幂的运算_培优测试卷含答案

1．在下列四个算式：()()()2232736,a a a a a --=--=-，()()()3633423,a a a a a a -÷=-÷-=-，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．计算25m ÷5m 的结果为 （ ）(A) 5 (B)20 (C) 5m （D ）20m3．已知2a =3,2b =6,2c =12,则 a. b. c 的关系为①b=a+1②c=a+2③a+c=2b ④b+c=2a+3,其中正确的个数有 ( )A.1个B.2个C. 3个D.4个4．下列各式计算正确的是 （ ）(A)527()a a =．(B)22122x x-= (C)236326a a a ⨯= (D)826a a a ÷=。

5.下列计算正确的是( )A.(－4x 2)(2x 2+3x －1)=－8x 4－12x 2－4xB.(x+y)(x 2+y 2)=x 3+y 3C.(－4a －1)(4a －1)=1－16a 2D.(x －2y)2=x 2－2xy+4y 26.下列5个算式中，错误的有( )①a 2b 3+a 2b 3＝2a 4b 6 ②a 2b 3+a 2b 3＝2a 2b 3 ③a 2b 3·a 2b 3＝2a 2b 3④a 2b 3·a 2b 3＝a 4b 6 ⑤2a 2b·3a 3b 2＝6a 6b 2A.1个B.2个C.3个D.4个7..现规定一种运算：a*b ＝ab+a －b ，其中a 、b 为实数，则a*b+(b －a)*b 等于( )A.a 2－bB.b 2－bC.b 2D.b 2－a8.随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低.某品牌电脑按原售价降低m 元后，又降价20%，现售价为n 元，那么该电脑的原售价为( ) A.(45n+m)元 B.(54n+m)元 C.(5m+n)元 D.(5n+m)元 9．.最薄的金箔的厚度为0.000000091m ，用科学记数法表示为 m;10．我国国土面积约为9600000平方千米，用科学记数法可表示为___________平方千米11.若x ＝2m +1，y ＝3+8m ，则用x 的代数式表示y 为12.1083与1442的大小关系是13．若()3915,m n a ba b =则m = 、n = ()[]52x --=14．如果等式()1122=-+a a ，则a 的值为 。

初一数学下学期培优训练小专题13 幂的逆运算【类型一 幂的乘法逆运算】1．已知2,3,m n a a ==则m n a +=____________.2．已知8,2m n a a ==，则m n a +=_______．3．已知2m a =，3n a =（,m n 为正整数），则32m n a +=______．4．已知am ＝6，an ＝2，则am +n 的值等于（ ）A ．8B ．3C ．64D ．12 5．计算：()2013201222--的结果是（ ） A ．201232⨯ B ．40252 C ．20122- D ．201212⎛⎫ ⎪⎝⎭6．中学数学中，我们知道加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算，如式子328=可以变形为23log 8=，52log 25=也可以变形为2525=；现把式子32x =表示为3log 2x =，请你用x 来表示3log 18y =，则y =（ ）A ．6B ．2x +C ．2xD ．3x7．（1）填空: 10()222⎽-=,21()222⎽-=， 32()222⎽-=，…（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n 个等式，并说明第n 个等式成立:（3）计算: 01292222+++⋯+.8．爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若(0m n a a a =>，且1a ≠，m 、n 都是正整数），则m n =，例如：若455m =，则4m =．小明将这个发现与老师分享，并得到老师确认是正确的，请您和小明一起用这个正确的发现解决下面的问题：(1)如果3624322x x ⨯⨯=，求x 的值；(2)如果2133108x x +++=，求x 的值．【幂的乘方的逆运算】9．若3x +2y ﹣2=0，则84x y 等于_____．10．若234x y +=，则48x y ⋅=_____.11．已知3430m n +-=，则816m n ⨯=____.12．（1）已知2x +4y ﹣3＝0，求4x ×16y 的值．（2）已知x 2m ＝2，求（2x 3m ）2﹣（3xm ）2的值．13．设1002m =，753n =，为了比较m 与n 的大小，小明想到了如下方法：()251004252216m ===，即25个16相乘的积；()25753253327n ===，即25个27相乘的积，显然m n <，现在设304x =，403y =，请你用小明的方法比较x 与y 的大小．14．已知9x ＝32y+4，23y ＝18，求x 2019+y 2020． 15．(1)已知m ＋4n-3=0，求2m ⨯16n 的值．(2)已知n 为正整数，且x 2n ＝4，求(x 3n )2－2(x 2)2n 的值．16．阅读下列材料:若352,3a b ==，则a ，b 的大小关系是a_____ b (填“<”或“>”).解:因为()()5315351553232,327,3227a a b b ======>，所以1515a b >，所以a b >.解答下列问题:(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质_A ．同底数幂的乘法B ．同底数幂的除法C ．幂的乘方D ．积的乘方(2)已知572,3x y ==，试比较x 与y 的大小．【积的乘方逆运算】17．计算0.1252021×(-8)2022=________．18．计算201920202( 1.5)3⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭的结果是 ______．19．计算：11120.25(4)⨯-=__________．20．计算：451()33-⨯ =____． 21．（﹣0.25）11×（﹣4）12=_________22．已知2330x y +-=，求48x y ⋅的值．23．计算：（1）(0.25)100×4100；（2）0.24×0.44×12.54．24．(1)若28,232,m n ==求242m n +-的值；(2)若21m x =-，则将114m y +=+用含x 的代数式表示．【幂的除法逆运算】25．已知34a =，8116b =，则243a b -等于______．26．若242m n a a ==，，则63m n a -的值为__．27．已知3a x =，4b x =，则32a b x -的值是_____．28．已知5m a =，3n a =，则2m n a -的值是_________．29．已知25m =，23n =，求下列各式的值：(1)2m n +；(2)48⨯m n ；(3)22m n -．30．已知：210,25,280a b c ===．(1)求22b 的值；(2)求22c b a -+的值．31．已知314748216m m m +++⋅÷=，求m 的值.32．已知：53,58,572a b c ===．(1)求2(5)a 的值．(2)求-5a b c +的值．(3)直接写出字母a 、b 、c 之间的数量关系．答案与解析【类型一 幂的乘法逆运算】1．已知2,3,m n a a ==则m n a +=____________. 【答案】6【分析】利用·m n m n a a a +=进行计算．【解析】∵2,3,m n a a ==∴236m n m n a a a +==⨯=．故答案为：6．【点评】考查了同底数幂乘法计算法则，解题关键是逆向运用·m n m n a a a +=进行计算．2．已知8,2m n a a ==，则m n a +=_______．【答案】16；【解析】分析：根据同底数幂的乘法，可得答案．解析：am +n =am •an =8×2=16．故答案为16．点评：本题考查了同底数幂的乘法，能逆用公式是解题的关键．3．已知2m a =，3n a =（,m n 为正整数），则32m n a +=______．【答案】72【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则结合幂的乘方运算法则求出即可．【解析】∵2m a =，3n a =，∴3232()()8972m n m n a a a +=⨯=⨯=．故答案为：72．【点评】此题主要考查了幂的乘方以及同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题的关键．4．已知am ＝6，an ＝2，则am +n 的值等于（ ）A ．8B ．3C ．64D ．12【答案】D【分析】逆用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可．【解析】解：∵am ＝6，an ＝2，∴6212m n m n a a a +=⋅=⨯=，故D 正确．故选：D ．【点评】本题主要考查了同底数幂的运算，熟练掌握同底数幂的运算法则，是解题的关键．5．计算：()2013201222--的结果是（ ） A ．201232⨯B ．40252C ．20122-D ．201212⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】A 【分析】根据乘方公式，逆用同底数幂的乘法公式进行计算即可．【解析】解：()2013201222--()2012201322=-- 2012201322=+20122012222=+⨯()2012212=⨯+201232=⨯故选：A ．【点评】本题主要考查了乘方的运算和同底数幂的乘法公式，熟练掌握同底数的乘法公式m n m n a a a +⋅=，是解题的关键．6．中学数学中，我们知道加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算，如式子328=可以变形为23log 8=，52log 25=也可以变形为2525=；现把式子32x =表示为3log 2x =，请你用x 来表示3log 18y =，则y =（ ）A ．6B ．2x +C ．2xD ．3x【答案】B【分析】根据观察式子23=8可以变形为3=log 28，2=log 525也可以变形为52=25，可发现规律，根据同底数幂的乘法，可得答案．【解析】解：由y =log 318，得3y =18,3x =2，32=9,32×3x =32+x =18,3y =18=32+x 所以y =2+x ．故选B.【点评】本题考查了幂的运算逆运用，解决本题的关键是要理解题意,发现规律.7．（1）填空: 10()222⎽-=,21()222⎽-=， 32()222⎽-=，…（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n 个等式，并说明第n 个等式成立:（3）计算: 01292222+++⋯+.【答案】（1）0，1，2；（2）第n 个等式为：11222n n n =﹣﹣﹣，（3）1021﹣ 【分析】（1）根据乘方的运算法则计算即可；（2）根据式子规律可得11222n n n ---=，然后利用提公因式21n -可以证明这个等式成立；（3）设题中的表达式为a ，再根据同底数幂的乘法得出2a 的表达式，相减即可．【解析】解：（1）10022212-=-=，21122422-=-=，32222842-=-=．故答案为：0，1，2；（2）第n 个等式为：11222n n n ---=．∵右边111222212n n n n ---=-=-=（），右边12n -=，∴左边=右边，∴11222n n n ---=；（3）设012389222222a =++++⋯++．①则12389102222222a =+++⋯+++②由②-①得1021a =-，∴0123891022222221++++⋯++=-．【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：11222n n n ---=成立．8．爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若(0m n a a a =>，且1a ≠，m 、n 都是正整数），则m n =，例如：若455m =，则4m =．小明将这个发现与老师分享，并得到老师确认是正确的，请您和小明一起用这个正确的发现解决下面的问题：(1)如果3624322x x ⨯⨯=，求x 的值；(2)如果2133108x x +++=，求x 的值．【答案】(1)x =5(2)x =2【分析】（1）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，从而可求解；（2）利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，即可求解．【解析】（1）因为2×4x ×32x =236，所以2×22x ×25x =236，即21+7x =236，所以1+7x =36，解得：x =5；（2）因为3x +2+3x +1=108，所以3×3x +1+3x +1=4×27，4×3x +1=4×33，即3x +1=33， 所以x +1=3，解得：x =2．【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．【幂的乘方的逆运算】9．若3x +2y ﹣2=0，则84x y 等于_____． 【答案】4【分析】将3x +2y ﹣2=0化简得3x +2y =2，再利用幂的乘方运算法则将84x y 变形得23x +2y ，进而得出答案．【解析】由3x +2y ﹣2=0可得：3x +2y =2，所以84x y =23x +2y =22=4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了幂的乘方运算和同底数幂的乘法运算，熟练应用幂的乘方运算法则是解题关键． 10．若234x y +=，则48x y ⋅=_____.【答案】16.【分析】利用幂的乘方的运算法则及同底数幂相乘的运算法则把48x y ⋅化为232x y +，再整体代入计算即可.【解析】∵234x y +=，∴48x y ⋅=2323222x y x y +⋅==4216=.故答案为16.【点评】本题考查了幂的乘方的运算法则及同底数幂相乘的运算法则的逆用，利用幂的乘方的运算法则及同底数幂相乘的运算法则把48x y ⋅化为232x y +是解决问题的关键.11．已知3430m n +-=，则816m n ⨯=____.【答案】8【分析】根据幂的乘方与同底数幂的乘法的逆运算即可解答.【解析】解：∵3430m n +-=∴343m n +=，∴816m n ⨯=(23）m (2⨯4)n =23m+4n=23=8.故答案为8.【点评】本题考查幂的乘方与同底数幂的乘法，解题关键是熟练掌握幂的运算性质.12．（1）已知2x +4y ﹣3＝0，求4x ×16y 的值．（2）已知x 2m ＝2，求（2x 3m ）2﹣（3xm ）2的值． 【答案】（1）8；（2）14．【分析】（1）先把4x ×16y 化成同底数幂相乘，再得出指数为3求解即可；（2）先把（2x 3m ）2﹣（3xm ）2变形为4×（x 2m ）3﹣9x 2m ，代入数值计算即可．【解析】解：（1）由2x +4y ﹣3＝0可得2x +4y ＝3，∴4x ×16y＝22x •24y＝22x +4y＝23＝8；（2）∵x 2m ＝2，∴（2x 3m ）2﹣（3xm ）2＝4x 6m ﹣9x 2m＝4×（x 2m ）3﹣9x 2m＝4×23﹣9×2＝4×8﹣18＝32﹣18＝14．【点评】本题考查了幂的运算的应用，解题关键是熟练运用幂的运算法则进行变形，整体代入求值． 13．设1002m =，753n =，为了比较m 与n 的大小，小明想到了如下方法：()251004252216m ===，即25个16相乘的积；()25753253327n ===，即25个27相乘的积，显然m n <，现在设304x =，403y =，请你用小明的方法比较x 与y 的大小．【答案】x <y【分析】根据x =430=（43）10=6410，y =340=（34）10=8110，判断出x 、y 的大小关系即可．【解析】解：x =430=（43）10=6410，y =340=（34）10=8110，∵64<81，∴6410<8110，∴x <y ．【点评】此题主要考查了幂的乘方的逆用，以及有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（am ）n =amn （m ，n 是正整数）．14．已知9x ＝32y+4，23y ＝18，求x 2019+y 2020．15．(1)已知m ＋4n-3=0，求2m ⨯16n 的值．(2)已知n 为正整数，且x 2n ＝4，求(x 3n )2－2(x 2)2n 的值． 【答案】（1）8；（2）32【分析】（1）根据幂的运算法则变形后，代入已知即可得到结论；（2）原式变形后代入计算即可求出值．【解析】解：（1）∵m ＋4n -3=0，∴m ＋4n =3，2m×16n =422m n ⨯=42m n +=32=8；（2）原式=642n n x x -=2322()2()n n x x - =64﹣2×16=64﹣32=32．【点评】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．16．阅读下列材料:若352,3a b ==，则a ，b 的大小关系是a_____ b (填“<”或“>”).解:因为()()53153********,327,3227a a b b ======>，所以1515a b >，所以a b >.解答下列问题:(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质_A ．同底数幂的乘法B ．同底数幂的除法C ．幂的乘方D ．积的乘方(2)已知572,3x y ==，试比较x 与y 的大小． 【答案】＞ （1）C （2）x y <【分析】（1）根据幂的乘方进行解答即可；（2）根据题目所给的求解方法，进行比较．【解析】()()5315351553232,327,3227a a b b ======>， 所以1515a b >，所以a >b ，故答案为 >; (1)上述求解过程中，逆用了幕的乘方，故选C;(2) ()()75355735752128,3243,243128x x y y ======>，1535x y ∴<，x y ∴<.【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，根据题目所给的运算方法进行比较是解题的关键．【积的乘方逆运算】17．计算0.1252021×(-8)2022=________．【答案】8【分析】先把20222021(8)(8)(8)-=-⨯-，再由积的乘方的逆运算运算求解即可【解析】解：原式202120210.125(8)(8)=⨯-⨯-2021(0.1258)(8)=⨯-⨯-1(8)=-⨯-8=故答案为：8【点评】本题考查了积的乘方运算，解题的关键是把20222021(8)(8)(8)-=-⨯-表示出来．18．计算201920202( 1.5)3⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭的结果是 ______．19．计算：11120.25(4)⨯-=__________．【答案】4【分析】利用同底数幂乘法的逆用以及积的乘方的逆用进一步变形求解即可.【解析】原式=1111110.25(4)4(40.25)44⨯⨯=⨯⨯=，故答案为：4.【点评】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用以及积的乘方的逆用，熟练掌握相关方法是解题关键.20．计算：451()33-⨯ =____．=1×3=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握同底数幂的乘法和幂的乘方与积的乘方的运算法则．21．（﹣0.25）11×（﹣4）12=_________ 【答案】-4【解析】(-0.25) 11×(-4) 12=(-0.25) 11×(-4) 11 ×（-4）=[(-0.25)×(-4)] 11 ×（-4）=-4，故答案为-4.【点评】本题考查了幂的乘方及积的乘方，属于基础题，关键是掌握运算法则．22．已知2330x y +-=，求48x y ⋅的值． 【答案】8【分析】先把4x 和8y 都化为以2为底数的幂的形式，然后求解．【解析】解：∵2x +3y -3=0，∴2x +3y =3，则2348(2)(2)x y x y ⋅=⋅2322x y =⋅232x y +=32=8=．【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方的逆用，掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则是解答本题关键．23．计算：（1）(0.25)100×4100；（2）0.24×0.44×12.54．【答案】（1）1（2）1【分析】（1）根据积的乘方的逆运算进行计算即可；（2）根据积的乘方的逆运算进行计算即可．【解析】解：（1）()1001000.254⨯()100100=0.254=1⨯=1；（2）4440.20.412.5⨯⨯()44=0.20.412.5=1⨯⨯ =1．【点评】本题考查积的乘方的逆运算，掌握积的乘方等于各因式分别乘方的逆用是解题关键． 24．(1)若28,232,m n ==求242m n +-的值；(2)若21m x =-，则将114m y +=+用含x 的代数式表示． 422m n ÷22168128n ÷=， 21m x =-，1x +，2121412m ++=+ 5.x + 【幂的除法逆运算】25．已知34a =，8116b =，则243a b -等于______．【答案】1【分析】根据同底数幂的除法和幂的乘方法则，即可解答．【解析】解：243a b -=()24223814161361361a b a b ÷=÷=÷=÷=． 故答案为：1．【点评】本题考查了同底数幂的除法和幂的乘方，解题的关键是熟记同底数幂的除法公式．26．若242m n a a ==，，则63m n a -的值为__．【答案】8【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方的逆运算计算即可．【解析】解：∵24m a =，2n a =，∴63m n a -=6323333()()428m n m n a a a a =÷=÷=÷．故答案为8．【点评】本题考查了幂的乘方和同底数幂除法的逆运算；熟练掌握运算法则是解题关键．27．已知3a x =，4b x =，则32a b x -的值是_____．28．已知5m a =，3n a =，则2m n a -的值是_________．29．已知25m =，23n =，求下列各式的值：(1)2m n +；(2)48⨯m n ；(3)22m n -．30．已知：210,25,280a b c ===．(1)求22b 的值；(2)求22c b a -+的值． 【答案】(1)25(2)32【分析】（1）逆用幂的乘方，把22b 变形为(2b )2，把2b =5代入计算即可；（2）逆用同底数幂相乘和相除法则把22c b a -+变形为2c ÷22b ×2a ，再代入计算即可．（1）解：∵2b =5，∴22b =(2b )2=52=25；（2）解：∵2a =10，2c =80，又由(1)知：22b =25，∴22c b a -+=2c ÷22b ×2a=80÷25×10=32．【点评】本题考查幂的乘方与同底数幂相乘和相除运算法则，熟练掌握幂的乘方与同底数幂相乘和相除运算法则的逆用是解题的关键．31．已知314748216m m m +++⋅÷=，求m 的值.【答案】m=2【分析】将3147482m m m +++⋅÷变形为以2为底的幂进行比较列出方程计算即可；【解析】解：∵31472331472m+63347m+2482222=22m m m m m m m m ++++++++--⋅÷=⋅÷=（）（）又∵314748216m m m +++⋅÷=∴m+22=16∴m+2=4∴m=2【点评】本题考查了幂的运算，灵活进行幂之间的转化是解题的关键.32．已知：53,58,572a b c ===．(1)求2(5)a 的值．(2)求-5a b c +的值．(3)直接写出字母a 、b 、c 之间的数量关系．。

2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.10幂的运算与新定义问题大题培优专练班级：_____________ 姓名：_____________ 得分：_____________一．解答题（共30小题）1．（2023秋•西城区校级期中）如果a c＝b，那么我们规定（a，b）＝c．例如；因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定填空：（3，27）＝，（4，1）＝；（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．判断a，b，c之间的等量关系，并说明理由．2．（2023秋•西城区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．令（2，6）＝x，（2，7）＝y，（2，42）＝z，求证：（2，6）+（2，7）＝（2，42）．3．（2023秋•南岗区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果a c＝b，则（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下：设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，故3m⋅3n＝3m+n＝3×5＝15，则（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）．（1）根据上述规定，填空：（2，4）＝；（5，1）＝；（3，27）＝．（2）计算（5，2）+（5，7）＝，并说明理由．（3）利用“雅对”定义证明：（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数n都成立．4．（2023秋•叙州区校级月考）对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果a x＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x＝log a N，例如：32＝9，则log39＝2，其中a＝10的对数叫做常用对数，此时log10N可记为lgN．当a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0时，log a（M•N）＝loga M+log a N．（1）解方程：log x4＝2．（2）log28＝．（3）计算：lg 2+1g 5﹣2021．5．（2023春•茂名期末）阅读下列材料：若a ，b 两数满足a x ＝b ，则称x 为b 的“对数”，记作（a ，b ）＝x ，如42＝16，所以（4，16）＝2． 请根据以上规定，回答下列问题：（1）根据上述规定要求，请完成填空：（3，27）＝ ，（﹣2，16）＝ ，（−23， ）＝3．（2）计算（3，2）+（3，4）＝（ ， ），并写出计算过程；（3）直接写出结果：①（5，10）﹣（5，2）＝ ；②（10，4）×（2，10）＝ ．6．（2023春•江南区校级期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为a m •a n ＝a m +n （其中a ≠0，m 、n 为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m 、n 的一种新运算：f （m ）•f （n ）＝f （m +n ）（其中m 、n 为正整数）．例如，若f （3）＝2，则f （6）＝f （3+3）＝f （3）•f （3）＝2×2＝4．f （9）＝f （3+3+3）＝f （3）•f （3）•f （3）＝2×2×2＝8．（1）若f （2）＝5，①填空：f （6）＝ ；②当f （2n ）＝25，求n 的值；（2）若f （a ）＝3，化简：f （a ）•f （2a ）•f （3a ）•…•f （10a ）．7．（2023春•仪征市期末）阅读材料，完成问题．如果a c ＝b ，则（a ，b ）＝c ．例如：32＝9，则（3，9）＝2．（1）填空：（4，64）＝ ，（﹣2，1）＝ ，(−3，−127)= ； （2）试说明（5，3）+（5，7）＝（5，21）．8．（2023春•泰兴市校级月考）规定两正数a ，b 之间的一种运算记作L （a ，b ），如果a c ＝b ，那么L （a ，b ）＝c ．例如：因为32＝9，所以L （3，9）＝2．小明在研究这种运算时发现一个结论：L （a ，m n ）＝L （a ，m ）﹣L （a ，n ）． 小明给出了如下的证明：设L （a ，m ）＝x ，L （a ，n ）＝y ，由规定，得a x ＝m ，a y ＝n ，∴m n =a x ÷a y ＝a（x ﹣y ）， ∴L （a ，m n）＝x ﹣y ， ∴L （a ，m n ）＝L （a ，m ）﹣L （a ，n ）．请你解决下列问题：（1）填空：L （2，16）＝ ，L （ ，36）＝﹣2；（2）证明：L （3，5）+L （3，8）＝L （3，40）；（3）如果正数a 、m 、n ，满足L （a ，m ）＝x ﹣2，L （a ，n ）＝3x ﹣6，L （a ，mn ）＝2x +2，求x ．9．（2023春•万秀区校级期中）如果a c ＝b ，那么我们规定（a ，b ）＝c ，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，27）＝ ；（2）记（3，5）＝a ，（3，6）＝b ，（3，30）＝c ，求证：a +b ＝c ．10．（2023春•巨野县期中）规定a *b ＝2 a ×2 b ，求：（1）求1*3；（2）若2*（2x +1）＝64，求x 的值．11．（2023春•滦南县期中）【阅读理解】阅读下列内容，观察分析，回答问题：Ⅰ．33×34＝（3×3×3）×（3×3×3×3）＝37；Ⅱ．53×54＝（5×5×5）×（5×5×5×5）＝57；Ⅲ．a 3×a 4＝（a ×a ×a ）×（a ×a ×a ×a ）＝a 7．【概括总结】通过以上分析，填空：a m ×a n =(a ×a ×a ×⋯×a ︸m 个)(a ×a ×a ×⋯×a ︸n 个)； =a ×a ×a ×⋯×a ︸(①)=a (②)（m 、n 为正整数）．（1）在上述分析过程中：①所在括号中填 ，②所在括号中填 ．【应用与拓展】：计算：（2）105×104＝ ；（3）a •a 3•a 7＝ ；（4）如果x 是不等于1的正数，且x n •x 3n +3＝x 35，求n 的值．12．（2023春•亭湖区校级期中）规定两数a ，b 之间的一种运算，记作（a ，b ）；如果a c ＝b ，那么（a ，b ）＝c ．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：①（3，243）＝ ，（﹣2，﹣32）＝ ；②若（x ，116）＝﹣4，则x ＝ ；（2）若（4，5）＝a ，（4，6）＝b ，（4，30）＝c ，探究a ，b ，c 之间的数量关系并说明理由．13．（2023春•建邺区校级期中）我们约定a ☆b ＝10 a ×10 b ，如2☆3＝102×103＝105．（1）试求12☆3和4☆8的值；（2）（a +b ）☆c 是否与a ☆（b +c ）相等？并说明理由．14．（2022秋•松滋市期末）如果x n ＝y ，那么我们规定（x ，y ]＝n ．例如：因为42＝16，所以（4，16]＝2．（1）（﹣2，16]＝ ；若（2，y ]＝6，则y ＝ ；（2）已知（4，12]＝a ，（4，5]＝b ，（4，y ]＝c ，若a +b ＝c ，求y 的值；（3）若（5，10]＝a ，（2，10]＝b ，令t =2ab a+b ． ①求25a16b 的值；②求t 的值．15．（2023春•东海县月考）如果a c ＝b ，那么我们规定（a ，b ）＝c ，如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，27）＝ ，（4，1）＝ ，（2，0.25）＝ ；（2）记（3，5）＝a ，（3，6）＝b ，（3，30）＝c ．求证：c ﹣b ＝a ．16．（2023春•霍邱县期中）如果a c ＝b ，那么我们规定（a ，b ）＝c ，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3（1）根据上述规定，填空：（3，27）＝ ，（4，1）＝ （2，0.25）＝ ；（2）记（3，5）＝a ，（3，6）＝b ，（3，30）＝c ．求证：a +b ＝c ．17．（2022秋•米东区期中）我们规定：a ⊗b ＝10 a ×10 b ，例如3⊗4＝103×104＝107，请解决以下问题：（1）试求7⊗8的值．（2）想一想（a +b ）⊗c 与a ⊗（b +c ）相等吗？请说明理由．18．（2023春•徐汇区校级期中）阅读下列材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘a •a …，记为a n ．如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28＝3）．一般地，若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．（1）计算以下各对数的值：log24＝，log216＝，log264＝．（2）写出（1）log24、log216、log264之间满足的关系式．（3）由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：log a M+log a N＝（a＞0且a ≠1，M＞0，N＞0）．（4）设a n＝N，a m＝M，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．19．（2022秋•浦东新区校级期中）如果a c＝b，那么我们规定：F（a，b）＝c，例如，因为23＝8，34＝81那么我们就说F（2，8）＝3，F（3，81）＝4．（1）请根据上述定义，填空：F（4，16）＝；F（2，64）＝；F(25，16625)=；（2）已知F（x，5）＝a，F（x，6）＝b，F（x，m）＝c，且a+b＝c，求m的值．20．（2022春•平和县期中）如果x n＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．（1）（理解）根据上述规定，填空：（2，8）＝，(2，14)=；（2）（说理）记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c．试说明：a+b＝c；（3）（应用）若（m，16）+（m，5）＝（m，t），求t的值．21．（2022春•邳州市期中）规定m*n＝3m×3n．求：（1）0*2；（2）如果2*（x﹣1）＝81，求x的值．22．（2021秋•曲阜市期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（5，125）＝，（﹣2，4）＝，（﹣2，1）＝；（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），他给出了如下的证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n∴3x＝4，即（3，4）＝x，∴（3n，4n）＝（3，4）．请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由．（4，7）+（4，8）＝（4，56）．23．（2022春•包河区校级期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为a m •a n ＝a m +n （其中a ≠0，m 、n 为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m 、n 的一种新运算：f （m ）•f （n ）＝f （m +n ）（其中m 、n 为正整数）；例如，若f （3）＝2，则f （6）＝f （3+3）＝f （3）•f （3）＝2×2＝4．（1）若f （2）＝5，则：①计算f （6）；②当f （2n ）＝25，求n 的值；（2）若f （a ）＝3，化简：f （a ）•f （2a ）•f （3a ）•…•f （10a ）．24．（2022春•沛县校级月考）规定两数a ，b 之间的一种运算，记作（a ，b ）：如果a c ＝b ，那么（a ，b ）＝c ．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（5，125）＝ ，（﹣3，1）＝ ，（﹣2，−132）＝ ．（2）令（4，6）＝a ，（4，7）＝b ，（4，42）＝c ，试说明下列等式成立的理由：（4，6）+（4，7）＝（4，42）25．（2022春•宜兴市校级月考）规定两数a ，b 之间的一种运算，记作（a ，b ）；如果a c ＝b ，那么（a ，b ）＝c ．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：①（5，125）＝ ，（﹣2，﹣32）＝ ；②若（x ，18）＝﹣3，则x ＝ ． （2）若（4，5）＝a ，（4，6）＝b ，（4，30）＝c ，试探究a ，b ，c 之间存在的数量关系；（3）若（m ，8）+（m ，3）＝（m ，t ），求t 的值．26．（2022春•邗江区校级月考）根据同底数幂的乘法法则，我们发现：a m +n ＝a m •a n （其中a ≠0，m ，n 为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m ，n 的一种新运算：h （m +n ）＝h （m ）•h （n ），请根据这种新运算解决以下问题：（1）若h （1）＝﹣1，则h （2）＝ ；h （2019）＝ ；（2）若h （7）＝128，求h （2），h （8）的值；（3）若ℎ(4)ℎ(2)=4，求h （2）的值．27．（2021春•清江浦区校级期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据a m ＝b ，知道a 、m 可以求b 的值．如果知道a 、b 可以求m 的值吗？他们为此进行了研究，规定：若a m ＝b ，那么T （a ，b ）＝m ．例如34＝81，那么T （3，81）＝4．（1）填空：T （2，32）＝ ；（2）计算：T(13，27)+T(−2，16)；（3）探索T （2，3）+T （2，7）与T （2，21）的大小关系，并说明理由．28．（2021秋•宁江区校级期中）规定a ※b ＝2 a ×2 b ，例如：1※2＝21×22＝4．（1）求2※3的值；（2）若2※（x +1）＝16，求x 的值．29．（2021秋•郫都区校级月考）定义新运算：a ☆b ＝10 a ×10 b ．（1）试求：12☆3和4☆8的值；（2）判断（a ☆b ）☆c 是否与a ☆（b ☆c ）相等？验证你的结论．30．（2021春•高新区校级期中）对数的定义：一般地，若a x ＝N （a ＞0，a ≠1），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作：x ＝L a N ．比如指数式24＝16可以转化成对数式4＝L 216，对数式2＝L 225可以转化成指数式52＝25，根据对数的定义可得到对的一个性质：L a （M •N ）＝L a M +L a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0）．理由如下：设L a M ＝m ，L a N ＝n ，则M ＝a m ，N ＝a n ，∴M •N ＝a m •a n ＝a m +n ，由对数的定义得m +n ＝L a （M •N ）；而m +n ＝L a M +L a N ，∴L a （M •N ）＝L a M +L a N ，认真阅读理解上述材料，解决以下问题：（1）填空：①将指数式43＝64转化成对数式为 ；②将对数式4＝L 381转化成指数式为 ；③计算：L 1010＝ ；（2）试说明：L a （M N ）＝L a M ﹣L a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0）； （3）计算：L 32+L 318﹣L 34．。

七（下）第八章幕的运算提高练习卷满分：100分时间：60分钟得分： __________________ 、选择题（请将正确答案的序号填在括号中，每小题3分，计24分）1.下列各项中，属于冋底数幕的是()A. a2与2aB. (x2y) 2与(xy2) 2 C . (33) 2与(45) 2D. 102与1032 .计算（一x）2 x3的结果是( )A. x5B. —x5C. x6 D . —x62009年初，甲型H1N1流感在墨西哥暴发并在全球蔓延，我们应注意个人卫生，加强防3.示这个数是刀沿5次对折后的绳子中间将绳子全部剪断，则细绳被剪成了二、填空题（请把正确答案直接填在横线上，每小题3分，计24分）9.计算：(1)x x2 = ; (2)x n x n 1= .10.计算：(1)3a3a 2—a/= ；(2)( —x)3対—x) 2=11.计算：13- 2013°= . 2范•研究表明，甲型H1N1流感球形病毒的直径约为0. 000 00156 m,用科学记数法表4.5.6.7.A. 0. 156 X10「5F列计算正确的是A. a2+ a3=a5F列运算正确的是A. ( 一3. 14) °=0B. 0. 156 X105C. 1 . 56 X10D. 1 . 56 X06B.B.F列运算：①x 2 +x 3=2X5;A. B.a6p2=a3C. (a2)3=a62a X3a=6a已知a+b a—b 12m m =m ,则 aA. B.(—3. 14)°=1②(x 2)3=x6;③ 30X2—1=5;④的值为其中正确的个数C. 3C. 5一根细长的绳子，沿中间对折，对折后再沿中间对折，这样连续沿中间对折5次, 用剪A. 17 段B. 32 段C. 33 段34段12.已知某种生物孢子的直径为 ______________________ 0. 000 63 m ,用科学记数法可以表示为 m .13.中国香港特别行政区的科学家首先研制成世界上最细的纳米硅线，直径只有1纳米，即10「9米•已知人体头发的直径大约是 0. 05毫米，那么人体头发的直径大约是纳米14.计算：2012----- = __________ . 201215•已知 3m =6 , 9n =2 •则 32m 「4n+1= _______ .16•把a 9(a > 0)按下列要求进行操作：若指数为奇数，则乘a ;若指数为偶数，则把它的指数除以2 •第 __________ 次操作后得到的结果是 a 4;第100次操作后得到的结果是三、解答题(本题共6小题，计52分) 17. (本题满分20分)计算：(1)( — a 3) 2 (-a 2)3；(2)(p — q) 4珂q — q)3 (p — q) 2；(4)4 — (— 2) —2— 3 2 讯3. 14— ) 0.18. (本题满分6分)(1)已知 84M 3=2x ，求 x .硅线直径的倍.2014亠20131(3)( — 3a)3— (— a) (- — 3a) 2; (2)如果4 16n =49，求 宀 的值.4 319. （本题满分6分）在数学课上，老师与同学们一起利用球的体积公式V - r3计算出地球的体积大约是9. 05X1011km3.接着老师问道：太阳也可以看作是球体，它的半径是地球的10 2倍，那么太阳的体积大约是多少呢？”同学们立即计算起来，不一会，好多同学都举手表示做完了. 已知小丁的答案是9. 05X1013km3,小新的答案是9. 05X1015km3,小明的答案是9. 05X1017km3,那么这三位同学谁的答案正确呢？青你想一想，并将你的正确做法写出来.20. （本题满分6分）地震的强度通常用里克特震级表示，描绘地震震级数的数字表示地震的强度是10的若干次幕.例如，2008年5月12日，四川汶川大地震用里克特震级表示是8. 0级，说明地震的强度是107. 2009年11月2日，云南省大理白族自治州宾川县发生5. 0级地震，那么四川汶川大地震的地震强度是云南宾川地震强度的多少倍？21．(本题满分6分)你能将若干个相同的数组成一个尽可能大的数吗?例如，用3个1组成一些数：(1)111；(2)111；(3)111；(4)111．上述4个数中，111最大．你能用3个3组成一些数，并把它们按照从大到小的顺序排列吗?22．(本题满分8分)你能比较两个数20122013和20132012的大小吗?为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较n n+1和(n+1)n的大小(n >1且 n为整数)：然后从分析n=1 ,n=2, n=3 .........这些简单的情形入手，从中发现规律，经过归纳、总结，最后猜想出结论．(1)通过计算，比较下列各组数的大小(在横线处填上“>”、“ =或：① 12______ 21；② 23 ________ 32;③ 34________ 43;④ 45_________ 54；⑤56 _______ 65；⑥67_________ 76；⑦ 78_______ 87……⑵由第(1)小题的结果归纳、猜想n n+1与(n+1)n的大小关系.(3)根据第(2)小题得到的一般结论，可以得到20122013________ 20132012(填\”、“ =或.)参考答案、1. D 2. A 3. C4. C5. B6. A 7. D 8. C、9. (1)x3 (2)x2n—110. (1)2a5 (2) —x11.9 12. 6. 3X1013. 4 1 5X10414. -15.2716. 5 a22012三、117. ⑴-a12 (2)(q—p)3 (3) —18a3 (4) 5418. (1)18 (2)1619•小明的答案正确，正确做法略20. 由题意得107-104=1000.所以四川汶川大地震的地震强度是云南宾川地震强度的1000倍21. 用3个3可以组成下列各数：333,333,333,333.按从大到小的顺序排列为333> 333>333>333 22. (1)①v ②v ③〉④〉⑤〉⑥〉⑦〉(2)当n=1、2 时，n n+1v (n+1)n;当n》3时，n n+1> (n +1)n (3) >。