高考二轮复习仿真冲刺试卷：数学理科试卷(一)

2020高考仿真模拟(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U 为实数集R ，已知集合M ＝{x |x 2－4>0}，N ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |x <－2}B ．{x |x >3}C ．{x |1≤x ≤2} D．{x |x ≥3或x <－2} 答案 D解析 由题可得M ＝{x |x 2－4>0}＝{x |x >2或x <－2}，N ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，又图中阴影部分所表示的集合是(∁U N )∩M ，即为{x |x ≥3或x <－2}，故选D.2．若复数z 满足z 2＝－4，则|1＋z |＝( ) A ．3 B. 3 C ．5 D. 5 答案 D解析 设z ＝x ＋y i(x ∈R ，y ∈R )，则(x ＋y i)2＝－4，即x 2－y 2＋2xy i ＝－4，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝－4，2xy ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝±2，所以z ＝±2i，|1＋z |＝|1±2i|＝5，故选D.3．为了判断高中生选修理科是否与性别有关．现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科 文科 合计 男 13 10 23 女 7 20 27 合计203050根据表中数据，得到K 2＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844，若已知P (K 2≥3.841)≈0.05，P (K 2≥5.024)≈0.025，则认为选修理科与性别有关系出错的可能性约为( )A ．25%B ．5%C ．1%D ．10% 答案 B解析 由K 2≈4.844，对照临界值得4.844＞3.841，由于P (K 2≥3.841)≈0.05，∴认为选修理科与性别有关系出错的可能性为5%.故选B.4．以下程序框图的功能是解方程12＋22＋…＋n 2＝(n ＋1)(n ＋2)，则输出的i 为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B解析 执行程序框图，i ＝1，S ＝12＝1，N ＝(1＋1)(1＋2)＝6，S ≠N ；i ＝2，S ＝1＋22＝5，N ＝(2＋1)(2＋2)＝12，S ≠N ；i ＝3，S ＝5＋32＝14，N ＝(3＋1)(3＋2)＝20，S ≠N ；i ＝4，S ＝14＋42＝30，N ＝(4＋1)(4＋2)＝30，S ＝N .输出的i 为4，结束，故选B.5．已知f (x )＝ln xx，其中e 为自然对数的底数，则( )A ．f (2)>f (e)>f (3)B ．f (3)>f (e)>f (2)C ．f (e)>f (2)>f (3)D ．f (e)>f (3)>f (2) 答案 D 解析 f (x )＝ln x x ，f ′(x )＝1－ln xx2，令f ′(x )＝0，解得x ＝e ，当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，故f (x )在x ＝e 处取得最大值f (e)，f (2)－f (3)＝ln 22－ln 33＝3ln 2－2ln 36＝ln 8－ln 96<0，∴f (2)<f (3)，则f (e)>f (3)>f (2)，故选D.6．公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方．如图，以O 为圆心的大圆直径为1，以AB 为直径的半圆面积等于AO 与BO 所夹四分之一大圆的面积，由此可知，月牙形(图中阴影部分)区域的面积可以与一个正方形的面积相等．现在在两个圆所围成的区域内随机取一点，则该点来自于阴影所示月牙形区域的概率是( )A.13π B.12π＋1 C.1π＋1 D.2π答案 B解析 阴影部分的面积等于π16－⎝ ⎛⎭⎪⎫π16－12×12×12＝18，所以根据几何概型得阴影所示月牙形区域的概率P ＝1818＋π4＝11＋2π.故选B.7．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a 2a 6＝8(a 4－2)，则S 2020＝( )A ．22019－12B ．1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122019 C ．22020－12D ．1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122020 答案 A解析 由等比数列的性质及a 2a 6＝8(a 4－2)，得a 24＝8a 4－16，解得a 4＝4.又a 4＝12q 3，故q ＝2，所以S 2020＝121－220201－2＝22019－12，故选A.8．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为( )A.π12 B.π6 C.π4 D.π3答案 B解析 根据题意可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，将其图象向左平移φ个单位长度，可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋2φ的图象，因为该图象所对应的函数恰为奇函数，所以2π3＋2φ＝k π(k ∈Z )，φ＝k π2－π3(k ∈Z )，又φ>0，所以当k ＝1时，φ取得最小值，且φmin ＝π6，故选B.9．设a ＝log 20182019，b ＝log 20192018，c ＝201812019，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a 答案 C解析 因为1＝log 20182018>a ＝log 20182019>log 20182018＝12，b ＝log 20192018<log 20192019＝12，c ＝201812019>20180＝1，故c >a >b ，故选C.10．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋1＋e x－1ex ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤2，则实数a 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 答案 C解析 令g (x )＝f (x )－1＝x 3－2x ＋e x－1e x ，x ∈R .则g (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x ＝－g (x )，∴g (x )在R 上为奇函数．∵g ′(x )＝3x 2－2＋e x＋1e x ≥0－2＋2＝0，∴函数g (x )在R 上单调递增．∵f (a －1)＋f (2a 2)≤2可化为f (a －1)－1＋f (2a 2)－1≤0，即g (a －1)＋g (2a 2)≤0，即g (2a 2)≤－g (a －1)＝g (1－a )，∴2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12.∴实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.故选C.11.已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为( )A.23B.49C.269D.827 答案 B解析 设圆锥底面圆的半径为R ，球的半径为r ，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R 的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，如图所示，所以r ＝33R ，S 球＝4πr 2＝4π·⎝ ⎛⎭⎪⎫33R 2＝4π3R 2，S 圆锥＝πR ·2R ＋πR 2＝3πR 2，所以球与圆锥的表面积之比为S 球S 圆锥＝4π3R 23πR 2＝49， 故选B.12．已知函数f (x )为R 上的奇函数，且图象关于点(2,0)对称，且当x ∈(0,2)时，f (x )＝x 3，则函数f (x )在区间[2018,2021]上( )A ．无最大值B ．最大值为0C ．最大值为1D ．最大值为－1答案 C解析 因为函数f (x )的图象关于点(2,0)对称，所以f (4－x )＝－f (x )．又函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (－x )．令t ＝－x ，得f (4＋t )＝f (t )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数．又函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，f (－2)＝－f (2)，由函数f (x )的周期为4，得f (－2)＝f (2)，所以－f (2)＝f (2)，解得f (2)＝0.所以f (－2)＝0.依此类推，可以求得f (2n )＝0(n ∈Z )．作出函数f (x )的大致图象如图所示，根据周期性，可得函数f (x )在区间[2018,2021]上的图象与在区间[－2，1]上的图象完全一样. 观察图象可知，函数f (x )在区间(－2,1]上单调递增，且f (1)＝13＝1，又f (－2)＝0，所以函数f (x )在区间[－2,1]上的最大值是1，故函数f (x )在区间[2018,2021]上的最大值也是1.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知单位向量e 1，e 2，且〈e 1，e 2〉＝π3，若向量a ＝e 1－2e 2，则|a |＝________.答案3解析 因为|e 1|＝|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝π3，所以|a |2＝|e 1－2e 2|2＝1－4|e 1||e 2|cos π3＋4|e 2|2＝1－4×1×1×12＋4＝3，即|a |＝ 3.14．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，3x －y －3≤0，x ＋y －1≥0，目标函数z ＝ax ＋y 的最大值M ∈[2,4]，则实数a 的取值X 围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12解析 可行域如图阴影部分所示，当a ≥0时，平移直线y ＝－ax ＋z 至(2,3)时，z 有最大值2a ＋3，故2≤2a ＋3≤4，得0≤a ≤12.当－1<a <0时，平移直线y ＝－ax ＋z 至(2,3)时，z 有最大值2a ＋3，因2≤2a ＋3≤4，故－12≤a <0.当a ≤－1时，平移直线y ＝－ax ＋z 至(0,1)时，z 有最大值1，不符合题意，故舍去．综上，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.15．在《九章算术》中有称为“羡除”的五面体体积的求法．现有一个类似于“羡除”的有三条棱互相平行的五面体，其三视图如图所示，则该五面体的体积为________．答案 24解析 由三视图可得，该几何体为如图所示的五面体ABCEFD ，其中，底面ABC 为直角三角形，且∠BAC ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，侧棱DB ，EC ，FA 与底面垂直，且DB ＝2，EC ＝FA ＝5.过点D 作DH ∥BC ，DG ∥BA ，交EC ，FA 分别于H ，G ，连接GH ，则棱柱ABC －DHG 为直棱柱，四棱锥D －EFGH 的底面为矩形EFGH ，高为BA .所以V 五面体ABCEFD ＝V ABC －DHG ＋V D －EFGH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×3×2＋13×32×4＝24.16．对任一实数序列A ＝{a 1，a 2，a 3，…}，定义新序列ΔA ＝(a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…)，它的第n 项为a n ＋1－a n .假定序列Δ(ΔA )的所有项都是1，且a 12＝a 22＝0，则a 2＝________.答案 100解析 令b n ＝a n ＋1－a n ，依题意知数列{b n }为等差数列，且公差为1，所以b n ＝b 1＋(n －1)×1，a 1＝a 1， a 2－a 1＝b 1， a 3－a 2＝b 2，…a n －a n －1＝b n －1，累加得a n ＝a 1＋b 1＋…＋b n －1 ＝a 1＋(n －1)b 1＋n －1n －22＝(n －1)a 2－(n －2)a 1＋n －1n －22，分别令n ＝12，n ＝22，得⎩⎪⎨⎪⎧11a 2－10a 1＋55＝0，21a 2－20a 1＋210＝0，解得a 1＝2312，a 2＝100.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)某学校为培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素养，在高一年级开设各种形式的校本课程供学生选择(如书法讲座、诗歌鉴赏、奥赛讲座等)．现统计了某班50名学生一周用在兴趣爱好方面的学习时间(单位：h)的数据，按照[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]分成五组，得到了如下的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中m 的值及该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间； (2)从[4,6)，[6,8)两组中按分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中抽取2人，求恰有1人在[6,8)组中的概率．解 (1)由直方图可得，0.06×2＋0.08×2＋0.2×2＋2m ＋0.06×2＝1，所以m ＝0.1， 该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间为 1×0.12＋3×0.16＋5×0.4＋7×0.2＋9×0.12＝5.08.故m 的值为0.1，该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均时间为5.08 h. (2)由直方图可得，[4,6)中有20人，[6,8)中有10人，根据分层抽样，需要从[4,6)中抽取4人分别记为A 1，A 2，A 3，A 4，从[6,8)中抽取2人分别记为B 1，B 2，再从这6人中抽取2人，所有的抽取方法有A 1A 2，A 1A 3，A 1A 4，A 1B 1，A 1B 2，A 2A 3，A 2A 4，A 2B 1，A 2B 2，A 3A 4，A 3B 1，A 3B 2，A 4B 1，A 4B 2，B 1B 2，共15种，这15种情况发生的可能性是相等的．其中恰有一人在[6,8)组中的抽取方法有A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，A 3B 1，A 3B 2，A 4B 1，A 4B 2，共8种，所以，从这6人中抽取2人，恰有1人在[6,8)组中的概率为815.18．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3ca cos B＝tan A ＋tan B .(1)求角A 的大小；(2)设AD 为BC 边上的高，a ＝3，求AD 的取值X 围． 解 (1)在△ABC 中，∵3ca cos B＝tan A ＋tan B ， ∴3sin C sin A cos B ＝sin A cos A ＋sin Bcos B，即3sin C sin A cos B ＝sin A cos B ＋sin B cos Acos A cos B ，∴3sin A ＝1cos A ，则tan A ＝3，∴A ＝π3. (2)∵S △ABC ＝12AD ·BC ＝12bc sin A ，∴AD ＝12bc .由余弦定理得cos A ＝12＝b 2＋c 2－a 22bc ≥2bc －32bc ，∴0<bc ≤3(当且仅当b ＝c 时等号成立)，∴0<AD ≤32.19．(本小题满分12分)如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝BC ＝1，CD ＝2，E 为CD 的中点，以AE 为折痕把△ADE 折起，使点D 到达点P 的位置(P ∉平面ABCE )．(1)证明：AE ⊥PB ；(2)当四棱锥P －ABCE 体积最大时，求点C 到平面PAB 的距离．解 (1)证明：如图，在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O . ∵AB ∥CE ，AB ＝CE ，∴四边形ABCE 为平行四边形， ∴AE ＝BC ＝AD ＝DE ，∴△ADE 为等边三角形．在等腰梯形ABCD 中，∠C ＝∠ADE ＝π3，∠DAB ＝∠ABC ＝2π3，在△ABD 中，AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABD ＝π6，∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝π2，∴BD ⊥BC ，∴BD ⊥AE ， 翻折后可得，OP ⊥AE ，OB ⊥AE .又∵OP ⊂平面POB ，OB ⊂平面POB ，OP ∩OB ＝O ， ∴AE ⊥平面POB ，∵PB ⊂平面POB ，∴AE ⊥PB .(2)当四棱锥P －ABCE 的体积最大时平面PAE ⊥平面ABCE ，又∵平面PAE ∩平面ABCE ＝AE ，PO ⊂平面PAE ，PO ⊥AE ，∴OP ⊥平面ABCE . ∵OP ＝OB ＝32，∴PB ＝62， ∵AP ＝AB ＝1，∴cos ∠PAB ＝1＋1－322＝14，∴sin ∠PAB ＝154， ∴S △PAB ＝12AP ·AB sin ∠PAB ＝158.又∵V 三棱锥P －ABC ＝13OP ·S △ABC ＝13×32×34＝18，设点C 到平面PAB 的距离为d ， ∴d ＝3V 三棱锥C －PABS △PAB＝38158＝155. 所以当四棱锥P －ABCE 体积最大时，点C 到平面PAB 的距离为155. 20．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且y 1y 2＝－4.(1)求抛物线C 的方程；(2)如图，点B 在准线l 上的投影为E ，D 是C 上一点，且AD ⊥EF ，求△ABD 面积的最小值及此时直线AD 的方程．解 (1)依题意F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0， 当直线AB 的斜率不存在时，y 1y 2＝－p 2＝－4，p ＝2.当直线AB 的斜率存在时，设AB ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，化简得y 2－2p ky －p 2＝0.由y 1y 2＝－4得p 2＝4，p ＝2. 综上所述，抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设D (x 0，y 0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t ，易知t ≠0，则E (－1，t )， 又由y 1y 2＝－4，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2，－4t.因为k EF ＝－t 2，AD ⊥EF ，所以k AD ＝2t，故直线AD ：y ＋4t ＝2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4t 2，化简得2x －ty －4－8t2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，2x －ty －4－8t 2＝0，化简得y 2－2ty －8－16t2＝0，所以y 1＋y 0＝2t ，y 1y 0＝－8－16t2.所以|AD |＝ 1＋t 24|y 1－y 0|＝1＋t 24·y 1＋y 02－4y 1y 0＝4＋t2t 2＋16t2＋8.设点B 到直线AD 的距离为d ，则d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 22－t 2－4－8t 24＋t2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2＋16t 2＋824＋t2.所以S △ABD ＝12|AD |·d ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋16t 2＋83≥16，当且仅当t 4＝16，即t ＝±2时△ABD 的面积取得最小值16.当t ＝2时，直线AD ：x －y －3＝0； 当t ＝－2时，直线AD ：x ＋y －3＝0.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x－x ＋a (其中a ∈R ，e 为自然对数的底数，e＝2.71828……)．(1)若f (x )≥0对任意的x ∈R 恒成立，某某数a 的取值X 围；(2)设t 为整数，对于任意正整数n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1n n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3n n ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n nn<t ，求t 的最小值．解 (1)因为f (x )＝e x－x ＋a (x ∈R )， 所以f ′(x )＝e x－1.令f ′(x )＝e x－1＝0，得x ＝0；f ′(x )＝e x－1>0时，x >0；f ′(x )＝e x－1<0时，x <0. 所以f (x )＝e x －x ＋a 在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )＝e x －x ＋a 的最小值为f (0)＝e 0－0＋a ＝1＋a .由f (x )≥0对任意的x ∈R 恒成立，得f (x )min ≥0，即1＋a ≥0，所以a ≥－1，即实数a 的取值X 围为[－1，＋∞)．(2)由(1)知e x－x －1≥0，即1＋x ≤e x， 令x ＝－k n(n ∈N *，k ＝0,1,2，…，n －1)， 则0<1－kn≤e －kn ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k n n ≤(e －kn )n ＝e －k ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1n n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3n n ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n n n ≤e －(n －1)＋e －(n －2)＋…＋e －2＋e －1＋e 0＝1－e －n1－e －1<11－e －1＝e e －1＝1＋1e －1<2， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1n n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3n n ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n n n<2，又⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋⎝ ⎛⎭⎪⎫333>1，所以t 的最小值为2. 请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φy ＝1＋sin φ(φ为参数)，过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A ，B 两点，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求l 和M 的极坐标方程；(2)当α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π4时，求|OA |＋|OB |的取值X 围．解 (1)由题意可得，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )． 曲线M 的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2，所以M 的极坐标方程为ρ2－2(cos θ＋sin θ)ρ＋1＝0. (2)设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，且ρ1，ρ2均为正数， 将θ＝α代入ρ2－2(cos θ＋sin θ)ρ＋1＝0，得ρ2－2(cos α＋sin α)ρ＋1＝0，当α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π4时，Δ＝4sin2α>0，所以ρ1＋ρ2＝2(cos α＋sin α)，根据极坐标的几何意义，|OA |，|OB |分别是点A ，B 的极径． 从而|OA |＋|OB |＝ρ1＋ρ2＝2(cos α＋sin α)＝ 22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4.当α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4时，α＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，π2， 故|OA |＋|OB |的取值X 围是(2,22]． 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －5|.(1)解不等式：f (x )＋f (x ＋2)≤3； (2)若a <0，求证：f (ax )－f (5a )≥af (x )． 解 (1)不等式化为|x －5|＋|x －3|≤3.当x <3时，原不等式等价于－2x ≤－5，即52≤x <3；当3≤x ≤5时，原不等式等价于2≤3，即3≤x ≤5； 当x >5时，原不等式等价于2x －8≤3，即5<x ≤112.综上，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，112. (2)证明：由题意，得f(ax)－af(x)＝|ax－5|－a|x－5| ＝|ax－5|＋|－ax＋5a|≥|ax－5－ax＋5a|＝|5a－5|＝f(5a)，所以f(ax)－f(5a)≥af(x)成立．。

2021年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷数学理科仿真模拟卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x －1≤0}，集合B ＝{x |－2<x <3}，则图中阴影部分表示的集合为()A ．{x |x <3}B ．{x |－3<x ≤1}C ．{x |x <2}D ．{x |－2<x ≤1}D [∵全集U ＝R ，集合A ＝{x |x －1≤0}＝{x |x ≤1}，集合B ＝{x |－2<x <3},∴图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{x |－2<x ≤1}．故选D ．]2．若复数z 满足(1＋2i)z ＝5i ，则z ＝()A ．2＋iB ．2－iC ．－2＋iD ．－2－iA [∵z 满足(1＋2i)z ＝5i ，∴z ＝5i1＋2i ＝5i (1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝2＋i ，故选A ．]3．在正项等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 3＝2a 2＋3，则其前3项的和S 3＝()A ．3B ．9C ．13D ．24C [设正项等比数列{a n }的公比为q ＞0，∵a 1＝1，a 3＝2a 2＋3，∴q 2＝2q ＋3，解得q ＝3.则其前3项的和S 3＝1＋3＋32＝13.故选C ．]4．已知矩形ABCD 中，|AB |＝4，|BC |＝2，则AC →·BD →＝()A ．20B ．12C ．－12D ．－20C [如图，∵|AB |＝4，|BC |＝|AD |＝2，∴AC →·BD →＝(AB →＋AD →)·(BA →＋BC →)＝(AB →＋AD →)·(AD →－AB →)＝AD →2－AB →2＝4－16＝－12.故选C ．]5．ETC ，中文翻译是电子不停车收费系统．如图是2015－2019年中国ETC 累计用户数量情况(单位：万辆)统计图．则下面结论中错误的是()A ．2015－2019年中国ETC 累计用户数量与时间成正相关B ．2019年中国ETC 累计用户数量约是2015年的8.1倍C ．2019年中国ETC 累计用户数量呈爆发式增长，较2018年同比增长约166.5%D ．2016－2018年，中国ETC 每年新增用户的数量成递增数列D [对于A 选项，根据统计图得，2015－2019年中国ETC 累计用户数量与时间成正相关，所以A 正确．对于B 选项，根据统计图得204002515≈8.1，所以B 正确．对于C 选项，2019年中国ETC 累计用户数量为20400万辆，2018年中国ETC 累计用户数量为7656万辆，2019年较2018年同比增长20400－76567656≈166.5%，所以C 正确．对于D 选项，2016年的新增用户数量为2006万辆，2017年的新增用户数量为1379万辆，2018年的新增用户数量为1756万辆，易知不成递增数列，所以D错误．故选D ．]6．已知F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，且F 2在C 的渐近线上的射影为点H ，O 为坐标原点，若|OH |＝|F 2H |，则C 的渐近线方程为()A ．x ±y ＝0B ．3x ±y ＝0C ．x ±3y ＝0D ．x ±2y ＝0A [双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，若|OH |＝|F 2H |，可得在直角三角形OHF 2中，∠HOF 2＝45°，可得C 的渐近线方程为x ±y ＝0.故选A ．]7．已知f (x )是定义在R 上的减函数，则关于x 的不等式f (x 2－x )－f (x )＞0的解集为()A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)B [根据题意，f (x )是定义在R 上的减函数，则f (x 2－x )－f (x )＞0⇒f (x 2－x )＞f (x )⇒x 2－x ＜x ，即x 2－2x ＜0，解可得0＜x ＜2，即不等式的解集为(0,2)，故选B ．]8.在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数解析式来分析函数的图象与性质，下列函数的解析式(其中e ＝2.71828…为自然对数的底数)与所给图象最契合的是()A ．y ＝sin(e x ＋e －x )B ．y ＝sin(e x －e －x )C ．y ＝tan(e x －e －x )D ．y ＝cos(e x ＋e －x )D [对于A ，当x ＝0时，y ＝sin(e x ＋e －x )＝sin 2>0，不满足条件．排除A ；对于B ，当x ＝0时，y ＝sin(e x －e －x )＝sin 0＝0，不满足条件．排除B ；对于C ，当x＝0时，y ＝tan(e x －e －x )＝tan 0＝0，不满足条件．排除C ，故选D ．]9.已知C 60是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯，C 60是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它有60个顶点和若干个面，各个面的形状为正五边形或正六边形，结构如图所示．已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面的个数为()A．10B．12C．16D．20B[由结构图知：每个顶点同时在3个面内，所以五边形的面的个数为60×3－20×65＝12，故选B．]10．抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”．当线段AB经过抛物线焦点F时，△P AB具有以下特征：①P点必在抛物线的准线上；②△P AB为直角三角形，且P A⊥PB；③PF⊥AB．若经过抛物线y2＝4x焦点的一条弦为AB，阿基米德三角形为△P AB，且点P 的纵坐标为4，则直线AB的方程为()A．x－2y－1＝0B．2x＋y－2＝0C．x＋2y－1＝0D．2x－y－2＝0A[由题意可知，抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，准线方程为：x＝－1，由△P AB为“阿基米德三角形”，且线段AB经过抛物线y2＝4x焦点，可得：P点必在抛物线的准线上，∴点P(－1,4)，∴直线PF的斜率为：4－0－1－1＝－2，又∵PF⊥AB，∴直线AB的斜率为12，∴直线AB的方程为：y－0＝12(x－1)，即x－2y－1＝0，故选A．]11.我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的精美图案．如图所示的窗棂图案，是将边长为2R的正方形的内切圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．若在正方形内随机取一点，则该点在窗棂图案上阴影内的概率为()A ．1－33πB ．π2－334C ．2－33πD ．π2－34B [连接A 、B 、O ，得等边三角形OAB ，则阴影部分的面积为S阴影＝12×πR 2－12×R 2×sin ＝(2π－33)R 2，故所求概率为S 阴(2R )2＝(2π－33)R 24R 2＝π2－334.故选B ．]12．已知函数f (x )＝ω>0)在(0,2π)上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是()A ，34B ，54C ，98D ，98C [函数f (x )＝ω>0)，由于x ∈(0,2π)，所以ωx －π4∈－π4，2ωπ由于在该区间上有且仅有两个零点，ωπ－π4ωπ－π42π，解得58<ω≤98.故选C ．]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．13．能说明“若a>b，有a2＞b2”为假命题的一组a，b的值依次为________．1，－1[“若a>b，有a2＞b2”，能说明该命题为假命题，此题答案不唯一，可取a＝1，b＝－1，即有a2＝b2.]14．若变量x，y x－y≥0＋y－4≤0≥0，则x－2y的最大值为________．4[变量x，y x－y≥0＋y－4≤0≥0的可行域如图，目标函数z＝x－2y ＝0＋y＝4，解得点A(4,0)，z在点A处有最大值：z＝4－2×0＝4.]15．已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左顶点为A，O为坐标原点，B、C两点在M上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝45°，则椭圆M的离心率为________．63[∵AO是与x轴重合的，且四边形OABC为平行四边形，∴BC∥OA，则B、C两点的纵坐标相等，根据椭圆的对称性，B、C的横坐标互为相反数，∴B、C两点是关于y轴对称的．由题意知：OA＝a，四边形OABC为平行四边形，则BC＝OA＝a，故C的横坐标为x＝a2，代入椭圆方程M得，y＝32b，故－a2，32bBC＝a＝3b，所以c＝a2－b2＝2b，故e＝ca＝23＝63.]16．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1700万元，则第十实验室的改建费用为________万元，改建这十个实验室投入的总费用最多需要________万元．15364709[设每个实验室的装修费用为x万元，设备费为a n万元，n＝1,2,3， (10)5－a2＝a1q4－a1q＝427－a4＝a1q6－a1q3＝168，解得a1＝3，q＝2,∴a10＝3×29＝1536，依题意：x＋1536<1700，解得x<164.∴该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要：10x＋a1＋a2＋…＋a10＝10x＋3(1－210)1－2＝10x＋3069≤4709.]三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(12分)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1.(1)证明：平面A1BD⊥面BC1D1；(2)若AB ＝2AD ，求二面角A 1­BD ­D 1的余弦值．[解](1)证明：连接AD 1，∵AD ＝AA 1，∴四边形AA 1D 1D 是正方形，∴A 1D ⊥AD 1，∵四边形ABC 1D 1是平行四边形，∴AD 1∥BC 1，∴A 1D ⊥BC 1，∵长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，C 1D 1⊥平面AA 1D 1D ，∴A 1D ⊥C 1D 1，∵BC 1∩C 1D 1＝C 1，∴A 1D ⊥平面BC 1D 1，∵A 1D ⊂平面A 1BD ，∴平面A 1BD ⊥面BC 1D 1.(2)设AB ＝2AD ＝2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则A 1(1,0,1)，B (1,2,0)，D (0,0,0)，D 1(0,0,1)，设平面BDD 1的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，DD 1→＝(0,0,1)，DB →＝(1,2,0)，·DD 1→＝z ＝0·DB →＝x ＋2y ＝0，取y ＝－1，得n ＝(2，－1,0)．设平面A 1BD 的一个法向量m ＝(x ，y ，z )，DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,2,0)，·DA 1→＝x ＋z ＝0·DB →＝x ＋2y ＝0，取x ＝2，得m ＝(2，－1，－2)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝53，由图得二面角A 1­BD ­D 1的平面角为锐角，∴二面角A1­BD­D1的余弦值为5 3 .18．(12分)△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＋c2＝a2＋bc.(1)求A；(2)从三个条件：①a＝3，②b＝3，③△ABC的面积为3，中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．[解](1)b2＋c2＝a2＋bc，可得cos A＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，由A∈(0，π)，可得A＝π3 .(2)选①a＝3，又A＝π3，可得asin A＝bsin B＝csin C＝2，可设B＝π3＋d，C＝π3－d，－π3＜d＜π3，即有△ABC的周长l＝a＋b＋c＝2sin B＋2sin C＋3＝＋3＝d＋12sin d＋32cos d－12sin＋3＝23cos d＋3，由cos d1，可得周长l的范围是(23，33]．选②b＝3，由A＝π3，由正弦定理可得a＝32sin B，c＝3sin Csin B ＝＝3cos B2sin B＋32，则周长为l＝a＋b＋c＝32sin B＋3cos B2sin B＋332＝6cos2B24sin B2cos B2＋332＝32tan B2＋332，由B0＜B2＜π3，即有0＜tanB2＜3，可得△ABC的周长的取值范围是(23，＋∞)．若选③S△ABC＝3，由A＝π3，可得S△ABC＝12bc sin A＝34bc＝3，即bc＝4.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－12，则周长l ＝a ＋b ＋c ＝(b ＋c )2－12＋(b ＋c )，由b ＋c ≥2bc ＝4，当且仅当b ＝c ＝2时等号成立，所以l ≥42－12＋4＝6，则△ABC 的周长的范围是[6，＋∞)．19．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点为F (c,0)，左顶点为A ，右顶点B 在直线l ：x ＝2上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，直线AP 交直线l 于点D ，当点P 运动时，判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．[解](1)依题可知B (a,0)，a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b ＝3，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明如下：由题意可设直线AP 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ≠0)．则点D 坐标为(2,4k )，BD 中点E 的坐标为(2,2k )，直线方程代入椭圆方程，可得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0.设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则－2x 0＝16k 2－123＋4k2.所以x 0＝6－8k 23＋4k 2，y 0＝12k3＋4k 2.因为点F 坐标为(1,0)，①当k ＝±12时，点P ，直线PF 的方程为x ＝1，D 的坐标为(2，±2)．此时以BD 为直径的圆(x －2)2＋(y ±1)2＝1与直线PF 相切．②当k ≠±12时，则直线PF 的斜率k PF ＝y 0x 0－1＝4k1－4k2.所以直线PF 的方程为y ＝4k1－4k 2(x －1)，即x －1－4k 24k y －1＝0.点E 到直线PF 的距离d2－1－4k 2×2k －11＋4k 2|2k |，又因为|BD |＝2R ＝4|k |，故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当点P 运动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．法二：以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明如下：设点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1(y 0≠0)．①当x 0＝1时，点P ，PF 的方程为x ＝1，D 的坐标为(2，±2)．此时以BD 为直径的圆(x －2)2＋(y ±1)2＝1与直线PF 相切．②当x 0≠1时直线AP 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x＋2)，点D 的坐标为BD 中点E 的坐标故|BE |＝|2y 0x 0＋2|，直线PF 的斜率为k PF ＝y 0x 0－1，故直线PF 的方程为y ＝y 0x 0－1(x －1)，即x －x 0－1y 0y －1＝0，所以点E 到直线PF 的距离d2－x 0－1×2y 0－1|2y 0x 0＋2|＝|BE |，故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当点P 运动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．20．(12分)近年来，昆明加大了特色农业建设，其中花卉产业是重要组成部分．昆明斗南毗邻滇池东岸，是著名的花都，有“全国10支鲜花7支产自斗南”之说，享有“金斗南”的美誉．对斗南花卉交易市场某个品种的玫瑰花日销售情况进行调研，得到这种玫瑰花的定价x (单位：元/扎，20支/扎)和销售率y (销售率是销售量与供应量的比值)的统计数据如下：x 102030405060y0.90.650.450.30.20.175(1)设z ＝ln x ，根据所给参考数据判断，回归模型y ^＝b ^x ＋a ^与y ^＝b ^z ＋a ^哪个更合适，并根据你的判断结果求回归方程(a ^，b ^的结果保留一位小数)；(2)某家花卉公司每天向斗南花卉交易市场提供该品种玫瑰花1200扎，根据(1)中的回归方程，估计定价x (单位：元/扎)为多少时，这家公司该品种玫瑰花的日销售额W (单位：元)最大，并求W 的最大值．参考数据：y 与x 的相关系数r 1≈－0.96，y 与z 的相关系数r 2≈－0.99，x －≈35，y －≈0.45，错误!2i ＝9100，z －≈3.40,6z －2≈69.32，错误!i z i ≈8.16，错误!2i ≈71.52，e 3≈20.1，e 3.4≈30.0，e 3.5≈33.1，e 4≈54.6.参考公式：b ^＝错误!，a ^＝y －－b ^x －，r ＝错误!.[解](1)因为r 1≈－0.96，y 与z 的相关系数r 2≈－0.99，0.96<0.99<1，由线性相关系数的定义可知，y ^＝b ^z ＋a ^更合适，由b ^＝错误!＝8.16－6×3.40×0.4571.52－69.32≈－0.46≈－0.5，a ^＝0.45－(－0.46)×3.40≈2.0，所以线性回归方程为：y ＝－0.5ln x ＋2.0.(2)由题意，W ＝1200(－0.5ln x ＋2.0)x ，W ′＝1200(1.5－0.5ln x )，令W ′＝0，得ln x ＝3，即x ＝e 3≈20.1，当x ∈(0,20.1)时，W 递增；当x ∈(20,1，＋∞)时，W 递减；故销售价约为20.1时，日销售额W 最大，W max ＝1200(－0.5ln e 3＋2.0)e 3＝1200×(－0.5×3＋2.0)×20.1＝12060(元)，故最大日销售额为12060元．21．(12分)已知函数f (x )＝ln x ＋ax －x －2a ＋1.(1)若a ＝－2，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，求证：f (x 1)＋f (x 2)＜0.[解](1)当a ＝－2时，f (x )＝ln x －2x －x ＋5(x ＞0)，f ′(x )＝1x ＋2x 2－1＝－x 2＋x ＋2x 2＝－(x 2－x －2)x 2＝－(x －2)(x ＋1)x 2，当0＜x ＜2时，f ′(x )＞0，当x ＞2时，f ′(x )＜0.所以f (x )在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．(2)f ′(x )＝1x －ax 2－1＝－x 2＋x －a x2(x ＞0)，f (x )有两个极值点x 1，x 2－4a ＞0，1＋x 2＝1，1x 2＝a ，所以0＜a ＜14，所以f(x1)＋f(x2)＝ln(x1x2)＋a(x1＋x2)x1x2－(x1＋x2)－4a＋2＝ln a－4a＋2，令g(a)＝ln a－4a＋＜ag′(a)＝1a－4＝1－4aa＞0，所以g(a)所以g(a)＜ln14－1＋2＝1－ln4＜0，所以f(x1)＋f(x2)＜0.(二)选考题：共10分．请考生在第22,23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与x轴的非负半轴重合．曲线C的极坐标方程是1＋2sin2θ＝6ρ2，直线l的极坐标方程是ρ－2＝0.(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；(2)设点P(2,0)，直线l与曲线C相交于点M、N，求1|PM|＋1|PN|的值．[解](1)曲线C的极坐标方程是1＋2sin2θ＝6ρ2，整理得：ρ2＋2(ρsinθ)2＝6，转换为直角坐标方程为：x26＋y22＝1.直线l的极坐标方程是ρ－2＝0.转换为直角坐标方程为：x＋y－2＝0.(2)由于点P(2,0)在直线l上，＝2＋t cos3π4＝t sin3π4(t为参数)＝2－22t＝22t(t为参数)，代入曲线C 的直角坐标方程为12t 2－22t ＋4＋3×12t 2＝6，化简得：t 2－2t －1＝0.所以t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝－1，故1|PM |＋1|PN |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1－t 2t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝ 6.23．(10分)[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|x |－|2x －2|.(1)求不等式f (x )≥－3的解集；(2)若a ∈R ，且a ≠0，证明：|4a －1|＋|1a ＋1|≥4f (x )．[解](1)不等式f (x )≥－3<0x ＋2x －2≥－3≤x <1＋2x －2≥－3≥1－2x ＋2≥－3，解得－1≤x <0或0≤x <1或1≤x ≤5，所以不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}．(2)证明：由(1)知函数f (x )的最大值是f (1)＝1，即f (x )≤1恒成立，因为|4a －1|＋|1a ＋1|≥|4a －1＋1a ＋1|＝|4a ＋1a |＝|4a |＋1|a |≥4，当且仅当a＝±12时等号成立，∴|4a －1|＋|1a ＋1|≥4f (x )，即得证．。

2023届高三冲刺卷（一）全国卷-理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}110,1,2,3,4,1,93xA B x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭Z ∣ ，则A B = （）A ．{}0,2B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}1,2,42．已知复数z 满足2i 1iz -=-+，则z 在复平面内所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知1cos 23x =-，则22ππcos cos 66x x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．916B ．56C ．1320D ．17244．已知变量x ，y 满足2022000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则28z x y =-的最大值是（）A ．4B ．6C ．8D ．125．一个集合中含有4个元素，从该集合的子集中任取一个，则所取子集中含有3个元素的概率为（）A ．47B ．35C ．16D ．146．某汽车生产厂家研发了一种电动汽车，为了了解该型电动汽车的月平均用电量（单位：度）情况，抽取了150名户主手中的该型电动汽车进行调研，绘制了如图所示的频率分布直方图，其中，第5组小长方形最高点的纵坐标为x ，则该型电动汽车月平均用电量在[)200,280的户主人数为（）7．某班学生的一次的数学考试成绩ξ（满分：100分）服从正态分布：()2~85,N ξσ，且()83870.3P ξ<<=，()78830.12P ξ<<=，()78P ξ<=（）A ．0.14B ．0.18C ．0.23D ．0.268．已知函数()()31bx f x a x x =-++的图象过点()0,1与93,4⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()f x 在区间[]1,4上的最大值为（）A ．32B ．73C ．54D ．859．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,,F F P 为C 右半支上一点，且212121cos ,24F PF PF PF a ∠=⋅=，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．4C ．6D ．910．在等比数列{}n a 中，公比2q =，且291011121011116a a a a a +++=，则9101112a a a a +++=（）A ．3B ．12C ．18D ．2411．定义在R 上的函数()f x 满足，①对于互不相等的任意1x ，(]20,2x ∈都有()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且当1x >时，()0f x >，②()()2f x f x +=-对任意x ∈R 恒成立，③()2y f x =+的图象关于直线2x =-对称，则()10f -､92f ⎛⎫- ⎪⎝⎭､()3f 的大小关系为（）A ．()()91032f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．()()93102f f f ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭C ．()()9.1032f f f ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭D ．()()93102f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭12．已知函数()f x 与()g x 定义域都为R ，满足()()()1e xx g x f x +=，且有()()()0g x xg x xg x ''+-<，()12e g =，则不等式()4f x <的解集为（）A ．()1,4B ．()0,2C ．(),2-∞D ．()1,+∞二、填空题13．若“2,630x x ax a ∃∈-+<R ”为假命题，则实数a 的取值范围为___________.14．43(2)(1)x x +-的展开式中2x 的系数为______________．15．如图所示，△ABC 是边长为8的等边三角形，点P 为AC 边上的一个动点，长度为6的线段EF 的中点为点B ，则PE PF ⋅的取值范围是___________.16．直线:10l x y +-=与椭圆22:142x yC +=交于,A B 两点，长轴的右顶点为点P ，则ABP 的面积为___________.三、解答题17．已知ABC 的角,,A B C 对边分别为,,a b c1cos sin ,3C a C bc +==，0b c +=.(1)求A ；(2)求ABC 外接圆的半径R .18．某农科所统计了单位面积某种化肥实施量x （kg ）和玉米相应产量Y （kg ）的相关数据，制作了数据对照表：x （kg ）1620242936Y （kg ）340350362404454若在合理施肥范围内x 与Y 具有线性相关关系，(1)求Y 关于x 的线性回归方程 ˆˆy bxa =+；(2)请利用线性回归方程预测40kg x =时的玉米产量.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121nii i nii xx y ybxx==--=-∑∑，ˆay bx =-.19．已知正三棱柱111ABC A B C -，底面边长为2，D 为AB 的中点.(1)证明：1CD A D ⊥；(2)求二面角1D A C A --的大小；(3)求直线CA 与平面1ACD 所成角的正弦值.20．已知斜率存在的直线l 过点()1,0P 且与抛物线()2:20C y px p =>交于,A B 两点.(1)若直线l 的斜率为1，M 为线段AB 的中点，M 的纵坐标为2，求抛物线C 的方程；(2)若点Q 也在x 轴上，且不同于点P ，直线,AQ BQ 的斜率满足0AQ BQ k k +=，求点Q 的坐标.21．已知函数()21ln (0)2f x x x x a a=-+>.(1)若1a =，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若函数()21ln (0)2f x x x x a a=-+>在其定义域上有唯一零点，求实数a 的值.22．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 的参数方程为1cos ,1sin .x t y t ϕϕ=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.(1)若π4ϕ=，求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)过点()0,3P -向直线l 作垂线，垂足为Q ，说明点Q 的轨迹为何种曲线.23．已知函数()3f x x =+.(1)解不等式()38f x x +->；(2)若()()39f x m x x ≤-++在(),-∞+∞上恒成立，求实数m 的最小值.参考答案：1．C【分析】由指数函数的性质求解集合B ，结合交集的概念运算可得出结果.【详解】{}{}{}111,02,0,1,2,0,1,293xB x x x x x A B ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤≤∈=≤≤∈=∴⋂=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭Z Z ∣∣.故选：C 2．B【分析】化简复数z ，结合复数的坐标表示，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足2i 1iz -=-+，可得()()()()21i 1i 1i 12i i i=1+2i 1i i z -==-=----++++-+，所以复数z 在复平面内对应的点(1,2)-位于第二象限.故选：B.3．B【分析】利用降幂公式及两角和差的余弦公式化简即可得解.【详解】22ππ1cos 21cos 2ππ33cos cos 6622x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111cos 221cos 22222222x x x x +++-=+11151cos 212236x ⎛⎫=+=+⨯-= ⎪⎝⎭.故选：B.4．A【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求出最大值作答.【详解】作出不等式组2022000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩表示的平面区域，如图中阴影四边形OABC （含边界），(2,0),(6,4),(0,1)A B C ，目标函数28z x y =-，即148zy x =-表示斜率为14，纵截距为8z -的平行直线系，画直线01:4l y x =，平移直线0l 到直线1l ，当直线1l 过点()2,0A 时，直线1l 的纵截距最小，z 最大，即max 224z =⨯=，所以28z x y =-的最大值为4.故选：A 5．D【分析】结合子集的概念与性质及古典概型的概率公式求解即可.【详解】4个元素的集合所有子集共4216=个，设此集合为{},,,a b c d ，事件A ：“所取子集中含有3个元素”，则事件A 的基本事件个数为4个，即{},,a b c ，{},,a b d ，{},,a c d ，{},,b c d ，所以()41164P A ==.故选：D ．6．C【分析】由频率和为1列方程求x ，再根据直方图中[)200,280区间频率求样本中对应的户主人数.【详解】由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=，得0.0075x =.月平均用电量在[)200,280的用户()200.0110.01250.00750.005150108⨯+++⨯=户.故选：C 7．C【分析】根据正态分布的对称性计算即可.【详解】因为()2~85,N ξσ，()83870.3P ξ<<=，所以()()81830.358372P P ξξ<-<=<，又()78830.12P ξ<<=，所以()()()7878830.2833P P P ξξξ-<=<<<=.故选：C.8．B【分析】由条件列方程求,a b ，由此可得函数()f x 的解析式，再由基本不等式求其最大值.【详解】因为函数()()31bx f x a x x =-++的图象过点()0,1与93,4⎛⎫⎪⎝⎭，所以()01f =，()934f =，则394431b a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得13a =，3b =，故函数()f x 的解析式为：()3113x xf x x =-++.而()()313313311371113133133x x x x x f x x x x +-+⎡⎤=-+=-+=-+≤-=⎢⎥+++⎣⎦，当且仅当2x =时取等号，函数()f x 在区间[]1,4上的最大值为73.故选：B.9．A【分析】根据数量积的定义可得2128PF PF a ⋅= ，结合双曲线的定义可得122PF PF a -= ，进而求解124,2PF a PF a ==，由余弦定理即可求解.【详解】221212122,cos 2PF PF a PF PF F PF a ∠⋅=∴⋅= 可得2128PF PF a ⋅= .又122PF PF a -= ，两式联立可得124,2PF a PF a ==，22222212121221216441cos 2164PF PF F F a a c F PF PF PF a ∠+-+-∴===⋅，整理可得224c a =，2,2c a e ∴==.故选：A .10．B【分析】根据等比数列的性质即可求解.【详解】9121011910111291011122910111291210119121011101110111111112a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++++++++++=+++=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，910111291011122229101112101010111166,,122a a a aa a a a a a a a a a a ++++++=∴=∴+++=.故选:B.11．B【分析】根据函数的三个条件得到函数()f x 为R 上的偶函数，周期为4，且函数()f x 在(0,2]上单调递增，然后将利用周期、奇偶性和单调性即可比较大小.【详解】因为()2y f x =+的图象关于直线2x =-对称，则函数()f x 关于y 轴对称，所以函数()f x 为R 上的偶函数，又因为()()2f x f x +=-对任意x ∈R 恒成立，则函数()f x 的周期为4，又因为对于互不相等的任意1x ，(]20,2x ∈都有()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且当1x >时，()0f x >，所以对任意1220x x ≥>>，则121x x >，故有1122()()()0xf x f x f x -=>，所以函数()f x 在(0,2]上单调递增，则有(3)(34)(1)(1)f f f f =-=-=，(10)(1034)(2)f f f -=-+⨯=，9911((4)()(2222f f f f -=-+=-=，因为函数()f x 在(0,2]上单调递增，则1()(1)(2)2f f f <<，即()()93102f f f ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭，故选：B.12．D【分析】利用导数结合题意可知()0f x '<，()f x 在(),-∞+∞上单调递减，又()()41f x f <=，结合单调性定义可得不等式的解集．【详解】由()()()1e xx g x f x +=可得()()()()()()()()()()2e 1e 1e e e x x xxxg x x g x x g x xg x g x xg x f x ++-++'-''=='.而()()()0g x xg x xg x ''+-<，∴()0f x '<，∴()f x 在(),-∞+∞上单调递减，又()12e g =，则()()1214e14e eg f ⨯===，所以()()41f x f <=，则1x >，故不等式()4f x <的解集为()1,+∞．故选：D ．13．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由“2,630x x ax a ∀∈-+≥R ”为真命题，利用判别式法求解.【详解】解：由条件可知“2,630x x ax a ∀∈-+≥R ”为真命题，则2Δ36120a a =-≤，即103a ≤≤.故答案为：10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．24【分析】43(2)(1)x x +-的展开式中2x 来自于三类:①4(2)+x 中的二次项与3(1)x -的常数项的乘积;②4(2)+x 中的常数项与3(1)x -的二次项的乘积;③4(2)+x 中的一次项与3(1)x -的一次项的乘积.【详解】展开式中2x 项为32224123322224343(1)C 22C (1)C 2C (1)24x x x x -⋅+⋅⋅-+⋅⋅-=，∴2x 的系数为24．故答案为:2415．[]39,55【分析】由向量的数量积公式得出29PE PF PB ⋅=- ，求出PB 的最大值和最小值即可得出结果.【详解】由线段EF 的中点为点B ，得出BF BE =-.()()()()22PE PF PB BE PB BF PB BE PB BE PB BE ⋅=+⋅+=+⋅-=- 29PB =-.当点P 位于点A 或点C 时，PB 取最大值8.当点P 位于AC 的中点时，PB 取最小值，即minπ8sin3PB==∴PB的取值范围为⎡⎤⎣⎦，∴PE PF ⋅的取值范围为[]39,55.故答案为：[]39,55.16【分析】根据弦长公式以及点到直线的距离即可结合三角形面积公式进行求解.【详解】直线l 与椭圆C 联立221,4210,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得23420x x --=.设点()()1122,,,A x y B x y ，则121242,33x x x x +==-.所以AB ===由椭圆C 知点()2,0P ，故点P 到直线:10l x y +-=的距离：d ==所以ABP的面积为11222S AB d =⋅=故答案为3.17．(1)π3【分析】（1）根据正弦定理边角互化以及和差角公式化简可得sin A A =，结合三角函数同角关系即可求解，（2）由余弦定理代入已知关系即可得1a =，由正弦定理即可求解.【详解】（1）cos sin C a C+=cos sin sin A C A C B +=，πA B C++=，())cos sin sin sin cos cos sin A C A C A C A C A C +++，sin sin sin A C AC ∴，sin 0,tan C A ≠∴= ()π0,π,3A A ∈∴=.（2）1,03bc b c =+-=222222222()213cos 22223a a b c a b c bc a A bc bc --+-+--∴====，整理得21a =，1a ∴=.由正弦定理可得2,sin 33a R R A ==∴=18．(1) 5.893234.675y x =+(2)470.395kg【分析】（1）利用最小二乘法求解；（2）将40kg x =代入回归方程求解.【详解】（1）解：由表中数据计算得，25x =.382y =，()()511438i i i x x y y =--=∑，()521244i i x x =-=∑，()()()51521 5.893i i i i i x x y y b x x ==--=≈-∑∑， 382 5.89325234.675ay bx =-=-⨯= .所以回归方程为 5.893234.675y x =+.（2）将40kg x =代入回归方程得 5.893234.675y x =+.故预测40kg x =时，玉米产量约为5.89340234.675470.395kg ⨯+=.19．(1)证明见解析；(2)π4【分析】（1）由正三棱柱的性质可得1BB ⊥平面ABC ，再利用线面垂直的判定定理即可证明CD ⊥平面11ABB A ，即可得1CD A D ⊥；（2）以11A C 的中点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系利用空间向量与二面角的几何关系即可求得二面角1D A C A --的大小为π4；（3）根据（2）中结论，利用线面角与空间向量的关系即可得直线CA 与平面1ACD 所成角的正弦值【详解】（1）由111ABC A B C -为正三棱柱可知，1BB ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，所以1BB CD ⊥，由底面是边长为2的正三角形，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥；又1BB AB B ⋂=，1,BB AB ⊂平面11ABB A ，所以CD ⊥平面11ABB A ；又1A D ⊂平面11ABB A ，所以1CD A D ⊥；（2）取线段11,AC AC 的中点分别为,O E ，连接1,OB OE ，易知11,,OB OE OC 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以11,,OC OE OB 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，如下图所示;，底面边长为2可得，()()()((111,0,0,1,,1,,0,0,0,A C A B B --，由D 为AB的中点可得12D ⎛- ⎝⎭，所以()13,,0,2AC DC ⎛== ⎝⎭uuu r uuu r ，设平面1DAC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则120302n AC x n DC x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，可得y z =即(1,n =r ；易得(1OB =uuu r即为平面1A CA 的一个法向量，所以111cos ,2n OB n OB n OB ⋅==r uuu r r uuu r r uuu r ，设二面角1D A C A --的平面角为θ，由图可知θ为锐角，所以1cos cos ,2n OB θ==r uuu r ，即π4θ=；即二面角1D A C A --的大小为π4.（3）由（2）可知()2,0,0CA =-uu r ，平面1DAC的一个法向量为(1,n =r ，设直线CA 与平面1ACD 所成的角为α，所以sin cos ,n CA n CA n CAα⋅===r uu r r uu r r uu r ，即直线CA 与平面1ACD20．(1)24y x=(2)Q ()1,0-【分析】（1）由题知直线l 的方程，联立抛物线，利用韦达定理以及中点公式即可求解；（2）设出直线l 的方程及Q 的坐标，联立方程组，消元，韦达定理，利用直线斜率公式写出AQ BQ k k +将韦达定理代入0AQ BQ k k +=，化简求出参数即可得点Q 的坐标.【详解】（1）因为直线l 的斜率为1且过点()1,0P ，所以直线l 的方程为：1y x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，由221y px y x ⎧=⎨=-⎩，得：()22210x p x -++=，所以121222,1x x p x x +=+=，所以121222y y x x p +=+-=，因为M 为线段AB 的中点，M 的纵坐标为2，所以1222y y p +==，所以抛物线的方程为：24y x =.（2）设直线l 的方程为：()1y k x =-，()(),01Q m m ≠，()221y px y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得：()2222220k x k p x k -++=，所以21212222,1k p x x x x k ++==，由()()()()()()122112121211AQ BQ k x x m k x x m y y k k x m x m x m x m --+--+=+=----()()()12122121222kx x km km k x x x x m x x m +-++=-++()222222222122k p k km k km k m p m k k+-+⋅+-⋅++=()()22222222202222k km km p k k k k k p k m m k ⎡⎤+-+⋅⎢⎥⎣⎦=-++=+由0k ≠，所以()2202222k k km km k p k +-++=⋅，即220mp p k k--=，所以1m =-，所以点Q 的坐标为()1,0-.21．(1)2210x y --=(2)12【分析】（1）求导，利用导数求解斜率，由点斜式即可求解直线方程，（2）将问题等价转化成22ln 20x a x ax --=在()0,∞+有唯一实数解.构造函数()22ln 2g x x a x ax =--，和()2ln 1,h x x x =+-利用导数求解单调性，进而确定方程的根，即可求解.【详解】（1）当1a =时，()111221f =-+=，且()()11,11f x x f x=-+'∴='，∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程112y x -=-，即2210x y --=.（2）()21ln (0)2f x x x x a a=-+>在其定义域上有唯一零点，∴方程21ln 02x x x a-+=，即22ln 20x a x ax --=在()0,∞+有唯一实数解.设()22ln 2g x x a x ax =--，则()2222x ax a g x x --'=.令()0g x '=，即20.0,0,x ax a a x --=>> 20x ax a ∴--=的两个根分别为102a x =<（舍去），22a x =当()20,x x ∈时，()()0,g x g x '<在()20,x 上单调递减，当()2,x x ∈+∞时，()()0,g x g x '>在()20,x 上单调递增，当2x x =时，()()0,g x g x '=取最小值()2g x ，要使()g x 在()0,∞+有唯一零点，则须()()220,0,g x g x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即22222222ln 20,0,x a x ax x ax a ⎧--=⎨--=⎩()22222ln 0,0,2ln 10.*a x ax a a x x ∴+-=>∴+-= 设函数()2ln 1,h x x x =+-当0x >时()h x 是增函数，()h x ∴至多有一解.⋅()10,h =∴ 方程()*的解为21x =，即12a =，解得12a =，∴实数a 的值为12.【点睛】思路点睛：利用导数求解函数零点时，需要利用导数求解函数的单调性，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：直接求最值和等价转化.22．(1)2y x =+，224x y x+=(2)Q 的轨迹为以点1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆【分析】（1）根据直线l 的参数方程和π4ϕ=求解；利用ρcos x θ=，222x y ρ+=求解；（2）在0ϕ=时直接求出Q 的坐标，在0ϕ≠时，写出过点P 且与直线l 垂直的直线方程，与直线l 的方程联立消参求得Q 的轨迹方程，然后检验，进而得到答案.【详解】（1）解：由直线l 的参数方程为1cos ,1sin ,x t y t ϕϕ=-+⎧⎨=+⎩∵π4ϕ=，1,21,2x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩∴直线l 的普通方程为11y x -=+，即2y x =+.由4cos ρϕ=得24cos ρρθ=，因为cos x ρθ=，222x y ρ+=，所以曲线C 的直角坐标方程为224x y x +=.（2）若0ϕ=，由1·tan 1y t ϕ=+=，可知直线l 的方程为1y =，于是过点()0,3P -向直线l 作垂线，垂足为()0,1Q .若0ϕ≠，由直线l 的参数方程可知直线l 的斜率为tan ϕ，∴过点()0,3P -且与直线l 垂直的直线方程为13tan y x ϕ=--.联立方程组()tan 11,13,tan y x y x ϕϕ⎧=⋅++⎪⎨=--⎪⎩整理得2223y y x x +-=--，∴点Q 的轨迹方程为22230x y x y +++-=，即()22117124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，显然，点()0,1也在()22117124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭上，所以动点Q 的轨迹为以点1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆.23．(1)()(),44,∞∞--⋃+(2)12【分析】（1）分3x ≤-、33x -<<、3x ≥三种情况解不等式即可；（2）由()()39f x m x x ≤-++，可得339x m x x +≥-++，由3923x x x -++≥+可得31392x x x +≤-++在(),-∞+∞上恒成立，进而求解.【详解】（1）因为()333f x x x x +-=++-，所以解不等式338x x ++->，而2,333=6,332,3x x x x x x x -≤-⎧⎪++--<<⎨⎪≥⎩，当3x ≤-时，不等式为2x ->8，解得<4x -；当33x -<<时，不等式为68>不成立，不等式无解；当3x ≥时，不等式为28x >，解得>4x .综上所述，不等式()38f x x +->的解集为()(),44,∞∞--⋃+.（2）由()()39f x m x x ≤-++，可得339x m x x +≥-++，因为3923x x x -++≥+，当且仅当()()390x x -+≥，即9x ≤-或3x ≥时等号成立.所以31392x x x +≤-++在(),-∞+∞上恒成立，故要使()()39f x m x x ≤-++在(),-∞+∞上恒成立，只须12m ≥，即实数m 的最小值为12.。

穿插滚动练(一)内容：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数 一、选择题1． (2013年浙江省高考测试题)已知集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则∁R A 等于( )A ．∅B ．(－∞，0]C ．(0，＋∞)D ．R答案 B解析 y ＝2x >0，A ＝{y |y >0}，∁R A ＝{y |y ≤0}＝(－∞，0]． 2． 已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |mx ＝1}，且A ∪B ＝A ，则m 的值为( )A ．1或－1或0B ．－1C ．1或－1D ．0答案 A解析 因为A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，即m ＝0，或1m ＝－1，或1m ＝1，得到m 的值为1或－1或0，选A.3． 已知a >1，f (x )＝ax ＋2x ，则使f (x )<1成立的一个充分不必要条件是( )A ．－1<x <0B ．－2<x <1C ．－2<x <0D ．0<x <1答案 A解析 由x 2＋2x <0，得－2<x <0，可知A 成立． 4． 设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c答案 D解析 因为log 45>1,0<log 54<1,0<log 53<1，所以(log 53)2<log 53<log 54，所以b <a <c ，选D.5． 命题p ：{2}∈{1,2,3}，q ：{2}⊆{1,2,3}，下述判断：①p 或q 为真；②p 或q 为假；③p且q 为真；④p 且q 为假；⑤非p 为真；⑥非q 为假．其中正确的个数为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 p 假，q 真，而非p ，非q 的结论与之相反．6． 已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过(－1,3)和(1,1)两点，若0<c <1，则a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．[2,3)D ．[1,3]2答案 B解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝3a ＋b ＋c ＝1，a ＋c ＝2，∵0<c <1，∴0<2－a <1，∴1<a <2，故选B.7． 已知f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)，且f (2 011)·g (－2 011)<0，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一坐标系内的大致图象是( )答案 B解析 当x >0时两函数单调性一致，排除A ，D ，又恒有f (x )>0，所以g (－2 011)<0，∴log a 2 011<0，∴0<a <1，即函数为减函数，故选B.8． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0.若f (a )＝12，则a 等于( )A ．－1或 2B ． 2C ．－1D ．1或－ 2答案 A解析 若a >0，则f (a )＝log 2a ＝12，得a ＝2，若a ≤0，则f (a )＝2a ＝12，得a ＝－1.9． 设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f (x )＝(12)x －1，则f (23)，f (32)，f (13)的大小关系是 ( ) A ．f (23)>f (32)>f (13)B ．f (23)>f (13)>f (32)C ．f (32)>f (23)>f (13)D ．f (13)>f (32)>f (23)答案 A解析 函数y ＝f (x ＋1)是偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，即函数关于x ＝1对称．所以f (23)＝f (43)，f (13)＝f (53)，当x ≥1时，f (x )＝(12)x －1单调递减，所以由43<32<53，得f (43)>f (32)>f (53)，即f (23)>f (32)>f (13)，选A.10．先作函数y ＝lg 11－x的图象关于原点对称的图象，再将所得图象向右平移一个单位得图象C 1，函数y ＝f (x )的图象C 2与C 1关于直线y ＝x 对称，则函数y ＝f (x )的解析式为( ) A ．y ＝10x B ．y ＝10x －2 C ．y ＝lg xD ．y ＝lg(x －2)答案 A解析 熟悉常见图象变换．y ＝lg 11－x →y ＝－lg 11＋x＝lg(x ＋1)→y ＝lg x →y ＝10x .11．若函数y ＝f (x )在R 上可导，且满足不等式xf ′(x )>－f (x )恒成立，且常数a ，b 满足a >b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．af (b )>bf (a )B ．af (a )>bf (b )C ．af (a )<bf (b )D ．af (b )<bf (a )答案 B解析 令F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )，由xf ′(x )>－f (x )， 得xf ′(x )＋f (x )>0， 即F ′(x )>0，所以F (x )在R 上为递增函数． 因为a >b ，所以af (a )>bf (b )． 12．(2013·辽宁)设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x ＞0时，f (x )( ) A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．既有极大值又有极小值 D ．既无极大值也无极小值 答案 D 解析 由x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e xx， 得f ′(x )＝e x －2x 2f (x )x 3，令g (x )＝e x －2x 2f (x )，x ＞0，则g ′(x )＝e x －2x 2f ′(x )－4xf (x )＝e x －2·ex x ＝(x －2)e x x.令g ′(x )＝0，得x ＝2.当x ＞2时，g ′(x )＞0；当0＜x ＜2时，g ′(x )＜0， ∴g (x )在x ＝2时有最小值g (2)＝e 2－8f (2)＝0， 从而当x ＞0时，f ′(x )≥0，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)无极大值，也无极小值．二、填空题13．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax ，若f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间，则a 的取值范围为________． 答案 (－19，＋∞)解析 由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋14＋2a ，得当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′(23)＝29＋2a .令29＋2a >0，得a >－19.所以a >－19时，f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间．14．方程x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ＝0的一根大于2，一根小于2，那么实数m 的取值范围是__________． 答案 (－∞，－3)解析 设f (x )＝x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ，其图象开口向上，由题意，得f (2)<0，即22＋ (2m －1)×2＋4－2m <0，解得m <－3.15．函数y ＝f (x )为定义在R 上的减函数，函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，x ，y 满足不等式f (x 2－2x )＋f (2y －y 2)≤0，M (1,2)，N (x ，y )，O 为坐标原点，则当1≤x ≤4时，OM →·ON→的取值范围为________． 答案 [0,12]解析 因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称， 所以y ＝f (x )的图象关于原点对称，即函数y ＝f (x )为奇函数， 由f (x 2－2x )＋f (2y －y 2)≤0得f (x 2－2x )≤－f (2y －y 2)＝f (y 2－2y )， 所以x 2－2x ≥y 2－2y ，所以⎩⎨⎧x 2－2x ≥y 2－2y 1≤x ≤4，即⎩⎨⎧(x －y )(x ＋y －2)≥01≤x ≤4， 画出可行域如图，可得OM →·ON →＝x ＋2y ∈[0,12]．16．已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题： ①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8. 以上命题中所有正确命题的序号为________． 答案 ①②④解析 令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0；根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，可得函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8.故正确命题的序号为①②④. 三、解答题17．设集合A ＝{x |x 2<4}，B ＝{x |1<4x ＋3}． (1)求集合A ∩B ；(2)若不等式2x 2＋ax ＋b <0的解集为B ，求a ，b 的值． 解 A ＝{x |x 2<4}＝{x |－2<x <2}，B ＝{x |1<4x ＋3}＝{x |x －1x ＋3<0}＝{x |－3<x <1}，(1)A ∩B ＝{x |－2<x <1}．(2)因为2x 2＋ax ＋b <0的解集为B ＝{x |－3<x <1}， 所以－3和1为2x 2＋ax ＋b ＝0的两根． 由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－a2＝－3＋1，b2＝－3×1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－6.18．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )·x ＋ax ，且g (x )在区间[0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵f (x )的图象与h (x )的图象关于点A (0,1)对称，设f (x )图象上任意一点坐标为B (x ，y )，其关于A (0,1)的对称点B ′(x ′，y ′)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋x 2＝0，y ＋y ′2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－x ，y ′＝2－y .∵B ′(x ′，y ′)在h (x )上，∴y ′＝x ′＋1x ′＋2.∴2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x .(2)∵g (x )＝x 2＋ax ＋1，且g (x )在[0,2]上为减函数，∴－a2≥2，即a ≤－4.∴a 的取值范围为(－∞，－4]．19．若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点． (1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点． 解 (1)由题设得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，解之得a ＝0，b ＝－3. (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x . 因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2， 于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2. 当x <－2时，g ′(x )<0；当－2<x <1时， g ′(x )>0，故－2是g (x )的极值点． 当－2<x <1或x >1时，g ′(x )>0， 故1不是g (x )的极值点． 所以g (x )的极值点为－2.20．已知函数f (x )＝x k ＋b (其中k ，b ∈R 且k ，b 为常数)的图象经过A (4,2)、B (16,4)两点．(1)求f (x )的解析式；(2)如果函数g (x )与f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，解关于x 的不等式：g (x )＋g (x －2)>2a (x －2)＋4.解 (1)⎩⎪⎨⎪⎧2＝4k＋b 4＝16k＋b⇒b ＝0，k ＝12⇒f (x )＝x .(2)设M (x ，y )是曲线y ＝g (x )上任意一点，由于函数g (x )与f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，所以M (x ，y )关于直线y ＝x 的对称点M ′(y ，x )必在曲线y ＝f (x )上，所以x ＝y ，即y ＝x 2，所以g (x )＝x 2(x ≥0)，于是 g (x )＋g (x －2)>2a (x －2)＋4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0x 2＋(x －2)2>2a (x －2)＋4⇔⎩⎨⎧x ≥2(x －a )(x －2)>0①若a ≤2，则不等式的解集为{x |x >2}； ②若a >2，则不等式的解集为{x |x >a }．21．某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解 (1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162x米．则总造价f (x )＝400×(2x ＋2×162x )＋248×2x ＋80×162＝1 296x ＋1 296×100x＋12 960＝1 296(x ＋100x)＋12 960≥1 296×2 x ·100x ＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x ＝100x (x >0)，即x ＝10时取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元．(2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<162x≤16，∴1018≤x ≤16，设g (x )＝x ＋100x (1018≤x ≤16)，g (x )在⎣⎡⎦⎤1018，16上是增函数， ∴当x ＝1018时⎝⎛⎭⎫此时162x ＝16， g (x )有最小值，即f (x )有最小值， 即为1 296×⎝⎛⎭⎫1018＋80081＋12 960＝38 882元． ∴当长为16米，宽为1018米时总造价最低，总造价最低为38 882元．22．设函数f (x )＝e x －ax －2.(1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，k 为整数，且当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0，求k 的最大值． 解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． 若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．x(2)由于a ＝1时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x －1)＋x ＋1. 故当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0等价于 k <x ＋1e x －1＋x (x >0)．①令g (x )＝x ＋1e x －1＋x ，则g ′(x )＝－x e x －1(e x －1)2＋1＝e x (e x －x －2)(e x －1)2.由(1)知，函数h (x )＝e x －x －2在(0，＋∞)上单调递增， 又h (1)＝e －3<0，h (2)＝e 2－4>0. 所以h (x )在(0，＋∞)上存在唯一零点． 故g ′(x )在(0，＋∞)上存在唯一零点． 设此零点为α，则α∈(1,2)．当x ∈(0，α)时，g ′(x )<0；当x ∈(α，＋∞)时，g ′(x )>0， 所以g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g (α)．又由g ′(α)＝0，得e α＝α＋2, 所以g (α)＝α＋1∈(2,3)． 由于①式等价于k <g (α)， 故整数k 的最大值为2.。

日期：2022年二月八日。 日期：2022年二月八日。 综合仿真练(一)

制卷人：打自企； 成别使； 而都那。 审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。 1.如图，在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点

O，点E为PC的中点，OP＝OC，PA⊥PD.

求证：(1)PA∥平面BDE; (2)平面BDE⊥平面PCD. 证明：(1)连结OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC的中点． 又因为E为PC的中点， 所以OE∥PA. 又因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE， 所以PA∥平面BDE. (2)因为OE∥PA，PA⊥PD，所以OE⊥PD. 因为OP＝OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC. 又因为PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD＝P，所以OE⊥平面PCD. 又因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD. 2．(2021·一中模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，局部自变量、函数值如下表.

x π3 7π12

ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π

f(x) 2 4

求：(1)函数f(x)的单调增区间． (2)函数f(x)在(0，π]内的所有零点． 日期：2022年二月八日。 日期：2022年二月八日。 解：(1)由题意得 π3ω＋φ＝3π2，7π12ω＋φ＝2π，解得 ω＝2，φ＝5π6.

又 Asin 0＋B＝2，Asin π2＋B＝4，解得 A＝2，B＝2. ∴ f(x)＝2sin2x＋5π6＋2由－π2＋2kπ≤2x＋5π6≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－2π3＋kπ≤x≤－π6

＋kπ，k∈Z，

∴函数f(x)单调增区间为－2π3＋kπ，－π6＋kπ (k∈Z)． (2)∵f(x)＝2sin2x＋5π6＋2＝0， ∴sin2x＋5π6＝－1. ∵x∈(0，π]，∴5π6<2x＋5π6≤2π＋5π6，∴2x＋5π6＝3π2，解得：x＝π3. ∴函数f(x)在(0，π]内的零点为π3. 3．(2021·四模)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为14，左顶点为A，右焦点为F，且AF＝5. (1)求椭圆C的方程； (2)圆M的圆心M－78，0，半径为r，点P为椭圆上的一点，假设圆M与直线PA，PF都相切，求此时圆M的半径r. 解：(1)∵椭圆离心率为14，左顶点为A，右焦点为F，且AF＝5.

2.复数、平面向量考向1 复数的概念、运算及几何意义1.(2022·河南开封一模)设(1+i 4n+3)z=i,n ∈Z ,则在复平面内,复数z 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.(2022·全国甲·理1)若z=-1+√3i,则zz -1=( )A.-1+√3iB.-1-√3iC.-13+√33iD.-13−√33i3.(2022·全国乙·理2)已知z=1-2i,且z+a z +b=0,其中a ,b 为实数,则( ) A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-24.(2022·山东潍坊一模)已知复数z 满足z+3=4z +5i,则在复平面内复数z 对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 5.(2022·新高考Ⅰ·2)若i(1-z )=1,则z+z =( ) A.-2B.-1C.1D.2考向2 平面向量的概念及线性运算6. (2022·河南名校联盟一模)如图,在△ABC 中,点M 是AB 上的点且满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 是CM 上的点,且MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.12a +14b B.35a +15b C.14a +12bD.310a +35b7.(2022·河南名校联盟一模)下列关于平面向量的说法正确的是( ) A.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,则点A ,B ,C ,D 必在同一直线上 B.若a ∥b 且b ∥c ,则a ∥cC.若G 为△ABC 的外心,则GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 D.若O 为△ABC 的垂心,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 8.(2022·新高考Ⅰ·3)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD=2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.3m -2nB.-2m +3nC.3m +2nD.2m +3n9.(2022·河南许昌质检)正方形ABCD 中,P ,Q 分别是边BC ,CD 的中点,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x=( ) A.1113B.65C.56D.3210.(2022·河南名校联盟一模)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°,且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ∈R ,n ∈R ),则n-m= . 考向3 平面向量的数量积11.(2022·新高考Ⅱ·4)已知向量a =(3,4),b =(1,0),c =a +t b ,若<a ,c >=<b ,c >,则实数t=( ) A.-6 B.-5C.5D.612. (2022·新高考八省第二次T8联考)如图,在同一平面内沿平行四边形ABCD 两边AB ,AD 向外分别作正方形ABEF ,正方形ADMN ,其中AB=2,AD=1,∠BAD=π4,则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗=( )A.-2√2B.2√2C.0D.-1 13.(2022·山东威海期末)已知向量a ,b 满足|a |=|b |=2,且a -b 在a 上的投影为2+√3,则<a ,b >=( )A.π6 B.π3C.2π3D.5π614.(2022·山东潍坊期末)已知正方形ABCD 的边长为2,MN 是它的内切圆的一条弦,点P 为正方形四条边上的动点,当弦MN 的长度最大时,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A.[0,1]B.[0,√2]C.[1,2]D.[-1,1]15.(2022·山东济宁一模)等边三角形ABC 的外接圆的半径为2,点P 是该圆上的动点,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A.4 B.7C.8D.111 3,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=.16.(2022·全国甲·理13)设向量a,b的夹角的余弦值为2.复数、平面向量1.B 解析: ∵i 4n+3=i 4n ·i 3=-i, ∴(1+i 4n+3)z=(1-i)z=i, ∴z=i1-i =i (1+i )(1-i )(1+i )=-12+12i,∴复数z 在复平面内对应的点为-12,12位于第二象限. 故选B . 2.C 解析: zz -1=√3i(-1+√3i )(-1-√3i )-1=√3i(-1)2+(√3)2-1=-13+√33i,故选C .3.A 解析: ∵z=1-2i, ∴z =1+2i,∴z+a z +b=1-2i +a (1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i =0, ∴{a +b +1=0,2a -2=0, 解得{a =1,b =-2.故选A .4.A 解析: 设z=x+y i,x ,y ∈R ,则z =x-y i,由z+3=4z +5i 得(x+y i)+3=4(x-y i)+5i,即(x+3)+y i =4x+(5-4y )i,于是得{x +3=4x ,y =5-4y ,解得x=y=1,则有z=1+i 对应的点为(1,1),所以在复平面内复数z 对应的点在第一象限. 故选A .5.D 解析: ∵i(1-z )=1, ∴z=i -1i=1+i, ∴z =1-i . ∴z+z =2. 故选D .6.B 解析: AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=45AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =45×34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =35a +15b .7.D 解析: 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,则直线AB 与CD 平行或重合,∴点A ,B ,C ,D 不一定在同一直线上,A 错;当b =0时,满足a ∥b 且b ∥c ,不能得出a ∥c ,B 错; 当G 为△ABC 的重心,则GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,C 错; 若O 为△ABC 的垂心,则OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,同理OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴D 正确,故选D . 8.B解析: 如图.∵BD=2DA ,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2m +3n . 故选B .9.C 解析: ∵P ,Q 分别是正方形边BC ,CD 的中点,∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +A D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =x (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+y -12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x-12y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x+y )AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴{x -12y =1,x +y =12,∴{x =56,y =-13,故选C . 10.12解析: 由题意在题图中以O 为原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向为x 轴非负半轴,过O 与OA 垂直向上为y 轴正方向建立平面直角坐标系(图略),则A (1,0),∵向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α, tan α=7,∴cos α=√210,sin α=7√210, 又|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,∴C15,75,cos(α+45°)=-35,sin(α+45°)=45,∴B -35,45, ∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴15,75=m (1,0)+n -35,45,∴{m -35n =15,45n =75,解得{m =54,n =74,∴n-m=12. 11.C 解析: 由题意得c =(3+t ,4),cos <a ,c >=cos <b ,c >,故9+3t+16|c |×5=3+t|c |×1,解得t=5.故选C .12.C 解析: AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +A A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos π4+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 3π4+0=√2−√2=0.选C . 13.D 解析: (a -b )·a =|a -b ||a |cos <a -b ,a >=(2+√3)·2, 即a 2-a ·b =4+2√3,a ·b =-2√3.所以|a ||b |cos <a ,b >=-2√3,cos <a ,b >=-√32,<a ,b >=5π6.14.A 解析: 由题当弦MN 长度最大时,即MN 为直径,设弦MN 的中点为O ,由题意,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1=|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2|-1,由1≤|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤√2,得PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[0,1]. 15.C解析: 如图所示,建立平面直角坐标系,设△ABC 的边长为a ,则asinA =2R=4(R 为△ABC 外接圆半径),所以a=2√3,A (0,3),B (-√3,0),C (√3,0),△ABC 的外接圆的方程为x 2+(y-1)2=4,设P 点坐标为(2cos θ,1+2sin θ),θ∈R ,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ (PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=4+2√3cos θ+2sin θ=4+4cos θ-π6≤8,当cos θ-π6=1时,等号成立.故选C .。

高考数学（理科）二轮复习模拟试卷及答案（2套）模拟题一第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝log 2x ，12≤x ≤4，B ＝{x |x ≤2}，，则A ∩B ＝( ) A ．[－1，2] B ．[0，2] C ．[－1，4]D ．[0，4]2．已知复数z ＝4＋2i（1＋i ）2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则m 的值为( )A ．－3B ．－4C ．－5D ．－63．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，M (2，2)为其终边上一点，则cos 2α＝( )A ．－23B.23 C ．－13D.134．已知直角坐标原点O 为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的中心，F 1，F 2为左、右焦点，在区间(0，2)上任取一个数e ，则事件“以e 为离心率的椭圆C 与圆O ：x 2＋y 2＝a 2－b 2没有交点”的概率为( )A.24B.4－24C.22D.2－225．为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，(x 4，y 4)，(x 5，y 5)．根据收集到的数据可知x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝150，由最小二乘法求得回归直线方程为y ^＝0.67x ＋54.9，则y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5的值为( )A ．75B ．155.4C ．375D ．466.26．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减，为奇函数 C ．在⎝⎛⎭⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称7．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π＋2，则它的表面积是( )A.⎝⎛⎭⎫3132＋3π＋22＋2B.⎝⎛⎭⎫3134＋32π＋22＋2C.132π＋22 D.134π＋22 8．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ln |x |图象的大致形状为( )9．已知一次函数f (x )＝kx ＋b 的图象经过点P (1，2)和Q (－2，－4)，令a n ＝f (n )f (n ＋1)，n ∈N *，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，当S n ＝625时，n 的值等于( )A ．24B ．25C ．23D ．2610．已知不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2 2 ≥0，x ≤22，y ≤22表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P ，作圆x 2＋y 2＝1的两条切线且切点分别为A ，B ，当△P AB 的面积最小时，cos ∠APB 的值为( )A.78B.12C.34D.3211．设F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P (x 0，2a )为双曲线上一点，若△PF 1F 2的重心和内心的连线与x 轴垂直，则双曲线的离心率为( )A.62B.52C. 6D. 512．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0＜x ＜3，sin π6x ，3≤x ≤15.若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1＜x 2＜x 3＜x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则（x 3－2）（x 4－2）x 1x 2的取值范围是( )A ．(10，52)B ．(13，40)C ．(11，17)D ．(15，25)第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－2n展开式中的常数项是70，则n ＝________. 14．如图所示的程序框图中，x ∈[－2，2]，则能输出x 的概率为________．第14题图 第15题图15．如图所示，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n …分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等，OA n ＝a n ，若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．16．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线l 1，l 2与抛物线y 2＝－4x 的准线l 围成区域Ω(包含边界)，对于区域Ω内任意一点(x ，y )，若y －x －2x ＋3的最大值小于0，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos 2C －cos 2A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋C ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－C . (1)求角A 的值；(2)若a ＝3且b ≥a ，求2b －c 的取值范围．18．(本小题满分12分)微信是腾讯公司推出的一款手机通讯软件，它支持发送语音、视频、图片和文字等，一推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信朋友圈销售商品的人(被称为微商)．经调查，年龄在40岁以下(不包括40岁)的微信用户每天使用微信的时间不低于8小时的概率为35，年龄在40岁以上(包括40岁)的微信用户每天使用微信的时间不低于8小时的概率为p ，将每天使用微信的时间不低于8小时的微信用户称为“微信狂”．若甲(21岁)、乙(36岁)、丙(48岁)三人中有且仅有一人是“微信狂”的概率为2875.(1)求甲、乙、丙三人中至少有两人是“微信狂”的概率；(2)记甲、乙、丙三人中是“微信狂”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．19．(本小题满分12分)某几何体ABC -A 1B 1C 1的三视图和直观图如图所示．(1)求证：A 1C ⊥平面AB 1C 1； (2)求二面角C 1­AB 1­C 的余弦值．20．(本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点为F (c ，0)且a ＞b ＞c ＞0，设短轴的一个端点为D ，原点O 到直线DF 的距离为32，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于C ，G 两点，且|GF →|＋|CF →|＝4.(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在过点P (2，1)的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A ，B 且使得 OP →2＝4P A →·PB →成立？若存在，试求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝m (x －1)e x ＋x 2(m ∈R )． (1)若m ＝－1，求函数f (x )的单调区间；(2)若对任意的x <0，不等式x 2＋(m ＋2)x >f ′(x )恒成立，求m 的取值范围； (3)当m ≤－1时，求函数f (x )在[m ，1]上的最小值．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3.(1)求曲线C 2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；(2)若曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，求|AB |的最大值和最小值． 23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数f (x )＝2|x＋a |－|x ＋b |.(1)当a ＝1，b ＝－1时，求使f (x )≥22的x 的取值范围； (2)若f (x )≥132恒成立，求a －b 的取值范围．答案及解析1．解析：选B.由题意得A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪log 212≤y ≤log 24＝{y |－1≤y ≤2}＝[－1，2]，又B ＝{x |x ≤2}＝[0，4]， 所以A ∩B ＝[0，2]．故选B.2．解析：选C.z ＝4＋2i （1＋i ）2＝4＋2i 2i ＝（4＋2i ）i 2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5.故选C.3．解析：选D.因为M (2，2)为角α终边上一点， 所以cos α＝222＋（2）2＝26＝63， 所以cos 2α＝2cos 2 α－1 ＝2×⎝⎛⎭⎫632－1＝13.故选D.4．解析：选A.满足题意时，椭圆上的点P (a cos θ，b sin θ)到圆心O (0，0)的距离： d 2＝(a cos θ－0)2＋(b sin θ－0)2＞r 2＝a 2－b 2，整理可得，b 2a 2＞sin 2θ1＋sin 2θ，所以e 2＝1－b 2a 2＜1－sin 2θ1＋sin 2θ＝11＋sin 2θ， 又因为⎝⎛⎭⎫11＋sin 2θmin ＝12，据此有e 2＜12，0＜e ＜22，题中事件的概率p ＝22－02－0＝24.故本题选择A 选项．5．解析：选C.由x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝150，得x ＝30，代入回归直线方程y ^＝0.67x ＋54.9，得y ＝75，则y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＝375.6．解析：选B.由题意得，g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4－π2＝sin(2x －π)＝－sin 2x ，对于A ，最大值为1正确，而g ⎝⎛⎭⎫π2＝0，图象不关于直线x ＝π2对称，故A 错误；对于B ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，2x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，满足单调递减，显然g (x )也是奇函数，故B 正确；C 显然错误；对于D ，周期T ＝2π2＝π，g ⎝⎛⎭⎫3π8＝－22，故图象不关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称．7．解析：选A.由三视图可知，该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体，其中：V 圆锥＝34×13×πa 2×3＝34πa 2，V 三棱锥＝12a 2×3×13＝12a 2，由题意：34πa 2＋12a 2＝3π＋2，所以a ＝2，据此可知：S 底＝2×2×π×34＋12×2×2＝3π＋2，S 圆锥侧＝34π×13×2＝3132π，S 棱锥侧＝12×22×11＝22，它的表面积是⎝⎛⎭⎫3132＋3π＋22＋2.本题选择A 选项．8．解析：选D.因为f (－x )＝⎝⎛⎭⎫－x ＋1－x ln |－x |＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ln |x |＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数，关于(0，0)对称，排除A ，B ；当x ＝2时，f (2)＝52ln 2＞0，故选D.9．解析：选A.因为一次函数f (x )＝kx ＋b 的图象经过点P (1，2)和Q (－2，－4)，可得⎩⎪⎨⎪⎧2＝k ＋b ，－4＝－2k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝0， 所以f (x )＝2x ，a n ＝f (n )f (n ＋1)＝2n ×2(n ＋1)＝4n (n ＋1)， 1a n ＝14n （n ＋1）＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， S n ＝14⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝14×n n ＋1＝625， 得n ＝24.10．解析：选B.设点P (x ，y )，|PO |＝x 2＋y 2，sin ∠APO ＝1|PO |， cos ∠APO ＝|PO |2－1|PO |，sin ∠APB ＝2|PO |2－1|PO |2，故S △APB ＝12|P A |·|PB |sin ∠APB ＝12(|PO |2－1)2·2|PO |2－1|PO |2＝(|PO |2－1)2·|PO |2－1|PO |2，令t ＝|PO |2－1，则(|PO |2－1)2·|PO |2－1|PO |2＝t ·t t ＋1，令f (t )＝t tt ＋1，则f ′(t )＝t （t ＋3）2（t ＋1）2，又|PO |≥|0＋0－22|12＋12＝2，所以t ≥3，f ′(t )＞0，f (t )在[3，＋∞)上单调递增，即|PO |＝x 2＋y 2取最小值时，△P AB 的面积最小，此时sin ∠APB ＝2|PO |2－1|PO |2＝32，cos ∠APB ＝12.11．解析：选A.画出图形如图所示，设△PF 1F 2的重心和内心分别为G ，I ，且圆I 与△PF 1F 2的三边F 1F 2，PF 1，PF 2分别切于点M ，Q ，N ，由切线的性质可得|PN |＝|PQ |，|F 1Q |＝|F 1M |，|F 2N |＝|F 2M |.不妨设点P (x 0，2a )在第一象限内，因为G 是△PF 1F 2的重心，O 为F 1F 2的中点， 所以|OG |＝13|OP |，所以G 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 03，2a 3.由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝|F 1Q |－|F 2N |＝|F 1M |－|F 2M |， 又|F 1M |＋|F 2M |＝2c ，所以|F 1M |＝c ＋a ，|F 2M |＝c －a ， 所以M 为双曲线的右顶点．又I 是△PF 1F 2的内心，所以IM ⊥F 1F 2. 设点I 的坐标为(x I ，y I )，则x I ＝a . 由题意得GI ⊥x 轴， 所以x 03＝a ，故x 0＝3a ，所以点P 坐标为(3a ，2a )．因为点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，所以9a 2a 2－4a 2b 2＝9－4a 2b 2＝1，整理得b 2a 2＝12，所以e ＝ca ＝1＋b 2a2＝1＋12＝62. 故选A.12．解析：选B.作出函数f (x )的图象，如图所示，易知，0＜x 1＜x 2＜3，且x 1x 2＝1，3＜x 3＜6，12＜x 4＜15，且x 3，x 4所对应的图象上的点关于直线x ＝9对称，设x 3＝9－t ，x 4＝9＋t ，t ∈(3，6)，所以（x 3－2）（x 4－2）x 1x 2＝(7－t )(7＋t )＝49－t 2∈(13，40)．13．解析：因为⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－2n＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －1x 2n ＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2n， 所以T r ＋1＝C r 2n (－1)r x2n－r －r，所以C n 2n (－1)n ＝70，又C 48＝70，所以n ＝4.答案：414．解析：因为－2≤x ≤2，所以当－2≤x ≤0时，不等式|x |＋|x －1|≤2可化为－x －(x －1)≤2，得－12≤x ≤0；当0<x ≤1时，不等式|x |＋|x －1|≤2可化为x －(x －1)≤2恒成立；当1<x ≤2时，不等式|x |＋|x －1|≤2可化为x ＋(x －1)≤2，得1<x ≤32.综上，满足不等式|x |＋|x －1|≤2的x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－12，32，所以能输出x 的概率为32＋122＋2＝12. 答案：1215．解析：如图，由题意可知：S 0S 0＋S ＝⎝⎛⎭⎫a n －1a n 2，①S 0＋2S S 0＋S ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n 2，② ①②两式相加得2＝a 2n －1a 2n ＋a 2n ＋1a 2n，所以2a 2n ＝a 2n －1＋a 2n ＋1，所以数列{a 2n }是首项为a 21、公差为a 22－a 21＝3的等差数列．故a 2n ＝a 21＋3(n －1)＝3n －2，即a n ＝3n －2.答案：a n ＝3n －2 16．解析：抛物线y 2＝－4x的准线为x ＝1，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±bax ，令x＝1，得y ＝±ba ，所以抛物线的准线与双曲线的渐近线的两个交点分别为A ⎝⎛⎭⎫1，b a 和B ⎝⎛⎭⎫1，－b a ，设t ＝y －x －2x ＋3，整理得y ＝(t ＋1)x ＋3t ＋2，由于直线y ＝(t ＋1)x ＋3t ＋2过定点(－3，－1)，所以当直线y ＝(t ＋1)x ＋3t ＋2过点A ⎝⎛⎭⎫1，b a 时，t 达到最大，最大值为t ＝ba －1－21＋3<0，所以b a <3，b 2a 2<9，所以e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2<10，所以1<e <10，即离心率e 的取值范围为(1，10)．答案：(1，10)17．解：(1)由已知得2sin 2A －2sin 2C ＝2⎝⎛⎭⎫34cos 2 C －14sin 2 C ， 化简得sin A ＝32， 故A ＝π3或2π3.(2)由正弦定理b sin B ＝c sin C ＝asin A ＝2，得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，故2b －c ＝4sin B －2sin C ＝4sin B －2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3sin B －3cos B ＝23sin ⎝⎛⎭⎫B －π6.因为b ≥a ，所以π3≤B <2π3，π6≤B －π6<π2，所以2b －c ＝23sin ⎝⎛⎭⎫B －π6∈[3，23)． 18．解：(1)根据题意知，甲为“微信狂”，乙、丙都不是“微信狂”的概率为35×⎝⎛⎭⎫1－35×(1－p )＝625(1－p )，乙为“微信狂”，甲、丙都不是“微信狂”的概率为⎝⎛⎭⎫1－35×35×(1－p )＝625(1－p )． 丙为“微信狂”，甲、乙都不是“微信狂”的概率为⎝⎛⎭⎫1－35×⎝⎛⎭⎫1－35×p ＝425p . 又甲、乙、丙三人中有且仅有一人是“微信狂”的概率为2875，所以625(1－p )＋625(1－p )＋425p ＝2875，解得p ＝13.故甲、乙、丙三人中至少有两人是“微信狂”的概率为1－2875－⎝⎛⎭⎫1－35×⎝⎛⎭⎫1－35×⎝⎛⎭⎫1－13＝1325. (2)由题意知X 的所有可能取值为0，1，2，3， 则P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－35×⎝⎛⎭⎫1－35×⎝⎛⎭⎫1－13＝875， P (X ＝1)＝2875，P (X ＝2)＝35×35×⎝⎛⎭⎫1－13＋35×⎝⎛⎭⎫1－35×13＋⎝⎛⎭⎫1－35×35×13＝3075＝25， P (X ＝3)＝35×35×13＝975＝325，所以随机变量X 的分布列为数学期望E (X )＝0×875＋1×2875＋2×25＋3×325＝2315.19．解：(1)证明：由三视图可知，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面A 1B 1C 1，B 1C 1⊥A 1C 1，且AA 1＝AC ＝4，BC ＝3.以点C 为原点，分别以CA 、CB 、CC 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．由已知可得A (4，0，0)，B (0，3，0)，C (0，0，0)，A 1(4，0，4)，B 1(0，3，4)，C 1(0，0，4)．所以A 1C →＝(－4，0，－4)，C 1A →＝(4，0，－4)，C 1B 1→＝(0，3，0)．所以A 1C →·C 1A →＝0，A 1C →·C 1B 1→＝0. 所以A 1C ⊥C 1A ，A 1C ⊥C 1B 1. 又C 1A ∩C 1B 1＝C 1， 所以A 1C ⊥平面AB 1C 1.(2)由(1)得，CA →＝(4，0，0)，CB 1→＝(0，3，4)． 设平面AB 1C 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则CB 1→⊥n ，CA →⊥n .所以⎩⎪⎨⎪⎧CB 1→·n ＝0CA →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋4z ＝04x ＝0.令y ＝4，得平面AB 1C 的一个法向量为n ＝(0，4，－3)． 由(1)知，A 1C →是平面AB 1C 1的一个法向量． 所以cos 〈n ，A 1C →〉＝n ·A 1C →|n |·|A 1C →|＝12202＝3210.故二面角C 1­AB 1­C 的余弦值为3210.20．解：(1)由椭圆的对称性知|GF →|＋|CF →|＝2a ＝4，所以a ＝2. 又原点O 到直线DF 的距离为32，所以bc a ＝32，所以bc ＝3，又a 2＝b 2＋c 2＝4，a ＞b ＞c ＞0，所以b ＝3，c ＝1.故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 与x 轴垂直时不满足条件．故可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0，所以x 1＋x 2＝8k （2k －1）3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k 2，Δ＝32(6k ＋3)＞0，所以k ＞－12.因为OP →2＝4P A →·PB →，即4[(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)]＝5， 所以4(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝5， 即4[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝5， 所以4⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k （2k －1）3＋4k 2＋4(1＋k 2)＝4×4＋4k 23＋4k 2＝5，解得k ＝±12，k ＝－12不符合题意，舍去．所以存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝12x .21．解：(1)当m ＝－1时，f (x )＝(1－x )e x ＋x 2，则f ′(x )＝x (2－e x )，由f ′(x )>0得，0<x <ln 2，由f ′(x )<0得x <0或x >ln 2，故函数的增区间为(0，ln 2)，减区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)． (2)依题意，f ′(x )＝mx (e x ＋2m )<x 2＋(m ＋2)x ，x <0，因为x <0，所以m e x －x －m >0， 令h (x )＝m e x －x －m ，则h ′(x )＝m e x －1，当m ≤1时，h ′(x )≤e x －1<0，则h (x )在(－∞，0)上单调递减，所以h (x )>h (0)＝0，符合题意；当m >1时，h (x )在(－∞，－ln m )上单调递减，在(－ln m ，0)上单调递增，所以h (x )min＝h (－ln m )<h (0)＝0，不合题意．综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]． (3)f ′(x )＝mx e x ＋2x ＝mx (e x ＋2m )，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln(－2m)，令g (m )＝ln(－2m )－m ，则g ′(m )＝－1m －1≤0，g (m )在m ＝－1时取最小值g (－1)＝1＋ln 2>0， 所以x 2＝ln(－2m)>m .即m ≤－1时，x 2＝ln(－2m )>m .(ⅰ)当－2<m ≤－1时，x 2＝ln(－2m )>0，f (x )min ＝min{f (0)，f (1)}＝min{－m ，1}＝1.(ⅱ)当m ＝－2时，函数f (x )在区间[m ，1]上为减函数，f (x )min ＝f (1)＝1.(ⅲ)当m <－2时，f (x )min ＝min{f (x 2)，f (1)}，f (x 2)＝－2[ln(－2m )－1]＋[ln(－2m )]2＝x 22－2x 2＋2>1，f (1)＝1， 此时f (x )min ＝1. 综上：f (x )min ＝1.22．解：(1)对于曲线C 2有ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3，即ρ2＝4ρcos θ＋43ρsin θ，因此曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －43y ＝0，其表示一个圆．(2)联立曲线C 1与曲线C 2的方程可得t 2－23sin α·t －13＝0，|AB |＝|t 1－t 2| ＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝（23sin α）2－4×（－13）＝12sin 2α＋52，因此|AB |的最小值为213，最大值为8.23．解：(1)由于y ＝2x 是增函数，所以f (x )≥22等价于|x ＋1|－|x －1|≥32.①(i)当x ≥1时，|x ＋1|－|x －1|＝2，则①式恒成立． (ii)当－1＜x ＜1时，|x ＋1|－|x －1|＝2x ，①式化为2x ≥32，即34≤x ＜1. (iii)当x ≤－1时，|x ＋1|－|x －1|＝－2，①式无解． 综上，x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫34，＋∞. (2)由f (x )≥132，得|x ＋a |－|x ＋b |≥－5，而由||x ＋a |－|x ＋b ||≤|x ＋a －x －b |＝|a －b |，得－|a －b |≤|x ＋a |－|x ＋b |≤|a －b |，② 要使②恒成立，只需－|a －b |≥－5，可得a －b 的取值范围是[－5，5]．模拟题二第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为R ，集合A ＝{－1，0，1，5}，B ＝{x |x 2－x －2≥0}，则A ∩∁R B ＝( ) A ．{－1，1} B ．{0，1} C ．{0，1，5}D ．{－1，0，1}2．复数z ＝1－i3＋i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．命题“∃x 0≤0，x 20≥0”的否定是( ) A ．∀x ≤0，x 2<0 B ．∀x ≤0，x 2≥0 C ．∃x 0>0，x 20>0D ．∃x 0<0，x 20≤04．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 3＝6，S 10＝100，则a 5＝( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．115．设a ，b 是互相垂直的单位向量，且(λa ＋b )⊥(a ＋2b )，则实数λ的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．1D ．－16．已知a ＝log 412，b ＝log 515，c ＝3－32，则( )A ．a >c >bB ．b >c >aC ．b >a >cD ．a >b >c7．安排A ，B ，C ，D ，E ，F 六名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，义工B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有( )A ．30种B ．40种C ．42种D ．48种8．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，AB ＝4，点D 在棱BB 1上，若BD ＝3，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正切值为( )A.235B.23913C.54D.439．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )A ．i ＜20，s ＝s －1i ，i ＝2iB ．i ≤20，s ＝s －1i ，i ＝2iC ．i ＜20，s ＝s2，i ＝i ＋1D ．i ≤20，s ＝s2，i ＝i ＋110．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )A ．[－2，1]B ．[－1，2]C ．[－1，1]D ．[1，2]11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 分别为x 轴，y 轴上一点，且|AB |＝1，若点P (1，3)，则|AP →＋BP →＋OP →|的取值范围是( )A ．[5，6]B ．[6，7]C ．[6，9]D ．[5，7]12．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|AB ||MN |的最小值为( )A. 2 B ．2 2 C. 3D ．2 3 第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A ，c＝7，且△ABC 的面积为332，a ＋b 的值为________．14．已知在平面直角坐标系中，O (0，0)，A (2，4)，B (6，2)，则三角形OAB 的外接圆的方程是__________．15.在《九章算术》中有称为“羡除”的五面体体积的求法．现有一个类似于“羡除”的有三条棱互相平行的五面体，其三视图如图所示，则该五面体的体积为________．16．设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x )，对于任意的实数x ，有f (x )＋f (－x )＝2x 2，当x ∈(－∞，0]时，f ′(x )＋1＜2x .若f (2＋m )－f (－m )≤2m ＋2，则实数m 的取值范围是______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x － 3. (1)求函数y ＝f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a ＝7，若锐角A 满足f ⎝⎛⎭⎫A 2－π6＝3，且sin B ＋sin C ＝13314，求bc 的值．18．(本小题满分12分)甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元．假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42 天数2040201010送餐单数 38 39 40 41 42 天数1020204010(1)40的概率； (2)若将频率视为概率，回答以下问题：①记乙公司送餐员日工资为X (单位：元)，求X 的分布列和数学期望；②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他做出选择，并说明理由．19.(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，四边形ABEF 为正方形．(1)求证：直线DF ，CE 为异面直线；(2)若平面ABCD ⊥平面ABEF ，AD ＝2DC ＝2BC ，求二面角A CF D 的余弦值．20．(本小题满分12分)已知直线y ＝x ＋1与函数f (x )＝a e x ＋b 的图象相切，且f ′(1)＝e. (1)求实数a ，b 的值；(2)若存在x ∈⎝⎛⎭⎫0，32，使得2mf (x －1)＋nf (x )＝mx (m ≠0)成立，求nm 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知中心在原点O ，左焦点为F 1(－1，0)的椭圆C 的左顶点为A ，上顶点为B ，F 1到直线AB 的距离为77|OB |. (1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 1的方程为：x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)，椭圆C 2的方程为：x 2m 2＋y 2n 2＝λ(λ>0，且λ≠1)，则称椭圆C 2是椭圆C 1的λ倍相似椭圆．已知C 2是椭圆C 的3倍相似椭圆，若椭圆C 的任意一条切线l 交椭圆C 2于两点M 、N ，试求弦长|MN |的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos α＋1y ＝2sin α＋1(α为参数)，在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρsin θ＋ρcos θ＝m .(1)若m ＝0时，判断直线l 与曲线C 的位置关系； (2)若曲线C 上存在点P 到直线l 的距离为22，求实数m 的取值范围 .23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知f (x )＝|x －2|＋|x ＋1|＋2|x ＋2|. (1)求证：f (x )≥5；(2)若对任意实数x ，15－2f (x )<a 2＋9a 2＋1都成立，求实数a 的取值范围．答案及解析1．解析：选B.由题得B ＝{x |x ≥2或x ≤－1}， 所以∁R B ＝{x |－1<x <2}， 所以A ∩∁R B ＝{0，1}．故选B.2．解析：选D.z ＝1－i 3＋i ＝（1－i ）（3－i ）（3＋i ）（3－i ）＝2－4i 10＝1－2i 5＝15－2i5，所以在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫15，－25， 所以复数z ＝1－i3＋i在复平面内对应的点位于第四象限．答案选D.3．解析：选A.特称命题的否定是将存在量词改成全称量词，再将结论否定． 4．解析：选B.设等差数列的公差为d ，因为a 1＋a 3＝6，S 10＝100，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋2d ＝610a 1＋45d ＝100，解得a 1＝1，d ＝2；因此a 5＝a 1＋4d ＝9.故选B.5．解析：选B.依题意，有|a |＝|b |＝1，且a ·b ＝0，又(λa ＋b )⊥(a ＋2b )，所以，(λa ＋b )(a ＋2b )＝0，即λa 2＋2b 2＋(2λ＋1)a ·b ＝0，即λ＋2＝0，所以，λ＝－2，故选B.6．解析：选D.易知a ＝log 412＝log 4(4×3)＝1＋log 43，b ＝log 515＝log 5(5×3)＝1＋log 53，由对数函数的性质知log 43>log 53>0，故a >b >1.又c ＝3－32<30＝1，故a >b >c .7．解析：选C.六名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人，共有：C 26C 24＝90种安排方法，其中A 照顾老人甲的情况有：C 15C 24＝30种， B 照顾老人乙的情况有：C 15C 24＝30种，A 照顾老人甲，同时B 照顾老人乙的情况有：C 14C 13＝12种，所以符合题意的安排方法有：90－30－30＋12＝42种． 故选C.8．解析：选B.取AC 的中点E ，连接BE ，如图，可得AD →·EB →＝(AB →＋BD →)·EB →＝AB →·EB →＝4×23×32＝12＝5×23×cos θ(θ为AD →与EB →的夹角)，所以cos θ＝235，sin θ＝135，tan θ＝396，又因为BE ⊥平面AA 1C 1C ，所以所求角的正切值为23913.9．解析：选D.根据题意可知，第一天s ＝12，所以满足s ＝s 2，不满足s ＝s －1i ，故排除AB ，由框图可知，计算第二十天的剩余时，有s ＝s2，且i ＝21，所以循环条件应该是i ≤20.故选D.10．解析：选C.因为sin αcos β－cos αsin β＝1，即sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，所以α－β＝π2，又⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，则π2≤α≤π，所以sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4，因为π2≤α≤π，所以3π4≤α＋π4≤5π4，所以－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1，即所求取值范围为[－1，1]． 11．解析：选D.设A (x ，0)，B (0，y )，由|AB |＝1得x 2＋y 2＝1，则AP →＋BP →＋OP →＝(1－x ，3)＋(1，3－y )＋(1，3)＝(3－x ，33－y )，所以|AP →＋BP →＋OP →|＝（3－x ）2＋（33－y ）2，设点Q (3，33)，则|OQ |＝32＋（33）2＝6，（3－x ）2＋（33－y ）2表示圆x 2＋y 2＝1上的任意一点与点Q (3，33)之间的距离，易知其最大距离为7，最小距离为5，所以|AP →＋BP →＋OP →|的取值范围为[5，7]．12.解析：选C.如图，过A 、B 分别作准线的垂线AQ 、BP ，垂足分别是Q 、P ，设|AF |＝a ，|BF |＝b ，由抛物线的定义，得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |，在梯形ABPQ 中，2|MN |＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b .在△ABF 中，由余弦定理得|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ，配方得|AB |2＝(a ＋b )2－ab ，因为ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，则(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝34(a ＋b )2，即|AB |2≥34(a ＋b )2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以|AB |2|MN |2≥34（a ＋b ）214（a ＋b ）2＝3，则|AB ||MN |≥3，即所求的最小值为 3. 13．解析：由3a ＝2c sin A ，结合正弦定理可得3sin A ＝2sin C sin A ，因为sin A ≠0，所以sin C ＝32. 在锐角三角形ABC 中，可得C ＝π3.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝34ab ＝332，解得ab ＝6.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝(a ＋b )2－18＝7，解得a ＋b ＝5.故答案为5.答案：514．解析：法一：设三角形OAB 的外接圆方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，4＋16＋2D ＋4E ＋F ＝0，36＋4＋6D ＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＝－6，E ＝－2，故三角形OAB 的外接圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＝0.法二：因为直线OA 的斜率 k OA ＝42＝2，直线AB 的斜率k AB ＝2－46－2＝－12，k AB ×k OA ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，所以三角形OAB 是直角三角形，点A 为直角顶点，OB 为斜边，因为|OB |＝36＋4＝40，故外接圆的半径r ＝|OB |2＝402＝10，又OB 的中点坐标为(3，1)，故三角形OAB 的外接圆的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10， 即x 2＋y 2－6x －2y ＝0. 答案：x 2＋y 2－6x －2y ＝015．解析：由三视图可得，该几何体为如图所示的五面体ABCEFD ， 其中，底面ABC 为直角三角形，且∠BAC ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，侧棱DB ，EC ，F A 与底面垂直，且DB ＝2，EC ＝F A ＝5.过点D 作DH ∥BC ，DG ∥BA ，交EC ，F A 分别于点H ，G ，则棱柱ABC -DHG 为直棱柱，四棱锥D -EFGH 的底面为矩形EFGH ，高为BA .所以V 五面体ABCEFD ＝V ABC ­DHG ＋V D ­EFGH ＝⎝⎛⎭⎫12×4×3×2＋13×32×4＝24. 故答案为24. 答案：2416．解析：令g (x )＝f (x )＋x －x 2，所以g (x )＋g (－x )＝f (x )＋x －x 2＋f (－x )－x －x 2＝f (x )＋f (－x )－2x 2＝0，所以g (x )为定义在R 上的奇函数，又当x ≤0时，g ′(x )＝f ′(x )＋1－2x ＜0，所以g (x )在R 上单调递减，所以f (2＋m )－f (－m )≤2m ＋2等价于f (2＋m )＋(2＋m )－(m ＋2)2≤f (－m )＋(－m )－(－m )2，即2＋m ≥－m ，解得m ≥－1，所以实数m 的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)17．解：(1)f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x －3＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，因此f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.f (x )的单调递减区间为2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 即x ∈⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )．(2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2－π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫A 2－π6＋π3＝2sin A ＝3，且A 为锐角，所以A ＝π3.由正弦定理可得 2R ＝a sin A ＝732＝143，sin B ＋sin C ＝b ＋c 2R ＝13314，则b ＋c ＝13314×143＝13，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝（b ＋c ）2－2bc －a 22bc ＝12，所以bc ＝40.18．解：(1)记“抽取的2天送餐单数都大于40”为事件M ， 则P (M )＝C 220C 2100＝19495.(2)①设乙公司送餐员送餐单数为a ，则 当a ＝38时，X ＝38×4＝152； 当a ＝39时，X ＝39×4＝156； 当a ＝40时，X ＝40×4＝160； 当a ＝41时，X ＝40×4＋1×6＝166； 当a ＝42时，X ＝40×4＋2×6＝172.所以X 的所有可能取值为152，156，160，166，172.故X 的分布列为：所以E (X )＝152×110＋156×15＋160×15＋166×25＋172×110＝162.②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.4＋40×0.2＋41×0.1＋42×0.1＝39.5， 所以甲公司送餐员日平均工资为70＋2×39.5＝149(元)． 由①得乙公司送餐员日平均工资为162元． 因为149<162，故推荐小明去乙公司应聘．19．解：(1)证明：假设直线DF ，CE 不是异面直线，即C ，D ，E ，F 四点共面， 设C ，D ，E ，F 四点确定的平面为α. 因为四边形ABEF 为正方形，所以EF ∥AB .因为平面ABCD 与平面ABEF 不重合，所以EF ⊄平面ABCD ， 又AB ⊂平面ABCD ，所以EF ∥平面ABCD . 因为EF ⊂平面α，平面α∩平面ABCD ＝CD ， 所以EF ∥CD ，所以AB ∥CD .又AB ，CD 为直角梯形ABCD 的两腰，不可能平行，故假设不成立， 即直线DF ，CE 为异面直线． (2)设DC ＝a ，连接BD .在直角梯形ABCD 中，过点B 作BG ⊥AD 于点G ， 因为AD ＝2BC ，所以G 为AD 的中点，所以AB ＝2a ， 又BD ＝2a ，AD ＝2a ，所以AB 2＋BD 2＝AD 2，BD ⊥AB . 因为四边形ABEF 为正方形， 所以BE ⊥AB ，又平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ， 所以BE ⊥平面ABCD ，所以BE ⊥BD .以点B 为坐标原点，射线BA ，BD ，BE 分别为x ，y ，z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系，取a ＝2，则A (2，0，0)，D (0，2，0)，C (－1，1，0)，F (2，0，2)，CF →＝(3，－1，2)，AC →＝(－3，1，0)，CD →＝(1，1，0)．设平面ACF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧m ·CF →＝0m ·AC →＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋2z ＝0，－3x ＋y ＝0，令x ＝1，得y ＝3，z ＝0，即平面ACF 的一个法向量为m ＝(1，3，0)． 设平面DCF 的法向量为n ＝(a ′，b ，c )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CF →＝0，n ·CD →＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ′－b ＋2c ＝0，a ′＋b ＝0，取a ′＝1，得b ＝－1，c ＝－2，即平面DCF 的一个法向量为n ＝(1，－1，－2)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m·n|m|·|n|＝－210×6＝－1515，由图可知，二面角A -CF -D 为锐角，所以二面角ACFD 的余弦值为1515. 20．解：(1)设直线y ＝x ＋1与函数f (x )＝a e x ＋b 的图象的切点为(x 0，f (x 0))． 由f (x )＝a e x ＋b 可得f ′(x )＝a e x . 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a e x 0＝1，x 0＋1＝a e x 0＋b a e ＝e ，，解得a ＝1，b ＝0. (2)由(1)可知f (x )＝e x ， 则存在x ∈⎝⎛⎭⎫0，32， 使2mf (x －1)＋nf (x )＝mx (m ≠0)成立， 等价于存在x ∈⎝⎛⎭⎫0，32， 使2m e x －1＋n e x ＝mx 成立． 所以n m ＝x －2e x －1e x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，32. 设g (x )＝x －2e x －1e x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，32， 则g ′(x )＝1－xe x， 当x ∈(0，1)时，g ′(x )>0，g (x )在(0，1)上单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎫1，32时，g ′(x )<0，g (x )在⎝⎛⎭⎫1，32上单调递减． 所以g (x )max ＝－1e ，g (0)＝－2e ，g ⎝⎛⎭⎫32＝32e 32－2e，g (0)－g ⎝⎛⎭⎫32＝－32e 32 <0. 所以nm的取值范围是⎝⎛⎦⎤－2e ，－1e . 21．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，所以直线AB 的方程为x －a ＋yb＝1， 所以F 1(－1，0)到直线AB 的距离d ＝|b －ab |a 2＋b2＝77b ， 即a 2＋b 2＝7(a －1)2， 又b 2＝a 2－1， 解得a ＝2，b ＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)椭圆C 的3倍相似椭圆C 2的方程为x 212＋y 29＝1，①若切线l 垂直于x 轴，则其方程为x ＝±2，易求得|MN |＝26， ②若切线l 不垂直于x 轴，可设其方程为y ＝kx ＋b ，将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 的方程，得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0， 所以Δ＝(8kb )2－4(3＋4k 2)(4b 2－12)＝48(4k 2＋3－b 2)＝0， 即b 2＝4k 2＋3，(*)记M 、N 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 2的方程，得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－36＝0， 此时：x 1＋x 2＝－8kb3＋4k 2，x 1x 2＝4b 2－363＋4k 2，|x 1－x 2|＝43（12k 2＋9－b 2）3＋4k 2，所以|MN |＝1＋k 2×43（12k 2＋9－b 2）3＋4k 2＝4 61＋k 23＋4k 2＝2 6 1＋13＋4k 2， 因为3＋4k 2≥3，所以1<1＋13＋4k 2≤43， 即26<2 61＋13＋4k 2≤4 2. 综合①②得：弦长|MN |的取值范围为[26，42]．22．解：(1)曲线C 的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，是一个圆； 当m ＝0时，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝0， 圆心C 到直线l 的距离为d ＝|1＋1|12＋12＝2＝r ，r 为圆C 的半径，所以直线l 与圆C 相切．(2)由已知可得，圆心C 到直线l 的距离为d ＝|1＋1－m |12＋12≤322，解得－1≤m ≤5.23．解：(1)证明：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x －3，x ≤－2，5，－2<x ≤－1，2x ＋7，－1<x ≤2，4x ＋3，x >2，所以f (x )的最小值为5.所以f (x )≥5. (2)由(1)知15－2f (x )的最大值为5. 因为a 2＋9a 2＋1＝(a 2＋1)＋9a 2＋1－1≥2（a 2＋1）×9a 2＋1－1＝5，当且仅当a 2＋1＝9a 2＋1时取“＝”，此时a ＝±2， 所以当a ＝±2时，a 2＋9a 2＋1取得最小值5.所以当a ≠±2时，a 2＋9a 2＋1>5.又对任意实数x ，15－2f (x )<a 2＋9a 2＋1都成立，所以a ≠±2.所以a 的取值范围为{a |a ≠±2}．。

仿真模拟题(一)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设i 为虚数单位，则复数z ＝2i 31＋i在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．某雷达测速区规定：凡车速大于或等于80 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有( ) A ．20辆 B ．40辆 C ．60辆 D ．80辆3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos 2x －sin 2x B ．y ＝lg|x |C ．y ＝e x－e－x 2D ．y ＝x 34．(2013·高考北京卷)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x5．(2013·高考安徽卷)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( ) A.16 B.2524 C.34 D.11126．给出下列命题：①如果不同直线m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不相交； ②如果不同直线m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定平行；③如果平面α、β互相平行，若直线m ⊂α，直线n ⊂β，则m ∥n ；④如果平面α、β互相垂直，且直线m 、n 也互相垂直，若m ⊥α，则n ⊥β.则真命题的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．07．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，34)B ．[34，43)C ．[34，＋∞) D ．(1，＋∞)8．已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0x ＋y ≥0x ≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，0]B ．[－1，1]C ．[0，1]D ．[－1，0)∪(0，1] 9．(2013·高考山东卷)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( ) A ．2 3 B ．2 C. 2 D ．110．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a ，6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－5，1) B ．[－5，1) C ．[－2，1) D ．(－2，1)二、填空题(本大题5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分．) (一)必做题(11～13题)11．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为________．12．已知a n ＝cos n π6＋161＋2cos 2n π12(n ∈N *)，则数列{a n }的最小值是________．13．已知函数y ＝f (x )的图象是开口向下的抛物线，且对任意x ∈R ，都有f (1－x )＝f (1＋x )，若向量a ＝(log 12m ，－1)，b ＝(1，－2)，则满足不等式f (a ·b )<f (－1)的实数m 的取值范围是________．(二)选做题(14～15，考生只能从中选做一题)14．(坐标系与参数方程选做题)若直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－22ty ＝6＋22t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，则圆心到直线l 的距离为________．15．(几何证明选讲选做题)如图，PQ 为半圆O 的直径，A 为以OQ 为直径的半圆A 的圆心，⊙O 的弦PN 切⊙A 于点M ，PN ＝8，则⊙A 的半径为________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R )的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈[－π，－π6]时，求f (x )的取值范围．17．(本小题满分12分)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列表：(1)(2)如果采用分层抽样的方法从爱好该项运动的大学生中选取6人，组成一个兴趣小组，求被选取的男女生的人数各是多少？(3)在上述6人小组中，随机选定2人去做某件事，求这2人中有女生被选中的概率． 数据：公式：K 2＝n ×（ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）18．(本小题满分14分)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝103，a n ＋1－103a n ＋a n －1＝0(n ≥2，且n ∈N *)．(1)若数列{a n ＋1＋λa n }是等比数列，求实数λ； (2)求数列{a n }的通项公式．19．(本小题满分14分)如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱AA 1⊥底面ABC ，∠ACB ＝90°，E 是棱CC 1的中点，F 是AB 的中点，AC ＝BC ＝1，AA 1＝2. (1)求证：CF ∥平面AB 1E ； (2)求三棱锥C -AB 1E 在底面AB 1E 上的高．20．(本小题满分14分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)以抛物线y 2＝8x 的焦点为顶点，且离心率为12.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于A 、B 两点，与直线x ＝－4相交于Q 点，P 是椭圆E 上一点且满足OP →＝OA →＋OB →(其中O 为坐标原点)，试问在x 轴上是否存在一点T ，使得OP →·TQ →为定值？若存在，求出点T 的坐标及OP →·TQ →的值；若不存在，请说明理由．21．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ax2－e x(a∈R)．(1)当a＝1时，试判断f(x)的单调性并给予证明；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)．①求实数a的取值范围；②证明：－e2<f(x1)<－1.(注：e是自然对数的底数)答案：1．【解析】选C.因为z ＝2i 31＋i ＝－2i1＋i ＝－2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝－i(1－i)＝－1－i ，所以复数z ＝2i 31＋i 在复平面内对应的点位于第三象限，故应选C. 2．【解析】选A.由频率分布直方图可得，大于或等于80 km/h 的汽车的频率为0.01×10＝0.1，所以其频数为0.1×200＝20，即被处罚的汽车大约有20辆． 3．【解析】选B.由偶函数排除C 、D ，再由在区间(1，2)内是增函数排除A.故选B.4．【解析】选B.∵e ＝3，∴ca ＝3，即a 2＋b 2a 2＝3，∴b 2＝2a 2，∴双曲线方程为x 2a 2－y22a2＝1，∴渐近线方程为y ＝±2x .5．【解析】选D.s ＝0，n ＝2，2<8，s ＝0＋12＝12；n ＝2＋2＝4，4<8，s ＝12＋14＝34；n ＝4＋2＝6，6<8，s ＝34＋16＝1112；n ＝6＋2＝8，8<8不成立，输出s 的值为1112.6．【解析】选C.当不同直线m 、n 都平行于平面α时，m 、n 的位置不能确定，因此命题①不是真命题；根据直线与平面垂直的性质定理可得命题②是真命题；命题③中m 、n 的位置关系不能确定，因此命题③不是真命题；命题④中的直线n 与平面β的位置关系不确定，因此命题④也不是真命题．故选C. 7．【解析】选B.A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a >0，f (－3)＝6a ＋8>0，根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f (2)≤0且f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤09－6a －1>0，所以⎩⎨⎧a ≥34a <43，即34≤a <43，故选B.8．【解析】选B.作出可行域如图中阴影部分所示，则z 在点A 处取得最大值，在点C 处取得最小值．又k BC ＝－1，k AB ＝1，∴－1≤－a ≤1，即－1≤a ≤1.9．【解析】选B.由正弦定理得：a sin A ＝bsin B，∵B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，∴1sin A ＝32sin A cos A. ∵A 为三角形的内角，∴sin A ≠0.∴cos A ＝32.又0<A <π，∴A ＝π6，∴B ＝2A ＝π3.∴C ＝π－A －B ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．由勾股定理得c ＝12＋（3）2＝2.10．【解析】选C.f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)·(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，所以f (x )的图象如图所示，因f (1)＝－2，f (－2)＝－2，若函数f (x )在(a ，6－a 2)上有最小值，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a <16－a 2>1，解得－2≤a <1. 11．【解析】在x －y ＋1＝0中，令y ＝0得x ＝－1，所以直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1，0)，即圆C 的圆心为(－1，0)．因为直线x ＋y ＋3＝0与圆C 相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r ＝|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.【答案】(x ＋1)2＋y 2＝212．【解析】设t ＝2＋cos n π6，有1≤t ≤3，则a n ＝cos n π6＋162＋cosn π6＝t ＋16t －2.用导数可以证明，函数f (t )＝t ＋16t在1≤t ≤3上是单调递减的，所以当t ＝3，即n ＝12k (k ∈N *)时，a n 取最小值193.【答案】19313．【解析】因为函数y ＝f (x )的图象是开口向下的抛物线，且对任意x ∈R ，都有f (1－x )＝f (1＋x )，所以函数y ＝f (x )为开口向下、以x ＝1为对称轴的二次函数，所以f (－1)＝f (3)．又因为a ·b ＝log 12m ＋2，所以不等式f (a ·b )<f (－1)即为不等式log 12m ＋2<－1或log 12m ＋2>3，解得m >8或0<m <12.【答案】(0，12)∪(8，＋∞)14．【解析】圆C 的直角方程为x 2＋(y －2)2＝4，得圆心坐标为(0，2)；由参数方程为⎩⎨⎧x ＝－22ty ＝6＋22t 消去t 后，得直线方程为x ＋y ＝6，那么圆心到直线l 的距离为|0＋2－6|12＋12＝22；【答案】2 215．【解析】设⊙A 的半径为R ，连接NQ 、MA ，∵∠PNQ ＝90°，∠PMA ＝90°，∴PMPN＝P A PQ ＝34， 又PN ＝8，∴PM ＝6，而PM 2＝PO ·PQ ，∴36＝2R ·4R ，∴OA ＝R ＝322.【答案】32216．【解】(1)由图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1.将(π6，1)代入得1＝sin(π6＋φ)，而－π2<φ<π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin(x ＋π3)．(2)由于x ∈[－π，－π6]，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin(x ＋π3)≤12，所以f (x )的取值范围是[－1，12]．17．【解】(1)K 2＝110×（40×30－20×20）260×50×60×50≈7.8>6.635，而P (K 2≥6.635)≈0.010＝1%，即，认为“爱好该项运动与性别没有关系”的概率是1%，∴有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．(2)应抽取男生人数为660×40＝4人，应抽取女生人数为660×20＝2人．(3)设6人中2个女生分别为A ，B ，4个男生分别为c ，d ，e ，f ， 则从6人中随机选定2人去做某件事的基本事件为：AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Af ，Bc ，Bd ，Be ，Bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef ，共15个基本事件，其中，有女生被选中的事件为AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Af ，Bc ，Bd ，Be ，Bf ，共9个，∴有女生被选中的概率为P ＝915＝35.18．【解】(1)设a n ＋1＋λa n ＝μ(a n ＋λa n －1)(n ≥2)， ∴a n ＋1＋(λ－μ)a n －λμa n －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝－103λμ＝－1，∴λ＝－13或λ＝－3.(2)由(1)知当n ≥2时，a n －13a n －1＝3n －1，①a n －3a n －1＝13n －1，②由①②得a n ＝38(3n －13n )．经验证，n ＝1时也成立，∴a n ＝38(3n －13n )．19．【解】(1)证明：取AB 1的中点G ，连接EG ，FG ， ∵F 、G 分别是AB 、AB 1的中点，∴FG ∥BB 1，FG ＝12BB 1.∵E 为侧棱CC 1的中点， ∴FG ∥EC ，FG ＝EC ，∴四边形FGEC 是平形四边形， ∴CF ∥EG ，∵CF ⊄平面AB 1E ，EG ⊂平面AB 1E ， ∴CF ∥平面AB 1E . (2)∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱AA 1⊥底面ABC ，∴BB 1⊥平面ABC .又AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥BB 1. ∵∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC .∵BB 1∩BC ＝B ，∴AC ⊥平面EB 1C ，∴AC ⊥CB 1，∴VA ­EB 1C ＝13S △EB 1C ·AC ＝13×(12×1×1)×1＝16.∵AE ＝EB 1＝2，AB 1＝6，∴S △AB 1E ＝32.∵VC ­AB 1E ＝VA ­EB 1C ，∴三棱锥C -AB 1E 在底面AB 1E 上的高为3VC －AB 1E S △AB 1E＝33.20．【解】(1)抛物线y 2＝8x 的焦点为椭圆E 的顶点， 即a ＝2. 又c a ＝12，故c ＝1，b ＝ 3. ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m 3x 2＋4y 2＝12， 得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m4k 2＋3.将P (－8km 4k 2＋3，6m4k 2＋3)代入椭圆E 的方程，得64k 2m 24（4k 2＋3）2＋36m 23（4k 2＋3）2＝1. 整理，得4m 2＝4k 2＋3.设T (t ，0)，Q (－4，m －4k )．∴TQ →＝(－4－t ，m －4k )，OP →＝(－8km 4k 2＋3，6m 4k 2＋3)．即OP →·TQ →＝32km ＋8kmt 4k 2＋3＋6m （m －4k ）4k 2＋3＝6m 2＋8km ＋8kmt 4k 2＋3.∵4k 2＋3＝4m 2，∴OP →·TQ →＝6m 2＋8km ＋8kmt 4m 2＝32＋2k （1＋t ）m.要使OP →·TQ →为定值，只需[2k （1＋t ）m ]2＝4k 2（1＋t ）2m 2＝（4m 2－3）（1＋t ）2m 2为定值，则1＋t ＝0，∴t ＝－1，∴在x 轴上存在一点T (－1，0)，使得OP →·TQ →为定值32. 21．【解】(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－e x ，f (x )在R 上单调递减．f ′(x )＝2x －e x ，只要证明f ′(x )≤0恒成立即可，设g (x )＝f ′(x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，当x ＝ln 2时，g ′(x )＝0，当x ∈(－∞，ln 2)时，g ′(x )>0，当x ∈(ln 2，＋∞)时，g ′(x )<0.∴f ′(x )max ＝g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2<0，故f ′(x )<0恒成立，∴f (x )在R 上单调递减．(2)①若f (x )有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两个根，故方程2ax －e x ＝0有两个根x 1，x 2，又x ＝0显然不是该方程的根，∴方程2a ＝e x x有两个根． 设φ(x )＝e x x ，得φ′(x )＝e x （x －1）x 2， 当x <0时，φ(x )<0且φ′(x )<0，φ(x )单调递减，当x >0时，φ(x )>0，当0<x <1时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减，当x >1时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增， 要使方程2a ＝e x x有两个根，需2a >φ(1)＝e ， 故a >e 2且0<x 1<1<x 2， 故a 的取值范围为(e 2，＋∞)． ②证明：由f ′(x 1)＝0，得2ax 1－e x 1＝0，故a ＝e x 12x 1，x 1 ∈(0，1)， f (x 1)＝ax 21－e x 1＝e x 12x 1·x 21－e x 1＝e x 1(x 12－1)，x 1∈(0，1)， 设φ(t )＝e t (t 2－1)(0<t <1)，则φ′(t )＝e t ·t －12<0， φ(t )在0<t <1上单调递减，故φ(1)<φ(t )<φ(0)，即－e 2<f (x 1)<－1.。

高考数学（理科）二轮复习模拟试卷及答案（2套）模拟题一第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U ＝{x |x ≤－1或x ≥0}，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |x 2>1}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x >0或x <－1}B ．{x |1<x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0≤x ≤2}2．设i 是虚数单位，若复数a ＋5i1－2i (a ∈R )是纯虚数，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．23．命题“∀x ∈[a ，b ]，f (x )g (x )＝0”的否定是( ) A ．∀x ∈[a ，b ]，f (x )≠0且g (x )≠0 B ．∀x ∈[a ，b ]，f (x )≠0或g (x )≠0 C ．∃x 0∈[a ，b ]，f (x 0)≠0且g (x 0)≠0 D ．∃x 0∈[a ，b ]，f (x 0)≠0或g (x 0)≠04．对任意的非零实数a ，b ，若a ⊗b ＝⎩⎨⎧b －1a ，a <b ，a ＋1b ，a ≥b ，则lg 10 000⊗⎝⎛⎭⎫12－2＝( )A.14B.54C.25D.455.甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N (μ1δ21)，N (μ2δ22)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是( )A ．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kgB ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量服从的正态分布的参数δ2＝1.996．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ，若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2 017项，则判断框内的条件是( )A．n≤2 015? B．n≤2 016?C．n>2 016? D．n<2 016?第6题图第7题图7．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，则此三棱柱的表面积为()A．20 B．48 3C．48＋8 3 D．8＋ 38．甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是()A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)，我们把使乘积a 1·a 2·a 3·…·a n为整数的n 叫作“优数”，则在(0，2 017]内的所有“优数”的和为( )A ．1 024B ．2 012C ．2 026D ．2 03610．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.3211．若函数y ＝f (x )的图象上的任意一点P 的坐标为(x ，y )，且满足条件|x |≥|y |，则称函数f (x )具有性质S ，那么下列函数中具有性质S 的是( )A ．f (x )＝e x －1B ．f (x )＝ln(x ＋1)C ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝|x 2－1|12.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，点M 是线段AB 上的点，过M 作y 轴的垂线交抛物线于点P ，若|PF |＝|PM |，则|AM ||MB |＝( )A ．1 B.23 C.p 2 D.2p第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．曲线f (x )＝2x＋3x 在点(1，f (1))处的切线方程为________．14．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且sin 2B ＋12sin B －12＝0，b＝1，c ＝3，则sin 2A －sin 2Csin 2B的值是________．15．设直线(k ＋1)x ＋(k ＋2)y －2＝0与两坐标轴围成的三角形面积为S k ，k ∈N *，则S 1＋S 2＋…＋S 10等于________．16．已知函数f (x )＝13ax 3＋ax 2－3ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2sin x cos x ．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)先将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤π3，2π上的值域．18．(本小题满分12分)某电子商务公司随机抽取1 000 名网络购物者进行调查．这1 000名购物者2015年网上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3，0.9]内，样本分组为：[0.3，0.4)，[0.4，0.5)，[0.5，0.6)，[0.6，0.7)，[0.7，0.8)，[0.8，0.9]．购物金额的频率分布直方图如下：电商决定给抽取的购物者发放优惠券，购物金额在[0.3，0.6)内的购物者发放100元的优惠券，购物金额在[0.6，0.9]内的购物者发放200元的优惠券．现采用分层抽样的方式从获得100元和200元优惠券的两类购物者中共抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得优惠券总金额X (单位：元)的分布列和均值．19．(本小题满分12分)在平面四边形ACBD (图①)中，△ABC 与△ABD 均为直角三角形且有公共斜边AB ，设AB ＝2，∠BAD ＝30°，∠BAC ＝45°，将△ABC 沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥C ′­ABD ，且使C ′D ＝ 2.(1)求证：平面C ′AB ⊥平面DAB ； (2)求二面角A -C ′D -B 的余弦值．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax －ln(x ＋1)，g (x )＝e x －x －1.曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在原点处的切线相同．(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ≥0时，g (x )≥kf (x )，求k 的取值范围．21.(本小题满分12分)已知双曲线C 的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，离心率e ＝52，顶点到其中一条渐近线的距离为255. (1)求双曲线C 的方程；(2)如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限．若AP →＝λPB →，λ∈⎣⎡⎦⎤13，2，求△AOB 的面积的最值．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋22ty ＝22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝12，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上．(1)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|F A |·|FB |的值； (2)求曲线C 的内接矩形的周长的最大值． 23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －a |. (1)当a ＝2时，解不等式f (x )<0;(2)若a >0，且对于任意的实数x 都有f (x )≤3，试求a 的取值范围．答案及解析1．解析：选C.法一：依题意B ＝{x |x >1或x <－1}，图中阴影部分表示集合A ∩(∁U B )，因为U ＝{x |x ≤－1或x ≥0}，所以∁U B ＝{x |x ＝－1或0≤x ≤1}，又集合A ＝{x |0≤x ≤2}，所以A ∩(∁U B )＝{x |0≤x ≤1}．法二：依题意A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |x >1或x <－1}，图中阴影部分表示集合A ∩(∁U B )，因为0∈A ，0∉B ，故0∈A ∩(∁U B )，故排除A 、B ，而2∈A ，2∈B ，故2∉A ∩(∁U B )，故排除D.2．解析：选D.因为a ＋5i 1－2i ＝a ＋5i （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝a －2＋i 为纯虚数，所以a －2＝0，得a ＝2.3．解析：选C.全称命题：∀x ∈M ，p (x )的否定为∃x 0∈M ，綈p (x 0)，原命题中f (x )g (x )＝0⇔f (x )＝0或g (x )＝0，故其否定为∃x 0∈[a ，b ]，f (x 0)≠0且g (x 0)≠0.4．解析：选B.因为lg 10 000＝lg 104＝4，⎝⎛⎭⎫12－2＝4， 所以lg 10 000⊗⎝⎛⎭⎫12－2＝4＋14＝54. 5．解析：选D.由图象可知甲图象关于直线x ＝0.4对称，乙图象关于直线x ＝0.8对称， 所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A 正确，C 正确；因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B 正确； 因为乙图象的最大值为1.99， 即12πδ2＝1.99， 所以δ2≠1.99，故D 错误． 故选D.6．解析：选B.通过分析，本程序框图是当型循环结构．第1次循环，s ＝1＋1＝2，n ＝1＋1＝2，第2次循环，s ＝2＋2＝4，n ＝2＋1＝3，…，第2 016次循环，n ＝2 017.所以结合选项可知判断框内的条件应为n ≤2 016？.7．解析：选C.因为侧(左)视图中等边三角形的高为23，所以等边三角形的边长为4，所以三棱柱的所有棱长均为4，故三棱柱的表面积为(4＋4＋4)×4＋2×12×4×23＝48＋8 3.8．解析：选C.“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．故选C.9．解析：选C.a 1·a 2·a 3·…·a n ＝log 23·log 34·log 45·…·log (n ＋1)(n ＋2)＝log 2(n ＋2)＝k ，k ∈Z ，令0＜n ＝2k －2≤2 017，则2＜2k ≤2 019，1＜k ≤10，所以“优数”之和为(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝22（1－29）1－2－18＝211－22＝2026.故选C.10．解析：选A.由函数f (x )的图象向左平移π6个单位得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3的图象，因为平移后的函数是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z .又因为|φ|<π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，23π，所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－32. 11．解析：选C.作出不等式|x |≥|y |所表示的平面区域如图中阴影部分所示，若函数f (x )具有性质S ，则函数f (x )的图象必须完全分布在阴影区域①和②部分，易知f (x )＝e x －1的图象分布在区域①和③部分，f (x )＝ln(x ＋1)的图象分布在区域②和④部分，f (x )＝sin x 的图象分布在区域①和②部分，f (x )＝|x 2－1|的图象分布在区域①、②和③部分，故选C.12．解析：选A.法一：如图，设A ⎝⎛⎭⎫y 212p ，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 222p ，y 2，P ⎝⎛⎭⎫y 22p ，y 0， 过P 作抛物线的准线x ＝－p2的垂线，垂足为N ，根据抛物线的定义，有|PF |＝|PN |＝x P＋p2，又|PF |＝|PM |，所以P 为MN 的中点，于是点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫y 20p ＋p2，y 0，又A ，B ，M ，F 在同一条直线上，所以k AB ＝k MF ，即y 1－y 2y 212p －y 222p ＝y 0－0⎝⎛⎭⎫y 20p ＋p 2－p 2， 所以2p y 1＋y 2＝py 0，所以y 0＝y 1＋y 22，因此M 是AB 的中点，故AMMB＝1.法二(特殊位置法)：事实上，当AB ⊥x 轴时，P 取O ，M 与F 为同一点，此时也符合题目的条件，且F 是AB 的中点，故|AM ||MB |＝1.13．解析： 由题知f (1)＝5，因为f ′(x )＝－2x 2＋3，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝1，所以切线方程为y －5＝x －1，即x －y ＋4＝0.答案：x －y ＋4＝014．解析：法一：由sin 2B ＋12sin B －12＝0可得sin B ＝12或sin B ＝－1(舍去)，故B ＝30°或B ＝150°，又c ＝3>b ＝1，所以B ＝30°，根据正弦定理b sin B ＝c sin C ，得1sin 30°＝3sin C ，解得C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，则sin 2A －sin 2C sin 2B ＝sin 290°－sin 260°sin 230°＝1；当C ＝120°时，A ＝30°，则sin 2A －sin 2C sin 2B ＝sin 230°－sin 2120°sin 230°＝14－3414＝－2.法二：由sin 2B ＋12sin B －12＝0可得sin B ＝12或sin B ＝－1(舍去)，故B ＝30°或B ＝150°，又c ＝3>b ＝1，所以B ＝30°，cos 30°＝a 2＋（3）2－123a ，即a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝2或1.若a ＝2，c ＝3，b ＝1，则sin 2A －sin 2C sin 2B ＝a 2－c 2b 2＝4－（3）21＝1，若a ＝1，c ＝3，b＝1，则sin 2A －sin 2C sin 2B ＝a 2－c 2b 2＝1－（3）21＝－2.答案：－2或115．解析：令y ＝0得x ＝2k ＋1，令x ＝0得y ＝2k ＋2. 所以S k ＝12·2k ＋1·2k ＋2＝2⎝⎛⎭⎫1k ＋1－1k ＋2，所以S 1＋S 2＋…＋S 10 ＝2⎣⎡⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…⎦⎤＋⎝⎛⎭⎫111－112＝2×⎝⎛⎭⎫12－112＝56. 答案：5616．解析：因为f (x )＝13ax 3＋ax 2－3ax ＋1，所以f ′(x )＝ax 2＋2ax －3a ＝a (x 2＋2x －3)＝a (x＋3)(x －1)．当a ＝0时，f (x )＝1，显然不满足题意；当a ≠0时，f (－3)，f (1)分别为函数f (x )的两个极值，因为函数f (x )＝13ax 3＋ax 2－3ax ＋1的图象经过四个象限，所以函数f (x )的两个极值的符号相反，即f (－3)·f (1)<0，所以(－9a ＋9a ＋9a ＋1)·⎝⎛⎭⎫13a ＋a －3a ＋1<0，即(9a ＋1)(5a －3)>0，解得a >35或a <－19，所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－19∪⎝⎛⎭⎫35，＋∞.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－19∪⎝⎛⎭⎫35，＋∞ 17．解：(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2sin x cos x＝sin 2x cosπ3＋cos 2x sin π3＋cos 2x cos π6－sin 2x sin π6＋sin 2x ＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，先将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位长度得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象．令t ＝12x ＋π6，则函数g (x )可转化为y ＝2sin t . 因为π3≤x ≤2π，所以π3≤t ≤7π6，所以当t ＝π2，即x ＝2π3时，y max ＝g ⎝⎛⎭⎫2π3＝2；当t ＝7π6，即x ＝2π时，y min ＝g (2π)＝－1.所以函数y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤π3，2π上的值域为[－1，2]． 18．解：利用分层抽样从1 000人中抽取10人，获得100元优惠券的购物者有：10×(1.5＋2.5＋3)×0.1＝7(人)， 获得200元优惠券的购物者有：10×(2＋0.8＋0.2)×0.1＝3(人)．则此3人所获优惠券的总金额X 的可能取值有：300，400，500，600，且P (X ＝300)＝C 37C 03C 310＝35120＝724，P (X ＝400)＝C 27C 13C 310＝63120＝2140，P (X ＝500)＝C 17C 23C 310＝21120＝740，P (X ＝600)＝C 07C 33C 310＝1120.于是，X 的分布列为：均值为E (X )＝300×35120＋400×63120＋500×21120＋600×1120＝390.19．解：(1)证明：取AB 的中点O ，连接C ′O ，DO ， 在Rt △AC ′B ，Rt △ADB 中，AB ＝2，则C ′O ＝DO ＝1， 因为C ′D ＝2，所以C ′O 2＋DO 2＝C ′D 2，即C ′O ⊥OD ， 又C ′O ⊥AB ，AB ∩OD ＝O ，AB ，OD ⊂平面ABD ， 所以C ′O ⊥平面ABD ，因为C ′O ⊂平面ABC ′，所以平面C ′AB ⊥平面DAB .(2)以O 为原点，AB ，OC ′所在的直线分别为y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1，0)，B (0，1，0)，C ′(0，0，1)，D ⎝⎛⎭⎫32，12，0，所以AC ′→＝(0，1，1)，BC ′→＝(0，－1，1)，C ′D →＝⎝⎛⎭⎫32，12，－1.设平面AC ′D 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥AC ′→，n 1⊥C ′D →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC ′→＝0，n 1·C ′D →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋z 1＝0，32x 1＋12y 1－z 1＝0， 令z 1＝1，则y 1＝－1，x 1＝3，所以n 1＝(3，－1，1)．设平面BC ′D 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2⊥BC ′→，n 2⊥C ′D →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC ′→＝0，n 2·C ′D →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＋z 2＝0，32x 2＋12y 2－z 2＝0，令z 2＝1， 则y 2＝1，x 2＝33， 所以n 2＝⎝⎛⎭⎫33，1，1. 所以cos 〈n 1，n 2〉＝3×33＋（－1）×1＋1×13＋1＋1× 13＋1＋1＝15×73＝10535，结合图形知，二面角A -C ′D -B 的余弦值为－10535. 20．解：(1)因为f ′(x )＝a －1x ＋1(x >－1)，g ′(x )＝e x －1，依题意，f ′(0)＝g ′(0)，解得a ＝1， 所以f ′(x )＝1－1x ＋1＝x x ＋1， 当－1<x <0时，f ′(x )<0； 当x >0时，f ′(x )>0.故f (x )的单调递减区间为(－1，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．(2)由(1)知，当x ＝0时，f (x )取得最小值0，所以f (x )≥0，即x ≥ln(x ＋1)，从而e x ≥x ＋1.设F (x )＝g (x )－kf (x )＝e x ＋k ln(x ＋1)－(k ＋1)x －1， 则F ′(x )＝e x ＋k x ＋1－(k ＋1)≥x ＋1＋kx ＋1－(k ＋1)，①当k ＝1时，因为x ≥0，所以F ′(x )≥x ＋1＋1x ＋1－2≥0(当且仅当x ＝0时等号成立)，此时F (x )在[0，＋∞)上单调递增，从而F (x )≥F (0)＝0，即g (x )≥kf (x )． ②当k <1时，因为f (x )≥0， 所以f (x )≥kf (x )． 由①知g (x )－f (x )≥0， 所以g (x )≥f (x )≥kf (x )，故g (x )≥kf (x )．③当k >1时，令h (x )＝e x ＋k x ＋1－(k ＋1)，则h ′(x )＝e x －k （x ＋1）2，显然h ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，又h ′(0)＝1－k <0，h ′(k －1)＝ek －1－1>0，所以h ′(x )在(0，k －1)上存在唯一零点x 0，当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )<0，所以h (x )在[0，x 0)上单调递减，从而h (x )<h (0)＝0，即F ′(x )<0，所以F (x )在[0，x 0)上单调递减，从而当x ∈(0，x 0)时，F (x )<F (0)＝0，即g (x )<kf (x )，不合题意．综上，实数k 的取值范围为(－∞，1]．21．解：(1)由题意知，双曲线C 的顶点(0，a )到渐近线ax －by ＝0的距离为255，所以ab a 2＋b 2＝255，即ab c ＝255.由⎩⎨⎧ab c ＝255，c a ＝52，c 2＝a 2＋b 2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝5， 所以双曲线C 的方程为y 24－x 2＝1.(2)由(1)知双曲线C 的两条渐近线方程为y ＝±2x ， 设A (m ，2m )，B (－n ，2n )，m >0，n >0. 由AP →＝λPB →得 P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫m －λn 1＋λ，2（m ＋λn ）1＋λ，将P 点坐标代入y 24－x 2＝1，化简得mn ＝（1＋λ）24λ.设∠AOB ＝2θ，因为tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝2，所以tan θ＝12，sin 2θ＝45.又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin 2θ＝2mn ＝12⎝⎛⎭⎫λ＋1λ＋1.记S (λ)＝12⎝⎛⎭⎫λ＋1λ＋1，λ∈⎣⎡⎦⎤13，2， 则S ′(λ)＝12⎝⎛⎭⎫1－1λ2. 令S ′(λ)＝0，得λ＝1.又S (1)＝2，S ⎝⎛⎭⎫13＝83，S (2)＝94， 所以当λ＝1时，△AOB 的面积取得最小值2； 当λ＝13时，△AOB 的面积取得最大值83.22．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 212＋y 24＝1，将左焦点F (－22，0)代入直线AB的参数方程，得m ＝－22.直线AB 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－22＋22t y ＝22t(t 为参数)，代入椭圆方程得t 2－2t －2＝0，所以|F A |·|FB |＝2.(2)设椭圆C 的内接矩形的顶点分别为(23cos α，2sin α)，(－23cos α，2sin α)，(23cos α，－2sin α)，(－23cos α，－2sin α)⎝⎛⎭⎫0<α<π2， 所以椭圆C 的内接矩形的周长为83cos α＋8sin α＝16sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3， 当α＋π3＝π2，即α＝π6时椭圆C 的内接矩形的周长取得最大值16.23．解：(1)当a ＝2时，原不等式为：|x ＋1|－|2x －2|<0， 即|x ＋1|<|2x －2|，化简得(3x －1)(x －3)>0， 解得x <13或x >3.故f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或x >3. (2)因为a >0，所以a2>0.所以原函数可以化为：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x ＋1）＋（2x －a ），x ≤－1，（x ＋1）＋（2x －a ），－1<x ≤a 2，（x ＋1）－（2x －a ），x >a 2， 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－a ，x ≤－1，3x ＋1－a ，－1<x ≤a 2，－x ＋1＋a ，x >a 2， 所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a2＋1.所以a2＋1≤3，所以a ≤4.综上可得a 的取值范围为{a |0<a ≤4}．模拟题二第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＜0}，B ＝{x |－x 2＋x ＜0}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(－∞，0)∪[1，＋∞) B ．(－∞，0]∪(1，＋∞) C ．[0，1)D ．[0，1]2．已知复数z 1＝3＋4i ，复平面内，复数z 1与z 3所对应的点关于原点对称，z 3与z 2关于实轴对称，则z 1·z 2＝( )A ．－25B ．25C ．－7D ．73．抛掷红、蓝两枚骰子，当已知红色骰子的点数为偶数时，两颗骰子的点数之和不小于9的概率是( )A.12B.29C.13D.1124．《张丘建算经》是早于《九章算术》的我国另一部数学著作，在《算经》中有一题：某女子善于织布，一天比一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( )A.47尺B.1629尺C.815尺 D.1631尺 5．函数f (x )＝x ln |x |的大致图象是( )6．已知角α的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴正半轴，终边在第二象限，A (x ，y )是其终边上一点，向量m ＝(3，4)，若m ⊥OA →，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( )A ．7B ．－17C ．－7D.177．已知数列{a n }的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＋a 4＝7，a 5＋a 6＝13，则a 7＋a 8＝( )A ．4＋ 2B ．19C ．20D ．238．如图所示的程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”．若输入的m ，n 分别为385，105，执行该程序框图(图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数，例：11 MOD 7＝4)，则输出的m 等于( )A ．0B ．15C ．35D ．709．在△ABC 中，点D 为边AB 上一点，若BC ⊥CD ，AC ＝32，AD ＝3，sin ∠ABC ＝33，则△ABC 的面积是( ) A ．6 2 B.1522C.922D ．12 210．已知点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝2，若四面体ABCD 外接球的球心O 恰好在侧棱DA 上，DC ＝23，则四面体ABCD 的体积为( )A.33B.32C.233D.311.如图，已知点P 在以F 1，F 2为焦点的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，若四边形F 1F 2PQ 为菱形，则该双曲线的离心率为( )A. 3B.3＋12C ．2D ．23－112．已知函数f (x )在(0，1)恒有xf ′(x )＞2f (x )，其中f ′(x )为函数f (x )的导数，若α，β为锐角三角形的两个内角，则( )A ．sin 2βf (sin α)＞sin 2αf (sin β)B ．cos 2βf (sin α)＞sin 2αf (cos β)C ．cos 2βf (cos α)＞cos 2αf (cos β)D ．sin 2βf (cos α)＞sin 2αf (cos β)第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是________．14．如图是某班8位学生诗词比赛得分的茎叶图，那么这8位学生得分的众数和中位数分别为________．89⎪⎪⎪6 60 1 3 3 3 615．已知△ABC 中，AB >AC ，AB →·AC →＝6，BC ＝13，∠A ＝60°，若M 是BC 的中点，过M 作MH ⊥AB 于H ，则MH →·BC →＝________.16．若函数f (x )＝a ln x －x ＋a ＋3x在定义域内无极值，则实数a 的取值范围为________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，射击次数相同，已知两名运动员击中的环数稳定在7环、8环、9环、10环，他们比赛成绩的统计结果如下：请你根据上述信息，解决下列问题：(1)估计甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于9环的概率；(2)若从甲、乙运动员中只能挑选一名参加某大型比赛，请你从随机变量均值意义的角度，谈谈让谁参加比较合适？18．(本小题满分12分)已知等比数列{a n}的前n项和S n＝2n－a，n∈N*.设公差不为零的等差数列{b n}满足：b1＝a1＋2，且b2＋5，b4＋5，b8＋5成等比数列．(1)求a的值及数列{b n}的通项公式；(2)设数列{log2a n}的前n项和为T n.求使T n>b n的最小正整数n.19．(本小题满分12分)如图1，∠ACB＝45°，BC＝3，过动点A作AD⊥BC，垂足D 在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°(如图2所示)．(1)当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大；(2)当三棱锥A-BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD 上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x －1)e x ＋1，x ∈[0，1]． (1)证明：f (x )≥0；(2)若a <e x －1x <b 在x ∈(0，1)上恒成立，求b －a 的最小值．21．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px 的焦点为F (1，0)，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，直线AO ，BO 分别与直线m ：x ＝－2相交于M ，N 两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)证明：△ABO 与△MNO 的面积之比为定值．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－22＋r cos θ，y ＝－22＋r sin θ(θ为参数，r ＞0)．以O为极点，x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22.(1)写出圆心的极坐标；(2)求当r 为何值时，圆O 上的点到直线l 的最大距离为3. 23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设f (x )＝|ax －1|.(1)若f (x )≤2的解集为[－6，2]，求实数a 的值；(2)当a ＝2时，若存在x ∈R ，使得不等式f (2x ＋1)－f (x －1)≤7－3m 成立，求实数m 的取值范围．答案及解析1．解析：选C.因为A ＝(－2，1)，B ＝(－∞，0)∪(1，＋∞)，所以∁R B ＝[0，1]，A ∩(∁R B )＝[0，1)，选C.2．解析：选A.由复数z 1与z 3所对应的点关于原点对称，z 3与z 2关于实轴对称可得， 复数z 1与z 2所对应的点关于虚轴对称，z 1＝3＋4i ，所以z 2＝－3＋4i ， 所以z 1·z 2＝(3＋4i)(－3＋4i)＝－25.3．解析：选C.抛掷红、蓝两枚骰子，第一个数字代表红色骰子，第二个数字代表蓝色骰子，当红色骰子点数为偶数时，有18种，分别为：(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，其中两颗骰子点数之和不小于9的有6种，分别为：(4，5)，(4，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，所以当已知红色骰子的点数为偶数时，两颗骰子的点数之和不小于9的概率是P ＝618＝13.故选C. 4．解析：选B.本题可以转为等差数列问题：已知首项a 1＝5，前30项的和S 30＝390，求公差d .由等差数列的前n 项公式可得，390＝30×5＋30×292d ，解得d ＝1629.5．解析：选A.因为函数f (x )＝x ln |x |，可得f (－x )＝－f (x )，f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除C ，D ；当x ＞0时，f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＞0得x ＞1e ，得出函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上是增函数，排除B ，故选A.6．解析：选D.由m ⊥OA →，得3x ＋4y ＝0，即y ＝－34x ，所以tan α＝－34，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11－⎝⎛⎭⎫－34＝17.7．解析：选D.设奇数项的公差为d ，偶数项的公比为q ，由a 3＋a 4＝7，a 5＋a 6＝13，得1＋d ＋2q ＝7，1＋2d ＋2q 2＝13，解得d ＝2，q ＝2，所以a 7＋a 8＝1＋3d ＋2q 3＝7＋16＝23，故选D.8．解析：选C.第一次循环r ＝70，m ＝105，n ＝70；第二次循环r ＝35，m ＝70，n ＝35；第三次循环r ＝0，m ＝35，n ＝0.故输出的m 等于35.9．解析：选A.在△ADC 中，因为AC ＝32，AD ＝3，cos ∠ADC ＝cos ⎝⎛⎭⎫∠ABC ＋π2＝－sin ∠ABC ＝－33，所以代入AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos ∠ADC ，可得DC 2＋2DC －15＝0，舍掉负根有DC ＝3.所以BC ＝DC cot ∠ABC ＝3 2. AB ＝AD ＋BD ＝AD ＋DCsin ∠ABC＝3＋33＝4 3.于是根据三角形的面积公式有：S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12·43·32·33＝6 2.故选A.10．解析：选C.由AB ＝BC ＝2，AC ＝2，可知∠ABC ＝π2，取AC 的中点M ，则点M 为△ABC 外接圆的圆心，又O 为四面体ABCD 的外接球球心，所以OM ⊥平面ABC ，且OM 为△ACD 的中位线，所以DC ⊥平面ABC ， 故三棱锥D -ABC 的体积为V ＝13×12×2×2×23＝233.故选C.11．解析：选B.由题意知四边形F 1F 2PQ 的边长为2c ，连接QF 2，由对称性可知，|QF 2|＝|QF 1|＝2c ，则三角形QPF 2为等边三角形．过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，则∠PF 2H ＝60°，因为|PF 2|＝2c ，所以在直角三角形PF 2H 中，|PH |＝3c ，|HF 2|＝c ，则P (2c ，3c )，连接PF 1，则|PF 1|＝23c .由双曲线的定义知，2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝23c －2c ＝2(3－1)c ，所以双曲线的离心率为c a ＝13－1＝3＋12.12．解析：选B.令g (x )＝f （x ）x 2，则g ′(x )＝x 2f ′（x ）－2xf （x ）x 4＝xf ′（x ）－2f （x ）x 3，由于x ∈(0，1)，且xf ′(x )＞2f (x )，所以g ′(x )＞0，故函数g (x )在(0，1)上单调递增．又α，β为锐角三角形的两个内角，则π2＞α＞π2－β＞0，所以1＞sin α＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－β＞0，即1＞sin α＞cos β＞0，所以g (sin α)＞g (cos β)，即f （sin α）sin 2α＞f （cos β）cos 2β，所以cos 2βf (sin α)＞sin 2αf (cos β)．13．解析：依题意，得1a ＋4b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ·(a ＋b ) ＝12⎣⎡⎦⎤5＋⎝⎛⎭⎫b a ＋4a b ≥12⎝⎛⎭⎫5＋2b a ·4a b＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4a b ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92. 答案：9214．解析：依题意，结合茎叶图，将题中的数由小到大依次排列得到：86，86，90，91，93，93，93，96，因此这8位学生得分的众数是93，中位数是91＋932＝92.答案：93，9215．解析：由AB →·AC →＝6，∠A ＝60°，可得|AB →|·|AC →|＝12，又在△ABC 中，13＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，所以AB 2＋AC 2＝25，因为AB >AC ，所以AB ＝4，AC ＝3.以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B (4，0)，C ⎝⎛⎭⎫32，332，所以BC →＝⎝⎛⎭⎫－52，332，因为M 是BC 的中点，所以M ⎝⎛⎭⎫114，334，H ⎝⎛⎭⎫114，0，所以MH →＝⎝⎛⎭⎫0，－334，所以MH →·BC →＝－278.答案：－27816．解析：函数f (x )＝a ln x －x ＋a ＋3x 在定义域(0，＋∞)内无极值等价于f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在定义域(0，＋∞)内恒成立．因为f ′(x )＝ax －1－a ＋3x 2＝－x 2＋ax －（a ＋3）x 2，设g (x )＝－x 2＋ax －(a ＋3)，则g (x )≥0或g (x )≤0在(0，＋∞)内恒成立，可分两种情况进行讨论，即方程g (x )＝－x 2＋ax －(a ＋3)＝0无解或只有小于等于零的解，因此Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a2≤0，g （0）≤0，解得－2≤a ≤6或－3≤a ≤－2.故实数a 的取值范围为[－3，6]． 答案：[－3，6]17．解：(1)记甲运动员击中n 环为事件A n (n ＝1，2，3，…，10)；乙运动员击中n 环为事件B n (n ＝1，2，3，…，10)；甲运动员击中的环数不少于9环为事件A 9∪A 10，乙运动员击中的环数不少于9环为事件B 9∪B 10，根据已知事件A 9与事件A 10互斥，事件B 9与事件B 10互斥，事件A 9∪A 10与B 9∪B 10相互独立．P (A 9∪A 10)＝P (A 9)＋P (A 10)＝1－0.2－0.15＝0.65， P (B 9∪B 10)＝P (B 9)＋P (B 10)＝0.2＋0.35＝0.55.所以甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于9环的概率等于0.65×0.55＝0.357 5. (2)设甲、乙两名射击运动员击中的环数分别为随机变量X 、Y ，根据已知得X 、Y 的可能取值为：7，8，9，10.甲运动员射击环数X 的概率分布列为甲运动员射击环数X E (X )＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8. 乙运动员射击环数Y 的概率分布列为乙运动员射击环数Y E (Y )＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7.因为E (X )>E (Y )， 所以从随机变量均值意义的角度看，选甲去比较合适． 18．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a ； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1.因为{a n }为等比数列，所以2－a ＝1，解得a ＝1.所以a n ＝2n －1. 设数列{b n }的公差为d .因为b 2＋5，b 4＋5，b 8＋5成等比数列， 所以(b 4＋5)2＝(b 2＋5)(b 8＋5)，又b 1＝3，所以(8＋3d )2＝(8＋d )(8＋7d )， 解得d ＝0(舍去)或d ＝8.所以b n ＝8n －5. (2)由a n ＝2n －1，得log 2a n ＝2(n －1)，所以{log2a n }是以0为首项，2为公差的等差数列，所以T n ＝n （0＋2n －2）2＝n (n －1)．由b n ＝8n －5，T n >b n ，得n (n －1)>8n －5， 即n 2－9n ＋5>0，因为n ∈N *，所以n ≥9. 故所求n 的最小正整数为9.19．解：(1)设BD ＝x (0<x <3)，则CD ＝3－x .由AD ⊥BC ，∠ACB ＝45°知，△ADC 为等腰直角三角形，所以AD ＝CD ＝3－x . 由折起前AD ⊥BC 知，折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥BD ，且BD ∩DC ＝D ，所以AD ⊥平面BCD .又∠BDC ＝90°， 所以S △BCD ＝12BD ·CD ＝12x (3－x )．于是V A­BCD＝13AD ·S △BCD＝13(3－x )·12x (3－x )＝112·2x (3－x )·(3－x )≤112⎣⎡⎦⎤2x ＋（3－x ）＋（3－x ）33＝23(当且仅当2x ＝3－x ，即x ＝1时，等号成立)，故当x ＝1，即BD ＝1时，三棱锥A -BCD 的体积最大．(2)以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz . 由(1)知，当三棱锥A -BCD 的体积最大时，BD ＝1，AD ＝CD ＝2.于是可得D (0，0，0)，B (1，0，0)，C (0，2，0)，A (0，0，2)，M (0，1，1)，E ⎝⎛⎭⎫12，1，0，所以BM →＝(－1，1，1)．设N (0，λ，0)，则EN →＝⎝⎛⎭⎫－12，λ－1，0. 因为EN ⊥BM ，所以EN →·BM →＝0，即⎝⎛⎭⎫－12，λ－1，0·(－1，1，1)＝12＋λ－1＝0，故λ＝12，N ⎝⎛⎭⎫0，12，0. 所以当DN ＝12(即N 是CD 上靠近点D 的一个四等分点)时，EN ⊥BM .设平面BMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥BN →，n ⊥BM →，及BN →＝⎝⎛⎭⎫－1，12，0， 得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋12y ＝0，－x ＋y ＋z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，z ＝－x .取x ＝1得n ＝(1，2，－1)．设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ，则由EN →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，0， 可得sin θ＝|cos 〈n ，EN →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·EN →|n |·|EN →|＝⎪⎪⎪⎪－12－16×22＝32， 即θ＝60°，故EN 与平面BMN 所成角的大小为60°.20．解：(1)证明：因为f ′(x )＝x e x ≥0，即f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )≥f (0)＝0，结论成立．(2)令g (x )＝e x －1x ，则g ′(x )＝（x －1）e x ＋1x 2>0，x ∈(0，1)，所以，当x ∈(0，1)时，g (x )<g (1)＝e －1， 要使e x －1x<b ，只需b ≥e －1.要使e x －1x >a 成立，只需e x －ax －1>0在x ∈(0，1)上恒成立．令h (x )＝e x －ax －1，x ∈(0，1)，则h ′(x )＝e x －a ，由x ∈(0，1)，得e x ∈(1，e)，①当a ≤1时，h ′(x )>0，此时x ∈(0，1)，有h (x )>h (0)＝0成立，所以a ≤1满足条件； ②当a ≥e 时，h ′(x )<0，此时x ∈(0，1)，有h (x )<h (0)＝0，不符合题意，舍去； ③当1<a <e 时，令h ′(x )＝0，得x ＝ln a ，可得当x ∈(0，ln a )时，h ′(x )<0，即x ∈(0，ln a )时，h (x )<h (0)＝0，不符合题意，舍去．综上，a ≤1.又b ≥e －1，所以b －a 的最小值为e －2.21．解：(1)由焦点坐标为(1，0)，可知p2＝1，所以p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：当直线l 垂直于x 轴时，△ABO 与△MNO 相似， 所以S △ABO S △MNO ＝⎝⎛⎭⎫|OF |22＝14；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)． 设M (－2，y M )，N (－2，y N )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，整理得k 2x 2－(4＋2k 2)x ＋k 2＝0，所以x 1·x 2＝1.所以S △ABOS △MNO＝12·|AO |·|BO |·sin ∠AOB 12·|MO |·|NO |·sin ∠MON＝|AO ||MO |·|BO ||NO |＝x 12·x 22＝14. 综上，S △ABO S △MNO ＝14. 22．解：(1)由已知可得圆心O 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－22，－22，所以圆心O 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，5π4.(2)由直线l 的极坐标方程可得直线l 的直角坐标方程为x ＋y －1＝0，所以圆心O 到直线l 的距离d ＝|－2－1|2，圆O 上的点到直线l 的距离的最大值为|－2－1|2＋r ＝3，解得r＝2－22. 23．解：(1)显然a ≠0，当a ＞0时，解集为⎣⎡⎦⎤－1a ，3a ，则－1a ＝－6，3a ＝2，无解； 当a ＜0时，解集为⎣⎡⎦⎤3a ，－1a ，令－1a ＝2，3a ＝－6，得a ＝－12. 综上所述，a ＝－12.(2)当a ＝2时，令h (x )＝f (2x ＋1)－f (x －1)＝|4x ＋1|－|2x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －4，x ≤－14，6x －2，－14＜x ＜32，2x ＋4，x ≥32， 由此可知，h (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，－14上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－14，32上单调递增，在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上单调递增，则当x ＝－14时，h (x )取到最小值－72，由题意知，－72≤7－3m ，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，72.。

1.集合、常用逻辑用语、不等式考向1 集合的概念及运算1.(2022·全国甲·理3)设全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2},B={x|x 2-4x+3=0},则∁U (A ∪B )=( ) A.{1,3} B.{0,3} C.{-2,1} D.{-2,0}2.(2022·全国乙·理1)设全集U={1,2,3,4,5},集合M 满足∁U M={1,3},则( )A.2∈MB.3∈MC.4∉MD.5∉M3.(2022·新高考八省第二次T8联考)设集合A={x|log 2(x-1)<2},B={x|x<5},则( )A.A=BB.B ⊆AC.A ⊆BD.A ∩B=⌀ 4.(2022·安徽蚌埠质检三)设集合M={x|x=C 5m ,m ∈N *,m ≤5},则M 的子集个数为( )A.8B.16C.32D.64考向2 充分条件、必要条件与充要条件5.(2022·浙江·4)设x ∈R ,则“sin x=1”是“cos x=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.(2022·河南濮阳一模)“b ≤1”是“函数f (x )={bx +2,x >0,log 2(x +2)+b ,-2<x ≤0是在(-2,+∞)上的单调函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.若x ,y ∈R ,则“x<|y|”是“x 2<y 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.(2022·河南许昌质检)若(x-a )2<4成立的一个充分不必要条件是1+12-x ≤0,则实数a 的取值范围为( ) A.(-∞,4] B.[1,4] C.(1,4)D.(1,4]考向3 常用逻辑用语9.(2022·河南郑州质检)已知命题p :∃x 0∈R ,3sin x 0+4cos x 0=4√2;命题q :∀x ∈R ,1e |x|≤1.则下列命题中为真命题的是 ( )A.p ∧qB.(¬p )∧qC.p ∨(¬q )D.¬(p ∨q )10.(2022·河南焦作一模)已知命题p :∃x 0∈N *,lg x 0<0,q :∀x ∈R ,cos x ≤1,则下列命题是真命题的是( ) A.p ∧q B.(¬p )∧q C.p ∧(¬q )D.¬(p ∨q )11.(2022·河南洛阳一模)已知命题p :"x ∈R ,x 2+x+1>0;命题q :若a>b ,则1a<1b.下列命题为真命题的是( ) A.(¬p )∨q B.(¬p )∧(¬q ) C.p ∧qD.p ∨q12.若“∃x 0∈12,2,使得2x 02-λx 0+1<0成立”是假命题,则实数λ的取值范围为 .考向4 不等关系及线性规划13.(2022·河南许昌质检)已知a>b>0,且a+b=1,则下列结论正确的是( ) A.ln(a-b )>0 B.√a +√b >2 C.b a >a bD.1a +1b >414.(2022·河南焦作二模)已知x ,y 满足约束条 件{2x -3y +6≥0,2x +y +2≥0,4x -y -8≤0,则3x-2y 的最大值为 ( )A.1B.4C.7D.1115.(2022·浙江·3)若实数x ,y 满足约束条件{x -2≥0,2x +y -7≤0,x -y -2≤0,则z=3x+4y 的最大值是( )A.20B.18C.13D.616.(2022·河南濮阳一模)设x ,y 满足约束条件{y ≥2x ,y ≥-x ,y ≤2,则z=y-x 的最大值是 .1.集合、常用逻辑用语、不等式1.D 解析: 由题意知B={1,3},则A ∪B={-1,1,2,3}, 所以∁U (A ∪B )={-2,0}, 故选D .2.A 解析: ∵U={1,2,3,4,5},∁U M={1,3}, ∴M={2,4,5},∴2∈M ,3∉M ,4∈M ,5∈M. 故选A .3.C 解析: log 2(x-1)<2⇔0<x-1<4⇔1<x<5,∴A={x|log 2(x-1)<2}={x|1<x<5},即A ⊆B ,故选C .4.A 解析: 因为C 51=C 54,C 52=C 53,所以集合中含有3个元素,则M 的子集个数为23=8,故选A .5.A 解析: 由sin x=1,得x=2k π+π2,k ∈Z ,此时cos x=0;由cos x=0,得x=k π+π2,k ∈Z ,此时sin x=±1,故选A .6.B 解析: 依题意,函数f (x )是在(-2,+∞)上的单调函数, ∵y=log 2(x+2)+b 在(-2,0]上单调递增, ∴f (x )在(-2,+∞)上单调递增, 需b>0且1+b ≤2,即0<b ≤1. 故选B .7.B 解析: 由x<|y|推不出x 2<y 2,如x=-3,y=1;由x 2<y 2得|x|<|y|,又因为x ≤|x|,所以x ≤|x|<|y|,所以x 2<y 2⇒x<|y|. 故选B .8.D 解析: 根据题意,(x-a )2<4⇔-2<x-a<2⇔a-2<x<a+2,不等式的解集为(a-2,a+2); 1+12-x ≤0⇔3-x2-x ≤0⇔(x-3)(x-2)≤0且x ≠2,解得2<x ≤3,不等式的解集为(2,3]; 若(x-a )2<4成立的一个充分不必要条件是1+12-x ≤0,则(2,3]⫋(a-2,a+2);则有{a -2≤2,a +2>3,解得1<a ≤4,即a 的取值范围为(1,4]. 故选D .9.B 解析: ∵3sin x+4cos x=5sin(x+θ)∈[-5,5],tan θ=43,4√2>5,∴命题p 为假命题.∵|x|≥0,∴1e|x|≤1e=1,∴命题q 为真命题,∴p ∧q 为假命题;(¬p )∧q 为真命题;p ∨(¬q )为假命题;¬(p ∨q )为假命题.故选B .10.B 解析: 因为∀x ∈N *,lg x ≥0,所以命题p 为假命题,¬p 为真命题.因为∀x ∈R ,cos x ≤1成立,所以命题q 为真命题,所以(¬p )∧q 为真命题.11.D 解析: 对命题p ,因为x 2+x+1=x+122+34>0恒成立,故命题p 为真命题.对命题q ,当a 为正数,b 为负数时,命题不成立,故命题q 为假命题,故只有选项D 为真命题,故选D .12.(-∞,2√2] 解析: 由题意得,“∀x ∈12,2,2x 2-λx+1≥0”为真命题,即λ≤2x+1x .因为2x+1x≥2√2x ·1x=2√2,当且仅当2x=1x,即x=√22时,等号成立,所以实数λ的取值范围为(-∞,2√2].13.D 解析: ∵a>b>0,且a+b=1,∴12<a<1,0<b<12, ∴0<a-b<1,ln (a-b )<0,故A 错误;∵1>a>b>0,∴√a +√b <1+1=2,故B 错误; 令f (x )=lnxx (0<x<1),则f'(x )=1-lnxx 2>0,故f (x )在(0,1)上单调递增,故lna a>lnb b,即b ln a>a ln b ,即ln a b >ln b a ,∴a b >b a ,故C 错误; ∵a>b>0,∴1a +1b =a+b a +a+b b =2+b a +a b ≥2+2√b a ·ab=4,当且仅当a=b 时,等号成立,∴1a +1b >4,故D正确.14. D 解析: 不等式组{2x -3y +6≥0,2x +y +2≥0,4x -y -8≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示,联立方程组{2x +y +2=0,4x -y -8=0,解得{x =1,y =-4,即B (1,-4),平移直线3x-2y=0至经过点B 时目标函数u=3x-2y 取得最大值,即u max =3×1-2×(-4)=11.15. B 解析: 根据约束条件画出可行域.可知当直线y=-34x+z4过点(2,3)时,z 取到最大值,为18,故选B .16.4 解析: 画出可行域如图所示,化目标函数为斜截式方程y=x+z ,则当直线y=x+z 在y 轴上截距最大时,z 取得最大值,联立{y =2,y =-x , 解得{x =-2,y =2,。