最新(高等数学)第六章定积分(全部)

第六章定积分一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1．理解定积分的概念及其性质．2．了解定积分的几何意义．3．了解变上限的定积分的性质，熟练掌握牛顿莱布尼茨公式．4．掌握定积分的换元法和分部积分法．5．了解无穷区间上的广义定积分的几何意义，牛顿–莱布尼茨公式，定各分的换元法和分部积分法．重点 定积分的概念及定积分的几何意义，牛顿–莱布尼茨公式，定积分的换元法和分部积分法．难点 变上限的定积分，定积分的换元法和分部积分法．（二）内容提要1．曲边梯形所谓曲边梯形是指由曲线、直线和数轴所围成的平面图形．2．定积分的概念与定积分的几何意义（1）定积分的概念设函数在区间上有定义，任取分点)(x f y =],[b a，b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 把区间分成个小区间，记为],[b a n ),2,1]([,1n i x x i i =-，{}i ni i i i x n i x x x ∆==-=∆≤≤-11max ),,,2,1(λ 再在每个小区间上，任取一点，取乘积的和式，即],[1i i x x -i ξi i x f ∆)(ξ．in i ix f ∆∑=1)(ξ如果时上述极限存在（即这个极限值与的分割及点的取法均无关），则0→λ],[b a i ξ称函数在闭区间上可积，并且称此极限值为函数在上的定积分，记)(x f ],[b a )(x f ],[b a 做，即⎰bax x f d )(，⎰∑=→λ∆ξ=bani i i x f x x f 1)(lim d )(其中称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，称为积分)(x f x x f d )(x ],[b a 区间，与分别称为积分下限与积分上限，符号读做函数从到的定a b ⎰bax x f d )()(x f a b积分．关于定积分定义的说明：①定积分是特定和式的极限，它表示一个数．它只取决于被积函数与积分下限、积分上限，而与积分变量采用什么字母无关，例如，一般地有⎰⎰=2/π02/π0d sin d sin t t x x =．⎰ba x x f d )(⎰bat t f d )(②定积分的存在定理：如果在闭区间上连续或只有有限个第一类间断点，)(x f ],[b a 则在上可积．)(x f ],[b a （2）定积分的几何意义设在上的定积分为，其积分值等于曲线、直线)(x f ],[b a ⎰ba x x f d )()(x f y =和所围成的在轴上方部分与下方部分面积的代数和．b x a x ==,0=y x 3．定积分的性质（1）积分对函数的可加性，即,⎰⎰⎰±=±ba ba ba x x g x x f x x g x f d )(d )(]d )()([可推广到有限项的情况，即．⎰⎰⎰±±=±±±ba ba ba n n x x f x x f x x f x f x f d )(d )(d )]()()([121 （2）积分对函数的齐次性，即．⎰⎰=ba ba k x x f k x x kf )( d )(d )(为为为（3）如果在区间上，则．],[b a 1)(≡x f ⎰-=ba ab x d 1（4）（积分对区间的可加性）如果，则b c a <<．⎰⎰⎰+=bac a b c x x f x x f x x fd )(d )(d )(注意：对于三点的任何其他相对位置，上述性质仍成立，仍有c b a ,,．⎰⎰⎰+=baca bc x x f x x f x x fd )(d )(d )(（5）（积分的比较性质）如果在区间上有，则],[b a )()(x g x f ≤．⎰⎰≤baba x x g x x f d )(d )(（6）（积分的估值性质）设与分别是函数在闭区间上的最大值与最M m )(x f ],[b a 小值，则．)(d )()(a b M x x f a b m ba-≤≤-⎰（7）（积分中值定理）如果函数在闭区间上连续，则在区间上至)(x f ],[b a ],[b a 少存在一点，使得ξ．⎰-ξ=baa b f x x f ))((d )(4．变上限的定积分（1）变上限的定积分当在上变动时，对应于每一个值，积分就有一个确定的值，x ],[b a x ⎰xat t f d )(因此是变上限的一个函数，记作⎰x a t t f d )(，⎰≤≤=xa b x a t t f x )( d )()(Φ称函数为变上限的定积分．)(x Φ（2）变上限的定积分的导数如果函数在闭区间上连续，则变上限定积分在闭区间)(x f ],[b a ⎰=xa t t f x d )()(Φ上可导，并且它的导数等于被积函数，即],[b a．⎰≤≤=='=xab x a x f t t f x x x )( )(d )(d d )(d d ΦΦ 5．无穷区间上的广义积分设函数在上连续，任取实数，把极限称为函数)(x f ),[+∞a a b >⎰+∞→ba b x x f d )(lim在无穷区间上的广义积分，记做)(x f ，⎰⎰∞+∞→=baa b x x f x x f d )(lim d )(若极限存在，则称广义积分收敛；若极限不存在，则称广义积分⎰∞+ax x f d )(发散．⎰∞+ax x f d )(类似地，可定义函数在上的广义积分为)(x f (]b ,∞-．⎰⎰∞--∞→=baba x x f x x f d )(lim d )(函数在区间上的广义积分为)(x f ),(+∞-∞，⎰⎰⎰∞+∞-∞-∞++=ccx x f x x f x x f d )(d )(d )(其中为任意实数，当右端两个广义积分都收敛时，广义积分才是收敛的；否c ⎰∞+∞-x x f d )(则广义积分是发散的．⎰+∞∞-x x f d )(6．微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）设函数在闭区间上连续，如果是的任意一个原函数，则)(x f ],[b a )(x F )(x f ，)()()(d )(a F b F x F x x f ba ba -==⎰以上公式称为微积分基本定理，又称牛顿–莱布尼茨公式．7．定积分的计算（1）定积分的换元法设函数在上连续，令，则有)(x f ],[b a )(t x ϕ=，⎰⎰'=ba at t t f t x xx f d )()]([)(d )(βϕϕϕ其中函数应满足以下三个条件：①；b a ==)(,)(βϕαϕ②在上单值且有连续导数；)(t ϕ],[βα③当在上变化时，对应值在上变化．t ],[βα)(t x ϕ=],[b a 上述公式称为定积分换元公式．在应用换元公式时要特别注意：用变换把原)(t x ϕ=来的积分变量换为新变量时，原积分限也要相应换成新变量的积分限，也就是说，换x t t 元的同时也要换限．原上限对应新上限，原下限对应新下限．（2）定积分的分部积分公式设函数在区间上均有连续导数，则)(),(x v x u ],[b a ．⎰⎰-=ba ba ba u v uv v u d )(d 以上公式称为定积分的分部积分公式，其方法与不定积分类似，但结果不同，定积分是一个数值，而不定积分是一类函数．（3）偶函数与奇函数在对称区间上的定积分设函数在关于原点对称区间上连续，则)(x f ],[a a -①当为偶函数时，，)(x f ⎰⎰-=aaax x f x x f 0d )(2d )(②当为奇函数时，．)(x f ⎰-=aax x f 0d )(利用上述结论，对奇、偶函数在关于原点对称区间上的定积分计算带来方便．二、例题精解1．变上限的定积分对上限的求导方法例 1 已知 ， 求 ．⎰+=t t x xx F d 1sin )(2)(x F '解 =+⎰+=xx t t x F sin 2d 1)(⎰+cx t t 2d 1⎰+xctt sin d 1=，⎰+-2d 1x c t t ⎰++xct t sin d 1=+)(x F ')2(12x x +-xx cos sin 1⋅+=．++-212x x x x cos sin 1⋅+小结 如果定积分上限是的函数，那么利用复合函数求导公式对上限求导；如果定x 积分的下限是的函数，那么将定积分的下限变为变上限的定积分，利用复合函数求导公x 式对上限求导；如果复合函数的上限、下限都是的函数，那么利用区间可加性将定积分x 写成两个定积分的和，其中一个定积分的上限是的函数，另一个定积分的下限也是的x x 函数，都可以化为变上限的定积分来求导．2．利用换元积分法计算定积分的方法例2 计算 （1）， （2） ．⎰+-40d 11x xx⎰4π4d tan sec x x x 解 （1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限．令， ， ，x t =x 2t =t t x d 2d =当时，，当时，，于是0=x 0=t 4=x 2=t ==⎰+-40d 11x xx⎰+-20d 211t t t t ⎰+--20d 1424[t tt[].3ln 44021ln 442-=+--=tt t （2）=⎰4π04d tan sec x x x ⎰4π03)(sec d sec x x ．43411sec 414π04=-==x 小结用换元积分法计算定积分，如果引入新的变量，那么求得关于新变量的原函数后，不必回代，直接将新的积分上下限代入计算就可以了．如果不引入新的变量，那么也就不需要换积分限，直接计算就可以得出结果．3．利用分部积分法计算定积分的方法分部积分公式为.⎰⎰-=baba bau v uv v u d d例3 计算（1），（2）．⎰1d arctan x x x x x d ln 2e e 1⎰解（1）=⎰10d arctan x x 10arctan x x⎰+-102d 1xx x=102)1ln(214πx +-= ．2ln 214-π（2） 由于在[]上；在[]上，所以1,e10ln ≤x 2e ,10ln ≥x=+x x x d ln 2e e 1⎰x x x d )ln (1e 1⎰-xx x d ln 2e 1⎰=+2(d ln 21e1x x ⎰-)2d(ln 2e 12x x ⎰=[+]+[]-x x ln 2242x 1e 1x x ln 22-42x 2e 1=（+）+（+）41-412e 1212e 14e -414e 41 =+．21-432e 1434e 小结 被积函数中出现绝对值时必须去掉绝对值符号，这就要注意正负号，有时需要分段进行积分.4．广义积分的计算方法例4 判别下列广义积分的敛散性，如果收敛计算其值 .(1)， ⎰∞++022d )1(x x x解 (1) 因为积分区间为无穷区间，所以原式===+∞→b lim ⎰+bx x x 022d )1(+∞→b lim ⎰++b x x 0222)1()1(d 21bb x 02)1(21[lim +-+∞→==，]21)1(21[lim 2++-+∞→b b 21故所给广义积分收敛，且其值为．21 小结1．本章的重点是定积分的概念及几何意义．牛顿–莱布尼茨公式，定积分的换元积分法与分部积分法．2．学好本章内容，首先要理解定积分的概念，掌握用定积分的思想分析问题解决问题的方法．3．要深刻理解微积分基本定理：牛顿–莱布尼茨公式。

第六章 定积分的应用一、内容提要（一）主要定义【定义】 定积分的元素法 如果（1）所求量U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的一个整体量； （2）U 对区间[]b a ,具有可加性； （3）部分量i U ∆可表示为()i i i U f x ξ∆≈∆.则可按以下步骤计算定积分（1）选取一个变量x 或y ，并确定它的变化区间[]b a ,;（2）把区间[]b a ,分成n 个小区间, 求任一小区间[],x x dx +的部分量U ∆的近似dU .()U dU f x dx ∆≈=; （3）计算()U=baf x dx ⎰.（二）主要定理与公式根据定积分的元素法可建立一些几何和物理方面的定积分表达式. 1．平面图形面积 （1）直角坐标情形①由()(),(0),,y f x f x x a x b =≥==所围图形的面积()bas f x dx =⎰.②由()()12,,,y f x y f x x a x b ====所围图形的面积()()12 bas f x f x dx =-⎰.③由()()12,,,x y x y y c y d ϕϕ====所围图形的面积()()12dcs y y dy ϕϕ=-⎰（2）参数方程情形 由曲线l ：()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，12t t t ≤≤，x 轴及,x a x b ==所围图形的面积 ()()21t t s t t dt ψϕ'=⎰（3）极坐标情形① 由(),,ρϕθθαθβ===所围图形的面积()212s d βαϕθθ=⎰ ② 由()()12,,,ρϕθρϕθθαθβ====所围图形的面积()()222112s d βαϕθϕθθ⎡⎤=-⎣⎦⎰ 2.体积（1）旋转体的体积① 由()0,,,y y f x x a x b ====所围图形绕x 轴旋转所得旋转体体积：()2b a V f x dx π=⎡⎤⎣⎦⎰. 当0a b ≤<时，上述曲边梯形绕y 轴旋转所得旋转体的体积： ()22bbaaV x y dx x f x dx ππ==⎰⎰.② 由(),0,,x y x y c y d ϕ====所围图形绕y 轴旋转一周形成的立体体积：()2d c V y dy πϕ=⎡⎤⎣⎦⎰ （2）平行截面面积为已知的立体的体积设以()[],A x C a b ∈表示立体Ω的过点x 且垂直于x 轴的截面面积，且立体Ω夹在平面x a x b ==与之间，则立体Ω的体积：()baV A x dx =⎰.3.平面曲线的弧长（1）光滑曲线():,l y f x a x b =≤≤的弧长为as =⎰.（2）光滑曲线()(),: ,x x t l t y y t αβ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩的弧长为s βα=⎰.（3）光滑曲线():, l ρϕθαθβ=≤≤的弧长为s βαθ=⎰4.变力沿直线做功、水压力 （1）变力沿直线做功设物体在变力()F x 的作用下，沿变力的方向由x a =移到x b =,在物体的位移区间[],a b 内任一子区间[],x x dx +上功的元素为 ()dW F x dx =,全部功()baW F x dx =⎰.（2）水压力设平板铅直地放入液体中，液体的密度为ρ，平板位于液面下的深度在区间[]0,b 内任一子区间[],x x dx +上,液体深x 处的压强为p gx ρ=,压力元素()dp gx f x dx ρ=⋅. 全部压力为 ()0bp gx f x dx ρ=⋅⎰.二、典型题解析（一）填空题【例6.1】 由曲线,xxy e y e -==及直线1x =所围成图形的面积是 . 解 所求面积 ()()1112xx x x S ee dx e e e e ---=-=+=+-⎰.故应填12e e -+-. 【例6.2】 由222,82x y x y =+=所围成图形（见图6.1）面积A （上半平面部分），则A = .解 两曲线22228x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩的交点为()()2,2,2,2-.所求的面积为222)2x A dx -=⎰328226x ⎫=-⎪⎭423π=+. 故应填423π+. 【例6.3】 曲线sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与直线,02x y π==围成一个平面图形，此平面图形绕x 轴旋转产生的旋转体的体积 .解 2220s i n 4V x d x πππ==⎰. 故应填24π.【例6.4】 阿基米德螺线()0aeλθρλ=>从0θ=到θα=一段弧长s = .解 0s αθ=⎰ ()01eλαθλ==-⎰.)1eλα-.【例6.5】 曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积A = . 解 函数322(2)(1)y x x x x x x =-++=--+与x 轴的交点为()()()1,0,0,02,0-.()()023232122A x x x dx x x x dx -=--+++-++⎰⎰3712=. （二）选择题图6.122x y =228x y +=【例6.6】 曲线x y e =与其过原点的切线及y 轴所围成的图形（见图6.2）面积为[ ]（A ） ()1x e ex dx -⎰; （B ）()1ln ln ey y y dy -⎰;（C ）()1e x x e xe dx -⎰; （D ）()1ln ln y y y dy -⎰.解 曲线x y e =在任意点(),x y 的切线方程为()x x Y e e X x -=-,由于切线过原点,可以求出1x =,于是过原点的切线方程为Y eX =.所求平面图形的面积等于()1xeex dx -⎰. 故选择A.【例6.7】 由曲线()()12y x x x =--与x 轴围成的平面图形的面积为 [ ]. （A ）()()()()12011212x x x dx x x x dx -----⎰⎰;（B ）()()212x x x dx ---⎰;（C ）()()()()12011212x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰;（D ）()()212x x x dx --⎰.解 在区间[]0,1,0y <,在区间[]1,2,0y >, 所以 ()()112S x x x dx =---⎰()()2112x x x dx +--⎰.故选择C.【例 6.8】 曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积为 [ ]（A ）2π （B ）π （C ）212π （D ）2π. 解 2222cos2V xdx ππππ-==⎰.故选择C.图6.2【例6.9】 双纽线()22222x yx y +=-围成的平面图形的面积为 [ ]（A ）402cos 2d πθθ⎰; （B ）404cos 2d πθθ⎰;（C）2θ; （D ）()2401cos 22d πθθ⎰.解 双纽线的极坐标方程为2cos 2 r θ=,(,44ππθ-≤≤35)44ππθ≤≤由对称性 2244001422S r d r d ππθθ=⨯=⎰⎰402cos 2d πθθ=⎰. 故选择A.【例6.10】 曲线()2ln 1y x =-上102x ≤≤的一段弧长l = [ ].（A）; （B ）1222011x dx x +-⎰; （C）; （D ）. 解 曲线是直角坐标表示的曲线,采用公式al =⎰.由曲线方程()2ln 1y x =-可得210x ->,221x y x -'=-,则1222011x l dx x +==-⎰. 故选择B .（三）非客观题 1. 平面图形的面积解题方法 （1）先画出草图；（2）求出交点；（3）选取积分变量、区间，找出面积元素，然后积分. （1）直角坐标情形【例6.11】求曲线22,ax y ay x ==所围(见图6.3)的面积. 解 如图所示，交点为()(),00,0A a O 及.图6.32ax y =2y ax =所围的面积()23232002)333aax x aS dx ax a aa ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰. 【例6.12】 求介于由曲线2121,2+==x y x y 和x 轴围成的平面图形(见图6.4)的面积．解 （法一）设此面积为S ,有12101111()d ()d 2222S x x x x x -=+++-⎰⎰0122310()()42423x x x x x -=+++-23=（法二）13122002(21)]d ()3S y y y y y =-=-+⎰23=.【例6.12】 求0,2x x π==之间由曲线sin y x =和cos y x =所围成的图形(见图6.5)的面积. 解 20sin cos A x x dx π=-⎰()40cos sin x x dx π=-⎰()544sin cos x x dx ππ+-⎰()254cos sin x x dx ππ+-⎰=【例6.13】 求抛物线243y x x =-+-及其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形(见图6.6)的面积.解 由24y x '=-+得过点()0,3-和()3,0的切线方程为1:43l y x =-和2:26l y x =-+,图 6.4图 6.24π54π2π图 6.5图 6.6且可得12,l l 交点坐标为3,32⎛⎫⎪⎝⎭,则所围图形的面积为()32204343A x x x dx ⎡⎤=---+-⎣⎦⎰()32322643x x x dx ⎡⎤+-+--+-⎣⎦⎰94=. 【例6.14】求由曲线322,0a y y a x==+所围的面积. 解 所求面积为33222202lim b b a dx S dx a dx a x a x+∞-∞→+∞==++⎰⎰ 3212limarctan b a b a aπ→+∞==. 【例6.15】确定常数k ,使曲线2y x =与直线,2,0x k x k y ==+=所围成图形的面积最小. 解 选x 为积分变量,变化区间为[],2k k +,面积元素2dA x dx =,所求面积为()()22 k kA k x dx k +=-∞<<+∞⎰,要求k 使()A k 取最小值,()A k 是积分上(下)限函数,故()()22241dA k k k dk=+-=+, 令0dA dk =,解得驻点1k =-,因为2240d Adk=>,则1k =-为()A k 在(),-∞+∞内唯一极小值点,即当1k =-时,所围成图形的面积最小. （2）参数方程情形【例6.16】求摆线()()sin ,1cos x a t t y a t =-=-()020t y π≤≤=及所围的面积. 解 所求面积为20(1cos )(1cos )S a t a t dt π=-⋅-⎰图 6.72220(12cos cos )a t t dt π=-+⎰221cos 2(12cos )2tat dt π+=-+⎰20312sin sin 224t t t π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦23a π=【例6.17】求椭圆渐趋线()2233222cos ,sin c c x t y t c a b a b===-所围面积. 解 所求面积为223324sin cos c c S t t dt b a π'⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰22322034sin cos sin c c t t tdt b aπ=⎰4422012sin (1sin )c t t dt abπ=--⎰438c abπ=.（3）极坐标情形【例6.18】求曲线2(2cos )r a θ=+所围成图形(见图6.7)的面积. 解 所求面积为()201222cos 2S a d πθθ=⋅+⎡⎤⎣⎦⎰ ()220444cos cos a d πθθθ=++⎰201cos 2444cos 2a d πθθθ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰209sin 244sin 24a πθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ 218a π=【例6.19】 求心脏线1cos r θ=+与圆3cos r θ=公共部分(见图6.8)的面积. 解 由3cos 1cos θθ=+得交点坐标为3,23π⎛⎫± ⎪⎝⎭,()2232031121cos (3cos )22S d d πππθθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰54π=. 【例6.20】 求由双纽线()()222222x ya x y +=-所围成且在圆周22212x y a +=内部的图形(见图6.9)的面积.解将r =代入方程22cos2r a θ=中得6πθ=.令0r =代入22cos 2r a θ=中得4πθ=,故 226410611cos 222A d a d πππθθθ=+⎰⎰ 224611sin 22264a a πππθ=⋅⋅+2(633)24a π=+-, 214(66a A A π∴==+-.【例6.21】求由曲线2cos2r r θθ==及所围成的图形的公共部分（见图6.10）的面积.解 解方程组2cos 2r r θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得两曲线的交点坐标为26π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所求的面积为1r =+图 6.9)2646112cos222S d dπππθθθθ=+⎰⎰[]64061112sin2sin2242πππθθθ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦1626ππ=+=.2.体积的计算（1）旋转体的体积【例6.22】将抛物线24y ax=及直线x x=()x>所围成的图形绕x轴旋转，计算所得的旋转抛物体的体积.解()2,dV f x dxπ=其中()f x=所求体积()00222002x xV f x dx dx axπππ===⎰⎰.【例6.23】求曲线22,0y x x y=-=所围图形分别绕ox轴，oy轴旋转所成旋转体的体积.解所求体积为()22216215xV x x dxππ=-=⎰；()228223yV x x x dxππ=-=⎰。