2020届河南省顶级名校高三1月教学质量测评数学(文)试题(解析版)

2020届河南省顶级名校高三1月教学质量测评数学（文）试题一、单选题1．设()()253z i i =+-，则z =（ ） A．BC．D．【答案】B【解析】化简得到1113z i =+，再计算模长得到答案. 【详解】依题意，(25)(3)621551113z i i i i i =+-=-++=+，故||z ==故选：B . 【点睛】本题考查复数的运算、复数的概念，考查运算求解能力以及化归与转化思想.2．已知集合{|38}U x Z x =∈-<<，{2,1,3,4,7}U M =-ð，{2,1,2,4,5,7}N =--，则M N ⋂的元素个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】计算{2,1,0,1,2,3,4,5,6,7}U =--，{1,0,2,5,6}M =-，再计算M N ⋂得到答案. 【详解】{2,1,0,1,2,3,4,5,6,7}U =--，则{1,0,2,5,6}M =-，故{1,2,5}M N ⋂=-，则M N ⋂的元素个数为3. 故选：C . 【点睛】本题考查集合的表示、集合的运算，考查推理论证能力以及化归与转化思想.3．己知a =544log 21b =， 2.913c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．c a b >>【答案】B【解析】先将三个数通过指数，对数运算变形104661a ==>=，2.95544411log log 10,012133b c ⎛⎫⎛⎫=<=<=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭再判断. 【详解】因为104661a ==>=， 2.95544411log log 10,012133b c ⎛⎫⎛⎫=<=<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以a c b >>， 故选：B. 【点睛】本题主要考查指数、对数的大小比较，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.4．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下： 小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的； 小金说：“兴国之路”不是我制作的，若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（ ） A ．小明 B ．小红C ．小金D ．小金或小明【答案】B【解析】将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证. 【详解】依题意，三个人制作的所有情况如下所示：若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作者是小红，故选：B.【点睛】本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题.5．函数2sin cos()20x x xf xx=+在上的图像大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据图象特征，先判断奇偶性，再用特殊值进一步确定. 【详解】依题意，22sin()()cos()sin cos ()()2020x x x x x xf x f x x x ----=+=+=-，故函数()f x 为偶函数，图像关于y 轴对称，排除C ； 而2()020f ππ=-<，排除B ；2(2)05f ππ=>，排除D.故选：A. 【点睛】本题考查函数的图像与性质，还考查推理论证能力以及数形结合思想，属于中档题. 6．为了了解公司800名员工对公司食堂组建的需求程度，将这些员工编号为1，2，3，…，800，对这些员工使用系统抽样的方法等距抽取100人征求意见，有下述三个结论：①若25号员工被抽到，则105号员工也会被抽到；②若32号员工被抽到，则1到100号的员工中被抽取了10人；③若88号员工未被抽到，则10号员工一定未被抽到；其中正确的结论个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】根据系统抽样的定义和性质，依次判断每个选项得到答案. 【详解】将这800人分为100组，每组8人，即分段间隔为8；因为10525108-=，故①正确；若32号员工被抽到，则1到100号的员工中被抽取的号码为8，16，24，32，40，48，56，64，72，80，88，96，共计12人，故②错误； 若88号员工未被抽到，则10号员工可能被抽到，故③错误. 故选：B . 【点睛】本题考查系统抽样，考查数学建模能力以及必然与或然思想.7．己知向量(,1)a m =r ，(1,2)b =-r ，若(2)a b b -⊥r r r ，则a r 与b r夹角的余弦值为（ ）A ．BC ．D 【答案】B【解析】先由向量(,1)a m =r ，(1,2)b =-r，求得2(2,3)a b m -=+-r r ，再利用(2)0a b b -⋅=r r r求解.【详解】因为向量(,1)a m =r ，(1,2)b =-r，所以2(2,3)a b m -=+-r r， 又因为(2)0a b b -⋅=r r r，所以260m ---=， 解得8m =-，所以cos ,a b 〈〉==r r， 故选：B. 【点睛】本题考查向量的坐标运算、向量的数量积应用，还考查运算求解能力以及转化化归的思想，属于基础题.8．若tan()3αβ+=，tan 2β=则3sin 2sin()παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=+（ ）A ．17B ．7C ．17-D ．7-【答案】B【解析】利用和差公式计算1tan tan[()]7ααββ=+-=，再化简得到答案. 【详解】tan()tan 1tan tan[()]1tan()tan 7αββααββαββ+-=+-==++，3sin cos 127sin()sin tan πααπααα⎛⎫- ⎪-⎝⎭===+-. 故选：B . 【点睛】本题考查诱导公式、两角差的正切公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想. 9．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入115x =，216x =，318x =，420x =，522x =，624x =，725x =，则图中空白框中应填入（ ）A ．6i >，7S S = B ．6i …7SS = C ．6i >，7S S = D ．6i …，7S S = 【答案】A【解析】依题意问题是()()()22212712020207S x x x ⎡⎤=-+-+⋯+-⎣⎦，然后按直到型验证即可. 【详解】根据题意为了计算7个数的方差，即输出的()()()22212712020207S x x x ⎡⎤=-+-+⋯+-⎣⎦，观察程序框图可知，应填入6i >，7S S =， 故选：A. 【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及转化与化归思想，属于基础题.10．己知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点(0,)M m .若线段2F M 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为N ，且2ΔNOF 的面积是ΔMON 的2倍，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．BCD ．2【答案】B【解析】不妨设20,m NF >即为双曲线的焦点到渐近线的距离，故2NF b =，计算得到3b =，化简得到答案. 【详解】不妨设20,m NF >即为双曲线的焦点到渐近线的距离，故2NF b =， 因为2NOF ∆的面积是MON ∆的2倍，故2223MOF NOF S S ∆∆=， 不妨设0m >，则直线2:()a MF y x c b =--，故ac m b=.而2223MF NF =，则3b=，即223a c =，故==c e a . 故选：B . 【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力.11．在ΔABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若tan C =，2c a =，b =时，则ΔABC 的面积为（ ）A ．B ．2C D 【答案】B【解析】计算sin 44C C ==，sin 8B =，利用正弦定理计算得到2a =，再计算面积得到答案. 【详解】因为sin tan cos C C C ==22sin cos 1C C +=，解得sin 44C C ==.而2,sin sin a c c a A C ==，所以1sin sin 2A C A ===，故sin sin[()]sin()sin cos cos sin 8B AC A C A C A C π=-+=+=+=.因为,sin sin a bb A B==，故2a =，故11sin 2224ABC S ab C ∆==⨯⨯=故选：B . 【点睛】本题考查解三角形，考查运算求解能力以及化归与转化思想.12．己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+->>的左、右焦点分别为12,F F ，点()11,P x y ，()1,l Q x y --在椭圆C 上，其中1>0x ，10y >，若2||2PQ OF =，11||3QF PF ≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A．⎛ ⎝⎦B．2] C．1]2D．1]【答案】C【解析】设12,PF n PF m ==1m n <，得到2m n n m <+„，计算得到答案. 【详解】设12,PF n PF m ==，由110,0x y >>知m n <，由()()1111,,,P x y Q x y --在椭圆C 上，2||2PQ OF =可知四边形12PFQF 为矩形，12QF QF =；由11QF PF1m n<， 由椭圆的定义可得2222,4m n a m n c +=+=，平方相减可得()222mn a c=-，所以()2222242c m n m nmn n m a c +==+-，而2m n n m <+„， 即()2224232c a c <-„()222422c a c <-可得222,c a c e a <=>，由()222432c a c -„，可得22241)c a =-=-„，所以1c e a =-„，所以12e <„. 故选：C . 【点睛】本题考查椭圆的方程与性质，考查运算求解能力.二、填空题13．曲线22xx x y e+=在(0,0)处的切线方程为_________. 【答案】2y x =【解析】求导()2(22)2xx x x y e+-+'=，计算02x k y ='==，得到切线方程.【详解】()()222(22)2(22)2x x xxx e e x x x x x y ee+-++-+'==，故02x k y ='==，故所求切线方程为2y x =. 故答案为：2y x =. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力.14．设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若24S =，420S =，则n a =____【答案】123n + 【解析】记数列{}n a 的公比为q ，根据等比数列公式计算得到答案. 【详解】记数列{}n a 的公比为q ，显然1q ≠，则424221151S q q S q-==+=-，解得2q =±； 而0n a >，故2q =，故212134S a a a =+==，解得143a =，故1142233n n n a +-=⋅=.故答案为：123n + 【点睛】本题考查等比数列的通项公式、前n 项和公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想.15．函数2()tan 60sin 2f x x x =︒+在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为________【答案】[【解析】化简得到()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭372,444x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，得到答案.【详解】)2()222f x x x x x =-+=+24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，372,444x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故sin 21,42x π⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，2[4x π⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.故答案为：[. 【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查运算求解能力.16．己知四棱锥P ABCD -中的外接球O 的体积为36π，3PA =，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，点M 在球O 的表面上运动，则四棱锥M ABCD -体积的最大值为________ 【答案】814【解析】设长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，且3c =，由于2227a b +=，得到max 27()2ab =，再计算体积的最大值得到答案. 【详解】34363R ππ=，故3R =， 将四棱锥P ABCD -补成长方体，可知外接球的直径为长方体的体对角线，设长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，且3c =，由于2227a b +=，又222a b ab +≥， 当且仅当362a b ==时等号成立，此时max 27()2ab =，要使得四棱锥M ABCD -的体积最大，只需点M 为平面ABCD 的中心O '与球心O 所在的直线与球的交点，又22222739242a b OO R ⎛⎫+'=-=-=⎪ ⎪⎝⎭， 故M ABCD -体积的最大值为12738133224⎛⎫⨯⨯+= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查组合体与球，考查空间想象能力以及计算能力.三、解答题17．由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将A 地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示.（1）求a 的值；（2）求A 地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数以及中位数； （3）不经过计算，直接给出A 地区200家实体店经济损失的平均数x 与6000的大小关系.【答案】（1）0.00009；（2）众数为3000，中位数为3000；（3）6000x < 【解析】（1）根据概率和为1计算得到答案.（2）计算众数和中位数得到答案. （3）直接根据概率分布直方图得到答案. 【详解】（1）依题意，(0.000150.00020.00006)20001a +++⨯=，解得0.00009a =. （2）由图可知，A 地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数为3000， 第一块小矩形的面积10.3S =，第二块小矩形的面积20.4S =， 故所求中位数在[2000,4000)之间，所求中位数为0.50.3200030000.0002-+=.（3）直接根据概率分布直方图得到：6000x <. 【点睛】本题考查频率分布直方图、样本的数字特征，考查运算求解能力以及必然与或然思想. 18．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且104a =，1530S =. （1）求数列{}n a 的通项公式以及前n 项和n S ； （2）记数列4{2}an n a ++的前n 项和为n T ，求满足0n T >的最小正整数n 的值.【答案】（1）6n a n =-，21122n n nS =-；（2）5 【解析】（1）计算82a =，1081108a a d -==-，得到通项公式和n S .（2）化简42262n a n n a n +-+=-+，利用分组求和法得到(11)2122n n n n T --=+，计算得到答案. 【详解】（1）记数列{}n a 的公差为d ，1530S =，故81530a =，即82a =. 故1081108a a d -==-，故10(10)4106n a a n d n n =+-=+-=-，21(1)(1)1152222n n n d n n n nS na n --=+=-+=-. （2）依题意，42262n a n n a n +-+=-+，()12(11)21(546)22222n n n n n T n ----=--+⋯+-++++=+L ，当1n =时，111102102T -⨯+-=<；当2n =时，22292102T -⨯+-=<；当3n =时，33382102T -⨯+-=<；当4n =时，44472102T -⨯+-=<；当5n …时，(11)213115,222n n n ---厖，所以0n T >. 故满足0n T >的最小正整数n 的值为5. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式、等比数列的前n 项和公式，考查运算求解能力以及函数与方程思想.19．四棱锥S ABCD -如图所示，其中四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，AD DC ⊥，SA ⊥平面ABCD ，12DA DC AB -=，AC 与BD 交于点G ，直线SC 与平面ABCD 所成角的余弦值为25，点M 在线段SA 上.（1）若直线//SC 平面MBD ，求SMMA的值；（2）若1DA =，求点A 到平面SCD 的距离.【答案】（1）12；（2【解析】（1）连接MG ，设1,2DC AB ==，根据线面平行得到//SC MG ，得到答案. （2）在平面SAD 内作AN SD ⊥于点N ，证明AN ⊥平面SCD ，再计算长度得到答案. 【详解】（1）连接MG .因为,AB AD AD DC ⊥⊥，故//AB CD . 设1,2DC AB ==，得2AG ABGC DC==. 因为//SC 平面MBD ，平面SAC I 平面,MBD MG SC =⊂平面SAC ， 故//SC MG ，故12SM CG MA AG ==. （2）在平面SAD 内作AN SD ⊥于点N ，因为SA ⊥平面ABCD ，所以DC SA ⊥， 又,DC AD SA AD A ⊥⋂=，得DC ⊥平面SAD . 因为AN ⊂平面SAD ，所以CD AN ⊥. 又SD CD D =I ，所以AN ⊥平面SCD .因为直线SC 与平面ABCD ，即sin 5ASC ∠=，又AC =2SC =，则2SA =，而1,AD SA AD =⊥，得2SD =，3AN =，即点A 到平面SCD【点睛】本题考查空间线面的位置关系、空间几何体的结构特征、空间想象能力以及数形结合思想.20．己知函数sin ()xf x xπ-=.（1）判断函数()f x 在(0,2)π上的单调性；（2）若0a π<<，求证：当(0,)x π∈时，1()ln f x a x>. 【答案】（1）单调递减；（2）证明见解析 【解析】（1）求导得到2cos sin ()x x x f x xπ-+-'=，令()cos sin g x x x x π=-+-，证明()0g x „在(0,2)π上恒成立，得到答案. （2）先证明当(0,)x π∈时，sin 01x x<<，再证明当0a π<<时，ln 1a x x π+>，得到答案. 【详解】 （1）2cos sin ()x x x f x x π-+-'=，令()cos sin g x x x x π=-+-，则()sin g x x x '=，故当(0,)x π∈时，()0g x '>，当(,2)x ππ∈时，()0g x '<， 故max [()]()0g x g π==，故()0g x „在(0,2)π上恒成立，故()0f x '„，即函数()f x 在(0,2)π上单调递减. （2）依题意，1sin ()ln,ln 0x f x a a x x x xπ>+->. 下面证明：①当(0,)x π∈时，sin 01x x<<；②当0a π<<时，ln 1a x x π+>；()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=->，所以()sin h x x x =-在(0,)π上单调递增， ()(0)0h x h >=，则sin 0x x ->，又0,sin 0x x >>，则sin 01xx<<， 令()ln s x a x xπ=+，则22()a ax s x x x xππ-'=-=， 由()0s x '=，得()s x 的极小值点为0x aπ=，若0(0,)x aππ=∈，则1a π<<，则()000ln ln1s x a x a a a x a ππ=+=+>>，故()ln 1s x a x xπ=+>， 若0x aππ=…，即01a <„，则()s x 在(0,)π上单调递减，故()()1ln 1s x s a ππ>=+>.综上所述，当0a π<<时，ln 1a x xπ+>，则sin ln 0x a x xx π+->，即1()ln f x a x>. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，考查推理论证能力以及函数与方程思想.21．己知椭圆22 :15x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点,M N 在椭圆C 上.（1）若线段MN 的中点坐标为12,3⎛⎫⎪⎝⎭，求直线MN 的斜率；（2）若,,M N O 三点共线，直线1NF 与椭圆C 交于,N P 两点，求ΔPMN 面积的最大值，【答案】（1）65-；（2【解析】（1）设()()1122,,,M x y N x y ，代入椭圆方程相减得到答案. （2）设直线()()11122:2,,,,NF x my N x y P x y =-，联立方程得到12245my y m +=+，12215y y m -=+，得到PMN S ∆=，计算得到答案.【详解】（1）设()()1122,,,M x y N x y ，则222212121,155x x y y +=+=，两式相减，可得()()()()1212121205x x x x y y y y +-++-=，即()()121242053x x y y --+=， 解得121265y y x x -=--，即直线MN 的斜率为65-. （2）显然直线1NF 的斜率不为0，设直线()()11122:2,,,,NF x my N x y P x y =-， 联立222,55,x my x y =-⎧⎨+=⎩消去x 整理得()225410m y my +--=， 显然()22010m ∆=+>，故12122241,55m y y y y m m -+==++， 故PMN ∆的面积1121222PMN OPNS S OF y y ∆∆==⨯⨯⨯-=t =，其中1t …，244PMN S t t t ∆===++„， 当且仅当2t =，即m =PMN ∆【点睛】本题考查直线与椭圆的关系、基本不等式，考查运算求解能力以及化归与转化思想.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ραα=+.（1）求曲线1C 的极坐标方程以及曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线:l y kx =与曲线1C 、曲线2C 在第一象限交于,P Q 两点，且||2||OP OQ =，点M 的坐标为(2,0)，求ΔMPQ 的面积.【答案】（1）1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，2C 的直角坐标方程为2214x y +=（2）【解析】（1）先把曲线1C 的参数方程消参后，转化为普通方程，再利用cos ,sin x y ρθρθ== 求得极坐标方程.将2224cos 4sin ραα=+，化为2222cos 4sin 4ραρα+=，再利用cos ,sin x y ρθρθ== 求得曲线2C 的普通方程.（2）设直线的极角0θθ=，代入2224cos 4sin ραα=+，得2Q 20413sin ρθ=+，将0θθ=代入4cos p θ=，得04cos P ρθ=，由||2||OP OQ =，得2P Q ρρ=，即()2020164cos 13sin θθ=+，从而求得202sin 3θ=，201cos 3θ=，从而求得,ρρQ P ，再利用()01||sin 2ρρθ∆∆∆=-=⋅⋅-⋅MPQ OMP OMQ P Q S S S OM 求解. 【详解】（1）依题意，曲线221:(x 2)4C y -+=，即2240x y x +-=，故24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=.因为2224cos 4sin ραα=+，故2222cos 4sin 4ραρα+=， 即2244x y +=，即2214x y +=.（2）将0θθ=代入2224cos 4sin ραα=+，得2Q 20413sin ρθ=+， 将0θθ=代入4cos p θ=，得04cos P ρθ=，由||2||OP OQ =，得2P Q ρρ=，得()2020164cos 13sin θθ=+，解得202sin3θ=，则201cos 3θ=.又002πθ<<，故0,4cos 33Q P ρρθ====， 故MPQ ∆的面积()01||sin 23MPQ OMP OMQ P Q S S S OM ρρθ∆∆∆=-=⋅⋅-⋅=. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化、极坐标的几何意义，还考查推理论证能力以及数形结合思想，属于中档题. 23．己知0a >，0b >，0c >.（1）求证：()44422422ab a b a a b b a b +-++…；（2）若1abc =，求证：333a b c ab bc ac ++++…. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）采用分析法论证，要证()44422422ab a b a a b b a b +-++…，分式化整式为()()()22422444ab a a b b ab a b +-++…，再利用立方和公式转化为6655a b a b ab ++…，再作差提取公因式论证.（2）由基本不等式得33333313,13,13a b ab b c bc a c ac ++++++厖?，再用不等式的基本性质论证. 【详解】（1）要证()44422422ab a b a a b b a b +-++…，即证()()()22422444a baa b b ab a b +-++…，即证6655a b a b ab ++…， 即证66550a b a b ab +--…，即证55()()0a a b a b b ---…，即证()55()0a b a b --…， 该式显然成立，当且仅当a b =时等号成立，故()44422422ab a b a a b b a b +-++….（2）由基本不等式得3333a b c abc ++…，33333313,13,13a b ab b c bc a c ac ++++++厖?，当且仅当1a b c ===时等号成立.将上面四式相加，可得33333333333a b c abc ab bc ac ++++++…， 即333a b c ab bc ac ++++…. 【点睛】本题考查证明不等式的方法、基本不等式，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题..。