1 2.5 指数与指数函数
1.分数指数幂
(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是mna＝nam (a>0，m，n∈N*，且n>1).正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定mna＝1mna(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理数指数幂的运算性质：asat＝as＋t，(as)t＝ast，(ab)t＝atbt，其中s，t∈Q，a>0，b>0.
2.指数函数的图象与性质
y＝ax a>1 0
图象
定义域 (1)R
值域 (2)(0，＋∞)
性质 (3)过定点(0,1)
(4)当x>0时，y>1；
当x<0时，00时，0
当x<0时，y>1
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数
【知识拓展】
1.指数函数图象画法的三个关键点
画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，(－1，1a).
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大. 2
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)nan＝(na)n＝a.( × )
(2)分数指数幂mna可以理解为mn个a相乘.( × )
(3)24(1)＝12(1)＝－1.( × )
(4)函数y＝a－x是R上的增函数.( × )
(5)函数y＝21xa(a>1)的值域是(0，＋∞).( ×
)
(6)函数y＝2x－1是指数函数.( × )
1.(教材改编)若函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象经过点P(2，12)，则f(－1)＝________.
ruize
§2.5 等比数列的前n项和
第1课时 等比数列前n项和公式
学习目标 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题． ruize
知识点一 等比数列的前n项和公式
已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项
求和公式 Sn＝ a11－qn1－qq≠1，na1q＝1 Sn＝ a1－anq1－qq≠1，na1q＝1
知识点二 错位相减法
1．推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．
2．该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，也可以用这种方法．
思考 如果Sn＝a1＋a2q＋a3q2＋…＋anqn－1，其中{an}是公差为d的等差数列，q≠1.两边同乘以q，再两式相减会怎样？
★答案★ Sn＝a1＋a2q＋a3q2＋…＋anqn－1，①
qSn＝a1q＋a2q2＋…＋an－1qn－1＋anqn，②
①－②得，(1－q)Sn＝a1＋(a2－a1)q＋(a3－a2)q2＋…＋(an－an－1)qn－1－anqn
＝a1＋d(q＋q2＋…＋qn－1)－anqn.
同样能转化为等比数列求和．
知识点三 使用等比数列求和公式时注意事项
(1)一定不要忽略q＝1的情况； ruize
(2)知道首项a1、公比q和项数n，可以用Sn＝a11－qn1－q；知道首尾两项a1，an和q，可以用Sn＝a1－anq1－q；
(3)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个．
1．在等比数列{an}中，a1＝b，公比为q，则前3项和为b1－q31－q.( × )
2．求数列{n·2n}的前n项和可用错位相减法．( √ )
1 2.5 从力做的功到向量的数量积
问题导学
1．向量数量积的定义及几何意义
活动与探究1
已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°．
(1)求a·b；
(2)求a在b上的射影．
迁移与应用
(1)在题设不变的情况下，求b在a上的射影；
(2)把“a与b的夹角θ＝120°”换成“a∥b”，求a·b．
(1)数量积的符号同夹角的关系：
①若a·b＞0⇔θ为锐角或零角；
②若a·b＝0⇔θ＝π2或a与b至少有一个为0；
③若a·b＜0⇔θ为钝角或平角．
(2)求平面向量数量积的方法
①若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ．
②若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影，可利用数量积的几何意义求a·b．
2．平面向量数量积的运算
活动与探究2
已知|a|＝4，|b|＝5，且a与b的夹角为60°，求
①a·b；②(a＋b)2；③(a－b)2；
④a2－b2；⑤(2a＋3b)·(3a－2b)．
迁移与应用
1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为45°，则a·a＋a·b＝__________．
2．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)＝__________．
向量数量积的运算中要注意的问题：
(1)两向量的数量积是数量，不是向量，注意区分其运算性质与数乘向量、实数与实数乘积的差异．
(2)向量数量积与代数式运算三个相近公式．
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2；
(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2．
(3)向量数量积的表示中的“·”，既不能省略，也不能写成“×”．
3．求向量的模
活动与探究3
(1)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝( )．
A．0 B．22 C．4 D．8
(2)已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为π3，求|a＋b|，|a＋2b|．
《等比数列的前n项和》教案
一．教学目标
知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。
过程与方法目标：通过公式的推导过程，提高学生构造数列的意识及探究、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想。
情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。
二．重点难点
教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用；
教学难点：公式的推导方法及公式应用的条件。
三．教学方法 利用多媒体辅助教学，采用启发---探讨---建构教学相结合。
四．教具准备
教学课件，多媒体
五．教学过程
（一） 创设情境，提出问题
故事回放：在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：请给我在棋盘的64个方格上，第1个格子里放1千吨小麦，第2个格子里放2千吨，第3个格子里放3千吨 ，如此下去，第64个格子放64千吨小麦，请给我这些小麦？
（二）.师生互动，探究问题
问题1：同学们，你们知道西萨要的是多少小麦吗？引导学生写出小麦总数，带着这样的问题，学生会动手算起来，通过计算需要1+2+3+…+64=2080(千吨)
结果出来后，国王认为西萨胃口太大，而国库空虚，还是提个简单的要求吧！
西萨说：国王 ，我希望在第1个格子里放1颗麦粒，第2个格子里放2颗，第3个格子里放4颗 ，如此下去，每个格子放的麦粒数是前一格麦粒数的2倍,请给我这么多的麦粒数？
问题2：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数236312222，同时告诉学生一个抽象的答案，如果按西萨的要求，这是一个多么巨大的数字啊！它相当于全世界两千多年小麦产量的总和．
