2019北师大版高一数学必修四单元及期末测试题及答案(4套)01

高中数学必修四期末复习测试卷(考试时间：100分钟 满分：150分)一、选择题1.下列命题正确的是 A.第一象限角是锐角 B. C.终边相同的角一定相等D.12.函数y 2sin( —x -)的周期，振幅，初相分别是2 4(2) 若a , b 都是单位向量，则a =b .uuu uuu(3) 向量AB 与向量BA 相等.uuu uuu(4) 若非零向量 AB 与CD 是共线向量，则 A , B , C ,以上命题中，正确命题序号是A. (1)B. (2)C. (1 )和(3)D. ( 1)和(4) 6.如果点P(sin2 , cos2 )位于第三象限，那么角 所在象限是A. 矩形B. 菱形C. 正方形D.直角梯形8.若 是第一 象限角，则sincos 的值与1的大小关系是A. sin cos 1B. sin cos1C. sin cos 1D.不能确定9.在厶ABC 中，若sinC 2cos As inB ,则此三角形必是 钝角是第二象限角不相等的角，它们终边必不相同A., 2 , —B.4 ,2,C.4 4443.如果cos(A )2，那么sin (―2 A)111 A.-B.C.2222，- D.D. 既是奇函数又是偶函数D 四点共线.A.第一象限B.第二象限C. 第三象限D. 第四象限uuu uuu uuu 7.在四边形ABCD 中，如果ABgDD 0 , AB uuuDC ，那么四边形ABCD 的形状是A.等腰三角形B.正三角形C. 直角三角形D.等腰直角三角形4. 函数 y sinC 20052004 x)是2A.奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数5. 给出命题(1)零向量的长度为零，方向是任意的.D.10(2)求满足条件sin( x) sin( x) 2cos10.如图，在△ ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于14. 给出命题:以上命题中，正确的命题序号是 三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）已知 sin2 -,[5，-]. 54 2(1 )求cos2 及cos 的值;点G , 则下列各等式中不正确的是uuur 2 uuu uuur CG uiurA. BG -BEB. 2GF3uu 1 uuur1 uuu2 uuu 1 uu C. DG — AG D. -DA — FCBC23 3 211.设扇形的周长为28cm ，面积为4cm ，则扇形的圆心角的弧度数是12.已知 tan 2，tan(则tan13.已知 a （3，1）， b (sin cos)，且 a // b ，则如 2cos5cos3sin(1) 在平行四边形 ABCD 中, uu uAB uu ur ADuurAC . (2) 在厶ABC 中, uuu uuur若 ABgAC ABC 是钝角三角形.(3) 在空间四边形ABCD 中，E,F 分别是BC,DA 的中点，则uuuFE 1 uu u (AB 2uuur DC). 、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）D C16. (本小题满分13分)已知函数f(x) sin x3cos- , x R.2 2(1) 求函数f(x)的最小正周期，并求函数f (x)在x [ 2 ,2 ]上的单调递增区间；(2) 函数f (x) sinx(x R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数f(x)的图象•17. (本小题满分13分)已知电流I与时间t的关系式为I Asin( t ).(1)下图是I Asin( t ) ( 0,求I Asin( t )的解析式；1(2)如果t在任意一段—秒的时间内，电流150I Asin( t )都能取得最大值和最小值,那么的最小正整数值是多少？-)在一个周期内的图象，根据图中数据2 -------------------------------------------1018. (本小题满分13分)uuu uuu uuur已知向量OA (3, 4) , OB (6, 3) , OC (5 m, 3 m).(1)若点A, B, C能够成三角形，求实数m应满足的条件；(2)若厶ABC为直角三角形，且A为直角，求实数m的值.19. (本小题满分13分)uuu uuu uuuu设平面内的向量OA (1,7)，OB (5,1)，OM (2,1)，点P是直线OM上的一个uur uuu uuiu动点，且PAgPB 8，求OP的坐标及APB的余弦值•20. (本小题满分13分)r , 3x . 3x r , x .X、已知向量a (cos ,sin )，b (cos-, sin )，且x [,].2 2 2 2 2r r r r(1 )求agD 及a b ；r r r r(2)求函数f(x) agD a b的最大值，并求使函数取得最大值时x的值.2高中数学必修（4）试卷参考答案及评分标准三、解答题515.解：（1）因为一4、选择题、填空题 （1）（ 2）（ 3）14.11.212. -1313.因此cos2sin 2 24分)由 cos22cos 21，得 cos10 10 8 分)(2)因为 sin( x)sin(x) 2cos1010 ，所以 2cos (1 sin x)卫，所以sin x10 211 分)因为x 为锐角，所以x 16. 解: y sin°、3cos-2（1）最小正周期2 2_ T 262吨 3).13 分)3分)3，函数ysinz单调递增区间是［?2k,2 2k](k Z).2k 2 53 4k0，得 所以, 函数y4k ,k Z .5分)5 3.x sin 3，而[3cos2， x ［ 2 ,2 ］得单调递增区间是5T,3]8分)，所以 2分)2uuu uuuA, B,C 能构成三角形，则这三点不共线，即 AB 与BC 不共线.(2)把函数y si nx 图象向左平移 一，得到函数y sin (x -)的图象，•••( 10分)3 3再把函数y sin(x-)的图象上每个点的横坐标变为原来的 2倍，纵坐标不3 x 变，得到函数y sin( )的图象， ............................ 2 3 然后再把每个点的纵坐标变为原来的 2倍，横坐标不变，即可得到函数 11 分)xy 2sin(2 3)的图象.(13 分) 17.解：(1)由图可知 A 300, 则周期T 2(t 21 1 设t 1 ——,t 2——,900 180 2(」 -)—,180 90075(2) 18.解：(1) 2分) 4分) Tt 1时,9001506分)0，即卩sin[150故所求的解析式为 依题意，周期TI 300si n(150 丄，即-150300 942,又uuu已知向量O A (3, 4)，150 900)N ，故最小正整数uuu umrOB (6, 3)，OC]0，sin( 6)0)，943.(5 m, 3 m)， 0.(8 分)(10 分)(13 分)uuu AB (3,1)，uur AC (2m,1 m)，故知3(1 m)1•••实数m - 2时，满足条件. 8 分)(若根据点A, B,C 能构成三角形，必须任意两边长的和大于第三边的长,uuu 即由AB) uuu uur(2)若厶ABC为直角三角形，且 A 为直角，则AB AC ，(10 分)若点 (4分)••• 3(2 m) (1m)0 ,•••x [2,]，cosx 0.解得m 7.4uuu19.解：设 OP (x, y)•••点P 在直线OM 上，uuu uuuu uuuu • OP 与 OM 共线，而 OM (2,1),丄 2(cos 3x cos x sin 3x sin x )V222 2422cos2 x 2 cosxuuu uuu •/ PA OA uuu OP (1 2y,7 uuu y), PB uur uuu OB OP (5 2y,1 y) , ••… • (4分)uuu uuu• PAgPB (1 2y)(52y) (7 y)(1 y),uuu uuu即 PAgPB 5y 2 20y 12 .(6分)uuu uuu5y 2又 PAgPB 8 ,20 y 128 ,所以y 2 , xuuu4，此时OP (4, 2)............................................................................................... (8 分)(uuu uuuPA ( 3,5), PB (1, 1).(2 分)于是PA 8.• （10 分） uuu• x 2y 0,即 x 2y ，有 OP (2 y, y).,—uuu =— uuu uuu V34, PB V 2, PAgPB •- cos APB8 34 ,24.17 1720.解：(1) agb3x x coscos- 2 2.3x . x sinsin 2 2 cos2x , J (c °s 乎 cos 》2(sin 3x sin x )22 2（13 分）（3分）（4分）(13 分)(7 分)uuua2cos x .( 9分)22cos x 2cos x 1(11 分)( 13分)(15 分)(2) f(x) agoa b cos2x 2cos x1 2 32(cos x — )c............2 2•- x [—,],1 cosx 0,2•••当 cosx 1，即 x时 f max (x) 3.。

一、选择题1．已知10sin 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，02πα<<，则tan α的值为（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．12-或2 2．设等差数列{}n a 满足：()22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin a a a a a a a a -+-=+，公差()1,0d ∈-．若当且仅当11n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ） A ．9,10ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．9,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,10ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，若3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则0x 的值为( )A ．310B ．210C ．210-D ．310-4．已知()()()ππcos sin 22cos πtan πf ααααα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---，则2020π3f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．3-B ．12-C ．12D ．325．在ABC ∆中，5,6AB AC ==，若2B C =，则向量BC 在BA 上的投影是（ ） A ．75-B ．77125-C ．77125D ．756．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6B ．4C ．3D ．27．如图，已知点D 为ABC 的边BC 上一点，3BD DC =，*()∈n E n N 为AC 边的一列点，满足11(32)4n n n n n E A a E B a E D +=-+，其中实数列{}n a 中，10,1n a a >=，，则{}n a 的通项公式为（ ）A ．1321n -⋅-B ．21n -C ．32n -D ．1231n -⋅-8．如图所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+，则λμ=（ ）A ．12B ．13C ．2D ．239．已知角α顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()3,4P -，将α的终边逆时针旋转180︒，这时终边所对应的角是β，则cos β=（ ） A ．45-B ．35C ．35D ．4510．设函数()32sin cos f x x x x =+，给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为π ②()y f x =的图像关于直线12x π=对称③()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减 ④把函数2cos2y x =的图象上所有点向右平移12π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象.其中所有正确结论的编号是（ ）. A ．①④B ．②④C ．①②④D ．①②③11．现有四个函数：①y =x |sin x |，②y =x 2cos x ，③y =x ·e x ；④1y x x=+的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）A ．①②③④B ．①③②④C ．②①③④D ．③②①④12．已知函数()()()()2sin 0,0,f x x ωϕωϕπ=+>∈的部分图像如图所示，将()y f x =图像上所有点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），所得图像对应的函数()g x 解析式为（ ）A ．()2sin 46g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()2sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()2sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()2sin 3g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭二、填空题13．已知α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，10sin α=，()25cos αβ+=()cos 2αβ+=______.14．已知02x π-<<，1sin cos 5x x +=，则22sin cos cos x x x -的值为___________. 15．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3b =22cos c a b A -=，则a c +的取值范围为______.16．设10AB =，若平面上点P 满足对任意的R λ∈，28AP AB λ-≥，PA PB ⋅的最小值为_______.17．设λ是正实数，三角形ABC 所在平面上的另三点1A 、1B 、1C 满足：()1AA AB AC λ=+，()1BB BC BA λ=+，()1CC CA CB λ=+，若三角形ABC 与三角形111A B C 的面积相等，则λ的值为_____.18．在ABC △中，已知4CA =，CP =23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点，则CP CA ⋅的值为_____.19．已知将函数()sin()(06,)22f x x ππωθωθ=+<<-<<的图象向右平移3π个单位长度得到画()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ωθ⋅=________.20．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()3f x f x +=-，且()12019f -=，则()2020f =______. 三、解答题21．已知函数()f x 满足：()()()22f x f x a a R +=+∈，若()12f =，且当(]2,4x ∈时，()22611f x x x =-+．（1）求a 的值；（2）当(]0,2x ∈时，求()f x 的解析式；并判断()f x 在(]0,4上的单调性（不需要证明）；（3）设()24log 231x g x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，()2cos cos 2,22h x x m x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，若()()f h x g h x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，求实数m 的值．22．已知函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最值及取到最值时x 的值； （3）若函数()()g x f x m =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点1x ，2x ，求实数m 的取值范围，并求()12tan x x +的值.23．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，左顶点为A ，若122F F =，椭圆的离心率为12e =． （1）求椭圆的标准方程．（2）若P 是椭圆上的任意一点，求1PF PA ⋅的取值范围． 24．已知函数()22sin cos 2cos ,x x R f x x x =+∈.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在[]0,π上的单调递减区间； （3）令()18g x f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若()2g x a <-对于,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围.25．如图，在直角△ABC 中，点D 为斜边BC 的靠近点B 的三等分点，点E 为AD 的中点，3,6AB AC ==（1）用,AB AC 表示AD 和EB ； （2）求向量EB 与EC 夹角的余弦值． 26．已知712sin cos 2225ππαα⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求tan α的值；（2）求3sin sin 3cos ααα-的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由同角间的三角函数关系先求得cos()4πα-，再得tan()4πα-，然后由两角和的正切公式可求得tan α． 【详解】 ∵02πα<<，∴444πππα-<-<，∴310cos 4πα⎛⎫-=⎪⎝⎭∴sin 14tan 43cos 4παπαπα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭， ∴tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1tan 11432111tan 34παπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭===⎛⎫--- ⎪⎝⎭.故选：C ． 【点睛】思路点睛：本题考查三角函数的求值．考查同角间的三角函数关系，两角和的正切公式．三角函数求值时首先找到“已知角”和“未知角”之间的联系，选用恰当的公式进行化简求值．注意三角公式中“单角”与“复角”的区别与联系，它们是相对的．不同的场景充当的角色可能不一样．如题中4πα-在tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα-⎛⎫-=⎪⎝⎭+作为复角，但在tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦中充当“单角”角色．2．D解析：D 【解析】因为22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，所以由余弦二倍角公式、平方差公式及两角和与差的余弦公式可得2272718cos 2cos()cos()1sin()a a a a a a a -+-+=+，再运用积化和差公式可得227181cos 2[cos 2cos 2]21sin()a a a a a -++=+，即72181[cos 2cos 2]21sin()a a a a -=+，再由差化积公式可得727218sin()sin()1sin()a a a a a a --+=+．由于{}n a 是等差数列，因此1827a a a a +=+，即1827sin()sin()a a a a +=+，所以72sin()1a a -=-即sin51d =-注意到()1,0d ∈-，则()55,0d ∈-，所以5210d d ππ=-⇒=-，故对称轴方程故等差数列的前n 项和是1(1)2n n n S na d -=+，即221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++，其对称轴是1202a n ππ+=，由题设可得1202123222a ππ+<<，即11110a ππ<<，应选答案D ．点睛：解答本题的关键是先借助三角变换中的两角和差的余弦公式、余弦二倍角公式、积化和差与和差化积公式等三角变换公式进行化简，再借助差数列的定义和性质求出等差数列的公差10d π=-，然后将等差数列的前n 项和公式1(1)2n n n S na d -=+变形为221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++，借助对称轴11n =的位置建立不等式组1202123222a ππ+<<，进而求得数列首项的取值范围是11110a ππ<<． 3．C解析：C 【分析】利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可． 【详解】3,44ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭， ,42ππαπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， 3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4cos 45πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，则0cos cos cos cos sin sin 444444x ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4355=-=， 故选C ． 【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．4．B解析：B 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系式，化简函数式，最后代值计算即可. 【详解】()()()cos sin 22cos tan f ππαααπαπα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--- ()()sin sin 2cos tan πααπαα⎡⎤⎛⎫-⋅-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=+⋅-()()sin cos cos tan αααα-⋅-=-⋅-sin cos sin cos cos ααααα⋅=⋅cos α=，所以2020202020201cos cos cos 673cos 333332f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-==+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B . 【点睛】本题考查利用诱导公式和同角三角函数关系式化简三角函数式并求值，注意三角函数值的符号变化，属于基础题.5．B解析：B 【解析】 由正弦定理得，653cos sin sin sin 2sin 5AC AB C B C C C =⇒=⇒=,由余弦定理得，22211cos 25BC AC AB C BC AC BC +-=⇒=⋅,则77cos 125BC θ=- ，故选B. 6．C解析：C 【分析】根据向量的运算法则，求得12AM AD AB =+，2132MN AD AB =-+，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由题意，作出图形，如图所示：由图及题意，根据向量的运算法则，可得12AM AD DM AD AB =+=+， 2132MN CN CM CB CD =-=-21213232BC DC AD AB =-+=-+，所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21936334=-⨯+⨯=.故选C ．【点睛】本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7．D解析：D 【分析】以BA 和BC 为基底，表示n BE ，根据n E ，A ，C 三点共线，可得1193331442+-++=++n n n a a a ，构造等比数列，即可求出通项公式. 【详解】113(32),44+=-+=-=-n n n n n n n n E A a E B a E D E D BD BE BC BE , 113(32)()44n n n n n E A a E B a BC BE +∴=-+-113(32)(32)44n n n n a a E B a BC +=---+ 又=-n n E A BA BE113(32)(32=)44+∴---+-n n n n n a a E B a BC BA BE113(33)(32)44+-∴++=++n n n n a a BE a BC BA因为n E ，A ，C 三点共线113(33)1(32)44+-++=++∴n n n a a a ，即1=32++n n a a ，即1+1=3(1)++n n a a ，所以数列{1}n a +是等比数列，首项为2，公比为3．1+1=23-∴⋅n n a ，即1=23-1-⋅n n a ， 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量基本定理和等比数列的通项公式，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题.8．B解析：B 【分析】由向量的运算法则，化简得1344AD AB AC =+,再由AD AB AC λμ=+，即可求得,λμ 的值，即可求解. 【详解】由向量的运算法则，可得34=+=+AD AB BD AB BC 313()444AB AC AB AB AC =+-=+, 因为AD AB AC λμ=+，所以13,44λμ==，从而求得13λμ=，故选:B ． 【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，即可求得结果，属于基础题.9．B解析：B 【分析】先根据已知条件求解出cos α的值，然后根据,αβ之间的关系结合诱导公式求解出cos β的值. 【详解】 因为3cos 5α==，且180βα=+︒， 所以()3cos cos 180cos 5βαα=+︒=-=-， 故选：B. 【点睛】结论点睛：三角函数定义有如下推广：设点(),P x y 为角α终边上任意一点且不与原点重合，r OP =，则()sin ,cos ,tan 0y x yx r r xααα===≠. 10．C解析：C 【分析】根据题意，利用辅助角公式和两角和的正弦公式化简得()2sin(2)3f x x π=+，根据2T ωπ=求出最小正周期即可判断①；利用整体代入法求出()y f x =的对称轴，即可判断②；利用整体代入法求出()y f x =的单调减区间，从而可得在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先减后增，即可判断③；根据三角函数的平移伸缩的性质和诱导公式化简，即可求出平移后函数，从而可判断④. 【详解】解：函数()2sin cos sin 22sin(2)3f x x x x x x x π++=+，即：()2sin(2)3f x x π=+，所以()f x 的最小正周期为222T πππω===，故①正确； 令2,32πππ+=+∈x k k Z ，解得：,122k x k Z ππ=+∈， 当0k =时，则直线12x π=为()y f x =的对称轴，故②正确；令3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得：7,1212ππππ+≤≤+∈k x k k Z ， 所以()f x 的单调递减区间为：7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 当0k =时，()f x 的一个单调递减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 则区间7,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故在区间2121,3228,6ππππ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上先减后增，故③错误； 把函数2cos2y x =的图象上所有点向右平移12π个单位长度，得到s 2)2cos 22co 22cos 2126332sin(2y x x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎦⎣⎦+⎝⎭⎣即平移后得到函数()y f x =的图象，故④正确. 所以所有正确结论的编号是：①②④. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的周期、对称轴、单调区间的求法，以及三角函数的平移伸缩是解题的关键，还考查辅助角公式、两角和的正弦公式以及诱导公式的应用，考查学生化简运算能力.11．D解析：D 【分析】根据各函数的特征如函数值的正负，单调性、奇偶性，定义域、值域等进行判断． 【详解】左边第一个图象中0x <时，0y <，只有③满足，此时只有D 可选，实际上，左边第二个图象关于y 轴对称，是偶函数，只有②满足，而0x >时，10y x x=+>恒成立，只有最右边的图象满足，由此也可得顺序是③②①④，选D ． 故选：D ． 【点睛】思路点睛：本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可两者结合，由函数解析式和图象分别确定函数的性质，如奇偶性、单调性、函数值的正负，特殊的函数值，变化趋势等等，两者对照可得结论．12．B解析：B 【分析】 由32341234T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭可求出T π=，进而可得2ω=，令 ()22122k k Z ππϕπ⨯+=+∈结合()0,ϕπ∈即可求得ϕ的值，再根据三角函数图象的伸缩变换即可求()g x 的解析式. 【详解】 由图知32934123124T ππππ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭， 所以T π=，可得2ππω=，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+， 令()22122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，所以()23k k Z πϕπ=+∈，因为()0,ϕπ∈，所以令0k =，可得3πϕ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()y f x =图像上所有点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变）， 可得()2sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 故选：B二、填空题13．【分析】利用同角三角函数的平方关系求得的值然后利用两角和的余弦公式可求得的值【详解】因为则又所以所以故答案为：【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值同时也考查了同角三角函数基本关系的应用考查计算能解析：2【分析】利用同角三角函数的平方关系求得cos α、()sin αβ+的值，然后利用两角和的余弦公式可求得()cos 2αβ+的值. 【详解】 因为α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0αβ<+<π，又10sin10，()cos 5αβ+=，所以，cos 10α==，()sin αβ+==所以()()()()cos 2cos cos cos sin sin αβααβααβααβ+=++=+-+⎡⎤⎣⎦2-=. 【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于中等题.14．【分析】根据得到将已知等式两边平方利用同角三角函数基本关系式可求的值然后利用二倍角公式化简求解【详解】∵∴∴∵两边平方可得∴故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数的同角基本关系式以及倍角公式的应用还解析：85- 【分析】 根据1sin cos 5x x +=得到|cos ||sin |x x >， 将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求sin 2x ，cos2x 的值，然后利用二倍角公式化简求解. 【详解】 ∵02x π-<<，1sin cos 5x x +=， ∴|cos ||sin |x x >， ∴04x π-<<，π202x -<<∵1sin cos 5x x +=，两边平方， 可得24sin 225x =-，7cos 225x =，∴21cos 282sin cos cos sin 225x x x x x +-=-=-. 故答案为：85-.【点睛】本题主要考查三角函数的同角基本关系式以及倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．【分析】将已知等式化边为角结合两角和的正弦公式化简可得已知由余弦定理和基本不等式求出的最大值结合即可求解【详解】由正弦定理及得因为所以化简可得因为所以因为所以由已知及余弦定理得即因为所以得所以当且仅解析：【分析】将已知等式化边为角，结合两角和的正弦公式化简可得B ，已知b ，由余弦定理和基本不等式，求出a c +的最大值，结合a c b +>，即可求解. 【详解】由正弦定理及22cos c a b A -=， 得2sin sin 2sin cos C A B A -=. 因为()C A B π=-+，所以()2sinsin 2sin cos A B A B A +-=.化简可得()sin 2cos 10A B -=.因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =. 因为0B π<<，所以3B π=.由已知及余弦定理，得2223b a c ac =+-=， 即()233a c ac +-=，因为0a >，0c >，所以()22332a c a c +⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，得()212a c +≤，所以a c +≤，当且仅当a c ==.又因三角形任意两边之和大于第三边，所以a c +>，a c <+≤故a c +的取值范围为.故答案为： 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换解三角形，利用基本不等式求最值，属于中档题.16．【分析】建立如图所示的坐标系则设则所以从而结合可得对任意恒成立则必然成立可得而从而可求得结果【详解】解：以线段的中点为原点以所在的直线为轴以其中垂线为轴建立直角坐标系则设则所以因为所以化简得由于上述 解析：9-【分析】建立如图所示的坐标系，则(5,0),(5,0)A B -，设(,)P x y ，则(5,),(10,0)AP x y AB =+=，所以2(21010,2)AP AB x y λλ-=+-，从而2(21010,2)AP AB x y λλ-=+-，结合28AP AB λ-≥，可得222100(20040)4404360x x x y λλ-+++++≥，对任意R λ∈恒成立，则0∆≤必然成立，可得4y ≥，而2225PA PB x y ⋅=+-216259x ≥+-≥-，从而可求得结果 【详解】解：以线段AB 的中点为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以其中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则(5,0),(5,0)A B -，设(,)P x y ，则(5,),(10,0)AP x y AB =+=， 所以2(21010,2)AP AB x y λλ-=+-，因为28AP AB λ-≥，所以22(21010)464x y λ+-+≥，化简得222100(20040)4404360x x x y λλ-+++++≥， 由于上述不等式对任意R λ∈恒成立，则0∆≤必然成立，222(20040)4100(440436)0x x x y ∆=+-⨯⨯+++≤，解得4y ≥，所以4y ≥或4y ≤-， 因为(5,),(5,)PA x y PB x y =---=--， 所以2225PA PB x y ⋅=+-， 因为x ∈R ，216y ≥，所以2222516259x y x +-≥+-≥-， 即9PA PB ⋅≥-，所以PA PB ⋅的最小值为9-， 故答案为：9-【点睛】此题考查向量的数量积运算，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题17．【分析】设的重心为点可知与关于点对称利用重心的向量性质可求得实数的值【详解】设的重心为点则由于和的面积相等则与关于点对称则解得故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的数乘运算和线性运算涉及三角形重心向解析：23【分析】设ABC ∆的重心为点G ，可知ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称，利用重心的向量性质可求得实数λ的值. 【详解】设ABC ∆的重心为点G ，则3AB AC AG +=，()13AA AB AC AG λλ∴=+=， 由于ABC ∆和111A B C ∆的面积相等，则ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称， 则12AA AG =，32λ∴=，解得23λ=. 故答案为：23. 【点睛】本题考查了平面向量的数乘运算和线性运算，涉及三角形重心向量性质的应用，考查计算能力，属于中等题.18．6【分析】根据平方处理求得即可得解【详解】在中已知点是边的中点解得则故答案为：6【点睛】此题考查平面向量的基本运算关键在于根据向量的运算法则求出模长根据数量积的运算律计算求解解析：6【分析】 根据()12CP CA CB =+，平方处理求得2CB =，()12CP CA CA CB CA ⋅=+⋅即可得解. 【详解】在ABC △中，已知4CA =，3CP 23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点， ()12CP CA CB =+ ()222124CP CA CB CA CB =++⋅ 211316842CB CB ⎛⎫⎛⎫=++⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2CB =则()()21111162462222CP CA CA CB CA CA CB CA ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：6 【点睛】此题考查平面向量的基本运算，关键在于根据向量的运算法则求出模长，根据数量积的运算律计算求解.19．【分析】和的图象都关于对称所以①②由①②结合即可得到答案【详解】由题意因为和的图象都关于对称所以①②由①②得又所以将代入①得注意到所以所以故答案为：【点睛】本题考查正弦型函数的性质涉及到函数图象的平解析：34π-【分析】()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，所以11,42k k Z ππωθπ+=+∈①，22,432k k Z πππωωθπ-+=+∈②，由①②结合06,22ππωθ<<-<<即可得到答案.【详解】由题意，()()sin()33g x f x x ππωωθ=-=-+，因为()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对 称，所以11,42k k Z ππωθπ+=+∈①，22,432k k Z πππωωθπ-+=+∈②，由①②，得12123(),,k k k k Z ω=-∈，又06ω<<，所以3ω=，将3ω=代入①，得11,4k k Z πθπ=-∈，注意到22ππθ-<<，所以4πθ=-，所以34ωθπ⋅=-.故答案为：34π- 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，涉及到函数图象的平移、函数的对称性，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.20．【分析】根据题意分析可得有即函数是周期为6的周期函数进而可得结合函数的奇偶性分析可得答案【详解】根据题意函数满足则有则函数是周期为6的周期函数则又由为偶函数则故；故答案为：【点睛】本题主要考查函数的 解析：2019-【分析】根据题意，分析可得有()()()63f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为6的周期函数，进而可得()()()2020202222f f f =-=-，结合函数的奇偶性分析可得答案． 【详解】根据题意，函数()f x 满足()()3f x f x +=-， 则有()()()63f x f x f x +=-+=， 则函数()f x 是周期为6的周期函数， 则()()()2020202222f f f =-=-，又由()f x 为偶函数，则()()()2212019f f f -==--=-， 故()20202019f =-； 故答案为：2019-． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与周期性的应用，注意分析函数的周期性，属于中档题．三、解答题21．（1）7；（2）()2f x x x =+，单调递增；（3）-1.【分析】（1）根据题意可得()()3214f f a a =+=+，再由()311f =即可求解. （2）设2(]0,x ∈，则2(2,4]x +∈，代入()()227f x f x +=+即可得出()2f x x x =+，再由分段函数单调性判断方法即可求解.（3）由（2）知，当4x >时，()21f x ≥，且由条件知，()12f =，根据()g x 的单调性可得()1h x ≥恒成立，设cos [0,1]x t =∈，只需不等式222(1)0mt t m +-+≥在[0,1]t ∈上恒成立，讨论m 的取值范围即可求解. 【详解】（1）由题意()12f =，所以()()3214f f a a =+=+， 又()2323631111f =⨯-⨯+=，因为411a +=，所以7a =； （2）设2(]0,x ∈，则2(2,4]x +∈，所以()2222(2)6(2)11227f x x x x x +=+-++=++，又()()227f x f x +=+，代入解得：()2f x x x =+；显然，()f x 在(0,2]，(2,4]上分别是单增函数， 又()26f =，而当2x +→时，7y →， 因为76>，所以()f x 在(0,4]上单调递增； （3）由（2）知，()f x 是区间(0,4]上单调递增， 且(2,4]x ∈时，()419f =，()7f x >，且当4x >时，设(2,22](2,)x n n n n Z ∈+≥∈，则(22)(2,4]x n --∈，()232()2(2)72(4)7(21)2(6)7221f x f x f x f x =-+=-+⋅+=-+⋅++ ()1232[(22)]72221n n n f x n ---=⋅⋅⋅=--+⋅++⋅⋅⋅++ ()123727222121n n n --->⋅+⋅++⋅⋅⋅++≥且由条件知，()12f =； 再看函数()24 log 231x g x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭， 由420031x x +>⇒>-，即定义域为(0,)+∞，且4231xy =+-在(0,)+∞上单减， 所以()24log 231x g x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭在(0,)+∞上单减， 又发现()12g =，所以()()()1f h x g h x h x ≥⇒≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立， 即()22cos 2cos 11x m x +-≥在,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恒成立， 设cos [0,1]x t =∈，则不等式222(1)0mt t m +-+≥在[0,1]t ∈上恒成立，①当0m =时，不等式化为210t -≥，显然不满足恒成立； ②当0m >时，当0t =代入得()10m -+≥，矛盾；③当0m <时，只需(1)01122(1)01m m m m m m ⎧-+≥≤-⎧⇒⇒=-⎨⎨+-+≥≥-⎩⎩， 综上，实数m 的值为-1． 【点睛】关键点点睛：本题考查了换元法求函数的解析式，函数的单调性，解题的关键是根据函数的单调性得出()1h x ≥，转化为二次不等式恒成立，考查了分类讨论的思想. 22．（1）最小正周期π，单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）4x π=时，()f x 取得最大值1；12x π=-时，()f x 取得最小值2-；（3）)m ∈，()12tan 3x x +=-. 【分析】（1）利用和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为()sin y A ωx φ=+的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间； （2）当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，利用正弦函数的定义域和值域，求得()f x 的最大值和最小值，并指出()f x 取得最值时对应的x 的值. （3）函数()()g x f x m =-所在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦匀上有两个不同的零点1x ，2x ，转化为函数()f x 与函数y m =有两个交点；可求m 的范围，结合三角函数的图象可知，1x ，2x ，关于对称轴是对称的，可知12x x +，即可求()12tan x x +的值. 【详解】解：（1）函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭化简可得：()2112sin cos sin 2cos 222f x x x x x x ⎫=-=-++⎪⎭sin 222sin 23x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 所以函数的最小正周期22T ππ==， 由222232k x k πππππ-≤-≤+，解得：1212k x k π5ππ-≤≤π+， 所以函数的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）由于64x ππ-≤≤，可得22336x πππ-≤-≤， 当236x ππ-=，即4x π=时，()f x 取得最大值1； 当232x ππ-=-，即12x π=-时，()f x 取得最小值2-.（3）函数()()g x f x m =-所在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦匀上有两个不同的零点1x '，2x '，转化为函数()f x 与函数y m =有两个交点， 令23u x π=-，∵ 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴2,33u ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 可得sin y u =的图象(如图).从图可知：)m ∈时，函数sin y u =与函数y m =有两个交点，其横坐标分别为1x '，2x '.故得实数m 的取值范围是)m ∈， 由题意可知1x '，2x '是关于对称轴是对称的： 那么函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的对称轴512x π=， 所以1256x x π''+=，所以()125tan tan63x x π''+==-.【点睛】本题第三问解题的关键在于将问题转化为函数()f x 与函数y m =有两个交点，进而讨论函数在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象，根据数形结合思想求解，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题.23．（1）22143x y +=；（2）[0,12]. 【分析】（1）由椭圆的离心率及焦距，可得1,2c a ==，3b =（2）设()00,P x y ，(2,0)A -，1(1,0)F -，再将向量的数量积转化为坐标运算，研究函数的最值，即可得答案；【详解】解：（1）由题意，∵122F F =，椭圆的离心率为12e =， ∴1,2c a ==， ∴3b =∴椭圆的标准方程为22143x y +=． （2）设()00,P x y ，(2,0)A -，1(1,0)F -，∴()()22200001001232PF P x x y x A x y ⋅----+=+++=， ∵P 点在椭圆上，∴2200143x y +=，2200334y x =-，∴21001354PF PA x x ⋅=++， 由椭圆方程得022x -≤≤，二次函数开口向上，对称轴062x =-<-，当02x =-时，取最小值0，当02x =时，取最大值12．∴1PF PA ⋅的取值范围是[0,12]． 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、向量数量积的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意问题转化为二次函数的最值问题.24．（1）T π=；（2）5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）()2+∞. 【分析】（1）化简函数()214f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （2）由正弦函数的单调性可得答案；（3）化简()2g x x =，根据,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求得()g x ，再根据题意，得到2a ->，即可求解． 【详解】（1）由题意，函数()sin 2cos21214f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， 可得其最小正周期是22T ππ==. （2）由3222,242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得 5,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 又∵[]0,x π∈，∴5,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 故单减区间为5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）由()122844g x f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得22,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则1cos 2,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()2g x x ⎡=∈⎢⎣，若()2g x a <-对于,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，则()max 2a g x ->所以2a >+，即求实数a 的取值范围()2+∞.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质综合应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式，求得函数的解析式，结合三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．25．（1）2133AD AB AC =+，2136EB AB AC =-，（2） 【分析】（1）利用平面向量基本定理和向量的加减法法则进行求解即可（2）如图，以AC ，AB 所在的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，然后表示出向量EB 与EC 的坐标，再利用向量夹角的坐标公式求解【详解】解：（1）因为D 为斜边BC 的靠近点B 的三等分点， 所以1111()3333BD BC AC AB AC AB ==-=-， 所以2133AD AB BD AB AC =+=+， 因为E 为AD 的中点， 所以112111223336AE AD AB AC AB AC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭， 所以2136EB AB AE AB AC =-=-, （2）1536EC AC AE AB AC =-=-+, 如图，以AC ，AB 所在的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则(0,3),(6,0)B C , 所以21(1,2)36EB AB AC =-=-，15(5,1)36EC AB AC =-+=- ，所以(1)52(1)7EB EC ⋅=-⨯+⨯-=-， 2222(1)25,5(1)26EB EC =-+==+-= 设向量EB 与EC 夹角为θ，则7130cos 130526EB ECEB EC θ⋅===-⨯⋅ 【点睛】此题考查平面向量基本定理的应用，考查向量夹角公式的应用，考查计算能力，属于中档题26．（1）3tan 4α=；（2）3sin 3sin 3cos 25ααα=--. 【分析】 （1）利用诱导公式可得出12cos sin 25αα=，根据题意可得出关于cos α、sin α的值，求出cos α、sin α的值，利用同角三角函数的商数关系可求得tan α的值； （2）将所求代数式变形为()()3322sin sin sin 3cos sin 3cos sin cos αααααααα=--+，在分式的分子和分母中同时除以3cos α，利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】（1）712sin cos 2225ππαα⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由诱导公式可得123sin cos cos sin 2522ππαααα⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos sin 0αα∴>>，由已知可得2212cos sin 25cos sin 1cos sin 0αααααα⎧=⎪⎪+=⎨⎪>>⎪⎩，解得4cos 53sin 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因此，sin 3tan cos 4ααα==； （2）()()3322sin sin sin 3cos sin 3cos sin cos αααααααα=--+()()332223sin tan 325sin sin tan 3tan 131cos cos cos ααααααααα===-⎛⎫-+⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】方法点睛：三角函数求值问题中已知tan α，求关于sin α、cos α的代数式的值时，一般利用弦化切公式后直接代入tan α的值，在关于sin α、cos α的齐次式中，常常利用弦化切的方程转化为含tan α的代数式.。

北师大版高一数学必修四复习测试全套及答案北师大版高一数学必修四复习测试全套及答案第一章章末分层突破[自我校对]①弧度制②负角③零角④y＝cos x⑤y＝tan x三角函数的定义及三角函数函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．(1)点P 从点(2,0)出发，沿圆x 2＋y 2＝4逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为；(2)函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为．【精彩点拨】(1)先求∠POQ ，再利用三角函数定义求出Q 点坐标；(2)先列出三角函数的不等式组，再利用三角函数线求解．【规范解答】 (1)设∠POQ ＝θ，则θ＝π32＝π6，设Q (x ，y )，根据三角函数的定义，有x ＝2cos π6＝3，y ＝2sin π6＝1，即Q 点的坐标为(3，1)．(2)要使函数有意义，必须有 ??2sin x －1>0，1－2c os x ≥0，即sin x >12，cos x ≤12，解得π6＋2k π<5<="" p="">6π＋2k π(k ∈Z )，π3＋2k π≤x ≤53π＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤x <5π6＋2k π(k ∈Z )．故所求函数的定义域为π3＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )．【答案】 (1)(3，1) (2)π3＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )[再练一题]1．求函数f (x )＝－sin x ＋tan x －1的定义域．【解】函数f (x )有意义，则－sin x ≥0，tan x －1≥0，即sin x ≤0，tan x ≥1. 如图所示，结合三角函数线知2k π＋π≤x ≤2k π＋2π(k ∈Z )，k π＋π4≤x <="" p="" π＋π2(k="" ∈z="">∴2k π＋5π4≤x <2k π＋3π2(k ∈Z )．故f (x )的定义域为2k π＋5π4，2k π＋3π2(k ∈Z )．用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，也可以实现正弦与余弦、正切与余切之间函数名称的变换．2k π＋α，π±α，－α，2π±α，π2±α的诱导公式可归纳为：k ×π2＋α(k ∈Z )的三角函数值．当k 为偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶指整数k 的奇偶．已知f (α)＝sin ? ????－α＋π2cos ? ??3π2－αtan (α＋5π)tan (－α－π)sin (α－3π)，(1)化简f (α)；(2)若α＝－25π3，求f (α)的值．【精彩点拨】直接应用诱导公式求解．【规范解答】(1)f (α)＝cos α·(－sin α)·tan α(－tan α)·sin (π＋α)＝cos α·sin α·sin αcos α－sin αcos α·sin α＝－cos α.(2)f ? ????－25π3＝－cos ? ????－25π3＝－cos ? ?8π＋π3 ＝－cos π3＝－12. [再练一题]2．若sin ? ????3π2＋θ＝14，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋cos (θ－2π)cos (θ＋2π)cos (θ＋π)＋cos (－θ).【解】因为sin ? ????3π2＋θ＝14，所以cos θ＝－14.所以cos (π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋cos (θ－2π)cos (θ＋2π)cos (θ＋π)＋cos (－θ)＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ(－cos θ)＋cos θ＝cos θcos θ(cos θ＋1)－cos θcos θ(cos θ－1)＝1cos θ＋1－1cos θ－1＝1－14＋1－1－14－1＝3215.考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．如图1-1是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋kA >0，ω>0，φ<π2的一段图像．图1-1(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的．【精彩点拨】(1)先确定A ，k ，再根据周期求ω，最后确定φ.(2)可先平移再伸缩，也可先伸缩再平移．【规范解答】(1)由图像知，A ＝－12－? ???－322＝12，k ＝－12＋? ???－322＝－1，T ＝2×? ????2π3－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6. ∴所求函数解析式为y ＝12sin ? ??2x ＋π6－1. (2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位得到y ＝sin ? ????x ＋π6，然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ? ?2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到y ＝12sin ? ????2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ? ????2x ＋π6的图像向下平移1个单位，得到y ＝12sin ? ?2x ＋π6－1的图像．[再练一题]3．若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为3，求函数f (x )的解析式，并说明怎样变换f (x )的图像能得到g (x )＝3sin ? ?2x －π6的图像．【解】因为函数f (x )最大值为3，所以A ＝3，又当x ＝π6时函数f (x )取得最大值，所以sin ? ??π3＋φ＝1.因为0<φ<π，故φ＝π6，故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ? ?2x ＋π6，将f (x )的图像向右移π6个单位，即得g (x )＝3sin2?x －π6＋π6＝3sin ? ????2x －π6的图像．奇偶性、对称性等有关性质，特别是复合函数的周期性、单调性和最值(值域)，应引起重视．已知函数f (x )＝2sin ? ?2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数)．(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)求f (x )取最大值时，x 的取值集合．【精彩点拨】 (1)将2x ＋π6看成一个整体，利用y ＝sin x 的单调区间求解．(2)先求x ∈0，π2时，2x ＋π6的范围，再根据最值求a 的值． (3)先求f (x )取最大值时2x ＋π6的值，再求x 的值．【规范解答】 (1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调增区间为－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调减区间为π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ? ??2x ＋π6≤1，∴f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，∴a ＝1. (3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )．∴2x ＝π3＋2k π，∴x ＝π6＋k π(k ∈Z )．∴当f (x )取最大值时， x的取值集合是x ?x ＝π6＋k π，k ∈Z . [再练一题]4．已知函数f (x )＝2sin ? ?2x －π4，(x ∈R ) (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间π8，34π上的最大值和最小值．【解】(1)∵f (x )＝2sin ? ?2x －π4，∴T ＝2πω＝2π2＝π，故f (x )的最小正周期为π.(2)f (x )＝2sin ? ????2x －π4在区间π8，3π8上是增函数，在区间3π8，3π4上是减函数，∴函数f (x )在x ＝3π8处取得最大值，在两端点之一处取得最小值．又f ? ????π8＝0，f ? ??3π8＝ 2.F ? ????34π＝2sin ? ??3π2－π4＝－2cos π4＝－1. 故函数f (x )在区间π8，3π4上的最大值为2，最小值为－1.问题转化为数量关系去求解，体现了数与形的联系．在三角函数中可以利用单位圆中的三角函数线或三角函数图像研究三角函数的求值、大小比较、最值、解三角不等式、单调区间、对称性等问题，其特点是直观形象．若集合M ＝?θsin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝?θcos θ≤12，0≤θ≤π，求M ∩N .【精彩点拨】本题主要考查已知三角函数值范围求角，可以根据正弦函数图像和余弦函数图像，作出集合M 和N ，然后求M ∩N ，或利用单位圆中三角函数线确定集合M ，N .【规范解答】法一：首先作出正弦函数与余弦函数的图像以及直线y ＝12，如图：结合图像得集合M ，N 分别为M ＝?θ π6≤θ≤5π6，N ＝θπ3≤θ≤π，得M ∩N ＝θπ3≤θ≤56π. 法二：作出单位圆的正弦线和余弦线．如图：由单位圆三角函数线知：M ＝?θ π6≤θ≤5π6，N ＝θπ3≤θ≤π，得M ∩N ＝θπ3≤θ≤56π. [再练一题]5．(1)求满足不等式cos x <－12的角x 的集合； (2)求y ＝2sin x ? ??－π3≤x ≤2π3的值域．【解】 (1)作出函数y ＝cos x 在[0,2π]上的图像，如图所示：由于cos 2π3＝cos 4π3＝－12，故当2π3<－1<="" p="" x="">2.由于y ＝cos x 的周期为2π，∴适合cos x <－12的角x 的集合为x2π3＋2k π<="" ＝sin="">由图像可知，当－π3≤x ≤2π3时，－32≤sin x ≤1，∴－3≤2sin x ≤2，因此函数y ＝2sin x ? ??－π3≤x ≤2π3的值域为[－3，2].1．要得到函数y ＝sin ? 4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位【解析】由y ＝sin ? ????4x －π3＝sin 4? ?x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图像向右平移π12个单位即可，故选B.【答案】 B2．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图1-2所示，则f (x )的单调递减区间为( )A ．? ?k π－14，k π＋34，k ∈ZB.? ?2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C ．? ????k －14，k ＋34，k ∈ZD.? ?2k －14，2k ＋34，k ∈Z 【解析】由图像知，周期T ＝2? ????54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ? ?πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<="">4，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为? ?2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.【答案】 D3．如图1-3，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ? ????π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图1-3A ．5B ．6D ．10【解析】根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8. 【答案】 C4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)? ?ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，且f (x )在? ??π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5【解析】因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的一个零点为x ＝－π4，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，所以T 4·k ＝π2(k 为奇数)．又T ＝2πω，所以ω＝k (k 为奇数)．又函数f (x )在? ????π18，5π36上单调，所以π12≤12×2πω，即ω≤12.若ω＝11，又|φ|≤π2，则φ＝－π4，此时，f (x )＝sin ? ????11x －π4，f (x )在? ????π18，3π44上单调递增，在? ??3π44，5π36上单调递减，不满足条件．若ω＝9，又|φ|≤π2，则φ＝π4，此时，f (x )＝sin ? ????9x ＋π4，满足f (x )在? ????π18，5π36上单调的条件．故选B.【答案】 B5．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)? ?ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)．．．．．．．．．．．)的解析式； (2)将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图像．若y ＝g (x )图像的一个对称中心为? ??5π12，0，求θ的最小值．【解】 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ? ???2x －6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ? ?2x －π6，则g (x )＝5sin ? ?2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sin x 图像的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ，令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图像关于点? ????5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.第二章章末分层突破[自我校对]①单位向量②坐标表示③数乘向量④坐标⑤夹角公式。

一、选择题1．若()π,2πα∈，πcos sin 042αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．0CD ．或0 2．已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A B C ．D 3．已知直线3x −y +1=0的倾斜角为α，则1sin22α= A ．310 B ．35 C ．−310D ．1104．已知函数()()()()21cos cos 02f x x x x ωωωω=+->，若()f x 在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为（ ） A ．(]0,2B ．(]0,1C ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦D ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦5．已知a 与b 的夹角为60，4a =，则a b λ-(R λ∈)的最小值为（ ）A ．B ．72C ．103D 6．已知非零向量,a b 满足4,2a b ==，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（ ）A ．1B ．2C ．5D ．37．已知O 是三角形ABC 内部一点，且20OA OB OC ++=，则OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．28．设O 为ABC 内一点,已知2332OA OB OC AB BC CA ++=++,则::AOB BOC COA S S S ∆∆∆= （ ）A ．1:2:3B ．2:3:1C ．3:1:2D ．3:2:19．已知角α顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()3,4P -，将α的终边逆时针旋转180︒，这时终边所对应的角是β，则cos β=（ ） A ．45-B ．35C ．35D ．4510．设函数()3sin()10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++><⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线3x π=对称，则下列说法正确是（ ）A ．()f x 的图象过点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭； B ．()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减； C ．()f x 的一个对称中心是7,012π⎛⎫⎪⎝⎭； D ．将()f x 的图象向左平移12ϕ个单位长度得到函数3sin 21y x =+ 的图象. 11．下列命题正确的是（ ）A ．函数sin ||y x =是偶函数又是周期函数B ．函数3tan lg3tan xy x+=-是奇函数C ．函数tan 6y ax π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是a πD ．函数cos(sin )y x =是奇函数12．已知函数y =f (x )的部分图象如图所示，则其解析式可能是（ ）A ．()sin 2f x x x =B ．()||sin 2f x x x =C ．()cos 2f x x x =D ．()||cos2f x x x =二、填空题13．若2cos()3πα-=-,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α的值是____________．14．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且PB QD PQ +=，则PAQ ∠的大小为__________．15．已知4sin 3cos 0+=αα，则2sin 23cos +αα的值为____________. 16．在矩形ABCD 中，已知E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且满足2BE EC =，3CFFD ．若(),AC AE AF R λμλμ=+∈，则λμ+的值为______．17．已知||1,||3,0OA OBOA OB ==⋅=|，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则mn等于 ． 18．函数(x)Asin(x )f ωϕ=+ (0A >，0>ω,0ϕπ<< )的部分图象如图所示，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________.19．已知函数f (x )，任意x 1，x 2∈,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭(x 1≠x 2)，给出下列结论：①f (x ＋π)＝f (x )；②f (－x )＝f (x )；③f (0)＝1；④1212()()f x f x x x -->0；⑤1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭.当()tan f x x =时，正确结论的序号为________．20．已知向量(1,3)a =，1(2,)2b =-，若单位向量c 与2a b -平行，则c =___________.三、解答题21．已知5sin25α=，()5cos 13αβ+=，()0,απ∈，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求sin 2α的值； （2）求sin β的值.22．如图，在Rt ACB 中，斜边2AB =，1BC =，在以AB 为直径的半圆上有一点D （不含端点），DAB θ∠=，设ABD △的面积1S ，ACD △的面积2S .（1）若2l S S =，求θ；（2）令12S S S =-，求S 的最大值及此时的θ.23．（1）已知非零向量1e 、2e 不共线，欲使12ke e +和12e ke +共线，试确定实数k 的值. （2）已知向量1a =，2b =，()()23a b a b +⊥-，求a 与b 夹角的大小. 24．设非零向量a ，b 不共线.（1）若(),1a t =，()5,b t =，且//a b ，求实数t 的值；（2）若OA a b =+，2OB a b =+，3OC a b =+.求证：A ，B ，C 三点共线.25．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示：（1）求图中a ，b 的值及函数()f x 的递增区间； （2）若[0,]απ∈，且()2f α=，求α的值．26．函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间，并求()f x 取最小值时的自变量x 的集合.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据题意，化简得到cossin222αα+=-，所以3,24αππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，取得1sin 2α=-，再利用三角函数的基本关系式和两角和的正弦函数公式，即可求解. 【详解】由cos sin 042παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，可得22cos sin cos sin 022222αααα⎫-+-=⎪⎝⎭，即cos sin cos sin 022222αααα⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为(),2αππ∈，所以,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos sin 022αα-≠，解得cos sin 222αα+=-，所以3,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以11sin 2α+=，所以1sin 2α=-，又3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以cos 2α==，所以π11sin 0622α⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭. 【点睛】三角函数的化简求值的规律总结：1、给角求值：一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题；2、给值求值：即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系；3、给值求角：实质上可转化为“给值求值”即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围）.2．D解析：D 【分析】结合同角三角函数基本关系计算sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角差的正弦公式进行求解即可.【详解】由,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭可得2,633πππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 又11cos cos 6323ππα⎛⎫+=<= ⎪⎝⎭，所以2,633πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭， sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1132=-⨯=故选:D 【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式与同角三角函数基本关系，解题的关键是熟练运用公式.3．A解析：A 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值． 【详解】直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，∴2221133sin222219110sin cos tan a sin cos sin cos tan αααααααα=⋅====+++， 故选A ． 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题．4．D解析：D 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数()f x ，根据()f x 在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，建立不等关系，解出ω的取值范围． 【详解】因为()1cos 212sin 2226x f x x x ωπωω+⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，由题意得,362,262ωπππωπππ⎧-+≥-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩解得23ω≤，又0>ω，所以203ω<≤. 故选：D 【点睛】本题考查正弦函数单调性的应用，考查三角恒等变换，属于中档题．5．A解析：A 【分析】根据向量的模的表示方法得22222a b a a b b λλλ-=-⋅+，再配方即可得答案. 【详解】解：根据向量模的计算公式得：()()222222216421212a b a a b b b bb λλλλλλ-=-⋅+=-+=-+≥，当且仅当2b λ=时等号成立；所以23a b λ-≥，当且仅当2b λ=时等号成立； 故选：A. 【点睛】方法点睛：向量模的计算公式：22a a a a =⋅=6．B解析：B 【解析】因为a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，设这两个向量的夹角为θ，则cos cos 4cos 2cos 2a b πθθθθθ===⇒=，又由2()a b a b -=-且4,2a b ==，所以222()225a b a b a a b b -=-=-⋅+=，故选B.7．A解析：A 【解析】由题意，O 是'AB C ∆的重心，'2OB OB =，所以OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为12．故选A ． 点睛：本题考查平面向量的应用．由重心的结论：若0OA OB OC ++=，则O 是ABC ∆的重心，本题中构造'AB C ∆，O 是'AB C ∆的重心，根据重心的一些几何性质，求出面积比值．8．B解析：B 【分析】根据23OA OB OC ++=32AB BC CA ++，化简得到12033OA OB OC ++=，设12,33OB OD OC OE ==，则O 为ADE 的重心，有AODAOEDOES SS==，则93,,232AOB BOC AOC S S S S S S ∆∆∆===求解. 【详解】由23OA OB OC ++=32AB BC CA ++，得233322OAOA OB OC OB OA OC OB OA OC ++=-+-+-， 整理得：320OA OB OC ++=，12033OA OB OC ∴++=，设12,33OB OD OC OE ==，则0OA OD OE ++=，即O 为ADE 的重心，AODAOEDOESSSS ∴===，则93,,232AOB BOC AOC S S S S S S ∆∆∆===， 93::3::2:3:122AOB BOC AOC S S S ∆∆∆∴==，故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的平面几何中的应用，属于中档题.9．B解析：B 【分析】先根据已知条件求解出cos α的值，然后根据,αβ之间的关系结合诱导公式求解出cos β的值. 【详解】 因为3cos 5α==，且180βα=+︒， 所以()3cos cos 180cos 5βαα=+︒=-=-， 故选：B. 【点睛】结论点睛：三角函数定义有如下推广：设点(),P x y 为角α终边上任意一点且不与原点重合，r OP =，则()sin ,cos ,tan 0y x yx r r xααα===≠. 10．D解析：D 【分析】先根据对称轴及最小正周期，求得函数()f x 的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，判断点是否在函数图象上可判断A ，求得函数的单调区间及对称中心即可判断选项BC ，由平移变换求得变化后的解析式并对比即可判断D. 【详解】函数()3sin()10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π所以22πωπ==，则()()3sin 21f x x ϕ=++，()()3sin 21f x x ϕ=++图象关于直线3x π=对称,对称轴为2,2x k k Z πϕπ+=+∈,代入可得2,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得,6k k Z πϕπ=-+∈，因为,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以当0k =时, 6πϕ=-， 则()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，对于A,当0x =时,()3103sin 11622f π=-+=-+=- ，所以错误； 对于B,()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为3222,262k x k k πππππ+-+∈Z ≤≤， 解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈，因为123ππ<，则()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是减函数,所以错误； 对于C ，773sin 213sin 11012126f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-+=+=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以7,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭不是()f x 的一个对称中心，所以错误； 对于D ，1212πϕ=，将()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度得到可得3sin 213sin 21126y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以能得到3sin 21y x =+的图象,所以正确. 故选: D. 【点睛】本题考查了正弦函数的图象与性质的综合应用，关键点是根据已知条件先求出正弦函数的解析式，还要熟练掌握三角函数的性质才能正确的解题，属于中档题.11．B解析：B 【分析】根据函数的奇偶性与周期性判断各个选项． 【详解】sin y x =是偶函数，但不是周期函数，A 错误；对函数()f x =0>得tan x <<,33k x k k Z ππππ-<<+∈，定义域关于原点对称，()()f x f x -==-=-，函数是奇函数，B 正确；tan 6y ax π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是a π，C 错误；记()g x cos(sin )x =，定义域是R ，()()cos sin cos(sin )cos(sin )()g x x x x f x -=-=-==⎡⎤⎣⎦，()f x 是偶函数，D 错误． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的奇偶性与周期性．判断奇偶性一般用奇偶性的定义进行判断．tan y x ω=的最小正周期是T πω=，sin()y x ωϕ=+的最小正周期是2πω． 12．B解析：B【分析】 利用函数()0f π=排除两个选项，再由奇偶性排除一个后可得正确选项．【详解】由图象知()0f π=，经验证只有AB 满足，C 中()cos 2f ππππ==，D 中()f ππ=，排除CD ，A 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--==为偶函数，B 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-为奇函数，而图象关于原点对称，函数为奇函数，排除A ，选B ．故选：B ．【点睛】思路点睛：由函数图象选择解析式可从以下方面入手：(1)从图象的左右位置，观察函数的定义域；从图象的上下位置，观察函数的值域；(2)从图象的变化趋势观察函数的单调性；(3)从图象的对称性观察函数的奇偶性；(4)从图象的特殊点，排除不合要求的解析式．.二、填空题13．【分析】由诱导公式化简再利用同角三角函数间的关系和角的范围可得答案【详解】由且得故答案为：【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数间的关系在运用公式时注意角的范围属于基础题解析：2-【分析】由诱导公式化简cos()πα-，再利用同角三角函数间的关系和角的范围可得答案.【详解】由cos()3πα-=-，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得cos tan 32ααα=====-．故答案为：2-. 【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数间的关系，在运用公式时，注意角的范围，属于基础题.14．【分析】先分别设则在中由勾股定理得再分别表示出之后利用正切的和角公式求即可解决【详解】解：设则因为是直角三角形所以由勾股定理得：化简得在中在中所以又因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查正切的和角公 解析：4π 【分析】先分别设PB x =，DQ y =，则在PCQ △中，由勾股定理得1xy x y -=+，再分别表示出tan BAP ∠，tan DAQ ∠，之后利用正切的和角公式求()tan BAP DAQ ∠+∠即可解决.【详解】解：设PB x =，DQ y =，则1CP x =-，1CQ y =-，因为PCQ △是直角三角形，PB QD PQ +=，所以由勾股定理得：()()()22211x y x y -+-=+，化简得1xy x y -=+,在ABP △中，tan BP BAP x AB∠==， 在ADQ △中，tan DQ DAQ y AD ∠==， 所以()tan tan tan 11tan tan 1BAP DAQ x y BAP DAQ DAQ BAP xy ∠+∠+∠+∠===-∠∠-， 又因为02BAP DAQ π<∠+∠<，所以，=4PAQ π∠ 故答案为：4π 【点睛】 本题主要考查正切的和角公式，数据处理能力与运算能力，是中档题.15．【分析】由已知式求出利用同角三角函数间的平方关系和商数关系将化为代入即可求值【详解】则故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系正余弦其次式的计算二倍角的正弦公式属于中档题 解析：2425【分析】由已知式求出3tan 4α=-，利用同角三角函数间的平方关系和商数关系，将2sin 23cos +αα化为22tan 3tan 1αα++，代入即可求值. 【详解】4sin 3cos 0αα+=， 3tan 4α∴=-， 则22222sin cos 3cos sin 23cos sin cos ααααααα++=+ 22tan 3tan 1αα+=+ 232()343()14⨯-+=-+ 2425=. 故答案为：2425. 【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系，正、余弦其次式的计算，二倍角的正弦公式，属于中档题.16．【分析】本题首先可根据题意得出然后将转化为再然后根据列出算式最后通过计算即可得出结果【详解】如图结合题意绘出图像：因为所以则故因为所以解得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查向量的相关运算主要考查 解析：1310【分析】 本题首先可根据题意得出23BE AD 、14DF AB =，然后将AC AE AF λμ=+转化为2314AB AD λμλμ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再然后根据AC AB AD =+列出算式，最后通过计算即可得出结果.【详解】如图，结合题意绘出图像：因为2BE EC =，3CF FD ， 所以2233BE BC AD ，1144DF DC AB ， 则23AE AB BE AB AD ，14AF AD DF AD AB ， 故3142AB AD AC AE AF AD AB λμλμ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+ 4231AB AD λμλμ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为AC AB AD =+，所以114213λμλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得910λ=，25μ=，1310λμ+=， 故答案为：1310. 【点睛】关键点点睛：本题考查向量的相关运算，主要考查向量的三角形法则以及平行四边形法则的应用，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题. 17．【详解】方法一：①又②③将②③代入①得：所以点在内所以方法二：以直线OAOB 分别为轴建立直角坐标系则设又得即解得故答案为：3 解析：【详解】方法一： 3cos 2OA OCAOC OA OC ⋅∠==⋅, ① 又()2OA OC OA mOA nOB m OA m ⋅=⋅+==, ② 22222222||()||||23OC mOA nOB m OA n OB mnOA OB m n =+=++⋅=+, ③将②③代入①22323m n =+，所以229m n =， 点C 在AOB ∠内， 所以3m n=.方法二：以直线OA ,OB 分别为,x y 轴建立直角坐标系，则()(10,03A B ，， , 设()31cos30,sin 30=,22OC λλλ⎛⎫=︒︒ ⎪ ⎪⎝⎭，又()(()1,033OC mOA nOB m n m n =+=+=， 得()31,=322m n λ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即 3=2132m n λλ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得3m n=. 故答案为：3.18．【分析】观察图象可求得进而可得然后求出的值可得；而后由可求得的值得出最后代值计算即可得解【详解】由图象可知∴∴∴又∴（）∴（）∵∴∴则故答案为：【点睛】本题重点考查了正弦型三角函数的图象和性质考查逻 3【分析】观察图象可求得2A =，311341264T πππ=-=，进而可得T π=，然后求出ω的值，可得()()22f x sin x ϕ=+；而后由26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可求得ϕ的值，得出()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 最后代值计算即可得解.【详解】由图象可知2A =，311341264T πππ=-=，∴T π=，∴22πωπ==，∴()()22f x sin x ϕ=+， 又26f π⎛⎫=⎪⎝⎭，∴2262k ππϕπ⨯+=+（k Z ∈）， ∴26k πϕπ=+（k Z ∈），∵0ϕπ<<，∴6π=ϕ， ∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 则222cos 34466f sin ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：3.【点睛】本题重点考查了正弦型三角函数的图象和性质，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.19．①④【分析】根据正切函数的周期判断①是否正确正切函数的奇偶性判断②是否正确由判断③是否正确由正切函数的单调性判断④是否正确由正切函数的图象判断⑤是否正确【详解】由于f(x)＝tanx 的周期为π故①正 解析：①④【分析】根据正切函数()tan f x x =的周期判断①是否正确，正切函数的奇偶性判断②是否正确，由tan 00=判断③是否正确，由正切函数的单调性判断④是否正确，由正切函数的图象判断⑤是否正确.【详解】由于f (x )＝tan x 的周期为π，故①正确；函数f (x )＝tan x 为奇函数，故②不正确；f (0)＝tan 0＝0，故③不正确；④表明函数为增函数，而f (x )＝tan x 为区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的增函数，故④正确； ⑤由函数f (x )＝tan x 的图象可知，设A =12()()2f x f x +，B =122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭故函数在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭， 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，故⑤不正确． 故答案为：①④【点睛】本题考查了正切函数的图象和性质，属于中档题.20．或【分析】由向量的坐标运算求出并求出它的模用除以它的模得一向量再加上它的相反向量可得结论【详解】由题意∴又∴或故答案为：或【点睛】易错点睛：本题考查求单位向量一般与平行的单位向量有两个它们是相反向量 解析：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】由向量的坐标运算求出2a b -，并求出它的模，用2a b -除以它的模，得一向量，再加上它的相反向量可得结论．【详解】由题意2(1,3)(4,1)(3,4)a b -=--=-，∴22(3)5a b -=-=， 又234,552a b a b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭-， ∴c =34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】易错点睛：本题考查求单位向量，一般与a 平行的单位向量有两个，它们是相反向量：aa ±．只写出一个向量a a 是错误的．三、解答题21．（1）2425；（2）1665． 【分析】（1）由二倍角公式求得cos α，再由平方关系得sin α，然后由正弦的二倍角公式得sin 2α；（2）确定α的范围，得αβ+范围，从而可求得sin()αβ+，再由两角差的正弦公式计算．【详解】（1）由已知223cos 12sin 1225αα=-=-⨯=⎝⎭，又(0,)απ∈，∴(0,)2πα∈，∴sin 45α==， ∴4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=； （2）∵(0,)2πβ∈，∴(0,)αβπ+∈，∴12sin()13αβ+=， ∴1235416sin sin[()]sin()cos cos()sin 13513565βαβααβααβα=+-=+-+=⨯-⨯=．【点睛】关键点点睛：本题考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式，同角间的三角函数关系，解题关键是确定“已知角”和“未知角”之间的关系，确定选用的公式和应用公式的顺序．在应用三角函数恒等变换公式时注意“单角”和“复角”的相对性．如在sin ,cos αβ，求cos()a β+时，,αβ是单角，αβ+是两个单角的和，但象本题中求sin β时，αβ+作为一个单角，α作为一个单角，()βαβα=+-．由此直接应用公式求解．22．（1）3πθ=；（2）512πθ=，S 有最大值12-. 【分析】由已知可得11sin 22S AD BD θ=⨯⨯=，21sin 26S AD CF πθθ⎛⎫=⨯⨯=+ ⎪⎝⎭.（1）根据12S S 解sin 2sin 6πθθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可得答案；（2）由sin 2sin 6S πθθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭化简为1sin 223πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据θ的范围可得答案.【详解】因为Rt ACB △中，2AB =，1BC =，所以AC =6BAC π∠=，3ABC π∠=.又因为D 为以AB 为直径的半圆上一点， 所以2ADB π∠=.在Rt ADB 中，2cos AD θ=，2sin BD θ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 作CF AD ⊥于点F ，则36CF πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 1112cos 2sin sin 222S AD BD θθθ=⨯⨯=⨯⨯=， 2112cos 33sin 2266S AD CF ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1）若12S S ，则sin 23sin 6πθθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为cos 0θ≠， 所以2sin 36πθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以332sin sin 22θθθ=+，整理得13sin 22θθ=， 所以tan 3θ=3πθ=.（2）sin 23sin 6S πθθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 31sin 23cos 22θθθθ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ 33sin 2sin 2cos 2)4θθθ=-+ 133sin 224θθ=-13sin 223πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 因为02πθ<<，所以22333πππθ-<-<，当232ππθ-=时，即512πθ=，S 有最大值124-. 【点睛】 本题考查了三角函数的性质和解三角形，关键点是利用已知得到1sin 2S θ=，2sin 6S πθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，正确的利用两角和与差的正弦公式得到函数表达式()()sin f x A x ωϕ=+的形式，考查了运算能力.23．（1）1k =±；（2）3π. 【分析】（1）本题首先可以根据12ke e +和12e ke +共线得出()1212ke e e ke λ+=+，然后通过计算即可得出结果；（2）本题首先可根据()()23a b a b +⊥-得出()()230a b a b +⋅-=，然后根据1a =以及2b =求出1cos 2θ=，最后根据[]0,θπ∈即可得出结果. 【详解】（1）因为12ke e +和12e ke +共线，非零向量1e 、2e 不共线，所以存在唯一实数λ使()1212ke e e ke λ+=+，即1212ke e e ke λλ+=+，则1k kλλ=⎧⎨=⎩，即21k =，1k =±， 故当1k =±时，12ke e +和12e ke +共线.（2）因为()()23a b a b +⊥-， 所以()()22233520a b a b a a b b +⋅-=+⋅-=， 令a 与b 夹角为θ， 因为1a =，2b =，所以2235231512cos 240a a b b θ+⋅-=⨯+⨯⨯⨯-⨯=，解得1cos 2θ=， 因为[]0,θπ∈，所以a 与b 的夹角3πθ=. 【点睛】 本题考查向量共线以及向量垂直的相关性质，若非零向量a 、b 共线，则存在唯一实数λ使λa b ，若非零向量a 、b 垂直，则0a b ⋅=，考查计算能力，是中档题.24．（1）2）证明见解析.【分析】（1）利用平面向量的坐标运算和共线定理列方程求出t 的值；（2）根据条件得到2AC AB =且有公共点A ,即可得到结论.【详解】解：（1）∵(),1a t =，()5,b t =，且//a b ，故250t t -=⇒=，即实数t 的值为：5±；（2）证明：∵OA a b =+，2OB a b =+，3OC a b =+.∴AB OB OA b =-=，2AC OC OA b =-=，即2AC AB =且有公共点A ，故A ，B ，C 三点共线．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，用向量法证明三点共线，属于基础题． 25．（1）712a π=-，1b =，()f x 的递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）24π或724π 【分析】（1）根据图中最大值得2A =，得出周期可求得2ω=，由23f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭可求出ϕ，即可求得,a b ，令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈可求出单调递增区间；（2）利用解析式直接求解即可.【详解】（1）由图可得2A =，35341234T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则T π=，22πωπ∴==， ()2sin(2)f x x ϕ∴=+，22sin 233f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22,32k k Z ππϕπ-=-+∈， 则2,6k k Z πϕπ=+∈，||2πϕ<，6πϕ∴=，()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭， 2sin 16b π=∴=，7343412T a ππππ=--=--=-，令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，∴()f x 的递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）()2sin 26f παα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， [0,]απ∈，132,666πππα∴⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 264ππα∴+=或3264ππα+=，则24πα=或724π. 【点睛】 方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x =+ωϕ部分图象求解析式的方法： （1）根据图象的最值可求出A ；（2）求出函数的周期，利用2T πω=求出ω； （3）取点代入函数可求得ϕ.26．（1）()22sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）递增区间为7,,1212ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ，x 的集合为5,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【分析】（1）先求出2A =，根据图形得出周期，可求出2ω=，再代入,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭可求出ϕ； （2）令2222,232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈可求出增区间，当2322,32x k k Z πππ+=+∈时可得最小值. 【详解】（1）由图可知，2A =， 46124T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，即T π=，22πωπ∴==， 则()()2sin 2f x x ϕ=+，2sin 2066f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即,3k k Z πϕπ+=∈， 则,3k k Z πϕπ=-∈，0πϕ<<，23πϕ∴=，()22sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭； （2）令2222,232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得27,121ππππ-+≤≤-+∈k x k k Z ， 故()f x 的单调递增区间为7,,1212ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ， 当2322,32x k k Z πππ+=+∈，即25,1ππ=+∈x k k Z 时，()f x 取得最小值为2-， 此时x 的集合为5,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x =+ωϕ部分图象求解析式的方法： （1）根据图象的最值可求出A ；（2）求出函数的周期，利用2T πω=求出ω； （3）取点代入函数可求得ϕ.。

一、选择题1．设函数22()cos sin 2cos sin f x x x x x =-+，下列说法中，错误的是（ ）A ．()f x 的最小值为2-B ．()f x 在区间,48ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增. C ．函数()y f x =的图象可由函数2sin y x =的图象先向左平移4π个单位，再将横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)而得到. D ．将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位，所得函数的图象关于y 轴对称. 2．若1sin 34a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．78-B ．78C ．1516-D ．15163．如下图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点,C B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为43,,,55AOC α⎛⎫-∠= ⎪⎝⎭若1BC =，则233cos sin cos 222ααα--的值为（ ）A ．45B ．35C ．45-D ．354．函数()()sin 0y x πϕϕ=+>的部分图象如图所示,设P 是图象最高点,,A B 是图象与x 轴的交点,记APB θ∠=,则sin 2θ的值是（ ）A ．1665B ．6365C ．1663-D ．1665-5．已知O 为坐标原点，点M 的坐标为（2，﹣1），点N 的坐标满足111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩,则OM ON ⋅的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．－16．已知M 、N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则PM PN +的取值范围为（ ）A ．53,53+⎡⎣B ．103,103⎡-⎣C ．523,523-+⎡⎣D ．1023,1023-+⎡⎤⎣⎦7．已知向量,a b 满足2(1,2),(1,)+==a b m b m ，且a 在b 25，则实数m =（ ） A ．2±B ．2C ．5D 58．在ABC 中，2BAC π∠=，2AB AC ==，P 为ABC 所在平面上任意一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为（ ）A ．1B ．12-C ．－1D ．-29．如图，一半径为4.8m 的筒车按逆时针方向转动，已知筒车圆心O 距离水面2.4m ，筒车每60s 转动一圈，如果当筒车上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计时，则（ ）A ．点P 第一次到达最高点需要10sB ．点P 距离水面的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数解析式为4.8sin 2.4306h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ C ．在筒车转动的一圈内，点P 距离水面的高度不低于4.8m 共有10s 的时间 D ．当筒车转动50s 时，点P 在水面下方，距离水面1.2m 10．函数1sin3y x =-的图像与直线3x π=，53x π=及x 轴所围成的图形的面积是（ ） A ．23π B ．πC ．43π D ．53π 11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x +也是奇函数，当(]0,1x ∈时，()11f x x=-.若函数()()sin F x f x x π=+，则()F x 在区间[]1949,2021上的零点个数是（ ） A ．108 B ．109 C ．144 D ．14512．设函数()tan 3f x x π=-，()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是（ ） A ．4B ．5C ．12D ．13二、填空题13．已知10cos 0,42ππθθ⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______ 14．将22sin 23cos x x x +化简为sin()A x B ωϕ++（0A >，0>ω，π2ϕ<）的形式为______.15．已知函数31()sin 2222f x x x =-+，对于任意的3a ⎡∈⎢⎣⎭，方程()2(0)f x a x m -=≤<仅有一个实数根，则m 的最大值为__________．16．已知向量a 、b 满足1a b +=，2a b -=，则a b +的取值范围为___________.17．若点O 和点F 分别为椭圆24x ＋23y ＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ·FP 的最大值为________.18．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点5BA CA ⋅=，2BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________.19．关于1()sin sin f x x x=-，有如下四个结论： ①()f x 是奇函数.②()f x 图像关于y 轴对称. ③2x π=是()f x 的一条对称轴.④()f x 有最大值和最小值. 其中说法正确的序号是________．20．函数(x)Asin(x )f ωϕ=+ (0A >，0>ω,0ϕπ<< )的部分图象如图所示，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________.三、解答题21．在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答. ①函数()2sin(2)f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<）的图象向右平移12π个单位长度得到()g x 的图象，()g x 图象关于原点对称；②函数()3)cos(2)(0)f x x x ωπωω=-->；③函数()4cos sin 1(0)6f x x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭； 问题：已知________，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3f α=，求α的值． 22．已知函数()23sin cos cos f x x x x m =++的最小值为3-. （1）求m 的值及()f x 的单调递减区间； （2）()0,x π∀∈，sin 06a x f x π⎛⎫++< ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围. 23．如图一，在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()11,A x y ，()22,B x y ，请根据以下信息，处理问题（1）和（2）.信息一：O 为坐标原点，()22,OB x y =，若将OB 顺时针旋转90︒得到向量'OB ，则()22',OB y x =-，且'OB OB =；信息二：()22,OB x y =与()11,OA x y =的夹角记为θ，()22',OB y x =-与()11,OA x y =的夹角记为α，则sin cos θα=；信息三：1sin 2OAB S OA OB θ=⋅⋅△；信息四：11122122x y x y x y x y =-，叫二阶行列式.（1）求证：112212OAB x y S x y =△，（外层“”表示取绝对值）；（2）如图二，已知三点()2,1M ，()3,4N ，()1,6Q ，试用（1）中的结论求MNQ △的面积.24．已知函数21()sin 3cos 2f x x x x =+.（1）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域； （2）若关于x 的方程()2()1()0f x m f x m -++=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有三个不同的实根，求实数m 的取值范围.25．已知||1a =，||2b =.（1）若向量a 与向量b 的夹角为135︒，求||a b +及b 在a 方向上的投影； （2）若向量a b -与向量a 垂直，求向量a 与b 的夹角.26．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω）的图像是由3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移3π个单位得到的.（1）若()f x 的最小正周期为π，求()f x 的与y 轴距离最近的对称轴方程； （2）若()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上仅有一个零点，求ω的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦型函数性质判断AB ，利用图象平移伸缩判断CD. 【详解】由22()cos sin 2cos sin cos 2sin 2)4f x x x x x x x x π=-+=+=+，可知函数的最小值为，故A 正确；当,48x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,442x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，由正弦函数单调性知())4f x x π=+单调递增，故B 正确；y x =的图象先向左平移4π个单位得)4y x π=+，再将横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)得)4y x π=+，故C 正确；将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位得)]))44424y x x x πππππ=++=++=+，图象不关于y 轴对称，故D 错误. 故选：D 【点睛】关键点点睛：首先要把函数解析式化简，利用正弦型函数的图象与性质判断值域与单调性，利用图象变换的时候，注意平移与伸缩都变在自变量上，属于中档题.2．B解析：B 【分析】 化简sin 2cos 2()63a ππα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再利用二倍角公式化简求值. 【详解】22sin 2sin[(2)]cos(2)=cos 2()cos 2()632333a ππππππαααα⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭=21712sin ()123168πα--=-⨯=. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角变名变式），要根据已知条件灵活选择方法化简求值.3．B解析：B 【解析】 ∵点B 的坐标为43,55⎛⎫-⎪⎝⎭，设AOB θ∠=， ∴325sinπθ-=-（），425cos πθ-=（）， 即35sin θ=，45cos θ=， ∵AOC α∠=，若1BC =，∴3πθα+=，则3παθ=-，则213sincossin cos cos sin 2222625αααππαααθθ⎛⎫⎛⎫-=-=+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B.点睛：本题主要考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的定义以及三角函数的辅助角公式是解决本题的关键；利用降幂公式可将所求表达式化简为关于α的表达式，设AOB θ∠=，当角α的终边与单位圆的交点坐标为(),u v 时，sin v α=，cos u α=，可先求出关于θ的三角函数式，结合等边三角形寻找,αθ之间的关系即可.4．A解析：A 【分析】过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，由三角函数性质得2AB =，12AD =，1DP =，32DB =，故1tan 2APD ∠=，3tan 2BPD ∠=，进而得()tan tan 8APD BPD θ=∠+∠=，故2222sin cos 2tan 16sin 22sin cos sin cos tan 165θθθθθθθθθ====++.【详解】解：根据题意，如图，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ， 由于函数的最小正周期为22T ππ==，最大值为max 1y =，所以2AB =，12AD =，1DP =，32DB =， 所以在直角三角形ADP 和直角三角形BDP 中，1tan 2APD ∠=，3tan 2BPD ∠=， 所以()tan tan tan APB APD BPD θ=∠=∠+∠tan tan 28311tan tan 122APD BPD APD BPD ∠+∠===-∠⋅∠-⨯， 所以2222sin cos 2tan 16sin 22sin cos sin cos tan 165θθθθθθθθθ====++. 故选：A.【点睛】本题考查三角函数的性质，同角三角函数关系，正切的和角公式，考查运算能力，是中档题.5．A解析：A【分析】根据题意可得，OM ON⋅＝2x﹣y，令Z＝2x﹣y，做出不等式组所表示的平面区域，做直线l0：2x﹣y＝0，然后把直线l0向可行域内平移，结合图象可判断取得最大值时的位置．【详解】根据题意可得，OM ON⋅＝2x﹣y，令Z＝2x﹣y做出不等式组所表示的平面区域，如图所示的△ABC阴影部分：做直线l0：2x﹣y＝0，然后把直线l0向可行域内平移，到点A时Z最大，而由x+y=11x⎧⎨=⎩可得A（1，0），此时Z max＝2．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了利用线性规划求解最优解及目标函数的最大值，解题的关键是正确作出不等式组所表示的平面区域，并能判断出取得最大值时的最优解的位置．利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

一、选择题1．已知θ为锐角，且满足如tan 311tan θθ=，则tan 2θ的值为（ ） A ．34B ．43 C ．23D ．322．已知()3sin 2020cos2020f x x x =+的最大值为A ，若存在实数1x ，2x ，使得对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ） A ．2020π B ．1010π C ．505π D ．4040π 3．已知72cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2θ=（ ） A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．24254．已知函数()23sin 22cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ） A ．54π B ．34π C ．2π D ．3π 5．若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为（ ） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒6．在空间直角坐标系中，(3,3,0)A ，(0,0,1)B ，点(,1,)P a c 在直线AB 上，则 （ ） A ．11,3a c ==B ．21,3a c ==C ．12,3a c ==D ．22,3a c ==7．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．2B ．8 km/hC ．34D ．10 km/h8．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若()1AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭9．如图，一个质点在半径为1的圆O 上以点P 为起始点，沿逆时针方向旋转，每2s 转一圈，由该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式是（ ）A ．2sin()3y t ππ=+ B ．2sin()3y t ππ=- C ．2sin()3y t ππ=-D ．2sin()3y t ππ=+10．将函数sin()y x ϕ=+的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移12π个单位后得到的函数图像关于原点中心对称，则sin 2ϕ=( )A ．12-B ．12C ．3D ．3211．当5,2,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，若αβ>，则以下不正确的是（ ） A ．sin sin tan tan αββα->- B ．cos tan cos tan αββα+<+ C ．sin tan sin tan αββα> D ．tan sin tan sin αββα<12．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象（如图所示），则下列有关函数()f x 的结论错误的是（ ）A ．图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 B ．最小正周期是π C ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值是3 二、填空题13．已知函数()222x f x a -=-（0a >且1a ≠）过定点P ，且点P 在角6πα⎛⎫+⎪⎝⎭的终边上cos α=_______. 14．已知πsin(π)3sin()02αα+--=，则cos2α的值为________. 15．已知cosα17=，cos(α﹣β)1314=，且0<β<α2π<，则sinβ=_____. 16．已知平面向量a ，b ，c ，d 满足1a b ==，2c =，0a b ⋅=，1c d -=，则2a b d ++的取值范围为______.17．如图,在△ABC 中,13AN NC =,P 是BN 上的一点,若AP =m 211AB AC +,则实数m 的值为_____.18．已知()()sin 03f x x πωϕω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：①T π=；②3y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数；③()06f f π⎛⎫<⎪⎝⎭.若()f x 在[)0,t 上没有最小值，则实数t 的取值范围是___________. 19．已知如下变换：①将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标保持不变； ②将图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变；③将图像整体向右平移3π个单位长度； ④将图像整体向右平移6π个单位长度； ⑤将图像整体向左平移3π个单位长度； ⑥将图像整体向左平移6π个单位长度； 要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需将函数sin y x =的图象经过变换____________（填上你认为正确的一种情况即可，注意编号顺序）20．在ABC 中，2AB =，32AC =，135BAC ∠=︒，M 是ABC 所在平面上的动点，则w MA MB MB MC MC MA =⋅+⋅+⋅的最小值为________．三、解答题21．已知函数2()3sin 22sin f x x x =+．（1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）当,312x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域． 22．在ABC 中，A B C <<且 tan A ，tan B ，tan C 均为整数. （1）求A 的大小； （2）设AC 的中点为D ，求BCBD的值. 23．已知平面直角坐标系中，点 O 为原点，()()3,1,1,2A B - ． (I)求AB 的坐标及AB ；(Ⅱ)设 e 为单位向量，且 e OB ⊥，求e 的坐标24．如图，四边形ABOC 是边长为1的菱形，120CAB ∠=︒，E 为OC 中点．（1）求BC 和BE ；（2）若点M 满足ME MB =，问BE BM ⋅的值是否为定值？若是定值请求出这个值；若不是定值，说明理由．25．函数()cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）写出()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图象向右平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，讨论关于x 的方程()3()0f x g x m -⋅-=(11)m -<≤在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数．26．为整治校园环境，设计如图所示的平行四边形绿地ABCD ，在绿地中种植两块相同的扇形花卉景观，两扇形的边(圆心分别为A 和C )均落在平行四边形ABCD 的边上，圆弧均与BD 相切，其中扇形的圆心角为120°，扇形的半径为12米.（1）求两块花卉景观扇形的面积；（2）记BDA θ∠=，求平行四边形绿地ABCD 占地面积S 关于θ的函数解析式，并求面积S 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先利用两角和的正切计算tan tan 2tan 31tan tan 2θθθθθ+=-，再利用二倍角的正切化简前者，结合tan 311tan θθ=可得1tan 2θ=，从而可求tan 2θ.【详解】32222tan tan tan tan 23tan tan 1tan tan 32tan 1tan tan 213tan 1tan 1tan θθθθθθθθθθθθθθ++--===---⨯-，故32223tan tan tan 33tan 13tan 11tan tan 13tan θθθθθθθθ---===-，故21tan 4θ=， 因为θ为锐角，故1tan 2θ=，故1242tan 21314θ⨯==-， 故选：B. 【点睛】思路点睛：已知θ的三角函数值，求()*n n N θ∈的三角函数值，应利用两角和的三角函数值逐级计算即可.2．B解析：B 【分析】化简函数()f x 的解析式可得周期与最大值，对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，即12x x -半周期的整数倍，代入求最小值即可．【详解】()2020cos 20202sin 20206f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则220201010T ππ==，2A = 1212210101010A x x ππ-≥⨯⨯=故选：B 【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查三角恒等变换，考查周期与最值的求法，属于中档题．3．D解析：D 【分析】由2sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()1244πππθθθθ=-=-=--，代入即可求解. 【详解】因为cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 由24924sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()1212445025πππθθθθ=-=-=--=⨯-=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简、求值，其中解答中熟记余弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.4．C解析：C 【分析】根据三角恒等变换化简函数()f x ，再由图象的平移得到函数()g x 的解析式，利用函数()g x 的值域，可知12x x -的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，从而得出选项.【详解】函数2()22cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得2sin 46y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数()2sin 416y g x x π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的图象，所以函数()y g x =的值域为[1,3]-.若()()129g x g x ⋅=，则()13g x =且()23g x =，均为函数()y g x =的最大值， 由42()62x k k Z πππ-=+∈，解得()62k x k Z ππ=+∈； 其中1x ､2x 是三角函数()y g x =最高点的横坐标，12x x ∴-的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，且242T ππ==. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象的平移，以及函数的值域和周期，属于中档题.5．B解析：B 【分析】首先分别求出12a e e =+与122b e e =-+的数量积以及各自的模，利用数量积公式求之．【详解】 由已知，1212e e ⋅=，所以(()1212)2e e e e +-+=32，|12e e +|=3，|122e e -+|=3, 设向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为α，则312cos ,2333παα==∴=⋅.故答案为B 【点睛】(1)本题主要考查向量的夹角的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：·cos ,ab a b a b=,方法二：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+.6．B解析：B 【解析】∵点P (a ,1,c )在直线AB 上， ∴存在实数λ使得AB BP λ=， ∴()()()0,0,13,3,0,1,1a c λ-=- ， 化为()3,3,1(,,)a c λλλλ--=- ，∴3{31ac λλλλ-=-==- ,解得3{123a c λ=-==.本题选择B 选项.7．A解析：A 【解析】设客船在静水中的速度大小为 /v km h 静，水流速度为 v 水，则2/v km h =水，则船实际航行的速度v v v =+静水，60.160t h =，由题意得100.1AB v ≤=． 把船在静水中的速度正交分解为x y v v v 静=+， ∴0.660.1y v ==，在Rt ABC 中，0.8BC ==． ∵80.1x x BCv v v v +=+==水水，∴826x v =-=∴22x yv v v 静=+=设v v 静水＜，＞＝θ，则tan 1yxv v θ==，∴cos θ=．此时222721010v v v v v v v +=+⋅+==≤静水静静水水＝ ，满足条件，故选A.8． D解析：D 【分析】设CO yBC =，则()1AO AC CO AC yBC yAB y AC =+=+=-++，根据3BC CD =得出y 的范围，再结合()1AO xAB x AC =+-得到,x y 的关系，从而得出x的取值范围. 【详解】 设CO yBC =，则()()1AO AC CO AC yBC AC y AC AB yAB y AC =+=+=+-=-++, 因为3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，所以10,3y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又因为()1AO xAB x AC =+-， 所以x y =-，所以1,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的线性运算，考查利用向量关系式求参数的取值范围问题，难度一般.9．A解析：A 【分析】首先根据图象理解t 秒后23POx t ππ∠=+，再根据三角函数的定义求点P 的纵坐标和该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式. 【详解】由题意可知点P 运动的角速度是22ππ=（弧度/秒） 那么点P 运动t 秒后23POx t ππ∠=+， 又三角函数的定义可知，点P 的纵坐标是2sin 3t ππ⎛⎫+⎪⎝⎭， 因此该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式是2sin 3y t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解三角函数的定义，并正确表示点23POx t ππ∠=+，即可表示函数的解析式.10．C解析：C 【分析】先根据条件写出图像变换后的函数解析式，然后根据图像关于原点中心对称可知函数为奇函数，由此得到ϕ的表示并计算出sin 2ϕ的结果. 【详解】因为变换平移后得到函数sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由条件可知sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数，所以6k πϕπ+=，sin 2sin 2sin 33k ππϕπ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选C ． 【点睛】本题考查三角函数的图像变换以及根据函数奇偶性判断参数值，难度一般.正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ为奇函数时,k k Z ϕπ=∈，为偶函数时,2k k Z πϕπ=+∈.11．D解析：D 【分析】对A ，由()sin tan f x x x =+在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增可判断；对B ，由()cos tan f x x x =-在52,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减可判断；对C ，由()sin tan f x x x =在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增可判断；对D ，由tan ()sin x f x x =在52,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增可判断.【详解】A ．设()sin tan f x x x =+，则()f x 在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 因为αβ>，所以()()f αf β>，所以sin tan sin tan ααββ+>+，所以sin sin tan tan αββα->-，所以A 对，不符合题意；B ．设()cos tan f x x x =-，则()f x 在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 因为αβ>，所以()()f f αβ<，所以cos tan cos tan ααββ-<-， 所以cos tan cos tan αββα+<+，所以B 对，不符合题意； C ．设()sin tan f x x x =，因为sin ,tan x x 在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭都为正数，且都单调递增， 所以()sin tan f x x x =在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 因为αβ>，所以()()f αf β>， 所以sin tan sin tan ααββ>，所以sin tan sin tan αββα>，所以C 对，不符合题意； D ．设tan ()sin x f x x =，则tan 1()sin cos x f x x x ==在52,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 因为αβ>，所以()()f αf β>，所以tan tan sin sin αβαβ>， 所以tan sin tan sin αββα>，所以D 错，符合题意． 故选：D. 【点睛】本题考查利用三角函数的单调性比较大小，解题的关键是恰当构造函数，判断函数的单调性，利用单调性判断大小.12．C解析：C 【分析】首先根据题中所给的函数图象，从最值、周期和特殊点着手将解析式确定，之后结合函数的性质对选项逐一分析，得到结果. 【详解】根据图象得到：2A =，311341264T πππ=-=，所以T π=， 所以2ππω=，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+．将点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得到2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()232k k Z ππϕπ+=+∈，得()26k k Z πϕπ=+∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 对于A ，20126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，则函数()f x 关于,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故A 正确； 对于B ，函数的周期22T ππ==，故B 正确； 对于C ，当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时函数()f x 为增函数，故C 错误； 对于D ，当0,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin 262x π⎡⎛⎫+∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 26x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭，故()f x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 正确．故选：C ． 【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有根据图象确定函数解析式，正弦型函数的相关性质，属于简单题目.二、填空题13．【分析】由指数为0时可得定点进而可得和利用展开即可得解【详解】由所以函数（且）过定点所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用展开求解解析：16【分析】由指数为0时可得定点P ，进而可得sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭和cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用cos cos[()]66ππα=α+-展开即可得解.【详解】由(012f a =-=，所以函数()2x f x a -=-0a >且1a ≠）过定点P ，所以1sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，cos 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 所以cos cos[()]cos()cossin()sin 666666ππππππα=α+-=α++α+1132=⨯=. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用cos cos[()]66ππα=α+-展开求解.14．【分析】根据利用诱导公式结合商数关系得到然后由求解【详解】因为所以解得所以故答案为：【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式以及同角三角函数基本关系式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题解析：45-【分析】根据πsin(π)3sin()02αα+--=，利用诱导公式结合商数关系得到tan 3α=-，然后由222222cos sin cos 2cos sin cos sin ααααααα-=-=+求解. 【详解】因为πsin(π)3sin()02αα+--=， 所以sin 3cos 0αα--=， 解得tan 3α=-，所以222222cos sin cos 2cos sin cos sin ααααααα-=-=+，()()2222131tan 41tan 513αα---===-++-， 故答案为：45- 【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式以及同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得的值由的值【详解】依题意则所以所以所以故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与转化的数学思想方法属于基础题解析：2【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得()sin ,sin ααβ-的值，由()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦的值. 【详解】 依题意02πβα<<<，则02πβ>->-，所以02παβ<-<，所以sin 7α==，()sin 14αβ-==()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()sin cos cos sin ααβααβ=---1317147147142=⨯-⨯==⨯.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16．【分析】用几何意义求解不妨设则在圆心在原点半径为2的圆上设则在以为圆心半径为1的圆上运动后形成的轨迹是圆心在原点大圆半径为3小圆半径为1的圆环表示圆环内的点与定点的距离由图形可得最大值和最小值【详解解析：3⎡⎤⎣⎦【分析】用几何意义求解．不妨设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，则(,)C x y 在圆心在原点，半径为2的圆上，设(),d x y '='，则(,)D x y ''在以C 为圆心半径为1的圆上，C 运动后，D 形成的轨迹是圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环，2a b d ++表示圆环内的点D 与定点()2,1P --的距离，由图形可得最大值和最小值． 【详解】令()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，设C 的坐标为(),x y ，C 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆上.设(),d x y '='，D 的坐标为(),x y ''，D 的轨迹为圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环上.()22,1a b d d ++=---表示D 与点()2,1P --的距离，由图可知，故2a b d ++的取值范围为0,53⎡⎤+⎣⎦. 故答案为：0,53⎡⎤+⎣⎦【点睛】本题考查向量模的几何意义，考查模的最值，解题关键是设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，(),d x y '='，固定,a b 后得出了,C D 的轨迹，然后由模2a b d ++的几何意义得出最值．17．【解析】由得设=n 所以+n=+n()=(1-n)=m 由n=得m=1-n= 解析：311【解析】 由13AN NC =,得14AN AC =. 设BP =n BN ,所以AP AB BP AB =+=+n BN =AB +n (AN AB -)=(1-n )14AB nAC +=m 211AB AC +. 由14n=211,得m=1-n=311.18．【分析】由周期公式可得由三角函数的中心对称可得结合即可得为奇数即可得由可得进而可得即可得解【详解】由可得由是奇函数可得函数的图象关于中心对称所以即又所以所以为奇数由可得因为在上没有最小值所以即故答案解析：511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦【分析】由周期公式可得ω，由三角函数的中心对称可得,3k k Z πϕπ=+∈，结合()06f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭即可得k 为奇数，即可得()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由[)0,x t ∈可得2,2333x t πππ⎡⎫-∈--⎪⎢⎣⎭，进而可得432332t πππ<-≤，即可得解. 【详解】 由T π=可得22T πω==，()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由3y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数可得函数()f x 的图象关于,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称， 所以2,33k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-++=∈ ⎪⎝⎭，即,3k k Z πϕπ=+∈， 又()06f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以2sin sin 33ππϕϕ⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以,3k k πϕπ=+为奇数，()sin 2sin 2333f x x k x ππππ⎛⎫⎛⎫=+++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由[)0,x t ∈可得2,2333x t πππ⎡⎫-∈--⎪⎢⎣⎭， 因为()f x 在[)0,t 上没有最小值，所以432332t πππ<-≤即511,612t ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故答案为：511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，牢记知识点是解题关键，属于中档题.19．②④或③②(填一种即可)【分析】利用三角函数图象变换可以先平移后伸缩也可以先伸缩后平移即可得到结论【详解】经过变换②可得到再经过变换④可得;或者经过变换③可得到再经过变换②可得故答案为:②④或③②(解析：②④或③②(填一种即可) 【分析】利用三角函数图象变换,可以“先平移，后伸缩”,也可以“先伸缩，后平移”即可得到结论. 【详解】sin y x =经过变换②可得到sin 2y x =,再经过变换④可得sin(2)3y x π=-;或者sin y x =经过变换③可得到sin()3y x π=-,再经过变换②可得sin 2y x =.故答案为: ②④或③②(填一种即可). 【点睛】本题考查三角函数图象变换,分辨清“先平移，后伸缩”,还是“先伸缩，后平移”是解题的关键,熟练掌握无论是哪种变换,切记每一个变换总是对x 而言,属于中档题.20．【分析】以A 为原点AC 所在直线为x 轴建系如图所示根据题意可得ABC 坐标设可得的坐标根据数量积公式可得的表达式即可求得答案【详解】以A 为原点AC 所在直线为x 轴建立坐标系如图所示：因为所以设则所以=当时 解析：283-【分析】以A 为原点，AC 所在直线为x 轴，建系，如图所示，根据题意，可得A 、B 、C 坐标，设(,)M x y ，可得,,MA MB MC 的坐标，根据数量积公式，可得w 的表达式，即可求得答案.【详解】以A 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立坐标系，如图所示：因为2AB =，32AC =135BAC ∠=︒， 所以(0,0),(2,2),(32,0)A B C -，设(,)M x y ，则(,),(2,2),(32,)MA x y MB x y MC x y =--=---=--， 所以(2)(2)w MA MB MB MC MC MA x x y y =⋅+⋅+⋅=++22)(32)(2)(2)x x y y x x y -++-+=22222222834232263()3()333x x y x y -+--=-+--，当,33x y ==时，w 有最小值，且为283-， 故答案为：283- 【点睛】解题的关键是建立适当的坐标系，求得点坐标，利用数量积公式的坐标公式求解，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.三、解答题21．（1）()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）[]1,1-【分析】（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求函数的单调递减区间； （2）先求26x π-的范围，再求函数sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭的范围，最后求函数的值域. 【详解】（1）因为()21cos 22sin 216f x x x x π⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭， 令3222262k x k πππππ+≤-≤+，解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调增区间为()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）,312x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，22,36x ππ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦，52,066x ππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，利用正弦函数的图像与性质知[]sin 21,06x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，[]2sin 211,16x π⎛⎫∴-+∈- ⎪⎝⎭所以()f x 的值域为[]1,1-. 【点睛】方法点睛：本题考查三角函数恒等变换和函数性质的综合应用，()sin y A x ωϕ=+的性质：（1）周期2π.T ω=（2）由 ()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴，由()πx k k ωϕ+=∈Z 求对称中心.（3）由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间；由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.22．（1）45A =︒；（2）1BCBD= 【分析】（1）A B C <<，A 不能是钝角，且若tan 2A ≥，与A B C π++=矛盾，可得45A =︒；（2）由（1）结合两角和与差的正切公式，以及tan B ，tan C 均为整数，可得tan ,tan B C ，再利用正弦定理结合平面向量求出BD ，进而得出答案．【详解】 （1）A B C <<，A ∴不能是钝角，tan 0A >若tan 2A ≥，tan 60︒=tan y x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭内单调递增，60A ∴>︒ 又A B C <<，,B C ∴都大于60︒，与A B C π++=矛盾tan 1A ∴=，即45A =︒（2）45,135A B C =︒∴+=︒，()tan tan1351B C +=︒=-又()tan tan tan 11tan tan B CB C B C++==--，即tan tan 1tan tan B C B C -=+由tan B ，tan C 均为整数，且B C <，可得tan 2,tan 3B C ==则cos ,sin 55B B ==；cos ,sin 105C C ==由正弦定理sin 45sin sin a b c B C ==︒，可得,55b ac a ==又AC 的中点为D ，则2214BA BC BD AC ⋅=-，即221cos 4c a ABC BD AC ⋅⋅∠=-2214a BD ⎫⋅=-⎪⎪⎝⎭解得BD a =，故1BC aBD a== 【点睛】关键点点睛：本题考查三角恒等变换，考查同角三角函数的关系，考查正弦定理以及平面向量的应用，解决本题的关键点是充分利用A B C <<且tan A ，tan B ，tan C 均为整数，结合两角和与差的正切公式以及同角三角函数的关系，得出所求的比值，考查学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．23．（1）()4,1=-AB ,17;=AB （2）25,5⎛= ⎝⎭e ，或25.5⎛=- ⎝⎭e 【详解】试题分析：（I ）利用向量的坐标运算直接求AB 的坐标及AB ； （II ）利用向量的垂直，数量积为0，结合单位向量求解即可． 试题（I ）()()AB 13,214,1=---=-,(AB =-=(Ⅱ)设单位向量(),e x y =， 所以221x y +=，即221x y += 又(),1,2⊥=-e OB OB , 所以20x y -+=即2x y =由2221x y x y =⎧⎨+=⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以25,5⎛= ⎝⎭e ，或25.5⎛=- ⎝⎭e 24．（1）3BC =；7BE =2）是定值，78.【分析】（1）由()22BC AC AB =-，()2212BE BO BC ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，结合数量积公式得出BC 和BE ；（2）取BE 的中点N ，连接MN ，由ME MB =，得出MN BE ⊥，由BM BN NM =+，结合数量积公式计算BE BM ⋅，即可得出定值.【详解】（1）∵BC AC AB =-∴222211211cos1203BC AC AB AB AC =+-⋅=+-⨯⨯⨯︒= ∴3BC=又()12BE BO BC =+ ∴()22211721321444BE BO BC BO BC ⎛=++⋅=++⨯= ⎝⎭ ∴72BE =（2）取BE 的中点N ，连接MN∵ME MB =，∴MN BE ⊥，且BM BN NM =+∴()BE BM BE BN NM BE BN BE NM ⋅=⋅+=⋅+⋅211177022248BE BE BE =⋅+==⨯= ∴78BE BM ⋅=（为定值）【点睛】本题主要考查了利用定义计算数量积以及模长，涉及了向量加减法的应用，属于中档题. 25．（1）()cos(2)6f x x π=+；（2）见解析. 【分析】（1）根据图象求出周期，再根据最低点可求ϕ，从而得到函数解析式.（2）求出()g x 的解析式，故方程可化为cos 206m x π⎛⎫---= ⎪⎝⎭，可通过直线y m =-与cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的图象的交点的个数解决方程的解的个数. 【详解】（1）由函数的图象可得()f x 的周期为2236πππ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，故22πωπ==， 又26312f ππ⎛⎫+ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，故5cos 2+112πϕ⎛⎫⨯=- ⎪⎝⎭， 所以526k πϕππ+=+即2,6k k Z πϕπ=+∈， 因为02πϕ<<，故6π=ϕ，所以()cos(2)6f x x π=+. （2）()cos(2)cos 266g x x x ππ=-+=，故()3()cos(2)3cos 26f x g x m x x m π-⋅-=+--cos 2cos sin 2sin 3cos 2cos 2666x x x m m x πππ⎛⎫=---=--- ⎪⎝⎭ 故方程在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数即为y m =-与cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象交点的个数，cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，由图象可得：当1m -=-或312m <-<即1m =或312m -<<-时，方程有2个不同的解； 当31m -<-≤31m ≤<时，方程有4个不同的解； 当33m <-≤33m ≤<时，方程有3个不同的解； 【点睛】方法点睛：（1）平移变换有“左加右减”（水平方向的平移），注意是对自变量x 做加减．（2）与余弦型函数有关的方程的解的个数的讨论，一般可转化为动直线与确定函数的图象的交点个数来讨论.26．（1）96π平方米；（2）1443sin 262S θ+- ⎪⎝⎭=，且最小值为2883. 【分析】（1）根据题中条件，由扇形面积公式，即可计算出结果；（2）过点A 作AE BD ⊥于点E ，由题中条件，得到12AE =，再由θ分别表示出BE 和DE ，得出BD ，进而可得出平行四边形ABCD 的面积S 关于θ的函数解析式，由三角函数的性质，即可求出最小值.【详解】（1）因为两扇形所在圆的半径均为12米，扇形的圆心角为23π， 所以两块花卉景观扇形的面积为112212129623S ππ=⨯⨯⨯⨯=平方米； （2） 过点A 作AE BD ⊥于点E ，因为圆弧均与BD 相切，所以E 即为切点，则12AE =， 又BDA θ∠=，23BAD π∠=，所以3DBA πθ∠=-，π0θ3， 在Rt ADE △中，tan AE DE θ=，所以1212cos tan sin DE θθθ==； 在Rt ABE △中，tan 3AE BE πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以12cos 123tan sin 33BE πθππθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则12sin cos cos sin 12cos 3312cos 3sin sin sin sin 33BD BE DE πππθθθθθθππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+=+=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12sin63631233131131sin sin sin 2sin 2cos 2sin cos sin 362πππθθθθθθθθ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因此平行四边形绿地ABCD 占地面积14431sin 216222S BD AE πθ⎛⎫+- ⎝⨯⨯⎪⎭=⨯=， 因为π0θ3，所以52666πππθ<+<， 因此当262ππθ+=，即6πθ=时，14431sin 262S πθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=取得最小值，且最小值为min 2883S =.【点睛】关键点点睛：=⨯，得出平行四边形的面积S关于求解本题的关键在于用θ表示出BD，再由S BD AEθ的函数解析式，利用正弦函数的性质，即可求解最值.。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四章末综合测评(一) 三角函数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若α＝－6，则角α的终边在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵－2π<－6<－3π2，∴角α在第一象限，故选A．【答案】 A2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】由条件可知，tan α<0且cos α<0，∴α是第二象限角．【答案】 B3．已知角α的终边经过点(3a，－4a)(a<0)，则sin α＋cos α等于( )A．15B．75C ．－15D ．－75【解析】 r ＝(3a )2＋(－4a )2＝－5a ，∴sin a ＝－4a －5a ＝45，cos a ＝3a －5a ＝－35，∴sin a ＋cos a ＝45－35＝15.【答案】 A4．(2016·阜阳高一检测)已知扇形的半径为r ，周长为3r ，则扇形的圆心角等于( )【导学号：66470036】A ．π3B ．1C.2π3D ．3【解析】 因为弧长l ＝3r －2r ＝r ， 所以圆心角α＝lr＝1.【答案】 B5．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2x ＋π3，则下列不等式中正确的是( )A ．f (1)<f (2)<f (3)B ．f (2)<f (3)<f (1)C ．f (3)<f (2)<f (1)D ．f (2)<f (1)<f (3)【解析】 ∵f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2x ＋π3，∴f (1)＝3sin 5π6＝32，f (2)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3＝－3sin π3＝－332，f (3)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32π＋π3＝－3cos π3＝－32.∴f (2)<f (3)<f (1)． 【答案】 B6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图像如图1所示，则函数f (x )的解析式为( )图1A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋3π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －π4D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －3π4【解析】 由图像知A ＝2，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32π＋π2＝4π，∴ω＝2π4π＝12.∵函数在x ＝－π2时取到最大值，∴12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2＋φ＝π2， 即φ＝34π，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋34π.【答案】 B7．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图2所示，则( )图2A ．ω＝2，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝1，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6【解析】 由题图可知T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫712π－π3＝π.又T ＝2πω，ω＝2ππ＝2，∴y ＝sin(2x ＋φ)，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23π＋φ＝1，又|φ|<π2，∴φ＝－π6.【答案】 D8．(2016·宿州高一检测)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，π4且x ≠0的值域为( )A ．[－1,1]B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞)【解析】 ∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，π4且x ≠0，∴π2－x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，3π4且π2－x ≠π2， 即π2－x ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤π2，3π4，当π2－x ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π4，π2时，y ≥1； 当π2－x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤π2，3π4时，y ≤－1， ∴函数y 的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 【答案】 B9．(2016·蜀山高一检测)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A ．13B ．3C ．6D ．9【解析】 由题可知π3＝2πω·k (k ∈Z )，解得ω＝6k ，令k ＝1，即得ωmin ＝6. 【答案】 C10．(2016·合肥高一检测)函数y ＝sin x2的图像沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数的图像的一个对称中心是( )A ．(0,0)B ．(π，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0【解析】 函数y ＝sin x2的图像沿x 轴向左平移π个单位后得到函数y ＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(x ＋π)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋π2＝cos 12x 的图像，它的一个对称中心是(π，0)．【答案】 B11．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上是增函数C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数【解析】 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π2＝－cos x ，所以T ＝2π，A 正确；y ＝cos x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上是减函数，y ＝－cos x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上是增函数，B 正确；由图像知y ＝－cos x 关于直线x ＝0对称，C 正确；y ＝－cos x 是偶函数，D 错误．故选D. 【答案】 D12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥cos x ，cos x ，sin x <cos x ，下列说法正确的是( )A ．该函数值域为[－1,1]B ．当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，函数取最大值1C ．该函数是以π为最小正周期的周期函数D ．当π＋2k π<x <2k π＋3π2(k ∈Z )时，f (x )<0【解析】 画出函数y ＝f (x )图像如图：由图像可知，值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22，1，A 错；当x ＝2k π或x ＝2k π＋π2，(k ∈Z )时，f (x )取最大值1，B 错；周期T ＝5π4－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3π4＝2π，C 错．故选D.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________．【解析】 由题意知，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为T ＝2π2＝π.【答案】 π14．设f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在闭区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3上的最大值为2，则ω的值为________.【导学号：66470037】【解析】 ∵0<ω<1，∴T ＝2πω，∴T 4＝π2ω>π2，∴f (x )＝2sin ωx 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3上为增函数，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＝2sin π3ω＝2，∴sin π3ω＝22，即π3ω＝π4，∴ω＝34.【答案】 3415．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2 cos(2x ＋φ)＋1的图像的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．【解析】 如果两个函数的图像对称轴完全相同，那么它们的周期必须相同，∴ω＝2，即f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6，∴x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，56π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12，1，故f (x )∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，3.【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，316．将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π3(ω>0)的图像向左平移π3ω个单位得到函数y＝g (x )的图像，若y ＝g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π4上为增函数，则ω的最大值为________．【解析】 由题意得y ＝g (x )＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3ω－π3＝2sin ωx (ω>0)．∵y ＝g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，π4上递增，且ω>0，∴－ω6π≤ωx ≤ωπ4且有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－ω6π，ωπ4⊆⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－ω6π≥－π2，ω4π≤π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω≤3，ω≤2，∴ω≤2，∴ω的最大值为2. 【答案】 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知角x 的终边过点P (1，3)．求：(1)sin(π－x )－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋x 的值；(2)写出角x 的集合S . 【解】 ∵x 的终边过点P (1，3)，∴r ＝|OP |＝12＋(3)2＝2，∴sin x ＝32，cos x ＝12.(1)原式＝sin x －cos x ＝3－12.(2)由sin x ＝32，cos x ＝12.若x ∈[0,2π]，则x ＝π3，由终边相同角定义，∴S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝2k π＋π3，k ∈Z. 18．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)函数f (x )的图像可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图像经过怎样的变换得到？ 【解】 (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，知k π－π3≤x ≤kπ＋π6(k ∈Z )．所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)变换情况如下：19．(本小题满分12分)(2016·北海高一检测)函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2＝2，求α的值．【解】 (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，∴函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＋1.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＋1＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＝12.∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，∴α＝π3.20．(本小题满分12分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图像过点(0,1)，如图3所示．图3(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)将函数y ＝f 1(x )的图像向右平移π4个单位长度，得函数y ＝f 2(x )的图像，求y ＝f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的集合．【解】 (1)由题图知，T ＝π，于是ω＝2πT＝2.将y ＝A sin 2x 的图像向左平移π12，得y ＝A sin(2x ＋φ)的图像，于是φ＝2·π12＝π6. 将(0,1)代入y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，得A ＝2.故f 1(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6.(2)依题意，f 2(x )＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，当2x ＋π6＝2k π＋π，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，y max ＝2，x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z .21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6，ω>0，x ∈R 的最小正周期为π2.(1)求f (x )的解析式；(2)画出f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α4＋π12＝95，求cos α的值．【解】 (1)∵T ＝2πω＝π2⇒ω＝4.∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π6.(2)列表：4x ＋π60 π2 π 3π22πx －π24π125π24 π311π24 f (x )0 3 0－3图像如图所示：(3)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α4＋π12＝3sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α4＋π12＋π6＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π2＝95⇒cos α＝35.22．(本小题满分12分)已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x －5π4＋20，x ∈[4,16]．(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15°C 到25°C 之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？【解】 (1)由函数易知，当x ＝14时函数取最大值，此时最高温度为30°C ，当x ＝6时函数取最小值，此时最低温度为10 °C ，所以最大温差为30 °C －10°C ＝20°C.(2)令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x －5π4＋20＝15，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x －5π4＝－12，而x ∈[4,16]，所以x ＝263.令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x －5π4＋20＝25，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π8x －5π4＝12，而x ∈[4,16]，所以x＝343. 故该细菌能存活的最长时间为343－263＝83(小时)．。

一、选择题1．已知3cos 25α=，()0,2απ∈，则sin 4απ+⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A ．10 B ．10-C ．310D ．310-2．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 3cos 23b A a B b c -=-，则A =（ ）A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π 3．函数()log 42a y x =++(0a >，且1a ≠)的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则2sin 2θ=（ ） A ．1213-B ．1213C ．2413-D ．24134．已知角α满足1cos()63πα+=，则sin(2)6πα-=（ ） A ．429-B ．429C ．79-D ．795．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，2AD =，3DC BD =，则AC AD ⋅的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．166．过点()3,1P 的直线l 与函数21()26x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则()OA OB OP +⋅=（ ）A 10B ．10C ．10D ．207．已知ABC 中，3AB AC ==，且||||AB AC AB AC +=-，点D ，E 是BC 边的两个三等分点，则AD AE ⋅=（ ） A ．3B ．4C ．5D ．68．在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，点E 是AB 边上的中点，点F 是BC 边上的动点，则DE DF ⋅的取值范围是（ ）A ．⎡⎣B ．2⎣C ．⎤⎦D ．[]0,39．下列结论正确的是（ ） A ．sin1cos1< B ．2317cos cos 54ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()()tan 52tan 47->-D ．sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．使函数())cos(2)f x x x θθ=+++是偶函数，且在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数的θ的一个值是（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 11．已知曲线1C ：sin y x =，2C ：cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位长度，得到曲线2C 12．设函数()tan 3f x x π=-，()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是（ ） A ．4B ．5C ．12D ．13二、填空题13．已知函数1()sin 2222f x x x =-+，对于任意的0,2a ⎡∈⎢⎣⎭，方程()2(0)f x a x m -=≤<仅有一个实数根，则m 的最大值为__________．14．已知(0,)θπ∈，且sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2θ=__________． 15．已知tan 3α=-，则cos2=α_____________.16．已知向量(2,1)a =，(,1)b x y =-，且a b ⊥，若x ，y 均为正数，则21x y+的最小值是__________.17．已知ABC ∆中，3AB =，5AC =，7BC =，若点D 满足1132AD AB AC =+，则DB DC ⋅=__________．18．在ABC △中，已知4CA =，CP =23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点，则CP CA ⋅的值为_____.19．函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[0,20]上有50个最大值，则ω的范围__________．20．函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，以下说法： （1）其中最小正周期为23π； （2）图象关于点(,0)4π对称；（3）由2sin3y x =的图象向右平移34π个单位长度可以得到图象C ； （4）直线4πx =-是其图象的其中一条对称轴． 其中正确命题的序号是__________．三、解答题21．已知函数()2sin cos 144f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若函数()()2g x f x x =-，求函数()g x 的单调增区间.22．已知ABC 中C ∠是直角，CA CB =，点D 是CB 的中点，E 为AB 上一点．（1）设CA a =，CD b =，当12AE AB =，请用a ，b 来表示AB ，CE . （2）当2AE EB =时，求证：AD CE ⊥. 23．已知函数21()3cos cos 2222x x x f x =++. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象上的各点________；得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的最大值及取得最大值时x 的取值集合.你需要在①､②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答. ①向左平移32π个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半； ②纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的一半，再向右平移4π个单位. 24．已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中0αβπ<<<. （1）求向量a b +与a b -所成的夹角； （2）若k a b +与a k b -的模相等，求2αβ-的值（k 为非零的常数）.25．已知函数()()()f x g x h x =，其()22g x x =，()h x =_____. （1）写出函数()f x 的一个周期（不用说明理由）； （2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值. 从①cos 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭，②2sin 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答， 注：如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分. 26．已知712sin cos 2225ππαα⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求tan α的值；（2）求3sin sin 3cos ααα-的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据2α是4α的二倍角求出sin α的值，再求cos 4α和sin 4απ+⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】因为2α是4α的二倍角，所以2311cos 152sin 4225αα--===， 又()0,2απ∈，所以0,42a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 44αα===cos所以sin sin sin cos cos sin 4444445252104απαπαπαπ+⎛⎫⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】 本题考查了二倍角的余弦公式，考查了同角公式，考查了两角和的正弦公式，属于中档题.2．C解析：C 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合sin 0B ≠，可得2sin 23A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据题意可求范围(0,)A π∈，根据正弦函数的图象和性质即可求解A 的值. 【详解】解：∵ bsin cos 2A B b -=，∴由正弦定理可得：sin sin cos 2sin B A A B B C =，∴sin sin cos 2sin B A A B B C =2sin cos cos sin )B A B A B =-+，∴sin sin 2sin sin B A B A B =， 又∵sin 0B ≠，∴sin 2A A +=，∴2sin 23A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得232A k πππ+=+，Z k ∈， 又(0,)A π∈，∴6A π=.故选：C . 【点睛】本题考查正弦定理和三角恒等变换的运用，考查运算求解能力，求解时注意角的范围.3．C解析：C 【分析】先根据对数函数性质得()3,2A -，进而根据正弦的二倍角公式和三角函数的定义求解即可得答案. 【详解】解：根据对数函数的性质得函数()log 42a y x =++(0a >，且1a ≠)的图象恒过()3,2A -，由三角函数的定义得：13r ==，sinθθ==， 所以根据二倍角公式得：242sin 24sin cos 413θθθ⎛===- ⎝. 故选：C. 【点睛】本题考查对数函数性质，三角函数定义，正弦的二倍角公式，考查运算能力，是中档题.4．D解析：D 【分析】由已知利用诱导公式可求133sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin 2263cos ππαα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由二倍角公式化简，即可得结果． 【详解】162633cos sin sin ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2sin 2cos 2cos 2262633cos πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22171212()339sin πα⎛⎫=--=-⨯= ⎪⎝⎭．故选D ．本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．5．D解析：D 【分析】利用AB 、AD 表示向量AC ，再利用平面向量数量积的运算性质可求得AC AD ⋅的值. 【详解】()3343AC AD DC AD BD AD AD AB AD AB =+=+=+-=-，AD AB ⊥，则0⋅=AD AB ，所以，()224344216AC AD AD AB AD AD ⋅=-⋅==⨯=. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．6．D解析：D 【分析】判断函数()f x 的图象关于点P 对称，得出过点()3,1P 的直线l 与函数()f x 的图象交于A ，B 两点时，得出A ，B 两点关于点P 对称，则有 2OA OB OP +=，再计算()OA OB OP +⋅的值．【详解】()52121263x f x x x -==+-- ，∴函数21()26x f x x -=-的图象关于点()3,1P 对称，∴过点()3,1P 的直线l 与函数()2126x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，且A ，B 两点关于点()3,1P 对称，∴ 2OA OB OP +=，则()()222223120OA OB OP OP +⋅==⨯+=．【点睛】本题主要考查了函数的对称性，以及平面向量的数量积运算问题，是中档题．7．B解析：B 【分析】由||||AB AC AB AC +=-知，0AB AC ⋅=，根据平面向量的线性运算可推出2133AD AB AC =+，1233AE AB AC =+，故21123333AD AE AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，展开后代入数据进行运算即可.【详解】解：∵||||AB AC AB AC +=-，∴0AB AC ⋅=， ∵点D 是BC 边的三等分点， ∴11()33AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-2133AB AC =+.同理可得，1233AE AB AC =+， ∴()2221122(3339)3AD AE AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⋅=+⋅+=+ ⎪⎝⎭2(99)49=⨯+=. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量数量积运算、模的运算、平面向量基本定理，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意基底的选择.8．D解析：D 【分析】把DE 用,DA DB 表示，由三点共线把DF 用,DC DB 表示，然后计算数量积，利用函数的知识得取值范围． 【详解】∵菱形ABCD 边长为2，60BAD ∠=︒，2BD =，∴22cos602DA DB DB DC ⋅=⋅=⨯⨯︒=，22cos1202DA DC ⋅=⨯⨯︒=-， ∵E 是AB 边上的中点，∴1()2DE DA DB =+， 点F 是BC 边上，设BF xBC =（01x ≤≤），则()(1)DF DB BF DB xBC DB x DC DB xDC x DB =+=+=+-=+-，DE DF ⋅1()(1)2DA DB xDC x DB ⎡⎤=+⋅+-⎣⎦21(1)(1)2xDA DC x DA DB xDB DC x DB ⎡⎤=⋅+-⋅+⋅+-⎢⎥⎣⎦ []122(1)24(1)3(1)2x x x x x =-+-++-=-， ∵01x ≤≤，∴03(1)3x ≤-≤． 故选：D. 【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是对动点F 引入参数x ：BF xBC=（01x ≤≤），这样所求数量积就可表示为x 的函数，从而得到范围．本题考查了向量共线的条件，属于中档题．9．D解析：D 【分析】利用正弦函数的单调性可判断AD 选项的正误；利用正切函数的单调性可判断C 选项的正误；利用余弦函数的单调性可判断B 选项的正误. 【详解】对于A 选项，因为正弦函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 且01122ππ<-<<，则sin1sin 1cos12π⎛⎫>-=⎪⎝⎭，A 选项错误； 对于B 选项，因为余弦函数cos y x =在()0,π上为减函数，23233cos cos cos 555πππ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，1717cos cos cos 444πππ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 3045πππ<<<，则3cos cos 54ππ<，即2317cos cos 54ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 选项错误； 对于C 选项，当900x -<<时，正切函数tan y x =单调递增， 因为9052470-<-<-<，所以，()()tan 52tan 47-<-，C 选项错误；对于D 选项，因为正弦函数sin y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，因为021018πππ-<-<-<，所以，sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 选项正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.10．B解析：B 【解析】1())cos(2)2()cos(2))2sin(2)226f x x x x x x πθθθθθ=+++=+++=++,由于()f x 为偶函数，则(0)2sin()26f πθ=+=±，sin()1,662k πππθθπ+=±+=+，3k πθπ=+，当0k =时，3πθ=，()2sin(2)2sin(2)362f x x x πππ=++=+2cos2x =，当[0,]4x π∈时，2[0,]2x π∈，()2cos2f x x =为减函数，符合题意，所以选B.11．C解析：C 【分析】由题意利用诱导公式得1sin cos :2C y x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，根据函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论． 【详解】已知曲线1sin cos :2C y x x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，2cos 23:C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把得到的曲线向左平移 12π个单位长度，得到曲线2cos 2cos 263:2C x x πππ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故选C ．【点睛】本题主要考查函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．12．A解析：A 【分析】由题意知函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于函数()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数，作出两个函数图象，数形结合即可求解. 【详解】令()()()0h x f x g x =-=可得()()f x g x =，所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于 函数()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数. 分别作出()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象，由图知两个函数图象在区间[]2,2ππ-上有4个交点，所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是4， 故选：A 【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法（1）直接法：令()0f x =，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点； （2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线，并且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；（3）图象法：画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数，()h x 和()g x 的形式，根据()()()0f x h x g x =⇔=，则函数()f x 的零点个数就是函数()y h x =和()y g x =的图象交点个数；（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数.二、填空题13．【分析】化简原题等价于函数与函数的图象的交点个数为1做出图像数形结合即可得答案【详解】利用辅助角公式化简可得方程仅有一个实数根等价于函数与函数的图象的交点个数为1结合图象可知当时m 的最大值为故答案为 解析：23π 【分析】化简()cos 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，原题等价于函数()2y f x =-与函数y a =的图象的交点个数为1，做出图像，数形结合，即可得答案. 【详解】利用辅助角公式，化简可得()cos 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，方程()2(0)f x a x m -=≤<仅有一个实数根，等价于函数()2y f x =-与函数y a =的图象的交点个数为1，结合图象可知， 当30,a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，m 的最大值为23π．故答案为：23π. 【点睛】本题考查辅助角公式的应用，三角函数的图像与性质，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.14．【分析】根据利用诱导公式和二倍角公式转化为求解【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查二倍角公式及诱导公式的应用还考查了转化求解问题的能力属于中档题 解析：2425根据sin 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用诱导公式和二倍角公式转化为2sin 2cos 2122sin 4πθθπθ⎛⎫=-=- ⎪⎛⎫- ⎪⎝⎝⎭⎭求解.【详解】因为sin 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以224sin 4sin 2cos 2co 25s 21224πππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故答案为：2425【点睛】本题主要考查二倍角公式及诱导公式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.15．【分析】由题意根据二倍角公式同角三角函数的基本关系求得的值【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查二倍角公式同角三角函数的基本关系在三角函数化简求值中的应用属于基础题解析：45-【分析】由题意，根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得2cos α的值． 【详解】3tan α=-，222222cos sin 1tan 1942cos sin 1tan 195cos ααααααα---∴====-+++． 故答案为：45-． 【点睛】本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．16．9【分析】根据可得然后根据利用基本不等式可求出最小值【详解】解：向量且又均为正数当且仅当即时取等号的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了向量垂直和利用基本不等式求最值考查了方程思想和转化思想属于中档题解析：9 【分析】根据a b ⊥，可得21x y +=，然后根据()21212x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭利用基本不等式可求出最【详解】 解：向量(2,1)a =，(,1)b x y =-，且a b ⊥∴21(1)0a b x y =+-=，21x y ∴+=，又x ，y 均为正数，∴()222255292121y x y x y x y x y x y x ⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭， 当且仅当22y x x y =，即13x y ==时取等号， ∴21x y+的最小值为9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了向量垂直和利用基本不等式求最值，考查了方程思想和转化思想，属于中档题．17．【分析】根据以为一组基底由得到再由求解【详解】因为又因为所以所以故答案为：-12【点睛】本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：12-【分析】 根据1132AD AB AC =+，以,AB AC 为一组基底，由2222()2BC AC AB AC AB AB AC =-=+-⋅，得到152AB AC ⋅=-，再由2111()()3223⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭DB DC AB AD AC AD AB AC AC AB 求解.【详解】因为2222()2BC AC AB AC AB AB AC =-=+-⋅ 又因为3AB =，5AC =，7BC = 所以152AB AC ⋅=-， 所以2111()()3223DB DC AB AD AC AD AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22211251521294244AB AC AB AC --+⋅=---=-. 故答案为：-12 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．6【分析】根据平方处理求得即可得解【详解】在中已知点是边的中点解得则故答案为：6【点睛】此题考查平面向量的基本运算关键在于根据向量的运算法则求出模长根据数量积的运算律计算求解解析：6 【分析】 根据()12CP CA CB =+，平方处理求得2CB =，()12CP CA CA CB CA ⋅=+⋅即可得解. 【详解】在ABC △中，已知4CA =，3CP 23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点， ()12CP CA CB =+ ()222124CP CA CB CA CB =++⋅ 211316842CB CB ⎛⎫⎛⎫=++⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2CB = 则()()21111162462222CP CA CA CB CA CA CB CA ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：6 【点睛】此题考查平面向量的基本运算，关键在于根据向量的运算法则求出模长，根据数量积的运算律计算求解.19．【分析】根据函数在区间上有50个最大值由第50个和第51个最大值满足求解【详解】因为函数在区间上有50个最大值第一个最大值为：第二个最大值为：第三个最大值为：…第50个最大值为：第51个最大值为：所解析：589601,120120ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[0,20]上有50个最大值，由第50个和第51个最大值满足49220502232ππππωπ+⨯≤+<+⨯求解.【详解】因为函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[0,20]上有50个最大值， 第一个最大值为： 32x ππω+=，第二个最大值为： 232x ππωπ+=+，第三个最大值为： 432x ππωπ+=+，…第50个最大值为： 49232x ππωπ+=+⨯， 第51个最大值为： 50232x ππωπ+=+⨯， 所以 49220502232ππππωπ+⨯≤+<+⨯，解得49512010120πππωπ+≤<+， 综上：ω的范围是589601,120120ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：589601,120120ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】易错点点睛：本题容易忽视第50个和第51个最大值要满足49220502232ππππωπ+⨯≤+<+⨯.20．（1）（2）（4）【分析】根据正弦型函数周期公式正弦型函数对称中心坐标正弦型函数对称轴等知识逐项验证即可求得答案【详解】对于（1）根据正弦型函数周期公式：可得：函数最小正周期为：故（1）正确；对于（解析：（1）（2）（4） 【分析】根据正弦型函数周期公式，正弦型函数对称中心坐标，正弦型函数对称轴等知识，逐项验证，即可求得答案． 【详解】对于（1），根据正弦型函数周期公式：2T ωπ=可得：函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭最小正周期为：2233T ππ==，故（1）正确； 对于（2），根据正弦函数sin ()y x x R =∈的图象的对称中心为(0),k π 正弦型函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭∴令334,k Z x k ππ=∈-，解得4,3k k Z x ππ=+∈ ∴其对称中心坐标为(,0),34k k Z ππ+∈ 当0k =时，对称中心坐标为(,0)4π，故（2）正确；对于（3），将2sin3y x =的图象向右平移34π个单位长度 可得：392sin 32sin 344y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭92sin 322sin 344x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴将2sin3y x =的图象向右平移34π个单位长度不能得到图象C ，故（3）错误； 对于（4），根据正弦函数sin ()y x x R =∈的图象的对称轴方程为,2x k k Z ππ=+∈，正弦型函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭∴令,2334Z x k k πππ=+∈-，解得51,32k k x Z ππ=+∈ 当2k =-时，512342x πππ=+=--， ∴3()2sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭一条对称轴4πx =-，故（4）正确；故答案为：（1）（2）（4）． 【点睛】本题解题关键是掌握整体法求正弦函数图象的对称中心和对称轴的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）最小正周期为π；（2）5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，. 【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数得()sin 2f x x =，由三角函数的周期公式可得答案；（2）由余弦的二倍角公式和辅助角公式得()g x 2sin23x π=-（），再由正弦函数的性质可求得函数的单调增区间. 【详解】 解：（1）函数()22sin cos 12cos 1cos 2sin 24444f x x x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以函数()f x 的最小正周期为22ππ=.（2）()()22sin 22cos 1sin 2g x f x x x x x x =-=-=）2sin 23x π=-（），令222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，，得51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，， 所以函数()g x 的单调增区间为51212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，，. 【点睛】方法点睛：解决三角函数的周期和单调性等相关问题，先利用三角函数的恒等变换化简函数为一个角一个三角函数，再运用整体思想代入是常用的方法. 22．（1）2AB b a =-，12CE a b =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出2CB b =，利用AB CB CA =-与12CE CA AB =+化简可得答案； （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设()0,A a ， 求出,2a AD a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 可得0AD CE ⋅=，进而可得答案.【详解】（1）∵CA a =，CD b =，点D 是CB 的中点， ∴2CB b =，∴2AB CB CA b a =-=-，∵()1112222CE CA AE a AB a b a a b =+=+=+-=+. （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设()0,A a ，∴B 点坐标为(),0a ，另设点E 坐标为(),x y ，∵点D 是CB 的中点， ∴点D 坐标为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭， 又∵2AE EB =，∴()(),2,x y a a x y -=--，∴23a x =，3ay =， 所以,2a AD a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()20233a a aAD CE a ⋅=⨯+-⨯=， ∴AD CE ⊥.【点睛】方法点睛：平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．23．（1）函数的周期为2π；（2）条件选择见解析，max ()2g x =，使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）用正弦余弦的二倍角公式整理()f x 可得正弦函数标准型，可得函数最小正周期； （2）选①先平移变换后周期变换可得对应的()g x ，可得()g x 的最值； 选②先周期变换后平移变换得对应的()g x ，由此可求得最值． 【详解】 （1）∵函数31cos 1()sin()1226x f x x x π+=++=++， 所以函数的周期为2π；（2）<选择①>依题意：()cos(2)16g x x π=-++，令226x k πππ+=+，即5()12x k k Z ππ=+∈. 使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x =，使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭； <选择②>依题意：()cos(2)16g x x π=-++，令226x k πππ+=+，即5()12x k k Z ππ=+∈，使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x =使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭． 【点睛】关键点点睛：在解决正弦型函数的周期，最值，单调性等性质时，关键在于利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数的标准形，再利用整体代换的思想求解． 24．（1）90；（2）4π-. 【分析】（1）先求出1a b ==，利用数量积运算法则可求得()()0a b a b +⋅-=，从而证得结论；（2）利用向量坐标运算求得ka b +和a kb -，利用模长相等可求得cos()0αβ-=，根据角的范围可确定最终取值.【详解】（1）由已知得：1a b ==， 则：()()22·0a b a b a b +-=-=， 因此：()()a b a b +⊥-，因此，向量a b +与a b -所成的夹角为90； （2）由(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=， 可得()cos cos ,sin sin k a b k k αβαβ+=++，()cos cos ,sin sin a k b k k αβαβ-=--，(cos ka b k +=， (cos a kb α-=∴==即：()4cos 0k βα-=，0k ≠ ，()cos 0βα∴-=，即()cos 0αβ-=，00αβππαβ<<<∴-<-<，因此：2παβ-=-， 即：24αβπ-=-. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，根据向量模长相等关系求解参数值的问题；关键是能够熟练掌握向量的坐标运算，属于中档题.25．若选①（1）T π=；（2）最小值2-1；若选②（1）2T π=，（2，最小值1--. 【分析】（1）结合所选选项，然后结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合周期公式可求；（2）由已知角x 的范围，然后结合正弦函数的性质即可求解.【详解】解：选①，（1）因为()()cos 2sin cos sin 4f x x x x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 22sin cos 2sin sin 2cos 21x x x x x =-=+-214x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 故函数的周期T π=；（2）因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， 当244x ππ+=-即4πx =-时，函数取得最小值2-，当242x ππ+=即8x π=时，函数取得1，选②，（1）()2sin 24x f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭1cos 2x x π⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，)2sin sin x x =-，故函数的一个周期2T π=，（2）由,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦可得sin 22x ⎡∈-⎢⎣⎦， 1sin 2x =时即6x π=当sin x =时即4πx =-时，函数取得最小值12--. 【点睛】 此题考查二倍角公式及辅助角公式的应用，考查正弦函数性质的应用，考查计算能力，属于中档题26．（1）3tan 4α=；（2）3sin 3sin 3cos 25ααα=--. 【分析】（1）利用诱导公式可得出12cos sin 25αα=，根据题意可得出关于cos α、sin α的值，求出cos α、sin α的值，利用同角三角函数的商数关系可求得tan α的值； （2）将所求代数式变形为()()3322sin sin sin 3cos sin 3cos sin cos αααααααα=--+，在分式的分子和分母中同时除以3cos α，利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】（1）712sin cos 2225ππαα⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由诱导公式可得123sin cos cos sin 2522ππαααα⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos sin 0αα∴>>，由已知可得2212cos sin 25cos sin 1cos sin 0αααααα⎧=⎪⎪+=⎨⎪>>⎪⎩，解得4cos 53sin 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此，sin 3tan cos 4ααα==； （2）()()3322sin sin sin 3cos sin 3cos sin cos αααααααα=--+()()332223sin tan 325sin sin tan 3tan 131cos cos cos ααααααααα===-⎛⎫-+⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】方法点睛：三角函数求值问题中已知tan α，求关于sin α、cos α的代数式的值时，一般利用弦化切公式后直接代入tan α的值，在关于sin α、cos α的齐次式中，常常利用弦化切的方程转化为含tan α的代数式.。

一、选择题1．若160,0,cos ,sin 2243423ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．53B ．3- C ．53- D ．3 2．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36的等腰三角形（另一种是顶角为108的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，512BC AC -=.根据这些信息，可得sin126=（ ）A ．154- B ．358+ C ．154+ D ．458+ 3．已知A 是函数()333sin(2020))263f x x x ππ=++-的最大值，若存在实数1x ，2x 使得对任意实数x ，总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x 的最小值为（ ） A ．2020πB ．1010π C ．32020πD ．32020π 4．若5sin 25α=，()10sin 10βα-=，且,4απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，3,2βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，则αβ+的值是（ ） A ．74π B ．94πC ．54π或74πD ．54π或94π5．已知非零向量a →，b →夹角为45︒，且2a =，2a b -=,则b →等于（ ）A ．22B ．2C ．3D ．26．已知a ，b 是单位向量，a •b =0．若向量c 满足|c a b --|＝1，则|c |的最大值为（ ） A ．21-B ．2C ．21+D ．22+7．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．若有(7,16)λ∈，则在正方形的四条边上，使得PE PF λ=成立的点P 有（ ）个．A ．2B ．4C ．6D ．08．设O 为ABC 内一点,已知2332OA OB OC AB BC CA ++=++,则::AOB BOC COA S S S ∆∆∆= （ ）A ．1:2:3B ．2:3:1C ．3:1:2D ．3:2:19．已知函数f （x ）=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，其中(0,)2πϕ∈ ，则函数g （x ）=cos （2x-φ）的图象（ ） A ．关于点(,0)12π对称 B ．关于轴512x π=-对称 C ．可由函数f （x ）的图象向右平移6π个单位得到 D ．可由函数f （x ）的图象向左平移3π个单位得到 10．函数2()cos sin (R)f x x x x =+∈的最小值为（ ） A ．54B ．1C ．1-D ．2-11．函数1cos y x x=+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知定义在R 上的函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭在[]1,2上有且仅有3个零点，其图象关于点1,04⎛⎫⎪⎝⎭和直线14x =-对称，给出下列结论：①1222f ⎛⎫=⎪⎝⎭；②函数()f x 在[]0,1上有且仅有3个最值点；③函数()f x 在35,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增；④函数()f x 的最小正周期是2.其中所有正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．若函数f (x )=sin 2x+cos 2x ,且函数y=f 2x ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(0<φ<π)是一个偶函数,则φ的值等于_____. 14．已知锐角α，β满足()sin 23sin αββ+=，则()tan cot αβα+=______. 15．已知6sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 2θ=___________． 16．向量,a b 满足(1,3),2,()(3)12a b a b a b ==+⋅-=，则a 在b 方向上的投影为__________．17．如图，边长为2的菱形ABCD 的对角线相交于点O ，点P 在线段BD 上运动，若1AB AO ⋅=，则AP PD ⋅的最大值为______.18．已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2+|a |x a b -⋅=0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是_____．19．已知3()tan 1f x a x b x =++（a ，b 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f =____________．20．给出下列4个命题：①函数2cos 32y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数；②函数y =sin (2x +3π)的图象关于点(12π，0)成中心对称； ③x =8π是函数y =sin (2x +54π)的一条对称轴方程；④存在实数α，使得32sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.把你认为正确命题的序号都填在横线上____.三、解答题21．在ABC 中，A B C <<且 tan A ，tan B ，tan C 均为整数. （1）求A 的大小； （2）设AC 的中点为D ，求BCBD的值. 22．设函数233()cos cos 3sin 64f x x x x π⎛⎫=⋅-+- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值. 23．如图,在ABC ∆中，已知点D E 、分别在边AB BC 、上，且3AB AD =，2BC BE =. （1）用向量AB 、AC 表示DE ；（2）设6AB =,4AC =,60A =︒,求线段DE 的长.24．已知||2,||3,a b a ==与b 的夹角为120°． （1）求(2)(3)a b a b -⋅+与||a b +的值； （2）x 为何值时，xa b -与3ab 垂直？25．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ(0A >，0>ω，2πϕ<)的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在[]0,m 上单调递增，当实数m 取最大值时，求函数()f x 在[]0,m 上的最大值.26．设函数()sin(2),(0),()f x x y f x ϕπϕ=+-<<=图像的一条对称轴是直线8x π=.（1）求ϕ；（2）求函数()y f x =的单调递增区间; （3）画出函数()y f x =在区间[]0,π上的图像.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【分析】 由cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦展开计算正余弦值代入可得答案. 【详解】 因为10,cos 243ππαα⎛⎫<<+= ⎪⎝⎭， 所以3444πππα<+<，sin +4πα⎛⎫= ⎪⎝⎭因为02πβ-<<，所以4422ππβπ<-<，又因为sin 423πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭而cos cos +2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， cos +cos sin +sin 442442ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭133==. 故选：A. 【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.2．C解析：C 【分析】 计算出5cos 72=，然后利用二倍角公式以及诱导公式可计算得出sin126cos36=的值，即可得出合适的选项.【详解】因为ABC 是顶角为36的等腰三角形，所以，72ACB ∠=，则112cos72cos 4BCACB AC =∠==，()sin126sin 9036cos36=+=，而2cos722cos 361=-，所以，131cos364+====.故选：C. 【点睛】本题考查利用二倍角公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于中等题.3．C解析：C 【分析】利用三角恒等变换化()f x 为正弦型函数，由此求出A 、T 以及12x x -的最小值，可得解. 【详解】()3sin(2020))2623f x x x ππ=++-，392020cos 2020cos 2020202044x x x x =+-，320220cos 2020x x =-3sin(2020)6x π=-，∴max ()3A f x ==，又存在实数1x ，2x ，对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立， ∴2max ()()2f x f x ==，1min ()()2f x f x ==-， 则12x x -的最小值为函数()f x 的半个最小正周期长度，12min 1122220202020x x T ππ∴-==⨯=∴()12min32020A x x π⋅-=， 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的最值，着重考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突出正弦函数的周期性的考查，属于中档题．4．A解析：A 【分析】先计算2α和βα-的取值范围，根据取值范围解出cos2α和()cos βα-的值，再利用()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβααβααβα+=+-=---⎡⎤⎣⎦求解()cos αβ+的值.∵,4απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，∴2,22απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦.∵sin 2α=∴2,2απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，∴,42ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 25α=-. ∵3,2βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，∴5,24βαππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴()cos 10βα-=-， ∴()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβααβααβα+=+-=---⎡⎤⎣⎦2⎛⎛=⨯= ⎝⎭⎝⎭. 又∵5,24αβπ⎡⎤+∈π⎢⎥⎣⎦， ∴74αβπ+=. 故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换中和差角公式的运用，难度一般.解答时，要注意三角函数值的正负问题，注意目标式与条件式角度之间的关系，然后通过和差角公式求解.5．A解析：A 【分析】根据数量积的运算，2a b →→-=两边平方即可求解. 【详解】2a b →→-=,=2a →,a →，b→夹角为45︒, 2222()24a b a b a a b b →→→→→→→→∴-=-=-⋅+=, 2422||cos||44b b π→→∴-⨯+=,解得：||b →= 故选：A本题主要考查了向量数量积的运算性质，数量积的定义，属于中档题.6．C解析：C 【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出． 【详解】∵|a |＝|b |＝1，且0a b ⋅=，∴可设()10a =，，()01b =，，()c x y ，=．∴()11c a b x y --=--，． ∵1c a b --=， ∴22(1)(1)1x y -+-=x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1．∴c 的最大值2211121=+=．故选C ． 【点睛】熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键．7．B解析：B 【分析】建立坐标系，逐段分析·PE PF 的取值范围及对应的解． 【详解】以DC 为x 轴，以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则()()0,4,6,4E F ，（1）若P 在CD 上，设(,0),06P x x ≤≤，(,4),(6,4)PE x PF x ∴=-=-，2616PE PF x x ∴⋅=-+， [0,6],716x PE PF ∈∴≤⋅≤， ∴当=7λ时有一解，当716λ<≤时有两解；（2）若P 在AD 上，设(0,),06P y y <≤，(0,4),(6,4)PE y PF y ∴=-=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+， 06,016y PE PF <≤∴⋅<，∴当=0λ或4<<16λ时有一解，当716λ<≤时有两解； （3）若P 在AB 上，设(,6),06P x x <≤，(,2),(6,2)PE x PF x =--=--，264PE PF x x ∴⋅=-+， 06,54x PE PF <≤∴-≤⋅≤，∴当5λ=-或4λ=时有一解，当54λ-<<时有两解；（4）若P 在BC 上，设(6,),06P y y <<，(6,4),(0,4)PE y PF y ∴=--=-， 22(4)816PE PF y y y ∴⋅=-=-+，06y <<，016PE PF ∴⋅<，∴当0λ=或416λ≤<时有一解，当04λ<<时有两解，综上可知当(7,16)λ∈时，有且只有4个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，二次函数的根的个数判断，属于中档题．8．B解析：B 【分析】根据23OA OB OC ++=32AB BC CA ++，化简得到12033OA OB OC ++=，设12,33OB OD OC OE ==，则O 为ADE 的重心，有AODAOEDOES SS==，则93,,232AOB BOC AOC S S S S S S ∆∆∆===求解. 【详解】由23OA OB OC ++=32AB BC CA ++，得233322OAOA OB OC OB OA OC OB OA OC ++=-+-+-， 整理得：320OA OB OC ++=，12033OA OB OC ∴++=，设12,33OB OD OC OE ==，则0OA OD OE ++=，即O 为ADE 的重心，AODAOEDOESSSS ∴===，则93,,232AOB BOC AOC S S S S S S ∆∆∆===， 93::3::2:3:122AOB BOC AOC S S S ∆∆∆∴==，故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量的平面几何中的应用，属于中档题.9．B解析：B 【分析】利用三角函数的奇偶性求得φ，再利用三角函数的图象对称性、函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】函数f （x ）=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴y=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，∴3φ=2π，φ=6π，则函数g （x ）=cos （2x ﹣φ）=cos （2x ﹣6π）．当12x π=时，206x π-=，112g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数不关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项A 错误； 当512x π=-时，26x ππ-=-，则函数关于直线512x π=-对称，选项B 正确；函数()2sin sin 2sin cos sin 22f x x x x x x π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭， 其图像向右平移6π个单位的解析式为sin 2sin 2sin 263y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 选项C 错误； 其图像向左平移3π个单位的解析式为2sin 2sin 2sin 233y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 选项D 错误； 故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、对称性，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．函数()sin y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质：（1）奇偶性：=k ϕπ ,k Z ∈时，函数()sin y A x ωϕ=+为奇函数；=2k πϕπ+,k Z ∈时，函数()sin y A x ωϕ=+为偶函数.；（2）周期性：()sin y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2πω；（3）单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k Z πππωϕπ-≤+≤+∈得单调增区间；由3+22,22k x k k Z πππωϕπ≤+≤+∈得单调减区间；（4）对称性：利用y =sin x 的对称中心为()(),0k k Z π∈求解，令()x k k ωϕπ+=∈Z ，求得x ；利用y =sin x 的对称轴为()2x k k Z ππ=+∈求解，令()+2x k k πωϕπ+=∈Z ，得其对称轴.10．C解析：C 【分析】由平方关系化为sin x 的函数，换元后利用二次函数性质得最小值． 【详解】由已知2()1sin sin f x x x =-+，令sin t x =，则[1,1]t ∈-，2()()1f x g t t t ==-++215()24t =--+，∵[1,1]t ∈-，∴1t =-时，min ()1g t =-． 故选：C ．【点睛】本题考查与三角函数有关的复合函数的最值．求三角函数的最值有两种类型：（1）利用三角恒等变换公式化函数为()sin()f x A x k ωϕ=++形式，然后由正弦函数性质得最值或值域．（2）转化为关于sin x （或cos x ）的函数，用换元法，设sin t x =（或cos t x =）变成关于t 的二次函数，利用二次函数的性质求得最值或值域．11．C解析：C 【分析】利用函数的奇偶性和特殊的函数值的正负排除错误选项． 【详解】函数定义域是{|0}x x ≠，关于原点对称，记1()cos f x x x=+，则11()cos()cos f x x x x x -=-+=+-()f x =，是偶函数，排除BD ， 11()cos 10f ππππ=+=-+<，排除A ．故选：C ． 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.12．B解析：B 【分析】由三角函数的图象与性质可得()sin 34f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，代入即可判断①；令03,42()x k k Z ππππ+∈+=，化简即可判断②；令232,242k k x k Z ππππππ-≤+≤+∈+，化简即可判断③；由最小正周期的公式即可判断④. 【详解】∵函数()f x 的图象关于点1,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，∴111,4k k Z ωϕπ+=∈，又函数()f x 的图象关于直线14x =-对称，∴221,42k k Z ππωϕ-+=+∈，∴()1221k k ωπ=--⎡⎤⎣⎦，即(21),n n Z ωπ=∈-， ∵函数()sin()f x x ωϕ=+在[]1,2上有且仅有3个零点， ∴24,)201(ππωωω<>≤-，即24πωπ≤<，所以3ωπ=，()()sin 3f x x πϕ=+， ∵104f ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴3,4k k Z πϕπ+=∈， 又||2πϕ≤，∴4πϕ=，∴()sin 34f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭；对于①，3sin 24122f ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎛⎫==-⎪⎭⎝⎭，故①错误； 对于②，令03,42()x k k Z ππππ+∈+=，则01,31(2)Z k x k =+∈， 令101312k ≤+≤，则可取0,1,2k =， ∴0112x =，512，34，即函数()f x 在[]0,1上有且仅有3个最值点，故②正确； 对于③，令232,242k k x k Z ππππππ-≤+≤+∈+，则1212,43123k x k Z k -+≤≤∈+，当2k =-时，195,124⎡⎤--⎢⎥⎣⎦为()f x 的一个递增区间， 而35195,,24124⎛⎫⎡⎤--⊆-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴()f x 在35,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，故③正确； 对于④，∵()sin 34f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，∴函数的最小正周期2233T ππ==，故④错误. 综上所述，其中正确的结论的个数为2个. 故选：B. 【点睛】本题考查了三角函数解析式的确定及三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】先根据配角公式将函数化为基本三角函数再根据正弦函数对称轴确定φ满足条件解得φ的值【详解】因为f(x)=sin2x+cos2x=sin 所以y=fsin 则有φ++kπ因此φ=+kπ(k ∈Z)当k解析：π4【分析】先根据配角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数对称轴确定φ满足条件，解得φ的值. 【详解】因为f (x )=sin 2x+cos 2sin π24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,所以y=f 2x ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π24x ϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,则有φ+ππ42=+k π,因此φ=π4+k π(k ∈Z),当k=0时,φ=π4. 【点睛】本题考查正弦函数对称性，考查基本分析求解能力.14．2【分析】将三角函数式配成与由正弦函数和角与差角公式展开即可求解【详解】锐角满足变形可得由正弦和角与差角公式展开可得合并化简可得等式两边同时除以可得即故答案为:2【点睛】本题考查了三角函数式化简求值解析：2 【分析】将三角函数式配成()αβα++与()αβα+-,由正弦函数和角与差角公式展开,即可求解. 【详解】锐角α,β满足()sin 23sin αββ+=变形可得()()sin 3sin αβααβα++=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 由正弦和角与差角公式展开可得()()()()sin cos sin cos 3sin cos 3sin cos αβαααβαβαααβ+++=+-+合并化简可得()()4sin cos 2sin cos ααβαβα+=+ 等式两边同时除以()2cos cos αβα+ 可得()2tan tan ααβ=+ 即()tan cot 2αβα+= 故答案为:2 【点睛】本题考查了三角函数式化简求值,角的变化形式,属于中档题.15．【分析】根据可得的值将平方结合正弦的二倍角公式即可计算出的值【详解】因为所以所以所以且所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过展开得到的值再根据与之间的关系：去完成求解解析：23【分析】根据sin 46πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得sin cos θθ-的值，将sin cos θθ-平方结合正弦的二倍角公式即可计算出sin 2θ的值. 【详解】因为sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()sin cos 2θθ-=sin cos θθ-=， 所以()21sin cos 3θθ-=且22sin cos 1θθ+=， 所以112sin cos 3θθ-=，所以2sin 23θ=， 故答案为：23. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过展开sin 4πθ⎛⎫-⎪⎝⎭得到sin cos θθ-的值，再根据sin cos θθ-与sin 2θ之间的关系：()2sin cos 1sin 2θθθ-=-去完成求解.16．【解析】分析：先通过已知条件求出的值再求在方向上的投影详解：因为所以所以在方向上的投影为故答案为1点睛：（1）本题主要考查向量的运算和数量积考查向量的投影意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本运解析：【解析】分析：先通过已知条件求出cos α的值，再求a 在b 方向上的投影. 详解：因为()()312a b a b +⋅-=，所以2213212,124222cos 12,cos 2a b a b αα-+⋅=∴-+⨯⨯⨯=∴=. 所以a 在b 方向上的投影为1cos 2()12a α=⨯=，故答案为1.点睛：（1）本题主要考查向量的运算和数量积，考查向量的投影，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本运算能力.(2) cos a θ叫做向量a 在b 上的“投影”， 向量a 在向量b 上的投影cos a θ，它表示向量a 在向量b 上的投影对应的有向线段的数量．它是一个实数，可以是正数，可以是负数，也可以是零．17．【分析】以为原点和分别为和轴建立的平面直角坐标系求得设得到即可求解【详解】以为原点和分别为和轴建立如图所示的平面直角坐标系设则因为可得联立方程组解答所以设则当时取得最大值最大值为故答案为：【点睛】本解析：34【分析】以O 为原点，OC 和OD 分别为x 和y 轴建立的平面直角坐标系，求得(1,0),(0,3)A D -，设(0,),[3,3]P t t ∈-，得到233()24AP PD t ⋅=--+，即可求解. 【详解】以O 为原点，OC 和OD 分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设(,0),(0,),0,0A a B b a b -->>，则224a b +=， 因为1AB AO ⋅=，可得2(,)(,0)1a b a a -⋅==， 联立方程组，解答1,3a b ==，所以(1,0),(0,3)A D -，设(0,),[3,3]P t t ∈-，则22333(1,)(0,3)3()44AP PD t t t t t ⋅=⋅-=-+=--+≤， 当32t =时，AP PD ⋅取得最大值，最大值为34.故答案为：34.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，此类问题通常采取建立直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求解，着重考查转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题.18．【分析】由关于的方程有两相等实根可得解得即可求出与的夹角【详解】∵已知|且关于的方程有两相等实根∴设向量与的夹角为则可解得则向量与的夹角为故答案为：【点睛】本题考查向量的夹角考查方程的解的应用 解析：23π【分析】由关于x 的方程20x a b a x +-⋅=有两相等实根,可得240a a b ∆=+⋅=,解得1cos 2θ=-,即可求出a 与b 的夹角【详解】∵已知|2a b =,0b ≠,且关于x 的方程20x a b a x +-⋅=有两相等实根,∴240a a b ∆=+⋅=, 设向量a 与b 的夹角为θ, 则()2242cos 0bb b θ∆=+⨯=,可解得1cos 2θ=-0θπ≤≤,则向量a 与b 的夹角θ为23π 故答案为：23π 【点睛】本题考查向量的夹角,考查方程的解的应用19．【分析】令可知为奇函数根据与为相反数即可求解【详解】令定义域关于原点对称且所以为奇函数则所以由奇函数性质可得所以故答案为：【点睛】关键点点睛：首先要观察出中的部分为奇函数其次要能利用换底公式对数的运 解析：3-【分析】令tan ()a x g x =+，可知()g x 为奇函数，根据3lg log 10与lg lg3为相反数即可求解. 【详解】令tan ()a x g x =+，,2x k k Z ππ≠+∈，定义域关于原点对称，且()tan ()g x a x g x -=--=-， 所以()g x 为奇函数， 则31(lg log 10)(lg)(lg lg 3)(lg lg 3)15lg 3f f fg ==-=-+=， 所以(lg lg3)514g -=-=， 由奇函数性质可得(lg lg3)4g =-， 所以(lglg3)(lglg3)1413f g =+=-+=-， 故答案为：3- 【点睛】关键点点睛：首先要观察出()f x 中的部分tan ()a x g x =+为奇函数，其次要能利用换底公式，对数的运算性质找到3lg log 10与lg lg3为相反数，借助奇函数的性质求解.20．①③【分析】根据三角函数的奇偶性对称中心对称轴和最值对四个命题逐一分析由此确定正确命题的序号【详解】①为奇函数所以①正确②由于所以②错误③由于所以③正确④由于的最大值为所以④错误故答案为：①③【点睛解析：①③ 【分析】根据三角函数的奇偶性、对称中心、对称轴和最值对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的序号. 【详解】①，22cos sin 323y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭为奇函数，所以①正确.②，由于sin 2sin 11232πππ⎛⎫⨯+== ⎪⎝⎭，所以②错误. ③，由于53sin 2sin 1842πππ⎛⎫⨯+==- ⎪⎝⎭，所以③正确.④4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭32<，所以④错误. 故答案为：①③ 【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、对称性、最值以及诱导公式，属于中档题.三、解答题21．（1）45A =︒；（2）1BCBD= 【分析】（1）A B C <<，A 不能是钝角，且若tan 2A ≥，与A B C π++=矛盾，可得45A =︒；（2）由（1）结合两角和与差的正切公式，以及tan B ，tan C 均为整数，可得tan ,tan B C ，再利用正弦定理结合平面向量求出BD ，进而得出答案．【详解】 （1）A B C <<，A ∴不能是钝角，tan 0A >若tan 2A ≥，tan 60︒=tan y x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭内单调递增，60A ∴>︒又A B C <<，,B C ∴都大于60︒，与A B C π++=矛盾tan 1A ∴=，即45A =︒（2）45,135A B C =︒∴+=︒，()tan tan1351B C +=︒=-又()tan tan tan 11tan tan B CB C B C++==--，即tan tan 1tan tan B C B C -=+由tan B ，tan C 均为整数，且B C <，可得tan 2,tan 3B C ==则cos ,sin 55B B ==；cos ,sin 105C C ==由正弦定理sin 45sin sin a b c B C ==︒，可得,55b ac a ==又AC 的中点为D ，则2214BA BC BD AC ⋅=-，即221cos 4c a ABC BD AC ⋅⋅∠=-2214a BD ⎫⋅=-⎪⎪⎝⎭解得BD a =，故1BC aBD a== 【点睛】关键点点睛：本题考查三角恒等变换，考查同角三角函数的关系，考查正弦定理以及平面向量的应用，解决本题的关键点是充分利用A B C <<且tan A ，tan B ，tan C 均为整数，结合两角和与差的正切公式以及同角三角函数的关系，得出所求的比值，考查学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．22．（1）T π=，单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）最大值为12，最小值为14-. 【分析】（1）本题首先可通过三角恒等变换将函数解析式转化为()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后通过周期计算公式即可求出最小正周期，通过正弦函数的单调性即可求出单调递增区间； （2）本题可根据,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出22,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，然后根据正弦函数的性质即可求出最值. 【详解】（1）2()cos cos 64f x x x x π⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭21cos sin 2x x x x ⎫=++-⎪⎪⎝⎭221cos sin cos 224x x x x =++-)()2212cos 1sin 22sin 1444224x x x =-+++-+-11cos 2sin 2cos 2sin 2244244x x x x x =+-=-111sin 22sin 22223x x x π⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则最小正周期22T ππ==，当222232k x k πππππ-+≤-≤+，即()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，函数()f x 单调递增， 函数()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 因为,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 由正弦函数的性质易知， 当236x ππ-=-，即12x π=时，函数()f x 取最小值，最小值为14-； 当232x ππ-=，即512x π=时，函数()f x 取最大值，最大值为12.【点睛】关键点点睛：本题考查结合三角恒等变换判断三角函数性质，能否根据三角恒等变换将函数转化为()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是解决本题的关键，考查三角函数周期性、单调性以及最值的求法，是中档题.23．（1）1162AB AC + ;（2. 【解析】试题分析:（1）现将DE 转换为DB BE +，然后利用题目给定的比例，将其转化为以,AB AC 为起点的向量的形式.（2）由（1）将向量DE 两边平方，利用向量的数量积的概念，可求得DE .试题（1）由题意可得：21DE DB BE AB BC 32=+=+ ()21AB AC AB 32=+- 11AB AC 62=+ （2）由11DE AB AC 62=+可得： 2222211111|DE |DE AB AC AB AB AC AC 623664⎛⎫==+=+⋅+ ⎪⎝⎭22111664cos60473664=⨯+⨯⨯⨯︒+⨯=.故DE =24．（1）34-2）当245x =-时，xa b -与3a b 垂直．【分析】（1）先由数量积的定义求出3a b ⋅=-，由数量积的运算性质可得22(2)(3)253a b a b a a b b -⋅+=+⋅-，222||||2a b a b a a b b +=+=+⋅+，将条件及a b ⋅的值代入，可得答案. （2）由xa b -与3a b 垂直，可得22()(3)(31)30xa b a b xa x a b b -⋅+=+-⋅-=，将条件代入可求出x 的值.【详解】（1）||||cos ,23cos1203a b a b a b ︒⋅=〈〉=⨯⨯=-．22(2)(3)25324153934a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=⨯--⨯=-．222||||2469a b a b a a b b +=+=+⋅+=-+=（2）因为()(3)xa b a b -⊥+，所以22()(3)(31)3493270xa b a b xa x a b b x x -⋅+=+-⋅-=-+-=，即245x =-． 所以当245x =-时，xa b -与3a b 垂直．【点睛】本题考查向量数量积的定义和运算性质，求模长，根据向量垂直其数量积为零求参数的值，属于中档题.25．(1) ())3f x x π=+；【分析】(1)根据函数()f x 的部分图象可得A 及周期T ，再根据周期公式可求出ω，由五点法作图的第三个点可求出ϕ的值，从而可得函数()f x 的解析式；(2)根据平移变换和伸缩变换的规律，可求出()g x 的解析式，再根据函数()g x 在[]0,m 上单调递增，可求出m 的最大值，再根据正弦函数的图象与性质，即可求出函数()f x 在[0,]m 上的最大值.【详解】(1)由已知可得A =52()63πT ππ=-=，所以22=πωT =，所以())f x x ϕ=+，根据五点法作图可得23πϕπ⨯+=，所以=3πϕ，所以())3f x x π=+(2) 将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，可得22333πππy x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，因为函数()g x 在[]0,m 上单调递增，所以432m ππ-≤，所以524m π≤，m 的最大值为524π，由50,24x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得32,334x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当2=32x +ππ时，()f x .故函数()f x 在[]0,m . 【点睛】方法点睛：确定()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>的解析式的步骤： (1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则2M mA ，2M mB +=； (2)求ω，确定函数的周期T ，则2Tπω=； (3)求ϕ，常用方法有以下2种方法：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；②五点法：确定ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.26．（1）34πϕ=-；（2）5,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）答案见解析. 【分析】（1）由正弦函数的对数轴求出ϕ； （2）根据正弦函数性质求得增区间；（3）列表描点连线可得图象．注意五点法中的特殊点和区间的端点． 【详解】 解：（1）8x π=是函数()y f x =的一条对称轴，sin 218πϕ⎛⎫∴⨯+=± ⎪⎝⎭，即,42k k Z ππϕπ+=+∈0πϕ-<<，34πϕ∴=-（2）由（1）知3sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭由题意得3222,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈ 52,88k x k k Z ππππ∴+≤≤+∈ 所以函数3sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为5,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（3）由3sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭可知故函数sin 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间[]0,π上的图像为：【点睛】本题考查三角函数的对称性，单调性，考查用列表描点法作正弦型函数的图象．属于基础题．。

一、选择题1．已知cos 2π)4αα=+1tan tan αα+等于（ ） A ．92B ．29C ．9-2D ．2-92．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．17 B ．7C ．17-D ．-73．若11sin cos αα+=，则sin cos αα=（ ） A ．13- B ．13C ．13-或1D ．13或1- 4．若()tan 804sin 420α+=，则()tan 20α+的值为（ ）A．BCD5．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，5cos 6A =，若O 为ABC ∆的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC +=，则2n m -=（ ） A ．199B ．4122-C ．111-D ．1711 6．已知向量(3,0)a =，(0,1)b =-，(,3)c k =，若(2)a b c -⊥，则k =（ ） A ．2B ．2-C ．32D ．32-7．已知等边ABC 的边长为2，若3BC BE =，AD DC =，则BD AE ⋅等于（ ） A ．103B ．103-C ．2D ．2-8．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若()1AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭9．设函数5()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 10．如果一个函数在给定的区间上的零点个数恰好为8，则称该函数为“比心8中函数”.若函数()2sin()1f x x ωπ=-，(0)>ω是区间[0,1]上的“比心8中函数”，则ω的取值范围是（ ） A ．4149,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．4953,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3741,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[8,9)11．已知函数()tan()0,02f x x πωϕϕω⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭最小正周期为2π，且()f x 的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则方程()sin 2([0,])3f x x x π⎛⎫=+∈π ⎪⎝⎭所有解的和为（ ）A ．76πB ．56π C ．2πD ．3π 12．已知函数()tan()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≠< ⎪⎝⎭，点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是其相邻的两个对称中心，且在区间54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ϕ=（ ） A ．6πB ．6π-C ．3π D ．3π-二、填空题13．函数2cos sin y x x =+的最大值为____________．14．已知(0,)θπ∈，且sin 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2θ=__________．15．若函数()2cos 2,[0,]f x x x x π=-+∈的图象与直线y m =恰有两个不同交点，则m 的取值范围是________.16．已知向量()3,2OA =，()2,1OB =，O 点为坐标原点，在x 轴上找一个点M ，使得AM BM ⋅取最小值，则M 点的坐标是___________.17．把单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量OB ，点C 在线段AB 上，若12AC CB =，则OC BA ⋅的值为__________． 18．已知正方形ABCD 的边长为4，若3BP PD =，则PA PB ⋅的值为_________________. 19．函数()()0,0,2(f x Asin x A πωϕωϕ=+>><)的部分图像如图所示.则()f x 的解析式是_____.20．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωπϕπ=+>>-<<的部分图象如下图所示，则ϕ=________.三、解答题21．已知函数21()cos2sin 12sin 22x f x x x ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭，23()24g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）对任意的[]12,0,x x t ∈，当12x x <时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求正实数t 的最大值；（2）在满足（1）的条件时，若方程[()()1]2()2()10a f x g x f x g x ⋅-+-+-=在区间,4t π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解，求实数a 的取值范围. 22．已知函数()2312sin 6f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的对称中心和最小正周期； （2）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值及取得最大值时自变量x 的集合． 23．已知||4,||2a b ==，且a 与b 夹角为120︒，求：（1）||a b +； （2）a 与a b +的夹角.24．已知单位向量1e ，2e 的夹角为60︒，向量12a e e =+，21b e te =-，t R ∈. （1）若//a b ，求t 的值； （2）若2t =，求向量a ，b 的夹角. 25．已知函数()1tan ln1tan xf x x-=+.（1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明；（2）若()()()1tan tan f xa x g x e x-=-在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有零点，求实数a 的取值范围. 26．已知函数1()sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）当x ∈R 时，求()f x 的最小正周期及单调递增区间； （2）求()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值及最小值，并指出相应x 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】先利用cos 2sin 22παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结合cos 2π)4αα=+cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭的值，然后利用二倍角公式得到24cos 22cos 1249ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4sin 29α=，又12tan tan sin 2ααα+=，将4sin 29α=代入便可解出答案. 【详解】因为sin 22sin cos cos 2244π4)444πππααααπαππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭===+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭所以24cos22cos1249ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又4cos2sin229παα⎛⎫+=-=-⎪⎝⎭，所以4sin29α=，所以1sin cos1229tan4tan cos sin sin cos sin229ααααααααα+=+====.故选：A.【点睛】本题考查诱导公式，考查正弦、余弦的二倍角公式及其应用，难度一般，解答时公式的变形运用是关键.2．A解析：A【分析】根据角的范围以及平方关系求出4cos,5α=-再利用商的关系求出3tan4α=-，最后由两角和的正切公式可得答案.【详解】因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin5α=，所以4cos,5α==-sin3tancos4ααα==-，tan tan4tan41tan tan4παπαπα+⎛⎫+==⎪⎝⎭-⋅17故选：A.【点睛】本题主要考查平方关系、商的关系以及两角和的正切公式，属于基础题.3．A解析：A【分析】将已知式同分之后，两边平方，再根据22sin cos1αα+=可化简得方程23(sin cos)2sin cos10αααα--=，解出1sin cos3αα=-或1，根据111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，得出1sin cos 3αα=-.【详解】由11sin cos sin cos sin cos αααααα++== 两边平方得22(sin cos )(sin cos )αααα+222sin cos 2sin cos (sin cos )αααααα++=212sin cos 3(sin cos )αααα+==23(sin cos )2sin cos 10αααα∴--=，1sin cos 3αα∴=-或1，111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，1sin cos 3αα∴=-.故选：A. 【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦函数公式，属于中档题，要注意对sin cos αα范围的判断.4．D解析：D 【分析】 由()tan804sin 420α+=得：()tan 804sin 4204sin 6023α+===，然后将()tan 20α+化为()tan 8060α⎡⎤+-⎣⎦，用正切的差角公式求解.【详解】 因为()tan804sin 4204sin 6023α+===，则()()()()tan 80tan 6023tan 20tan 80601tan 80tan 6012αααα+-⎡⎤+=+-===⎣⎦++⋅+ 故选:D . 【点睛】本题考查诱导公式、正切的差角公式的运用，难度一般.解答时要注意整体思想的运用，即观察目标式与条件式角度之间的和差关系，然后运用公式求解.5．D解析：D 【分析】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，从而得到·0?0OD AB OE AC ==，，坐标化构建m ，n 的方程组，解之即可.【详解】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，又OD AD AO =-，即11222mOD AB mAB nAC AB nAC -=--=-， 同理122nOE AE AO AC mAB -=-=-， 因为212·||?02mOD AB AB nAB AC -=-=， 所以124502m n -⨯-=，又212·||?02nOE AC AC mAB AC -=-=， 所以129502nm -⨯-=，联立方程组124502129502mn n m -⎧⨯-=⎪⎪⎨-⎪⨯-=⎪⎩，解得922811m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以17211n m -=. 故选D 【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．B解析：B 【分析】求出2a b -)2=，利用向量垂直数量积为零列方程求解即可.【详解】由(3,0)a =，(0,1)b =-，得2a b -)2=，若(2)c a b -⊥，则(2)?0a b c -=，0,2k +=∴=-.故选B. 【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.7．D解析：D 【分析】 根据题意得出()12BD BA BC =+，13AE BC BA =-，运用数量积求解即可． 【详解】解：等边△ABC 的边长为2，3BC BE =，AD DC =， ∴()12BD BA BC =+，1313A AB BE AB B E BC A C B =+=+=-， ∴()221111223233BD AE BA BC BC BA BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫+-=--⋅ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭， 112144222332⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭， 2=-．故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量的运算，数量积的求解，关键是分解向量，属于中档题．8．D解析：D 【分析】设CO yBC =，则()1AO AC CO AC yBC yAB y AC =+=+=-++，根据3BC CD =得出y 的范围，再结合()1AO xAB x AC =+-得到,x y 的关系，从而得出x的取值范围. 【详解】 设CO yBC =，则()()1AO AC CO AC yBC AC y AC AB yAB y AC =+=+=+-=-++, 因为3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， 所以10,3y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为()1AO xAB x AC =+-，所以x y =-，所以1,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的线性运算，考查利用向量关系式求参数的取值范围问题，难度一般.9．A解析：A 【分析】根据题意有()5sin 226g x x ϕπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-，若()g x 为偶函数则52()62k k Z πππϕ-=+∈，结合0ϕ>可得出答案. 【详解】 解：由题意可得()()55()sin 2sin 2266g x f x x x πϕϕϕπ⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ -⎪⎪⎝⎭⎝⎭因为()g x 为偶函数，则52()62k k Z πππϕ-=+∈，即2()32k k Z ππϕ=+∈ 因为0ϕ>，所以当1k =-时ϕ取得最小值6π. 故选：A. 【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于()f x 的方程(组)，从而得到()f x 的解析式；（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值； （4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.10．A解析：A 【分析】根据题意问题转化为方程1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上有8个解，根据正弦函数的图像与性质可求得1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第8个解为416x ω=、第9个解为496x ω=，则4149166ωω≤<，解不等式即可. 【详解】根据题意，函数()2sin()1f x x ωπ=-，(0)>ω是区间[0,1]上零点个数为8，即方程1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上有8个解， ∴26x k πωππ=+或52,6x k k Z πωππ=+∈， 当0k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第1个解16x ω=，取第2个解56x ω=； 当1k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第3个解136x ω=，取第4个解176x ω=； 当3k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第7个解376x ω=，取第8个解416x ω=； 当4k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第9个解496x ω=. 则4149166ωω≤<，解得414966ω≤<. 故选：A11．A解析：A 【分析】先根据()f x 的最小正周期计算出ω的值，再根据图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭结合ϕ的范围求解出ϕ的值，再根据条件将方程变形，先确定出tan 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后即可求解出方程的根，由此确定出方程所有解的和. 【详解】因为()f x 的最小正周期为2π，所以22πωπ==，又因为()f x 的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，所以2tan 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以2,3k k Z ϕππ+=∈，又因为02πϕ<<，所以3πϕ=且此时1k =，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，即tan 2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即tan 2cos 21033x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 又因为tan 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，sin 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 213x π⎛⎫+=± ⎪⎝⎭， 所以tan 2cos 210tan 2=0333x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=⇔+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为[]0,x π∈，所以72,333x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 当tan 2=03x π⎛⎫+⎪⎝⎭时，23x ππ+=或223x ππ+=，解得3x π=或56x π=， 所以方程()[]()sin 20,3f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭所有解的和为57366πππ+=. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过分析方程得到tan 2=03x π⎛⎫+⎪⎝⎭，此处需要注意不能直接约去tan 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为需要考虑tan 2=03x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的情况.12．A解析：A 【分析】由正切函数的图象性质，得出相邻两个对称中心之间的距离为半个周期，可求出T ，然后由T πω=求出ω，然后再代点讨论满足题意的ϕ，即可得出答案. 【详解】由正切函数图象的性质可知相邻两个对称中心的距离为2T ，得72263T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 则由1T πω==得1ω=，即得1ω=±. 由2πϕ<，且在区间54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则可得1ω=-， ∴()()()tan tan f x x x ϕϕ=-+=--. 由2,32k k Z ππϕ-=∈得2,32k k Z ππϕ=-∈，因2πϕ<，可得6π=ϕ或3π-，当3πϕ=-时，()tan +3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由+,232k x k k Z πππππ-<<+∈，得5,66k x k k Z ππππ-<<+∈， 则函数()f x 的单调减区间为5,,66k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，令1k =，由54,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭7,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭⊄，得函数()f x 在54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调递减， 所以3πϕ=-不满足题意；当6π=ϕ时，()tan 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由,262k x k k Z πππππ-<-<+∈，得2,33k x k k Z ππππ-<<+∈， 则函数()f x 的单调减区间为2,,33k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， 令1k =，由25,3354,63ππππ⎛⎫⊂⎛⎫ ⎪⎝ ⎪⎝⎭⎭，得函数()f x 在54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 所以6π=ϕ满足题意； 综上可得：6π=ϕ满足题意. 故选：A.【点睛】关键点睛：正切型函数的对称中心和单调性的问题，通常采用代入检验法，注意正切函数的对称中心为0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭，. 二、填空题13．【分析】将函数解析式变形为且有利用二次函数的基本性质可求出该函数的最大值【详解】且因此当时函数取得最大值故答案为：【点睛】本题考查二次型三角函数的最值利用二倍角余弦公式将问题转化为二次函数的最值问题解析：98【分析】将函数解析式变形为22sin sin 1y x x =-++，且有1sin 1x -≤≤，利用二次函数的基本性质可求出该函数的最大值. 【详解】2219cos 2sin 12sin sin 2sin 48y x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭，且1sin 1x -≤≤，因此，当1sin 4x =时，函数2cos sin y x x =+取得最大值98. 故答案为：98. 【点睛】本题考查二次型三角函数的最值，利用二倍角余弦公式将问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.14．【分析】根据利用诱导公式和二倍角公式转化为求解【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查二倍角公式及诱导公式的应用还考查了转化求解问题的能力属于中档题 解析：2425【分析】根据sin 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用诱导公式和二倍角公式转化为2sin 2cos 2122sin 4πθθπθ⎛⎫=-=- ⎪⎛⎫- ⎪⎝⎝⎭⎭求解.【详解】因为sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以224sin 4sin 2cos 2co 25s 21224πππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故答案为：2425【点睛】本题主要考查二倍角公式及诱导公式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.15．【分析】化简函数解析式为做出函数的图象数形结合可得的取值范围【详解】解：因为所以由可得则函数的图象与直线恰有两个不同交点即方程在上有两个不同的解画出的图象如下所示：依题意可得时函数的图象与直线恰有两 解析：[4,6)【分析】化简函数解析式为()4sin()26f x x π=-+，做出函数的图象，数形结合可得m 的取值范围． 【详解】解：因为()2cos 2,[0,]f x x x x π=-+∈所以()23sin 2cos 24sin()26f x x x x π=-+=-+，[0,]x π∈，由[]0,x π∈，可得5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 则函数()f x ，[]0,x π∈的图象与直线y m =恰有两个不同交点，即方程4sin()26x m π-+=在[]0,x π∈上有两个不同的解，画出()f x 的图象如下所示：依题意可得46m ≤<时，函数()232cos 2,[0,]f x x x x π=-+∈的图象与直线y m =恰有两个不同交点，故答案为：[)4,6 【点睛】本题主要考查正弦函数的最大值和单调性，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象特征，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．16．【分析】设点的坐标是求出再利用配方法可得答案【详解】设点的坐标是即因为向量所以当时有最小值此时点的坐标是故答案为：【点睛】方法点睛：平面向量求最值有三种常见方法：1几何法；2三角函数有界法；3二次函解析：5,02⎛⎫⎪⎝⎭【分析】设M 点的坐标是(),0t ，求出AM BM ⋅，再利用配方法可得答案.【详解】设M 点的坐标是(),0t ，即(),0OM t =， 因为向量()3,2OA =，()2,1OB =， 所以()3,2AM OM OA t =-=--，()2,1BM OM OB t =-=--， ()()()()3221AM BM t t ⋅=--+-⨯- 22575824t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，当52t =时，AM BM ⋅有最小值74，此时M 点的坐标是5,02⎛⎫⎪⎝⎭， 故答案为：5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：平面向量求最值有三种常见方法：1、几何法；2、三角函数有界法；3、二次函数配方法.17．【分析】由题意可得与夹角为先求得则再利用平面向量数量积的运算法则求解即可【详解】单位向量绕起点逆时针旋转再把模扩大为原来的3倍得到向量所以与夹角为因为所以所以故答案为【点睛】本题主要考查平面向量几何 解析：116-【分析】由题意可得3OB =，OA 与OB 夹角为120︒，先求得1(2)3OC OA AC OA OB =+=+，则1(2)()3OC BA OA OB OA OB ⋅=+⋅-，再利用平面向量数量积的运算法则求解即可. 【详解】单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量OB ， 所以3OB =，OA 与OB 夹角为120︒， 因为12AC CB =，所以111()(2)333OC OA AC OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+-=+，所以()2211(2)()233OC BA OA OB OA OB OA OB OA OB ⋅=+⋅-=--⋅11291332⎡⎤⎛⎫=--⨯⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦116=-，故答案为116-. 【点睛】 本题主要考查平面向量几何运算法则以及平面向量数量积的运算，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）．18．6【分析】建立平面直角坐标系求得点P 的坐标进而得到的坐标再利用数量积的坐标运算求解【详解】如图所示建立平面直角坐标系：则设因为解得所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积解析：6 【分析】建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，进而得到,PA PB 的坐标，再利用数量积的坐标运算求解. 【详解】如图所示建立平面直角坐标系：则()()()()04,00,40,44A B C D ，，，，，设(),P x y ，()(),,4,4BP x y PD x y ==--， 因为3BP PD =，()()3434x x y y ⎧=⨯-⎪⎨=⨯-⎪⎩，解得33x y =⎧⎨=⎩，所以()3,3P ，所以()()3,1,3,3PA PB =-=--， 所以()()()33136PA PB ⋅=-⨯-+⨯-=， 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．【分析】由图像对应横坐标可求再将代入可进一步求解由图像过点可求进而求解【详解】由解得又函数过所以解得又图像过可得解得故故答案为：【点睛】本题考查由三角函数图像求解析式属于中档题解析：()2sin 26f x πx ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭【分析】由34T 图像对应横坐标可求ω，再将6x π=代入可进一步求解ϕ，由图像过()0,1点可求A ，进而求解 【详解】由1132312644T πππω-==⋅，解得2ω=，又函数过()max ,6f x π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以63A f Asin ππϕ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎝⎭+⎭=，解得6π=ϕ，又图像过()0,1可得()106f Asin π==，解得2A =，故()2sin 26f x πx ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭故答案为：()2sin 26f x πx ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭【点睛】本题考查由三角函数图像求解析式，属于中档题20．【分析】根据图象得出函数的最小正周期可得出的值再将点代入函数解析式结合的取值范围可求出的值【详解】由图象可知函数的最小正周期则将点代入函数解析式得即因为函数在附近单调递减则得故答案为：【点睛】本题考 解析：6π【分析】根据图象得出函数()y f x =的最小正周期T ，可得出ω的值，再将点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数解析式，结合ϕ的取值范围，可求出ϕ的值. 【详解】由图象可知，函数()y f x =的最小正周期11521212T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，222T ππωπ∴===， 则()()sin 2f x A x ϕ=+， 将点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数解析式得55sin 201212f A ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即5sin 06πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为函数()y f x =在512x π=附近单调递减，则()526k k Z πϕππ+=+∈，得()26k k Z πϕπ=+∈，πϕπ-<<，0k ∴=，6π=ϕ. 故答案为：6π. 【点睛】本题考查利用图象求三角函数解析式中的参数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题21．（1）4π；（2）32a <.【分析】（1）构造()()()h x f x g x =-，由单调性的定义得出()h x 在区间[0,]t 上为增函数，结合正弦型函数的单调性，得出正实数t 的最大值.（2）方程[()()1]2()2()10a f x g x f x g x ⋅-+-+-=有解，可分离参数为2()112()1()1h x a h x h x +==-++，在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解，再根据()h x 的值域，求解实数a 的取值范围. 【详解】解：（1）依题可知：1()cos 2sin cos 2f x x x x =+sin 224x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又∵()()()()1212f x f x g x g x -<-，∴()()()()1122f x g x f x g x -<-， 令()()()h x f x g x =-，则3()2244h x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222424x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 2x =.∵()()12h x h x <，∴()h x 在[]0,t 上单调递增， ∵22222k x k ππππ-≤≤+，∴()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，∴4t π≤，即t 的最大值为4π. （2）∵[()()1]2()2()10a f x g x f x g x ⋅-+-+-=，∴(2)[()()]10a f x g x a --+-=， ∴2()112()1()1h x a h x h x +==-++，即12sin 21a x =-+在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有解，∵1sin 21x -<<，∴32a <. 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.22．（1）最小正周期T π=；对称中心为,0122k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，；（2）()max 1f x =，自变量x 的集合为3π⎧⎫⎨⎬⎩⎭． 【分析】（1）先利用两角和与差的余弦公式及辅助角公式将函数化成标准形式11()sin 2262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用周期公式计算周期，整体代入法计算对称中心即可；（2）利用整体代入法，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得52666x πππ-≤-≤，根据正弦函数最值的特征得到何时取最值即可. 【详解】解：（1）()212sin 26f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭31cos 21cos 22442xx x -=-+-11112cos 2sin 2442262x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ 故最小正周期22T ππ==，令2,6x k k π-=π∈Z ，解得,122k x k Z ππ=+∈，故对称中心为,0122k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，；（2）∵02x π≤≤，∴52666x πππ-≤-≤， 当226x ππ-=时，max sin 216πx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故()max 111122f x =⨯+=，此时3x π=，即自变量x 的集合为3π⎧⎫⎨⎬⎩⎭． 【点睛】 方法点睛：求三角函数性质问题时，通常先利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式及辅助角公式将函数化简成基本形式()()sin f x A x b ωϕ=++，再利用整体代入法求解单调性、对称性，最值等性质.23．（1）2）6π. 【分析】（1）由已知利用向量的数量积的 定义可求||||cos120a b a b =︒，然后由222||()2a b a b a a b b +=+=++可求（2）设a 与a b +的夹角θ，代入向量的夹角公式2()cos ||||423a ab a a a b θ+==+⨯可求θ【详解】 解：（1）||4a =，||2b =，且a 与b 夹角为120︒∴1||||cos12042()42a b a b =︒=⨯⨯-=-∴222||()2164a b a b a a b b +=+=++=+-（2）设a 与a b +的夹角θ则2()3cos ||||42383a ab a a a b θ+====+⨯0θπ∴6πθ=.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的定义及向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题 24．（1）1t =-；（2）23π. 【分析】（1）根据题意，设a kb =，则有122112()()e e k e te kte ke +=-=-+，分析可得11kt k =-⎧⎨=⎩，解可得t 的值；（2）根据题意，设向量a ，b 的夹角为θ；由数量积的计算公式可得a 、||b 以及a b ， 由cos a b a b θ⋅=计算可得答案．【详解】（1）∵根据题意，向量12a e e =+，21b e te =-，若//a b ，则设a kb =，则有122112()()e e k e te kte ke +=-=-+， 则有11kt k =-⎧⎨=⎩，解可得1t =-； （2）根据题意，设向量a ，b 的夹角为θ；若2t =，则212b e e =-，则2221||(2)3b e e =-=，则||3b =， 又由12a e e =+，则2212||()3a e e =+=，则||3a =，又由12213()(2)2a b e e e e =+-=-， 则312cos 2||||3a b a b θ-===-⨯，又由0θπ，则23πθ=； 故向量a ，b 的夹角为23π． 【点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算公式，属于基础题．25．（1）函数()f x 为奇函数，证明见解析；（2）(),0-∞.【分析】（1）求出函数()f x 的定义域，计算得出()f x -与()f x 之间的关系，由此可得出结论； （2）由,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭可得出1tan 0x -<<，1tan 0x ->，利用()0g x =可得出tan 1tan x a x =+，求出函数tan 1tan x y x =+在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上的值域，由此可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）对于函数()1tan ln 1tan x f x x -=+，有1tan 01tan x x->+，即tan 10tan 1x x -<+，解得1tan 1x -<<， 解得()44k x k k Z ππππ-<<+∈，所以，函数()f x 的定义域为(),44k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ， ()()()()11tan 1tan 1tan 1tan ln ln ln ln 1tan 1tan 1tan 1tan x x x x f x f x x x x x ---+--⎛⎫-====-=- ⎪+--++⎝⎭， 所以，函数()f x 为奇函数；（2）()()()()1tan 1tan 1tan tan 1tan tan f x a x a x x g x e x x x---=-=-+， 04x π-<<，则1tan 0x -<<，1tan 0x ->，所以，0tan 11x <+<，令()0g x =，可得()tan 11tan 1101tan tan 1tan 1x x a x x x +-===-<+++， 所以，实数a 的取值范围是(),0-∞.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.26．（1）T π=，单调递增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （2）12x π=-时函数取得最小值12-，4x π=时函数取得最大值14. 【分析】 （1）根据周期公式计算，用整体代换法化简222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈即可得出单调递增区间；（2）用整体代换法得当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时52636πππ-≤-≤x ，当232x ππ-=-时函数取得最小值12-，当236x ππ-=时函数取得最大值14. 【详解】解：（1）()f x 的最小正周期为22T ππ== 由222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时52636πππ-≤-≤x 所以当232x ππ-=-即12x π=-时函数取得最小值12-， 当236x ππ-=即4x π=时函数取得最大值14. 【点睛】 求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.。

一、选择题1．已知,(0,2)αβπ∈，且满足1sin cos 2αα-=，1cos sin 2ββ-=，则sin()αβ+=（ ） A ．1 B ．22-或1 C ．34-或1 D ．1或-12．已知2tan 23θ=，则1cos sin 1cos sin θθθθ-+++的值为（ ） A ．23 B ．23-C ．32D ．32-3．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 3cos 23b A a B b c -=-，则A =（ ）A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π 4．已知直线524x π=是函数213()3sin sin (08)22x f x x ωωω=+-<≤图象的一条对称轴，则ω=（ ） A ．2B ．4C ．6D ．85．己知平面向量,a b 满足1a a b =-=，则32a b a b -++的最大值为（ ） A ．4B ．25C ．325+D ．66．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE ，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为37．在ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，那么下列各式中正确的是（ ） A ．DB DC =B ．2AD DE =C ．2AB AC AD += D ．AB AC BC -=8．已知ABC ∆为等边三角形，则cos ,AB BC =( ) A ．3-B ．12-C ．12D ．3 9．将函数()sin 25f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度后得到函数()y g x =的图象，对于函数()y g x =有以下四个判断： ①该函数的解析式为2sin 210y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ②该函数图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③该函数在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ④该函数在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. 其中，正确判断的序号是（ ） A ．②③ B ．①②C ．②④D ．③④10．已知点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象上，直线6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴.若()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调，则ϕ=（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 11．函数1cos y x x=+的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．12．将函数()2sin (04)6f x x πωω⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的周期为π，则以下说法正确的是（ ） A ．1ω=B ．函数()y f x =图象的一条对称轴为12x π=C ．()3f f x π⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增二、填空题13．tan 25tan 35325tan 35+︒︒︒︒的值为________.14．若角α的终边与单位圆的交点为1,()3m m R ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos2=α______. 15．已知x 是第二象限的角.1sin 1sin 1sin 1sin x xx x+--+____________. 16．已知向量a ，b 及实数t 满足|(1)(1)|1t a t b ++-=，若22||||1a b -=，则t 的最大值是________．17．若函数()()()4sin 0f x x ωϕω=+>对任意的x 都有()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值是___________. 18．已知平面单位向量a ，b 满足1a b -≤．设向量2a b +与向量2a b -的夹角为θ，则cos θ的最大值为______．19．在ABC 中，2AB =，32AC =，135BAC ∠=︒，M 是ABC 所在平面上的动点，则w MA MB MB MC MC MA =⋅+⋅+⋅的最小值为________． 20．函数()()0,0,2(f x Asin x A πωϕωϕ=+>><)的部分图像如图所示.则()f x 的解析式是_____.三、解答题21．函数()3sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中7,03B π⎛⎫⎪⎝⎭，且最高点A 与B 的距离29AB π=+（1）求函数()f x 的解析式；（2）若(),,4363f ππαα⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭，求cos2α的值. 22．设函数()4sin cos 16f x x x πωω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其中0>ω.（1）求函数()f x 的递增区间； （2）若函数()()g x f x m =+在,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点1x ，2x ，求实数m 的取值范围.23．如图，在ABC 中，1AB AC ==，120BAC ∠=.（Ⅰ）求AB BC 的值；（Ⅱ）设点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动，且AP x AB y AC →→→=+，其中,x y R ∈. 求xy 的最大值.24．已知三个点()2,1A ，()3,2B ，()1,4D -.（1）求证：AB AD ⊥；（2）若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标及矩形ABCD 两对角线所成锐角的余弦值. 25．把()cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的图象纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得()g x 的图象，已知()g x 图象如图所示（1）求函数()f x 的解析式； （2）若()()2()6h x f x g x π=-+，求()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域． 26．已知函数()sin 2sin 23233f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当π[0,]2x ∈时，（i ）求函数()f x 的单调递减区间；（ii ）求函数()f x 的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量x 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由两角与差的正弦、余弦公式变形由已知求得sin()4πα-和cos()4πβ+，用平方关系求得cos()4πα-和sin()4πα+，而sin()sin ()()44ππαβαβ⎡⎤+=-++⎢⎥⎣⎦，展开后计算，注意分类讨论． 【详解】 ∵1sin cos 2αα-=，∴sin 224αα-=sin()44πα-=， 1cos sin 2ββ-=ββ-=，cos()4πβ+=，∴cos()44πα-=±，sin()44πα+=±， sin()sin ()()sin()cos()cos()sin()444444ππππππαβαβαβαβ⎡⎤+=-++=-++-+⎢⎥⎣⎦，当7cos()sin()448ππαβ-+=时，17sin()188αβ+=+=， 当7cos()sin()448ππαβ-+=-时，173sin()884αβ+=-=-， 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查两角和与差正弦、余弦公式．解题关键是确定已知角和未知角之间的关系，本题中已知等式变形得出4πα-和4πβ+，未知角有()()44ππαβαβ+=-++，这样易确定使用的公式与顺序．2．A解析：A 【分析】根据半角公式得22sin sin cos221cos sin 1co 2cos sin cos 22s s 2in θθθθθθθθθθ=+++++-，再分子分母同除以2cos 2θ得2tan 1cos sin 21cos si tan2n 31ta 2n 2θθθθθθθ-+=++=++. 【详解】解：根据半角公式得：22cos 12sin2cos 122θθθ=-=-，sin 2sincos22θθθ=所以22222sin 2sin cos sin sin cos2222222cos 2sin cos cos sin cos 21cos sin 1cos 222n 2i 2s θθθθθθθθθθθθθθθθ-+==++++++， 对上述式子分子分母同除以2cos 2θ得： 222sin sin cos tan22222cos s 42ta in cos 22n 1cos sin 1029321cos sin 1531tan 1322θθθθθθθθθθθθθ+-+==+++===++++. 故选：A. 【点睛】本题解题的关键在于利用半角公式化简得22sin sin cos221cos sin 1co 2cos sin cos 22s s 2in θθθθθθθθθθ=+++++-，进而构造齐次式求解即可，考查运算求解能力，是中档题. 3．C解析：C 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合sin 0B ≠，可得2sin 23A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据题意可求范围(0,)A π∈，根据正弦函数的图象和性质即可求解A 的值. 【详解】解：∵ bsin cos 2A B b -=，∴由正弦定理可得：sin sin cos 2sin B A A B B C =，∴sin sin cos 2sin B A A B B C =2sin cos cos sin )B A B A B =-+，∴sin sin 2sin sin B A B A B =， 又∵sin 0B ≠，∴sin 2A A +=，∴2sin 23A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得232A k πππ+=+，Z k ∈， 又(0,)A π∈，∴6A π=.故选：C . 【点睛】本题考查正弦定理和三角恒等变换的运用，考查运算求解能力，求解时注意角的范围.4．B解析：B 【分析】首先通过三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果． 【详解】解：函数211()sin cos )sin sin()2223xf x x x x x ωπωωωω=+=-+=-， 令：5()2432k k Z πππωπ-=+∈，解得244()5kk Z ω=+∈， 由于08ω<， 所以4ω=． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，5．B解析：B 【分析】利用1a a b =-=得到2cos ,b a b =〈〉，令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-，则2b t =，利用平面向量的运算法则得到29832a b a b t -+-=+，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为1a a b =-=， 所以22222cos ,1a a ba ab a b b =-=-〈〉+=，则2cos ,b a b =〈〉， 令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-， 所以2b t =， 则()23232a b a b -=-22124a a b t b =-+== ()2222a b a ba ab t b +=+=++22214418t t t =++=+，所以22981382a b a b t t -+-+=++，利用基本不等式知：()2222222a b a b a b a b ++≤⇒+≤+，则()222298182981825t t t t -++≤-++=，当且仅当229818t t -=+时取等号， 此时22t =±. 则32a b a b -++的最大值为25. 故选：B. 【点睛】思路点睛：利用已知条件得到2cos ,b a b =〈〉，令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-，则2b t =，把问题化为了单一变量的函数问题，再利用平面向量的运算法则得到22981382a b a b t t -+-+=++，最后利用基本不等式即可解决.6．D解析：D 【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-设(,)AP a b =，由λμAP =AB +AE 得(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμμ=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．考点：向量的坐标运算．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用．7．C解析：C 【解析】依题意ABC 如图所示：∵D 是BC 的中点 ∴DB CD =，故A 错误 ∵E 是AD 的中点 ∴2AD ED =，故B 错误∵AB AD DB =+，AC AD DC =+∴2AB AC AD DB AD DC AD +=+++=，故C 正确∴()AB AC AD DB AD DC DB DC CB -=+-+=-=，故D 错误 故选C8．B解析：B 【分析】判断,AB BC 两向量夹角容易出错，是23π，而不是3π 【详解】由图发现,AB BC 的夹角不是B 而是其补角23π，21cos ,cos32AB BC π<>==- 【点睛】本题考查的是两向量夹角的定义，属于易错题，该类型题建议学生多画画图.9．A解析：A 【分析】根据函数平移变换得sin 2y x =，再根据正弦函数的性质依次讨论即可得答案. 【详解】解：由函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象平移变换的性质可知： 将sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后 解析式为sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，选项①错误； 令2x k =π，k Z ∈，求得2k x =π，k Z ∈， 故函数的图象关于点,02k ⎛⎫⎪⎝⎭π对称， 令1k =，故函数的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项②正确； 则函数的单调递增区间满足：222()22k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，选项③正确，④错误. 故选:A. 【点睛】本题考查三角函数平移变换，正弦型函数的单调区间，对称中心等，考查运算求解能力，解题的易错点在于平移变换时，当1ω≠时，须将ω提出，平移只针对x 进行平移，具体的在本题中，sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后得sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，而不是sin 2sin 251010y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是中档题. 10．B解析：B 【分析】 先由点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象上，直线6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴,求出ω的范围,再由()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调求出φ. 【详解】 由题意得:62484T πππ-=≥, 得1248ππω⨯≤,所以ω4≥. 又()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调,所以3662T πππ-=≤,得1226ππω⨯≥,所以ω6≤ 所以ω=4或5或6.当ω=4时, ()()cos 4f x x ϕ=+,有cos 402424460f k ππϕπϕπϕπ⎧⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⨯+=⎨⎪<<⎪⎪⎩解得3πϕ=.当ω=5时, ()()cos 4f x x ϕ=+,有cos 502424560f k ππϕπϕπϕπ⎧⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⨯+=⎨⎪<<⎪⎪⎩无解.当ω=6时, ()()cos 4f x x ϕ=+,有cos 602424660f k ππϕπϕπϕπ⎧⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⨯+=⎨⎪<<⎪⎪⎩无解.综上: 3πϕ=.【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；(3)求φ通常利用函数上的点带入即可求解.11．C解析：C 【分析】利用函数的奇偶性和特殊的函数值的正负排除错误选项． 【详解】函数定义域是{|0}x x ≠，关于原点对称，记1()cos f x x x=+，则11()cos()cos f x x x x x -=-+=+-()f x =，是偶函数，排除BD ， 11()cos 10f ππππ=+=-+<，排除A ．故选：C ． 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.12．C解析：C 【分析】由周期求出ω，然后由正弦函数的性质判断． 【详解】函数()2sin (04)6f x x πωω⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的周期为π，所以22πωπ==，A 错； 12x π=时，206x π-=，12x π=不是对称轴，B 错；3x π=时，226x ππ-=，即23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭为最大值，因此()3f f x π⎛⎫⎪⎝⎭正确，C 正确； 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，52,666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，而sin y x =在5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，D 错； 故选：C ．方法点睛：本题考查三角函数的性质，对函数()sin()f x A x ωϕ=+，掌握五点法是解题关键．解题时可由x 的值或范围求得x ωϕ+的值或范围，然后结合正弦函数性质判断．二、填空题13．【分析】根据展开化简得到答案【详解】故故答案为：【点睛】本题考查了正切和差公式的应用意在考查学生的计算能力【分析】根据()tan60tan 2535︒=︒+︒，展开化简得到答案. 【详解】()tan 25tan 35tan 60tan 25351tan 25tan 35︒+︒︒=︒+︒==-︒⋅︒故tan 25tan 3525n 3ta 5︒︒︒+︒=【点睛】本题考查了正切和差公式的应用，意在考查学生的计算能力.14．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得再利用二倍角公式求得的值【详解】由题意角的终边与单位圆的交点为可得解得即又由故答案为：【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义二倍角的正弦公式的应用其解析：79【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得cos α，再利用二倍角公式求得cos2α的值. 【详解】由题意，角α的终边与单位圆的交点为1,()3m m R ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得2119m +=，解得3m =±，即cos 3α=±， 又由287cos 22cos 12199αα=-=⋅-=. 故答案为：79. 【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，结合余弦的倍角公式求解是解答的关键，属于基础题.15．【分析】本题可以先通过是第二象限的角得出然后对进行化简即可得到结果【详解】因为是第二象限的角所以所以故答案为：【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数式的化简利用三角函数的同角三角函数关系式进行化简是 解析：2tan x -【分析】本题可以先通过x 是第二象限的角得出cos 0x <进行化简即可得到结果． 【详解】因为x 是第二象限的角，所以cos 0x <，==1sin 1sin cos cos x xx x+-=---11tan tan cos cos x x x x=--+- 2tan x =-.故答案为：2tan x -. 【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数式的化简，利用三角函数的同角三角函数关系式进行化简是本题的关键．16．【分析】根据整理为再两边平方结合得到然后利用基本不等式求解【详解】因为所以两边平方得因为即所以而所以解得当且仅当时等号成立所以的最大值是故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键是由这一信息将转化为再遇解析：14【分析】根据|(1)(1)|1t a t b ++-=，整理为()()||1t a b a b ++-=，再两边平方结合22||||1a b -=，得到()()22212t a ba bt ++-=-，然后利用基本不等式求解.【详解】因为|(1)(1)|1t a t b ++-=，所以()()||1t a b a b ++-=，两边平方得()()()()22221t a b t a b a b a b +++-+-=， 因为22||||1a b -=，即()()1a b a b +-=， 所以()()22212t a b a b t ++-=-，而()()()()22222t a b a b t a b a b t ++-≥+⋅-=，所以122t t -≥， 解得14t ≤，当且仅当()()t a b a b +=-时等号成立， 所以t 的最大值是14故答案为：14【点睛】关键点点睛：本题关键是由22||||1a b -=这一信息，将|(1)(1)|1t a t b ++-=，转化为()()||1t a b a b ++-=，再遇模平方，利用基本不等式从而得解.17．4或-4【分析】由题意可得故函数的周期为求得；在中令求得从而求得的值【详解】∵函数对任意的都有∴故函数的周期为∴所以∴在中令可得：即∴则故答案为：4或-4【点睛】求三角函数解析式的方法：(1)求A 通解析：4或-4. 【分析】 由题意可得()23f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故函数()f x 的周期为23π，求得=3ω；在()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭中，令=0x ，求得sin 0ϕ=，从而求得6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】∵函数()()()4sin 0f x x ωϕω=+>对任意的x 都有()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴()23f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故函数()f x 的周期为23π， ∴22=3ππω，所以=3ω. ∴()()4sin 3f x x ϕ=+. 在()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭中，令=0x ，可得：()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即()4sin =4sin πϕϕ+，∴sin =0ϕ. 则=4sin()4cos 462f ππϕϕ⎛⎫+==±⎪⎝⎭. 故答案为： 4或-4. 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.18．【分析】设的夹角为由题可得则可化简得出即可求出最值【详解】是单位向量设的夹角为则由可得即可得则当时取得最大值为故答案为：【点睛】本题考查数量积的运算律解题的关键是先得出的夹角为满足的再将所求化为可求解析： 【分析】设,a b 的夹角为α，由题可得1cos 2α≥，则可化简得出cos θ=-求出最值. 【详解】,a b 是单位向量，1a b ∴==，设,a b 的夹角为α，则由1a b -≤可得21a b -≤，即222cos 1aa b b α-⋅⋅+≤，可得1cos 2α≥， 则()()22222222cos 224444a b ab a b a ba ab ba ab bθ+⋅-==+⋅-+⋅+⋅-⋅+==-=- 当1cos 2α=时，cos θ取得最大值为14-. 故答案为：. 【点睛】本题考查数量积的运算律，解题的关键是先得出,a b 的夹角为α满足的1cos 2α≥，再将所求化为21cos 32516cos θα=--可求. 19．【分析】以A 为原点AC 所在直线为x 轴建系如图所示根据题意可得ABC 坐标设可得的坐标根据数量积公式可得的表达式即可求得答案【详解】以A 为原点AC 所在直线为x 轴建立坐标系如图所示：因为所以设则所以=当时 解析：283-【分析】以A 为原点，AC 所在直线为x 轴，建系，如图所示，根据题意，可得A 、B 、C 坐标，设(,)M x y ，可得,,MA MB MC 的坐标，根据数量积公式，可得w 的表达式，即可求得答案.【详解】以A 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立坐标系，如图所示：因为2AB =，32AC =135BAC ∠=︒， 所以(0,0),(2,2),(32,0)A B C -，设(,)M x y ，则(,),(2,2),(32,)MA x y MB x y MC x y =--=---=--， 所以(2)(2)w MA MB MB MC MC MA x x y y =⋅+⋅+⋅=++22)(32)(2)(2)x x y y x x y -++-+=22222222834232263()3()333x x y x y -+--=-+--， 当222x y ==时，w 有最小值，且为283-， 故答案为：283- 【点睛】解题的关键是建立适当的坐标系，求得点坐标，利用数量积公式的坐标公式求解，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.20．【分析】由图像对应横坐标可求再将代入可进一步求解由图像过点可求进而求解【详解】由解得又函数过所以解得又图像过可得解得故故答案为：【点睛】本题考查由三角函数图像求解析式属于中档题解析：()2sin 26f x πx ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭【分析】由34T 图像对应横坐标可求ω，再将6x π=代入可进一步求解ϕ，由图像过()0,1点可求A ，进而求解 【详解】由1132312644T πππω-==⋅，解得2ω=，又函数过()max ,6f x π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以63A f Asin ππϕ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭+⎭=，解得6π=ϕ，又图像过()0,1可得()106f Asin π==，解得2A =，故()2sin 26f x πx ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭故答案为：()2sin 26f x πx ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭【点睛】本题考查由三角函数图像求解析式，属于中档题三、解答题21．（1）()13sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）6. 【分析】（1）根据最高点A 与点B 的距离AB ==，求得,T ω，点7,03B π⎛⎫ ⎪⎝⎭在图象上求解.（2）由(),,463f ππαα⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭，求得sin 2,cos 266ππαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后由cos2cos 266ππαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭求解.【详解】（1）最高点A 与点B 的距离AB ==， 14,2T πω==， ()13sin ,2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为点7,03B π⎛⎫⎪⎝⎭在图象上， 所以773sin 0,36f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为2πϕ<，所以6πϕ=-，所以()13sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.（2）()43sin 2266f ππααα⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为,63ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭， 所以2,622πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以cos 263πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 所以cos2cos 266ππαα⎛⎫=-+⎪⎝⎭， cos 2cos sin 2sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6=.【点睛】方法点睛：已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)五点法，由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．22．（1）递增区间是(),63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）(]2,1--. 【分析】（1）利用两角差的正余弦公式、正余弦的二倍角公式对()f x 进行化简，再根据正弦函数的周期和单调递增区间可得答案；（2）由x 的范围求出26x π-及sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的范围，利用换元法分析()2sin F u u =的单调性和最值，结合()y F u =与y m =-两函数的图象的交点个数可得答案.【详解】（1）()24sin cos 1cos 2sin 16f x x x x x x πωωωωω⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭2cos22sin 26x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ∵()f x 的最小正周期为π，且0>ω，∴22ππω=，解得1ω=, ∴()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设26u x π=-， ∵函数sin y u =的递增区间是()2,222k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z , 由()222262k x k k πππππ-≤-≤+∈Z ， 得()63k x k k ππππ-≤≤+∈Z ，∴函数()f x 的递增区间是(),63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）由（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，520,66u x ππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，令()2sin F u u =，则5166F F ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵()2sin F u u =在0,2u π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上递增，在5,26u ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上递减， ∴()max 22F u F π⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∵函数()()g x f x m =+在,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点， ∵.函数()y f x =与y m =-两图象在,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的交点， ∴函数()y F u =与y m =-两图象在50,6u π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的交点， ∴12m ≤-<，解得21m -<≤-，∴实数m 的取值范围是(]2,1--.【点睛】 本题考查了三角函数的化简和性质，关键点是利用两角差的正余弦公式、正余弦的二倍角公式对()f x 进行化简和利用三角函数的性质解题，考查了学生分析问题、解决问题的能力. 23．（Ⅰ）32-；（Ⅱ）1. 【分析】(I ）建立坐标系，求出向量坐标，代入数量积公式计算；(II ）利用向量坐标运算，得到三角函数，根据三角函数求出最大值.【详解】（Ⅰ）()AB BC AB AC AB →→→→→⋅=⋅- 213122AB AC AB →→→=⋅-=--=-. （Ⅱ）建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)B ，13(,)22C -. 设(cos ,sin )P θθ，[0,]3θ2π∈，由AP x AB y AC →→→=+，得1(cos ,sin )(1,0)(,22x y θθ=+-.所以cos ,sin 2y x y θθ=-=.所以cos x θθ=+，y θ=，2211cos sin 2cos 2333xy θθθθθ+=+-2112cos 2)323θθ=-+ 21sin(2)363πθ=-+， 因为2[0,]3πθ∈，72[,]666πππθ-∈-. 所以，当262ππθ-=，即3πθ=时，xy 的最大值为1. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算，向量的坐标运算，正弦型函数的图象与性质，属于中档题．24．（1）证明见详解；（2）()0,5C ，矩形ABCD 两对角线所成锐角的余弦值为45. 【分析】（1）利用向量垂直证明即可；（2）设C 坐标，根据向量相等求C 点坐标，根据向量夹角求对角线所成锐角余弦值.【详解】解：（1）由题知，()1,1AB =，()3,3AD =-，所以()13130AB AD ⋅=⨯-+⨯=，所以AB AD ⊥，所以AB AD ⊥；（2）设点C 的坐标为(),C x y ，则根据四边形ABCD 为矩形得AB DC =，即：()()1,11,4x y =+-，所以1141x y +=⎧⎨-=⎩，解得0,5x y ==，所以()0,5C ； 所以()2,4AC =-，()4,2BD =-，所以164cos ,2052AC BDAC BD AC BD ⋅====， 矩形ABCD 两对角线所成锐角的余弦值为45.【点睛】本题考查利用向量解决平面几何问题，是中档题.25．（1）1()cos(2)3f x x π=-；（2）3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）由伸缩变换得1()cos()2g x x ωϕ=+，由()g x 的图像的周期为54()263T πππ=-=，解得2ω=，由()g x 图像过点(,1)3π，求得ϕ，进而得到()g x ，()f x 的解析式.（2）易得()22cos ()2cos()166h x x x ππ=----，令cos()6t x π=-，利用二次函数的性质求解.【详解】（1）由题意1()cos()2g x x ωϕ=+，由()g x 的图像可得：函数()g x 的周期为54()263T πππ=-=， 解得2ω=，∴()cos )(g x x ϕ=+，由图知()g x 图像过点(,1)3π， 所以cos()13πϕ+=， 则23k πϕπ=-+，k Z ∈， 因为||2ϕπ<，取0k =得3πϕ=-， 所以()cos()3g x x π=-，从而函数()f x 的解析式为()cos(2)3f x x π=-． （2）()()2()cos(2)2cos()636h x f x g x x x πππ=-+=---， 22cos ()2cos()166x x ππ=----， 令cos()6t x π=-，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则22132212()22y t t t =--=--，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 当12t =时，y 有最小值32-， 此时，1cos()62x π-=，63x ππ-=，即2x π=， 当1t =时有最大值1-，此时cos()16x π-=，06x π-=，即6x π=． 所以函数()h x 的值域为3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦． 【点睛】方法点睛：求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．26．（1）最小正周期为π；（2）（i ）ππ[,]122；（ii ）当π=12x 时，()f x 取最大值为2；当π=2x 时，()f x 取最小值为 【分析】 （1）利用和差公式展开合并，再利用辅助角公式计算可得()2sin (2+)3f x x π=，可得最小正周期为π；（2）（i ）通过换元法令π23t x =+，求出sin y t =的范围，然后再根据sin y t =的单调递减区间求解即可；（ii ）根据函数单调性求得最大值，然后计算端点值，比较大小之后可得函数的最小值.【详解】解：（1）πππ()=sin(2+)sin(2)2=sin 22=2sin(2+)333f x x x x x x x +-. 2π==π2T ，∴()f x 的最小正周期为π.（2）（i ）π[0,]2x ∈，∴ππ4π2[,]333t x =+∈， sin y t =，π4π[,]33t ∈的单调递减区间是π4π[,]23t ∈， 且由ππ4π2233x ≤+≤，得ππ122x ≤≤， 所以函数()f x 的单调递减区间为ππ[,]122. （ii ）由（i ）知，()f x 在ππ[,]122上单调递减，在π[0,]12上单调递增.且π(0)=2sin3f =ππ()=2sin 2122f =，π4π()=2sin 23f =所以，当π=12x 时，()f x 取最大值为2；当π=2x 时，()f x 取最小值为 【点睛】 思路点睛：（1）关于三角函数解析式化简问题，首先利用和差公式或者诱导公式展开合并化为同角，然后再利用降幂公式进行降次，最后需要运用辅助角公式进行合一化简运算；（2）三角函数的单调区间以及最值求解，需要利用整体法计算，可通过换元利用sin y t =的单调区间以及最值求解.。

一、选择题1．函数2()sin 2f x x x =+-()cos(2)2 3 (0)6g x m x m m π=--+>，若对任意1[0,]4x π∈，存在2[0,]4x π∈，使得12()()g x f x =成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4(1,)3B ．2(,1]3C ．2[,1]3D ．4[1,]32．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos 63πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin α的值等于（ ）A ．6 B ．6C ．16D ．16-3．已知直线3x −y +1=0的倾斜角为α，则1sin22α= A ．310 B ．35 C ．−310D ．1104．若()tan 804sin 420α+=，则()tan 20α+的值为（ ）A ．5-B ．5C ．19D ．75．在空间直角坐标系中，(3,3,0)A ，(0,0,1)B ，点(,1,)P a c 在直线AB 上，则 （ ） A ．11,3a c ==B ．21,3a c ==C ．12,3a c ==D ．22,3a c ==6．已知a ，b 为单位向量，2a b a b +=-，则a 在a b +上的投影为（ ）A ．13B ．CD 7．已知ABC 中，3AB AC ==，且||||AB AC AB AC +=-，点D ，E 是BC 边的两个三等分点，则AD AE ⋅=（ ） A ．3B ．4C ．5D ．68．在ABC 中，D 是BC 边上的一点，F 是AD 上的一点，且满足2AD AB AC =+和20FD FA +=，连接CF 并延长交AB 于E ，若AE EB λ=，则λ的值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．159．已知实数a ，b 满足0<2a <b <3-2a ，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．sin sin2b a < B ．()2cos >cos 3a b -C ．()2sin sin3a b +<D ．23cos >sin 2b a ⎛⎫-⎪⎝⎭10．我国著名数学家华罗庚先生曾倡导“0.618优选法”，0.618是被公认为最具有审美意义的比例数字，我们称为黄金分割．“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，华先生认为底与腰之比为黄金分割比51510.61822⎛⎫--≈ ⎪ ⎪⎝⎭的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36°的等腰三角形．例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的．如图，在其中一个黄金ABC 中，黄金分割比为BCAC．试根据以上信息，计算sin18︒=（ ）A ．512B ．514C ．514D ．35211．设函数()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ） A ．()f x 的一个对称中心为5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象关于直线116x π=对称 C ．()f x π+的一个零点为12x π=D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减12．已知函数2()[sin()]3sin()cos()f x x x x ωωω=+(0)>ω在[0,]π上有且只有四个零点，则实数ω的取值范围是（ ） A ．5[,2]3B ．5(,2)3C ．5[,2)3D ．5(,2]3二、填空题13．4cos50tan40-=______．14．tan 25tan 353tan 25tan 35++︒︒︒︒的值为________. 15．已知sin10cos102cos140m ︒-︒=︒，则m =_________.16．在梯形ABCD 中，//AB CD ，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=︒，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=，14DQ DC λ=，则AP BQ ⋅的最大值为______.17．在ABC △中，已知4CA =，3CP =，23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点，则CP CA ⋅的值为_____.18．已知函数()()π5sin 24f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，对于下列说法：①要得到()5sin 2g x x =的图象，只需将()f x 的图象向左平移4π个单位长度即可；②()y f x =的图象关于直线3π8x =对称：③()y f x =在[]π,π-内的单调递减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④5π8y f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数.则上述说法正确的是________（填入所有正确说法的序号）. 19．函数f (x )=A sin(ωx +φ)(00)2A πωϕ>><，，的部分图象如图所示，则f (0)的值为___________.20．若平面向量a ，b 为单位向量，12a b ⋅=，空间向量c 满足||8c =，4a c ⋅=，5b c ⋅=，则对任意的实数12,t t ，12c t a t b --的最小值是___________． 三、解答题21．已知函数2211()sin 2cos 2cos 2sin 22,22f x x x x x x R =+-+∈． （I ）求函数|()|f x 最小正周期和最小值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移8π个单位长度，得到()y g x =图象．若对任意12,[0,]x x m ∈，当12x x <时，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求实数m 的最大值．22．如图，以x 轴非负半轴为始边，角α的终边与单位圆相交于点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将角α的终边绕着原点O 顺时针旋转4π得到角β．（1）求3sin()5cos()2sin sin()2πααπαπα-+-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值； （2）求sin 22cos ββ+的值．23．已知()3,2a =-，()2,1b =，O 为坐标原点.（1）若ma b +与2a b -的夹角为钝角，求实数m 的取值范围； （2）设OA a =，OB b =，求OAB 的面积.24．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示：（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象求方程()12g x =在[]0,π的实数解. 25．如图，在OAB 中，P 为线段AB 上一点，且OP xOA yOB =+.()1若AP PB =，求x ，y 的值；()2若3AP PB =，4OA =，2OB =，且OA 与OB 的夹角为60︒，求OP AB ⋅的值.26．已知函数()23,4f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.（1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）的单调递增区间和单调递减区间； （3）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求f （x ）值域.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】222332321f x sin x cos x sin x cos x =+-=+-（）（）1323222222223sin x cos x sin x cos x sin x π==+=+（）（）， 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，552[]21[12]3366min x f x sin f x ππππ+∈∴==∴∈，，（），（），， 对于22306g x mcos x m m π=--+（）（）（＞），2[]2[]36662m x mcos x m ππππ-∈--∈，，（），，3[33]2g x m m ∴∈-+-（），，∵对任意10,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在20,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12g x f x =成立，331232m m ⎧-+≥⎪∴⎨⎪-≤⎩ ，解得实数m 的取值范围是41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选D ．【点睛】本题考查三角函数恒等变换，其中解题时问题转化为求三角函数的值域并利用集合关系是解决问题的关键，2．C解析：C 【分析】 求出sin 6απ⎛⎫+⎪⎝⎭，然后由两角差的正弦公式计算． 【详解】∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2,663πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴sin 63πα⎛⎫+==⎪⎝⎭， ∴sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11332=-⨯=故选：C ． 【点睛】本题考查两角差的正弦公式，考查同角间的三角函数关系，在应用三角公式化简求值时，要注意已知角与未知角之间的关系，以确定先用哪一个公式变形．3．A解析：A 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值． 【详解】直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，∴2221133sin222219110sin cos tan a sin cos sin cos tan αααααααα=⋅====+++， 故选A ． 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题．4．D解析：D 【分析】 由()tan804sin 420α+=得：()tan 804sin 4204sin 6023α+===，然后将()tan 20α+化为()tan 8060α⎡⎤+-⎣⎦，用正切的差角公式求解.【详解】 因为()tan804sin 4204sin 6023α+===，则()()()()tan 80tan 6023tan 20tan 80601tan 80tan 6012αααα+-⎡⎤+=+-===⎣⎦++⋅+ 故选:D . 【点睛】本题考查诱导公式、正切的差角公式的运用，难度一般.解答时要注意整体思想的运用，即观察目标式与条件式角度之间的和差关系，然后运用公式求解.5．B解析：B 【解析】∵点P (a ,1,c )在直线AB 上， ∴存在实数λ使得AB BP λ=， ∴()()()0,0,13,3,0,1,1a c λ-=- ， 化为()3,3,1(,,)a c λλλλ--=- ，∴3{31ac λλλλ-=-==- ,解得3{123a c λ=-==.本题选择B 选项.6．C解析：C 【分析】由题意结合平面向量数量积的运算可得13a b ⋅=，进而可得()b a a +⋅、a b +，代入投影表达式即可得解. 【详解】因为a ，b 为单位向量，所以1==a b ， 又2a b a b +=-，所以()()222a ba b +=-所以22222242a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即121242a b a b +⋅+=-⋅+，所以13a b ⋅=，则()2263a b a b +=+=，()243a a b a a b ⋅+=+⋅=，所以a 在a b +上的投影为()4326a a ba b⋅+==+ 故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了一个向量在另一个向量上投影的求解，属于中档题.7．B解析：B 【分析】由||||AB AC AB AC +=-知，0AB AC ⋅=，根据平面向量的线性运算可推出2133AD AB AC =+，1233AE AB AC =+，故21123333AD AE AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，展开后代入数据进行运算即可.【详解】解：∵||||AB AC AB AC +=-，∴0AB AC ⋅=， ∵点D 是BC 边的三等分点， ∴11()33AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-2133AB AC =+.同理可得，1233AE AB AC =+， ∴()2221122(3339)3AD AE AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⋅=+⋅+=+ ⎪⎝⎭2(99)49=⨯+=. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量数量积运算、模的运算、平面向量基本定理，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意基底的选择.8．C解析：C 【分析】首先过D 做//DG CE ，交AB 于G ，根据向量加法的几何意义得到D 为BC 的中点，从而得到G 为BE 的中点，再利用相似三角形的性质即可得到答案. 【详解】如图所示，过D 做//DG CE ，交AB 于G .因为2AD AB AC =+，所以D 为BC 的中点. 因为//DG CE ，所以G 为BE 的中点， 因为20FD FA +=，所以:1:2AF FD =.因为//DG CE ，所以::1:2AE EG AF FD ==，即12AE EG =. 又因为EG BG =，所以14AE EB =， 故14AE EB =. 故选：C 【点睛】本题主要考查了向量加法运行的几何意义，同时考查了相似三角形的性质，属于中档题.9．D解析：D 【分析】对各个选项一一验证：对于A.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出2ba <，借助于正弦函数的单调性判断； 对于B.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出23a b <-，借助于余弦函数的单调性判断； 对于C.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出23a b +<，借助于正弦函数的单调性判断； 对于D.先用诱导公式转化为同名三角函数，借助于余弦函数的单调性判断； 【详解】 因为0<2a <b <3-2a 对于A. 有0<2b a <， 若22b a π<<，有sin sin 2b a <；若22b a π<<，有sin sin 2ba >，故A 错； 对于B.有 23ab <-，若232a b π<<-，有()2cos >cos 3a b -，故B 错；对于C. 23a b +<，若232a b π<+<，有()2sin sin 3a b +>，故C 错；对于D. 222333sin cos cos 2222a a a ππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为b <3-2a <3，所以2cos >cos(3)b a - ∵22332a a π+-<-∴()223cos 3cos 2a a π+⎛⎫->-⎪⎝⎭∴()22233cos cos 3cos sin 22a a b a π+⎛⎫⎛⎫>->-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 对. 故选：D. 【点睛】利用函数单调性比较大小，需要在同一个单调区间内．10．B解析：B 【分析】先由ABC 是一个顶角为36°的等腰三角形，作其底边上的高，再利用sin18sin DAC ︒=∠，结合腰和底之比求其结果即可.【详解】依题意可知，黄金ABC 是一个顶角为36°的等腰三角形，如图，51,BC AB AC AC -==，36BAC ∠=︒，过A 作AD BC ⊥于D ，则AD 也是三角形的中线和角平分线，故1151512sin18sin 224BCDC DAC AC AC ︒=∠===⋅=. 故选：B. 【点睛】本题解题关键在于读懂题意，将问题提取出来，变成简单的几何问题，即突破结果.11．D解析：D 【分析】选项A 由()f x 的对称中心满足2,32x k k Z πππ+=+∈可判断；选项B ()f x 的对称轴满足：2,3x k k Z πππ+=+∈可判断；选项C 令12x π=，求得()cos02f x π==，可判断;选项D 由()f x 的增区间满足222,3k x k k Z ππππ-≤+≤∈可判断.【详解】由函数()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 选项A. ()f x 的对称中心满足2,32x k k Z πππ+=+∈则1,212x k k Z ππ=+∈，当1k =-时，512x π=-，所以5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭为()f x 的一个对称中心，故A 正确； 选项B ：()f x 的对称轴满足：2,3x k k Z πππ+=+∈即11,23x k k Z ππ=+∈，当3k =时，116x π=，故B 正确；选项C ： ()()cos 2cos 233x x x f ππππ⎡⎤⎛⎫=+++=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭令12x π=，得ππcos 0122f π⎛⎫+== ⎪⎝⎭，故C 正确； 选项D ：由()f x 的增区间满足222,3k x k k Z ππππ-≤+≤∈2,36k x k k Z ππππ-≤≤-∈， 当1k =时，536x ππ≤≤，所以()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，故D 错误， 故选：D . 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的单调性、对称性和零点问题，解答本题的关键是将23x π+看成一个整体，令2,32x k k Z πππ+=+∈；2,3x k k Z πππ+=+∈和222,3k x k k Z ππππ-≤+≤∈，得出答案，属于中档题.12．C解析：C 【分析】先化简函数的解析式，然后利用x 的范围求出26x πω⎛⎫- ⎪⎝⎭的范围，根据题意列不等式求解ω.【详解】221cos21 ()[sin()])cos()2sin(2)262ωπωωωωω-=+=+=-+xf x x x x x x，因为[0,]xπ∈，得2,2666πππωωπ⎛⎫⎡⎤-∈--⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦x，因为函数在[0,]π有且只有四个零点，则19232666πππωπ≤-<，解得523ω≤<.故选：C.【点睛】关于三角函数中求解ω的取值范围问题，一般要先求解出整体的范围，即xωϕ+的范围，然后根据题意，分析xωϕ+范围所在的区间，列不等式求解，即可求出ω.二、填空题13．【详解】故答案为考点：三角函数诱导公式切割化弦思想【详解】4sin 40cos40sin404cos50tan40cos40--=2cos10sin30cos10sin10cos30cos40--=,1sin102cos40⎫-⎪⎝⎭=40340==.考点：三角函数诱导公式、切割化弦思想.14．【分析】根据展开化简得到答案【详解】故故答案为：【点睛】本题考查了正切和差公式的应用意在考查学生的计算能力【分析】根据()tan60tan2535︒=︒+︒，展开化简得到答案.【详解】()tan25tan35tan60tan25351tan25tan35︒+︒︒=︒+︒==-︒⋅︒故tan25tan3525n3ta5︒︒︒+︒=【点睛】本题考查了正切和差公式的应用，意在考查学生的计算能力.15．【分析】化简得再利用诱导公式与和差角公式化简求解即可【详解】由题故答案为：【点睛】本题主要考查了根据余弦的诱导公式与和差角公式化简求解的问题需要根据题中的角跟特殊角的关系用和差角公式属于中档题 解析：3【分析】 化简得sin102cos140cos10m ︒-︒=︒,再利用诱导公式与和差角公式化简cos140︒求解即可.【详解】 由题()sin102cos 1030sin102cos140cos10cos10m ︒+︒+︒︒-︒==︒︒sin102cos10cos302sin10sin 302cos10cos302cos303cos10cos10︒+︒︒-︒︒︒︒===︒=︒︒.故答案为：3 【点睛】本题主要考查了根据余弦的诱导公式与和差角公式化简求解的问题.需要根据题中的角跟特殊角的关系用和差角公式,属于中档题.16．【分析】由题可知据平面向量的混合运算法则可化简得到；设函数由对勾函数的性质推出在上的单调性求出最大值即可得解【详解】根据题意作出如下所示图形：∵∴又P 和Q 分别在线段和上∴解得设函数由对勾函数的性质可解析：54【分析】 由题可知114CQ DC λ⎛⎫=-⎪⎝⎭，1,14λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，据平面向量的混合运算法则可化简得到117524AP BQ λλ⋅=+-；设函数()117524f λλλ=+-，1,14λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由对勾函数的性质推出()fλ在1,14λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调性，求出最大值即可得解. 【详解】根据题意，作出如下所示图形：∵BP BC λ=，14DQ DC λ=，∴114CQ DQ DC DC λ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， 又P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，∴011014λλ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，解得1,14λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. ()()()114AP BQ AB BP BC CQ AB BC BC DC λλ⎡⎤⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2111144AB BC AB DC BC BC DC λλλλ⎛⎫⎛⎫=⋅+-⋅++-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111722cos120121cos 04121cos12054424λλλλλλ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯︒+-⨯⨯⨯︒+⨯+-⨯⨯⨯︒=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设函数()117524fλλλ=+-，1,14λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 由对勾函数的性质可知，()f λ在14⎡⎢⎣⎭上单调递减，在⎤⎥⎝⎦上单调递增， ∵114f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()514f =，∴()()max 514ff λ==，即AP BQ ⋅的最大值为54.故答案为：54. 【点睛】本题考查平面向量的应用，考查数量积的定义，考查函数的单调性与最值，属于中档题．17．6【分析】根据平方处理求得即可得解【详解】在中已知点是边的中点解得则故答案为：6【点睛】此题考查平面向量的基本运算关键在于根据向量的运算法则求出模长根据数量积的运算律计算求解解析：6 【分析】 根据()12CP CA CB =+，平方处理求得2CB =，()12CP CA CA CB CA ⋅=+⋅即可得解. 【详解】在ABC △中，已知4CA =，3CP 23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点， ()12CP CA CB =+ ()222124CP CA CB CA CB =++⋅ 211316842CB CB ⎛⎫⎛⎫=++⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2CB = 则()()21111162462222CP CA CA CB CA CA CB CA ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：6 【点睛】此题考查平面向量的基本运算，关键在于根据向量的运算法则求出模长，根据数量积的运算律计算求解.18．②④【分析】结合三角函数的图象与性质对四个结论逐个分析即可得出答案【详解】①要得到的图象应将的图象向左平移个单位长度所以①错误；②令解得所以直线是的一条对称轴故②正确；③令解得因为所以在定义域内的单解析：②④ 【分析】结合三角函数的图象与性质对四个结论逐个分析即可得出答案. 【详解】①要得到()5sin 2g x x =的图象，应将()ππ5sin 25sin 248f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象向左平移π8个单位长度，所以①错误；②令ππ2π42x k -=+，k ∈Z ，解得3ππ82k x =+，k ∈Z ，所以直线3π8x =是()y f x =的一条对称轴，故②正确；③令ππ3π22π42π22k k x ≤+≤-+，k ∈Z ，解得3π7πππ88k x k +≤≤+，k ∈Z ，因为[]π,πx ∈-，所以()f x 在定义域内的单调递减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5ππ,88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，所以③错误；④5π5ππ5sin 25sin 2884y f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦是奇函数，所以该说法正确. 【点睛】本题考查了正弦型函数的对称轴、单调性、奇偶性与平移变换，考查了学生对()sin y A ωx φ=+的图象与性质的掌握，属于中档题.19．【分析】由图可得的周期振幅即可得再将代入可解得进一步求得解析式及【详解】由图可得所以即又即又故所以故答案为：【点睛】本题考查由图象求解析式及函数值考查学生识图计算等能力是一道中档题解析： 【分析】由图可得()f x 的周期、振幅，即可得,A ω，再将(,0)6π代入可解得ϕ，进一步求得解析式及()0f . 【详解】由图可得2A =，1()46124T πππ=--=，所以2T ππω==，即2ω=，又()06f π=，即2sin(2)06πϕ⨯+=，,3k k Z πϕπ+=∈，又||2ϕπ<，故3πϕ=-，所以()sin()f x x π=-223，(0)2sin()3f π=-=故答案为：. 【点睛】本题考查由图象求解析式及函数值，考查学生识图、计算等能力，是一道中档题.20．6【分析】根据题意将其代入并且结合化简整理进而可求得最小值【详解】解：由题得将条件代入可得上式当且仅当取等号故的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积及其运算性质以及二次式的最值问题解析：6 【分析】根据题意，221a b ==，将其代入212|()|c t a t b -+，并且结合||8c =，4a c ⋅=，5b c ⋅=，化简整理2222121283|()|(4)363624t c t a t b t t -⎛⎫-+=++-+ ⎪⎝⎭，进而可求得最小值 【详解】解：22222212121212()222c t a t b c t a t b t c a t c b t t a b -+=++--+， 由题得221a b ==，||8c =，4a c ⋅=，5b c ⋅=，12a b ⋅=将条件代入可得上式22222212121212()222c t a t b c t a t b t c a t c b t t a b -+=++--+ 22121212164242522t t t t t t =++-⨯-⨯+⨯22222121212128364810(4)363624t t t t t t t t t -⎛⎫=++--+=++-+ ⎪⎝⎭， 当且仅当12t =，24t =取等号， 故12||c t a t b --的最小值是6， 故答案为：6 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积及其运算性质以及二次式的最值问题，还考查了运算求解的能力．三、解答题21．（I ）4;22π.（Ⅱ）8π. 【分析】（I ）先将函数解析式整理，得到()4224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的周期，即可求出函数 |()|f x 的最小正周期；再由正弦函数的取值范围，即可求出函数的最小值； （Ⅱ）记()()()h x f x g x =-，根据题中条件，先判断 ()h x 在[0,]m 上是增函数；再由题中条件，得到函数()h x 的解析式，根据正弦函数的单调性，即可求出结果. 【详解】（I ）2211()sin 2cos 2cos 2sin 2222f x x x x x =+-+ 11sin 4cos 4222x x =++ 11cos 4sin 4222x x =++sin 42024x π⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2T π=，当sin 414x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，函数 |()|f x 的最小值为42. （Ⅱ）因为对任意12,[0,]x x m ∈，当12x x <时，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-， 即()()()()1122f x g x f x g x -<-， 记()()()h x f x g x =-， 即()()12h x h x <，所以()h x 在[0,]m 上是增函数.又3()sin 42sin 42828424g x f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以3()()()442424h x f x g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 4cos sin 424x x π=⨯=， 令24222k x k ππππ-≤≤+，求得2828k k x ππππ-≤≤+. 故()h x 的单调增区间为,2828k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， k Z ∈， 所以实数m 的最大值为8π. 【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数的恒等变换及三角函数的性质，涉及到函数的平移，利用构造函数的思想，求正弦型函数的单调区间，以及利用单调性求参数是解决本题的关键.22．（1）1；（2）725+-. 【分析】（1）先利用三角函数的定义分别求出cos α，sin α，tan α，用诱导公式先化简，再求值；（2）由题意得4αβ-=π，得4πβα=-，用二倍角公式即可求解. 【详解】解：（1）由题得4cos 5α=-，3sin 5α=，3tan 4α=-．3sin()5cos()3sin 5cos 3tan 512cos sin 2tan 2sin sin()2παααααπααααπα-+-++===--⎛⎫-++ ⎪⎝⎭． （2）由题意得4αβ-=π，得4πβα=-， 所以sin 22cos sin 22cos 44ππββαα⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 22cos cos 22cos 244πππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2164312cos sin )122555ααα⎫=-+=-⨯+-+⎪⎭=． 【点睛】(1) 三角函数值的大小与点P （x ,y ）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；当角的终边在直线上时，或终边上的点带参数必要时，要对参数进行讨论．(2)根据题意把角进行合理转化，还要注意角的范围. 23．（1）116,,225⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）72S =. 【分析】（1）由题意，求得,2ma b a b +-的坐标，令()()20ma b a b +⋅-<，解得65m <，再由当12m =-时，得到2a b -与ma b +方向相反，求得12m ≠-，即可求解； （2）设AOB θ∠=，OAB 面积为S ，则1sin 2S a b θ=⋅，结合向量的夹角公式和向量的坐标运算，即可求解. 【详解】（1）由题意，向量()3,2a =-，()2,1b =，可得()32,21ma b m m +=+-+，()21,4a b -=--， 令()()20ma b a b +⋅-<，即32840m m --+-<，解得65m <， 当12m =-时，12ma b a b +=-+， 此时2a b -与ma b +方向相反，夹角为π，不合题意，∴12m ≠-，综上可得，实数m 的取值范围为116,,225⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）设AOB θ∠=，OAB 面积为S ，则1sin 2S a b θ=⋅， 因为222sin 1cos 1a ba b θθ⎛⎫⋅⎪=-=- ⎪⋅⎝⎭， 又由()3,2a =-，()2,1b =，可得()22222224sin 651649S a b a b a b θ=⋅=-⋅=-=，解得72S =， 即OAB 的面积为72OABS =. 【点睛】本题主要考查了向量的角公式，向量的数量积的坐标运算的综合应用，其中解答中熟记向量的基本概念，以及向量的数量积和夹角公式的坐标运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.24．（1）()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）0或3π或π. 【分析】（1）先根据函数图象确定出()f x 的最小正周期，再根据最小正周期的计算公式2T ωπ=求解出ω的值，然后代入点,13π⎛⎫⎪⎝⎭结合ϕ的范围求解出ϕ的值，从而()f x 的解析式可求；（2）先根据图象变换求解出()g x 的解析式，然后根据()12g x =得到关于x 的方程，结合[]0,x π∈，求解出x 的值即为方程的实数解. 【详解】（1）因为由图象可知4362T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以22T ππω==且0>ω，所以1ω=， 所以()()sin f x x ϕ=+，代入点,13π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭且2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； （2）()f x 的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12后得到的函数解析式为：()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为[]0,x π∈，所以132,666x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又因为()12g x =，所以1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以266x ππ+=或56π或136π，所以0x =或3π或π， 所以方程()12g x =在[]0,π的实数解为：0或3π或π. 【点睛】 思路点睛：根据()sin y A ωx φ=+的图象求解函数解析式的步骤：（1）根据图象的最高点可直接确定出A 的值；（2）根据图象的对称轴、对称中心确定出函数的最小正周期，再利用最小正周期的计算公式求解出ω的值；（3）代入图象中非平衡位置的点，结合ϕ的范围求解出ϕ，则函数解析式可求. 25．()112x y ==；()23-. 【分析】 ()1用OA ，OB 表示出OP ，根据平面向量的基本定理得出x ，y 的值；()2用OA ，OB 表示出OP ，AB ，代入数量积公式计算即可.【详解】解：()1若AP PB =，则OP OA OB OP -=-， 即1122OP OA OB =+，故12x y ==. ()2若3AP PB =，则33OP OA OB OP -=-， 即1344OP OA OB =+， 所以()221311344424OA OB OB OA O OP A OA O B B OB A ⎛⎫+⋅-=--⋅=⋅+ ⎪⎝⎭ 22221131113cos60442234244224OA OA OB OB -⋅⋅︒+=-⨯-⨯⨯⨯=-+⨯=-. 【点睛】本题考查平面向量的基本定理，考查向量的数量积运算，属于中档题.26．（1）23π；（2）单调递增区间为22,,34312k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间为225,,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）⎡⎣. 【分析】（1）由公式2T πω=求周期；（2）利用正弦函数的单调性求单调区间；（3）求出34x π+的范围，然后结合正弦函数的性质得值域． 【详解】解：（1）由解析式得ω＝3， 则函数的最小周期223T ππω==. （2）由232242k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ， 所以2234312k k x ππππ-≤≤+，k ∈Z ， 即函数的单调递增区间为22,34312k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ， 由3232242k x k πππππ+≤+≤+k ∈Z ， 得225312312k k x ππππ+≤≤+，k ∈Z ， 即函数的单调递减区间为225,312312k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ，k ∈Z . （3）当x ∈[0，2π]时，73,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则当3x +4π＝2π时，函数f （x ）取得最大值，此时f （x 2π=，当3x +342ππ=时，函数f （x ）取得最小值，此时f （x 32π=即f (x )值域为[.【点睛】关键点点睛：本题考查正弦型三角函数的性质．对于()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)A ω>>，最小正周期为2T πω=，利用正弦函数sin y x =的性质，把x ωϕ+作为一个整体替换sin x 中的x ，可得()f x 的性质．。

一、选择题1．已知2π()2sin ()1(0)3f x x ωω=+->，给出下列判断： ①若函数()f x 的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，则=2ω； ②若函数()f x 的图象关于点π(,0)12对称，则ω的最小值为5； ③若函数()f x 在ππ[,]63-上单调递增，则ω的取值范围为1(0,]2； ④若函数()f x 在[0,2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147[,)2424. 其中判断正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．42．若1sin 34a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．78- B ．78C ．1516-D ．15163．若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知()0,απ∈，3sin cos 3αα+=cos2=α（ ） A ．5B ．53 C ．5D 55．ABC ∆中，AB AC ⊥，M 是BC 中点，O 是线段AM 上任意一点，且2AB AC ==，则OA OB OA OC +的最小值为（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．16．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ）A B ．1C ．2D ．7．已知两个非零向量a ，b 的夹角为23π，且=2a b -，则·ab 的取值范围是（ ） A ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．[)2,0-C ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．[)1,0-8．已知ABC ∆为等边三角形，则cos ,AB BC =( )A ．B ．12-C ．12D 9．设函数()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ） A ．()f x 的一个对称中心为5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象关于直线116x π=对称 C ．()f x π+的一个零点为12x π=D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x +也是奇函数，当(]0,1x ∈时，()11f x x=-.若函数()()sin F x f x x π=+，则()F x 在区间[]1949,2021上的零点个数是（ ） A ．108 B ．109 C ．144 D ．14511．已知函数()()()()2sin 0,0,f x x ωϕωϕπ=+>∈的部分图像如图所示，将()y f x =图像上所有点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），所得图像对应的函数()g x 解析式为（ ）A ．()2sin 46g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()2sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()2sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()2sin 3g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭12．函数22y cos x sinx ＝－ 的最大值与最小值分别为( ) A ．3，－1 B ．3，－2 C ．2，－1D ．2，－2二、填空题13．将22sin 23cos x x x +化简为sin()A x B ωϕ++（0A >，0>ω，π2ϕ<）的形式为______.14．已知函数()sin 3f x x x =+，则下列命题正确的是_____.（填上你认为正确的所有命题序号） ①函数()0,2f x x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ②函数()f x 的图像关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位长度后，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是6π； ④若实数m 使得方程()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实数解123,,x x x ，则12373x x x π++=. 15．设)2sin17cos172a =︒+︒,22cos 131b =︒-,32c =,则a ,b ,c 的大小关系是______.16．如图,在△ABC 中,13AN NC =,P 是BN 上的一点,若AP =m 211AB AC +,则实数m 的值为_____.17．在ABC 中，22AB =，26AC =，G 为ABC 的重心，则AG BC ⋅=________．18．在梯形ABCD 中，AB //CD ，90DAB ∠=，2AB =，1CD AD ==，若点M 在线段BD 上，则AM CM ⋅的最小值为______________.19．已知函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-（其中,a ω为常数，且0>ω）有且仅有3个零点，则ω的最小值是_________．20．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为603米.其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为_______米.三、解答题21．已知函数2()3sin 22sin f x x x =+．（1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）当,312x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域． 22．在①2sin 3sin 2αα=，②6cos 2α=③tan 22α=个，补充在下面问题中，并解决问题. 已知10,,0,,cos()224ππαβαβ⎛⎫⎛⎫∈∈+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，_______，求cos β. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 23．已知||4,||2a b ==，且a 与b 夹角为120︒， 求：（1）||a b +； （2）a 与a b +的夹角.24．已知函数1()sin 22,23f x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间； （3）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值 25．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每π分钟转1圈，筒车的轴心O 距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W 到水面的距离为d (单位：米)(在水面下则d 为负数).若以盛水筒W 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间t (单位：分钟)之间的关系为sin()0,0,22d A t K A ππωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭.（1）求,,,A K ωϕ的值；（2）求盛水筒W 出水后至少经过多少时间就可到达最高点？（3）某时刻0t (单位：分钟)时，盛水筒W 在过O 点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过6π分钟后，盛水筒W 是否在水中？ 26．如图，在直角△ABC 中，点D 为斜边BC 的靠近点B 的三等分点，点E 为AD 的中点，3,6AB AC ==（1）用,AB AC 表示AD 和EB ； （2）求向量EB 与EC 夹角的余弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】先将()f x 化简，对于①，由条件知，周期为π，然后求出ω；对于②，由条件可得2()612k k Z ωπππ+=∈，然后求出16()k k Z ω=-+∈，即可求解；对于③，由条件，得2362()22362k k Z k ωππππωππππ⎧-+-+⎪⎪∈⎨⎪++⎪⎩，然后求出ω的范围；对于④，由条件，得74221212πππππωωωω-<-，然后求出ω的范围；，再判断命题是否成立即可． 【详解】解：2π2ππ()2sin ()1=-cos(2)=sin(2)336f x x x x ωωω=+-++， ∴周期22T ππωω==． ①．由条件知，周期为π，1w ∴=，故①错误；②．函数()f x 的图象关于点π(,0)12对称，则2()612k k Z ωπππ+=∈， 16()k k Z ω∴=-+∈，(0)>ω∴ω的最小值为5， 故②正确；③．由条件，ππ[,]63x ∈-，ππ2π236636x πωπωω-+≤+≤+ 由函数()f x 在ππ[,]63-上单调递增得2362()22362k k Z k ωππππωππππ⎧-+-+⎪⎪∈⎨⎪++⎪⎩， 12ω∴≤， 又0>ω，102ω∴<， 故③正确．④．由()sin(2)06f x x πω=+=得2()6x k k Z πωπ+=∈,解得()212k x k Z ππωω=-∈ ()sin(2)6f x x πω=+且()f x 在[0，2]π上恰有7个零点，可得74221212πππππωωωω-<-， ∴41472424ω<， 故④正确； 故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了转化思想和推理能力，属中档题．关键点点睛：利用整体思想，结合正弦函数的图像和性质是根据周期，对称，单调性，零点个数求求解参数的关键.2．B解析：B 【分析】 化简sin 2cos 2()63a ππα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再利用二倍角公式化简求值. 【详解】22sin 2sin[(2)]cos(2)=cos 2()cos 2()632333a ππππππαααα⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭=21712sin ()123168πα--=-⨯=. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角变名变式），要根据已知条件灵活选择方法化简求值.3．C解析：C 【解析】 试题分析：因，故应选C ．考点：同角三角函数的关系及运用．4．A解析：A【分析】在等式sin cos αα+=cos sin αα-的值，然后利用二倍角的余弦公式可求得cos2α的值. 【详解】()0,απ∈，sin cos 3αα+=，两边平方后得：112sin cos 3αα+=，即1sin cos 3αα=-，sin 0α∴>，cos 0α<，()215cos sin 12sin cos 1233αααα⎛⎫-=-=-⨯-= ⎪⎝⎭，cos sin αα∴-=，则()()22cos 2cos sin cos sin cos sin 333ααααααα=-=-+=-=-. 故选：A. 【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值，同时也考查了同角三角函数平方关系的应用，考查计算能力，属于中等题.5．C解析：C 【分析】根据向量求和的平行四边形法则可以得出2OA OB OA OC OA OM ⋅+⋅=⋅，再利用向量的数量积的运算可以得到22OA OM OA OM ⋅=-⋅，因为2OA OM +=，代入计算可求出最小值. 【详解】解：在直角三角形ABC 中，2AB AC ==，则BC =M 为BC 的中点，所以2AM =.设OA x =，(0x ≤≤()2OA OB OA OC OA OB OC OA OM ⋅+⋅=⋅+=⋅ )()2222OA OM x x x =-⋅=-=2212x ⎛=-- ⎝⎭所以当2x =，即22OA =时，原式取得最小值为1-.故选：C. 【点睛】方法点睛：（1）向量求和经常利用平行四边形法则转化为中线的2倍；（2）利用向量三点共线，可以将向量的数量积转化为长度的乘积； （3）根据向量之间模的关系，二元换一元，转化为二次函数求最值即可.6．B解析：B 【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出21P OP E PF =⋅-，求得OP 的最大值，由此可求得PE PF ⋅的最大值. 【详解】 如下图所示：由题可知正方形ABCD 的内切圆的半径为1，设该内切圆的圆心为O ，()()()()2221PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-，由图象可知，当点P 为ABCD 的顶点时，2OP 取得最大值2，所以PE PF ⋅的最大值为1.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.7．C解析：C 【分析】对=2a b -两边平方后，结合2·cos 3a b a b π=⋅进行化简可得：224a b b +⋅+=；由基本不等式可得222a b a b +⋅，于是推出403a b<⋅，再结合平面向量数量积即可得解． 【详解】因为2a b -=，所以 2224a a b b -⋅+=，所以2222cos 43b b a a π-⋅+=，即224a a b b +⋅+=， 由基本不等式的性质可知，222a ba b +⋅，403a b∴<⋅， 所以212·cos ,0323a b a b a b π⎡⎫=⋅⋅=-⋅∈-⎪⎢⎣⎭． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量数量积运算，考查利用基本不等式求最值，难度一般.对于平面向量的模长问题，一般采用平方处理，然后结合平面向量数量积的运算公式求解即可．8．B解析：B 【分析】判断,AB BC 两向量夹角容易出错，是23π，而不是3π【详解】由图发现,AB BC 的夹角不是B 而是其补角23π，21cos ,cos32AB BC π<>==- 【点睛】本题考查的是两向量夹角的定义，属于易错题，该类型题建议学生多画画图.9．D解析：D 【分析】选项A 由()f x 的对称中心满足2,32x k k Z πππ+=+∈可判断；选项B ()f x 的对称轴满足：2,3x k k Z πππ+=+∈可判断；选项C 令12x π=，求得()cos02f x π==，可判断;选项D 由()f x 的增区间满足222,3k x k k Z ππππ-≤+≤∈可判断.【详解】由函数()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 选项A. ()f x 的对称中心满足2,32x k k Z πππ+=+∈则1,212x k k Z ππ=+∈，当1k =-时，512x π=-，所以5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭为()f x 的一个对称中心，故A 正确； 选项B ：()f x 的对称轴满足：2,3x k k Z πππ+=+∈即11,23x k k Z ππ=+∈，当3k =时，116x π=，故B 正确；选项C ： ()()cos 2cos 233x x x f ππππ⎡⎤⎛⎫=+++=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭令12x π=，得ππcos 0122f π⎛⎫+== ⎪⎝⎭，故C 正确； 选项D ：由()f x 的增区间满足222,3k x k k Z ππππ-≤+≤∈2,36k x k k Z ππππ-≤≤-∈， 当1k =时，536x ππ≤≤，所以()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，故D 错误， 故选：D . 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的单调性、对称性和零点问题，解答本题的关键是将23x π+看成一个整体，令2,32x k k Z πππ+=+∈；2,3x k k Z πππ+=+∈和222,3k x k k Z ππππ-≤+≤∈，得出答案，属于中档题.10．D解析：D 【分析】由题可得()f x 是周期为2的函数，进而判断()F x 是周期为2的函数，可求得()0=0F ，102F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10F =，利用周期性即可求出零点个数.【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x +也是奇函数，()00f ∴=，()()()111f x f x f x +=--+=-， ()f x ∴是周期为2的函数，sin y x π=的周期为2，∴()()sin F x f x x π=+是周期为2的函数，()()00sin00=F f ∴+=，11sin 0222F f π⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()11sin 0F f π=+=，则在区间[]1949,2021上，()()()111949194919501950202122F F F F F ⎛⎫⎛⎫=+==+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()F x 在区间[]1949,2021上的零点个数是()2021194921145-⨯+=个. 故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和周期性的应用，解题的关键是判断出()F x 是周期为2的函数，根据函数的周期性即可判断出零点的个数.11．B解析：B 【分析】 由32341234T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭可求出T π=，进而可得2ω=，令 ()22122k k Z ππϕπ⨯+=+∈结合()0,ϕπ∈即可求得ϕ的值，再根据三角函数图象的伸缩变换即可求()g x 的解析式. 【详解】 由图知32934123124T ππππ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭， 所以T π=，可得2ππω=，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+， 令()22122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，所以()23k k Z πϕπ=+∈，因为()0,ϕπ∈，所以令0k =，可得3πϕ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 将()y f x =图像上所有点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），可得()2sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 故选：B12．D解析：D 【解析】分析：将2cos x 化为21sin x -，令()sin 11x t t =-≤≤，可得关于t 的二次函数，根据t 的取值范围，求二次函数的最值即可.详解：利用同角三角函数关系化简，22cos 2sin sin 2sin 1y x x x x =-=--+ 设()sin 11x t t =-≤≤，则()()22211211y t t t t =--+=-++-≤≤，根据二次函数性质当1t =-时，y 取最大值2，当1t =时，y 取最小值2-. 故选D.点睛：本题考查三角函数有关的最值问题，此类问题一般分为两类，一种是解析式化为2sin sin y A x B x C =++的形式，用换元法求解；另一种是将解析式化为()sin y A x k ωϕ=++的形式，根据角的范围求解.二、填空题13．【分析】利用正弦二倍角和余弦二倍角公式及辅助角公式化简得解【详解】故答案为：【点睛】本题考查二倍角公式及辅助角公式属于基础题解析：π2sin(2)16x -+【分析】利用正弦二倍角和余弦二倍角公式及辅助角公式化简得解. 【详解】2π2sin cos 1cos 222sin(2)16x x x x x x +=-=-+故答案为：π2sin(2)16x -+ 【点睛】本题考查二倍角公式及辅助角公式，属于基础题.14．①③④【分析】首先利用辅助角公式将函数化简为再根据正弦函数的性质一一验证即可【详解】解：的单调增区间为当增区间为∴①正确；∴②不正确；函数的图像向左平移个单位长度后得由题意得则的最小值是∴③正确；若解析：①③④ 【分析】首先利用辅助角公式将函数化简为()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质一一验证即可. 【详解】解：13()sin 3cos 2sin cos 2sin 23f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()f x ∴的单调增区间为52,2()66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴①正确； 2sin 2sin 106636f ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴②不正确；函数()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位长度后得()2sin 3f x x m π⎛⎫=++⎪⎝⎭，由题意得32m k πππ+=+，6m k ππ=+，则m 的最小值是6π，∴③正确；若实数m 使得方程()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实数解123,,x x x ，结合这两个函数图像可知，必有10x =，32x π=，此时()2sin 33f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，另一个解为23x π=，12373x x x π∴++=，∴④正确. 故答案为：①③④【点睛】本题考查辅助角公式的应用，正弦函数的性质的综合应用，属于中档题.15．【分析】根据两角和的正弦公式二倍角公式诱导公式即可将化简再根据正弦函数的单调性即可比较出大小关系【详解】所以故答案为：【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式二倍角公式诱导公式的应用以及正弦函数的单调性 解析：c a b <<【分析】根据两角和的正弦公式，二倍角公式，诱导公式，即可将,a b 化简，再根据正弦函数的单调性即可比较出大小关系． 【详解】)sin17cos17sin17cos 45cos17sin 45sin 622a =︒+︒=︒+︒=，22cos 131cos 26sin 64b =︒-==，sin 60c ==， 所以，c a b <<． 故答案为：c a b <<． 【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式，诱导公式的应用，以及正弦函数的单调性的应用，属于基础题．16．【解析】由得设=n 所以+n=+n()=(1-n)=m 由n=得m=1-n=解析：311【解析】 由13AN NC =,得14AN AC =. 设BP =n BN ,所以AP AB BP AB =+=+n BN =AB +n (AN AB -)=(1-n )14AB nAC +=m 211AB AC +. 由14n=211,得m=1-n=311. 17．6【分析】根据三角形重心的性质转化为以及再求数量积【详解】如图点是的中点为的重心所以故答案为：6【点睛】本题考查向量数量积重心重点考查转化与化归思想计算能力属于基础题型解析：6 【分析】根据三角形重心的性质转化为()13AG AB AC =+，以及BC AC AB =-，再求数量积. 【详解】如图，点D 是BC 的中点，G 为ABC 的重心，∴()()22113323AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+，BC AC AB =-，所以()()()221133AG BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅-=- ()126863=-=故答案为：6 【点睛】本题考查向量数量积，重心，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.18．【分析】根据建立平面直角坐标系设得到再求得的坐标利用数量积的坐标运算求解【详解】建立如图所示平面直角坐标系：因为所以设所以所以所以所以当时的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算 解析：920-【分析】根据AB //CD ，90DAB ∠=，2AB =，1CD AD ==，建立平面直角坐标系，设,01λλ=≤≤BM BD ，得到()22,λλ-M ，再求得,AM CM 的坐标，利用数量积的坐标运算求解. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系：因为AB //CD ，90DAB ∠=，2AB =，1CD AD ==， 所以()2,0B ，()0,1D ，()1,1C ，设,01BM BD λλ=≤≤， 所以()()2,2,1λ-=-x y 所以()22,λλ-M ，所以()()22,,12,1λλλλ---==AM CM ， 所以()()22,12,1λλλλ⋅=-⋅--AM CM ，227957251020λλλ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，当710λ=时，AM CM ⋅的最小值为920-. 故答案为：920- 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．2【分析】根据函数为偶函数可知函数必有一个零点为可得根据函数的图象可知解得即可得解【详解】因为函数为偶函数且有且仅有3个零点所以必有一个零点为所以得所以函数的图象与直线在上有且仅有3个交点因为函数的解析：2 【分析】根据函数为偶函数可知函数必有一个零点为0x =，可得1a =-，根据函数cos y x ω=(0)>ω的图象可知222πππωω≤<⨯，解得24ω≤<即可得解.【详解】因为函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-为偶函数，且有且仅有3个零点， 所以必有一个零点为0x =， 所以cos00a +=，得1a =-，所以函数cos y x ω=(0)>ω的图象与直线1y =在[,]-ππ上有且仅有3个交点， 因为函数cos y x ω=(0)>ω的最小正周期2T πω=，所以2T T π≤<，即222πππωω≤<⨯，得24ω≤<，所以ω的最小值是2.故答案为：2 【点睛】关键点点睛：根据偶函数图象的对称性求出a 是解题关键.20．【分析】如图作出月牙湖的示意图由题意可得可求的值进而由图利用扇形的弧长公式可计算得解【详解】如图是月牙湖的示意图是的中点连结可得由条件可知所以所以所以月牙泉的周长故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的解析：(40π+【分析】如图，作出月牙湖的示意图，由题意可得sin 2QPO ∠=，可求,QPO QPT ∠∠的值，进而由图利用扇形的弧长公式可计算得解.【详解】如图，是月牙湖的示意图，O 是QT 的中点，连结PO ，可得PO QT ⊥，由条件可知603QT =，60PQ = 所以3sin 2QPO ∠=，所以3QPO π∠=，23QPT π∠=，所以月牙泉的周长(260303403033l πππ=⨯+⨯=+. 故答案为：(40303π+ 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据实际问题抽象出图象，再根据数形结合分析问题.三、解答题21．（1）()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）[]1,1-【分析】（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求函数的单调递减区间； （2）先求26x π-的范围，再求函数sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭的范围，最后求函数的值域. 【详解】（1）因为()321cos 22sin 216f x x x x π⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭， 令3222262k x k πππππ+≤-≤+，解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调增区间为()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）,312x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，22,36x ππ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦，52,066x ππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，利用正弦函数的图像与性质知[]sin 21,06x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，[]2sin 211,16x π⎛⎫∴-+∈- ⎪⎝⎭所以()f x 的值域为[]1,1-. 【点睛】方法点睛：本题考查三角函数恒等变换和函数性质的综合应用，()sin y A x ωϕ=+的性质：（1）周期2π.T ω=（2）由 ()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴，由()πx k k ωϕ+=∈Z 求对称中心.（3）由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间；由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.22．112【分析】①②③任选一个条件，均可求出sin ,cos αα，求出sin()αβ+，利用()βαβα=+-，结合两角差的余弦公式，即可求解.【详解】 若选条件①因为2sin 3sin 2αα=，所以2sin 32sin cos ααα=⨯，即1cos 3α=. 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 3α== 因为1cos()4αβ+=-，由平方关系22sin ()cos ()1αβαβ+++=， 解得215sin ()16αβ+=. 因为0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0αβ<+<π，所以sin()4αβ+=， 所以cos cos[()]βαβα=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++11433=-⨯=若选条件②因为cos2α=21cos 2cos 123αα=-=. 由平方关系22sin cos 1αα+=，得28sin 9α=. 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin α=以下同①的解法. 若选条件③因为tan α=sin cos αα= 由平方关系22sin cos 1αα+=，解得sin 31cos 3αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或sin 31cos 3αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 31cos 3αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 以下同①的解法. 【点睛】关键点点睛：本题根据不同的条件，利用三角恒等变换、同角三角函数的基本关系求出sin α，cos α，再利用1cos()4αβ+=-求出sin()αβ+，根据角的变换()βαβα=+-求解是关键，属于中档题.23．（1）2）6π. 【分析】（1）由已知利用向量的数量积的 定义可求||||cos120a b a b =︒，然后由222||()2a b a b a a b b +=+=++可求（2）设a 与a b +的夹角θ，代入向量的夹角公式2()cos ||||423a a b a a a b θ+==+⨯可求θ【详解】 解：（1）||4a =，||2b =，且a 与b 夹角为120︒∴1||||cos12042()42a b a b =︒=⨯⨯-=- ∴222||()2164a b a b a a b b +=+=++=+-（2）设a 与a b +的夹角θ 则2()3cos ||||42383a ab a a a b θ+====+⨯ 0θπ∴6πθ=.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的定义及向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题 24．（1）π；（2）()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）最小值为32；最大值为94. 【分析】 （1）利用正弦型函数的周期公式可求得函数()f x 的最小正周期；（2）解不等式()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，可得出函数()f x 的单调递减区间； （3）由44x ππ-≤≤求出23x π-的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数()f x 的最小值和最大值.【详解】 （1）因为1()sin 2223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==； （2）由()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得()5111212k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 即函数()f x 的单调递减区间为()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （3）因为44x ππ-≤≤，所以52636πππ-≤-≤x ，所以， 当232x ππ-=-即12x π=-时，函数()f x 取最小值，()min 13sin 2222f x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭； 当236x ππ-=即4x π=时，函数()f x 取最大值，()max 19sin 2264f x π=+=. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.25．（1）4,2,,26A K πωϕ===-=；（2）3π分钟；（3）再经过6π分钟后盛水筒不在水中.【分析】（1）先结合题设条件得到T π=，4,2A K ==，求得2ω=，再利用初始值计算初相ϕ即可；（2）根据盛水筒达到最高点时6d =，代入计算t 值，再根据0t >，得到最少时间即可； （3）先计算0t 时03sin 264t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，根据题意，利用同角三角函数的平方关系求0cos 26t π⎛⎫- ⎪⎝⎭，再由6π分钟后00sin()=sin 2sin 26663t t t ππππωϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，进而计算d 值并判断正负，即得结果.【详解】解：（1）由题意知，T π=，即2ππω=，所以2ω=，由题意半径为4米，筒车的轴心O 距水面的高度为2米，可得：4,2A K ==， 当0t =时，0d =，代入4sin(2)2d t ϕ=++得，1sin 2ϕ=-， 因为22ππϕ-<<，所以6πϕ=-；（2）由（1）知：4sin 226d t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 盛水筒达到最高点时，6d =，当6d =时，64sin 226t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以sin 216t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以22,Z 62t k k πππ-=+∈，解得,Z 3t k k ππ=+∈，因为0t >，所以，当0k =时，min 3t π=， 所以盛水筒出水后至少经过3π分钟就可达到最高点；（3）由题知：04sin 2256t π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即03sin 264t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 由题意，盛水筒W 在过O 点的竖直直线的左侧，知0cos 206t π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以0cos 264t π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以00313sin 2sin 26663428t t ππππ⎛-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=-+=⨯+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭，所以，再经过6π分钟后420d =+=>， 所以再经过6π分钟后盛水筒不在水中. 【点睛】本题的解题关键在于准确求解出三角函数模型的解析式，才能利用三角函数性质解决实际问题，突破难点.26．（1）2133AD AB AC =+，2136EB AB AC =-，（2） 【分析】（1）利用平面向量基本定理和向量的加减法法则进行求解即可（2）如图，以AC ，AB 所在的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，然后表示出向量EB 与EC 的坐标，再利用向量夹角的坐标公式求解【详解】解：（1）因为D 为斜边BC 的靠近点B 的三等分点， 所以1111()3333BD BC AC AB AC AB ==-=-， 所以2133AD AB BD AB AC =+=+， 因为E 为AD 的中点， 所以112111223336AE AD AB AC AB AC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭， 所以2136EB AB AE AB AC =-=-, （2）1536EC AC AE AB AC =-=-+, 如图，以AC ，AB 所在的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则(0,3),(6,0)B C ,所以21(1,2)36EB AB AC =-=-，15(5,1)36EC AB AC =-+=- ，所以(1)52(1)7EB EC ⋅=-⨯+⨯-=-，2222(1)25,5(1)26EB EC =-+==+-=设向量EB 与EC 夹角为θ，则7130cos 130526EB ECEB EC θ⋅===-⨯⋅ 【点睛】此题考查平面向量基本定理的应用，考查向量夹角公式的应用，考查计算能力，属于中档题。

一、选择题1．已知ππ2α<<，且π3sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α的值为（ ）A B ．10-C D ．10-2．若()π,2πα∈，πcos sin 042αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．0CD ．或03．函数2()3sin cos f x x x x =+的最大值为（ ）A B ．C ．D ．3+4．已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．3-B ．3C ．13-D ．135．已知向量a 、b 满足||||2a b a b ==⋅=，若,,1x y R x y ∈+=，则1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A ．1BCD ．36．已知ABC 为等边三角形，2AB =，ABC 所在平面内的点P 满足1AP AB AC --=，AP 的最小值为（ ）A 1B ．1C ．231-D ．71-7．设O 为ABC 内一点,已知2332OA OB OC AB BC CA ++=++,则::AOB BOC COA S S S ∆∆∆= （ ）A ．1:2:3B ．2:3:1C ．3:1:2D ．3:2:18．如图所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+，则λμ=（ ）A ．12B ．13C ．2D ．239．已知角α顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()3,4P -，将α的终边逆时针旋转180︒，这时终边所对应的角是β，则cos β=（ ） A ．45-B ．35C ．35D ．4510．函数()()sin cos y x =的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．设函数()32sin cos f x x x x =+，给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为π ②()y f x =的图像关于直线12x π=对称③()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减 ④把函数2cos2y x =的图象上所有点向右平移12π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象.其中所有正确结论的编号是（ ）. A ．①④B ．②④C ．①②④D ．①②③12．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象（如图所示），则下列有关函数()f x 的结论错误的是（ ）A ．图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 B ．最小正周期是π C ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值是3 二、填空题13．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________.14．已知2tan 3tan 5πα=，则2sin 59cos 10παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭________. 15．在半径为2的半圆形钢板上截取一块面积最大的矩形，则最大面积是________. 16．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G ，作用在行李包上的两个拉力分别为1F ，2F ，且12F F =，1F 与2F 的夹角为θ.给出以下结论：①θ越大越费力，θ越小越省力； ②θ的范围为[]0,π； ③当2πθ=时，1F G =；④当23πθ=时，1F G =.其中正确结论的序号是______.17．如图,在△ABC 中,13AN NC =,P 是BN 上的一点,若AP =m 211AB AC +,则实数m 的值为_____.18．已知O 为ABC 内一点，且满足305OA OB OC =++，延长AO 交BC 于点D .若BD DC λ=，则λ=_____.19．将函数()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像先向右平移8π个单位，再将横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）后，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的解析式为_________. 20．已知函数2()cos ()1(0,0,0)2πf x A ωx φA ωφ=++>><<的最大值为3，()f x 的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则(1)(2)f f +=_____．三、解答题21．已知函数()22sin cos 2cos f x x x x =+.（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位后，得到函数()y g x =的图象，求方程()1g x =在[]0,x π∈上的解集.22．已知函数2()sin cos cos f x x x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期，并写出函数()f x 的单调递增区间； （2）若将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把图象向右平移8π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求满足()1g x ≥的实数x 的集合. 23．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且,b c A =∠的平分线为AD ，若AB AD mAB AC ⋅=⋅.（1）当2m =时，求cos A（2）当231,3a b ⎛∈ ⎝⎭时，求实数m 的取值范围.24．设向量()3cos ,2sin a θθ=-． （1）当43θπ=时，求a 的值：（2）若()3,1b =-，且//a b ，求22cos 122sin 4θπθ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．25．若,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，tan 23k x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值总不大于零，求实数k 的取值范围．26．已知函数()3π2sin 24⎛⎫=+⎪⎝⎭f x x ，R x ∈.（1）求函数()f x 的最小正周期T 及()f x 的图象的对称轴；（2）完成表格，并在给定的坐标系中，用五点法作出函数()f x 在一个周期内的图象.x3π24u x =+()f x【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据同角三角函数基本关系得出cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再用两角差的余弦公式即可解题. 【详解】 因为ππ2α<<，所以35,444πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以4cos 45πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭43525210=-⨯+⨯=-. 故选：D 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关三角函数求值问题，解题方法如下： （1）利用同角三角函数关系式，结合角的范围，求得cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）凑角，利用差角余弦公式求得结果.2．B解析：B 【分析】根据题意，化简得到cossin22αα+=，所以3,24αππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，取得1sin 2α=-，再利用三角函数的基本关系式和两角和的正弦函数公式，即可求解. 【详解】由cos sin 042παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，可得22cos sin cos sin 022222αααα⎫-+-=⎪⎝⎭，即cossincos sin 02222αααα⎛⎛⎫-++= ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为(),2αππ∈，所以,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos sin 022αα-≠，解得cos sin22αα+=，所以3,24αππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以11sin 2α+=，所以1sin 2α=-，又3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以cos α==，所以π11sin 062222α⎛⎫+=-+⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】三角函数的化简求值的规律总结：1、给角求值：一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题；2、给值求值：即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系；3、给值求角：实质上可转化为“给值求值”即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围）.3．A解析：A 【分析】利用降次公式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，由此求得()f x 的最大值. 【详解】 依题意()1cos 233sin 2sin 2222222x f x x x x -=+=-+12cos 2226x x x π⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 所以()f x=. 故选：A 【点睛】本小题主要考查降次公式、二倍角公式和辅助角公式，考查三角函数的最值的求法，属于中档题.4．A解析：A 【分析】首先根据三角函数诱导公式，可由等式()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭求出tan 2α=；再由两角和的正切公式可求出tan 4απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【详解】 解：()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴由三角函数诱导公式化简得：sin 2cos αα-=-，即得tan 2α=，tantan 124tan()34121tan tan 4παπαπα++∴+===---⋅.故选：A. 【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题型.5．C解析：C 【分析】利用已知条件求出向量a 、b 的夹角，建立直角坐标系把所求问题转化为解析几何问题. 【详解】设a 、b 所成角为θ， 由||||2==a b ，2a b ，则1cos 2θ=，因为0θπ≤≤ 所以3πθ=，记a OA =，b OB =,以OA 所在的直线为x 轴，以过O 点垂直于OA 的直线为y 轴， 建立平面直角坐标系，则()2,0A ，(B ，所以()2,0a OA ==，(1,b OB ==，()(1)2x a xb x -+=-，所以((1)2x a xb x -+=-=，表示点()P x 与点()2,0A 两点间的距离， 由,,1x y R x y ∈+=113222ya y b y x ⎛⎫⎛⎛⎫+-=+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1322ya y b x ⎛⎫⎛+-=- ⎪ ⎝⎭，表示点()P x 与点3,22Q ⎛ ⎝⎭两点间的距离， ∴1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值转化为P 到,A Q 两点的距离和最小，()P x 在直线y =上，()2,0A 关于直线y =的对称点为(R -，PQ PA ∴+的最小值为QR == 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了向量模的坐标运算以及模转化为两点之间距离的转化思想，解题的关键是将向量的模转化为点()P x 到()2,0A 、3,22Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭两点间的距离，考查了运算求解能力.6．C解析：C 【分析】计算出AB AC +的值，利用向量模的三角不等式可求得AP 的最小值. 【详解】2222222cos123AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC π+=++⋅=++⋅=，所以，23AB AC += 由平面向量模的三角不等式可得()()231AP AP AB AC AB AC AP AB AC AB AC =--++≥---+=.当且仅当AP AB AC --与AB AC +方向相反时，等号成立.因此，AP 的最小值为1. 故选：C. 【点睛】结论点睛：在求解向量模的最值时，可利用向量模的三角不等式来求解：a b a b a b -≤±≤+. 7．B解析：B 【分析】根据23OA OB OC ++=32AB BC CA ++，化简得到12033OA OB OC ++=，设12,33OB OD OC OE ==，则O 为ADE 的重心，有AODAOEDOES SS==，则93,,232AOB BOC AOC S S S S S S ∆∆∆===求解. 【详解】由23OA OB OC ++=32AB BC CA ++，得233322OAOA OB OC OB OA OC OB OA OC ++=-+-+-， 整理得：320OA OB OC ++=，12033OA OB OC ∴++=，设12,33OB OD OC OE ==，则0OA OD OE ++=，即O 为ADE 的重心，AODAOEDOESSSS ∴===，则93,,232AOB BOC AOC S S S S S S ∆∆∆===， 93::3::2:3:122AOB BOC AOC S S S ∆∆∆∴==，故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量的平面几何中的应用，属于中档题.8．B解析：B 【分析】由向量的运算法则，化简得1344AD AB AC =+,再由AD AB AC λμ=+，即可求得,λμ 的值，即可求解. 【详解】由向量的运算法则，可得34=+=+AD AB BD AB BC 313()444AB AC AB AB AC =+-=+, 因为AD AB AC λμ=+，所以13,44λμ==，从而求得13λμ=，故选:B ． 【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，即可求得结果，属于基础题.9．B解析：B 【分析】先根据已知条件求解出cos α的值，然后根据,αβ之间的关系结合诱导公式求解出cos β的值. 【详解】 因为3cos 5α==，且180βα=+︒， 所以()3cos cos 180cos 5βαα=+︒=-=-， 故选：B. 【点睛】结论点睛：三角函数定义有如下推广：设点(),P x y 为角α终边上任意一点且不与原点重合，r OP =，则()sin ,cos ,tan 0y x yx r r xααα===≠. 10．A解析：A 【分析】先确定奇偶性，再取特殊值确定函数值可能为负，排除三个选项后得出结论． 【详解】记()()sin cos f x x =，则()()()sin cos()sin cos ()f x x x f x -=-==，为偶函数，排除D ， 当23x π=时，21()sin cos sin 032f x π⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，排除B ，C ．故选：A ． 【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法，可通过研究函数的性质如奇偶性、单调性等排除一些选项，再由特殊的函数值，函数值的正负，变化趋势等排除一些选项后得出正确结论．11．C解析：C 【分析】根据题意，利用辅助角公式和两角和的正弦公式化简得()2sin(2)3f x x π=+，根据2T ωπ=求出最小正周期即可判断①；利用整体代入法求出()y f x =的对称轴，即可判断②；利用整体代入法求出()y f x =的单调减区间，从而可得在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先减后增，即可判断③；根据三角函数的平移伸缩的性质和诱导公式化简，即可求出平移后函数，从而可判断④. 【详解】解：函数()2sin cos sin 22sin(2)3f x x x x x x x π++=+， 即：()2sin(2)3f x x π=+，所以()f x 的最小正周期为222T πππω===，故①正确； 令2,32πππ+=+∈x k k Z ，解得：,122k x k Z ππ=+∈， 当0k =时，则直线12x π=为()y f x =的对称轴，故②正确；令3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得：7,1212ππππ+≤≤+∈k x k k Z ， 所以()f x 的单调递减区间为：7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，当0k =时，()f x 的一个单调递减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 则区间7,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故在区间2121,3228,6ππππ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上先减后增，故③错误； 把函数2cos2y x =的图象上所有点向右平移12π个单位长度，得到s 2)2cos 22co 22cos 2126332sin(2y x x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎦⎣⎦+⎝⎭⎣即平移后得到函数()y f x =的图象，故④正确. 所以所有正确结论的编号是：①②④. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的周期、对称轴、单调区间的求法，以及三角函数的平移伸缩是解题的关键，还考查辅助角公式、两角和的正弦公式以及诱导公式的应用，考查学生化简运算能力.12．C解析：C 【分析】首先根据题中所给的函数图象，从最值、周期和特殊点着手将解析式确定，之后结合函数的性质对选项逐一分析，得到结果. 【详解】根据图象得到：2A =，311341264T πππ=-=，所以T π=， 所以2ππω=，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+．将点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得到2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()232k k Z ππϕπ+=+∈，得()26k k Z πϕπ=+∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 对于A ，20126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，则函数()f x 关于,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故A 正确； 对于B ，函数的周期22T ππ==，故B 正确； 对于C ，当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时函数()f x 为增函数，故C 错误； 对于D ，当0,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin 262x π⎡⎛⎫+∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 26x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭，故()f x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 正确． 故选：C ． 【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有根据图象确定函数解析式，正弦型函数的相关性质，属于简单题目.二、填空题13．【分析】首先根据诱导公式将然后结合两角和正弦公式的逆用化简即可求值【详解】sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°co解析：2【分析】首先根据诱导公式将sin347cos77︒=-︒、cos148sin58︒=-︒，然后结合两角和正弦公式的逆用化简，即可求值 【详解】sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°) ＝sin 135°＝2【点睛】本题考查了利用三角函数的诱导公式、两角和正弦公式化简求值，注意有大角要根据诱导公式将其转化为小角，进而应用三角恒等变换化简求值14．【分析】由可得然后用正弦的和差公式展开然后将条件代入即可求出原式的值【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题考查的三角恒等变换解决此类问题时要善于发现角之间的关系解析：12【分析】由259210πππαα+=++可得22sin sin 5592cos sin 105ππααππαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后用正弦的和差公式展开，然后将条件代入即可求出原式的值 【详解】 因为2tan 3tan5πα= 所以222sin sin sin 555922cos cos sin 10255πππαααππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222sincos cos sin tan tan 2tan 1555522222sin cos cos sin tan tan 4tan5555ππππαααππππααα---====----- 故答案为：12【点睛】本题考查的三角恒等变换，解决此类问题时要善于发现角之间的关系.15．4【分析】做出图像由三角函数定义设其中一个顶点坐标从而表示矩形的长与宽进而表示面积求出最大值【详解】由题可构建图像根据三角函数的定义可知所以矩形的面积当时故答案为：4【点睛】本题考查三角函数定义的实解析：4 【分析】做出图像，由三角函数定义设其中一个顶点坐标，从而表示矩形的长与宽，进而表示面积，求出最大值. 【详解】 由题可构建图像根据三角函数的定义，可知()2cos ,2sin A αα 所以矩形的面积4cos 2sin 4sin2S ααα=⋅=当4πα=时，max 4sin 244S π⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭故答案为：4 【点睛】本题考查三角函数定义的实际应用，注意建模，再借助三角函数求最值，属于中档题.16．①④【分析】根据为定值求出再对题目中的命题分析判断正误即可【详解】解：对于①由为定值所以解得；由题意知时单调递减所以单调递增即越大越费力越小越省力；①正确对于②由题意知的取值范围是所以②错误对于③当解析：①④. 【分析】根据12G F F =+为定值，求出()22121cos GF θ=+，再对题目中的命题分析、判断正误即可. 【详解】解：对于①，由12G F F =+为定值，所以()2222121212cos 21cos G F F F F F θθ=++⨯⨯=+，解得()22121cos GF θ=+；由题意知()0,θπ∈时，cos y θ=单调递减，所以21F 单调递增， 即θ越大越费力，θ越小越省力；①正确.对于②，由题意知，θ的取值范围是()0,π，所以②错误. 对于③，当2πθ=时，2212GF =，所以122F G =，③错误. 对于④，当23πθ=时，221F G =，所以1F G =，④正确.综上知，正确结论的序号是①④. 故答案为：①④. 【点睛】此题考查平面向量数量积的应用，考查分析问题的能力，属于中档题17．【解析】由得设=n 所以+n=+n()=(1-n)=m 由n=得m=1-n= 解析：311【解析】 由13AN NC =,得14AN AC =. 设BP =n BN ,所以AP AB BP AB =+=+n BN =AB +n (AN AB -)=(1-n )14AB nAC +=m 211AB AC +. 由14n=211,得m=1-n=311. 18．【分析】将已知条件转化为结合得到设列出关于的方程组由此求得【详解】由于所以所以即因为即化简得设所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理考查平面向量的线性运算考查化归与转化的数学思想解析：53【分析】将已知条件转化为1539AO AB AC =+，结合BD DC λ=，得到111AD AB AC λλλ=+++，设AO k AD =，列出关于,k λ的方程组，由此求得λ. 【详解】 由于305OA OB OC =++，所以()()350OA AB AO AC AO +-+-=，所以935AO AB AC =+，即1539AO AB AC =+. 因为BD DC λ=，即()AD AB AC AD λ-=-, 化简得111AD AB AC λλλ=+++， 设11k k AO k AD AB AC λλλ==+++， 所以113519k k λλλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得53λ=.故答案为：53【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.19．【分析】利用函数的图象变换规律即可得到的解析式【详解】函数的图像先向右平移个单位后解析式变为：再将横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）后解析式变为：所以故答案为：【点睛】方法点睛：函数的图像与函数的 解析：cos4x -【分析】利用函数()()sin f x A x =+ωϕ的图象变换规律，即可得到()g x 的解析式． 【详解】函数()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像先向右平移8π个单位后解析式变为： sin 2sin 2co 288s 2y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）后解析式变为：()cos 22x y -=⨯，所以()cos 4g x x =-. 故答案为：cos4x -. 【点睛】方法点睛：函数sin ωφf xA xB 的图像与函数sin y x =的图像两者之间可以通过变化A ，ω，φ，B 来相互转化，A 、ω影响图像的形状，φ、B 影响图像与x 轴交点的位置，由A 引起的变换称为振幅变换，由ω引起的变换称为周期变换，它们都是伸缩变换；由φ引起的变换称为相位变换，由B 引起的变换称为上下平移变换，它们都是平移变换.三角函数图像变换的两种方法为先平移后伸缩和先伸缩后平移.20．【分析】利用二倍角公式可得由函数的最大值可求出由相邻两条对称轴间的距离可求出周期再利用周期公式可求出将点代入解析式可求出从而可得函数的解析式即可求出的值【详解】因为函数的最大值为所以所以由函数相邻两 解析：3【分析】利用二倍角公式可得()cos(22)122A Af x ωx φ=+++，由函数的最大值可求出A ，由相邻两条对称轴间的距离可求出周期，再利用周期公式可求出ω，将点(0,2)代入解析式可求出ϕ，从而可得函数的解析式，即可求出(1)(2)f f +的值. 【详解】21cos(22)()cos ()11cos(22)1222ωx φA Af x A ωx φA ωx φ++=++=⋅+=+++，因为函数()f x 的最大值为3，所以1322A A++=，所以2A =， 由函数()f x 相邻两条对称轴间的距离为2，可得周期4T =，所以222T ππω==，所以4πω=, 所以()cos(2)22πf x x φ=++，又()f x 的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，所以cos 222ϕ+=，所以cos20ϕ=，又02πϕ<<，所以=4πϕ，所以()cos()2sin 2222πππf x x x =++=-+，所以(1)(2)sin 2sin 2120232πf f π+=-+-+=-+-+=. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查求三角函数的图象与性质，二倍角的余弦公式，诱导公式，属于中档题.三、解答题21．（1）()3,88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）5,88ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简，根据正弦函数的单调性即可得函数()f x 的单调递增区间；（2）根据平移规律得到函数()g x 的解析式，令()1g x =，根据正弦函数的图象与性质即可求出x 的值． 【详解】 （1）()1cos 2sin 222x x f x +⨯=+2cos 2121224x x x ⎫π⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，由()222242k x k k πππππ-≤+≤+∈Z 得：3)88k x k k Z ππππ-≤≤+∈（， ∴()f x 的单调递增区间是()3,88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）由已知得()214g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由()1g x =，得sin 204x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴()()2428k x k k x k ππππ∈-==+∈Z Z ，， ∵[]0,x π∈，∴8x π=或58π， ∴方程的解集为5,88ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查了二倍角的正弦、两角和的正弦公式，正弦函数的单调性，函数平移的规律，以及正弦函数的图象与性质，熟练掌握公式及性质是解本题的关键，属于中档题.22．（1）最小正周期π，单调递增区间为：3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）,8242k k x x k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）先将函数解析式整理，得到()12242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的性质，即可求出最小正周期，以及单调递增区间；（2）先根据三角函数的图象变换，得到()1sin 4242g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质，解不等式，即可求出结果. 【详解】（1）由题意，()1cos 211sin 2222242x f x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为22T ππ== 令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 所以，函数()f x 的单调递增区间为：3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由题意，将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把图象向右平移8π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，所以()1sin 4242gx x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()1sin 442g x x π⎛⎫≥⇔-≥ ⎪⎝⎭，得3242,444k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得满足条件的x 的集合为：,8242k k x x k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 23．（1）13；（2）322m <<【分析】（1）由题意得,1()2AD AB AC =+；从而可得1()22AB AB AC AB AC ⋅+=⋅；从而可得1cos 3||||AB AC A AB AC ⋅==； （2）222||||cos 2b a AB AC AB AC A -⋅=⋅=,从而可得2211112222AB AD AB m AB AC AB AC a b ⋅==+=+⋅⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭；从而求取值范围.. 【详解】解：（1）由题意得,1()2AD AB AC =+； 故1()22AB AB AC AB AC ⋅+=⋅； 故23AB AB AC =⋅；故1cos 3||||AB AC A AB AC ⋅==； （2）||||cos AB AC AB AC A ⋅=⋅2222b a -=； 故21122AB AD AB m AB AC AB AC ⋅==+⋅⋅ 222122b b a =+- 21122a b =+⎛⎫- ⎪⎝⎭；∵1,3a b ⎛∈ ⎝⎭,∴241,3a b ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 故213122a b <<⎛⎫- ⎪⎝⎭； 在23112222a b <+<⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查了平面向量的应用即解三角形的应用,属于中档题.24．（1）2；（2）23．【分析】（1）直接利用三角运算结合向量模的运算法则计算得到答案.（2）根据向量平行得到1tan 2θ=，再化简利用齐次式计算得到答案. 【详解】（1）43θπ=，所以4433cos ,2sin ,332a ππ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎝⎭⎝， 所以232a ⎛⎫== ⎪ （2）//a b ，则3cos 32sin 0θθ-+⨯=，所以1tan 2θ=， 故22cos 1cos 122sin cos tan 134θθπθθθθ-===++⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 【点睛】 本题考查了向量模的运算，向量平行的应用，三角恒等变换，齐次式求值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.25．k ≤【分析】 先根据题意得tan 203k x π⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，进而得πtan 23k x ⎛⎫≤-- ⎪⎝⎭在ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，在求函数πtan 23y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭最小值即可得答案. 【详解】 解：根据题意得tan 203k x π⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭在ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，∴πtan 23k x ⎛⎫≤-- ⎪⎝⎭在ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立． ∵ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ π20,33x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴π0tan 23x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭πtan 203x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭， ∴min πtan 23x k ⎡⎤⎛⎫--≥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴k ≤【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.26．（1）最小正周期为π，对称性ππ28k x =-，Z k ∈；（2）答案见解析. 【分析】（1）利用函数sin y A =()x ωϕ+的周期性和对称性，求得()f x 的最小正周期和对称轴. （2）利用五点法作图，结合题意即可列表，进而作出函数的一个周期内的图象.【详解】解：（1）∵()3π2sin 24⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，故它的最小正周期为2ππ2=， 令3ππ2π42x k +=+，Z k ∈， ππ28k x =-，Z k ∈ （2）由题意可得表格如下： x 38π- 8π- 8π 38π 58π 3π24u x =+ 0 2π π 32π 2π ()f x0 2 0 2-【点睛】本题考查求正弦型函数的周期与对称性，考查“五点法”画图，掌握正弦函数的性质是解题关键．。

北师大版高一数学必修四复习测试全套及答案第一章章末分层突破[自我校对]①弧度制②负角③零角④y＝cos x⑤y＝tan x三角函数的定义及三角函数函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．(1)点P 从点(2,0)出发，沿圆x 2＋y 2＝4逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为；(2)函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为．【精彩点拨】 (1)先求∠POQ ，再利用三角函数定义求出Q 点坐标；(2)先列出三角函数的不等式组，再利用三角函数线求解．【规范解答】 (1)设∠POQ ＝θ，则θ＝π32＝π6，设Q (x ，y )，根据三角函数的定义，有x ＝2cos π6＝3，y ＝2sin π6＝1，即Q 点的坐标为(3，1)．(2)要使函数有意义，必须有 ⎩⎨⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >12，cos x ≤12，解得⎩⎪⎨⎪⎧π6＋2k π<x <56π＋2k π(k ∈Z )，π3＋2k π≤x ≤53π＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤x <5π6＋2k π(k ∈Z )．故所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )．【答案】 (1)(3，1) (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )[再练一题]1．求函数f (x )＝－sin x ＋tan x －1的定义域．【解】 函数f (x )有意义，则⎩⎨⎧ －sin x ≥0，tan x －1≥0，即⎩⎨⎧sin x ≤0，tan x ≥1. 如图所示，结合三角函数线知⎩⎪⎨⎪⎧2k π＋π≤x ≤2k π＋2π(k ∈Z )，k π＋π4≤x <k π＋π2(k ∈Z )，∴2k π＋5π4≤x <2k π＋3π2(k ∈Z )．故f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋5π4，2k π＋3π2(k ∈Z )．用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，也可以实现正弦与余弦、正切与余切之间函数名称的变换．2k π＋α，π±α，－α，2π±α，π2±α的诱导公式可归纳为：k ×π2＋α(k ∈Z )的三角函数值．当k 为偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶指整数k 的奇偶．已知f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan (α＋5π)tan (－α－π)sin (α－3π)，(1)化简f (α)；(2)若α＝－25π3，求f (α)的值．【精彩点拨】 直接应用诱导公式求解．【规范解答】 (1)f (α)＝cos α·(－sin α)·tan α(－tan α)·sin (π＋α)＝cos α·sin α·sin αcos α－sin αcos α·sin α＝－cos α.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3 ＝－cos π3＝－12. [再练一题]2．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＝14，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋cos (θ－2π)cos (θ＋2π)cos (θ＋π)＋cos (－θ).【解】 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＝14，所以cos θ＝－14.所以cos (π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋cos (θ－2π)cos (θ＋2π)cos (θ＋π)＋cos (－θ)＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ(－cos θ)＋cos θ＝cos θcos θ(cos θ＋1)－cos θcos θ(cos θ－1)＝1cos θ＋1－1cos θ－1＝1－14＋1－1－14－1＝3215.考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．如图1-1是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋kA >0，ω>0，φ<π2的一段图像．图1-1(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的．【精彩点拨】 (1)先确定A ，k ，再根据周期求ω，最后确定φ. (2)可先平移再伸缩，也可先伸缩再平移． 【规范解答】 (1)由图像知，A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6. ∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. (2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图像．[再练一题]3．若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为3，求函数f (x )的解析式，并说明怎样变换f (x )的图像能得到g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图像．【解】 因为函数f (x )最大值为3，所以A ＝3， 又当x ＝π6时函数f (x )取得最大值，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1.因为0<φ<π，故φ＝π6，故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，将f (x )的图像向右移π6个单位，即得g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图像．奇偶性、对称性等有关性质，特别是复合函数的周期性、单调性和最值(值域)，应引起重视．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数)．(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)求f (x )取最大值时，x 的取值集合．【精彩点拨】 (1)将2x ＋π6看成一个整体，利用y ＝sin x 的单调区间求解． (2)先求x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π6的范围，再根据最值求a 的值． (3)先求f (x )取最大值时2x ＋π6的值，再求x 的值．【规范解答】 (1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )， ∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， ∴f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，∴a ＝1. (3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )． ∴2x ＝π3＋2k π，∴x ＝π6＋k π(k ∈Z )． ∴当f (x )取最大值时， x的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝π6＋k π，k ∈Z . [再练一题]4．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，(x ∈R ) (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，34π上的最大值和最小值．【解】 (1)∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，∴T ＝2πω＝2π2＝π， 故f (x )的最小正周期为π.(2)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，3π4上是减函数，∴函数f (x )在x ＝3π8处取得最大值，在两端点之一处取得最小值． 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝ 2.F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－ π4＝－2cos π4＝－1. 故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4上的最大值为2，最小值为－1.问题转化为数量关系去求解，体现了数与形的联系．在三角函数中可以利用单位圆中的三角函数线或三角函数图像研究三角函数的求值、大小比较、最值、解三角不等式、单调区间、对称性等问题，其特点是直观形象．若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪sin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪cos θ≤12，0≤θ≤π，求M ∩N .【精彩点拨】 本题主要考查已知三角函数值范围求角，可以根据正弦函数图像和余弦函数图像，作出集合M 和N ，然后求M ∩N ，或利用单位圆中三角函数线确定集合M ，N .【规范解答】 法一：首先作出正弦函数与余弦函数的图像以及直线y ＝12，如图：结合图像得集合M ，N 分别为M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤π， 得M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤56π. 法二：作出单位圆的正弦线和余弦线． 如图：由单位圆三角函数线知：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪ π6≤θ≤5π6，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤π， 得M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π3≤θ≤56π. [再练一题]5．(1)求满足不等式cos x <－12的角x 的集合； (2)求y ＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤x ≤2π3的值域． 【解】 (1)作出函数y ＝cos x 在[0,2π]上的图像，如图所示：由于cos 2π3＝cos 4π3＝－12，故当2π3<x <4π3时，cos x <－12.由于y ＝cos x 的周期为2π，∴适合cos x <－12的角x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z . (2)作出y ＝sin x 的简图，如图所示：由图像可知，当－π3≤x ≤2π3时，－32≤sin x ≤1， ∴－3≤2sin x ≤2，因此函数y ＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤x ≤2π3的值域为[－3，2].1．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位【解析】 由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图像向右平移π12个单位即可，故选B.【答案】 B2．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图1-2所示，则f (x )的单调递减区间为( )图1-2A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 【解析】 由图像知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4， ∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.【答案】 D3．如图1-3，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图1-3A ．5B ．6C ．8D ．10【解析】 根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8. 【答案】 C4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5【解析】 因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的一个零点为x ＝－π4，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴， 所以T 4·k ＝π2(k 为奇数)．又T ＝2πω，所以ω＝k (k 为奇数)． 又函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以π12≤12×2πω，即ω≤12.若ω＝11，又|φ|≤π2，则φ＝－π4，此时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减，不满足条件． 若ω＝9，又|φ|≤π2，则φ＝π4，此时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋π4，满足f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调的条件．故选B.【答案】 B5．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)．．．．．．．．．．．)的解析式； (2)将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图像．若y ＝g (x )图像的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．【解】 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎭⎪⎫2x －6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sin x 图像的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ， 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.第二章章末分层突破[自我校对]①单位向量②坐标表示③数乘向量④坐标⑤夹角公式1.2．向量线性运算的结果仍是一个向量．因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面．3．向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题．4．题型主要有证明三点共线、两直线平行、线段相等、求点或向量的坐标等．已知△OAB 中，延长BA 到C ，使AB ＝AC ，D 是将OB 分成2∶1的一个分点，DC 和OA 交于E ，设OA →＝a ，OB →＝b (如图2-1)，图2-1(1)用a ，b 表示向量OC →，DC →；(1)若OE→＝λOA →，求实数λ的值. 【精彩点拨】 (1)根据平行四边形法则求解．(2)结合三角形法则与平行四边形法则及向量共线定理求解． 【规范解答】 (1)∵A 为BC 的中点， ∴OA→＝12(OB →＋OC →)， ∴OC→＝2OA →－OB →＝2a －b ， DC→＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b . (2)若OE →＝λOA →，则CE →＝OE →－OC →＝λOA →－OC →＝λa －(2a －b ) ＝(λ－2)a ＋b .∵CE→与CD →共线，∴存在实数m ，使得CE →＝mCD →， 即(λ－2)a ＋b ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋53b ，∴(λ＋2m －2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－53m b ＝0.∵a ，b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2m －2＝0，1－53m ＝0，解得λ＝45.[再练一题]1．(1)若a ，b 是不共线的两个向量，且a 与b 的起点相同，则实数t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三个向量的终点在一条直线上？(2)已知A (－1,1)，B (1,5)，C (x ，－5)，D (4,7)，AB →与CD →共线，求x 的值．【解】 (1)由题易知，存在唯一实数λ.使得 a －t b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －13(a ＋b )＝23λa －13λb ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧23λ＝1，－13λ＝－t .∴t ＝12，即当t ＝12时，三向量共线． (2)AB→＝(2,4)，CD →＝(4－x,12)． ∵AB →∥CD →，∴2×12＝4(4－x )， ∴x ＝－2.向量的夹角、垂直及长度问1.求夹角问题求向量a ，b 夹角θ的步骤：(1)求|a |，|b |，a·b ；(2)求cos θ＝a·b|a||b|(夹角公式)；(3)结合θ的范围[0，π]确定θ的大小．因此求向量的夹角先转化为求向量夹角的余弦值，再结合夹角的范围确定夹角的大小．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 2．垂直问题这类问题主要考查向量垂直的条件：若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.3．向量的模 (1)|a |2＝a 2，|a |＝a 2.(2)若a ＝(x ，y )，则a 2＝x 2＋y 2， |a |＝x 2＋y 2.(1)已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13，则|b |＝.(2)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为． (3)若|a |＝1，|b |＝2，(2a －b )⊥b ，求a 与b 的夹角． 【精彩点拨】 (1)利用模与数量积进行转化求解． (2)结合已知条件利用向量的夹角公式计算． (3)利用垂直关系结合数量积运算求解．【规范解答】 (1)因为|a ＋b |＝13，所以|a ＋b |2＝13，即(a ＋b )2＝13，|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝13.又因为a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，所以9＋2×3×|b |·cos 120°＋|b |2＝13，|b |2－3|b |－4＝0，解得|b |＝4或|b |＝－1(舍)．(2)设a 与b 的夹角为θ，依题意有(a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a ·b －2b 2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝12，因为0≤θ≤π，所以θ＝π3.【答案】 (1)4 (2)π3(3)由(2a －b )⊥b ，则(2a －b )·b ＝0， 即2a ·b －b 2＝0，所以2|a ||b |cos θ－|b |2＝0， 即2×2cos θ－2＝0，所以cos θ＝22. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. [再练一题]2．已知c ＝m a ＋n b ，c ＝(－23，2)，a ⊥c ，b 与c 的夹角为23π，b·c ＝－4，|a |＝22，求实数m ，n 的值及a 与b 的夹角θ.【解】 ∵c ＝(－23，2)，∴|c |＝4. ∵a ⊥c ，∴a·c ＝0.∵b·c ＝|b ||c |cos 23π＝|b |×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.∴|b |＝2.∵c ＝m a ＋n b ，∴c 2＝m a·c ＋n b·c ， ∴16＝n ×(－4)，因此n ＝－4. 在c ＝m a ＋n b 两边同乘以a ， 得0＝8m －4a·b .①在c ＝m a ＋n b 两边同乘以b ，得m a·b ＝12. ② 由①②，得m ＝±6， ∴a·b ＝±26， ∴cos θ＝±2622·2＝±32.∵θ∈[0，π]， ∴θ＝π6或56π.1.运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．2．向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程． 3．在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题．已知e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，今有动点P 从P 0(－1,2)开始，沿着与向量e 1＋e 2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e 1＋e 2|；另一动点Q 从Q 0(－2，－1)开始，沿着与向量3e 1＋e 2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e 1＋2e 2|，设P ，Q 在t ＝0 s 时分别在P 0，Q 0处，问当PQ →⊥P 0Q 0→时，所需的时间为多少？【精彩点拨】 求出t s 后P ，Q 两点的坐标，结合数量积运算建立方程求解． 【规范解答】 e 1＋e 2＝(1,1)，|e 1＋e 2|＝2，其单位向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22；3e 1＋2e 2＝(3,2)，|3e 1＋2e 2|＝13，其单位向量为⎝⎛⎭⎪⎫313，213，如图．依题意，|P 0P →|＝2t ，|Q 0Q →|＝13t ， ∴P 0P →＝|P 0P →|⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22＝(t ，t )， Q 0Q →＝|Q 0Q →|⎝ ⎛⎭⎪⎫313，213＝(3t,2t )． 由P 0(－1,2)，Q 0(－2，－1)， 得P (t －1，t ＋2)，Q (3t －2,2t －1)， ∴P 0Q 0→＝(－1，－3)，PQ →＝(2t －1，t －3)． 由于PQ →⊥P 0Q 0→，∴P 0Q 0→·PQ →＝0， 即2t －1＋3t －9＝0， 解得t ＝2，即当PQ →⊥P 0Q 0→时，所需时间为2 s. [再练一题]3.如图2-2，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是BC 边的中点，BE ⊥AD ，垂足为E ，延长BE 交AC 于F ，连接DF ，求证：∠ADB ＝∠FDC ．图2-2【证明】 如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设A (0,2)，C (2,0)，则D (1,0)，AC →＝(2，－2)． 设AF→＝λAC →， 则BF→＝BA →＋AF →＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)． 又因为DA→＝(－1,2)，由题设BF →⊥DA →，所以BF →·DA→＝0，所以－2λ＋2(2－2λ)＝0，所以λ＝23， 所以BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23， 所以DF→＝BF →－BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23. 又因为DC→＝(1,0)，所以cos ∠ADB ＝DA →·DB →|DA →||DB →|＝55，cos ∠FDC ＝DF →·DC →|DF →||DC →|＝55.又因为∠ADB ，∠FDC ∈(0，π)， 所以∠ADB ＝∠FDC ．待定系数法在向量中的应1.的某种形式，则可引入一些尚待确定的系数(参数)来表示该结果，通过变形比较，建立含有参数(待定字母)的方程(组)进行求解．2．待定系数法在向量中有着广泛的应用，如两向量平行，垂直或平面向量基本定理等就是这种形式的体现．如图2-3，在△ABC 中，M 是BC 的中点，N 在AC 上且AN ＝2NC ，AM 与BN 交于点P ，求AP ∶PM 的值．图2-3【精彩点拨】 本题主要考查三角形法则、平面向量共线基本定理，适当选取基底表示出AP→，PM →，因为点A ，P ，M 共线，若有AP →＝λPM →，则λ为AP ∶PM 的值． 【规范解答】 设BM →＝e 1，CN →＝e 2，∴AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1，BN →＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 共线且B ，P ，N 共线，∴AP →＝λAM →＝－λ(e 1＋3e 2)，BP →＝μBN →＝μ(2e 1＋e 2)． ∵BA →＝BP →＋P A →＝BC →＋CA →， ∴μ(2e 1＋e 2)＋λ(e 1＋3e 2)＝2e 1＋3e 2， ∴⎩⎨⎧2μ＋λ＝2，μ＋3λ＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35，∴AP→＝45AM →，∴AP ∶PM ＝4∶1. [再练一题]4．设平面内给定的三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值．【解】 ∵a ＝m b ＋n c ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(4n －m,2m ＋n )， ∴⎩⎨⎧4n －m ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.1．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A ．|a·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2【解析】 根据a·b ＝|a||b|cos θ，又cos θ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A 恒成立．当向量a 和b 方向不相同时，|a －b |>||a|－|b||，B 不恒成立．根据|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝(a ＋b )2，C 恒成立．根据向量的运算性质得(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，D 恒成立．【答案】 B2．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC→【解析】 在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC →，故选D.【答案】 D3．已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t .若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC→的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19D ．21【解析】 ∵AB→⊥AC →，故可以A 为原点，AB ，AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系(略)，不妨设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1t ，C (t,0)，则AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1t 1t ＋4(t ，0)t ＝(4,1)，故点P 的坐标为(4,1).PB →·PC→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，1t －1·(t －4，－1)＝－4t －1t ＋17＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ＋1t ＋17≤－24＋17＝13. 当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时(负值舍去)取得最大值13. 【答案】 A4．如图2-4，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE→的值是．图2-4【解析】 由题意，得BF →·CF →＝(BD →＋DF →)·(CD →＋DF →)＝(BD →＋DF →)·(－BD →＋DF →)＝DF →2－BD →2 ＝|DF→|2－|BD →|2＝－1， ①BA →·CA →＝(BD →＋DA →)·(CD →＋DA →) ＝(BD →＋3DF →)·(－BD →＋3DF →) ＝9DF→2－BD →2 ＝9|DF→|2－|BD →|2＝4. ② 由①②得|DF→|2＝58，|BD →|2＝138.∴BE →·CE →＝(BD →＋DE →)·(CD →＋DE →)＝(BD →＋2DF →)·(－BD →＋2DF →)＝4DF →2－BD →2 ＝4|DF→|2－|BD →|2＝4×58－138＝78. 【答案】 78第三章章末分层突破[自我校对]①sin2α＋cos2α＝1②sin αcos α＝tan α③Cα＋β④S2α⑤T2α1．给角求值：这类题目的解法相对简单，主要是利用所学的诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等，化非特殊角为特殊角，在转化过程中要注意上述公式的正用及逆用．2．给值求值：这类题目的解法较上类题目灵活、多变，主要解答方法是利用三角恒等变形中的拆角变形及同角三角函数的基本关系式，和、差、倍、半角公式的综合应用．由于此类题目在解答过程中涉及的数学方法及数学思想相对较多，因此也是平时乃至高考考查的一个热点．3．给值求角：这类问题的解法规律是根据已知条件，求出该角的某种三角函数值，并根据条件判断出所求角的范围，然后确定角的大小，其难点在于有时不但要看角的三角函数值的符号，还要看其大小，以缩小角的范围．已知0<α<π4，0<β<π4，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值． 【精彩点拨】 因为2α＋β＝α＋(α＋β)，β＝(α＋β)－α，由已知条件3sin β＝sin(2α＋β)，即可求得tan(α＋β)．【规范解答】 ∵3sin β＝sin(2α＋β)， ∴3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]， 即2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α. 又4tan α2＝1－tan 2α2， ∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12，∴tan(α＋β)＝2tan α＝1. 又∵0<α<π4，0<β<π4， ∴α＋β＝π4. [再练一题]1．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15. (1)求sin 2x 和cos x －sin x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x的值．【解】 (1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得1＋sin 2x ＝125，所以sin 2x ＝－2425.因为－π2<x <0，所以cos x >sin x ，所以cos x －sin x ＝1－2sin x cos x ＝75. (2)sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x cos x ＋2sin 2x 1－sin x cos x＝2sin x (cos x ＋sin x )cos x －sin x cos x＝sin 2x cos x ＋sin x cos x －sin x＝－2425×17＝－24175.公式；②对三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；③对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”、“单角化复角”、“复角化复角”等具体手段．以实现三角函数式的化简．化简： (1)2sin 130°＋sin 100°(1＋3tan 370°)1＋cos 10°；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .【精彩点拨】 (1)把“切化弦”然后逆用和差公式及二倍角公式求解． (2)利用同角三角函数关系及两角和与差的正切公式化简． 【规范解答】 (1)原式＝2sin 50°＋sin 80°(1＋3tan 10°)2·cos 5°＝2sin 50°＋sin 80°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°2cos 5°＝2sin 50°＋2sin 40°2cos 5°＝2(sin 50°＋cos 50°)2cos 5°＝22sin (50°＋45°)2cos 5°＝2.(2)原式＝1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 1＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝tan π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 1＋tan π4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π4－x ＝－tan x .[再练一题]2．化简sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos 2αcos 2β.【解】 原式＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1) ＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12(4cos 2αcos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1) ＝sin 2αsin 2β－cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2αsin 2β＋cos 2α(1－cos 2β)＋cos 2β－12 ＝sin 2αsin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12 ＝sin 2β(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2β－12 ＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12.构上的差异，这些差异有以下几个方面：①角的差异；②三角函数名称的差异；③三角函数式结构形式上的差异．针对上面的差异，选择合适的方法进行等价转化．证明三角恒等式的常用方法有：左右互推、左右归一、恒等变形、分析法、综合法． 三角恒等式的证明可分为两类：不附条件的三角恒等式的证明和附条件的三角恒等式的证明．不附条件的三角恒等式的证明多用综合法、分析法、恒等变形等．附条件的三角恒等式的证明关键在于恰当、合理地运用条件，或通过变形观察所给条件与要证等式之间的联系，找到问题的突破口，常用代入法或消元法证明．求证：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x＝tan x2.【精彩点拨】 等式两边涉及到的角有4x,2x ，x ，x 2等角，故可将左边4x,2x ，x 化为x2的形式．【规范解答】 左边＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 2cos 2x ·cos x 2cos 2 x 2＝2sin 2x ·cos 22x ·cos x 2cos 22x ·2cos 2x ·2cos 2x 2＝sin 2x2cos x ·2cos 2x 2＝2sin x ·cos x2cos x ·2cos 2x 2＝2sin x 2cos x 22cos 2x 2＝sin x2cos x 2＝tan x2＝右边． ∴等式成立． [再练一题]3．求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ.【证明】 原式等价于1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ，即1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝tan 2θ，而上式左边＝1＋2sin 2θ·cos 2θ－ 1－2sin 22θ 1＋2sin 2θ·cos2θ＋ 2cos 22θ－1 ＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ2sin 2θcos 2θ＋2cos 22θ ＝2sin 2θ cos 2θ＋sin 2θ2cos 2θ sin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＝右边， 所以原式得证.三角函数与平面向量的综合应求值与证明的结合，向量与三角函数的图像与性质的结合等几个方面．此类题目所涉及向量的知识往往比较基础，所涉及的三角函数往往是讨论三角函数的图像与性质，以及三角函数的化简、求值．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4.(1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．【精彩点拨】 本题主要考查向量的数量积的坐标运算、向量的模及两角和与差的三角函数．(1)按向量数量积与向量加法运算结合三角函数知识求解、化简；(2)化简f (x )，并参照x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，求出最大值和最小值． 【规范解答】 (1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝cos 2x ， |a ＋b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2－sin x 22 ＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴cos x >0， 即|a ＋b |＝2cos x .(2)∵f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－32， 且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1.∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32； 当cos x ＝1时，f (x )取得最大值为－1. [再练一题]4．已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3A cos x ，A 2cos 2x (A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域． 【解】 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x ＝A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)得f (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像；再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图像．因此g (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3,6].关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式．转化与化归思想是三角恒等变形应用最广泛，也是最基本的数学思想，它贯穿于三角恒等变形的始终，要认真体会理解，在解题过程中学会灵活应用．已知向量a ＝(2sin x ，cos x )，b ＝(3cos x ，2cos x )，定义函数f (x )＝a·b －1. (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)画出函数g (x )＝f (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π12的图像，由图像写出g (x )的对称轴和对称中心．【精彩点拨】 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算、三角公式及三角函数图像和性质，化简函数式为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后求解．【规范解答】 f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1 ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(1)T ＝2π2＝π.(2)2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2⇔k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．(3)列表及图像如下：从图像可以看出，此函数有一个对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0，无对称轴．[再练一题]5．已知函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋43π＝－3017，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值． 【解】 (1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，所以A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π3＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，所以A ＝2. (2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝－2sin α＝－3017，所以sin α＝1517，因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝817.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＋π6＝2cos β＝85，所以cos β＝45，因为β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sinβ＝35，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385.1．若tan α＝13，tan(α＋β )＝12，则tan β＝( ) A ．17B ．16 C ．57 D.56【解析】 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α＝12－131＋12×13＝17. 【答案】 A2．函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π【解析】 法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π.法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π.故选B. 【答案】 B3．函数f (x )＝1－3sin 2x 的最小正周期为．【解析】 因为2sin 2x ＝1－cos 2x ，所以f (x )＝1－32(1－cos 2x )＝－12＋32cos 2x ，所以函数f (x )的最小正周期为2π2＝π.【答案】 π4．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是． 【解析】 由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1. 【答案】 －15．函数y ＝sin x －3cos x 的图像可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图像至少向右平移个单位长度得到．【解析】 因为y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，所以把y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像至少向右平移2π3个单位长度可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图像． 【答案】 2π3。