思想4 等价转换思想(教学案)

思想四等价转换思想转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。

从某种意义上说，数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰当转化，进而达到解题目的的一个探索过程。

转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中．1.转化有等价转化与非等价转化．等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。

非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口．2．转化与化归的原则：(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；(4)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决．(5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解．3．常见的转化与化归的方法：转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的．(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题．(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径． (8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定． (9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决．(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集∁U A 获得原问题的解决，体现了正难则反的原则． 4．转化与化归的指导思想：(1)把什么问题进行转化，即化归对象． (2)化归到何处去，即化归目标． (3)如何进行化归，即化归方法．化归与转化思想是一切数学思想方法的核心. 【热点分类突破】 类型一特殊与一般的转化例1.设()f x 是奇函数，对任意的实数,x y ，有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <，则()f x 在区间[],a b 上（）A ．有最小值()f aB ．有最大值()f aC ．有最大值2a b f +⎛⎫⎪⎝⎭D ．有最小值2a b f +⎛⎫ ⎪⎝⎭分析：此题可根据题意，构造一个特殊函数()f x x =-，即可得出答案。

课题：《思想转化——从迷茫到坚定》一、教学目标1. 知识目标：理解思想转化的概念，认识到思想转化的必要性和重要性。

2. 能力目标：培养学生自我反思、自我调整的能力，学会在迷茫中找到坚定的方向。

3. 情感、态度与价值观目标：激发学生积极面对生活的勇气，树立正确的价值观。

二、教学重难点1. 教学重点：理解思想转化的概念，掌握思想转化的方法。

2. 教学难点：引导学生从迷茫中找到坚定的方向，形成积极的生活态度。

三、教学过程1. 导入新课（1）播放一段关于迷茫与坚定的视频，让学生思考：在生活中，我们如何从迷茫中找到坚定的方向？（2）引导学生谈谈自己在生活中遇到的迷茫，以及如何应对这些迷茫。

2. 讲解思想转化的概念（1）介绍思想转化的定义：思想转化是指个体在面对困难和挑战时，通过自我反思、自我调整，使思想观念发生积极变化的过程。

（2）分析思想转化的必要性和重要性，让学生认识到思想转化对个人成长和发展的意义。

3. 讲解思想转化的方法（1）引导学生进行自我反思，分析迷茫的原因，找出解决问题的方法。

（2）介绍调整心态的方法，如：树立正确的人生观、价值观，保持乐观的心态，学会调整情绪等。

（3）讲解目标设定的重要性，帮助学生设定明确的目标，并为之努力。

4. 案例分析（1）展示一些成功人士从迷茫到坚定的案例，让学生了解他们是如何克服困难，实现人生价值的。

（2）分析案例中成功人士的思想转化过程，总结经验教训。

5. 实践活动（1）分组讨论：针对自己在生活中遇到的迷茫，提出解决方案，并分享给其他同学。

（2）角色扮演：模拟在迷茫中找到坚定的场景，让学生体验思想转化的过程。

6. 总结与反思（1）引导学生总结本节课所学内容，加深对思想转化的理解。

（2）鼓励学生在生活中积极践行思想转化，不断成长。

四、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言、讨论、实践活动等方面的表现。

2. 思想转化成果：关注学生在课后是否能够将所学知识应用于实际生活，实现思想转化。

四、等价转化思想方法等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。

通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。

历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。

转化有等价转化与非等价转化。

等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。

非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。

我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。

著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。

数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。

等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。

在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。

它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。

消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。

可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。

由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。

在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。

四、转变与化归思想转变与化归思想，就是在研究和解决相关数学识题时采纳某种手段将问题经过变换使之转变，从而获得解决的一种方法．一般老是将复杂的问题经过变换转变为简单的问题，将难解的问题经过变换转变为简单求解的问题，将未解决的问题经过变换转变为已解决的问题 .方法一 一般与特别的转变问题模型解法一般和特别之间的转变法是在解题的过程中将某些一般问题进行特别化办理或是将某些特殊问题进行一般化办理的方法． 此方法多用于选择题和填空题的解答．破解此类题的重点点：①确定转变对象，一般将要解决的问题作为转变对象．②找寻转变元素，由一般问题转变为特别问题时，找寻“特别元素”；由特别问题转变为一般问题时，找寻“一般元素” ．③转变为新问题，依据转变对象与“特别元素”或“一般元素”的关系，将其转变为新的需要解决的问题．④得出结论，求解新问题，依据所得结论求解原问题，得出结论． 典例 1 已知函数 f(x)＝ (a － 3)x － ax 3 在 [ －1,1] 上的最小值为－ 3，则实数 a 的取值范围是()A ． (－∞，－ 1]B ． [12 ，＋∞ )3C ． [－ 1,12] D. － 2， 12分析当 a ＝ 0 时，函数 f(x)＝－ 3x ， x ∈ [ － 1,1] ，明显知足条件，故清除选项 A ，B ；3 3 39x ，当 a ＝－ 时，函数 f(x)＝ x －222f ′ (x)＝ 9x 2－ 9＝9( x 2－ 1)，2 2 2 当－ 1≤ x ≤1 时， f ′ (x) ≤0， 因此 f( x)在 [－ 1,1] 上单一递减，因此 f( x)min ＝ f(1)＝ 3－ 9＝－ 3，知足条件，2 2故清除 C.综上，应选 D.答案D思想升华 常用的“特别元素”有特别数值、特别数列、特别函数、特别图形、特别角、特别地点等． 关于选择题， 在题设条件都建立的状况下，用特别值探究正确选项，即经过对特殊状况的研究来判断一般规律；关于填空题，当结论独一或题设条件中供给的信息示意答案是一个定值时，能够用特别值取代变化的不定量．x－ y＋ 2≥ 0，追踪操练1若x，y知足拘束条件y＋ 2≥ 0，x＋ y＋ 2≤ 0，则y＋1的取值范围为 () x－1A.－1，1 3 51B. －3，1C.－∞，－1∪1，＋∞35D.－∞，－1∪[1 ，＋∞ ) 3答案B分析可行域为如下图的暗影部分，设z＝y＋1，因为点 (－ 2，－ 1)在可行域内，因此 z x－ 1－ 1＋1－2＋ 1＝－2－1＝ 0，清除 C， D；又点 A(0，－ 2)在可行域内，因此z＝0－ 1＝ 1，清除 A.方法二数与形的转变问题模型解法数与形的转变包括由数到形和由形到数两个方面．由数到形就是把问题的数目信息变换为图形信息，由形到数就是把图形信息进行代数化办理，用数目关系刻画事物的实质特点，从而得解．破解此类题的重点点：①数形转变，确定需要等价转变的数目关系(分析式 )与图形关系．②转变求解，经过降维等方式合理转变，使问题简单化并进行剖析与求解．③回归纳论，回归原命题，得出正确结论．典例 2某工件的三视图如下图，现将该工件经过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的资料利用率为(资料利用率＝新工件的体积/原工件的体积 )()A. 88B.π9π 272433C. 2－ 1D.8 2－1π π分析由三视图知该几何体是一个底面半径为 r ＝ 1，母线长为 l ＝ 3 的圆锥， 则圆锥的高为 h ＝ l 2－ r 2＝ 32－ 12＝ 2 2.由题意知加工成的体积最大的正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1 的一个底面 A 1B 1C 1D 1 在圆锥的底面上，过平面AA 1 C 1C 的轴截面如下图，设正方体的棱长为x ，2则有 2 x＝ h － x ， r h即 x ＝2 2－ x ，解得 x ＝2 2，22 23则原工件的资料利用率为V正方体＝ x3＝ 8，应选 A.V 圆锥 1πr 2h 9π3答案A思想升华 数与形转变问题， 特别是空间转变问题， 常常在解决空间几何体问题的过程中将某些空间几何体问题进行特别化办理， 转变为平面几何问题来办理， 降低维度， 简化求解过程，降低难度．追踪操练 2已知直线 l ： y ＝kx ＋ 1(k ≠ 0)与椭圆 3x 2 ＋y 2 ＝a 订交于 A ， B 两个不一样的点，记直线 l 与 y 轴的交点为 C.10，务实数 a 的值；(1) 若 k ＝ 1，且 |AB|＝ 2→ → AOB 面积的最大值及此时椭圆的方程． (2) 若 AC ＝ 2CB ， O 为坐标原点，求△ 解设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)． y ＝ x ＋ 1，(1)由3x2＋ y 2＝a ，得 4x 2＋ 2x ＋ 1－ a ＝ 0，则 x 1 ＋x 2＝－ 1， x 1x 2＝1－ a，24 从而 |AB|＝ 2|x 1－ x 2|＝ 2· x 1＋ x 2 2－ 4x 1x 2＝2· a － 43＝ 210，解得 a ＝ 2.y ＝ kx ＋ 1，(2)由3x2 ＋y 2 ＝a ，得(3 ＋ k 2)x 2＋ 2kx ＋ 1－ a ＝ 0，则 x 1 ＋x 2＝－2k1－ a2， x 1x 2＝3＋ k 2.3＋ k 易知 → → ，C(0,1)，由 AC ＝ 2CB得( －x 1 ，1－ y 1)＝2(x 2，y 2－1) ，解得 x 1＝－ 2x 2，2k因此 x 1＋ x 2＝－ x 2＝－2，2k则 x 2＝3＋ k 2.△AOB 的面积 S AOB ＝ 12|OC| ·|x － x△＝3|x 2|＝ 3|k| 2＝ 3 ≤3＝ 3，23＋k 3 ＋|k| 23 2|k|当且仅当 k 2＝ 3 时取等号，此时 x ＝ 2k 2， 23＋k2x 1x 2＝－ 2x 22 ＝－ 2× 4k 2 2＝－2，3＋ k 3又 x 1 x 2＝ 1－ a 2＝ 1－ a ，则 1－ a＝－2，解得 a ＝ 5.3＋ k 6 63因此△ AOB 面积的最大值为 3 2 ，此时椭圆的方程为 3x 2＋ y 2＝5.方法三 形体地点关系的转变问题模型解法形体地点关系的转变法是针对几何问题采纳的一种特别转变方法． 主要合用于波及平行、 垂直的证明， 如常有线面平行、 垂直的推理与证明实质就是充足利用线面地点关系中的判断定理、性质定理实现地点关系的转变．破解此类题的重点点：①剖析特点，一般要剖析形体特点，依据形体特点确定需要转变的对象．②地点转变，将不规则几何体经过切割、挖补、延展等方式转变为便于察看、计算的常有几何体．因为新的几何体是转变而来，一般需要对新的几何体的地点关系、数据状况进行必需剖析，正确理解新的几何体的特点．③得出结论，在新的几何构造中解决目标问题．典例 3 如图，已知三棱锥 P— ABC，PA＝BC＝ 2 34，PB ＝AC＝10，PC＝AB＝2 41，则三棱锥 P— ABC 的体积为 __________ ．分析因为三棱锥三组对边两两相等，则可将三棱锥放在一个特定的长方体中 (如下图 )．把三棱锥 P— ABC 补成一个长方体AEBG— FPDC ，易知三棱锥P— ABC 的各棱分别是长方体的面对角线．不如令 PE＝ x， EB＝ y，EA ＝z，22x ＋ y ＝ 100，22由已知有x ＋ z ＝ 136，22y ＋ z ＝ 164，解得 x＝ 6，y＝ 8， z＝ 10，从而知三棱锥P—ABC 的体积为V 三棱锥P—ABC＝V 长方体AEBG—FPDC－V 三棱锥P—AEB－ V 三棱锥C—ABG－ V 三棱锥B—PDC－ V 三棱锥A—FPC1＝V 长方体AEBG－FPDC－ 4V 三棱锥P—AEB＝ 6× 8× 10－ 4× × 6× 8× 10＝ 160.答案160思想升华形体地点关系的转变常将空间问题平面化、不规则几何体特别化，使问题易于解决．同时也要注意方法的选用，不然会跳入自己设的“圈套”中．追踪操练 3 如图，在棱长为 5 的正方体 ABCD —A1B1C1D1中， EF 是棱 AB上的一条线段，且 EF＝ 2，点 Q 是 A1D 1的中点，点 P 是棱 C1D 1上的动点，则四周体PQEF 的体积 ()A．是变量且有最大值B．是变量且有最小值C．是变量且有最大值和最小值D．是常数答案D分析点 Q 到棱 AB 的距离为常数，因此△ EFQ 的面积为定值．由 C1D1∥EF ，可得棱 C1D 1∥平面 EFQ，因此点P 到平面 EFQ 的距离是常数，于是可得四周体PQEF 的体积为常数．。

数学二轮复习—数学思想方法选讲4.等价转化思想班级 姓名 学号 学习目标：体会什么是等价转化思想，会利用等价转化的思想解决常见问题。

学习重点、难点： 运用等价转化思想。

教学过程：一、典型例题分析： 例1、阅读材料：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x 轴于点A(3,0)，交y 轴于点B.（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；（3）是否存在一点P ，使S △P AB=89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.〖点评〗（1）是大家熟悉的待定系数法求解析式问题；（2）转化为阅读材料提供的方法来解图2xC Oy ABD1 1BC铅垂高水平宽 ha 图1决；（3）将面积的等量关系转化为方程。

（本题的面积也可用割补法求）熟悉化原则：把生疏的转化为熟悉的，把未知的转化为已知的，把非典型的转化为典型的以充分利用已知的知识及解题经验。

例2、如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.〖点评〗（1）是大家熟悉的待定系数法求解析式问题；（2）转化为在对称轴上求点Q使QC+QA的值最小；（3）将面积转化为二次函数，利用二次函数的定点确定最大值。

一、教学目标1. 知识目标：使学生了解思想转化的概念、过程和重要性，掌握思想转化的基本方法。

2. 能力目标：培养学生运用思想转化方法解决实际问题的能力，提高学生的人际沟通和团队协作能力。

3. 情感目标：激发学生对思想转化的兴趣，树立积极向上的价值观，增强学生的自信心和责任感。

二、教学重点与难点1. 教学重点：思想转化的概念、过程和重要性，思想转化的基本方法。

2. 教学难点：如何运用思想转化方法解决实际问题，提高学生的人际沟通和团队协作能力。

三、教学过程（一）导入1. 引导学生思考：什么是思想转化？它在我们的生活中有哪些作用？2. 提出问题：如何运用思想转化方法解决实际问题？（二）讲授新课1. 思想转化的概念：介绍思想转化的定义、过程和重要性。

2. 思想转化的基本方法：a. 情感共鸣法：通过情感共鸣，使对方产生共鸣，从而实现思想转化。

b. 事实分析法：运用事实和数据进行说服，使对方改变原有的观点。

c. 情境分析法：通过情境模拟，使对方体验不同观点，从而实现思想转化。

d. 比较分析法：通过比较不同观点的优劣，使对方接受新的观点。

3. 案例分析：结合实际案例，分析思想转化方法在解决问题中的应用。

（三）实践环节1. 分组讨论：将学生分成小组，针对实际问题进行讨论，运用思想转化方法解决问题。

2. 小组展示：各小组展示讨论成果，其他小组进行评价和总结。

（四）总结与反思1. 总结本节课所学内容，强调思想转化在生活中的重要性。

2. 引导学生反思：在实践环节中，自己是如何运用思想转化方法的？有哪些收获和不足？3. 布置课后作业：结合自身实际，运用思想转化方法解决一个问题，并撰写心得体会。

四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、发言积极性等。

2. 实践环节：评价学生在小组讨论中的表现，如沟通能力、团队协作能力等。

3. 课后作业：检查学生完成作业的情况，了解学生对思想转化方法的掌握程度。

五、教学反思1. 课堂气氛是否活跃，学生是否积极参与？2. 教学方法是否得当，是否有助于学生掌握思想转化方法？3. 学生在实践环节中是否能够运用所学知识解决问题？4. 课后作业是否有助于巩固学生对思想转化方法的掌握？通过以上教学过程，使学生了解思想转化的概念、过程和重要性，掌握思想转化的基本方法，提高学生的人际沟通和团队协作能力，为学生的成长和发展奠定基础。

4.转化与化归思想应用1 直接转化【典例1】(1)(2019·沈阳质量检测(一))抛物线y 2＝6x 上一点M (x 1，y 1)到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为________．(2)(2019·福州模拟)函数f (x )＝cos 2x ＋a (sin x －cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，则实数a 的取值范围是________．(1)3 3 (2)[2，＋∞) [(1)由y 2＝6x ，知p ＝3，由焦半径公式得x 1＋p 2＝92，即x 1＝3，代入得y 21＝18，则|MO |＝x 21＋y 21＝33(O 为坐标原点)，故填3 3.(2)因为f (x )＝cos 2x ＋a (sin x －cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，所以f ′(x )＝－2sin 2x ＋a (cos x ＋sin x )≥0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ＋sinx ＞0，a ≥2sin 2x sin x ＋cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立．令g (x )＝2sin 2x sin x ＋cos x ＝4sin x cos x sin x ＋cos x ，令t ＝sin x ＋cos x ，则4sin x cos x ＝2(t 2－1)，又t ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以t ∈[]1，2，故函数h (t )＝2t 2－2t ＝2t －2t ，函数h (t )在t ∈[1，2]时单调递增，所以当t ＝2时，h (t )取到最大值，h (t )max ＝2，故g (x )max ＝2，所以a ≥ 2.所以实数a 的取值范围为[2，＋∞)．]【对点训练1】(1)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝( ) A.79 B.23 C ．－23D ．－79(2)(2019·安庆二模)将⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43展开后，常数项是________． (1)D (2)－160 [(1)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－1＝－79，故选D.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6，展开后的通项是C k 6(x )6－k ·⎝⎛⎭⎪⎫－2x k ＝(－2)k C k 6·(x )6－2k.令6－2k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 36(－2)3＝－160.]应用2 等价转化【典例2】(1)已知正数x ，y 满足4y －2yx＝1，则x ＋2y 的最小值为________．(2)函数y ＝cos 2x －sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为________．(1)2 (2)1 [(1)由4y －2yx＝1，得x ＋2y ＝4xy ，即14y ＋12x＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫14y ＋12x ＝1＋x 4y ＋y x ≥1＋2x 4y ·y x ＝2，当且仅当x 4y ＝yx，即x ＝2y 时等号成立． 所以x ＋2y 的最小值为2.(2)y ＝cos 2x －sin x ＝－sin 2x －sin x ＋1. 令t ＝sin x ，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22， ∴y ＝－t 2－t ＋1，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22. ∵函数y ＝－t 2－t ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22上单调递减， ∴t ＝0时，y max ＝1.]【对点训练2】 (2019·武汉模拟)如图，在棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 为CD 中点，则四面体A ­BC1M 的体积( )A.12 B.14 C.16D.112C [在棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，∵M 为CD 中点，∴S △ABM ＝12×1×1＝12，∴VA ­BC 1M ＝VC 1­ABM ＝13×12×1＝16.故选C.]应用3 正与反的相互转化【典例3】(1)掷一枚均匀的硬币10次，则出现正面的次数多于反面次数的概率为________．(2)若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．(1)193512 (2)－373＜m ＜－5 [(1)出现正面次数与出现反面次数相等的概率为C 510210＝2521 024＝63256.利用对称性，即出现正面的次数多于出现反面次数的概率与出现反面的次数多于出现正面次数的概率是相等的，所以出现正面的次数多于出现反面次数的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－63256÷2＝193512. (2)由题意得g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，∴m ＋4≥2t－3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x－3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，则m ≤－373.∴函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373＜m ＜－5.]【对点训练3】(1)由命题“存在x 0∈R ，使e |x 0－1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的值是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．1D ．2(2)若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )＞0，则实数p 的取值范围是________．(1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 [(1)命题“存在x 0∈R ，使e |x 0－1|－m ≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x ∈R ，e|x －1|－m ＞0”是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a )与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1.(2)若在区间[－1,1]内不存在c 满足f (c )＞0， 且Δ＝36p 2≥0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f －，f，即⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.解得p ≤－3或p ≥32，取补集为－3＜p ＜32，即为满足条件的P 的取值范围．所以满足题意的实数p 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32.]应用4 一般与特殊的转化【典例4】(1)在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a ＋c ＝3b ，则tan A 2tan C2的值为( )A.15 B.14 C.12D.23(2)过抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点．若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q等于( )A ．2a B.12aC ．4aD.4a(1)C (2)C [(1)令a ＝4，c ＝5，b ＝3，则符合题意(取满足条件的三边)． 则由C ＝90°，得tan C2＝1.由tan A ＝43，得2tanA21－tan 2A 2＝43，解得tan A 2＝12.所以tan A 2·tan C 2＝12×1＝12.(2)取直线PQ 平行于x 轴，易知PQ 的方程为：y ＝14a ，如图所示，则PF＝FQ ＝12a，∴1p ＋1q＝2a ＋2a ＝4a .故选C.]【对点训练4】(1)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6(2)如图，在三棱锥S ­ABC 中，E ，F ，G ，H 分别为SA ，AC ，BC ，SB 的中点，则截面EFGH 将该三棱锥分成的两部分的体积之比V ABGH E FV SCGH E F＝________. (1)C (2)1 [(1)(特例法)若四边形ABCD 为矩形，建系如图．由BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，知M (6,3)，N (4,4)，所以AM →＝(6,3)，NM →＝(2，－1)，AM →·NM →＝6×2＋3×(－1)＝9.(2)(秒杀解法)由于图形不确定，而答案固定，故假设该三棱锥为正四面体，则所截得的两部分形状一样，体积相等，故答案为1.]应用5 常量与变量的转化【典例5】 已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0，则实数x 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 [由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1. 对－1≤a ≤1，恒有g (x )＜0，即φ(a )＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ＜0，φ－＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2＜0，3x 2＋x －8＜0，解得－23＜x ＜1.故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0.] 【对点训练5】(1)若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切a ∈[－2,2]恒成立，则x 的取值范围为________．(2)设y ＝(log 2x )2＋(t －2)log 2x －t ＋1，若t 在[－2,2]上变化时，y 恒取正值，则x 的取值范围是________．(1)R (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞) [(1)∵x 2－ax ＋1≥0对一切a ∈[－2,2]恒成立，即a ·(－x )＋x 2＋1≥0对一切a ∈[－2,2]恒成立． 令f (a )＝a ·(－x )＋x 2＋1则⎩⎪⎨⎪⎧ f －，f即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋x 2＋1≥0，－2x ＋x 2＋1≥0.∴x ∈R .(2)设y ＝f (t )＝(log 2x －1)t ＋(log 2x )2－2log 2x ＋1，则f (t )是一次函数，当t ∈[－2,2]时，f (t )＞0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f－＞0，f＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－4log 2x ＋3＞0，2x2－1＞0，解得log 2x ＜－1或log 2x ＞3，即0＜x ＜12或x ＞8，故实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞)．]应用6 形体位置关系的相互转化【典例6】 已知在三棱锥P ­ABC 中，PA ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥P ­ABC 的体积为( )A ．40B ．80C ．160D ．240C [因为三棱锥P ­ABC 的三组对边两两相等，故可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥P ­ABC 补成一个长方体AEBG ­FPDC .易知三棱锥P ­ABC 的各棱分别是此长方体的面对角线． 不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，则由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝100，x 2＋z 2＝136，y 2＋z 2＝164⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8，z ＝10.从而知V P ­ABC ＝V AEBG ­FPDC －V P ­AEB －V C ­ABG －V B ­PDC －V A ­FPC ＝V AEBG ­FPDC －4V P ­AEB ＝6×8×10－4×13×12×6×8×10＝160.]【对点训练6】 如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是________．52[连接A1B，沿BC1将△CBC1展开，与△A1BC1在同一个平面内，如图，连接A1C，则A1C的长度就是所求的最小值．通过计算可得AB＝A1B1＝38，A1B＝40，A1C1＝6，BC1＝2，所以∠A1C1B＝90°，又∠BC1C＝45°，所以∠A1C1C＝135°.由余弦定理可求得A1C＝5 2.]。

数学思想方法――等价转化解决数学问题时，我们常会遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法” . 转化思想的实质是揭示联系，实现转化 . 除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的 . 从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程 . 转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程 . 数学中的转化比比皆是，如函数与方程的转化，未知向已知转化，数与形的转化，空间向平面的转化，正面与反面的转化等，都是转化思想的体现 . 我就平时遇到的一些题目进行归类、剖析 .题型一函数与方程的转化例 1、已知函数在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为_______.解析： f(x)在定义域内为增函数即等价于,对恒成立 .解题回顾：(1)f(x)在区间（a,b）上为增函数（减函数）常转化为对恒成立 ( 注意验证) .(2)“恒成立”问题常可转化为最值问题，本题中采用分离参数法，问题就明朗化了 .解析：建立如图所示的平面直角坐标系解题回顾：（1）解决向量的问题我们有三种方法：一线性运算、二向量数量积的定义、三向量的坐标运算. 本题采用第三种方法将向量的问题转化为函数的最值问题.（2）本题也体现了数与形的转化.例 3、中，角 A 的对边长等于2，向量向量（1）求取得最大值时的角 A 的大小；（2）在（ 1）的条件下求面积的最大值 .解析：故取得最大值时的角. .（2）设角 A、B、C所对的边长分别为 a、b、c，由余弦定理，得即，当且仅当 b＝c＝2 时取等号 ,又，当且仅当 a=b＝c＝2 时，的面积最大为.解题回顾：(1)本题中求的最大值转化为求关于的二次函数的最大值 . 在解题时应注意的取值范围即角 A 的范围 .(2)为了求 bc 的取值范围只要将由余弦定理得到的等式转化为不等式即可 . 即运用不等式.例 4、若关于 x 的方程 cos2x ＋4asinx ＋a－ 2=0 在区间［0, π］上有两个不同的解，求实数 a 的取值范围 .可知：解得：解题回顾：本题涉及多种转化，一是三角函数的异名化同名，三角函数转化为代数问题，二是方程的问题转化为函数的问题 . 题型二未知与已知的转化例 1、已知则解析：由已知可得所以把变形成点评：在三角求值中，我们一定要注意已知角与未知角的关系，实现未知与已知的转化. 当然本题中也涉及三角函数名的转化.例 2、在 R上定义运算：若不等对任意实数 x 都成立，则实数 a 的取值范围解析：由定义可知即恒成立点评：定义信息型创新题是近年高考出现频率较高的试题之一，对定义信息的提取和转化是求解的关键，也是一个难点. 例3、已知是定义在上的函数，且对任意实数，恒有且的最大值为 1，则满足的解集为 _______.解析：解决本题的关键是对的理解 .从代数的角度看：当时，，当时，所以此函数在定义域内为增函数，从几何的角度看：此函数上任意两点连线的斜率均大于 0，所以此函数为增函数 .解题回顾：未知与已知的转化，方法二也体现了数与形的转化.例 4、已知 o 为原点，向量（2）求的最大值及相应 x 的值 .（2），所以的最大值为相应的解题回顾：本题涉及三角函数名的转化、未知角向已知角的转化、数与形的结合、利用不等式求函数的最值等问题.题型三变量与常量的转化例、若不等式对一切均成立，则实数x 的取值范围 ____.解析∵∴，令 g(p)=，则要使它对0≤p≤4均有 g(p)>0 ，只要有∴x>3 或 x。

等价转化思想方法等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。

通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。

历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。

转化有等价转化与非等价转化。

等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。

非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。

我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。

著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。

数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。

等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。

在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。

它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。

消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。

可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。

由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。

在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。

等价转化思想方法等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。

通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。

历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。

转化有等价转化与非等价转化。

等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。

非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。

我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。

著名的数学家，莫斯科大学教授 C.A. 雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。

数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。

等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。

在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。

它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。

消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。

可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。

由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。

在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式,等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。