第6章 定积分

第六章 定积分的应用§6-1 微元法用定积分解决已知变化率求总量问题的过程.若某量在[a ，b ]上的变化率f (x )，求它在[a ，b]上的总累积量S ： 因为分割区间、取i 都要求有任意性，求和、求极限又是固定模式，故可简述过程：再简化一下，则变成：称为微元．以求曲边梯形面积A 问题为例，用微元法就可以简写成这样：任取微段[x ，x +dx ]，曲边梯形在此微段部分的面积微元dA =f (x )dx ，所以A =⎰ba dx x f )(．§6－2定积分在几何中的应用一、平面图形的面积1. 直角坐标系下平面图形的面积 (1)X －型与Y －型平面图形的面积把由直线x =a，x =b (a <b )及两条连续曲线y =f 1(x )， y =f 2(x )，(f 1(x )≤f 2(x ))所围成的平面图形称为X y =d (c <d )y ) ≤g 2(y ))注意 构成图形的两条直线，有时也可能蜕化为点．把X －型图形称为X －型双曲边梯形，把Y －型图形称为Y －型双曲边梯形．１）用微元法分析X －型平面图形的面积取横坐标x 为积分变量，x ∈[a ，b ]．在区间[a ，b ]上任取一微段[x ，x +dx ]，该微段上的图形的面积dA 可以用高为f 2(x )－f 1(x )、底为dx 的矩形的面积近似代替．因此dA =[ f 2(x )－f 1(x )]dx ， 从而 A =.)]()([ 12⎰-ba dx x f x f (1)２）微元法分析Y －型图形的面积A =.)]()([ 12⎰-dc dy y g y g (2)对于非X －型、非Y －型平面图形，我们可以进行适当的分割，划分成若干个X －型图形和Y －型图形，然后利用前面介绍的方法去求面积．例1 求由两条抛物线y 2=x ， y =x 2所围成图形的面积A ．解 解方程组,,22x y x y ==得交点(0，0)，(1，1)．将该平面图形视为X －型图形，确定积分变量为x ，积分 区间为[0，1]．由公式(1)，所求图形的面积为A =1 0 31 0 23132)(23x x dx x x -=-⎰=31． 例2 求由曲线y 2=2x 与直线y =－2x +2所围成图形的面积A ． 解解方程组,22 ,22+-==x y x y 得交点(21，1)，(2，－2)． 积分变量选择y ，积分区间为[－2，1]．所求图形的面积为 A =12- 31 2- 22]6141[]21)211[(y y y dy y y ⎰--=--=49．例3 求由曲线y =sin x ，y =cos x 和直线x =2π及y 轴所围成图形的面积A ．解 在x =0与x =2π之间，两条曲线有两个交点： B (4π，22)，C (45π，－22)． 由图易知，整个图形可以划分为[0，4π]，[4π，45π]，[45π，2π]三段，在每一段上都是X －型图形．应用公式(1)，所求平面图形的面积为A =⎰⎰⎰-+-+-4455 02)sin (cos )cos (sin )sin (cos πππππdx x x dx x x dx x x =42．2. 极坐标系中曲边扇形的面积在极坐标系中，称由连续曲线r =r (θ)及两条射线θ=α， θ=β，(α<β)所围成的平面图形为曲边扇形．在[α，β]上任取一微段[θ，θ+d θ]，面积微元dA 表示1这个角内的小曲边扇形面积，dA =21[r (θ)]2d θ 所以 A =⎰βαθθ 2)]([21d r ． (3) 例5 求心形线r =a (1+cos θ)，(a >0)所围成图形的积A ．解 因为心形线对称于极轴，所以所求图形的面积 A 是极轴上方图形A 1的两倍．极轴上方部分所对应的极角变化范围为θ∈[0，π]，由 公式(3)，所求图形的面积为A =2⨯⎰βαθθ 2)]([21d r=⎰⎰++=+ππθθθθθ 022 02)cos cos 21()]cos 1([d a d a=)23|2sin 41sin 22302=++ ⎝⎛πθθθa πa 2．二、空间立体的体积 1. 一般情形设有一立体，它夹在垂直于x 轴的两个平面x =a ， x =b 之间(包括只与平面交于一点的情况)，其中a <b ，如图所示．如果用任意垂直于x 轴的平面去截它，所得的截交面面积A 可得为A =A (x )，则用微元法可以得到立体的体积V 的计算公式．过微段[x ，x +dx ]两端作垂直于x 轴的平面，截得立体一微片，对应体积微元dV =A (x )dx ． 因此立体体积V =.)( ⎰ba dx x A (4)例5 经过一如图所示的椭圆柱体的底面的短轴、与底面交成角α的一平面，可截得圆柱体一块楔形块， 求此楔形块的体积V ．解 据图，椭圆方程为64422y x +=1． 过任意x ∈[－2，2]处作垂直于x 轴的平面，与楔形块 截交面为图示直角三角形，其面积为A (x )=21y ⋅y tan α=21y 2tan α=32(1－42x )tan α=8(4－x 2)tan α， 应用公式(4)V =⎰--22 2)4(tan 8dx x α=16tan α⎰-22)4(dx x =3256tan α．2. 旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内的一条直线l 旋转一周而成的空间立体，其中直线l 称为该旋转体的旋转轴．把X －型图形的单曲边梯形绕x 旋转得到旋转体，则公式(4)中的截面面积A (x )是很容易得到的．如图，设曲边方程为y =f (x )， x ∈[a ，b ](a <b )，旋转体体积记作V x ．过任意x ∈[a ，b ]处作垂直于x 轴的截面，所得截面是半径为|f (x )|的圆，因此截面面积 A (x )= π|f (x )|2．应用公式(4)，即得V x =π⎰ba dx x f 2)]([ (5)类似可得Y －型图形的单曲边梯形绕y 轴旋转得到的旋转体的体积V y 计算公式 V y =π⎰d c dy y g 2)]([ (6)其中的x =g (y )是曲边方程，c ，d (c <d )为曲边梯形的上下界．例6 求曲线y =sin x (0≤x ≤π)绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积V x ．解 V x =π⎰b a dx x f 2)]([=π⎰π0 2)(sin dx x=⎰-=-ππππ0 0 ]22sin [2)2cos 1(2x x dx x =22π． 例7 计算椭圆2222bya x +=1(a >b >0)绕x 轴及y 轴旋转而成的椭球体的体积V x ，V y ． 解 (1)绕x 轴旋转，旋转椭球体如图所示，可看作上半椭圆y =22x a ab-及x 轴围成的单曲边梯形绕x 轴旋转而成的，由公式(5)得V x =π⎰-a a dx x a a b - 222)(=⎰-a dx x a a b 02222)(2π =a 0 3222]3[2x x a a b -π=34πab 2．(2)绕y 轴旋转，旋转椭球体如图所示，可看作右半 椭圆x =22y b ba-及y 轴围成的单曲边梯形绕y 轴旋转而成的，由公式(6)得V y =π⎰-bb dy y b b a - 222)(=⎰-b dy y b ba 0 2222)(2π =b 0 3222]3[2y y b ba -π=34πa 2b ．f (x当a =b =R 时，即得球体的体积公式V =34πR 3． 例8 求由抛物线y =x 与直线y =0，y =1和y 轴围成的平面图形，绕y 轴旋转而成的旋转体的体积V y ．解 抛物线方程改写为x =y 2，y ∈[0，1]． 由公式(６)可得所求旋转体的体积为 V y =π55])[(1 0514122ππ===⎰⎰y dy y dy y ．三、平面曲线的弧长1. 表示为直角坐标方程的曲线的长度计算公式称切线连续变化的曲线为光滑曲线．若光滑曲线C 由直角坐标方程y =f (x )，(a ≤x ≤b )，则导数f '(x )在[a ，b ]上连续．如图所示，在[a ，b ]上任意取一微段[x ，x +dx ]，对应的曲线微段为AB ，C 在点A 处的切线也有对应微段AP ．以AP 替代AB ，注意切线改变量是微分，即得曲线长度微元d s 的计算公式d s=22)()(dy dx +， (7) 得到的公式称为弧微分公式．以C 的方程y =f (x )代入，得 ds =2)]([1x f '+dx.据微元法，即得直角坐标方程表示的曲线长度的一般计算公式s =⎰ba ds =⎰'+ba dx x f 2)]([1 (8)若光滑曲线C 由方程x =g (y )(c ≤y ≤d )给出，则g '(y )在[c ，d ]上连续，根据弧微分公式(7)及微元法，同样可得曲线C 的弧长计算公式为 s =⎰'+d cdy y g 2)]([1 (9)例9 求曲线y =41x 2－21ln x (1≤x ≤e )的弧长s ． 解 y '=21x －x 21=21(x －x1)，ds =2)]([1x f '+dx =)1(21)1(4112x dx x x +=-+dx ， 所求弧长为s =⎰ba ds =41]ln 21[21)1(21e1 2 1=+=+⎰x x dx x x e (e 2+1)． 例10 求心形线r =a (1+cos θ) (a >0)的全长．解 θ∈[0，2π]；又因为心形线关于极轴对称，全长是其半长的两倍，所以θ∈[0，π]．ds =22)]([)]([θθr r +'d θ=2)cos 1(2θ+d θ=2a cos 2θd θ，所以 s =2⎰πθθ2cos2d a =8a ．§6—3 定积分在物理中的部分应用一、变力做功物体在一个常力F 的作用下，沿力的方向作直线运动，则当物体移动距离s 时，F 所作的功W =F ⋅s ．物体在变力作用下做功的问题，用微元法来求解．设力F 的方向不变，但其大小随着位移而连续变化；物体在F 的作用下，沿平行于力的作用方向作直线运动．取物体运动路径为x 轴，位移量为x ，则F =F (x )．现物体从点x =a 移动到点x =b ，求力F 作功W ．在区间[a ，b ]上任取一微段[x ，x +dx ]，力F 在此微段上做功微元为dW ．由于F (x )的连续性，物体移动在这一微段时，力F (x )的变化很小，它可以近似的看成不变，那么在微段dx 上就可以使用常力做功的公式．于是，功的微元为dW =F (x )dx ． 作功W 是功微元dW 在[a ，b ]上的累积，据微元法W =⎰ba dW =⎰ba dx x F )(． (12)例1 在弹簧弹性限度之内，外力拉长或压缩弹簧，需要克服弹力作功．已知弹簧每拉长0.02m 要用9.8N 的力，求把弹簧拉长0.1m 时，外力所做的功W ．解 据虎克定律，在弹性限度内，拉伸弹簧所需要的外力F 和弹簧的伸长量x 成正比，即 F (x )=kx ，其中k 为弹性系数． 据题设，x =0.02m 时，F =9.8N ，所以 9.8=0.02k ，得k =4.9⨯102(N/m).所以外力需要克服的弹力为 F (x )=4.9⨯102x ．由(12)可知，当弹簧被拉长0.1m 时，外力克服弹力作功W =⎰⨯1.0 0 2109.4xdx =21⨯4.9⨯1021.0 0 2x =2.45(J)．例2 一个点电荷O 会形成一个电场，其表现就是对周围的其他电荷A 产生沿径向OA作用的引力或斥力；电场内单位正电荷所受的力称为电场强度．据库仑定律，距点电荷r =OA 处的电场强度为F (r )=k 2r q(k 为比例常数，q 为点电荷O 的电量)． 现若电场中单位正电荷A 沿OA 从r =OA =a 移到r =OB =b (a <b )，求电场对它所作的功W ．解 这是在变力F (r )对移动物体作用下作功问题．因 为作用力和移动路径在同一直线上，故以r 为积分变量，可应用公式(12)，得W =⎰b adr rq k 2=kq b a r ]1[-=kq (b a 11-)．二、液体的压力单位面积上所受的垂直于面的压力称为压强，即p=ρ⋅h，(其中ρ是液体密度，单位是kg/3m，h是深度，单位是m)．如果沉于一定深度的承压面平行于液体表面，则此时承压面上所有点处的h是常数，承压面所受的压力P=ρ⋅h⋅A，其中A是单位为m2的承压面的面积．若承压面不平行于液体表面，此时承压面不同点处的深度未必相同，压强也就因点而异．考虑一种特殊情况：设承压面如图那样为一垂直于液体表面的薄板，薄板在深度为x 处的宽度为f(x)，求液体对薄板的压力．薄板沿深度为x的水平线上压强相同，为ρ⋅x，现在在薄板深x处取一高为dx的微条(见图中斜线阴影区域)，设其面积为dA．微条上受液体压力为压力微元dP．近似认为在该微条上压强相同，为ρ⋅x，则dP=ρ⋅xdA；又深度为x处薄板宽为f(x)，故dA=f(x)dx，因此dP=ρ⋅x⋅f(x)dx．若承压面的入水深度从a到b(a<b)，则薄板承压面上液体总压力是x从a到b所有压力微元dP的累积．据微元法P=⎰badxxxf)(ρ=ρ⎰badxxxf)(．(13)。

第六章定积分基本要求一、理解定积分的概念和基本性质，了解积分中值定理，掌握牛顿—莱布尼兹公式，以及定积分的换元积分法和分部积分法。

二、理解变上限积分定义的函数，并会求它的导数。

三、会利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积，会利用定积分求解一些简单的经济应用题。

四、了解广义积分收敛与发散的概念，掌握计算广义积分的基本方法。

习题六2、利用定积分的性质证明下列不等式：（1）⎰⎰≤402403sin sin ππxdx xdx x ；证明：∵]4,0(π∈x ∴x x x 23sin sin ,1sin 0≤<<.当0=x 时，0sin sin 23==x x∴⎰⎰≤402403sin sin ππxdx xdx x □（2）3sin 626ππππ≤≤⎰xdx .证明：∵]2,6[ππ∈x ∴1sin 21≤≤x ∴⎰⎰⎰≤≤26262621ππππππdx xdx dx ，即3sin 626ππππ≤≤⎰xdx □3、估计下列定积分的值： （1）⎰-202dx e xx；解：∵]2,0[∈x 令41)21(22--=⇒-=x y x x y ，即函数有最小值41-=y又∵2,020====x x y y ∴函数有最大值2=y∴22412222412222e dx e edx e dx edx e xxxx ≤≤⇒≤≤⎰⎰⎰⎰----（2）⎰4342sin ππxdx .解：∵]43,4[ππ∈x ∴1sin 212≤≤x∴⎰⎰⎰≤≤43443424341sin 21ππππππdx xdx dx 即2sin 44342ππππ≤≤⎰xdx4、计算下列函数的导数)(/x g ：（1）⎰=x t tdt x g 1sin )(； 解：xxx g sin )('= （2）⎰=xtdt x g 124sin )(；解：22'4'sin )1(sin )(xxx x x g -=⋅=（3）⎰+-=xx du u u x g 3211)(； 解： 12)12(213)13(3)2(1212)3(1313)('''+--+-=+--+-=x x x x x x x x x x x g （4）⎰+=2tan 411)(x xdt tx g .解; xx xx x x x x x g 428'4'242'tan 1sec 12)(tan )(tan 11)()(11)(+-+=+-+=4、求曲线⎰++=x dtt y t 0211的凹向区间：解：由题知曲线定义域为ℜ∈x∵2'11x x y ++=令0)1(2122''=+++-=x x x y 得21-=x∴曲线在)2,(--∞上凹，在),2(+∞-下凹6、计算下列定积分： (1)⎰-+-0324)1465(dx x x ；解：原式231)1436(0325=+-=-x x x(2)⎰-3142)11(dt tt ； 解：原式8128)311(313=+-=t t(3)()()⎰-+-11231dx x x ；解：原式2)22()23(1123112=--=--=--⎰x xx dx x x (4)⎰--9111dx x x ；解：原式9123239191])1([32)1()1)(1(1-+=-+=-+---+=⎰⎰x x dx x x dx x x x x x x )2813(34+=(5)⎰--212||dx x x ；解：令1,00212==⇒=-x x x x ， ∴原式⎰⎰⎰-+---=-21212012)()()(dx x x dx x x dx x x611)23()23()23(212310230123=-+---=-x x x x x x (6)⎰--+-252411dx x x .解：原式36)3()1(253252=-=-=----⎰x x dx x7、计算下列定积分： （1）⎰+412111dx xx；1255324)11(32)11(11412341-=+-=++-=⎰xx d x （2）⎰--32232)(13dx x x x ； 解：原式81)(1)()(132332323=--=--=⎰x x x x d x x （3）⎰⋅202cos cos sin πxdx x e x ；解：原式4412cos 412sin 21122cos 202cos 202cos --=-=-==⎰⎰e e e x d e xdx e xx x πππ（4）⎰-+22621sin ππdx xxx ； 解：令621sin x x x y +=，则621sin xxx y +=是奇函数，且该积分为对称区间上的积分 ∴原式0=（5）⎰-211dx x x ；解：原式1516)35(2)(1035102412=+=+=⎰=-=t t dt t t tx tdt dx（6）⎰+130321xdx；解：原式6432331231212332=======⎰=+=t tdt tx dtt dx （7）⎰-2221x x dx ；解：原式1243tan sec tan sec 134sec tan πππππ=-=⋅⋅======⎰==tdt t t t tx dtset dx （8）⎰242csc ππxdx x ；解：原式2ln 214sin ln 4cot cot )cot (24242424+=+=+-=-⎰⎰ππππππππππx xdx x x x xd *(9)⎰23212arcsin dx xx ； 解：原式⎰⎰-+-=-=232122321232111arcsin 1)1(arcsin dx x x x x x d x)332ln(9323cot csc ln 9323csc 33323636sin cos ---==---=++-=====⎰==ππππππππt t tdt tx xdt dx *(10)⎰edx x 1|ln |；解：原式1ln ln 111=-==⎰⎰eeedx x x xdx*(11)⎰πn dx x x 0|sin |；解：原式 +++-=⎰⎰⎰+ππππππk k xdx x xdx x xdx x 2220sin sin sin+-++-=⎰⎰⎰+ππππππk k x xd x xd x xd 2220cos cos cos++-+-++-=⎰⎰⎰++ππππππππππππk k k k xdx x x xdx x x xdx x x 22222200cos cos cos cos cos cos++++++++++=0]2)12[(0)2(0πππππk kπππππ2])1(2[2n n n =+-+++= *(12)()()⎰+--422114dx x x x .解：原式881ln23)21(23)21(ln32ln 449)21(13)2(214424242242=++-+++=-++++=⎰⎰x x x dx x x d x 8、用阴影表示下列曲线所围成的图形，并求出其面积：(1)x y x y 2,32=-=；解：曲线交点如右图所示332)233(]2)3[(133132=--=--=--⎰x x x dxx x S(2)2,1,5,2=-=+==y y x y x y ；解：曲线交点如右图所示233)523()]5([2123212=+-=--=--⎰y y y dyy y S(3)0,,===x e y e y x；解：曲线交点如(3)图所示1)()(101=-=-=⎰x xe ex dxe e S(4)4,22+-==x y x y ；解：曲线交点如(4)图所示17)624(]2)4[(2432242=--=--=--⎰y y y dy y y S（3）图（4）图2x -x 2(5) y ax 2=；)0(,2>=a x ay ； 解：曲线交点如(5)图所示3)332()(2032312aa x x a dxax ax S aa =-=-=⎰(6) 2,2=+=y x x y ； 解：曲线交点如(6)图所示29)322(])2[(1232122=--=--=--⎰x x x dx x x S (7)2,,1===x x y xy ； 解：曲线交点如(7)图所示2ln 23)ln 2()1(21221-=-=-=⎰x xdxxx S (8)1,,===-x e y e y x x ；解：曲线交点如(8)图所示21)()(101-+=+=-=--⎰ee e e dx e e S x x x x (9))0(ln ,ln ,0,ln >>====a b b y a y x x y ；解：曲线交点如(9)图所示ab edye S b ay bay -===⎰ln ln ln ln* (10)x y x y x y 2,,2===.解：曲线交点如(10)图所示 67)3(2)2()2(21321221212=-+=-+-=⎰⎰x x x dx x x dx x x S*9、求曲线233+-=x x y 在两个极值点范围内的曲线弧段，过两个极值点与x 轴垂直的y =2x =y=lnby直线及x 轴所围成的平面图形的面积. 解：令0332'=-=x y 得驻点1,121=-=x x又∵x y 6''= ∴06,061''1''>=<-==-=x x y y∴11-=x 为极大值点，12=x 为极小值点.如右图得4)2234()23(1124112=+-=+-=--⎰x x x dx x x S .10、求下列诸曲线所围图形绕指定轴旋转所得旋转体的体积：（1） 0,4,1,4====y x x xy ；绕x 轴；解：所谓图形见(1)图阴影部分πππ1216)4(41412=-==⎰xdx x V（2） πxy x y 2,sin ==； 绕x 轴；解：所谓图形见(2)图阴影部分6)342s i n 4121(2]322c o s 1[2])2()[(s i n 220322022222ππππππππππ=--=--=-=⎰⎰x x x dxxx dxxx V（3）4,1,0,====x x y x y ；绕y 轴；解：所谓图形见(3)图阴影部分ππππππ5124531)(112425212212=-=-⨯⨯+⨯⨯=⎰y dy y V*(4)66,10622-+-=+-=x x y x x y ；绕y 轴.解：所谓图形见(4)图阴影部分，（2）图662-+x x106+-xππππ2416)3(2424324])33()33[(23223323222-=---=-=----+=⎰⎰y dyy dy y y V11、已知某产品的边际成本85.1006.0)(2'+-=x x x c ，固定成本150)0(=C 万元，其中x 为产品的件数，求多少万元？解：∵4020'10150)85.1006.0()0()()(⨯++-=+=⎰⎰xxdx x x C dx x C x C423402310150843002.010150)843002.0(⨯++-=⨯++-=x x x x x x x∴生产2000件这种产品的总成本为:6.1451)2000(=C （万元） 12、已知某产品生产x 个单位时，总收益R 的变化率（边际收益）为0,100200)(''≥-==x xx R R（1） 求生产了50个单位时的总收益；（2） 如果已经生产了100个单位，求再生产100个单位时的总收益.解：∵0,100200)(''≥-==x xx R R ∴2002000)200200()0()100200()(2020x x x x R dx x x R xx-=+-=+-=⎰（1）∴5.9987)50(=R （2）设已生产了100个单位，在生产100个单位时的总收益为R ∆. ∴19850)100()200(=-=∆R R R13、某产品的总成本C C （万元）的变化率（边际成本）1'=C ，总收益R （万元）的变化率（边际收益）为生产量x （百台）的函数x x R R -==5)(''. （1） 求生产量等于多少时，总利润C R L -=为最大？（2） 从利润最大的生产量又生产了100台，总利润减少了多少？ 解：14、判断下列广义积分的敛散性.如收敛，则求其值. (1)⎰∞--12)32(1dx x ；解：原式21)3211(lim 21321lim 21)32()32(1lim 21112=----=--=--=-∞→-∞→-∞→⎰a x x d x a a a a a∴该积分收敛. (2)()()⎰∞+++0321dxx x ；解：原式0)32ln 32(ln lim 32ln lim )3121(lim 00=-++=++=+-+=+∞→+∞→+∞→⎰b b x x dx x x b bb bb∴该积分收敛.(3)⎰+∞∞--dx xe x2；解：原式⎰⎰⎰⎰----=+=-+∞→--∞→+∞-∞--b c x b c a x a c x cx x d e x d e dx xe dx xe)(lim 21)(lim 2122222232ln )](lim )(lim [21)lim lim (21222222=-+--=+-=--+∞→---∞→-+∞→--∞→c b b a c a b c x b c axa e e e e e e ∴该积分收敛.(4)⎰-102)12(1dx x ；解：原式∞=+-=-+--=--+--=--+--=+++→+-→-+→⎰⎰⎰⎰εεεεεεεε1lim 211)121121(lim 21])12()12(1)12()12(1[lim 21)12()12(121)12()12(1210121210021012122012122102x x x d x x d x x d x x d x ∴该积分发散.(5)⎰10ln xdx x ；解：原式)2ln (lim 21)ln (lim 21ln lim211220110120εεεεεεεεεx xdx x x xdx --=-==+++→→→⎰⎰ 21)12(lim 2120-=-=+→εε ∴该积分收敛.*(6) ⎰-+40461dx x x . 解：原式]31)21(21([51)3121(5142402040⎰⎰⎰⎰+--+-=+--=dx x dx x dx x dx x x 37ln )2ln lim 2ln lim (51)37ln 2ln lim 2ln lim (51224202+---=--+-=+-+-→→→→b a x x b a b b a a ∵2ln lim 2--→a a 发散 ∴该积分发散.15、计算：（1）)3()4(2)7(ΓΓΓ；解：原式30!2!32!6=⨯⨯=（2）)29()23()3(ΓΓΓ； 解：原式10516)21(21)21(1058)27(27)21(21!2=ΓΓ=ΓΓ⨯=（3）⎰+∞-04dx e x x ；解：原式24!4)5(==Γ= （4）⎰+∞-0222dx e x x解：原式162)23(8282224102102422π=Γ=========⎰⎰∞+-∞+-==du e u du e u u u u x du udx 第六章 单 元 测 验 题1、设dt t x g dt t x f xx g ])sin(1[)(,11)(cos 02)(03⎰⎰+=+=，计算)2('πf .解：∵)]sin(cos 1[sin ))](cos sin(cos 1[)(),()(11)(2'2''3'x x x x x g x g x g x f +-=+=+=且1)0sin 1(1)2(,0)]sin(1[)2('002-=+⨯-==+=⎰ππg dt t g∴1)1(011)2()2(11)2('3'-=-⨯+=+=πππg g f 2、已知)(x f 在1=x 某邻域内可导，且2)(lim ,0)(lim '11==→→x f x f x x ，求 3111)1(])([lim x dtdu u f t xtx -⎰⎰→解：原式)]()(2[lim 61)1(2)]([)(lim 31)1(3)(lim '111211x xf x f x x f x du u f x duu f x x xx x x +=---+-=--=→→→⎰⎰∵2)(lim ,0)(lim '11==→→x f x f x x ∴原式31=3、计算下列积分. （1）⎰+3)1(1dx xx ； 解：原式32arctan 2)(112332π==+=⎰x x d x （2）dx x x ⎰-++112)12(；解：原式⎰⎰⎰⎰++++-=++++-=--120121212)169()12()12()12(dx x x dx x x dx x x dx x x328)33()3(10230123=++++-=-x x x x x x（3）⎰-2141)ln 1(ln e ex x x dx ；解：原式6)1()21()21(11062141sin 21cos 2221412ln ππ=-=======--=-====⎰⎰⎰=--===du dt t dt tt u t ududt tx dte dx t（4）⎰+∞-++131xx e e dx；解：原式bx b bx xb bx x b e e e e e e de e dx e e e e 1122122arctan 21lim 1lim 1lim 1+∞→+∞→+∞→=+=+=⎰⎰ 224)1arctan (arctan lim 1ee e e b b π=-=+∞→ 4、求函数⎰+-=xedt t t t x f 12ln )(2在区间],[2e e 上的最大值. 解：∵12ln )(2'+-=x x x x f ∴函数在],[2e e 无驻点和一阶不可导点 又∵⎰⎰⎰-----=--=+-=e x ex x e xet d t t tt td dt t t t x f )21()21()21(11ln 11ln 12ln )(222xx e e x x e t t x x e ex1ln 1ln 1ln 1121)21(21)21(ln21211ln 11-+-----=+---⨯----=∴⎰=+-=ee dt t t t ef 012ln )(2，ee e ef 1ln 11)(2+++= ∴其最大值为ee e ef 1ln 11)(2+++= 5、过曲线)0(2≥=x x y 上某点A 作一切线，使之与曲线及x 轴围成图形的面积为121，求 （1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程；（3）由上述图形绕x 轴旋转成的旋转体体积V . 解：（1）设切点A 的坐标为),(b a ∴2a b = 切点A 的切线方程为a aby x a x a f b y +-=⇒-=-2))(('- ∴其阴影部分面积为⎰-+-=b dy y a a b y 0)2(121右边⎰-+-=20)22(a dy aba y a y30232121])2(324[2a y ab a y a y a =-+-= ∴11=⇒=b a（2）切线方程为：12-=x y （3）阴影部分及相应交点如右图ππ301))12((121214=--=⎰⎰dx x dx x V。

第六章 定积分的应用一、内容提要（一）主要定义【定义】 定积分的元素法 如果（1）所求量U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的一个整体量； （2）U 对区间[]b a ,具有可加性； （3）部分量i U ∆可表示为()i i i U f x ξ∆≈∆.则可按以下步骤计算定积分（1）选取一个变量x 或y ，并确定它的变化区间[]b a ,;（2）把区间[]b a ,分成n 个小区间, 求任一小区间[],x x dx +的部分量U ∆的近似dU .()U dU f x dx ∆≈=; （3）计算()U=baf x dx ⎰.（二）主要定理与公式根据定积分的元素法可建立一些几何和物理方面的定积分表达式. 1．平面图形面积 （1）直角坐标情形①由()(),(0),,y f x f x x a x b =≥==所围图形的面积()bas f x dx =⎰.②由()()12,,,y f x y f x x a x b ====所围图形的面积()()12 bas f x f x dx =-⎰.③由()()12,,,x y x y y c y d ϕϕ====所围图形的面积()()12dcs y y dy ϕϕ=-⎰（2）参数方程情形 由曲线l ：()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，12t t t ≤≤，x 轴及,x a x b ==所围图形的面积 ()()21t t s t t dt ψϕ'=⎰（3）极坐标情形① 由(),,ρϕθθαθβ===所围图形的面积()212s d βαϕθθ=⎰ ② 由()()12,,,ρϕθρϕθθαθβ====所围图形的面积()()222112s d βαϕθϕθθ⎡⎤=-⎣⎦⎰ 2.体积（1）旋转体的体积① 由()0,,,y y f x x a x b ====所围图形绕x 轴旋转所得旋转体体积：()2b a V f x dx π=⎡⎤⎣⎦⎰. 当0a b ≤<时，上述曲边梯形绕y 轴旋转所得旋转体的体积： ()22bbaaV x y dx x f x dx ππ==⎰⎰.② 由(),0,,x y x y c y d ϕ====所围图形绕y 轴旋转一周形成的立体体积：()2d c V y dy πϕ=⎡⎤⎣⎦⎰ （2）平行截面面积为已知的立体的体积设以()[],A x C a b ∈表示立体Ω的过点x 且垂直于x 轴的截面面积，且立体Ω夹在平面x a x b ==与之间，则立体Ω的体积：()baV A x dx =⎰.3.平面曲线的弧长（1）光滑曲线():,l y f x a x b =≤≤的弧长为as =⎰.（2）光滑曲线()(),: ,x x t l t y y t αβ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩的弧长为s βα=⎰.（3）光滑曲线():, l ρϕθαθβ=≤≤的弧长为s βαθ=⎰4.变力沿直线做功、水压力 （1）变力沿直线做功设物体在变力()F x 的作用下，沿变力的方向由x a =移到x b =,在物体的位移区间[],a b 内任一子区间[],x x dx +上功的元素为 ()dW F x dx =,全部功()baW F x dx =⎰.（2）水压力设平板铅直地放入液体中，液体的密度为ρ，平板位于液面下的深度在区间[]0,b 内任一子区间[],x x dx +上,液体深x 处的压强为p gx ρ=,压力元素()dp gx f x dx ρ=⋅. 全部压力为 ()0bp gx f x dx ρ=⋅⎰.二、典型题解析（一）填空题【例6.1】 由曲线,xxy e y e -==及直线1x =所围成图形的面积是 . 解 所求面积 ()()1112xx x x S ee dx e e e e ---=-=+=+-⎰.故应填12e e -+-. 【例6.2】 由222,82x y x y =+=所围成图形（见图6.1）面积A （上半平面部分），则A = .解 两曲线22228x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩的交点为()()2,2,2,2-.所求的面积为222)2x A dx -=⎰328226x ⎫=-⎪⎭423π=+. 故应填423π+. 【例6.3】 曲线sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与直线,02x y π==围成一个平面图形，此平面图形绕x 轴旋转产生的旋转体的体积 .解 2220s i n 4V x d x πππ==⎰. 故应填24π.【例6.4】 阿基米德螺线()0aeλθρλ=>从0θ=到θα=一段弧长s = .解 0s αθ=⎰ ()01eλαθλ==-⎰.)1eλα-.【例6.5】 曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积A = . 解 函数322(2)(1)y x x x x x x =-++=--+与x 轴的交点为()()()1,0,0,02,0-.()()023232122A x x x dx x x x dx -=--+++-++⎰⎰3712=. （二）选择题图6.122x y =228x y +=【例6.6】 曲线x y e =与其过原点的切线及y 轴所围成的图形（见图6.2）面积为[ ]（A ） ()1x e ex dx -⎰; （B ）()1ln ln ey y y dy -⎰;（C ）()1e x x e xe dx -⎰; （D ）()1ln ln y y y dy -⎰.解 曲线x y e =在任意点(),x y 的切线方程为()x x Y e e X x -=-,由于切线过原点,可以求出1x =,于是过原点的切线方程为Y eX =.所求平面图形的面积等于()1xeex dx -⎰. 故选择A.【例6.7】 由曲线()()12y x x x =--与x 轴围成的平面图形的面积为 [ ]. （A ）()()()()12011212x x x dx x x x dx -----⎰⎰;（B ）()()212x x x dx ---⎰;（C ）()()()()12011212x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰;（D ）()()212x x x dx --⎰.解 在区间[]0,1,0y <,在区间[]1,2,0y >, 所以 ()()112S x x x dx =---⎰()()2112x x x dx +--⎰.故选择C.【例 6.8】 曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积为 [ ]（A ）2π （B ）π （C ）212π （D ）2π. 解 2222cos2V xdx ππππ-==⎰.故选择C.图6.2【例6.9】 双纽线()22222x yx y +=-围成的平面图形的面积为 [ ]（A ）402cos 2d πθθ⎰; （B ）404cos 2d πθθ⎰;（C）2θ; （D ）()2401cos 22d πθθ⎰.解 双纽线的极坐标方程为2cos 2 r θ=,(,44ππθ-≤≤35)44ππθ≤≤由对称性 2244001422S r d r d ππθθ=⨯=⎰⎰402cos 2d πθθ=⎰. 故选择A.【例6.10】 曲线()2ln 1y x =-上102x ≤≤的一段弧长l = [ ].（A）; （B ）1222011x dx x +-⎰; （C）; （D ）. 解 曲线是直角坐标表示的曲线,采用公式al =⎰.由曲线方程()2ln 1y x =-可得210x ->,221x y x -'=-,则1222011x l dx x +==-⎰. 故选择B .（三）非客观题 1. 平面图形的面积解题方法 （1）先画出草图；（2）求出交点；（3）选取积分变量、区间，找出面积元素，然后积分. （1）直角坐标情形【例6.11】求曲线22,ax y ay x ==所围(见图6.3)的面积. 解 如图所示，交点为()(),00,0A a O 及.图6.32ax y =2y ax =所围的面积()23232002)333aax x aS dx ax a aa ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰. 【例6.12】 求介于由曲线2121,2+==x y x y 和x 轴围成的平面图形(见图6.4)的面积．解 （法一）设此面积为S ,有12101111()d ()d 2222S x x x x x -=+++-⎰⎰0122310()()42423x x x x x -=+++-23=（法二）13122002(21)]d ()3S y y y y y =-=-+⎰23=.【例6.12】 求0,2x x π==之间由曲线sin y x =和cos y x =所围成的图形(见图6.5)的面积. 解 20sin cos A x x dx π=-⎰()40cos sin x x dx π=-⎰()544sin cos x x dx ππ+-⎰()254cos sin x x dx ππ+-⎰=【例6.13】 求抛物线243y x x =-+-及其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形(见图6.6)的面积.解 由24y x '=-+得过点()0,3-和()3,0的切线方程为1:43l y x =-和2:26l y x =-+,图 6.4图 6.24π54π2π图 6.5图 6.6且可得12,l l 交点坐标为3,32⎛⎫⎪⎝⎭,则所围图形的面积为()32204343A x x x dx ⎡⎤=---+-⎣⎦⎰()32322643x x x dx ⎡⎤+-+--+-⎣⎦⎰94=. 【例6.14】求由曲线322,0a y y a x==+所围的面积. 解 所求面积为33222202lim b b a dx S dx a dx a x a x+∞-∞→+∞==++⎰⎰ 3212limarctan b a b a aπ→+∞==. 【例6.15】确定常数k ,使曲线2y x =与直线,2,0x k x k y ==+=所围成图形的面积最小. 解 选x 为积分变量,变化区间为[],2k k +,面积元素2dA x dx =,所求面积为()()22 k kA k x dx k +=-∞<<+∞⎰,要求k 使()A k 取最小值,()A k 是积分上(下)限函数,故()()22241dA k k k dk=+-=+, 令0dA dk =,解得驻点1k =-,因为2240d Adk=>,则1k =-为()A k 在(),-∞+∞内唯一极小值点,即当1k =-时,所围成图形的面积最小. （2）参数方程情形【例6.16】求摆线()()sin ,1cos x a t t y a t =-=-()020t y π≤≤=及所围的面积. 解 所求面积为20(1cos )(1cos )S a t a t dt π=-⋅-⎰图 6.72220(12cos cos )a t t dt π=-+⎰221cos 2(12cos )2tat dt π+=-+⎰20312sin sin 224t t t π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦23a π=【例6.17】求椭圆渐趋线()2233222cos ,sin c c x t y t c a b a b===-所围面积. 解 所求面积为223324sin cos c c S t t dt b a π'⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰22322034sin cos sin c c t t tdt b aπ=⎰4422012sin (1sin )c t t dt abπ=--⎰438c abπ=.（3）极坐标情形【例6.18】求曲线2(2cos )r a θ=+所围成图形(见图6.7)的面积. 解 所求面积为()201222cos 2S a d πθθ=⋅+⎡⎤⎣⎦⎰ ()220444cos cos a d πθθθ=++⎰201cos 2444cos 2a d πθθθ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰209sin 244sin 24a πθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ 218a π=【例6.19】 求心脏线1cos r θ=+与圆3cos r θ=公共部分(见图6.8)的面积. 解 由3cos 1cos θθ=+得交点坐标为3,23π⎛⎫± ⎪⎝⎭,()2232031121cos (3cos )22S d d πππθθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰54π=. 【例6.20】 求由双纽线()()222222x ya x y +=-所围成且在圆周22212x y a +=内部的图形(见图6.9)的面积.解将r =代入方程22cos2r a θ=中得6πθ=.令0r =代入22cos 2r a θ=中得4πθ=,故 226410611cos 222A d a d πππθθθ=+⎰⎰ 224611sin 22264a a πππθ=⋅⋅+2(633)24a π=+-, 214(66a A A π∴==+-.【例6.21】求由曲线2cos2r r θθ==及所围成的图形的公共部分（见图6.10）的面积.解 解方程组2cos 2r r θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得两曲线的交点坐标为26π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所求的面积为1r =+图 6.9)2646112cos222S d dπππθθθθ=+⎰⎰[]64061112sin2sin2242πππθθθ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦1626ππ=+=.2.体积的计算（1）旋转体的体积【例6.22】将抛物线24y ax=及直线x x=()x>所围成的图形绕x轴旋转，计算所得的旋转抛物体的体积.解()2,dV f x dxπ=其中()f x=所求体积()00222002x xV f x dx dx axπππ===⎰⎰.【例6.23】求曲线22,0y x x y=-=所围图形分别绕ox轴，oy轴旋转所成旋转体的体积.解所求体积为()22216215xV x x dxππ=-=⎰；()228223yV x x x dxππ=-=⎰。