高中数学 第三章 推理与证明 数学证明名师点拨课件 北师大版选修1-2

1 高中数学 第三章 推理与证明 3.2 数学证明同步测控 北师大版选修1-2

我夯基 我达标

1.下面几种推理过程是演绎推理的是( )

A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°

B.由平面三角形的性质,推测空间四面体性质

C.某校高三共有10个班,一班有51人,二班有53人,三班有52人,由此推测各班都超过50人

D.在数列{an}中,a1=1,an=21(an-1+11na)(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式

解析:演绎推理的一般形式是三段论.A符合三段论形式,B、C、D都是猜测不符合三段论,故选A.

答案:A

2.下列说法中正确的有( )

①演绎推理是由一般到特殊的推理

②演绎推理得到的结论一定是正确的

③演绎推理一般模式是“三段论”形式

④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

解析:演绎推理在大前提和小前提都正确的情况下结论正确.(2)不对;(4)对;(1)(3)对.

答案:C

3.“因对数函数y=logax是增函数(大前提），而y=31logx是对数函数(小前提），所以y=31logx是增函数（结论）.”上面推理的错误是( )

A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错

C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提都错导致结论错

解析:对数函数y=logax不一定是增函数,

当a>1时,y=logax是增函数;

当0

答案:A

4.推理:“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形.”中的小前提是„( )

A.① B.② C.③ D.①和②

1 1.2 类比推理

自主整理

1.两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为___________.

2.类比推理是两类事物___________之间的推理.

3.利用类比推理得出的结论___________（填“一定”或“不一定”）正确.

4.根据解决问题的需要，可对___________、___________、___________进行类比.

5.___________和___________是最常见的___________，___________是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论（定义、公理、定理等），推测出某些结果的推理公式.

高手笔记

1.类比推理是数学命题来源的另一条途径，也是知识推广的思维过程.学习立体几何常常要类比平面几何，发现和得到一些立体几何的结论.

2.归纳推理与类比推理都是合情推理.归纳推理是从特殊过渡到一般的思想方法，类比推理是由此及彼和由彼及此的联想方法，归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想，许多数学知识都是通过归纳与类比发掘出来.的学习数学时要注意培养自己的观察能力、分析能力、联想能力和创新能力.

3.合情推理只是一种猜测，结论不一定正确.

名师解惑

合情推理的结果不一定正确，但合情推理是科学发现和创造的基础，你如何看待这一问题？

剖析:数学真理知识的发现、发掘和推陈出新是在前面知识的基础上，通过对特殊实例的观察、分析、归纳、抽象概括和运用探索性推理得到，合情推理通常是靠猜想与联想等心智活动串联起来.这种心智活动形式能导致人们作出新的判断和预见，能帮助发现数学真理，包括发现新的数学关系结论、新的数学方法及数学命题等等，但它毕竟是一种非逻辑的思维形式，属于“发散思维”范畴，当然并不能用以精确地建立数学命题和理论，最后要证明命题或定理，还需运用严格的逻辑分析与演绎推理，即“收敛思维”.

1 §2 数学证明

自主整理

1.合情推理的结论有时不正确,对于数学命题,需要通过___________严格证明.

2.___________是最常见的一种演绎推理形式.

第一段讲的是一般性道理,称为___________;第二段讲的是研究对象的特殊情况,称为_____________;第三段是由大前提和小前提作出的判断,称为_____________.

高手笔记

1.三段论是演绎推理的一般模式,可表示为:

大前提:M是P,

小前提:S是M,

结论:S是P.

2.在应用三段论证明的过程中,因为作为一般性道理的大前提被人们熟知了,所以书写时往往省略大前提.

3.合情推理是认识世界、发现问题的基础.结论不一定正确.演绎推理是证明命题、建立理论体系的基础,二者相辅相成,在数学中证明一个命题,就是根据命题的条件和已知的定义、公理、定理,利用演绎推理的法则将命题推导出来,只要在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论就正确.

名师解惑

三段论推理

剖析:三段论法的论断基础是这样一个公理：“凡肯定(或否定)了某一类对象的全部,也就肯定(或否定)了这一类对象的各部分或个体.”简言之:“全体概括个体.”

三段论中大前提是一个一般性结论,都具有的结论是共性,小前提是指其中的一个,结论为这一个也具有大前提中的结论,要得到一个正确的结论,大前提和小前提都必须正确,二者中一个有错误,结论就不正确,如所有的动物都用肺呼吸,鱼是动物,所以鱼用肺呼吸,此推理显然错误,错误的原因是大前提错了.再如所有的能被2整除的数是偶数.合数是偶数所以合数能被2整除.错误的原因是小前提错了.

讲练互动

【例1】梯形的两腰和一底如果相等,它的对角线必平分另一底上的两个角.

已知在如图所示的梯形ABCD中,AD∥BC,AD=DC=AD,AC和BD是它的对角线.

求证:AC平分∠BCD,BD平分∠CBA.

分析：本题可由三段论逐步推理论证.

1 1.2 类比推理

自主整理

1.两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为___________.

2.类比推理是两类事物___________之间的推理.

3.利用类比推理得出的结论___________（填“一定”或“不一定”）正确.

4.根据解决问题的需要，可对___________、___________、___________进行类比.

5.___________和___________是最常见的___________，___________是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论（定义、公理、定理等），推测出某些结果的推理公式.

高手笔记

1.类比推理是数学命题来源的另一条途径，也是知识推广的思维过程.学习立体几何常常要类比平面几何，发现和得到一些立体几何的结论.

2.归纳推理与类比推理都是合情推理.归纳推理是从特殊过渡到一般的思想方法，类比推理是由此及彼和由彼及此的联想方法，归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想，许多数学知识都是通过归纳与类比发掘出来.的学习数学时要注意培养自己的观察能力、分析能力、联想能力和创新能力.

3.合情推理只是一种猜测，结论不一定正确.

名师解惑

合情推理的结果不一定正确，但合情推理是科学发现和创造的基础，你如何看待这一问题？

剖析:数学真理知识的发现、发掘和推陈出新是在前面知识的基础上，通过对特殊实例的观察、分析、归纳、抽象概括和运用探索性推理得到，合情推理通常是靠猜想与联想等心智活动串联起来.这种心智活动形式能导致人们作出新的判断和预见，能帮助发现数学真理，包括发现新的数学关系结论、新的数学方法及数学命题等等，但它毕竟是一种非逻辑的思维形式，属于“发散思维”范畴，当然并不能用以精确地建立数学命题和理论，最后要证明命题或定理，还需运用严格的逻辑分析与演绎推理，即“收敛思维”.