高二数学上学期期末试题

2022-2023学年河南省信阳市信阳高级中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．双曲线22132x y -=的渐近线方程是（ ）A ．23y x =± B ．32y x =±C ．y =D ．y = 【答案】D【分析】根据焦点在横轴上双曲线的渐近线方程直接求解即可.【详解】由题得双曲线的方程为22132x y -=，所以a b =，所以渐近线方程为b y x a =±=． 故选：D2．若平面α的法向量为μ，直线l 的方向向量为v ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是（ ） A ．cos ||||v v μθμ⋅=B ．||cos ||||v v μθμ⋅=C ．sin |||vv μθμ⋅=∣D ．||sin ||||v v μθμ⋅=【答案】D【分析】由线面角的向量求法判断 【详解】由题意得||sin ||||v v μθμ⋅=， 故选：D3．若抛物线C ：22x py =的焦点坐标为()0,1，则抛物线C 的方程为（ ） A ．22x y =- B ．22x y =C ．24x y =-D ．24x y =【答案】D【分析】由已知条件可得12p=，求出p ，从而可求出抛物线的方程. 【详解】因为抛物线C ：22x py =的焦点坐标为()0,1，所以12p=，得2p =， 所以抛物线方程为24x y =， 故选：D4．函数()f x 的定义域为R ，导函数()f x '的图象如图所示，则函数()f x （ ）A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点 【答案】C【分析】设()f x '的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为1234,,,x x x x ，根据导函数的图象写出函数的单调区间，再根据极值点的定义即可得出答案.【详解】解：设()f x '的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为1234,,,x x x x ， 当1x x <或23x x x <<或4x x >时，0fx，当12x x x <<或34x x x <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()1,x -∞，()23,x x 和()4,x +∞上递增， 在()12,x x 和()34,x x 上递减，所以函数()f x 的极小值点为24,x x ，极大值点为13,x x ， 所以函数()f x 有两个极大值点、两个极小值点. 故选：C ．5．已知点1,0A ，直线l ：30x y -+=，则点A 到直线l 的距离为（ ）A ．1B ．2C D ．【答案】D【分析】利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】已知点(1,0)A ，直线:30l x y -+=，则点A 到直线l =故选：D .6．已知A ，B ，C ，D ，E 是空间中的五个点，其中点A ，B ，C 不共线，则“存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+是“//DE 平面ABC ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用存在实数x ，y ，使得DE xAB y AC =+⇔//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，结合充分必要条件的定义即可求解.【详解】若//DE 平面ABC ，则,,DE AB AC 共面，故存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+，所以必要性成立；若存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+，则,,DE AB AC 共面，则//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，所以充分性不成立；所以 “存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+是“//DE 平面ABC ”的必要不充分条件， 故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数x ，y ，使得DE xAB y AC =+⇔//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC 是解题的关键，属于基础题.7．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．（1B ．（1C ．∞）D ．，＋∞）【答案】C【分析】根据渐近线的斜率的范围可求离心率的范围. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为by x a=，由题意得2b a >，所以双曲线的离心率c e a ==故选：C.8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()0xf x f x '-<，且()20f -=，则不等式()0f x x>的解集是（ ）． A ．()()2,00,2-⋃ B ．()(),22,∞∞--⋃+ C ．()()2,02,-+∞ D ．()(),20,2-∞-【答案】D 【分析】记()()(),0f x g x x x=≠.判断出()g x 的奇偶性和单调性，即可解不等式. 【详解】记()()(),0f x g x x x=≠.因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x -= 因为()()()()f x f x g x g x x x --==-=--，所以()g x 为奇函数，所以()()()()222222f fg g --==-=--. 因为()20f -=，所以()()220g g -==. 当0x >时，()()()20xf x f x g x x'-'=<，所以()g x 在()0,∞+上单减.因为()g x 为奇函数，图像关于原点对称，所以()g x 在(),0∞-上单减. 不等式()0f x x>即为()0g x >.当0x >时， ()g x 在()0,∞+上单减，且()20g =，所以()0g x >的解集为()0,2； 当0x <时， ()g x 在(),0∞-上单减，且()20g -=，所以()0g x >的解集为(),2-∞-. 综上所述：()0f x x>的解集为()(),20,2-∞-.故选：D二、多选题9．下列导数运算正确的有（ ）A ．211x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()(1)x x xe x e '=+C ．()222x x e e '=D ．()2ln 2x x'=【答案】BC【分析】根据导数的运算法则逐项运算排除可得答案.【详解】对于A ，()12211x x x x --'⎛⎫'==-=- ⎪⎝⎭，故错误；对于B ， ()()(1)x x x x xe x e x e x e '''==++，故正确； 对于C ， ()()22222x x x e x e e ''==，故正确； 对于D ， ()()''11ln 222x x x x==，故错误. 故选：BC.10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，其公差1d >，且7916+=a a ，则（ ）． A ．88a = B ．15120S = C ．11a < D ．22a >【答案】ABC【分析】利用等差数列基本量代换，对四个选项一一验证.【详解】对于A ：因为7916+=a a ，所以978216a a a +==，解得：88a =.故A 正确； 对于B ：()1158151521581512022a a a S +⨯⨯===⨯=.故B 正确；对于C ：因为88a =，所以178a d +=，所以187a d =-. 因为1d >，所以11a <.故C 正确；对于D ：因为88a =，所以268a d +=，所以286a d =-. 因为1d >，所以22a <.故D 错误. 故选：ABC11．已知曲线1C ：函数()nx m f x x m+=-的图像，曲线()()2222:12C x y r -+-=，若1C 的所有对称轴平分2C ，且1C 与2C 有公共点，则r 的值可以等于（ ）．ABCD ．3【答案】BD【分析】先将()f x 整理成()nm mf x n x m+=+-可得()f x 的所有对称轴都经过(),m n ，故可求得1,2m n ==，再计算()f x 上的点到圆心()1,2M 的最短距离即可求得答案【详解】因为()nx m nm mf x n x m x m++==+--，且()f x 是由nm m y x +=向右平移m 个单位长度，向上平移n 个单位长度得到，nm my x+=的所有对称轴都经过()0,0， 所以()nx m nm mf x n x m x m++==+--的所有对称轴都经过(),m n ， 因为1C 的所有对称轴平分2C ，所以1C 的所有对称轴经过2C 的圆心()1,2M ， 所以1,2m n ==，所以()321f x x =+-， 设函数()f x 图象上的动点3,21P x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，则()()2233121611MP x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+≥-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，当且仅当311x x -=-时，取等号， 所以()f x 上的点到圆心()1,2M 的最短距离为6， 若1C 与2C 有公共点，则6r ≥ 故选：BD12．我国知名品牌小米公司今年启用了具备“超椭圆”数学之美的全新Logo ．新Logo 将原本方正的边框换成了圆角边框（如图），这种由方到圆的弧度变化，为小米融入了东方哲学的思想，赋予了品牌生命的律动感．设计师的灵感来源于数学中的曲线:1nnC x y +=，则下列有关曲线C 的说法中正．确．的是（ ）．A ．对任意的n ∈R ，曲线C 总关于原点成中心对称B ．当0n >时，曲线C 上总过四个整点（横、纵坐标都为整数的点） C ．当01n <<时，曲线C 围成的图形面积可以为2D ．当1n =-时，曲线C 上的点到原点最近距离为22【答案】ABD【分析】对于A ：利用代数法验证；对于B ：直接求出曲线C 过四个整点()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--，即可判断；对于C ：先判断出||||1x y +=与坐标轴围成的面积为2，再判断出1n nx y +=在||||1x y +=内部,即可判断；对于D ：表示出距离222221x d x y x x ⎛⎫=+=+ ⎪-⎝⎭.令()11x t t -=>-,利用基本不等式求出最小值.【详解】对于A ：在曲线:1nnC x y +=中,以x -替换x ,以y -替换y ,方程不变,则曲线C 关于原点成中心对称.故A 正确；对于B,当0n >时,令0x =,得1y =±；令0y =,得1x =±.曲线C 总过四个整点()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--.故B 正确；对于C ：当01n <<时,由1n nx y +=,得:1,1x y ≤≤,且等号不同时成立. ∴||||||||1n n x y x y +>+=.又||||1x y +=与坐标轴围成的面积为2222⨯=，且1n nx y +=在||||1x y +=内部,则曲线C 围成图形的面积小于2.故C 错误.对于D ：当1n =-时,曲线C 的方程为：11||||1x y --+=.不妨令,x y 均大于0,曲线化为111x y +=，即1x y x =-，则222221x d x y x x ⎛⎫=+=+ ⎪-⎝⎭. 令()11x t t -=>-,则2222222112(1)2228t t d t t t t t t ++=++=++++≥=，当且仅当221t t =且22t t=,即1t =时等号成立.结合对称性可知,曲线C上点到原点距离的最小值为故D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知{}n a 是公比为2的等比数列，则1234a a a a ++的值为______． 【答案】14##0.25【分析】利用等比数列的通项公式计算即可. 【详解】{}n a 是公比为2的等比数列，121113411123148124a a a a a a a a a a ++∴===++ 故答案为：14.14．设点P是曲线32y x =+上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是______.【答案】20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【分析】求出23'=y xtan α≥α的范围可得答案. 【详解】∵23y x '=≥∴tan α≥ 又∵0απ≤≤， ∴02πα≤<或23a ππ≤< 则角α的取值范围是20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.故答案为：20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.15．已知数列{}n a 满足()21n a n m n =--，若满足123456a a a a a a <<<<<且对任意[)9,n ∈+∞，都有1n n a a +>，则实数m 的取值范围是______．【答案】1016,1117⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由123456a a a a a a <<<<<解出1111m -<，由对任意[)9,n ∈+∞，都有1n n a a +>，解出1117m ->，即可求出实数m 的取值范围. 【详解】因为()21n a n m n =--，若满足123456a a a a a a <<<<<，所以()()()()()()222222111212313414515616m m m m m m --⨯<--⨯<--⨯<--⨯<--⨯<--⨯，解得：1111m -<. 因为对任意[)9,n ∈+∞，都有1n n a a +>，由二次函数的性质可得：()()101910212m m ⎧--<⎪+⎨-<⎪--⎩，解得：1117m ->. 所以1111711m <-<，解得：10161117m <<. 所以实数m 的取值范围为1016,1117⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：1016,1117⎛⎫⎪⎝⎭16．若方程2l e n 1x x ax x -=--存在唯一实根，则实数a 的取值范围是_____.【答案】(]1,01e ⎧⎫-∞+⎨⎬⎩⎭【分析】方程2l en 1xx ax x -=--存在唯一实根，则2ln 1e x x a x x-++=存在唯一实根，则函数y a =与函数()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>有唯一的交点，利用导数分析()f x 的单调性，并在同一坐标系中做出y a =与函数()e ln 1x f x xx x +=+的图象，即可求解【详解】方程2l e n 1x x ax x -=--存在唯一实根， 则2ln 1e x x a x x-++=存在唯一实根，令()()2ln 10e ,x x x x xf x -++=>，则()()2221e n e e 2l 1x x x x x x x x x x f x ---⎛⎫-+⋅- +⎪⎭+⎝'= ()222231l e l e n e n x x x x x x x x xx x ----+==-⋅-- 令()()()2211ln e e ln xxx x h x x x x x --⋅=-++⋅=，注意到()10h =，则()10f '=，且当()0,1x ∈时，210,ln 0,0,e 0x x x x >-<><， 所以()()22110,n e el 0x xx x x x x ⋅⋅--<+<，即()0h x <； 当()1,x ∈+∞时，210,ln 0,0,e 0x x x x >->>>， 所以()()22110,n e el 0x xx x x x x ⋅⋅-->+>，即()0h x >； 所以当()0,1x ∈时，0fx，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； 又()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>， 当()1,x ∈+∞时，()0f x >恒成立； 当0x →时，()f x →-∞；所以()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>的大致图象为：由2ln 1e xx a x x-++=存在唯一实根，则函数y a =与函数()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>有唯一的交点，由图象可知0a ≤或11ea =+时满足条件，所以方程2l e n 1x x ax x -=--存在唯一实根时， 实数a 的取值范围是(]1,01e a ⎧⎫∈-∞⋃+⎨⎬⎩⎭故答案为：(]1,01e ⎧⎫-∞⋃+⎨⎬⎩⎭四、解答题17．已知函数321()213f x x x =-++.（1）求()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值与最小值.【答案】（1）单调递增区间为[]0,4；单调减区间为(),0∞-和()4,+∞；（2）()min 1f x =；()max 193f x =. 【解析】（1）求出导函数，令0fx，求出单调递增区间；令()0f x '<，求出单调递减区间.（2）求出函数的单调区间，利用函数的单调性即可求解. 【详解】(1)函数()f x 的定义域是R ， 2()4f x x x '=-+，令()0f x '≥，解得04x ≤≤ 令()0f x '<，解得>4x 或0x <， 所以()f x 的单调递增区间为[]0,4， 单调减区间为(),0∞-和()4,+∞； (2)由()()1f x 在[)1,0-单调递减，在[]0,2单调递增，所以()()min 01f x f ==，而()81928133f =-++=，()11012133f -=++=， 故最大值是()9231f =. 18．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线与x 轴交于点()1,0M -．（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点M 的直线l 与抛物线C 相切，求直线l 的方程．【答案】（1）24y x =；（2）10x y -+=或10x y ++=【解析】（1）利用准线方程2p x =-求解 （2）设出直线方程，与抛物线方程联立，利用0∆=求解.【详解】（1）2:2(0)C y px p =>的准线2p x =-过()1,0M - 故12p -=-，则2p = 抛物线方程为24y x =（2）设切线方程为1x my =-与抛物线方程联立有2440y my -+=()24160m ∆=-=故1m =±故直线l 的方程为：10x y -+=或10x y ++=【点睛】求抛物线的切线方程的方法：方法一：将抛物线转化为二次函数，然后利用导数求解切线方程，这在开口朝上的抛物线中经常用到。

一、单选题1．直线的倾斜角为（ ） 50x +=A ． B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】D【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角.【详解】直线可化为 50x +=y x =则斜率，满足， tan k α==α0180α≤<︒所以倾斜角为. 150︒故选：D2．下列有关数列的说法正确的是（ ）A ．数列1，0，，与数列，，0，1是相同的数列 1-2-2-1-B ．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列C ．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为 2n a n =D ，…的一个通项公式为n a =【答案】D【分析】根据数列的定义和表示方法，逐一判断，即可得到本题答案.【详解】对于选项A ，数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1中的数字排列顺序不同，不是同一个数列，故A 错误；对于选项B ，常数数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B 错误； 对于选项C ，当时，，故C 错误；1n =120a =≠对于选项D ，因为123a a a =====4a ==…，所以数列的一个通项公式为D 正确. n a =故选：D3．已知直线l 过点且方向向量为，则l 在x 轴上的截距为（ ） ()3,4-()1,2-A ． B ．1C ．D ．51-5-【答案】A【分析】先根据方向向量求得直线的斜率，然后利用点斜式可求得直线方程，再令，即2k =-0y =可得到本题答案.【详解】因为直线的方向向量为，所以直线斜率， l ()1,2-2k =-又直线过点，所以直线方程为，即， l ()3,4-42(3)y x -=-+220x y ++=令，得，所以在x 轴上的截距为-1. 0y ==1x -l 故选：A4．已知，“直线与平行”是“”的（ ）m ∈R 1:0l mx y +=22:910l x my m +--=3m =±A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据平行的成比例运算即可求解.【详解】直线与平行1:0l mx y +=22:910l x my m +--=则， 210=91m m m ≠--所以， 29m =解得，3m =±经检验，均符合题意， 3m =±故选：C.5．已知等差数列中，，是函数的两个零点，则{}n a 5a 14a 232()=--x x x f 381116a a a a +++=（ ） A ．3 B ．6C ．8D ．9【答案】B【分析】由等差数列的性质进行计算即可.【详解】由已知，函数的两个零点，即方程的两根，， 232()=--x x x f 2320x x --=1x 2x ∴， 51412331a a x x -+=+=-=∵数列为等差数列， {}n a ∴， 3168115143a a a a a a +=+=+=∴. 3811166a a a a +++=故选：B.6．已知圆关于y 轴对称的圆与直线相切，则m 的值为（ ）221:230C x y x ++-=2C x m =A ．B ．3C ．或3D ．1或1-1-3-【答案】C【分析】先求出关于y 轴对称的圆的标准方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径，列出方2C 程求解，即可得到本题答案.【详解】由圆，可得标准方程，圆心为，半径， 221:230C x y x ++-=22(1)4x y ++=(1,0)-2r =故关于轴对称的圆的圆心为，半径，则其标准方程为， y 2C (1,0)2r =22(1)4x y -+=又因为圆与直线相切，所以圆心到切线的距离等于半径， 2C x m =即，解得或. 12m -=1m =-3m =故选：C7．已知数列满足，且，则数列的前项和为（ ） {}n a 13n n a a +=11a =-{}2n a n +5A ． B ． C ． D ．151-91-91151【答案】B【分析】由等比数列的定义判断出数列为等比数列，再使用分组求和法求解即可. {}n a 【详解】∵数列满足，且， {}n a 13n n a a +=11a =-∴数列是首项为，公比为的等比数列，{}n a 1-3∴，11133n n n a --=-⨯=-∴数列的前项和为，{}2n a n +5()()()()()01234532343638310S =-++-++-++-++-+()()0123433333246810=-----+++++()()51132105132-⨯-+⨯=+-12130=-+.91=-故选：B.8．已知椭圆过点且与双曲线有相同焦点，则椭圆的离心率22221(0)x y a b a b +=>>()3,2-22132x y -=为（ ）A B C D 【答案】C【分析】由题可得，，联立方程可求得，然后代入公式，即225a b -=22941a b +=22,a b e =可求得本题答案.【详解】因为椭圆与双曲线有相同焦点，所以椭圆两个焦点分别为22132x y -=12(F F ，则①， 2225c a b =-=又椭圆过点，所以②， ()3,2P -22941a b +=结合①，②得，，2215,10a b ==所以， e ==故选：C9．已知圆与圆的公共弦长为2，则m 的值为221:2220C x y x y +-+-=222:20(0)C x y mx m +-=>（ ）A B ．C D ．332【答案】A【分析】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解. 【详解】联立和, 222220x y x y +-+-=2220x y mx +-=得，由题得两圆公共弦长，(1)10m x y -+-=2l =圆的圆心为，半径， 221:2220C x y x y +-+-=(1,1)-r 2=圆心到直线(1,1)-(1)10m x y -+-=，===平方后整理得,， 2230m -=所以 m m =故选：A.10．“斐波那契数列”又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，…，即斐波那契数列满足，，设其前n 项和为，若，则{}n a 121a a ==21++=+n n n a a a n S 2021S m =2023a =（ ） A ． B ．mC ．D ．1m -1m +2m 【答案】C【分析】由斐波那契数列满足，归纳可得，令{}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+21m m a S +=+2021m =，即可求得本题答案.【详解】因为斐波那契数列满足， {}n a 12121,1,n n n a a a a a --===+所以，321a a a =+， 432211a a a a a =+=++， 5433211a a a a a a =+=+++……， 21122111m m m m m m m a a a a a a a a S ++--=+=++++++=+ 则. 2023202111a S m =+=+故选：C11．如图，在直四棱柱中，底面ABCD 是边长为2的正方形，，M ，N 分1111ABCD A B C D -13D D =别是，AB 的中点，设点P 是线段DN 上的动点，则MP 的最小值为（ ）11B CA B C D 【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，根据两点距离公式表示，利用二次函数求值P MP 域，即可得到本题答案.【详解】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空D 1,,DA DC DD x y z 间直角坐标系.因为底面ABCD 是边长为2的正方形，，所以， 13D D =(1,2,3)M ∵点在平面上，∴设点的坐标为，P xOy P ()[],,0,0,1x y y ∈∵在上运动，∴，∴，∴点的坐标为， P DN 2AD x y AN==2x y =P (2,,0)y y==∵，∴当时， 取得最小值. []0,1y ∈45y =MP 故选：D12．已知双曲线C ：l 与C 相交于A ，B 两2221(0)y x b b-=>点，若线段的中点为，则直线l 的斜率为（ ） AB ()1,2NA ．B ．1CD ．21-【答案】B【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线的斜率.l 【详解】因为双曲线的标准方程为，2221(0)y x b b-=>所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为， (,0)c 0bx y -=所以焦点到渐近线的距离，化简得，解得，d =2222(1)b c b =+22b =所以双曲线的标准方程为，2212y x -=设，所以①，②， 1122(,),(,)A x y B x y 221112y x -=222212y x -=①-②得，，222212121()()02x x y y ---=化简得③，121212121()()()()02x x x x y y y y +--+-=因为线段的中点为，所以， AB ()1,2N 12122,4x x y y +=+=代入③，整理得， 1212x x y y -=-显然，所以直线的斜率. 1212,x x y y ≠≠l 12121y y k x x -==-故选：B二、填空题13．已知A （1，－2，11）、B （4，2，3）、C （x ，y ，15）三点共线，则xy=___________. 【答案】2．【详解】试题分析：由三点共线得向量与共线，即，，AB AC ABk AC = (3,4,8)(1,2,4)k x y -=-+，解得，，∴． 124348x y -+==-12x =-4y =-2xy =【解析】空间三点共线．14．已知抛物线的焦点为F ，直线与抛物线交于点M ，且，则22(0)x py p =>2x =2MF =p =_______. 【答案】2【分析】先求点的纵坐标，然后根据抛物线的定义，列出方程，即可求得的值.M p 【详解】把代入抛物线标准方程，得，2x =22(0)x py p =>2(2,)M p 根据抛物线的定义有，，化简得，，解得. 222p MF MH p==+=244p p +=2p =故答案为：215．已知点，点为圆上的任意一点，点在直线上，其中为坐标原(1,1)--P M 22:1C x y +=N OP O点，若恒成立，则点的坐标为______.|||MP MN =N【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】设和的坐标，由，列等式，利用点在圆上，点在直线上，NM |||MP MN =M N OP 化简得恒成立的条件，求得点的坐标.N 【详解】易知直线的方程为，由题意可设，OP 0x y -=00(,)N x x 设，则可得，由，可得(,)M x y ''221x y ''+=||||MP MN 22222200||(1)(1)||()()MP x y MN x x y x ''+++==''-+-， 2002()322()12x y x x y x ''++=''-+++则，化简得，2002()322()12x y x x y x ''''⎡⎤++=-+++⎣⎦200(24)()41x x y x ''++=-即，[]00(12)2()(12)0x x y x ''+++-=若恒成立，则，解得，故.|||MP MN =0120x +=012x =-11,22N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭故答案为：11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭16．已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，，其中与抛物线的22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F 2F 28y x =焦点重合，点P 在双曲线C 的右支上，若，且，则的面积为122PF PF -=1260F PF ∠=︒12F PF △_______. 【答案】【分析】结合题目条件与余弦定理，先算出的值，然后代入三角形的面积公式12PF PF ⋅，即可得到本题答案. 1212121sin 2F PF S PF PF F PF =⋅∠A 【详解】由双曲线右焦点与抛物线的焦点重合，可得，所以， 2F 28y x =2(2,0)F 124F F =设，则，1122,PF r PF r ==122r r -=因为，所以， 22212121212||||2cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠22121212162r r r r +-⨯=则，解得，21212()16r r r r -+=1212r r =所以，. 12121sin 602F PF S r r =︒=A故答案为：三、解答题17．已知数列满足，且点在直线上.{}n a 11a =111,n n a a +⎛⎫⎪⎝⎭2y x =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前n 项和. 1n n n b a a +={}n b n T 【答案】(1) 121n a n =-(2) 21nn + 【分析】（1）先求出数列的通项公式，从而可得到数列的通项公式；1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a （2）根据（1）中数列的通项公式，可写出数列的通项公式，再利用裂项相消的方法即可{}n a {}n b 求得前n 项和.n T 【详解】（1）由题意得，即， 1112n n a a +=+1112n n a a +-=所以数列是首项为，公差为2的等差数列，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a =故，即. 1112(1)21n n n a a =+-=-121n a n =-（2）由（1）知，11111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭所以1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111123352121n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪-+⎝⎭. 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+18．已知的顶点坐标分别是，，. ABC A ()3,0A ()1,2B ()1,0C -(1)求外接圆的方程；ABC A (2)若直线l ：与的外接圆相交于M ，N 两点，求. 3480x y +-=ABC A MCN ∠【答案】(1) 22(1)4x y -+=(2) 60MCN ∠=︒【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点，求出方程组的解，即可得到本题答案； ,,A B C （2）先求出圆心到直线的距离，即可得到，然后求出，即可得到本题答MN 30PMN ∠=︒MPN ∠案.【详解】（1）设圆的一般方程为：，， 220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->代入点得，(3,0),(1,2),(1,0)A B C -，解得，9+30142010D F DEF D F +=⎧⎪++++=⎨⎪-+=⎩203D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以圆的一般方程为：， 22230x y x +--=标准方程为：.22(1)4x y -+=（2）圆心到直线的距离，(1,0)P :3480l x y +-=d 又因为，在等腰中，， 2PM =PMN A 30PMN ∠=︒所以圆心角，则.260120MPN ∠=⨯︒=︒60MCN ∠=︒19．如图所示，在四棱锥中，平面ABCD ，，，且P ABCD -PA ⊥AD BC ∥AB BC ⊥，.1AB AP BC ===2AD =(1)求证：平面；CD ⊥PAC (2)若E 为PC 的中点，求与平面所成角的正弦值.PD AED 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先证，，由此即可证得平面； AC CD ⊥PA CD ⊥CD ⊥PAC （2）建立空间直角坐标系，求出,平面的一个法向量为，然后利用公(0,2,1)PD =- AED ()1,0,1n =- 式，即可求得本题答案. sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅==⋅ 【详解】（1）作，垂足为，易证，四边形为正方形.CF AD ⊥F ABCF 所以，又1CF AF DF ===CD ==AC ==因为，所以.222AC CD AD +=AC CD ⊥因为平面，平面，所以.PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA CD ⊥又，平面，平面，所以平面.AC PA A ⋂=AC ⊂PAC PA ⊂PAC CD ⊥PAC（2）以点为坐标原点，以所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间A ,,AB AD AP 直角坐标系，则，，，，. ()0,0,0A ()0,0,1P ()1,1,0C ()0,2,0D 111,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，，. (0,2,0)AD = (0,2,1)PD =- 111(,,)222AE = 设平面的法向量为，AED (),,n x y z = 由，得， 00n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11102220x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩令，可得平面的一个法向量为.1z =AED ()1,0,1n =- 设与平面所成角为，PD AED θ则sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅====⋅ 20．已知抛物线：（）的焦点为，过上一点向抛物线的准线作垂线，垂足C 22y px =0p >F C P 为，是面积为.Q PQF △(1)求抛物线的方程；C (2)过点作直线交于，两点，记直线，的斜率分别为，，证明：()1,0M -l C A B FA FB 1k 2k .120k k +=【答案】(1)24y x =(2)证明见解析【分析】（1）由等边三角形的面积可以求出边的长，再求出中的长，即可求出QF Rt FQN A FN 的值，从而求出抛物线的标准方程；p （2）设过的直线方程，与抛物线方程联立，借助，坐标表示，化简证明即可.M A B 12k k +【详解】（1）如图所示，的面积 PQF △1sin 602PQF S PQ PF =︒A ∴， 4PF PQ QF ===设准线与轴交于点，则在中，， x N Rt FQN A 906030FQN ∠=︒-︒=︒∴， 122p FN QF ===∴抛物线的方程为.C 24y x =（2）由题意知，过点的直线l 的斜率存在且不为，()1,0M -0∴设直线的方程为：（），l l ()1y k x =+0k ≠直线的方程与抛物线的方程联立，得，消去y 整理得， l C 2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，()2222240k x k x k +-+=当，即时，设，， ()2242440k k ∆=-->()()1,00,1k ∈-⋃()11,A x y ()22,B x y 则，， 212224k x x k =-+-121=x x 由第（1）问知，，()1,0F ∴直线的斜率，直线的斜率， FA 1111y k x =-FB 2221y k x =-∴. ()()()()()()()()()12112121212121221121011111111x x k x x y y k x k x x k k x x x x x -++--+=+===------+∴原命题得证.21．已知数列满足，且.{}n a 12n n a a +=12314++=a a a (1)求的通项公式；{}n a (2)设，数列的前n 项和为，若对任意的，不等式2n n b n a =⋅{}n b n T n *∈N ()2224844n n T n n λ++-≥-恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】(1)2n n a =(2) 3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由，可得数列为等比数列，公比，代入到，算出12n n a a +={}n a 2q =12314++=a a a ，即可得到本题答案；1a （2）根据错位相减的方法求得，然后将不等式，逐步等价转化为n T ()2224844n n T n n λ++-≥-，再利用单调性求出的最大值，即可得到本题答案. 2112n n λ-≥2112n nn c -=【详解】（1）因为，所以是公比为2的等比数列， 12n n a a +={}n a 所以，故，1231112414a a a a a a ++=++=12a =故.2n n a =（2），1222n n n b n n +=⋅=⋅则，23411222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ 所以，()345121222321222n n n n n T ++⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯= 两式相减得，，()()2234122221222222212412n n n n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=-⋅-- 因此. 2(1)24n n T n +=-⋅+由，可得，所以， ()2224844n n T n n λ++-≥-222844n n n n λ+⋅≥-2112nn λ-≥该式对任意的恒成立，则. n *∈N max2112n n λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭令，则， 2112n n n c -=()1112111211132222n n n n n n n n c c ++++----=-=当时，，即数列递增，当时，，即数列递减，6n ≤10n n c c +->{}n c 7n ≥10n n c c +-<{}n c所以当时，， 7n =()max 3128n c =所以实数λ的取值范围是. 3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭22．已知椭圆M ：的短轴长为. 22221(0)x y a b a b +=>>(1)求椭圆M 的方程；(2)若过点的两条直线分别与椭圆M 交于点A ，C 和B ，D ，且共线，求直线AB 的()1,1Q -,AB CD 斜率.【答案】(1)22193x y +=(2) 13【分析】（1）由短轴长可求出可求出，由此即可求得本题答案； 23b =29a =（2）设点，因为共线，可设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ,AB CD ,AQ QC BQ QD λλ== ，可得，，代入椭圆方程，然后相减，即可得到本题答案. 13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩24241(1)xx y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩【详解】（1）因为短轴长为，b =23b =因为离心率，所以，可得， e 2222213c b a a =-=2213b a =29a =所以椭圆M 的方程为. 22193x y +=（2）设.()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y 设，则，即， AQ QC λ= 13131(1)1(1)x x y y λλ-=-⎧⎨--=+⎩13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩代入椭圆方程，得， ()()22112211193x y λλλλ+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+=即① ()()221141211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭同理可得② ()()222241211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭由②-①，得， 11229393x y x y -=-所以，()12123y y x x -=-所以直线AB 的斜率. 121213y y k x x -==-【点睛】思路点睛：把共线这个条件，转化为，是解决此题的关键. ,AB CD ,AQ QC BQ QD λλ==。

2022-2023学年山西省怀仁市第一中学校高二上学期期末数学试题一、单选题1．椭圆22152x y +=的长轴长为（ ）A ．BC ．4D ．2【答案】A【分析】根据椭圆的几何性质即可求出长轴.【详解】由椭圆22152x y +=，得25a =，a =2a =故选：A ．2．过点(2,1)的等轴双曲线的标准方程为（ ）A ．22133y x -=B ．22155x y -=C ．22133y x -=D ．22155y x -=【答案】A【分析】先设出双曲线的方程为22x y λ-=（0λ≠），代点进行求解即可. 【详解】设双曲线的方程为22x y λ-=（0λ≠）， 代入点(2,1)，得3λ=，故所求双曲线的方程为223x y -=，其标准方程为22133y x -=．故选：A ．3，则 ）A ．第11项B ．第12项C ．第13项D ．第14项【答案】B【分析】根据被开方数的特点求出数列的通项公式，最后利用通项公式进行求解即可.【详解】，由数列的前几项观察归纳，知被开方数是以6为首项，4为公差的等差数列，所以通项公式n a令n a =12n =. 故选：B.4．在直三棱柱111ABC A B C 中，若AC a =，AB b =，1AA c =，则1BC =（ ）A ．a b c +-B ．a b c --C ．a b c -+D ．a b c -+-【答案】C【分析】根据空间向量线性运算的性质进行求解即可.【详解】由已知得()111BC CC CB CC AB AC a b c =-=--=-+， 故选：C5．在等差数列{}n a 中，2610120a a a ++=，则6a =（ ） A ．70 B ．60 C ．50 D ．40【答案】D【解析】根据等差数列的性质，得到63120a =，即可求解． 【详解】根据等差数列的性质，可得21062a a a +=， 因为2610120a a a ++=，即63120a =，可得640a =． 故选：D.6．以点()1,2A 为圆心，两平行线10x y -+=与2270x y -+=之间的距离为半径的圆的方程为（ ） A ．()()229122x y +++= B ．()()2225128x y -+-= C ．()()2225128x y +++= D ．()()229122x y -+-=【答案】B【分析】利用平行直线间距离公式可求得圆的半径，由圆心和半径可得圆的方程. 【详解】直线2270x y -+=方程可化为702x y -+=， 则两条平行线之间距离()227152211d -==+-52r =，∴所求圆的方程为：()()2225128x y -+-=. 故选：B.7．已知数列{}n a 满足11n n a n a n++=，13a =，则数列{}n a 的通项公式是（ ） A ．3n a n = B ．2n a n =+C ．21n a n =+D ．23n a n =【答案】A【分析】由题意可得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为3的常数列，从而可得出答案.【详解】由题意得11n n a a n n +=+，即1213121n n a a a an n +=====+所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以131a =首项为的常数列，则3na n=，得3n a n =. 故选：A8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:1O x y +=，222:(4)4O x y -+=，动点P 在直线0-=x b 上，过P 点分别作圆1O ，2O 的切线，切点分别为A ，B ，若存在点P 满足2PB PA =，则实数b 的取值范围是（ ） A ．2812,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[)28,12,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦C ．20,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)20,4,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】分别求出两圆圆心和半径，利用PAPB 2PB PA =可求点P 轨迹方程为圆，又P 在直线0-=x b 上，结合圆心到直线的距离小于等于半径可求b 的取值范围. 【详解】由题意()10,0O ，11r =，()24,0O，22r =，设(),P x y ，若2PB PA =，PA PB =()2222(4)4x y x y∴-+=+，22816033x y x ∴++-=，即2246439x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，圆心坐标为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为83，动点P 在直线0-=x b 上，存在点P 满足2PB PA =，∴直线与圆22816033x y x ++-=有交点，∴圆心到直线的距离83d =≤，2043b ∴-≤≤， 即实数b 的取值范围是20,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：C ．二、多选题9．已知{}n a 为等差数列，满足5323a a -=，{}n b 为等比数列，满足21b =，44b =，则下列说法正确的是（ ）A ．数列{}n a 的首项为1B ．73a =C ．616b =D ．数列{}n b 的公比为2±【答案】BCD【分析】由5323a a -=可推得163a d +=，即可判断A 、B ；由21b =，44b =，可推得64416b b ==，24q =，即可判断C 、D.【详解】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q . 对于A ，由5323a a -=，得()()112423a d a d +-+=， 整理可得，163a d +=，所以1a 不确定，故A 错误； 对于B ，因为163a d +=，所以有73a =，故B 正确； 对于C ，因为64424b b b b ==，所以64416b b ==，故C 正确； 对于D ，由已知可得，2424b q b ==，所以2q =±，故D 正确. 故选：BCD.10．关于双曲线22146x y -=与双曲线221(46)46x y t t t -=-<<+-，下列说法不正确的是（ ） A ．实轴长相等 B ．离心率相等C ．焦距相等D ．焦点到渐近线的距离相等【答案】ABD【分析】利用双曲线的性质对每个选项逐个判断即可【详解】双曲线22146x y -=中，实轴长为124a =，虚轴长为1226b =，焦距长为12246210c =+=，右焦点为()10,0，所以离心率111102c e a ==，渐近线方程为62y x =±，不妨取62y x =即620x y -=， 所以焦点到渐近线的距离为1610664d ⨯==+， 双曲线221(46)46x y t t t-=-<<+-中实轴长为2224a t =+，虚轴长为2226b t =-，焦距长为22210c =，右焦点为()10,0，所以离心率22210401044c t e a t t +===++，渐近线方程为64t y x t -=±+，不妨取64t y x t-=+即()640t x t y --+=，所以焦点到渐近线的距离为2610610t d t -⨯==-， 综上，两条双曲线只有焦距相等， 故选：ABD11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点，F 为11A D 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的有（ ）A ．132DB =B ．向量AE 与1AC 15 C ．平面AEF 的一个法向量是()4,1,2-D ．11A D BD ⊥ 【答案】BCD【分析】A 选项，求得1DB 的坐标，进而求出1DB ；B 选项，利用空间向量夹角公式求解；C 选项，记()4,1,2n =-，验证0,0AE AF n n ⋅⋅==即可；D 选项，验证110A D BD ⋅=即可.【详解】对于A ，()0,0,0D ，()12,2,2B ，()12,2,2DB =，1123D DB B ==A 错误； 对于B ，()2,0,0A ，()2,2,1E ，()10,2,2C ，()()10,2,1,2,2,2AE AC ==-，则111cos ,5AE AC AE AC AE AC ⋅===B 正确； 对于C ，()1,0,2F ，()()0,2,1,1,0,2AE AF ==-，记()4,1,2n =-， 则042(1)120,(1)40(1)220AE F n A n =⨯+⨯-+⨯==-⨯+⨯⋅-⨯=⋅+，所以,A A n E F n ⊥⊥，又,AE AF ⊂平面AEF ，AE AF A ⋂=，则n ⊥平面AEF ， 故()4,1,2-是平面AEF 的一个法向量，故C 正确；对于D ，()()()()112,0,2,0,0,0,0,0,2,2,2,0A D D B ，()()11112,0,2,2,2,2,0A D BD A D BD =--=--⋅=，故D正确. 故选：BCD.12．已知抛物线2:2C x py =的焦点坐标为F ，过点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，点12⎫⎪⎭在抛物线上．则（ ） A ．1p = B ．当AB y ⊥轴时，||4AB =C ．11||||AF BF +为定值1 D ．若2AF FB =，则直线AB 的斜率为【答案】BCD【分析】将点12⎫⎪⎭代入可判断A ；求出焦点可判断B ；设直线AB 的方程为1y kx =+，将直线与抛物线方程联立，利用韦达定理即可判断C ；由向量的坐标表示以及韦达定理可判断D. 【详解】对于选项A ，将点12⎫⎪⎭代入抛物线方程，可得2p =，故选项A 错误；对于选项B ，焦点(0,1)F ，点(2,1)在抛物线上，可得||4AB =，故选项B 正确； 对于选项C ，设点A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，直线AB 的方程为1y kx =+，联立方程24,1,x y y kx ⎧=⎨=+⎩ 消去y 后整理为2440x kx --=，可得()2121212124,4,242,x x k x x y y k x x k +==-+=++=+221212121,||1,||116x x y y AF y BF y ===+=+，有1212121212121111221||||1112y y y y AF BF y y y y y y y y +++++=+===+++++++， 故选项C 正确；对于选项D ，有()()1122,12,1x y x y --=-，可得212x x =-，由1212214,4,2,x x k x x x x +=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩有2224,24,x k x -=⎧⎨-=-⎩解得24k =±，故选项D 正确． 故选：BCD三、填空题13．点()1,3-关于直线20x y ++=的对称点的坐标为__________． 【答案】()5,1--【分析】设点为()00,x y ，根据条件可得00311y x -=+以及00132022x y -+++=，解出即可得到. 【详解】设点()1,3-关于直线20x y ++=对称的点为()00,x y . 因为直线20x y ++=的斜率为1-，由对称关系，两点连线与直线20x y ++=垂直，所以00311y x -=+， 又因为两点连线段的中点0013,22x y -+⎛⎫⎪⎝⎭在直线20x y ++=上， 代入得00132022x y -+++=， 两式联立0000311132022y x x y -⎧=⎪+⎪⎨-+⎪++=⎪⎩，即可解得0051x y =-⎧⎨=-⎩，所以对称点为()5,1--．故答案为：()5,1--．14．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.【答案】26米【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为2x my =， 将A （2，-2）代入2x my =， 得m=-2，∴22x y =-，代入B ()0,3x -得06x 故水面宽为2626 【解析】抛物线的应用15．设两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,且794n n S nT n =+,则33a b =__________. 【答案】57【分析】根据等差数列性质,将33a b 写为()()15155252a ab b +⋅+⋅,即55S T ,代入题中等式即可得出结果. 【详解】解:由题意可得{}n a 和{}n b 均为等差数列,所以()()153********2753552529544972a a a a Sb b b b T +⨯⨯======+⨯⨯+. 故答案为:5716．已知点,A B 是椭圆:G 22221x y a b+=(0)a b >>上的两点.且直线AB 恰好平分圆222x y R +=(0)R >，M 椭圆G 上与点,A B 不重合的一点，且直线,MA MB 的斜率之积为13-，则椭圆G 的离心率为__________. 6【分析】设()11,A x y ，()00,M x y ，则2221022210y y b x x a -=--.由已知可推得()11,B x y --，根据13MA MA k k ⋅=-，可得出2213b a =，然后即可求出离心率.【详解】设()11,A x y ，()00,M x y .依题意有22112222002211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得2222101022x x y y a b -=--，所以2221022210y y b x x a -=--. 因直线AB 恰好平分圆222x y R +=，则()11,B x y --， 则1010MA y y k x x -=-，1010MBy y k x x --=--. 由已知，13MA MB k k ⋅=-，所以，222102221013y y b x x a -=-=--，即2213b a =. 所以椭圆G的离心率为e =四、解答题17．已知数列{}n a 满足1a 1=，n 1n a 3a 2+=+．()1证明：数列{}n a 1+是等比数列；()2设n n 1n 2332b a 1a 1log log 22++=++⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】（1）详见解析；（2）n 2nS n 1=+. 【分析】()1对数列的递推式两边加1，结合等比数列的定义，即可得证；()2由对数的运算性质可得()n nn 1n 1n 2333322211b 2a 1a 1log 3log 3n n 1n n 1log log 22+++⎛⎫====- ⎪++⋅++⎛⎫⎛⎫⎝⎭⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由裂项相消求和，化简可得所求和．【详解】解：()1证明：数列{}n a 满足1a 1=，n 1n a 3a 2+=+， 可得()n 1n a 13a 1++=+，即有数列{}n a 1+是首项为2，公比为3的等比数列；()2由()1可得n 1n a 123-+=⋅，即有()n n n 1n 1n 2333322211b 2a 1a 1log 3log 3n n 1n n 1log log 22+++⎛⎫====- ⎪++⋅++⎛⎫⎛⎫⎝⎭⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 的前n 项和n 1111112n S 2121223n n 1n 1n 1⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18．已知圆C 的方程为22460x y x y m +-+-=． (1)求实数m 的取值范围；(2)若圆C 与直线:30l x y ++=交于M ，N两点，且MN =m 的值． 【答案】(1)13m >- (2)8m =-【分析】（1）将圆C 的一般方程用配方法化为标准方程，进而得到130m +>，解之即可； （2）利用弦长公式MN =rm 的值. 【详解】（1）方程22460x y x y m +-+-=可化为22(2)(3)13x y m -++=+， ∵此方程表示圆，∴130m +>，即13m >-，即()13,m ∈-+∞. （2）由（1）可得圆心(2,3)C -，半径r = 则圆心(2,3)C -到直线:30l x y ++=的距离为d ==由弦长公式MN =及MN ==r =∴r ==8m =-．19．已知双曲线C ：22212x y b-=（0b >），直线l 与双曲线C 交于P ，Q 两点．(1)若点()4,0是双曲线C 的一个焦点，求双曲线C 的渐近线方程；(2)若点P 的坐标为()，直线l 的斜率等于1，且83PQ =，求双曲线C 的离心率．【答案】(1)y =(2)355 【分析】（1）利用双曲线的焦点坐标及标准方程，结合双曲线中,,a b c 三者的关系及双曲线的渐近线方程即可求解. （2）根据已知条件及直线的点斜式方程，将联立双曲线方程与直线方程，利用韦达定理及点在直线上，结合两点间的距离公式及双曲线的离心率公式即可求解. 【详解】（1）∵点()4,0是双曲线C 的一个焦点，∴4c =，又∵222c a b =+且22a =，解得214b =，∴双曲线C 的方程为221214x y -=， ∴双曲线C 的渐近线方程为7y x =±；（2）设直线l 的方程为2y x =+且()11,Q x y ，联立2222,1,2y x x y b⎧=+⎪⎨-=⎪⎩,可得()222242420b x x b ----=， 则124222x b -+=-，∴2122222b x b +=-，即21122222b y x b =+=-， ∴()22222221122222228242223b b b PQ x y b b b ⎛⎫⎛⎫=++=+== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 解得245b =，即由222c a b =+可得2145c =， 故双曲线C 的离心率为1435552c e a ===． 20．如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，6PA =，2AB =，π3ABC ∠=，1BC =，D ，E 分别是PC 上的三等分点，F 是PB 的中点．(1)证明：⊥AE 平面PBC ；(2)求平面ADF 与平面BDF 的夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析 (2)55 【分析】（1）用余弦定理求出3AC =，从而得到222AB AC BC =+，CA CB ⊥，建立空间直角坐标系，利用空间向量证明出线面垂直；（2）求出平面的法向量，进而求出两平面的夹角余弦值.【详解】（1）证明：2AB =，1BC =，π3ABC ∠=， 根据余弦定理得22π12cos4122332AC AB BC AB BC =+-⋅=+-⨯⨯=， 所以222AB AC BC =+，所以CA CB ⊥， 以C 点为坐标原点，CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，经过C 点垂直于CA ，CB 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()030A ，，，()100B ，，，()036P ，，，36033E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，23260,,33D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，136222F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，， 2360,,33AE ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,6CP =，()1,0,0CB =， 23636033AE CP ⋅=-⨯+⨯=，0AE CB ⋅=， CP CB C ⋂=，AE ∴⊥平面PBC ；（2）3260AD ⎛= ⎝⎭，，1362DF ⎛= ⎝⎭，226133BD ⎛=- ⎝⎭，，， 设平面ADF 的一个法向量为()n x y z =，，，由00AD n DF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以0102y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，令z =43x ，4y =，可得(234n =，， 设平面BDF 的一个法向量()m a b c =，，，由100200a DF m BD m a ⎧=⎪⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=⎩⎪-=⎪⎩，，，令1c =，得0a =，b = 可得()02m =-，，42cos 3m nm n m n-⋅∴===⋅⨯， 所以平面ADF 与平面BDF 21．在数列{}n a 中，11a =，且11221n n n a a n ++=++-．(1)证明：2nn a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； (2)求{}n a 的前n 项和n S ．【答案】(1)证明见解析(2)()()112122n n n n S n ++=+-⋅-【分析】（1）利用构造法证明该数列为等差数列；（2） 利用错位相减法与分组求和法可得n S .【详解】（1）由11221n n n a a n ++=++-，得112221n n n a a n n ++=++++， 等式左右同除12n +，得111221n n n na n n a ++++=++， 故数列2n n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11112a +=为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1）得()112nn a n n n +=+-=， 故2n n a n n =⋅-，设2n n b n =⋅，其前n 项和为n T ，则()231122232122n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅，()23412122232122n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅， 故()()2311121222222221212nn n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=---⋅-，即()1212n n T n +=+-⋅，故()121212n n n S n a a a b b b =+++=+++-+++()()112122n n n n ++=+-⋅-. 22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为6，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且以12B B 为直径的圆经过点(20)M ，． (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A B ，两点．试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠ 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22194x y += (2)存在定点9(,0)2P ；【分析】（1）根据题意确定,a b 的值，即可求得椭圆方程；（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为2x my =+，联立方程可得根与系数的关系式，假设x 轴上存在定点P ，使PM 平分APB ∠，则可得0PA PB k k += ，结合根与系数的关系化简，求得参数的值，可得结论.【详解】（1）因为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为6，故=3a ， 椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且以12B B 为直径的圆经过点(20)M ，，则=2b ， 所以椭圆C 的方程是 22194x y +=； （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为2x my =+，将直线AB 的方程与椭圆C 的方程22194x y +=联立， 消去x 得22(49)16200m y my ++-=，因为M 点在椭圆内，则必有0∆>，所以1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+， 假设x 轴上存在定点P ，使PM 平分APB ∠，则直线PA PB ，的倾斜角互补， 所以0PA PB k k += ，设(0)P t ， ，则有 12120y y x t x t+=-- ， 将11222,2x my x my =+=+代入上式，整理得1212122+(2)(+)0(+2)(+2)my y t y y my t my t ---=， 所以12122(2)()0my y t y y +-+=，将 1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+代入上式，整理得(29)0t m -+= ， 由于上式对任意实数m 都成立，所以92t = ， 综上，存在定点9(,0)2P ，使PM 平分APB ∠ ．。

2023-2024学年广东省深圳高二上册期末数学试题一、单选题1．已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a n +=+，则3a =（）A ．3B ．7C ．8D ．9【正确答案】C【分析】直接把1n =和2n =代入递推关系式求解即可．【详解】解： 数列{}n a 满足11a =，12n n a a n +=+，21213a a ∴=+=，32228a a =+=，故选：C ．2．设R a ∈，直线1:210l ax y +-=，直线22:(1)0l x a y a ++-=，若12l l ⊥，则=a （）A ．1B ．2-C ．23-D ．1或2-【正确答案】C【分析】由题意，根据两直线垂直的性质列方程即可求得a 的值．【详解】R a ∈ ，直线1:210l ax y +-=，直线22:(1)0l x a y a ++-=，12l l ⊥，()1210a a ∴⨯+⨯+=，求得23a =-，故选：C ．3．已知数列{}n a 满足13a =，11n n n a a a +=-，则2023a =（）A ．12-B ．23C ．32D ．3【正确答案】D【分析】根据已知的递推关系式求出数列的前4项，即可发现循环，求出数列的周期，进而求得结果即可．【详解】解：因为数列{}n a 满足13a =，11n n n a a a +=-，所以2111a a a =-，解得223a =，由2321a a a =-，解得312a =-，由3431a a a =-，解得413a a ==，L ，故可得数列{}n a 是周期为3的数列，且前三项为：3，23，12-，因为202367431=⨯+，所以202313a a ==.故选：D4．如图，在四面体PABC 中，E 是AC 的中点，F 是PB 上靠近P 点的四等分点，则FE =（）A ．111232PA PB PC-+B ．111242PA PB PC-+C ．111343PA PB PC ++D ．212343PA PB PC -+ 【正确答案】B【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解．【详解】解：E 是AC 的中点，F 是PB 上靠近P 点的四等分点，则()1111142242FE FP PE PB PA PC PA PB PC =+=-++=-+．故选：B ．5．已知直线*:34560(N )n l x y n n -+-=∈与圆222:(2)(0)n n n C x y a a -+=>，给出下面三个结论：①直线n l 与直线1n l +平行且两直线距离为1；②若直线n l 与圆n C 相切，则22n a n =；③若直线n l 与圆n C 相切，圆1n C +与圆n C 构成的圆环面积最小值为3π．其中正确的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【正确答案】D【分析】由直线*:34560(N )n l x y n n -+-=∈，可得直线1n l +的方程，进而判断两直线的关系，判n a =，进而求得22n a n =，判断②；利用同心圆可求圆环的面积，进而可求圆环面积最小值判断③．【详解】由直线*:34560(N )n l x y n n -+-=∈，可得直线1:345(1)60n l x y n +-++-=，即34510x y n -+-=，∴直线n l 与直线1n l +平行，直线n l 与直线1n l +1=，故①正确；由圆222:(2)(0)n n n C x y a a -+=>，得圆心(2,0)n C ，半径为n a ，若直线n l 与圆n C 相切，n a =，22n a n ∴=，故②正确；圆1n C +与圆n C 是同心圆，且*N n ∈，故圆1n C +与圆n C 构成的圆环面积为221π()π()π(21)3πn n a a n +-=+≥，当且仅当1n =时取等号，故圆1n C +与圆n C 构成的圆环面积最小值为3π，故③正确．故选：D ．6．设椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过原点O 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若||2MN c =，22:1:MF NF =C 的离心率为（）A ．4B ．37C ．12D ．37【正确答案】B【分析】由已知易得四边形12MF NF 是矩形，设2||MF m =，1MF =，进而可得123F F m =，利用212+=MF MF a ，求解即可．【详解】 过原点O 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，MN ∴被O 平分，又12F F 被O 平分，∴四边形12MF NF 是平行四边形，又122MN c F F ==，∴四边形12MF NF 是矩形，22:1:MF NF = ，由对称性可得12MF NF =，∴设2||MF m =，1MF =，123F F m ∴=，23c m ∴=，21223c MF MF a ∴+==，∴c a =．故选：B ．7．关于x4kx =+有唯一解，则实数k 的取值范围是（）A ．2k ≤-或2k ≥B ．2k ≤-或2k ≥或k =C ．2k <-或2k >或k =D ．2k <-或2k >【正确答案】C【分析】将问题转化为曲线y =与4y kx =+有唯一交点，采用数形结合的方式可确定临界状态，结合圆的切线方程的求解方法可求得临界值，结合图形可得结果.4kx =+有唯一解等价于曲线y =4y kx =+有唯一交点，由y =得：()2204y x y +=≥，则其图形为以()0,0为圆心，2为半径的圆的上半部分；4y kx =+为恒过定点()0,4的直线；作出y =与4y kx =+图象如下图所示，由图象可知：当3k k =或4k k =或1k k >或2k k <时，曲线y =与4y kx =+有唯一交点；当直线4y kx =+与圆()2204y x y +=≥2，解得：k =即3k =，4k =又140202k -==+，240202k -==--，∴4kx =+有唯一解时，实数k 的取值范围为2k <-或2k >或k =.故选：C.8．已知曲线22:1C x y x y +=-）ABC ．1D ．1+【正确答案】A【分析】利用222222x y x y x y ++-≤≤【详解】 曲线22:1C x y x y +=-，221()x y x y ∴=-+，又222222x y x y x y ++-≤≤，当且仅当x y =时取等号，2222221()22x y x y x y ++∴-≤-+≤，∴221132x y +≤≤，∴22232x y ≤+≤，∴3≤≤，．故选：A ．二、多选题9．设{},,a b c是空间一个基底，则下列选项中正确的是（）A ．若a b ⊥ ，b c ⊥，则a c⊥ B ．a c + ，b c + ，c a +一定能构成空间的一个基底C ．对空间中的任一向量p ，总存在有序实数组(,,)x y z ，使p xa yb zc=++ D ．存在有序实数对，使得c xa yb=+【正确答案】BC【分析】根据空间向量的基本定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【详解】对于A ，a b ⊥ ，b c ⊥，不能得出a c ⊥ ，也可能是a 、c 相交不一定垂直，选项A 错误；对于B ，假设向量a b +，b c + ，c a + 共面，则()()a b x b c y c a +=+++ ，x 、R y ∈，化简得()(1)(1)x y c x b y a +=-+-r r r，所以a 、b 、c 共面，这与已知矛盾，所以选项B 正确；对于C ，根据空间向量基本定理知，对空间任一向量p，总存在有序实数组(x ,y ,)z ，使p xa yb zc =++，选项C 正确；对于D ，因为{},,a b c 是空间一个基底，所以a 与b 、c不共面，选项D 错误．故选：BC ．10．已知直线:50l x y -+=，过直线上任意一点M 作圆22:(3)4C x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则有（）A ．MA 长度的最小值为2B ．不存在点M 使得AMB ∠为60C ．当MC AB ⋅最小时，直线AB 的方程为210x y --=D ．若圆C 与x 轴交点为,P Q ，则MP MQ ⋅的最小值为28【正确答案】BD【分析】由题知圆C 的圆心为()3,0，半径为2r =，进而根据圆的切线问题依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：由题知圆C 的圆心为()3,0，半径为2r =，对于A ，因为圆心()3,0到直线:50l x y -+=的距离为d ==min MC =min MA =A 错误；对于B ，假设存在点M 使得AMB ∠为60 ，如图，则30∠= AMC ，故在Rt AMC △中，24MC r ==，由A 选项知min 4MC =>，故矛盾，即不存在点M 使得AMB ∠为60 ，故B 正确；对于C ，由于MC AB ⊥,故四边形MACB 的面积为1222MACB MAC S MC AB S MA r MA =⋅==⋅=△，所以，4MC AB MA ⋅=，故当MC AB ⋅最小时，MA 最小，由A 选项知min MA =此时MC l ⊥，//l AB ，即直线AB 的斜率为1，由于直线210x y --=的斜率为12，故C 错误；对于D ，由题知()()1,0,5,0P Q ，设(),5M x x +，则()()()()()221,55,55152430MP MQ x x x x x x x x x ⋅=---⋅---=--++=++ ()2212828x =++≥，当且仅当=1x -时等号成立，故MP MQ ⋅的最小值为28，故D 正确；故选：BD11．已知双曲线()222:10x C y a a-=>，若圆22(2)1x y +-=与双曲线C 的渐近线相切，则（）A ．双曲线CB ．双曲线C 的离心率2e =C ．点P 为双曲线C 上任意一点，点P 到C 的两条渐近线的距离分别为1d ，2d ，则2134d d =D ．直线1y k x m =+与C 交于,A B 两点，点D 为弦AB 的中点，若OD （O 为坐标原点）的斜率为2k ，则123k k =【正确答案】ABD【分析】先根据直线与圆的位置关系求得双曲线C 的标准方程，由双曲线的性质判断AB ，利用点到直线的距离公式化简整理判断C ，将直线与双曲线联立，利用韦达定理求得D 点坐标进而求得2k 判断D.【详解】双曲线()222:10x C y a a-=>的渐近线方程为1y x a =±即0ay x ±=，因为圆22(2)1x y +-=与双曲线C 的渐近线相切，1=，解得a =C 的方程为2231x y -=，选项A ：双曲线C的实轴长23a =，正确；选项B：c ==2c e a ==，正确；选项C ：设P 点为00(,)x y ，则220031x y -=，点P0y x ±=，则2222000012211(3)1334413x y x y d d --==+⎝⎭，错误；选项D ：直线1y k x m =+与双曲线C 联立可得22211(3)210k x k mx m ----=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由韦达定理得1122123k m x x k +=-，所以12112216()23my y k x x m k +=++=-，因为点D 为弦AB 的中点，所以D 点坐标为122113,33k m m k k ⎛⎫⎪--⎝⎭，所以2121121303303ODmk k k k mk k --===--，所以123k k =，正确；故选：ABD12．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列{}n a 满足10a =，11,,n n na n n a a n n +++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则（）A ．46a =B ．()221n n a a n +=++C ．221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数D ．数列{}(1)nn a -的前2n 项和为()1n n +【正确答案】BCD【分析】直接由递推公式求出4a 即可判断A 选项；分n 为奇数或偶数即可判断B 选项；分n 为奇数或偶数结合累加法即可判断C 选项；由分组求和法即可判断D 选项.【详解】对于A ，213243112,24,318a a a a a a =++==+==++=，A 错误；对于B ，当n 为奇数时，1n +为偶数，则211n n a a n ++=++，11n n a a n +=++，可得()221n n a a n +=++；当n 为偶数时，1n +为奇数，则2111n n a a n ++=+++，1n n a a n +=+，可得()221n n a a n +=++，B 正确；对于C ，当n 为奇数且2n ≥时21324312111,2,31,,21,1n n n n a a a a a a aan a an ---=++=+=++=+-+=+- ，累加可得111231211n a a n n =+++++++-++- ()()113121241n n =+++++-+++++- 2211211122222n n n n n +--+---=⋅+⋅=，1n =时也符合；当n 为偶数且2n ≥时21324312111,2,31,,2,11n n n n a a a a a a a an a an ---=++=+=++=+-=+-+ ，累加可得111231211n a a n n =+++++++-+-+ ()()113111242n n =+++++-+++++- 221122222222n n n n n +-++--=⋅+⋅=；则221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，C 正确；对于D ，设数列{}(1)nn a -的前2n 项和为2n S ，则21234212n n n S a a a a a a -=-+-+--+ ，又()()222212211222n n n n a a n ----=-=，()22224212n nS n n n n +=+++=⋅=+ ，D 正确.故选：BCD.本题的关键点在于利用题目中的递推关系式，分n 为奇数或偶数两种情况来考虑，同时借助累加法即可求出通项，再结合分组求和法以及等差数列求和公式即可求得前2n 项和，使问题得以解决.三、填空题13．抛物线22y x =的焦点坐标是______.【正确答案】10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.【详解】因为抛物线方程212x y =，焦点坐标为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，且14p =，所以焦点坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为.10,8⎛⎫⎪⎝⎭14．设点(3,5)A ，点B 和C 分别为直线:220l x y -+=和y 轴上的两动点，则ABC 的周长的最小值为__．【正确答案】【分析】由题可求点A 关于y 轴的对称点M ，A 关于:220l x y -+=的对称点D ，然后利用数形结合即得.【详解】因为点(3,5)A ，则A 关于y 轴的对称点M 为(3,5)-，设A 关于:220l x y -+=的对称点为(),D a b ，则511323522022b a a b -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪-⨯+=⎪⎩，解得5,1a b ==，即()5,1D，所以MC CA =，AB BD =，所以ABC 的周长为MC CB BD ++，则当,,,M C B D 共线时，ABC 的周长的值最小，此时三角形周长为DM ==故15．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，124AA AB ==，E 是1BB 的中点，F 是11A C 的中点，若过A ，E ，F 三点的平面与11B C 交于点G ，则1AG =__________．【正确答案】3【分析】以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -，可设()0,,4G a ，求出平面AEF 的法向量，再根据0AG m ⋅= 求出a ，即可得出答案．【详解】如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -，则)A，)1A ，()0,2,2E，1,42F ⎫⎪⎪⎝⎭，由题可设()0,,4G a ，则()2AE =，1,42AF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,4AG a =- ，设平面AEF 的法向量(),,m x y z =，则201402y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，令x =93,55y z ==，故93,55m ⎫=⎪⎭ ，由()91231055AG m a ⋅=-+-+= ，得43a =，则11,03G A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，13A G ==．16．在数列{}n a 中，如果对任意*n ∈N ，都有211n n n na a a a λ+++-=（λ为常数），则称数列{}n a 为比等差数列，λ称为比公差，现给出以下命题：①若数列{}n c 满足()*12121,1,3,n n n c c c c c n n N --===+≥∈，则该数列不是比等差数列；②若数列满足132n n a -=⋅，则该数列是比等差数列，且比公差0λ=；③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列．其中所有正确的序号是_________；【正确答案】①②【分析】①数列{}n c 为斐波那契数列,根据数列的性质代入211n n n na a a a +++-化简即可判断;②数列为等比数列,所以代入公式211n n n n a a a a +++-化简即可判断;③利用具体数列,代入即可判断;④列举一个等差数列与一个等比数列,代入即可判断.【详解】对于①,数列{}n c 为斐波那契数列,所以21111111n n n n n n n n n n n n n nc c c c c c c c c c c c c c +++--+++++-=-=-≠常数不满足比等差数列的定义,所以①正确;对于②,数列132n n a -=⋅,则1211132322203232n nn n n n n n a a a a +++-+⋅⋅-=-=-=⋅⋅满足比等差数列的定义,所以②正确;对于③,设等比数列11n n a a q -=,则1211111110n n n n n n n n a a a q a q q q a a a q a q +++-+⋅⋅-=-=-=⋅⋅,所以等比数列一定是比等差数列;当等差数列为常数数列时,2111111110n n n n a a a a a a a a +++-=-=-=也是比等差数列,所以③错误;对于④,{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列,所以设,2n n na b n ==则2n n n a b n =⋅所以()()()2121112212122n n n n n n n n n n a a a a n n +++++++⋅+⋅-=-+⋅⋅()()()2221211n n n n n n ++=-=-≠++常数不满足比等差数列的定义,所以④错误.综上可知,①②正确故答案为:①②本题考查了数列的新定义应用,注意理解所给条件,结合等差与等比数列的通项公式及性质判断,可利用特殊数列进行判定错误选项,属于难题.四、解答题17．已知圆C 的圆心在直线1:1y x l =--上，且经过(0,1)A -，(2,1)B -两点．(1)求圆C 的方程；(2)已知过点(0,2)P 的直线2l 与圆C 相交，被圆C 截得的弦长为2，求直线2l 的方程．【正确答案】(1)22(1)(2)2x y -++=(2)0x =或158160x y +-=．【分析】（1）求得线段AB 的中点坐标和斜率，可得AB 的垂直平分线的方程，与直线=1y x --联立，可得圆C 的圆心，求得||AC ，可得圆的半径，进而得到圆的方程；（2）讨论直线2l 的斜率不存在和存在的两种情况，结合弦长公式和点到直线的距离公式，可得所求直线2l 的方程．【详解】（1）线段AB 的中点为(1,1)-，直线AB 的斜率为11020AB k -+==-，所以线段AB 的垂直平分线为1x =，由11y x x =--⎧⎨=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以圆心为(1,2)C -，半径为AC ==所以圆C 的方程为22(1)(2)2x y -++=；（2）当直线2l 的斜率不存在时，则方程为0x =，由220(1)(2)2x x y =⎧⎨-++=⎩，得1y =-，或=3y -，即直线0x =与圆C 相交所得弦长为1(3)2---=，符合题意，当直线2l 的斜率存在时，设直线2l 的方程为2y kx =+，即20kx y -+=，由于圆C 到2l 1=1=，解得158k =-，所以1528y x =-+，即158160x y +-=，综上所述，直线2l 的方程为0x =或158160x y +-=．18．已知函数21()2cos 2f x x =-．(1)求函数()f x 的单调增区间与值域；(2)在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知()0f A =，1b =，ABC 求tan B 的值．【正确答案】(1)单调增区间为ππ,π,Z 2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，值域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)tan 3B =或tan B 【分析】（1）利用二倍角公式化简，再根据余弦函数的性质即可求；（2）先根据()0f A =求出A ，再由面积可得c 边长度，再利用余弦定理可得a 边长度，再利用正弦定理即可得sin B ，从而可得tan B 的值．【详解】（1）211()2cos cos 222f x x x =-=+，令2ππ22πk x k -≤≤，Z k ∈，则πππ2k x k -≤≤，Z k ∈，则()f x 的单调增区间为ππ,π,Z 2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当22πx k =，即πx k =，Z k ∈时，max 13()122f x =+=，当22ππx k =+，即ππ2x k =+，Z k ∈时，min 11()122f x =-+=-，则()f x 的值域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）由()0f A =，1cos 202A ∴+=，1cos 22A ∴=-，0πA << ，022πA ∴<<，2π23A ∴=或4π3，π3A ∴=或2π3，则sin A =，又ABC的面积为2，∴1sin 22bc A =，1b =Q ，2c ∴=，当π3A =时，2222cos 142a b c bc A =+-=+-，a ∴=则ABC为直角三角形，则tan 3B =，当2π3A =时，2222cos 142a b c bc A =+-=++，a ∴=在ABC中，1sin sin 3B =sin B ∴=π02B <<，cos B =则tan 5B =，综上tan B =tan B 19．设首项为112a =的数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足()111n n n n a a n a na ++=+-(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列n n T ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：1211134n S S S +++< ．参考公式：()()222211231216n n n n ++++=++ ．【正确答案】(1)1n n a n =+(2)证明见解析【分析】（1）由已知可得111n n n n a a ++-=，即数列{}n n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，然后求解即可；（2）由参考公式可得()()123n n n n S ++=，则()()()13112112n S n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦，然后累加求和即可．【详解】（1）数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足()111n n n n a a n a na ++=+-.则111n n n n a a ++-=,又112a =，112a =，则数列{}n n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，则()211n n n n a =+-=+1n n a n ⇒=+；（2）由（1）可得1212311n n T n n =⨯⨯⨯=++ ，则2n n n n T =+则()()()()()22221112312312162n n n S n n n n n +=+++++++++=+++ ()()123n n n ++=.则()()()()()133********n S n n n n n n n ⎡⎤==-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦则()()()121113111121223233411112n S S S n n n n +++=-+-++⨯⨯⨯⨯⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭ ()()311322412n n ⎡⎤=-<⎢⎥++⎢⎥⎣⎦.20．已知双曲线22 1.416x y -=(1)过点(1,4)N 的直线与双曲线交于,S T 两点，若点N 是线段ST 的中点，求直线ST 的方程；(2)直线l ：(2)y kx m k =+≠±与双曲线有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴于0(,0)A x ，0(0,)B y 两点．当点M 运动时，求点00(,)P x y 的轨迹方程.【正确答案】(1)30.x y -+=(2)221(0)10025x y y -=≠.【分析】（1）设11(,)S x y ，22(),T x y ，采用“点差法”可求得直线ST 的斜率，即可求得答案；（2）根据直线l ：(2)y kx m k =+≠±与双曲线有唯一的公共点M ，联立方程可得到224(4)m k =-，从而求得点M 坐标，由此表示出过M 且与l 垂直的直线方程，求得00,x y ，化简可得其关系，即可得答案.【详解】（1）设11(,)S x y ，22(),T x y ，则2211222214161416x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得22221212416x x y y --=，即121212124y y x x x x y y -+=⨯-+，因为点(1,4)N 是线段ST 的中点，所以1212214124y y x x -⨯=⨯=-⨯，即直线ST 的斜率为1，所以直线ST 的方程为41y x -=-，即3y x =+,联立方程组2231416y x x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,得236250x x --=，满足0∆>，故直线ST 的方程为30.x y -+=（2）联立方程组22416x y y kx m⎧-=⎨=+⎩,得222(4)2(16)0k x kmx m ---+=，因为直线l ：(2)y kx m k =+≠±与双曲线有唯一的公共点M ，根据双曲线的对称性可知,k m 都不等于0，()()22222Δ444160k k m k m '≠±⎧⎪∴⎨=+-+=⎪⎩，得224(4)m k =-，则244M km k x k m ==--,则4(16M k m y k mm =⨯+=--,所以M 的坐标为416(,k m m--，其中0km ≠，因为过点M 且与l 垂直的直线方程为1614()k y x m k m +=-+，令0y =，得020k x m =-，令0x =，020y m =-，所以2222002224004001600(4)10010044k m x y m m m==+=+=+，故点00(,)P x y 的轨迹方程为.221(0)10025x y y -=≠方法点睛：（1）涉及到弦的中点问题时，一般采用“点差法”解答，较为简便；（2）求动点的轨迹方程时，要能根据题意选择恰当的方法，想法得到动点的坐标之间的变化关系，化简可解.21．已知：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥平面ABCD ，点M 为PD 中点，1PA AD ==．(1)求证：平面MAC ⊥平面PCD ；(2)求点P 到平面MAC 的距离．【正确答案】(1)证明见解析(2)3.【分析】（1）以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，以AP 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出相关向量的坐标，利用向量数量积证明线面垂直，继而可证明结论.（2）利用向量法求得平面MAC 的法向量，根据距离的向量求法求点P 到平面MAC 的距离．【详解】（1）证明：PA ⊥ 平面ABCD ，ABCD 为正方形，以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，以AP 所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系．由已知可得()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()0,0,1P M 为PD 的中点，110,,22M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，所以110,,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()1,0,0CD =- ，()1,1,0AC = ，所以·0AM CD = ，所以AM CD ⊥，又点M 为PD 中点，1PA AD ==，所以AM PD ⊥，PD CD D = ，,PD CD ⊂平面PCD ，AM ∴⊥平面PCD ，又因为AM ⊂平面MAC ,故平面MAC ⊥平面PCD ．（2）设平面MAC 的法向量为(),,n x y z = ，则1100,22·00n AM y z n AC x y ⎧⎧⋅=+=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪⎩+=⎩ ，令1x =，则1,1y z =-=，()1,1,1n ∴=- ，()0,0,1PA =- ，设点P 到平面MAC 的距离为d，3PA n d n ⋅∴== ,∴点P 到平面MAC的距离为3．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点A．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 与椭圆C 交于不同的M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列．椭圆C 上是否存在一点P ，使得四边形OMPN 为平行四边形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)2212x y +=(2)存在，10x ±-=或10x =．【分析】（1）由离心率的值，可得a ，b 的关系，设椭圆的方程，将A 点的坐标代入椭圆的方程，可得b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由四边形OMPN 为平行四边形可得P 的坐标，将P 的坐标代入椭圆的方程，可得参数的关系，求出直线OM ，ON 的斜率之积，由直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列可得参数的关系，进而求出参数的值，即求出直线l 的方程．【详解】（1）由离心率2c e a =，可得222a b =，所以椭圆的方程为：222212x y b b +=，将点A代入椭圆的方程可得：2213144b b+=，解得21b =，所以椭圆的方程为2212x y +=；（2）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：x my t =+，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立2222x my t x y =+⎧⎨+=⎩，整理可得：222()2220m y mty t +++-=，222244(2)(2)0m t m t ∆=-+->，即222t m <+，且12222mt y y m -+=+，212222t y y m -=+，()12122422t x x m y y t m +=++=+，因为四边形OMPN 为平行四边，OP 与MN 互相平分，所以2242,22t mt P m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，因为P 在椭圆上，则2222422122t mt m m ⎛⎫ ⎪-+⎛⎫⎝⎭+= ⎪+⎝⎭，整理可得：2242t m =+，①又因为直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，即122121y y m x x =⋅，即21212x x m y y =，而()()()222221222122221212222222t m my t my t x x mt t m t m mt m y y y y t t t +++--==+⋅+=+---，可得2222t m t =，②由①②可得：22m =，21t =，符合△0>，可得m =，1t =±，所以直线l的方程为：10x -=或10x +=．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，等比数列的性质的应用，属于中档题,本题的关键是韦达定理求得根与系数的关系，求得点P 的坐标，以及表示写了的关系.。

高二上学期数学期末测试题The document was prepared on January 2, 2021高 二 上 学 期 数 学 期 末 测 试 题一、选择题：1．不等式212>++x x 的解集为 A.()()+∞-,10,1 B.()()1,01, -∞- C.()()1,00,1 - D.()()+∞-∞-,11, 2．0≠c 是方程 c y ax =+22 表示椭圆或双曲线的 条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．不充分不必要3.若,20πθ≤≤当点()θcos ,1到直线01cos sin =-+θθy x 的距离为41,则这条直线的斜率为 B.－1 C.23 D.－334.已知x 的不等式01232>+-ax ax 的解集是实数集 R ,那么实数a 的取值范围是A.0,916 B.0, 916 C.916,0 D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡38,0 5.过点2,1的直线l 被04222=+-+y x y x 截得的最长弦所在直线方程为： A. 053=--y x B. 073=-+y x C. 053=-+y x D. 013=+-y x6.下列三个不等式：①;232x x >+②2,0,≥+≠∈ba ab ab R b a 时、；③当0>ab 时,.b a ba +>+其中恒成立的不等式的序号是 A.①② B.①②③ C.① D.②③7.圆心在抛物线x y 22=上,且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 A ．041222=---+y x y x B ．01222=+-++y x y x C ．01222=+--+y x y xD ．041222=+--+y x y x8.圆C 切y 轴于点M 且过抛物线452+-=x x y 与x 轴的两个交点,O 为原点,则OM 的长是 A ．4 B ． C ．22 D ．29.与曲线1492422=+y x 共焦点,而与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为A ．191622=-x yB ．191622=-y xC ．116922=-x yD ．116922=-y x10.抛物线x y 42-=上有一点P,P 到椭圆1151622=+y x 的左顶点的距离的最小值为A ．32B ．2+3C ．3D ．32-11.若椭圆)1(122>=+m y mx与双曲线)0(122>=-n y nx 有相同的焦点F 1、F 2,P 是两曲线的一个交点,则21PF F ∆的面积是 A ．4B ．2C ．1D ．12.抛物线px y 22=与直线04=-+y ax 交于两点ＡＢ,其中点Ａ坐标为1,2,设抛物线焦点为Ｆ,则|FA |+|FB |= Ａ.7 Ｂ.6 Ｃ.5 Ｄ.4二、填空题13. 设函数,2)(+=ax x f 不等式6|)(|<x f 的解集为-1,2,则不等式()1≤x f x的解集为 14.若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 始终平分圆014222=+-++y x y x 的圆周,则ba11+的最小值为______ 15．若曲线15422=++-a y a x 的焦点为定点,则焦点坐标是 . 16.抛物线x y 22-=上的点M 到焦点F 的距离为3,则点M 的坐标为____________. 三、解答题： 18．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点)221(，M ,其离心率为22,设直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于B A 、两点．Ⅰ求椭圆C 的方程；Ⅱ已知直线l 与圆3222=+y x 相切,求证：OA ⊥OBO 为坐标原点；Ⅲ以线段OA,OB 为邻边作平行四边形OAPB,若点Q 在椭圆C 上,且满足OP OQ λ=O 为坐标原点,求实数λ的取值范围．19．已知圆C y 轴对称,经过抛物线x y 42=的焦点,且被直线x y =分成两段弧长之比为1：2,求圆C 的方程.20. 平面内动点Px,y 与两定点A-2, 0, B2,0连线的斜率之积等于-1/3,若点P 的轨迹为曲线E,过点Q (1,0)-作斜率不为零的直线CD 交曲线E 于点C D 、．1求曲线E 的方程； 2求证：AC AD ⊥；3求ACD ∆面积的最大值．21．已知直线l 与圆0222=++x y x 相切于点T ,且与双曲线122=-y x 相交于A 、B 两点.若T 是线段AB 的中点,求直线l 的方程. 22、设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ,上顶点为A ,过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆与x 轴正半轴Q P 、两点,且PQ AP 58=I 求椭圆离心率e ；II 若过A,F,Q 三点的圆恰好与直线033:=++y x l 相切,求椭圆方程答案一、ABDB A CD D A A C A 二、13. {x|x>21或52≤x }; 14. 4 ; 15.0,±3; 16．－5,25±. 三、17．解：由062322<--+-x x x x ,得0)2)(3()2)(1(<+---x x x x 18．Ⅰ椭圆方程为2212x y +=；Ⅱ见解析Ⅲ22λ-<<且0λ≠．解析试题分析：Ⅰ由已知离心率为22,可得等式222b a =；又因为椭圆方程过点(1M 可求得21b =,22a =,进而求得椭圆的方程； Ⅱ由直线l 与圆2223x y +=相切,可得m 与k 的等式关系即222(1)3m k =+,然后联立直线l 与椭圆的方程并由韦达定理可得122412kmx x k +=-+,21222212m x x k -=+,进而求出=21y y 222212m k k -+,所以由向量的数量积的定义可得→→⋅OB OA 的值为0,即结论得证；Ⅲ由题意可分两种情况讨论：ⅰ当0m =时,点A 、B 原点对称；ⅱ当0m ≠时,点A 、B不原点对称.分别讨论两种情形满足条件的实数λ的取值范围即可.试题解析：Ⅰ222c e a b c a==+离心率,222a b ∴= 222212x y b b ∴+=椭圆方程为,将点(12M ，代入,得21b =,22a =∴所求椭圆方程为2212x y +=．Ⅱ因为直线l 与圆2223x y +=相切,所以=即222(1)3m k =+ 由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩,得222(12)4220k x kmx m +++-=．设点A 、B 的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y ,则122412kmx x k +=-+,21222212m x x k -=+,所以1212()()y y kx m kx m =++=221212()k x x km x x m +++=222212m k k -+,所以1212OA OB x x y y ⋅=+=222212m k -++222212m k k -+=22232212m k k --+=0,故OA OB ⊥, Ⅲ由Ⅱ可得121222()212my y k x x m k +=++=+, 由向量加法平行四边形法则得OA OB OP +=,OP OQ λ=,OA OB OQ λ∴+= ⅰ当0m =时,点A 、B 原点对称,则0λ= 此时不构成平行四边形,不合题意． ⅱ当0m ≠时,点A 、B 不原点对称,则0λ≠,由OA OB OQ λ+=,得12121(),1().Q Q x x x y y y λλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 即224,(12)2.(12)Q Qkm x k m y k λλ-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩点Q 在椭圆上,∴有222242[]2[]2(12)(12)km mk k λλ-+=++, 化简,得222224(12)(12)m k k λ+=+．2120k +≠,∴有2224(12)m k λ=+． ①又222222164(12)(22)8(12)k m k m k m ∆=-+-=+-,∴由0∆>,得2212k m +>． ②将①、②两式,得2224m m λ>0m ≠,24λ∴<,则22λ-<<且0λ≠．综合ⅰ、ⅱ两种情况,得实数λ的取值范围是22λ-<<且0λ≠．19.解：设圆C 的方程为)(2a y x -+22r =, 抛物线x y 42=的焦点()0,1F221r a =+∴ ①又直线x y =分圆的两段弧长之比为1：2,可知圆心到直线x y =的距离等于半径的,21即22r a = ②解①、②得2,12=±=r a 故所求圆的方程为 2)1(22=±+y x20．1223144x y +=(2)x ≠±；2略；31. 解析试题分析：1根据题意可分别求出连线PA ,PB 的斜率PA k ,PB k ,再由条件斜率之积为13列出方程,进行化简整理可得曲线E 的方程,注意点P 不与点,A B 重合.根据斜率的计算公式可求得2PA y k x ,2PB yk x ,所以12223y yx x x ,化简整理可得曲线E 的方程为223144x y +=(2)x ≠±； 2若要证AB AC ,只要证0AB AC ,再利用两个向量数量积为零的坐标运算进行证明即可.那么由题意可设直线BC 的方程为1myx ,1122,,,C x y D x y ,联立直线与椭圆的方程消去x ,可得y 的一元二次方程032)3(22=--+my y m ,由违达定理知33,32221221+-=+=+m y y m m y y ,则12122623x x m y y m ,()()21212243113m x x my my m -+⋅=--=+,又112,ACx y ,222,AD x y ,所以()()()121212*********AC AD x x y y x x x x y y ⋅=+++=++++=,从而可以证明AB AC ；3根据题意可知122111223ACDS AQ y y m △=⋅-=⨯=+,=故当0m =时,ACD △的面积最大,最大面积为1.试题解析：1设动点P 坐标为(,)x y ,当2x ≠±时,由条件得：1223y y x x ⋅=--+,化简得223144x y +=, 故曲线E 的方程为223144x y +=(2)x ≠±. 4分说明：不写2x ≠±的扣1分 2CD 斜率不为0,所以可设CD 方程为1+=x my ,与椭圆联立得：032)3(22=--+my y m 设),(),,(2211y x D y x C , 所以33,32221221+-=+=+m y y m m y y ,. 6分 01323)1(31)()1(),2(),2(2222212122211=+++++-=++++=+⋅+m m m m y y m y y m y x y x ,所以AC AD ⊥ 8分3ACD ∆面积为2222221)3(334394||21+-+=++=-m m m m y y , 10分 当0=m 时ACD △的面积最大为1. 12分考点：1.椭圆的方程；2.向量法证明两直线垂直；3.三角形面积的计算.21．解：直线l 与x 轴不平行,设l 的方程为 a my x += 代入双曲线方程 整理得而012≠-m ,于是122--=+=m amy y y B A T 从而 12--=+=m a a my x T T 即 )1,1(22mam am T -- 点T 在圆上 012)1()1(22222=-+-+-∴mam a m am 即22+=a m ① 由圆心)0,1(-'O .l T O ⊥' 得 1-=⋅'l T O k k 则 0=m 或 122+=a m当0=m 时,由①得 l a ∴-=,2的方程为 2-=x ；当122+=a m 时,由①得 1=a l m ∴±=,3的方程为13+±=y x . 故所求直线l 的方程为2-=x 或 13+±=y x22．解：I ），（）、）（，（），由，（设b A b a c c F x Q 000220-=- 知),(),,(0b x AQ b c FA -==. cb x b cx AQ FA 2020,0,==-∴⊥ .设PQ AP y x P 58),,(11=由,得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+==+=b b yc b x x 135581,138581581201 因为点P 在椭圆上,所以1)135()138(22222=+bb ac b 整理得ac c a ac b 3232222=-=）（，即 02322=-+⇒e e .21=⇒e II 由I,a c a c a c b ac b 21,21;23,3222====得由得 于是AQF a Q a F ∆-),0,23(),0,21(的外接圆圆心为)0,21(a ,半径.21a FQ r ==因为这个圆与直线033:=++y x l 相切,所以a a =+2|321|,解得a =2, ∴c=1,b=3,所求椭圆方程为13422=+y x。

2024北京西城高二（上）期末数 学2024.1本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线3410x y −+=不经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.抛物线26x y =的焦点到其准线的距离等于（ ） A.32B.3C.6D.8 3.在空间直角坐标系O xyz −中，点()4,2,8A −到平面xOz 的距离与其到平面yOz 的距离的比值等于（ ） A.14 B.12C.2D.4 4.在312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为（ ） A.3 B.6 C.9 D.125.在正四面体ABCD 中，棱AB 与底面BCD 所成角的正弦值为（ ）C.13D.36.已知直线,a b 和平面α，且b α⊂，则“直线a ∥直线b ”是“直线a ∥平面α”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设,A B 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的左､右顶点，M 为双曲线E 上一点，且AMB 为等腰三角形，顶角为120，则双曲线E 的一条渐近线方程是（ ）A.y x =B.2y x =C.y =D.y =8.在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（ ）A.12种B.24种C.32种D.36种9.如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，13,4,AB BC CC E ===为棱11B C 的中点，P 为四边形11BCC B 内（含边界）的一个动点.且DP BE ⊥，则动点P 的轨迹长度为（ ）A.5B.10.在直角坐标系xOy 内，圆22:(2)(2)1C x y −+−=，若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A.⎡⎣B.44⎡−−⎣C.22⎡−−−⎣D.22⎡−+⎣第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.过点()2,3A −且与直线30x y ++=平行的直线方程为__________.12.在4(21)x +的展开式中，所有项的系数和等于__________.（用数字作答）13.两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于__________.14.若方程22124x y m m+=+−m 的取值范围是__________；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是__________.15.如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，2,AB E =为棱1BB 的中点，F 为棱1CC （含端点）上的一个动点.给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得1B F ∥平面1A ED ；②不存在符合条件的点F ，使得BF DE ⊥；③异面直线1A D 与1EC 所成角的余弦值为5； ④三棱锥1F A DE −的体积的取值范围是2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 其中所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题10分）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动.（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17.（本小题15分）如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，1,3,4BA BC BC AB AA ⊥===.（1）证明：直线1AB ⊥平面1A BC ；（2）求二面角1B CA A −−的余弦值.18.（本小题15分）已知C 经过点()1,3A 和()5,1B ，且圆心C 在直线10x y −+=上.（1）求C 的方程； （2）设动直线l 与C 相切于点M ，点()8,0N .若点P 在直线l 上，且PM PN =，求动点P 的轨迹方程.19.（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为)，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆22(1)25x y −+=的圆心为,M P 为此圆上一点.（1）求椭圆C 的离心率； （2）记线段MP 与椭圆C 的交点为Q ，求PQ 的取值范围.20.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，AD ⊥平面,PAB AB ∥,DC E 为棱PB 的中点，平面DCE 与棱PA 相交于点F ，且22PA AB AD CD ====，再从下列两个条件中选择一个作为已知.条件①：PB BD =；条件②：PA BC ⊥.（1）求证：AB ∥EF ；（2）求点P 到平面DCEF 的距离；（3）已知点M 在棱PC 上，直线BM 与平面DCEF 所成角的正弦值为23，求PM PC的值. 21.（本小题15分） 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与椭圆C 相交于,A B 两点.已知椭圆C 的离心率为21,2ABF 的周长为8. （1）求椭圆C 的方程；（2）判断x 轴上是否存在一点M ，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线？若存在，求点M 的坐标；若不存在，说明理由.参考答案一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1.D2.B3.B4.D5.B6.D7.A8.C9.B 10.A二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.10x y ++= 12.81 13.414.()(),24,∞∞−−⋃+；()()2,11,4−⋃ 15.①②④注：第14题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，有两个选对且无错选得3分，有一个选对且无错选得2分，其他得0分.三､解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16.（本小题10分）解：（1）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动，选择方法数为310C 120=种.（2）从10名志愿者中选2男1女，选择方法数共有2164C C 60=种，故从10名志愿者中选2男1女，且分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为213643C C A 360=种.17.（本小题15分）解：（1）在直三棱柱111ABC A B C −中，因为1AA ⊥.平面,ABC BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥.又因为1,BA BC BA AA A ⊥⋂=，所以BC ⊥平面11AA B B ，所以1BC AB ⊥.由14AB AA ==，得四边形11AA B B 为正方形.所以11AB A B ⊥.又因为1BC A B B ⋂=，所以1AB ⊥平面1A BC .（2）因为1BB ⊥平面,ABC BA BC ⊥，所以1,,BA BC BB 两两互相垂直，故以B 为原点，1,,BA BC BB 的方向分别为x 轴､y .轴､z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则()()()()114,0,0,0,3,0,4,0,4,0,0,4A C A B .所以()()14,3,0,0,0,4AC AA =−=.设平面1A AC 的法向量为(),,m x y z =，则10,0,m AC m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即430,40.x y z −+=⎧⎨=⎩令3x =，则4,0y z ==.于是()3,4,0m =.由（1）可知：()14,0,4AB =−是平面1A BC 的一个法向量.因为11112cos ,1042||AB m AB m AB m ⋅−===−⨯， 由图可知二面角1B CA A −−的平面角为锐角，所以二面角1B CA A −−的余弦值为10. 18.（本小题15分）解：（1）由题意，设C 的圆心(),1C a a +，半径为r ，则222222(1)(31),(5)(11).a a r a a r ⎧−+−−=⎨−+−−=⎩ 解得：5,5.a r =⎧⎨=⎩ 所以C 的方程为22(5)(6)25x y −+−=.（2）由平面几何，知PMC 为直角三角形，且PM MC ⊥，所以222||||||PM MC PC +=.由PM PN =，得222||||||PN MC PC +=.设(),P x y ，则2222(8)25(5)(6)x y x y −++=−+−.即36140x y −−=，经检验符合题意.所以动点P 的轨迹方程为36140x y −−=.19.（本小题15分）解：（1）由题意，得222212,c ab a b c ===+，所以3,2a b ==，所以椭圆C的离心率3c e a ==. （2）由题意，得5PQ MP MQ MQ =−=−.设()11,Q x y ，则2211194x y +=. 所以MQ ===. 因为[]13,3x ∈−，所以当195x=时，min ||MQ =；当13x =−时，max ||4MQ =.所以PQ 的取值范围为1,55⎡−⎢⎣⎦. 20.（本小题15分）解：选择条件①：（1）因为AB ∥,DC AB ⊄平面,DCEF DC ⊂平面DCEF ，所以AB ∥平面DCEF .又因为AB ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面DCEF EF =，所以AB ∥EF .（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥.又因为,22PB BD PA AB AD CD =====，所以PAB DAB ≅.因此90PAB DAB ∠∠==，即,,AB AD AP 两两垂直.如图，以A 为原点，,,AB AD AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，所以()()()()0,2,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0D C P B .由（1），得AB ∥EF ，且E 为棱PB 的中点，所以点F 为棱PA 的中点.()()1,0,1,0,0,1E F ，故()()()0,0,1,0,2,1,1,0,0FP DF CD ==−=−.设平面DCEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则20,0,DF n y z CD n x ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩取1y =，则0,2x z ==，即()0,1,2n =.所以点P 到平面DCEF 的距离255FP nd n ⋅==. （3）设[],0,1PM PCλλ=∈， 则()()1,2,2,2,2PM PC λλλλλ==−=−.所以()2,2,22BM BP PM λλλ=+=−−.设直线BM 与平面DCEF 所成角为θ，所以||sin |cos ,|||||BM n BM n BM n θ⋅=<>== 23=. 化简，得29610λλ−+=，解得13λ=， 即13PM PC =. 选择条件②：（1）与上述解法相同，略.（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥，又因为,PA BC BC ⊥与AD 相交，所以PA ⊥平面ABCD . 所以PA AB ⊥.即,,AB AD AP 两两垂直.以下与上述解法相同，略.21.（本小题15分）解：（1）由题意，得22248,1,2,a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩ 解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）假设x 轴上存在一点()0,0M x 符合题意.由题意，设直线()()()()1122:10,,,,AB y k x k A x y B x y =+≠.联立方程()221,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y ， 得()22223484120k x k x k +++−=. 所以221212228412,3434k k x x x x k k−+=−=++. 由题意，知直线AM 的斜率存在，且为()11101010AMk x y k x x x x +−==−−， 同理，直线BM 的斜率为()22202010BM k x y k x x x x +−==−−. 所以()()12102011AM BM k x k x k k x x x x +++=+−−()()()()12120120102022k x x x x x x x x x x x x ⎡⎤++−+−⎣⎦=−−. 因为1MF 为AMB 的一条内角平分线，所以0AM BM k k +=.所以()()12120120220k x x x x x x x x ⎡⎤++−+−=⎣⎦.因为上式要对任意非零的实数k 都成立， 所以2220022241288220343434k k k x x k k k−⨯−+⨯−=+++， 解得04x =−.故x 轴上存在一点()4,0M −，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线.。

2022-2023学年甘肃省庆阳市宁县第二中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线132x y-=的纵截距为（ ）A ．2-B ．12-C ．13D ．3【答案】A【分析】根据直线方程即得. 【详解】因为直线132x y-=，令0x =，可得=2y -，所以直线132x y-=的纵截距为2-.故选：A.2．已知直线1:20l ax y +=与直线()2:140l x a y +++=平行，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．23C ．1D ．2-或1【答案】D【分析】由两直线平行的条件直接列式求解，注意检验是否重合． 【详解】由(1)20a a +-=，解得2a =-或1a =，经过验证满足题意. 故选：D.3．已知圆1C ：22(5)(3)9x y -+-=，圆2C ：224290x y x y +-+-=，则两圆的位置关系为（ ） A ．外离 B ．外切C ．相交D ．内切【答案】C【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和与差的关系，判断圆与圆的位置关系． 【详解】圆1C ：22(5)(3)9x y -+-=的圆心为1(5,3)C ，半径13r =，圆2C ：224290x y x y +-+-=，即22(2)(1)14x y -++=，圆心1(2,1)C -，半径2r =两圆的圆心距125C C =353<，即211221r r C C r r -<<+， 所以圆1C 与圆2C 相交. 故选：C4．五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为（ ） A ．12种 B ．48种 C ．72种 D ．120种【答案】C【分析】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节即可得．【详解】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节，方法数为3234A A 72=.故选：C ．5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>224y x =的准线上，则双曲线的顶点到渐近线的距离为（ ）A ．6B ．C ．3D 【答案】D【分析】由题可得ba=6c =，然后根据点到直线的距离公式即得. 【详解】因为224y x =的准线为6x =-，所以双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一个焦点为()6,0-，即6c =，由题意可知ba=b ，所以222436a b a =+=，所以3a =，b =所以顶点()3,0±到渐近线y =故选：D ．6．若圆224x y +=上恰有一个点到直线:0l x y a -+=的距离为1，则a 的值为（ ）A ．±B ．CD ．【答案】A【分析】根据圆的性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】圆224x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径为2，因为圆224x y +=上恰有一个点到直线:0l x y a -+=的距离为1， 所以圆心到直线:0l x y a -+=的距离为3，所以有223321(1)a a =⇒=±+-.故选：A.7．已知数列{}n a 的各项均为正数，若对于任意的正整数p ，q 总有p q p q a a a +=⋅，且627a =，则10a =（ ） A ．81 B ．162 C ．243 D ．486【答案】C【分析】由题意条件能够求出42,a a ，从而10a 可求.【详解】由题意可得，422a a a =⋅，()3642227a a a a =⋅==，所以23a =，49a =， 所以1064279243a a a =⋅=⨯=. 故选：C.8．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，A 为双曲线右支上一点，直线1AF 交y 轴于点M ，原点O 到直线1AF 距离为32a，且12MF AF =﹐则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．5【答案】B【分析】根据定义结合条件2AM a =，取AM 的中点为B ，可得23BF a =，进而可得223c a =，即得.【详解】因为12MF AF =，122AF AF a -=，所以12112AF AF AF MF A a M -=-==，又12MF MF =， 所以122MF AF MF ==，取AM 的中点为B ，连接2BF ，则21BF AF ⊥，因为O 为12F F 的中点，原点O 到直线1AF ，所以2BF ，又2AM a =， 所以1222MF AF MF a ===，所以2222222211934F BF B a c F F a =+=+=，所以223c a =，即e 故选：B.二、多选题9．在8212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，下列说法正确的是（ ）A ．展开式中所有项的系数和为256B ．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128C ．展开式中含x 项的系数为448-D ．展开式中二项式系数的最大项为第四项【答案】BC【分析】令1x =可判断选项A ；所有奇数项的二项式系数和为12n -可判断选项B ；由展开式的通项可判断选项C ； 利用展开式中二项式系数的性质可判断选项D.【详解】对于A ：令1x =，可得展开式中所有项的系数和为()8211-=，故A 不正确； 对于B ：展开式中所有奇数项的二项式系数和为87221282==，故B 正确；对于C ：8212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()()88168238C C 2112kk k k k kk xx x ---⎛⎫=⎝-- ⎪⎭，令1631k -=得5k =，所以展开式中含x 项的系数为()55858C 21568448--=-⨯=-，故C 正确； 对于D ：展开式中共有9项，中间项即为第五项的二项式系数最大，故选项D 不正确. 故选：BC.10．已知1B <，直线l 的方程为10x By -+=，则直线l 的倾斜角可能为（ ） A ．0 B ．π7C ．π2D ．6π7【答案】CD【分析】对B 分类讨论结合斜率与倾斜角的关系即得.【详解】当0B <时，则直线的斜率为10k B =<，所以直线的倾斜角可能为6π7， 当0B =时，则直线的斜率不存在，所以直线的倾斜角为π2，当01B <<时，则直线的斜率为11k B=>，所以直线的倾斜角范围为ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭，不可能为0和π7.故选：CD.11．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ）A ．若任意选择三门课程，选法总数为37A B ．若物理和化学至少选一门，选法总数为1226C CC ．若物理和历史不能同时选，选法总数为3175C C -D ．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为121255C C C -【答案】ABD【分析】若任意选择三门课程，由组合的概念可知选法总数为37C 种，可判断A 错误；若物理和化学至少选一门，由分步乘法计数原理知选法总数为12212525C C C C +种，可判断B 错误；若物理和历史不能同时选，利用间接法可知选法总数为3175C C -种，可判断C 正确；若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D 错误．【详解】对于A ，若任意选择三门课程，选法总数为37C 种，故A 错误对于B ，若物理和化学选一门，有12C 种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有25C 种选法若物理和化学选两门，有22C 种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有15C 种选法由分步乘法计数原理知，总数为12212525C C C C +种选法，故B 错误对于C ，若物理和历史不能同时选，选法总数为3213172575·C C C C C -=-种，故C 正确对于D ，若物理和化学至少选一门，有3种情况， 只选物理不选历史，有1214C C 种选法 选化学，不选物理，有1215C C 种选法物理与化学都选，不选历史，有2124C C 种选法故总数为121221141524610420C C C C C C ++=++=种，故D 错误 故选：ABD12．已知椭圆()2211221110x y a b a b +=>>的离心率为1e ,双曲线()2222222210,0x y a b a b -=>>的离心率为2e ,两曲线有公共焦点12,F F ，P 是椭圆与双曲线的一个公共点，1260F PF ∠=︒，以下结论正确的是（ ）A ．22221122a b a b -=-B ．22123b b =C ．221213144e e += D ．2212e e +的最小值为1【答案】BCD【分析】根据椭圆与双曲线有相同的焦点可判断A ，根据椭圆与双曲线的定义及余弦定理可判断B ；由分析B 中所得结论2221234a a c +=可判断C ；利用“1”的变形及均值不等式即可判断D. 【详解】由题意可得22221122a b a b -=+，所以A 错误；可设P 是第一象限的点，1||PF m =，2||PF n =， 由题可得12m n a +=，22m n a -=，解得12m a a =+，12n a a =-，又222221122a b a b c -=+=， 因为1260F PF ∠=︒，在△12F PF 中，由余弦定理可得2222221212121241cos 222PF PF F F m n c F PF PF PF mn +-+-∠===⋅，化为2221234a a c +=，则22222212123(33)0b b a c c a -=---=，故B 正确； 由2221234a a c +=，可得22122234a a c c +=，即有2222121213113,444e e e e ++==，故C 正确；由22211222222112222221311311()()(13)(4444e e e e e e e e e e +=++=+++≥+，当且仅当2221e ， 取得等号，即有2212e e +的最小值为1，故D 正确．故选：BCD.三、填空题13．10871087A 89A 8A --=_________．【答案】0【分析】根据排列数的定义计算．【详解】10871087A 89A 8A 10!898!8!8!8!0--=-⨯-=-=.故答案为：0.14．已知点()2,1P ，若抛物线24y x =的一条弦AB 恰好是以P 为中点，则弦AB 所在直线方程是_______．【答案】230x y --=【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，得122y y +=，代入抛物线方程相减可得直线AB 斜率，从而得到所求直线方程．【详解】2x =时，y =1>，P 在抛物线内部（含焦点的部分）， 设1122(,),(,)A x y B x y ，122y y +=，由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，相减得22121244y y x x -=-， ∴1212124422y y x x y y -===-+，即2AB k =， 直线AB 方程为12(2)y x -=-，即230x y --=， 故答案为：230x y --=．15．某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院选派5名医生支援，5名医生要分配到3个不同的病毒疫情严重的地方，要求每一个地方至少有一名医生．则有_________种不同的分配方法． 【答案】150【分析】把5名医生分成3组，然后再分配即得. 【详解】根据题意，先把5名医生分成3组再分配，一是分成3,1,1然后分配，共有3353C A 10660⋅=⨯=种分配方法，二是分成2,2,1然后分配，共有22353322C C 30A 690A 2⋅=⨯=种分配方法，所以共有6090150+=种分配方法. 故答案为：150.16．已知圆C 的方程为222x y +=，点P 是直线250x y --=上的一个动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则四边形PACB 的面积的最小值为______【分析】依题意可得122||||2||2PACB PACS SPA AC PA ==⨯⋅=，由点到直线的距离公式结合勾股定理求出||PA 的最小值，即可求得四边形PACB 的面积的最小值； 【详解】解：由圆222x y +=，得到圆心(0,0)C ，半径2r = 由题意可得：PA PB =，PA CA ⊥，PB CB ⊥，122||||2|2PACB PACS SPA AC PA ∴==⨯⋅，在Rt PAC △中，由勾股定理可得：2222||||||2PA PC r PC =-=-， 当||PC 最小时，||PA 最小，此时所求的面积也最小， 点P 是直线250x y --=上的动点， 当PC l ⊥时，||PC 有最小值()22512d +-||3PA =∴所求四边形PACB 236=6四、解答题17．已知圆22:1O x y +=，点()0,2A ，动点P 与点A 的距离等于过点P 所作圆O 2倍． (1)求点P 的轨迹：(2)过点()1,1Q -的直线交点P 的轨迹于B ，C 两点，且弦BC 被Q 点平分，求直线BC 的方程． 【答案】(1)点P 的轨迹为()0,2-10为半径的圆；(2)0x y +=.【分析】（1）设出(),P x y ，根据题意列出方程，化简即得由；（2）根据圆的性质可知BC QM ⊥，然后根据直线垂直的斜率关系及点斜式即得. 【详解】（1）由圆22:1O x y +=，可知圆心为()0,0O ，半径为1， 设(),P x y ，()0,2A ，平方得：222244222x y y x y +-+=+-， 化简得：22460x y y ++-=， 即()22210x y ++=，所以点P 的轨迹为以()0,2-为半径的圆；（2）由上可知点P 的轨迹为()0,2M -为半径的圆， 由圆的性质可知BC QM ⊥，又()1,1Q -， 所以21101QM k -+==-，1BC k =-， 所以直线BC 的方程为()11y x +=--，即0x y +=. 18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n n S =-． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)12n n a -=；(2)221n n -+.【分析】（1）根据n S 与n a 的关系即得；（2）根据等差数列的定义结合条件求出n b ，然后利用分组求和法即得. 【详解】（1）因为21n n S =-， 所以，当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()11121212n n n n n n a S S ---=-=---=，此时11a =也满足上式，所以12n n a -=；（2）因为数列{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列，所以()121n n b a n =+--，即1221n n b n -=+-，12112311223212n n n T b b b b n -=++=+++++++-+++()21211122122n n n n n +-==--++-. 19．已知直线1:210l x y --=和直线2:270l x y ++=相交于点P ，O 是坐标原点，直线3l 经过点P 且与OP 垂直． (1)求直线3l 的方程；(2)求以O 点为圆心10为半径的圆与直线3l 的交点Q 的坐标． 【答案】(1)3100x y ++=； (2)(10,0)-或(8,6)-．【分析】（1）解方程组求得P 点坐标，求出直线斜率后，由点斜式得直线方程并整理； （2）由直线方程设(310,)Q b b --，然后由10OQ =可得．【详解】（1）由210270x y x y --=⎧⎨++=⎩得13x y =-⎧⎨=-⎩，即(1,3)P --，331OP k -==-，∴313l k =-，3l 的方程为13(1)3y x +=-+，即3100x y ++=；（2）设(310,)Q b b --，由10OQ ==，解得0b =或6b =-， 所以Q 点坐标为(10,0)-或(8,6)-．20．已知圆()()22:434C x y -+-=，直线():1l y k x =-，直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点．(1)若PQ l 的方程： (2)若直线l 与直线:20l x y '++=交于点N ，直线l 过定点A ，求证：AM AN ⋅为定值． 【答案】(1)3430x y --=或4340x y --=；(2)证明见解析.【分析】（1）根据圆的弦长公式结合条件即得；（2）根据圆的性质结合平面几何知识可得AM AN AB AC ⋅=⋅，然后根据距离公式即得. 【详解】（1）由圆()()22:434C x y -+-=，可知圆心为()4,3C ，半径为2， 因为2915PQ =，直线():1l y k x =-，即kx y k 0--=， 所以2224391451k k k ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 解得34k =或43k =， 所以直线方程为()314y x =-或()413y x =-， 即3430x y --=或4340x y --=；（2）由直线():1l y k x =-可知直线过定点1,0A ，又()4,3C ，可知30141CA k -==-，又直线:20l x y '++=，l k '=-1， 所以AC l '⊥，如图设AC l B '=，又M 为线段PQ 的中点，直线l 与直线:20l x y '++=交于点N ，所以CM MN ⊥，Rt Rt ABN AMC ∽，所以AB AN AM AC=，即AM AN AB AC ⋅=⋅， 又12322AB +()2241332AC =-+所以9AM AN ⋅=为定值，若直线l 过圆心，则M 与C 重合，N 与B 重合，显然9AM AN ⋅=，综上，9AM AN ⋅=为定值.21．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且()1111,0n n n n a a S S S ++=-=≠．(1)证明：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； (2)求数列2n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T ； 【答案】(1)详见解析；(2)()()2332124n n n +-++.【分析】（1）首先根据1n a +与1,n n S S +的关系得到1111n n S S +-=，即可证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）利用裂项相消法求解n T 即可.【详解】（1）因为11n n n a S S ++=-，()110n n n n a S S S ++=≠，所以11·n n n n S S S S ++-=， 两边同除以·1n n S S +得1111Sn Sn-=-+， 因为11a =-，所以111S =-， 因此数列1Sn ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1-，公差为1-的等差数列； （2）由（1）知1n n S =-，即1n S n=-， ∴()11112222n n n n n S n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭+， ∴111111123242n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111112212n n ⎛⎫=-+-- ⎪++⎝⎭()()2332124n n n +=-++. 22．已知双曲线C 的两个焦点坐标分别为()()122,0,2,0F F -，双曲线C 上一点P 到12,F F 距离差的绝对值等于2．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点()2,1M 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程：(3)已知定点()1,2G ，点D 是双曲线C 右支上的动点，求1DF DG +的最小值．【答案】(1)2213y x -=； (2)6110x y --=；2.【分析】（1）根据双曲线的定义及焦点坐标可得双曲线方程；（2）利用点差法求直线方程；（3）根据双曲线的定义可得12222DF DG DF DG GF ++≥=++，进而即得.【详解】（1）由题可设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>， 由双曲线C 的焦点为()12,0F -，()22,0F ，得2c =，又双曲线C 上一点P 到12,F F 距离差的绝对值等于2，则1a =，所以b 所以双曲线方程为2213y x -=； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则221122221313y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 作差可得2222121203y y x x ---=， 即()()()()1212121203y y y y x x x x +-+--=， 又()2,1M 为AB 的中点，即124x x +=，122y y +=， 代入得12126y yx x -=-，即直线AB 的斜率6AB k =，∴直线l 的方程为()162y x -=-，即6110x y --=，此时由22611033x y x y --=⎧⎨-=⎩可得2331321240x x -+=， 213243312410560∆=-⨯⨯=>，故所求直线为6110x y --=.（3）由题可知122DF DF =-，即122DF DF +=，所以12222DF DG DF DG GF ++≥=++，当且仅当D 在线段2GF 上时等号成立， 又()1,2G ，()22,0F ，()22212+25GF =-= 所以1DF DG +52.。

石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（答案在最后）（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为，则该圆的一般方程为()A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---= D.224440x y x y ++++=4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12B.24C.30D.325.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.146.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.27.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020B.2021C.2022D.20238.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.265C.7010D.3010二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF +=B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为63D.1PF PA +最小值为-11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为1312.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12nk += B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.15.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：y =+，所以直线的斜率为k =，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒.故选：C2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-【答案】B 【解析】【分析】利用在平行四边形ABCD 中有AB DC =，计算即可.【详解】结合题意：设D 的坐标为(),,x y z ，因为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，所以()1,3,3AB =--,()1,2,DC x y z =---- ，因为在平行四边形ABCD 中有AB DC =，所以11323x y z =--⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得253x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以D 的坐标为()2,5,3-.故选：B.3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为)A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---=D.224440x y x y ++++=【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设圆的半径为r ，求出圆心到直线0x y +=的距离，由直线与圆的位置关系可得r 的值，即可得圆的标准方程，变形可得答案.【详解】根据题意，设圆的半径为r ，圆心坐标为()2,2，到直线0x y +=的距离d ==，该圆被直线0x y +=截得的弦长为22216r =+=，则圆的方程为22221)6()(x y -+-=，变形可得224480x y x y +---=，故选：A.4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12 B.24 C.30D.32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．5.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.14【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用列举法求得所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，将一颗骰子先后抛掷2次，第一次所得点数m ,第二次所得点数n ,记为(),m n .1,2,3,4,5,6m =，1,2,3,4,5,6n =，共有6636⨯=种结果，其中满足2n m n <≤的有：(2,1),(3,2),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4)(6,3),(6,4),(6,5)，，共有9种结果，由古典概型的概率计算公式，可得满足2n m n <≤的概率为91364P ==.故选：D.6.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x 0=x 0+2p,得出x 0求得p ，即可得答案．【详解】由题意，3x 0=x 0+2p ，∴x 0=4p ∴222p =∵p ＞0，∴p=2.故选D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．7.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020 B.2021C.2022D.2023【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，利用累加法，即可求解.【详解】由斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则2231375720520211a a a a a a a a a =+++++++++⋅⋅⋅+ 45720216792021a a a a a a a a =++++=++++ 8920212022a a a a =+++== .故选：C.8.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.5C.10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据三棱锥A BCD -的对棱相等可以补成长方体AGBI HCJD -，计算长方体的长宽高，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求得异面直线AE ，CF 所成角的余弦值.【详解】解：三棱锥A BCD -中，由于3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，则三棱锥A BCD -可以补在长方体AGBI HCJD -，则设长方体的长宽高分别为,,AG a AI b AH c ===，则2222222229,9,16a c AC a b AB b c AD +==+==+==，解得1,a b c ===，如图以C 为原点，,,CH CJ CG 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则((()()(1,0,,0,,0,0,0,1,,0,A B C D E ，所以(110,0,,4422AF AD ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则(AE =-，(1,0,0,,1,,2222CF CA AF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos ,10AE CF AE CF AE CF⋅===-⋅，则异面直线AE ，CF所成角的余弦值为10.故选：D .二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立【答案】BC 【解析】【分析】由题意可知摸出的两球的编号可能都是奇数或都是偶数或恰好一个奇数一个偶数，共三种情况，由此可判断,,A B C 之间的互斥或对立的关系，再由古典概型求出(),(),()P AB P A P B 判断是否相互独立可得答案.【详解】由题意知，事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，即摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故事件A ，B 不互斥，故A 错误；事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，即摸出的两球编号为一个奇数和一个偶数，其反面为摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故B ，C 是对立事件，故C 正确；事件A ，C 不会同时发生，故A ，C 是互斥事件，故B 正确；每次摸出两个小球，所有基本事件为：()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,()()()()2,6,3,4,3,5,3,6,()()()4,5,4,6,5,6，共有15个，所以由古典概型可得31()155P A ==，62()155P B ==，31()155P AB ==,所以()()()P AB P A P B ≠，故事件A 与B 不相互独立，故D 错误.故选：BC.10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF += B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为3D.1PF PA +最小值为-【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据椭圆定义求出答案；B 选项，数形结合得到当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，求出最大值；C 选项，由ce a=直接求解即可；D 选项，作出辅助线，结合椭圆定义得到()12PF PA PA PF +=+-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时,2PA PF -取得最小值，得到答案.【详解】A 选项，由题意得2a b c ====，由椭圆定义可得122PF PF a +==A 正确；B 选项，当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，最大值为1212F F b bc ⋅==B 错误；C 选项，离心率3c e a ===，C 正确；D 选项，因为2211162+<，所以点()1,1A 在椭圆内，连接2PF ，由椭圆定义可知12PF PF +=，故12PF PF =，故()122PF PA PF PA PA PF +=-+=-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时，2PA PF -取得最小值，最小值为2AF -==，所以1PF PA +最小值为D 正确.故选：ACD11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为13【答案】ACD 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，可判定A 错误；根据投影向量的求法，可判定B 正确；根据20a b ⋅=≠，可判定C 错误；根据线面角的空间的向量求法，可判定D 错误.【详解】对于A 中，设()(2,4,4)1,2,2(2,1,1)x y --=+-，可得222424x y x y x y -=-⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩，此时，方程组无解，所以向量(2,4,4)--与向量,a b不共面，所以A 错误；对于B 中，由向量()1,2,2,(2,1,1)a b ==-，可得向量b 在向量a 上的投影向量为21244(1,2,2),,33999a ba aa ⋅⎛⎫⋅=⨯⋅= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C 中，若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，因为20a b ⋅=≠ ，所以a 与b不垂直，所以平面α与平面β不垂直，所以C 错误；对于D 中，若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，设直线l 与平面α所成角为θ，其中π02θ≤≤，则·sin cos ,a b a b a b θ===，所以cos 9θ==，所以D 错误.故选：ACD.12.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12n k +=B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-【答案】ABD 【解析】【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k =第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k =第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k =第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得：123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈ 用等比数列求和可得()33132n na -=+则()121331333322n n n a +++--=+=+23322n +=+又()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+所以133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误.123n nS a a a a =++++ 23133332222n n+⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ()231331322nn --=+2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.【答案】310##0.3【解析】【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以{},,a b c为基底，用基向量表示MN ，再空间向量基本定理待定系数即可.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,因为点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点,所以111114152MN A N A M A C A D =-=- ()()11111141415252AC AA A D AB AD AA A D =--=+--()14152AB AD AA AD =+--14345105AB AD AA =+-4345105a b c =+- .又MN xa yb zc =++ ，由空间向量基本定理得，434,,5105x y z ===-，则310x y z ++=.故答案为：310.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.【答案】25##0.4【解析】【分析】分析数据得到三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，得到答案.【详解】10组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为42105=.故答案为：2515.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.【答案】129130【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式，将题目所求的式子中的,n n a b 有关的式子，转化为,n n S T 有关的式子来求解.【详解】原式11111212111111212132333322111292222223212130a a a a Sb b b b T +⨯+==⋅=⋅=⋅=⋅=+⨯+.【点睛】本小题主要考查了等差数列通项公式的性质，考查了等差数列前n 项和公式，考查了通项公式和前n 项和公式的转化.对于等比数列{}n a 来说，若m n p q +=+，则有m n p q a a a a +=+，而前n 项和公式()12n n a a n S +⋅=，可以进行通项和前n 项和的相互转化.属于基础题.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.【答案】(【解析】【分析】利用点差法得到22l b k a=，根据题意和渐近线方程得到l b k a <，故01b a <<，从而求出离心率的取值范围.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得()()()()2212121212b x x x x a y y y y +-=+-，若12x x =，则AB 的中点在x 轴上，不合要求，若12x x =-，则AB 的中点在y 轴上，不合要求，所以2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=-+，因为()1,1P 为AB 的中点，所以1212212y y x x +==+，故22l b k a=，因为()222211,0x y a b a b-=≥>的渐近线方程为b y x a =±，要想直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b -=≥>交于A 、B 两点，则l b k a <，即22b ba a <，解得01b a <<，所以离心率(c e a ==.故答案为：(【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】（1）2100x y +-=；（2）70x y +-=或430x y -=.【解析】【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得.（2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得.【小问1详解】由向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，得直线l 的斜率2k =-，又l 经过点()3,4P ，则l 方程为：()423y x -=--，即：2100x y +-=，所以直线l 的方程为2100x y +-=.【小问2详解】依题意，当直线l 过原点时，而直线l 又过点()3,4P ，则直线l 的方程为43y x =，即430x y -=；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a +=，则有34a +=，解得7a =，即直线l 的方程为70x y +-=，所以直线l 的方程为70x y +-=或430x y -=.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.【答案】（1）（2）11,22⎛+⎝⎭【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长；（2）求出圆心和半径，根据圆心()2,λλ--到y x =的距离大于半径得到不等式，求出答案.【小问1详解】当2λ=时，圆C ：22410x y y ++-=，圆心()0,2C -，半径r =，所以圆心到直线的距离d ==设直线与圆交于A 、B 两点，则弦长AB ==故直线y x =被圆C截得的弦长为【小问2详解】圆C 方程为()()2222221x y λλλλ+-++=⎡-⎤⎣+⎦，22012221122λλλ⎛⎫-+=- ⎪+⎭>⎝恒成立，因为直线y x =与圆C 没有公共点，圆心()2,λλ--到y x =>所以22221λλ>-+，即22210λλ--<，解得：1122λ-<<，故λ的取值范围是11,22⎛+ ⎝⎭.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >，解得：12,2a q ==，所以2n n a =.（Ⅱ）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+,令nn nb c a =,则212n nn c +=，因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++ ,又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ ,两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-.【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4515【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可；（2）应用空间向量法求出二面角余弦.【小问1详解】因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB ⊥.在Rt PAB中可求得AB ==在ABC 中，因为1,2BC AC ==，所以2225AC BC AB +==，所以ACBC ⊥.又PB ⊥平面ABCD ，所以AC PB ⊥.因为PB BC B ⋂=，PB BC ⊂，平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC .又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问2详解】因为,AB AD PB ⊥⊥平面ABCD ，所以分别以,,AD BA BP的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,2,,2,0,0,2,0,0,0,55P C D AD AP ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭.由（1）知AC ⊥平面PBC ，所以,,055AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 为平面PBC 的一个法向量.设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r，可得2020x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2y =，得(n =.设平面PBC 与平面PAD 的夹角为θ，则cos cos ,15n AC n AC n ACθ⋅===.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．【答案】（1）427（2）265432【解析】【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解.（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件A 为“第三局结束乙获胜”由题意知，乙每局获胜的概率为13，不获胜的概率为23．若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．故()121211433333327P A =⨯⨯+⨯⨯=【小问2详解】设事件B 为“甲获胜”．若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率1111224P =⨯=．若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．此时的概率211111112222224P =⨯⨯+⨯⨯=．若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．此时的概率311111111562662263248P =⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．此时的概率41111142666108P =⨯⨯⨯⨯=故()3124265432P B P P P P =+++=22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）根据给定条件，确定椭圆C 过点3(1,)2，再代入求解作答.（2）设出直线l 的方程，与椭圆C 的方程联立，结合韦达定理求出APQ △面积的函数关系，再利用对勾函数的性质求解作答.【小问1详解】依题意，2a =，当直线l 的斜率不存在时，由3PQ =，得直线l 过点3(1,)2，于是219144b+=，解得23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】依题意，直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为()()11221,,,,x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，APQ △的面积121||||2S AD y y =-=218134t ==++，令1u =≥，对勾函数13y u u=+在[1,)+∞上单调递增，则134u u+≥，即4≥，从而189012<≤+，当且仅当0t =时取等号，故APQ △面积的取值范围为90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.。

2022-2023学年江苏省南通市如皋市高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知平面α的一个法向量()13,0,n λ=，平面β的一个法向量()22,1,6n =，若αβ⊥，则λ=（ ） A ．92B ．4C ．1-D ．1【答案】C【分析】根据题意，由面面垂直可得法向量也相互垂直，结合空间向量的坐标运算，代入计算即可得到结果.【详解】因为αβ⊥，则可得12n n ⊥， 且()13,0,n λ=，()22,1,6n =， 则可得660λ+=，解得1λ=- 故选:C2．若直角三角形三条边长组成公差为2的等差数列，则该直角三角形外接圆的半径是（ ） A ．52B ．3C ．5D ．152【答案】C【分析】根据题意，设中间的边为a ，由等差数列的定义，结合勾股定理即可得到a 的值，从而得到结果.【详解】由题意设中间的边为a ，则三边依次为2,,2-+a a a 由勾股定理可得()()22222a a a +=-+，解得8a =或0a =（舍） 即斜边为210a +=，所以外接圆的半径为1052= 故选:C3．已知P 为双曲线22:133x y C -=与抛物线22y x =的交点，则P 点的横坐标为（ ）A ．3B ．2CD ．1-【答案】A【分析】根据给定条件，联立方程组并求解判断作答.【详解】依题意，220x y =≥，则由22223y x x y ⎧=⎨-=⎩解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以P 点的横坐标为3.故选：A4．若直线340x y m ++=与圆2220x y y +-=相切，则实数m 取值的集合为（ ） A ．{}1,1- B ．{}9,1- C ．{}1 D ．{}8,2-【答案】B【分析】根据题意，由直线与圆相切可得d r =，结合点到直线的距离公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由圆2220x y y +-=可得()2211x y +-=，表示圆心为()0,1，半径为1的圆，则圆心到直线340x y m ++=的距离d =因为直线340x y m ++=与圆2220x y y +-=相切，所以d r =1=，解得1m =或9m =-，即实数m 取值的集合为{}9,1- 故选:B5．已知数列{}n a 首项为2，且112n n n a a ++-=，则n a =（ ） A ．2n B ．121n -+ C ．22n - D ．122n +-【答案】D【分析】由已知的递推公式，利用累加法可求数列通项.【详解】由已知得112n n n a a ++-=，12a =，则当2n ≥时，有12111221()()(222)n n n n n n n a a a a a a a a -----=-+-++-=+++，()12121121222222222212n n n n n n n a a --+-=++++=++++==--经检验当1n =时也符合该式．∴122n n a +=-.故选：D6．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，CA CB =，P 为1A B 的中点，Q 为棱1CC 的中点，则下列结论不正确的是（ ）A ．1PQ AB ⊥ B ．AC //平面1A BQ C ．1PQ CC ⊥D ．PQ //平面ABC【答案】B【分析】A 选项可以利用三线合一证明垂直关系，B 选项可利用“线面平行时，直线无论怎么平移不会和平面相交”的性质来判断.C 选项先通过类似A 选项的证明得到线线垂直，结合AC 的结论得到线面垂直后判断，D 选项可以构造平行四边形，结合线面平行的判定证明， 【详解】不妨设棱柱的高为2h ，AC CB x ==.B 选项，根据棱柱性质，11AC //AC ，而11A C ⋂平面11A BQ A =，若AC //平面1A BQ ，无论怎样平移直线AC ，都不会和平面1A BQ 只有一个交点，于是得到矛盾，故B 选项错误；A 选项，计算可得，221QA QB x h ==+P 为1A B 的中点，故1PQ A B ⊥（三线合一），A 选项正确；C 选项，连接11,,QB QA AB ，根据平行四边形性质，1AB 过P ，计算可得，221QA QB x h =+P 为1AB 的中点，故1PQ AB ⊥（三线合一），结合A 选项，1PQ A B ⊥，11AB A B P =，11,AB A B ⊂平面11ABB A ，故PQ ⊥平面11ABB A ，由1AA ⊂平面11ABB A ，故PQ ⊥1AA ，棱柱的侧棱1AA //1CC ，故1PQ CC ⊥，C 选项正确；D 选项，取AB 中点E ，连接,PE CE ，结合P 为1A B 的中点可知，PE 为1ABA △中位线，故PE //1AA ，且112PE AA =，即PE //CQ ，且PE CQ =，故四边形PECQ 为平行四边形，故PQ //CE ，由PQ ⊄平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，故PQ //平面ABC ，D 选项正确. 故选：B7．在数列{}n a 中，若存在不小于2的正整数k 使得1k k a a -<且1k k a a +<，则称数列{}n a 为“k -数列”.下列数列中为“k -数列”的是（ ） A ．n b n = B ．2n n b =C ．9n b n n=+ D ．123n b n =- 【答案】C【分析】利用“k -数列”定义逐项判断可得答案.【详解】对于A ，n b n =，11n b n +=+，1110+=+-=>-n n b b n n ，数列{}n b 是单调递增数列， 所以数列{}n b 不是“k -数列”，故A 错误；对于B ， 2nn b =，112++=n n b ，112220++-=-=>n n n n n b b ，数列{}n b 是单调递增数列，所以数列{}n b 不是“k -数列”，故B 错误；对于C ，对于函数()()90f x x x x=+>，令123x x >>，()()()121212129--=-x x f x f x x x x x ， 因为123x x >>，所以12120,9->>x x x x ，()12121290-->x x x x x x ，所以()()12f x f x >， ()f x 在()3,x ∈+∞上为单调递增函数，令2103<<<x x ，()()()121212129--=-x x f x f x x x x x ， 因为2103<<<x x ，所以12120,09-><<x x x x ，()12121290x x x x x x --<，所以()()12f x f x <，()f x 在()0,3x ∈上为单调递减函数，所以对于9n b n n=+，当23n ≤≤时，有1n n b b -<，当3n ≥时，有1n n b b +<，存在3k =使得数列{}n b 是“k -数列”，故C 正确；对于D ，11b =-，2n ≥时，因为{}23n -的单调递增数列，123⎧⎫⎨⎬-⎩⎭n 是单调递减数列，所以不存在不小于2的正整数k 使得1k k a a -<且1k k a a +<，所以数列{}n b 不是“k -数列”，故D 错误. 故选：C.8．已知O 为坐标原点，A 点坐标为()2,0，P 是抛物线21:2C y x =在第一象限内图象上一点，M 是线段AP 的中点，则OM 斜率的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[)2,+∞C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D．⎛ ⎝⎦【答案】A【分析】设()()22,0>P y y y ，可得()221=+OM y k y ，再利用基本不等式可得答案.【详解】设()()22,0>P y y y ，所以21,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭y M y ，所以()22112141212===≤+⎛⎫++ ⎪⎝⎭OMyy k y y y y ，当且仅当1y y=即1y =时等号成立， 则OM 斜率的取值范围是10,4⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A.二、多选题9．已知正四面体的棱长均为1，分别以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点，在这些向量中两两的数量积可能是（ ） A ．0 B ．12C ．2 D【答案】AB【分析】由[]cos ,cos ,1,1a b a b a b a b ⋅=⨯⨯=∈-，排除C 、D ；取,a AD b BC ==，求出0a b ⋅=；取,a AD b AC ==，求出12a b ⋅=.即可判断A 、B. 【详解】在正四面体ABCD 中，棱长均为1.任意以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点，得到的向量的模长为1. 任取两个向量,a b ，则1a b ==.所以[]cos ,cos ,1,1a b a b a b a b ⋅=⨯⨯=∈-.故C 、D 错误； 取,a AD b BC ==.设BC 中点为E ,连接,AE DE . 因为ABCD 为正四面体，所以,AE BC DE BC ⊥⊥. 因为AEDE E =,AE ⊂面ADE ，DE ⊂面ADE ，所以BC ⊥面ADE .因为AD ⊂面ADE ，所以BC AD ⊥，所以,90a b =︒. 所以cos ,cos900a b a b ⋅==︒=.故A 正确； 取,a AD b AC ==，则,60a b =︒. 所以1cos ,cos602a b a b ⋅==︒=.故B 正确. 故选：AB10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，左，右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一点（异于左，右顶点），且12PF F △的周长为6，则下列结论正确的是（ ） A ．椭圆C 的焦距为1B ．椭圆C 的短轴长为3C ．12PF F △3D ．椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=【答案】BC 【分析】根据12e =，226a c +=解得,,a b c 可判断AB ；设()00,P x y ，由1212012PF F S F F y =知当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，求出面积的最大值可判断C ；假设椭圆C 上存在点P ，设12,PF m PF n ==，求出m n +、mn ，,m n 可看作方程2460x x -+=，求出判别式∆可判断D. 【详解】由已知得12c e a ==，226a c +=，解得2,1a c ==，2223b a c =-=， 对于A ，椭圆C 的焦距为22c =，故A 错误； 对于B ，椭圆C 的短轴长为223b =，故B 正确； 对于C ，设()00,P x y ，12120012==PF F SF F y c y ，当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，此时03==y b ，所以12PF F △面积的最大值为3，故C 正确；对于D ，假设椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=，设12,PF m PF n ==， 所以24m n a +==，22216244m n mn c +=-==，6mn =，所以,m n 是方程2460x x -+=，其判别式16240∆=-<，所以方程无解，故假设不成立，故D 错误. 故选：BC.11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是（ ） A ．异面直线1AB 与CD 所成角的为45 B ．异面直线11A B 与1AC 所成角的为45 C ．直线1AC 与平面11ABB A 所成角的正弦值为33D ．二面角1C AD B --的大小为45 【答案】ACD【分析】利用异面直线所成角的定义可判断AB 选项；利用线面角的定义可判断C 选项；利用二面角的定义可判断D 选项. 【详解】如下图所示：对于A 选项，//CD AB ，则1AB 与CD 所成的角为145BAB ∠=，A 对；对于B 选项，11//AB A B ，所以，1AC 与11A B 所成角为1BAC ∠或其补角，因为2AB =，1BC =1AC ==22211AB BC AC ∴+=，则1AB BC ⊥，所以，11tan BC BAC AB∠==145BAC ∠≠，B 错； 对于C 选项，11B C ⊥平面11AA B B ，故直线1AC 与平面11ABB A 所成角为11B AC ∠， 1AB ⊂平面11AA B B ，则111B C AB ⊥，所以，11111sin B C B AC AC ∠== 因此，直线1AC 与平面11ABB AC 对； 对于D 选项，AD ⊥平面11CC D D ，CD 、1C D ⊂平面11CC D D ，则AD CD ⊥，1AD C D ⊥，所以，二面角1C AD B --的平面角为145CDC ∠=，D 对. 故选：ACD.12．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 是首项和公比均为2的等比数列，将数列{}n a 和{}n b 中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列{}n c ，则下列结论正确的是（ ） A ．1216c = B ．数列{}n c 中n b 与1n b +之间共有12n -项 C ．22n n b a = D ．121n n n b c -+-=【答案】AB【分析】根据题意可得：数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，则21n a n =-，2nn b =，然后根据数列的性质逐项判断即可求解.【详解】由题意可知：数列{}n a 的前n 项和2n S n =，当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-；经检验，当1n =时也满足，所以21n a n =-；又因为数列{}n b 是首项和公比均为2的等比数列，所以2nn b =.则数列{}n c 为：1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,19,21,23,，所以1216c =，故选项A 正确；数列{}n a 是由连续奇数组成的数列，1,n n b b +都是偶数，所以n b 与1n b +之间包含的奇数个数为112222n nn +--=，故选项B 正确；因为2nn b =，则222n n b =为偶数，但1222121n n n a +=⨯-=-为奇数，所以22n n b a ≠，故选项C 错误；因为2nn b =，前面相邻的一个奇数为21n -，令2121n k a k =-=-，解得：12n k -=，所以数列{}n c 从1到2n 共有12n n -+，也即122n nn n c b -+==，故选项D 错误，故选：AB三、填空题13．已知等差数列{}n a 前3项的和为6，前6项的和为21，则其前12项的和为______. 【答案】78【分析】先求得等差数列{}n a 的首项和公差，然后求得前12项和. 【详解】设等差数列的公差为d ，则1133661521a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11a d ==，所以前12项的和为1126678a d +=. 故答案为：7814．以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.已知双曲线C 的共轭双曲线的离心率为3，则双曲线C 的离心率为______.【分析】不妨设双曲线C 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦距为2c ，根据双曲线的离心率公式可得出b =，进而可求得双曲线C 的共轭双曲线的离心率.【详解】不妨设双曲线C 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦距为2c ，则3c a =，可得b =， 所以，双曲线C 的共轭双曲线的实轴长为2b ，虚轴长为2a，焦距为2c =，因此，双曲线C的共轭双曲线的离心率为c b. 15．已知轴截面为正三角形的圆锥顶点与底面均在一个球面上，则该圆锥与球的体积之比为______. 【答案】932##0.28125【分析】根据圆锥、球的体积公式求得正确答案. 【详解】画出轴截面如下图所示， 圆锥的轴截面为正三角形ABC ，设球心为O ，圆锥底面圆心为1O ，球的半径为R ，则圆锥的高为1322R R R +=，底面半径为32R ，所以圆锥与球的体积之比为23133π32294π323R R R ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=⨯. 故答案为：932四、双空题16．摆线是一类重要的曲线，许多机器零件的轮廓线都是摆线，摆线的实用价值与椭圆、抛物线相比毫不逊色.摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线．．）上滚动时，动圆上一点的轨迹.由于采用不同类型的曲线作为基线，产生了摆线族的大家庭.当基线是圆且动圆内切于定圆作无滑动的滚动时，切点P 运动的轨迹就得到内摆线.已知基线圆O 的方程为()2220x y RR +=>，半径为1的动圆M 内切于定圆O 作无滑动的滚动，切点P 的初始位置为(),0R .若4R =，则PO 的最小值为______；若2R =，且已知线段MP 的中点N 的轨迹为椭圆，则该椭圆的方程为______. 【答案】 2 2219144x y += 【分析】根据圆、摆线、椭圆的知识求得正确答案. 【详解】当4R =时，PO 的最小值为21422R -⨯=-=.当2R =时，N 初始位置为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，圆O 的四分之一弧长为12π2π4⨯⨯=，圆M 的半周长为12π1π2⨯⨯=， 所以N 的轨迹过点10,2N ⎛⎫' ⎪⎝⎭， 所以31,22a b ==，椭圆焦点在x 轴上， 所以椭圆方程为2219144x y +=. 故答案为：2；2219144x y +=五、解答题17．如图，PA 是三棱锥-P ABC 的高，线段BC 的中点为M ，且AB AC ⊥，2AB AC PA ===.(1)证明：BC ⊥平面PAM ；(2)求A 到平面PBC 的距离.【答案】(1)证明见解析23【分析】（1）根据已知条件证明BC AM ⊥，PA BC ⊥，由直线与平面垂直的判定定理即可证明. （2）法一：在平面PAM 中，过A 点作AH PM ⊥，证明AH ⊥平面PBC ，再求值即可；法二：A 到平面PBC 的距离，是三棱锥A PBC -的高，利用等体积法求解.【详解】（1）因为AB AC =，线段BC 的中点为M ，所以BC AM ⊥.因为PA 是三棱锥-P ABC 的高，所以PA ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥.因为PA ⊂平面PAM ，AM ⊂平面PAM ，PA AM A =，所以BC ⊥平面PAM（2）法一：（综合法）在平面PAM 中，过A 点作AH PM ⊥，如图所示，因为BC ⊥平面PAM ，AH ⊂平面PAM ，所以BC AH ⊥.因为AH PM ⊥，BC ⊂平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，PMBC M =，所以AH ⊥平面PBC . 在Rt BAC 中，22111442222AM BC AB AC ==++=所以在Rt PAM 中，22426PM PA AM =++ 所以22236PA AM AH PM ⨯==A 到平面PBC 23法二：（等体积法）设A 到平面PBC 的距离为d ，则在Rt BAC 中，22111442222AM BC AB AC ==++在Rt PAM 中，22426PM PA AM ++= 因为PA 是三棱锥-P ABC 的高，所以11142223323P ABC ABC V S PA -=⨯=⨯⨯⨯⨯=△， 11142263323P ABC PB PBC C A V V S d d --==⨯=⨯⨯=△，解得23d =， 所以A 到平面PBC 23. 18．已知等比数列{}n a 的首项为2，前n 项和为n S ，且234230S S S -+=.(1)求n a ；(2)已知数列{}n b 满足：n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)2n n a =(2)()1122n n T n +=-⋅+【分析】（1）根据题意，由234230S S S -+=可得公比q ，再由等比数列的通项公式即可得到结果；（2）根据题意，由错位相减法即可求得结果.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，因为234230S S S -+=，所以()234320S S S S -+-=，所以342a a =，所以2q ，所以112n n n a a q -==.（2）由（1）得，2n n b n =⨯，所以212222n n T n =⨯+⨯++⨯，……① 所以()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，……②①-②，得()()21112122222212212n n n n n n T n n n +++⨯--=+++-⨯=-⨯=-⨯--， 所以()1122n n T n +=-⋅+.19．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，右焦点F 到32x =的距离为12. (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线1y x =-与双曲线C 交于M ，N 两点，求MNF 的面积.【答案】(1)2213y x -= (2)32【分析】（1）由双曲线实轴长为2可得1a =，再利用右焦点F 到32x =的距离为12可得2c =，即可求得双曲线C 的方程；（2）联立直线和双曲线方程容易解出M ，N 两点坐标即可求得MNF 的面积.【详解】（1）设双曲线C 的焦距为()20c c >，因为双曲线C 的实轴长为2，所以22a =，解得1a =.因为右焦点F 到32x =的距离为12，所以3122c -=，解得1c =或2c =. 因为c a >，所以2c =.可得222413b c a =-=-=，所以双曲线C 的方程为2213y x -=. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ， 联立直线和双曲线22113y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩可得()223130x x ---=， 即220x x +-=，1x =或2x =-不妨设11x =，22x =-，所以2130,y y ==-. 所以2121113132222MNF S MF y c x y =⨯=-⨯=⨯⨯=△. 即MNF 的面积为3220．已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且满足______.①22a =，22n n a a +-=；②()21n n S n a =+；③()12n n nS n S +=+.从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题：(1)求n a ；(2)求数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】(1)n a n = (2)13112212n T n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭【分析】（1）当选①时，分n 为奇数，偶数时，分别计算即可得到结果；当选②时，根据n S 与n a 的关系，即可得到结果；当选③时，根据条件得到()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是常数数列，从而得到结果； （2）根据题意，由裂项相消法即可得到结果.【详解】（1）选①因为22n n a a +-=，所以当n 为奇数时，1122n n a a n -=+⨯=； 同理，当n 为偶数时，2222n n a a n -=+⨯=. 所以n a n =.选②因为()21n n S n a =+，（*）所以当2n ≥时，112n n S na --=，（**）（*）-（**），得()11n n n a na --=，即11n n a a n n -=-， 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1的常数列， 所以n a n =.选③因为()12n n nS n S +=+，所以()()()1211n n S S n n n n +=+++，所以数列()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是首项为12的常数列， 所以()12n n n S +=，所以当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=. 当1n =时，也符合上式.所以n a n =.（2）由（1）得，()211111222n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以111111111311123243522212n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 21．三棱柱111ABC A B C 中，112AB AB AA AC ====，120BAC ∠=，线段11A B 的中点为M ，且BC AM ⊥.(1)求证：AM ⊥平面ABC ；(2)点P 在线段11B C 上，且11123B P BC =，求二面角11P B A A --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析313【分析】（1）由AB AM ⊥、BC AM ⊥根据线面垂直的判定定理可得AM ⊥平面ABC ； （2）以A 为原点，以、、AN AC AM 所在的直线为x y z 、、建立空间直角坐标系，求出平面11B AA 、平面1PB A 的一个法向量由二面角的向量求法可得答案.【详解】（1）三棱柱111ABC A B C 中，11//AB A B ，在11AB A △中，11AB AA =，线段11A B 的中点为M ，所以11A B AM ⊥，所以AB AM ⊥； 因为BC AM ⊥，BC ⊂平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，AB BC B ⋂=，AB BC ⊂、平面ABC ，所以AM ⊥平面ABC ；（2）做AN AC ⊥交BC 于N 点，以A 为原点，以、、AN AC AM 所在的直线为x y z 、、建立空间直角坐标系， 则()0,0,0A，)1,0B -，112B -⎝， ()0,2,0C，(M .所以13122AB ⎛=- ⎝，()BC =-，(AM =， 因为111222,033B P B C BC ⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭，所以32P ⎛⎝， 所以32AP ⎛=- ⎝，设平面11B AA 的一个法向量()1111,,n x y z =，则11111113102230n AB x yn AM z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩，解得10z =，令1y 11x =，所以()11,3,0n =，设平面1PB A 的一个法向量()2222,,n x y z =，则222221222306231022n AP y n AB y ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，令2y 23x =，21z =-，所以()23,1n =-，设二面角11P B A A --的平面角为()0180θθ≤≤，则1212126cos cos ,2n n n n n nθ⋅====⨯ 由图知二面角11P B A A --的平面角为锐角，所以二面角11P B A A --22．已知31,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上一点，上、下顶点分别为A 、B ，右顶点为C ，且225a b +=.(1)求椭圆E 的方程；(2)点P 为椭圆E 上异于顶点的一动点，直线AC 与BP 交于点Q ，直线CP 交y 轴于点R .求证：直线RQ 过定点.【答案】(1)2214x y += (2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得22,a b ，从而求得椭圆E 的方程.（2）设出直线BP 的方程，求得点Q 的坐标，联立直线BP 的方程和椭圆E 的方程，求得P 点坐标，进而求得直线PC 的方程，从而求得R 点的坐标，由此求得直线RQ 的方程并确定定点坐标.【详解】（1）因为3P ⎛ ⎝⎭为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上一点，所以221314a b +=. 因为225a b +=，所以2213154b b +=-，整理得42419150b b -+=，解得21b =或2154b =. 当2154b =时，254a =，与a b >矛盾.所以21b =，24a =. 椭圆E 的方程为2214x y +=. （2）设直线BP 的斜率为k ，则:1BP l y kx =-.因为1:12AC l y x =-+， 由1112y kx y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩解得421Q x k =+，2121Q k y k -=+. 因为22114y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以()224140x kx +--=，整理得()221480k x kx +-=， 所以2841P k x k =+，224141P k y k -=+. 所以2222241412141888242241PCk k k k k k k k k k --++===--+---+，所以()21:242PC k l y x k +=---. 令0x =，得2121R k y k +=-. 所以()()222221212121822121414144421212121RQ k k k k k k k k k k k k k k k +--+---+--====-----+++， 所以221:2121RQ k k l y x k k +=-+--. 所以()242:12212121RQ k k k l y x x k k k +=-+=-----. 所以直线RQ 过定点2,1.。