2018年高考数学一轮复习热点难点精讲精析：选修系列(第1部分：坐标系与参数方程)

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第1讲坐标系一、填空题1．在极坐标系中，点P(ρ0，θ0)（ρ0≠0）关于极点的对称点的极坐标是________．解析设点P（ρ0，θ0）关于极点的对称点为（ρ，θ），则ρ＋ρ0＝0，θ＝θ0＋π，∴对称点为(－ρ0，θ0）．答案（－ρ0，θ0)2．过点（2,错误!）平行于极轴的直线的极坐标方程是________．解析设直线上点坐标P（ρ，θ），则ρsin θ＝2cos （90°－45°）＝错误!。

答案ρsin θ＝错误!3．在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点A错误!到圆心C的距离是________．解析将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，圆心坐标为（0，2)．又易知点A错误!的直角坐标为(2错误!，2)，故点A到圆心的距离为错误!＝2错误!.答案2错误!4．在极坐标系中,点M错误!到曲线ρcos错误!＝2上的点的距离的最小值为________．解析依题意知，点M的直角坐标是(2，2错误!）,曲线的直角坐标方程是x＋错误!y－4＝0,因此所求的距离的最小值等于点M到该直线的距离，即为错误!＝2。

答案25．从极点作圆ρ＝2a cos θ的弦，则各条弦中点的轨迹为________．解析设所求曲线上动点M的极坐标为(r，φ）,由图可知错误!.把θ＝φ和ρ＝2r代入方程ρ＝2a cos θ,得2r＝2a cos φ，即r＝a cos φ.(错误!,这就是所求的轨迹方程．由极坐标方程可知，所求轨迹是一个以(错误!，0)为圆心,半径为错误!的圆．答案以(错误!，0）为圆心，以错误!为半径的圆6．在极坐标系中，曲线C1:ρ＝2cos θ,曲线C2:θ＝错误!，若曲线C1与C2交于A、B两点，则线段AB＝________。

高考一轮复习热点难点精讲精析： 选修系列（第1部分：坐标系与参数方程）一、坐标系（一）平面直角坐标系中的伸缩变换〖例〗在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换''3:.2x xy yϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（1）求点1(,2)3A -经过ϕ变换所得的点A '的坐标； （2）点B 经过ϕ变换得到点1(3,)2B '=-，求点B 的坐标； （3）求直线:6l y x =经过ϕ变换后所得到直线的l '方程；（4）求双曲线22:164y C x -=经过ϕ变换后所得到曲线C '的焦点坐标。

思路解析：解答本题首先要根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用，明确原来的点与变换后的点的坐标，利用方程的思想求解。

解答：331(1)(,),,(,)(,2),12321131,(2)1,(1,1).32x xx x A x y A x y y y y y x y A ϕ'=⎧'=⎧⎪'''-⎨⎨''==⎩⎪⎩'''=⨯==⨯-=-∴-设由伸缩变换：得到由于为于是为所求 13(2)(,),322111(,)(3)1,21,232(1,1).x x x x B x y y y y y B x y x y B ϕ⎧''==⎧⎪⎨⎨'=⎩⎪'=⎩'''=⨯-=-=⨯=∴-设由伸缩变换：得到，由于为(-3,),于是为所求22222222'1(3)(,),63212=6(),,.31(4)(,)1364241,-=1964916-=1916x x l P x y y x y y y x y x y x x x y P x y x y y x y x y x y C ⎧'=⎪''''=⎨⎪'=⎩''''⨯==⎧'=⎪''''-=⎨⎪'=⎩''''-=设直线上任意一点由上述可知，将代入得所以即为所求设曲线C 任意一点，由上述可知，将代入得化简得，即为曲线的方程，可见仍是双曲线，且焦点12(5,0),(5,0).-F F 为所求（二）极坐标与直角坐标的互化 〖例2〗在极坐标系中，如果5(2,),(2,)44A B ππ为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标(0,02)ρθπ≥≤<。

第1课时 坐标系1．平面直角坐标系设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·xλ，y ′＝μ·yμ的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ) (ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角． (2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x .这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 3．常见曲线的极坐标方程1．(2016·北京西城区模拟)求在极坐标系中，过点(2，π2)且与极轴平行的直线方程．解 点(2，π2)在直角坐标系下的坐标为(2cos π2，2sin π2)，即(0,2)．∴过点(0,2)且与x 轴平行的直线方程为y ＝2. 即为ρsin θ＝2.2．在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，求△AOB (其中O 为极点)的面积．解 由题意知A 、B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，则△AOB 的面积S △AOB ＝12OA ·OB ·sin∠AOB＝12×3×4×sin π6＝3. 3．在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．当△AOB 是等边三角形时，求a 的值．解 由ρ＝4sin θ可得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.由ρsin θ＝a 可得y ＝a .设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示．由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt△DOB 中，易求DB ＝33a ，∴B 点的坐标为(33a ，a )． 又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上，∴(33a )2＋a 2－4a ＝0， 即43a 2－4a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝3.题型一 极坐标与直角坐标的互化例1 (1)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程．(2)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C 1和C 2交点的直角坐标．解 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴y ＝1－x 化成极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρ＝1cos θ＋sin θ.∵0≤x ≤1，∴线段在第一象限内(含端点)， ∴0≤θ≤π2.(2)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρsin 2θ＝cos θ，得ρ2sin 2θ＝ρcos θ，所以曲线C 1的直角坐标方程为y 2＝x .由ρsin θ＝1，得曲线C 2的直角坐标方程为y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标为(1,1)．思维升华 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．(1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．(2)求在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ垂直于极轴的两条切线方程．解 (1)将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入x 2＋y 2－2x ＝0，得ρ2－2ρcos θ＝0，整理得ρ＝2cos θ.(2)由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，其垂直于x 轴的两条切线方程为x ＝0和x ＝2，相应的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2.题型二 求曲线的极坐标方程例2 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出曲线C 的方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由＋y 21＝1得x 2＋(y2)2＝1， 即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(12，1)，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12(x －12)，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关21x系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．在极坐标系中，已知圆C 经过点P (2，π4)，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解 在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 如图所示，因为圆C 经过点 P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝ 22＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 题型三 极坐标方程的应用例3 (2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 为等腰直角三角形， 所以△C 2MN 的面积为12.思维升华 (1)已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程；(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．(2017·广州调研)在极坐标系中，求直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长．解 由ρsin(θ＋π4)＝2，得22(ρsin θ＋ρcos θ)＝2可化为x ＋y －22＝0.圆ρ＝4可化为x 2＋y2＝16，由圆中的弦长公式得：2r 2－d 2＝242－2222＝4 3.故所求弦长为4 3.1．(2015·广东)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离．解 依题可知直线l ：2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2和点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4可化为l ：x －y ＋1＝0和A (2，－2)，所以点A 到直线l 的距离为d ＝|2－－＋1|12＋－2＝522. 2．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标．解 曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程为x ＋y ＝1，ρ(sin θ－cos θ)＝1化为直角坐标方程为y －x ＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y －x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，则交点为(0,1)，对应的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.3．在极坐标系中，已知圆ρ＝3cos θ与直线2ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．解 圆ρ＝3cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，直线2ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0的直角坐标方程为2x ＋4y ＋a ＝0. 因为圆与直线相切，所以|2×32＋4×0＋a |22＋42＝32， 解得a ＝－3±3 5.4．在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4对称的曲线的极坐标方程．解 以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系， 则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 且圆心为(1,0)．直线θ＝π4的直角坐标方程为y ＝x ，因为圆心(1,0)关于y ＝x 的对称点为(0,1)，所以圆(x －1)2＋y 2＝1关于y ＝x 的对称曲线为x 2＋(y －1)2＝1.所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ.5．在极坐标系中，P 是曲线C 1：ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线C 2：ρ＝12cos(θ－π6)上的动点，求|PQ|的最大值．解 对曲线C 1的极坐标方程进行转化：∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0， 即x 2＋(y －6)2＝36.对曲线C 2的极坐标方程进行转化： ∵ρ＝12cos(θ－π6)，∴ρ2＝12ρ(cos θcos π6＋sin θsin π6)，∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0，∴(x －33)2＋(y －3)2＝36， ∴|PQ|max ＝6＋6＋32＋32＝18.6．在极坐标系中，O 是极点，设A (4，π3)，B (5，－5π6)，求△AOB 的面积．解 如图所示，∠AOB ＝2π－π3－5π6＝5π6，OA ＝4，OB ＝5，故S △AOB ＝12×4×5×sin 5π6＝5.7．已知P (5，2π3)，O 为极点，求使△POP ′为正三角形的点P ′的坐标．解 设P ′点的极坐标为(ρ，θ)． ∵△POP ′为正三角形，如图所示，∴∠POP ′＝π3.∴θ＝2π3－π3＝π3或θ＝2π3＋π3＝π.又ρ＝5，∴P ′点的极坐标为(5，π3)或(5，π)．8．在极坐标系中，判断直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的位置关系． 解 直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0可化成x －y ＋1＝0，圆ρ＝2sin θ可化为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1.圆心(0,1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|0－1＋1|2＝0<1.故直线与圆相交．9．在极坐标系中，已知三点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3、N (2,0)、P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6. (1)将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标； (2)判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上．解 (1)由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得M 的直角坐标为(1，－3)；N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，3)．(2)∵k MN ＝32－1＝3，k NP ＝3－03－2＝ 3.∴k MN ＝k NP ，∴M 、N 、P 三点在一条直线上．10．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解 (1)由ρcos(θ－π3)＝1得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π2)．(2)M 点的直角坐标为(2,0)．N 点的直角坐标为(0，233)． 所以P 点的直角坐标为(1，33)． 则P 点的极坐标为(233，π6)，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．。

考点30 选修部分（坐标系与参数方程、不等式选讲）【考点剖析】一.最新考试说明：（一）坐标系与参数方程1.坐标系（1）理解坐标系的作用.（2）了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.（3）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.（4）能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.（5）了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.2.参数方程（1）了解参数方程,了解参数的意义.（2）能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.（3）了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.（4）了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.（二）不等式选讲1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：2.了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明.4.会用向量递归方法讨论排序不等式.5.了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些简单问题.6.会用数学归纳法证明伯努利不等式：了解当 n 为大于 1 的实数时伯努利不等式也成立.7.会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定 函数的极值.8.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法 二．命题方向预测：1.要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点，这样就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题解决，同时复习以基础知识、基本方法为主；紧紧抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义，同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法.往往涉及直线与圆的位置关系、直线与圆锥曲线的位置关系.2.考查含绝对值不等式的解法，考查有关不等式的证明，利用不等式的性质求最值．有时与分段函数、基本不等式相结合. 三.名师二级结论：根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2|； (2)定点M 0是弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； (3)设弦M 1M 2中点为M ，则点M 对应的参数值12M t 2t t +=(由此可求|M 2M |及中点坐标)． 【考点分类】热点一 坐标系与参数方程1. 【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）． （1）若1-=a ，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l a ． 【答案】（1）(3,0)，2124(,)2525-；（2）8a =或16a =-． 【解析】试题分析：（1）直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立解交点坐标；（2）利用椭圆参数方程，设点(3cos ,sin )θθ，由点到直线距离公式求参数．当4a ≥-时，d=8a =；当4a <-时，d=16a =-．综上，8a =或16a =-．2.【2016高考新课标1卷】在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．【答案】（I ）圆,222sin 10a ρρθ-+-=（II ）1【解析】⑴ cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩ （t 均为参数）,∴()2221x y a +-= ①∴1C 为以()01，为圆心,a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，,∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程 ⑵ 24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+=,即()2224x y -+= ②3C ：化为普通方程为2y x =,由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C①—②得：24210x y a -+-=,即为3C ∴210a -=,∴1a =3.【2016高考新课标2文数】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=． （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||AB =，求l 的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）. 【解析】（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++=（II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=12||||AB ρρ=-=由||AB =23cos,tan 83αα==±，所以l 【方法总结】1．极坐标与直角坐标互化(1)前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴正向重合；③取相同的单位长度． (2)若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限，以便正确地求出角θ.2．求曲线的极坐标方程的步骤：①建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；②由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；③将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线上的极坐标方程．3．参数方程化为普通方程的关键是消参数：一要熟练掌握常用技巧(如整体代换)，二要注意变量取值范围的一致性，这一点最易忽视．4.参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围． 热点二 不等式选讲1.【2016高考新课标2文数】已知函数11()||||22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集．（Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当,a b M ∈时，|||1|a b ab +<+． 【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析.【解析】（I ）12,,211()1,,2212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当1122x -<<时， ()2f x <； 当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <. 所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.（II ）由（I ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<， 从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<， 因此|||1|.a b ab +<+2.【2017课标1，理23】已知函数4)(2++-=ax x x f ，|1||1|)(-++=x x x g ． （1）当1=a 时，求不等式)()(x g x f ≥的解集；（2）若不等式)()(x g x f ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．【答案】（1）1{|1}2x x -+-<≤；（2）[1,1]-． 【解析】（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =．所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥．又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤．所以a 的取值范围为[1,1]-．3.【2017课标II ，理23】已知330,0,2a b a b >>+=。