宁夏银川一中2010—2011学年度高二上学期期中考试数学
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银川一中
2010—2011学年度高二上学期期中考试
数 学 试题
命题人：安玉荣
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1．数列 11,22,5,2的一个通项公式是（ ）
A. n a =
B. n a =
C. n a =
D. n a =2．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →
，则顶点D 的坐标为( )
A ．(2，72)
B ．(2，－1
2
) C ．(3,2) D ．(1,3)
3．已知等比数列{n a }中，n a >0,955,a a 为方程016102=+-x x 的两根，则805020a a a ⋅⋅的值为（ ）
A ．32
B ．64
C ．256
D ．±64
4．已知向量＝(1,1)，＝(2，x )．若b a +与a b 24-平行，则实数x 的值是（ ）
A ．－2
B ．0
C ．1
D ．2 5．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝
5
2
b ，A ＝2B ，则cos B ＝( ) A.
53 B.54 C.55 D.56
6．一个等差数列的前4项是a ，x ，b ，x 2，则b
a
等于（ ）
A ．
4
1
B ．
2
1
C ．
3
1
D ．
3
2 7．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，又a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝（ ）
A.14
B.34
C.24
D.23
8．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30° △ABC 的面积为
2
3
，那么b 等于（ ）
A.
231+ B.31+ C.2
3
2+ D.32+ 9．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →
＝( )
A ．2OA →－O
B → B ．－OA →＋2OB →
C. 23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →
10. 设函数f （x ）满足f （n +1）=
2
)(2n
n f +（n ∈N *），且f （1）=2，则f （20）为（ ） A ．95
B ．97
C ．105
D ．192
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.）
11．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n
2a n ＋3
，则a 5＝______________.
12．已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若OC a OA a OB 2001+=，且A 、B 、C 三点共线
（该直线不过原点O ），则S 200＝ 13．给出下列命题：
①若2
2
b a +=0,则b a ==0； ②若A （x 1,y 1),B(x 2,y 2),则
)2
,2(21
2121y y x x ++=; ③已知c b a ,,是三个非零向量，若0=+b a ,则|c a ⋅|=|c b ⋅|;
④已知λ1＞0,λ2＞0,e 1,e 2a =λ11e +λ22e ,则a 与1e a 与2e 也不共线；
⑤a 与b 共线⇔||||b a b a =⋅.
其中正确命题的序号是_____________. 14．数列}{n a 的前n 项和)1(log 1.0n S n += ，
则____991110=+++a a a
15．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．测得 00153030BCD BDC CD ∠=∠==，，米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为0
60,则塔高AB= 米；
三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a,b,c,已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及A 的正弦值. 17.（本题满分12分）
已知|a |＝3，|b |＝2.
(1)若a 与b 的夹角为150°，求|a ＋2b |； (2)若a －b 与a 垂直，求a 与b 的夹角大小． 18.（本题满分12分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3.
(1)求△ABC 的面积； (2)若c ＝1，求a 的值． 19.（本题满分12分）
已知数列}{n a 是首项为1的等差数列，且公差不为零，而等比数列{}n b 的前三项分别是621,,a a a 。
（1）求数列}{n a 的通项公式n a
(2) )若8521=++k b b b ，求正整数k 的值。
20.（本小题满分12分）
已知函数f (x )＝m ·2x ＋t 的图象经过点A (1,1)、B (2,3)及C (n ，S n )，S n 为数列{a n }的前n 项和，n ∈N *.
(1)求S n 及a n ；
(2)若数列{c n }满足c n ＝6na n －n ，求数列{c n }的前n 项和T n .
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1-5 BABDB 6-10 CBBAB
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.）
11、1
161 12、100 13、③④ 14、-1 15、16．（本题满分12分）
解：b 2＝a 2＋c 2 —2ac cos B ＝(33)2＋22-2×33×2×(—
2
3
)＝49 ………………4分 ∴ b ＝7， ………………………6分 ∵
B
b
A a sin sin =
…………………………9分
∴14
33721
337
150sin 33sin =⋅
=
︒
⋅=
A …………………………12分 17.（本题满分12分）
解：(1)∵|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2
＝|a |2＋4|a ||b|cos150°＋4|b |2
＝(3)2＋4×3×2×cos150°＋4×22＝7，……………4分
∴|a ＋2b |＝7. ……………6分
(2)∵(a －b )⊥a ，
∴(a －b )·a ＝|a |2－a ·b ＝0.
∴a·b ＝|a |2. ……………8分 ∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝|a |2|a ||b |＝|a ||b |＝3
2. ……………10分
又∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，
∴〈a ，b 〉＝30°. ……………12分 18.（本题满分12分）
解：(1) ∵cos A 2＝25
5
，
∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝4
5
. …………………………2分
又由·＝3，得bc cos A ＝3，所以bc ＝5. …………………………4分 因此S △ABC ＝1
2bc sin A ＝2. …………………………6分
(2)由(1)知，bc ＝5，又c ＝1，所以b ＝5， …………………………8分
由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝20，…………………………10分 ∴a ＝25. …………………………12分
19.（本题满分12分）
解（1）设数列}{n a 的公差为d ， 621,,a a a 成等比数列，
∴6122a a a =， …………………………2分
)0(33)51(1)1(22≠=⇒=⇒+⨯=+∴d d d d d d …………………4分 23-=∴n a n …………………………6分
（2）数列{}n b 的首项为1，公比为41
2
==
a a q ， ………………………8分 ,854
14121=--=+++k
k b b b ………………………10分
∴k=4 ………………………12分
20.（本小题满分12分）
解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋t ＝14m ＋t ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝1t ＝－1
， …………………………2分 ∴f (x )＝2x －1，∴S n ＝2n －1(n ∈N *)． …………………………3分 ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －
1＝2n －
1. …………………………5分
当n ＝1时，S 1＝a 1＝1符合上式．
∴a n ＝2n －
1(n ∈N *)． …………………………6分
(2)由(1)知c n ＝6na n －n ＝3n ×2n －n . …………………………7分 从而T n ＝3(1×2＋2×22＋…＋n ×2n )－(1＋2＋…＋n ) …………………………9分
＝3(n －1)·2n ＋
1－n (n ＋1)2
＋6. …………………………12分。
