配套K12高考数学第02期小题精练系列专题07等差数列理含解析

专题12 导数1.已知函数()21(,g x a x x e e e=-≤≤为自然对数的底数) 与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦C.21,2e ⎡⎤-⎣⎦ D ．)22,e ⎡-+∞⎣【答案】C 【解析】考点：函数性质的综合应用.2. 函数x ax x f ln )(-=在区间),1[+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．]2,(--∞ B ．]0,(-∞ C ．]1,(-∞ D ．),1[+∞ 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，函数的导函数为1()f x a x'=-，因为函数x ax x f ln )(-=在区间),1[+∞上为减函数，所以()0f x '≤恒成立，即10a x -≤在区间),1[+∞上恒成立，即1a x≤在区间),1[+∞上恒成立，所以0a ≤，故选B ．考点：利用导数研究函数的性质．3. 已知直线089=--y x 与曲线x mx x y C 3:23++=相交于B A ,两点，且曲线C 在B A ,两点 处的切线平行，则实数m 的值为（ ）A ．4-或3B ．4-或3或1C ．1或3D ．3【答案】A 【解析】考点：导数的综合应用问题．4. 已知函数()f x （x R ∈）图象上任一点00(,)x y 处的切线方程为20000(2)(1)()y y x x x x -=---，那么函数()f x 的单调减区间是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,2]-∞ C ．(,1)-∞-和(1,2) D ．[2,)+∞【答案】C 【解析】试题分析：因为函数()(),f x x R ∈上任一点00(,)x y 的切线方程为20000(2)(1)()y y x x x x -=---，即函数在任一点00(,)x y 的切线斜率为()()20021k x x =--,即知任一点的导数为()()()221f x x x '=--.由()()()2210f x x x '=--<,得1x <-或12x <<,即函数()f x 的单调递减区间是(,1)-∞-和(1,2).故选C.考点：1、导数的几何意义；2、导数在研究函数中的应用.5. 已知实数b a ,满足R c b a a ∈=--,0ln 522，则22)()(c b c a ++-的最小值为（ ）A ．21 B ．22 C. 223 D ．29【答案】C 【解析】考点：导数的应用问题. 6. 若函数1(x)(a 0,b 0)axf e b=->>的图象在0x =处的切线与圆221x y +=相切，则a b +的最大值是 .【解析】试题分析：由1(x)(a 0,b 0)ax f e b =->>，则(x)ax a f e b '=-，且(0)a f b '=-，又1(0)f b=-，所以切线方程为1ay xb b +=-，即10ax by ++=，又因为切线与圆221x y +=相切，所以1d ==，即221a b +=，因为0,0a b >>，所以222a b ab +≥，所以2222()()a b a b +≥+，所以a b +≤所以a b+.考点：导数在函数中的应用.7. 已知定义在()+∞,0上的函数()x f ，满足（1）()0>x f ；（2）()()()x f x f x f 2<'<（其中()x f '是()x f 的导函数，e 是自然对数的底数），则()()21f f 的范围为（ ）A ．（e e 1,212） B ．（ee 1,12） C.()e e 2, D ．()3,e e 【答案】B 【解析】考点：1、函数与导数；2、构造函数.8. 设函数2()f x ax bx c =++(),,,a b c R ∈，若函数()xy f x e =在1x =-处取得极值，则下列图象不可能为()y f x =的图象是（ ）【答案】D 【解析】 试题分析：()()''xy fx f x e ⎡⎤=+⎣⎦，依题意，()()'110f f -+-=，A ，B 选项()()'110f f -=-=，符合；C 选项()()'10,10f f -<->，符合；D 选项()()'10,10f f ->->，不符合，故选D. 考点：函数导数与极值.9. 已知()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为'()f x ，若()'()1f x f x -<，(0)2016f =，则 不等式()20151xf x e >⋅+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．()(),00,-∞+∞ B ．()0,+∞C.()2015,+∞ D ．()(),02015,-∞+∞【答案】B 【解析】考点：函数导数与不等式.【思路点晴】本题考查函数导数与不等式，构造函数法.是一个常见的题型，题目给定一个含有导数的条件()'()1f x f x -<，这样我们就可以构造函数()()1xf xg x e -=，它的导数恰好包含这个已知条件，由此可以求出()g x 的单调性，即函数()g x 为增函数.注意到原不等式可以化为()()20150g x g >=，利用函数的单调性就可以解出来.10. 当()0,x ∈+∞时，不等式()221ln 0c x cx x cx -++≥恒成立，则实数c 的取值范围是_____________．【答案】1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：当0c =时，原不等式化为ln 0x ≤不恒成立.原不等式因式分解得()()1ln 0cx cx x +-≥，()0,x ∈+∞，当0c >时，10cx +>，由ln 0cx x -≥，有ln x c x ≥，令()()'2ln 1ln ,x xF x F x x x -==，所以函数()F x 在区间()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，故在x e =处取得最大值，由此可得1,c e ⎡⎫≥+∞⎪⎢⎣⎭.当0c <时，1cx +在10,c ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为正数，在1,c ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上为负数，而()'1ln 0cx x c x -=-<，所以ln cx x -为减函数，由于ln ln 0xcx x c x-≥⇔≥，由于c 是负数，根据前面分析可知，不成立，所以ln cx x -恒为负数，所以()()1ln 0cx cx x +-≥不恒成立，综上1,c e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.考点：函数导数与不等式. 11. 若()21ln 2f x x m x =-+在()1,+∞是减函数，则m 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．()1,+∞ C.(],1-∞ D ．(),1-∞ 【答案】C 【解析】 试题分析：()'0mfx x x=-+≤，2m x ≤，所以1m ≤. 考点：导数与单调性.12. 对二次函数()2f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A ．-1是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点 C. 3是()f x 的极值 D ．点()2,8在曲线()y f x =上 【答案】A 【解析】考点：零点与极值点.13. 已知函数2x y =的图象在点),(200x x 处的切线为l ，若l 也与函数x y ln =，)1,0(∈x 的图象相 切，则0x 必满足（ ）A ．2100<<x B ．1210<<x C ．2220<<x D ．320<<x【答案】D 【解析】试题分析：函数2y x =的导数y'2x =，2y x =在点200(,)x x 处的切线斜率为02k x =，切线方程为()20002y x x x x -=-，设切线ln y x =相交的切点为(),ln m m ，（01m <<），由ln y x =的导数为1'y x=可得012x m =，切线方程为()1ln y m x m m-=-，令0x =，可得20ln 1y m x =-=-，由01m <<可得012x >，且201x >，解得01x >由012m x =，可得()200,ln 210x x --=，令()()2ln 21,f x x x =--()()11,'20,x f x x f x x>=->在1x >递增，且2ln 10,3ln 10f f=-<=->，则有()200ln 210x x --=的根0x ∈，故选D.考点：1、利用导数求曲线的切线方程；2、利用导数研究函数的单调性. 14. 已知曲线2()xf x x e m =+-在0x =处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为16，则实数m 的值为 ． 【答案】0或2 【解析】考点 1、利用导数求曲线的切线方程；2、三角形的面积公式.15. 已知函数()f x 的导数为()f x ′，且()()()10x f x xf x ++≥′对[)0,x ∈+∞恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()122f ef <B ．()()12ef f < C.()10f < D ．()()22ef e f < 【答案】A 【解析】试题分析：由()()()10x f x xf x ++≥′得()()()()10,0xxxx e f x xe f x xe f x ⎡⎤++≥≥⎣⎦∴′. 设()()(),xF x xe f x F x =∴在[]0,+∞上递增，则()()()()()2012,0122F F F ef e f <<<<∴，()()0122f ef <<∴，故A 对、B 错，对于选项B 和D ，若()f x x =（满足()()()10x f x xf x ++≥′对[)0,x ∈+∞恒成立），则()()12,ef f >()()22ef e f >，从而B 和D 都是错误的，故选A. 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数的求导法则及构造函数比较大小. 16. 已知函数()xxf x e ae -=+为偶函数，若曲线()y f x =的一条切线的斜率为32，在切点的横坐标等于（ ）A ．ln 2B ．2ln 2C ．2D【答案】A 【解析】考点：1、函数的奇偶性；2、利用导数求曲线切线斜率.17. 若32()1f x x ax =-+在(1,3)内单调递减，则实数a 的范围是（ ） A ．(,3]-∞ B ．9[,)2+∞C ．9(3,)2D ．()0,3【答案】B 【解析】试题分析：因为函数32()1f x x ax =-+在(1,3)内单调递减，所以()2'320f x x ax =-≤，在(1,3)内恒成立，即32a x ≥在()1,3内恒成立，因为39,22x <所以92a ≥，故选B. 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题及“分离常数”在解题中的应用.18. 函数()()()4ln 1f x kx x x x =+->，若()0f x >的解集为() s t ，，且() s t ，中只有一个整数，则实数k 的取值范围为（ ）A ．1142 ln 2ln 33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，B ．114( 2 ]ln 2ln33--， C.141( 1]ln332ln 2--， D ．141,1ln 332ln 2⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】B 【解析】考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的整数解及数形结合思想的应用.19. 定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且()2017f x +为奇函数，则不等式()20170xf x e +<的解集是（ ）A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】试题分析：设()()xf xg x e =，则()()()0x f x f xg x e '-'=<，所以()g x 是R 上的减函数，由于()2017f x +为奇函数，所以()()02017,02017fg =-=-，因为()()201702017xxf x f x e e+<⇔<-即()()0g x g <，结合函数的单调性可知0x >，所以不等式()20170x f x e +<的解集是()0,+∞，故选B.考点：利用导数研究函数的单调性． 20. 抛物线212x y =在第一象限内图像上的一点2(,2)i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1i a +，其中*i N ∈，若232a =，则246a a a ++等于（ ）A ．21B ．32C ．42D ．64【答案】C 【解析】考点：导数的几何意义及等比数列求和.21. 若函数()f x 在区间A 上，a ∀，b ，c A ∈，()f a ，()f b ，()f c 均可为一个三角形的三边长，则称函数()f x 为“三角形函数”．已知函数()ln f x x x m =+在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是“三角形函数”，则实数m 的取值范围为（ ）A ．212(,)e e e + B ．2(,)e +∞ C ．1(,)e+∞ D ．22(,)e e ++∞ 【答案】A 【解析】试题分析：根据“三角形函数”的定义可知，若()f x 在区间A 上的“三角形函数”，则()f x 在A 上的最大值和最小值应满足2M m >，由()l n 10f x x '=+=可得1x e =，所以()f x 在211,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，()()()min max 11,f x f m f x f e m e e e⎛⎫==-==+ ⎪⎝⎭，所以120e m m e ⎛⎫+>-> ⎪⎝⎭，解得m 的取值范围为212(,)e e e+，故选A. 考点：利用导数研究函数在闭区间上的最值.22. 若函数()()()3223100ax x x x f x e x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩在[]2,2-上的最大值为2，则实数a 的取值范围是 ．【答案】a ≤【解析】试题分析：当20x -≤≤时,()'266,21f x x x x =+∴-≤<-时，()'0f x >,10x -<≤时，'()0f x <，1x ∴=-时()f x 有最大值为2；当02x <≤时，'()ax f x ae =，0a >，(2)2f ∴≤，22a e ⨯∴≤，0ln a ∴<≤0a =时，()1f x =满足题意；0a <时，(0)2f ≤.综合以上情况a ≤考点：函数的最值与导数.23. 已知a R ∈，若()x a f x x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间（0,1）上有且只有一个极值点，则a 的取值范围为（ ） A ．0a > B ．1a ≤ C ．1a > D ．0a ≤【答案】A【解析】考点：导数与极值点.24. 已知函数()2x f x e =，()1ln 2g x x =+，对a R ∀∈，()0,b ∃∈+∞，使得()()f a g b =，则b a -的最小值为（ ）A ．ln 212+B ．ln 212- C.1 D 1 【答案】A【解析】试题分析：令21ln 2xe x t =+=，解得12ln ,2t t a b e -==，12ln 2t t b a e --=-，令()12ln 2t t h t e -=-，()1'212t h t e t -=-，导函数为增函数，且'102h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，最小值为1ln 2122h ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.考点：用导数研究函数图象与性质.25. 已知函数 ()()()()2325ln ,26,2f x x ax a x a Rg x x x x g x =--∈=-++-在[]1,4上的最大值为 b ，当[)1,x ∈+∞时，()f x b ≥恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．2a ≤B ．1a ≤ C. 1a ≤- D ．0a ≤【答案】B【解析】考点：导数的应用.。

专题20 随机变量及其分布1. 随机变量()0,1Nξ，则()12Pξ≤≤=（）A．0.0215 B．0.1359 C．0.1574 D．0.2718（参考数据：()0.6826Pμσξμσ-≤≤+=，()220.9544Pμσξμσ-≤≤+=，()330.9974 Pμσξμσ-≤≤+=）【答案】B【解析】试题分析：根据正态分布的对称性，有()0.95440.6826120.13592Pξ-≤≤==.考点：正态分布.2. 2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩()2100,X N σ（试卷满分为150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（）A．80 B．100 C．120 D．200 【答案】D【解析】考点：正态分布．3. 同时拋掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（）A．20 B．25 C. 30 D．40 【答案】B【解析】试题分析：5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率为2235115()()2216C=,由题意可知ξ服从5(80,)16的二项分布,所以数学期望为5802516⨯=,故本题选B.考点：二项分布与数学期望.4. 已知随机变量ξ服从正态分布()20,Nσ，()20.023Pξ>=，则()22Pξ-≤≤=（）A．0.954B．0.977C．0.488D．0.477【答案】A【解析】考点：正态分布的性质及运用.5. 已知随机变量ξ服从正态分布()22,Nσ，且()40.8Pξ<=,则()02Pξ<<=（）A．0.6B．0.4 C.0.3D．0.2【答案】C【解析】试题分析：()02Pξ<<=()24Pξ<<=()()420.80.50.3P Pξξ<-<=-=，故选C.考点：正态分布.。

数列、等差数列﹑等比数列【考向解读】1.高考侧重于考查等差、等比数列的通项a n ，前n 项和S n 的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点．2.备考时应切实理解等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识．3.等差数列、等比数列是高考的必考点，经常以一个选择题或一个填空题，再加一个解答题的形式考查，题目难度可大可小，有时为中档题，有时解答题难度较大.解决这类问题的关键是熟练掌握基本量，即通项公式、前n 项和公式及等差、等比数列的常用性质. 【命题热点突破一】等差、等比数列的基本计算例1、【2016年高考北京理数】已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______..【答案】6【解析】∵{}n a 是等差数列，∴35420a a a +==，40a =，4136a a d -==-，2d =-， ∴616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=，故填：6．【感悟提升】 涉及求等差、等比数列的通项、某一项问题时，常用到等差、等比数列的基本性质．等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q ，m ＋n ＝2p ⇒a m ＋a n ＝2a p ；等比数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q ⇒a m a n ＝a p a q ，m ＋ n ＝ 2p ⇒a m a n ＝a 2p .【变式探究】 在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( ) A ．2n ＋1－2 B ．3nC ．2nD ．3n－1 【答案】C【命题热点突破二】等差、等比数列的判断与证明已知数列{a n }的各项均为正数，且a 1＝1，a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＝0(n∈N *)． (1)设b n ＝1a n ，求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和S n . 【解析】解：（1）证明：因为a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＝0（n∈N *）， 所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1a n ＝a n ＋1a n －1a n＝1，又b 1＝1a 1＝1，所以数列{}b n 是首项为1，公差为1的等差数列.（2）由（1）知b n ＝n ，所以a n ＝1n .令c n ＝a n n ＋1，则c n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 【感悟提升】 等差数列的判定与证明有以下四种方法：①定义法，即a n －a n －1＝d(d 为常数，n∈N *，n≥2)⇔{a n }为等差数列；②等差中项法，即2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n∈N *)⇔{a n }为等差数列；③通项公式法，即a n ＝an ＋b(a ，b 是常数，n∈N *)⇔{a n }为等差数列；④前n 项和公式法，即S n ＝an 2＋bn(a ，b 是常数，n∈N *)⇔{a n }为等差数列．等比数列的判定与证明有以下三种方法：①定义法，即a n a n －1＝q(q 为常数且q≠0，n∈N *，n≥2)⇔{a n }为等比数列；②等比中项法，即a 2n ＋1＝a n a n ＋2(a n ≠0，n∈N *)⇔{a n }为等比数列；③通项公式法，即a n ＝a 1qn －1(其中a 1，q 为非零常数，n∈N *)⇔{a n }为等比数列．【变式探究】若{a n }是各项均不为零的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n －1，n∈N *.数列{b n } 满足b n ＝1a n ·a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和．(1) 求a n 和T n .(2) 是否存在正整数 m ，n(1<m<n)，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？ 若存在，求出所有m ，n 的值；若不存在，请说明理由．（2）假设存在正整数 m ，n （1<m<n ），使得T 1，T m ，T n 成等比数列，则T 1·T n ＝T 2m .∵T 1·T n ＝n 6n ＋3＝16＋3n <16，∴T 2m＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ＋12＝m 24m 2＋4m ＋1<16， ∴2m 2－4m －1＜0，∴1－62＜m ＜1＋62，又∵m∈N 且m ＞1， ∴m＝2，则T 22＝425.令T 1·T n ＝n 6n ＋3＝425，得n ＝12，∴当且仅当m ＝2，n ＝12时，T 1，T m ，T n 成等比数列. 【命题热点突破三】 数列中a n 与S n 的关系问题例3 、【2016高考江苏卷】已知{}n a 是等差数列，{S }n 是其前n 项和.若21253,S =10a a +=-，则9a 的值是▲ . 【答案】20.【解析】由510S =得32a =，因此2922(2d)33,23620.d d a -+-=-⇒==+⨯=【感悟提升】 数列{a n }中，a n 与S n 的关系为：当n≥2时，a n ＝S n －S n －1(*)，当n ＝1时，a 1＝S 1.若a 1＝S 1满足(*)，则a n ＝S n －S n －1(n∈N *)；若a 1＝S 1不满足(*)，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n≥2.【变式探究】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)·(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n ，则数列{a n }的通项公式为( )A ．(n ＋1)3B ．(2n ＋1)2C ．8n 2D ．(2n ＋1)2－1 【答案】A【解析】 当n ＝1时，4×（1＋1）×（a 1＋1）＝（1＋2）2a 1，解得a 1＝8.当n≥2时，4（S n ＋1）＝（n ＋2）2a nn ＋1，4（S n －1＋1）＝（n ＋1）2a n －1n ，两式相减，得4a n ＝（n ＋2）2a n n ＋1－（n ＋1）2a n －1n ，即a n a n －1＝（n ＋1）3n 3，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝（n ＋1）3n 3×n 3（n －1）3×…×3323×8＝（n ＋1）3.检验知n ＝1也符合该式，所以a n＝（n ＋1）3.【命题热点突破四】等差数列与等比数列的综合例4 、已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q≠1)，n∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列．(1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1，n∈N *，求数列{b n }的前n 项和．（2）由（1）得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n2.设{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋（n －1）×12n －2＋n×12n －1，12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋（n －1）×12n －1＋n×12n ， 上述两式相减，得12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n1－12－n 2n ＝2－22n －n2n ， 整理得，S n ＝4－n ＋22.所以数列{b n }的前n 项和为4－n ＋22n －1，n∈N *.【感悟提升】 在等差数列、等比数列的综合问题中，通过列方程(组)求基本量是基本而重要的方法．在数列的最值问题中，如果使用函数的方法，要充分考虑数列中的自变量是正整数．【变式探究】已知等比数列{}a n 的首项a 1＝2，公比q>1，且a n ，54a n ＋1，a n ＋2成等差数列（n∈N *）.（1）求数列{}a n 的通项公式；（2）记b n ＝na n ，数列{}b n 的前n 项和为S n ，若（n －1）2≤m（S n －n －1）对于n≥2，n∈N *恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】解：（1）由a n ，54a n ＋1，a n ＋2成等差数列，可得a n ＋a n ＋2＝52a n ＋1.又{}a n 是等比数列，所以a n ＋q 2a n ＝52qa n ，又因为a n ≠0，所以2q 2－5q ＋2＝0，因为q>1，所以q ＝2.又a 1＝2，所以数列{}a n 的通项公式为a n ＝2n.（2）因为b n ＝na n ＝n·2n ，所以S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n， 2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋（n －1）·2n＋n·2n ＋1，所以S n ＝－（2＋22＋23＋ (2)－n·2n ＋1）＝－（2－2n ＋11－2－n·2n ＋1）＝（n －1）·2n ＋1＋2.因为（n －1）2≤m（S n －n －1）对于n≥2，n∈N *恒成立，所以 （n －1）2≤m[（n －1）·2n ＋1＋2－n －1]恒成立，即（n －1）2≤m（n －1）（2n ＋1－1）恒成立，于是问题转化为m≥n －12n ＋1－1对于n≥2，n∈N *恒成立.令f （n ）＝n －12n ＋1－1，n≥2，则f （n ＋1）－f （n ）＝n 2n ＋2－1－n －12n ＋1－1＝（2－n ）·2n ＋1－1（2n ＋2－1）（2n ＋1－1）<0， 所以当n≥2，n∈N *时，f （n ＋1）<f （n ），即f （n ）单调递减， 则f （n ）≤f（2）＝17，所以m≥17.故实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，＋∞. 【高考真题解读】1. 【2016高考新课标1卷】已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = （ ） （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 【答案】C 【解析】由已知,1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.2【2016高考浙江理数】如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ，1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）.若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则（ ）A ．{}n S 是等差数列B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列【答案】A3.【2016年高考北京理数】已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______.. 【答案】6【解析】∵{}n a 是等差数列，∴35420a a a +==，40a =，4136a a d -==-，2d =-， ∴616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=，故填：6．4.【2016高考江苏卷】已知{}n a 是等差数列，{S }n 是其前n 项和.若21253,S =10a a +=-，则9a 的值是▲ . 【答案】20.【解析】由510S =得32a =，因此2922(2d)33,23620.d d a -+-=-⇒==+⨯=5、【2016高考新课标1卷】设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为 ． 【答案】64【解析】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，由1324105a a a a +=⎧⎨+=⎩得2121(1)10(1)5a q a q q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以2(1)1712(1)22212118(22n n n n n n nn a a a a q--++++-==⨯=，于是当3n =或4n =时，12n a a a 取得最大值6264=.6.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）记{}1,2,100U =…，.对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅,定义0T S =;若{}12,,k T t t t =…，，定义12+k T t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C CDD S S S +≥.【答案】（1）13n n a -=（2）详见解析（3）详见解析 【解析】（1）由已知得1*13,n n a a n -=⋅∈N .于是当{2,4}T =时，2411132730r S a a a a a =+=+=. 又30r S =，故13030a =，即11a =. 所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n -=∈N . （2）因为{1,2,,}T k ⊆，1*30,n n a n -=>∈N ，所以1121133(31)32k kk r k S a a a -≤+++=+++=-<. 因此，1r k S a +<.（3）下面分三种情况证明. ①若D 是C 的子集，则2C CDC D D D D S S S S S S S +=+≥+=.②若C 是D 的子集，则22C CDC C CD S S S S S S +=+=≥.③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集. 令U E CD =ð，U F D C =ð则E ≠∅，F ≠∅，EF =∅.于是C E C DS S S =+，D F CDS S S =+，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥.设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠.由（2）知，1E k S a +<，于是1133l k l F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤. 又k l ≠，故1l k ≤-， 从而1121131133222l l k E F l a S S a a a ----≤+++=+++=≤≤，故21E F S S ≥+，所以2()1C C DD CDS S S S -≥-+，即21C CDD S S S +≥+.综合①②③得，2C C DD S S S +≥.1.【2015高考重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a =（ ）A 、-1B 、0C 、1D 、6 【答案】B【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=⨯-=，选B.2.【2015高考福建，理8】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】D【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a =．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a =-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ．3.【2015高考北京，理6】设{}n a是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >．若10a <，则()()21230a a a a -->【答案】C4.【2015高考新课标2，理16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．【答案】1n -【解析】由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅，两边同时除以1n n S S +⋅，得1111n n S S +=--，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则11(1)n S n n =---=-，所以1n S n =-． 5.【2015高考广东，理10】在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += .【答案】10． 【解析】因为{}n a 是等差数列，所以37462852a a a a a a a +=+=+=，345675525a a a a a a ++++==即55a =，所以285210a a a +==，故应填入10．6.【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ． 【答案】5【解析】设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5．7.【2015高考浙江，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ） A.140,0a d dS >> B. 140,0a d dS << C. 140,0a d dS >< D. 140,0a d dS <>【答案】B.【解析】∵等差数列}{n a ，3a ，4a ，8a 成等比数列，∴da d a d a d a 35)7)(2()3(11121-=⇒++=+， ∴dd a a a a S 32)3(2)(211414-=++=+=，∴03521<-=d d a ，03224<-=d dS ，故选B.8.【2015高考安徽，理14】已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .【答案】21n-9. 【2014高考北京版理第5题】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】对等比数列}{n a ，若1>q ，则当01<a 时数列}{n a 是递减数列；若数列}{n a 是递增数列，则}{na 满足01<a 且10<<q ，故当“1>q ”是”数列}{n a 为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C.10. 【2014高考福建卷第3题】等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D最新K12教育教案试题 【答案】C【解析】假设公差为d ,依题意可得1323212,22d d ⨯+⨯⨯=∴=.所以62(61)212a =+-⨯=.故选C.。

专题07 数列及其应用【2021年】1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10二、解答题2．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <． 3．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=． （1）证明：数列{}n b 是等差数列; （2）求{}n a 的通项公式．4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知210,3n a a a >=，且数列是等差数列，证明：{}n a 是等差数列.5．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①①①中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{}n a 是等差数列：①数列是等差数列；①213aa =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．6．（2021年全国新高考①卷数学试题）已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n na n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式； （2）求{}n a 的前20项和.【2012年——2020年】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标①））设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ） A ．12B ．24C ．30D ．322．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标①））如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）A ．5B ．8C ．10D ．153．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标①））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（ ） A ．2n –1B ．2–21–nC ．2–2n –1D ．21–n –14．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标①））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块5．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标①））数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若155121022k k k a a a ++++++=-，则k =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标①））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 7．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标①））已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16B ．8C ．4D ．28．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12-B ．10-C ．10D ．129．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4D ．810．（）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（ ）A ．24-B ．3-C ．3D ．811．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有 A ．18个 B ．16个 C ．14个 D ．12个12．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a = A ．172B ．192C ．10D ．1213．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标①））设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =A ．5B ．7C ．9D ．1114．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标①））已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ）A ．2B ．1C ．12D ．1815．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标①））已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=A ．21B ．42C ．63D ．8416．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则A ．21n n S a =-B ．32n n S a =-C ．43n n S a =-D ．32n n S a =-17．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,0,3m m m S S S -+=-==，则m =( ) A ．3B ．4C ．5D ．618．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设①A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，①A n B n C n 的面积为S n ，n=1,2,3,… 若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n nb a +，则 A ．{S n }为递减数列 B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列19．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2））等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1= A ． B ．- C ．D ．-20．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学））数列{a n }满足a n+1+（﹣1）n a n =2n ﹣1，则{a n }的前60项和为（ ） A ．3690 B ．3660 C ．1845 D ．183021．（2012年全国普通高等学校招生统一考试）已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7 B ．5 C ．5- D ．7-二、填空题22．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标①））数列{}n a 满足2(1)31nn n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a = ______________.23．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标①））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S =__________．24．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标①））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=___________．25．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标①））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．26．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标①））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.27．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标①））记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 28．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________．29．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑____________． 30．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________．31．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2 …a n 的最大值为___________．32．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标①））数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n =_______.33．（2015年全国普通高等学校招生统一考试）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =__________．34．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国①卷））数列满足，则________．35．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1））若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n =______.36．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．37．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q=_______38．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为____三、解答题39．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标①））设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．（1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．40．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标①））设等比数列{a n }满足124a a +=，318a a -=． （1）求{a n }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3a n }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ．41．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标①））设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-． （1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．42．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标①））记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．43．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标①））已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和.44．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标①））已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+ ，1434n n n b b a +-=-. （1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式.45．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．46．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．47．（2018年全国卷①文数高考试题）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．48．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．49．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且11a =，11b =，224a b +=. （1）若337a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若313T =，求5S .50．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋯+-=. （1）求{}n a 的通项公式（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和．51．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国1））已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，． （①）求{}n a 的通项公式； （①）求{}n b 的前n 项和．52．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=. （①）求{n a }的通项公式；（①） 设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.53．（2016年全国普通高等学校招生统一考试数学）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，.（①）求111101,,b b b ；（①）求数列{}n b 的前1000项和.54．（2016年全国普通高等学校招生统一考试数学）已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20n n n n a a a a ++---=.（①）求23,a a ； （①）求{}n a 的通项公式.55．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （①）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （①）若53132S = ，求λ．56．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标①）n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，22n n a a +=43n S +.（①）求{n a }的通项公式； （①）设11n n n b a a +=,求数列{n b }的前n 项和. 57．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标①））已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程的根.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.58．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标①））已知数列{}n a 的前n 项和为11 11,1,0,1n n n n n S a a a a S λ+=≠=-，其中λ为常数．（1）证明：2n n a a λ+-=；（2）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由．59．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国①卷））已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+.(1)证明12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式； (2)证明： 121113 (2)n a a a +++<.60．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和． 61．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））已知等差数列｛a n ｝的公差不为零，a 1=25，且1a ，11a ，13a 成等比数列.（①）求{}n a 的通项公式；（①）求1a +a 4+a 7+…+a 3n -2.。

专题10 数列、等差数列﹑等比数列 文【考向解读】1.高考侧重于考查等差、等比数列的通项a n ，前n 项和S n 的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点．2.备考时应切实理解等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识．3.等差数列、等比数列是高考的必考点，经常以一个选择题或一个填空题，再加一个解答题的形式考查，题目难度可大可小，有时为中档题，有时解答题难度较大.解决这类问题的关键是熟练掌握基本量，即通项公式、前n 项和公式及等差、等比数列的常用性质.【命题热点突破一】等差、等比数列的基本计算例1、【2016年高考北京理数】已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______..【答案】6【感悟提升】 涉及求等差、等比数列的通项、某一项问题时，常用到等差、等比数列的基本性质．等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q ，m ＋n ＝2p ⇒a m ＋a n ＝2a p ；等比数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q ⇒a m a n ＝a p a q ，m ＋ n ＝ 2p ⇒a m a n ＝a 2p .【变式探究】 在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( ) A ．2n ＋1－2 B ．3nC ．2nD ．3n－1 【答案】C【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，由于{a n ＋1}也是等比数列，所以（a 2＋1）2＝（a 1＋1）（a 3＋1），即a 22＋2a 2＋1＝a 1a 3＋a 1＋a 3＋1，即2a 2＝a 1＋a 3，即2q ＝1＋q 2，解得q ＝1，所以数列{a n }是常数数列，所以S n ＝2n.【命题热点突破二】等差、等比数列的判断与证明已知数列{a n }的各项均为正数，且a 1＝1，a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＝0(n∈N *)． (1)设b n ＝1a n，求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和S n .【感悟提升】 等差数列的判定与证明有以下四种方法：①定义法，即a n －a n －1＝d(d 为常数，n∈N *，n≥2)⇔{a n }为等差数列；②等差中项法，即2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n∈N *)⇔{a n }为等差数列；③通项公式法，即a n ＝an ＋b(a ，b 是常数，n∈N *)⇔{a n }为等差数列；④前n 项和公式法，即S n ＝an 2＋bn(a ，b 是常数，n∈N *)⇔{a n }为等差数列．等比数列的判定与证明有以下三种方法：①定义法，即a n a n －1＝q(q 为常数且q≠0，n∈N *，n≥2)⇔{a n }为等比数列；②等比中项法，即a 2n ＋1＝a n a n ＋2(a n ≠0，n∈N *)⇔{a n }为等比数列；③通项公式法，即a n ＝a 1qn －1(其中a 1，q 为非零常数，n∈N *)⇔{a n }为等比数列．【变式探究】若{a n }是各项均不为零的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n －1，n∈N *.数列{b n } 满足b n ＝1a n ·a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和．(1) 求a n 和T n .(2) 是否存在正整数 m ，n(1<m<n)，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？ 若存在，求出所有m ，n 的值；若不存在，请说明理由．【解析】 解：（1）∵{a n }是等差数列，∴a 1＋a 2n －12＝a n ，∴S 2n －1＝a 1＋a 2n －12×（2n －1）＝（2n －1）a n ，由a 2n ＝S 2n －1，得a 2n ＝（2n －1）a n ，又a n ≠0，∴a n ＝2n －1. ∵b n ＝1a n ·a n ＋1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12（12n －1－12n ＋1），∴T n ＝12×（1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1）＝12×（1－12n ＋1）＝n 2n ＋1.（2）假设存在正整数 m ，n （1<m<n ），使得T 1，T m ，T n 成等比数列，则T 1·T n ＝T 2m .∵T 1·T n ＝n 6n ＋3＝16＋3n <16，∴T 2m＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ＋12＝m 24m 2＋4m ＋1<16， ∴2m 2－4m －1＜0，∴1－62＜m ＜1＋62，又∵m∈N 且m ＞1， ∴m＝2，则T 22＝425.令T 1·T n ＝n 6n ＋3＝425，得n ＝12，∴当且仅当m ＝2，n ＝12时，T 1，T m ，T n 成等比数列. 【命题热点突破三】 数列中a n 与S n 的关系问题例3 、【2016高考江苏卷】已知{}n a 是等差数列，{S }n 是其前n 项和.若21253,S =10a a +=-，则9a 的值是 ▲ .【答案】20.【解析】由510S =得32a =，因此2922(2d)33,23620.d d a -+-=-⇒==+⨯=【感悟提升】 数列{a n }中，a n 与S n 的关系为：当n≥2时，a n ＝S n －S n －1(*)，当n ＝1时，a 1＝S 1.若a 1＝S 1满足(*)，则a n ＝S n －S n －1(n∈N *)；若a 1＝S 1不满足(*)，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n≥2.【变式探究】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)·(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n ，则数列{a n }的通项公式为( )A ．(n ＋1)3B ．(2n ＋1)2C ．8n 2D ．(2n ＋1)2－1 【答案】A【命题热点突破四】等差数列与等比数列的综合例4 、已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q≠1)，n∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列．(1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1，n∈N *，求数列{b n }的前n 项和．【解析】解：（1）由已知，有（a 3＋a 4）－（a 2＋a 3）＝（a 4＋a 5）－（a 3＋a 4），即a 4－a 2＝a 5－a 3，所以a 2（q －1）＝a 3（q －1）.又因为q≠1，故a 3＝a 2＝2，由a 3＝a 1·q，得q ＝2. 当n ＝2k －1（k∈N *）时，a n ＝a 2k －1＝2k －1＝2n －12；当n ＝2k （k∈N *）时，a n ＝a 2k ＝2k＝2n 2.所以{a n}的通项公式为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －12，n 为奇数，2n 2，n 为偶数.【感悟提升】 在等差数列、等比数列的综合问题中，通过列方程(组)求基本量是基本而重要的方法．在数列的最值问题中，如果使用函数的方法，要充分考虑数列中的自变量是正整数．【变式探究】已知等比数列{}a n 的首项a 1＝2，公比q>1，且a n ，54a n ＋1，a n ＋2成等差数列（n∈N *）.（1）求数列{}a n 的通项公式；（2）记b n ＝na n ，数列{}b n 的前n 项和为S n ，若（n －1）2≤m（S n －n －1）对于n≥2，n∈N *恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】解：（1）由a n ，54a n ＋1，a n ＋2成等差数列，可得a n ＋a n ＋2＝52a n ＋1.又{}a n 是等比数列，所以a n ＋q 2a n ＝52qa n ，又因为a n ≠0，所以2q 2－5q ＋2＝0，因为q>1，所以q ＝2.又a 1＝2，所以数列{}a n 的通项公式为a n ＝2n.【高考真题解读】1. 【2016高考新课标1卷】已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = （ ） （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 【答案】C 【解析】由已知,1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.2【2016高考浙江理数】如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ，1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）.若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则（ ）A ．{}n S 是等差数列B ．2{}nS 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}nd 是等差数列 【答案】A3.【2016年高考北京理数】已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______..【答案】6【解析】∵{}n a 是等差数列，∴35420a a a +==，40a =，4136a a d -==-，2d =-， ∴616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=，故填：6．4.【2016高考江苏卷】已知{}n a 是等差数列，{S }n 是其前n 项和.若21253,S =10a a +=-，则9a 的值是▲ .【答案】20.【解析】由510S =得32a =，因此2922(2d)33,23620.d d a -+-=-⇒==+⨯=5、【2016高考新课标1卷】设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2 …a n 的最大值为 ． 【答案】64【解析】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，由1324105a a a a +=⎧⎨+=⎩得2121(1)10(1)5a q a q q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n nn a a a a q--++++-==⨯=，于是当3n =或4n =时，12n a a a 取得最大值6264=.6.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）记{}1,2,100U =…，.对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅,定义0TS=;若{}12,,k T t t t =…，，定义12+kT t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C CDD S S S +≥.【答案】（1）13n n a -=（2）详见解析（3）详见解析 【解析】（3）下面分三种情况证明. ①若D 是C 的子集，则2C CDC D D D D S S S S S S S +=+≥+=.1.【2015高考重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a =（ ）A 、-1B 、0C 、1D 、6 【答案】B【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=⨯-=，选B.2.【2015高考福建，理8】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b-适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a =．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a =-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ．3.【2015高考北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a > D ．若10a <，则()()21230a a a a -->【答案】C4.【2015高考新课标2，理16】设nS 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．【答案】1n -【解析】由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅，两边同时除以1n n S S +⋅，得1111n n S S +=--，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则11(1)n S n n =---=-，所以1n S n =-． 5.【2015高考广东，理10】在等差数列中，若，则= .【答案】10． 【解析】因为是等差数列，所以，即，所以，故应填入．6.【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．【答案】5{}n a 2576543=++++a a a a a 82a a +{}n a 37462852a a a a a a a +=+=+=345675525a a a a a a ++++==55a =285210a a a +==10【解析】设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5．7.【2015高考浙江，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ）A.140,0a d dS >> B.140,0a d dS << C.140,0a d dS >< D.140,0a d dS <>【答案】B.8.【2015高考安徽，理14】已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .【答案】21n-【解析】由题意，14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=⎩，解得141,8a a ==或者148,1a a ==，而数列{}n a 是递增的等比数列，所以141,8a a ==，即3418a q a ==，所以2q =，因而数列{}n a 的前n 项和1(1)1221112n nn n a q S q --===---.9. 【2014高考北京版理第5题】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】对等比数列}{n a ，若1>q ，则当01<a 时数列}{n a 是递减数列；若数列}{n a 是递增数列，则}{n a 满足01<a 且10<<q ，故当“1>q ”是”数列}{n a 为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学 10. 【2014高考福建卷第3题】等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D【答案】C。

专题08 等比数列1. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2312a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ） A ．36 B ．33 C. 31 D ．29 【答案】C 【解析】考点：等比数列的通项公式及性质.2. 已知数列{}n a 满足：)2(112≥⋅=+-n a a a n n n ，若21,36422=++=a a a a ，则=++864a a a （ ）A ．84B ．63C ．42D ．21 【答案】C 【解析】试题分析：由数列{}n a 满足：)2(112≥⋅=+-n a a a n n n ，所以数列{}n a 为等比数列，设等比数列的公比为q ，则2422221a a q a q ++=，又23a =，即4260q q +-=，解得22q =，则=++864a a a22224642a q a q a q ++=，故选C ．考点：等比数列的通项公式的应用． 3. 设{}n a是等比数列，公比q =n S 为{}n a 的前n 项和，记2117n nn n S S T a +-=，*n N ∈，设n B 设为数列{}n T 的最大项，则n = ． 【答案】4 【解析】试题分析：等比数列的前n 项和公式得1(1)1n n a q S q-=-，则2117n n n n S S T a +-=2111(1)(1)1711n n na q a q q qa q --⨯---==t =，则1617)n T t t =+-17)≥，当且仅当16t t =时，即4t =4=，即4n =时n T 取得最大值．考点：等比数列的前n 项和公式；基本不等式的应用．4. 已知数列{}n x 满足()*+∈+=N n x x n n lg 1lg 1，且1231001x x x x ++++=K ，则101102200lg()x x x +++=K ．【答案】100 【解析】考点：等比数列.5. 已知在正项等比数列{}n a 中，存在两项m a ，n a14a =，且6542a a a =+，则14m n+ 的最小值是（ ） A ．32 B ．2 C.73 D ．256【答案】A 【解析】试题分析：由6542a a a =+得5432q q q =+解得2q =，再由14a =得24162m n q +-==，所以6m n +=，所以()141141413596662n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 考点：数列与基本不等式.6． 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a +=+（ ） A．1+．1 C．3+．3-【解析】试题分析：三项成等差数列，所以3122a a a =+，即221112,12a q a a q q q =+=+，解得1q =，所以2910783a a q a a +==++考点：等差数列与等比数列.7. 已知数列{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54， 则5S 等于 ． 【答案】31 【解析】考点：等差与等比数列.8. 数列{}n a 是等比数列，2104a a =，且2100a a +>，则6a =（ ）A ．1B ．2C ．1±D ．2± 【答案】B 【解析】试题分析：根据等比数列的性质262104a a a =⋅=，由于24,a a 同号且大于零，所以62a =.考点：等比数列的性质.9. 已知{}n a 是等比数列, 公比为q , 前n 项和是n S ，若1341,,a a a a - 成等差数列，则（ ） A ．10a >时，1n n S qS +< B ．10a >时，21n n S q S +< C. 10a <时，1n n S qS +< D ．10a <时，21n n S q S +< 【答案】B试题分析：1341,,a a a a -成等差数列，即314142,2a a a a a q =+-==.()()11122112n n n a S a -==--，()11121n n S a ++=-，()21421n n q S a =-，当10a >时，()()()211111214213120n n n n n S q S a a a ++-=---=-<，所以21n n S q S +<，选B.考点：等差数列、等比数列.10. 等比数列{}n a 中，1232a a a ++=，4564a a a ++=，则101112a a a ++= ． 【答案】16 【解析】试题分析：设等比数列{}n a 的公比为q ，则34561232a a a q a a a ++==++，则()931011121232216a a a q a a a ++=++=⨯=，故填16.考点：等比数列的性质.11. 在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内 容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数 量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增）．根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有 盏灯． 【答案】195 【解析】考点：1、阅读能力及建模能力；2、等比数列的定义、通项公式及求和公式.12. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”问此人第4天和第5天共走了（ ）A ．60里B ．48里 C.36里 D ．24里 【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，此人每天走的里数构成公比为12的等比数列，设等比数列的首项为1a ，则有16141112378,192,192241812a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭===⨯=-，5124122a =⨯=，45241236a a +=+=，所以此人第4天和第5天共走了36里，故选C.考点：1、阅读能力及建模能力；2、等比数列的通项及求和公式.13. 《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题：“今有垣(墙，读音)厚五尺，两鼠对穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺.大鼠日自倍（以后每天加倍）,小鼠日自半（以后每天减半）.问何日相逢，各穿几何？”在两鼠“相逢”时，大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是 ： ． 【答案】26:59 【解析】考点：等比数列.14. 已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且5442S S a =-，则54S S 等于（ ） A ．3315-B ．3315 C. 3317- D ．3317【答案】A 【解析】试题分析：因为数列{}n a 为数列，所以可设公比为q ，又555445441132332,2,111615S q S S a a q S q -+-=-==-===---∴∴，故选A. 考点：1、等比数列的性质；2、等比数列的求和公式. 15. 抛物线212x y =在第一象限内图像上的一点2(,2)i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1i a +，其中*i N ∈，若232a =，则246a a a ++等于（ ）A ．21B ．32C ．42D ．64【答案】C 【解析】考点：导数的几何意义及等比数列求和. 16. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知115a =，且对任意正整数,m n ，都有m n m n a a a +=，若n S t <恒成立，则实数t 的最小值为 ． 【答案】14【解析】试题分析：∵115a =，且对任意正整数,m n ，都有m n m n a a a +=，∴令1,1==n m ，得到251a a 212==，同理令1,2==n m ，得到1251a a 223==，∴此数列是首项为51，公比为51的等比数列，则111115551415n n n S ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-，∵nS t <恒成立，∴＜ｔ）（Ｓｍａｘｎ，又41<n S ，∴41≥t ，∴t 的最小值为41． 考点：等比数列.17. 等比数列 {}n a 中，452,5a a ==，则数列{}lg n a 的前8项和为__________. 【答案】4 【解析】试题分析：数列}{a n 的前8项和为)lg(lg lg lg 821821a a a a a a =+++，在等比数列}{n a 中，54637281a a a a a a a a ===，则前8项和为4)lg(4)lg(lg lg lg 54821821===+++a a a a a a a a .故本题正确答案为4. 考点：等比数列的性质.18. 已知数列{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，设12n n T S S S =+++…，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则4T = ． 【答案】98 【解析】考点：（1）等比数列的性质；（2）数列的和.19. 等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，1232n n a a a a m ++++=+…，则22212n a a a +++…等于（ ） A ．1(4)3nm + B ．1(21)3n-C ．41n-D ．2(2)n m +【答案】A 【解析】试题分析：∵等比数列{}n a 中，对任意正整数n ，1232n n a a a a m ++++=+…， ∴m a +=21，m a a +=+421，m a a a +=++8321，∴m a +=21，22=a ，43=a ，∴1-=m ，11=a ，∴121=a ，422=a ，1623=a ，∴{}2na 是首项为1，公比为4的等比数列， ∴()()m a a a a n n n n+=-=--=++++431143141412232221．故选：A ． 考点：等比数列的前n 项和.20. 已知等比数列{}n a 共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是（ ）A ．32B ．2 D ． 【答案】C【解析】考点：等比数列的性质.。

专题09 解三角形1. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,b,c a ，已知2,sin c A B ==，则ABC ∆面积 的最大值为（ ）A ．2B C D ．2 【答案】B 【解析】考点：解三角形问题．2. 在ABC ∆中，“A B C <<”是“cos 2cos 2B cos 2C A >>”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析：由正弦定理可得，在ABC ∆中，“A B C <<”则sin sin sin A B C <<， 则222sin sin sin A B C <<，由倍角公式可得1cos 21cos 21cos 2222A B C---<<，可得 cos 2cos 2B cos 2C A >>，反之也成立，所以在ABC ∆中，“A B C <<”是“cos 2cos 2B cos 2C A >>”的充分必要条件，故选C. 考点：正弦定理与倍角公式.3. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 22B a cc+=，则△ABC 的形状 为（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】A 【解析】考点：解三角形.4. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若sin sin A C B +=，则ABC ∆中最大角的度数等于（ ）A ．90°B ．75°C ．135°D ．105° 【答案】A 【解析】试题分析：由正弦定理得a c +=，所以()()22222222cos 10224a c a c a c a c b B acacac++-++-===-≥，所以最大角为90B = 考点：解三角形.5. 如右图，四边形ABCD 中，00135,120BAD ADC ∠=∠=，0045,60,BCD ABC BC ∠=∠=则线段AC 长度的取值范围是（ ）A． B．32⎡⎢⎣ C．D．32⎛ ⎝【答案】B 【解析】试题分析：当AC AB ⊥时，AC3sin 2B =，故选B.考点：解三角形.6. 在ABC ∆中，4ABC π∠=，AB =，3BC =，则sin BAC ∠=（ ）A 【答案】D 【解析】考点：解三角形.7. 如图，勘探队员朝一座山行进，在前后两处观察山顶的仰角是30度和45度，两个观察点之间的距离是200，则此山的高度为 （用根式表示）．【答案】)1001【解析】试题分析：由正限定理有200sin 30sin15=，解得)1001h =.考点：解三角形.8. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足条件2221b c a bc +-==，1cos cos 8B C =-，则△ABC 的周长为 ．【解析】考点：1、正弦定理和余弦定理；2、诱导公式及两角和的余弦公式.9. 一艘海警船从港口A 出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40︒方向直线航行，30分钟后到达B 处，这时候接到从C 处发出的一求救信号，已知C 在B 的北偏东65︒，港口A 的东偏南20︒处，那么B ，C 两点的距离是 海里．【答案】【解析】试题分析：由已知可得90402030,4065105,400.520BAC ABC AB ︒︒︒︒︒︒︒∠=--=∠=+==⨯=，从而得45ACB ︒∠=，由正弦定理可得sin 30sin 45AB BC ︒︒=⨯=考点：1、阅读能力建模能力；2、三角形内角和定理及正弦定理.10. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC 边上的高为2a ，则c bb c+最大值为（ ）A ．2BC ．D ．4【答案】C 【解析】考点：正余弦定理与三角函数的值域．11. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边长，已知A =，且有222a c b mbc -=-，则实数m = ．【答案】1m = 【解析】试题分析：由2212sin 3cos ,2cos 3cos 20,cos 2A A A A A A =∴=∴+-=∴=或cos 2=-(舍).由222a c b mbc -=-得1cos ,,1222m m A m =∴=∴=. 考点：余弦定理.12. ABC ∆中，90C ∠=︒，M 是BC 的中点，若1sin 3BAM ∠=，则sin BAC ∠= ．【答案】3【解析】试题分析：如图,设1,,sin 2AMB AC b BC a S AM AB BAM ∆===⨯⨯∠=1124ABC S ab ∆==,化简得,,sin 3a a AB BAC AB =∴=∴∠==.考点：正弦定理；三角知识的应用.13. 在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，如果,,a b c 成等差数列，030B =，ABC ∆的面积为32，那么b =（ ）A ．12+ B ．1．22+ D ．2+【答案】B 【解析】考点：等差中项、解三角形.14. 如图，为测量出山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角060,MAN C ∠=点的仰角045CAB ∠=以及075MAC ∠=，从C 点测得060MCA ∠=.已知山高100BC m =，则山高MN =___________m .【答案】150 【解析】试题分析：ABC ∆中，AC BC ==，MAC ∆中，由正弦定理得sin 60sin 45MA AC=，故MA =AMN ∆中，1502MN MA ==.考点：解三角形实际应用.15. 如图，在△ABC 中，90ABC ∠=︒，AB =1BC =，P 为△ABC 内一点，90BPC ∠=︒，120APB ∠=︒，则tan PBA ∠= ．【解析】考点：解三角形.16. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cA b<，则ABC ∆为（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C.锐角三角形 D ．等边三角形 【答案】A 【解析】试题分析：由余弦定理得2222c b c a b bc+-<，化简得2220a c b +-<，故为钝角三角形.考点：解三角形，正弦定理、余弦定理.17. 在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2cos cos ,2b A a B c a b +===，则ABC ∆的周长为（ ）A ．7.5B ．7C ．6D ．5 【答案】D 【解析】试题分析：∵2cos cos ,2b A a B c a b +===,∴由余弦定理可得：222222222c acb c a a bc a c b b =-+⨯+-+⨯，整理可得：322c 2c =，∴解得：1c =，则ABC ∆的周长为5122=++=++c b a ，故选：D ． 考点：余弦定理在解三角形中的应用.18. 在ABC ∆中，D 为线段BC 上一点（不能与端点重合），,3,13ACB AB AC BD π∠====，则AD =_____________．【解析】考点：余弦定理.19. 在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为 ,,a b c ，且满足 ()43cos 3cos a c B b C -=，若,,a b c 成等差数列，则sin sin A C +=_________. 【答案】27【解析】试题分析：在ABC ∆中，C B B C B A C b B c a sin sin 3cos sin 3cos sin 4,cos 3cos )34(=-∴=- ，可得：A C B B A sin 3)sin(3cos sin 4=+=，,0sin ≠A 可得：43cos =B ，47cos 1sin 2=-=∴B B ，c b a ,, 成等差数列，c a b +=2，27472sin sin sin 2=⨯=+=∴C A B ．故答案为：27． 考点：正弦定理.20. 如图，在矩形 ABCD 中，,E F 分别为AD 上的两点，已知,2,4,600,CAD CED CFD AE EF θθθ∠=∠=∠===CD =_________.【答案】300 【解析】试题分析：设n CD m DF ==,，则由题意，mnmn mn=+=++=θθθ4tan ,32002tan ,3200600tan ，利用二倍角正切公式，代入计算解得300,3100,15===n m θ．故答案为：300． 考点：解三角形.21. 在锐角ABC ∆中，已知3AB BC ==，其面积ABC S ∆=，则ABC ∆的外接圆面积为 ． 【答案】3 【解析】考点：余弦定理.22. 在ABC △中，内角 A B C ，，所对的边分别为 a b c ，，，已知 22sin cos sin cos 4sin c A A a C C B +=，cos B =D 是AC 上一点，且23BCD S =△，则ADAC= ． 【答案】95【解析】试题分析：由22sin cos sin cos 4sin c A sA a C C B +=得22222222422b c a a b c a c ac b bc ab+-++⋅+⋅=，化简得4ac =.由cos B =3sin 4B =，∴13sin 22ABC S ac B ==△，∵49BCD ABC S CD AC S ==△△，∴59AD AC =.故答案为95.考点：正余弦定理.23. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为__________平方千米. 【答案】21 【解析】考点：余弦定理的应用.24. 在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，23A π=，且cos 3cos b C c B =，则bc的值为（ ）A B C D 【答案】B 【解析】试题分析：∵cos 3cos b C c B =，∴ac b c a c ab c b a b 232222222-+⨯=-+⨯，即22222c b a -=．又∵212cos 222-=-+=bc a c b A ，∴0222=+-+bc a c b ，∴0322=+-bc b c ，即032=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-cbc b ，解得2113+=c b ，故选B ． 考点：余弦定理.25. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3a =，tan 21tan A cB b+=，则b c +的最大值为_________． 【答案】6最新K12教育【解析】考点：余弦定理.教案试题。

第02讲等差数列及其前n 项和(练）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第02讲等差数列及其前n 项和(精练）A 夯实基础一、单选题（2022·四川省南充市白塔中学高一阶段练习（文））1．在等差数列{}n a 中，已知3412a a +=，则数列{}n a 的前6项之和为（）A ．12B ．32C ．36D ．37（2022·天津天津·高二期末）2．某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第1天只得到10元，之后采取了积极措施，从第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（）A ．13B ．14C ．15D ．16（2022·北京市第十二中学高二阶段练习）3．设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}1n a a 为递减数列，则（）A ．0d <B ．0d >C ．10a d >D ．10a d <（2022·黑龙江双鸭山·高二期末）4．等差数列{}n a 中，已知70a >，2100a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（）A ．5S B ．6S C ．7S D ．8S （2022·山东师范大学附中模拟预测）5．如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n 项和为n S ，则22S =（）（2022·湖北·安陆第一高中高二阶段练习）6．已知数列{}n a 的前n 项和225n S n n =-，若1015k a <<，则k =（）A ．5B ．6C ．7D ．8（2022·全国·模拟预测）7．设等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .若对于任意的正整数n 都有2131n n S n T n +=-，则89a b =（）A ．3552B ．3150C ．3148D ．3546（2022·全国·高二专题练习）8．等差数列{}n a 的首项为正数，其前n 项和为n S .现有下列命题，其中是假命题的有（）A ．若n S 有最大值，则数列{}n a 的公差小于0B ．若6130a a +=，则使0n S >的最大的n 为18C ．若90a >，9100a a +<，则{}n S 中9S 最大D ．若90a >，9100a a +<，则数列{}n a 中的最小项是第9项二、多选题（2022·黑龙江·鹤岗一中高二期中）9．已知等差数列{an }的公差为d ，前n 项和为Sn ，且91011S S S =<，则（）A ．d ＜0B ．a 10＝0C ．S 18＜0D ．S 8＜S 9（2022·浙江温州·高二期末）10．某“最强大脑”大赛吸引了全球10000人参加，赞助商提供了2009枚智慧币作为比赛奖金．比赛结束后根据名次（没有并列名次的选手）进行奖励，要求第k 名比第1k +名多2枚智慧币，每人得到的智慧币必须是正整数，且所有智慧币必须都分给参赛者，按此规则主办方可能给第一名分配（）智慧币．A ．300B ．293C ．93D ．89三、填空题（2022·全国·高二课时练习）11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20202019120202019S S -=，则数列{}n a 的公差为_______.（2022·江苏·高二）12．首项为正数的等差数列，前n 项和为n S ，且38S S =，当n =________时，n S 取到最大值.四、解答题（2022·山东·高二阶段练习）13．在等差数列{}n a 中，2745,6a a a ==+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设n S 为{}n a 的前n 项和，若99m S =，求m 的值.（2022·全国·高三专题练习（文））14．已知数列{}n a 的前n 项和为2230n S n n =-.（1）求出{}n a 的通项公式；（2）求数列n S n ⎧⎫⎨⎩⎭前n 项和最小时n 的取值B 能力提升一、单选题（2022·四川省绵阳南山中学高一期中）15．设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，且513S S =，6140a a +<，则使得0n S <的正整数n 的最小值为（）A ．18B ．19C ．20D ．21（2022·全国·高三专题练习）16．已知公差非零的等差数列{}n a 满足38a a =，则下列结论正确的是（）A ．110S =B ．*11()110N n n S S n n -=≤≤∈,C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥（2022·全国·高三专题练习）17．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n n S +的最小值为______．（2022·辽宁辽阳·二模）18．“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题，已知问题中，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则在不超过4200的正整数中，所有满足条件的数的和为______.（2022·山西吕梁·二模（理））19．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，151416>>S S S ，则满足10n n S S +⋅<的正整数n 是________．（2022·湖南衡阳·三模）20．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*12n n n a a S n N+=∈，则24666a a a a +++⋅⋅⋅+=__________．C 综合素养（2022·山东济南·三模）21．如图1，洛书是一种关于天地空间变化脉络的图案，2014年正式入选国家级非物质文化遗产名录，其数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，形成图2中的九宫格，将自然数1，2，3，…，2n 放置在n 行n 列()3n ≥的正方形图表中，使其每行、每列、每条对角线上的数字之和（简称“幻和”）均相等，具有这种性质的图表称为“n 阶幻方”．洛书就是一个3阶幻方，其“幻和”为15．则7阶幻方的“幻和”为（）图1图2A ．91B ．169C ．175D ．180（2022·新疆克拉玛依·三模（文））22．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23，则该数列的第31项为（）A ．636B ．601C ．483D ．467（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）23．“中国剩余定理”是关于整除的问题.现有这样一个问题“将1~2030这2030个自然数中，能被3整除余1且能被4整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则该数列共有（）A ．170项B ．171项C ．168项D ．169项（2022·浙江·模拟预测）24．毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为1,5,12,22, ，总结规律并以此类推下去，第8个图形对应的点数为________，若这些数构成一个数列，记为数列{}n a ，则322112321a a aa ++++= ________．（2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测）25．“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题.已知问题中，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则在不超过2022的正整数中，所有满足条件的数的和为___________.参考答案：1．C【分析】直接按照等差数列项数的性质求解即可.【详解】数列{}n a 的前6项之和为()12345634336a a a a a a a a +++++=+=.故选：C.2．C【分析】由题意可得募捐构成了一个以10元为首项，以10元为公差的等差数列，设共募捐了n 天，然后建立关于n 的方程，求出n 即可．【详解】由题意可得，第一天募捐10元，第二天募捐20元，募捐构成了一个以10元为首项，以10元为公差的等差数列，根据题意，设共募捐了n 天，则(1)120010102n n n -=+⨯，解得15n =或16-（舍去），所以15n =，故选：C ．3．D【分析】根据数列{}1n a a 为递减数列列不等式，化简后判断出正确选项.【详解】依题意，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，数列{}1n a a 为递减数列，所以111n n a a a a +>，()11n n a a a a d >+，1111,0n n a a a a a d a d >+<.故选：D 4．B【分析】由等差数列的性质将2100a a +<转化为60a <，而70a >，可知数列是递增数，从而可求得结果【详解】∵等差数列{}n a 中，2100a a +<，∴210620a a a +=<，即60a <．又70a >，∴{}n a 的前n 项和n S 的最小值为6S ．故选：B 5．B【分析】将数列的前22项写出来，再进行求和即可.【详解】根据杨辉三角的特征可以将数列继续写出到第22项：1，3，3，4，6，5，10，6，15，7，21，8，28，9，36，10，45，11，55，12，66，13，所以()()221361015212836455566345678910111213S =+++++++++++++++++++++()313112863742+⨯=+=故选：B 6．A【分析】由n a 与n S 的关系先求出n a ，再结合已知条件可求出答案.【详解】由()()22125215147(1)n n n a S S n n n n n n -⎡⎤=-=-----=->⎣⎦，得47,1n a n n =-=也适合，又由104715k <-<得171142k <<，又k *∈N ，∴5k =，故选:A ．7．B【分析】先设()21n S n nt =+，()31n T n nt =-，由887a S S =-，998b T T =-直接计算89a b 即可.【详解】设()21n S n nt =+，()31n T n nt =-，0t ≠.则88713610531a S S t t t =-=-=，99823418450b T T t t t =-=-=，所以893150a b =.故选：B.8．B【分析】由n S 有最大值可判断A ；由6139100a a a a +=+=，可得90a >，100a <，利用91018182+=⨯a a S 可判断BC ；90a >，9100a a +<得90a >，991010a a a a =<-=，可判断D.【详解】对于选项A ，∵n S 有最大值，∴等差数列{}n a 一定有负数项，∴等差数列{}n a 为递减数列，故公差小于0，故选项A 正确；对于选项B ，∵6139100a a a a +=+=，且10a >，∴90a >，100a <，∴179=170S a >，910181802a a S +=⨯=，则使0n S >的最大的n 为17，故选项B 错误；对于选项C ，∵90a >，9100a a +<，∴90a >，100a <，故{}n S 中9S 最大，故选项C 正确；对于选项D ，∵90a >，9100a a +<，∴90a >，991010a a a a =<-=，故数列{}n a 中的最小项是第9项，故选项D 正确.故选：B.9．BC【分析】由91011S S S =<，得100,0d a >=，判断出A,B 选项，再结合90a <，11818118910918()9()9()92a a S a a a a a +==+=+=判断C 选项，再根据等式性质判断D 选项【详解】910S S = ，101090a S S ∴=-=，所以B 正确又1011S S <,111110100a S S a d ∴=-=+>,0d ∴>,所以A 错误1090,0,0a d a =>∴< 11818118910918()9()9()902a a S a a a a a +==+=+=<，故C 正确9989890,,a S S a S S <=+∴> ,故D 错误故选：BC 10．BD【分析】设第一名分配m 个智慧币，且总共有x 名参赛选手获奖，根据等差数列知识可得20091m x x=+-，分类讨论可得结果.【详解】设第一名分配m 个智慧币，且总共有x 名参赛选手获奖，则智慧币分配如下：()()()2122212009m m m m x +-⨯+-⨯++--=⎡⎤⎣⎦ ，即()21212009xm x -+++-=⎡⎤⎣⎦ ，又()()()211112122x x x x x +--⎡⎤-⎣⎦+++-==，∴22009xm x x +-=，即20091m x x=+-，∵x ，m 都为正整数，且20097741=⨯⨯，∴7x =，2009712937m =+-=，41x =，20094118941m =+-=，49x =，20094918949m =+-=，287x =，20092871293287m =+-=，∴第一名分配89或293个智慧币．故选：BD 11．2【分析】由题意列出关于公差d 的方程，解方程即可．【详解】设数列{}n a 的公差为d ，则由20202019120202019S S -=可得：1120202019201920182020201922120202019a d a d ⨯⨯++-=，化简可得()112019100912a d a d +-+=，解得2d =，故答案为：2．12．5或6##6或5【分析】结合已知条件和等差数列的性质，求出数列{}n a 是单调递减数列，进而求解.【详解】由题意，设等差数列为{}n a 且10a >，公差为d ，因为38S S =，所以8345678650S S a a a a a a -=++++==，即60a =，因为10a >，所以61150a a d a -==-<，即0d <，所以{}n a 为单调递减的等差数列，即125670a a a a a >>>>=> 故当5n =或6时，n S 最大.故答案为：5或6.13．(1)21n a n =+(2)9m =【分析】（1）根据题意得到1115636a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，再解方程组即可.（2）根据前n 项和公式求解即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得1115636a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩.故()1121n a a n d n =+-=+.（2）由等差数列的前n 项和公式可得()1222n n a a nS n n +==+.因为99m S =，所以2299m m +=，即()()9110m m -+=，解得9m =（11m =-舍去）.14．（1）432n a n =-；（2）当14n =或15n =时，数列n S n ⎧⎫⎨⎩⎭前n 项和取得最小值.【分析】（1）根据2230n S n n =-，分别讨论1n =，2n ≥两种情况，根据n S 与n a 的关系即可求出结果；（2）根据等差数列前n 项和的函数特征，即可得出结果.【详解】（1）因为2230n S n n =-，所以当1n =时，2112130128a S ==⨯-⨯=-；当2n ≥时，221=230)2(1)30(1)432n n n a S S n n n n n -⎡⎤=------=-⎣⎦（；显然1n =是，也满足432n a n =-，所以432n a n =-；(2)因为2230230n S n n n n n-==-，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，其前n 项和()()2228230298412929224n n n T n n n n n -+-⎛⎫==-=-=-- ⎪⎝⎭又*n ∈N ，所以当14n =或15n =时，n T 取得最小值.15．B【分析】由513S S =可得9100a a +=，由6140a a +<可得100a <，结合求和公式可得180S >，190S <，结合选项即可求解.【详解】由513S S =可得6712130a a a a ++++=L ，又613712811910a a a a a a a a +=+=+=+，可得9100a a +=，由6141020a a a +=<，可得100a <，则90,0a d ><，()()()11818118910189902a a S a a a a +==+=+>，()1191910191902a a S a +==<，故使得0n S <的正整数n 的最小值为19.故选：B.16．C【分析】根据给定条件，推理可得380a a +=，再结合等差数列性质逐项分析各个选项，判断作答.【详解】因公差非零的等差数列{an }满足38a a =，则有380a a +=，有35680a a a a +=+=，56,a a 异号且均不为0，对于A ，11111611()1102a a S a +=≠=，A 不正确；对于B ，110561010()5()=02a a a S a +=+=，而110S a =≠，此时，11n n S S -≠，B 不正确；对于C ，由选项A 知，116110S a =>，即60a >，则50a <，于是得10,0a d <>，数列{}n a 是递增数列，即()5min n S S =，5n S S ≥，C 正确；对于D ，由110S <得60a <，则50a >，于是得10,0a d ><，数列{}n a 是递减数列，即()5max n S S =，5n S S ≤，D 不正确.故选：C17．4-【分析】由条件得到1323a d =-⎧⎪⎨=⎪⎩，再由求和公式得()21103n S n n -=，从而得21749324n n S n ⎡⎤⎛⎫+=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦可求解.【详解】由()112n n n d S na -=+，100S =，1525S =得11104501510525a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：1323a d =-⎧⎪⎨=⎪⎩，则()()2121310233n n n S n n n -=-+⋅-=．故()221174973324n n S n n n ⎡⎤⎛⎫+=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．由于N n *∈，故当3n =或4时，()min 4n n S +=-.故答案为：4-18．82820【分析】找出满足条件的最小整数值为23，可知满足条件的数形成以23为首项，以105为公差的等差数列，确定该数列的项数，利用等差数列的求和公式可求得结果.【详解】由题可知满足被3除余2，被5除余3.被7除余2的最小的数为23，满足该条件的数从小到大构成以23为首项，357⨯⨯为公差的等差数列，其通项公式为10582n a n =-，令4200n a ≤，解得8240105n ≤，则所有满足条件的数的和为40392340105828202⨯⨯+⨯=.故答案为：82820.19．29【分析】推导出150a >，160a <，16150+<a a ，利用等差数列的求和公式可得出290S >，300S <，即可得解.【详解】由15140->S S ，得150a >，由16150-<S S ，得160a <，由16140-<S S ，得16150+<a a ，所以()129152929292022+⨯==>a a a S ，()()1301516303030022++==<a a a a S ，所以满足10n n S S +⋅<的正整数n 是29．故答案为：29.20．1122【分析】根据题意可知0n a >，当1n =时，由1122S a a =可求出22a =；当2n ≥时，可证出{}2n a 为一个以2为首项，2为公差的等差数列，最后利用等差数列的前n 项和，即可求出结果.【详解】由于数列{}n a 的各项均为正数，即0n a >，当1n =时，1122S a a =，即1122a a a =，∴22a =，当2n ≥时，由12n n n S a a +=，可得112n n n S a a --=，两式相减得()112n n n n a a a a +-=-，又∵0n a ≠，∴112n n a a +--=，∴{}2n a 为一个以2为首项，2为公差的等差数列，∴()()246212212n n n a a a a n n n -⨯++++=+=+L .故2466633341122a a a a +++⋅⋅⋅+=⨯=故答案为：112221．C【分析】根据“幻和”的定义，将自然数1至2n 累加除以n 即可得结果.【详解】由题意，7阶幻方各行列和，即“幻和”为12 (491757)+++=.故选：C22．D【分析】根据题意，设该数列为{}n a ，分析可得{}n a 满足12a =，11(2)n n a a n n --=- ，利用累加法计算可得．【详解】解：根据题意，设该数列为{}n a ，数列的前7项为2，3，5，8，12，17，23，则{}n a 满足12a =，11(2)n n a a n n --=- ，则3131303029211(301)30()()()30291224672a a a a a a a a +⨯=-+-++-+=++++=+= ，故选：D ．23．A 【分析】由题意可得{}n a 为能被12整除余1的数，进而求得数列{}n a 的通项公式再分析1~2030中满足条件的数即可【详解】能被3整除余1且能被4整除余1的数即被12整除余1的数，故121,n n a n N =+∈，由题意，1212030n n a =+≤，故116912n ≤，故当0,1,2...169n =时成立，共170项.故选：A24．92336【分析】记第n 个图形的点数为n a ，由图形，归纳推理可得113(1)n n a a n --=+-，再根据累加得可得(31)2n n a n =-，进而求出8a ．由于(31)2n n a n =-可得312n a n n -=，根据等差数列的前n 项和即可求出322112321a a a a ++++ 的结果.【详解】记第n 个图形的点数为n a ，由题意知11a =，214131a a -==+⨯，32132a a -=+⨯，43133a a -=+⨯，…，113(1)n n a a n --=+-，累加得147[13(1)](31)2n n a a n n -=++++-=- ，即(31)2n n a n =-，所以892a =．又312n a n n -=，所以3221111262(25862)213362321222a a a a +++++=++++=⨯⨯= ．25．20410【分析】找出满足条件的最小整数值为23，可知满足条件的数形成以23为首项，以105为公差的等差数列，确定该数列的项数，利用等差数列的求和公式可求得结果.【详解】由题意可知，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则这个正整数的最小值为23，因为3、5、7的最小公倍数为105，由题意可知，满足条件的数形成以23为首项，以105为公差的等差数列，设该数列为{}n a ，则()23105110582n a n n =+-=-，由105822022n a n =-≤，可得2104105n ≤，所以，n 的最大值为20，所以，满足条件的这些整数之和为20191052023204102⨯⨯⨯+=.故答案为：20410.。

专题07 数列目录一览考向一等差数列}为等差数列，1．（2023•新高考Ⅰ•第7题）记S n为数列{a n}的前n项和，设甲：{a n}为等差数列；乙：{S nn 则（ ）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件考向二等比数列2．（2023•新高考Ⅱ•第8题）记S n为等比数列{a n}的前n项和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，则S8＝（ ）A．120B．85C．﹣85D．﹣120考向三数列综合3．（2023•新高考Ⅰ•第20题）设等差数列{a n}的公差为d，且d＞1．令b n=S n，T n分别为数列n{a n}，{b n}的前n项和．（1）若3a2＝3a1+a3，S3+T3＝21，求{a n}的通项公式；（2）若{b n}为等差数列，且S99﹣T99＝99，求d．4．（2023•新高考Ⅱ•第18题）已知{a n}为等差数列，b n=a n−6，n为奇数2a n，n为偶数，记S n，T n为{a n}，{b n}的前n 项和，S4＝32，T3＝16．（1）求{a n}的通项公式；（2）证明：当n＞5时，T n＞S n．【命题意图】考查等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查等差、等比数列的性质；考查数列的求和方法，考查根据数列的递推公式求通项公式，考查数列和其他知识结合等综合知识．【考查要点】数列是高考考查热点之一，其中等差、等比数列的通项公式、求和公式，以及与等差、等比数列有关的错位相消求和及裂项相消求和，是考查的重点．作为数列综合题，常和充要条件、方程、不等式、函数等结合，涉及到恒成立，存在，最值，解不等式或者证明不等式等，对于基础能力和基础运算要求较高．【得分要点】1．解决等差、等比数列有关问题的几点注意(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用；(2)对于计算解答题注意基本量及方程思想的运用；(3)注重问题的转化，由非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用相关公式和性质解题；(4)当题目中出现多个数列时，既要纵向考察单一数列的项与项之间的关系，又要横向考察各数列之间的内在联系.2．数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n 项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解.,一般常见的求和方法有：（一）公式法②等比数列的前n 项和公式：③数列前项和重要公式：（2）（5）等差数列中，；n 1(21)n k k =-=∑()13521n ++++-= 2nm n m n S S S mnd +=++（6）等比数列中，.(二)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.(三)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.(四)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.(1)适用条件：若{a n }是公差为d (d ≠0)的等差数列，{b n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和S n ；(2)基本步骤(3)注意事项：①在写出S n 与qS n 的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出S n－qS n ；②作差后，等式右边有第一项、中间n －1项的和式、最后一项三部分组成；③运算时，经常把b 2＋b 3＋…＋b n 这n －1项和看成n 项和，把－a n b n ＋1写成＋a n b n ＋1导致错误．　(五)倒序相加法相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前n 项和公式的推导便使用了此法. 用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽.考向一 等差数列5．（2022•新高考Ⅱ）图1是中国古代建筑中的举架结构，AA ′，BB ′，CC ′，DD ′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD 1，CC 1，BB 1，AA 1是举，OD 1，DC 1，CB 1，BA 1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k 1，＝k 2，＝k 3．已知k 1，k 2，k 3成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则k 3＝（ ）n m m n n m m n S S q S S q S +=+=+A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9考向二数列递推公式6.（多选）（2021•新高考Ⅱ）设正整数n＝a0•20+a1•21+…+a k﹣1•2k﹣1+a k•2k，其中a i∈{0，1}，记ω（n）＝a0+a1+…+a k，则（ ）A．ω（2n）＝ω（n）B．ω（2n+3）＝ω（n）+1C．ω（8n+5）＝ω（4n+3）D．ω（2n﹣1）＝n考向三数列的求和7．（2021•新高考Ⅰ）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180dm2，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折n次，那么S k＝ dm2．考向四数列综合8．（2021•新高考Ⅱ）记S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）求使S n＞a n成立的n的最小值．9．（2021•新高考Ⅰ）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝（1）记b n＝a2n，写出b1，b2，并求数列{b n}的通项公式；（2）求{a n}的前20项和．10．（2022•新高考Ⅰ）记S n为数列{a n}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）证明：++…+＜2．11．（2022•新高考Ⅱ）已知{a n}是等差数列，{b n}是公比为2的等比数列，且a2﹣b2＝a3﹣b3＝b4﹣a4．（1）证明：a1＝b1；（2）求集合{k|b k＝a m+a1，1≤m≤500}中元素的个数．重点考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式和前n项和，考查错位相减、裂项相消等求和方法。

专题13 定积分1. 设210sin n xdx π=⎰，则n展开式中的常数项为 （用数字做答） 【答案】210 【解析】试题分析：由22010sin 10cos |10n xdx x ππ==-=⎰，所以二项式的通项为5510611010((1)r r rr r r r T C C x --+=⋅=-，令6r =，则常数项556666710(1)210T C x -⨯=-=.考点：二项式定理的应用. 2. 已知dx x a 2111-⎰=-，则61)22(⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+x x a π展开式中的常数项为 ．【答案】160- 【解析】考点：1、定积分；2、二项式定理. 3.()11sin x x dx -+=⎰___________．【答案】1 【解析】 试题分析：()()()111111sin sin x x dx x dx x dx ---+=+⎰⎰⎰，()11x dx -⎰根据定积分的几何意义可知，函数x 在[]1,1-上的面积为111⨯=，同理，由于sin y x =为奇函数，根据定积分的几何意义有()11sin 0x dx -=⎰，所以()11sin 1x x dx -+=⎰.考点：定积分.4. 如图曲线2y x =和直线0x =，1x =，14y =所围成的图形（如图所示）的面积为（ ）A ．23 B ．13 C.12 D ．14【答案】D 【解析】试题分析：令211,42x x ==，所以面积为11222102111444x dx x dx ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰．考点：定积分. 5．定积分0=⎰．【答案】4π 【解析】考点：定积分.6.(121x dx -+=⎰____________．【答案】232π+ 【解析】试题分析：(112221112222213432x dx x dx ππ-+=+=⋅+⋅⋅⋅=+⎰⎰⎰.考点：定积分.7. 两曲线sin y x =，cos y x =与两直线0x =，2x π=所围成的平面区域的面积为（ ）A ．2(sin cos )x x dx π-⎰ B ．402(sin cos )x x dx π-⎰ C ．20(cos sin )x x dx π-⎰D ．402(cos sin )x x dx π-⎰【答案】D 【解析】考点：定积分的几何意义.8. 由曲线y =3y x =-及x 轴所围成的图形是面积为（ ） A ．12 B ．24C ．16D ．18【答案】D 【解析】试题分析：曲线y =直线3y x =-的交点为()9,6，由定积分的几何意义可知,曲线y =3y x =-及y 轴围成的面积为()39920094133|232x dx x x x 2⎛⎫⎡⎤--=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰9=182-,故选D. 考点：1、定积分的应用；2、定积分的几何意义. 9. 定积分()12031x x e dx ++⎰的值为 ．【答案】1e + 【解析】试题分析：()()()12310031|211x x x e dx x e x e e ++=++=+-=+⎰，故答案为1e +.考点：定积分的求法.10. 若()6x a +的展开式中3x 的系数为160，则1aa x dx ⎰的值为__________.【答案】73【解析】试题分析：因336160C a =，即320160a =，故38a =，所以2a =，故()22321117|81333x dx x ==-=⎰，故答案为73. 考点：1、二项展开式定理；2、定积分的应用. 11. 若220a x dx =⎰，230b x dx =⎰，2sin c xdx =⎰，a 、b 、c 大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】D 【解析】考点：1、定积分的应用；2、三角函数的有界性.12. 如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线()()sin ,0,f x x x π=∈，及直线(),0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点， 若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是（ ）A ．712π B ．23π C.34π D ．56π 【答案】B 【解析】试题分析：1112sin (cos )1cos ,,,600423a a S a dx x x a a S a aπ-=-=-∴==∴=-∴=⨯⎰阴影矩形,故选B. 考点：几何概型.13. 已知()20cos a x dx π=-⎰，则912ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，3x 项的系数为（ ） A ．638 B ．6316 C ．212- D ．638- 【答案】C 【解析】考点：定积分、二项式定理.14. 曲边梯形由曲线21y x =+，0y =，1x =，2x =所围成，过曲线21y x =+（[1,2]x ∈）上一点P 作此曲线切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为（ ） A ．3(,2)2 B ．313(,)24 C.513(,)24 D ．5(,2)2【答案】B 【解析】试题分析：设200(,1)P x x +，'2y x =，所以切线方程为()2000(1)2y x x x x -+=-，分别令1,2x x ==代入上式，求得2210010021,41y x x y x x =-++=-++，梯形的面积为221200031313312244y y S x x x +⎛⎫==-++=--+≤ ⎪⎝⎭，即313,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.考点：定积分，曲边梯形的面积.15. 设()f x =()y f x =的图象，x 轴，直线1x =和直线4x =所围成的封闭图形的面积为 ． 【答案】143【解析】试题分析：34211214|33x ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰.考点：定积分．16. 函数()sin()f x x ωϕ=+的导函数'()y f x =的部分图象如图所示，其中A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点，若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC ∆内的概率为 ．【答案】4π 【解析】考点：1.定积分的计算；2.几何概型.17. 用{}min ,a b 表示,a b 两个数中的较小的数，设(){2min f x x =，那么由函数()y f x =的而图像、x 轴、直线12x =和直线4x =所围成的封闭图形的面积为 ． 【答案】11924【解析】试题分析：联立方程⎪⎩⎪⎨⎧==2xy xy ，可得交点坐标为）（1,1，根据题意可得由函数)(x f y =的图象、x 轴、直线21x =和直线4x =所围成的封闭图形的面积是⎰⎰=+=+=1214123322411914x 32211x 31dx x dx x S ．故答案为：24119．考点：定积分. 18. 设()()12,x xf xg x tdt x R ++=∈⎰，若函数()f x 为奇函数，则()g x 的解析式可以为（ ）A ．3x B ．1x + C ．cos x D ．xxe 【答案】B 【解析】考点：定积分与函数的表达式及奇偶性.19. 定积分0⎰的值为（ ）A ．4π B ．2π C ．π D ．2π【答案】A 【解析】试题分析:因⎰dxx ⎰--=12)1(1,令tx =-1,则⎰4arcsin 21120012ππ==-=--⎰t dt t ,故应选A.考点：定积分的计算公式及运用.20. 已知二项式912x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为212-，则1e a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值为（ ） A ．212e + B ．232e - C. 232e + D ．252e -【答案】C 【解析】试题分析：二项式9)21(ax x +的展开式的通项公式为rrr rr r r x a ax x T C C 2999912121--+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=，令3,32-9==r r ，将3=r 代入得221)21(339-=a C ，解得1-=a ，23|)ln 21()1(2121-=-=-⎰e x x dx x x ee .故选C.考点：二项式的展开，定积分.21. 已知0a >，0b >，'()f x 为()f x 的导函数，若()ln 2x f x =，且31112'()12b b dx f a b x =+-⎰，则a b+的最小值为（ ） A．B．C ．92D．92+ 【答案】C 【解析】考点：（1）定积分的计算；（2）基本不等式的应用.22.函数22x 0)f(x)=x x,(0<x 1)≤≤≤⎪⎩－－的图象与x 轴所围成的封闭图形面积为 ．【答案】1π+62【解析】试题分析：∵22x 0)f(x)=x x,(0<x 1)≤≤≤⎪⎩－－，∴函数22x 0)f(x)=x x,(0<x 1)≤≤≤⎪⎩－－的图象与x 轴所围成的封闭图形面积为12213001()(1)2136222x x dx x x πππ+-=+-=+⎰．故答案为：1π+62.考点：定积分的应用. 23. 设曲线()ny xx N *=∈与x 轴及直线1x =围成的封闭图形的面积为na，设1n n n b a a +=，则122012b b b +++=（ ）A ．5031007 B ．20112012 C.20122013 D ．20132014【答案】A 【解析】考点：定积分计算公式及裂项相消法求数列和.24. 曲线 2y x =和曲线 2y x =围成的图形面积是（ ） A ．13 B ．23 C.1 D ．43323120211)()|333dx x x ⇒-=，故选A.2x .若在矩形ABCD 内随机取一点，【答案】512【解析】考点：1、几何概型；2、定积分.。