2018年高考数学二轮专题复习(浙江专版)知能专练十九复数计数原理二项式定理(含答案)

专题三 数列与数学归纳法第一讲数列的通项考点一 利用a n 与S n 的关系求通项一、基础知识要记牢a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，使用时要注意对第一项的求解与检验，如果符合a n ＝S n －S n －1的规律才能合并，否则要写成分段的形式．二、经典例题领悟好[例1] (2018届高三·浙东北三校联考)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2n ＋1＝4S n ＋4n ＋1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14恰是等比数列{b n }的前三项．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记数列{b n }的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，⎝⎛⎭⎪⎫T n ＋32k ≥3n －6恒成立，求实数k 的取值范围．[解] (1)∵a 2n ＋1＝4S n ＋4n ＋1(n ∈N *)， ∴a 2n ＝4S n －1＋4(n －1)＋1(n ≥2)， 两式相减，得a 2n ＋1－a 2n ＝4a n ＋4(n ≥2)， ∴a 2n ＋1＝(a n ＋2)2(n ≥2)． 又a n >0，故a n ＋1＝a n ＋2(n ≥2)． 即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)．又a 25＝a 2a 14，即(a 2＋6)2＝a 2(a 2＋24)，解得a 2＝3， 又a 22＝4S 1＋4＋1，故a 1＝S 1＝1.∴a 2－a 1＝3－1＝2，故数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故a n ＝2n －1. 易知b 1＝a 2＝3，b 2＝a 5＝9，b 3＝a 14＝27，∴b n ＝3n. (2)由(1)可知T n ＝31－3n1－3＝3n ＋1－32. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ＋1－32＋32k ≥3n －6对任意的n ∈N *恒成立，即k ≥2n －43n 对任意的n ∈N *恒成立． 令C n ＝2n －43n ，则C n －C n －1＝2n －43n －2n －63n －1＝－22n －73n (n ≥2)，故当n ＝2,3时，C n >C n －1，当n ≥4，n ∈N *时，C n <C n －1，∴C 3＝227最大，∴k ≥227.故k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫227，＋∞.对于数列，a n 和S n 有关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，这是一种重要的关系，是已知S n 求通项a n 的常用方法.首先利用S n “复制”出S n －1，就是“用两次”，再作差求出a n .三、预测押题不能少1．设各项均为正数的数列{a n } 的前n 项和为S n ，且 S n 满足 S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1 的值；(2)求数列{a n } 的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 1＋1＋1a 2a 2＋1＋…＋1a na n ＋1<13. 解：(1)由题意知，S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.令n ＝1，有S 21－(12＋1－3)S 1－3×(12＋1)＝0， 可得S 21＋S 1－6＝0，解得S 1＝－3或2， 即a 1＝－3或2，又a n 为正数，所以a 1＝2. (2)由S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *可得， (S n ＋3)(S n －n 2－n )＝0，则S n ＝n 2＋n 或S n ＝－3， 又数列{a n }的各项均为正数，所以S n ＝n 2＋n ，S n －1＝(n －1)2＋(n －1)， 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －[(n －1)2＋(n －1)]＝2n .又a 1＝2＝2×1，所以a n ＝2n . (3)证明：当n ＝1时，1a 1a 1＋1＝12×3＝16<13成立；当n ≥2时，1a na n ＋1＝12n2n ＋1<12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以1a 1a 1＋1＋1a 2a 2＋1＋…＋1a na n ＋1<16＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1＝16＋12⎝⎛⎭⎪⎫13－12n＋1<16＋16＝13.所以对一切正整数n，有1a1a1＋1＋1a2a2＋1＋…＋1a n a n＋1<13.考点二利用累加、累乘、代入等方法求通项一、基础知识要记牢累加即利用恒等式b n＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(b n－b n－1)求通项；累乘即利用恒等式a n＝a1·a2a1·a3a2·…·a na n－1求通项．二、经典例题领悟好[例2] (1)已知正项数列{a n}中，a1＝1，且(n＋2)·a2n＋1－(n＋1)a2n＋a n a n＋1＝0，则它的通项公式为( )A．a n＝1n＋1B．a n＝2n＋1C．a n＝n＋22D．a n＝n(2)已知数列{a n}中，a1＝1，且a n＋1＝a n(1－na n＋1)，则数列{a n}的通项公式为________．[解析] (1)因为(n＋2)a2n＋1－(n＋1)a2n＋a n a n＋1＝0，所以[(n＋2)a n＋1－(n＋1)a n](a n＋1＋a n)＝0.又{a n}为正项数列，所以(n＋2)a n＋1－(n＋1)a n＝0，即a n＋1a n＝n＋1n＋2，则当n≥2时，a n＝a na n－1·a n－1a n－2·…·a2a1·a1＝nn＋1·n－1n·…·23·1＝2n＋1，又a1＝1＝21＋1，满足上式，故a n＝2n＋1.故选B.(2)原数列递推公式可化为1a n＋1－1a n＝n，令b n＝1a n，则b n＋1－b n＝n，因此b n＝(b n－b n－1)＋(b n－1－b n－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)＋b1＝(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＋1＝n2－n＋22，所以a n＝2n2－n＋2.[答案] (1)B (2)a n＝2n2－n＋21累加、累乘是课本中求等差比数列通项方法的推广，若已知a na n -1＝g n 且g n 可以求积，则可以利用恒等式a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2…a na n －1求通项.若已知b n ＋1－b n ＝f n且fn 可以求和，则可以利用恒等式b n ＝b 1＋b 2－b 1＋b 3－b 2＋…＋b n －b n －1解出通项；基本方法都有很大的“弹性空间”，把握其思想精髓就可以大有作为.2给出数列的递推关系求通项时通常利用代入法、整体换元法等求解，不必考虑特殊技巧.三、预测押题不能少2．(1)已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：由a n ＝2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，设a n ＋t ＝2(a n －1＋t )(n ≥2)，所以2t －t ＝1，解得t ＝1，所以a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2)，所以a n ＋1a n －1＋1＝2，又a 1＋1＝2，所以{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2n，所以a n ＝2n－1.答案：2n－1(2)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．解析：因为a n ＋1＝a na n ＋3(n ∈N *)，所以1a n ＋1＝3a n ＋1，设1a n ＋1＋t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋t ，所以3t －t ＝1，解得t ＝12，所以1a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋12，又1a 1＋12＝1＋12＝32，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列，所以1a n ＋12＝32×3n －1＝3n2，所以a n ＝23n －1.答案：a n ＝23n－1[知能专练(九)]一、选择题1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8B ．10C ．12D ．14解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3d ，所以12＝3×2＋3d ，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C.2．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，a 5＝9，若数列{b n }满足b 1＝3，b n ＋1＝ab n ，则{b n }的通项公式为b n ＝( )A ．2n－1 B ．2n＋1 C ．2n ＋1－1 D ．2n －1＋2解析：选B 据已知易得a n＝2n－1，故由b n＋1＝ab n可得b n＋1＝2b n－1，变形为b n＋1－1＝2(b n－1)，即数列{b n－1}是首项为2，公比为2的等比数列，故b n－1＝2n，解得b n＝2n ＋1.故选B.3．已知数列{a n}中，a1＝3，a2＝5且对于大于2的正整数，总有a n＝a n－1－a n－2，则a2 018等于( )A．－5 B．5 C．－3 D．3解析：选B a n＋6＝a n＋5－a n＋4＝a n＋4－a n＋3－a n＋4＝－(a n＋2－a n＋1 )＝－a n＋2＋a n＋1＝－(a n＋1－a n)＋a n＋1＝a n，故数列{a n}是以6为周期的周期数列，∴a2 018＝a336×6＋2＝a2＝5，故选B.4．已知数列{a n}满足a1＝1，且a n＝13a n－1＋⎝⎛⎭⎪⎫13n(n≥2，且n∈N*)，则数列{an}的通项公式为( )A．a n＝3nn＋2B．a n＝n＋23nC．a n＝n＋2 D．a n＝(n＋2)3n解析：选B 由a n＝13a n－1＋⎝⎛⎭⎪⎫13n(n≥2且n∈N*)，得3n an＝3n－1an－1＋1,3n－1an－1＝3n－2an－2＋1，…，32a2＝3a1＋1，以上各式相加得3n a n＝n＋2，故a n＝n＋2 3n.5．(2017·宝鸡模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足4(n＋1)(S n＋1)＝(n＋2)2a n，则数列{a n}的通项公式为a n＝( )A．(n＋1)3 B．(2n＋1)2C．8n2 D．(2n＋1)2－1解析：选A 当n＝1时，4(1＋1)(a1＋1)＝(1＋2)2a1，解得a1＝8，当n≥2时，由4(S n＋1)＝n＋22a nn＋1，得4(S n－1＋1)＝n＋12a n－1n，两式相减得，4a n＝n＋22a nn＋1－n＋12a n－1n ，即a na n－1＝n＋13n3，所以a n＝a na n－1·a n－1a n－2·…·a2a1·a1＝n＋13 n3·n3n－13·…·3323·8＝(n＋1)3，经验证n＝1时也符合，所以a n＝(n＋1)3.6．在各项均不为零的数列{a n}中，若a1＝1，a2＝13，2a n a n＋2＝a n＋1a n＋2＋a n a n＋1(n∈N*)，则a2 018＝( )A.14 033B.14 034C.14 035D.14 037解析：选C 因为2a n a n ＋2＝a n ＋1a n ＋2＋a n a n ＋1(n ∈N *)，所以2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，其公差d ＝1a 2－1a 1＝2，所以1a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，a n ＝12n －1，所以a 2 018＝14 035.二、填空题7．已知数列{a n }中，a 3＝3，a n ＋1＝a n ＋2，则a 2＋a 4＝________，a n ＝________. 解析：因为a n ＋1－a n ＝2，所以{a n }为等差数列且公差d ＝2，由a 1＋2d ＝3得a 1＝－1，所以a n ＝－1＋(n －1)×2＝2n －3，a 2＋a 4＝2a 3＝6.答案：6 2n －38．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，则{a n }的通项公式a n ＝________.解析：因为{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，且S 1＋3a 1＝4,2S 2＋4a 2＝8，则该等差数列的公差为4，所以nS n ＋(n ＋2)a n ＝4＋4(n －1)＝4n ，即S n ＋n ＋2n a n ＝4，S n －1＋n ＋1n －1a n －1＝4(n ≥2)，两式相减整理得a n a n －1＝n 2n －1(n ≥2)，则a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝12n －1×1×21×32×…×n n －1＝n 2n －1，经验证n ＝1时也符合，所以a n ＝n2n －1. 答案：n2n －19．如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n .若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．解析：设△A 1B 1O 的面积为S 0，梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积为S ⇒S 0S 0＋S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1a22⇒S ＝3S 0， S 0＋nS S 0＋n ＋1S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ＋22⇒1＋3n 4＋3n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ＋22.由上面2种情况得3n －23n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a n ＋12⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 32⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3a 42·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a n ＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1a n ＋12＝14·47·710·…·3n －23n ＋1＝13n ＋1⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1a n ＋12＝13n ＋1⇒a n ＋1＝3n ＋1，且a 1＝1⇒a n ＝3n －2，n ∈N *.答案：a n ＝3n －2，n ∈N *三、解答题10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝3n －1＋a n －1(n ≥2)．(1)求a 2，a 3； (2)证明：a n ＝3n－12.解：(1)易知a 2＝4，a 3＝13. (2)证明：由于a n ＝3n －1＋a n －1(n ≥2)，∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)．∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝3n －1＋3n －2＋…3＋1＝3n －12(n ≥2)，经检验，n ＝1时也满足上式，故a n ＝3n－12.11．数列{a n }满足a 1＝1且8a n ＋1a n －16a n ＋1＋2a n ＋5＝0(n ≥1)，记b n ＝1a n －12(n ≥1)．(1)求b 1，b 2，b 3，b 4的值；(2)求数列{b n }的通项及数列{a n b n }的前n 项和S n . 解：(1)由b n ＝1a n －12，得a n ＝1b n ＋12. 代入递推关系8a n ＋1a n －16a n ＋1＋2a n ＋5＝0， 整理得4b n ＋1b n －6b n ＋1＋3b n＝0.即b n ＋1＝2b n －43.由a 1＝1得b 1＝2， 所以b 2＝83，b 3＝4，b 4＝203.(2)∵b n ＋1＝2b n －43，∴b n ＋1－43＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b n －43，b 1－43＝23≠0.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n－43是以23为首项，以2为公比的等比数列． 故b n －43＝13×2n ，即b n ＝13×2n＋43.由b n ＝1a n －12得a n b n ＝12b n ＋1， 故S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝12(b 1＋b 2＋…＋b n )＋n ＝131－2n1－2＋53n ＝13(2n＋5n －1)． 12．(2016·浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *. (1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3.又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n ，又a 2＝2，则a n＝3n －1，而n ＝1时也符合该式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.(2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，则b 1＝2，b 2＝1.当n ≥3时，由于3n －1＞n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3， 当n ≥3时，T n ＝3＋91－3n －21－3－n ＋7n －22＝3n －n 2－5n ＋112，因为当n ＝2时，也符合T n ＝3n－n 2－5n ＋112.所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，3n －n 2－5n ＋112，n ≥2，n ∈N *.第二讲等差数列、等比数列考点一 等差、等比数列的基本运算 一、基础知识要记牢等差数列 等比数列概念 a n －a n －1＝d ，n ≥2 a na n －1＝q ，n ≥2 通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1q n －1(q ≠0) 前n 项和S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d(1)q ≠1，S n ＝a 11－q n1－q＝a 1－a n q1－q(2)q ＝1，S n ＝na 1二、经典例题领悟好[例1] (1)(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏(2)设等比数列{a n }中，若a 3＝3，且a 2 017＋a 2 018＝0，则S 101等于( ) A ．3 B ．303 C ．－3D ．－303[解析] (1)每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得S 7＝a 11－271－2＝381，解得a 1＝3.(2)∵等比数列{a n }中，a 3＝3，且a 2 017＋a 2 018＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝3，a 1q2 0161＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－1，∴S 101＝a 11－q 1011－q ＝3[1－－1101]1－－1＝3×22＝3.[答案] (1)B (2)A等差等比数列的基本运算，一般通过其通项公式及前n 项和公式建立关于a 1和d或q的方程或方程组解决.注意利用等比数列前n 项和公式求和时，不可忽视对公比q 是否为1的讨论. 三、预测押题不能少1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式；(2)若T 3＝21，求S 3.解：设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.① (1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由b 1＝1，T 3＝21，得q 2＋q －20＝0， 解得q ＝－5，或q ＝4.当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21. 当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6. 考点二 等差、等比数列的判定与证明 一、基础知识要记牢1．证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法 (1)利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *)为一常数； (2)利用等差中项，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． 2．证明{a n }是等比数列的两种基本方法 (1)利用定义，证明a n ＋1a n(n ∈N *)为一常数； (2)利用等比中项，即证明a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2，a n ≠0)． 二、经典例题领悟好[例2] (2018届高三·浙江联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n＋1a n (n ≥1)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列；(2)设数列{2na n }的前n 项和为T n ，A n ＝1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n ，试比较A n 与2na n的大小．[解] (1)证明：由a 1＝S 1＝2－3a 1得，a 1＝12.由S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1a n 得，S n －1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －1＋1a n －1，n ≥2，于是a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫2n －1＋1a n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1a n，整理得a n n ＝12×a n －1n －1(n ≥2)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项及公比均为12的等比数列．(2)由(1)得a n n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝12n ，于是2na n ＝n ，T n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，1T n ＝2nn ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，A n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2n n ＋1. 又2na n＝2n ＋1n 2，所以问题转化为比较2n ＋1n 2与2n n ＋1的大小，即比较2nn 2与n n ＋1的大小． 设f (n )＝2nn2，g (n )＝n n ＋1，因为f (n ＋1)－f (n )＝2n[n n －2－1][n n ＋1]2， 当n ≥3时，f (n ＋1)－f (n )>0， 所以当n ≥3时，f (n )单调递增，所以当n ≥4时，f (n )≥f (4)＝1，而g (n )<1， 所以当n ≥4时，f (n )>g (n )．经检验当n ＝1,2,3时，仍有f (n )>g (n )． 综上可得，A n <2na n.1判断一个数列是等差等比数列，还有通项公式法及前n 项和公式法，但不可作为证明方法.2若要判断一个数列不是等差等比数列，只需判断存在连续三项不成等差等比数列即可.3a 2n ＝a n －1a n ＋1n ≥2，n ∈N *是{a n }为等比数列的必要不充分条件，也就是要注意判断一个数列是等比数列时，各项不能为0.三、预测押题不能少2．在数列{a n }中，a 1＝35，a n ＋1＝2－1a n ，设b n ＝1a n －1，数列{b n }的前n 项和是S n .(1)证明数列{b n }是等差数列，并求S n ； (2)比较a n 与S n ＋7的大小． 解：(1)证明：∵b n ＝1a n －1，a n ＋1＝2－1a n ，∴b n ＋1＝1a n ＋1－1＝1a n －1＋1＝b n ＋1，∴b n ＋1－b n ＝1，∴数列{b n }是公差为1的等差数列．由a 1＝35，b n ＝1a n －1得b 1＝－52，∴S n ＝－5n2＋n n －12＝n 22－3n .(2)由(1)知：b n ＝－52＋n －1＝n －72.由b n ＝1a n －1得a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.∴a n －S n －7＝－n 22＋3n －6＋22n －7.∵当n ≥4时，y ＝－n 22＋3n －6是减函数，y ＝22n －7也是减函数，∴当n ≥4时，a n －S n －7≤a 4－S 4－7＝0.又∵a 1－S 1－7＝－3910<0，a 2－S 2－7＝－83<0，a 3－S 3－7＝－72<0，∴对任意的n ∈N *，a n －S n －7≤0，∴a n ≤S n ＋7.考点三 等差、等比数列的性质 一、基础知识要记牢等差数列等比数列性质 (1)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ， 则a m ＋a n ＝a p ＋a q(2)a n ＝a m ＋(n －m )d(3)S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍成等差数列(1)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ， 则a m ·a n ＝a p ·a q (2)a n ＝a m qn －m(3)S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍成等比数列(S n ≠0)[例3] (1)(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97(2)(2017·湖州模拟)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2a 10＝9，则a 5＋a 7( ) A ．有最小值6 B ．有最大值6 C ．有最大值9D ．有最小值3[解析] (1)法一：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.故选C. 法二：∵{a n }是等差数列，∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5. 故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98.故选C.(2)因为等比数列{a n }各项为正数，且a 5·a 7＝a 2·a 10＝9， 所以a 5＋a 7≥2a 5·a 7＝29＝6， 当且仅当a 5＝a 7＝3时等号成立， 所以a 5＋a 7的最小值为6.故选A. [答案] (1)C (2)A等差、等比数列性质应用问题求解策略(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n a 1＋a n2＝nan ＋12(n 为奇数)是常用的转化方法．(2)熟练运用等差、等比数列的性质，可减少运算过程，提高解题正确率．(3)灵活利用等差、等比数列和的性质，等差(比)数列的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也是等差(比)数列(公比q 不为－1).三、预测押题不能少3．(1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＋a 8>0，S 11<0，则S n 的最大值为( ) A ．S 5 B ．S 6 C ．S 9D ．不能确定解析：选A 因为{a n }是等差数列，所以a 2＋a 8＝2a 5>0，a 5>0，又S 11＝11a 1＋a 112＝11a 6<0，a 6<0，所以等差数列{a n }的前5项是正数，从第6项开始为负数，所以S n 的最大值为S 5，故选A.(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( )A ．40B ．60C ．32D ．50解析：选B 由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即S 9－S 6＝16，S 12－S 9＝32，因此S 12＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋(S 12－S 9)＝4＋8＋16＋32＝60，故选B.[知能专练(十)]一、选择题1．(2017·苏州模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )A．－6 B．－4C．－2 D．2解析：选A 根据等差数列的定义和性质可得，S8＝4(a1＋a8)＝4(a3＋a6)，又S8＝4a3，所以a6＝0.又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.2．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为( )A．－24 B．－3C．3 D．8解析：选A 设等差数列{a n}的公差为d，因为a2，a3，a6成等比数列，所以a2a6＝a23，即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2.又a1＝1，所以d2＋2d＝0.又d≠0，则d＝－2，所以{a n}前6项的和S6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24.3．已知等比数列{a n}中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为( )A．4 B．6C．8 D．－9解析：选 A ∵a4＋a8＝－2，∴a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a26＋a6a10＝a24＋2a4a8＋a28＝(a4＋a8)2＝4.4．(2017·宝鸡质检)设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9＝18，a n－4＝30(n>9)，若S n＝336，则n的值为( )A．18 B．19C．20 D．21解析：选 D 因为{a n}是等差数列，所以S9＝9a5＝18，a5＝2，S n＝n a1＋a n2＝n a5＋a n－42＝n2×32＝16n＝336，解得n＝21.5．(2016·浙江高考)如图，点列{A n}，{B n}分别在某锐角的两边上，且|A n A n＋1|＝|A n＋1A n＋2|，A n≠A n＋2，n∈N *，|Bn B n＋1|＝|B n＋1B n＋2|，B n≠B n＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若d n＝|A n B n|，S n为△A n B n B n＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n }是等差数列 C ．{d n }是等差数列D ．{d 2n }是等差数列解析：选A 由题意，过点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1，…分别作直线B 1B n ＋1的垂线，高分别记为h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…，根据平行线的性质，得h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…成等差数列，又S n ＝12×|B n B n ＋1|×h n ，|B n B n ＋1|为定值，所以{S n }是等差数列．故选A.6．已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N *)，则以下结论一定正确的是( )A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为m q 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为m m q 解析：选C 等比数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1，所以c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m ＝a 1q m (n －1)·a 1qm (n －1)＋1·…·a 1qm (n －1)＋m －1＝a m 1q m (n －1)＋m (n －1)＋1＋…＋m (n －1)＋m －1＝a m1q(m )(m )m (n )211+112＋--－＝a m1qm m n 2(1)(1)2＋-－.所以数列{c n }为等比数列，公比为m q 2. 二、填空题7．(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q ， 则a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝－1，a 1－a 3＝a 1(1－q 2)＝－3，两式相除，得1＋q 1－q 2＝13，解得q ＝－2，a 1＝1，所以a 4＝a 1q 3＝－8. 答案：－88．已知公比q 不为1的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且a 2＋S 2，a 3＋S 3，a 4＋S 4成等差数列，则q ＝________，S 6＝________.解析：由a 2＋S 2＝12＋q ，a 3＋S 3＝12＋12q ＋q 2，a 4＋S 4＝12＋12q ＋12q 2＋q 3成等差数列，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12q ＋q 2＝12＋q ＋12＋12q ＋12q 2＋q 3，化简得(2q 2－3q ＋1)q ＝0，q ≠1，且q ≠0，解得q＝12，所以S 6＝a 11－q61－q＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝6364.答案：12 63649．(2018届高三·杭州七校联考)等比数列{a n }中a 1＝2，公比q ＝－2，记Πn ＝a 1×a 2×…×a n (即Πn 表示数列{a n }的前n 项之积)，Π8，Π9，Π10，Π11中值最大的是________．解析：由a 1＝2，q ＝－2，Πn ＝a 1×a 2×…×a n ＝(a 1)nqn n (-)12，Π8＝28(－2)28＝236；Π9＝29(－2)36＝245；Π10＝210(－2)45＝－255；Π11＝211(－2)55＝－266.故Π9最大．答案：Π9 三、解答题10．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列． (1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.解：(1)设{a n }的公差为d .由题意，a 211＝a 1a 13， 即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )，于是d (2a 1＋25d )＝0. 又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，或d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n2(a 1＋a 3n －2)＝n2·(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． 解：(1)证明：由S n ＝4a n －3可知， 当n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1.因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝43a n －1，又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列．(2)由(1)知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －11－43＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ≥2，n ∈N *)． 当n ＝1时上式也满足条件．所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ∈N *)．12．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． 解：(1)设{a n }的公比为q . 由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q ＝2，a 11＋q ＋q 2＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，q ＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n. (2)由(1)可得S n ＝－2×[1－－2n]1－－2＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋－1n2n ＋13＝2S n，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．第三讲数列的综合应用考点一 数列求和数列求和的关键是分析其通项，熟悉两个基本数列的求和公式以及体现的思想方法(如转化与化归思想、错位相减法、倒序相加法等)，根据具体情形采取灵活手段解决．数列求和的基本方法有公式法、错位相减法、裂(拆)项相消法、分组法、倒序相加法和并项法等．考查类型(一) 利用公式、分组求和 一、经典例题领悟好[例1] (2016·北京高考)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．[解] (1)设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 3b 2＝93＝3，所以b 1＝b 2q＝1，b 4＝b 3q ＝27， 所以b n ＝3n －1(n ∈N *)．设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27， 所以1＋13d ＝27，即d ＝2. 所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知，c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1.从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝n 1＋2n －12＋1－3n 1－3＝n 2＋3n－12.分组求和法的2种常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组法求和.二、预测押题不能少1．在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为q 的等比数列，求{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d . ∵a 3＋a 8－(a 2＋a 7)＝2d ＝－6. ∴d ＝－3，又a 2＋a 7＝2a 1＋7d ＝－23，解得a 1＝－1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋2.(2)∵数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为q 的等比数列， ∴a n ＋b n ＝qn －1，即－3n ＋2＋b n ＝qn －1，∴b n ＝3n －2＋q n －1.∴S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)＝n 3n －12＋(1＋q ＋q 2＋…＋qn －1)，故当q ＝1时，S n ＝n 3n －12＋n ＝3n 2＋n 2；当q ≠1时，S n ＝n 3n －12＋1－q n1－q. 考查类型(二) 错位相减求和 一、经典例题领悟好[例2] (2017·天津高考)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a 2n b n }的前n 项和(n ∈N *)．[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12. 因为b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0. 又因为q ＞0，解得q ＝2.所以b n ＝2n. 由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8.① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16.②联立①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2. 所以{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，{b n }的通项公式为b n ＝2n. (2)设数列{a 2n b n }的前n 项和为T n ，由a 2n b n ＝(6n －2)·2n.有T n ＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n －2)×2n，2T n ＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n －8)×2n ＋(6n －2)×2n ＋1，上述两式相减，得－T n ＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n－(6n －2)×2n ＋1＝12×1－2n1－2－4－(6n －2)×2n ＋1＝－(3n －4)2n ＋2－16， 得T n ＝(3n －4)2n ＋2＋16.所以数列{a 2n b n }的前n 项和为(3n －4)2n ＋2＋16.1错位相减法适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得的数列求和，属于等比数列求和公式的推导方法的应用.2利用错位相减法求和时，应注意：①在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应注意两式“错项对齐”；②当等比数列的公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论.二、预测押题不能少2．已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n项和T n .解：(1)设{a n }的公比为q ， 由题意知：a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2. 又a n ＞0，解得a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n. (2)由题意知，S 2n ＋1＝2n ＋1b 1＋b 2n ＋12＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b n a n ，则c n ＝2n ＋12n ，因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ， 又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1， 两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1＝32＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－2n ＋12n ＋1＝52－2n ＋52n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n .考查类型(三) 裂项相消求和一、经典例题领悟好[例3] (2017·全国卷Ⅲ)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和． [解] (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)．两式相减得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1(n ≥2)．又由题设可得a 1＝2，满足上式，从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. (2)记⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n .由(1)知a n 2n ＋1＝22n ＋12n －1＝12n －1－12n ＋1.则S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n2n ＋1.(1)裂项相消一般适用于通项公式为h nf ng n型数列的求和．(2)裂项相消求和法一般是把数列每一项分裂成两项的差，通过正、负项相消求和．常用裂项形式如：an n ＋k ＝a k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ，a n ＋n ＋k ＝a k (n ＋k －n )(a ，k 是不为0的常数)．利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩第一项和最后一项，也可能前面剩两项，后面也剩两项．(3)如果数列的通项公式不是常见的裂项形式，可以先猜后验，再确定如何裂项. 二、预测押题不能少3．设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且3a 2是a 1＋3和a 3＋4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a na n ＋1a n ＋1＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <12.解：(1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1＋3＋a 3＋42＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，则a 1q ＝2，∴a 1＝2q，a 3＝a 1q 2＝2q .由S 3＝7，可知2q＋2＋2q ＝7，∴2q 2－5q ＋2＝0，解得q 1＝2，q 2＝12.由题意，得q >1，∴q ＝2.∴a 1＝1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)证明：∵b n ＝a na n ＋1a n ＋1＋1＝2n －12n －1＋12n＋1＝12n －1＋1－12n＋1，∴T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋1－121＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋1－12n ＋1＝11＋1－12n ＋1＝12－12n ＋1<12. 考点二 数列在实际问题中的应用 一、经典例题领悟好[例4] 某企业为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的设备维修、燃料和动力等消耗的费用(称为设备的低劣化值)会逐年增加，第一年设备低劣化值是4万元，从第二年到第七年，每年设备低劣化值均比上年增加2万元，从第八年开始，每年设备低劣化值比上年增加25%.(1)设第n 年该生产线设备低劣化值为a n ，求a n 的表达式；(2)若该生产线前n 年设备低劣化平均值为A n ，当A n 达到或超过12万元时，则当年需要更新生产线，试判断第几年需要更新该生产线，并说明理由．[解] (1)当n ≤7时，数列{a n }是首项为4，公差为2的等差数列，所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2.当n ≥8时，数列{a n }是首项为a 7，公比为54的等比数列，又a 7＝16，所以a n ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7，所以a n 的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋2，n ≤7，16×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7，n ≥8.(2)设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 当1≤n ≤7时，S n ＝4n ＋n (n －1)＝n 2＋3n ，当n ≥8时，由S 7＝70，得S n ＝S 7＋16×54×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －71－54＝80·⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7－10.该生产线前n 年设备低劣化平均值为A n＝S nn ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋3，1≤n ≤7，80·⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7－10n，n ≥8.当1≤n ≤7时，数列{A n }为单调递增数列； 当n ≥8时，因为S n ＋1n ＋1－S n n ＝80·⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4－1＋10n n ＋1>0，所以{A n }为单调递增数列．又S 77＝10<12，S 88＝11.25<12，S 99≈12.78>12， 则第九年需要更新该生产线．数列应用题中的常见模型(1)等差模型：即问题中增加(或减少)的量是一个固定量，此量即为公差． (2)等比模型：即问题中后一量与前一量的比是固定常数，此常数即为公比． (3)a n 与a n ＋1型：即问题中给出前后两项关系不固定，可考虑a n 与a n ＋1的关系. 二、预测押题不能少4．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产，设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．(1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．解：(1)由题意得a 1＝2 000(1＋50%)－d ＝3 000－d ，a 2＝a 1(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4 500－52d . a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝32a n －d .(2)由(1)得a n ＝32a n －1－d ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32a n －2－d －d＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322a n －2－32d －d…＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1a 1－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2.整理得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－d )－2d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－3d )＋2d .由题意，a m ＝4 000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1(3 000－3d )＋2d ＝4 000. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －2×1 000解得d ＝m m ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫ ⎪⎝⎭3210002312--⨯＝1 0003m －2m ＋13m －2m. 故该企业每年上缴资金d 的值为1 0003m－2m ＋13m －2m 时，经过m (m ≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．[知能专练(十一)]一、选择题1．(2018届高三·金华十校联考)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ，则S 2 018＝( )A ．2×31 009－2 B ．2×31 009C.32 018－12 D.32 018＋12解析：选A 由a n ＋2＝3a n 可得数列{a n }的奇数项与偶数项分别构成等比数列，所以S 2 018＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 018)＝1－31 0091－3＋31－31 0091－3＝(－2)×(1－31 009)＝2×31 009－2.2．(2017·长沙质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，则S 2 017的值为( )A ．2 017B ．2 016C ．1 009D ．1 008解析：选C 因为a n ＋2S n －1＝n ，n ≥2，所以a n ＋1＋2S n ＝n ＋1，两式相减得a n ＋1＋a n ＝1，n ≥2.又a 1＝1，所以S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 016＋a 2 017)＝1 009.3．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100＝( )A ．200B ．－200C ．400D ．－400解析：选 B S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.4．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n.①第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列(记为)a 1，a 2，a 3，…，a n . 则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝( )A ．n 2B ．(n －1)2C ．n (n －1)D ．n (n ＋1)解析：选C a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝n 1·n 2＋n 2·n 3＋…＋n n －1·nn ＝n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1n －1n ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝n 2·n －1n＝n (n －1)． 5．设a n ＝1n sin n π25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．25B ．50C ．75D ．100解析：选D 当1≤n ≤24时，a n >0，当26≤n ≤49时，a n <0，但其绝对值要小于1≤n ≤24时相应的值，当51≤n ≤74时，a n >0，当76≤n ≤99时，a n <0，但其绝对值要小于51≤n ≤74时相应的值，∴当1≤n ≤100时，均有S n >0.6．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )A ．440B ．330C ．220D ．110解析：选A 设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为n n ＋12.由题意可知，N >100，令n n ＋12>100，得n ≥14，n ∈N *，即N 出现在第13组之后．易得第n 组的所有项的和为1－2n 1－2＝2n－1，前n 组的所有项的和为21－2n1－2－n ＝2n ＋1－n －2.设满足条件的N 在第k ＋1(k ∈N *，k ≥13)组，且第N 项为第k ＋1组的第t (t ∈N *)个数， 若要使前N 项和为2的整数幂，则第k ＋1组的前t 项的和2t－1应与－2－k 互为相反。

知能专练（一）集合与常用逻辑用语一、选择题1．(2017·北京高考)若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝()A．{x|－2<x<－1}B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}解析：选A由集合交集的定义可得A∩B＝{x|－2<x<－1}．2．(2017·浙江延安中学模拟)命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是() A．若a≠b≠0，a，b∈R，则a2＋b2＝0B．若a＝b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0C．若a≠0且b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0解析：选D“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，又a＝b＝0的实质为a＝0且b＝0，故其否定为a≠0或b≠0.故选D.3．(2017·宁波模拟)“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B ln(x＋1)<0⇔0<x＋1<1⇔－1<x<0，而(－1,0)是(－∞，0)的真子集，所以“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不充分条件．4．(2017·吉林模拟)已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是()A．[1，＋∞)B．(－∞，1]C．[－3，＋∞)D．(－∞，－3]解析：选A设P＝{x|x>1或x<－3}，Q＝{x|x>a}，因为q是p的充分不必要条件，所以Q P，因此a≥1.5．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)·(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝() A．{1} B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}解析：选C因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．6．(2018届高三·安徽“江南十校”联考)已知集合A＝{x|x2－x≤0}，函数f(x)＝2－x(x∈A)的值域为B，则(∁R A)∩B等于()A．{x|1<x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤1} D．{x|x>1}解析：选A由题意知，集合A＝{x|0≤x≤1}，∴B＝{y|1≤y≤2}，∁R A＝{x|x<0或x>1}，∴(∁R A)∩B＝{x|1<x≤2}．7．设集合S n＝{1,2,3，…，n}，n∈N*，若X⊆S n，把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X的容量为奇(偶)数，则称X为S n的奇(偶)子集．若n＝4，则S n的所有奇子集的容量之和为() A．7 B．8C．9 D．10解析：选A若n＝4，则S n的所有奇子集为{1}，{3}，{1,3}，故所有奇子集的容量之和为7.8．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为()A．3B．2C．1 D．0解析：选B因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.9．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.10．下列关于命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题的结论中成立的是()A．都为真命题B．都为假命题C．否命题为真命题D．逆否命题为真命题解析：选D对于原命题：“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空时，可以有a>0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.二、填空题11．已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，S ＝{1,3,5}，T ＝{2,3,6}，则S ∩(∁U T )＝________，集合S 共有________个子集．解析：由题意可得∁U T ＝{1,4,5}，则S ∩(∁U T )＝{1,5}．集合S 的子集有∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，共8个．答案：{1,5} 812．(2017·南通模拟)给出下列三个命题： ①“a >b ”是“3a >3b ”的充分不必要条件；②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R)为奇函数”的充要条件． 其中正确命题的序号为________．解析：“a >b ”是“3a >3b ”的充要条件，①错误；“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分也不必要条件，②错误；“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R)为奇函数”的充要条件，③正确．故正确命题的序号为③.答案：③13．已知R 是实数集，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2x <1，N ＝{y |y ＝x －1＋1}，则N ∩(∁R M )＝________，M ∪(∁R N )＝________.解析：M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2x <1＝{x |x <0或x >2}，N ＝{y |y ＝x －1＋1}＝{y |y ≥1}， ∁R M ＝{x |0≤x ≤2}，∁R N ＝{y |y <1}，∴N ∩(∁R M )＝{x |1≤x ≤2}，M ∪(∁R N )＝{x |x <1或x >2}． 答案：{x |1≤x ≤2} {x |x <1或x >2}14．若“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件，则实数p 的取值范围是________． 解析：由x 2－x －2>0，得x >2或x <－1. 由4x ＋p <0得x <－p4.故－p 4≤－1时，“x <－p4”⇒“x <－1”⇒“x 2－x －2>0”．∴p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件． 答案：[4，＋∞)15．(2017·诸暨质检)已知A ＝{x |－2≤x ≤0}，B ＝{x |x 2－x －2≤0}，则A ∪B ＝________，(∁R A )∩B ＝________.解析：∵A ＝{x |－2≤x ≤0}，∴∁R A ＝{x |x <－2或x >0}，又B ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，∴A ∪B ＝{x |－2≤x ≤2}，∴(∁R A )∩B ＝{x |0<x ≤2}．答案：{x |－2≤x ≤2} {x |0<x ≤2}16．(2017·四川南山模拟)已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是________．解析：由题意知，13<x <12是不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 13<x <12是{x ||x －m |<1}的真子集．而{x ||x －m |<1}＝{x |－1＋m <x <1＋m }，所以有⎩⎨⎧－1＋m ≤13，1＋m ≥12(两个不等式不能同时取等号)，解得－12≤m ≤43，所以m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，43. 答案：⎣⎡⎦⎤－12，43 17．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，B ＝{x |log 2(x －1)<2}，则A ∩B ＝______，A ∪B ＝________，∁R A ＝________.解析：∵A ＝{x |－1<x <4}，B ＝{x |1<x <5}，∴A ∩B ＝{x |1<x <4}，A ∪B ＝{x |－1<x <5}，∁R A ＝{x |x ≤－1或x ≥4}．答案：{x |1<x <4} {x |－1<x <5} {x ≤－1或x ≥4} [选做题]1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＝n ，y ＝na ＋b ，n ∈Z}，B ＝{(x ，y )|x ＝m ，y ＝3m 2＋12，m ∈Z}，若存在实数a ，b 使得A ∩B ≠∅成立，称点(a ，b )为“￡”点，则“￡”点在平面区域C ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤108}内的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个解析：选A A ＝{(x ，y )|x ＝n ，y ＝na ＋b ，n ∈Z}＝{(x ，y )|y ＝ax ＋b ，x ∈Z}，B ＝{(x ，y )|x＝m ，y ＝3m 2＋12，m ∈Z}＝{(x ，y )|y ＝3x 2＋12，x ∈Z}，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，y ＝3x 2＋12，故3x 2－ax ＋12－b ＝0，①因为A ∩B ≠∅，故Δ＝a 2－12(12－b )＝a 2＋12b －144≥0，即a 2＋12b ≥144，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋12b ≥144，a 2＋b 2≤108，解得a ＝±62，b ＝6，代入①中可知x ＝±2，这与x ∈Z 矛盾，故“￡”点在平面区域C ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤108}内的个数为0，故选A.2．对于非空数集A ，B ，定义A ＋B ＝{x ＋y |x ∈A ，y ∈B }，下列说法： ①A ＋B ＝B ＋A ；②(A ＋B )＋C ＝A ＋(B ＋C )； ③若A ＋A ＝B ＋B ，则A ＝B ；④若A ＋C ＝B ＋C ，则A ＝B . 其中正确的是( ) A ．① B ．①② C ．②③D ．①④解析：选B 对于①，A ＋B ＝{x ＋y |x ∈A ，y ∈B }＝{y ＋x |x ∈A ，y ∈B }＝B ＋A ，①正确；对于②，(A ＋B )＋C ＝{(x ＋y )＋z |x ∈A ，y ∈B ，z ∈C }＝A ＋(B ＋C )，②正确；对于③，当A ＝{奇数}，B ＝{偶数}时，A ＋A ＝{偶数}＝B ＋B ，显然A ≠B ，③错误，对于④，当A ＝{奇数}，B ＝{偶数}，C ＝{整数}时，A ＋C ＝{整数}＝B ＋C ，显然A ≠B ，④错误．综上所述，正确的为①②，故选B.3．已知命题p ：对数log a (－2t 2＋7t －5)(a ＞0，a ≠1)有意义；q ：关于实数t 的不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0.若命题p 是命题q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，－2t 2＋7t －5＞0，解得1＜t ＜52.∵命题p 是命题q 的充分不必要条件，∴1<t <52是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0解集的真子集．因为方程t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0两根为1，a ＋2，故只需a ＋2>52，解得a >12.即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫12，＋∞。

知能专练（二） 函数的概念与性质一、选择题1．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时， f (x ) ＝x 2＋1x，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：选A f (－1)＝－f (1)＝－2.2．(2017·大连测试)下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1解析：选C 函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C 符合要求．3．(2016·全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图象大致为( )解析：选D f (2)＝8－e 2＞8－2.82＞0，排除A ；f (2)＝8－e 2＜8－2.72＜1，排除B ；x ＞0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，f ′(x )＜14×4－e 0＝0，因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14单调递减，排除C.故选D.4．(2017·天津高考)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：选C 由f (x )为奇函数，知g (x )＝xf (x )为偶函数．因为f (x )在R 上单调递增，f (0)＝0，所以当x >0时，f (x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )>0.又a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，20.8<2＝log 24<log 25.1<log 28＝3，所以b <a <c .5．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)解析：选B 由题意可知函数f (x )在(－∞，1]和(1，＋∞)上都为增函数，且f (x )的图象在(－∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2，解得a ∈[4,8)．6．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 22x ，则“同根函数”是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )解析：选A f 4(x )＝log 22x ＝1＋log 2x ，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，将f 2(x )的图象沿着x 轴先向右平移2个单位得到y ＝log 2x 的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到f 4(x )的图象，根据“同根函数”的定义可知选A.7．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析：选B 因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x2＝0，f －x ＋f x2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．函数y ＝x ＋1x ＝1＋1x，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以∑i ＝1mx i ＝0，∑i ＝1my i ＝2×m2＝m ，所以∑i ＝1m(x i ＋y i )＝m .二、填空题8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x >0，a ，x ＝0，g x ，x <0为奇函数，则a ＝________，f (g (－2))＝________.解析：由函数f (x )是R 上的奇函数可得f (0)＝a ＝0.因为g (－2)＝f (－1)＝－f (1)＝－4，所以f (g (－2))＝f (－4)＝－f (4)＝－25.答案：0 －259．(2016·四川高考)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.解析：∵f (x )为奇函数，周期为2，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0. ∵f (x )＝4x，x ∈(0,1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 答案：－210．(2016·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．解析：因为函数f (x )的周期为2，结合在[－1,1)上f (x )的解析式，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，得－12＋a ＝110，解得a＝35.所以f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25. 答案：－2511．已知函数f (x )＝x ＋1|x |＋1，x ∈R ，则不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)的解集为________．解析：当x ≥0时，f (x )＝x ＋1x ＋1＝1，当x ＜0时，f (x )＝x ＋11－x ＝－1－2x －1， 作出f (x )的图象，如图所示．可得f (x )在(－∞，0)上递增，不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)即为⎩⎪⎨⎪⎧3x －4≥0，x 2－2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧3x －4<0，x 2－2x <0，x 2－2x <3x －4，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥43，0<x <2或⎩⎪⎨⎪⎧x <43，0<x <2，1<x <4，解得43≤x ＜2或1＜x ＜43，所以1＜x ＜2，即不等式的解集为(1,2)． 答案：(1,2)12．(2017·杭州模拟)设集合A ＝{x |x 2－|x ＋a |＋2a ＜0，a ∈R}，B ＝{x |x ＜2}．若A ≠∅且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知x 2－|x ＋a |＋2a ＜0⇒x 2＜|x ＋a |－2a ，其解集A ≠∅时，可设A ＝{m ＜x ＜n }． 首先，若n ＝2时，则|2＋a |－2a ＝4， 解得a ＝－2，满足A ⊆B .由函数y ＝|x ＋a |－2a 的图象可知，当a ＜－2时，n ＞2，不满足A ⊇B ，不合题意，即可知a ≥－2；考虑函数y ＝|x ＋a |－2a 的右支与y ＝x 2相切时，则x ＋a －2a ＝x 2，即x 2－x ＋a ＝0，解得a ＝14.又当a ≥14时，A ＝∅，即可知a ＜14.综上可知：－2≤a ＜14.或考虑函数y ＝|x ＋a |和函数y ＝x 2＋2a 进行数形结合．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，14 三、解答题13．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3是偶函数，且过点(2,7)，g (x )＝x ＋4. (1)求f (x )的解析式； (2)求函数F (x )＝f (2x)＋g (2x ＋1)的值域；(3)若f (x )≥mx ＋m ＋4对x ∈[2,6]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由题意，对任意x ∈R ，f (－x )＝f (x )，∴ax 2－bx ＋3＝ax 2＋bx ＋3，得2bx ＝0， 又∵x ∈R ，∴b ＝0，得f (x )＝ax 2＋3.把点(2,7)代入得4a ＋3＝7，解得a ＝1，∴f (x )＝x 2＋3. (2)F (x )＝f (2x)＋g (2x ＋1)＝(2x )2＋3＋2x ＋1＋4＝(2x )2＋2×2x＋7.设2x＝t ，则t ∈(0，＋∞)，F (t )＝t 2＋2t ＋7＝(t ＋1)2＋6>7，∴函数F (x )的值域为(7，＋∞)．(3)依题意得当x ∈[2,6]时，x 2＋3≥mx ＋m ＋4恒成立，即x 2－mx －m －1≥0对x ∈[2,6]恒成立．设p (x )＝x 2－mx －m －1，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2<2，p或⎩⎪⎨⎪⎧m 2>6，p或Δ＝m 2＋4m ＋4≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <4，m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m >12，m ≤5或m ＝－2，得m ≤1.综上可知，实数m 的取值范围是(－∞，1]． 14．设a >0，b ∈R ，函数f (x )＝ax－2bx ＋b (0<x ≤1)． (1)求函数f (x )的最小值；(2)若f (x )＋|2a －b |≥0在区间(0，m ]上恒成立，求实数m 的最大值．解：(1)当b ≥0时，f (x )在0<x ≤1上递减，此时f (x )min ＝f (1)＝a －2b ＋b ＝a －b ；当b <0时，有ax －2bx ≥2a x－2bx ＝2－2ab ，x ＝a －2b 时等号成立．当－a 2≤b <0，即a－2b≥1时，f (x )在0<x ≤1上递减，此时f (x )min ＝f (1)＝a －b .当b <－a2，即a－2b<1时，此时f (x )min＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a －2b ＝2－2ab ＋b ，综上知f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b ，b ≥－a2，2－2ab ＋b ，b <－a2.(2)当b ≤2a 时，f (x )＋|2a －b |＝ax－2bx ＋2a≥a x－4ax ＋2a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －4x ＋2， 当b >2a 时，f (x )＋|2a －b |＝ax＋2b (1－x )－2a≥a x＋4a (1－x )－2a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －4x ＋2.由1x －4x ＋2≥0，解得1－54≤x ≤1＋54， 又因为1＋54<1，所以m 的最大值为1＋54.。

专题一善用数学思想高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等．数学思想与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得，与此同时，它们又直接对知识的形成起到指导作用．因此，在平时的学习中，我们应对数学思想方法进行认真的梳理与总结，逐个认识它们的本质特征，逐步做到自觉地、灵活地将其运用于所需要解决的问题之中．第一讲函数与方程思想__数形结合思想一、函数与方程思想函数与方程思想的含义函数与方程思想在解题中的应用———————[典例示范]————— 应用一 解决数列、不等式问题[例1] 已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列．(1)若a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ； (2)在(1)的条件下，数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n，若对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值．[解] (1)因为a 1＝2，a 23＝a 2·(a 4＋1)， 又因为{a n }是正项等差数列，故d ≥0， 所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，(列出方程) 解得d ＝2或d ＝－1(舍去)， 所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n . (2)因为S n ＝n (n ＋1)， 所以b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝1n ＋1n ＋2＋1n ＋2n ＋3＋…＋12n2n ＋1＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n＋3， 令f (x )＝2x ＋1x(x ≥1)，(构造函数)则f ′(x )＝2－1x2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数， 故当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3， 即当n ＝1时，(b n )max ＝16，要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立， 则须使k ≥(b n )max ＝16，所以实数k 的最小值为16.———[即时应用]—————————— 1.(1)设a ＞0，b ＞0.( ) A ．若2a ＋2a ＝2b＋3b ，则a ＞b B ．若2a ＋2a ＝2b＋3b ，则a ＜b C ．若2a －2a ＝2b－3b ，则a ＞b D ．若2a －2a ＝2b－3b ，则a ＜b(2)f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________. 解析：(1)由2a＋2a ＝2b＋3b ， 整理得，(2a＋2a )－(2b＋2b )＝b >0， 令f (x )＝2x ＋2x ，显然f (x )是单调递增函数， 由f (a )－f (b )>0可得a >b ，选A.(2)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x ＞0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝－2xx 4，所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4；当x ＜0即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x3，且g (x )在区间[－1,0)上单调递增，因为g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4.答案：(1)A (2)4——————————[典例示范]————————— 应用二 解决解析几何、立体几何问题[例2] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，如图所示，设左顶点为A ，上顶点为B ，且OF ―→·FB ―→＝AB ―→·BF ―→.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，试确定FM ―→·FN ―→的取值范围． [解] (1)由已知，A (－a,0)，B (0，b )，F (1,0)， 则由OF ―→·FB ―→＝AB ―→·BF ―→，得b 2－a －1＝0. ∵b 2＝a 2－1，∴a 2－a －2＝0，(列出方程) 解得a ＝2. ∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①若直线l 斜率不存在，则l ：x ＝1， 此时M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，N ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，FM ―→·FN ―→＝－94. ②若直线l 斜率存在，设l ：y ＝k (x －1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y23＝1消去y 得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，(列出方程) ∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.∴FM ―→·FN ―→＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2) ＝(1＋k 2)[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1] ＝－94－11＋k2.(转化为函数) ∵k 2≥0，∴0<11＋k2≤1，∴3≤4－11＋k 2<4，∴－3≤FM ―→·FN ―→<－94.综上所述，FM ―→·FN ―→的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－94. ——————————[即时应用]——————————2.(1)已知正四棱锥S ­ABCD 中，SA ＝23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为( ) A ．1B. 3 C ．2 D ．3(2)(2016·浙江高考)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是________．解析：(1)设正四棱锥S ­ABCD 的底面边长为a (a ＞0)，则高h ＝ SA 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＝12－a 22，所以体积V ＝13a 2h ＝1312a 4－12a 6.设y ＝12a 4－12a 6(a ＞0)，则y ′＝48a 3－3a 5.令y ′＞0，得0＜a ＜4；令y ′＜0，得a ＞4.故函数y 在(0,4]上单调递增，在[4，＋∞)上单调递减．可知当a ＝4时，y 取得最大值，即体积V 取得最大值，此时h ＝12－a 22＝2，故选C.(2)在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°， ∴AC ＝22＋22－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2 3.设CD ＝x ，则AD ＝23－x ， ∴PD ＝23－x ， ∴V P ­BCD ＝13S △BCD ·h≤13×12BC ·CD ·sin 30°·PD ＝16x (23－x )≤16⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23－x 22 ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝12， 当且仅当x ＝23－x ，即x ＝3时取“＝”， 此时PD ＝3，BD ＝1，PB ＝2，满足题意． 故四面体PBCD 的体积的最大值为12.答案：(1)C (2)12二、数形结合思想应用一 处理方程根、函数零点问题[例3] (1)(2017·杭州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 12，x ≤0，log 5x ，x >0，函数g (x )是周期为2的偶函数且当x ∈[0,1]时，g (x )＝2x－1，则函数y ＝f (x )－g (x)的零点个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当0＜x ≤1时，f (x )＝log12x ，则方程f (x )－1＝0在(0,6)内的所有根之和为( )A ．8B ．10C ．12D ．16[解析] (1)在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图所示，由图象可知当x >0时，有4个零点，当x ≤0时，有2个零点，所以一共有6个零点，故选B.(2)∵奇函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )＝f (2－x )＝－f (－x )，即f (x )＝－f (x ＋2)＝f (x ＋4)，∴f (x )是周期函数，其周期T ＝4.当0＜x ≤1时，f (x )＝log 12x ，故f (x )在(0,6)上的函数图象如图所示．由图可知方程f (x )－1＝0在(0,6)内的根共有4个，其和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2＋10＝12，故选C.[答案] (1)B (2)C———————————[即时应用]——————————3.(1)已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(0,8)C ．(2,8)D ．(－∞，0)(2)(2018届高三·温州五校联考)已知直线(1－m )x ＋(3m ＋1)y －4＝0所过定点恰好落在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，0＜x ≤3，|x －4|，x ＞3的图象上，若函数h (x )＝f (x )－mx ＋2有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 D ．(1，＋∞)解析：(1)m ＝0时结论显然不成立；当m <0时，二次函数的对称轴－b 2a ＝4－m2m <0，如图①，x >0时显然不成立；当0<m ≤4时，－b 2a ＝4－m2m >0，如图②，此时结论显然成立；当m >4时，如图③，－b 2a ＝4－m 2m<0时，只要Δ＝4(4－m )2－8m ＝4(m －8)(m －2)<0即可，即4<m <8，故有0<m <8，选B.(2)由(1－m )x ＋(3m ＋1)y －4＝0，得x ＋y －4－m (x －3y )＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －3y ＝0，可得直线过定点(3,1)，∴log a 3＝1，∴a ＝3.令f (x )－mx ＋2＝0，得f (x )＝mx －2，在同一坐标系上作出y 1＝f (x )与y 2＝mx －2的图象，易得12＜m ＜1.答案：(1)B (2)B——————————[典例示范]———————— 应用二 求解参数的范围及最值问题[例4] (1)若存在实数a ，对任意的x ∈[0，m ]，都有(sin x －a )(cos x －a )≤0恒成立，则实数m 的最大值为( )A.π4 B.π2 C.3π4D.5π4(2)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．[解析] (1)在同一坐标系中，作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象， 当m ＝π4时，要使不等式恒成立，只有a ＝22，当m >π4时，在x ∈[0，m ]上，必须要求y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象不在y ＝a ＝22的同一侧．所以m 的最大值是3π4，选C.(2)作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意及图象知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.[答案] (1)C (2)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 ———————————[即时应用]—————————— 4.(1)对实数a和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1. 设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x－x 2)，x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32B ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞(2)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0) (m >0)．若圆C 上存在点P ，使得 ∠APB ＝90°，则 m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：(1)∵f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2) ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x <－1或x >32.作出其图象，从图象可以看出；c ≤－2时，y ＝f (x )与y ＝c 有两个公共点，即函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点；同样的，－1<c <－34也满足要求，故选B.(2)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O的最大距离．因为|OC |＝ 32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.答案：(1)B (2)B[数学思想专练(一)]一、选择题1．(2018届高三·浙江五校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则S n ＋64a n的最小值为( )A ．7B ．8 C.152D.172解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝4，S 10＝10a 1＋10×92d ＝110，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，所以a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝2n ＋n n －2×2＝n 2＋n ，所以S n ＋64a n ＝n 2＋n ＋642n ＝n 2＋32n ＋12≥2n 2·32n ＋12＝172，当且仅当n 2＝32n，即n ＝8时取等号，故选D. 2．若关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1<0<x 2<2，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 解析：选B 构造函数f (x )＝x 2＋2kx －1，∵关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1<0<x 2<2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －，f ，f，即⎩⎪⎨⎪⎧－2k ≥0，－1<0，4k ＋3>0，∴－34<k ≤0.3．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R)，又函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧gx ＋x ＋4，x <g x ，g x －x ，x ≥g x则f (x )的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．[－94，＋∞)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)解析：选D 依题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2＋x ＋4，x <x 2－2，x 2－2－x ，x ≥x 2－2，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.画出f (x )的图象，如图所示，从图中可以看出f (x )的值域为(2，＋∞)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0.4．已知f (x )＝e x －e －x＋1，若f (a )＋f (a －2)<2，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，2) C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选A 设g (x )＝e x－e －x，显然有f (x )＝g (x )＋1，且g (x )为奇函数，在R 上是增函数， 因为f (a )＋f (a －2)<2，所以g (a )＋g (a －2)<0，所以g (a )<－g (a －2)＝g (2－a )，所以a <2－a ，所以a <1，选A.5．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的定义域为D ，若所有点(s ，f (t ))(s ，t ∈D )构成一个正方形区域，则a 的值为( )A ．－2B ．－4C ．－8D ．不能确定解析：选B 根据二次函数性质及复合函数的性质，如示意图，设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的两个零点为x 1，x 2，则一定有|x 1－x 2|＝f max (x )，故b 2－4aca 2＝ 4ac －b 24a，a 2＝－4a ，a ＝－4，选B. 6．定义域为R 的偶函数f (x )满足对任意x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18，若函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22C.⎝⎛⎭⎪⎫0，55 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，66 解析：选A ∵f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，令x ＝－1，则f (1)＝f (－1)－f (1)， ∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (1)＝f (－1)，∴f (1)＝0. ∴f (x )＝f (x ＋2)，即函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数， 又∵当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18，令g (x )＝log a (x ＋1) ，则f (x )与g (x )在[0，＋∞)的部分图象如图所示．y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，可化为f (x )与g (x )的图象在(0，＋∞)上至少有三个交点，g (x )在(0，＋∞)上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 3>－2，解得0＜a ＜33，故选A. 二、填空题7．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，y ≤3，x －y ≤1，若z ＝kx ＋y 的最大值为5，且k 为负整数，则k ＝________.解析：利用线性规划的知识画出不等式组表示的可行域如图所示： 其中点A (－2,3)，B (4,3)，C (1,0)，根据线性规划知识可得，目标函数的最优解必在交点处取得，则－2k ＋3＝5或4k ＋3＝5或k ＋0＝5，又k 为负整数，所以k ＝－1.答案：－18．(2017·泰州模拟)在直角△ABC 中，AB ＝2，AC ＝23，斜边BC 上有异于端点的两点E ，F ，且EF ＝1，则AE ―→·AF ―→的取值范围是________．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设E (x,23－3x )，Fx ＋12，332－3x ，其中0<x <32，所以AE ―→·AF ―→＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋()23－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫332－3x ＝4x 2－10x ＋9.设f (x )＝4x 2－10x ＋9⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <32，则其图象的对称轴为x ＝54，其值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，9，所以AE ―→·AF ―→的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，9.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，99.如图，设直线m ，n 相交于点O ，且夹角为30°，点P 是直线m 上的动点，点A ，B 是直线n 上的定点．若|OA ―→|＝|AB ―→|＝2，则PA ―→·PB ―→的最小值是________．解析：以OB 所在直线为x 轴，过O 且垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图的坐标系，则A (2,0)，B (4,0)，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，33a ，则PA ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫2－a ，－33a ，PB ―→＝4－a ，－33a ，所以PA ―→·PB ―→＝(2－a )(4－a )＋13a 2＝43a 2－6a ＋8＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫a －942＋54≥54，所以PA ―→·PB ―→的最小值为54. 答案：54三、解答题10．已知函数f (x )＝|4x －x 2|－a ，当函数有4个零点时，求a 的取值范围． 解：∵函数f (x )＝|4x －x 2|－a 有4个零点， ∴方程|4x －x 2|＝a 有4个不同的解． 令g (x )＝|4x －x 2|＝⎩⎪⎨⎪⎧4－x －2， 0≤x ≤4，x －2－4，x <0或x >4.作出g (x )的图象，如图所示，由图象可以看出， 当h (x )＝a 与g (x )有4个交点时，0<a <4， ∴a 的取值范围为(0,4)．11．已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0， 解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ， 显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋n －2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.12.已知椭圆C 的离心率为32，点A ，B ，F 分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且S △ABF＝1－32. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋m 被圆O ：x 2＋y 2＝4所截得的弦长为23，若直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，求△OMN 面积的最大值．解：(1)由题意，知椭圆C 的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知得e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2，即a ＝2b ，① 可得c ＝3b .②S △ABF ＝12|AF ||OB |＝12(a －c )b ＝1－32.③ 联立①②③，解得b ＝1，a ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意，知圆心O 到直线l 的距离d ＝22－32＝1，即|m |1＋k2＝1，故有m 2＝1＋k 2，④由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m消去y 并整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋k 2x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0. 因为Δ＝4k 2－m 2＋1＝3k 2>0，所以k ≠0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1， x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，所以|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋12－4×4m 2－44k 2＋1＝k 2－m 2＋k 2＋2，⑤将④代入⑤，得|x 1－x 2|2＝48k 2k 2＋2，故|x 1－x 2|＝43|k |4k 2＋1，|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝43k 2k 2＋4k 2＋1，故△OMN 的面积S ＝12|MN |×d ＝23k 2k 2＋4k 2＋1.令t ＝4k 2＋1>1，则S ＝23×t －14×⎝⎛⎭⎪⎫t －14＋1t 2＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －132＋49. 所以当t ＝3，即k ＝±22时，S max ＝32×49＝1. 第二讲分类讨论、转化与化归思想 一、分类讨论思想类型一 由参数引起的分类讨论 [例1] 已知函数f (x )＝x ＋ax(x >0)．(1)若a <0，试用定义证明：f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)若a >0，当x ∈[1,3]时，不等式f (x )≥2恒成立，求a 的取值范围． [解] (1)证明：若a <0，设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－a x 1x 2. 因为x 1－x 2<0,1－ax 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)若a >0，则f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． ①若0<a ≤1，则f (x )在[1,3]上单调递增，f (x )min ＝f (1)＝1＋a . 所以1＋a ≥2，即a ≥1，所以a ＝1.②若1<a <9，则f (x )在[1，a ]上单调递减，在[a ，3]上单调递增，f (x )min ＝f (a )＝2a .所以2a ≥2，即a ≥1，所以1<a <9.③若a ≥9，则f (x )在[1,3]上单调递减，f (x )min ＝f (3)＝3＋a3.所以3＋a3≥2，即a ≥－3，所以a ≥9.综合①②③得a 的取值范围为[1，＋∞)．——————————[即时应用]————————— 1.已知函数f (x )＝sin x ，g (x )＝mx －x 36(m ∈R)．(1)求曲线y ＝f (x )在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4处的切线方程；(2)求函数g (x )的单调递减区间．解：(1)由题意得所求切线的斜率k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos π4＝22，切点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22，则切线方程为y －22＝22⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，即x －2y ＋1－π4＝0. (2)g ′(x )＝m －12x 2.①当m ≤0时，g ′(x )≤0，则g (x )的单调递减区间是(－∞，＋∞)； ②当m ＞0时，令g ′(x )＜0， 解得x ＜－2m 或x ＞2m ，则g (x )的单调递减区间是(－∞，－2m ) ，(2m ，＋∞)． 综上所述，m ≤0时，g (x )的单调递减区间是(－∞，＋∞)；m ＞0时，g (x )的单调递减区间是(－∞，－2m )，(2m ，＋∞)．——————————[典例示范]———————— 类型二 由概念、法则、公式引起的分类讨论[例2] 已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)由已知条件可得S n n＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ∴S n ＝2n 2－n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3， 当n ＝1时，a 1＝1，而4×1－3＝1，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)可得b n ＝(－1)na n ＝(－1)n(4n －3)， 当n 为偶数时，T n ＝－1＋5－9＋13－17＋…＋(4n －3)＝4×n2＝2n ，当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝2(n ＋1)－(4n ＋1)＝－2n ＋1.综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n ＝2k ，k ∈N *，－2n ＋1，n ＝2k －1，k ∈N *.————————————[即时应用]—————————2.(1)若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0(n ＝1,2，3，…)，则q 的取值范围为________． 解析：(1)若a >1，有a 2＝4，a －1＝m ，故a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意，若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意．(2)因为{a n }是等比数列，S n >0，可得a 1＝S 1>0，q ≠0. 当q ＝1时，S n ＝na 1>0； 当q ≠1时，S n ＝a 1－qn1－q>0，即1－q n1－q >0(n ∈N *)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－q >0，1－q n>0，或⎩⎪⎨⎪⎧1－q <0，1－q n<0，即－1<q <1或q >1，故q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． 答案：(1)14(2)(－1,0)∪(0，＋∞)二、转化与化归思想—————————[典例示范]———————— 类型一 形与数的转化[例3] (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |； (2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．[解] (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t .又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ， 故直线ON 的方程为y ＝p tx ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t2p .因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点． 理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0， 解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点．———————————[即时应用]———————————3.(1)(2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34(2)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，点E 为AD 的中点，现分别沿BE ，CE 将△ABE ，△DCE 翻折，使得点A ，D 重合于F ，此时二面角E ­BC ­F 的余弦值为________．解析：(1)如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)．设E (0，m )，由PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |，则|MF |＝ma －ca.① 又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m a ＋c2a.②由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，∴e ＝c a ＝13.故选A.(2)如图所示，取BC 的中点P ，连接EP ，FP ，由题意得BF ＝CF ＝2，∴PF ⊥BC ，又EB ＝EC ，∴EP ⊥BC ，∴∠EPF 为二面角E ­BC ­F 的平面角，而FP ＝FB 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC 2＝72，在△EPF 中，cos ∠EPF ＝EP 2＋FP 2－EF 22EP ·FP ＝4＋74－942×2×72＝74. 答案：(1)A (2)74—————————[典例示范]————————— 类型二 常量与变量的转化[例4] 设y ＝(log 2x )2＋(t －2)log 2x －t ＋1，若t 在[－2,2]上变化时，y 恒取正值，求x 的取值范围．[解] 设y ＝f (t )＝(log 2x －1)t ＋(log 2x )2－2log 2x ＋1， 当x ＝2时，f (t )＝0，所以x ≠2， 故f (t )是一次函数，当t ∈[－2,2]时，f (t )>0恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧f －，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－4log 2x ＋3>0，2x2－1>0，解得log 2x <－1或log 2x >3. ∴0<x <12或x >8，∴x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞)． ———————————[即时应用]——————————4.(1)对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________．(2)设f (x )是定义在R 上的单调递增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为________．解析：(1)设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 当x ＝1时，f (p )＝0，所以x ≠1. 要使f (p )在0≤p ≤4上恒正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f ，f，即⎩⎪⎨⎪⎧x －x －，x 2－1>0，解得x >3或x <－1.(2)∵f (x )是R 上的增函数． ∴1－ax －x 2≤2－a ，a ∈[－1,1]．即(x －1)a ＋x 2＋1≥0，对a ∈[－1,1]恒成立． 令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1.则⎩⎪⎨⎪⎧g －＝x 2－x ＋2≥0，g ＝x 2＋x ≥0，解得x ≥0或x ≤－1.即实数x 的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)．答案：(1)(－∞，－1)∪(3，＋∞) (2)(－∞，－1]∪[0，＋∞)[数学思想专练(二)]一、选择题1．设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选B 当a >1时，则集合A ＝{x |x ≤1或x ≥a }，则A ∪B ＝R ，可知a －1≤1，即a ≤2，故1<a ≤2；当a ＝1时，则集合A ＝R ，显然A ∪B ＝R ，故a ＝1； 当a <1时，则集合A ＝{x |x ≥1或x ≤a }， 由A ∪B ＝R ，可知a －1≤a ，显然成立，故a <1； 综上可知，a 的取值范围是a ≤2.故选B 项．2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B ∵b cos C ＋c cos B ＝b ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 22a＝2a22a ＝a ＝a sin A ，∴sin A ＝1. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π2，即△ABC 是直角三角形．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则f (x )≤2时x 的取值范围是( )A ．[0，＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：选A 当x ≤1时，21－x≤2⇒x ≥0；当x >1时，1－log 2x ≤2⇒log 2x ≥－1＝log 2 2－1⇒x ≥2－1＝12.综上得，x 的取值范围为[0，＋∞)．4．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于( )A.12或32 B.23或2C.12或2 D.23或32解析：选A 不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0，若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ，|F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ，|F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32. 5．如果正整数a 的各位数字之和等于6，那么称a 为“好数”(如：6,24,2 013等均为“好数”)，将所有“好数”从小到大排成一列a 1，a 2，a 3，…，若a n ＝2 013，则n ＝( )A ．50B ．51C ．52D ．53解析：选B 本题可以把数归为“四位数”(含0 006等)，因此比2 013小的“好数”为0×××，1×××，2 004，共三类数，其中第一类可分为：00××，01××，…，0 600，共7类，共有7＋6＋…＋2＋1＝28个数；第二类可分为：10××，11××，…，1 500，共6类，共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个数，第三类：2 004,2 013，…，故2 013为第51个数，故n ＝51，选B.6．(2017·南昌模拟)点P 是底边长为23，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN 是该棱柱内切球的一条直径，则PM ―→·PN ―→的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[0,3]C ．[0,4]D ．[－2,2]解析：选C 由题意知内切球的半径为1，设球心为O ，则PM ―→·PN ―→＝(PO ―→＋OM ―→)·(PO ―→＋ON ―→)＝PO ―→2＋PO ―→·(OM ―→＋ON ―→)＋OM ―→·ON ―→＝|PO ―→|2－1，且1≤|OP |≤5，∴PM ―→·PN ―→∈[0,4]．二、填空题7．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )>0，则实数p 的取值范围为________．解析：如果在[－1,1]内没有值满足f (c )>0，则⎩⎪⎨⎪⎧f－，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32，解得p ≤－3或p ≥32，取补集为－3<p <32，即为满足条件的p 的取值范围．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－3，328．(2017·丽水模拟)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因此|OM |的最小值为点O 到直线x ＋y －2＝0的距离，所以|OM |min ＝|－2|2＝ 2.答案： 29．(2017·郑州质检)过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p >0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则p 的值是________．解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得，y ′＝x p ，切线MA 的方程是y －y 1＝x 1p(x －x 1)，即y ＝x 1p x －x 212p.又点M (2，－2p )位于直线MA 上，于是有－2p ＝x 1p ×2－x 212p，即x 21－4x 1－4p 2＝0； 同理有x 22－4x 2－4p 2＝0，因此x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2. 由线段AB 的中点的纵坐标是6，得y 1＋y 2＝12，即x 21＋x 222p ＝x 1＋x 22－2x 1x 22p ＝12，16＋8p 22p＝12，解得p ＝1或p ＝2. 答案：1或2 三、解答题10．已知a ∈R ，函数f (x )＝23x ＋12，h (x )＝x ，解关于x 的方程log 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤32fx －－34＝log 2h (a －x )－log 2h (4－x )．解：原方程可化为log 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －16－34＝log 2a －x －log 24－x ，即log 4(x －1)＝log 2a －x －log 24－x ＝log 2a －x4－x， ①当1<a ≤4时，1<x <a ，则x －1＝a －x4－x，即x 2－6x ＋a ＋4＝0，Δ＝36－4(a ＋4)＝20－4a >0， 此时x ＝6±20－4a2＝3±5－a ， ∵1<x <a ，此时方程仅有一解x ＝3－5－a . ②当a >4时，1<x <4，由x －1＝a －x 4－x，得x 2－6x ＋a ＋4＝0，Δ＝36－4(a ＋4)＝20－4a ，若4<a <5，则Δ>0，方程有两解x ＝3±5－a ； 若a ＝5时，则Δ＝0，方程有一解x ＝3；③由函数有意义及②知，若a ≤1或a >5，原方程无解． 综合以上讨论，当1<a ≤4时，方程仅有一解x ＝3－5－a ； 当4<a <5，方程有两解x ＝3±5－a ； 当a ＝5时，方程有一解x ＝3； 当a ≤1或a >5时，原方程无解．11．(2017·嘉兴模拟)在正项数列{a n }中，a 1＝3，a 2n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值，判断a n 与2的大小关系并证明； (2)求证：|a n －2|<14|a n －1－2|(n ≥2)；(3)求证：|a 1－2|＋|a 2－2|＋…＋|a n －2|<43.解：(1)a 2＝a 1＋2＝5，a 3＝a 2＋2＝5＋2.由题设，a 2n －4＝a n －1－2，(a n －2)(a n ＋2)＝a n －1－2. 因为a n ＋2>0，所以a n －2与a n －1－2同号． 又a 1－2＝1>0，所以a n －2>0(n ≥2)，即a n >2. (2)证明：由题设，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n －2a n －1－2＝1a n ＋2，由(1)知，a n >2，所以1a n ＋2<14，因此⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n －2a n －1－2<14， 即|a n －2|<14|a n －1－2|(n ≥2)．(3)证明：由(2)知，|a n －2|<14|a n －1－2|，因此|a n －2|<14n －1|a 1－2|＝14n －1(n ≥2)．因此|a 1－2|＋|a 2－2|＋…＋|a n －2|<1＋14＋142＋…＋14n －1＝1－14n1－14＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <43.12．已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1，过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x 21＋y 21＝λ，3x 22＋y 22＝λ，两式相减得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.由题意，知x 1≠x 2，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 2y 1＋y 2.因为N (1,3)是弦AB 的中点， 所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝6， 所以k AB ＝－1.所以弦AB 所在直线的方程为y －3＝－(x －1)，即x ＋y －4＝0. 又N (1,3)在椭圆内， 所以λ>3×12＋32＝12.所以λ的取值范围是(12，＋∞)．(2)因为弦CD 垂直平分弦AB ，所以弦CD 所在直线的方程为y －3＝x －1，即x －y ＋2＝0， 将其代入椭圆的方程， 整理得4x 2＋4x ＋4－λ＝0.①设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，弦CD 的中点为M (x 0，y 0)， 则x 3，x 4是方程①的两个根．所以x 3＋x 4＝－1，x 0＝12(x 3＋x 4)＝－12，y 0＝x 0＋2＝32，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 所以点M 到直线AB 的距离d ＝－12＋32－412＋12＝322.所以以弦CD 的中点M 为圆心且与直线AB 相切的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝92.。

专题能力训练19 排列、组合与二项式定理能力突破训练1.某电视台的一个综艺栏目对含甲、乙在内的六个不同节目排演出顺序,第一个节目只能排甲或乙,最后一个节目不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种2.已知的展开式的各项系数和为32,则展开式中x4的系数为()A.5B.40C.20D.103.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.294.若的展开式中含有常数项,则n的最小值等于()A.3B.4C.5D.65.展开式中的常数项为()A.-8B.-12C.-20D.206.某学校组织演讲比赛,准备从甲、乙等八名同学中选派四名同学参加,要求甲、乙两名同学至少有一人参加,且若甲、乙同时参加时,他们的演讲顺序不能相邻,那么不同的演讲顺序的种数为() A.1 860 B.1 320 C.1 140 D.1 0207.若二项式(3-x)n(n∈N*)中所有项的系数之和为a,所有项的系数的绝对值之和为b,则的最小值为()A.2B.C.D.8.(2017辽宁抚顺一模)在某市记者招待会上,需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问,两家电视台均有记者5人,主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问,且这4人中,既有甲电视台记者,又有乙电视台记者,且甲电视台的记者不可以连续提问,则不同的提问方式的种数为()A.1 200B.2 400C.3 000D.3 6009.在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记x m y n项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45B.60C.120D.21010.(2017湖北孝感第一次联考)已知二项式的展开式中含x3的系数为-,则的值为()A. B.C. D.11.(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为.(用数字填写答案)12.(2017山东,理11)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=.13.某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间,每个车间至少分配一名员工,且甲、乙两名员工必须分到同一个车间,则不同分法的种数为.14.在的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于.15.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴全运会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有种.(用数字作答)16.(2017浙江,13)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=,a5=.17.(2017浙江,16)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)18.某高三毕业班有40名同学,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)思维提升训练19.将2名教师、4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有()A.12种B.10种C.9种D.8种20.设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=()A.5B.6C.7D.821.某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛,要求每位同学仅报一科,每科至少有一位同学参加,且甲、乙不能参加同一学科,则不同的安排方法有()A.36种B.30种C.24种D.6种22.若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,则log2(a1+a3+a5+…+a11)等于()A.27B.28C.7D.823.用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)24.1-90+902-903+…+(-1)k90k+…+9010除以88的余数是()A.-1B.1C.-87D.8725.某人根据自己爱好,希望从{W,X,Y,Z}中选2个不同字母,从{0,2,6,8}中选3个不同数字编拟车牌号,要求前3位是数字,后两位是字母,且数字2不能排在首位,字母Z和数字2不能相邻,那么满足要求的车牌号有()A.198个B.180个C.216个D.234个26.(2017江西模拟)若A,B,C,D四人站成一排照相,A,B相邻的排法总数为k,则二项式的展开式中含x2项的系数为.27.设二项式的展开式中x2的系数为A,常数项为B,若B=4A,则a=.28.在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法?(1)有3名内科医生和2名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生;(3)至少有1名主任参加;(4)既有主任,又有外科医生.参考答案专题能力训练19排列、组合与二项式定理能力突破训练1.B解析完成这件事,可分两类:第一类,第一个节目排甲,其余位置有=120种不同的排法;第二类,第一个节目排乙,最后一个节目有4种排法,其余位置有=24种不同的排法.所以共有+4=216种不同的排法.2.D解析令x=1,得2n=32,所以n=5,则(x2)5-r x10-3r.令10-3r=4,得r=2,所以展开式中x4的系数为=10.3.D解析由条件知,∴n=10.∴(1+x)10中二项式系数和为210,其中奇数项的二项式系数和为210-1=29.4.C解析展开式的通项为T r+1=(x6)n-r,因为展开式中含常数项,所以6n-r=0成立,即n=r.当r=4时,n有最小值5.故选C.5.C解析因为,所以T r+1=x6-r=(-1)r x6-2r,所以当r=3时为常数项,常数项为-=-20.6.C解析依题意,就甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的人数进行分类计数:第一类,甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有一人,满足题意的不同的演讲顺序的种数为=960;第二类,甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有两人,满足题意的不同的演讲顺序的种数为=180.因此满足题意的不同的演讲顺序的种数为960+180=1140.故选C.7.B解析令x=1,a=2n,令x=-1,b=4n,=2n+,令t=2n,t≥2,则=2n+=t+2+故选B.8.B解析若4人中,有甲电视台记者1人,乙电视台记者3人,则不同的提问方式总数是=1200,若4人中,有甲电视台记者2人,乙电视台记者2人,则不同的提问方式总数是=1200,若4人中,有甲电视台记者3人,乙电视台记者1人,则不符合主持人的规定,故所有不同提问方式的总数为1200+1200=2400.9.C解析∵(1+x)6展开式的通项为T r+1=x r,(1+y)4展开式的通项为T h+1=y h,∴(1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为x r y h,∴f(m,n)=∴f (3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)==20+60+36+4=120.故选C.10.C解析二项式的展开式的通项公式为T r+1=x9-r x9-2r,令9-2r=3,r=3,将r=3代入得=-,解得a=-1,d x=故选C.11.-20解析(x+y)8的通项为T r+1=x8-r y r(r=0,1,…,8).当r=7时,T8=xy7=8xy7,当r=6时,T7=x2y6=28x2y6,所以(x-y)(x+y)8的展开式中含x2y7的项为x·8xy7-y·28x2y6=-20x2y7,故系数为-20.12.4解析二项展开式的通项T r+1=(3x)r=3r x r,令r=2,得32=54,解得n=4.13.36解析先分组,再分配.共有两种分组情况:2,2,1和3,1,1.①若分成2,2,1三组,共有=18种分法;②若分成3,1,1三组,共有=18种分法.由分类计数原理知,共有18+18=36种分法.14.112解析由二项式定理,得所有项的二项式系数之和为2n,由题意,得2n=256,所以n=8.二项式展开式的通项为T r+1=)8-r=(-2)r,求常数项则令r=0,所以r=2,所以T3=112.15.1 080解析先将6位志愿者分组,共有种方法;再把各组分到不同场馆,共有种方法.由乘法原理知,不同的分配方案共有=1080.16.164解析由二项式展开式可得通项公式为x3-r x2-m2m,分别取r=3,m=1和r=2,m=2可得a4=4+12=16,令x=0可得a5=13×22=4.17.660解析由题意可得,总的选择方法为种方法,其中不满足题意的选法有种方法,则满足题意的选法有:=660种.18.1 560解析该问题是一个排列问题,故共有=40×39=1560条毕业留言.思维提升训练19.A解析将4名学生均分为2个小组共有=3种分法,将2个小组的同学分给两名教师带有=2种分法,最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有=2种分法,故不同的安排方案共有3×2×2=12种.20.B解析:由题意可知,a=,b=,∵13a=7b,∴13=7,即解得m=6.故选B.21.B解析首先从四个人中选择2个人作为一组,其余2个人各自一组分派到三个竞赛区,共有种方法,再将甲、乙参加同一学科的种数排除,继而所求的安排方法有=30种,故答案为B.22.C解析令x=-1,得a0+a1+a2+…+a12=28,①令x=-3,得a0-a1+a2-a3+…+a12=0,②由①-②,得2(a1+a3+…+a11)=28,∴a1+a3+…+a11=27,∴log2(a1+a3+…+a11)=7.23.A解析本题可分三步:第一步,可取0,1,2,3,4,5个红球,有1+a+a2+a3+a4+a5种取法;第二步,取0或5个蓝球,有1+b5种取法;第三步,取5个有区别的黑球,有(1+c)5种取法.所以共有(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5种取法.故选A.24.B解析1-90+902+…+(-1)k90k+…+9010=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+889+…+88+1,∵前10项均能被88整除,∴余数是1.25.A解析不选2时,有=72种;选2,不选Z时,有=72种;选2,选Z时,2在数字的中间,有=36种,当2在数字的第三位时,有=18种,根据分类计数原理,共有72+72+36+18=198,故选A.26解析由题设k=2=12,所以T r+1=x r,则由题设r=2,所以含x2项的系数为=66,应填答案6-r=(-a)r x6-2r,令6-2r=2,得r=2,A=a2=15a2;令6-2r=0,得27.-3解析Tr=3,B=-a3=-20a3,代入B=4A得a=-3.28.解(1)先选内科医生有种选法,再选外科医生有种选法,故选派方法的种数为=120.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,易得出选派方法的种数为=246.若从反面考虑,则选派方法的种数为=246.(3)分两类:一是选1名主任有种方法;二是选2名主任有种方法,故至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.若从反面考虑:至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.(4)若选外科主任,则其余可任选,有种选法.若不选外科主任,则必选内科主任,且剩余的四人不能全选内科医生,有种选法.故有选派方法的种数为=191.。

高考小题标准练 ( 十九 )一、选择题满分 80 分，实战模拟，40 分钟拿下高考客观题满分！( 本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的)1. 设会合A={x|x=2n-1， n∈ Z} ， B={x|(x+2)(x-3)<0}，则A∩ B=()A.{-1， 0，1， 2}B.{-1， 1}C.{1}D.{1，3}【分析】选B. 会合 A 的元素由奇数构成，B={x|-2<x<3}，因此A∩ B={-1 ， 1}.2. 若=ti(i为虚数单位， a， t ∈ R)，则 t+a 等于 ()A.-1B.0C.1D.2【分析】选 A. 由于===+i=ti，因此解得因此t+a=-1.3. 已知圆锥曲线mx2+y2=1 的一个焦点与抛物线x2=8y的焦点重合，则此圆锥曲线的离心率为()A.2B.C. D.不可以确定【分析】选 A. 抛物线 x2=8y 的焦点为 (0 ，2) ，圆锥曲线mx2+y2=1 的一个焦点与抛物线x2=8y 的焦点重合，可知圆锥曲线是焦点在y 轴上的双曲线，可得双曲线a=1， c=2，因此离心率为 2.4.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明朝数学家程大位所著，该著作完美了珠算口诀，确定了算盘用法，达成了由盘算到珠算的完全转变，对我公民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用. 如下图的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，履行该程序框图，若输出的m的值为0，则输入的 a 的值为A. B. C. D.【分析】选 C. 开端：m=2a-3，i=1，第一次循环：m=2(2a-3)-3=4a-9， i=2 ；第二次循环：m=2(4a-9)-3=8a-21， i=3 ；第三次循环：m=2(8a-21)-3=16a-45， i=4；接着可得m=2(16a-45)-3=32a-93，此时跳出循环，输出m的值为 32a-93. 令 32a-93=0 ，解得 a=.5.定义在 R上的函数 f(x)=2 |x-m| -1 为偶函数，记 a=f(log0.5 3)，b=f(log25)，c=f(2m)，则 ()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a【分析】选 C. 由于f(x)为偶函数，因此m=0，因此f(x)=2|x|-1 ，因此 a=f(log0.53)=f(-log3)=-1=2 ，2b=-1=4 ， c=f(0)=20-1=0 ，因此 c<a<b.6. 已知数列 {a n} 为等差数列，S n为其前 n 项和，且 a2=3a4-6 ，则 S9等于 ()A.25B.27C.50D.54【分析】选B. 设数列 {a n} 的首项为a1，公差为d，由于a2 =3a4-6 ，因此a1+d=3(a 1+3d)-6，所以 a5=3. 因此 S9=9a5=27.7. 如图是某个几何体的三视图，则该几何体的体积是()A. B.2 C.3 D.4【分析】选 A. 几何体为四棱锥，作出直观图如下图：此中侧面PAB⊥底面 ABCD，底面 ABCD是直角梯形， PA=PB，由三视图可知，AB∥CD， AB=BC=2， CD=1，侧面 PAB中 P 到 AB的距离为h=，因此几何体的体积V=S 梯形ABCD· h=×× (2+1)×2×=.8. 在平面直角坐标系点 P 在直线 y=标 t 的范围是 (xOy 中，已知 O(0，0) ，A，曲线(x-1)上，假如曲线 C 上总存在两点到点)C 上任一点P 的距离为M知足 |OM|=4|AM| ，2，那么点P 的横坐A.1<t<3B.1<t<4C.2<t<3D.2<t<4【分析】选 A. 设 M(x， y) ，由于 M知足 |OM|=4|AM| ，因此 x2+y2=16，化简得：(x-4)2+y2=1，因此曲线C： (x-4)2+y2=1，设点P(t，(t-1))，只要点P 到圆心 (4 ，0) 的距离小于2+r即可 .因此 (t-4)2+2(t-1)2<(2+1)2.解得： 1<t<3.9. 函数f(x)=Asin(ω x+ φ )的图象如下图，为了获得g(x)=sin2x的图象，则只要将f(x)的图象()A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度【分析】选 A. 由已知函数 f(x)=Asin(ω x+ φ ) 的图象过点和点，易得：A=1， T=4(- )= π，即ω =2，即f(x)=sin(2x+ φ ) ，将点代入可得，+φ=+2kπ， k∈ Z. 又由于 | φ |<，因此φ =，因此f(x)=sin. 因此将函数f(x)的图象向右平移个单位获得函数g(x)=sin2x的图象.10.抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，N 为准线上一点， M为 y 轴上一点，∠ MNF为直角，若线段MF的中点 E 在抛物线 C 上，则△ MNF的面积为 ()A. B. C. D.3【解题指南】依据抛物线的性质和直角三角形的性质可知出 M， N 的坐标，计算MN， NF即可求出三角形的面积【分析】选 C. 准线方程为x=-1 ，焦点为F(1 ， 0) ，不如设 N 在第三象限，由于∠ MNF为直角， E 是 MF的中点，.NE∥ x轴，进而可得 E 点坐标，求因此 NE= MF=EF，因此 NE∥ x 轴，又 E 为 MF的中点， E 在抛物线 y2 =4x 上，因此 E，因此 N(-1 ，-) ， M(0， -2) ，因此 NF=，MN=，因此 S△MNF= MN·NF=.11. 体积为18的正三棱锥A-BCD的每个极点都在半径为R的球O的球面上，球心O在此三棱锥内部，且R∶ BC=2∶ 3，点 E 为线段BD上一点，且DE=2EB，过点 E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是()A.[4 π， 12π ]B.[8 π， 16π ]C.[8 π， 12π ]D.[12 π， 16π ]【分析】选 B. 设 BC=3a，则 R=2a，由于体积为18的正三棱锥A-BCD的每个极点都在半径为R 的球 O的球面上，因此×× 9a2h=18，因此h=，由于 R2=(h-R) 2 +(a) 2，因此 4a2=+3a2，因此 a=2，因此 BC=6， R=4，由于点 E 为线段 BD上一点，且DE=2EB，因此在△ ODB中， OD=OB=4， DB=6， cos∠ ODB= ，因此 OE==2，截面垂直于OE时，截面圆的半径为=2，截面圆面积为8π，以 OE所在直线为直径时，截面圆的半径为 4，截面圆面积为 16π，因此所得截面圆面积的取值范围是 [8 π， 16π ].12. 若对于 x 的不等式 x( 1+lnx)+2k>kx的解集为A，且 ( 2， +∞ ) ? A，则整数k 的最大值是()A.3B.4C.5D.6【分析】选 B. 对于 x 的不等式x(1+lnx)+2k>kx的解集为A，且 (2 ，+∞ ) ? A，因此当 x>2 时， x(1+lnx)>k(x-2) 恒建立，即k<恒建立，令 h(x)=，h′ (x)=，x>2.令φ (x)=x-4-2lnx，φ′ (x)=1->0，因此φ (x) 在 (2 ， +∞ ) 上单一递加，由于φ (8)=4-2ln8<0，φ (9)=5-2ln9>0，方程φ (x)=0在(2，+∞ )上存在独一实根x0，且知足x0∈ (8 ， 9).则φ (x 0)=x 0-4-2lnx0=0，即x0-4=2lnx 0.当 x∈ (2 ，x0) 时，φ (x)<0 ， h′(x)<0 ，当x∈ (x 0， +∞ ) 时，φ (x)>0 ， h′ (x)>0.故 h(x) 在 (2 ， x0) 上单一递减，在(x 0， +∞) 上单一递加 .故 h(x) 的最小值为h(x 0)===∈.因此整数k 的最大值为 4.二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 . 请把正确答案填在题中横线上)213.(1+2x )的睁开式中常数项为________.【分析】先求的睁开式中常数项以及含x-2的项 .r+1x 8-r=(-1)rx8-2r，T =由 8-2r=0 得 r=4 ，由 8-2r=-2 得 r=5 ；即的睁开式中常数项为，含 x-2的项为(-1) 5x-2，因此 (1+2x 2)的睁开式中常数项为-2=-42.答案： -4214. 已知向量 | a|=2 ，b 与 ( b- a ) 的夹角为30°，则 | b | 最大值为 ________.【分析】以 a， b 为邻边作平行四边形ABCD，设= a ，= b ，则 = b - a ，由题意∠ ADB=30°，设∠ ABD=θ，由于 |a |=2 ，因此在△ ABD中，由正弦定理可得，=，因此 AD=4sin θ≤ 4.即| b | 的最大值为 4.答案： 415. 不等式组表示的平面地区为Ω，直线x=a(a>1)将Ω分红面积之比为 1∶ 4 的两部分，则目标函数z=ax+y 的最大值为 ________.【分析】由拘束条件作出可行域如图暗影所示( 含界限 ) ，联立解得因此A(4，1).联立解得因此B(-1，1).由于直线x=a(a>1) 将Ω分红面积之比为1∶ 4 的两部分，因此(4-a) ·=×=，解得a=2(a=6舍去).因此目标函数z=ax+y=2x+y ，化为 y=-2x+z ，由图可知，当直线y=-2x+z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为9.答案： 916. 已知函数 f(x)=(x2-ax)e x(x ∈R)，a 为实数，若函数 f(x)在闭区间 [-1 ，1] 上不是减函数，则实数 a 的取值范围是 ________.【分析】若函数 f(x)在闭区间 [-1 ，1] 上是减函数，则等价为 f ′ (x) ≤ 0 在闭区间 [-1， 1]上恒建立，由 f(x)=(x2-ax)e x， x ∈R 得 f ′ (x)=(2x-a)e x +(x 2-ax)e x = [x 2+(2-a)x-a]e x. 记g(x)=x 2+(2-a)x-a ，依题意有当 x∈ [-1 ， 1] 时， g(x) ≤ 0恒建立，联合 g (x) 的图象特点得即 a≥，即函数f(x)在闭区间[-1，1]上是减函数的等价条件是 a≥，因此若函数f(x)在闭区间[-1，1]上不是减函数，则a<，即实数 a 的取值范围为.答案：。

专题二 巧做高考题型第一讲六招秒杀选择题——快得分选择题具有概括性强，知识覆盖面广，小巧灵活等特点．注重多个知识点的小型综合，侧重于考查学生是否能迅速选出正确答案，解题手段不拘常规，有利于考查学生的选择、判断能力．常用方法分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，时间可能不允许，因此，我们还要研究解答选择题的一些间接法的应用技巧．其基本解答策略是：充分利用题干和选项所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解．总的来说，选择题属于小题，尽量避免“小题大做”．在考场上，提高了解题速度，也是一种制胜的法宝．准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．[例1] (2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4.[答案] C直接法是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错．1．两个正数a ，b 的等差中项是92，一个等比中项是25，且a >b ，则抛物线y 2＝－b ax 的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－516，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，0 解析：选B 由两个正数a ，b 的等差中项是92，得a ＋b ＝9；a ，b 的一个等比中项是25，得ab ＝20，且a >b ，故a ＝5，b ＝4.又由b a ＝45＝2p ，得p 2＝15，故抛物线y 2＝－b a x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，0.从题干(或选项)数或图形位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．[例2] 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减．则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D. (0,2][解析] 根据三角函数的性质利用特殊值法代入逐项判断： ∵ω＝2时，2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，9π4，不合题意，∴排除D.∵ω＝1时，x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，合题意，∴排除B 、C ，故选A.[答案] A特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．2．函数y ＝a x－1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )解析：选D 函数y ＝a x－1a(a >0，a ≠1)恒过(－1,0)，选项只有D 符合，故选D.分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法．[例3] 设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y 有( ) A ．[－x ]＝－[x ] B ．[2x ]＝2[x ] C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D ．[x －y ]≤[x ]－[y ][解析] 选项A ，取x ＝1.5，则[－x ]＝[－1.5]＝－2，－[x ]＝－[1.5]＝－1，显然[－x ]≠－[x ]；选项B ，取x ＝1.5，则[2x ]＝[3]＝3,2[x ]＝2[1.5]＝2，显然[2x ]≠2[x ]；选项C ，取x ＝y ＝1.6，则[x ＋y ]＝[3.2]＝3，[x ]＋[y ]＝[1.6]＋[1.6]＝2，显然[x ＋y ]>[x ]＋[y ]．排除A ，B ，C ，故选D.[答案] D排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．3．函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )解析：选D 由题意知，函数是奇函数，图象关于坐标原点对称，当0<x <π2时，显然y >0，而当x ＝π时，y ＝－π<0，据此排除选项A ，B ，C.习惯上也叫数形结合法．有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合图象的特征，得出结论．图形化策略就是以数形结合的数学思想为指导的一种解题策略．[例4] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，fx ＋，x <0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3等．若直线y ＝kx ＋k (k >0)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 [解析] 直线y ＝kx ＋k (k >0)恒过定点(－1,0)，在同一直角坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝kx ＋k (k >0)的图象，如图所示，因为两个函数图象恰好有三个不同的交点，所以14≤k <13.[答案] B涉及函数零点问题，一般有两种题型，且都可以利用数形结合法求解．(1)求解方程根的个数．画出相关的两个函数的图象，则两函数图象的交点个数即是函数零点的个数；(2)讨论图象交点问题的参数范围，如本例就是利用图象中直线y ＝kx ＋k (k >0)与函数y ＝f (x )图象恰有三个不同的交点，得到实数k 的取值范围．4．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．2解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为212＋22＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45. 因为P 在圆C 上，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ.又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.正确结论的方法．这类题目一般是给出一个创新定义，或涉及一些似是而非、容易混淆的概念或性质，需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时多加小心．[例5] 对于函数f (x )和g (x )，设α∈{x |f (x )＝0}，β＝{x |g (x )＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”．若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是( )A ．[2,4]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，73 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，3 D ．[2,3][解析] 函数f (x )＝ex －1＋x －2的零点为x ＝1，设g (x )＝x 2－ax －a ＋3的零点为b ，若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b |≤1，∴0≤b ≤2.由于g (x )＝x 2－ax －a ＋3＝x 2＋3－a (x ＋1)必经过点(－1,4)，∴要使其零点在区间[0,2]上，则⎩⎪⎨⎪⎧g ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a ·a2－a ＋3≤0，解得2≤a ≤3.[答案] D函数的创新命题是高考的一个亮点，此类题型是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，要求考生在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题．解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的信息进行有效整合，并转化为熟悉的知识加以解决．5．若对于定义在R 上的函数f (x )，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f (x ＋λ)＋λf (x )＝0对任意实数都成立，则称f (x )是一个“λ伴随函数”．下列是关于“λ伴随函数”的结论：①f (x )＝0不是常数函数中唯一一个“λ伴随函数”；②f (x )＝x 是“λ伴随函数”；③f (x )＝x 2是“λ伴随函数”；④“12伴随函数”至少有一个零点．其中正确的结论个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由题意得，①正确，如f (x )＝c ≠0，取λ＝－1，则f (x －1)－f (x )＝c －c ＝0，即f (x )＝c ≠0是一个“λ伴随函数”；②不正确，若f (x )＝x 是一个“λ伴随函数”，则x ＋λ＋λx ＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾；③不正确，若f (x )＝x 2是一个“λ伴随函数”，则(x ＋λ)2＋λx 2＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾；④正确，若f (x )是“12伴随函数”，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12f (x )＝0，取x ＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12f (0)＝0，若f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12任意一个为0，则函数f (x )有零点；若f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12均不为0，则f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12异号，由零点存在性定理知，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12区间内存在零点，所以有两个结论正确.只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义．估算法往往可以减少运算量，快速找到答案．[例6] 如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )A.92 B ．5 C ．6D.152[解析] 连接BE ，CE ，四棱锥E ­ABCD 的体积为V E ­ABCD ＝13×3×3×2＝6，又多面体ABCDEF 的体积大于四棱锥E­ABCD的体积，即所求几何体的体积V>V E­ABCD＝6，而四个选项里面大于6的只有15，故选D.2[答案] D本题既用了估算法又用了排除法，解题的关键是利用θ的范围求sin θ的范围一定要准确，否则将达不到解题的目的或解答错误．6.(2017·宁波效实中学模拟)图中阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H)，则该函数的大致图象是( )解析：选B 由图知，随着h的增大，阴影部分的面积S逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.第二讲分类智取填空题——稳得分填空题具有小巧灵活、结构简单、运算量不大等特点．(1)根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：①定量型：要求考生填写数值、数集或数量关系；②定性型：要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质．(2)根据填空题出题设问的多少，又可以将填空题分成两类形式：①单空题：与全国卷出题方式相同，一题一空，根据一般填空题的特点，四招速解；②多空题：是浙江高考填空题的一大特色，一题多空，出题的目的是提高知识覆盖面的考查，降低难度，让学生能分步得分；本质上来说和单空题区别无非就是多填一空，其解题方法和单空题相同，但多空题有它自身的特色，搞清多空之间设问的关系能使我们的解题事半功倍．解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格．在解填空题时要做到：一、单空题——四招速解于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题．[例1] (2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cosC ＝513，a ＝1，则b ＝________.[解析] 因为A ，C 为△ABC 的内角，且cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，所以sin B ＝sin(π－A －C )＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又a ＝1，所以由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝6365×53＝2113. [答案]2113直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．1．(2017·北京高考)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则a 4＝－1＋3d ＝8，解得d ＝3；b 4＝－1·q 3＝8，解得q ＝－2.所以a 2＝－1＋3＝2，b 2＝－1×(－2)＝2，所以a 2b 2＝1.答案：1时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例．[例2] 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP ―→·AC ―→＝________.[解析] 法一：AP ―→·AC ―→＝AP ―→·(AB ―→＋BC ―→)＝AP ―→·AB ―→＋AP ―→·BC ―→＝AP ―→·AB ―→＋AP ―→·(BD ―→＋DC ―→) ＝AP ―→·BD ―→＋2AP ―→·AB ―→， ∵AP ⊥BD ，∴AP ―→·BD ―→＝0.又∵AP ―→·AB ―→＝|AP ―→||AB ―→|cos ∠BAP ＝|AP ―→|2， ∴AP ―→·AC ―→＝2|AP ―→|2＝2×9＝18. 法二：把平行四边形ABCD 看成正方形， 则P 点为对角线的交点，AC ＝6， 则AP ―→·AC ―→＝18. [答案] 18求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．本题中的法二把平行四边形看作正方形，从而减少了计算量．2．若函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，则f (2 018)＝________.解析：取x ＝1，y ＝0时，有f (0)＝f (1)＋f (1)＝12，取x ＝1，y ＝1时，有14＝f (2)＋f (0)，f (2)＝－14.取x ＝n ，y ＝1，有f (n )＝f (n ＋1)＋f (n －1)，同理f (n ＋1)＝f (n ＋2)＋f (n )，联立得f (n ＋2)＝－f (n －1)，可得f (n ＋6)＝f (n )，所以f (x )是以6为周期的函数，故f (2 018)＝f (2)＝－14. 答案：－14过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形．[例3] 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是________．[解析] 如图，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，∵(a －c )·(b －c )＝0，∴点C 在以AB 为直径，AB 的中点为圆心的圆上，故|OC |的最大值为圆的直径，即|AB |的长为 2.[答案]2图象分析法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．3．不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |－π2·sin x <0，x ∈[－π，2π]的解集为________． 解析：在同一坐标系中分别作出y ＝|x |－π2与y ＝sin x 的图象：根据图象可得不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪(π，2π)． 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪(π，2π)程．构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的．[例4] 如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．[解析] 如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD |＝22＋22＋22＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.[答案]6π构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决.4．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________. 解析：由a n ＋1＝2a n ＋3， 则有a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)， 即a n ＋1＋3a n ＋3＝2. 所以数列{a n ＋3}是以a 1＋3＝4为首项，公比为2的等比数列， 即a n ＋3＝4·2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－3.答案：2n ＋1－3二、多空题——辨式解答空的答案，两空并答，题目比较简单，会便全会，这类题目在高考中一般涉及较少，常考查一些基本量的求解，一般是多空题的第一个题目．[例1] (2016·浙江高考)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________.[解析] ∵2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，∴A ＝2，b ＝1. [答案]2 1[点评] 例1中根据题设条件把2cos 2x ＋sin 2x 化成1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4后，对比原条件恒等式两边可直接得出两空的结果，A ＝2，b ＝1.1．(2015·浙江高考)双曲线x 22－y 2＝1的焦距是______，渐近线方程是________________．解析：由双曲线标准方程，知双曲线焦点在x 轴上，且a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝3，即c ＝3，∴焦距2c ＝23，渐近线方程为y ＝±ba x ，即y ＝±22x . 答案：2 3 y ＝±22x什么具体联系，各自成题，是对于多个知识点或某知识点的多个角度的考查；两问之间互不干扰，不会其中一问，照样可以答出另一问．[例2] (1)(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3.(2)(2015·浙江高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，x 2＋，x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．[解析] (1)由三视图知该几何体是一个组合体，左边是一个长方体，交于一点的三条棱的长分别为 2 cm,4 cm,2 cm ，右边也是一个长方体，交于一点的三条棱的长分别为2 cm,2 cm ，4 cm.几何体的表面积为(2×2＋2×4＋2×4)×2×2－2×2×2＝72(cm 2)， 体积为2×2×4×2＝32(cm 3)．(2)∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝1＋2－3＝0. 当x ≥1时，x ＋2x－3≥2x ·2x －3＝22－3，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时等号成立， 此时f (x )min ＝22－3＜0；当x ＜1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0， 此时f (x )min ＝0.所以f (x )的最小值为22－3. [答案] (1)72 32 (2)0 22－3[点评] 例2(1)中根据题设条件三视图得出其几何体的直观图后，由面积的相关公式求出几何体的面积，由体积的相关公式求出其体积；例2(2)中，两空都是在已知一分段函数的解析式，考查两方面的知识，分别求出函数的值和函数的最值．2．(2015·浙江高考)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是____________．解析：∵f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝12sin 2x －12cos 2x ＋32＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，∴函数f (x )的最小正周期T ＝π. 令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解之可得函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z)． 答案：π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z)进行作答，第一空是解题的关键也是难点，只要第一空会做做对，第二空便可顺势解答．[例3] (2016·浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________.[解析] ∵a n ＋1＝2S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1， ∴S n ＋1＝3S n ＋1， ∴S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫S n ＋12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，∴S 2＋12S 1＋12＝3.又S 2＝4，∴S 1＝1，∴a 1＝1， ∴S 5＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，∴S 5＝121. [答案] 1 121[点评] 例3中根据题设条件求出a 1＝1后，再根据等比数列的求和公式求出S 5.第二空的解答是建立在第一空解答的基础上的，只有求出第一空才能求得第二空.3．(2017·台州模拟)以坐标原点O 为圆心，且与直线x ＋y ＋2＝0相切的圆方程是________，圆O 与圆x 2＋y 2－2y －3＝0的位置关系是________．解析：由题意所求圆的半径等于原点O 到直线x ＋y ＋2＝0的距离，即r ＝21＋1＝2，则所求圆的方程为x 2＋y 2＝2；因为圆O 与圆x 2＋y 2－2y －3＝0的圆心和半径分别为O (0,0)，r 1＝2，C 2＝(0,1)，r 2＝2，且r 2－r 1<|OC 2|＝1<r 1＋r 2＝2＋2，所以两圆相交．答案：x2＋y 2＝2 相交选择填空提速专练(一)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知A ＝{x |y 2＝x }，B ＝{y |y 2＝x }，则( ) A ．A ∪B ＝A B ．A ∩B ＝A C ．A ＝BD ．(∁R A )∩B ＝∅解析：选B 因为A ＝{x |x ≥0}，B ＝{y |y ∈R}，所以A ∩B ＝A ，故选B.2．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题错误的是( )A ．若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b ∥αB ．若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥βC ．若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α或a ⊂αD ．若a ∥α，α⊥β，则a ⊥β解析：选D 易知A ，B ，C 均正确；D 中a 和β的位置关系有三种可能，a ∥β，a ⊂β或a 与β相交，故D 错误，故选D.3．已知函数f (2x)＝x ·log 32，则f (39)的值为( ) A.16B.19C ．6D ．9解析：选D 令t ＝2x(t >0)，则x ＝log 2t ，于是f (t )＝log 2t ·log 32＝log 3t (t >0)，故函数f (x )＝log 3x (x >0)，所以f (39)＝log 339＝9，故选D.4．在复平面内，已知复数z ＝|1－i|＋2i1－i ，则z 在复平面上对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 因为z ＝|1－i|＋2i 1－i ＝2＋2i1－i ＝2＋＋－＋＝2－22＋2＋22i ，所以复数z 在复平面上对应的点为2－22，2＋22，显然此点在第二象限，故选B. 5．将函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值为( )A.π12B.π6C.π3D.5π6解析：选 B 设y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π3个单位长度得到的函数为g (x )，则g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ，因为g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ为奇函数，且在原点有定义，所以－2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，解得φ＝k π＋7π6(k ∈Z)，故当k ＝－1时，|φ|min ＝π6，故选B.6．已知实数a ，b ，则“|a ＋b |＋|a －b |≤1”是“a 2＋b 2≤1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由绝对值三角不等式|a ±b |≤|a |＋|b |可得⎩⎪⎨⎪⎧|2a |≤|a ＋b |＋|a －b |≤1，|2b |≤|a ＋b |＋|a －b |≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧－12≤a ≤12，－12≤b ≤12，此不等式组表示边长为1的正方形区域(含边界)，而a 2＋b 2≤1表示单位圆域(含边界)，故由⎩⎪⎨⎪⎧－12≤a ≤12，－12≤b ≤12，可以推出a 2＋b 2≤1，但是反之不成立，故选A.7．已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1和双曲线N ：y 2a 2－x 2b 2＝1，其中b >a >0，双曲线M 和双曲线N 交于A ，B ，C ，D 四个点，且四边形ABCD 的面积为4c 2，则双曲线M 的离心率为( )A.5＋32 B.5＋3 C.5＋12D.5＋1解析：选C 设A 为双曲线M ，N 在第一象限的交点，由对称性易知四边形ABCD 是正方形，因为正方形ABCD 的面积为4c 2，所以边长为2c ，即A (c ，c )，代入双曲线M 中，得c 2a 2－c 2b2＝1，即c 2a 2－c 2c 2－a 2＝1，变形为e 2－e 2e 2－1＝1，整理得e 4－3e 2＋1＝0，所以e 2＝3＋52e 2＝3－52<1，舍去，故e ＝3＋52＝6＋254＝52＋25＋14＝5＋12，故选C.8．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1,3x ＋4y ≤0，则x －3x －y －2的取值范围是( )A ．[1,4]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1917，4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，113D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1917，113 解析：选B 因为x －3x －y －2＝1x －y －2x －3＝11－y －1x －3，故需要先求出y －1x －3的取值范围，而y －1x －3表示动点(x ，y )与定点A (3,1)连线所成直线的斜率，约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤1，3x ＋4y ≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，是直线3x ＋4y ＝0与圆x 2＋y 2＝1围成的下半圆区域(含边界)．易得B －45，35，由图可知直线AB 的斜率最小，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x －3min＝1－353＋45＝219.又过A (3,1)且在x轴下方与圆x 2＋y 2＝1相切的直线斜率最大，可设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋1＝0，由圆心到切线的距离等于半径可得d ＝|1－3k |k 2＋1＝1，解得k ＝34，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x －3max ＝34，故y －1x －3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤219，34.于是x －3x －y －2＝11－y －1x －3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1917，4，故选B.9．设等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ，若a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，则k ＝( ) A ．5B ．6C ．9D ．11解析：选C 因为a k 是a 6与a k ＋6的等比中项， 所以a 2k ＝a 6a k ＋6.又等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ， 所以[a 2＋(k －2)d ]2＝(a 2＋4d )[a 2＋(k ＋4)d ]， 所以(k －3)2＝3(k ＋3)，解得k ＝9或k ＝0(舍去)，故选C.10.在直角梯形 ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P(如图所示)．若AP ―→＝λED ―→＋μAF ―→，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值是( )A.22 B.324 C. 2 D.34解析：选B 以A 为原点，建立如图所示直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,1)，E (1,0)，F ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，所以ED ―→＝(－1,1)，AF―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12， 则AP ―→＝λED ―→＋μAF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－λ＋32μ，λ＋12μ.又因为以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P ，所以点P 的坐标为P ⎝⎛⎭⎪⎫22，22，AP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋32μ＝22，λ＋12μ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝24，μ＝22，从而λ＋μ＝324.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上)11．已知函数f (x )＝2exe x ＋1，在F (x )＝f (x )＋1和G (x )＝f (x )－1中，________为奇函数；若f (b )＝32，则f (－b )＝________.解析：由G (x )＝f (x )－1＝e x－1e x ＋1，G (－x )＝e －x－1e －x ＋1＝1e x －11ex ＋1＝1－ex1＋ex ＝－G (x )，故G (x )＝f (x )－1为奇函数．由f (b )＝32得，G (b )＝f (b )－1＝12，所以G (－b )＝f (－b )－1＝－12，f (－b )＝12.答案：G (x ) 1212．已知等比数列{a n }的前n 项和满足S n ＝1－A ·3n ，数列{b n }是递增数列，且b n ＝An 2＋Bn ，则A ＝________，B 的取值范围为________．解析：因为任意一个公比不为1的等比数列前n 项和为S n ＝a 1－q n1－q＝a 11－q －a 11－qq n，而等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－A ·3n，所以A ＝1，b n ＝n 2＋Bn .又因为数列{b n }是递增数列，所以b n ＋1－b n ＝(n ＋1)2＋B (n ＋1)－n 2－Bn ＝2n ＋1＋B >0恒成立，所以B >－(2n ＋1)恒成立，所以B >－3.答案：1 (－3，＋∞)13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为________．解析：由三视图可知该几何体是由半个圆柱和一个倒立的直四棱锥组合而成的，如图，故该几何体的体积V ＝13×4×4×4＋4π×42＝643＋8π，表面积为S ＝π×22＋2π×2×42＋4×4×22＋4×42×22＝16＋162＋12π.答案：643＋8π 16＋162＋12π14．已知在一次考试中甲、乙、丙三人及格的概率均为23，那么三人中至少有2人及格的概率为________，记考试及格的人数为X ，则随机变量X 的期望为________．解析：因为甲、乙、丙三人及格的概率均为23，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，所以P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫133－C 13×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1－127－627＝2027，E (X )＝3×23＝2.答案：2027215．已知实数x >0，y >0，且满足x ＋y ＝1，则2x ＋xy的最小值为________．解析：因为x ＋y ＝1，所以2x ＋x y ＝2x ＋2y x ＋x y ＝2＋2y x ＋x y≥2＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＝x y ，x ＋y ＝1，即x ＝2－2，y ＝2－1时等号成立．答案：2＋2 216．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，对任意的x 1，x 2，x 3，且0≤x 1<x 2<x 3≤π，都有|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|≤m 成立，则实数m 的最小值为________．解析：原不等式恒成立，只需要m 大于或等于|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|的最大值即可，则只需|f (x 1)－f (x 2)|，|f (x 2)－f (x 3)|都取得最大值，结合f (x )＝sin2x ＋π3，x ∈[0，π]的图象易知，当x 1＝π12，x 2＝7π12，x 3＝π时，|f (x 1)－f (x 2)|max ＝|1－(－1)|＝2，|f (x 2)－f (x 3)|max＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－32＝1＋32，所以|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|的最大值为3＋32，即m 的最小值为3＋32.答案：3＋3217.已知扇环如图所示，∠AOB ＝120°，OA ＝2，OA ′＝12，P 是扇环边界上一动点，且满足OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，则2x ＋y 的取值范围为________．解析：以O 为坐标原点，以OA 为x 轴建立平面直角坐标系(图略)，易知A (2,0)，B (－1，3)，设P (2cos α，2sin α)，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，(1)当点P 在AA ′上运动时，向量OP ―→与OA ―→共线，显然y ＝0，此时OP ―→＝x OA ―→＝(2x,0)，12≤2x ≤2，所以12≤2x ＋y ≤2；(2)当点P 在BB ′上运动时，向量OP ―→与OB ―→共线，显然x ＝0，此时OP ―→＝y OB ―→＝(－y ，3y )，－2cos 60°≤－y ≤－12cos 60°，即14≤y ≤1，所以14≤2x ＋y ≤1；(3)当点P 在AB 上运动时，由OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，得(2cos α，2sin α)＝x (2,0)＋y (－1，3)，即2cos α＝2x －y ， 2sin α＝3y ，所以2x ＋y ＝43sin α＋2cos α，变形可得2x ＋y ＝2213sin(α＋φ)，其中tan φ＝32，因为P 是扇环边界上一动点，且满足OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，所以x ，y 均为非负实数，又33<32<1，所以可取π6<φ<π4，因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，所以当α＋φ＝π2时，2x ＋y 取得最大值，最大值为2213，当α＝2π3时，2x ＋y 取得最小值，最小值为1；(4)当点P 在AB ′′上运动时， 因为|OA ′||OA |＝|OB ′||OB |＝14，故2x ＋y 的最大值为14×2213＝216，最小值为14×1＝14.综上所述，2x ＋y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2213.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2213选择填空提速专练(二)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知i 为虚数单位，则|3＋2i|＝( ) A. 5 B.7 C.13D ．3解析：选C 由题意得|3＋2i|＝32＋22＝13，故选C. 2．已知A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |2x>1}，则A ∩(∁R B )为( ) A ．(－2,1) B ．(－∞，1) C ．(0,1)D ．(－2,0]解析：选D 由题意得集合B ＝{x |x >0}，所以∁R B ＝{x |x ≤0}，则A ∩(∁R B )＝{x |－2<x ≤0}，故选D.3．若(x －1)8＝1＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 5＝( ) A ．56 B ．－56 C ．35D ．－35解析：选B 二项式(x －1)8的展开式中x 5的系数为a 5＝C 38(－1)3＝－56，故选B. 4．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)，则f (x )的奇偶性( ) A ．与ω有关，且与φ有关 B ．与ω有关，但与φ无关 C ．与ω无关，且与φ无关 D ．与ω无关，但与φ有关解析：选D 因为ω决定函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期，φ决定函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象沿x 轴平移的距离，所以函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的奇偶性与ω无关，与φ有关，故选D.5．已知x ∈R ，则“|x －3|－|x －1|<2”是“x ≠1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为|x －3|－|x －1|≤|(x －3)－(x －1)|＝2，当且仅当x ≤1时，等号成立，所以|x －3|－|x －1|<2等价于x >1，所以“|x －3|－|x －1|<2”是“x ≠1”的充分不必要条件，故选A.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知∠B ＝30°，△ABC 的面积为32.且sin A ＋sin C ＝2sin B ，则b 的值为( )A ．4＋2 3B ．4－2 3 C.3－1D.3＋1解析：选D 在△ABC 中，由sin A ＋sin C ＝2sin B 结合正弦定理得a ＋c ＝2b ，△ABC 的面积为12ac sin B ＝12ac ×12＝32，解得ac ＝6，在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a＋c )2－2ac －3ac ＝(2b )2－(2＋3)×6.解得b ＝3＋1，故选D.7．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分配方案的种数为( )A ．50B ．80C ．120D ．140解析：选B 当甲组有两人时，有C 25A 23种不同的分配方案；当甲组有三人时，有C 35A 22种不同的分配方案．综上所述，不同的分配方案共有C 25A 23＋C 35A 22＝80种不同的分配方案，故选B.8．已知a ，b 为实常数，{c i }(i ∈N *)是公比不为1的等比数列，直线ax ＋by ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)均相交，所成弦的中点为M i (x i ，y i )，则下列说法错误的是( )A ．数列{x i }可能是等比数列B ．数列{y i }是常数列C ．数列{x i }可能是等差数列D ．数列{x i ＋y i }可能是等比数列解析：选C 设等比数列{c i }的公比为q .当a ＝0，b ≠0时，直线by ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px 最多有一个交点，不符合题意；当a ≠0，b ＝0时，直线ax ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px 的交点为－c ia，± －2pc i a ，则x i ＝－c i a ，y i ＝0，x i ＋y i ＝－c i a，此时数列{x i }是公比为q 的等比数列，数列{y i }为常数列，数列{x i ＋y i }是以q 为公比的等比数列；当a ≠0，b ≠0时，直线ax ＋by ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px 的方程联立，结合根与系数的关系易得x i ＝pb 2a 2－c i a ，y i ＝－pba，此时数列{y i }为常数列．综上所述，A ，B ，D 正确，故选C.9．若定义在(0,1)上的函数f (x )满足：f (x )>0且对任意的x ∈(0,1)，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2＝2f (x )，则( )A ．对任意的正数M ，存在x ∈(0,1)，使f (x )≥MB ．存在正数M ，对任意的x ∈(0,1)，使f (x )≤MC ．对任意的x 1，x 2∈(0,1)且x 1<x 2，有f (x 1)<f (x 2)D.对任意的x 1，x 2∈(0,1)且x 1<x 2，有f (x 1)>f (x 2)解析：选A 令x 1∈(0,1)，x 2＝2x 11＋x 21，则易得x 2∈(0,1)，f (x 2)＝2f (x 1)，令x 3＝2x 21＋x 22，则易得x 3∈(0,1)，f (x 3)＝2f (x 2)＝22f (x 1)，…，依次类推得f (x n )＝2n －1f (x 1)，所以数列{f (x n )}构成以f (x 1)为首项，2为公比的等比数列，又因为f (x 1)>0，所以对任意的正数M ，存在n ∈N *，使得2nf (x 1)≥M ，即存在x ＝x n ∈(0,1)，使得f (x )≥M ，故选A.10.在正方体ABCD ­A1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别是线段CD ，AB 上的动点，点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)，记直线D 1P 与MN 所成角为θ，若θ的最小值为π3，则点P 的轨迹是( )A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．抛物线的一部分D ．双曲线的一部分解析：选B 延长D 1P 交平面ABCD 于点Q ，则直线D 1Q 与直线MN 所成的角即为直线D 1P 与直线MN 所成的角，则由最小角定理易得当点M 与点D 重合，且直线MN 过点Q 时，直线D 1Q 与直线MN 所成的角取得最小值，此时∠D 1QD 即为直线D 1Q 与直线MN 所成的角，所以∠D 1QD ＝π3，则∠DD 1Q ＝π6，所以点P 在以DD 1为轴，顶角为π3的圆锥面上运动，又因为点P 在平面A 1C 1D 上，所以点P 的轨迹是椭圆的一部分，故选B.二、填空题11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为________．解析：由三视图得该几何体是一个底面为以4为底边，3为高的三角形，高为8的三棱柱截去两个以三棱柱的底为底，高为2的三棱锥后所得的组合体，则其体积为12×3×4×8－2×13×12×3×4×2＝40，表面积为4×8＋2×4＋82×13＋2×12×13×4＝32＋1613.答案：40 32＋161312．比较lg 2，(lg 2)2，lg(lg 2)的大小，其中最大的是________，最小的是________． 解析：因为1<2<10，所以0<lg 2<1，所以0<(lg 2)2<lg 2，lg(lg 2)<0，所以三个数中最大的是lg 2，最小的是lg(lg 2)．答案：lg 2 lg(lg 2) 13．设随机变量X 的分布列为。

专题二 三角函数、解三角形、平面向量第一讲三角函数的图象与性质考点一 三角函数的概念、诱导公式及基本关系一、基础知识要记牢(1)三角函数的定义：若角α的终边与单位圆相交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x.(2)诱导公式：注意“奇变偶不变，符号看象限”．(3)基本关系：平方关系：sin 2x ＋cos 2x ＝1，商数关系：tan x ＝sin xcos x. (4)单位圆、三角函数线是根本，抓纲务本，就能驾简驭繁． 二、经典例题领悟好[例1] (1)(2017·绍兴模拟)已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4(2)如图，以Ox 为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α＝________.[解析] (1)tan θ＝cos3π4sin 3π4＝－cos π4sinπ4＝－1，又sin3π4>0，cos 3π4<0， 所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)， 所以θ＝7π4.(2)由三角函数定义，得cos α＝－35，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αα＋cosαsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825. [答案] (1)D (2)1825涉及与圆及角有关的函数建模问题如钟表、摩天轮、水车等，常常借助三角函数的定义求解.应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关.应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数关系化简的过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.三、预测押题不能少1．(1)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( )A.355 B.377C.31010D.13解析：选C 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，又α为锐角，故sin α＝31010. (2)已知A 是单位圆上的点，且点A 在第二象限，点B 是此圆与x 轴正半轴的交点，记∠AOB ＝α.若点A 的纵坐标为35，则sin α＝________，tan 2α＝________.解析：由点A 的纵坐标为35及点A 在第二象限，得点A 的横坐标为－45，所以sin α＝35，cosα＝－45，tan α＝－34.故tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 答案：35 －247考点二 三角函数的图象与解析式 一、基础知识要记牢函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换：y ＝sin x――――――――→向左φ或向右φ平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)―――――――――――→纵坐标变为原来的A A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 二、经典例题领悟好[例2] (1)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，且f (α)＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝( )A ．－223 B.223C ．±223D.13(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2[解析] (1)由三角函数的图象可得A ＝3，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π＝2πω，所以ω＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝－3,0<φ<π，则φ＝5π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6.因为f (α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝13.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，3π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝－223，故选A. (2)易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2. [答案] (1)A (2)D(1)在利用图象求三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关参数时，注意直接从图中观察振幅、周期，即可求出A ，ω，然后根据图象过某一特殊点来求φ，若是利用零点值来求，则要注意是ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)，根据点在单调区间上的关系来确定一个k 的值，此时要利用数形结合，否则就易步入命题人所设置的陷阱．(2)作三角函数图象左右平移变换时，平移的单位数是指单个变量x 的变化量，因此由y ＝sin ωx (ω>0)的图象得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象时，应将图象上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|ω个单位，而非|φ|个单位. 三、预测押题不能少2．(1)已知函数f (x )＝2sin(π＋x )sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ的图象关于原点对称，其中φ∈(0，π)，则函数g (x )＝cos(2x －φ)的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称 B ．可由函数f (x )的图象向右平移π3个单位得到C ．可由函数f (x )的图象向左平移π6个单位得到D ．可由函数f (－x )的图象向右平移π12个单位得到解析：选B 由已知得函数f (x )为奇函数，令f (x )＝2h (x )·k (x )，∵h (x )＝sin(π＋x )为奇函数，∴k (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ为偶函数，∴π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z)，φ＝π6＋k π(k ∈Z)，则由φ∈(0，π)得φ＝π6，∴f (x )＝－sin 2x ，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2－π6＝－sin2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，则将函数f (x )的图象向右平移π3个单位可得函数g (x )的图象，故选B.(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到的函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 D ．y ＝cos 2x解析：选C 由图易得A ＝1，34T ＝34×2πω＝11π12－π6，解得ω＝2，又因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1在函数图象上，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，则2×π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又因为|φ|<π2，所以φ＝π6，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则其图象向右平移π6个单位后得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，故选C.考点三 三角函数的图象与性质 一、基础知识要记牢 (1)三角函数的单调区间：y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，单调递减区间是2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z)； y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z)，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k∈Z)；y ＝tan x 的递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)．(2)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z)时为奇函数；当y ＝k π＋π2(k ∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)求得． 二、经典例题领悟好[例3] (2017·浙江高考)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R)．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． [解] (1)由题意，f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6＝－2sin 3π2＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 则f (x )的最小正周期是π. 由正弦函数的性质 令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)．求解三角函数的奇偶性、对称性、周期、最值和单调区间等问题时，通常要运用各种三角函数公式，通过恒等变换(降幂、辅助角公式应用)将其解析式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A >0，ω≠0)的形式，再研究其各种性质．有关常用结论与技巧：(1)我们往往运用整体换元法来求解单调性与对称性，求y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A >0，ω≠0)的单调区间时一定要注意ω的取值情况，若ω<0，则最好用诱导公式将其转化为－ω>0后再去求解，否则极易出错．(2)对y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A >0，ω≠0)结合函数图象可观察出如下几点：①函数图象的对称轴都经过函数的最值点，对称中心的横坐标都是函数的零点； ②相邻两对称轴(对称中心)间的距离都是半个周期；③图象上相邻两个最大(小)值点之间的距离恰好等于一个周期. 三、预测押题不能少3．已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＋a . (1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的最大值与最小值的和为32，求a 的值．解：(1)因为f (x )＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＋a ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋12，所以T ＝π.由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z.故函数f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)．(2)因为－π6≤x ≤π3，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6，－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1.因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的最大值与最小值的和为⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a ＋12＝32，所以a ＝0.[知能专练(六)]一、选择题1．(2017·山东高考)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2B.2π3C ．πD ．2π解析：选C ∵y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴最小正周期T ＝2π2＝π.2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2π B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 解析：选D 根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－1，所以B 正确；f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f (x ＋π)＝0，所以C 正确；函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π上单调递增，故D 错误． 3．(2017·全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )解析：选 C 令函数f (x )＝sin 2x1－cos x，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z}，又f (－x )＝－2x 1－－x ＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x1－cos x为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (1)＝sin 21－cos 1＞0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，故排除A 、D ，选C.4．三角形ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C )，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是( )A ．1B ．－1C ．3D ．4解析：选B 因为三角形ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >90°，即A >90°－B ，则sin A >sin(90°－B )＝cos B ，sin A －cos B >0，同理cos A －sin C <0，所以点P 在第四象限，sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1.5．(2017·嘉兴模拟)如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)x ∈R ，A >0，ω>0,0<φ<π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图象．为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变解析：选A 由题意知，A ＝1；由2πω＝5π6＋π6，得ω＝2；由2×π3－π62＋φ＝π2＋2k π(k∈Z)，0<φ<π2，得φ＝π3，故y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.只要把函数y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，即可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．6．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A 法一：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，得5π8ω＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，①由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，得11π8ω＋φ＝k ′π(k ′∈Z)，②由①②得ω＝－23＋43(k ′－2k )．又最小正周期T ＝2πω>2π，所以0<ω<1，ω＝23.又|φ|<π，将ω＝23代入①得φ＝π12.选项A 符合．法二：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ.由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z.又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.故选A. 二、填空题7．(2017·金华一中模拟)函数f (x )＝2cos x ＋π3－1的对称轴为________，最小值为________．解析：由x ＋π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π－π3(k ∈Z)，即函数f (x )的对称轴为x ＝k π－π3(k∈Z)；因为2cos x ＋π3∈[－2,2]，所以2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－1∈[－3,1]，所以函数f (x )的最小值为－3.答案：x ＝k π－π3(k ∈Z) －38．(2017·荆州质检)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，0对称，则函数的解析式为________________． 解析：由题意知最小正周期T ＝π＝2πω，∴ω＝2，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8＋φ＝k π(k ∈Z)，∴φ＝k π＋3π4(k ∈Z)． 又0<φ<π，∴φ＝3π4，∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4. 答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 9．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________.解析：由图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝2π8＝π4，即周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0，所以0＝A tan2×3π8＋φ，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z)，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝π4.再由图象过定点(0,1)，可得A ＝1.综上可知，f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.故有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3.答案： 3三、解答题10．(2017·北京高考)已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.解：(1)f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≥sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.11．(2018届高三·浙江名校联盟联考)已知函数f (x )＝2cos πx ·cos 2φ2＋sin[(x ＋1)π]·sin φ－cos πx ⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求φ的值及图中x 0的值；(2)将函数f (x )的图象上的各点向左平移16个单位，再将所得图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝2cos πx ·cos2φ2＋sin[(x ＋1)π]·sin φ－cos πx ＝cosπx ·⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2φ2－1－sin πx ·sin φ＝cos πx ·cos φ－sin πx ·sin φ＝cos(πx ＋φ)． 由题图可知，cos φ＝32，又0<φ<π2，所以φ＝π6. 又cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，所以πx 0＋π6＝11π6， 所以x 0＝53.(2)由(1)可知f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，将图象上的各点向左平移16个单位得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3的图象，然后将各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍后得到g (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π3的图象． 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13，所以－π6≤πx ＋π3≤2π3.所以当πx ＋π3＝0，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3；当πx ＋π3＝2π3，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32. 12．(2017·东阳市调研)已知x 0，x 0＋π2是函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6－sin 2ωx (ω>0)的两个相邻的零点．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值；(2)若对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，0，都有|f (x )－m |≤1，求实数m 的取值范围．解：(1)f (x )＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π32－1－cos 2ωx 2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3＋cos 2ωx ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2ωx ＋32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2ωx ＋32cos 2ωx＝32sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3. 由题意可知，f (x )的最小正周期T ＝π，∴2π|2ω|＝π.又∵ω>0，∴ω＝1，∴f (x )＝32sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝32sin π2＝32. (2)|f (x )－m |≤1，即f (x )－1≤m ≤f (x )＋1.∵对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，0，都有|f (x )－m |≤1，∴m ≥f (x )max －1且m ≤f (x )min ＋1. ∵－7π12≤x ≤0，∴－5π6≤2x ＋π3≤π3，∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤32， ∴－32≤ 32sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤34， 即f (x )max ＝34，f (x )min ＝－32，∴－14≤m ≤1－32.故m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，1－32.第二讲三角恒等变换与解三角形考点一 三角恒等变换及求值 一、基础知识要记牢三角恒等变换的主要考查形式是三角函数式的求值．包括： (1)“给角求值”，即通过三角恒等变换求三角函数式的值；(2)“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值； (3)“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角． 二、经典例题领悟好[例1] (1)(2017·嘉兴调研)4sin 80°－cos 10°sin 10°＝( )A. 3 B ．－ 3 C. 2D ．22－3(2)(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A ．－79B ．－29C.29D.79[解析] (1)依题意，∵sin 80°＝cos 10°，∴4sin 80°－cos 10°sin 10°＝4sin 10°cos 10°－cos 10°sin 10°＝2sin 20°－cos 10°sin 10°＝－－cos 10°sin 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°－cos 10°sin 10°＝－3sin 10°sin 10°＝－3，故选B.(2)将sin α－cos α＝43的两边进行平方，得sin 2 α－2sin αcos α＋cos 2α＝169，即sin 2α＝－79.[答案] (1)B (2)A三角函数恒等变换“六策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．(5)公式的变形应用：如sin α＝cos αtan α，tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)等．(6)角的合成及三角函数名的统一：运用辅助角公式合成角及统一三角函数名称. 三、预测押题不能少1．(1)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )A ．[－2，1]B ．[－1， 2 ]C ．[－1,1]D ．[1， 2 ]解析：选C ∵sin αcos β－cos αsin β＝1， 即sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]， ∴α－β＝π2，又⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，则π2≤α≤π， ∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4， ∵π2≤α≤π， ∴3π4≤α＋π4≤5π4， ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，即所求取值范围为[－1,1]，故选C.(2)若tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 解析：tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：75考点二 正、余弦定理 一、基础知识要记牢 (1)正弦定理：在△ABC 中，asin A＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)． 变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a 2R， a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．(2)余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.(3)三角形面积公式：S △ABC ＝12ab sin C ＝12cb sin A ＝12ac sin B .二、经典例题领悟好[例2] (2016·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．[解] (1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ， 故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B ) ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是 sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π， 所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . (2)由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B .因为 sin B ≠0，所以 sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.关于解三角形问题，首先要联想三角形三定理：正弦、余弦及内角和定理，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是解决问题的突破口.三、预测押题不能少2．在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a .(1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝37a ，所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314. (2)因为a ＝7，所以c ＝37×7＝3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得72＝b 2＋32－2b ×3×12，解得b ＝8或b ＝－5(舍去)．所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝6 3.考点三 解三角形的应用 一、经典例题领悟好[例3] 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙开始从A 乘缆车，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ．经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35. (1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？ [解] (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d m ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在1 25043，62514(单位：m/min)范围内．本题属于三角函数建模问题，其求解的关键是运用所学的解三角形的知识和方法对该问题进行分析，然后检验所得的解，并写出实际问题的结论便可三角形问题求解中函数建模思想的常见类型：①利用余弦定理转化为长度关于某一未知数的函数；3.如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从B 点到C 点历时14 s ，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1，2≈1.414，5≈2.236)．解析：因为小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°， 所以∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°. 设这辆汽车的速度为v m/s ，则BC ＝14v ， 在Rt △ADB 中，AB ＝ADcos ∠BAD＝ADcos 60°＝200.在Rt △ADC 中，AC ＝ADcos ∠CAD＝100cos 45°＝100 2.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos∠BAC ， 所以(14v )2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos 135°， 所以v ＝50107≈22.6， 所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s. 答案：22.6[知能专练(七)]一、选择题1．(2017·山东高考)已知cos x ＝34，则cos 2x ＝( )A ．－14B.14C ．－18D.18解析：选D ∵cos x ＝34，∴cos 2x ＝2cos 2x －1＝18.2．在△ABC 中，若0<tan A ·tan B <1，那么△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．形状不确定解析：选B 由0<tan A ·tan B <1，可知tan A >0，tan B >0，即A ，B 为锐角．tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A ·tan B>0，即tan(π－C )＝－tan C >0，所以tan C <0，所以C 为钝角．所以△ABC为钝角三角形．3．(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15C ．－15D ．－725解析：选D 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725.4．(2018届高三·湖南省五市十校联考)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4解析：选A 由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·si nC ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，所以角A ＝π4.5．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( ) A.31010B.1010 C ．－1010D ．－31010解析：选C 设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 则由题意得S △ABC ＝12a ·13a ＝12ac sin B ，∴c ＝23a .由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋29a 2－2×a ×23a ×22＝59a 2，∴b ＝53a .∴cos A＝b 2＋c 2－a22bc＝59a 2＋29a 2－a 22×53a ×23a ＝－1010.故选C. 6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin 2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A ．bc (b ＋c )>8B ．ab (a ＋b )>16 2C ．6≤abc ≤12D ．12≤abc ≤24解析：选A 因为A ＋B ＋C ＝π，由sin 2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12得sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝12，即sin[(A ＋B )＋(A －B )]＋sin [(A ＋B )－(A －B )]＋sin 2C ＝12，整理得2sinC cos(A －B )＋2sin C cos C ＝2sin C [cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12，整理得4sin A ·sin B sin C＝12，即sin A sin B sin C ＝18.又S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B ，因此S 3＝18a 2b 2c 2sin A sin B ·sin C ＝164a 2b 2c 2.由1≤S ≤2得1≤164a 2b 2c 2≤23，即8≤abc ≤162，因此选项C ，D 不一定成立．又b ＋c >a >0，因此bc (b ＋c )>bc ·a ≥8，即bc (b ＋c )>8，选项A 一定成立．又a ＋b >c >0，因此ab (a ＋b )>ab ·c ≥8，即ab (a ＋b )>8，显然不能得出ab (a ＋b )>162，选项B 不一定成立．综上所述，选A.二、填空题7．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.解析：∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，∴sin α＝255，cos α＝55，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫255＋55＝31010. 答案：310108．(2017·杭州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.若C ＝2π3，则ab＝________. 解析：∵sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1， ∴sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B .由正弦定理可得ab ＋bc ＝2b 2，即a ＋c ＝2b ，∴c ＝2b －a ，∵C ＝2π3，由余弦定理可得(2b －a )2＝a 2＋b 2－2ab cos2π3，可得5a ＝3b ，∴a b ＝35. 答案：359．(2017·浙江高考)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.解析：在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝2，由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝42＋22－422×4×2＝14，则sin ∠ABC ＝sin ∠CBD ＝154， 所以S △BDC ＝12BD ·BC sin ∠CBD ＝12×2×2×154＝152.因为BD ＝BC ＝2，所以∠CDB ＝12∠ABC ，则cos ∠CDB ＝ cos ∠ABC ＋12＝104.答案：152104三、解答题10．(2017·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值． 解：(1)在△ABC 中，因为a >b ， 故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， 所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin A ＝a sin B b ＝31313. 所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313， 所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213， cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513. 故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1213－513＝7226. 11.(2017·福建质检)在△ABC 中，B ＝π3，点D 在边AB 上，BD ＝1，且DA ＝DC .(1)若△BCD 的面积为3，求CD ； (2)若AC ＝3，求∠DCA .解：(1)因为S △BCD ＝3，即12BC ·BD ·sin B ＝3，又B ＝π3，BD ＝1，所以BC ＝4.在△BDC 中，由余弦定理得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos B ， 即CD 2＝16＋1－2×4×1×12＝13，解得CD ＝13.(2)在△ACD 中，DA ＝DC ，可设∠A ＝∠DCA ＝θ， 则∠ADC ＝π－2θ，又AC ＝3， 由正弦定理，得AC sin 2θ＝CDsin θ，所以CD ＝32cos θ.在△BDC 中，∠BDC ＝2θ，∠BCD ＝2π3－2θ， 由正弦定理，得CD sin B ＝BDsin ∠BCD ，即32cos θsin π3＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2θ，化简得cos θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2θ， 于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2θ.因为0＜θ＜π2，所以0＜π2－θ＜π2，－π3＜2π3－2θ＜2π3， 所以π2－θ＝2π3－2θ或π2－θ＋2π3－2θ＝π，解得θ＝π6或θ＝π18，故∠DCA ＝π6或∠DCA＝π18.12.如图，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝22，点M 在线段PQ 上． (1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．解：(1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝22，由余弦定理，得OM 2＝OP 2＋MP 2－2×OP ×MP ×cos 45°， 即MP 2－4MP ＋3＝0，解得MP ＝1或MP ＝3. (2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°. 在△OMP 中，由正弦定理， 得OMsin ∠OPM＝OPsin ∠OMP，所以OM ＝OP sin 45°＋α，同理ON ＝OP sin 45°＋α.故S △OMN ＝12×OM ×ON ×sin ∠MON＝14×OP 2sin 2 45°＋α＋α＝1＋α＋α＋＝1＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋α＋12＋α＝132sin 2＋α＋12＋α＋α＝134[1－＋2α＋14＋2α＝134＋34sin 2α＋14cos 2α＝134＋12α＋.因为0°≤α≤60°，则30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN 的面积取到最小值．即∠POM ＝30°时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.第三讲平_面_向_量考点一 平面向量的概念与线性运算 一、基础知识要记牢1．向量加法的三角形法则要保证“首尾相接”，和向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量；向量减法的三角形法则要保证“同起点”，减向量的方向是两向量终点连线并指向被减向量．2．平面向量基本原理是用基本元素(基底)表示平面内的任意向量，把对向量的研究转化为对基本要素的研究，是向量坐标化、实数化的基础．二、经典例题领悟好[例1] (1)(2017·天津高考)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD ―→＝2DC ―→，AE ―→＝λAC ―→－AB ―→(λ∈R)，且AD ―→·AE ―→＝－4，则λ的值为________．(2)(2017·宁波模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP ―→＝3PD ―→，AP ―→·BP ―→＝2，则AB ―→·AD ―→的值是________．[解析] (1)法一：AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋23AC ―→.又AB ―→·AC ―→＝3×2×12＝3，所以AD ―→·AE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB ―→＋23AC ―→·(－AB ―→＋λAC ―→)＝－13AB ―→2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13λ－23AB ―→·AC ―→＋23λAC ―→2＝－3＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫13λ－23＋23λ×4＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.法二：以点A 为坐标原点，AB ―→的方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系，不妨假设点C在第一象限，则A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)． 由BD ―→＝2DC ―→，得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，由AE ―→＝λAC ―→－AB ―→，得E (λ－3，3λ)，则AD ―→·AE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233·(λ－3，3λ)＝53(λ－3)＋233×3λ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.(2)因为AP ―→＝AD ―→＋DP ―→＝AD ―→＋14AB ―→，BP ―→＝BC ―→＋CP ―→＝AD ―→－34AB ―→，所以AP ―→·BP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→＋14AB ―→·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→－34 AB ―→＝|AD ―→|2－316|AB ―→|2－12AD ―→·AB ―→＝2，将AB ＝8，AD ＝5代入解得AB ―→·AD ―→＝22. [答案] (1)311(2)22向量运算形式多样，其中利用几何意义是重要的一种形式，解题需要一定的灵活性，如果可以建立坐标系，则向量运算问题可以转化为实数运算问题.向量等式两边平方也是向量运算常用的方法之一，根据向量性质a 2＝|a |2，将向量运算问题转化为实数运算问题.三、预测押题不能少1．(1)已知P 是△ABC 所在平面内一点，若AP ―→＝34BC ―→－23BA ―→，则△PBC 与△ABC 的面积的比为( )A.13B.12C.23D.34 解析：选A 如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设A (x A ，y A )，P (x P ，y P )，C (x C,0)，AP ―→＝34BC ―→－23BA ―→，即(x P－x A ，y P －y A )＝34(x C,0)－23(x A ，y A )，故y P －y A ＝0－23y A ，即y P ＝13y A ，故S △PBC S △ABC＝13.(2)如图，在△ABC 中，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰为P ，则AP ―→等于( )A.12a ＋12b B.13a ＋23bC.27a ＋47b D.47a ＋27b解析：选C 如图，连接BP ，则AP ―→＝AC ―→＋CP ―→＝b ＋PR ―→，① AP ―→＝AB ―→＋BP ―→＝a ＋RP ―→－RB ―→，② ①＋②，得2AP ―→＝a ＋b －RB ―→.③ 又RB ―→＝12QB ―→＝12(AB ―→－AQ ―→)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12AP ―→，④ 将④代入③，得2AP ―→＝a ＋b －12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12AP ―→，解得AP ―→＝27a ＋47b .考点二 平面向量的数量积 一、基础知识要记牢(1)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值确定．(2)求非零向量a ，b 的夹角一般利用公式cos 〈a ，b 〉＝a·b|a ||b |先求出夹角的余弦值，然后求夹角．(3)向量a 在向量b 方向上的投影为a·b|b |＝|a |cos θ. 二、经典例题领悟好[例2] (1)(2017·浙江高考)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA ―→·OB ―→，I 2＝OB ―→·OC ―→，I 3＝OC ―→·OD ―→，则( ) A ．I 1<I 2<I 3 B ．I 1<I 3<I 2 C ．I 3<I 1<I 2 D ．I 2<I 1<I 3(2)(2016·浙江高考)已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝1，若e 为平面单位向量，则|a ·e |＋|b ·e |的最大值是________．[解析] (1)如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角．根据题意，I 1－I 2＝OA ―→·OB ―→－OB ―→·OC ―→＝OB ―→·(OA ―→－OC ―→)＝OB ―→·CA ―→＝|OB ―→|·|CA ―→|cos ∠AOB <0，∴I 1<I 2，同理得，I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ， ∴OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ， ∴|OA ―→|·|OB ―→|<|OC ―→|·|OD ―→|， 而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0， ∴OA ―→·OB ―→>OC ―→·OD ―→，即I 1>I 3， ∴I 3<I 1<I 2.(2)∵a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉 ＝1×2×cos〈a ，b 〉 ＝1，∴cos 〈a ，b 〉＝12，∴〈a ，b 〉＝60°.以a 的起点为原点，所在直线为x 轴建立直角坐标系， 则a ＝(1,0)，b ＝(1，3)． 设e ＝(cos θ，sin θ)，则|a ·e |＋|b ·e |＝|cos θ|＋|cos θ＋3sin θ| ≤|cos θ|＋|cos θ|＋|3sin θ| ＝2|cos θ|＋3|sin θ|≤7. [答案] (1)C (2)7求平面向量的数量积的三个方法(1)定义法：a ·b ＝|a ||b |·cos θ，其中θ为向量a ，b 的夹角． (2)坐标法：当a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)时，a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)几何意义：a ·b 等于a 的长度与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. 三、预测押题不能少2．(1)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB ―→在CD ―→方向上的投影为( )A.322 B.3152 C ．－322D ．－3152解析：选A 由已知得AB ―→＝(2,1)，CD ―→＝(5,5)，因此AB ―→在CD ―→方向上的投影为AB ―→·CD ―→|CD ―→|＝1552＝322. (2)已知点G 为△ABC 的重心，∠A ＝120°，AB ―→·AC ―→＝－2，则|AG ―→|的最小值是( ) A.33 B.22 C.23 D.34解析：选C 设BC 的中点为M ，则AG ―→＝23AM ―→.又M 为BC 中点，∴AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，∴AG ―→＝23AM ―→＝13(AB ―→＋AC ―→)，∴|AG ―→|＝13AB ―→2＋AC ―→2＋2AB ―→·AC ―→＝13AB ―→2＋AC ―→2－4.又∵AB ―→·AC ―→＝－2，∠A ＝120°，∴|AB ―→||AC ―→|＝4. ∵|AG ―→|＝13AB ―→2＋AC ―→2－4≥132|AB ―→||AC ―→|－4＝23，当且仅当|AB ―→|＝|AC ―→|时取等号， ∴|AG ―→|的最小值为23.考点三 平面向量的综合应用 一、基础知识要记牢(1)涉及夹角、长度问题，通常可以考虑利用数量积运算或者其几何意义求解．(2)涉及向量与三角函数综合的问题，一般根据向量的数量积的运算求出相应的函数基本关系式，然后利用三角公式将代数式化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式．二、经典例题领悟好[例3] (2017·江苏高考)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． [解] (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x ．则tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.解决平面向量与三角函数结合的题目，首先要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角函数问题，然后利用三角公式进行恒等变换，转化为题目中所要求的问题．而本题求解需要在理解新定义的基础上把问题转化为常规类型，运用三角函数的诱导公式、两角和与差的正弦公式进行化简运算，同时也伴随着平面向量的坐标运算.三、预测押题不能少3．设a ＝(cos α，(λ－1)sin α)，b ＝(cos β，sin β)λ>0,0<α<β<π2是平面上的两个向量，若向量a ＋b 与a －b 互相垂直．(1)求实数λ的值；(2)若a ·b ＝45，且tan β＝43，求tan α的值．。