函数与方程思想在数学解题中的应用

ＧＵＡＮＧ　０ＯＮＧ　Ｊ｜Ａ０　Ｙｕ　ＧＡＯ　ｚＨｏＮＧ　

函数与方程思想在数学解题中的应用　

●袁海军　

函数与方程的思想是中学数学的基本思想。是高中数学的　

一条主线。也是历年高考的重点．函数与方程是两个不同的概　念，但它们之间有着密切的联系．函数思想使常量数学进入了　

变量数学．即用函数的观点去分析和研究数学问题中的数量关　系。建立函数关系式或构造函数，运用函数的图像和性质去解　

决问题；方程思想就是分析数学中变量间的等量关系．建立方　

程或方程组，运用方程的性质去解决问题．对于函数ｙ＝ｆ（ｘ），可　转化到二元一次方程ｙ－ｆ（ｘ）－－Ｏ．如解方程　ｘ）－－ｏ￣求函数ｙ＝ｆ（ｘ）　

的零点．因此．许多有关方程的问题可以用函数的方法去解决；　反之，许多有关函数的问题也可用方程的方法去解决．　

函数与方程思想在解题中应用广泛：如函数与方程两者　

之间的相互转化，在集合、导数与不等式中，在数列、三角　函数与平面向量中，在解析几何、立体几何中都可以充分体　

现，本文就它在数学解题中的应用举例分析，供同学们参考　

一、函数与方程两者之间的相互转化　１１若方程２ａ・９　４。・３　＋。－８＝０有解．则ｎ的取值范围　

是　

圃令￡＝３一，则　∈［了１，３］，方程可转化为：２ａｔ２＋４ｏｔ＋ｎ一　

８＝０……①　（方法一）记　）＝２　＋４ａｔ＋ａ一８，则原问题转化为，（　）＝０　

在［丁１，３］内有解（即有一解或两解），留意到　）的对称轴　

≠＝一１隹［　１，３］，　

．。．，（　＝０在［　１，３］内不可能有两根，　

．’Ａｔ）＝０在［｝，３］６－一根只须　｝）　３）≤０，　

等＋等＋ａ－８）。（１８ａ＋１２ａ＋ａ－８）＜￣０，　

．‘．、９２３ａ＿８）‘（３１ａ－８）￣＜０，．‘　≤。≤罟．　

（方法二）由①转化为　＝　．　

・．　１，３　２（川）　＿ｌ∈［孕，３１］，　

．‘脏［　，罟］．　’　

匾本题先通过换元转化到熟悉的一元二次方程，接下　

来再转化到二次函数的零点问题，并结合二次函数图像性质，　再采用两种方法计算出答案．前者方程思想．后者函数思想．　明显看出利用分离常数求函数值域更为简单，这更加体现函　

数思想在解题中的实效性．　

二、函数与方程思想在集合中的应用　ｌ例２ｌ设Ａ＝｛　Ｉ　ｘ％４ｘ－．￣｝，　ｌ　－２（叶１）　＋０２＿ｌ＝｜Ｄ｝，若ＢＣＡ，　求实数ａ的取值范围．　

１解析ｌ由Ａ＝｛　Ｉ　Ｘ２＋４ｘ＝Ｏ｝＝｛　１　ｘ＝Ｏ或　＝～４｝＝｛０，一４｝．　

‘．‘Ｂ　Ａ，．　．Ｂ＝Ｏ或曰＝｛０｝或Ｂ＝｛一４｝或Ｂ＝｛０，－４｝．　当Ｂ＝０时，即　２＋２（叶１）　＋　一１＝０无实根，由△＜０，　

即４（ａ＋１）　一４（　一１）＜０，解得　一１；　当　＝ｔ０｝时，由根与系数的关系：０＋０－－一２（ａ＋１），０ｘ０＝ａ￣一１　

＝　（　＝一１：　当　｛　｝时，由根与系数的关系：　－＇４＝－２（叶１），（　）×（＿４）＝　

１ｊ口∈　：　当日＝｛Ｏ，－－４｝时，由根与系数的关系：０—４—２（ａ＋１），０ｘ（一４）　

＝ａ２一ｌ￣ａ＝ｌ；　综上所得ａ＝ｌ或口≤一１．　Ｉ点评１对于稍复杂的某些集合题目．一定要全面考虑并仔　细审题，防止解的取值扩大或缩小．本题考查了方程思想、分　

类讨论思想．首先要确定对集合Ｂ多种情况的讨论．千万不能　遗忘Ｂ＝Ｏ这一特殊情形：再分别利用方程求根公式及韦达定　

理求解，最后答案必须进行检验．否则解的取值可能扩大．　

三、函数与方程思想在不等式中的应用　ｆ例３Ｉ已知二次函数．厂（　）＝∞ｚ＋ｂｘ＋ｃ．　

（１）若ａ＞ｂ＞ｃ，且　１）：０，证明，（　）的图像与　轴有２个交点；　

（２）在（１）的条件下，是否存在ｍ暮Ｒ，使当，（ｍ）＝－ａ成立时　（，肿３）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由；　

（３）若　。，　∈Ｒ，且ｘｌ＜ｘ：　。）　２），方程　）＝　［厂【　）　：）］　厶　有２个不等实根属于（　）．　

ｊ解析ｊ（１）‘．‘　１）＝叶６＋ｃ＝０且ａ＞ｂ＞ｃ，．　．ａ＞０且ｃ＜Ｏ，．‘．△：６　一　４ａｃ＞０，．‘－厂（　）的图像与　轴有两个交点．　（２）’．‘　１）＝０　．１为＿厂（　）＝Ｏ的一个根，由韦达定理知另一　

又。６＞ｃ，ｂ＝－ａ－ｃ￣ｆ　。‘ｊ一２＜　＜ｏ，　

ｌａ＞－ａ－ｃ　Ⅱ　

．，ｎ＋３＞—生一＋３＞一２＋３＝１．　

）在（１，＋。。）单调递增，．‘　ｍ＋３）　１）＝０　

广东教育・高中２０１４年第２期　

２５　数学有数　

即存在这样的ｍ使厂（ｍ＋３）＞０．　

（３）令ｇ（　）　）一　。）七　：）］，则ｇ（　）是二次函数．　

・．・ｇ（　。）．ｇ（　）：　（　。）一　］Ｗ（ｘ２）一　］　

＝一—　【　）＿＝　）］　＜－０，又‘．　）≠　：），ｇ（　）－ｇ（　ｚ）＜０，．‘　（　）　

＝Ｏ的根必有一个属于（　。，　：）．　１点评Ｉ本题是典型的函数、方程、不等式交汇的综合题．考　查考生的读题，审题，计算，推理，阅读理解的数学能力．此　

题虽然解题思路较为清晰，但涉及到的变量较多，难度偏大；　侧重考查考生能够充分利用二次函数与一元二次方程相互转　

化，观察二次函数图像性质，函数零点存在定理，同时考查　不等式基本性质的灵活应用和数形结合思想．　

四、函数与方程思想在函数与导数中的应用　圃　已知函数，（　）　＋６的图像与函数ｇ（　）　＋３ｘ＋２的图　

像相切，记Ｆ（　）　）ｇ（　）．　

（Ｉ）求实数ｂ的值及函数Ｆ（　）的极值；　（ＩＩ）若关于　的方程Ｆ（　）　恰有三个不等的实数根，求实　

数ｋ的取值范围．　Ｉ解析ｆ（１）依题意得，方法一：令．厂（　）ｊ　（　），得Ｉ＝２ｘ＋３，　故　＝一１．　

．・．函数ｆ（ｘ）的图像与函数ｇ（ｘ）的图像的切点为（一１，０），　

将切点坐标代人函数厂（　）　＋６可得ｂ＝１．　方法二：依题意得方程，（　）－ｇ（　），即　＋　＋２一ｂ＝Ｏ有唯　

一实数解，故Ａ＝２２－４（２一ｂ）＝０，即ｂ＝ｌ，　

．’．Ｆ（　）＝（　＋１）（　＋３　＋２）＝ｉ　＋４　＋５ｘ＋２，故　（ｘ）＝３ｘ。＋８　＋５＝　

３（　＋１）（　５），令　（　）：ｏ，解得　一１，或　一｝　

．・．当　变化时，Ｆｔ（　），　）的变化如下表：　

（一。。，一｝）　５　（一｝，一１）　一ｌ　（一１，＋　）　ｊ　

（　）　＋　０　０　＋　

Ｆ（　）　递增　极大值　递减　极小值０　递增　

从上表可知Ｆ（　）在　＝一｝处取得极大值务，在　一１处　

取得极小值０．　（Ｕ）由（Ｉ）可知函数ｙ＝Ｆ（　）大致图像如下图所示．作　函数ｙ＝ｋ的图像。当　

ｙ＝Ｆ（ｘ）的图像与函数　

ｙ＝ｋ的图像有三个交　

点时．关于　的方　程Ｆ（　）　恰有三个　

不等的实数根．　，　／　：Ｆｔ＊　４　／、～～，　ｙ＝ｋ　２７　，　５　—１　ｏ　／　３　

结合图形可知：｜ｊ｝ｅ（ｏ，寺）．　

匾本题综合了函数、导数，单调性、极值、方程的解　

２６　广客教育・高中２饥４年第２期　等知识．此题发现”ｉ（ｘ）＝　＋６是　（　）　＋３ｘ＋２的切线”是解题　

的关键．后利用导数的几何意义求出ｂ，再由导数与单调性，　极值的关系作出函数ｙ＝Ｆ（ｘ）与ｙ＝ｋ的图像．将方程的根转化　到两个函数图像的交点个数。利用数形结合的思想求解．　

五、函数与方程思想在三角函数中的应用　ｌ侈ｌＪ　５ｆ已知函数　ｘ）＝ｘＺ－（ｍ＋１）￣＋ｍ（１ｉｔ∈Ｒ），　

（１）若ｔａｎＡ，ｔａｎＢ是方程ｆ（ｘ）＋４－－０的两个实根，Ａ、曰是锐　

角三角形ＡＢＣ的两个内角，求证：ｍ≥５；　（２）对任意实数　，恒有厂（２＋ｃｏｓａ）≤０，证明ｍ≥３；　

（３）在（２）的条件下，若函数．厂（ｓｉｎｔ￣）的最大值为８，求　

ｔｉｔ的值．　

Ｉ解析ｆ（１）证明：．厂（　）＋４＝０，即ｘＺ－（ｍ＋１）ｘ＋ｍ＋４＝Ｏ．　

△＝（ｍ＋１）　一４（ｍ＋４）Ｉ＞０，　ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＝ｍ＋ｌ＞０，　依题意有｛ｔａｎＡ．ｔａ０．／７：ｍ＋４＞０．　

ｔａｎＣ＝－ｔａｎ（Ａ＋Ｂ）一（　ｔ．ｍａｎＡＭ＋ｔｔａａｎ　Ｂ）＝　＞０，　

｛ｍＺ－２ｍ一１５＞１０，　得｛ｍ＞一１，　．‘肌≥５，得证！　【ｍ＜一３或ｍ＞一１．　

（２）’．　）　乙（ｍ＋１）　＋　（　一１）（　—ｍ），又２＋ｃｏｓａ［１，３］，　

．‘．１≤　≤３时．ｆ（ｘ）≤０．　

而ｆ（ｘ）≤０　＝＞（　一１）（　）≤０，　

．‘．１≤　≤ｍ或ｍ≤　≤１（舍去）．　

故有［１，３］　［１，ｍ］，　

．　肌≥３。得证！　

（３）・．ｆ（ｓｉｎａ）　２ａ－（ｒｅ＋１）ｓｉｎ　（ｓｉｎ　）　，　

・．’　≥２，ｓｉｎｓ∈［一１，１］，　‘　

．　．当ｓｉｎｏｔ＝一１时．ｆ￣（ｓｉｎｏ０＝２ｍ＋２＝８．　

．・．ｍ＝３为所求．　ｆ点评ｆ本题将函数、方程、三角、不等式知识交汇考查，　

涉及到简单的三角公式（两角和、内角和），三角函数图像性　质（有界性）．第（１）小题中Ａ≥０与ｔａｎ（Ａ＋曰）＜０易遗漏；　

充分体现了方程、函数、三角与不等式之间的相互联系与转化．　六、函数与方程思想在数列中的应用　１例６１某厂２０１２年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相　

同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元　月的利润相等，随着投入资金的逐月增加。且每月增加投入的　

百分率相同，到１２月投入建设资金又．恰好与１２月的生产利润　

相同，问全：年总利润Ｍ与全：年总投入Ⅳ的大小关系是（　）　

Ａ．Ｍ＞Ｎ　Ｂ．Ｍ（Ｎ　Ｃ．Ｍ＝Ｎ　Ｄ，无法确定　匾　设第ｎ个月的利润　

与投人资金分别为ａｎ…ｂ则　

％＝。。＋（ｎ一１）ｄ是关于ｎ的一次　

函数，６　：ｏ・

ｑ　是关于ｎ的指　数函数复合形，易知ａｌ＝６。，ａｌ２－￣ｂ　作出示意图如下：显然有儡＞　

ｂｉ）ｉ＝２，３，４，…，Ｉ１故有Ｍ＞Ｎ，选答案Ａ　Ｊ例７Ｉ设｛　｝为等差数列，　为数列｛嘞｝的前　项，已知　＝　

７，Ｓｘｓ＝７５，　为数列｛　｝的前ｎ项，求：（１）　的通项；（２）　的　

最值．　

圃（１）设等差数列｛　｝的公差为ｄ，则Ｓ．－ｒ￣ａｌ＋　ｄ　ｎ（ｎ—　

１）＝孚ｎ２＋（。。一孚）ｎ，ｎ∈Ｎ　．　

又’．‘｜ｓ７＝７，＆５＝７５，　

．』７ａｌ＋２１ｄ＝７，　』Ⅱ　＋３ｄ＝１，　一【１５ａ１＋１０５ｄ＝７５，即【ａｌ＋７ｄ＝５．　

解得：０ｌ一２，ｄ＝１．　

．・．　－－ａｌ＋　（ｎ一１）ｄ一２＋　（ｎ一１）．　

．．　＋Ｊ＿一　：　ｎ＋ｌ　ｎ　２’　

即数列｛　｝是等差数列，其首项为一２，ｚ　ｖ　１．　

．・．　｝ｎ２＿　９　ｍ　

（２）‘．‘　｝ｎ２一　９　ｎ＝　１（ｎ２－９ｎ）＝　（ｎ一争）ｚ一　，　

・．’ｎ∈Ｎ　，当．・．ｎ＝４或５时，　取最小值为　＝一５．　１点评ｌ数列的通项公式及前ｎ项和公式实质上是定义在自　

然数集上的函数，等差、等比是一种特殊的一次函数、指数　

函数．因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列ｆ．－Ｉ　题．也可以利用方程的思想，设出未知的量，建立等式关系即　

方程，将问题进行算式化．由次可见，利用函数与方程的思想　

来解决数列问题，思路既清晰、又简单明了．　七、函数与方程思想在平面向量中的应用　

阿　如图所示，：￣￣ＡＡＢＣ中，点　是Ａ曰的中点，且　＝　

，删与ｃ肘相交于点　，设　三，　：　，试用基底　，　表　

示向量　．　

避易得　＝争　＝｝　

＝｝　，　：　：≥三，　

由Ｎ，Ｅ，Ｂ三点共线知，存在实　

数Ａ．满足　＋　＝ｇ’－　ｂ＋