函数的图像与对称

函数与图像的对称性在数学中，函数与图像之间存在着一种特殊的关系，那就是对称性。

对称性是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和图像的形态。

一、关于对称轴的对称性首先，我们来讨论一下函数关于对称轴的对称性。

对称轴是指函数图像上的一条直线，当函数关于该直线对称时，我们称之为关于对称轴的对称性。

以二次函数为例，二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c。

当二次函数的二次项系数a为正数时，函数图像开口向上，此时函数关于y轴对称；当a为负数时，函数图像开口向下，此时函数关于x轴对称。

对于一般的函数，我们可以通过观察函数的表达式来判断其是否具有关于对称轴的对称性。

例如，对于函数y=sin(x)，我们知道正弦函数的图像关于原点对称。

同样地，对于函数y=cos(x)，我们知道余弦函数的图像关于y轴对称。

二、关于原点的对称性除了对称轴的对称性，函数还可以具有关于原点的对称性。

当函数图像关于原点对称时，我们称之为关于原点的对称性。

对于奇函数来说，它具有关于原点的对称性。

奇函数的特点是f(-x)=-f(x)，也就是说，当x取相反数时，函数值也取相反数。

例如，函数y=x^3就是一个奇函数，它的图像关于原点对称。

相比之下，偶函数具有关于y轴的对称性。

偶函数的特点是f(-x)=f(x)，也就是说，当x取相反数时，函数值保持不变。

例如，函数y=x^2就是一个偶函数，它的图像关于y轴对称。

三、关于倒影的对称性除了对称轴和原点的对称性，函数还可以具有关于倒影的对称性。

当函数图像关于某一直线倒影时，我们称之为关于倒影的对称性。

以指数函数为例，指数函数的一般形式为y=a^x。

当指数函数的底数a大于1时，函数图像是递增的，没有关于倒影的对称性。

然而，当底数a小于1时，函数图像是递减的，并且关于y轴有关于倒影的对称性。

此外，对数函数也具有关于倒影的对称性。

对数函数的一般形式为y=log_a(x)，当底数a大于1时，函数图像是递增的，没有关于倒影的对称性。

函数图像的对称变换函数y =f (x )与y =-f (x )、y =f (-x )及y =-f (-x )的图象分别关于x 轴、y 轴、原点对称 例1、设xx f 1)(= (x >0)作出y =-f (x )、y =f (-x )及y =-f (-x )的图象。

横坐标不变，纵坐标取相反数 纵坐标不变，横坐标取相反数 横坐标与纵坐标都取原来相反数图象关于x 轴对称 图象关于y 轴对称 图象关于原点对称定理：y =f (m -x )由函数y =f (-x )向右平移m 个单位得到。

证明：由于y =f (m -x )=f [-(x-m )]，故可得知。

定理：y =f (m -x )与y =f (x-m )的图象关于直线x=m 对称。

证明：y =f (m -x ）由函数y =f (-x )向右平移m 个单位得到；y =f (x-m )由函数y =f (x )向右平移m 个单位得到，而y =f (x )与y =f (-x )关于y 轴对称，故y =f (m -x )与y =f (x-m )的图象关于直线x=m 对称。

1.设函数y=f （x ）定义在实数集R 上，则函数y=f （1﹣x ）与y=f （x ﹣1）的图象关于（ D ）A ．直线y=0对称B ．直线x=0对称C ．直线y=1对称D ．直线x=1对称 2.若函数y=f （x ）的图象如图所示，则函数y=f （1﹣x ）的图象大致为（ A ） yA．B．C．D．3.已知函数f（x）的值域是[﹣2，3]，则函数f（x+2）的值域是（D）A．[﹣4，1] B．[0，5] C．[﹣4，1]∪[0，5]D．[﹣2，3]4.关于函数y=f（x）与函数y=f（x+1）的叙述一定正确的是（C）A．定义域相同B．对应关系相同C．値域相同D．定义域、値域、对应关系都可以不相同5.函数y=1+的图象是（A）A． B．C． D．6.已知函数y=f（x）的图象与函数y=的图象关于原点对称，则f（x）=（B）A．B．C．﹣D．﹣7.若函数y=f（x）的图象过点（1，1），则函数f（4﹣x）的图象一定经过定点（C）A．（1，3）B．（﹣5，1）C．（3，1）D．（1，﹣5）8.为了得到函数y=f（﹣2x）的图象，可以把函数y=f（1﹣2x）的图象适当平移，这个平移是（B）A．沿x轴向右平移1个单位B．沿x轴向右平移个单位C．沿x轴向左平移1个单位D．沿x轴向左平移个单位9.已知函数f（x）=ax2+x（a为常数），则函数f（x﹣1）的图象恒过点（D）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，1）D．（1，0）10.函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与y=e x关于y轴对称，则f（x）=（D）A．e x+1B．e x﹣1C．e﹣x+1D．e﹣x﹣1由函数y=f(x)的图象作出y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象例2、作出函数y=|x2-2x-1|及y=|x|2-2|x|-1的图象。

寻找函数的图像对称对于函数的图像对称，我们可以通过以下几种方法进行寻找。

一、关于y轴对称如果一个函数f(x)关于y轴对称，那么对于任意x值，有f(x)=f(-x)。

以一元二次函数y=ax^2为例，其中a为常数。

我们可以通过代入法来验证函数是否关于y轴对称。

将x代为-x，即有f(-x)=a(-x)^2=ax^2=f(x)。

因此，一元二次函数关于y轴对称。

二、关于x轴对称如果一个函数f(x)关于x轴对称，那么对于任意x值，有f(x)=-f(-x)。

以正弦函数y=sin(x)为例。

我们可以使用代入法验证函数是否关于x轴对称。

将x代为-x，即有f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)。

因此，正弦函数关于x轴对称。

三、关于原点对称如果一个函数f(x)关于原点对称，那么对于任意x值，有f(x)=-f(-x)。

以绝对值函数y=|x|为例。

我们可以使用代入法验证函数是否关于原点对称。

将x代为-x，即有f(-x)=|-x|=|x|=f(x)。

因此，绝对值函数关于原点对称。

除了以上三种常见的对称性，还有其他特殊的函数图像对称形式。

四、奇函数和偶函数对于奇函数，当x属于定义域时，有f(-x)=-f(x)。

奇函数的图像关于坐标原点对称。

对于偶函数，当x属于定义域时，有f(-x)=f(x)。

偶函数的图像关于y轴对称。

最后，需要注意的是，某些函数具有多种对称性，而某些函数可能没有对称性。

通过寻找函数的图像对称，可以帮助我们更好地理解函数的性质，并在数学问题中减少计算的复杂度。

这对于解题和分析函数的行为非常有帮助。

因此，在数学学习中，掌握并运用函数的图像对称性是很重要的。

高一数学《函数的对称性》知识点总结高一数学《函数的对称性》知识点总结一、函数自身的对称性探究定理1.函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a－x)=2b证明：（必要性）设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点，∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y=f(x)图像上，∴2b－y=f(2a－x)即y+f(2a－x)=2b故f(x)+f(2a－x)=2b，必要性得证。

（充分性）设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)∵f(x)+f(2a－x)=2b∴f(x0)+f(2a－x0)=2b，即2b－y0=f(2a－x0)。

故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x)图像上，而点P与点P'关于点A(a,b)对称，充分性得征。

推论：函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(－x)=0 定理2.函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a－x)即f(x)=f(2a－x)（证明留给读者）推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(－x)定理 3.①若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2a－b是其一个周期。

②若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2a－b是其一个周期。

③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4a－b是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：∵函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称，∴f(x)+f(2a－x)=2c，用2b－x代x得：f(2b－x)+f2a－(2b－x)]=2c………………（*）又∵函数y=f(x)图像直线x=b成轴对称，∴f(2b－x)=f(x)代入（*）得：f(x)=2c－f2(a－b)+x]…………（**），用2（a－b）－x代x得f2(a－b)+x]=2c－f4(a－b)+x]代入（**）得：f(x)=f4(a－b)+x],故y=f(x)是周期函数，且4a－b是其一个周期。

高中数学中的函数与图像对称性质与图形变换在高中数学中，函数与图像的对称性质以及图形的变换是非常重要的概念。

这些概念不仅有助于我们理解数学中的抽象概念，还有助于我们解决实际问题。

本文将探讨函数与图像的对称性质以及图形的变换，并分析其在数学中的应用。

函数与图像的对称性质是指函数图像在某个特定操作下的不变性。

常见的对称性质包括轴对称和中心对称。

轴对称是指函数图像关于某条直线对称，而中心对称是指函数图像关于某个点对称。

这些对称性质在数学中的应用非常广泛。

例如，在解方程时，我们可以利用函数图像的对称性质来简化问题。

另外，在几何学中，对称性质也是研究图形性质的重要工具。

图形的变换是指将一个图形按照一定规则进行移动、旋转、翻转等操作，从而得到一个新的图形。

常见的图形变换包括平移、旋转和翻转。

平移是指将图形沿着平行于坐标轴的方向进行移动，旋转是指将图形按照一定角度进行旋转，翻转是指将图形关于某条直线进行镜像。

这些图形变换在数学中有着广泛的应用。

例如，在几何学中，我们可以利用图形变换来证明两个图形是否全等。

此外，在计算机图形学中，图形变换也是生成动画和模拟现实世界的重要工具。

函数与图像的对称性质和图形变换之间存在着密切的联系。

例如，我们可以利用函数图像的对称性质来进行图形变换。

具体而言，如果一个函数图像关于某条直线对称，那么我们可以通过将函数图像沿着该直线进行翻转来得到一个新的函数图像。

同样地，如果一个函数图像关于某个点对称，那么我们可以通过将函数图像沿着该点进行旋转180度来得到一个新的函数图像。

这些图形变换不仅可以帮助我们理解函数与图像的对称性质，还可以帮助我们解决实际问题。

除了函数与图像的对称性质和图形变换，高中数学中还涉及到其他一些与对称性质和图形变换相关的概念。

例如，我们可以通过函数的奇偶性来判断函数图像的对称性质。

具体而言，如果一个函数满足$f(-x)=-f(x)$，那么它是奇函数，其图像关于原点对称；如果一个函数满足$f(-x)=f(x)$，那么它是偶函数，其图像关于y轴对称。

高中数学函数图像的对称与周期性在高中数学中，函数图像的对称性和周期性是一个非常重要的概念。

对称性是指函数图像关于某个轴或点对称，而周期性是指函数在一定区间内以某个固定的周期重复。

一、对称性1. 关于y轴对称当一个函数图像关于y轴对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(-x, y)也在函数图像上。

这种对称性可以用来简化函数图像的绘制和分析。

例如，考虑函数y = x^2，它是一个二次函数，具有关于y轴对称的性质。

我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。

2. 关于x轴对称当一个函数图像关于x轴对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(x, -y)也在函数图像上。

这种对称性也可以用来简化函数图像的绘制和分析。

例如，考虑函数y = sin(x)，它是一个正弦函数，具有关于x轴对称的性质。

我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。

3. 关于原点对称当一个函数图像关于原点对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(-x, -y)也在函数图像上。

这种对称性同样可以用来简化函数图像的绘制和分析。

例如，考虑函数y = x^3，它是一个三次函数，具有关于原点对称的性质。

我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。

二、周期性1. 周期函数周期函数是指在一定区间内以某个固定的周期重复的函数。

周期函数的图像具有一定的规律性，可以通过观察周期来简化函数图像的绘制和分析。

例如，考虑函数y = sin(x)，它是一个周期为2π的正弦函数。

我们可以通过绘制一个周期内的函数图像，再利用周期性得到完整的图像。

2. 非周期函数非周期函数是指在任意区间内不以固定周期重复的函数。

非周期函数的图像通常没有明显的规律性，需要通过其他方法进行分析和绘制。

例如，考虑函数y = x^2，它是一个非周期函数。

我们需要根据函数的性质和变化规律来绘制函数图像。

三、举一反三通过对函数图像的对称性和周期性的分析，我们可以得到一些解题技巧和方法。

高中数学中的函数与图像对称性质在高中数学中，函数与图像的对称性质是一个重要的概念。

通过对函数和图像的对称性质的研究，我们能够更好地理解函数的性质和图像的特点。

本文将从函数的对称性、图像的对称性以及对称性在解题中的应用等方面进行探讨。

一、函数的对称性函数的对称性是指函数在某种变换下保持不变。

常见的函数对称性有奇偶性、周期性和对称轴等。

1. 奇偶性对于一个函数f(x)，如果对于任意x，有f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；如果对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。

奇偶性是函数对称性的一种重要表现形式。

例如，对于函数f(x) = x^2，我们可以发现f(-x) = (-x)^2 = x^2，即f(x) = f(-x)，所以函数f(x)是一个偶函数。

而对于函数g(x) = x^3，我们可以发现g(-x) = (-x)^3 = -x^3，即g(-x) = -g(x)，所以函数g(x)是一个奇函数。

2. 周期性对于一个函数f(x)，如果存在一个正数T，使得对于任意x，有f(x+T) = f(x)，则称该函数为周期函数。

周期性是函数对称性的另一种表现形式。

例如，对于函数f(x) = sin(x)，我们可以发现f(x+2π) = sin(x+2π) = sin(x)，即f(x+2π) = f(x)，所以函数f(x)是一个周期函数。

3. 对称轴对于一个函数f(x)，如果存在一条直线x = a，使得对于任意x，有f(2a-x) =f(x)，则称直线x = a为函数f(x)的对称轴。

对称轴是函数对称性的又一种表现形式。

例如，对于函数f(x) = x^2，我们可以发现f(2a-x) = (2a-x)^2 = (x+2a-x)^2 = x^2，即f(2a-x) = f(x)，所以直线x = a是函数f(x)的对称轴。

二、图像的对称性图像的对称性是指图像在某种变换下保持不变。

常见的图像对称性有轴对称和中心对称等。

参考一：函数对称性总结函数的对称性一、三角函数图像的对称性1、y =f (x ) 与y =-f (x ) 关于x 轴对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =-g (x ) ，即它们关于y =0对称。

2、y =f (x ) 与y =f (-x ) 关于Y 轴对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (-x ) ，即它们关于x =0对称。

3、y =f (x ) 与y =f (2a -x ) 关于直线x =a 对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (2a -x ) ，即它们关于x =a 对称。

4、y =f (x ) 与y =2a -f (x ) 关于直线y =a 对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (x ) =2a ，即它们关于y =a 对称。

5、y =f (x ) 与y =2b -f (2a -x ) 关于点(a , b ) 对称。

换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (2a -x ) =2b ，即它们关于点(a , b ) 对称。

6、y =f (a -x ) 与y =f (x -b ) 关于直线x =二、单个函数的对称性一、函数的轴对称：定理1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (b -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a +b2a +b 2对称。

对称.推论1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (a -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. 推论2：如果函数y =f (x )满足f (x )=f (-x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =0（y 轴）对称. 特别地，推论2就是偶函数的定义和性质. 它是上述定理1的简化.二、函数的点对称：定理2：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=2b ，则函数y =f (x )的图象关于点(a , b )对称.推论3：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=0，则函数y =f (x )的图象关于点(a , 0)对称.推论4：如果函数y =f (x )满足f (x )+f (-x )=0，则函数y =f (x )的图象关于原点(0, 0)对称. 特别地，推论4就是奇函数的定义和性质. 它是上述定理2的简化.性质5：函数y =f (x ) 满足f (a +x ) +f (b -x ) =c 时，函数y =f (x ) 的图象关于点（a +b ，c ）对称。

初中数学如何通过函数的图像判断其是否具有对称性通过函数的图像来判断其是否具有对称性是初中数学中的一个重要概念。

在本文中，我们将详细讨论如何通过函数的图像来判断其是否具有对称性。

要通过函数的图像来判断其是否具有对称性，我们可以按照以下步骤进行：1. 观察图像的形状：首先，我们需要观察函数图像的整体形状。

函数图像可能是关于x 轴、y 轴或原点对称的。

2. 关于x 轴的对称性：如果函数图像关于x 轴对称，那么对于任意一个点(a, b) 在图像上，点(a, -b) 也在图像上。

也就是说，如果一个点在图像上，那么与该点关于x 轴对称的点也在图像上。

通过观察图像可以判断是否关于x 轴对称。

3. 关于y 轴的对称性：如果函数图像关于y 轴对称，那么对于任意一个点(a, b) 在图像上，点(-a, b) 也在图像上。

也就是说，如果一个点在图像上，那么与该点关于y 轴对称的点也在图像上。

通过观察图像可以判断是否关于y 轴对称。

4. 关于原点的对称性：如果函数图像关于原点对称，那么对于任意一个点(a, b) 在图像上，点(-a, -b) 也在图像上。

也就是说，如果一个点在图像上，那么与该点关于原点对称的点也在图像上。

通过观察图像可以判断是否关于原点对称。

需要注意的是，对称性是一种函数的性质，通过观察函数的图像可以得出初步的结论，但并不能给出准确的判断。

如果想要更准确地判断函数是否具有对称性，可以使用函数的数学定义和性质进行分析。

通过了解如何通过函数的图像判断其是否具有对称性，你可以更好地理解函数的性质和变化。

这对于解决实际问题和进一步深入学习数学非常重要。

希望本文能够帮助你更好地理解和应用这一概念。

函数图象关于点对称性函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。

函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质之一，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷的是问题得到解决，对称关系还充分体现了数学的之美。

对称性，在几何中研究的较多，在代数中研究的较少。

本文只探讨函数的关于点对称性。

I.函数自身关于点对称性命题1：函数的图像关于点对称的充要条件是(或者)证明：（必要性）设是图像上任一点，∵点关于点的对称点也在图像上，∴，即故，必要性得证。

（充分性）设点是图像上任一点，则，∵，∴，即，故点也在图像上，而点与点关于点对称，充分性得证。

推论1：奇函数的图像关于原点对称。

证明：设函数是奇函数，则奇函数定义有f(x) f( x) 0，由命题1可得函数图像关于源点对称。

推论2：如果函数满足,则函数图象关于点对称。

（证明略）推论3：函数的图像关于点。

证明：∵，，∴由命题1有函数的图像关于点对称。

例 1 已知定义域为的函数满足且函数在区间上单调递增，如果且，则的值（）A.恒小于0 B.恒大于0 C.可能为零 D.可正可负分析：先代替，使变形为，它的特征就是推论2，因此函数的图像关于点对称。

在区间上单调递增，在区间上也单调递增。

我们可以把该函数想象成是奇函数的图象向右平移了两个单位。

解：∵且在区间上单调递增，∴，∵∴函数的图像关于点对称，∴∴.所以选A例2如果函数满足，求该函数的对称中心。

（因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对称中心）如果为奇函数，并且，求该函数的所有对称中心和对称轴。

（由周期性定义知周期为4，又，从而，按上例知x=-1为对称轴，所以为对称轴，为对称中心其中k∈Z）例3定义在上的函数满足，则解：由命题1可得函数关于点对称，所以点关于点的对称点也在函数图象上，所以，即；同理可得，，；于是.例4 已知定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且、，则的值为（）。

函数图像的对称专题一、图像的对称变换（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像____ 去下翻上_____得到；“去下翻上”详解：x 轴及其上方的图像不动，x 轴下方的图像（如果有的话）沿x 轴对称翻折到x 轴上方. （2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像______去左翻右____得到。

“去左翻右”详解：y 轴及其右边的图像不动，y 轴左边的图像（如果有的话）去掉 ，并将y 轴右边的图像沿y 轴对称翻折到y 轴左边.（3）关于,(,)x a y b y x a b ===，， 的对称翻折见二（二） 【例1】(1)2()2||3f x x x 的增区间是_________________.(1,0),(1,)(2)2()|2||3|f x x x k 的增区间是________________;(3,1),(0,1),(3,)(3)若2()|2||3|f x x x k 有6个零点，则k 的取值范围是________.(3,4)二、 图像的对称（一）自对称图一图二 图三1.基本结论：（1）若()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则()y f x =的图象关于直线2a bx +=成轴对称（图一）． 特殊化： ()()f a x f a x -=+⇔()y f x =的图象关于直线x a =对称； 再特殊化： ()()f x f x -=⇔()y f x =的图象关于直线0x =对称；（2）若()y f x =满足()()f a x f b x +=--，则()y f x =的图象关于点(,0)2a b+成中心对称（图二）． 特殊化： ()()f a x f a x -=-+⇔()y f x =的图象关于点(,0)a 对称； 再特殊化： ()()f x f x -=-⇔()y f x =的图象关于点(0,0)对称.一般化：()()2()2()f a x f a x b f a x b f a x -++=⇔-=-+()2(2)f x b f a x ⇔=--()y f x ⇔=的图象关于点(,)a b 对称（图三）．2.核心原理：中点坐标公式.从而易得()(2)f x f a x =-()()f a x f a x ⇔-=+3.梳理成表格：一般情况关于直线___对称)()(x b f x a f -=+差个 负号 ↔ )()(x b f x a f --=+关于点___对称 特殊化：上式b a =时 关于直线___对称 )()(x a f x a f -=+ 差个 负号 ↔ )()(x a f x a f --=+关于点___对称 更特殊：上式0=a 时关于 ___对称 )()(x f x f -=差个 负号 ↔)()(x f x f --=关于 ___对称3.核心原理：中点坐标公式【例2】（1）若函数()f x 满足：(1)(1)0f x f x +--=，则()f x 的图象的对称轴为________；1x = （2）若函数()f x 满足：()(4)f x f x -=-，则()f x 的图象的对称轴为________；2x =-（3）若函数()f x 满足：(22)(22)0f x f x +--=，则()f x 的图象的对称轴为________．2x = （4）若函数()f x 满足：(1)(1)0f x f x ++-=，则()f x 的图象的对称中心为________；(10)， （5）若函数()f x 满足：()(4)f x f x -=--，则()f x 的图象的对称中心为________；(20)-， （6）若函数()f x 满足：(2)(2)2f x f x ++-=，则()f x 的图象的对称中心为________．(21)， （7）已知函数1(bx f x x a-=-满足6)2()(=-+x f x f ，则=a ________;=b _________.1,3 （8）已知函数1312()(1)12x x f x x ---=+-++,则(2)()f x f x -+=______________.2 (9)已知函数()y f x =的图象关于1(,)2对称，则1()()...20222022f +2020...()2022f +2021()2022f +=_________.20212. （二）两个函数图像的对称初步（1）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于_______对称； （2）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于________对称； （3）函数()y f x =--的图像与函数()y f x =的图像关于______对称； （4）函数)2(x a f y -=的图像与函数()y f x =的图像关于______对称（图四）； （5）函数2()y b f x 的图像与函数()y f x =的图像关于_______对称（图四）；图四（6）函数2(2)ybf a x 的图像与函数()y f x =的图像关于_________对称（图四）；（7）函数)(y f x =的图像与函数()y f x =的图像关于直线_________对称. 核心原理仍然是_____中点坐标公式______（图四）.【例3】(1) 函数1lg600100y x=-与 x y lg =的图像关于______对称.(3,1)-（2）已知x x g lg )(=， )(x f 的图像与)(x g 的图像关于)1,2(对称，则)(x f 的解析式是________. (3)若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为( )解析:C 由y ＝f (x )的图象得到y ＝－f (x ＋1)的图象，需要先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象，然后再向左平移一个单位得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知C 正确．三、图像的应用（综合练习与巩固）【1】将函数()f x 的图象关于y x =对称，然后向右平移1个单位，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x 的解析式为（）BA ．()ln 1f x x =-B ．()ln 1f x x =--C ．()1ln f x x =-D ．()1e xf x --=【2】若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (x )图象的对称轴方程是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2解析：A 因为f (2x ＋1)是偶函数，所以f (2x ＋1)＝f (－2x ＋1)，所以f (x )＝f (2－x )， 所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝1.【3】对于函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，给出如下三个命题：①f (x ＋2)是偶函数；②f (x )在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f (x )没有最小值．其中正确是_______________. 解析: ①②.作出f (x )的图象，可知f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以①②正确．【4】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-，则()()20172019f f +的值为__________.0A ．1-B ．1C ．0D ．无法计算解析:由题意，得(()1)g x f x ---=，∵()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数， ∴()()g x g x -=-，()()f x f x -=，∴()()11f x f x =--+，∴()(2)f x f x +=-，∴()()4f x f x =+，∴()f x 的周期为4，∴()20171f f =（），()()20193(1)f f f ==-，又∵()1100()f f g -===（），∴()()201720190f f +=．【5】若函数()f x 满足：()(4)f x f x -=-+，且与直线2y kx k =-交于四个点，则这四个点的横坐标之和x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =__________.8.【6】已知函数满足22|1|,1(43,1x f x x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩则方程()12xf x -=的解的个数为______. 3 【变式一】已知函数满足22|1|,1(43,1x f x x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩则方程[()]0f f x =的解的个数为______. 5 【变式二】 已知函数满足22|1|,1(43,1x f x x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩则方程[()]0f f x ≤的解集为__________. (,6][2,0][22,4]-∞--+【7】已知函数2()2||1f x x x =+-,则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( )A ．f (x 1)＋f (x 2)<0B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<0解析:D.函数f (x )的图象如图实线部分所示，且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，又0<|x 1|<|x 2|，∴f (x 2)>f (x 1)， 即f (x 1)－f (x 2)<0.思考： 若上题的函数改为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，呢？【8】已知当[]0,1x ∈时，函数21()y mx =-的图象与y x m =+的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ）A ．(0,1][23,+)∞B ．(0,1][3,)+∞C ．(0,2][23,+)∞D ．(0,2][3,+)∞解析:B.在同一直角坐标系中，分别作出函数221()(1)f x mx m x m ⎛=-=-⎝与()g x x m =+的大致图象．分两种情形： （1）当01m <≤时，11m≥，如图①，当[]0,1x ∈时，()f x 与()g x 的图象有一个交点，符合题意． （2）当1m >时，10m<<，如图②，要使()f x 与()g x 的图象在[]0,1上只有一个交点，只需()()11g f ≤，即211()m m +≤-，解得3m ≥或0m ≤（舍去）．综上所述，(][0,13),m ∈+∞．故选B ．【9】函数0.5()|log |2x f x x -=的零点个数为________．解析:2.由()0f x =，得0.51|log |2x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，作出函数105log ||y x =．和212xy ⎛⎫=⎪⎝⎭的图象， 由上图知两函数图象有2个交点，故函数()f x 有2个零点．【变式一】函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为________． 解析：2.由f (x )＝0，得|log 0.5x |＝⎝⎛⎭⎫12x.【变式二】0.5()|log |(0)f x x k k =->的零点是1,x x ，则（ ）A A.11x x = B.11x x < C.11x x > D.112x x <【变式三】0.5()|log |2xf x x -=的零点是1,x x ，则（ ）B A.11x x = B.11x x < C.11x x > D.112x x <【10】（波浪锯齿形）若定义在R 上的偶函数f (x )满足(2)()f x f x -=，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点有_______个.解析: 4.因为偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，故函数的周期为2.当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，故当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x .函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点的个数等于函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象，如图所示．显然函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象有4个交点，故选B.【11】（波浪锯齿形）定义在R 上的奇函数f （x ），满足(2)()f x f x -=，且f （x ）在区间[0，1]上 是减函数，则（ ）C ．A ．f （x ）的图象关于直线x ＝2对称B ．f （x ）的图象关于直线(3,0)-对称C ．(3)(2018)(2019)f f f -<<D ．[11，12] 是f （x ）的一个单调增区间 【12】已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m >0 在 R 上恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)令 F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出 F (x )的图象如图所示，由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，即原方程有一个解； 当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，即原方程有两个解．(2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数， 所以H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立， 应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．四、真题赏析（全国卷中的对称）全国卷是“对称热爱狂”.新课标高考十六年以来（2007-2022）的和新高考三年以来（2020-2022），全国卷函数小题大约有共120道左右的，和对称有关的真题超过40道，占三分之一，是函数板块第一高频考点.现积累如下. 1.基础的对称【1】（2007全国一，文9，理9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件【2】（2014全国一，文5，理3）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（ C ） A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数【3】（2014全国二，文15）偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________.3【4】（2008全国一，理9）设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ D ）A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，解析：由奇函数()f x 可知()()2()0f x f x f x xx-<，而(1)0f =，则(1)(1)0f f -=-=，当0x >时，()0(1)f x f <=；当0x <时，()0(1)f x f >=-，又()f x 在(0)+∞，上为增函数，则奇函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，01,10x x <<-<<或.【5】（2014全国二，理15）已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.（1,3-）【6】（2020新高考全国一卷8）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A. [)1,1][3,-+∞B. 3,1][,[01]--C. [1,0][1,)-⋃+∞D. [1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =， 所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【7】（2004全国一，理2，文,2）已知函数=-=+-=)(.)(.11lg)(a f b a f x xx f 则若（ ） A ．b B ．－b C ．b 1D ．－b1【8】（2009全国二，文3）函数22log 2xy x-=+的图像（A ）（A ） 关于原点对称 （B ）关于主线y x =-对称 （C ） 关于y 轴对称 （D ）关于直线y x =对称【9】（2017全国一，文9）已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则( C ) A ．()f x 在（0,2）单调递增 B ．()f x 在（0,2）单调递减C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1,0）对称【10】（2018全国三，文7）下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称 的是（B ）A ．ln(1)y x =-B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+【11】（2021全国乙，文理4）设函数1(1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. ()11f x -- B. ()11f x -+ C. ()11f x +- D. ()11f x ++【答案】B【解析】由题意可得1()11xf x x-==-++，对于A ，()2112fx --=-不是奇函数；对于B ，()211f x x -=+是奇函数； 对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D ，()212f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B【12】（2015全国一，理13）若函数()ln(f x x x =+为偶函数，则a =.【13】（2021新高考全国一，13）已知函数()()32xx a f x -=⋅-是偶函数，则a =______.【答案】1【解析】因为()()32xx a f x -=⋅-，故()()32xf x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()32222xx x x xa x a -⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x x a --，故1a =，故答案为：1【14】（2007全国一，文、理14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y xx =>的图像关于直线y x =对称，则()f x =__________．【15】（2008全国一，文8、理6）若函数(1)y f x =-的图像与函数ln 1y x =+的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ B ）A ．21x e -B ．2xe C ．21x e +D ．22x e +【16】（2008全国二，文4、理3）函数1()f x x x=-的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称【17】（2012全国新课标，理12）设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（ A ）()A 1ln 2- ()B2(1ln 2)-()C 1ln 2+ ()D 2(1ln 2)+解析:函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为122x e d -=,设函数min min 111ln 2()()1()1ln 222x g x e x g x e g x d -'=-⇒=-⇒=-⇒=由图象关于y x =对称得：PQ 最小值为min 22(1ln 2)d =-【18】（2015全国一，文12）设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =（C ）（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4此题的出现，提醒我们，理解到本质最重要.否则纲貌似超了，说不超说超纲也不超.【19】（2013全国一，理16）若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值是______.16【20】（2018全国二，文12，理11）已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…（C ）A ．50-B ．0C ．2D ．50【21】（2021全国甲，理12）设函数()f x 的定义域为R ，()1fx +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A. 94-B. 32-C.74D.52【答案】D 【解析】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．955122222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，133512222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以935222f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D ．2.和零点有关的对称问题（或利用对称性求值）见下：1.具体函数对称性【22】（2010全国一理10）已知函数()|lg |f x x =,若0a b <<,且()()f a f b =,则2a b +的取值范围是（ A ）(A))+∞ (B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞【23】（2010全国一文7）已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是（C ）(A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞(C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞【24】（2011全国新课标文12）已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =， 那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有（A ）A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个【25】（2010全国一理15）直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是. (1,5)4解析:在同一直角坐标系内画出直线1y =与曲线2y x x a =-+,观图可知，a 的取值必须满足1,414a a >⎧⎪⎨-<⎪⎩解得514a <<. 【26】（2015全国二文12）设函数()()2111ln x x x f +-+=，则使得()()12->x f x f 成立的x 的取值范围是( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.()∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞，，131- C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞，，3131--【27】（2016全国二文12）已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑ (B)(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m【28】（2020全国二理9）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B. 是奇函数，且在1(,)2-单调递减 C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D. 是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x⎫≠±⎨⎩，关于坐标原点对称， 又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当1,2x ⎛∈-⎪⎝时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+在1,2⎛-⎪⎝上单调递增，()ln 12y x =-在1,2⎛-⎪⎝上单调递减，()f x ∴在1,2⎛-⎪⎝上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛∈-∞-⎪⎝时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x +⎛=----==+⎪-⎝，2121x μ=+-在1,2⎛-∞- ⎪⎝上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛-∞- ⎪⎝上单调递减，D 正确. 故选：D.【29】（2020全国三理16）关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【解析】对于命题①，12622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，12622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎭，则6f π⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛-=-+=--=-+=- -⎝，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，1sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝，1sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝，则2f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误.故答案为：②③. 【30】（2022全国甲文理5）函数()33cos x x x -=-在区间ππ,2⎡-⎥⎣的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】令()()33cos ,,2xxf x x x ππ-⎤=-∈-⎥⎦， 则()()()()()33cos 33cos xx x x f x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈⎪⎝时，330,cos 0xx -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A.【31】（2022全国新高考全国一卷9）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛=++> ⎝的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫⎝中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 1 B.32C.52D. 3【答案】A【解析】由函数的最小正周期T 满足23T ππ<<，得23πππω<，解得23ω<<，又因为函数图象关于点3,22π⎛⎫⎝对称，所以3,2k k Z ππωπ+=∈，且2b =，所以2,6k k Z ω=-+∈，所以52ω=，5()sin 22f x x π⎛=++ ⎝， 所以5sin 21244f ππ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A【32】（2022全国新高考全国二卷9）函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图象以2π,03⎛ ⎝中心对称，则（ ）A. y =()f x 在5π0,12⎛ ⎝单调递减B. y =()f x 在π11π,1212⎛-⎪⎝有2个极值点C. 直线7π6x =是一条对称轴 D. 直线2y =是一条切线【答案】AD【解析】由题意得：2π4πsin 03f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以4ππ3k ϕ+=，k ∈Z ， 即4ππ,3k k ϕ=-+∈Z ，又0πϕ<<，所以2k =时，2π3ϕ=，故2π()sin 23f x x ⎛= ⎝．对A ，当5π0,12x ⎛∈⎪⎝时，2π2π3π2332x ⎛+⎪⎝，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =在5π0,12⎛ ⎝上是单调递减；对B ，当π11π,1212x ⎛∈-⎪⎝时，2ππ5π2322x ⎛+⎪⎝，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =只有1个极值点，由2π3π23x +，解得5π12x =，即5π12x =为函数的唯一极值点； 对C ，当7π6x =时，2π2π3x +，7π()06f =，直线7π6x =不是对称轴；对D ，由2π2cos 213y ⎛'=+=- ⎝得：2π1cos 23x ⎛+=- ⎝， 解得2π2π2π3x +=+或2π4π2π,3x k k +=+∈Z ,从而得：πx k =或ππ,3x k k =+∈Z ,所以函数()y f x =在点0,2⎛ ⎝处的切线斜率为02π2cos13x k y =='==-，切线方程为：(0)2y -=--即2y =．故选：AD ．【33】（2022全国新高考全国一卷10）已知函数3()1f x x x =-+，则（ ）A. ()f x 有两个极值点B. ()f x 有三个零点C. 点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D. 直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】AC【解析】由题，()231f x x '=-，令()0f x '>得3x >或3x <-，令()0f x '<得3x -<<，所以()f x 在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增，所以x =是极值点，故A 正确；因(103f -=+>，103f =->，()250f -=-<，所以，函数()f x 在,⎛-∞ ⎝上有一个零点，当x ≥()03f x f ⎛≥ ⎝，即函数()f x 在3⎛∞ ⎝上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象， 所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确； 令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+， 故D 错误.故选：AC2.抽象函数对称性（或虽为具体函数但是具体函数虚晃一枪的对称）【34】（2009全国一，理11）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（ D ） (A) ()f x 是偶函数(B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数【35】（2021新高考全国二8）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ） A. 102f ⎫-= ⎪⎭B. ()10f -=C. ()20f =D. ()40f =【答案】B【解析】因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-，因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+，所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+，故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==，故()()110f f -=-=，其它三个选项未知.故选：B.【36】（2011全国新课标理12）函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于(D) （A ）2 (B) 4 (C) 6(D)8总结：换元后提取对称性【37】（2012全国新课标文16）设函数()f x =(x +1)2+sin x x 2+1的最大值为M ，最小值为m ，则M+m =____解析()f x =22sin 11x x +++，设()g x =()1f x -=22sin 1xx ++，则()g x 是奇函数， ∵()f x 最大值为M ，最小值为m ，∴()g x 的最大值为M-1，最小值为m －1， ∴110M m -+-=，M m +=2. 总结：拆分后提取对称性【38】（2016全国二，理12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m x y x y x y ⋅⋅⋅则1)mi i xy ==∑ （B ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m总结：换元后提取对称性【39】（2017全国三，理11,文12）已知函数211()2()x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（C ）A ．12-B ．13C ．12D ．1总结：换元后提取对称性，背景在课本《必修一》P83,B 组4.【40】（2018全国三文16）已知函数())1f x x =+，()4f a =，则()f a -= ______．2-【41】（2022全国乙卷理12）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则221(k f k==∑（ ）A. 21-B. 22-C. 23-D. 24-【答案】D【解析】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-， 因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=， 代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=-，()()()()46222510f f f +++=-⨯=-.因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=， 联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024.(k f f f f f f f f f k=+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑【42】（2022全国新高考全国一卷12）已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f ⎛- ⎪⎝，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A. (0)0f =B. 102g ⎛-= ⎪⎝ C. (1)(4)f f -= D. (1)(2)g g -=【答案】BC 【解析】因为322f ⎛-⎪⎝，(2)g x +均为偶函数， 所以322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即32f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,2x =对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=，所以102g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.【43】（2022全国新高考全国二卷8）若函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221(k f k ==∑（ ）A. 3-B. 2-C. 0D. 1【答案】A【解析】因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．。

函数图像对称知识点总结一、关于x轴对称1. 函数图像关于x轴对称的条件：若对于函数y=f(x)，对于任意x，有f(x)=f(-x)，则函数图像关于x轴对称。

2. 关于x轴对称的函数图像特点：（1）对称轴：x轴（2）当函数关于x轴对称时，若知道函数在对称轴上的图像，就知道了整个图像。

（3）在x轴对称的函数中，如果点(x,y)在曲线上，那么点(-x,-y)也在曲线上。

示例：y=x^2，关于x轴对称。

二、关于y轴对称1. 函数图像关于y轴对称的条件：若对于函数y=f(x)，对于任意x，有f(x)=f(-x)，则函数图像关于y轴对称。

2. 关于y轴对称的函数图像特点：（1）对称轴：y轴（2）当函数关于y轴对称时，若知道函数在对称轴上的图像，就知道了整个图像。

（3）在y轴对称的函数中，如果点(x,y)在曲线上，那么点(-x,y)也在曲线上。

示例：y=x^3，关于y轴对称。

三、关于原点对称1. 函数图像关于原点对称的条件：若对于函数y=f(x)，对于任意x，有f(x)=-f(-x)，则函数图像关于原点对称。

2. 关于原点对称的函数图像特点：（1）对称中心：原点O（2）当函数关于原点对称时，若知道函数在对称中心（原点）上的图像，就知道了整个图像。

（3）在原点对称的函数中，如果点(x,y)在曲线上，那么点(-x,-y)也在曲线上。

示例：y=sin(x)，关于原点对称。

四、利用函数关于轴或点对称的特点求函数图像1. 利用对称性质可方便地求出函数图像上的对应图像点。

例如，已知函数图像上有点A(x,y)，则它在对称轴上的对应点一定也在函数图像上。

2. 利用对称性质可以方便地求出函数图像的对称中心或对称轴。

例如，对于函数y=f(x)，如果对称于x轴，则对称轴为x轴；如果对称于y轴，则对称轴为y轴。

3. 利用对称性质可以方便地求出函数的奇偶性。

若函数图像关于原点对称，则该函数为奇函数；若函数关于y轴对称，则为偶函数。

五、函数图像对称应用举例1. 已知函数y=f(x)关于y轴对称，求f(x)的解析式。