均值不等式 含答案(训练习题)

、均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） }若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x'解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

2.2.4均值不等式及其应用 第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.4 均值不等式及其应用考点1均值不等式的理解1.(2018·山东兖州二中高二月考)若a ,b ∈R,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( )。

A.a 2+b 2>2ab B.a +b ≥2√ab C.1a +1b>2√abD.b a +a b≥2答案：D解析：a 2+b 2≥2ab ,所以A 错误;ab >0,只能说明两实数同号,同为正数,或同为负数,所以当a <0,b <0时,B 错误;同理,C 错误;a b或b a都是正数,根据不等式求最值,a b +b a≥2√a b×b a=2,故D 正确。

2.若a ,b ∈R,则下列不等式恒成立的是( )。

A.|a+b |2≥√|ab | B.b a +a b≥2C.a 2+b 22≥(a+b 2)2 D.(a +b )(1a +1b)≥4 答案：C解析：对于A ,当a ,b 同号时,不等式成立,当a ,b 异号时,不等式不成立,故A 中不等式不恒成立;对于B ,当a ,b 同号时,不等式成立,当a ,b 异号时,-(a b+b a)≥2√a b ·b a=2,那么a b +b a≤-2,故B 中不等式不恒成立;对于C ,a 2+b 22≥(a+b 2)2,故C 中不等式恒成立;对于D ,(a +b )1a +1b=2+a b +b a,当a ,b 同号时a b +b a≥2,原不等式成立,当a ,b 异号时,-(a b+b a)≥2√a b ·b a=2,那么a b +b a≤-2,原不等式不成立,故D 中不等式不恒成立。

故选C 。

3.(2019·北京第九十四中高二期中)若正实数a ,b 满足1a +2b=√2ab ,则ab 的最小值为( )。

A.√2 B.2 C.2√2 D.4答案：B解析：对于正实数a ,b ,由均值不等式可知1a +2b ≥√2√ab ,当且仅当1a =2b 时取等号,则√2ab ≥√2√ab⇒ab ≥2,故选B 。

柯西不等式与平均值不等式一、比较法1．求差比较法知道a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＜b ⇔a －b ＜0，因此要证明a ＞b ，只要证明a －b ＞0即可，这种方法称为求差比较法．2．求商比较法由a ＞b ＞0⇔a b ＞1且a ＞0，b ＞0，因此当a ＞0，b ＞0时要证明a ＞b ，只要证明1a b即可，这种方法称为求商比较法．二、分析法从所要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立，这种证明方法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．三、综合法从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明方法称为综合法即“由因寻果”的方法．四、放缩法在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．五、反证法的步骤1．作出否定结论的假设；2．进行推理，导出 矛盾；3．否定假设，肯定结论．六、柯西不等式的二维形式1．柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2).(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd)2，其中等号当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时成立．2．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反时成立．3．二维形式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2七、柯西不等式的一般形式柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.八、基本不等式的一般形式a 1+ a 2+…a n n≥n (a 1+ a 2+...a n ) 例3：设n 是正整数，求证：12≤1＋1＋ (12)＜1.解：(1)由|2x －1|＜1，得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1，所以M ＝{x|0＜x ＜1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0＜a ＜1,0＜b ＜1.所以(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)＞0, 故ab ＋1＞a ＋b. 本例条件不变，试比较logm(ab ＋1)与logm(a ＋b)(m ＞0且m≠1)的大小．解：∵0＜a ＜1,0＜b ＜1，∴(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)＞0.故ab ＋1＞a ＋b.当m ＞1时，y ＝logmX 在(0，＋∞)上递增，∴logm(ab ＋1)＞logm(a ＋b)当0＜m ＜1时logmX 在(0，＋∞)上单调递减，∴logm(ab ＋1)＜logm(a ＋b)．例6：设a ＞b ＞0，求证：a2＋b 2＞a －b .例8：已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：a mb +⎛⎫ ⎪≤a 2＋mb 21＋m . 它的变形形式又有(a ＋b )2≥4ab ，a 2＋b 22≥22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭等；(4)a ＋b 2≥ab (a ≥0，b ≥0)，它的变形形式又有a ＋1a ≥2 (a ＞0)，b a ＋a b ≥2(ab ＞0)，b a ＋a b≤－2(ab ＜0)等. 2．分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”.例10：设m 是|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |＞m 时，求证：⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2＜2. [证明]由已知m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1.又|x |＞m ，∴|x |＞|a |，|x |＞|b |，|x |＞1.∴⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪b x 2＝|a ||x |＋|b ||x |2＜|x ||x |＋|x ||x |2＝1＋1|x |＜1＋|x ||x |＝2.∴|a x ＋b x2|＜2成立． 例11：已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，a ＋b ＞c .求证：a 1＋a ＋b 1＋b ＞c 1＋c. 证明：∵a ＞0，b ＞0，∴a 1＋a ＞a 1＋a ＋b ，b 1＋b ＞b 1＋a ＋b .∴a 1＋a ＋b 1＋b ＞a ＋b 1＋a ＋b. 而函数f (x )＝x 1＋x ＝1－11＋x 在(0，＋∞)上递增，且a ＋b ＞c ，∴f (a ＋b )＞f (c )，则a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c， 所以a 1＋a ＋b 1＋b >c 1＋c，则原不等式成立． 例12：求证：32－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n(n ≥2，n ∈N ＋)． 证明：∵k (k ＋1)＞k 2＞k (k －1)，k ≥2，∴1k (k ＋1)＜1k 2＜1k (k －1)，即1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k ，分别令k ＝2,3，…，n 得12－13＜122＜1－12；13－14＜132＜12－13；…1n －1n ＋1＜1n 2＜1n －1－1n； 将上述不等式相加得：12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n， 即12－1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－1n ，∴32－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n. (1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析得出的．常见的放缩变换有变换分式的分子和分母，如1k 2＜1k (k －1)，1k 2＞1k (k ＋1)，1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1.上面不等式中k ∈N ＋，k ＞1.利用函数的单调性，真分数性质“若0＜a ＜b ，m ＞0，则a b ＜a ＋m b ＋m ”，添加或减少项，利用有界性等． (2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均有一个度．例13：已知x ，y 均为正数，且x ＞y,2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3. 解：因为x ＞0，y ＞0，x －y ＞0，2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1x －y 2＝(x －y )＋(x －y )＋1x －y 2≥33x －y 21x －y 2＝3，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3. 例14：设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3. 证明：因为a ，b ，c 为正实数，由平均不等式可得1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc. 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc .而3abc ＋abc ≥2 3abc ·abc ＝2 3.所以1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3. 例15：若n 为大于1的自然数，求证：n n n ＋1＜n ＋1＋12＋13＋ (1). 证明：由柯西不等式右边＝1＋1＋1＋12＋1＋13＋…＋1＋1n ＝2＋32＋43＋54＋…＋n ＋1n ≥n ·n 2·32·43·…·n ＋1n＝n .n n ＋1＝左边．∵2≠32≠43，故不取等号．∴不等式n n n ＋1＜n ＋1＋12＋13＋ (1)成立． 例16：已知f (x )＝x 2＋px ＋q ，求证|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.证明：假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2.而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥|f (1)＋f (3)－2f (2)|＝|(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－(8＋4p ＋2q )|＝2，与|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2矛盾，∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12. 例17：设a 、b 、c 均为正数，求证：12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b. 证明：∵a 、b 、c 均为正数，∴121122a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥12ab ≥1a ＋b，当a ＝b 时等号成立；12(12b ＋12c )≥12bc ≥1b ＋c ，当b ＝c 时等号成立；12(12c ＋12a )≥12ca ≥1c ＋a ，当a ＝c 时等号成立．三个不等式相加即得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a＋1a ＋b，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 例18：已知：a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n n ＋1(n ∈N ＋)，求证：n n ＋12＜a n ＜n n ＋22. 证明：∵n n ＋1＝n 2＋n ，∴n n ＋1＞n ，∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n n ＋1＞1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.∵n n ＋1＜n ＋n ＋12，∴a n ＜1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n ＋n ＋12＝12＋(2＋3＋…＋n )＋n ＋12＝n n ＋22.综上得：n n ＋12＜a n ＜n n ＋22. 例19：设a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝1，求证：21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥1003. 证明：21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝13(12＋12＋12)[21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭] ≥132111111a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯++⨯++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝2111113a b c ⎡⎤⎛⎫+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝()2111113a b c a b c ⎡⎤⎛⎫+++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥13(1＋9)2＝1003. 例20：已知a ，b 为正实数．(1)求证：a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ；(2)利用(1)的结论求函数y ＝1－x 2x＋x 21－x(0＜x ＜1)的最小值． 解：(1)证明：法一：∵a ＞0，b ＞0，∴(a ＋b )22a b b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝a 2＋b 2＋a 3b ＋b 3a ≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2. ∴a 2b ＋b 2a≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立。

提升训练2.7 均值不等式及其应用一、选择题1．已知x ＞0，函数9y x x=+的最小值是（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】 ∵x ＞0，∴函数96y x x =+≥=，当且仅当x=3时取等号， ∴y 的最小值是6． 故选：C ．2．已知1(0,4x ∈,则(14)x x -取最大值时x 的值是( ) A ．14B ．16C ．18D ．110【答案】C 【解析】因为1(0,)4x ∈，所以40,140x x >->，所以2114141(14)=4(14)44216x x x x x x +-⎛⎫-⋅-≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当414x x =-时，即18x =，等号成立. 故答案选C .3．()2301x x y x x++=>+的最小值是( )A ．B ．1C ．1D ．2【答案】B 【解析】1,10x x >-∴+>，231x x y x++∴==+3311111x x x x +=++-++…， 当且仅当311x x=++，即1x =时等号成立， 所以()2301x x y x x++=>+的最小值是1-，故选B.4．已知a ，b 都为正实数，21a b +=，则ab 的最大值是( ) A ．29B ．18C ．14D ．12【答案】B 【解析】因为a ，b 都为正实数，21a b +=，所以221212228ab a b ab +⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b =，即11,42a b ==时，ab 取最大值18. 故选B5．已知正实数a 、b 满足a+b=ab ，则ab 的最小值为（ ） A ．1 B ．C ．2D ．4【答案】D 【解析】 ∵ab=a+b≥2，≥2，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，故ab 的最小值为4，故选：D ．6．若0,0,31x y x y >>+=，则113x y+的最小值为（ ） A ．2 B ．12x xC ．4D．【答案】C 【解析】11113()(3)224333y x x y x y x y x y +=++=++≥+=,当且仅当132x y ==时取等号，故113x y+的最小值为4，选C. 7．若正数,m n 满足21m n +=，则11m n+的最小值为（ ）A ．3+B ．3C ．2+D ．3【答案】A 【解析】由题意，因为21m n +=，则11112()(2)333n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+=+，当且仅当2n mm n =，即n =时等号成立，所以11m n+的最小值为3+ A.8．若两个正实数x ，y 满足211x y+=，则2x+y 的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．5D ．3【答案】A 【解析】两个正实数x y ，满足211x y+=，则()2122224159y x x y x y x y x y y ⎛⎫+=++=+++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当22y xx y=，即3x y ==时取等号， 故2x y +的最小值为9. 故选A ． 9．若正实数满足，则（ ）A．有最大值B．有最小值C．有最小值D．有最大值【答案】D【解析】对于A，取，则，故A错误；对于B，取，则，故B错误；对于C，取，则，故C错误；对于D，因为，又，故，即，当且仅当时等号成立，故D正确.10．已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，∴，即.故选:B11．若正数a，b满足111a b+=，则1911a b+--的最小值为（）A．6B．9C．12D．15【答案】A【解析】由111a b+=得：1111ab a a-=-=，即：1aba=-0b>，0a>10a∴->()19191916111111a a ab a a a ∴+=+=+-≥=------ 当且仅当()1911a a =--，即4a =时取等号 min19611a b ⎛⎫∴+= ⎪--⎝⎭本题正确选项：A12．设，，均为正实数，则三个数，，( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2【答案】D 【解析】 假设，，均小于，则，又因为，，，故，这与矛盾， 故假设不正确，即，，至少有一个不小于．故选D ． 二、填空题13．若0a >，0b >，25a b +=，则ab 的最大值为__________． 【答案】258【解析】因为0a >，0b >，25a b +=，所以21122522228a b ab a b +⎛⎫=⋅≤=⎪⎝⎭， 当且仅当2a b =时，取等号； 故答案为25814．若a b >，则()82a b a b-+-的最小值为______．【答案】8 【解析】因为a b >，所以()828a b a b -+≥=-, 当且仅当2a b -=时取等号,即()82a b a b-+-的最小值为8.15．若矩形的长和宽分别为，其对角线的长为5，则该矩形的周长的最大值为______________.【答案】【解析】 由已知得，，所以，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以该矩形的周长的最大值为.故答案为. 16．若，且，则的最小值为_______．【答案】【解析】由a 2+2ab ﹣3b 2＝1得（a+3b ）（a ﹣b ）＝1，令x ＝a+3b ，y ＝a ﹣b ，则xy ＝1且a ，b ，所以a 2+b 2＝（）2+（）2，当且仅当x 2，y 2时取等．故答案为．三、解答题17．已知正实数a ，b 满足，求的最小值.【答案】 【解析】，当且仅当，即时取等号，的最小值为.18．设,x y 都是正数，且123x y+=，求2x y +的最小值．【答案】83. 【解析】∵123x y +=，∴11213x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴()()11222123x y x y x y x y ⎛⎫+=+⨯=+⨯+⎪⎝⎭1414433y x x y ⎛⎛⎫=+++ ⎪ ⎝⎭⎝ (83)=. 当且仅当4y x x y=，即2y x =时，取“＝”． 又∵123x y +=，∴23x = 43y =.∴2x y +的最小值为83. 19．已知，求证：.【答案】证明见解析 【解析】 证明：，， ，上面三式相加，得：，所以，.20．某单位建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为302m ，房屋正面每平方米造价为1500元，房屋侧面每平方米造价为900元，屋顶造价为5800元，墙高为3米，且不计算背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？【答案】房屋正面长为6m ，侧面宽为5m 时，总造价最低为59800元. 【解析】令房屋地面的正面长为x m ，侧面宽为y m ，总造价为z 元， 则30x y ⋅=，1500390065800450054005800z x y x y =⋅+⋅+=++，∵45005400229003054000x y +≥=⨯=⨯⨯=， ∴45005400580054000580059800z x y =++≥+=，当且仅当4500540030x y x y =⎧⎨⋅=⎩即65x y =⎧⎨=⎩时取等号，答：房屋正面长为6m ，侧面宽为5m 时，总造价最低为59800元. 21．已知，．（1）求的最小值；（2）是否存在，满足？并说明理由．【答案】（1）；（2）不存在. 【解析】（1），当且仅当时，等号成立．所以的最小值为2．（2）不存在． 因为，所以，又，所以．从而有，因此不存在，满足．22．设a>0，b>0，且证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：由，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．。

高考：均值不等式专题◆知识梳理1．常见大体不等式2,0,a R a ∈≥0a ≥222()22a b a b ++≥， 222a b c ab bc ac ++≥++ 若a>b>0,m>0,则b b ma a m +<+； 若a,b 同号且a>b 则11a b<。

ab b a R b a 2,,22≥+∈则;.2,,22ab b a R b a -≥+∈2．均值不等式:两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2 变形ab b a 2≥+，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,ab b a 222≥+等。

3．最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）若是x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则 时,x y +和有最小值（2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则 时,22Sxy 积有最大值（）4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。

◆课前热身1. 已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 .2. 2. 若0,0x y >>1x y +=,则41x y+的最小值为 ． 3. 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22x y x y+-的最小值是 .4. 4. 已知下列四个结论①当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②02x >≥当时；③x x x 1,2+≥时当的最小值为2；④当xx x 1,20-≤<时无最大值. 则其中正确的个数为◆考点剖析 一、基础题型。

1.直接利用均值不等式求解最值。

例1：（2021年高考山东文科卷第14题）已知,x y R +∈，且知足134x y+=，则xy 的最大值为 。

3.2 第3课时 均值不等式习题课基础巩固一、选择题1．若x ＞0，y ＞0，且x ＋y ≤4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1x ＋y ≤14 B.1x ＋1y ≥1 C.xy ≥2 D.1xy ≥1[答案] B[解析] 取x ＝1，y ＝2满足x ＋y ≤4排除A 、C 、D 选B. 具体比较如下：∵0<x ＋y ≤4∴1x ＋y ≥14故A 不对；∵4≥x ＋y ≥2xy ，∴xy ≤2，∴C 不对；又0＜xy ≤4，∴1xy ≥14∴D 不对；1x ＋1y＝x ＋y xy ≥2xy xy ＝2xy ，∵1xy ≥12，∴1x ＋1y ≥1.2．设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x <0)，则f (x )( ) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数[答案] A[解析] 令2x ＝1x ，由x <0得x ＝－22，∴在x ＝－22两侧，函数f (x )的单调性不同，排除C 、D.f (x )＝2x ＋1x －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x －1x －1≤－2(－2x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x －1＝－22－1， 等号在x ＝－22时成立，排除B. 3．设实数a ，b ，x ，y 满足a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝3，则ax ＋by 的最大值是( )A ．2 B. 3 C. 5 D.1210 [答案] B[解析] 令a ＝cos α，b ＝sin α α∈[0,2π)， x ＝3cos β，y ＝3sin β，β∈[0,2π)． ∴ax ＋by ＝3cos αcos β＋3sin αsin β ＝3cos(α－β)≤ 3. ∴ax ＋by 的最大值为 3.4．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1 [答案] D[解析] f (x )＝(x －2)2＋12(x －2)＝x －22＋12(x －2)，∵x ≥52，∴x －2≥12，f (x )≥2x －22·12(x －2)＝1. 当且仅当x ＝3时等号成立．5．设M ＝(1a －1)(1b －1)(1c －1)，且a ＋b ＋c ＝1(其中a ，b ，c ∈R＋)，则M 的取值范围是( ) A ．[0，18)B ．[18，1)C ．[1,8)D ．[8，＋∞)[答案] D[解析] ∵a ＋b ＋c ＝1，∴M ＝(a ＋b ＋c a －1)(a ＋b ＋c b －1)(a ＋b ＋cc －1)， ＝(b a ＋c a )(a b ＋c b )(a c ＋b c )≥2bc a 2·2ac b 2·2ab c 2＝8. ∴M ∈[8，＋∞)．6．若x 、y 是正数，则(x ＋12y )2＋(y ＋12x )2取得最小值是( )A ．3 B.72 C ．4 D.92[答案] C[解析] (x ＋12y )2＋(y ＋12x )2＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x2＝x 2＋14x 2＋y 2＋14y2＋y x ＋x y .∵x 2＋14x2≥214＝1， y 2＋14y 2≥214＝1， y x ＋xy ≥2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝14x2y 2＝14y 2y x ＝x y时成立，即x ＝y ＝22时，(x ＋12y )2＋(y ＋12x )2取得最小值为4.二、填空题7．(2010·山东文)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．[答案] 3[解析] ∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12， ∴xy ≤3，当且仅当x 3＝y4，即x ＝32，y ＝2时取等号．8．已知a 、b 为实常数，函数y ＝(x －a )2＋(x －b )2的最小值为__________[答案] 12(a －b )2[解析] 从函数解析式的特点看，本题可化为关于x 的二次函数，再通过配方求其最小值(留给读者完成)．但若注意到(x －a )＋(b －x )为定值，则用变形不等式a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2更简捷．∴y ＝(x －a )2＋(x －b )2≥2[(x －a )＋(b －x )2]2＝(a －b )22.当且仅当x －a ＝b －x ，即x ＝a ＋b2时，上式等号成立．∴当x ＝a ＋b 2，y min ＝(a －b )22.三、解答题9．已知a >0，b >0，c >0，d >0，求证：ad ＋bc bd ＋bc ＋adac ≥4. [解析] ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac ＝a b ＋c d ＋b a ＋dc＝(a b ＋b a )＋(c d ＋dc )≥2＋2＝4(当且仅当a ＝b 且c ＝d 时，取“＝”)．10．已知正常数a 、b 和正实数x 、y ，满足a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．[解析] x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·(a x ＋by ) ＝a ＋b ＋ay x ＋bxy ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2等号在ay x ＝bx y 即y x ＝ba 时成立∴x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18 又a ＋b ＝10，∴ab ＝16.∴a ，b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根 ∴a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2.能力提升一、选择题1．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4[答案] D [解析]由题意，得⎩⎨⎧a ＋b ＝x ＋ycd ＝xy，∴(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋y 2＋2xy xy ＝x 2＋y 2xy ＋2， ∵x >0，y >0，∴x 2＋y 2xy ＋2≥2＋2＝4(当且仅当x ＝y 时，取“＝”号)． 2．已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay )≥9对任意正实数x 、y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8[答案] B [解析]∵x 、y 、a ∈R ＋，∴(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋ax y ＋yx ＋a ≥1＋2a＋a ＝(1＋a )2，即9≤(1＋a )2，∴a ≥4，故选B.二、填空题3．2008年的四川大地震震惊了整个世界，四面八方都来支援．从某地出发的一批救灾物资随17列火车以v 千米/小时速度匀速直达400千米以外的灾区，为了安全起见，两辆火车的间距不得小于(v 20)2千米，问这批物资全部运送到灾区最少需__________小时．[答案] 8[解析] 物资全部运到灾区需t ＝400＋16×(v 20)2v＝400v ＋16v 400≥8，当且仅当400v ＝16v 400，即v ＝100时，等号成立，∴t min ＝8.故这批物资全部运送到灾区最少需要8小时．4．(2010·浙江文)若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．[答案] 18[解析] ∵x >0，y >0， ∴2x ＋y ≥22xy ，∴2x ＋y ＋6＝xy ≥22xy ＋6，∴(xy )2－22xy －6≥0， 解得xy ≥32，即xy ≥18. 三、解答题5．已知函数f (x )＝lg x (x ∈R ＋)，若x 1、x 2∈R ＋，判断12[f (x 1)＋f (x 2)]与f (x 1＋x 22)的大小并加以证明．[解析] 12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f (x 1＋x 22)∵f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg(x 1·x 2)， f (x 1＋x 22)＝lg x 1＋x 22，而x 1、x 2∈R ＋，x1x 2≤(x 1＋x 22)2， 而f (x )＝lg x 在区间(0，＋∞)上为增函数． ∴lg(x 1x 2)≤lg(x 1＋x 22)2，∴12lg(x 1x 2)≤lg x 1＋x 22.即12(lg x 1＋lg x 2)≤lg x 1＋x 22. 因此，12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f (x 1＋x 22)．6．图画挂在墙上，它的下边缘在观察者的眼睛上方a 米处，而上边缘在b 米处，问观察者站在离墙多远的地方，才能使视角最大？(如下图)[解析] 要求何时θ达最大值，可先求何时tan θ达到最大值． 如图，tan α＝a x ，tan β＝bx .∴tan θ＝tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan αtan β＝b x －ax 1＋ab x 2＝b －ax ＋ab x， ∵x ＋ab x ≥2x ·ab x ＝2ab (x >0，a >0，b >0)．∴tan θ≤b －a2ab， 当且仅当x ＝abx 即x ＝ab 时取“＝”． 又∵x ∈(0，π2)，y ＝tan x 是增函数，∴x ＝ab 时，θ有最大值．答：观察者站在离墙ab 米的地方时，θ有最大值。

均值不等式练习题1. 练习题一已知非零实数a、b满足ab<0，证明(a+b)/2 > √ab.解：我们将证明这个不等式是基于均值不等式的。

首先，根据均值不等式，我们知道对于任意两个正数x和y，有(x + y)/2 ≥ √xy.因此，我们可以推导出(a + b)/2 > √ab.首先，根据已知条件ab < 0，我们可以得出a和b有不同的符号。

假设a>0，b<0，那么我们可以得到√ab = √(a*(-b)) = √(a * -1 * (-b)) = √(a * 1 * b) = √(ab) < 0.另一方面，由于a>0，b<0，所以(a + b)/2 = (a + b)/2 > a/2 + b/2 > √ab + √ab = 2√ab > √ab.综上所述，我们证明了(a + b)/2 > √ab.2. 练习题二已知非零实数a、b、c满足abc = 1，证明a/b + b/c + c/a ≥ a + b + c.解：我们将证明这个不等式是基于均值不等式的。

首先，根据均值不等式，我们知道对于任意三个正数x、y、z，有(x/y + y/z + z/x)/3 ≥ (x + y + z)/(x + y + z)，即(x/y + y/z + z/x) ≥ (x + y + z).因此，我们可以推导出(a/b + b/c + c/a)/3 ≥ (a + b + c)/(a + b + c)，即(a/b + b/c + c/a) ≥ (a + b + c).首先，根据已知条件abc = 1，我们可以得到a、b、c有不同的符号。

假设a>0，b<0，c>0，那么我们可以得到b/c < 0，c/a > 0，那么a/b +b/c + c/a = a/b + (b/c) + (c/a) > a/√(bc) + (-1) + √(bc)/a = (a^2 - bc)/a√(bc) = (a^2 - 1)/a√(bc) = (a - 1/a)/√(bc).另一方面，由于abc = 1，我们知道√(bc) = 1/√a，所以(a - 1/a)/√(bc)= (a - 1/a)√a = (a^2 - 1)/a ≥ a + b + c.综上所述，我们证明了(a/b + b/c + c/a) ≥ (a + b + c).3. 练习题三已知非零实数a、b满足a+b = 2，证明a^2b^2(a^2+b^2) ≤ 2.解：我们将通过变量替换的方法来证明这个不等式。

利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典）一．基本不等式的常用变形111.若 x 0，则 x 2 （ 当且仅当 x 1时取“ =”）;若x 0，则 x 2 （ 当且仅当xx ______________________________________________________ 时取“ = ”） 若 x 0 ，则 x 1 2即x 1 2或x 1-2 （ 当且仅当 ________________________________________________ 时取“ =”）xxx2.若 ab 0，则 a b2 （ 当且仅当 _________________________ 时取“ =”）ba若 ab 0 ，则a b 2即 a b2或 a b-2 （ 当且仅当 ___________ 时取“ =”）b a ba b a注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可 以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” ．（ 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”二、利用基本不等式求最值的技巧： 技巧一：直接求： 例 1 已知 x,y R ，且满足 x y1，则 xy 的最大值为 __________________________________________________________________ 。

34解：因为 x>0 ，y> 0，所以 x y2x yxy（当且仅当 x y，即x= 6，y= 8时取等号 ），，即 x 1 时，上式等号成立，故当 x 1 时， y max 1。

y x （8 2x ） 的最大值。

当 x ＝ 2 时， y x （8 2x ） 的最大值为 8。

xy 3. ，故 xy 的最大值 3.变式：若log 4 x log 4 y 2 ，11 的最小值 .并求 x,y 的值xy解：∵log 4x log 4 y 2log 4 xy 2即 xy=161 1 1 12x y 2x y技巧二：配凑项求5例 2：已知 x，4 21 xy求函数当且仅当 x=y 时等号成立y 4x 21的最大值。

均值不等式求最值的常用技巧及习题(含解答：经典)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典） 一．基本不等式的常用变形 1.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当 _____________时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”）2.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧： 技巧一：直接求： 例1 已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 ________。

解：因为x >0，y>0，所以234343x y x yxy+≥=(当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等号)，于是13xy≤， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值3. 变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x ,y 的值 解：∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=1621211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立技巧二：配凑项求 例2：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。