九年级数学上册 24.3.1 正多边形和圆课件 人教新课标版

C
D
三 正多边形的有关计算
探究归纳
如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
①它的中心角等于 60 度 ； F
E
② OC = BC (填＞、＜或＝）；
A
③△OBC是 等边 三角形；
O
D
④圆内接正六边形的面积是
BP C
⑤△圆内OB接C正面n积边的形面6积公倍式.:__S_正_多_边_形__=_12__周__长___边__心__距___.
DKE
∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为
HK的长.
∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°， ∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK.
∵CG⊥BD， ∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=6. ∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．
拓广探索
A
E
∴OA=OB，OD=OC. B GH是边AD、BC的垂直平分线，
∴OA=OD；OB=OC.
O
G
H
∴OA=OB=OC=OD.
∴正方形ABCD有一个以点O为
DF
C
圆心的外接圆.
A
E
AC是∠DAB及∠DCB的角平分 B 线，BD是∠ABC及∠ADC的角
平分线，
G
O
H
∴OE=OH=OF=OG.
∴正方形ABCD还有一个以
r
亭子地基的面积
B MC
S 1 l r 1 24 2 3 41.6(m2 ). 22
想一想
问题1 正n边形的中心角怎么计算？
360
F
E
a
问题2
n
正n边形的边长a，半径R，

E
C
D
思考:正多边形有内切圆吗?如果有,请指出它的
圆心与半径.
内切圆的半径与边心距有什么关系? 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,
这两个圆是同心圆. 灿若寒星
抢答题：
1、O是正△ABC的中心，它是△ABC的 外接
圆与 内切 圆的圆心。
A
2它、是O正B半△叫径A正BC△的ABC的
，
圆外的接半径。
2、证明题。
求证：顺次连结正六边形
A
F
各边中点所得的多 边形是正六边形。
B
E
CD
灿若寒星
3.求证：正五边形的对角线相等。 A
已知：ABCDE是正五边形， 求证：DB=CE
B
E
证明：在△BCD和△CDE中
∵BC=CD
C
D
∠BCD=∠CDE
CD=DE
∴△BCD≌△CDE
∴BD=CE
同理可证对角线相等。
积为（D）
A.(3 2 3)a2
B.7 a2
9
C. 2 a2 2
D.(2 2-2)a2
• 11．正六边形螺帽的边长为a，那么扳手
的开口b最小应是() A
A、 3a
B、1 a
3 C. a
3 D.
2
灿若寒星
2
3
1、判断题。
①各边都相等的多边形是正多边形。（）×
②一个圆有且只有一个内接正多边形（）×
• 7．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的 关系是（B）
A.互余B.互补C.互余或互补D.不能确定
灿若寒星
• 9．若一个正多边形的每一个外角都等于 36°,那么这个正多边形的中心角为（）A

面积等。
以π，面积等于半径的
平方乘以π。
圆形多边形
1 什么是圆形多边形？
圆形多边形是由弧段连结而成的多边形。
2 圆形多边形的性质有哪些？
圆形多边形的性质包括：内角和等于360度、相邻两条弧之间的夹角等。
3 如何求解圆形多边形的周长和面积？
圆形多边形的周长等于各个弧段的长度之和，面积等于各个扇形的面积之和。
九年级数学上册24.3正多 边形和圆课件新版新人教 版
本课件介绍九年级数学上册24.3正多边形和圆的知识点。从什么是正多边形和 圆开始，逐步讲解其性质、周长、面积等概念。
正多边形
1 什么是正多边形？
正多边形是指所有边相等，所有内角相等的多边形。
2 正多边形的性质有哪些？
正多边形的性质包括：所有边相等、所有内角相等、有n个相等的对角线。
3 如何求解正多边形的周长和面积？
正多边形的周长等于边长乘以边的个数，面积等于半径的平方乘以n个正弦。
圆的基本概念ຫໍສະໝຸດ 1 什么是圆？圆是由平面上与一个 固定点的距离相等的 所有点组成的闭合曲 线。
2 圆的性质有哪些？ 3 如何求解圆的周
长和面积？
圆的性质包括：半径、
直径、圆心、弧长、
圆的周长等于直径乘
小结
本节课的重点和难 点是什么？
本节课的重点是了解正 多边形和圆的基本概念， 难点在于应用这些概念 求解周长和面积。
如何巩固本节课的 知识点？
巩固本节课的知识点可 通过做相关题目进行练 习，同时与同学们讨论， 加深理解。
如何应用本节课所 学的知识点解决实 际问题？
应用本节课所学的知识 点，我们可以计算建筑 物的面积、园区的周长 等实际问题。

径.
(3)正多边形的中心角:正多边形每一边所对的 圆心 角叫做正多边
形的中心角. (4)正多边形的边心距:中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的
边心距.
温馨提示 1.各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边
形. 2.正多边形一定有外接圆和内切圆.
课标要求 知识梳理
2.正多边形的画法 (1)用量角器等分圆周画正多边形:
关闭
解析 解析
关闭 答案
1
2
3
2.如图,△PQR 是☉O 的内接正三角形,四边形 ABCD 是☉O 的内接正方
形,BC∥QR,则∠AOR=(
)
A.60° D
B.65°
C.72°
D.75°
关闭 答案
1
2
3
3.点 M,N 分别是正八边形相邻的边 AB,BC 上的点,且 AM=BN,点 O 是正八
边形的中心,则∠MON 的度数为
作出正方形. ②用尺规作正六边形: 因为正六边形的边长等于它的半径,所以在半径为 R 的圆上依次截取
等于 R 的弦,就可以六等分圆,从而作出正六边形.
1.正八边形的每个内角为(
)
A.120°
B.135°
1
2
3
C.140°
D.144°
正八边形的每个内角为(8-2)×8180°=135°.故选 B. B
24.3 正多边形和圆
课标要求 知识梳理
1.了解正多边形和圆的关系,理解正多边形的中心、半径、边心距等概 念.
2.会求正多边形的中心角、边长、边心距、半径、周长及面积.
课标要求 知识梳理
1.正多边形的中心、半径、中心角、边心距
(1)正多边形的中心:一个正多边形的 外接 圆的圆心叫做这个正多边

的内∴五接边正形多A边BC形D.E是⊙O的 内接正五边形.
二. 正多边形有关的概念
E
D
正多边形的中心:
一个正多边形的 外接圆的圆心.
F
.半径R
O
中心角
C
正多边形的半径:
边心距r
外接圆的半径
A
B
正多边形的中心角: 正多边形的每一条 边所对的圆心角.
正多边形的边心距： 中心到正多边形的 一边的距离.
新课讲解
6
A
OBC是等边三角形，从而正
六边形的边长等于它的半径. B
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
E
.. O
D
r R=4
PC
在Rt OP中 C ， OC4，PCBC42 22
根据勾股定理，心 可距 r得边 4222 2 3
亭子的面 S积1Lr1242 22
341.6(m2)
例2、如图：已知正六边形ABCDEF的边长为6cm，
三条边相等
四条边相等
正三 三个角相等 正方形 四个角相等
角形 （60度）。
（900）
一 .正多边形定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么 这个正多边形叫做
各边相等,各角也相等的多边形是正多边形. 4、若同一个圆的内接三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r3,r4,r6,则r3:r4:r6=____________
C
中心角是___________; 4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，
.O
什么数量关系？为什么？
得到正多边形吗??
A
FB
8、图中正六边形ABCDEF的中心角是∠（AOB） 它的度数是（60度）

角.正多边形的每个中心角都等于 360 n
练一练
完成下面的表格：
பைடு நூலகம்
正多边 形边数
3 4 6
n
内角
60 ° 90 ° 120 °
(n 2) 180 n
中心角
外角
120 ° 90 ° 60 °
360
n
120 ° 90 ° 60 °
360
n
正多边形的 外角=中心角
A
F
中心
B中心角 O半径R E 边心问距r题1
DF
C
点O为圆心的内切圆.
想一想
所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一 个内切圆？
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
知识要点
正多边形的外接圆和内切圆的公共
A
E
圆心，叫作正多边形的中心. B
R
外接圆的半径叫作正多边形的半径.
O
G
H
r
内切圆的半径叫作正多边形的边
DF
C
心距.
正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心
讲授新课
一 正多边形的对称性
问题1 什么叫做正多边形？
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
问题2 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正
多边形吗？为什么？
不是，因为矩形不符合各边相等；
不是，因为菱形不符合各角相等；
注意 正多边形
各边相等 各角相等
缺一不可
问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边 形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
如图,M,N分别是☉O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.
(1)求图①中∠MON=__1_2_0_°__;图②中∠MON= 90 ;

A
探索新知
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三 角形．
度量法③： 用圆规在⊙O 上顺次截取6条长度等于半径（2 cm） 的弦，连接其中的 AB，BC，CA 即可．
B O C A
探索新知
如何用等分圆周的方法画正多边形？
其一：依次画出相等的中心角来等分圆． 比较准确，但是麻烦． 其二：先用量角器画一个中心角，然后在圆上依次截 取等于该中心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点． 方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，误差较 大．
人教版
九年级 数学 上册
24.3
正多边形和圆
学习目标
会判断一个正多边形是中心对称图形还是轴对 1. 称图形.
2.会进行有关圆与正多边形的计算.
．理解正多边形和圆的关系，会利用等分圆周 3 的方法画正多边形，会利用尺规作图的方法画 一些特殊的正多边形.
情景导入
探索新知
三条边相等，三个角也 相等（60度）。
A O ·
90°
D B O
A E
F
E O ·
60°
·
72°
A
D
B
C
C
D
B
C
典题精讲
例 有一个亭子它的地基是半径为4m的 正六边形,求地基的周长和面积(精确到 0.1平方米).
F
O . .
E
， 解: 由于ABCDEF是正六边形，所以 360°
它的中心角等于
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
在RtDOPC中，OC = 4，PC =
２、举例说明如何利用尺规作图画一些特殊的正多边 形．
如图，把⊙O分成相等的五段弧，依 次连接各分点得到五边形ABCDE. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明：∵AB=BC=CD=DE=EA A ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AB=BC=CD=DE=EA 1 ⌒ ⌒ B 2 ⌒ 5 E ∵BCE=CDA=3AB ∴∠1=∠2 同理∠2=∠3=∠4=∠5 又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上， ∴五边形ABCDE是⊙O的内接五边形. C

（7）正三角形的高∶半径∶边心距为__积是____．
5．课堂小结
（1）正多边形与圆有什么关系？ （2）本节课学习了哪些与正多边形有关的概念？ 在解决有关的计算问题时，关键是什么？
6．布置作业
教科书习题 24.3 第 1，6 题．
• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面 上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二上午9时26分50秒09:26:5022.4.12
有一个亭子，它的地基是半径为 4 m的正六边形， 求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．
3．探究学习
亭子的地基是什么图形？求地基的周长和面积也就 是求什么图形的周长和面积？
正六边形的半径，分别将它分割成多少个什么样子 的三角形？
观察图形中所得的三角形具有什么关系？为什么？ 将上图中的结论推而广之，你得出了什么结论？哪 位同学说说自己的想法？
3．探究学习
正 n 边形的 n 条半径、n 条边心距将正 n 边形分割 成全等直角三角形的个数是多少？
每个直角三角形都由正多边形的哪些元素组成？
4．强化练习
（1）正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成___ 个全等的直角三角形；
（2）正三角形的半径为 R，则边长为_____，边心 距为______，面积为________．若正三角形边长为 a， 则半径为______；
2．小组合作学习
正多边形的边有什么性质、角有什么性质？ 各边相等，各角相等． 什么叫正多边形的中心角？ 正多边形的一边所对正多边形外接圆的圆心角．
2．小组合作学习
正 n 边形的中心角度数如何计算？ 中心角的度数= 360

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检测反馈
1.如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则 ∠ADB的度数是（B）．
A．60° B．45° C．30° D．22．5°
解析：如图，连接OB，∵多边形ABCDEF是正多边
形，∴∠AOB= 3600 =60°，
∴∠ADB=
1 2
6
∠AOB=
12×60°=30°．故选B．
所以它的中心角等于
3600 6
=60°，△OBC是
等边三角形，从而正六边形的边长等于它的
半径.因此，亭子地基的周长 =6×4=24（m).
作OP⊥BC，垂足为P.在Rt△OPC中，
OC=B4Cm 4，PC= 22
可得42边 心22 距 2 3
=2(m),利用勾股定理，
r=
(m).
亭子12 lr 地12基的面2积3 S= = ×24× ≈41.6（m2).
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例 如图有一个亭子，它的地基是半径 为4m的正六边形，求地基的周长和面 积（结果保留小数点后一位）.
F
E
O
A
D
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B
C
解:
l ∴亭子的周长 =6×4=24(m)
F
E
O
A
.. R
D
r
B
C
P
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解：如图，连接OB，OC.因为正六边形
ABCDEF是正六边形，
已知：如图所示，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形 ABCDE.
求证：五边形ABCDE是圆内接正五边形.
A
B
E
证明：∵ AB BC CD DE AE ， C