029065量子控制及其在量子计算中的应用

Communications of CCF 2008/767量子控制及其在量子计算中的应用张靖 吴热冰 李春文 谈自忠引言量子控制[1-3]是将控制理论应用到实际量子系统控制中而形成的一门综合交叉学科，其研究始于20世纪80年代[4]。

至今量子控制已经成功应用于量子信息、量子化学、激光冷却和纳米技术等领域。

量子计算是量子控制重要应用领域之一。

根据迪文森佐（D. P. DiVincenzo ）的观点，任何量子计算的硬件实现方案必须满足以下五条：1．可规模化的量子比特构造方案；2．量子态的初始化；3．足够长的相干保持时间——需要远大于量子门操作时间；4．具有普适性的量子逻辑门的实现；5．量子信息的提取，即量子测量问题。

上述问题可以与控制理论中的控制问题相对应，如第2条对应于控制理论中的状态调节问题，第3条退相干抑制可以对应于控制理论中的噪声干扰解耦，而第4条普适量子计算则与控制论中的可控性问题密切相关，第5条则可以与控制理论中可观性以及状态观测问题建立联系。

因此，在量子计算理论具备了一定基础后，控制设计的思想和技术必将为寻找可行的物理实现方案并开发出实用的量子计算机起到关键的作用。

量子控制理论有很多不同的研究方向，本文后续章节将着重探讨控制在解决量子计算基本问题中的应用，包括量子控制系统的物理模型、普适性与可控性，量子系统的最优控制和退相干问题的控制等等。

量子比特的构造与控制到目前为止，人们已经提出了多种量子比特（qubit ）的实现方案供构造未来量子计算机时备选，包括离子阱（ion trap ）方案[5]、腔量子电动力学（cavity QED ）方案[6,7]、核磁共振（NMR 1）方案[8-10]、量子点（quantumdot ）方案[11,12]和超导（superconductor ）量子计算方案[13-15]。

图1 离子阱量子计算方案1 Nuclear magnetic resonance 清华大学关键词：量子控制 量子逻辑门专题报道／Cover FeaturesCommunications of CCF 2008/7 68离子阱方案最早是由西拉克（Cirac）和左勒（Zoller）在1995年提出来的，在这个方案中，离子排列在柱形电极之间，通过控制电极上施加的电压，可以使离子在Z方向呈线性排列。

每个离子代表一个量子比特，单比特操作是通过在单个离子上施加可调激光来实现的。

离子列的整体运动模式可以用一个量子化的单模谐振子描述，该振动模式可与离子内部能级耦合，从而使离子间发生间接耦合，进而实现2比特门操作。

图2 腔量子电动力学方案随着微腔技术的发展，人们已经可以在光学微腔内实现单原子和单光子的操作，这为在微腔内实现量子计算提供了可能。

在微腔内实现量子计算有两种方案，一种是将微腔中的光子作为量子比特，腔中原子与光子间的相互作用导致光子间的非线性相互作用，从而实现比特间的关联。

另一种方案是将二能级原子作为量子比特，原子间的关联通过原子与腔中单模场的相互作用实现，而单比特操作是通过外加经典驱动场实现，图2图3 核磁共振方案描述了第2种方案。

核磁共振方案也是早期提出的量子计算方案之一。

在核磁共振方案中，处于液态环境中的原子或分子的核自旋充当量子比特。

单比特操作通过外加射频脉冲场实现，而多比特间的关联则来源于自旋间的耦合——即核自旋间的直接偶极耦合或通过价电子作为媒介的间接耦合。

核磁共振方案的主要缺点是比特间的耦合很难调节，且信息读取比较困难。

早期的量子计算方案大多在光学系统或液态环境中工作，难以集成实现规模化。

为此，近年研究的重点逐渐转向可规模化的固态量子计算方案，其中量子点方案和超导量子计算方案受到了人们的重视。

图4 量子点方案（by B. E. Kane）量子点方案主要是利用具有单个电子或少量电子的半导体量子点的自旋作为量子比特。

图4是凯恩（Kane）提出的方案，其中以嵌入在半导体硅衬底上的杂质磷原子作为量子比特。

根据电子自旋共振技术，在量子点上施加门电压可以改变电子云分布，从而改变自旋共振频率，进而实现可控的单比特门操作。

比特间的耦合通过量子点间的电子遂穿（Tunneling）实现，通过在量子点间施加门电压，可以调节遂穿势垒高度，进而实现可调节的比特间的耦合。

图5 超导电荷量子比特计算方案（Charge Qubit by NEC group）超导量子比特方案利用超导约瑟夫森结作为量子比特，根据系统参数范围的不同，又分为电荷量子比特，磁通量子比特和相角量子比特等。

图5给出了日本N E C公司蔡兆申博士领导的研究组提出的电荷量子比特方案。

为实现可控的单比特操作，在实际构造量子比特时，通常采用超导SQUID2元件代替单个约瑟夫森结。

量子比特间的耦合，通过在SQUID元件间耦合量子LC回路、纳米谐振子或约瑟夫森结来实现。

超导量子比特的优点在于便于控制，所采用的控制手段主要是施加电磁场。

由于超导量子比特方案可以在全电磁线路中实现，因此便于规模化。

正是由于这些优点，超导量子计算方案近年来受到了越来越多研究者的关注。

量子逻辑门的普适性与可控性量子逻辑门的普适性（universality）是量子计算理论与量子计算机设计的必备条件。

普适性是指能否用有限种操作的组合来实现任意精度的量子计算的问题。

劳埃德（Lloyd）证明[16]单比特的任意操作加上几乎任意的一种固定的两比特操作门，可构成普适操作集。

从控制角度看，这个问题实际上等价于用以实现量子计算的物理模型是否完全可控[4]。

可控性（controllability）是系统任意状态之间的可迁移性质，或任意量子门操作的可实现性。

它取决于控制系统的结构以及控制调节所受的限制。

在控制参量（例如控制的幅度，带宽等）不受限制的情况下，量子系统的可控性具有简单的秩判据，即所有可以调节的控制哈密顿量与系统自由哈密顿量能够张成一个足够大的可控性李代数结构3[17]。

一般来说对于单体量子系统，这个条件比较容易满足。

但是对于包含多体相互作用的量子计算机，实现可控性需要具备足够的比特间耦合作用。

例如核磁共振系统主要依靠局部作用进行控制，但是核间自旋耦合可以将控制作用传递到系统的各个部分，从而实现纠缠的产生、传递和解除。

在超导方案中可以实现一定的比特间直接控制，因此控制效率更高。

对于量子计算系统，除了实现精准的量子门操作，往往还需要实现精准的时间控制，即在特定的时刻完成特定的门操作，以配合整个算法的时序设计。

这种情形下需要更强的所谓强可控性，要求系统状态迁移能够在任意指定时间实现。

黄（Huang）、塔恩（Tarn）和克拉克（Clark）[4]给出了强可控性的定义和判据，该结果后来被推广到时变系统[18]和无穷维控制李代数系统[19]。

一般说来，强可控性要求系统至少具有两个可独立调节的控制，并且它们的配合足以抵消系统自由演化带来的不可控因素。

连续变量量子计算也有其对应于可控性的自身的普适性问题[20]。

虽然相应的物理系统是无穷维的量子系统（连续能量谱），数学分析要复杂得多，但其控制机制是类似的[19]。

吴（Wu）、塔恩和李（Li）[19]的理论分析表明，尽管系统是无穷维的，但在理想情况下仍3指在运动方程中引入包含控制信息的附加向量场后由这些向量场通过向量场间的李括号运算生成的数学结构。

Communications of CCF 2008/769专题报道／Cover FeaturesCommunications of CCF 2008/7 70可以通过有限多个控制哈密顿量的组合控制实现系统的任意精度的近似强可控性。

量子逻辑门的最速实现与时间最优控制在量子计算中需要缩短计算过程所需要消耗的时间，这一方面是为了提高运算的速度，另一方面也是为了保证量子算法的有效性。

由于量子计算系统不可避免地会与环境发生相互作用而导致退相干，因此为了保证量子算法的有效性，需要在退相干时间尺度范围内进行尽可能多次数的计算。

为保证这一点，一方面需要引入退相干抑制手段以延长退相干时间，另一方面需要缩短算法运行所消耗的时间。

缩短运算时间要从两方面入手，一方面需要对算法本身进行优化，尽量减少耗时较长的门操作（如多比特门操作）的次数，这涉及量子网络优化研究的内容，在这里不准备讨论。

另一方面需要缩短单次门操作所消耗的时间，这部分内容和控制理论中的时间最优控制有关，在数学上等价于酉李群上的时间最优控制问题。

量子计算机系统的时间最优控制问题可以追溯到2000年左右。

哈尼亚（Khaneja）和布罗克特（Brockett）首先对控制脉冲幅度不受限情况下的封闭量子系统时间最优控制问题进行了研究[21]，并将所得结果推广到多比特情形[22]。

该研究主要以核磁共振量子计算为背景，控制被局域地加入，即施加在单个量子比特上，而比特间的耦合不可调节。

在理想情况下，局域控制的强度不受限制（hardpulses），以至于单比特操作可以在瞬间完成。

由此，量子逻辑门操作时间主要消耗在比特间纠缠的产生、转移和解除，它们由系统自由演化过程所决定，取决于比特间的耦合强度。

对于控制幅度受限的非理想情形，也有文献进行了讨论。

在超导量子计算模型中，单比特操作的强度由超导量子比特的电荷能E c 以及约瑟夫森能E J 所界定。

当控制强度超出范围时，超导量子元件不能再近似为二能级系统。

因此，超导量子系统最速控制可以归结为控制脉冲幅度受限的时间最优控制问题，这类问题通常导致Bang-Bang脉冲控制序列[23]。

应该指出，与控制理论中通常所研究的Bang-Bang控制4问题所不同的是，这里需要在酉李群上讨论时间最优控制设计问题，而不是在通常情况下的线性空间上讨论。

即使在最简单的[24]单比特情形下，对于最一般的量子逻辑门所设计出的最优控制律也可能是非常复杂的。

哈尼亚研究的模型中比特间的耦合是不可调节的，这一假设在其他量子计算方案中可以放宽，事实上在量子点、超导量子计算方案中，人们可以采用直接调节比特间的关联或引入中间关联环节的方法实现比特间耦合强度的任意调节。

对这一假设的放松将为时间最优控制问题的研究带来新的内容。

退相干抑制与噪声干扰解耦退相干（decoherence）是指由于系统与环境中的自由度发生相互作用，导致系统量子态的相干性退化，使得量子态向经典态转化的物理现象。

退相干是量子技术走向实用化所需解决的关键性技术问题之一。

考虑到退相干问题的重要性，人们提出了多种方法抑制退相干效应。

最早提出的方法是来源于编码的方法，包括主动纠错码[25]和被动纠错码[26]。

主动纠错码方法最早是由肖尔（Shor）等学者提出的。

它借鉴了经典编码理论中的线性纠错码方法。

肖尔的方法是先引入冗余量子位，将信息量子比特位与这些冗余量子位纠缠起来，起到屏蔽信息量子位与环境纠缠的作用。