2019精选初二上册数学同步练习：与三角形有关的线段语文

《与三角形有关的线段》同步练习一、选择题（每小题5分）1. 如果线段a，b，c能组成三角形，那么，它们的长度比可能是（）A、1∶2∶4B、1∶3∶4C、3∶4∶7D、2∶3∶42.如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数那么第三边的长为（）A、5B、6C、7D、83.等腰三角形的两边长分别为8cm，4cm，则该等腰三角形的周长是（）A、16cmB、20cmC、16cm或20cmD、22cm4.下列给出的三条线段中，不能组成三角形的是（）A、a+1，a+2，a+3(a＞0 )B、三边之比为5 : 6 : 10C、30cm，8cm，10cmD、a=2m，b=3m，c=5m－1( m＞1)5.如右图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB=5cm，Ac=3cm，则△ABD的周长比△ACD周长多（）A、5cmB、3cmC、8cmD、2cm6.锐角三角形中，任意两个锐角的和至少大于（）A.90°B.100° C120° D.60°7.一个三角形三个内角的度数之比是2：3：7，这个三角形一定是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形8.已知△ABC中，角平分线BE,CF相交于D，则∠BDC等于（）A.90°+12∠A B.90°-12∠A C.180°-12∠A D.180°-∠A二、填空题（每小题5分）9.一个等腰三角形的周长为10，其中一边为3，则其他两边长分别为 .10.在△AB C中，如果∠A=∠B+∠C，则∠A= .11.一个三角形中，至少有个锐角，至多有个直角或钝角.12.△ABC中，∠A=60°，∠ABC,∠ACB的平分线交与点O，则∠BOC= .13.已知一个三角形的两边长分别为5cm和9cm，那么这个三角形的第三边x的取值范围是＜x＜ .14.已知a,b,c为三角形的三边，化简︱a＋b-c︱-︱b-c-a︱= .三、解答题（每小题10分）15.在△ABC 中，AB=AC ，AC 上的中线BD 把△ABC 的周长分为24cm 和30cm 两部分.求三角形的三边长.16.△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A，BD 是AC 边上的高，如图，求∠DBC 的度数.17.若等腰△ABC 的一条边AB=6，AD 是边BC 上的中线，点A 到BC 的距离为 4，ABD s =13.求△ABC 的周长.参考答案1.D2.C3.B4.C5.D6.A7.D8.A9. 3、4或3.5、3.510. 90°11. 2， 112. 120°13. cm x cm 144<<14.c b 22-15.15.cm AC AB 16==且cm BC 22=，或cm AC AB 20==且cm BC 14=16. 18DBC ∠=17.ABC ∆的周长为32.。

11.1与三角形有关的线段讲、练一、知识点1、定义：由不在同一条直线上的三条线段顺次首尾相接所组成的图形叫做三角形。

2、分类：（1）按角分：锐角三角形；直角三角形；钝角三角形；（2）按边分：不等边三角形；等腰三角形；等边三角形；3、角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

4、中线：连接一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线。

5、高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。

注意：三角形的角平分线、中线和高都有三条。

6、三角形的三边关系：三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

7、三角形的周长、面积求法和三角形稳定性。

（1）如图1：C△ABC=AB＋BC＋AC或C△ABC= a＋b＋c。

四个量中已知其中三个能求第四个。

（2）如图2：AD为高，S△ABC =·BC·AD三个量中已知其中两个能求第三个。

（3）如图3：△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，则有： S △ABC =·AB ·CD=·AC ·BC 即：AB ·CD=AC ·BC二、标准例题：例1：已知三角形的两边长分别为2和6，第三边的长是偶数，则此三角形的第三边长是__________． 【答案】6【解析】解：根据三角形的三边关系，得 第三边大于4，而小于8．又第三边是偶数，则此三角形的第三边是6． 故答案为：6．总结：此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解决此类问题的关键．例2：如右图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AD ⊥，垂足为点D ，有下列说法：①点A 与点B 的距离是线段AB 的长；②点A 到直线CD 的距离是线段AD 的长；③线段CD 是ABC ∆边AB 上的高；④线段CD 是BCD ∆边BD 上的高. 上述说法中，正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】解：①、根据两点间的距离的定义得出：点A 与点B 的距离是线段AB 的长，∴①正确； ②、点A 到直线CD 的距离是线段AD 的长，∴②正确；③、根据三角形的高的定义，△ABC 边AB 上的高是线段CD ，∴③正确； ④、根据三角形的高的定义，△DBC 边BD 上的高是线段CD ，∴④正确． 综上所述，正确的是①②③④共4个． 故选：D ．总结：本题主要考查对两点间的距离，点到直线的距离，三角形的高等知识点的理解和掌握，能熟练地运用概念进行判断是解此题的关键．例3：如图，D ，E ，F 分别是边BC ，AD ，AC 上的中点，若S 阴影的面积为3，则ABC ∆的面积是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】∵D 为BC 的中点， ∴12ABD ACD ABC S S S ∆∆∆==∵E ，F 分别是边AD ，AC 上的中点，∴12BDE ABD S S ∆∆=，12ADF SADC S S ∆=，12DEF ADF S S ∆∆=, ∴14BDE ABC S S ∆∆=, 1148DEF ADC ABC S S S ∆∆∆==113488BDE DEF ABC ABC ABC S S S S S ∆∆∆∆∆+=+=∴=83ABC S S ∆阴影部分8383=⨯=故选D .总结：本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S △=12×底×高．三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 例4：下列图形中，具有稳定性的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】要使图形具有稳定性，则分割后的每一个图形都是三角形，只有B 分割后的图形都是三角形. 故答案选B.总结：本题考查的知识点是三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形具有稳定性.三、练习1．如果一个等腰三角形的两边长分别为7cm ，14cm 则争腰三角形的周长为( ) A ．28cm B ．28cm 或35cmC ．35cmD ．35cm 或31.5cm【答案】C 【解析】当腰长为7cm 时，则三边分别为7cm ，7cm ，14cm ，因为7+7=14，所以不能构成直角三角形；当腰长为14cm 时，三边长分别为14cm ，14cm ，7cm ，符合三角形三边关系，此时其周长为：14+14+7=35cm ． 故选：C ．2．如果三角形的两边长为3cm 和5cm ，第三边长是偶数，则此三角形的第三边长可以为（ ）． A ．2cm B ．3cmC ．4cmD ．8cm【答案】C【解析】由题意，令第三边为X ，则5-3＜x ＜5+3，即2＜x ＜8， ∵第三边长为偶数， ∴第三边长是4或6． ∴三角形的第三边长可以为4． 故选:C ．3．以每组数为线段的长度，可以构成三角形三边的是（ ） A ．13、12、20 B ．7、8、15 C ．7、2、4 D ．5、5、11【答案】A【解析】解：根据三角形的三边关系，得 A 、13+12=25＞20，能组成三角形； B 、7+8=15，不能组成三角形； C 、2+4=6＜7，不能组成三角形； D 、5+5=10＜11，不能组成三角形. 故选：A.4．如图，ABC ∆中，CD 是AB 边上的高，若 1.5AB =，0.9BC =， 1.2AC =，则CD 的长为（ ）A．0.72 B．1.125 C．2 D．不能确定【答案】A【解析】1.5AB=，0.9BC=， 1.2AC=，∴221.52.25AB==，22220.9 1.2 2.25BC AC+=+=，∴222AB BC AC=+，∴90ACB∠=︒，CD是AB边上的高，∴1122ABCS AB CD AC BC=⋅=⋅，1.5 1.20.9CD=⨯，0.72CD=.故选：A.5．如图，已知AE是ΔABC的角平分线，AD是BC边上的高。

11.1与三角形有关的线段一、选择题1.下列三组数能构成三角形的三边的是（）A．13，12，20 B．5，5，11 C．8，7，15 D．3，8，42.若线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，则( )A．AM>AN B．AM≥ANC．AM<AN D．AM≤AN3．四根长度分别为3，4，6，x,x（为正整数）的木棒，从中任取三根．首尾顺次相接都能组成一个三角形，则（）．A．组成的三角形中周长最小为9 B．组成的三角形中周长最小为10 C．组成的三角形中周长最大为19 D．组成的三角形中周长最大为16 4．如图，以BC为边的三角形有（）个．A．3个B．4个C．5个D．6个5.如图，用四个螺丝将四根不可弯曲的木条围成一个木框(形状不限)，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为3，4，5，7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为( )A．6 B．7 C．8 D．96.在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的止方形，点A、B是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点)，在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C的个数是A.5B.4C.3D.27．四根长度分别为 3、4、6、x （x 为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，则（ ）A ．组成的三角形中周长最小为 9B ．组成的三角形中周长最小为 10C ．组成的三角形中周长最大为 18D ．组成的三角形中周长最大为 168．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长不可能是（ ）A ．6B ．7C ．9.5D ．109.下列长度的四根木棒中，能与长为4cm ，9cm 的两根木棒围成一个三角形的是( )A ．4cmB ．5cmC ．9cmD ．14cm10．如图，在△ABC 中，过点B 作PB ⊥BC 于B ，交AC 于P ，过点C 作CQ ⊥AB ，交AB 延长线于Q ，则△ABC 的高是（ ）A ．线段PB B ．线段BC C ．线段CQD ．线段AQ11. 如图，为估计池塘岸边A ，B 的距离，小方在池塘的一侧选取一点O ，测得OA ＝15米，OB ＝10米，A ，B 间的距离不可能是（ ）A.20米B.15米C.10米D.5米12．一个三角形的两边长为3和7，第三边长为偶数，则第三边为（ ）A ．6B ．6或8C ．4D ．4或613.下列长度的三条线段，不能组成三角形的是( )A ．3，8，4B ．4，9，6C ．15，20，8D ．9，15，8O A B14.如图，过△ABC的顶点A作BC边上的高，以下作法正确的是( )15.如果三角形的一个角的平分线也是中线，则该三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.任意三角形二、填空题16．已知等腰三角形的两边分别为4cm和7cm，则这个三角形的周长为________．17.已知三角形三边长分别是、、，且为整数，那么的值是________．18.如图，在△ABC中，AB边上的高是线段________，BC边上的高是线段________；在△BCF中，CF边上的高是线段________；CE可看作______________________的高(△ABC除外)．19.如图，六根木条钉成一个六边形框架，要使框架稳固且不活动，至少还需要添________根木条．20.如图，以AD为边的三角形是，以∠C为一个内角的三角形是，△AED的三个内角是．21.如图，A，B，C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积_______．三、解答题22．若△ABC中两边长之比为2：3，三边都是整数且周长为18cm，求各边的长．23.一个等腰三角形的腰长是底边长的2倍，且其周长为30，则三边分别是多少？24.如图，在△ABC中，AB＝5厘米，BC＝3厘米，BM为中线，则△ABM与△BCM 的周长的差是多少厘米？25．已知，三角形三边的比是3：4：5，且最大边长与最小边长的差是4，求这个三角形的三条边的长．26.如图,在△ABC中,AB=AC,AC上的中线把三角形的周长分为18cm和24cm两个部分,求三角形各边长．27．某海军在南海某海域进行实弹演习，岛礁A的周围方圆10•千米内的区域为危险区域，有一艘渔船误入离A岛4千米的B处（如图），为了尽快驶离危险区域，该船应沿什么方向航行？为什么？。

三角形的高、中线与角平分线【例1】 如图7-11所示，在△ABC 中，∠1=∠2，点G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于点E ，F 为AB 上一点，且CF ⊥AD 于点H ，下列判断中正确的是( )图7-11(1)AD 是△ABE 的角平分线；(2)BE 是△ABD 边AD 上的中线；(3)CH 是△ACD 边AD 上的高. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【例2】如图7-12，BM 是△ABC 的中线，若AB=5 cm ，BC=13cm ，那么△BCM 的周长与△ABM 的周长差是多少?图7-12【例3】 如图7-13，△ABC 的边BC 上的高为AF ，AC 边上的高为BG ，中线为AC ，已知AF=6，BC=10,BG=5.图7-13(1)求△ABC 的面积；(2)求AC 的长；(3)说明△ABC 和△ACD 的面积的关系.过关训练1.如图7-14，AD ⊥BC ，垂足为D ，则AD 是_____的高，∠_________=∠__________=90°.图7-142.在上题图中，AE 平分∠BAC ，交BC 于E 点，则AE 叫做△ABC 的__________，∠__________ =∠__________=21∠__________.3.三角形的高、中线、角平分线都是__________.4.如图7-15，若BD=DE=EC，则AD是__________的中线，AE是__________的中线.图7-15 图7-165.如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，则这个三角形是__________.6.如图7-16，E、F分别是△ABC的边AC、AB的中点，FD⊥AC，则BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的_______；EF既是_______的中线，又是______的中线；FD是______的高.7.如图7-17，BD是△ABC的中线，若AB=8 cm，AC=6 cm，BC=6cm 则△ABD与△BCD的周长之差为__________.图7-17.8.如图7-18，△ABC中，∠ACB=90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使B点落在B′点的位置，则线段AC是__________.9.已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角是50°，则∠BAC等于__________.10.如图7-19，在△ABC中，已知点D、E、F分别为B C、AD、CE的中点，且S△ABC=4c m2，则S阴影=__________.图7-18 图7-1911.如图7-20，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是( )A.150°B.130°C.120°D.100°图7-20 图7-2112.图7-21是某广告公司为某种商品设计的商标图案，若图中每个小长方形的面积都是1，则阴影部分的面积是( )A.6B.6.5C.7D.7.5解答题13.如图7-22，若AD是△ABC的角平分线，DE∥AB(1)若DF∥AC，EF交AD于点O.试问：DO是否为△EDF的角平分线?并说明理由；(2)若DO是△EDF的角平分线，试探索DF与AC的位置关系，并说明理由.图7-2214.探索在如图7-23至图7-25中，△ABC的面积为a.(1)如图7-23，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA.若△ACD的面积为S1，则S1=__________(用含a的代数式表示)；图7-23 图7-24(2)如图7-24，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE.若△DEC的面积为S2，则S2=________(用含a的代数式表示)，并写出理由；(3)在图7-25的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF(如图7-25).若阴影部分的面积为S3,则S3=__________(用含a的代数式表示).图7-25发现像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF(如图7-25)，此时，我们称△ABC 向外扩展了一次.可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的__________倍. 应用去年在面积为10 m 2的△ABC 空地上栽种了某种花卉.今年准备扩大种植规模，把△ABC 向外进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF ，第二次由△DEF 扩展成△MGH(如图7-26).求这两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为多少平方米?图7-26例题1 【解析】 本题考查三角形的角平分线、中线和高这三个概念.由∠1=∠2知AD 平分∠BAE ，但AD 不是△ABE 内的线段.所以(1)不正确；同样BE 虽然经过△ABD 边AD 的中点G ，但BF 也不是△ABD 内的线段，因此(2)也不正确；由于CH ⊥AD 于点H ，由三角形高的定义知CH 是△ACD 边AD 边上的高，故(3)正确. 【答案】 B 例题2【解析】 本题要准确利用中线的性质，将周长之差转化为线段之差.△BCM 的周长为BC+CM+MB ，而△ABM 的周长为AB+BM+AM ，由BM 是中线可得AM=CM ，两周长相减即为BC 与AB 的差.【答案】 因为BM 是△ABC 的中线，所以A 1=CM.又因为△BCM 的周长为BC+CM+MB ，△ABM 的周长为AB+BM+AM ，所以△BCM 的周长△ABM 的周长=(BC+CM+MB)-(AB+BM+AM)=BC-AB=13-5=8(cm)例题3【解析】 (1)由于△ABC 的底边BC 上的高AF 的长度已知，根据三角形面积公式可求出面积；(2)用面积法.由于△ABC 的面积有两种计算方法，用面积法列式21·BC ·AF=21AC ·BC ，可求出AC 的长， (3)由“等(同)底等(同)高的两个角形面积相等”可知∶三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个小三角形(△ABC 、△ACD 等底同高，因而面积相等).【答案】 (1)因为BC=10，AF ⊥BC ，AF=6，所以S △ABC =21BC ·AF=30. (2)因为BG 为△ABC 的高，所以S △ABC =21AC ·BG=21AC ·BG=21BC ·AF ，因为BG=5，BC=10，AF=6，所以AC=12； (3)因为AF ⊥BC ，所以S △ABC =21BD ·AF ，S △ACD =21CD ·AF ，因为AD 为△ABC 的中线，所以BD=CD.所以S△ABC=S△ACD，即△ABC和△ACD的面积相等.过关训练1 答案：△ABC(或△ABD或△ACD)；ADB；ADC2 答案：角平分线；BAE；CAE；BAC3 答案：线段4答案：△ABE；△ADC5答案：直三角形6答案：中线；△ABE；△ACF；△ACF(答案不唯一)7答案：2 cm8答案：△ABB′的中线、角平分线和高9答案：50°或130°10答案：1 cm211 答案：B12 答案：B(点拨：阴影部分面积=大长方形面积-空白部分面积和)13 答案：(1)DO是△DEF的角平分线，理由如下：由DE∥AB，得∠EDA=∠DAF.由DF∥AC，得∠EAD=∠ADF. 又AD是△ABC的角平分线，有∠EAD=∠DAF所以∠BDA=∠ADF.(2)DF∥AC.理由略14 答案：(1)a；(2)2a理由：连接AD，∵CD=BC，AE=CA，∴S△DAC=S△DAE=S△ABC=a，∴S2=2a.(3)6a 7 拓展区域的面积：(72-1)×10=480(m2).。

与三角形有关的线段学校：姓名：班级：一．选择题（共小题）．下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（）．．．．．三角形按角分类可以分为（）．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形．直角三角形、等边直角三角形．以上答案都不正确．下列图形中三角形的个数是（）．个．个．个．个．如图，四个图形中，线段是△的高的图是（）．．．．．如图，已知△中，，，分别是三角形的高线，角平分线及中线，那么下列结论错误的是（）．⊥．．．∠∠．下列图形中具有稳定性的是有（）．①②．③④．②③．①②③．下列各组数据中，能构成三角形的是（）．、、．、、．、、．、、．下列长度的各组线段中，能作为一个三角形三边的是（）．，，．，，．，，．，﹣，（是自然数）．长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，的值可以是（）．．．．．若一个三角形的两边长分别为和，则该三角形的周长可能是（）．．．．．四根长度分别为，，，（为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，则（）．组成的三角形中周长最小为．组成的三角形中周长最小为．组成的三角形中周长最大为．组成的三角形中周长最大为．要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上的木条的根数为（）．一条．两条．三条．四条二．填空题（共小题）．公交车的扶手往往都做成三角形的，这样做的数学依据是．．在△中，为边的中线，若△与△的周长差为，，则．．如果三角形的两边长为和，且周长为奇数，那么满足条件的三角形共有个．．已知如图△中，为边上的中线，，，则△与△的周长之差为，面积之差为．．三角形的两边长分别是、，第三边长为偶数，则第三边长为．．如果将长度为﹣，和的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么的取值范围是．．是△的中线，，，△和△的周长的差是．．在长度为，，，的四条线段中，任取三条线段，可构成个不同的三角形．三．解答题（共小题）．如图这是一个由七根长度相等木条钉成的七边形木框．为使其稳定，请用四根木条（长短不限）将这个木框固定不变形，请你设计出三种方案．．如图，△中，，，，…，为边上不同的个点，首先连接，图中出现了个不同的三角形，再连接，图中便有个不同的三角形…（）完成下表：（）若出现了个三角形，则共连接了多少个点？（）若一直连接到，则图中共有个三角形．．已知，，分别是△的三边，化简：﹣﹣﹣﹣．．如图，在△中，是边上的中线，△的周长比△的周长多，与的和为，求的长．参考答案与试题解析一．选择题（共小题）．解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．故选：．．解：三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，故选：．．解：单个的三角形有个，两个三角形组合的三角形有个，三个三角形组合的三角形有个，四个三角形组合的三角形有个，∴三角形的个数是．故选：．．解：由图可得，线段是△的高的图是选项．故选：．．解：∵，，分别是三角形的高线，角平分线及中线，∴⊥，∠∠，，而不一定成立，故选：．．解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．显然②③两个图形具有稳定性，而①④中含有四边形，不具有稳定性．故选：．．解：、，不能构成三角形；、＞，能构成三角形；、＜，不能构成三角形；、＜，不能构成三角形．故选：．．解：根据三角形的三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得：、，不满足定理，故错误；、符合，故正确；、，不满足，故错误；，﹣﹣，和的大小不确定，故错误．故选．．解：根据三角形的三边关系，得：＜＜．∴的值可以是，故选：．．解：根据三角形的三边关系，得第三边大于，而小于．则周长的取值范围是：＜＜．观察选项，只有选项符合题意．故选：．．解：其中的任意三根的组合有、、；、、；、、；、、共四种情况，由题意：从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，可得＜＜①若三边为、、时，其周长为；②若三边为、、时，﹣＜＜，即＜＜由于为正整数，当为或或，其周长最小为，周长最大为；③若三边为、、时，﹣＜＜，即＜＜，由于为正整数，则为或或，其周长最小为，周长最大为；④若三边为、、时，﹣＜＜，即＜＜由于为正整数，则为或或，其周长最小为，周长最大为；综上所述，三角形周长最小为，最大为，故选：．．解：根据三角形的稳定性可得，至少要再钉上根木条，故选：．二．填空题（共小题）．解：公交车的扶手往往都做成三角形的，这样做的数学依据是：三角形具有稳定性，故答案为：三角形具有稳定性．．解：∵为边的中线，∴，∴△与△的周长差（）﹣（）﹣，∵△与△的周长差为，，∴﹣，解得．故答案为：．．解：设第三边是，则＜＜．∴或或．而三角形的周长是奇数，因而或，满足条件的三角形共有个，故答案为：．．解：∵是△的中线，∴，∵△周长，△周长，∵△周长﹣△周长（）﹣（）﹣﹣，即△和△的周长之差是；∵为中线，∴△面积△面积，∴△与△的面积之差为，故答案为：；．解：∵三角形的两边的长分别为和，∴第三边的取值范围为：＜＜，∴符合条件的偶数为或，故答案为：或．解：因为﹣＜＜，所以﹣＜＜，所以由三角形三边关系可得﹣＞，解得：＞．则不等式的解集是：＞．故答案为：＞．．解：∵是△的中线，∴，∴△和△的周长的差（）﹣（）﹣，∵，，∴△和△的周长的差﹣．故答案为：．．解：∵从长度分别为，，，的四条线段中任取三条，能组成三角形的有：、、；、、；故答案为．三．解答题（共小题）．解：三种方案如图所示：．解：（）（）个点；（）…（）[…（）…（）]（）（）．故答案为（）（）．．解：根据三角形的三边关系得：﹣﹣＜，﹣＞，﹣﹣＜．∴原式﹣﹣﹣﹣．．解：∵是边上的中线，∴为的中点，．∵△的周长﹣△的周长．∴﹣．又∵，∴．即的长度是．。

第十一章三角形 11.1 与三角形有关的线段 11.1.1 三角形的边一、单项选择题1.用木棒钉成一个三角架，两根小棒分别是7cm和10cm，第三根小棒可取（）cmA. 20B. 3C. 11D. 22.下列三条线段，不能组成三角形的是（）A. 3 4 6 B . 8 9 15 C. 20 18 5 D. 16 30 143.已知等腰三角形一边等于5cm，一边等于10cm，另一边应等于（）cmA. 5B. 10C. 5或10D. 124.一个三角形的两边分别是5cm和11cm，第三边的长是一个偶数，则第三边的长是（）cmA. 2B. 4C. 6D. 85. 如图，共有三角形的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．66.小李有2根木棒，长度分别为10cm和15cm，要组成一个三角形（木棒的首尾分别相连接），还需在下列4根木棒中选取（）cm长的木棒A．4 B．5 C．20 D．257.如图，x的值可能是（）A．14 B．13 C．12 D．11二、填空题8. 已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长x的取值范围。

若x是奇数，则x的值是；若x是偶数，则x的值是。

9. 一个等腰三角形的一边是2cm，另一边是9cm ,则这个三角形的周长是cm10. 一个等腰三角形的一边是5cm，另一边是7cm ,则这个三角形的周长是cm11. 等腰三角形的两边长分别是3和5，则这个等腰三角形的周长为__________．12.三角形两边为3cm，7cm，且第三边为奇数，则三角形的最大周长是__________ cm.13.三角形的三边长分别为5，1+2x，8，则x的取值范围是____________．三、解答题14. 已知等腰三角形的周长为16cm，若其中一边长为4cm，求另外两边长．15.已知a、b、c为△ABC的三边，化简|a+b-c|+|a-b-c|-|a-b+c|.16.有一条长为21cm的细绳围成一个等腰三角形．（1）如果腰长是底边长的3倍，那么底边长是多少？（2）能围成一边长为5cm的等腰三角形吗？说明理由．（AB+BC+AC）．17..如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA+PB+PC＞12答案:一、1---7 CDBDD CA二、8. 1cm＜x＜7cm 3cm或5cm 2cm，4cm或6cm9. 910. 17或1911. 11或1312. 1913. 1＜x＜6三、14. 解：如果腰长为4cm，则底边长为16-4-4=8cm．三边长为4cm，4cm，8cm，不符合三角形三边关系定理．这样的三边不能围成三角形，所以应该是底边长为4cm．所以腰长为（16-4）÷2=6cm．三边长为4cm，6cm，6cm，符合三角形三边关系定理，所以另外两边长都为6cm．15. 解：|a+b-c|+|a-b-c|-|b-a-c|=（a+b-c）+（-a+b+c）+（b-a-c）=a+b-c-a+b+c-a+b-c=-a+3b-c．16. 解：（1）设底边长为xcm，则腰长为3xcm，根据题意得，x+3x+3x=21，解得x=3cm；（2）若5cm为底时，腰长=1（21-5）=8cm，三角形的三边分别为5cm、8cm、28cm，能围成三角形，若5cm为腰时，底边=21-5×2=11，三角形的三边分别为5cm、5cm、11cm，∵5+5=10＜11，∴不能围成三角形，综上所述，能围成一个底边是5cm，腰长是8cm的等腰三角形．17.证明：在△ABP中：AP+BP＞AB．同理：BP+PC＞BC，AP+PC＞AC．以上三式分（AB+BC+AC）．别相加得到：2（PA+PB+PC）＞AB+BC+AC，即PA+PB+PC＞12。

第十一章三角形11.1与三角形有关的线段一、三角形有关概念1．三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段___________组成的图形叫做三角形．2．三角形的基本元素：（1）三角形的三条边：即组成三角形的___________．（2）三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的___________；三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的___________．（3）三角形的顶点：即相邻两边的___________．3．三角形的特征：（1）三条线段不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个___________的图形．4．三角形的符号：三角形用符号“__________”表示．顶点是A、B、C的三角形，记作“__________”，读作“__________”．【注意】①△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义；②三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示．③平时所说的三角形的角是指三角形的内角．④三角形三个顶点的字母的次序可以任意调换．△ABC也可以写成“△BAC”“△BCA”“ACB”等．二、三角形的分类1．按___________分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形2．按___________分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形【注意】三角形的两种分类方法是各自独立的，同一个三角形可能同时属于两个不同的类别．如等腰直角三角形按边分类属于等腰三角形，而按角分类则属于直角三角形．三、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和___________第三边．推论：三角形任意两边之差___________第三边．四、三角形的高、中线、角平分线如图，从ABC△的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做ABC△的边BC上的高．如图，连接ABC△的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做ABC△的边BC上的中线．如图，画BAC∠的平分线AD交BAC∠所对的边BC于点D，所得线段AD叫做ABC△的角平分线．五、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的___________．一、1．首尾顺次相接2．线段，内角，外角，公共端点3．封闭4．△，△ABC ，三角形ABC 二、1．边2．角 三、大于，小于 五、稳定性1．三角形及其相关概念 1．三角形 （1）概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．三角形用符号“△”表示． （2）图形：顶点是A ，B ，C 的三角形，记作ABC △，读作“三角形ABC ”．2．三角形的顶点、边和角组成三角形的线段叫做三角形的边，（线段AB ，线段BC ，线段CA ） 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，（顶点A ，顶点B ，顶点C ） 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．（A ∠，B ∠，C ∠）ABC △的三边有时也用a ，b ，c 表示，如上图中，顶点A 所对的边BC 用a 表示，顶点B 所对的边AC用b 表示，顶点C 所对的边AB 用c 表示．如图，在ABC △中，D ，E 分别是BC ，AC 上的点，连接BE ，AD 交于点F ．（1）图中共有多少个三角形？并把它们表示出来． （2）BDF △的三个顶点是什么？三条边是什么？ （3）以AB 为边的三角形有哪些？ （4）以点F 为顶点的三角形有哪些？ （5）C ∠所对的边是什么？ 【答案】详见解析．【解析】（1）图中共有8个三角形，分别是ABF △，AEF △，ABE △，ABD △，ACD △，ABC △，BDF △，BCE △．（2）BDF △的三个顶点是点B ，D ，F ，三条边是线段BD ，DF ，BF ． （3）以AB 为边的三角形有ABF △，ABD △，ABE △，ABC △． （4）以点F 为顶点的三角形有BDF △，ABF △，AEF △．（5）确定C ∠所对的边主要看C ∠在哪个三角形中，若在BCE △中，则C ∠所对的边是BE ；若在ACD △中，则C ∠所对的边是AD ；若在ABC △中，则C ∠所对的边是AB ． 【名师点睛】（1）三角形的表示方法中，“△”代表“三角形”，后边的字母为三角形的三个顶点字母，字母的顺序可以自由安排．（2）角的两边为射线，三角形的三条边为线段． 2．三角形的分类（1）一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个直角，最多有一个钝角． （2）从角的方面判断一个三角形的形状的方法： ①若最大内角为锐角，则该三角形是锐角三角形； ②若最大内角为直角，则该三角形是直角三角形； ③若最大内角为钝角，则该三角形是纯角三角形．三角形按边分类可分为A ．不等边三角形、等边三角形B ．等腰三角形、等边三角形C ．不等边三角形、等腰三角形、等边三角形D ．不等边三角形、等腰三角形 【答案】D【解析】三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形，故选D ．【名师点睛】（1）按内角的大小判断一个三角形的形状时主要看三角形中最大内角的度数，若最大内角为锐角，则该三角形为锐角三角形；若最大内角为直角，则该三角形为直角三角形；若最大内角为钝角，则该三角形为钝角三角形．（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包括等边三角形． （3）无论按哪一个标准对三角形进行分类，原则都是不重不漏． 3．三角形的三边关系（1）在ABC △中，a ，b ，c 为三边长，则有a b c +>，b c a +>，a c b +>． （2）在ABC △中，a ，b ，c 为三边长，则有a b c -<，b c a -<，c a b -<． （3）应用：①判断三条线段能否组成三角形； ②已知三角形的两边，求第三边的取值范围．下列长度的三条线段，能组成三角形的是A ．4cm ，5cm ，9cmB ．8cm ，8cm ，15cmC ．5cm ，5cm ，10cmD ．6cm ，7cm ，14cm【答案】B【解析】A 、∵5+4=9，9=9，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误； B 、8+8=16，16>15，∴该三边能组成三角形，故此选项正确； C 、5+5=10，10=10，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误； D 、6+7=13，13<14，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误，故选B ． 【名师点睛】三角形三边之间关系的应用：①在判断三条线段能否组成三角形时，若两条较短线段的长的和大于最长线段的长，则三条线段可以组成三角形；否则，不可以组成三角形．②已知三角形的两边长，求第三边长的取值范围时，若三角形的已知两边长分别为a ，()b a b ≥，则第三边长c 的取值范围是a b c a b -<<+． 4．三角形的高、中线与角平分线（1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．（2）三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．（3）三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图，在△ABC 中，∠1=∠2，G 为AD 的中点，BG 的延长线交AC 于点E ，F 为AB 上的一点，CF 与AD 垂直，交AD 于点H ，则下面判断正确的有①AD 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABD 的边AD 上的中线；③CH 是△ACD 的边AD 上的高；④AH 是△ACF 的角平分线和高 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】①根据三角形的角平分线的概念，知AG 是△ABE 的角平分线，故此说法错误； ②根据三角形的中线的概念，知BG 是△ABD 的边AD 上的中线，故此说法错误； ③根据三角形的高的概念，知CH 为△ACD 的边AD 上的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH 是△ACF 的角平分线和高线，故此说法正确． 故选B ．【名师点睛】（1）由三角形的高与三角形一边的垂线都能得到直角，但本质不同，三角形的高是一条线段，而三角形一边的垂线是一条直线．（2）三角形的中线是一条线段，它把三角形分成两个面积相等的小三角形． （3）三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线． 5．三角形的稳定性如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB 可将其固定，这里所运用的几何原理是A．垂线段最短B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．三角形的稳定性【答案】D【解析】一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性，故选D．【名师点睛】（1）三角形的稳定性是三角形独有的性质，在生活和生产中应用广泛．（2）在平面内，四边及四边以上的封闭图形不具有稳定性，但在生活和生产中也被广泛应用．为保证四边形的稳定性，常在四边形中构造三角形，最简单的方法是作对角线（四边形不相邻两顶点的连线）．1．下列长度的三条线段能组成三角形的是A．2，3，5 B．7，4，2 C．3，4，8 D．3，3，42．已知三条线段的比是：①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶3∶6；⑤6∶6∶10；⑥3∶4∶5．其中可以构成三角形的有A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图小明做了一个方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案A．B．C．D．A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短4．如图，已知△ABC中，AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，那么下列结论错误的是A．AD⊥BC B．BF=CFC．BE=EC D．∠BAE=∠CAE5．以下说法错误的是A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D．三角形的三条高可能相交于外部一点6．a，b，c为△ABC的三边，化简|a+b+c|-|a-b-c|-|a-b+c|-|a+b-c|，结果是A．0 B．2a+2b+2c C．4a D．2b2c7．如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离不可能是A．20米B．15米C．10米D．5米8．如图，AE是△ABC的中线，已知EC=8，DE=3，则BD=___________．9．一个三角形的两边长分别是2和4，第三边长为偶数，则这个三角形的周长是__________．10．已知等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分为9cm和15cm两部分，求这个三角形的腰长和底边的长．11．如图，已知CD是△ABC的高，CM是△ABC的中线．（1）若△ABC的面积为40，求△AMC的面积；（2）若△AMC的面积为12，且AM边上的高为4，求AB的长度．12．三角形一边上的高A．必在三角形内部B．必在三角形外部C．必在三角形的边上D．以上三种情况都有可能13．已知三角形的三边长为3，8，x．若周长是奇数，则x的值有A．6个B．5个C．4个D．3个14．以长为13 cm、10 cm、5 cm、7 cm的四条线段中的三条线段为边可以画出三角形的个数为A．1 B．2 C．3 D．415．在△ABC中，三边长分别为a、b、c，且a>b>c，若b=8，c=3，则a的取值范围是A．3<a<8 B．5<a<11C．6<a<10 D．8<a<1116．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是A ．B ．C ．D ．17．如图，在ABC △中，已知点D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 的中点，且ABC △的面积是24cm ，则阴影部分的面积等于A ．22cmB ．21cmC ．20.25cmD ．20.5cm18．作ABC △中BC 边上的高AD ，下列作法正确的是A ．B ．C ．D ．19．如图，AE ⊥BC 于E ，BF ⊥AC 于F ，CD ⊥AB 于D ，则△ABC 中AC 边上的高是垂线段A ．AEB ．CDC ．BFD ．AF20．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF 固定矩形门框ABCD ，使其不变形，这种做法的根据是A．两点之间线段最短B．矩形的对称性C．矩形的四个角都是直角D．三角形的稳定性21．下面的说法正确的是A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内B．直角三角形的高只有一条C．三角形的高至少有一条在三角形内D．钝角三角形的三条高都在三角形外面22．三角形的三条中线的位置为A．一定在三角形内B．一定在三角形外C．可能在三角形内，也可能在三角形外D．可能与三角形一条边重合23．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，若S△DEF=2，则S△ABC等于A．16 B．14C．12 D．1024．若一个三角形周长是15，其三条边长都是整数，则此三角形最长边的最大值是___________．25．已知AD是△ABC的中线，且△ABC的面积为6 cm2，则△ADB的面积为___________ cm2．26．如图，BD是△ABC的中线，AB=8，BC=6，△ABD和△BCD的周长的差是__________．27．已知等腰三角形的周长等于23cm，一边长等于5cm，求其他两边的长．28．等腰三角形（有两条边相等的三角形为等腰三角形，其中相等的两边为腰，另一边为底边）一腰上的中线把该三角形的周长分为13.5cm和11.5cm两部分，求这个等腰三角形各边的长．29．（2019•黔东南州）在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是A．2cm，3cm，4cm B．3cm，6cm，7cmC．2cm，2cm，6cm D．5cm，6cm，7cm30．（2019•台州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是A．3，4，8 B．5，6，10C．5，5，11 D．5，6，1131．（2019•自贡）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为A．7 B．8 C．9 D．1032．（2019•金华）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是A．1 B．2 C．3 D．833．（2019•扬州）已知n是正整数，若一个三角形的3边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有A．4个B．5个C．6个D．7个1．【答案】D【解析】A．∵3+2=5，∴2，3，5不能组成三角形，故A错误；B．∵4+2<7，∴7，4，2不能组成三角形，故B错误；C．∵4+3<8，∴3，4，8不能组成三角形，故C错误；D．∵3+3>4，∴3，3，4能组成三角形，故D正确，故选D．2．【答案】B【解析】①中，1+3=4；②中，1+2=3；③中，1+4<6；④中，3+3=6；⑤中，6+6>10；⑥中，3+4>5．故可以构成三角形的是：⑤⑥．共2个，故选B．3．【答案】B【解析】因为三角形具有稳定性，只有B构成了三角形的结构．故选B．4．【答案】C【解析】∵AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，∴AD⊥BC，∠BAE=∠CAE，BF=CF，∴A、B、D正确，C错误，故选C．5．【答案】A【解析】三角形的三条高不一定在三角形内部交于一点，比如直角三角形的三条高交于直角顶点．故选A．6．【答案】A【解析】|a+b+c|−|a−b−c|−|a−b+c|−|a+b−c|=a+b+c+a−b−c−a+b−c−a−b+c=0，故选A．7．【答案】D【解析】根据三角形的三边关系，可得5<AB<25，所以A、B间的距离不可能是5米，故选D．8．【答案】5【解析】∵AE是△ABC的中线，∴BE=CE=8，∴BD=BE–DE=8–3=5，故答案为：5．9．【答案】10【解析】已知三角形的两边长是2和4，根据三角形的三边关系可得第三边大小要大于2小于6，又因为第三边长是偶数，所以第三边是4，即可得周长=2+4+4=10，故答案为：10．10．【解析】设△ABC是等腰三角形，BC为底边，D是AC的中点，AB=x cm，BC=y cm．（1）当AB＋AD=9cm时，有92152xxxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得612xy=⎧⎨=⎩，6+6=12，不符合三角形三边关系，舍去．（2）当AB＋AD=15cm时，有15292x x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得104x y =⎧⎨=⎩，4+10<10，符合三角形三边关系，符合题意．综上可得，所求等腰三角形的腰长为10cm ，底边的长为4cm ． 11．【解析】（1）因为CM 是△ABC 的边AB 上的中线，所以S △AMC =12S △ABC =12×40=20． （2）因为S △AMC =12S △ABC ，S △AMC =12，CD =4，所以S △ABC =24=12AB ·CD =2AB ，所以AB =12．12．【答案】D【解析】锐角三角形所有高在内部，直角三角形两条高在边上，钝角三角形两条高在外部，故选D ． 13．【答案】D【解析】根据三角形的三边关系可得：8–3<x <8+3，即：5<x <11，∵三角形的周长为奇数，∴x =6，8，10，共3个．故选D ． 14．【答案】C【解析】首先可以组合的数组有13，10，5；13，10，7；13，5，7；10，5，7．再根据三角形的三边关系，发现其中的13，5，7不能构成三角形，则可以画出的三角形有3个．故选C ． 15．【答案】D【解析】∵8–3<a <8+3，∴5<a <11，又∵a >b >c ，b =8，c =3，∴8<a <11，故选D ． 16．【答案】A【解析】从三角形的顶点向它所对的边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做该三角形的高．根据定义，线段BE 是△ABC 的高的图形只有选项A ．故选A ． 17．【答案】B【解析】∵点F 是CE 的中点，∴BF 是BCE △的中线，∴12BEF BEC S S =△△，同理得12BDE ABD S S =△△，12EDC ADC S S =△△，∴12EBC ABC S S =△△，∴14BEF ABC S S =△△，又24cm ABC S =△，∴21cm BEF S =△，即阴影部分的面积为21cm ．故选B ． 18．【答案】D【解析】判断三角形的高在三角形的内部或外部，关键取决于三角形的形状，可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种情况讨论，不同的三角形的高所在的位置也不同．故选D．19．【答案】C【解析】AC边上的高线是指过点B作直线AC的垂线段，则BF为AC边上的高线．本题中AE是BC 边上的高线，CD是AB边上的高线．故选C．20．【答案】D【解析】加上EF后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△EAF，故这种做法的根据是三角形的稳定性．故选D．21．【答案】C【解析】A，三角形的三条高不一定都在三角形的内部，错误；B，直角三角形有三条高，其中有两条高就是两条直角边，错误；C，锐角三角形的三条高都在内部；直角三角形有两条是直角边，另一条高在内部；钝角三角形有两条在外部，一条在内部，正确；D，钝角三角形有两条高在外部，一条在内部，错误．故选C．22．【答案】A【解析】三角形的三条中线的交点一定在三角形内．故选A．23．【答案】A【解析】∵DF是△CDE的中线，∴S△CDE=2S△DEF，∵CE是△ACD的中线，∴S△ACD=2S△CDE=4S△DEF，∵AD是△ABC的中线，∴S△ABC=2S△ACD=8S△DEF，∵△DEF的面积是2，∴S△ABC=2×8=16．故选A．24．【答案】7【解析】根据三角形的三边关系，依题意得三角形的三边长可能是以下几种情况：①1，7，7；②2，6，7；③3，5，7；④3，6，6；⑤4，4，7；⑥4，5，6；⑦5，5，5．所以此三角形的最长边的最大值是7．故答案为：7．25．【答案】3cm．故答案【解析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，所以△ADB的面积为32为：3．26．【答案】2【解析】∵BD是△ABC的中线，∴AD=CD，∴△ABD和△BCD的周长的差=（AB+BD+AD）-（BC+BD+CD）=AB+BD+AD-BC-BD-CD=AB-BC=8-6=2，故答案为：2．27．【解析】因为给出的边长不确定是等腰三角形的腰长还是底边长，所以需要分两种情况讨论．（1）当5cm 长的边是底边时，设腰长为cm x ，则523x x ++=，解得9x =．又因为长分别为5cm ，9cm ，9cm 的三条线段能组成三角形，所以等腰三角形其他两边的长均为9cm ． （2）当5cm 长的边是腰时，另一腰长也是5cm ，则底边长为235513(cm)--=．而5513+<．说明长为5cm ，5cm ，13cm 的三条线段不能组成三角形，所以此种情况不存在． 故等腰三角形其他两边的长均为9cm ．28．【解析】设在ABC △中，AB AC =，BD 是中线，依题意，当AB BC >时，13.511.52AB BC -=-=， 2AB BC =+，所以2(2)13.511.5BC BC ++=+，解得7BC =．则29AB AC BC ==+=．当AB BC <时，13.511.52BC AB -=-=，2BC AB =+． 所以2213.511.5AB AB ++=+， 解得233AB =，则233AC =，2329233BC =+=． 综上，这个等腰三角形三边的长分别为9cm ，9cm 和7cm 或23cm 3，23cm 3和29cm 3． 29．【答案】C【解析】A 、2+3>4，能组成三角形；B 、3+6>7，能组成三角形； C 、2+2<6，不能组成三角形；D 、5+6>7，能够组成三角形．故选C ． 30．【答案】B【解析】A 选项，3+4=7<8，两边之和小于第三边，故不能组成三角形；B 选项，5+6=11>10，10-5<6，两边之各大于第三边，两边之差小于第三边，故能组成三角形；C 选项，5+5=10<11，两边之和小于第三边，故不能组成三角形；D 选项，5+6=11，两边之和不大于第三边，故不能组成三角形，故选B ． 31．【答案】C【解析】设第三边为x ，根据三角形的三边关系，得：4-1<x <4+1，即3<x <5， ∵x 为整数，∴x 的值为4．三角形的周长为1+4+4=9．故选C ． 32．【答案】C【解析】由三角形三边关系定理得：5-3<a <5+3，即2<a <8，即符合的只有3，故选C ． 33．【答案】D【解析】①若n+2<n+8≤3n，则28383n n nn n+++>⎧⎨+≤⎩，解得104nn<⎧⎨≥⎩，即4≤n<10，∴正整数n有6个：4，5，6，7，8，9；②若n+2<3n≤n+8，则23838n n nn n++>+⎧⎨≤+⎩，解得24nn>⎧⎨≤⎩，即2<n≤4，∴正整数n有2个：3和4，综上所述，满足条件的n的值有7个，故选D．。

2019最新整理-初中数学人教版（新）八年级上111 与三角形有关的线段习题
1.小明的家在如图所示的街道中的A处，
B处是小明所在的学校，小明上学走路最近，
理由是 .
2. 2以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）
A.1，2，4
B.2，3，5cm cm cm cm cm cm
C.5，6，12
D. 4，6，8cm cm cm cm cm cm
3.已知三角形的三边长分别为4，5，，则不可能是（）x x A3 B.5 C.7 D.9
4.已知等腰三角形的两边分别为2和5，则它的周长为（）
A.12或 9
B.12
C.9
D.7
5. 任选长为13、10、7、5的四条线段中的cm cm cm cm
三条线段为边，可以组成三角形的个数是（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
6. 11.如图所示，图中共有个三角形，
它们分别为.
7. 如图所示，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，……，则在第个图中，互不重叠的三角形共有个（用含的代数
式表示）n n
8. 一个三角形中有两边相等，其周长为10，其中一边为3，则其他两边长分别为 .
9. 一个等腰三角形的周长为21，一边长为5，求其他两边长.cm cm。

第11章《三角形》同步练习（§11.1 与三角形有关的线段A）班级学号姓名得分1、填空题：(1)由____________三条线段______所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做______；相邻两边的公共端点叫做______，相邻两边所组成的角叫做______，简称______．(2)如图所示，顶点是A、B、C的三角形，记作______，读作______．其中，顶点A所对的边______还可用______表示；顶点B所对的边______还可用______表示；顶点C 所对的边______还可用______表示．(3)由“连接两点的线中，线段最短”这一性质可以得到三角形的三边有这样的性质______________________________．由它还可推出：三角形两边的差____________．(4)对于△ABC，若a≥b，则a＋b______c同时a－b______c；又可写成______＜c＜______．(5)若一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则第三边x的长度的取值范围是____________，其中x可以取的整数值为____________．2．已知：如图，试回答下列问题：(1)图中有______个三角形，它们分别是______________________________________.(2)以线段AD为公共边的三角形是_________________________________________.(3)线段CE所在的三角形是______，CE边所对的角是________________________．(4)△ABC、△ACD、△ADE这三个三角形的面积之比等于______∶______∶______．3．选择题：(1)下列各组线段能组成一个三角形的是( )．(A)3cm，3cm，6cm (B)2cm，3cm，6cm(C)5cm，8cm，12cm (D)4cm，7cm，11cm(2)现有两根木条，它们的长分别为50cm，35cm，如果要钉一个三角形木架，那么下列四根木条中应选取( )．(A)0.85m长的木条(B)0.15m长的木条(C)1m长的木条(D)0.5m长的木条(3)从长度分别为10cm、20cm、30cm、40cm的四根木条中，任取三根可组成三角形的个数是( )．(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个(4)若三角形的两边长分别为3和5，则其周长l的取值范围是( )．(A)6＜l＜15 (B)6＜l＜16(C)11＜l＜13 (D)10＜l＜164.(1)一个等腰三角形的周长为18，若腰长的3倍比底边的2倍多6，求各边长．(2)已知等腰三角形的一边等于8cm，一边等于6cm，求它的周长．(3)一个等腰三角形的周长为30cm，一边长为6cm，求其它两边的长．(4)有两边相等的三角形的周长为12cm，一边与另一边的差是3cm，求三边的长．5．(1)若三角形三条边的长分别是7，10，x，求x的范围．(2)若三边分别为2，x－1，3，求x的范围．(3)若三角形两边长为7和10，求最长边x的范围．(4)等腰三角形腰长为2，求周长l的范围．(5)等腰三角形的腰长是整数，周长是10，求它的各边长．6．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点．(1)通过度量AB 、CD 、DB 的长度，确定AB 与)(21DB CD 的大小关系.(2)试用你所学的知识来说明这个不等关系是成立的．7．已知：如图，P 是△ABC 内一点．请想一个办法说明AB ＋AC ＞PB ＋PC ．8．如图，D 、E 是△ABC 内的两点，求证：AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋EC ．第11章《三角形》同步练习（§11.1 与三角形有关的线段B ）班级 学号 姓名 得分1．填空题：(1)从三角形一个顶点向它的对边画______，以______和______为端点的线段叫做三角形这边上的高．如图，若CD 是△ABC 中AB 边上的高，则∠ADC ______∠BDC ＝______，C 点到对边AB 的距离是______的长．(2)连结三角形的一个顶点和它______的______叫做三角形这边上的中线． 如右图，若BE 是△ABC 中AC 边上的中线，则AE ______.______21EC(3)三角形一个角的______与这个角的对边相交，以这个角的______和______为端点的线段叫做三角形的角平分线．一个角的平分线与三角形的角平分线的区别是________________________________ ______________________________________． 如图，若AD 是△ABC 的角平分线，则∠BAD ______∠CAD ＝21______或∠BAC ＝2______＝2______．2．已知：△GEF ，分别画出此三角形的高GH ，中线EM ，角平分线FN ．3．(1)分别画出△ABC 的三条高AD 、BE 、CF ．(∠A为锐角) (∠A为直角) (∠A为钝角)(2)这三条高AD、BE、CF所在的直线有怎样的位置关系?4．(1)分别画出△ABC的三条中线AD、BE、CF．(2)这三条中线AD、BE、CF有怎样的位置关系?(3)设中线AD与BE相交于M点，分别量一量线段BM和ME、线段AM和MD的长，从中你能发现什么结论?5．(1)分别画出△ABC的三条角平分线AD、BE、CF.(2)这三条角平分线AD、BE、CF有怎样的位置关系?(3)设△ABC的角平分线BE、CF交于N点，请量一量点N到△ABC三边的距离，从中你能发现什么结论?6．已知：△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，如果D点把三角形ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求此三角形各边的长．7．(1)如果将一个三角形的三边的长确定，那么这个三角形的形状和大小就不会改变了，三角形的这个性质叫做________________________. (2)四边形是否具有这种性质? 8．将一个三角形剖分成若干个面积相等的小三角形，称为该三角形的等积三角形的剖分(以下两问要求各画三个示意图)(1)已知一个任意三角形，并其剖分成3个等积的三角形． (2)已知一个任意三角形，将其剖分成4个等积的三角形．9．不等边△ABC 的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．参考答案（§11.1 与三角形有关的线段A ）1．(1)不在同一直线上的，首尾顺次相接，三角形的边，三角形的顶点，三角形的内角，三角形的角．(2)△ABC ，三角形ABC ，BC ，a ；AC ，b ；AB ，c (3)三角形两边之和大于第三边，小于第三边． (4)＞，＜，a －b ，a ＋b(5)1cm ＜x ＜9cm ，2cm 、3cm 、4cm 、5cm 、6cm 、7cm 、8cm ． 2．(1)六，△ABC 、△ABD 、△ABE 、△ACD 、△ACE 、△ADE ． (2)△ABD 、△ACD 、△ADE ． (3)△ACE ，∠CAE ． (4)BC ：CD ：DE ．3．(1)C ，(2)D ，(3)A ，(4)D4．(1)6，6，6；(2)20cm ，22cm ；(3)12cm ，12cm ；(4)5cm ，5cm ，2cm ． 5．(1)3＜x ＜17；(2)2＜x ＜6；(3)10≤x ＜17；(4)4＜e ＜8； (5)3，3，4或4，4，2 6．(1))(21DB CD AB +>． (2)提示：对于△ADC ，∵AD ＋AC ＞DC ， ∴(AD ＋DB )＋AC ＞CD ＋DB ， 即AB ＋AC ＞CD ＋DB ．又∵AB ＝AC ，∴2AB ＞CD ＋DB ． 从而AB ＞21(CD ＋DB )． 7．提示：延长BP 交AC 于D ．∵在△ABD 中，AB ＋AD ＞BD ＝BP ＋PD ，① 在△DPC 中，DP ＋DC ＞PC ，② 由①、②，∴AB ＋(AD ＋DC )＋DP ＞BP ＋PC ＋DP ． 即AB ＋AC ＞PB ＋PC ．8．证明：延长BP 交AC 于D ，延长CE 交BD 于F ． 在△ABD 中，AB ＋AD ＞BD ． ① 在△FDC 中，FD ＋DC ＞FC ． ② 在△PEF 中，PF ＋FE ＞PE ． ③①＋②＋③得AB ＋AD ＋FD ＋DC ＋PF ＋FE ＞BD ＋FC ＋PE ， 即：AB ＋AC ＋PF ＋FD ＋FE ＞BP ＋PF ＋FD ＋FE ＋EC ＋PE ， 所以AB ＋AC ＞BP ＋PE ＋EC ．（§11.1 与三角形有关的线段B ）1．(1)垂线，顶点、垂足，＝，90°，高CD 的长． (2)所对的边的中点、线段，＝，AC(3)平分线，顶点、交点，一个角的平分线是射线，而三角形的角平分线是线段． ＝，∠BAC ，∠BAD ，∠DAC 2．略．3．(1)略，(2)三条高所在直线交于一点．4．(1)略，(2)三条中线交于一点，(3)BM ＝2ME ．5．(1)略，(2)三条角平分线交于一点，(3)点N 到△ABC 三边的距离相等． 6．提示：有两种情况，分别运用方程思想，设未知数求解．⎩⎨⎧===,11,8BC AC AB 或⎩⎨⎧===.7,10BC AC AB 7．(1)三角形的稳定性，(2)不具有稳定性．8．(1)(2)下列各图是答案的一部分：9．它的长为5，或4．提示：设S △ABC ＝S ，第三条高为h ，则△ABC 的三边长可表示为：hSS S 212242、、，列不等式得：12242212242SS h S S S +<<- ∴3＜h ＜6．。

八年级数学上册《第十一章与三角形有关的线段》同步练习题及答案-人教版学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条应钉在（）A．E，H两点之间B．E，G两点之间C．F，H两点之间D．A，B两点之间2．已知三角形的两边的长分别为2和5，第三边的长为偶数，则这个三角形周长为( )A．11 B．13 C．11或13 D．不确定3．如图，AD⊥BC于点D，GC⊥BC于点C，CF⊥AB于点F，下列关于高的说法中错误的是（）A．△ABC中，AD是BC边上的高B．△GBC中，CF是BG边上的高C．△ABC中，GC是BC边上的高D．△GBC中，GC是BC边上的高4．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），点B（0，3），点C在坐标轴上，若三角形ABC的面积为6，则符合题意的点C有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，E是AD的中点，过点E作EF⊥BC于点F.若BC＝10，△ABD的面积为24，则EF的长为（）A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．4.86．如果所示，已知∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确的个数为（）①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AE平分∠BAC．A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，AD ，BE ，CF 依次是ABC 的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（ ）A ．AE ＝CEB ．∠ADC ＝90°C ．∠CAD ＝∠CBE D ．∠ACB ＝2∠ACF8．如图，BD 是 ABC 的边AC 上的中线，AE 是 ABD 的边BD 上的中线，BF 是 ABE 的边AE上的中线，若 ABC 的面积是32，则 ABE 的面积是( )A ．8B ．9C ．18D ．12二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉上一根木条，这是利用了三角形具有 的原理．10．已知 a b c 、、 为三角形的三边，化简 a+b-c b-a-c - 的结果是 .11．如图，已知AM 是ΔABC 的中线，点P 是AC 边上一动点，若ΔABC 的面积为10，4AC =则MP的最小值为12．如图所示，直线BC 经过原点O ，点A 在x 轴上，AD BC ⊥于D ，若()()()3540B m C n A -，，，，，，则AD BC ⋅= ．13．如图，AD 是 ABC 的中线，DE 是 ADC 的中线，EF 是 DEC 的中线，FG 是 EFC 的中线，若 GFC 的面积 21GFC S cm = ，则 ABC 的面积 ABC S = ．三、解答题：（本题共5题，共45分）14．如图所示，直线L 1∥L 2，C 1，C 2，C 3是L 1上的三点，连接C 1A ，C 1B ，C 2A ，C 2B ，C 3A ，C 3B ，得△C 1AB ，△C 2AB ，△C 3AB ，试说明△C 1AB ，△C 2AB ，△C 3AB 的面积相等．15．如图所示，AD 、AE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠B=20°，∠C=80°求∠EAD 的度数．16．如图，在ABC 中，CF ，BE 分别是AB ，AC 边上的中线．已知2AE =，AF=3，且ABC 的周长为15，BC 边上的高为3.96，求ABC 的面积．17．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的高，AB=10cm ，BC=8cm ，AC=6cm（1）求CD 的长；（2）若AE 是BC 边上的中线，求△ABE 的面积．18．如图：△ABC的边BC的高为AF，AC边上的高为BG，中线为AD，AF=6，BC=12，BG=5（1）求△ABD的面积．（2）求AC的长．（3）△ABD和△ACD的面积有何关系．参考答案：1．A 2．C 3．C 4．D 5．D 6．B 7．C 8．A9．稳定性10．2b-2c11．2.5或52或12212．3213．216cm14．解：底相同，高相等，则三个三角形的面积相等15．解：如图：在△ABC 中∵∠B=20°，∠C=80°∴∠BAC=180°－∠B －∠C=180°－20°－80°=80°； ∵AE 是△ABC 的角平分线∴∠EAC= 12 ∠BAC= 12×80°=40°； ∵AD 是△ABC 的高∴∠ADC=90°；又∵在△ADC 中，∠C=80°∴∠DAC=180°－∠C －∠ADC=180°－80°－90°=10°； ∴∠EAD=∠EAC －∠DAC=40°－10°=30°；16．解：∵CF ，BE 分别是AB ，AC 边上的中线，AE=2，AF=3 ∴2236AB AF ==⨯=2224AC AE ==⨯=．∵ABC 的周长为15∴15645BC =--= ∴15 3.969.92ABC S =⨯⨯=． 17．（1）解：∵CD 是AB 边上的高 ∴△ABC 的面积= 12 AC •BC= 12AB •CD ∴CD= AC•BC AB =6×810=4.8 cm ； （2）解：∵△ABC 的面积=12 AC •BC= 12 ×6×8=24cm 2 ∵AE 是BC 边上的中线∴△ABE 的面积= 12S △ABC =12cm 2． 18．（1）解：∵△ABC 的边BC 上的高为AF ，AF=6，BC=12∴△ABC的面积= 12BC•AF=12×12×6=36（2）解：∵AC边上的高为BG，BG=5∴△ABC的面积= 12AC•BG=36∴AC= 72 5（3）解：△ABD和△ACD的面积相等．∵△ABC的中线为AD∴BD=CD∵△ABD以BD为底，△ACD以CD为底，而且等高∴S△ABD=S△ACD。