高中数学 第三章 推理与证明 数学证明典例导航课件 北师大版选修1-2(1)

第 1 页 §2 数学证明

一、教学目标

1．知识与技能：(1)了解演绎推理 的含义；

(2)能正确地运用演绎推理 进行简单的推理；

(3)了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

2．方法与过程：认识演绎推理的主要形式为三段论,认识三段论推理一般模式,包括三步(1)大前提,(2)小前提,(3)结论.再从实际应用中认识数学中的证明,主要通过演绎推理来进行的.从实例中认识它的重要作用和具体做法。3、情感态度与价值观：通过本节的学习,使学生认识到演绎推理在数学中的重要性,我们既需要用合情推理来发现结论,也要用演绎推理来证明结论的对否。

二、教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.

教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别, 分析证明过程中包含的“三段论”形式,三段论的证明原理

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）复习准备：

1. 练习： （1） 对于任意正整数n，猜想（2n-1）与(n+1)2的大小关系？

（2）在平面内，若,acbc，则//ab. 类比到空间，你会得到什么结论？

（结论：在空间中，若,acbc，则//ab；或在空间中，若,,//则）

2. 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？

合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确的推理形式呢？

3. 导入：

所有的金属都能导电 铜是金属 铜能导电

在一个标准大气压下，水的沸点是100C 在一个标准大气压下，把水加热到100C 水会沸腾

三角函数是周期函数 tanα是三角函数 tanα是周期函数

第 2 页 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行 冥王星是太阳系的大行星 冥王星是以椭圆形轨道绕太阳运行

一切奇数都不能被2整除 10021是奇数 10021不能被2整除

（讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？→课题：演绎推理）

1 3.2 分析法

自主整理

从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的______________,直到归结为这个命题的______________或归结为______________、______________、______________等,我们把这种思维方法称为______________.

高手笔记

1.分析法的思考过程为“执果索因”的顺序，是从求证的结论出发，步步探索结论成立的条件.

2.对于命题“若P则Q”的分析法证明可用框图表示为

名师解惑

分析法的解释

剖析:分析法是从要证的结论入手,分析结论成立的一个充分条件,步骤书写较为繁杂,但入手点较低,易找出问题的突破口.

用分析法思考数学问题的顺序可理解为(对于命题“若A则D”）

分析法的思考顺序是执果索因的顺序,是从D上溯寻其论据,如C,C1,C2等,再寻求C,C1,C2的论据,如B,B1,B2,B3,B4等等,继而寻求B,B1,B2,B3,B4的论据,如果其中之一B的论据恰好为已知条件,于是命题得证.

在分析法中,就应当用假设的语气,习惯上常用这样一类语句:假如要A成立,就必须先有B成立;如果要有B成立,又只需有C成立„„从结论一直推到已知条件.当我们应用分析法时,所有各个中间的辅助命题,仅仅考虑到它们都是同所要证明的命题是等效的,而并不是确信它们都是真实的,直至达到最后已知条件或明显成立的事实后,我们才确信它是真实的,从而可以推知前面所有与之等效的命题也都是真实的,于是命题就被证明了.

讲练互动

【例1】求证:3+22<2+7.

分析：可以采用分析法,逐步化简转化求使得结论成立的充分条件.

证法一：为了证明3+22<2+7,

∵3+22>0,2+7>0,

∴只需证明(3+22)2<(2+7)2,

展开,得11+46<11+47,

只需证46<47,只需证6<7.显然6<7成立. 2 ∴3+22<7成立.

1 高中数学 第三章 推理与证明 3.2 数学证明同步测控 北师大版选修1-2

我夯基 我达标

1.下面几种推理过程是演绎推理的是( )

A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°

B.由平面三角形的性质,推测空间四面体性质

C.某校高三共有10个班,一班有51人,二班有53人,三班有52人,由此推测各班都超过50人

D.在数列{an}中,a1=1,an=21(an-1+11na)(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式

解析:演绎推理的一般形式是三段论.A符合三段论形式,B、C、D都是猜测不符合三段论,故选A.

答案:A

2.下列说法中正确的有( )

①演绎推理是由一般到特殊的推理

②演绎推理得到的结论一定是正确的

③演绎推理一般模式是“三段论”形式

④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

解析:演绎推理在大前提和小前提都正确的情况下结论正确.(2)不对;(4)对;(1)(3)对.

答案:C

3.“因对数函数y=logax是增函数(大前提），而y=31logx是对数函数(小前提），所以y=31logx是增函数（结论）.”上面推理的错误是( )

A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错

C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提都错导致结论错

解析:对数函数y=logax不一定是增函数,

当a>1时,y=logax是增函数;

当0

答案:A

4.推理:“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形.”中的小前提是„( )

A.① B.② C.③ D.①和②

1 1.2 类比推理

自主整理

1.两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为___________.

2.类比推理是两类事物___________之间的推理.

3.利用类比推理得出的结论___________（填“一定”或“不一定”）正确.

4.根据解决问题的需要，可对___________、___________、___________进行类比.

5.___________和___________是最常见的___________，___________是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论（定义、公理、定理等），推测出某些结果的推理公式.

高手笔记

1.类比推理是数学命题来源的另一条途径，也是知识推广的思维过程.学习立体几何常常要类比平面几何，发现和得到一些立体几何的结论.

2.归纳推理与类比推理都是合情推理.归纳推理是从特殊过渡到一般的思想方法，类比推理是由此及彼和由彼及此的联想方法，归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想，许多数学知识都是通过归纳与类比发掘出来.的学习数学时要注意培养自己的观察能力、分析能力、联想能力和创新能力.

3.合情推理只是一种猜测，结论不一定正确.

名师解惑

合情推理的结果不一定正确，但合情推理是科学发现和创造的基础，你如何看待这一问题？

剖析:数学真理知识的发现、发掘和推陈出新是在前面知识的基础上，通过对特殊实例的观察、分析、归纳、抽象概括和运用探索性推理得到，合情推理通常是靠猜想与联想等心智活动串联起来.这种心智活动形式能导致人们作出新的判断和预见，能帮助发现数学真理，包括发现新的数学关系结论、新的数学方法及数学命题等等，但它毕竟是一种非逻辑的思维形式，属于“发散思维”范畴，当然并不能用以精确地建立数学命题和理论，最后要证明命题或定理，还需运用严格的逻辑分析与演绎推理，即“收敛思维”.