函数与方程思想在中学数学中应用

1 函数思想在中学数学解题中的应用

数学科组 周晓兰

函数是中学数学中最为重要的内容。函数思想更是中学数学的一种基本思想，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点。

函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。

函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：

①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；

②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。

下面我就结合近几年全国各地高考题来具体谈谈函数在解题中的应用。

1 利用函数的单调性证明不等式

例1 （2010年高考数学辽宁卷﹒文）已知函数2()(1)ln1fxaxax.

（Ⅰ）讨论函数()fx的单调性；

（Ⅱ）设2a，证明：对任意12,(0,)xx，1212|()()|4||fxfxxx.

分析：（1）略；（2）当我们看到要证明的不等式时，有绝对值，就要利用第（1）问分析出的单调性却绝对值，转化后再引入辅助函数帮助证明。

解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+)，2121()2aaxafxaxxx.

当a≥0时，()fx＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；

当a≤－1时，()fx＜0, 故f(x)在(0,+)单调减少；

当－1＜a＜0时，令()fx＝0,解得x=12aa.

当x∈(0, 12aa)时, ()fx＞0；x∈(12aa，+)时，()fx＜0

故f(x)在（0, 12aa）单调增加，在（12aa，+）单调减少.

(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.

思路方法　分类例析函数与方程思想的应用　■周强　函数与方程思想是中学数学的重要数学思想，　贯穿了整个中学数学内容。关于此思想方法的试题　情境陌生，设问新颖灵活，解答时需要考生通过观　察、分析、归纳、概括，通过建立函数关系式或构造中　间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性　质，达到化难为易、化繁为简的目的。许多有关方程　的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题　也可以用方程的方法来解决。可以说两种思想交相　辉映且“无孔不入”，在不等式、三角、数列、解析几　何、立体几何等知识中都有所渗透，是高考命题者的　重要“耕耘地”，因而频频出现在各类考试卷中。现　采撷几道典型例题，分类剖析其特点和解法。　一、函数方程思想与不等式“综合”　Ｌ　例１　已知　＝１（ｎ、ｂ、ｃ∈Ｒ），比较ｂ　与　ＪⅡ　４ａｃ的大小关系。　解析：依题设知，ｎ・５—６・√５＋ｃ：０＇．．．４３是实　系数一元二次方程　＋　＋Ｃ：０的一个实根，　．・．△＝６　一４ｎｃｔ＞ｏ，．・．ｂ２≥４ｎｃ。　例２实数ｎ、ｂ、ｃ、ｄ满足：８＜　＝１，则　６，ｃ＜ｄ，（ａ一　口、６、ｃ、ｄ的大　，　－　｜　ｄ　１　０　一　＜ｄ＜６。　点评：以上两例均是函数与方程思想在不等式　中的具体应用，其中例１的切入点是由６　与４ａｃ联　想到一元二次方程，而例２的关键在于构造函数厂　（　）＝（　—ｃ）（　—ｄ），这类问题抽象程度高，关键是　合理的联想，若能构造出恰当的函数与方程，以此为　启动器，将有助于问题的顺利解决。　二、函数方程思想与三角“交汇”　例３在△ＡＢＣ中。若ｔａｎＡ与ｍｎＢ满足等式　ｔａｎＡ・ｔａｎＢ＝ｍｎＡ＋ｔａｎＢ＋３，则ｔａｎＣ的取值范围是　解析：设ｔａｎＡ・ｔａｎＢ＝ｍ，则锄Ａ＋ｔａｎＢ：ｍ一３，　即ｔａｎＡ与ｌａｎ曰是方程　２一（ｍ一３）　＋ｍ＝０的两　根。　①若ｔａｎＡ与ｔａｎ　都为正，　ｆ（ｍ一３）　一４ｍ≥Ｏ，．　．　｛ｍ一３＞０，　贝　ｍ≥９；　Ｌｍ＞０．　②若ｔａｎＡ与ｔａｎＢ一正～负，则ｍ＜０，　而ｔａｎＣ：一ｔａｎ（Ａ＋Ｂ）：卫　：１一　，则　Ｈ‘一ｌ　ｆｎ—　ｃ的取值范围是［｛，１）Ｕ（１，３）。　点评：本题综合性较强，通过三角函数，这个“媒　介”与函数方程知识有机地综合。再运用方程的实　根分布进行求解使得问题简化，另外构造方程是本　题求解的难点。　三、函数方程思想与数列“整合”　例４各项为实数的等差数列的公差为４，其首　项的平方与其余各项之和不超过１００，这样的数列　至多有——项。　解析：设ｏｌ，０２，…，％是公差为４的等差数列，　则　：０ｌ＋４（ｎ一１），由已知，看成。Ｉ为未知数的　不等式有解的话，则应有△：（ｎ一１）　—４（１ｎ２—２ｎ　一１００）≥０，则７　２—６ｎ一４０１≤０，所以　二　≤ｎ　≤　：　＜９，又因为　＞８，所以ｎ的最　大值为８，即满足题设条件的数列至多有８项。　点评：本题不仅考查了等差数列的有关公式，而　且考查了一元二次不等式，很有新意，符合“在知识　的交汇点处命题”的高考命题原则。另外，本题中把　数列与方程、不等式，三者联袂，使呆板、平淡的数学　题，充满活力和无穷的魅力。　四、函数方程思想与解几“创新”　例５已知过Ａ（Ｏ，１）和Ｂ（４，。）且与　轴相切　的圆只有一个，求ｎ的值及圆的方程。　解析：设所求圆的方程为　＋ｙＺ＋　＋研＋Ｆ　＝０。因为点Ａ、Ｂ在此圆上，所以　＋，十１＝０。①　４Ｄ＋　＋Ｆ＋口　＋１６＝０。②又知该圆与　轴（直　线Ｙ：０）相切，所以由△＝Ｏ　Ｄ２—４Ｆ＝０。③　由①、②、③消去Ｅ、Ｆ，可得÷（１一Ⅱ）Ｄ２＋４Ｄ　＋口２一ｎ＋１６＝０，④由题意方程④有唯一解，当０　＝１时，Ｄ＝一４，Ｅ＝一５，Ｆ＝４；当口≠１时，由△＝０　可解得口＝０，这时Ｄ：一８，Ｅ＝一１７，Ｆ：１６。　综上可知，所求ａ的值为０或１，当ａ＝０时圆　的方程为　＋　一８ｘ一１７ｙ＋１６＝０；当口＝１时，圆　的方程为　＋１，２—４ｘ一５ｒ＋４＝０。　点评：上例运用熟悉的直线和圆的位置关系来　进行构造方程，把陌生问题转化成熟悉的问题，或把　未知问题转化成已知问题——这是解决数学问题　时，最常用的思想方法。　五、函数方程思想与立几“接轨”　例６设ｏ、６、Ｃ分别是一个长方体的长、宽、高，　且ｏ＋６一ｃ＝１，已知该长方体的对角线长为１，且ｂ　＞ｎ，则高Ｃ的取值范围是——。　解析：依题意有ａ０＋ｂ　＋ｃ２＝１，即ｎ　＋ｂ２：１一　ｃ２，口＋ｂ：１＋ｃ，所以ａｂ：　上　ｌ二　：　：ｃ　＋ｃ，易知口，６是关于　的方　程　一（１一ｃ）　＋ｃ　＋ｃ＝０的两个不相等的正根，　所以，　Ⅱ另Ｕ式Ａ＝（１＋ｃ）　—４（ｃ　＋Ｃ）＞０，　可解得０＜ｃ＜÷。　点评：这是一道以立体几何熟知的内容为载体，深　入考查学生数学思维能力的上乘之作，把立几与方程　等基础知识，相互交汇和渗透，更是本题的闪光之处。　综上所述，运用函数与方程的思想解决问题“领　域”无处不在，这类问题蕴含的知识、方法和函数方程　思想，复杂多样，若能充分揭示其内涵，既可让学生更　广泛、深刻地掌握所学知识，又能激发学生求知的兴　趣，开阔视野，从而培养学生的创新思维和创新意识，　这对我们高考复习指导和改革应有一定的启示。　（作者单位：江苏省海安县曲塘中学）　向“　黠导　。　：　蟓而槭械　数　豫　、．：一函ｇ函二兰　图　一　啦　圳　ｄ是析～　，二、数单　、　

≈　触　々　≈≈≈琦＃０≈胎｜　☆目　■■■，　

浅谈函数思想在解数学题中的应用　

江西省南康市中英文学校曾丽梅　

函数思想是解决这些数学问题的最常用、最有利的工具。　

目前，有许多专家学者对函数思想进行过研究，并且取得了很多　的成果。本文精选一些实例，通过对例题的分析、探讨、梳理、归　

纳出函数思想在中学数学中的应用。　

一、函数思想在不等式中的应用　

函数思想与不等式有着内在的联系，不等式，（　）＞０或　）　

（０其实就是当取正值或取负值时，自变量　的范围。不等式的　

证明与函数的性质的剖析有着不可分割的联系。　

例　已知。，　尺，求证：　斟≤　Ｔ＋　．　

证明：从不等式的结构上看，易构造函数，（　）＝—　．　

易证　）在　＋上是增函数。　

・．‘Ｉ叶６　Ｉ≤Ｉ。ｌ＋Ｉ６　Ｉ，　

．・．　ｌ叶６『）　Ｉｏ　ｂ　１）．　

从而有　钳≤　打　

＝可　研＋可　≤　＋　，　

即　一≤　＋　丁．　

二、函数思想在立体几何中的应用　

在立体几何中，有许多问题都可以通过转化，进而利用函数　

思想加以求解，函数思想让立体几何代数化，使求解更加得心应　手。　例２正方体Ａ曰ｃＤ一４　Ｂ　Ｃ　Ｄ　棱长为１．求异面直线ＢＤ　

与曰．Ｃ的距离。　

解：设Ｐ在Ｂ　Ｃ上，ｐ在ＢＤ　

上．　

且ＰＢ　，曰Ｑ＝ｙ，则　＝　

又（　，　）：１３５。，（　，　

Ｂ－￣）＝９０。，　

（　，Ｂ－－－Ｑ￣）＝１２０。，　

则　：琢　。＋百　＋百　＋２丽　．百　＋２　．百矿＋２百　．　

＝ｘ２＋１　＋２ｘｃｏｓ１３５。＋２ｘｙｃｏｓｌ２０。＋２ｙｃｏｓ９０。　

２＋　＋　一、／　（ｙ一争　）２＋（　一　手）２＋｝・　

且　时，　有最／Ｊ、值为｝．　

所以Ｉ　ｌ的最小值，即ＢＤ与Ｂ１ｃ的距离为盟３　．　

・５２・潦墨外学司．教学研究　三、函数思想在实际生活中的应用　

随着新课标理念的推行，数学知识与实际生活联系更加紧　密。函数思想与实际问题的有机结合，使解题更加灵活。同时也　

能提高学生的解题能力和创新素质。　

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方程思想在初三数学解题中的应用

作者：闫丽婷

来源：《新课程·上旬》2015年第01期

初中数学知识中，方程和方程组是比较重要而且占比较大比重的知识，同时也是解决其他数学知识问题的工具。解决一元二次方程和函数知识，以及几何中的某些数形结合问题，也常常使用方程和方程组。

方程和方程组本身具有特殊的意义，方程是一个等式，它所表现出来的相等关系就是其他知识所不具备的优先特点，而方程组又具备一个公共性问题，即方程组的解是方程组中各个方程的公共解，使方程组中每个方程都成立。

在函数部分知识中，最常用的是待定系数法求函数解析式，也用来解决函数图象的交点问题。

在解数学题时，欲求的结论必须和已知的条件建立联系，才能求出结果，通过列方程（组）建立它们之间的关系，从而实现目标。如，已知下图，菱形ABCD的对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程x2-（2m-1）x+4（m-1）=0的两个根，又知菱形ABCD的周长为20，求m的值。

此题由一元二次方程根与系数关系，可知OA+OB=2m-1，OA×OB=4（m-1）。欲求m的值，必须找到OA、OB之间的联系。由菱形的性质可知AC⊥BD，且AB=5，由勾股定理，OA2+OB2=AB2，即（OA+OB）2-2OA×OB=25，即（2m-1）2-2×4（m-1）=25，解得m=4或m=-1，而m=-1时，OA×OB=-8，不合题意，应舍去，∴m=4。显然，是勾股定理建立了它们之间的联系，通过方程实现了求m的值的目的。

由此可见，方程和方程组在初中数学中的地位的确很重要，不仅如此，初中部分的行程、工程等实际应用也离不开方程和方程组。所以，方程和方程组的解法应该是学生必须掌握的知识，理解这个思想，并能迅速灵活地解方程或方程组，是解决这类问题的基础。

编辑 谢尾合