福建省泉州市养正中学、惠安一中、安溪一中联考2017-2018学年高二下学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
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2017-2018学年福建省泉州市养正中学、惠安一中、安溪一中联考高二（下）期末数学试卷（理科）
一、选择题：（本小题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案涂在答题卡的相应位置.）
1．设p：∀x＞0，x＞lnx．则￢p为（ ）
A．∀x＞0，x≤lnx B．∀x＞0，x＜lnx
C．∃x0＞0，x0＞lnx0 D．∃x0＞0，x0≤lnx0
2．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（ ）
A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9
3．“4＜k＜10”是“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（ ）
A． B． C． D．
5．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如表列联表：
感染 未感染 总计
服用 10 40 50
未服用 20 30
50
总计 30 70 100
附表：
P（K2＞k） 0.10 0.05
0.025
k 2.706
3.841
5.024
参考公式：K2=（n=a+b+c+d为样本容量）
参照附表，下列结论正确的是（ ）
A．在犯错误的概率不超5%过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”
B．在犯错误的概率不超5%过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”
C．有97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”
D．有97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”
6．已知f（n）=+++…+，则（ ）
A．当n=2时，f（2）=+；f（k+1）比f（k）多了1项
B．当n=2时，f（2）=++；f（k+1）比f（k）多了2k+1项
C．当n=2时，f（2）=+；f（k+1）比f（k）多了k项
D．当n=2时，f（2）=++；f（k+1）比f（k）多了2k项
7．设a∈Z，且0＜a＜13，若532016+a能被13整除，则a=（ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
8．设X～N（1，δ2），其正态分布密度曲线如图所示，且P（X≥3）=0.0228，那么向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ）
附：（随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜ξ＜μ+δ）=68.26%，P（μ﹣2δ＜ξ＜μ+2δ）=95.44%
A．6038 B．6587 C．7028 D．7539
9．曲线y=和x2+y2=2及x轴所围成的封闭图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．用1、2、3、4、5、6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1、3、5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为（ ）
A．18 B．108 C．216 D．432
11．已知点F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|=2|OP|，|PF1|≥3|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A．（1，+∞） B．[，+∞） C．（1，] D．（1，]
12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式exf（x）＞ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置
13．已知Z是纯虚数，是实数，（i是虚数单位），那么z= ．
14．甲、乙、丙三人将独立参加某项体育达标活动，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为、、，则三人中有人达标但没有完全达标的概率为 ．
15．数式1+中省略号“…”代表无限重复，但原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则1+=t，则t2﹣t﹣1=0，取正值得t=，用类似方法可得= ．
16．已知f（x）=（2x﹣1）10=a10x10+a9x9+a8x8+…+a1x+a0，则Ca2+Ca3+Ca4+…+Ca10= ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如表的对应数据：
使用年数 2 4
6 8
10
售价 16 13 9.5 7 4.5
（1）试求y关于x的回归直线方程；（参考公式：
=， =y﹣）
（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.01x3﹣0.09x2﹣1.45x+17.2万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润L（x）最大？（利润=售价﹣收购价）
18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4．
（I）求证：平面PBD⊥平面ABCD；
（II）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．
19．现有甲、乙两个投资项目，对甲项目投资十万元，据对市场120份样本数据统计，年利润分布如表：
年利润 1.2万元 1.0万元 0.9万元
频数 20 60 40
对乙项目投资十万元，年利润与产品质量抽查的合格次数有关，在每次抽查中，产品合格的概率均为，在一年之内要进行2次独立的抽查，在这2次抽查中产品合格的次数与对应的利润如表：
合格次数 2次 1次 0次
年利润
1.3万元 1.1万元 0.6万元
记随机变量X，Y分别表示对甲、乙两个项目各投资十万元的年利润，
（1）求X＞Y的概率；
（2）某商人打算对甲或乙项目投资十万元，判断那个项目更具有投资价值，并说明理由．
20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，过点M（1，0）的直线1交椭圆C于A，B两点，|MA|=λ|MB|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|=．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若λ∈[，2]，求弦长|AB|的取值范围．
21．已知函数f（x）=•e﹣ax（a＞0）．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=处的切线方程；
（2）讨论方程f（x）﹣1=0根的个数．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥AB；
（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知直线（t为参数）经过椭圆（φ为参数）的左焦点F．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，求|FA|•|FB|的最大值和最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知f（x）=|ax﹣4|﹣|ax+8|，a∈R
（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＜2；
（Ⅱ）若f（x）≤k恒成立，求k的取值范围．
2015-2016学年福建省泉州市养正中学、惠安一中、安溪一中联考高二（下）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本小题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案涂在答题卡的相应位置.）
1．设p：∀x＞0，x＞lnx．则￢p为（ ）
A．∀x＞0，x≤lnx B．∀x＞0，x＜lnx
C．∃x0＞0，x0＞lnx0 D．∃x0＞0，x0≤lnx0
【考点】的否定．
【分析】根据全称的否定是特称进行判断．
【解答】解；∵是全称的否定，是特称，只否定结论．
∴￢p：x0≤lnx0
故选：D．
2．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（ ）
A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9
【考点】条件概率与独立事件．
【分析】由题意可知P（A）=0.5，P（AB）=0.4，利用条件概率公式可求得P（B丨A）的值．
【解答】解：设第一个路口遇到红灯概率为A，第二个路口遇到红灯的事件为B，
则P（A）=0.5，P（AB）=0.4，
则P（B丨A）==0.8，
故答案选：C．
3．“4＜k＜10”是“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据椭圆的定义以及集合的包含关系判断即可．
【解答】解：∵方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，
∴，解得：7＜k＜10，
故“4＜k＜10”是“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，
故选：B．
4．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】等可能事件的概率；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】首先由组合数公式，计算从袋中的6个球中任取2个的情况数目，再由分步计数原理计算取出的两球为一白一黑的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，袋中共有6个球，从中任取2个，有C62=15种不同的取法，
6个球中，有2个白球和3个黑球，则取出的两球为一白一黑的情况有2×3=6种；
则两球颜色为一白一黑的概率P==；
故选B．
5．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如表列联表：
感染 未感染 总计
服用 10 40 50
未服用 20 30
50
总计 30 70 100
附表：
P（K2＞k） 0.10 0.05
0.025
k 2.706 3.841 5.024
参考公式：K2=（n=a+b+c+d为样本容量）
参照附表，下列结论正确的是（ ）
A．在犯错误的概率不超5%过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”
B．在犯错误的概率不超5%过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”
C．有97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”
D．有97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”
【考点】独立性检验的应用．
【分析】计算观测值，与题目中的观测值表进行比较，即可得出预测结论．
【解答】解：由题意算得，k2=≈4.762＞3.841，
参照附表，可得：
在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”．
