有等腰三角形时常用的辅助线
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中考数学几何辅助线大全及常考题型解析中考数学几何辅助线作法及常考题型解析第一部分常见辅助线做法等腰三角形:1.作底边上的高,构成两个全等的直角三角形2.作一腰上的高; 3.过底边的一个端点作底边的垂线,与另一腰的延长线相交,构成直角三角形。
梯形1.垂直于平行边2.垂直于下底,延长上底作一腰的平行线3.平行于两条斜边4.作两条垂直于下底的垂线5.延长两条斜边做成一个三角形菱形1.连接两对角2.做高平行四边形1.垂直于平行边2.作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形3.做高——形内形外都要注意矩形1.对角线2.作垂线很简单。
无论什么题目,第一位应该考虑到题目要求,比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段,再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。
还有一些关于平方的考虑勾股,A字形等。
三角形图中有角平分线,可向两边作垂线(垂线段相等)。
也可将图对折看,对称以后关系现。
角平分线平行线,等腰三角形来添。
角平分线加垂线,三线合一试试看。
线段垂直平分线,常向两端把线连。
要证线段倍与半,延长缩短可试验。
三角形中两中点,连接则成中位线。
三角形中有中线,延长中线等中线。
解几何题时如何画辅助线①见中点引中位线,见中线延长一倍在几何题中,如果给出中点或中线,可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。
②在比例线段证明中,常作平行线。
③对于梯形问题,常用的添加辅助线的方法有1、过上底的两端点向下底作垂线2、过上底的一个端点作一腰的平行线3、过上底的一个端点作一对角线的平行线4、过一腰的中点作另一腰的平行线5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交6、作梯形的中位线7、延长两腰使之相交四边形平行四边形出现,对称中心等分点。
梯形里面作高线,平移一腰试试看。
平行移动对角线,补成三角形常见。
证相似,比线段,添线平行成习惯。
等积式子比例换,寻找线段很关键。
直接证明有困难,等量代换少麻烦。
等腰三角形常用辅助线专题练习(含答案)1.已知等腰三角形ABC中,点D、E在边BC上,且AD=AE,要证明BD=CE。
解法:作AF⊥BC,垂足为F,则AF⊥DE。
因为AB=AC,所以AF⊥BC,AF⊥DE。
根据等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合,可得BF=CF,DF=EF。
因此BD=CE。
2.在等腰三角形ABC中,AB=AC,AF平行BC于F,D是AC边上任意一点,延长BA到E,使AE=AD,连接DE。
要判断直线AF与DE的位置关系,并说明理由。
解法:过A点作△ABC底边上的高,再用∠BAC=∠D+AED=∠2∠ADE,即∠CAG=∠AED,证明AG∥DE。
因为AF∥BC,所以AF⊥DE。
3.在等腰三角形ABC中,BA=BC,D是AB延长线上一点,DF⊥AC交BC于E。
要证明△DBE是等腰三角形。
解法:根据BA=BC,可得∠A=∠C。
因为DF⊥AC,所以∠C+∠FEC=90°。
同时,∠A+∠D=90°,因此∠___∠D。
又因为∠___∠BED,所以∠BED=∠D,即BD=BE,证明△DBE是等腰三角形。
4.在等腰三角形ABC中,AB=AC,E在AC上,且AD=AE,DE的延长线与BC相交于F。
要证明DF⊥BC。
解法:根据AB=AC和AD=AE,可得∠B=∠C和∠D=∠AED。
因此,∠B+∠D=∠C+∠AED,即∠B+∠D=∠C+∠CEF。
又因为BC=CE,所以∠___∠___°。
因此DF⊥BC。
若把“AD=AE”与结论“DF⊥BC”互换,结论也成立。
若把条件“AB=AC”与结论“DF⊥BC”互换,结论依然成立。
5.已知AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AM⊥CD,要证明CM=MD。
解法:连接AC、AD。
因为AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,根据SAS准则,可得△ABC≌△AED。
因此AC=AD。
又因为AM⊥CD,所以∠___∠AMD=90°。
因为AM=AM,根据HL准则,可得RT△ACM≌RT△ADM。
解题技巧专题:利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【类型一等腰三角形中底边有中点时,连中线】【类型二等腰三角形中底边无中点时,作高线】【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】【典型例题】【类型一等腰三角形中底边有中点时,连中线】1如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点,过D作直线DE交直线AB与E,过D作直线DF⊥DE,并交直线AC与F.(1)若E点在线段AB上(非端点),则线段DE与DF的数量关系是;(2)若E点在线段AB的延长线上,请你作图(用黑色水笔),此时线段DE与DF的数量关系是,请说明理由.【变式训练】1如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=a,点E为边AC上任意一点,点D为AB的中点,过点D作DF⊥DE交BC于点F.求证:CE+CF为定值.2如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点P是斜边AB的中点,点D,E分别在边AC,BC上,连接PD,PE,若PD⊥PE.(1)求证:PD=PE;(2)若点D,E分别在边AC,CB的延长线上,如图2,其他条件不变,(1)中的结论是否成立?并加以证明;(3)在(1)或(2)的条件下,△PBE是否能成为等腰三角形?若能,请直接写出∠PEB的度数(不用说理);若不能,请说明理由.3在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点O为AB的中点.(1)若∠EOF=90°,两边分别交AC,BC于E,F两点.①如图1,当点E,F分别在边AC和BC上时,求证:OE=OF;②如图2,当点E,F分别在AC和CB的延长线上时,连接EF,若OE=6,则S△EOF=.(2)如图3,若∠EOF=45°,两边分别交边AC于E,交BC的延长线于F,连接EF,若CF=3,EF=5,试求AE的长.【类型二等腰三角形中底边无中点时,作高线】1如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.(1)如图1,求证:BD=CE;(2)如图2,当AD=CD时,过点C作CM⊥AD于点M,如果DM=2,求CD-BD的值.【变式训练】1如图,△ADB与△BCA均为等腰三角形,AD=AB=CB,且∠ABC=90°,E为DB延长线上一点,∠DAB=2∠EAC.(1)若∠EAC=20°,求∠CBE的度数;(2)求证:AE⊥EC;(3)若BE=a,AE=b,CE=c,求△ABC的面积(用含a,b,c的式子表示).2已知OP平分∠MON,如图1所示,点B在射线OP上,过点B作BA⊥OM于点A,在射线ON上取一点C,使得BC=BO.(1)若线段OA=3cm,求线段OC的长;(2)如图2,点D是线段OA上一点,作∠DBE,使得∠DBE=∠ABO,∠DBE的另一边交ON于点E,连接DE.①∠OBC=2∠DBE是否成立,请说明理由;②请判断三条线段CE,OD,DE的数量关系,并说明理由.【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】1如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,E是BC的中点,过点E作FG⊥AD交AD的延长线于H,交AB 于F,交AC的延长线于G.求证:(1)AF=AG;(2)BF=CG.【变式训练】1如图所示,D 为△ABC 内一点,CD 平分∠ACB ,BD ⊥CD ,∠A =∠ABD ,若BD =1,BC =3,求:线段AC 的长.2如图,AD 为△ABC 的角平分线.(1)如图1,若CE ⊥AD 于点F ,交AB 于点E ,AB =8,AC =5.则BE =.(2)如图2,若∠C =2∠B ,点E 在AB 上,且AE =AC ,AB =a ,AC =b ,求CD 的长;(用含a 、b 的式子表示)(3)如图3,BG ⊥AD ,点G 在AD 的延长线上,连接CG ,若△ACG 的面积是7,求△ABC 的面积.3△ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC ,点D 是BC 边上的一个动点,连接AD 并延长,过点B 作BF ⊥AD 交AD 延长线于点F .(1)如图1,若AD 平分∠BAC ,AD =6,求BF 的值;(2)如图2,M 是FB 延长线上一点,连接AM ,当AD 平分∠MAC 时,试探究AC 、CD 、AM 之间的数量关系并说明理由;(3)如图3,连接CF ,①求证:∠AFC =45°;②S △BCF =354,S △ACF =21,求AF 的值.4(2022春·河北石家庄·八年级校考期中)(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法,如图1,OP平分∠MON.点A为OM上一点,过点A作AC⊥OP,垂足为C,延长AC交ON于点B,可根据证明△AOC≌△BOC,则AO=BO,AC= BC(即点C为AB的中点).(2)【类比解答】如图2,在△ABC中,CD平分∠ACB,AE⊥CD于E,若∠EAC=63°,∠B=37°,通过上述构造全等的办法,可求得∠DAE=.(3)【拓展延伸】如图3,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延长线上,试探究BE和CD的数量关系,并证明你的结论.(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地,其中AC边与灌渠相邻,李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验,故进行如下操作:①用量角器取∠ACB的角平分线CD;②过点A作AD⊥CD于D.已知BC=13,AC=10,△ABC面积为20,则划出的△ACD的面积是多少?请直接写出答案.。
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论:全等三角形问题最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线,可向两边作垂线。
也可将图对折看,对称以后关系现。
角平分线平行线,等腰三角形来添。
角平分线加垂线,三线合一试试看。
线段垂直平分线,常向两端把线连。
要证线段倍与半,延长缩短可试验。
三角形中两中点,连接则成中位线。
三角形中有中线,延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线:倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”:遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长,6.图形补全法:有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法:遇到三角形中的一个角为30度或60度,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目的是构成30-60-90的特殊直角三角形,然后计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法:遇到等腰直角三角形,正方形时,或30-60-90的特殊直角三角形,或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角,从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种:最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变D C BAED F CB A换中的“对折”法构造全等三角形.2)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形.3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法,(1)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.(2)可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,形成一对全等三角形。
等腰三角形练习知识梳理知识点1:等腰三角形的性质定理1(1)文字语言:等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)(2)符号语言:如图,在△ABC中,因为AB=AC,因此∠B=∠C(3)证明:取BC的中点D,连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等)(4)定理的作用:证明同一个三角形中的两个角相等。
知识点2:等腰三角形性质定理2(1)文字语言:等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高,相互重合(简称“三线合一”)(2)符号语言:∵AB=AC,∠1=∠2 ∵AB=AC,AD⊥BC ∵AB=AC,BD=DC∴AD⊥BC,BD=DC ∴∠1=∠2,BD=DC ∴∠1=∠2,AD⊥BC (3)定理的作用:可证明角相等,线段相等或垂直。
说明:在等腰三角形中常常添加辅助线,尽管“顶角的平分线,底边上的高、底边上的中线相互重合,如何添加要依照具体情形来定,作时只作一条,再依照性质得出另两条”。
知识3:等腰三角形的判定定理(1)文字语言:若是一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写为“等角对等边”)(2)符号语言:在△ABC中,∵∠B=∠C ∴AB=AC(3)证明:过A作AD⊥BC于D,则∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD (AAS)∴AB=AC(4)定理的作用:等腰三角形的判定定理揭露了三角形中角与边的转化关系,它是证明线段相等的重要定理,也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据,是本节的重点。
说明:①本定理的证明用的是作底边上的高,还有其他证明方式(如作顶角的平分线)。
②证明一个三角形是等腰三角形的方式有两种:1、利用概念 2、利用定理。
知识点4:等腰三角形的推论1. 推论:推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
专题08解题技巧专题:利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一等腰三角形中底边有中点时,连中线】 (1)【类型二等腰三角形中底边无中点时,作高线】 (11)【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 (17)【典型例题】【类型一等腰三角形中底边有中点时,连中线】例题:已知,在ABC 中,90ACB ∠=︒,AC BC =,点M 是AB 的中点,作90DME ∠=︒,使得射线MD 与射线ME 分别交射线AC ,CB 于点D ,E .(1)如图1,当点D 在线段AC 上时,线段MD 与线段ME 的数量关系是___________;(2)如图2,当点D 在线段AC 的延长线上时,用等式表示线段CD ,CE 和BC 之间的数量关系并加以证明.【答案】(1)MD ME =;(2)CE CD BC =+,理由见解析.【分析】(1)连接CM ,由等腰直角三角形的性质可得CM MB =,ACM B ∠=∠,根据90DME ∠=︒可推导CMD BME ∠=∠,进而证明CMD BME △≌△,即可得到线段MD 与线段ME 的数量关系;(2)连接CM ,利用(1)中的证明思路,再次证明CMD BME △≌△,证得CD BE =,即可利用等量代换得到CE CD BC =+.【详解】(1)解:连接CM ,∵90ACB ∠=︒,AC BC =,点M 是AB 的中点∴CM AM MB ==,且CM AB ⊥,CM 平分ACB ∠,45A B ∠=∠=︒∴45ACM BCM B ∠=∠=︒=∠,90CMB ∠=︒,又∵90DME ∠=︒∴CMB CME DME CME∠-∠=∠-∠∴CMD BME∠=∠∴CMD BME △≌△(ASA )∴MD ME =.(2)CE CD BC =+,理由如下:连接CM ,由(1)可知:CM BM =,45ACM ABC ∠=∠=︒,CMD BME∠=∠∴135DCM EBM ∠=∠=︒在CMD △和BME 中,CMD BME CM BM DCM EBM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴CMD BME △≌△(ASA )∴CD BE=∵CE BC BE=+∴CE CD BC =+.【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定,熟练掌握等腰直角三角形的性质是解决问题的关键.【变式训练】1.在ABC 中,90A ∠=︒,AB AC =,点D 是边BC 的中点.(1)如图,若点E ,F 分别在边AB ,AC 上,DE DF ⊥,求证:BE AF =,并说明理由;(2)在(1)的条件下,AB AC a ==,求AE AF +的值.【答案】(1)证明见解析;(2)a .【分析】(1)连接AD ,证明()BDE ADF ASA ≌即可得到BE AF =;(2)由(1)可得:BE AF =,进一步得到:AE BE AE AF AB a +=+==.【详解】(1)证明:连接AD ,∵90A ∠=︒,AB AC =,∴45B C ∠==︒∠,∵点D 是边BC 的中点,∴45B BAD DAC C ∠=∠=∠=∠=︒,AD BC ⊥,AD BD =,∵DE DF ⊥,∴90EDA ADF Ð+Ð=°,∵90BDE EDA ∠+∠=︒,∴ADF BDE ∠=∠,在BDE △和ADF △中,BDE ADF BD AD B DAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()BDE ADF ASA ≌,∴BE AF =.(2)解:由(1)可知:()BDE ADF ASA ≌,∴BE AF =,∵AB AC a ==,∴AE AF AE BE AB a +=+==.【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质,等腰直角三角形的性质,解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质.2.如图1,在Rt ABC △中,90C ∠=︒,AC BC =,点P 是斜边AB 的中点,点D ,E 分别在边,AC BC 上,连接,PD PE ,若PD PE ⊥.(1)求证:PD PE =;(2)若点D ,E 分别在边,AC CB 的延长线上,如图2,其他条件不变,(1)中的结论是否成立?并加以证明;(3)在(1)或(2)的条件下,PBE △是否能成为等腰三角形?若能,请直接写出PEB ∠的度数(不用说理);若不能,请说明理由.【答案】(1)见解析(2)成立,见解析(3)能成为等腰三角形,此时PEB ∠的度数为22.5︒或67.5︒或90︒或45︒【分析】(1)连接PC ,根据等腰直角三角形的性质可得45DCP B ∠=︒=∠,从而得到CP BP =,再由PD PE ⊥,可得DPC EPB ∠=∠,可证得DPC EPB △△≌,即可求证;(2)连接PC ,根据等腰直角三角形的性质可得45ECP ABC A ACP ∠=︒=∠=∠=∠,从而得到CP AP =,再由∵,PD PE CP AB ⊥⊥,可得APD CPE ∠=∠,可证得APD CPE △≌△,即可;(3)根据等腰三角形的性质,分四种情况讨论,即可求解.【详解】(1)明∶连接PC ,∵90,ACB AC BC ∠=︒=,∴45A B ∠=∠=︒,∵P 为斜边AB 的中点,∴CP AB ⊥,∴45DCP B ∠=︒=∠,∴CP BP =,∵PD PE ⊥,∴90DPC CPE CPE EPB ∠+∠=∠+∠=︒,∴DPC EPB ∠=∠,在DPC △和EPB △中,DCP B PC PB DPC EPB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴()ASA DPC EPB △△≌,∴PD PE =;(2)解:PD PE =仍成立,理由如下:连接CP ,∵90,C AC BC ∠=︒=,∴45A ABC ∠=∠=︒,②当BE BP =,点E ③当EP EB =时,则∴180PEB B ∠=︒-∠-④当EP PB =,点∴PEB B ∠=∠=综上所述,PBE △【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,熟练掌握等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,利用分类讨论思想解答是解题的关键.3.在ABC 中,E(1)如图1,若点(2)如图2,BF 为腰(3)如图3,当点【答案】(1)见解析(2)PD PE BF +=,理由见解析(3)143【分析】(1)根据ABP S S =△APC ,即可得证;∵AB AC =,点P ∴ABP S S =△△APC即1122AB DP AC ⋅=∴PD PE =,∵AB AC =,PD ∴=ABP APC ABCS S S + ∴1122AB DP AC ⋅+∴PD PE BF +=,∵AB AC =,PD AB ⊥∴=ABC ABP APCS S S - ∴11=22AC BF AB PD ⋅⋅(1)若90EOF ∠=︒,两边分别交,AC BC 于E ,F 两点.==同理可证:AO CO BO∵AC BC =,90ACB ∠=︒,点O 为AB 的中点,∴0,90,45AO CO B AOC FOH BAC BCO ︒︒==∠=∠=∠=∠=,∴.,135COF AOH OCF OAH ︒∠=∠∠=∠=,∴(ASA)COF AOH ≌,∴3,CF AH OF OH ===,∵45,90EOF FOH ︒︒∠=∠=,∴45EOF EOH ︒∠=∠=,又∵,OF OH EO EO ==,∴(SAS)EOF EOH ≌,∴5EF EH ==,∴.2AE EH AH =-=.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.【类型二等腰三角形中底边无中点时,作高线】例题:如图,已知点D 、E 在△ABC 的边BC 上,AB =AC ,AD =AE .(1)求证:BD =CE ;(2)若AD =BD =DE =CE ,求∠BAE 的度数.【答案】(1)见解析;(2)90°.【分析】(1)作AF ⊥BC 于点F ,利用等腰三角形三线合一的性质得到BF =CF ,DF =EF ,相减后即可得到正确的结论.(2)根据等边三角形的判定得到△ADE 是等边三角形,根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解.【详解】(1)证明:如图,过点A 作AF ⊥BC 于F .【变式训练】(1)若20∠=︒EAC ,求CBE ∠(2)求证:AE EC ⊥;(3)若BE a =,AE b =,CE =【答案】(1)20°(2)见解析(3)21122a bc +∴AFB ABC CGB ∠=∠=∠又∵AD AB CB ==,∴45BAC ACB ∠=∠=︒,∵FAB FBA FBA ∠+∠=∠∴FAB CBG CAE ∠=∠=∠∴在BAF △和CBG 中,(1)如图1,若ACD ∠与BAC ∠互余,则DCB ∠=__________()如图,过A点作AE BC⊥于E点,)②如图,作BG AC ⊥于G ,作DN 垂直于AC 的延长线于N .则90BGA DNC ∠=∠=︒.∵AB AC =,AC CD =,∴AB CD =,∵ABC 与ACD 的面积相等,∴BG DN =.∴ABG ≌CDN △.∴BAG DCN ∠=∠.180ACD DCN ∠+∠=︒,∴180ACD BAC ∠+∠=︒,综上,ACD ∠与BAC ∠相等或互补.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,同底等高的两个三角形面积相等,综合能力较强,有一定难度.熟练掌握以上知识是解题的关键.【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题:如图,在ABC 中,AD 平分BAC ∠,E 是BC 的中点,过点E 作FG AD ⊥交AD 的延长线于H ,交AB 于F ,交AC 的延长线于G .求证:(1)AF AG =;(2)BF CG =.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)根据ASA 证明AHF AHG ≌ ,即可得出AF AG =;(2)过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ,由AHF AHG ≌ 可得AFH G ∠=∠,根据平行线的性质得出CMG AFH ∠=∠,可得CMG G ∠=∠,进而得出CM CG =,再根据据ASA 证明BEF CEM ≌ ,得出BF CM =,等量代换即可得到BF CG =.【详解】(1)证明:∵AD 平分BAC ∠,∴FAH GAH ∠=∠,∵FG AH ⊥,∴90AHF AHG ∠=∠=︒,在AHF △和AHG 中,FAH GAH AH AH AHF AHG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴()ASA AHF AHG ≌ ,∴AF AG =;(2)证明:过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ,∵AHF AHG ≌ ,∴AFH G ∠=∠,∵CM AB ∥,∴CMG AFH ∠=∠,∴CMG G ∠=∠,∴CM CG =,∴BE CE =,∵CM AB ∥,∴B ECM ∠=∠,在BEF △和CEM 中,B ECM BE CE BEF CEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴()ASA BEF CEM ≌ ,∴BF CM =,∴BF CG =.【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质,等角对等边,平行线的性质,熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键.【变式训练】(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法,如图1,OP 平分MON ∠.点AC OP ⊥,垂足为C ,延长AC 交ON 于点B ,可根据证明AOC ≌△△【答案】[问题情境]ASA ,全等三角形对应边相等;[问题探究]见解析;[拓展延伸【分析】[问题情境]利用全等三角形的性质证明即可;[问题探究]延长BE 交CA 延长线于F ,证明CEF ∆≌CEB ASA ∆(),推出FE =ACD ∆≌ABF ASA ∆(),可得结论;[拓展延伸]结论:12BE DF =.过点D 作DG AC ∥,交BE 的延长线于点G ,与DG AC ∥,交BE 的延长线于点G ,与AE 相交于H ,证明方法类似.CD 平分ACB ∠,FCE BCE ∴∠=∠,在CEF ∆和CEB ∆中,90FCE BCE CE CE CEF CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩,CEF ∴∆≌CEB ASA ∆(),DG AC ,GDB C BHD ∴∠=∠∠,12EDB C ∠=∠ ,12EDB EDC ∴∠=∠=∠BE ED ⊥ ,90BED ∴∠=︒,。
三角形作辅助性方法大全口诀:总则:{3}标注等线和等角,对顶角不要忘,相等边角要避开。
{3}1、等腰三线合;过腰上一点做另腰平行或底平行线。
等腰顶角是腰高和底夹角二倍,等腰三角形一腰延长线和另一腰构建新等腰三角形,原顶角是新底角的二倍,新底边垂直原底边。
{4}2、求角大小,需构造出有数值的角;两角做比较,连点延边构三角,大外小找中介;相等角,等腰、对顶、平行、同余和同补;给出二倍角,构等腰二倍角变外角,分大扩小也可以。
{3}3、两线做比较,截长补短可求证。
特殊角求三边,带平方都要用直角三角形。
三角形构四边,四边周长小于三角形周长;。
{3}4、角分线,到边距离相等经常用,也可两边截等段;三角形相邻外交角角分线交点到两边距离相等,三角形角平分线交予一点,且到三边距离相等。
平行线间角分线的交点一定是中点(见后){2}5、中线,倍长中线、或倍长以中点为端点线利用对顶和相等线段;{1}6垂分线上点连线段端点有帮助;{3}7、多边变身三角形,延两边、连对角、连顶点;如图,AE\AD是角分线,AB//DC.E一定是bc中点Bc为任意线段一、遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”。
1、三线合一例:已知,如图,△ABC 中,AB = AC ,D 为BC 中点,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F ,求证:DE = DF 证明:连结AD.∵D 为BC 中点, ∴BD = CD又∵AB =AC ∴AD 平分∠BAC ∵DE ⊥AB ,DF ⊥AC ∴DE = DF例:已知,如图,△ABC 中,AB = AC ,在BA 延长线和AC 上各取一点E 、F ,使AE = AF ,求证:EF ⊥BC2、常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线和底平行线例:已知,如图,在△ABC 中,AB = AC ,D 在AB 上,E 在AC 延长线上,且BD = CE ,连结DE 交BC 于F 求证:DF = EF 证明:(证法一)过D 作DN ∥AE ,交BC 于N ,则∠DNB = ∠ACB ,∠NDE = ∠E ,∵AB = AC , ∴∠B = ∠ACB ∴∠B =∠DNB ∴BD = DN 又∵BD = CE ∴DN = EC在△DNF 和△ECF 中 ∠1 = ∠2 ∠NDF =∠E DN = EC∴△DNF ≌△ECF ∴DF = EF(证法二)过E 作EM ∥AB 交BC 延长线于M,则∠EMB =∠B (过程略) 引入:如图是一个等边三角形木框,甲虫在边框上爬行(,端点除外),设甲虫到另外两边的距离之和为,等边三角形的高为,则与的大小关系是( ) A 、d >h B 、d <h C 、d =hFE D C B A21NF E D C B A 21M F ED C B AD、无法确定三种方法1.过点P做底边的平行线利用等边三角形三条高相等2.连接B、P,将大三角形转换为两个小三角形,并利用三角形面积公式。
第07讲解题技巧专题:利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线(3类热点题型讲练)目录【考点一等腰三角形中底边有中点时,连中线】 (1)【考点二等腰三角形中底边无中点时,作高】 (9)【考点三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 (20)【考点一等腰三角形中底边有中点时,连中线】例题:(2023上·浙江宁波·八年级统考期末)如图,在ABC 中,120BAC ∠=︒,AB AC =,D 为BC 的中点,DE AC ⊥于E .(1)求EDC ∠的度数;(2)若2AE =,求CE 的长.【答案】(1)60︒(2)6【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”,含30︒角的直角三角形的性质等知识,(1)连接AD ,根据等腰三角形的“三线合一”即可作答;(2)根据含30︒角的直角三角形的性质即可作答.【详解】(1)连接AD ,1.(2023下·陕西宝鸡·八年级统考期中)如图,ABC 中,AB AC =,D 是BC 的中点,E 、F 分别是AB 、AC 上的点,且AE AF =.求证:DE DF =.【答案】见解析【分析】连接AD ,根据等腰三角形的性质可得∠∠EAD FAD =,然后即可证明(SAS)AED AFD △≌△,进而可得结论.【详解】证明:连接AD ,AB AC = ,D 是BC 的中点,EAD FAD ∴∠=∠,在AED △和AFD △中,AE AF EAD FAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,(SAS)AED AFD ∴△≌△,DE DF ∴=.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质,属于基础题目,熟练掌握上述知识是解题的关键.2.(2023上·宁夏吴忠于点E ,DF AC ⊥于点(1)求证:DE DF =;(2)若60,A BE ∠=︒=【答案】(1)见解析(2)24【分析】(1)连接AD (2)根据已知条件证明【详解】(1)证明:连接∵AB AC =,D 为BC 边的中点,∴AD 平分BAC ∠,∴∠∠EAD FAD =,∵DE AB ⊥,DF AC ⊥∴90AED AFD ∠=∠=︒又AD AD =,=;(1)DE DF(2)BG CH=.【答案】(1)见解析(2)见解析AB AC =,点D 为BC 的中点,∴AD BC ⊥,∴90ADB ∠=︒,EF BC ∥,∴90DAF ADB ∠=∠=︒,∴AD EF ⊥,AE AF =,∴AD 垂直平分EF ,∴DE DF =;(2),,DE DF DA EF =⊥ ,EAD FAD ∴∠=∠,ADB ADC ∠=∠ ,EDB FDC ∴∠=∠,AB AC =,B C ∴∠=∠在BDG 和CDH △中,,B C BD CD BDG CDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA),BDG CDH ∴△≌△.BG CH ∴=【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,余角的性质,熟练掌握等腰三角形“三线合一"的性质是解题的关键.4.(2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期末)如图,在ABC 中,AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ,交AB 于点F ,D 为线段CE 的中点,且BE AC =.(1)求证:AD BC ⊥.(2)若90BAC ∠=︒,2DC =,求BD 的长.【答案】(1)见解析(2)6【分析】(1)连接AE ,根据线段垂直平分线的性质得到BE AE =,证明AE AC =,根据等腰三角形的三线合一证明结论;(2)证明AEC △为等边三角形,根据等边三角形的性质解答即可.【详解】(1)证明:连接AE ,EF 是AB 的垂直平分线,BE AE ∴=,BE AC = ,AE AC ∴=,AEC ∴ 是等腰三角形,D 为线段CE 的中点,AD BC ∴⊥;(2)解:BE AE = ,EAB B ∴∠=∠,2AEC EAB B B ∴∠=∠+∠=∠,AE AC = ,AEC C ∴∠=∠,2C B ∴∠=∠,90BAC ∠=︒ ,60C ∴∠=︒,AEC ∴ 为等边三角形,2DC ED ==,24AE EC BE DC ∴====,426BD BE ED ∴=+=+=.【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质,掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键.5.(2023上·全国·八年级专题练习)如图,已知ABC 中,AB AC =,90BAC ∠=︒,点D 为BC 的中点,点E 、F 分别在直线AB AC 、上运动,且始终保持AE CF =.(1)如图①,若点E F 、分别在线段AB AC 、上,DE 与DF 相等且DE 与DF 垂直吗?请说明理由;(2)如图②,若点E F 、分别在线段AB CA 、的延长线上,(1)中的结论是否依然成立?说明理由.【答案】(1)DE DF =且DE DF ⊥,见解析(2)成立,见解析【分析】(1)先利用等腰直角三角形的性质得到45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒和AD BD DC ==,再证明AED CFD SAS ≌(),利用全等三角形的性质即可求解;(2)利用等腰直角三角形的性质得到45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒和AD BD DC ==,再证明AED CFD SAS ≌(),利用全等三角形的性质即可求解.【详解】(1)DE DF =且DE DF ⊥,理由是:如图①,连接AD ,∵90BAC ∠=︒,AB AC =,D 为BC 中点,∴45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒,∴AD BD DC ==,在AED △和CFD △中,AE CF EAD DAC AD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AED CFD SAS ≌(),∴DE DF =,ADE CDF ∠=∠,又∵90CDF ADF ∠+∠=︒,∴90ADE ADF ∠+∠=︒,∴90EDF ∠=︒,∴DE DF ⊥.根据题意,90BAC ∠=︒,AB ∴222(2)BC AB AC =+=∴190452B ACB ∠=∠=⨯︒=︒,∵F 为BC 中点,【考点二等腰三角形中底边无中点时,作高】例题:(2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中)如图,已知60AOB ∠=︒,点P 在边OA 上,12OP =,【答案】2【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含角形的性质可得CM CN =练掌握等腰三角形的三线合一以及直角三角形中【详解】解:如图,作PC PM PN = ,PC OB ⊥CM CN ∴=,在OPC 中,90PCO ∠=162OC OP ∴==,5OM = ,65CM OC OM ∴=-=-1.(2023下·广东广州·八年级广州市番禺区钟村中学校考期中)如图,四边形ABCD 中,1013125AB BC CD AD ====,,,,AD CD ⊥,求四边形ABCD 的面积.【答案】ABCD S =四边形【分析】连接AC ,过点的性质得出AE BE =得出结论.∵AD CD ⊥,∴90D Ð=°.在Rt ACD △中,AD =∴22AC AD CD =+=∵13BC =,(1)如图1,若ADC △是直角三角形,①当AD BC ⊥时,求AD 的长;②当AD AC ⊥时,求CD 的长.(2)如图2,点E 在AB 上(不与点A ,B 重合),且ADE ∠=∵10AB AC ==,16BC =,∴182CD BD BC ===,Rt ADC 22AD AC =由①得6AH =,8CH =,在Rt AHD △中,2AD AH =在Rt ADC 中,22AD CD =-(1)BC边上的高的长度为;(2)如图1,若点P从点B出发,以每秒2个单位的速度向点C运动,设运动时间为t秒t值,使得APC△为等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.(3)如图2,把APB△沿着直线AP翻折,点B的对应点为点F,PF交边AC于点E,当的长度.∵AB AC =,AD BC ⊥,∴116322BD BC ==⨯=由勾股定理,得()22221332AD AB BD =-=-=,∴BC 边上的高的长度为2.则2BP t =,62AP CP t ==-,由(1)知∶3BD =,2AD =,∴23DP t =-,由勾股定理,得()()22262223t t -=+-,由(1)知,2AD =,3BD =,由折叠知:F B ∠=∠,13AF AB ==,又∵90AGF ADB ∠=∠=︒,∴()AAS AGF ADB ≌,∴3GF BD ==,2AG AD ==,(1)如图1,若AB AC =,AD AE =.求证:BD CE =;(2)如图2,若90BAC ∠=︒,BA BD =,设B x ∠=︒,CAD y ∠=︒.①猜想y 与x 的数量关系,并说明理由;②在①的条件下,CA CE =,请直接写出DAE ∠的度数.【答案】(1)见解析(2)①猜想:2x y =,理由是:∵BA BD =,B x ∠=︒,∴(11802BAD BDA ∠=∠=︒-∠∵90BAC ∠=︒,CAD y ∠=︒,∴90BAD CAD ∠+∠=︒,即90整理得:2x y =;(1)如图1,当点E 与点C 重合时,AD 与CB '的位置关系是表示)(2)如图2,当点E 与点C 不重合时,连接DE .①用等式表示BAC ∠与DAE ∠之间的数量关系,并证明;②用等式表示线段BE ,CD ,DE 之间的数量关系,并证明.则90AMC ADC ∠∠=︒=∵AB AC =,∴1122CM BM BC ===在ACD 与ACM △中,则90AMC ANC ∠=∠=∴90CAN ACB '∠+∠=∵90DAE ACD ∠+∠=︒,∵AB AC =,∴B ACB ∠=∠,∵ACB ACB '∠=∠,∴B ACB ACD '∠=∠=∠∴FAE DAE ∠=∠,在FAE 和DAE 中,AF AD FAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()SAS FAE DAE ≌,∴FE DE=,∴BE FE BF CD DE =+=+.【点睛】本题是三角形综合题,考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识,熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键.【考点三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题:(2022春·上海普陀·八年级校考期中)如图,在ABC 中,AD 平分BAC ∠,E 是BC 的中点,过点E 作FG AD ⊥交AD 的延长线于H ,交AB 于F ,交AC 的延长线于G .求证:(1)AF AG =;(2)BF CG =.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)根据ASA 证明AHF AHG ≌ ,即可得出AF AG =;(2)过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ,由AHF AHG ≌ 可得AFH G ∠=∠,根据平行线的性质得出CMG AFH ∠=∠,可得CMG G ∠=∠,进而得出CM CG =,再根据据ASA 证明BEF CEM ≌ ,得出BF CM =,等量代换即可得到BF CG =.【详解】(1)证明:∵AD 平分BAC ∠,∴FAH GAH ∠=∠,∵FG AH ⊥,∴90AHF AHG ∠=∠=︒,在AHF △和AHG 中,FAH GAH AH AH AHF AHG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴()ASA AHF AHG ≌ ,∴AF AG =;(2)证明:过点C 作CM AB ∥交FG 于点M ,∵AHF AHG ≌ ,∴AFH G ∠=∠,∵CM AB ∥,∴CMG AFH ∠=∠,∴CMG G ∠=∠,∴CM CG =,∵E 是BC 的中点,∴BE CE =,∵CM AB ∥,∴B ECM ∠=∠,在BEF △和CEM 中,B ECM BE CE BEF CEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴()ASA BEF CEM ≌ ,∴BF CM =,∴BF CG =.【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质,等角对等边,平行线的性质,熟记全等三角形的判定定理、性质定理及作出合适的辅助线是解此题的关键.【变式训练】(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法,如图1,OP 平分MON ∠.点A 为OM 上一点,过点AC OP ⊥,垂足为C ,延长AC 交ON 于点B ,可根据证明AOC BOC ≌△△,则AO 点C 为AB 的中点).(2)【类比解答】如图2,在ABC 中,CD 平分ACB ∠,AE CD ⊥于E ,若63EAC ∠=︒,37B ∠=︒,通过上述构造全等的办法,可求得DAE ∠=.(3)【拓展延伸】如图3,ABC 中,AB AC =,90BAC ∠=︒,CD 平分ACB ∠,BE CD ⊥,垂足E 在CD 究BE 和CD 的数量关系,并证明你的结论.(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地,其中AC 边与灌渠相邻,李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验,故进行如下操作:①用量角器取ACB ∠的角平分线CD ;②过点A 作AD 13BC =,10AC =,ABC 面积为20,则划出的ACD 的面积是多少?请直接写出答案.【答案】(1)ASA(2)26︒(3)12BE CD =,证明见解析100【应用实践】请尝试直接应用“情境建模”中的结论解决下列问题:(1)将图1沿着过点B 的直线l 折叠,得到图2,DAC ∠的度数.(2)如图3,90A D ∠=∠=︒,BD 平分ABC ∠【拓展提升】【答案】【情景建模】见解析;(1)60︒;(2)102;(3)至少需要围挡40米.【分析】情景建模:利用角平分线的性质和全等三角形的性质和判定,求证ABP ACP ≌(1)利用角平分线的性质和等腰三角形的性质“等边对等角”将边的关系转化为角的关系,再应用第一问的条件和结论结合方程即可解题.(2)延长BA 和CD 相交于点F ,利用勾股定理和第一问的结论得出12CD CF =,即可解题.90BAC ∠=︒ ,225BC AC AB ∴=+=,BD Q 平分ABC ∠,BD CF ⊥,5BF BC ∴==,541AF ∴=-=,OA 、OB 分别平分BAC ∠和ABC ∠,OM OA ⊥,ON OB ⊥,由“情境建模”的结论得:AOM AOD △△≌,BON BOE △△≌,OM OD ∴=,ON OE =,在MON △和DOE 中,OM OD MON DOE ON OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()MON DOE SAS ∴ ≌,MN DE ∴=,90ACB ∠=︒ ,50AC =米,120BC =米,130AB ∴=米设AM x =,BN y =,则50CM x =-,120CN y =-,AOM AOD ≌,BON BOE △△≌,AD AM x ∴==,BE BN y ==,130DE AD BE AB x y =+-=+-,130MN DE x y ∴==+-,()()()5012013040CM CN MN x y x y ++=-+-++-=,CMN ∴ 的周长40=答:至少需要围挡40米.【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和勾股定理,本题的关键在于灵活应用角平分线性质结合全等三角形的性质,求解角和边.。
有等腰三角形时常用的辅助线
⑴作顶角的平分线,底边中线,底边高线 例:已知,如图,AB = AC ,BD ⊥AC 于D ,
求证:∠BAC = 2∠DBC
证明:(方法一)作∠BAC 的平分线AE ,交BC 于E ,则∠1 = ∠
2 =
1
2
∠BAC 又∵AB = AC ∴AE ⊥BC
∴∠2+∠ACB = 90o ∵BD ⊥AC
∴∠DBC +∠ACB = 90o ∴∠2 = ∠DBC ∴∠BAC = 2∠DBC
(方法二)过A 作AE ⊥BC 于E (过程略) (方法三)取BC 中点E ,连结AE (过程略)
⑵有底边中点时,常作底边中线
例:已知,如图,△ABC 中,AB = AC ,D 为BC 中点,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F ,
求证:DE = DF 证明:连结AD.
∵D 为BC 中点, ∴BD = CD 又∵AB =AC ∴AD 平分∠BAC
2
1E
D
C
B
A
F E D
C
B
A
∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴DE = DF
⑶将腰延长一倍,构造直角三角形解题
例:已知,如图,△ABC中,AB = AC,在BA延长线和AC上各取一点E、F,使AE = AF,
求证:EF⊥BC
证明:延长BE到N,使AN = AB,连结CN,则AB = AN = AC
∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC
∵∠B+∠ACB+∠ACN+∠ANC = 180o
∴2∠BCA+2∠ACN = 180o
∴∠BCA+∠ACN = 90o
即∠BCN = 90o
∴NC⊥BC
∵AE = AF
∴∠AEF = ∠AFE
又∵∠BAC = ∠AEF +∠AFE ∠BAC = ∠ACN +∠ANC
∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC ∴∠AEF = ∠ANC
∴EF∥NC
∴EF⊥BC
N
F
E
C B
A
⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线
例:已知,如图,在△ABC 中,AB = AC ,D 在AB 上,E 在AC
延长线上,且BD = CE ,连结DE 交BC 于F
求证:DF = EF
证明:(证法一)过D 作DN ∥AE ,交BC 于N ,则∠DNB
= ∠ACB ,∠NDE = ∠E ,
∵AB = AC , ∴∠B = ∠ACB ∴∠B =∠DNB ∴BD = DN 又∵BD = CE ∴DN = EC
在△DNF 和△ECF 中 ∠1 = ∠2 ∠NDF =∠E DN = EC ∴△DNF ≌△ECF ∴DF = EF
(证法二)过E 作EM ∥AB 交BC 延长线于M,则∠EMB =∠B (过程略)
⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线
例:已知,如图,△ABC 中,AB =AC ,E 在AC 上,D 在BA 延长线上,且AD = AE ,连
结DE 求证:DE ⊥BC
2
1
N
F
E
D
C B
A
2
1
M
F
E
D C
B
A
证明:(证法一)过点E 作EF ∥BC 交AB 于F ,则
∠AFE =∠B ∠AEF =∠C ∵AB = AC ∴∠B =∠C ∴∠AFE =∠AEF ∵AD = AE ∴∠AED =∠ADE
又∵∠AFE +∠AEF +∠AED +∠ADE = 180o ∴2∠AEF +2∠AED = 90o 即∠FED = 90o ∴DE ⊥FE
又∵EF ∥BC ∴DE ⊥BC
(证法二)过点D 作DN ∥BC 交CA 的延长线于N ,(过
程略)
(证法三)过点A 作AM ∥BC 交DE 于M ,(过程略)
⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形
例:已知,如图,△ABC 中,AB = AC ,∠BAC = 80o ,P 为形内一点,若∠PBC = 10o ∠
PCB = 30o 求∠PAB 的度数.
解法一:以AB 为一边作等边三角形,连结CE
则∠BAE =∠ABE = 60o
AE = AB = BE
N
M F E D C
B
A
P
E
C
B
A
∵AB = AC
∴AE = AC ∠ABC =∠ACB ∴∠AEC =∠ACE ∵∠EAC =∠BAC -∠BAE = 80o -60o = 20o 80o
∴∠ACE = 1
2
(180o -∠EAC)= ∵∠ACB=
1
2
(180o -∠BAC)= 50o ∴∠BCE =∠ACE -∠ACB = 80o -50o = 30o ∵∠PCB = 30o ∴∠PCB = ∠BCE
∵∠ABC =∠ACB = 50o , ∠ABE = 60o ∴∠EBC =∠ABE -∠ABC = 60o -50o =10o ∵∠PBC = 10o ∴∠PBC = ∠EBC 在△PBC 和△EBC 中 ∠PBC = ∠EBC BC = BC ∠PCB = ∠BCE ∴△PBC ≌△EBC ∴BP = BE ∵AB = BE ∴AB = BP
∴∠BAP =∠BPA
∵∠ABP =∠ABC-∠PBC = 50o-10o = 40o
∴∠PAB = 1
2
(180o-∠ABP)= 70o
解法二:以AC为一边作等边三角形,证法同一。
解法三:以BC为一边作等边三角形△BCE,连结AE,则EB = EC = BC,∠BEC =∠EBC = 60o
∵EB = EC
∴E在BC的中垂线上
同理A在BC的中垂线上
∴EA所在的直线是BC的中垂线
∴EA⊥BC
∠AEB = 1
2
∠BEC = 30o =∠PCB
由解法一知:∠ABC = 50o
∴∠ABE = ∠EBC-∠ABC = 10o =∠PBC ∵∠ABE =∠PBC,BE = BC,∠AEB =∠PCB ∴△ABE≌△PBC
∴AB = BP ∴∠BAP =∠BPA
∵∠ABP =∠ABC-∠PBC = 50o-10o = 40o
∴∠PAB = 1
2
(180o-∠ABP) =
1
2
(180o-40o)=
70o
有等腰三角形时常用的辅助线⑴作顶角的平分线,底边中线,底边高线
例:已知,如图,AB = AC,BD⊥AC于D,
P
E
C
B
A
求证:∠BAC = 2∠DBC
⑵有底边中点时,常作底边中线
例:已知,如图,△ABC中,AB = AC,D为BC中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
求证:DE = DF
⑶将腰延长一倍,构造直角三角形解题
例:已知,如图,△ABC中,AB = AC,在BA延长线和AC上各取一点E、F,使AE = AF,
求证:EF⊥BC
⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线
例:已知,如图,在△ABC中,AB = AC,D在AB上,E在
AC延长线上,且BD = CE,连结DE交BC于F
求证:DF = EF
⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线
例:已知,如图,△ABC中,AB =AC,F在AC上,E在BA延长
线上,且AE = AF,连结DE
求证:EF⊥BC
⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形
例:已知,如图,△ABC中,AB = AC,∠BAC = 80o,P为形内一点,若∠PBC = 10o,
∠PCB = 30o求∠PAB的度数.
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