得.【详解】（1）由题可设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>， 由双曲线C 的焦点为()12,0F -，()22,0F ，得2c =，又双曲线C 上一点P 到12,F F 距离差的绝对值等于2，则1a =，所以b 所以双曲线方程为2213y x -=； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则221122221313y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 作差可得2222121203y y x x ---=， 即()()()()1212121203y y y y x x x x +-+--=， 又()2,1M 为AB 的中点，即124x x +=，122y y +=， 代入得12126y yx x -=-，即直线AB 的斜率6AB k =，∴直线l 的方程为()162y x -=-，即6110x y --=，此时由22611033x y x y --=⎧⎨-=⎩可得2331321240x x -+=， 213243312410560∆=-⨯⨯=>，故所求直线为6110x y --=.（3）由题可知122DF DF =-，即122DF DF +=，所以12222DF DG DF DG GF ++≥=++，当且仅当D 在线段2GF 上时等号成立， 又()1,2G ，()22,0F ，()22212+25GF =-= 所以1DF DG +52.。

石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（答案在最后）（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为，则该圆的一般方程为()A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---= D.224440x y x y ++++=4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12B.24C.30D.325.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.146.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.27.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020B.2021C.2022D.20238.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.265C.7010D.3010二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF +=B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为63D.1PF PA +最小值为-11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为1312.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12nk += B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.15.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：y =+，所以直线的斜率为k =，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒.故选：C2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-【答案】B 【解析】【分析】利用在平行四边形ABCD 中有AB DC =，计算即可.【详解】结合题意：设D 的坐标为(),,x y z ，因为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，所以()1,3,3AB =--,()1,2,DC x y z =---- ，因为在平行四边形ABCD 中有AB DC =，所以11323x y z =--⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得253x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以D 的坐标为()2,5,3-.故选：B.3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为)A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---=D.224440x y x y ++++=【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设圆的半径为r ，求出圆心到直线0x y +=的距离，由直线与圆的位置关系可得r 的值，即可得圆的标准方程，变形可得答案.【详解】根据题意，设圆的半径为r ，圆心坐标为()2,2，到直线0x y +=的距离d ==，该圆被直线0x y +=截得的弦长为22216r =+=，则圆的方程为22221)6()(x y -+-=，变形可得224480x y x y +---=，故选：A.4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12 B.24 C.30D.32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．5.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.14【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用列举法求得所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，将一颗骰子先后抛掷2次，第一次所得点数m ,第二次所得点数n ,记为(),m n .1,2,3,4,5,6m =，1,2,3,4,5,6n =，共有6636⨯=种结果，其中满足2n m n <≤的有：(2,1),(3,2),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4)(6,3),(6,4),(6,5)，，共有9种结果，由古典概型的概率计算公式，可得满足2n m n <≤的概率为91364P ==.故选：D.6.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x 0=x 0+2p,得出x 0求得p ，即可得答案．【详解】由题意，3x 0=x 0+2p ，∴x 0=4p ∴222p =∵p ＞0，∴p=2.故选D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．7.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020 B.2021C.2022D.2023【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，利用累加法，即可求解.【详解】由斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则2231375720520211a a a a a a a a a =+++++++++⋅⋅⋅+ 45720216792021a a a a a a a a =++++=++++ 8920212022a a a a =+++== .故选：C.8.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.5C.10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据三棱锥A BCD -的对棱相等可以补成长方体AGBI HCJD -，计算长方体的长宽高，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求得异面直线AE ，CF 所成角的余弦值.【详解】解：三棱锥A BCD -中，由于3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，则三棱锥A BCD -可以补在长方体AGBI HCJD -，则设长方体的长宽高分别为,,AG a AI b AH c ===，则2222222229,9,16a c AC a b AB b c AD +==+==+==，解得1,a b c ===，如图以C 为原点，,,CH CJ CG 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则((()()(1,0,,0,,0,0,0,1,,0,A B C D E ，所以(110,0,,4422AF AD ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则(AE =-，(1,0,0,,1,,2222CF CA AF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos ,10AE CF AE CF AE CF⋅===-⋅，则异面直线AE ，CF所成角的余弦值为10.故选：D .二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立【答案】BC 【解析】【分析】由题意可知摸出的两球的编号可能都是奇数或都是偶数或恰好一个奇数一个偶数，共三种情况，由此可判断,,A B C 之间的互斥或对立的关系，再由古典概型求出(),(),()P AB P A P B 判断是否相互独立可得答案.【详解】由题意知，事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，即摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故事件A ，B 不互斥，故A 错误；事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，即摸出的两球编号为一个奇数和一个偶数，其反面为摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故B ，C 是对立事件，故C 正确；事件A ，C 不会同时发生，故A ，C 是互斥事件，故B 正确；每次摸出两个小球，所有基本事件为：()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,()()()()2,6,3,4,3,5,3,6,()()()4,5,4,6,5,6，共有15个，所以由古典概型可得31()155P A ==，62()155P B ==，31()155P AB ==,所以()()()P AB P A P B ≠，故事件A 与B 不相互独立，故D 错误.故选：BC.10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF += B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为3D.1PF PA +最小值为-【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据椭圆定义求出答案；B 选项，数形结合得到当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，求出最大值；C 选项，由ce a=直接求解即可；D 选项，作出辅助线，结合椭圆定义得到()12PF PA PA PF +=+-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时,2PA PF -取得最小值，得到答案.【详解】A 选项，由题意得2a b c ====，由椭圆定义可得122PF PF a +==A 正确；B 选项，当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，最大值为1212F F b bc ⋅==B 错误；C 选项，离心率3c e a ===，C 正确；D 选项，因为2211162+<，所以点()1,1A 在椭圆内，连接2PF ，由椭圆定义可知12PF PF +=，故12PF PF =，故()122PF PA PF PA PA PF +=-+=-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时，2PA PF -取得最小值，最小值为2AF -==，所以1PF PA +最小值为D 正确.故选：ACD11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为13【答案】ACD 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，可判定A 错误；根据投影向量的求法，可判定B 正确；根据20a b ⋅=≠，可判定C 错误；根据线面角的空间的向量求法，可判定D 错误.【详解】对于A 中，设()(2,4,4)1,2,2(2,1,1)x y --=+-，可得222424x y x y x y -=-⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩，此时，方程组无解，所以向量(2,4,4)--与向量,a b不共面，所以A 错误；对于B 中，由向量()1,2,2,(2,1,1)a b ==-，可得向量b 在向量a 上的投影向量为21244(1,2,2),,33999a ba aa ⋅⎛⎫⋅=⨯⋅= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C 中，若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，因为20a b ⋅=≠ ，所以a 与b不垂直，所以平面α与平面β不垂直，所以C 错误；对于D 中，若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，设直线l 与平面α所成角为θ，其中π02θ≤≤，则·sin cos ,a b a b a b θ===，所以cos 9θ==，所以D 错误.故选：ACD.12.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12n k +=B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-【答案】ABD 【解析】【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k =第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k =第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k =第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得：123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈ 用等比数列求和可得()33132n na -=+则()121331333322n n n a +++--=+=+23322n +=+又()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+所以133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误.123n nS a a a a =++++ 23133332222n n+⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ()231331322nn --=+2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.【答案】310##0.3【解析】【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以{},,a b c为基底，用基向量表示MN ，再空间向量基本定理待定系数即可.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,因为点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点,所以111114152MN A N A M A C A D =-=- ()()11111141415252AC AA A D AB AD AA A D =--=+--()14152AB AD AA AD =+--14345105AB AD AA =+-4345105a b c =+- .又MN xa yb zc =++ ，由空间向量基本定理得，434,,5105x y z ===-，则310x y z ++=.故答案为：310.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.【答案】25##0.4【解析】【分析】分析数据得到三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，得到答案.【详解】10组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为42105=.故答案为：2515.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.【答案】129130【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式，将题目所求的式子中的,n n a b 有关的式子，转化为,n n S T 有关的式子来求解.【详解】原式11111212111111212132333322111292222223212130a a a a Sb b b b T +⨯+==⋅=⋅=⋅=⋅=+⨯+.【点睛】本小题主要考查了等差数列通项公式的性质，考查了等差数列前n 项和公式，考查了通项公式和前n 项和公式的转化.对于等比数列{}n a 来说，若m n p q +=+，则有m n p q a a a a +=+，而前n 项和公式()12n n a a n S +⋅=，可以进行通项和前n 项和的相互转化.属于基础题.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.【答案】(【解析】【分析】利用点差法得到22l b k a=，根据题意和渐近线方程得到l b k a <，故01b a <<，从而求出离心率的取值范围.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得()()()()2212121212b x x x x a y y y y +-=+-，若12x x =，则AB 的中点在x 轴上，不合要求，若12x x =-，则AB 的中点在y 轴上，不合要求，所以2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=-+，因为()1,1P 为AB 的中点，所以1212212y y x x +==+，故22l b k a=，因为()222211,0x y a b a b-=≥>的渐近线方程为b y x a =±，要想直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b -=≥>交于A 、B 两点，则l b k a <，即22b ba a <，解得01b a <<，所以离心率(c e a ==.故答案为：(【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】（1）2100x y +-=；（2）70x y +-=或430x y -=.【解析】【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得.（2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得.【小问1详解】由向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，得直线l 的斜率2k =-，又l 经过点()3,4P ，则l 方程为：()423y x -=--，即：2100x y +-=，所以直线l 的方程为2100x y +-=.【小问2详解】依题意，当直线l 过原点时，而直线l 又过点()3,4P ，则直线l 的方程为43y x =，即430x y -=；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a +=，则有34a +=，解得7a =，即直线l 的方程为70x y +-=，所以直线l 的方程为70x y +-=或430x y -=.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.【答案】（1）（2）11,22⎛+⎝⎭【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长；（2）求出圆心和半径，根据圆心()2,λλ--到y x =的距离大于半径得到不等式，求出答案.【小问1详解】当2λ=时，圆C ：22410x y y ++-=，圆心()0,2C -，半径r =，所以圆心到直线的距离d ==设直线与圆交于A 、B 两点，则弦长AB ==故直线y x =被圆C截得的弦长为【小问2详解】圆C 方程为()()2222221x y λλλλ+-++=⎡-⎤⎣+⎦，22012221122λλλ⎛⎫-+=- ⎪+⎭>⎝恒成立，因为直线y x =与圆C 没有公共点，圆心()2,λλ--到y x =>所以22221λλ>-+，即22210λλ--<，解得：1122λ-<<，故λ的取值范围是11,22⎛+ ⎝⎭.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >，解得：12,2a q ==，所以2n n a =.（Ⅱ）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+,令nn nb c a =,则212n nn c +=，因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++ ,又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ ,两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-.【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4515【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可；（2）应用空间向量法求出二面角余弦.【小问1详解】因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB ⊥.在Rt PAB中可求得AB ==在ABC 中，因为1,2BC AC ==，所以2225AC BC AB +==，所以ACBC ⊥.又PB ⊥平面ABCD ，所以AC PB ⊥.因为PB BC B ⋂=，PB BC ⊂，平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC .又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问2详解】因为,AB AD PB ⊥⊥平面ABCD ，所以分别以,,AD BA BP的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,2,,2,0,0,2,0,0,0,55P C D AD AP ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭.由（1）知AC ⊥平面PBC ，所以,,055AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 为平面PBC 的一个法向量.设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r，可得2020x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2y =，得(n =.设平面PBC 与平面PAD 的夹角为θ，则cos cos ,15n AC n AC n ACθ⋅===.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．【答案】（1）427（2）265432【解析】【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解.（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件A 为“第三局结束乙获胜”由题意知，乙每局获胜的概率为13，不获胜的概率为23．若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．故()121211433333327P A =⨯⨯+⨯⨯=【小问2详解】设事件B 为“甲获胜”．若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率1111224P =⨯=．若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．此时的概率211111112222224P =⨯⨯+⨯⨯=．若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．此时的概率311111111562662263248P =⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．此时的概率41111142666108P =⨯⨯⨯⨯=故()3124265432P B P P P P =+++=22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）根据给定条件，确定椭圆C 过点3(1,)2，再代入求解作答.（2）设出直线l 的方程，与椭圆C 的方程联立，结合韦达定理求出APQ △面积的函数关系，再利用对勾函数的性质求解作答.【小问1详解】依题意，2a =，当直线l 的斜率不存在时，由3PQ =，得直线l 过点3(1,)2，于是219144b+=，解得23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】依题意，直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为()()11221,,,,x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，APQ △的面积121||||2S AD y y =-=218134t ==++，令1u =≥，对勾函数13y u u=+在[1,)+∞上单调递增，则134u u+≥，即4≥，从而189012<≤+，当且仅当0t =时取等号，故APQ △面积的取值范围为90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.。

2022-2023学年江苏省南通市如皋市高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知平面α的一个法向量()13,0,n λ=，平面β的一个法向量()22,1,6n =，若αβ⊥，则λ=（ ） A ．92B ．4C ．1-D ．1【答案】C【分析】根据题意，由面面垂直可得法向量也相互垂直，结合空间向量的坐标运算，代入计算即可得到结果.【详解】因为αβ⊥，则可得12n n ⊥， 且()13,0,n λ=，()22,1,6n =， 则可得660λ+=，解得1λ=- 故选:C2．若直角三角形三条边长组成公差为2的等差数列，则该直角三角形外接圆的半径是（ ） A ．52B ．3C ．5D ．152【答案】C【分析】根据题意，设中间的边为a ，由等差数列的定义，结合勾股定理即可得到a 的值，从而得到结果.【详解】由题意设中间的边为a ，则三边依次为2,,2-+a a a 由勾股定理可得()()22222a a a +=-+，解得8a =或0a =（舍） 即斜边为210a +=，所以外接圆的半径为1052= 故选:C3．已知P 为双曲线22:133x y C -=与抛物线22y x =的交点，则P 点的横坐标为（ ）A ．3B ．2CD ．1-【答案】A【分析】根据给定条件，联立方程组并求解判断作答.【详解】依题意，220x y =≥，则由22223y x x y ⎧=⎨-=⎩解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以P 点的横坐标为3.故选：A4．若直线340x y m ++=与圆2220x y y +-=相切，则实数m 取值的集合为（ ） A ．{}1,1- B ．{}9,1- C ．{}1 D ．{}8,2-【答案】B【分析】根据题意，由直线与圆相切可得d r =，结合点到直线的距离公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由圆2220x y y +-=可得()2211x y +-=，表示圆心为()0,1，半径为1的圆，则圆心到直线340x y m ++=的距离d =因为直线340x y m ++=与圆2220x y y +-=相切，所以d r =1=，解得1m =或9m =-，即实数m 取值的集合为{}9,1- 故选:B5．已知数列{}n a 首项为2，且112n n n a a ++-=，则n a =（ ） A ．2n B ．121n -+ C ．22n - D ．122n +-【答案】D【分析】由已知的递推公式，利用累加法可求数列通项.【详解】由已知得112n n n a a ++-=，12a =，则当2n ≥时，有12111221()()(222)n n n n n n n a a a a a a a a -----=-+-++-=+++，()12121121222222222212n n n n n n n a a --+-=++++=++++==--经检验当1n =时也符合该式．∴122n n a +=-.故选：D6．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，CA CB =，P 为1A B 的中点，Q 为棱1CC 的中点，则下列结论不正确的是（ ）A ．1PQ AB ⊥ B ．AC //平面1A BQ C ．1PQ CC ⊥D ．PQ //平面ABC【答案】B【分析】A 选项可以利用三线合一证明垂直关系，B 选项可利用“线面平行时，直线无论怎么平移不会和平面相交”的性质来判断.C 选项先通过类似A 选项的证明得到线线垂直，结合AC 的结论得到线面垂直后判断，D 选项可以构造平行四边形，结合线面平行的判定证明， 【详解】不妨设棱柱的高为2h ，AC CB x ==.B 选项，根据棱柱性质，11AC //AC ，而11A C ⋂平面11A BQ A =，若AC //平面1A BQ ，无论怎样平移直线AC ，都不会和平面1A BQ 只有一个交点，于是得到矛盾，故B 选项错误；A 选项，计算可得，221QA QB x h ==+P 为1A B 的中点，故1PQ A B ⊥（三线合一），A 选项正确；C 选项，连接11,,QB QA AB ，根据平行四边形性质，1AB 过P ，计算可得，221QA QB x h =+P 为1AB 的中点，故1PQ AB ⊥（三线合一），结合A 选项，1PQ A B ⊥，11AB A B P =，11,AB A B ⊂平面11ABB A ，故PQ ⊥平面11ABB A ，由1AA ⊂平面11ABB A ，故PQ ⊥1AA ，棱柱的侧棱1AA //1CC ，故1PQ CC ⊥，C 选项正确；D 选项，取AB 中点E ，连接,PE CE ，结合P 为1A B 的中点可知，PE 为1ABA △中位线，故PE //1AA ，且112PE AA =，即PE //CQ ，且PE CQ =，故四边形PECQ 为平行四边形，故PQ //CE ，由PQ ⊄平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，故PQ //平面ABC ，D 选项正确. 故选：B7．在数列{}n a 中，若存在不小于2的正整数k 使得1k k a a -<且1k k a a +<，则称数列{}n a 为“k -数列”.下列数列中为“k -数列”的是（ ） A ．n b n = B ．2n n b =C ．9n b n n=+ D ．123n b n =- 【答案】C【分析】利用“k -数列”定义逐项判断可得答案.【详解】对于A ，n b n =，11n b n +=+，1110+=+-=>-n n b b n n ，数列{}n b 是单调递增数列， 所以数列{}n b 不是“k -数列”，故A 错误；对于B ， 2nn b =，112++=n n b ，112220++-=-=>n n n n n b b ，数列{}n b 是单调递增数列，所以数列{}n b 不是“k -数列”，故B 错误；对于C ，对于函数()()90f x x x x=+>，令123x x >>，()()()121212129--=-x x f x f x x x x x ， 因为123x x >>，所以12120,9->>x x x x ，()12121290-->x x x x x x ，所以()()12f x f x >， ()f x 在()3,x ∈+∞上为单调递增函数，令2103<<<x x ，()()()121212129--=-x x f x f x x x x x ， 因为2103<<<x x ，所以12120,09-><<x x x x ，()12121290x x x x x x --<，所以()()12f x f x <，()f x 在()0,3x ∈上为单调递减函数，所以对于9n b n n=+，当23n ≤≤时，有1n n b b -<，当3n ≥时，有1n n b b +<，存在3k =使得数列{}n b 是“k -数列”，故C 正确；对于D ，11b =-，2n ≥时，因为{}23n -的单调递增数列，123⎧⎫⎨⎬-⎩⎭n 是单调递减数列，所以不存在不小于2的正整数k 使得1k k a a -<且1k k a a +<，所以数列{}n b 不是“k -数列”，故D 错误. 故选：C.8．已知O 为坐标原点，A 点坐标为()2,0，P 是抛物线21:2C y x =在第一象限内图象上一点，M 是线段AP 的中点，则OM 斜率的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[)2,+∞C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D．⎛ ⎝⎦【答案】A【分析】设()()22,0>P y y y ，可得()221=+OM y k y ，再利用基本不等式可得答案.【详解】设()()22,0>P y y y ，所以21,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭y M y ，所以()22112141212===≤+⎛⎫++ ⎪⎝⎭OMyy k y y y y ，当且仅当1y y=即1y =时等号成立， 则OM 斜率的取值范围是10,4⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A.二、多选题9．已知正四面体的棱长均为1，分别以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点，在这些向量中两两的数量积可能是（ ） A ．0 B ．12C ．2 D【答案】AB【分析】由[]cos ,cos ,1,1a b a b a b a b ⋅=⨯⨯=∈-，排除C 、D ；取,a AD b BC ==，求出0a b ⋅=；取,a AD b AC ==，求出12a b ⋅=.即可判断A 、B. 【详解】在正四面体ABCD 中，棱长均为1.任意以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点，得到的向量的模长为1. 任取两个向量,a b ，则1a b ==.所以[]cos ,cos ,1,1a b a b a b a b ⋅=⨯⨯=∈-.故C 、D 错误； 取,a AD b BC ==.设BC 中点为E ,连接,AE DE . 因为ABCD 为正四面体，所以,AE BC DE BC ⊥⊥. 因为AEDE E =,AE ⊂面ADE ，DE ⊂面ADE ，所以BC ⊥面ADE .因为AD ⊂面ADE ，所以BC AD ⊥，所以,90a b =︒. 所以cos ,cos900a b a b ⋅==︒=.故A 正确； 取,a AD b AC ==，则,60a b =︒. 所以1cos ,cos602a b a b ⋅==︒=.故B 正确. 故选：AB10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，左，右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一点（异于左，右顶点），且12PF F △的周长为6，则下列结论正确的是（ ） A ．椭圆C 的焦距为1B ．椭圆C 的短轴长为3C ．12PF F △3D ．椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=【答案】BC 【分析】根据12e =，226a c +=解得,,a b c 可判断AB ；设()00,P x y ，由1212012PF F S F F y =知当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，求出面积的最大值可判断C ；假设椭圆C 上存在点P ，设12,PF m PF n ==，求出m n +、mn ，,m n 可看作方程2460x x -+=，求出判别式∆可判断D. 【详解】由已知得12c e a ==，226a c +=，解得2,1a c ==，2223b a c =-=， 对于A ，椭圆C 的焦距为22c =，故A 错误； 对于B ，椭圆C 的短轴长为223b =，故B 正确； 对于C ，设()00,P x y ，12120012==PF F SF F y c y ，当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，此时03==y b ，所以12PF F △面积的最大值为3，故C 正确；对于D ，假设椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=，设12,PF m PF n ==， 所以24m n a +==，22216244m n mn c +=-==，6mn =，所以,m n 是方程2460x x -+=，其判别式16240∆=-<，所以方程无解，故假设不成立，故D 错误. 故选：BC.11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是（ ） A ．异面直线1AB 与CD 所成角的为45 B ．异面直线11A B 与1AC 所成角的为45 C ．直线1AC 与平面11ABB A 所成角的正弦值为33D ．二面角1C AD B --的大小为45 【答案】ACD【分析】利用异面直线所成角的定义可判断AB 选项；利用线面角的定义可判断C 选项；利用二面角的定义可判断D 选项. 【详解】如下图所示：对于A 选项，//CD AB ，则1AB 与CD 所成的角为145BAB ∠=，A 对；对于B 选项，11//AB A B ，所以，1AC 与11A B 所成角为1BAC ∠或其补角，因为2AB =，1BC =1AC ==22211AB BC AC ∴+=，则1AB BC ⊥，所以，11tan BC BAC AB∠==145BAC ∠≠，B 错； 对于C 选项，11B C ⊥平面11AA B B ，故直线1AC 与平面11ABB A 所成角为11B AC ∠， 1AB ⊂平面11AA B B ，则111B C AB ⊥，所以，11111sin B C B AC AC ∠== 因此，直线1AC 与平面11ABB AC 对； 对于D 选项，AD ⊥平面11CC D D ，CD 、1C D ⊂平面11CC D D ，则AD CD ⊥，1AD C D ⊥，所以，二面角1C AD B --的平面角为145CDC ∠=，D 对. 故选：ACD.12．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 是首项和公比均为2的等比数列，将数列{}n a 和{}n b 中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列{}n c ，则下列结论正确的是（ ） A ．1216c = B ．数列{}n c 中n b 与1n b +之间共有12n -项 C ．22n n b a = D ．121n n n b c -+-=【答案】AB【分析】根据题意可得：数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，则21n a n =-，2nn b =，然后根据数列的性质逐项判断即可求解.【详解】由题意可知：数列{}n a 的前n 项和2n S n =，当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-；经检验，当1n =时也满足，所以21n a n =-；又因为数列{}n b 是首项和公比均为2的等比数列，所以2nn b =.则数列{}n c 为：1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,19,21,23,，所以1216c =，故选项A 正确；数列{}n a 是由连续奇数组成的数列，1,n n b b +都是偶数，所以n b 与1n b +之间包含的奇数个数为112222n nn +--=，故选项B 正确；因为2nn b =，则222n n b =为偶数，但1222121n n n a +=⨯-=-为奇数，所以22n n b a ≠，故选项C 错误；因为2nn b =，前面相邻的一个奇数为21n -，令2121n k a k =-=-，解得：12n k -=，所以数列{}n c 从1到2n 共有12n n -+，也即122n nn n c b -+==，故选项D 错误，故选：AB三、填空题13．已知等差数列{}n a 前3项的和为6，前6项的和为21，则其前12项的和为______. 【答案】78【分析】先求得等差数列{}n a 的首项和公差，然后求得前12项和. 【详解】设等差数列的公差为d ，则1133661521a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11a d ==，所以前12项的和为1126678a d +=. 故答案为：7814．以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.已知双曲线C 的共轭双曲线的离心率为3，则双曲线C 的离心率为______.【分析】不妨设双曲线C 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦距为2c ，根据双曲线的离心率公式可得出b =，进而可求得双曲线C 的共轭双曲线的离心率.【详解】不妨设双曲线C 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦距为2c ，则3c a =，可得b =， 所以，双曲线C 的共轭双曲线的实轴长为2b ，虚轴长为2a，焦距为2c =，因此，双曲线C的共轭双曲线的离心率为c b. 15．已知轴截面为正三角形的圆锥顶点与底面均在一个球面上，则该圆锥与球的体积之比为______. 【答案】932##0.28125【分析】根据圆锥、球的体积公式求得正确答案. 【详解】画出轴截面如下图所示， 圆锥的轴截面为正三角形ABC ，设球心为O ，圆锥底面圆心为1O ，球的半径为R ，则圆锥的高为1322R R R +=，底面半径为32R ，所以圆锥与球的体积之比为23133π32294π323R R R ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=⨯. 故答案为：932四、双空题16．摆线是一类重要的曲线，许多机器零件的轮廓线都是摆线，摆线的实用价值与椭圆、抛物线相比毫不逊色.摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线．．）上滚动时，动圆上一点的轨迹.由于采用不同类型的曲线作为基线，产生了摆线族的大家庭.当基线是圆且动圆内切于定圆作无滑动的滚动时，切点P 运动的轨迹就得到内摆线.已知基线圆O 的方程为()2220x y RR +=>，半径为1的动圆M 内切于定圆O 作无滑动的滚动，切点P 的初始位置为(),0R .若4R =，则PO 的最小值为______；若2R =，且已知线段MP 的中点N 的轨迹为椭圆，则该椭圆的方程为______. 【答案】 2 2219144x y += 【分析】根据圆、摆线、椭圆的知识求得正确答案. 【详解】当4R =时，PO 的最小值为21422R -⨯=-=.当2R =时，N 初始位置为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，圆O 的四分之一弧长为12π2π4⨯⨯=，圆M 的半周长为12π1π2⨯⨯=， 所以N 的轨迹过点10,2N ⎛⎫' ⎪⎝⎭， 所以31,22a b ==，椭圆焦点在x 轴上， 所以椭圆方程为2219144x y +=. 故答案为：2；2219144x y +=五、解答题17．如图，PA 是三棱锥-P ABC 的高，线段BC 的中点为M ，且AB AC ⊥，2AB AC PA ===.(1)证明：BC ⊥平面PAM ；(2)求A 到平面PBC 的距离.【答案】(1)证明见解析23【分析】（1）根据已知条件证明BC AM ⊥，PA BC ⊥，由直线与平面垂直的判定定理即可证明. （2）法一：在平面PAM 中，过A 点作AH PM ⊥，证明AH ⊥平面PBC ，再求值即可；法二：A 到平面PBC 的距离，是三棱锥A PBC -的高，利用等体积法求解.【详解】（1）因为AB AC =，线段BC 的中点为M ，所以BC AM ⊥.因为PA 是三棱锥-P ABC 的高，所以PA ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥.因为PA ⊂平面PAM ，AM ⊂平面PAM ，PA AM A =，所以BC ⊥平面PAM（2）法一：（综合法）在平面PAM 中，过A 点作AH PM ⊥，如图所示，因为BC ⊥平面PAM ，AH ⊂平面PAM ，所以BC AH ⊥.因为AH PM ⊥，BC ⊂平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，PMBC M =，所以AH ⊥平面PBC . 在Rt BAC 中，22111442222AM BC AB AC ==++=所以在Rt PAM 中，22426PM PA AM =++ 所以22236PA AM AH PM ⨯==A 到平面PBC 23法二：（等体积法）设A 到平面PBC 的距离为d ，则在Rt BAC 中，22111442222AM BC AB AC ==++在Rt PAM 中，22426PM PA AM ++= 因为PA 是三棱锥-P ABC 的高，所以11142223323P ABC ABC V S PA -=⨯=⨯⨯⨯⨯=△， 11142263323P ABC PB PBC C A V V S d d --==⨯=⨯⨯=△，解得23d =， 所以A 到平面PBC 23. 18．已知等比数列{}n a 的首项为2，前n 项和为n S ，且234230S S S -+=.(1)求n a ；(2)已知数列{}n b 满足：n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)2n n a =(2)()1122n n T n +=-⋅+【分析】（1）根据题意，由234230S S S -+=可得公比q ，再由等比数列的通项公式即可得到结果；（2）根据题意，由错位相减法即可求得结果.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，因为234230S S S -+=，所以()234320S S S S -+-=，所以342a a =，所以2q ，所以112n n n a a q -==.（2）由（1）得，2n n b n =⨯，所以212222n n T n =⨯+⨯++⨯，……① 所以()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，……②①-②，得()()21112122222212212n n n n n n T n n n +++⨯--=+++-⨯=-⨯=-⨯--， 所以()1122n n T n +=-⋅+.19．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，右焦点F 到32x =的距离为12. (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线1y x =-与双曲线C 交于M ，N 两点，求MNF 的面积.【答案】(1)2213y x -= (2)32【分析】（1）由双曲线实轴长为2可得1a =，再利用右焦点F 到32x =的距离为12可得2c =，即可求得双曲线C 的方程；（2）联立直线和双曲线方程容易解出M ，N 两点坐标即可求得MNF 的面积.【详解】（1）设双曲线C 的焦距为()20c c >，因为双曲线C 的实轴长为2，所以22a =，解得1a =.因为右焦点F 到32x =的距离为12，所以3122c -=，解得1c =或2c =. 因为c a >，所以2c =.可得222413b c a =-=-=，所以双曲线C 的方程为2213y x -=. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ， 联立直线和双曲线22113y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩可得()223130x x ---=， 即220x x +-=，1x =或2x =-不妨设11x =，22x =-，所以2130,y y ==-. 所以2121113132222MNF S MF y c x y =⨯=-⨯=⨯⨯=△. 即MNF 的面积为3220．已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且满足______.①22a =，22n n a a +-=；②()21n n S n a =+；③()12n n nS n S +=+.从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题：(1)求n a ；(2)求数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】(1)n a n = (2)13112212n T n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭【分析】（1）当选①时，分n 为奇数，偶数时，分别计算即可得到结果；当选②时，根据n S 与n a 的关系，即可得到结果；当选③时，根据条件得到()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是常数数列，从而得到结果； （2）根据题意，由裂项相消法即可得到结果.【详解】（1）选①因为22n n a a +-=，所以当n 为奇数时，1122n n a a n -=+⨯=； 同理，当n 为偶数时，2222n n a a n -=+⨯=. 所以n a n =.选②因为()21n n S n a =+，（*）所以当2n ≥时，112n n S na --=，（**）（*）-（**），得()11n n n a na --=，即11n n a a n n -=-， 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1的常数列， 所以n a n =.选③因为()12n n nS n S +=+，所以()()()1211n n S S n n n n +=+++，所以数列()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是首项为12的常数列， 所以()12n n n S +=，所以当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=. 当1n =时，也符合上式.所以n a n =.（2）由（1）得，()211111222n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以111111111311123243522212n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 21．三棱柱111ABC A B C 中，112AB AB AA AC ====，120BAC ∠=，线段11A B 的中点为M ，且BC AM ⊥.(1)求证：AM ⊥平面ABC ；(2)点P 在线段11B C 上，且11123B P BC =，求二面角11P B A A --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析313【分析】（1）由AB AM ⊥、BC AM ⊥根据线面垂直的判定定理可得AM ⊥平面ABC ； （2）以A 为原点，以、、AN AC AM 所在的直线为x y z 、、建立空间直角坐标系，求出平面11B AA 、平面1PB A 的一个法向量由二面角的向量求法可得答案.【详解】（1）三棱柱111ABC A B C 中，11//AB A B ，在11AB A △中，11AB AA =，线段11A B 的中点为M ，所以11A B AM ⊥，所以AB AM ⊥； 因为BC AM ⊥，BC ⊂平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，AB BC B ⋂=，AB BC ⊂、平面ABC ，所以AM ⊥平面ABC ；（2）做AN AC ⊥交BC 于N 点，以A 为原点，以、、AN AC AM 所在的直线为x y z 、、建立空间直角坐标系， 则()0,0,0A，)1,0B -，112B -⎝， ()0,2,0C，(M .所以13122AB ⎛=- ⎝，()BC =-，(AM =， 因为111222,033B P B C BC ⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭，所以32P ⎛⎝， 所以32AP ⎛=- ⎝，设平面11B AA 的一个法向量()1111,,n x y z =，则11111113102230n AB x yn AM z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩，解得10z =，令1y 11x =，所以()11,3,0n =，设平面1PB A 的一个法向量()2222,,n x y z =，则222221222306231022n AP y n AB y ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，令2y 23x =，21z =-，所以()23,1n =-，设二面角11P B A A --的平面角为()0180θθ≤≤，则1212126cos cos ,2n n n n n nθ⋅====⨯ 由图知二面角11P B A A --的平面角为锐角，所以二面角11P B A A --22．已知31,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上一点，上、下顶点分别为A 、B ，右顶点为C ，且225a b +=.(1)求椭圆E 的方程；(2)点P 为椭圆E 上异于顶点的一动点，直线AC 与BP 交于点Q ，直线CP 交y 轴于点R .求证：直线RQ 过定点.【答案】(1)2214x y += (2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得22,a b ，从而求得椭圆E 的方程.（2）设出直线BP 的方程，求得点Q 的坐标，联立直线BP 的方程和椭圆E 的方程，求得P 点坐标，进而求得直线PC 的方程，从而求得R 点的坐标，由此求得直线RQ 的方程并确定定点坐标.【详解】（1）因为3P ⎛ ⎝⎭为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上一点，所以221314a b +=. 因为225a b +=，所以2213154b b +=-，整理得42419150b b -+=，解得21b =或2154b =. 当2154b =时，254a =，与a b >矛盾.所以21b =，24a =. 椭圆E 的方程为2214x y +=. （2）设直线BP 的斜率为k ，则:1BP l y kx =-.因为1:12AC l y x =-+， 由1112y kx y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩解得421Q x k =+，2121Q k y k -=+. 因为22114y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以()224140x kx +--=，整理得()221480k x kx +-=， 所以2841P k x k =+，224141P k y k -=+. 所以2222241412141888242241PCk k k k k k k k k k --++===--+---+，所以()21:242PC k l y x k +=---. 令0x =，得2121R k y k +=-. 所以()()222221212121822121414144421212121RQ k k k k k k k k k k k k k k k +--+---+--====-----+++， 所以221:2121RQ k k l y x k k +=-+--. 所以()242:12212121RQ k k k l y x x k k k +=-+=-----. 所以直线RQ 过定点2,1.。

2022-2023学年湖北省黄冈市高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知直线():1340l a x ay a +-++=与y 轴垂直，则a 为（ ） A ．1- B ．0 C ．4- D ．1-或0【答案】A【分析】由直线与y 轴垂直得到方程和不等式，求出a 的值. 【详解】因为():1340l a x ay a +-++=与y 轴垂直， 所以直线l 的斜率为0，所以10a +=，且30a -≠，解得1a =-. 故选：A.2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，24S =，且3214S a a =+，则5S =（ ） A ．40 B ．120 C ．121 D ．363【答案】C【分析】由题目条件求出公比和首项，利用等比数列求和公式求出答案. 【详解】设公比为q ，由3214S a a =+，可得321124a a a a a +=++， 所以323a a =，所以323a q a ==， 由24S =，可得114a a q +=，即144a =，所以11a =，所以()5515113121113a q S q--===--. 故选：C.3．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p 使得2p +是素数，素数对(),2p p +称为孪生素数.从10以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】B【分析】列举出10以内的素数，以及任取两个不同的素数构成的数对，确定孪生素数的个数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】10以内的素数有2、3、5、7，任取两个不同的素数有()2,3、()2,5、()2,7、()3,5、()3,7、()5,7，共6个， 其中孪生素数有()3,5、()5,7，共2个，故所求概率为2163P ==. 故选：B.4．如图，已知空间四边形OABC ，M ，N 分别是边OA ，BC 的中点，点G 满足2MG GN =，设OA a =，OB b =，OC c =，则OG =（ ）A ．111333a b c ++ B ．111633a b c ++C ．111366a b c ++D ．111666a b c ++【答案】B【分析】根据向量的线性运算一步步将向量OG 化为关于OA ，OB ，OC ，即可整理得出答案. 【详解】()12122323OG OM MG OA MN OA MA AB BN =+=+=+++，12112322OA OA OB OA BC ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭， ()12112322OA OA OB OA OC OB ⎡⎤=++-+-⎢⎥⎣⎦， 111633OA OB OC =++， 111633a b c =++. 故选：B.5．已知()1,0A -，()10B ,，若直线()2y k x =-上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则实数k 的取值范围为（ ） A ．33⎡⎢⎣⎦B ．330,3⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦ C ．33⎛ ⎝⎭D ．33,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【分析】根据题意分析可得直线()2y k x =-与圆O ：221x y +=有公共点（公共点不能是A 、B ），结合直线与圆的位置关系分析运算.【详解】若90APB ∠=︒，则点P 在以()1,0A -，()10B ,为直径的圆上（点P 不能是A 、B ）， ∵以()1,0A -，()10B ,为直径的圆的圆心为()0,0O ，半径1r =，则圆O 的方程为221x y +=， 即直线()2y k x =-与圆O ：221x y +=有公共点（公共点不能是A 、B ）， 当直线()2y k x =-与圆O ：221x y +=有公共点时，则()22211k k -≤+-，解得33,33k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；当直线()2y k x =-与圆O ：221x y +=的公共点为A 或B 时，则直线()2y k x =-即为x 轴，即0k =； 综上所述：实数k 的取值范围为33,00,33⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦. 故选：B.6．已知P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，记P 到双曲线左焦点1F 的距离为1d ，P 到双曲线一条渐近线的距离为2d ，若12d d +的最小值等于双曲线的焦距长，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．43y x =±B ．34yx C ．53y x =±D ．45y x =±【答案】A【分析】由双曲线定义得到122d PF a =+，故21222PF d a d d +=++，数形结合得到当点P 为线段2F M 与双曲线的交点时，此时22PF d +取得最小值，从而列出方程，求出43a b =，得到渐近线方程.【详解】由双曲线定义可知：122PF PF a -=， 故122d PF a =+，故21222PF d a d d +=++， 过点2F 作渐近线1:b l y x a=的垂线，垂足为M ，当点P 为线段2F M 与双曲线的交点时，此时22PF d +取得最小值， 最小值即为2F M ，则22221bc a a c b a+=+，解得：22b a c +=，两边平方得：222444b ab a c ++=， 又222+=a b c ， 所以43a b =， 渐近线方程为43b y x x a =±=±. 故选：A 7．已知在大小为3π的二面角l αβ--中，A α∈，B β∈，AC l ⊥于点C ，BD l ⊥于点D ，且22CD DB AC ===，则直线AB 与CD 所成角的余弦为（ ）A ．21111B ．277C ．217D ．12【答案】B【分析】以CD 、BD 为邻边作平行四边形CDBE ，连接AE ，计算出AE 、BE 的长，证明出BE AE ⊥，利用勾股定理可求得AB 的长，即可求解【详解】如下图所示，以CD 、BD 为邻边作平行四边形CDBE ，连接AE ，因为BD CD ⊥，//CE BD ，则CE CD ⊥，又因为AC CD ⊥，AC α⊂，CE β⊂，故二面角l αβ--的平面角为π3ACE ∠=， 因为四边形CDBE 为平行四边形，则2CE BD ==，2BE CD ==，所以在ACE △中，222π2cos3AE AC CE AC CE =+-⋅，则3AE = //BE CD ，则BE CE ⊥，BE AC ⊥，AC CE C =，,AC CE ⊂平面ACE ，故BE ⊥平面ACE ，因为AE ⊂平面ACE ，则BE AE ⊥，故227AB AE BE =+=//BE CD ，所以直线AB 与CD 所成角相当于直线AB 与BE 所成角，即ABE ∠，所以cosABE ∠==， 故选：B8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，22AF F B λ=，且120AF AF ⋅=，椭圆C 的离心率为2，则实数λ=（ ） A ．23B ．2C ．13D ．3【答案】D【分析】设22(0)AF B t t F λ==>，根据椭圆的定义求出1=2AF a t -，1=2aBF a λ-，利用12AF AF ⊥即可求解.【详解】因为22AF F B λ=，设22(0)AF B t t F λ==>，由椭圆的定义可得：12=2AF AF a +，则1=2AF a t -，因为120AF AF ⋅=，所以12AF AF ⊥，所以2221212=AF AF F F +，即222(2)4a t t c -+=，又因为椭圆C所以a =，则有2222(2)42a t t c a -+==， 所以t a =，则2a F B λ=，则2F B aλ=，由12=2BF BF a +，所以1=2aBF a λ-，因为120AF AF ⋅=，所以12AF AF ⊥，所以22211=AF AB BF +，即22221(1)(2)a a a a λλ++=-，解得：3λ=，故选：D .二、多选题9．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A =“第一次出现3点”，B =“第二次的点数小于5点”，C =“两次点数之和为奇数”，D “两次点数之和为10”，则下列说法正确的有（ ）A ．A 与B 不互斥且相互独立 B ．A 与D 互斥且不相互独立C ．B 与C 不互斥且相互独立D ．B 与D 互斥且不相互独立【答案】ABC【分析】根据给定条件，求出事件A ，B ，C ，D 的概率，再利用互斥事件、相互独立事件的定义判断作答.【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次的试验结果有：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)，(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)， (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)， (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共36个不同结果，事件A 所含的结果有：()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6，共6个，事件B 所含的结果有24个，事件C 所含的结果有18个，事件D 所含的结果有：()()()4,6,5,5,6,4，共3个， 因此6124218131(),(),(),()3663633623612P A P B P C P D ========， 对于A ，事件A 与B 都含有(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)，共4个结果，即事件A 与B 可以同时发生， 而41()()()369P AB P A P B ===，A 与B 不互斥且相互独立，A 正确； 对于B ，事件A 与D 不能同时发生，()0()()P AD P A P D =≠，A 与D 互斥且不相互独立，B 正确； 对于C ，事件B 与C 都含有(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3),(5,2),(5,4),(6,1),(6,3)，共12个结果，即事件B 与C 可以同时发生，121()()()363P BC P B P C ===，B 与C 不互斥且相互独立，C 正确； 对于D ，事件B 与D 都含有(6,4)，即B 与D 可以同时发生，121()()()36312P BD P B P D =≠⨯=， 因此B 与D 不互斥且不相互独立，D 错误. 故选：ABC10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且6135S S S <<，121n n n n b a a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T .则下列说法正确的有（ ） A ．90a <，80b >B ．当且仅当9n =时，n S 取得最小值C ．当0n S <时，n 的最大值为17D ．当且仅当8n =时，n T 取得最大值【答案】ABD【分析】由6135S S S <<结合等差数列的角标性质判断ABC ；由裂项相消求和法判断D. 【详解】对于A ：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为6135S S S <<，所以6560S S a -=<， 因为136789101112131070S S a a a a a a a a +-==+++++>，所以100a >.因为1312111098711603594()0a a a a a S a a a a a S -=+++++++=+<，所以1090a a +<.由100a >，1090a a +<可得90,0a d <>，因为890a a d =-<，所以8891010b a a a =>，故A 正确；对于B ：因为90,0a d <>，100a >，所以当且仅当9n =时，n S 取得最小值，故B 正确； 对于C ：()()118910181818022a a a a S ++==<，即当0n S <时，n 的最大值不是17，故C 错误； 对于D ：1211211112n n n n n n n n b a a a d a a a a +++++⎛⎫==- ⎪⎝⎭122323341121212111111111122n n n n n n n T d a a a a a a a a a a a a d a a a a +++++⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为0d >，所以当121n n a a ++最小时，n T 最大.当8n =时，90a <，100a >，此时121n n a a ++最小，即当8n =时，n T 取得最大值，故D 正确；故选：ABD11．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，1CC t =，点Q 是棱1CC 的中点，点P 在底面ABCD 内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）A ．存在点P 使得1//A P 平面11BCC BB ．当2t =时，存在点P 使得直线1A P 与平面ABCD 所成的角为π6C ．当2t =时，满足1A P PQ ⊥的点P 有且仅有两个D ．当23t =时，满足1A P PQ ⊥的点P 43π 【答案】AD【分析】根据直棱柱的性质及面面平行的性质判断A ，建立空间直角坐标系，利用空间向量判断B 、C 、D.【详解】解：如图建立空间直角坐标系D -xyz ，则()12,0,A t ，0,2,2t Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,0,0D ，()2,2,0B ，对于A ：由直棱柱的性质可知平面11//A D DA 平面11B C CB ，当P AD ∈时1//A P 平面11BCC B ，故A 正确；对于B ：当2t =时，设(),,0P x y ，[],0,2x y ∈，则()12,,2P x A y =--， 显然平面ABCD 的法向量可以为()0,0,1n =， 设直线1A P 与平面ABCD 所成的角为θ，则()12122sin 24P n P nx A A y θ⋅==⋅-++，若直线1A P 与平面ABCD 所成的角为π6，则()2221sin 224x y θ==-++，即()22244x y -++=，所以()22212x y -+=，因为[],0,2x y ∈，所以()[]220,4x -∈，[]20,4y ∈，所以()[]2220,8x y -+∈，故不存在[],0,2x y ∈使得()22212x y -+=，即不存在点P 使得直线1A P 与平面ABCD 所成的角为π6，故B 错误；对于C ：由()12,,2P x A y =--，(),2,1PQ x y =--， 因为1A P PQ ⊥，所以()()12220A P PQ x x y y ⋅=--+--=，所以()()22110x y -+-=，所以11x y =⎧⎨=⎩，即()1,1,0P ，所以满足1A P PQ ⊥的点P 有且仅有1个，故C错误； 对于D ：当233t =时，1232,0,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1232,,3A P x y ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,2,3PQ x y ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 因为1A P PQ ⊥，所以()()123322033P PQ x x A y y ⋅=--+--⨯=，即()()224113x y -+-=，由22233133⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭， 又[],0,2x y ∈，则圆心()1,1E ，半径为233的圆与x 轴、y 轴分别交于点31,03M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、30,13N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，如下图所示：过点E 作EF AD ⊥交AD 于点F ，则33MF =，所以1sin 2MF MEF ME ∠==，则π6MEF ∠=，又π4DEF ∠=， 所以π12MED DEF MEF ∠=∠-∠=，所以π26MEN MED ∠=∠=，圆弧MN 的长度π233π639l =⨯=，所以点P 的轨迹长度为43π9，故D 正确；故选：AD12．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，点()2,0T ，直线,AT BT 与抛物线的另一个交点分别为,C D ，则下列说法正确的有（ ） A ．直线CD 过定点()3,0B ．ATB 与CTD △的面积之比为1:4C ．若直线AB ，CD 斜率都存在，且分别为1k ，2k ，则2112k k = D ．ATF △与CTD △的面积之和的最小值为45【答案】BCD【分析】可通过特殊情况，直线l 斜率不存在时求得直线CD 不过定点()3,0，排除A ，也可以通过设出,,AC BD AB 的方程与抛物线方程联立，求得,,,A B C D 纵坐标关系，两点式写出CD 方程，化简整理可得方程过定点()4,0，用,,,A B C D 纵坐标表示两个三角形面积之比，直线AB ，CD 斜率化简可判断B ，C 正确，ATF △与CTD △的面积之和用,,,A B C D 纵坐标表示，化简后利用基本不等式可求得最小值.【详解】当l 与x 垂直时，(1,2),(1,2)A B -，又(2,0)T ， :24=24AT y x BT y x ∴=-+-，：，AT 与抛物线方程联立2244y x y x =-+⎧⎨=⎩，得(4,4)C -，BT 与抛物线方程联立2244y x y x =-⎧⎨=⎩，得(4,4)D ， :4CD x ∴=，不过定点()3,0，所以A 错误.如图：设11223344(,),(,)(,)(,)A x y B x y C x y D x y ，CD 交x 轴于E ，设222,4x ty AC x ty y x =+⎧=+∴⎨=⎩：，得2480y ty --=，则131388,y y y y -=-=， 设222,4x my BD x my y x =+⎧=+∴⎨=⎩：，得2480y my --=， 则242488,y y y y -=-=， 设211,4x ny AB x ny y x=+⎧=+∴⎨=⎩：，得2440y ny --=，则121244,y y y y -=-=， 123434348864()()4,16,y y y y y y y y --∴===-=- 直线CD()()()()()34444434223434344:14y y x x x x x x y y y y x x y y y y -----=-==-+- ()()()()24443444344343434444x x x x y y y x x y y y y y y y y y y y --++-++∴=+==+++443434344()1644164(4)x x x x x y y y y y y --+--===+++，所以直线CD 过定点()4,043123434434334438()881()11()44121()2()2164()2ATB DTCy y y y FT y y y y S Sy y y y y y y y TE -----⋅⋅-⋅--======-⋅-⋅--⋅， 所以B 正确.()()4322214343432212221143212143211414y y y y x x y y y y k x x y y k x x y y y y y y x x ------==⋅=⋅------ 214343434388281y y y y y y y y y y ++-==++⋅-==-, 所以C 正确.1431112()22ATF CTD SSy y y +=⨯⨯+⨯⨯-1433333318162022y y y y y y y y ---=+-=⨯+-=-, 333200,ATFCTDy SSy y -<∴+=-≥所以D 正确. 故选：BCD三、填空题13．{},,a b c 是空间向量的一组基底，2OA a mb c =++，2OB a b =+，OC a b c =++，已知点O 在平面ABC 内，则m =______. 【答案】3【分析】根据空间向量共面定理可得存在λ与μ 使得OC OA OB λμ=+,从而可求解. 【详解】因为点O 在平面ABC 内，所以OA ，OB ，OC 共面， 所以存在λ与μ 使得OC OA OB λμ=+,即()()()()2222a b c a mb c a b a m b c λμλμλμλ++=++++=++++，所以21211m λμλμλ+=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，解得113m λμ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩.故3m =. 故答案为:3.14．已知圆C 被直线l 所截得的两段圆弧的弧长之比为1:2，且圆C 上恰有三个不同的点到直线l 的距离为1，则直线l 被圆C 所截得的弦长为______. 【答案】23【分析】设圆C 的半径为r ，作出图形，计算出圆心C 到直线l 的距离为为2r，根据题意可得出关于r 的等式，解出r 的值，利用勾股定理可求得直线l 被圆C 所截得的弦长.【详解】设圆C 的半径为r ，因为圆C 被直线l 所截得的两段圆弧的弧长之比为1:2， 则劣弧所对的圆心角为120，所以，圆心C 到直线l 的距离为120cos22rd r ==， 将直线l 平移，使得平移后的直线与直线l 之间的距离为1，如下图所示：假设平移后的直线为1l 、2l ，则这两条直线一条与圆C 相切，一条与圆C 相交， 不妨设直线1l 与圆C 相切，则直线l 与1l 之间的距离为12rr -=，可得2r =， 所以，直线l 截圆C 所得弦长为222232r r ⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：2315．已知1F ，2F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，焦距为8，过1F 的直线与该椭圆交于M ，N 两点，若MN 的最小值为185，则2F MN 周长为______.【答案】20【分析】根据焦距为8，MN 的最小值为185可得：4c =，5a =，结合椭圆的定义进而求解. 【详解】由题意可知：2222282185c b a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得：4c =，5a =， 由椭圆的定义可得：2F MN 周长为420a =，故答案为：20.16．已知{}n a 的前n 项和为n S ，()()1221n n n n a a n +++-=，50600S =，则12a a +=______.【答案】12-【分析】根据题意令43,n k k =+∈N 和44,n k k =+∈N ，代入整理可得4645444378k k k k a a a a k ++++++=++，利用并项求和结合等差数列求和运算求解.【详解】当43,n k k =+∈N 时，则()()()143222n n k k +=++为偶数，()()()()1222452n n k k ++=++为偶数， 可得()()4543122143k k n n n n a a a a k +++++-==++，()()()122314644144n n n n k k a a a a k +++++++-+==+，两式相加可得：4645444378k k k k a a a a k ++++++=++，故()()()()5012501234567891047484950......S a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++=++++++++++++++ ()()()()12121212795715 (956126002)a a a a a a +=+++++=++=++=，解得1212a a +=-. 故答案为：12-.【点睛】方法点睛：本题中出现()()121n n +-，故应讨论()12n n +的奇偶性，根据题意把相邻的四项合并为一项，组成一个新的数列，再进行求和运算，同时注意对12a a +的处理.四、解答题17．某公司招聘考试分笔试与面试两部分进行，每部分成绩只记“合格”与“不合格”，两部分成绩都合格者则被公司录取.甲、乙、丙三人在笔试部分合格的概率分别为45，23，34，在面试部分合格的概率分别为12，23，35，所有考试是否合格相互之间没有影响.(1)假设甲、乙、丙三人都同时参加了笔试和面试，谁被录取的可能性最大?(2)当甲、乙、丙三人都参加了笔试和面试之后，不考虑其它因素，求三人中至少有一人被录取的概率.【答案】(1)丙 (2)4960【分析】（1）记甲、乙、丙三人被录取分别为事件A ，B ，C ，且A ，B ，C 相互独立，甲、乙、丙三人被录取即三人即通过笔试部分又通过面试部分，由独立事件概率的乘法公式计算得出()P A ，()P B ，()P C ，比较概率的大小即可得出答案；（2）记三人中至少有一人被录取为事件D ，则D 与A B C 互为对立事件，从而根据对立事件的计算公式与独立事件概率的乘法公式计算得出答案.【详解】（1）记甲、乙、丙三人被录取分别为事件A ，B ，C ，则A ，B ，C 相互独立，则()412525P A =⨯=，()224339P B =⨯=，()3394520P C =⨯=，()()()P A P B P C <<，∴丙被录取的可能性最大.（2）记三人中至少有一人被录取为事件D ， 则D 与A B C 互为对立事件，()()()()()24949111111592060P D P C P P P C A B A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=----= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.18．已知直线()1:2220l a x y a ---=，2:410l x ay a -+-=，且12l l ∥. (1)求1l 与2l 之间的距离；(2)一束光线从()2,3P 出发经1l 反射后平行于x 轴射出，求入射光线所在的直线方程.【答案】(2)43170x y +-=【分析】（1）由平行条件得出a 的值，再由距离公式求解；（2）由()2,3P 关于1l 的对称点()00,P x y '得出反射光线的方程，并与直线1l 联立得出入射点，进而由两点式写出方程.【详解】（1）由12l l ∥可得：()()()22140a a -⋅---⋅=，解得：2a =或1- 当1a =-时，1:420l x y --+=，2:420l x y +-=，此时1l 与2l 重合，舍去 当2a =时，1:240l x y --=，2:4210l x y -+=，此时12l l ∥，符合题意故1l 与2l 之间的距离为d ==（2）设()2,3P 关于1l 的对称点为()00,P x y '，则000032122324022y x x y -⎧⋅=-⎪-⎪⎨++⎪--=⎪⎩解得：0022595x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴229,55P '⎛⎫⎪⎝⎭ 联立24095x y y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：291095x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴入射点为299,105⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故入射光线所在的直线方程为9335292210y x --=--，即43170x y +-=. 19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，223a =，数列(){}423n n nS n a ++是等差数列. (1)求证数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列；(2)求n S .【答案】(1)证明见解析(2)9691443nn +⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意结合等差数列的通项公式整理可得23944n n n S a n +=-+，由n a 与n S 的关系整理得()11231n n a a n n n -=⋅≥-，根据等比数列的定义分析理解； （2）根据等比数列通项公式可得13n n na -=，法一：根据题意直接代入运算；法二：利用错位相减法求和；法三：整理可得()19919911243243nn n a n n +⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+-++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，利用裂项相消法求和.【详解】（1）对于等差数列(){}423n n nS n a ++可得：当1n =时，则11459S a +=；当2n =时，则22128781518S a a a +=+=； ∴(){}423n n nS n a ++是以9为首项，9为公差的等差数列， 则()()4239919n n nS n a n n ++=+-=，即23944n n n S a n +=-+①， 当2n ≥时，1219444n n n S a n -+=-+-②， -①②得：12321444n n n n n a a a n n -++=-+-，整理得：()11231n n a a n n n -=⋅≥-，且1101a =≠，∴n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，13为公比的等比数列.（2）方法一：由（1）可知，1113n n a n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则13n n na -=， ∴11239239923144434443n n n n n n n n S a n n --+++⎛⎫=-+=-⋅+=-⋅ ⎪⎝⎭；方法二：由（1）可知，1113n n a n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则13n n na -=， ()0122111111123133333n n n S n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，()12311111111231333333n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②， -①②得：0121211111333333n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1113131133111323322313n n n n nn n n ⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-=--=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， ∴1333192312223443nn n n S n -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-⋅⎢⎥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦； 方法三：由（1）可知，1113n n a n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则13n n na -=， 设()()111133nn n a An B A n B +⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+-++ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭22111333333nnAn B A n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，比较系数得：23321033A B A ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得：9294A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴()19919911243243n n n a n n +⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+-++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭∴(121223991991991991991912232432432432432432...nn n S a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡=++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯+⨯++-+⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝-+⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣-++9691443nn +⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 20．在如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，在梯形ABEF 中，//AF BE ，AF AB ⊥，22AB BE AF ===，平面ABEF ⊥平面ABCD .(1)证明：BD ⊥平面ACF ；(2)若直线DA 与平面ACF 所成的角为60°，求平面ACF 与平面CEF 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 6【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，从而得到AF BD ⊥，结合BD AC ⊥，得到线面垂直； （2）在第一问的基础上，得到直线DA 与平面ACF 所成的角为DAO ∠，故60DAO ∠=︒，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解两平面夹角的余弦值.【详解】（1）证明：∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，AF AB ⊥，AF ⊂平面ABEF ，平面ABEF ⋂平面ABCD AB =，∴AF ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ， ∴AF BD ⊥，∵四边形ABCD 为菱形， ∴BD AC ⊥， 又AFAC A =，,AF AC ⊂平面ACF ，∴BD ⊥平面ACF ； （2）设ACBD O =，由（1）可知，DO ⊥平面ACF ，则直线DA 在面ACF 内的射影为OA ，故直线DA 与平面ACF 所成的角为DAO ∠， ∴60DAO ∠=︒，ACD 和ACB △均为边长为2的等边三角形，以O 为原点，OC ，OB 为x ，y 轴建立空间直角坐标系，如下图：由BD ⊥平面ACF ，可得平面ACF 的法向量为()10,1,0n =，而()1,0,0C ，()1,0,1F -，()0,3,2E ， ∴()2,0,1CF =-，()1,3,2CE =-，设平面CEF 的法向量()2,,n x y z =，则2220320n CF x z n CE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1x =，可得2,3z y ==-，故()21,3,2n =-， ∴平面ACF 与平面CEF 夹角的余弦值为12121236cos ,41134n n n n n n -⋅===⋅++⋅. 21．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上.设外围第一个正方形1111D C B A 的面积为11a =，往里第二个正方形2222A B C D 的面积为2a ，…，往里第n 个正方形n n n n A B C D 的面积为n a .(1)求{}n a 的通项公式； (2)已知{}n b 满足()2*12122N n nb b b n n n a a a ++⋅⋅⋅+=-∈，问{}n b 是否存在最大项?若存在，求出最大项；若不存在，请说明理由.【答案】(1)()1*5N 9n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭(2)存在，23259b b ==【分析】（1）由图形可得222=+即159n n a a +=，则{}n a 为等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可； （2）当2n ≥时，()()2121121211n n b b b n n a a a --++⋅⋅⋅+=---，结合题设条件可得43n nb n a =-，从而得出n b ，然后利用数列的单调性求出结果. 【详解】（1）由图形可得：222=+，即159n n a a +=∴{}n a 是以1为首项，59为公比的等比数列∴()1*5N 9n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭.（2）212122n nb b bn n a a a ++⋅⋅⋅+=-① 当1n =时，111b a =，∴11b = 当2n ≥时，()()2121121211n n b b b n n a a a --++⋅⋅⋅+=---② -①②得，43n nb n a =-，∴()()154329n n b n n -⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭经检验，当1n =时，11b =也满足上式，∴()()1*543N 9n n b n n -⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭令()()()()11541541919435439nn n n n n b b n n +-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==>-⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得：2n < ∴当1n =时，21b b >；当2n =时，32b b =；当3n ≥时，1n n b b +< ∴当2n =或3时，n b 的最大项为23259b b ==. 22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且124A A =，椭圆C 的一条以11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦所在直线的方程为3240x y +-=. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 为直线4x =上一点，且P 不在x 轴上，直线1PA ，2PA 与椭圆C 的另外一个交点分别为M ，N ，设12PA A △，PMN 的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最大值，并求出此时点P 的坐标. 【答案】(1)22143x y += (2)43，()4,3P ±【分析】（1）由点差法得出2234b a =，进而由1224A A a ==得出椭圆C 的方程； （2）设()()4,0P t t ≠，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线1PA （2PA ）与椭圆方程，求出1y ，2y ，再由面积公式结合相似三角形的性质得出()()()2212222739t t S S t ++=+，令29m t =+，由二次函数的性质得出12S S 的最大值以及点P 的坐标. 【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得，()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+--=，所以2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=--+，即2222AB y b k x a ⋅=-中中 即223122b a-⋅=-，∴2234b a =又1224A A a ==，所以2a =，b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）设()()4,0P t t ≠，()11,M x y ，()22,N x y 则1PA ：()26ty x =+，2PA ：()22t y x =- 联立22623412x y t x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，消去x 得()2212182718027t t y ty y t +-=⇒=+ 同理，联立22223412x y t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消去x 得()222263603t t y ty y t -++=⇒=+第 21 页 共 21 页 所以121212121sin 0021sin 2PA PA P PA PA S t t S PM PN t y t y PM PN P ∠--==⋅=⋅--∠ ()()()22222222731869273t t t t t t t t t t ++==-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭. 令299m t =+>，则()()2212221861210811110812109m m S m m S m m m m m +-+-⎛⎫⎛⎫===-++<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当()112110,2108189m ⎛⎫=-=∈ ⎪⨯-⎝⎭，即18m =，即3t =±时，12S S 取得最大值43. 综上所述，当()4,3P ±时，12S S 取得最大值43.。

2022-2023学年贵州省遵义市高二上学期期末数学试题一、单选题110y -+=的倾斜角为（ ）A ．π4B ．π6C ．π3D ．2π3【答案】C【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求.【详解】10y -+=为1y =+，所以直线的斜率k =θ，则tan θ0πθ≤<，π3θ∴=. 故选：C.2．抛物线24y x =的准线方程为 A ．1x = B ．2x = C ．=1x - D ．2x =-【答案】C【分析】由抛物线标准方程知p ＝2，可得抛物线准线方程． 【详解】抛物线y 2＝4x 的焦点在x 轴上，且2p=4,2p=1， ∴抛物线的准线方程是x ＝﹣1． 故选C ．【点睛】本题考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，属于基础题． 3．已知向量(1,),(2,1)a x b =-=，若a b ⊥，则x 的值为（ ） A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2【答案】D【分析】根据题意可得0a b ⋅=，进而求出x 的值. 【详解】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=， 即1210x -⨯+⋅=，解得2x =， 故选：D.4．已知正实数a 、b 满足1a b +=，则12a b+的最小值为（ ）A ．3+B ．3C ．2+D ．4【答案】A【分析】利用基本不等式“1”的妙用，可得答案.【详解】由0,0a b >>，则()12122123b aa b a b a b a b⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当2b aa b=，即1,2a b ==- 故选：A.5．若0.53log 10,3,ln10a b c ===，则（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．a c b >>D ．b a c >>【答案】B【分析】将3log 10、0.53与2比较可得a b >，将ln10、3log 10用换底公式变换后构造函数，研究其单调性比较即可.【详解】∵33log 10log 92a =>=，0.532b ===，∴a b >， 又∵1ln10lg e =，31log 10lg3=，0lge lg3<<， ∴11lg e lg 3>，即：3ln10log 10>，∴c a >， ∴c a b >>. 故选：B.6．已知两条直线1:10l ax y +-=和2:10(R)l x ay a ++=∈，下列不正确的是（ ） A ．“a ＝1”是“12l l ∥”的充要条件B ．当12l l ∥C ．当2l 斜率存在时，两条直线不可能垂直D ．直线2l 横截距为1 【答案】D【分析】由直线平行关系可以判断A 正确；利用平行线间距离公式可以判断B 正确；利用垂直关系可以判断C 正确；令0y =可以求出直线2l 得横截距. 【详解】当12l l ∥时，11a a ⋅=⨯，则1a =±， 当1a =-时，直线1l 与2l 重合，故舍去，所以A 正确；当1a =时，12l l ∥，1:10l x y +-=和2:10(R)l x y a ++=∈间的距离为2211211d --==+，所以B 正确；若12l l ⊥，则110a a ⋅+⋅=，则0a =， 又当2l 斜率存在时，0a ≠，所以C 正确；2:10(R)l x ay a ++=∈，令0y =得=1x -，所以直线2l 横截距为-1，所以D 错误. 故选：D.7．已知函数()f x 的图象如下图所示，则(|1|)f x +的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先由函数()f x 的图象变换得到偶函数()f x 的图象，再根据平移变换得到(|1|)f x +的图象. 【详解】在y 轴左侧作函数()f x 关于y 轴对称的图象，得到偶函数()f x 的图象， 向左平移一个单位得到(|1|)f x +的图象. 故选：A.8．投掷一枚均匀的骰子，记事件A ：“朝上的点数大于3”，B ：“朝上的点数为2或4”，则下列说法正确的是（ ） A ．事件A 与事件B 互斥 B ．事件A 与事件B 对立 C ．事件A 与事件B 相互独立 D ．()56P A B +=【答案】C【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念结合事件A 与事件B 的基本事件可判断A ，B ；根据独立事件的概率公式可判断C ；求出事件A B +的概率可判断D.【详解】对于A ，B ，事件A ：“朝上的点数大于3”，B ：“朝上的点数为2或4”，这两个事件都包含有事件：“朝上的点数为4”，故事件A 与事件B 不互斥，也不对立，A ，B 错误； 对于C ，投掷一枚均匀的骰子，共有基本事件6个，事件A ：“朝上的点数大于3”包含的基本事件个数有3个，其概率为1()2P A =, B ：“朝上的点数为2或4”，包含的基本事件个数有2个，其概率为1()3P B =, 事件AB 包含的基本事件个数有1个，其概率为1()6P AB =, 由于()()()P AB P A P B =,故事件A 与事件B 相互独立，C 正确；对于D ，事件A B +包含的基本事件个数有朝上的点数为2,4,5,6共4个， 故()4263P A B +==，D 错误， 故选：C二、多选题9．已知函数()221f x x x =+，则（ ） A ．函数f （x ）为偶函数B ．函数f （x ）的定义域为(,0)(0,)-∞+∞C ．函数f （x ）的最小值为2D ．函数f （x ）在（0，＋∞）单调递减 【答案】ABC【分析】对于A ：根据偶函数的定义即可判断；对于B ：分母不为0即可判断；对于C ：根据基本不等式即可判断；对于D ：求导即可判断.【详解】对于A ：()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，关于原点对称，而()()222211()()f x x x f x x x-=-+=+=-，所以()f x 为偶函数.故A 正确； 对于B ：20,0x x ≠∴≠，()f x ∴的定义域为(,0)(0,)-∞+∞.故B 正确；对于C ：()2212f x x x =+≥，当且仅当221x x =，即1x =±时，等号成立，故()f x 的最小值为2.故C 正确；对于D ：433222()2x f x x x x-'=-=，当0x >时，令()0,f x '>即4220x ->，解得1x >，令()0,f x '<即4220x -<，解得01x <<，()f x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.故D 错误.故选：ABC.10．已知函数()1sin22f x x x =，则（ ）A ．函数f （x ）的最小正周期为πB ．将函数f （x ）的图象向右平移3π个单位后的图象关于y 轴对称 C ．函数f （x ）的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数f （x ）在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】AD【分析】运用辅助角公式化简、图象平移变换，再研究其周期性、奇偶性、对称性及单调性即可.【详解】1π()sin 22sin(2)23f x x x x ==+，对于A 项，2π2ππ|||2|T ω===，故A 项正确； 对于B 项，()f x 的图象向右平移π3个单位后为πππ()sin(2())sin(2)333g x x x =-+=-， 所以ππ()sin(2)sin(2)()33g x x x g x -=--=-+≠，所以图象不关于y 轴对称.故B 项错误；对于C 项，因为πππ2π362k x k x +=⇒=-+，Z k ∈，所以()f x 的对称中心为ππ(,0)62k -+，Z k ∈，当πππ626k -+=时，2Z 3k =∉，所以π(,0)6不是()f x 的对称中心.故C 项错误； 对于D 项，因为ππ(,)62x ∈，则π2π4π2(,)333x +∈，π()sin(2)3f x x =+，令π23t x =+，则sin y t =，2π4π(,)33t ∈，因为sin y t =在2π4π(,)33上单调递减，所以()f x 在ππ(,)62上单调递减.故D 项正确.故选：AD.11．已知直线l ：10x y ++=，点P 为⊙M ：()()22122x y -+-=上一点，则（ ） A ．直线l 与⊙M 相离B ．点P 到直线l 距离的最小值为1C ．与⊙M 关于直线l 对称的圆的方程为()()22322x y +++=D ．平行于l 且与⊙M 相切的两条直线方程为2210x y ++=和2250x y +-= 【答案】AC【分析】利用圆心()1,2M 到直线l 的距离d与半径r =A 正确；点P 到直线l 距离的最小值为d r -，判断B 错误；求出圆心()1,2M 关于直线l 对称点()3,2N --，进而求出圆的方程，判断C 正确；利用圆心()1,2M 到直线的距离d r =，求出其切线方程，判断D 错误. 【详解】⊙M ：()()22122x y -+-=，圆心()1,2M，半径r =圆心()1,2M 到直线l ：10x y ++=的距离为：d r ==>，所以直线l 与⊙M 相离，故A 正确；点P 到直线l距离的最小值为d r -=，故B 错误； 设圆心()1,2M 关于直线l 对称点为()00,N x y ，则00001110222(1)11x y y x ++⎧++=⎪⎪⎨-⎪⨯-=--⎪⎩，解得()3,2N --，则与⊙M 关于直线l 对称的圆的方程为()()22322x y +++=，故C 正确； 设平行于l 且与⊙M 相切的直线方程为0x y c ++=，则d r =='1c =-或5c =-，平行于l 且与⊙M 相切的两条直线方程为10x y +-=和50x y +-=，故D 错误. 故选：AC.12．双曲线C ：22145x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线与双曲线右支交于A 、B 两点，12AF F △和12BF F △内切圆半经分别为1r 和2r ，则（ ）A ．双曲线C的渐近线方程为20x = B ．1AF B △面积的最小值为15C ．12AF F △和12BF F △的内切圆圆心的连线与x 轴垂直D ．12r r ⋅为定值 【答案】BCD【分析】A20y ±=；B ：1121212AF BSF F y y =-，联立方程，找到面积的表达式，函数解析式找到最小值，在垂直时取到； CD:画图，设圆1O 切1AF 、2AF 、12F F 分别于点M 、N 、G ，推导出点G 、1O 、2O 的横坐标为a ，证得12O O x ⊥轴，12122O GF O F O △∽△，可得出()212rr c a =-，得证；【详解】选项A :双曲线的渐近线方程为25x =化简成一般式为 520x y ±=，错误；选项B ：设1122(,),(,)A x y B x y 则1121212AF BSF F y y =-； 设过点2F 的直线为l 显然与y 轴不垂直，设l ：3x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立223145x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()225430250m y my ⇒-++=， 故()2Δ40010m =+>，12212230542554m y y m y y m -⎧+=⎪⎪-⎨⎪⋅=⎪-⎩， 由于A ，B 均在双曲线右支，故1221221221212224()60054020363()9054m y y x x m x x m m y y m y y m -⎧++=>⎪+>⎧⎪-⇔⎨⎨⋅>--⎩⎪+++=>⎪-⎩， 解得2045m ≤<，1121212AF BS F F y y =-带入得： ()()1212121212342AF BSc y y y y y y =⨯⨯-=+-代入韦达定理得122604510AF Bm Sm +⎫≤⎪⎝<⎭， 22311m t t ⎛+=≤< ⎝⎭，则1296035605195AF Bt S t t t t⎛==≤< -⎝⎭-，易知95t t-随t 的增大而减小，则当1t =时，()1min15AF BS=，综上：1AF BS的面积的最小值为15，正确；选项C :（如图所示） 过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，由切线长定理可得AM AN =，11FM FG =，22F G F N =， 所以()()()21212121AF F F AF AN F N FG F G AM F M +-=+++-+ 222222F N F G F G c a =+==-，则2F G c a =-，所以点G 的横坐标为()c c a a --=. 故点1O 的横坐标也为a ，同理可知点2O 的横坐标为a ，故12O O x ⊥轴，正确； 选项D ：由C 可知圆1O 和圆2O 均与x 轴相切于(),0G a ，圆1O 和圆2O 两圆外切. 在122O O F △中，()122122221211902O F O O F G O F G AF F BF F ∠=∠+∠=∠+∠=，122O O F G ⊥， 12212GO F F O O ∴∠=∠，1212290O GF O F O ∠=∠=，所以，12122O GF O F O △∽△，所以，1121212O G O FO F O O =，则212112O F O G O O =⋅， 所以22222121112112F G O F O G O G O O O G O G O G =-=⋅-=⋅，即()2121r r c a =-=，正确； 故答案为：BCD【点睛】方法点睛：双曲线中的面积最值问题的处理方法：设出直线方程y kx b =+，设出交点坐标11(,)x y ，22(,)x y ，直线方程代入双曲线方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，可根据交点情况得出参数范围，利用点的坐标求出面积，代入韦达定理的结果后面积可化为所设参数的函数，从而再利用函数知识、不等式知识求得最值．三、填空题13．若复数12z i =+，则|z |＝___．【分析】根据复数的模长的计算公式，可得答案.【详解】由题意，复数12z i =+的实部为1，虚部为2，则z =14．若sin 0,2παα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 2α＝___．【答案】【分析】方法1：运用特殊角的三角函数值计算即可.方法2：运用同角三角函数的平方关系与商式关系及二倍角公式计算即可.【详解】方法1：∵π(0,)2α∈，sin α=∴π3α=，∴2πtan 2tan3α==方法2：∵π(0,)2α∈，∴1cos 2α==，∴sin tan cos ααα==∴22tan tan 21tan ααα===-故答案为：15．已知三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，若P A ＝2，AB ＝1，BC =，则三棱锥P －ABC 外接球的表面积为___． 【答案】8π【分析】由题意结合球心的性质确定三棱锥-P ABC 的外接球的球心的位置，求得球的半径，即可求外接球的表面积【详解】由题意，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，,AC BC ⊂平面ABC ， 所以PA AC ⊥，PA BC ⊥,又AB BC ⊥，AB PA A =，,AB PA ⊂平面PAB ， 所以BC ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以BC PB ⊥， 设PC 的中点为O ，因为PA AC ⊥，所以OP OC OA ==， 因为BC PB ⊥，所以OCOP OB ，所以O 为三棱锥-P ABC 外接球的球心，因为AB BC ⊥，1,AB BC ==2AC =，因为PA AC ⊥，2AC =，2PA =，所以OP =设三棱锥-P ABC 外接球的为R ，所以R =所以三棱锥的外接球的表面积为()224π4π28πS R ==⨯=．故答案为：8π.16．已知函数2ln ,0()43,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，若方程()f x m =有四个不相等的实数根1x 、2x 、3x 、4x ，且1234x x x x <<<，则()()341211x x x x +-的取值范围是___．【答案】11,43⎛⎤⎥⎝⎦.【分析】画出()y f x =的图象可得m 的范围，341x x =，124x x +=-，210x -<≤，代入所求式子转化为求函数222123y x x =--+在(1,0]-上的值域即可.【详解】()y f x =的图象如图所示，∵方程()f x m =有四个不相等的实根， ∴03m <≤，又∵34ln ln x x m -==，1222+=-x x ， ∴341x x =，124x x +=-，210x -<≤，∴34212222211(1)(1)(41)(1)23x x x x x x x x ==+---+---+，又∵22223y x x =--+在(1,0]-上单调递减，∴2223234x x ≤--+<，∴2221114233x x <≤--+，∴3412(1)(1)x x x x +-的取值范围为11,43⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为：11,43⎛⎤ ⎥⎝⎦.四、解答题17．2022年卡塔尔世界杯正赛在北京时间11月21日－12月18日进行，赛场内外，丰富的中国元素成为世界杯重要的组成部分，某企业为了解广大球迷世界杯知识的知晓情况．在球迷中开展了网上测试，从大批参与者中随机抽取100名球迷，他们测试得分（满分100分）数据的频率分布直方图如图所示：(1)根据频率分布直方图，求a 的值；(2)若从得分在[75，90]内的球迷中用分层抽样的方法抽取6人作世界杯知识分享，并在这6人中选取2人担任分享交流活动的主持人，求选取的2人中至少有1名球迷得分在[80,85)内的概率． 【答案】(1)0.04.(2)35.【分析】（1）根据所有频率之和为1列式解方程即可.（2）根据分层抽样的抽样比相同抽取人数，用列举法解决古典概型. 【详解】（1）50.010.070.060.02)1a ⨯=(++++，解得：0.04a =. （2）由分层抽样可知，从得分在[75,80)内的球迷中抽取0.06630.060.040.02⨯=++人，分别记为1a 、2a 、3a ，从得分在[80,85)内的球迷中抽取0.04620.060.040.02⨯=++人，分别记为1b 、2b ，从得分在[85,90)内的球迷中抽取0.02610.060.040.02⨯=++人，记为c .所以从这6人中选取2人的基本事件有12(,)a a 、13(,)a a 、11()a b ,、12()a b ,、1(,)a c 、23(,)a a 、21()a b ,、22()a b ,、2(,)a c 、31()a b ,、32()a b ,、3(,)a c 、12()b b ,、1(,)b c 、2(,)b c ，共有15个，两人中至少有1名球迷得分在[80,85)内的基本事件有11()a b ,、12()a b ,、21()a b ,、22()a b ,、31()a b ,、32()a b ,、12()b b ,、1(,)b c 、2(,)b c ，共有9个.所以两人中至少有1名球迷得分在[80,85)内的概率为93155P ==. 18．已知M 的圆心在直线y x =上，且过点(0,3),(1,0)P Q -． (1)求M 的方程；(2)若N ：()()22113+++=x y ，求M 与N 公共弦的长度． 【答案】(1)22(1)(1)5x y -+-=【分析】（1）求出PQ 的垂直平分线的方程，联立方程求得圆心坐标，继而求得半径，即可得答案； （2）求出两圆的公共线的方程，求得(1,1)M 到该直线的距离，根据圆的弦长的求法可得答案. 【详解】（1）由题意知M 的圆心在直线y x =上，且过点(0,3),(1,0)P Q -， 则PQ 的垂直平分线方程为311()232y x -=-+，即340x y +-=， 联立340y x x y =⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即圆心为(1,1），故M 的方程为22(1)(1)5x y -+-=（2）因为||MN故M 和N 相交，将()()22113+++=x y 和22(1)(1)5x y -+-=相减可得22+10x y +=， 点(1,1)M 到直线22+10x y +==，故M 与N 公共弦的长度为19．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，M 为11C D 中点，且124AA AB ==．(1)证明：1//AD 平面11BCC B ；(2)求DM 与平面I AMD 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析. (2)48585.【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）作1DP AD ⊥,证明DP ⊥平面1AMD ,找到DM 与平面I AMD 所成角，求出相关线段的长，解直角三角形即可求得答案.【详解】（1）证明：如图，连接1BC ,因为1111,AB D C AB D C =∥ ,所以四边形11ABC D 为平行四边形， 故11AD BC ∥ ,又1AD ⊄平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B , 故1//AD 平面11BCC B . （2）作1DP AD ⊥,垂足为P ，因为11C D ⊥平面11ADD A , M 为11C D 中点，1MD ⊥平面11ADD A ,PD ⊂平面11ADD A ,故1MD DP ⊥,11111,AD MD D AD MD =⊂，平面1AMD ,故DP ⊥平面1AMD ,连接MP ,则DMP ∠为 DM 与平面I AMD 所成角， 在1Rt ADD中，11DD AD PD AD ⋅===而DM 故在Rt DPM △中,sin PD DMP MD ∠===,即DM 与平面I AMD20．在①()(sin sin )()sin b c B C b a A -+=-；②(2)cos cos 0b a C c B -+=这两个条件中选择一个，补充在下面问题中并解答．问题：在△ABC 中，A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，___________． (1)求C ；(2)若a ＝1，b ＝2，D 在线段AB 上，且满足25AD AB =，求线段CD 的长． 注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分． 【答案】(1)π3【分析】（1）选择条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；选择条件②，先用正弦定理将边转化为角的关系，再由两角和的正弦公式结合诱导公式即可求解； （2）先利用余弦定理求出AB =π2ABC ∠=，再由题意求出BD ，再根据勾股定理即可求得CD ．【详解】（1）选择条件①()(sin sin )()sin b c B C b a A -+=-， 依题意由正弦定理得()(+)()b c b c b a a -=-，即222a b c ab +-=， 又由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，且()0,πC ∈，得π3C =，选择条件②(2)cos cos 0b a C c B -+=，依题意由正弦定理得(sin 2sin )cos sin cos 0B A C C B -+=, 即()2sin cos sin cos sin cos sin sin A C B C C B B C A =+=+=， 又(),0,πA C ∈，则sin 0A >，所以1cos 2C =，得π3C =，（2）结合（1）由余弦定理得22222cos 3AB c a b ab C ==+-=，即3AB =， 则222b a c =+，所以π2ABC ∠=， 又25AD AB =，即22355AD AB ==，则335BD =， 则在Rt △CBD 中，2222233521525CD BC BD ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭，得2135CD =． 21．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，P A ⊥平面ABCD ，点H 为线段PB 上一点（不含端点），平面AHC ⊥平面P AB ．(1)证明：PB AC ⊥；(2)若1AB AC ==，四棱椎P －ABCD 的体积为13，求二面角P －BC －A 的余弦值．【答案】(1)见解析 6【分析】（1）利用面面垂直性质定理与线面垂直性质定理，结合公理2，可得线面垂直，可得答案； （2）根据二面角的平面角定义作图，利用等面积法以及棱锥体积公式，求得边长，结合直角三角形的性质，可得答案.【详解】（1）PA ⊥平面ABCD ，且C ∈平面ABCD ，∴过点C 所有垂直于PA 的直线都在平面ABCD 内，平面AHC ⊥平面ABP ，且C ∈平面AHC ，∴存在一条过C 的直线l ⊥平面ABP ，且l ⊂平面AHC ，PA ⊂平面ABP ，l PA ∴⊥，则l ⊂平面ABCD ，平面ABCD ⋂平面AHC AC =，l ∴与AC 为同一条直线，即AC ⊥平面ABP ，PB ⊂平面ABP ，AC PB ∴⊥.（2）在平面ABCD 内，过A 作AE BC ⊥，且AE BC E ⋂=，连接PE ，作图如下：PA ⊥平面ABCD ，且BC ⊂平面ABCD ，PA BC ∴⊥，同理可得PA AE ⊥，AE BC ⊥，AE PA A =，,AE PA ⊂平面PAE ，BC ∴⊥平面PAE ，PE ⊂平面PAE ，PEA ∴∠为二面角P BC A --的平面角，在Rt ABC △中，1122ABCS AB AC AE BC =⋅⋅=⋅⋅，且222BC AB AC +2AE =， 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的面积1S AB AC =⋅=，则其体积1133V PA S =⋅⋅=，解得1PA =，在Rt PAE 中，226cos PA PEA PE PA AE∠===+ 故二面角P BC A --6. 22．已知椭圆C 2222:1(0)x y a b a b +=>>的左顶点为()22,0A -2．(1)求C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线1l 、2l ，M 为1l 与C 两交点的中点，N 为2l 与C 两交点的中点，求△FMN 面积的最大值． 【答案】(1)22184x y +=(2)49【分析】（1）由已知顶点坐标求出a ，由离心率求出c ，进一步运算得出椭圆的方程；（2）设出直线1l 、2l 的方程，与椭圆C 方程联立，得出M ，N 的纵坐标，表示△FMN 的面积，求其最大值.【详解】（1）由左顶点为()22,0A -，得22a =2，即2c a =2c =，222b a c -=，所以椭圆C 的方程为22184x y +=；（2）由已知1l 、2l 斜率都存在且不为0，设1l 与C 交于()11,P x y ，()22,Q x y ，右焦点()2,0F ，设直线1l ：2x my =+，联立222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222440m y my ++-=，所以1l 与椭圆C 两交点的中点M 的纵坐标122222M y y my m +==-+，同理2l 与椭圆C 两交点的中点N 的纵坐标22222112Nm m y m m -=-=+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 所以△FMN的面积()()()2221122221M N m S MF m m y m NF +=+==+ ()()()22222222211121m m m m mm m m +=+=++++， 不妨设0m >，令 21m t m +=，2t ≥， 则212S t t=+，因为12y t t =+，212y t'=-， 因为2t ≥，所以函数12y t t =+在区间[)2,+∞上单调递增，当2t =时，12y t t =+有最小值92，△FMN面积有最大值，最大值为49．。

3
6
故选：D.
2.
数列 1 ， 1 57
，1 9
，
1 11
，……的通项公式可能是
an
（）
(1)n
A.
3n 2
(1)n1
B.
2n 3
(1)n
C.
2n 3
(1)n1
D.
3n 2
【答案】C
【解析】
【分析】由分母构成等差数列即可求出.
【详解】数列的分母 5, 7,9,形成首项为 5，公差为 2 的等差数列，则通项公式为
因此 F 的轨迹方程是 y2 x2 1 （ y 1）. 48
故选：A. 【点晴】方法点睛： 求轨迹方程的常见方法有:
①直接法，设出动点的坐标 x, y ，根据题意列出关于 x, y 的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把 x, y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；
1 2n 1
2n 2n 1
，即有
Sn
nan1 ．
故选：ABD．
12. 如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，E、F、G 分别为棱 BC、CC1、BB1 的中点，则下列
选项中正确的是（）
A. 点 A 到直线 EF 的距离为 3 2 2
C.
三棱锥
A1
-AEF
的体积为
2 3
【答案】ACD
D. 过点 A 且平分△ABC 面积的直线与边 BC 相交于点 D(3，5)
【答案】BD
【解析】
【分析】由直线斜率判断 A，求出相应的直线方程判断 BC，求出边 BC 中点坐标判断 D．
【详解】直线 BC 的斜率为 k 7 3 2 ，而直线 3x 2 y 1 0 的斜率为 3 ，两直线不平行，A 错；

第 1 页共 4 页莆田一中2022-2023学年第一学期期末试卷高二数学第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知f (x )=alnx −12x 2+x ，且f ′(1)=3，则a =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．直线l 1:ax +y −1=0，l 2:(a −2)x −ay +1=0，则“a =−2”是“12//l l ”的（ ）条件 A ．必要不充分 B ．充分不必要 C ．充分必要D ．既不充分也不必要3．已知圆的方程为2260x y x +−=，过点(1,2)的直线被该圆所截得的最短弦长为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．等差数列{a n }中，公差12d =，且1359960a a a a ++⋅⋅⋅+=，则123100a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．145B ．150C ．170D ．1205．在正项等比数列{a n }中，a 3、a 7是函数f (x )=13x 3−4x 2+4x −1的极值点，则a 5＝（ ） A ．2−或2B ．2−C．D ．26．已知1F 、2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13B ．12C ．9D ．47．已知8ln 6a =，7ln 7b =，6ln 8c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．b c a >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．a b c >>第 2 页 共 4 页8．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相切的两条互相垂直的直线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆2222x y a b +=+，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若圆()22:()()4R C x a y a −+=∈上存在点P ，使得过点P 可作两条互相垂直的直线与椭圆2213x y +=相切，则实数a 的取值范围为（ ）A ． []0,4B ．[]4,4−C ．[]0,2D ． []22−,二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知数列{}n a 的通项公式为a n =(−1)n ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列数列一定成等比的有（ ） A ．数列{}1n n a a ++ B ．数列{}2n a C ．232,,n n n n n S S S S S −−D ．数列{}1n n a a +⋅10．任取一个正整数，若是奇数，将该数乘以3再加上1；若是偶数，将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）. 如：取正整数6m =，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：数列{a n }满足：1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时.若a 2=m （m 为正整数），a 6=1，则m 所有可能的取值为（ ） A ．2B ．5C ．16D ．3211．椭圆22:14x C y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，O 为坐标原点，则下列说法错误．．的是（ ）A ．过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则△ABF 1的周长为4 B ．椭圆C 的离心率为12C ．P 为椭圆C 上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点P ，Q 的最大距离为3D ．椭圆C 上不存在点P ，使得120PF PF ⋅=第 3 页共 4 页12．已知函数()2ln 2f x x x mx =−，则下列说法正确．．的是（ ） A ．当0m ≤或12em =时，()f x 有且仅有一个零点 B ．当0m ≤或14m =时，()f x 有且仅有一个极值点 C ．若()f x 为单调递减函数，则14m > D ．若()f x 与x 轴相切，则12em =第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线l 经过点P (2,−2)，其纵截距为正，且纵截距比橫截距大1，则直线l 的方程为 ．14．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左､右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且倾斜角为30的直线与过2F 的直线2l 交于P 点，1290F PF ∠=，且点P 在椭圆上．则椭圆C 的离心率=e __________．15．点P 是曲线x x y ln 2−=上任意一点,且点P 到直线y =x +a 的距离的最小值是√2，则实数a 的值是 ．16．已知点(,)P m n 在圆22:(2)(2)9C x y −+−=上运动，则m +n 的最大值为 ，的取值范围为 ．四､解答题：本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)(1) 已知圆22110C x y +=：与圆22222140C x y x y +++−=：．证明圆1C 与圆2C 相交；并求两圆公共弦所在直线的方程；(2) 求圆心既在第一象限又在直线3x −y =0上，与x 轴相切，且被直线x −y =0截得的弦长为2√7的圆的方程．第 4 页 共 4 页18．(12分) 设函数f(x)=x +ax 2+blnx ，曲线y =f(x)过点P(1,0)，且在P 点处的切线斜率为2．(1) 求a 、b 的值； (2) 证明：f(x)≤2x －2．19．(12分) 设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a 、3a 的等差中项．(1) 求{}n a 的公比；(2)若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．20． (12分) 设首项为2的数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足_________． 条件①：111n n a a n n +=++； 条件②：23n nn S a +=； 条件③：12n n n n T a T n ++=． 请在以上三个条件中，选择一个补充在上面的横线处，并解答以下问题： （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证：数列13n n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和34nM <． （参考公式．．．．：22221123(1)(21)6n n n n ++++=++）21．(12分) 已知点A(−2,0)、B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为43−．记M 的轨迹为曲线C ．(1) 求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2) 经过点P(−1,0)的直线l 与曲线C 交于C 、D 两点. 记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1−S 2|的最大值．22．(12分) 已知函数()e 1,R x f x ax a =−−∈． (1)求函数()f x 的极值；(2)若1是关于x 的方程()()2R f x bx b =∈的根，且方程2()f x bx =在(0,1)上有实根，求b 的取值范围．莆田一中2022-2023学年第一学期期末考试高二数学姓名： 班级： 考场/座位号：正确填涂缺考标记注意事项1．答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。

一、单选题1．已知点，则直线的倾斜角是（ ） ()(1,0,A B AB A ． B ．C ．D ．60 120 30 150 【答案】A【分析】求出直线的斜率，根据倾斜角的范围可得答案.AB 【详解】因为点，所以，()(1,0,AB AB k ==设直线的倾斜角为，则， AB α0180α<< 所以. 60α= 故选：A.2．“”是“方程表示椭圆”的57m <<22175x y m m +=--A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】 由题意，方程表示一个椭圆，则，解得且， 22175x ym m +=--705075m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩57m <<6m ≠所以“”是“方程”的必要不充分条件，故选C.57m <<22175x y m m +=--点睛：本题考查了椭圆的标准方程，其中熟记椭圆的标准的形式，列出不等式组是解答关键，此类问题解答中容易忽视条件导致错解，同时注意有时椭圆的焦点的位置，做到分类讨论.75m m -≠-3．在棱长为1的正方体中，（ ） 1111ABCD A B C D -1AB CB CB -+=A ．1 BC D ．2【答案】B【分析】根据向量的线性运算得，即可得结果．11AB CB CB AB -+=【详解】． 11AB CB CB AB BC CB AC -+=++=+ 故选：B ．4．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是 ()A ．B ．1(1)1n n a -=-+2,0,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数C ． D ．2sin2n n a π=cos(1)1n a n π=-+【答案】C【分析】令，2，3，4分别代入验证：即可得出答案．1n =【详解】解：令，2，3，4分别代入验证：可知，因此不成立． 1n =3:2C a =-故选：．C 【点睛】本题考查了数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.5．在空间四边形中，，点在上，且，为的中OABC ,,OA a OB b OC c === M OB 3OM MB =N AC 点，则（ ）NM =A ．B ．131242a b c -+- 121232a b c -++C ．D ．131242a b c ++ 121232a b c -+ 【答案】A【分析】利用空间向量加减法运算即可得到答案.【详解】.()()31311314242242NM OM ON OB OA OC b a c a b c =-=-+=-+=-+-故选：A6．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>A ．B ．C ．D ． y =y =y =y =【答案】A【详解】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：2222221312,c b c a b e e a a a a-==∴==-=-=∴因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.by x a=±y =点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.22221(,0)x y a b a b-=>22220x y by x a b a -=⇒=±7．若直线（，）平分圆，则的最小值是（ ） 10ax by +-=0a >0b >()()22114x y -+-=12a b+A ．2B ．5C ．D ．【答案】C【分析】直线平分圆，得到a ,b 关系，再根据基本不等式，即可求解. 【详解】解：直线平分圆，则直线过圆心，即，1a b +=所以(时，取等号) ()1212233b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭b =故选：C.8．已知点是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的,M N 24y x =F 23MFN π∠=MN 中点到直线的距离记为，若不等式恒成立，则的取值范围（ ） P 1:16l y =-d 22λ≥MN d λA ． B ． (-∞(],2-∞C ． D ．(,1-∞(],3-∞【答案】D【分析】令，利用余弦定理表示出弦的长，再利用抛物线定义结合梯形中位||,||MF a NF b ==MN 线定理表示出，然后利用均值不等式求解作答.d 【详解】在中，令，由余弦定理得MFN △||,||MF a NF b ==， 222||||||2||||cos MN MF NF MFNF MFN =+-⋅∠则有， 222||MN a b ab =++显然直线是抛物线的准线，过作直线的垂线，垂足分别为，如1:16l y =-24y x =,,M P N l ,,A B C 图，而为弦的中点，为梯形的中位线，由抛物线定义知，P MN PB MACN ，11||(||||)()22d PB MA NC a b ==+=+因此， 22222222||4444443222MN a b ab ab a b d a b ab a b ab b a ++=⋅=-=-≥=++++++当且仅当时取等号，又不等式恒成立，等价于恒成立，则，a b =22λ≥MN d 22MN dλ≤3λ≤所以的取值范围是. λ(,3]-∞故选：D【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．二、多选题9．若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（ ） {}n a A ． {}n a B ．{}1n n a a +-C ．(为常数) {}n pa q +,p q D ． {}2n a n +【答案】BCD【分析】根据等差数列的定义逐一进行检验即可求解.【详解】对于选项A ，数列是等差数列，取绝对值后不是等差数列，故选项A 不符合题1,1,3-1,1,3意；对于选项B ，若为等差数列，根据等差数列的定义可知：数列为常数列，故{}n a 1{}n n a a +-为等差数列，故选项B 符合题意；1{}n n a a +-对于选项C ，若为等差数列，设其公差为，则为常数{}n a d 11()n n n n pa q pa q p a a pd +++--=-=列，故为等差数列，故选项C 符合题意；{}n pa q +对于选项D ，若为等差数列，设其公差为，则为常数，故{}n a d 121221n n a n a n d +++--=+为等差数列，故选项D 符合题意， {2}n a n +故选：BCD.10．圆和圆的交点为A ，B ，则有（ ）221:20x y x O +-=222:240O x y x y ++-=A ．公共弦AB 所在直线方程为 0x y -=B ．公共弦ABC ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=D ．P 为圆上一动点，则P 到直线AB 2O 1+【答案】AC【分析】A 选项，两圆方程作差即可求出公共弦方程；B 选项，求出一个圆的圆心到公共弦的距离，利用垂径定理计算即可；C 选项，线段AB 的中垂线即为两圆圆心的连线，利用点斜式求解即可；D 选项，求出到公共弦的距离，加上半径即可求出最值.2O 【详解】因为圆：和圆：的交点为A ，B ， 1O 2220x y x +-=2O 22240x y x y ++-=作差得，440x y -=所以圆与圆的公共弦AB 所在的直线方程为，故A 正确； 1O 2O 0x y -=因为圆心，，所在直线斜率为， 1(1,0)O 2(1,2)O -12O O 2111=---所以线段AB 的中垂线的方程为，即，故C 正确；0(1)y x -=--10x y +-=圆：的圆心为，半径，圆心到直线的距离2O 22240x y x y ++-=2(1,2)O -2r =2(1,2)O -0x y -=P 到直线AB 与圆的公共弦AB 的长d 1O 2O为B,D 错误． =故选:AC.11．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地F 点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且A mB n 三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为F A B 、、R ，则222a b c 、、A ．B ．C ．D ．a c m R -=+a c n R +=+2a m n =+b =【答案】ABD【分析】根据条件数形结合可知，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案.m a c Rn a c R=--⎧⎨=+-⎩【详解】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图象可得 ，（*）m a c Rn a c R=--⎧⎨=+-⎩ ，故A 正确；a c m R ∴-=+，故B 正确；a c n R +=+（*）两式相加，可得，故C 不正确；22m n a R +=-22a m n R =++由（*）可得 ，两式相乘可得 m R a c n R a c +=-⎧⎨+=+⎩()()22m R n R a c ++=- ，222a c b -=，故D 正确.()()2b m R n R b ∴=++⇒=故选ABD【点睛】本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题的关键是写出近地点和远地点的方程，然后变形化简.12．如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线1111ABCD A B C D -,E F 111,A D AA G 上一个动点，则（ ）1B CA ．三棱锥的体积为定值1A EFG -B ．线段上存在点，使平面//平面1B C G EFG 1BDCC ．当时，直线与平面134CG CB = EG ABCDD ．三棱锥1A EFG -【答案】ACD【分析】A 选项，使用等体积法，面面平行进行证明； B 选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行证明；C 选项，根据先求出的坐标，然后利用向量的夹角公式计算；134CG CB =G D 选项，找到外接球的球心，表达出半径，求出最大值.【详解】对于A 选项，因为平面//平面，而平面，故//平面11ADD A 11BCC B 1B C ⊂11BCC B 1B C ，11ADD A 因为点为面对角线上一个动点，故点到面距离不变，为， G 1B C G 11ADD A 2因为分别为棱的中点，故为定值，,E F 111A D AA ､1111122A EF S =⨯⨯=A 故三棱锥，而三棱锥的体积，A 选项正确；1112313G E A F F A E S V -⨯⨯==A 11A EFG G EFA V V --=对于B 选项，如图1，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直D DA x DC y 1DD 线为轴建立空间直角坐标系，z 则，，，，，设（），()2,2,0B ()0,0,0D ()10,2,2C ()1,0,2E ()2,0,1F (),2,G m m 02m ≤≤平面的法向量为，则，令，则，，则1BDC ()1111,,n x y z = 1111111220220n DB x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩11y =11x =-11z =-，()1111n ,,=--设平面的法向量，则，令，则EFG ()2222,,n x y z = ()()222222202210n EF x z n FG m x y m z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩ 21x =，， 21z =2322my -=所以， 2321,,12m n -⎛⎫= ⎪⎝⎭若平面//平面，则存在，使得，即，解得：，EFG 1BDC k 12n kn = ()321,1,11,,12m k -⎛⎫--= ⎪⎝⎭1k =-，52m =因为，故不合题意，02m ≤≤所以线段上不存在点，使平面//平面，B 选项错误；1B C G EFG 1BDC 对于C 选项，，，，若，即，解得(),2,G m m (0,2,0)C 1(2,2,2)B 134CG CB = ()()3,0,2,0,24m m =， 32m =此时，又，，显然平面的一个法向量，33,2,22G ⎛⎫⎪⎝⎭()1,0,2E 11,2,22EG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ABCD (0,0,1)a =设直线与平面所成角为，则C 选项正确；EG ABCD θsin cos ,a θ=对于D 选项，如图2，连接，交EF 于点J ，则为EF 的中点，1A D J 1A J =的外接球球心的投影为，1A EFG -J 过点作于点，则平面，，找到球心位置，连接，则G 1GH A D ⊥H GH ⊥11ADD A 2GH =O 1,OA OG 为外接球半径，1OA OG =过点作于点，则，，设（），O OK GH ⊥K OK JH =OJ HK =OK JH a ==0a ≤≤，OJ HK h ==由勾股定理得：，，从而2222211OA OJ A J h =+=+()2222OG h a =-+()22222h h a +=-+，解得：，2724a h +=要想半径最大，则只需最大，即最大，当最大为，此时半径的最大值为h 2a a =h2，故D 正确. =故选：ACD三、双空题13．已知数列的通项公式为：，则的最小值为_____，此时的值为_____. {}n a 103n a n =-n a n 【答案】133【分析】分类讨论去绝对值，即可根据通项公式的单调性判断求值.【详解】，已知先减后增，且. 10,4103103,43n n n a n n n ⎧-<⎪⎪=-=⎨⎪-≥⎪⎩n a 3413a a =<故的最小值为，此时的值为3.n a 13n 故答案为：；3.13四、填空题14．在等差数列中，前n 项和记作，若，则______． {}n a n S ()15265k S a a a =++k =【答案】16【分析】根据等差数列前项和公式及下标和性质以及通项公式计算可得； n 【详解】解：因为，所以，即()15265k S a a a =++()()115261552k a a a a a +=++，所以，所以()82615252k a a a a ⨯=++8263k a a a a =++，所以；()()()()826111113375151k a a a a a d a d a d a d a k d =-+=+-+++=+=+-16k =故答案为：1615．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线E 的左、1F 2F ()222:103x yE a a -=>1F 右两支分别交于A ，B 两点，若，则的面积为__________． 22::5:12:13BF AB AF =2ABF△【答案】##2.4 125【分析】根据双曲线的定义以及焦点三角形即可根据勾股定理求解，由直角三角形的面积公22a =式即可得解. 【详解】如图，因为，所以． 22::5:12:13BF AB AF =2AB BF ⊥设，，得，25BF x =12AB x =213AF x =由，得 1221BF BF AF AF -=-1112||513||x AF x x AF +-=-所以，则，13AF x =115BF x =由，得，2221212BF BF F F +=222504x c =又 ，所以，，， 12221023BF BF x a c a ⎧-==⎨=+⎩22a =25c =2225x =故的面形. 2ABF △221123025S AB BF x ===故答案为：125五、双空题16．已知数列满足，，则数列的通项公式为_____________，若数{}n a 14a =()121n n na n a +=+{}n a 列的前项和，则满足不等式的的最小值为_____________．{}(1)(2)na n n ++n n S 30n S ≥n 【答案】 612n n a n +=⋅【分析】根据给定递推公式变形构造新数列即可得解；利用裂项相消法求出，再借助数列单调性n S 计算得解.【详解】在数列中，，由得：，而， {}n a 14a =()121n n na n a +=+121n n a a n n +=⋅+141a=于是得数列是以4为首项，2为公比的等比数列，则，即，{}n a n 142n n a n-=⋅12n n a n +=⋅所以数列的通项公式为；{}n a 12n n a n +=⋅显然，，121212(1)2(2)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21n n n n n n a n n n n n n n n n n n +++++⋅+⋅-+⋅===-++++++++则，324354121222222222222))))2324354121(((((2n n n n n n S n n n n n ++++-+-+-++-+-=+=-+++ 由得：，即，令，则，即数列是递增30n S ≥222302n n +-≥+22322n n +≥+222n n b n +=+12(2)13n n b n b n ++=>+{}n b 数列，由，得，而，因此，，从而得，， 22322n n +≥+32n b ≥632b =6n b b ≥6n ≥min 6n =所以满足不等式的的最小值为6.30n S ≥n 故答案为：；612n n a n +=⋅六、解答题17．已知直线，．()():12360m a x a y a -++-+=:230n x y -+=(1)当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程；0a =l m n l (2)若坐标原点O 到直线的距离为1，求实数的值．m a 【答案】(1)或，120x y -+=370x y -=(2)或 1a =132a =-【分析】（1）先求出直线与的交点，然后设出直线的方程，求出直线在两坐标轴上的截距，m n l l 由截距相反列方程可求出直线的斜率，从而可求出直线的方程；l （2）利用点到直线的距离公式列方程可求出实数的值.a 【详解】（1）当时，直线， 0a =:360m x y -++=由，解得， 360230x y x y -++=⎧⎨-+=⎩219x y =-⎧⎨=-⎩所以直线与的交点为，m n (21,9)--由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，l l 9(21)y k x +=+当时，，0x =219y k =-当时，， 0y =921x k=-因为直线在两坐标轴上的截距相反，l 所以，即， 9219210k k-+-=271030k k -+=解得或， 1k =37k =所以直线的方程为或， l 921y x +=+39(21)7y x +=+即或，120x y -+=370x y -=（2）因为坐标原点O 到直线的距离为1，直线，m ()():12360m a x a y a -++-+=，1=化简得，解得或. 2211130a a +-=1a =132a =-18．如图在边长是2的正方体中，E ，F 分别为AB ，的中点．1111ABCD A B C D -1AC（1）求异面直线EF 与所成角的大小．1CD （2）证明：平面． EF ⊥1ACD 【答案】（1）；（2）证明见解析．60︒【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用可得解； 111cos ,EF CD EF CD EF CD ⋅= （2）利用和，可证得线线垂直，进而得线面垂直. 10EF DA ⋅= 0EF DC ⋅= 【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：，，，，，(0,0,0)D 1(2,0,2)A (0,2,0)C (2,1,0)E (1,1,1)F 1(0,0,2)D ∴，，，．(1,0,1)EF =- 1(0,2,2)CD =- 1(2,0,2)DA = (0,2,0)DC = （1）， 11cos ,2EF CD = ∴1,60EF CD ︒= ∴异面直线EF 和所成的角为．1CD 60︒（2）11200120EF DA ⋅=-⨯+⨯+⨯= ∴，即1EF DA ⊥ 1EF DA ⊥，1002100EF DC ⋅=-⨯+⨯+⨯=∴即．EF DC ⊥ EF DC ⊥又∵，平面且1DA DC ⊂1DCA 1DA DC D ⋂=∴平面． EF ⊥1ACD 19．记为数列的前项和，． n S {}n a n 1122n n n S a --=()*n N ∈（1）求；1n n a a ++（2）令，证明数列是等比数列，并求其前项和．2n n n b a a +=-{}n b n n T 【答案】（1）；（2）证明见解析，. 12n -11122n n T +=-【分析】（1）运用数列的递推式：时，，时，，化简变形可得1n =11a S =2n ≥1n n n a S S -=-，进而得到所求答案. 1112n n n a a --+=-（2）由（1）的结论，将n 换为n +1，两式相减，结合等比数列的定义和求和公式，即可得到答案.【详解】（1）由，可得时，，即； 1122n n n S a --=1n =1121S a -=11a =当时，，2n ≥1n n n a S S -=-由，， 1122n n n S a --=112122n n n S a ----=两式相减可得：，即：. 11211222n n n n n a a a ----+=-1112n n n a a --+=-即有. 112n n na a ++=-（2）由（1）可得，即有， 112n n n a a ++=-21112n n n a a ++++=-两式相减可得，即. 2112n n n a a ++-=112n n b +=则，可得数列是首项为，公比为的等比数列. 1122122n n n n b b +++=={}n b 1412所以. 1111114212212n n n T +⎛⎫- ⎪⎝⎭==--【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．20．已知：圆过点，，，是直线上的任意一点，直线C ()0,1D ()2,1E -(F -P 1:2l y x =-与圆交于、两点.2:1=+l y x C A B（1）求圆的方程；C （2）求的最小值.22PA PB +【答案】（1）；（2）．22210x y x ++-=13【分析】（1）设圆的一般方程为，即可根据题意列出三个方程，解出C 220x y Dx Ey F ++++=，即可得到圆的方程； ,,D E F C （2）联立直线的方程和圆的方程可得、两点的坐标，设，再根据两点间的距离公2l C A B (),P x y 式表示出，消去，可得关于的二次函数，即可求出最小值． 22PA PB +y x 【详解】（1）设圆的一般方程为，依题意可得，C 220x y Dx Ey F ++++=．1025030E F D E F D F ⎧++=⎪-+++=⎨⎪-+==⎩2,0,1D E F ⇒===-所以圆的方程为：．C 22210x y x ++-=（2）联立或， 221002101y x x x y x y ⎧--==⎧⇒⎨⎨++-==⎩⎩21x y =-⎧⎨=-⎩不妨设，，则，(0,1),(2,1)A B --(),P x y 2y x =-∴． 222222221||||(1)(2)(1)44144132PA PB x y x y x x x ⎛⎫+=+-++++=-+=-+ ⎪⎝⎭故的最小值为．22PA PB +13【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，直线与圆的交点坐标的求法，以及两点间的距离公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．21．如图，在三棱锥中， ，为的中点，. A BCD -AB AD =O BD OA CD ⊥(1)证明：平面平面;ABD ⊥BCD(2)若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，三棱锥OCD A E AD 2DE EA =B ACD -，求平面BCD 与平面BCE 的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的判定定理先证明平面BCD ，又平面ABD ，从而由面面垂OA ⊥OA ⊂直的判定定理即可得证；（2）取的中点，因为为正三角形，所以，过作与交于点OD F OCD A CF OD ⊥O //OM CF BC M ，则，又由（1）知平面BCD ，所以，，两两垂直，以点为坐标原OM OD ⊥OA ⊥OM OD OA O 点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，进OM OD OA x y z 而求出平面的法向量，最后根据向量法即可求解.【详解】（1）证明：因为，为的中点，AB AD =O BD 所以，又且，OA BD ⊥OA CD ⊥BD CD D ⋂=所以平面BCD ，又平面ABD ， OA ⊥OA ⊂所以平面平面； ABD ⊥BCD（2）解：由题意，， 1112OCD S =⨯⨯=A BCD S =A 由（1）知平面BCD ，OA ⊥所以，所以OA =2， 1133B ACD A BCD BCD V V S OA --=⋅⋅==A 取的中点，因为为正三角形，所以，OD F OCD A CF OD ⊥过作与交于点，则，所以，，两两垂直，O //OM CF BC M OM OD ⊥OM OD OA以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，O OM OD OA x yz则，，，，，1，，A （0，0，2），， (0B 1-0)1,0)2C (0D 0)14(0,,)33E 因为平面，所以平面的一个法向量为， OA ⊥BCD BCD (0,0,1)m = 设平面的法向量为，又， BCE (,,)n x y z =344,0),(0,,)233BC BE == 所以由，得，令，， 00n BC n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩30244033x y y z +=⎪+=⎪⎩x =1y =-1z =所以，1,1)n =-所以 |||cos ,|||||m n m n m n⋅<>= 所以平面BCD 与平面BCE22．在平面直角坐标系中，椭圆2． ()2222:10x y C a b a b +=>>(1)求椭圆C 的方程；(2)动直线A 、B 两点，D 是椭圆C 上一点，直线OD 的斜率为，且:l y mx =n 12mn =．T 是线段OD 的半径为，OP ，OQ 是的两条切T A DT T A 线，切点分别为P ，Q ，求的最大值．QOP ∠【答案】(1)； 22132x y +=(2)最大值为.QOP ∠3π【分析】（1）根据焦距易得; 1c =（2）将直线与椭圆联立得到方程组，利用弦长公式得到的表达式，再利用AB |||DT AB =，则可得到，即圆半径的表达式，根据，则,则将直线的方程与椭圆方程DT r 12mn =12n m =OD 联立，得到的表达式，利用,将上述表达式代入，利用换元法结合二次函OD sin2||QOP r r OD ∠=+数最值得到的最值，最终得到的最大值. sin 2QOP ∠QOP ∠【详解】（1）由题意得，， 22c =1c =又c e a = a ∴=b ∴=椭圆方程为：. ∴22132x y +=（2）设，， ()11,A x y ()22,B x y 联立，22132x y y mx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()2281290m x +--=，()2227203681211522880m m m ∆=++=+>， 12x x +=129128x x m -=+2||AB x -==， |r AB =，直线的方程为：， 12n m=∴OD 12yx m =联立得，，2213212x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2222483m x m =+22683y m =+ ||OD ==,1sin ||2||1QOP r OD r OD r ∠==++，OD r ==令，，且， 223m t +=()2123m t =-2t>110,2t ⎛⎫∈⎪⎝⎭则ODr==1=≥=当且仅当，，即，时等号成立， 1114t =14t =22314m +=2m =±，因此， 1sin 22QOP ∠≤π26QOP ∠≤的最大值为， QOP ∴∠π3综上所述，的最大值为，此时. QOP ∴∠π32m =±【点睛】本题第二问计算量与思维量较大，对于弦长公式要做到熟练运用，角度最值转化为在一定角度范围内的角的正弦值的最值，最终结合换元法，配方法等求解函数表达式的最值，从而得到角度的最值.。

2022-2023学年河北省定州市高二上学期期末数学试题一、单选题1．抛物线24y x =的焦点坐标为（ ） A ．(1,0) B ．(1,0)- C ．1(0,)16-D ．1(0,)16【答案】D【分析】先将抛物线方程化为标准方程，从而可求出其焦点坐标【详解】解：由24y x =，得214x y =， 所以抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，且124p =， 所以18p =，1216p =， 所以焦点坐标为1(0,)16， 故选：D2．“1a =±”是“直线0x y +=和直线20x a y -=垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】根据两直线垂直与斜率之间的关系求解即可.【详解】当1a =±时，两条直线的方程为0x y +=和0x y -=， 斜率分别为1,1-，则111-⨯=-，所以两直线垂直， 当直线0x y +=和直线20x a y -=垂直时，2111a -⨯=-，解得1a =±， 所以“1a =±”是“直线0x y +=和直线20x a y -=垂直”的充要条件， 故选:C.3．数列{}n a 满足111()n na n N a *+=-∈，且12a =，则2022a 的值为（ ） A ．2 B ．1C ．12D ．-1【答案】D【分析】根据数列的递推关系式，求得数列的周期性，结合周期性得到20223a a =，即可求解.【详解】解：由题意，数列{}n a 满足111()n na n N a *+=-∈，且12a =， 可得234511,1,2,,22a a a a ==-==，可得数列{}n a 是以12,,12-三项为周期的周期数列，所以20226733331a a a ⨯+===-. 故选：D.4．圆()()222124++-=x y 关于直线40x y -+=对称的圆的方程为（ ） A ．()()22644+++=x y B ．()()22824x y +++= C ．()()22824x y -+-= D ．()()22644x y -+-=【答案】C【分析】求圆心关于直线对称得到的圆心，列方程组可求解，从而可确定对称圆的方程. 【详解】设圆()()222124++-=x y 的圆心(2,12)- 关于直线40x y -+=对称的点为(,)a b ，则有12122124022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩整理得106a b a b +=⎧⎨-=⎩解得82a b =⎧⎨=⎩，因为关于直线对称的两个圆半径相等，所以所求圆的半径为2， 所以所求圆方程为()()22824x y -+-=， 故选:C.5．2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫．倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，问大雪、寒露的日影长之和为（ ） A ．21寸 B ．20.5寸C ．20寸D ．19.5寸【答案】A【分析】由题意可得日影长可构成等差数列{}n a ，且14731.5a a a ++=可求出4a ，从而可求出大雪、寒露的日影长之和为2642a a a +=.【详解】因为从冬至到夏至的日影长等量减少，所以日影长可构成等差数列{}n a ，因为冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5， 所以14731.5a a a ++=，则4331.5a =，得410.5a =，所以大雪、寒露的日影长之和为2642210.521a a a +==⨯=（寸）， 故选：A6．在以下命题中：①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若222OP OA OB OC =--，则P ，A ，B ，C 四点共面④若a ，b 是两个不共线的向量，且(),,,0c a b R λμλμλμ=+∈≠，则{},,a b c 构成空间的一个基底 ⑤若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},2,a b b c a c a ++++构成空间的另一个基底；其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D【分析】直接利用空间基底，共面向量，共线向量的基础知识的应用求出结果． 【详解】空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.①根据空间基底的定义，三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；故命题①正确．②由空间基底的定义，若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线，若a ，b 不共线，则a ，b 共面，一定有向量与a ，b 不共面；故命题②正确．③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，当222OP OA OB OC =--时，若P ，A ，B ，C 四点共面，则AP AB AC λμ=+，()()OP OA OB OA OC OA λμ-=-+-，()1OP OA OB OC λμλμ=--++，1222λμλμ--=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，方程组无解，故P ，A ，B ，C 四点不共面；故命题③错误．④若a ，b 是两个不共线的向量，且(,,,0)c a b R λμλμλμ=+∈≠，则向量c 与a ，b 构成共面向量，{,,}a b c 不能构成空间的一个基底；故命题④错误．⑤利用反证法：若{,,}a b b c c a +++不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面， 设()()(,R)a b x b c y c a x y +=+++∈，当0x y +=，a 与b 共线，当0x y +≠，得11y xc a b x y x y--=+++，都有,,a b c 共面，由于{,,}a b c 为空间的一个基底，得出矛盾，所以{,,}a b b c c a +++能够成空间的一个基底，故命题⑤正确． 真命题有3个. 故选：D7．足球起源于中国古代的蹴鞠游戏．“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，已知某“鞠”的表面上有四个点,,,P A B C ，满足2PA =，PA ⊥面ABC ，AC ⊥BC ，若23P ABC V -=，则该“鞠”的体积的最小值为（ ）A B C ．9π2D ．9π8【答案】B【分析】作出辅助线，找到球心的位置，得到PB 为球的直径，推导出要想该“鞠”的体积最小，只需AB 最小，由23P ABC V -=得到2AC BC ⋅=，结合基本不等式，求出AB 最小值，从而得到直径最小值，求出体积最小值.【详解】因为2PA =，PA ⊥面ABC ，AC ⊥BC ，故AB 为三角形ABC 所在小圆的直径，取AB 中点O '，过O '作//P O O A '，交BP 于点O ，则O 即为球心，PB 为球的直径，要想该“鞠”的体积最小，只需PB 最小，由于PB ==故只需AB 最小，其中AB = 故111223323P ABC ABCV SPA AC BC -=⋅=⨯⋅⨯=， 解得：2AC BC ⋅=，由基本不等式得：2224AC BC AC BC +≥⋅=，当且仅当AC BC =故AB 最小值为2，此时直径最小值为PB =所以该“鞠”的体积最小值为34π3=.故选：B【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.8．如图，1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 是双曲线与圆2222x y a b +=+在第二象限的一个交点，点Q 在双曲线上，且1212F P F Q =，则双曲线的离心率为（ ）A 10B 2C 3D 17 【答案】D【分析】连接21,PF QF ,设12PF F θ∠=,设1PF n = ，由题意推得12PF PF ⊥，可得2222n b an =-，根据1212F P F Q =,可得2||2F Q n =，在在12F F Q △中，由余弦定理推得222b an n =-，从而求得32a n = ,2b n =，可得71c =，进而求得双曲线离心率. 【详解】由题意知22122,F F c c a b =+21,PF QF ,设12PF F θ∠=,设1PF n = ，由双曲线的定义可得22PF a n =+，点P 是双曲线与圆2222x y a b +=+在第二象限的一个交点， 可得12PF PF ⊥ ，则222(2)4n a n c ++= ，即2222n b an =-， 在12Rt F PF 中， 12cos cos 2n PF F cθ∠==， 由 1212F P F Q =,则2||2F Q n = ，由双曲线的定义可得122FQ a n =+ , 因为1212F P F Q =，故1F P ∥2F Q ，所以21πQF F θ∠=-， 在12F F Q △中，21cos cos 2nQF F cθ∠=-=-， 由余弦定理可得：222121221221||||||2||||cos Q QF F F F F F F QF F Q =+-⋅∠,即222(2+2)(2)(2)222()2na n n c n c c=+-⋅⋅⋅-，所以222b an n =-， 结合2222n b an =-，可得 32a n =,2b n =， 所以2222174a c b n =+=，故71c = 所以双曲线的离心率为e ，则3172172c e a n ===故选；D【点睛】方法点睛：求解双曲线的离心率问题，一般是要推出,,a b c 之间的关系式，即可求得离心率，本题中，结合题意连接21,PF QF ,设12PF F θ∠=,设1PF n =，利用图形的几何性质，结合余弦定理，逐步求得32a n =,2b n =，则问题得解. 9．如果0AB >，0BC >，那么直线0Ax By C ++=经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】分0,0,0A B C >>>，0,0,0A B C <<<两种情况，得到直线所过象限，得到答案. 【详解】0AB >，0BC >，若0,0,0A B C >>>，则0Ax By C ++=经过第一、二、三象限； 若0,0,0A B C <<<，则0Ax By C ++=经过第二、三、四象限， 综上：直线0Ax By C ++=一定经过第二象限. 故选：B二、多选题10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（ ） A ．若48S S >，则120S < B ．若48S S =，则6S 是n S 中最大的项 C ．若56S S >，则45S S > D ．若34S S >，则45S S >【答案】ABD【分析】根据48S S >可推得670a a +<，利用等差数列的性质以及前n 项和公式，可判断A ；由48S S =可推出670a a +=，进而判断6700a a ><， ，则0d < ，即可判断B ；由56S S >可得60a <，0d <，56a a d =-，无法判断5a 的正负，可判断C ；由34S S >推出40a <，0d <，则540a a d =+<，由此判断D.【详解】由48S S >，得845678672(0)S S a a a a a a -=+++=+< ， 所以670a a +<， 则()112126712()602a a S a a +==+< ，A 正确； 因为48S S =，所以845678672(0)S S a a a a a a -=++++==，即670a a +=， 因为10a >，0d ≠，所以6700a a ><， ，则0d < ，等差数列{}n a 为递减数列， 则则6S 是n S 中最大的项，B 正确； 若56S S >，则650S S -<，即60a < ，因为10a >，0d ≠，则0d <，故56a a d =-，无法判断5a 的正负，故554S a S =+，不能判断45S S >，C 错误； 因为34S S >，所以4340S S a -=<，因为10a >，0d ≠，所以0d <，则540a a d =+<， 则5454S S a S =+<，D 正确， 故选：ABD11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）A ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为π3B ．直线BC 与平面11ABCD 所成的角等于π4C ．点D 到面1ACD 3D ．三棱柱1111AA D BB C -3【答案】ABD【分析】证明11//BC AD ，求出1AD C 即可判断A 项；可证1B C ⊥平面11ABC D ，则直线BC 与平面11ABC D 所成的角为1CBC ∠，即可判断B 项；根据等体积转换11D ACD D ACD V V --=，即可求点D 到面1ACD 的距离，进而判断C 项；三棱柱1111AA D BB C -的外接球即为正方体1111ABCD A B C D -的外接球，直接求正方体外接球的半径即可判断D 项．【详解】对于A 项，如图1，连接AC 、1CD因为AB ∥11C D 且AB =11C D ，则四边形11ABC D 为平行四边形，11//BC AD ，所以异面直线1D C 和1BC 所成的角的大小即等于直线1D C 和1AD 所成的角∠1AD C 的大小.又112AC AD DC ==1ACD △为正三角形，即∠1π3AD C =，故A 正确；对于B 项，如图2，连接1B C .在正方形11BB C C 中，11BC B C ⊥. 因为AB ⊥平面11BB C C ，1B C ⊂平面11BB C C ，所以AB ⊥1B C . 又1ABBC B =，AB ⊂平面11ABC D ，1BC ⊂平面11ABC D ，所以1B C ⊥平面11ABC D .所以，直线BC 与平面11ABC D 所成的角为1π4CBC ∠=，故B 正确；对于C 项，如图1，设点D 到面1ACD 的距离为h .因为1ACD △为正三角形，所以111π3sin 23ACD SAC AD =⨯⨯=.又.1122ACD S AD CD =⨯⨯=.根据等体积转换可知：11D ACD D ACD V V --=，即111133ACD ACD S h S DD ⨯⨯=⨯⨯，即11113323h ⨯=⨯⨯，所以3h ，故C 项错误； 对于D 项，三棱柱1111AA D BB C -的外接球即为正方体1111ABCD A B C D -的外接球， 则外接球的半径即为正方体1111ABCD A B C D -体对角线的一半，即3R D 项正确. 故选：ABD ．12．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律．卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论正确的（ ）A ．卫星向径的取值范围是[],a c a c -+B ．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C ．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小D ．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越圆 【答案】ABC【分析】根据椭圆的定义以及几何性质，结合题意依次判断每个选项，可得答案. 【详解】A 选项：根据椭圆的定义可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离， 所以最小值为a c - ，最大值为a c + ，所以A 正确；B 选项：因为运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律， 所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大， 卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，卫星在左半椭圆弧运动时向径大于在右半椭圆弧运动时的向径， 所以卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B 正确； C 选项︰因为卫星运行速度是变化的，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等， 根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大， 在远地点时向径最大，故速度最小，故C 正确；D 选项：设e 为椭圆得离心率，卫星向径的最小值与最大值的比值越小， 即12111a c e a c e e--==-++++越小，则e 越大，椭圆越扁，故D 不正确， 故选：ABC ．三、填空题13．在三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，3OA =，4OB =，5OC =，D 是AB 的中点，E 为OC 的中点，则DE 与平面OAB 所成的角的正切值为___________．【答案】1【分析】利用空间直角坐标系，求平面的法向量和直线的方向向量，求线面夹角的正弦值即可求解.【详解】因为,,OA OB OC 两两垂直，所以以,,OA OB OC 为,,x y z 轴建系如图，所以35(0,0,0),(3,0,0),(0,4,0),(0,0,5),(,2,0),(0,0,),22O A B C D E35(,2,),22DE =--因为OC ⊥平面OAB ，所以()0,0,5OC =为平面OAB 的一个法向量， 设DE 与平面OAB 所成的角为θ，所以2522sin cos ,29254544DE OC DE OC DE OCθ⋅=<>===++⨯， 因为π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π4θ=，所以tan 1θ=，故答案为:1.14．数列{}n a 中，若11a =，12n n na a n +=+，则10a =___________． 【答案】155【分析】利用累乘法求得{}n a 的通项公式即可求解. 【详解】由12n n na a n +=+可得12n n a n a n +=+，所以324123112311223451(1)(1)n n aaaan a a a a n n n n n --⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯==+++,所以112311223451(1)(1)n a n a n n n n n -⨯=⨯⨯⨯⨯==+++， 因为11a =，所以2(1)n a n n =+，所以1021101155a ==⨯， 故答案为:155. 15．已知椭圆22:1259x y C +=的左焦点为F ，,A B 是C 上关于原点对称的两点，且90AFB ∠=︒，则三角形ABF 的周长为___________．【答案】18【分析】设椭圆右焦点为F ',连接AF '，根据椭圆的对称性可得||||BF AF '=，由90AFB ∠=︒可得||28AB c ==，结合椭圆定义，即可求得答案。

2022-2023学年山东省青岛市青岛第二中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，若棱AB 上存在点P ，使得1D P PC ⊥，则AD 的取值范围是（ ） A ．[)1,2 B ．(1,2⎤⎦C ．(]0,1D ．()0,2【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，设AD a =，求出1D P 、CP ，利用10D P CP ⋅=，求出a 的范围． 【详解】解：如图建立坐标系，设(0)AD a a =>，(02)AP x x =<<， 则(),,2P a x ，()0,2,2C ，()10,0,0D ， ∴()1,,2D P a x =，(),2,0CP a x =-，1D P PC ⊥，∴10D P CP ⋅=，即2(2)0a x x +-=，所以222(1)1a x x x -+--+，当02x <<时，所以(]2(1)10,1x --+∈，所以(]0,1a ∈．故选：C ．2．已知数列{}n a 中，12a =，132n na a +-=，则数列{}n a 的前n 项和n S = A ．3233n n ⨯-- B ．5235n n ⨯-- C ．3253n n ⨯--D ．5255n n ⨯--【答案】B【分析】根据递推关系式构造等比数列{3}n a +，再根据等比数列通项公式得3n a +，即得数列{}n a 的通项公式，最后根据分组求和法求结果并选择. 【详解】因为132n na a +-=，所以123n n a a +=+，即()1323n n a a ++=+，则数列{3}n a +是首项为135a +=，公比为2的等比数列，其通项公式为1352n n a -+=⨯，所以1523n n a -=⨯-，分组求和可得数列{}n a 的前n 项和n S = 5235n n ⨯--． 故选B ．【点睛】形如1(1,0)n n a pa q p pq +=+≠≠的递推关系式，①利用待定系数法可化为1n a +- ()11n q q p a p p =---，当101q a p -≠-时，数列{}1n q a p --是等比数列；②由1n n a pa q +=+，1(2)n n a pa q n -=+≥，两式相减，得11()n n n n a a p a a +--=-，当210a a -≠时，数列1{}n n a a +-是公比为p 的等比数列．3．已知函数()()22ln 223f x x f x x '=+++，则()1f =（ ）A ．－2B ．2C ．－4D ．4【答案】D【分析】先求导，求得()2f '得到()f x 求解. 【详解】解：()()2222f x f x x''=++， 则()()21422f f ''=++， 解得()21f '=-，所以()22ln 23=-++f x x x x ，故()11234f =-++=． 故选：D4．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为8，点H 在棱1AA 上，且12HA =，在侧面11BCC B 内作边长为2的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 在侧面11BCC B 运动时，2HP 的最小值是（ ）A ．87B ．88C ．89D ．90【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，根据P 在11BCC B 内可设出P 点坐标，作1HM BB ⊥，连接PM ，可得222HP HM MP =+，作1PN CC ⊥，根据空间中两点间距离公式，再根据二次函数的性质，即可求得2HP 的范围，即得最小值.【详解】根据题意，以D 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，作1HM BB ⊥，交1BB 于M ，连接PM ，则HM PM ⊥， 作1PN CC ⊥，交1CC 于N ，则PN 即为点P 到平面11CDD C 距离.设(),8,P x z ,则()()()2,8,6,8,8,6,0,8,F M N z ()08,08x z ≤≤≤≤，PN x =， ∵点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，∴PN PF =， 由两点间距离公式可得()()2226x x z =-+-()2446x z -=-，则440x -≥，可得1x ≥，即18x ≤≤.在Rt HMP △中，222HP HM MP =+()()222886x z =+-+-()264844x x =+-+-()2688x =-+()18x ≤≤，所以288HP ≥（当且仅当6x =时取等号）.故选: B.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于建立空间直角坐标系，利用坐标运算，将几何问题转化成代数问题，通过计算二次函数的最小值来突破难点.5．设F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若2AF FB =，则双曲线C 的离心率是（ ） AB ．2 CD【答案】C【分析】设一渐近线OA 的方程为b y x a=，设(,)b A m m a ，(,)bnB n a -，由2AF FB =，求得点A 的坐标，再由FA OA ⊥，斜率之积等于1-，求出223ab，代入c e a = 【详解】解：由题意得右焦点(c,0)F ，设一渐近线OA 的方程为by x a=， 则另一渐近线OB 的方程为by x a=-， 设(,)bmA m a ，(,)bnB n a-， 2AF FB =， 2(c m ∴-，)(bm n c a -=-，)bna-， 2()c m n c ∴-=-，2bm bna a-=-， 34m c ∴=，32c n =，33,44c bc A a ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 由FA OA ⊥可得，斜率之积等于1-，即304134bcb a ca c -=--， 223ab ∴=，c e a ∴=== 故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得点A 的坐标是解题的关键，属于中档题．6．数列{an }，{bn }满足10n n b b ++≠，an ＝b 2n ，且a 1＝b 1＝1，且{bn }的前n 项和为2n na b +，记311n n nc b a =-，n ∈N *，数列{cn }的前n 项和为Sn ，则Sn 的最小值为（ ） A ．23-B ．2936-C ．34-D ．-1【答案】C【分析】先求出bn ＝n ，an =n 2，从而得到2113n c n n=-，判断出10c <，20c <，30c =，当4n ≥时，0n c >.即可求出Sn 的最小值.【详解】记{bn }的前n 项和为2n n n a b T +=，所以1112n n n a bT ++++=，所以111122n n n n n n n a b a b b T T +++++--=+=，所以12211n n n n n n b b a a b b ++++=-=-. 因为10n n b b ++≠，所以11n n b b +-=，所以{bn }为b 1＝1，公差d =1的等差数列，所以bn ＝n . an ＝b 2n =n 2. 所以2311113n n n c b a n n=-=-. 数列{cn }的前n 项和为Sn ，要使Sn 最小，只需把所有的负项都加完. 因为2211333n n c n n n -=-=，所以1203c =-<，20112c =-<，30c =，当4n ≥时，0n c >.所以Sn 的最小值为1331242⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C7．已知点M 是抛物线24x y =上一点，F 是抛物线的焦点，C 是圆22(1)(5)1x y -+-=的圆心，则||||MF MC +的最小值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】B【分析】设抛物线24x y =的准线方程为:1l y =-，过M 作l 的垂线，垂足为E ，进而转化为求||||ME MC +的最小值，在根据几何知识得当C ，M ，E 在一条直线上时||||ME MC +有最小值【详解】解：设抛物线24x y =的准线方程为:1l y =-，C 为圆22(1)(2)1x y ++-=的圆心， 所以C 的坐标为(1,2)-，过M 作l 的垂线，垂足为E ，根据抛物线的定义可知||||MF ME =， 所以问题求||||MF MC +的最小值，就转化为求||||ME MC +的最小值，由平面几何的知识可知，当C ，M ，E 在一条直线上时，此时CE l ⊥，||||ME MC +有最小值，最小值为5(1)6CE =--=，故选：B ．8．在ABC 中，已知60A ︒=，D 是边BC 上一点，且2BD DC =，2AD =，则ABC 面积的最大值为（ ） A 3B 332C ．3D 532【答案】B【分析】设,AB c AC b ==.由题意2,60AD BAC =∠=.则1233AD c b =+，两端平方，根据数量积运算和基本不等式可得6b c ≤，当且仅当2c b =时，等号成立.再由三角形面积公式可求ABC 面积的最大值【详解】设,AB c AC b ==.由题意2,60AD BAC =∠=，2BD DC =. 则()221212333333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC c b =+=+=+-=+=+， 22222212144144cos6033999999AD c b c b b c c b b c ⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭2222142142229999993c b b c c b b c b c =++≥⨯+=， 即24,63b c b c ≥∴≤，当且仅当221499c b =，即2c b =时，等号成立.1133sin 6sin 60222ABCSb c BAC ∴=∠≤⨯⨯=ABC ∴332故选：B .【点睛】本题考查利用向量求三角形的面积，考查基本不等式，属于中档题.二、多选题9．已知直线l 31x y -+＝0，则下列结论正确的是（ ）A ．直线l 的倾斜角是6πB ．若直线m ：1x +＝0，则l ⊥mC ．点到直线l 的距离是2D ．过2)与直线l 40y --= 【答案】BCD【分析】对A ，根据斜率判断即可；对B ，根据直线垂直斜率之积为-1求解即可； 对C ，根据点到线的距离公式求解即可；对D 10y -+=的斜率，再根据点斜式求解即可【详解】对A ，直线l 1y -+＝0所以直线的倾斜角为：,3π所以A 不正确；对B ，直线m ：1x +＝0的斜率为：因为1=-，故两条直线垂直，所以B 正确；对C ，点0)到直线l2，所以C 正确；对D 10y -+=2)与直线l 平行的直线方程是2y x -=-，化40y --=正确，所以D 正确； 故选：BCD ．10．若数列{}n a 满足()12121,1,3,n n n a a a a a n n N --+===+≥∈，则称数列{}n a 为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理､准晶体结构，化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.则下列结论成立的是（ ） A ．713a =B ．135********a a a a a ++++=C ．()2233n n n a a a n -+=+≥D ．62420202021a a a a a ++++=【答案】ABC【分析】根据斐波那契数列的定义计算7a ，判断A ，由递推公式判断BCD ． 【详解】由题意345672,3,5,8,13a a a a a =====，A 正确； 20202019201820192017201620192017322019201731a a a a a a a a a a a a a a =+=++==++++=++++,B 正确；21112n n n n n n n n a a a a a a a a ++--=+=++=+，又12n n n a a a --+=，所以221123n n n n n n n a a a a a a a +---+=++-=，C 正确； 2021202020192020201820172020201843a a a a a a a a a a =+=++==++++20202018421a a a a a =+++++，D错．故选：ABC ．【点睛】关键点点睛：本题考查数列的递推公式，解题关键是利用递推公式求数列的项，对数列的项进行变形．如BD 在变形以最后一项时要注意是哪一项．11．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()222210x y a b a b +=>>上存在点P ，使得122PF PF =，其中1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】AB【分析】根据椭圆的定义结合已知条件求出2||PF ，再根据椭圆的几何性质2||PF a c ≥-即可解出. 【详解】由椭圆定义，121222|||||2|||2|2,|,3|2|3PF PF PF PF PF PF a a a =∴==⇒=+， 由椭圆的几何性质，221||33c a a c e a PF =≥-⇒=≥，又e <1，∴1[,1)3e ∈. 故选：AB.12．在直四棱柱中1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，160,2,BAD AB AD AA P ∠====为1CC 中点，点Q 满足][()1,0,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦.下列结论正确的是（ ）A ．若12λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值 B ．若AQ平面1A BP ，则1AQ C Q +10310+C ．若1A BQ △的外心为O ，则11A B AO ⋅为定值2D ．若17AQ =，则点Q 的轨迹长度为23π【答案】ABD【分析】对于A ，取1,DD DC 的中点分别为,M N ，由条件确定Q 的轨迹，结合锥体体积公式判断A ，对于B ，由条件确定Q 的轨迹为MN ，将原问题转化为平面上两点间的距离最小问题求解；对于C ，由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断，对于D ，由条件确定点Q 的轨迹为圆弧23A A ，利用弧长公式求轨迹长度即可判断.【详解】对于A ，取1,DD DC 的中点分别为,M N ，连接,,,MN DQ AM AN ，则12DD DM =，2DC DN =，1//MN D C ，因为][()1,0,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦，12λμ+=， 所以22DQ DN DM λμ=+，221λμ+=，所以,,Q M N 三点共线，所以点Q 在MN ，因为11//D C A B ，1//MN D C ，所以1//MN A B ,MN ⊄平面1A BP ，1A B ⊂平面1A BP ，所以MN ∥平面1A BP ，所以点Q 到平面1A BP 的距离为定值，因为1A BP 的面积为定值，所以四面体1A BPQ 的体积为定值，所以A 正确，对于B ，因为//AM BP ，因为AM ⊄平面1A BP ，BP ⊂平面1A BP ，所以AM ∥平面1A BP ，又AQ 平面1A BP ，AQAM M =，,AQ AM ⊂平面AMQ ，所以平面//AMQ 平面1A BP ，取11D C 的中点E ，连接PE ，则1//PE D C ，11//D C A B ，所以1//PE A B ，所以1,,,A B P E 四点共面，所以平面//AMQ 平面1A BPE ，平面1A BPE平面11DCC D PE =,平面1A MQ 平面11DCC D MQ =,所以//MQ PE ，又1//PE D C ，所以1//MQ D C ，所以点Q 的轨迹为线段MN ，翻折平面AMN ，使其与五边形11MNCC D在同一平面，如图，则11AQ C Q AC +≥，当且仅当1,,A Q C 三点共线时等号成立，所以1AQ C Q +的最小值为1AC ，因为160,2BAD AB AD AA ∠====，所以5,2AM MN ==，2212cos1204122172AN AD DN AD DN ⎛⎫=+-⋅︒=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以222AM MN AN +=，在1C MN 中，115C M C N ==，2MN =，所以222111152510cos 210252MC MN NC C MN MC MN +-+-∠===⋅⨯⨯，所以211310sin 1cos 10C MN C MN ∠=-∠=，所以111π310cos cos sin 210AMC C MF C MF ⎛⎫∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭，在1AMC 中，5AM =，15MC =，1310cos 10AMC ∠=，所以2211113102cos 5525510AC MA MC MA MC AMC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭，所以110310AC =+，即1AQ C Q +的最小值为10310+，所以B 正确，对于C ，若1A BQ △的外心为O ，过O 作1OH A B ⊥于H ，因为2212222A B =+=()21111111142A B AO A B A H HO A B A H A B ⋅=⋅+=⋅==，所以C 错误，对于D ，过1A 作111A K C D ⊥，垂足为K ，因为1DD ⊥平面1111D C B A ，1A K ⊂平面1111D C B A ，所以11DD A K ⊥，因为1111C D DD D =，111,C D DD ⊂平面11DD C C ，所以1A K ⊥平面11DD C C ，因为KQ ⊂平面11DD C C ，所以1A K KQ ⊥， 又在11A KD 中，111111ππ2,,23A D A KD A D K =∠==， 所以111πcos13KD A D ==，111πsin 33A K A D ==， 在1A KQ 中，13A K =，17AQ =，1π2A KQ ∠=，所以2KQ =，则Q 在以K 为圆心，2为半径的圆上运动，在111,DD D C 上取点32,A A ，使得13123,1D A D A ==，则322KA KA ==，所以点Q 的轨迹为圆弧23A A ，因为1131,3D K D A ==，所以323A KA π∠=，则圆弧23A A 等于23π，所以D 正确， 故选：ABD.【点睛】本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，再结合锥体体积公式，空间图形与平面图形的转化解决问题.三、填空题13．已知空间三点()0,1,2A ，()1,3,5B ，()2,5,4C k -在一条直线上，则实数k 的值是___________ 【答案】4-【分析】先计算AB 、AC 的坐标，利用空间向量共线定理即可求解.【详解】因为()0,1,2A ，()1,3,5B ，()2,5,4C k -， 所以()1,2,3AB =，()2,4,2AC k =-，因为空间三点()0,1,2A ，()1,3,5B ，()2,5,4C k -在一条直线上，所以AC AB λ=，即22432kλλλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩解得24k λ=⎧⎨=-⎩，所以实数k 的值是4-， 故答案为：4-.14．如图，()y f x =是可导函数,直线l 是曲线()y f x =在2x =处的切线，令()()f x g x x=，则)'(2g =___________.【答案】12-【分析】根据导数的几何意义，结合函数图像，确定'(2),(2)f f 的值，根据()()f x g x x=，对()g x 求导，即可求解.【详解】由图像可知，(2)3f =，切线过(2,3)、(0,2)，'321(2)==202f k -=-切 ()()f xg x x =，求导'''22()()1()()()f x x f x f x x f x g x x x ⋅-⋅⋅-== 2'(2)2(2)1(2)22f fg ⋅-∴==-故答案为：12-【点睛】导数的几何意义：函数在某一点0x 处的导数等于在这一点处的切线的斜率.15．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为A ，经过原点的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，若||PQ a =，AP PQ ⊥，则椭圆C 的离心率为________.25【分析】设点P 在第一象限，由对称性可得||||22PQ a OP ==，推导出60POA ∠=︒，(4a P ，由此能求出椭圆的离心率．【详解】解：不妨设点P 在第一象限，由对称性可得||||22PQ aOP ==， AP PQ ⊥，在Rt POA ∆中，||1cos ||2OP POA OA ∠==，60POA ∴∠=︒，(4aP ∴， 代入椭圆方程得：2222311616a a a b +=， 222255()a b a c ∴==-，整理得2a =，∴离心率c e a ==．． 【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用，属于中档题．四、双空题16．对于正整数n ，设n x 是关于x 的方程：()222253log 1nn n n x x x ++++=的实根，记12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则1a =______；若πsin 2n n n b a =⋅，n S 为{}n b 的前n 项和，则2022S =______．【答案】 1 506【分析】当1n =时，化简方程，通过构造函数的方法，找到函数零点的范围，进而可求得1a ，令12nt x =，化简方程，通过构造函数的方法，找到函数零点的范围，即得n t 的范围，分类讨论n 为奇数和偶数时的n a ，从而可得出答案. 【详解】解：当1n =时，()2238log 10x x x x +=>，即3218log 0x x +-=， 令()()3218log 0g x x x x =+->， 因为函数321log ,y x y x ==-在()0,∞+上都是增函数，所以函数()g x 在()0,∞+上都是增函数，又1819203g ⎛⎫=--=-< ⎪⎝⎭，3318log 244log 202g ⎛⎫=--=-> ⎪⎝⎭，所以函数()g x 在11,32⎛⎫⎪⎝⎭存在唯一零点，即111,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1131,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以11112a x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，方程()222253log 1nn n n x x x ++++=，即为222153log n n n n x x ++++=， 即为2221log 530n n x n n x +----=， 令12n t x =，则12n x t=，则有()2222log 2530n t n t n n +-+--=， 令()()2222log 253n f t t n t n n +-=+--， 则函数()f t 在()0,∞+上递增，因为()()()222211log 153log 13202n n n f n n n n n n n n +++⎛⎫=+++--=+--< ⎪-⎝⎭， ()222253102n f n n n n +⎛⎫=++---=> ⎪⎝⎭， 所以12,22n n t ++⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()0f t =， 当21,N n k k +=-∈时，21,2n k t k +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则[]n n a t k ==，当2,N n k k +=∈时，21,12n k t k +⎛⎫∈+⎪⎝⎭，则[]n n a t k ==， 当2,N n k k +=∈时，sin02n π=， 所以202212342019202020212022S b b b b b b b b =+++++++572019202113b b b b b b +++=++ 1357201720192021a a a a a a a =-+-++-+()()()1234100910101011=-+-++-+150********=-⨯+=.故答案为：1；506.【点睛】本题考查了方程的根与函数的零点的问题，考查了数列新定义及数列求和的问题，综合性很强，对逻辑推理能力和数据分析能力要求很高，考查了分类讨论思想，难度很大.五、解答题17．已知点P 在曲线4e 1xy =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，求α的取值范围． 【答案】3π,π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】由题，tan y '=α，求出y '，结合均值不等式讨论y '的值域，即可求得tan α的范围，即可进一步求得α的取值范围【详解】函数4e 1x y =+的导数为()244112e e e exx x x y '=-=-+++．因为1e 2e x x +≥，所以1e 24e x x ++≥， 所以[1,0)y '∈-，即tan [1,0)∈-α；因为0πα<<，所以3ππ4α≤<，即3π,π4⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭α． 18．已知函数()212f x x x =-++. （1）求不等式()4f x >的解集；（2）若()f x 的最小值为m ，且实数a ，b 满足342a b m -=，求()()2221a b -++的最小值.【答案】（1）{1x x <-或}1x > ；（2）1.【解析】（1）先将函数解析式化为()31,213,22131,2x x f x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，分别讨论2x ≤-，122x -<<，12x ≥三种情况，即可得出结果； （2）先由（1）得到52m =，得出3a −4b −5=0，根据()()2221a b -++的几何意义，即可求出结果. 【详解】本题考查绝对值不等式的解法和点到直线的距离公式，考查分类讨论思想和转化思想.（1）()31,212123,22131,2x x f x x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=-++=-+-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩.由()4f x >，可得2314x x ≤-⎧⎨-->⎩，或12234x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+>⎩，或12314x x ⎧≥⎪⎨⎪+>⎩，解得2x ≤-或2<<1x --或1x >. 所以不等式的解集为{1x x <-或}1x >（2）由（1）易求得()min 11531222f x f ⎛⎫==⨯+= ⎪⎝⎭，即52m =.所以3425a b m -==，即3450a b --=.()()2221a b -++表示点2,1与点(),a b 的距离的平方.又点(),a b 在直线3450x y --=上.因为点2,1到直线3450x y --=的距离()()2223415134d ⨯-⨯--==+-，所以()()2221a b -++的最小值为21d =.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和点到直线的距离公式，考查分类讨论思想和转化思想,属于中档题.19．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点．（1）求证：直线BA 1//平面1ADC（2）求平面1ADC 与平面1A BA 所成的锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见详解；（2）23【分析】（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出向量1A B 的坐标和平面1ADC 的一个法向量，由数量积为零即可证明结论；（2）首先求得平面ADC 1与平面ABA 1的法向量，利用法向量的夹角求得二面角．【详解】（1）依题意得，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0，2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以1A B ＝(2,0，－4), 设平面ADC 1的法向量为(),,n x y z =，因为AD ＝(1,1,0)，1AC ＝(0,2,4)，所以n ·AD ＝0，n ·1AC ＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n ＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量, 因为110A B n ⋅=，且1A B ⊄平面1ADC 所以1A B ∥1ADC 平面；（2）取平面ABA 1的一个法向量为()0,1,0m =，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ， 由|cos θ|＝n m n m⋅＝291⨯＝23， 因此平面1ADC 与平面1A BA 所成的锐二面角的余弦值为23．【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算；(2)设,m n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n 互补或相等，求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺锈最简单的四个图案，这些图案都是由小正方向构成，小正方形数越多刺锈越漂亮，向按同样的规律刺锈（小正方形的摆放规律相同），设第n 个图形包含(n)f 个小正方形(1)求(6)f 的值 (2)求出()f n 的表达式 (3)求证：当2n ≥时，11113(1)(2)1(3)1()12f f f f n ++++<---【答案】(1)61；(2)()2221f n n n =-+；(3)见解析【分析】（1）根据列举法找规律，得到()6f 的值；（2）同样根据列举法找规律()()14f n f n n +-= ，根据累加法得到()f n 的表达式；（3）根据（2）的结果，代入可得()1111121f n n n ⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，利用累加法求和，再根据数列的单调性证明不等式.【详解】（1）()11f =，()2145f =+=，()314813f =++=，()41481225f =+++=，()5148121641f =++++=，()614812162061f =+++++=. （2）∵()()21441f f -==⨯，()()32842f f -==⨯，()()431243f f -==⨯，()()541644f f -==⨯，由上式规律得出()()14f n f n n +-=．()()()()()()()()()()11232211f n f n f n f n f n f f f f f =--+---++-+-+()()414242411n n =-+-++⨯+⨯+()()()111412n n +--=⋅+2221n n =-+（3）证明：当2n ≥时，211111()12221f n n n n n ⎛⎫==- ⎪---⎝⎭，∴111111111111(1)(2)1(3)1()122231f f f f n n n ⎛⎫++++=+-+-++- ⎪----⎝⎭113111222n n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭.∵313222n -<，∴命题成立. 21．已知椭圆22111814x y C +=:的左右焦点分别为12F F 、，双曲线222221(00)x y C a b a b-=>>，：与1C 共焦点，点A 在双曲线2C 上． （1）求双曲线2C 的方程：（2）已知点P 在双曲线2C 上，且1260F PF ︒∠=，求12PF F △的面积．【答案】（1）22122x y -=；（2）【解析】（1）首先求焦点坐标，再利用双曲线的定义122a AF AF =-，求双曲线方程；（2）结合余弦定理和双曲线的定义，求12PF PF .【详解】（1）由椭圆方程可知218144c =-=， ∴()12,0F -，()22,0F ，()3,7A ,122a AF AF ∴=-==22a ∴=，222422b c a =-=-=，∴双曲线2C 的方程22122x y -=；（2）设点P 在双曲线的右支上，并且设1PF x =，2PF y =，222416x y c x y xy ⎧-=⎪∴⎨==+-⎪⎩， 变形为()2168168x y xy xy xy -+=⇒+=⇒=， 12121sin 60232PF F SPF PF ∴==22．已知函数2()ln f x x ax x =-+，()1()e 1ln x g x x x x=--． (1)当1a =时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)设a<0，若1(0,e)x ∀∈，2(0,)x ∈+∞，都有()()1210f x g x <，求实数a 的取值范围．【答案】(1)22y x =- (2)9e ,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【分析】（1）先求导，再求出(1)f '与(1)f ，再由点斜式求解即可；（2）1(0,e)x ∀∈，2(0,)x ∈+∞，都有()()1210f x g x <，则()()max min 10f x g x <成立， 用导数法分别研究()()max min ,f x g x 即可求解 【详解】（1）当1a =时，2()ln f x x x x =-+， 1()21f x x x'=-+， ∵(1)0f =， ∴切点为(1,0)， ∵(1)2f '=， ∴切线斜率2k =， ∴切线方程为22y x =- （2）1()2f x x a x'=-+，0x >． 当a<0时，()0f x '>，()f x 单调递增，∴1(0,e)x ∀∈，()21(e)e e 1f x f a <=-+．1ln ()e xx g x x x=--，0x >，22e ln ()x x xg x x +'=令2()ln x h x x e x =+，0x >，()21()2e 0xh x x x x'=++> ∴()h x 在(0,)+∞上单调递增，且(1)0h e =>，121e 10e e eh ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，∴01,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即0200e ln 0xx x +=，也即001ln 000000ln 111e ln ln e x x x x x x x x ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭． 令()e x m x x =，0x >，()(1)e x m x x '=+， 显然0x >时，()0m x '>，()m x 单调递增， ∴001lnx x =，即01e x x =．第 21 页 共 21 页 ∵当()00,x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增，∴()000min 0000ln 1()e e 1x x x g x g x x x x ==--==． ∵1(0,e)x ∀∈，2(0,)x ∈+∞，都有()()1210f x g x <， ∴2e e 110a -+≤，得9e e a ≥-，故实数a 的取值范围为9e ,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．。