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1-2函数及其表示

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1.(2011·佛山调研)下列四组函数中，是相等函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2 B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100[答案] D [解析] y ＝(x －1)2＝|x －1|与y ＝x －1的对应法则不同；y ＝x －1的定义域中可以有1，但y ＝x －1x －1的定义域中无1；y ＝4lg x中x >0，但y ＝2lg x 2中的x ≠0，故A 、B 、C 中的两函数都不是相等函数，D 中，定义域相同，都是x >0，由y ＝lg x100＝lg x －2知，对应法则也相同．因此两函数是相等函数．2．(文)(2010·浙江五校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0f (x ＋1)，x ≤0，则f (43)＋f (－43)等于( )A ．－2B ．4C ．2D ．－4[答案] B[解析] ∵f (－43)＝f (－43＋1)＝f (－13)＝f (－13＋1)＝f (23)，∴f (43)＋f (－43)＝f (43)＋f (23) ＝2×43＋2×23＝4.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，f (x －3)，x >0，则f (2012)等于( )A ．－1B ．1C ．－3D ．3[答案] A[解析] f (2012)＝f (2009)＝f (2006)＝……＝f (2)＝f (－1)＝2×(－1)＋1＝－1.3．(2010·广西柳州市模拟)若函数f (x )的定义域是[0,4]，则函数g (x )＝f (2x )x 的定义域是( )A ．[0,2]B ．(0,2)C ．(0,2]D ．[0,2)[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤4x ≠0得，0<x ≤2，故选C.4．已知函数f (x )是奇函数，且定义域为R ，若x >0时，f (x )＝x ＋2，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x ＋2B ．f (x )＝|x |＋2C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 x >0x －2 x <0D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 x >00 x ＝0x －2 x <0[答案] D[解析] ∵f (x )为奇函数，且定义域为R ， ∴f (0)＝0.设x <0，则－x >0，则f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )＋2] ＝x －2.5．(文)函数f (x )＝22x －2的值域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0)∪(0，＋∞) C ．(－1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)[答案] D[解析] 1f (x )＝2x －1－1>－1，结合反比例函数的图象可知f (x )∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)．(理)(2011·茂名一模)若函数y ＝f (x )的值域是[12，3]，则函数F (x )＝f (x )＋1f (x )的值域是( )A ．[12，3]B ．[2，103]C ．[52，103]D ．[3，103][答案] B[解析] 令t ＝f (x )，则12≤t ≤3，由函数g (t )＝t ＋1t 在区间[12，1]上是减函数，在[1,3]上是增函数，且g (12)＝52，g (1)＝2，g (3)＝103，可得值域为[2，103]，选B.6．a 、b 为实数，集合M ＝{ba ，1}，N ＝{a,0}，f 是M 到N 的映射，f (x )＝x ，则a ＋b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1[答案] C[解析] ∵f (x )＝x ，∴f (1)＝1＝a ，若f (b a )＝1，则有ba ＝1，与集合元素的互异性矛盾，∴f (ba )＝0，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1.7．(2011·杭州调研)已知f (x －1x )＝x 2＋1x 2，则f (3)＝________.[答案] 11[解析] ∵f (x －1x )＝(x －1x )2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2(x ∈R)，∴f (3)＝32＋2＝11.8．(2010·浙江五校联考)函数y ＝log 2(4－x )的定义域是________．[答案] (－∞，3][解析] 要使函数有意义，应有log 2(4－x )≥0， ∵4－x ≥1，∴x ≤3.1.(文)(2010·福州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >02x ，x ≤0，若f (1)＋f (a )＝2，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．4或1[答案] C[解析] ∵f (1)＝0，∴f (a )＝2，∴log 2a ＝2(a >0)或2a ＝2(a ≤0)，解得a ＝4或a ＝1(舍)，故选C.(理)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx 2) (－1<x <0)e x －1 (x ≥0)，若f (1)＋f (a )＝2，则a的所有可能值为( )A ．1B ．1，－22C ．－22D ．1，22[答案] B [解析] f (1)＝1，当a ≥0时，f (a )＝e a －1，∴1＋e a －1＝2， ∴a ＝1，当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)， ∴1＋sin(πa 2)＝2，∴πa 2＝π2＋2k π(k ∈Z)，∵－1<a <0，∴a ＝－22，故选B. 2．(文)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －4a (x <1)log a x (x ≥1)是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[35，3)D ．(1,3)[答案] D[解析] 解法1：由f (x )在R 上是增函数，∴f (x )在[1，＋∞)上单增，由对数函数单调性知a >1 ①，又由f (x )在(－∞，1)上单增，∴3－a >0，∴a <3 ②，又由于f (x )在R 上是增函数，为了满足单调区间的定义，f (x )在(－∞，1]上的最大值3－5a 要小于等于f (x )在[1，＋∞)上的最小值0，才能保证单调区间的要求，∴3－5a ≤0，即a ≥35 ③，由①②③可得1<a <3.解法2：令a 分别等于35、0、1，即可排除A 、B 、C ，故选D.[点评] f (x )在R 上是增函数，a 的取值不仅要保证f (x )在(－∞，1)上和[1，＋∞)上都是增函数，还要保证x 1<1，x 2≥1时，有f (x 1)<f (x 2)．(理)(2011·温州十校二模)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10]B ．y ＝[x ＋310]C ．y ＝[x ＋410]D ．y ＝[x ＋510][答案] B[解析] 当x 除以10的余数为0,1,2,3,4,5,6时，由题设知y ＝[x10]，且易验证此时[x 10]＝[x ＋310]．当x 除以10的余数为7,8,9时，由题设知y ＝[x10]＋1，且易验证知此时[x10]＋1＝[x ＋310]．综上知，必有y ＝[x ＋310]．故选B.3．(文)设a <b ，函数y ＝(x －a )2(x －b )的图象可能是( )[答案] C[解析] x >b 时，y >0，排除A 、B ；又x ＝b 是变号零点，x ＝a 是不变号零点，排除D ，故选C.(理)(2011·北京东城综合练习)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧8x －8，x ≤1，0，x >1，g (x )＝log 2x ，则f (x )与g (x )两函数图象的交点个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] C[解析] 如图，函数g (x )的图象与函数f (x )的图象交于两点，且均在函数y ＝8x －8(x ≤1)的图象上．故选C.4．(文)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x－1 (x <1)lg x (x ≥1)，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(10，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(－1,10)D ．(0,10) [答案] A[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧x 0<121－x 0－1>1或⎩⎨⎧x 0≥1lg x 0>1，∴x 0<0或x 0>10.(理)(2010·浙江省金华十校)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln 1x x >01x x <0，则f (x )>－1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，e )B ．(－∞，－1)∪(e ，＋∞)C ．(－1,0)∪(e ，＋∞)D ．(－1,0)∪(0，e ) [答案] A[解析] 当x >0时，ln 1x >－1，即ln x <1，故0<x <e ；当x <0时，1x >－1，即x <－1，故不等式的解集是(－∞，－1)∪(0，e )．[点评] 可取特值检验，x ＝－12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2>－1不成立，排除C 、D ；x ＝1e 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝ln e ＝1>－1成立，排除B ，故选A.5．(文)如果函数f (x )＝1－x 21＋x 2，那么f (1)＋f (2)＋…f (2012)＋f (12)＋f (13)＋…＋f (12012)的值为________．[答案] 0[解析]由于f(x)＋f(1x)＝1－x21＋x2＋1－(1x)21＋(1x)2＝1－x21＋x2＋x2－1x2＋1＝0，f(1)＝0，故该式值为0.(理)规定记号“⊕”表示一种运算，且a⊕b＝ab＋a＋b＋1，其中a、b是正实数，已知1⊕k＝4，则函数f(x)＝k⊕x的值域是________．[答案](2，＋∞)[解析]1⊕k＝k＋k＋2＝4，解之得k＝1，∴f(x)＝x＋x＋2，由于“⊕”的运算对象是正实数，故x>0，∴f(x)>2.6．(文)某地区预计2011年的前x个月内对某种商品的需求总量f(x)(万件)与月份x的近似关系式是f(x)＝175x(x＋1)(19－x)，x∈N*,1≤x≤12，求：(1)2011年的第x月的需求量g(x)(万件)与月份x的函数关系式．(2)求第几个月需求量g(x)最大．[解析](1)第x月的需求量为g(x)＝f(x)－f(x－1)＝175x(x＋1)(19－x)－175(x－1)x(20－x)＝125x(13－x)．(2)g(x)＝125(－x 2＋13x)＝－125[42.25－(x－6.5)2]，因此当x＝6或7时g(x)最大．第6、7月需求量最大．(理)(2010·深圳九校)某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为1206t 吨，(0≤t ≤24)．(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．[解析] (1)设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨， 则y ＝400＋60t －1206t (0≤t ≤24) 令6t ＝x ，则x 2＝6t 且0≤x ≤12，∴y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40(0≤x ≤12)； ∴当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨． (2)依题意400＋10x 2－120x <80， 得x 2－12x ＋32<0，解得4<x <8，即4<6t <8，∴83<t <323；∵323－83＝8，∴每天约有8小时供水紧张． 7．(文)某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系如图所示：示：(1)根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；(2)在所给直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(t，Q)的对应点，并确定日销售量Q与时间t的一个函数关系式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)[解析](1)P ＝⎩⎨⎧t ＋20 (0<t <25，t ∈N *)－t ＋100 (25≤t ≤30，t ∈N *)(2)图略，Q ＝40－t (t ∈N *) (3)设日销售金额为y (元)，则y ＝⎩⎨⎧－t 2＋20t ＋800 (0<t <25，t ∈N *)t 2－140t ＋4000 (25≤t ≤30，t ∈N *)＝⎩⎨⎧－(t －10)2＋900 (0<t <25，t ∈N *)(t －70)2－900 (25≤t ≤30，t ∈N *)若0<t <25(t ∈N *)，则当t ＝10时，y max ＝900； 若25≤t ≤30(t ∈N *)， 则当t ＝25时，y max ＝1125. 由1125>900，知y max ＝1125，∴这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大．(理)(2010·广东六校)某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持，已知每投入x 万元，可获得纯利润P ＝－1160(x －40)2＋100万元(已扣除投资，下同)，当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资，其中在前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，公路5年建成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获纯利润Q ＝－159160(60－x )2＋1192(60－x )万元，问仅从这10年的累积利润看，该规划方案是否可行？[解析] 在实施规划前，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元，则10年的总利润为W 1＝100×10＝1000(万元)实施规划后的前5年中，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100知，每年投入30万元时，有最大利润P max ＝7958(万元) 前5年的利润和为7958×5＝39758(万元)设在公路通车的后5年中，每年用x 万元投资于本地的销售，而剩下的(60－x )万元用于外地区的销售投资，则其总利润为 W 2＝[－1160(x －40)2＋100]×5＋(－159160x 2＋1192x )×5＝－5(x －30)2＋4950.当x ＝30时，W 2＝4950(万元)为最大值，从而10年的总利润为39758＋4950(万元)．∵39758＋4950>1000， ∴该规划方案有极大实施价值．1．设函数f (x )、g (x )的定义域分别为F 、G ，且F G .若对任意的x ∈F ，都有g (x )＝f (x )，且g (x )为偶函数，则称g (x )为f (x )在G 上的一个“延拓函数”．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ≤0)，若g (x )为f (x )在R上的一个延拓函数，则函数g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2|x |B ．g (x )＝log 2|x |C ．g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |D ．g (x )＝log 12|x |[答案] A[解析] 由延拓函数的定义知，当x ≤0时，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，当x >0时，－x <0，∴g (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝2x ，∵g (x )为偶函数，∴g (x )＝2x ， 故g (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12xx ≤02x x >0，即g (x )＝2|x |.2．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如下图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )[答案] A[解析] ∵f (x )＝(x －a )(x －b )的两个零点为a 和b 且a >b ，由图象知0<a <1，b <－1，∴g (x )＝a x ＋b 单调减，且g (0)＝1＋b <0，故选A.3．函数f (x )＝|log 12x |的定义域是[a ，b ]，值域为[0,2]，对于区间[m ，n ]，称n －m 为区间[m ，n ]的长度，则[a ，b ]长度的最小值为( )A.154 B ．3 C ．4 D.34[答案] D[解析] 令f (x )＝0得，x ＝1，令f (x )＝2得，log 12x ＝±2，∴x ＝14或4，∴当a ＝14，b ＝1时满足值域为[0,2]，故选D.4．若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x x ≤1log 12xx >1，则函数y ＝f (2－x )的图象可以是( )[答案] A[分析] 可依据y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，及y ＝f (2－x )可由y ＝f (－x )的图象向右平移两个单位得到来求解，也可直接求出y ＝f (2－x )的解析式取特值验证．[解析] 由函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称得到y ＝f (－x )的图象，再把y ＝f (－x )的图象向右平移2个单位得到y ＝f (2－x )的图象，故选A.5．定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝(a －b )2，则函数f (x )＝2⊕x (x ⊗2)－2的解析式为( ) A ．f (x )＝4－x 2x ，x ∈[－2,0)∪(0,2]B ．f (x )＝x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞) C ．f (x )＝－x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．f (x )＝－4－x 2x ，x ∈[－2,0)∪(0,2] [答案] D [解析] f (x )＝4－x 2(x －2)2－2，由⎩⎨⎧4－x 2≥0(x －2)2－2≠0得，－2≤x <0或0<x ≤2，∴f (x )＝4－x 2(2－x )－2，即f (x )＝－4－x 2x ，x ∈[－2,0)∪(0,2]．6．如图，动点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体表面相交于M 、N .设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )[答案] B[解析] 解法1：取AA 1、CC 1的中点E 、F ，EF 交BD 1于O ，则EF ∥AC ，∵AC ⊥BD ，AC ⊥BB 1， ∴AC ⊥平面BDD 1B 1，∴EF ⊥平面BDD 1B 1， ∴平面BED 1F ⊥平面BDD 1B 1，过点P 作MN ∥EF ，则MN ⊥平面BDD 1B 1，MN 交BE 、BF 于M 、N ，则BP BO ＝MN EF ，∴MN ＝EFBO ·BP ， 不难看出当P 在BO 上时，y 是x 的一次增函数， 当P 在OD 1上时，y 是x 的一次减函数，故选B.解法2：连结AC ，A 1C 1，则MN ∥AC ∥A 1C 1，当且仅当P 为BD 1的中点Q 时，MN ＝AC 取得最大值，故答案A ，C 错，又当P 为BQ 中点时，MN ＝12AC ，故答案D 错，所以选B.7．设函数f (x )＝ln 1＋x 1－x ，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的定义域是________．[答案] (－2，－1)∪(1,2) [解析] 由1＋x1－x >0知－1<x <1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1①－1<1x <1②，由①得－2<x <2，由②得x >1或x <－1，因此－2<x <－1或1<x <2.8．已知函数f (x )的值域为[0,4]，(x ∈[－2,2])，函数g (x )＝ax －1，x ∈[－2,2]，∀x 1∈[－2,2]，总∃x 0∈[－2,2]，使得g (x 0)＝f (x 1)成立，则实数a 的取值范围是______．[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ [解析] 只需要函数f (x )的值域是函数g (x )值域的子集即可． (1)当a >0时，g (x )＝ax －1单调递增，∵x ∈[－2,2]，∴－2a －1≤g (x )≤2a －1，要使条件成立，只需⎩⎨⎧－2a －1≤02a －1≥4，∴a ≥52. (2)当a <0时，g (x )＝ax －1单调递减．∵x ∈[－2,2]，∴2a －1≤g (x )≤－2a －1，要使条件成立，只需⎩⎨⎧ 2a －1≤0－2a －1≥4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12a ≤－52，∴a ≤－52. 综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞.。

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数学选修1至2知识点总结

数学选修1至2知识点总结

数学选修1至2知识点总结一、选修11. 一次函数一次函数是数学中的一种基本类型的函数，其一般形式为y=ax+b，其中a,b为常数且a≠0。

一次函数的图像是一条通过原点的直线，斜率a表示直线的倾斜程度，常数b表示直线与y轴的交点。

在数学上，一次函数是一种简单串直线函数，但它在实际应用中有着广泛的用途，如经济学、物理学等领域均可利用一次函数来描述问题。

2. 二次函数二次函数是一种常见的函数类型，其一般形式为y=ax²+bx+c，其中a,b,c为常数且a≠0。

二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线，其开口方向取决于a的正负。

二次函数对应的抛物线有着许多特性，如顶点坐标、对称轴、焦点、直焦距等，这些特性能够帮助我们更好地理解二次函数的性质。

3. 多项式函数多项式函数是由常数组成的数列f(n),在数学中，n是一个变量，它的值可以是实数或者复数，但不是整数或负数，并有定义域。

封闭整数或负数的情况是另一种基于变量方面的数列。

4. 分式函数分式函数是由两个多项式相除而得到的函数，分母不能取0。

5. 指数函数、对数函数指数函数和对数函数是常见的特殊函数类型，它们在数学和实际应用中都有着重要的作用。

指数函数的一般形式是y=a^x，其中a为底数，x为指数，而对数函数的一般形式是y=loga(x)，其中a为底数，x为真数。

指数函数和对数函数之间存在着互为反函数的关系，它们在代数、几何、概率等方面均有广泛的应用。

6. 三角函数三角函数是用于描述角度与变化的函数，常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们在三角学和实际问题中都有着重要的应用。

三角函数不仅能够描述角度的变化，还能够描述周期性的现象，如振动、波动等。

7. 数列与数学归纳法数列是由一系列按照一定规律排列的数构成的序列，数学归纳法是一种证明数学命题的常用方法。

数列与数学归纳法是数学中重要的概念和方法，它们在数学分析、组合数学、离散数学等领域都有着广泛的应用。

1.2.2-函数的表示法(要用)

1.2.2-函数的表示法(要用)


0 x ≤5 5 x ≤10 10 x ≤15 15 x ≤20
票价 y(元)
2
3
4
5
此分段函数的定义域为 (0,20]
此分段函数的值域为 {2,3,4,5}
①自变量的范围是怎样得到的？ ②自变量的范围为什么分成了四个区间？区间端点
是怎样确定的？ ③每段上的函数解析式是怎样求出的？
作函数图象：
王伟 张城 赵磊 班级平均分
第一次 98 90 68 88.2
第二次 87 76 65
78.3
第三次 91 88 73 85.4
第三次 92 75 72 80.3
第五次 88 86 75 75.7
第六次 95 80 82 82.6
请你表对格这能三否直位观同地学分在析高出一三学位年同度学成的绩数高学低学? 如习何情才况能做更一好的个比分较析三。个人的成绩高低?
分段函数
2. 化简函数 y | x 5 | x2 2x 1
解：由题意知 y = | x + 5 | + | x －1 |
y
当 x ≤－5 时，
y = －( x + 5 ) －( x －1 )=－2x－4
当 －5 ＜ x ≤ 1 时，
6
y = ( x + 5 ) －( x －1 ) = 6
一函次数函解数析：式y=一kx定+b是（方k≠程0）；
可看成关于x、y的方程。
二方次程函不数一：定y=是ax函2+数bx+解c 析（式a≠。0） 例如：x2+y2=1
复习回顾
(1)炮弹发射
（解析法）
h=130t-5t2 （0≤t≤26）
(2)南极臭氧层空洞 （图象法）
高中数学人教版A版必修一课时作业及解析：第一章1-2函数及其表示

高中数学人教版A版必修一课时作业及解析：第一章1-2函数及其表示

高中数学人教版A版必修一第一章集合与函数概念§1.2函数及其表示1．2.1 函数的概念课时目标 1.理解函数的概念，明确函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集，表示简单函数的定义域、值域.3.会求一些简单函数的定义域、值域．1．函数(1)设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的__________，使对于集合A中的____________，在集合B中都有________________和它对应，那么就称f：________为从集合A到集合B的一个函数，记作__________________．其中x 叫做________，x的取值范围A叫做函数的________，与x的值相对应的y值叫做________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．(2)值域是集合B的________．2．区间(1)设a，b是两个实数，且a<b，规定：①满足不等式__________的实数x的集合叫做闭区间，表示为________；②满足不等式__________的实数x的集合叫做开区间，表示为________；③满足不等式________或________的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为______________．(2)实数集R可以用区间表示为__________，“∞”读作“无穷大”，“＋∞”读作“__________”，“－∞”读作“________”．我们把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合分别表示为________，________，________，______.一、选择题1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有()①y 是x 的函数②对于不同的x ，y 的值也不同③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量 ④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来 A ．1个B ．2个 C ．3个D ．4个2．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( )A ．①②③④B ．①②③C ．②③D ．②3．下列各组函数中，表示同一个函数的是( ) A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )24．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y ＝2x 2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．4个 5．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1} 6．函数y ＝x ＋1的值域为( ) A ．[－1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0] D ．(－∞，－1]二、填空题7．已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是{1,2,3}，其定义如下表：8．如果函数f (x )满足：对任意实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )f (b )，且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋f (4)f (3)＋f (5)f (4)＋…＋f (2011)f (2010)＝________. 9．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为______________．10．若函数f (x )的定义域是[0,1]，则函数f (2x )＋f (x ＋23)的定义域为________． 三、解答题11．已知函数f (1－x1＋x )＝x ，求f (2)的值．能力提升12．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11∶00到12∶00他骑了多少千米？(5)他在9∶00～10∶00和10∶00～10∶30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域；(3)画出函数的图象．1．函数的判定判定一个对应关系是否为函数，关键是看对于数集A 中的任一个值，按照对应关系所对应数集B 中的值是否唯一确定，如果唯一确定，就是一个函数，否则就不是一个函数．2．由函数式求函数值，及由函数值求x ，只要认清楚对应关系，然后对号入座就可以解决问题．3．求函数定义域的原则：①当f (x )以表格形式给出时，其定义域指表格中的x 的集合；②当f (x )以图象形式给出时，由图象范围决定；③当f (x )以解析式给出时，其定义域由使解析式有意义的x 的集合构成；④在实际问题中，函数的定义域由实际问题的意义确定．§1.2 函数及其表示 1．2.1 函数的概念知识梳理1．(1)对应关系f 任意一个数x 唯一确定的数f (x ) A →B y ＝f (x )，x ∈A 自变量 定义域 函数值 值域 (2)子集2．(1)①a ≤x ≤b [a ，b ] ②a <x <b (a ，b ) ③a ≤x <b a <x ≤b [a ，b )，(a ，b ] (2)(－∞，＋∞) 正无穷大 负无穷大 [a ，＋∞) (a ，＋∞) (－∞，b ] (－∞，b ) 作业设计1．B [①、③正确；②不对，如f (x )＝x 2，当x ＝±1时y ＝1；④不对，f (x )不一定可以用一个具体的式子表示出来，如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子来表示．]2．C [①的定义域不是集合M ；②能；③能；④与函数的定义矛盾．故选C.] 3．D [A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同，故选D.]4．B [由2x 2－1＝1,2x 2－1＝7得x 的值为1，－1,2，－2，定义域为两个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．]5．D [由题意可知⎩⎨⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.]6．B 7．3 2 1解析 g [f (1)]＝g (2)＝3，g [f (2)]＝g (3)＝2， g [f (3)]＝g (1)＝1. 8．2010解析 由f (a ＋b )＝f (a )f (b )，令b ＝1，∵f (1)＝1， ∴f (a ＋1)＝f (a )，即f (a ＋1)f (a )＝1，由a 是任意实数，所以当a 取1,2,3，…，2010时，得f (2)f (1)＝f (3)f (2)＝…＝f (2011)f (2010)＝1.故答案为2010. 9．{－1,1,3,5,7}解析 ∵x ＝1,2,3,4,5，∴f (x )＝2x －3＝－1,1,3,5,7. 10．[0，13]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤1，0≤x ＋23≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤12，－23≤x ≤13，即x ∈[0，13]．11．解 由1－x 1＋x＝2，解得x ＝－13，所以f (2)＝－13.12．解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米． (2)10∶30开始第一次休息，休息了半小时． (3)第一次休息时，离家17千米． (4)11∶00至12∶00他骑了13千米．(5)9∶00～10∶00的平均速度是10千米/时；10∶00～10∶30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．13．解 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ，∴水的面积A＝[2＋(2＋2h)]h2＝h2＋2h(m2)．(2)定义域为{h|0<h<1.8}．值域由二次函数A＝h2＋2h(0<h<1.8)求得．由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0<A<6.84.故值域为{A|0<A<6.84}．(3)由于A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0<h<1.8，∴A＝h2＋2h的图象仅是抛物线的一部分，如下图所示．1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．函数的三种表示法(1)解析法——用____________表示两个变量之间的对应关系； (2)图象法——用______表示两个变量之间的对应关系； (3)列表法——列出______来表示两个变量之间的对应关系．一、选择题1．一个面积为100cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( ) A ．y ＝50x (x >0) B ．y ＝100x (x >0)C ．y ＝50x (x >0)D ．y ＝100x (x >0)2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．33．如果f (1x )＝x1－x，则当x ≠0时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1 4．已知f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )等于( )A ．2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋75．若g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2，则f (12)的值为( ) A ．1B ．15C ．4D ．306．在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )二、填空题7．一个弹簧不挂物体时长12cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3kg 物体后弹簧总长是13.5cm ，则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为________________________________________________________________________．8．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x )＋x ，则f (x )的解析式为____________． 9．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为__________________．三、解答题10．已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f (x )的解析式．11．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小；(2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域．能力提升12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10] B ．y ＝[x ＋310]C ．y ＝[x ＋410]D ．y ＝[x ＋510]13．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．1．如何作函数的图象一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等． 2．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应关系f 的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．1．2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法知识梳理(1)数学表达式 (2)图象 (3)表格 作业设计1．C [由x ＋3x2·y ＝100，得2xy ＝100.∴y ＝50x (x >0)．]2．B [由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．]3．B [令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f (1x )＝x1－x，则有f (t )＝1t 1－1t＝1t －1，故选B.] 4．B [由已知得：g (x ＋2)＝2x ＋3，令t ＝x ＋2，则x ＝t －2，代入g (x ＋2)＝2x ＋3，则有g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1，故选B.]5．B [令1－2x ＝12，则x ＝14，∴f (12)＝1－(14)2(14)2＝15.] 6．B [当t <0时，S ＝12－t 22，所以图象是开口向下的抛物线，顶点坐标是(0，12)；当t >0时，S ＝12＋t 22，开口是向上的抛物线，顶点坐标是(0，12)．所以B 满足要求．]7．y ＝12x ＋12解析 设所求函数解析式为y ＝kx ＋12，把x ＝3，y ＝13.5代入，得13.5＝3k＋12，k ＝12.所以所求的函数解析式为y ＝12x ＋12.8．f (x )＝－x 2＋23x (x ≠0)解析 ∵f (x )＝2f (1x )＋x ，①∴将x 换成1x ，得f (1x )＝2f (x )＋1x .②由①②消去f (1x )，得f (x )＝－23x －x3，即f (x )＝－x 2＋23x (x ≠0)．9．f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8 解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a 2x ＋ab ＋b .∴⎩⎨⎧a 2＝4ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝83或⎩⎨⎧a ＝－2b ＝－8.10．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由f (0)＝f (4)知⎩⎨⎧f (0)＝c ，f (4)＝16a ＋4b ＋c ，f (0)＝f (4)，得4a ＋b ＝0.① 又图象过(0,3)点， 所以c ＝3.②设f (x )＝0的两实根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca . 所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a)2－2·c a＝10.即b 2－2ac ＝10a 2.③由①②③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以f (x )＝x 2－4x ＋3.11．解 因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y … －5 0 3 4 3 0 －5 …连线，描点，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (3)<f (0)<f (1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)． (3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．12．B [方法一 特殊取值法，若x ＝56，y ＝5，排除C 、D ，若x ＝57，y ＝6，排除A ，所以选B.方法二 设x ＝10m ＋α(0≤α≤9)，0≤α≤6时， [x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＝[x 10]，当6<α≤9时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＋1＝[x10]＋1， 所以选B.]13．解 因为对任意实数x ，y ，有 f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)， 所以令y ＝x ，有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)，即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)．又f (0)＝1， ∴f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.第2课时分段函数及映射课时目标 1.了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题.2.了解映射的概念．1．分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的____________的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的______；各段函数的定义域的交集是空集．(3)作分段函数图象时，应_____________________________________．2．映射的概念设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中____________确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的__________．一、选择题1．已知，则f(3)为()A．2B．3C．4D．52．下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是()3．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：A．100元B．90元C．80元D．60元4．已知函数，使函数值为5的x的值是()A．－2B．2或－5 2C．2或－2D．2或－2或－5 25．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为() A．13立方米B．14立方米C．18立方米D．26立方米6．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列不能表示从P到Q的映射的是()A．f：x→y＝12x B．f：x→y＝13xC．f：x→y＝23x D．f：x→y＝x二、填空题7．已知，则f(7)＝____________.8．设则f {f [f (－34)]}的值为________，f (x )的定义域是______________．9．已知函数f (x )的图象如下图所示，则f (x )的解析式是__________________．三、解答题 10．已知，(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．11．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C、D、A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．能力提升12．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是() A．∅B．∅或{1}C．{1}D．∅13．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v(公里/小时)的平方与车身长S(米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d关于v的函数关系式(其中S为常数)．1．全方位认识分段函数(1)分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．2．对映射认识的拓展映射f：A→B，可理解为以下三点：(1)A中每个元素在B中必有唯一的元素与之对应；(2)对A中不同的元素，在B中可以有相同的元素与之对应；(3)A中元素与B中元素的对应关系，可以是：一对一、多对一，但不能一对多．3．函数与映射的关系映射f：A→B，其中A、B是两个“非空集合”；而函数y＝f(x)，x∈A为“非空的实数集”，其值域也是实数集，于是，函数是数集到数集的映射．由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．第2课时 分段函数及映射知识梳理1．(1)对应关系 (2)并集 (3)分别作出每一段的图象 2．都有唯一 一个映射 作业设计 1．A [∵3<6，∴f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.] 2．D3．C [不同的房价对应着不同的住房率，也对应着不同的收入，因此求出4个不同房价对应的收入，然后找出最大值对应的房价即可．] 4．A [若x 2＋1＝5，则x 2＝4，又∵x ≤0，∴x ＝－2， 若－2x ＝5，则x ＝－52，与x >0矛盾，故选A.]5．A [该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎨⎧mx ， 0≤x ≤10，2mx －10m ，x >10. 由y ＝16m ，可知x >10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13(立方米)．]6．C [如果从P 到Q 能表示一个映射，根据映射的定义，对P 中的任一元素，按照对应关系f 在Q 中有唯一元素和它对应，选项C 中，当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，故选C.] 7．6解析 ∵7<9，∴f (7)＝f [f (7＋4)]＝f [f (11)]＝f (11－3)＝f (8)． 又∵8<9，∴f (8)＝f [f (12)]＝f (9)＝9－3＝6. 即f (7)＝6.8.32 {x |x ≥－1且x ≠0}解析 ∵－1<－34<0，∴f (－34)＝2×(－34)＋2＝12.而0<12<2，∴f (12)＝－12×12＝－14.∵－1<－14<0，∴f (－14)＝2×(－14)＋2＝32.因此f {f [f (－34)]}＝32.函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <0}∪{x |0<x <2}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≥－1且x ≠0}．9．f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋1， －1≤x <0，－x ，0≤x ≤1解析 由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎨⎧ －a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.当0<x <1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，则k ＝－1. 10.解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1，所以f (x )的值域为[0,1]．11．解 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ；当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时，y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .综上可知，f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ， 0≤x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12.12．B [由题意可知，集合A 中可能含有的元素为：当x 2＝1时，x ＝1，－1；当x 2＝2时，x ＝2，－ 2. 所以集合A 可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合．无论含有几个元素，A ∩B ＝∅或{1}．故选B.]13．解 根据题意可得d ＝k v 2S .∵v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝k v 2S 中，解得k ＝12500.∴d ＝12500v 2S .当d ＝S 2时，可解得v ＝25 2.∴d ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 2 (0≤v <252)12500v 2S (v ≥252).§1.2习题课课时目标 1.加深对函数概念的理解，加深对映射概念的了解.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.通过具体实例，理解简单的分段函数，并能简单应用．1．下列图形中，不可能作为函数y＝f(x)图象的是()2．已知函数f：A→B(A、B为非空数集)，定义域为M，值域为N，则A、B、M、N的关系是()A．M＝A，N＝B B．M⊆A，N＝BC．M＝A，N⊆B D．M⊆A，N⊆B3．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点()A．必有一个B．一个或两个C．至多一个D．可能两个以上4．已知函数，若f(a)＝3，则a的值为()A.3B．－ 3C．±3D．以上均不对5．若f(x)的定义域为[－1,4]，则f(x2)的定义域为()A．[－1,2]B．[－2,2]C．[0,2]D．[－2,0]6．函数y＝xkx2＋kx＋1的定义域为R，则实数k的取值范围为() A．k<0或k>4B．0≤k<4C．0<k<4D．k≥4或k≤0一、选择题1．函数f (x )＝xx 2＋1，则f (1x )等于( )A ．f (x )B ．－f (x )C.1f (x )D.1f (－x )2．已知f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则f (x )的定义域为( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－1,2]D ．[－3，3]3．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{0,1}，则下列对应不是从A 到B 的映射的是()4．与y ＝|x |为相等函数的是( )A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．D ．y ＝3x 35．函数y ＝2x ＋1x －3的值域为( )A ．(－∞，43)∪(43，＋∞)B ．(－∞，2)∪(2，＋∞)C ．RD ．(－∞，23)∪(43，＋∞)6．若集合A ＝{x |y ＝x －1}，B ＝{y |y ＝x 2＋2}，则A ∩B 等于( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(0，＋∞)二、填空题7．设集合A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，点(x，y)在映射f：A→B的作用下对应的点是(x－y，x＋y)，则B中点(3,2)对应的A中点的坐标为____________．8．已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)的解析式为___________________________________.9．已知函数，则f(f(－2))=______________________________.三、解答题10．若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，求f(x)．11．已知，若f(1)＋f(a＋1)＝5，求a的值．能力提升12．已知函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f(x－a)＋f(x＋a)(0<a<12)的定义域为()A．∅B．[a,1－a] C．[－a,1＋a]D．[0,1]13．已知函数(1)求f(－3)，f[f(－3)]；(2)画出y＝f(x)的图象；(3)若f(a)＝12，求a的值．1．函数的定义域、对应关系以及值域是构成函数的三个要素．事实上，如果函数的定义域和对应关系确定了，那么函数的值域也就确定了．两个函数是否相同，只与函数的定义域和对应关系有关，而与函数用什么字母表示无关．求函数定义域时，要注意分式的字母不能为零；偶次根式内的被开方式子必须大于或等于零．2．函数图象是描述函数两个变量之间关系的一种重要方法，它能够直观形象地表示自变量、函数值的变化趋势．函数的图象可以是直线、光滑的曲线，也可以是一些孤立的点、线段或几段曲线等．3．函数的表示方法有列举法、解析法、图象法三种．根据解析式画函数的图象时，要注意定义域对函数图象的制约作用．函数的图象既是研究函数性质的工具，又是数形结合方法的基础．§1.2习题课双基演练1．C[C选项中，当x取小于0的一个值时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义．]2．C[值域N应为集合B的子集，即N⊆B，而不一定有N＝B.]3．C[当a属于f(x)的定义域内时，有一个交点，否则无交点．]4．A[当a≤－1时，有a＋2＝3，即a＝1，与a≤－1矛盾；当－1<a<2时，有a2＝3，∴a＝3，a＝－3(舍去)；当a≥2时，有2a＝3，∴a＝32与a≥2矛盾．综上可知a ＝ 3.]5．B [由－1≤x 2≤4，得x 2≤4，∴－2≤x ≤2，故选B.]6．B [由题意，知kx 2＋kx ＋1≠0对任意实数x 恒成立，当k ＝0时，1≠0恒成立，∴k ＝0符合题意．当k ≠0时，Δ＝k 2－4k <0，解得0<k <4，综上，知0≤k <4.]作业设计1．A [f (1x )＝1x 1x 2＋1＝x 1＋x 2＝f (x )．] 2．C [∵x ∈[－3，3]，∴0≤x 2≤3，∴－1≤x 2－1≤2，∴f (x )的定义域为[－1,2]．]3．C [C 选项中，和a 相对应的有两个元素0和1，不符合映射的定义．故答案为C.]4．B [A 中的函数定义域与y ＝|x |不同；C 中的函数定义域不含有x ＝0，而y ＝|x |中含有x ＝0，D 中的函数与y ＝|x |的对应关系不同，B 正确．]5．B [用分离常数法．y ＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3. ∵7x －3≠0，∴y ≠2.] 6．C [化简集合A ，B ，则得A ＝[1，＋∞)，B ＝[2，＋∞)．∴A ∩B ＝[2，＋∞)．]7．(52，－12)解析 由题意⎩⎨⎧ x －y ＝3x ＋y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝52y ＝－12.8．f (x )＝x 2－1(x ≥1)解析 ∵f (x ＋1)＝x ＋2x＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1，∴f (x )＝x 2－1. 由于x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．9．4解析 ∵－2<0，∴f (－2)＝(－2)2＝4，又∵4≥0，∴f (4)＝4，∴f (f (－2))＝4.10．解 令t ＝x －1，则1－x ＝－t ，原式变为3f (t )＋2f (－t )＝2(t ＋1)，①以－t 代t ，原式变为3f (－t )＋2f (t )＝2(1－t )，②由①②消去f (－t )，得f (t )＝2t ＋25. 即f (x )＝2x ＋25.11．解 f (1)＝1×(1＋4)＝5，∵f (1)＋f (a ＋1)＝5，∴f (a ＋1)＝0.当a ＋1≥0，即a ≥－1时，有(a ＋1)(a ＋5)＝0，∴a ＝－1或a ＝－5(舍去)．当a ＋1<0，即a <－1时，有(a ＋1)(a －3)＝0，无解．综上可知a ＝－1.12．B [由已知，得⎩⎨⎧ 0≤x ＋a ≤1，0≤x －a ≤1⇒⎩⎨⎧－a ≤x ≤1－a ，a ≤x ≤1＋a . 又∵0<a <12，∴a ≤x ≤1－a ，故选B.]13．解 (1)∵x ≤－1时，f (x )＝x ＋5，∴f (－3)＝－3＋5＝2，∴f [f (－3)]＝f (2)＝2×2＝4.(2)函数图象如右图所示．(3)当a ≤－1时，f (a )＝a ＋5＝12，a ＝－92≤－1； 当－1<a <1时，f (a )＝a 2＝12，a ＝±22∈(－1,1)； 当a ≥1时，f (a )＝2a ＝12，a ＝14∉[1，＋∞)，舍去． 故a 的值为－92或±22.。

函数的概念和函数的表示法教案-人教版数学高一上必修1第一章1.2.1-1.2.2

函数的概念和函数的表示法教案-人教版数学高一上必修1第一章1.2.1-1.2.2

第一章集合与函数概念1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念和函数的表示法1 教学目标1.1 知识与技能：[1]理解函数的概念,了解构成函数的三要素．[2]会判断给出的两个函数是否是同一函数.[3]能正确使用区间表示数集.[4]函数的三种表示方法，并会求简单函数的定义域和值域.[5]通过实例体会分段函数的概念.[6]了解映射的概念及表示方法，并会判断一个对应关系是否是映射.1.2过程与方法：[1]通过具体实例，体会函数的概念和函数三要素，会求简单函数的定义域和值域。

[2]通过观察、画图等具体动手，体会分段函数的概念。

[3]通过具体习题，了解映射的概念，并会判断一个对应关系是否是映射.1.3 情感态度与价值观：[1]通过学习函数的概念及其表示法以及相关练习，培养学生逻辑思维。

[2]通过细致作图，培养学生的动手能力和识图能力。

2 教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]函数的三种表示方法。

[2]分段函数的概念。

2.2 教学难点[1]根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．[2]会求函数的定义域和值域。

3 专家建议此节为高中数学函数的第一节内容，一定要让学生充分理解函数的概念，结合具体习题提升学生的逻辑思维和数学素养。

4 教学方法实例探究——归纳总结，提炼概念——补充讲解——练习提高5 教学用具多媒体，教学用直尺、三角板。

6 教学过程6.1 引入新课【师】同学们好。

初中的时候我们就接触过函数，并掌握了一次函数，二次函数和反比例函数。

这节课我们来继续进一步学习和函数有关的内容。

【板书】第一章集合与函数概念 1.2 函数及其表示6.2 新知介绍[1]函数的概念【师】下面请同学们看三个实例，看有什么不同点和相同点。

【板演/PPT】PPT演示三个实例。

【师】那我们现在可以发现不同点是三个实例分别用解析式，图像和表格刻画变量之间的对应关系。

相同点是都有两个非空数集，并且两个数集之间都有一种确定的对应关系。