广东省中山市东升高中数学必修导学案

中山市东升高中高一年级校本教材开发小组编印数学导学案2008～2009 学年第一学期模块：必修 ②章节： 第二章 点线面的位置关系 班级： 姓名：中山市东升高中 高一数学◆必修2◆导学案 编写：赵进 校审：王艳艳1§2.1.1 平面学习目标1. 了解平面的描述性概念；2. 掌握平面的表示方法和基本画法；3. 掌握平面的基本性质；4. 能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它 们之间的关系. 学习过程一、课前准备（预习教材 P 40~ P 43，找出疑惑之处） 引入： 平面是构成空间几何体的基本要素.那么什么 是平面呢?平面如何表示呢?平面又有哪些性质呢?二、新课导学 ※ 探索新知探究 1：平面的概念与表示问题：生活中哪些物体给人以平面形象？你觉得平 面可以拉伸吗？平面有厚薄之分吗？新知 1：平面(plane)是平的；平面是可以无限延展 的；平面没有厚薄之分.问题：通常我们用一条线段表示直线，那你认为用 什么图形表示平面比较合适呢？ 新知 2：如上图，通常用平行四边形来表示平面.平 面可以用希腊字母 ,, a b g 来表示，也可以用平行四 边形的四个顶点来表示，还可以简单的用对角线的 端点字母表示.如平面a ,平面ABCD ,平面AC 等.规定：①画平行四边形，锐角画成45°，横边长等 于其邻边长的 2 倍； ②两个平面相交时， 画出交线， 被遮挡部分用虚线画出来；③用希腊字母表示平面时，字母标注在锐角内.问题：点动成线、线动成面.联系集合的观点，点和 直线、平面的位置关系怎么表示？直线和平面呢? 新知 3：⑴点A 在平面a 内，记作 A a Î ；点 A 在 平面a 外，记作 A a Ï .⑵点 P 在直线l 上，记作 P l Î ，点P 在直线外，记作P l Ï .⑶直线l 上所有 点都在平面a 内,则直线l 在平面a 内(平面a 经过 直线l ),记作l aÌ ；否则直线就在平面外，记作 l a Ë .探究 2：平面的性质问题：直线l 与平面a 有一个公共点P ,直线l 是否 在平面a 内?有两个公共点呢?新知 4：公理1 如果一条直线上的两点在一个平面 内，那么这条直线在此平面内.用集合符号表示为： ,, A l B l ÎÎ 且 , A B l a a aÎÎÞÌ 问题：两点确定一直线，两点能确定一个平面吗？ 任意三点能确定一个平面吗？新知 5：公理 2 过不在一条直线上的三点，有且只 有一个平面.如上图,三点确定平面ABC .问题：把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所 在平面与桌面所在平面是否只相交于点 B ?为什 么?新知 6：公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.如下 图所示：平面a 与平面b 相交于直线l ，记作 l a b = I .公理3 用集合符号表示为, P a Î 且Pb Î Þ l a b = I ,且P l Î ※ 典型例题例 1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面 之间的位置关系.2008年下学期◆高一 月 日 班级： 姓名： 第二章 点、 线、 面的位置关系2例 2 如图在正方体ABCD A B C D ¢¢¢¢ - 中，判断下列 命题是否正确，并说明理由： ⑴直线AC 在平面ABCD 内； ⑵设上下底面中心为 , O O ¢， 则平面AA C C ¢¢ 与平面BB ¢D D ¢ 的交线为OO ¢；⑶点 ,, A O C ¢可以确定一平面； ⑷平面AB C ¢¢与平面AC D¢ 重合.※ 动手试试 练 用符号表示下列语句，并画出相应的图形： ⑴点A 在平面a 内，但点B 在平面a 外； ⑵直线a 经过平面a 外的一点M ； ⑶直线a 既在平面a 内，又在平面b 内.三、总结提升 ※ 学习小结1. 平面的特征、画法、表示；2. 平面的基本性质(三个公理)；3. 用符号表示点、线、面的关系.※ 知识拓展平面的三个性质是公理(不需要证明,直接可以用), 是用公理化方法证明命题的基础.其中公理1可以用 来判断直线或者点是否在平面内；公理2用来确定 一个平面，判断两平面重合，或者证明点、线共面； 公理 3 用来判断两个平面相交，证明点共线或者线 共点的问题.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下面说法正确的是（ ）.①平面 ABCD 的面积为 210cm ②100个平面重合比50个平面重合厚③空间图形中虚线都是辅助线④ 平面不一定用平行四边形表示.A.①B.②C.③D.④ 2. 下列结论正确的是（ ）. ①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个 平面②经过两条相交直线，可以确定一个平面③经 过两条平行直线，可以确定一个平面④经过空间任 意三点可以确定一个平面 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3. 如图在四面体中，若直线EF 和GH 相交，则它 们的交点一定（ ）.A.在直线DB 上B.在直线AB 上C.在直线CB 上D.都不对 4. 直线 12 , l l 相交于点P ，并且分别与平面g 相交于 点 , A B 两点， 用符号表示为____________________. 5. 两个平面不重合，在一个面内取 4点，另一个面 内取 3 点，这些点最多能够确定平面_______个.课后作业1. 画出满足下列条件的图形：⑴三个平面：一个水平，一个竖直，一个倾斜； ⑵ ,,, l AB CD a b a b =ÌÌ I AB ∥l ，CD ∥l .2.如图在正方体中，A 是顶点， , B C 都是棱的中点， 请作出经过 ,, A B C 三点的平面与正方体的截面.O ¢ O B C D ADC B A HGDCFBA中山市东升高中 高一数学◆必修2◆导学案 编写：赵进 校审：王艳艳3§2.1.2 空间直线与直线之间的位置关系学习目标1. 正确理解异面直线的定义；2. 会判断空间两条直线的位置关系；3. 掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用；4. 会求异面直线所成角的大小.学习过程一、课前准备（预习教材 P 44~ P 47，找出疑惑之处） 复习 1： 平面的特点是______、_______ 、 _______. 复习 2：平面性质(三公理)公理 1___________________________________； 公理 2___________________________________； 公理3___________________________________.二、新课导学※ 探索新知探究 1：异面直线及直线间的位置关系问题：平面内两条直线要么平行要么相交（重合不 考虑）,空间两条直线呢? 观察：如图在长方体中，直线A B ¢ 与CC ¢的位置关系如何？结论：直线A B ¢ 与CC ¢既不相交，也不平行.新知 1：像直线A B ¢ 与CC ¢这样不同在任何一个平 面内的两条直线叫做异面直线(skew lines).试试：请在上图的长方体中，再找出3 对异面直线.问题：作图时，怎样才能表示两条直线是异面的？ 新知 2：异面直线的画法有如下几种( , a b 异面)： 试试：请你归纳出空间直线的位置关系.探究 2：平行公理及空间等角定理问题：平面内若两条直线都和第三条直线平行，则 这两条直线互相平行，空间是否有类似规律? 观察： 如图 2­1,在长方体中， 直线C D¢¢∥ A B ¢¢，AB ∥ A B ¢¢，那么直线AB 与C D ¢¢平行吗?图 2­1新知 3: 公理 4 (平行公理)平行于同一条直线的两 条直线互相平行.问题： 平面上,如果一个角的两边与另一个角的两边 分别平行，则这两个角相等或者互补，空间是否有 类似结论?观察：在图 2­1 中, ADC Ð 与 A D C ¢¢¢ Ð , ADC Ð 与 A BC ¢¢¢ Ð 的两边分别对应平行，这两组角的大小关 系如何?新知 4: 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.探究 3：异面直线所成的角问题：平面内两条直线的夹角是如何定义的?想一想异面直线所成的角该怎么定义?图 2­2新知 5: 如图2­2,已知两条异面直线 , a b ， 经过空间 任一点O 作直线 a ¢∥a ,b ¢∥b ，把a ¢与b ¢所成的 锐角(或直角)叫做异面直线 , a b 所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作a b ^ . 反思：思考下列问题.⑴ 作异面直线夹角时，夹角的大小与点O 的位置有关吗?点O 的位置怎样取才比较简便?⑵ 异面直线所成的角的范围是多少?⑶ 两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗?⑷ 异面直线的夹角是通过什么样的方法作出来的?它体现了什么样的数学思想? ※ 典型例题例1 如图2­3, ,,, E F G H 分别为空间四边形ABCD 各边 ,,, AB BC CD DA 的中点，若对角线 2, BD = 4 AC = ，则 22 EG HF + 的值为多少?(性质：平行四 边形的对角线的平方和等于四条边的平方和).aaba2008年下学期◆高一 月 日 班级： 姓名： 第二章 点、 线、 面的位置关系4图 2­3例 2 如图 2­4，在正方体中，求下列异面直线所成的角.⑴BA ¢和CC ¢ ⑵B D ¢¢和C A¢ 图 2­4※ 动手试试练 正方体 ABCD A B C D ¢¢¢¢ - 的棱长为a ，求异面直线AC 与 A D ¢¢所成的角.三、总结提升※ 学习小结1. 异面直线的定义、夹角的定义及求法；2. 空间直线的位置关系；3. 平行公理及空间等角定理.※ 知识拓展异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一 点的直线， 和平面内不经过该点的直线是异面直线.如图， ,,, a A B B a a a a ÌÏÎÏ ，则直线AB 与直线 a 是异面直线.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. ,, a b c 为三条直线，如果 , a c b c ^^ ，则 , a b 的位 置关系必定是（ ）.A.相交B.平行C.异面D.以上答案都不对 2. 已知 , a b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b （ ）. A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 3. 已知 l a b = I , , a b a b ÌÌ ， 且 , a b 是异面直线， 那么直线l （ ）.A.至多与 , a b 中的一条相交B.至少与 , a b 中的一条相交C.与 , a b 都相交D.至少与 , a b 中的一条平行4. 正方体 ABCD A B C D ¢¢¢¢ - 的十二条棱中，与直线 AC ¢是异面直线关系的有___________条.5. 长方体 1111 ABCD A B C D - 中, 3 AB = , 2, BC = 1 AA =1， 异面直线AC 与 11 A D 所成角的余弦值是______.课后作业 1. 已知 , E E ¢是正方体 AC ¢棱 AD ， A D ¢¢的中点，求证： CEB C E B¢¢¢ Ð=Ð . 2. 如图 2­5，在三棱锥P ABC - 中，PA BC ^ ，E 、F 分别是PC 和 AB 上的点，且 32PE AF EC FB == ，设EF 与PA 、BC 所成的角分别为 , a b ， 求证： 90 a b += °.图 2­5中山市东升高中 高一数学◆必修2◆导学案 编写：赵进 校审：王艳艳5§2.1.3 空间直线与平面之间的位置关系§2.1.4 平面与平面之间的位置关系学习目标1. 掌握直线与平面之间的位置关系， 理解直线在平 面外的概念,会判断直线与平面的位置关系；2. 掌握两平面之间的位置关系， 会画相交平面的图 形.学习过程一、课前准备（预习教材 P 48~ P 50，找出疑惑之处）复习 1：空间任意两条直线的位置关系有_______、 _______、_______三种. 复习 2：异面直线是指________________________ 的两条直线,它们的夹角可以通过______________ 的方式作出,其范围是___________.复习 3：平行公理：__________________________ ________________；空间等角定理：_______________________________________________________.二、新课导学 ※ 探索新知探究 1：空间直线与平面的位置关系 问题： 用铅笔表示一条直线， 作业本表示一个平面， 你试着比画，它们之间有几种位置关系?观察：如图 3­1,直线A B ¢ 与长方体的六个面有几种 位置关系?图 3­1新知 1：直线与平面位置关系只有三种： ⑴直线在平面内—— ⑵直线与平面相交—— ⑶直线与平面平行——其中，⑵、⑶两种情况统称为直线在平面外.反思：⑴从交点个数方面来分析，上述三种关系对应的交 点有多少个？请把结果写在新知1的——符号后面 ⑵请你试着把上述三种关系用图形表示出来，并想 想用符号语言该怎么描述.探究 2：平面与平面的位置关系问题：平面与平面的位置关系有几种？你试着拿两 个作业本比画比画.观察：还是在长方体中，如图 3­2，你看看它的六个面两两之间的位置关系有几种?图 3­2新知 2：两个平面的位置关系只有两种： ⑴两个平面平行——没有公共点 ⑵两个平面相交——有一条公共直线试试：请你试着把平面的两种关系用图形以及符号 语言表示出来.※ 典型例题例 1 下列命题中正确的个数是（ ）①若直线l 上有无数个点不在平面a 内，则l ∥a . ②若直线l 与平面a 平行， 则l 与平面a 内的任意一 条直线都平行.③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那 么另一条也与这个平面平行.④若直线l 与平面a 平行，则l 与平面a 内的任意一 条直线都没有公共点.A.0B.1C.2D.32008年下学期◆高一 月 日 班级： 姓名： 第二章 点、 线、 面的位置关系6例 2 已知平面 , a b ，直线 , a b ，且a ∥b ,a a Ì ，b b Ì ，则直线a 与直线b 具有怎样的位置关系?※ 动手试试 练 1. 若直线a 不平行于平面a ，且a a Ë ，则下列 结论成立的是（ ） A.a 内的所有直线与a 异面 B.a 内不存在与a 平行的直线 C.a 内存在唯一的直线与a 平行D.a 内的直线与a 都相交.练 2. 已知 ,, a b c 为三条不重合的直线， ,, a b g 为三 个不重合的平面：①a ∥c ,b ∥c Þ a ∥b ； ②a ∥g ,b ∥g Þ a ∥b ； ③a ∥c ,c ∥a Þ a ∥a ； ④a ∥g ,a ∥a a Þ ∥g ； ⑤a a Ë ,b a Ì ,a ∥b Þ a ∥a . 其中正确的命题是（ ）A.①⑤B.①②C.②④D.③⑤三、总结提升 ※ 学习小结1. 直线与平面、平面与平面的位置关系；2. 位置关系用图形语言、符号语言如何表示；3. 长方体作为模型研究空间问题的重要性. ※ 知识拓展求类似确定空间的部分、平面的个数、交线的 条数、交点的个数问题,都应对相应的点、线、面的 位置关系进行分类讨论， 做到不重不漏.分类讨论是 数学中常用的重要数学思想方法，可以使问题化难 为易、化繁为简.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ ） . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 直线l 在平面a 外，则（ ）. A.l ∥a B.l 与a 至少有一个公共点 C.l A a = I D.l 与a 至多有一个公共点 2. 已知a ∥a ，b a Ì ，则（ ）. A.a ∥b B.a 和b 相交C.a 和b 异面D.a 与b 平行或异面3. 四棱柱的的六个面中，平行平面有（ ）. A.1 对 B.1 对或2 对 C.1 对或 2 对或 3 对D.0 对或1 对或 2对或 3 对4. 过直线外一点与这条直线平行的直线有____条； 过直线外一点与这条直线平行的平面有____个.5. 若在两个平面内各有一条直线， 且这两条直线互 相平行， 那么这两个平面的位置关系一定是______. 课后作业 1. 已知直线 , a b 及平面a 满足: a ∥a ,b ∥a ,则 直线 , a b 的位置关系如何?画图表示.2. 两个不重合的平面， 可以将空间划为几个部分？ 三个呢？试画图加以说明.中山市东升高中 高一数学◆必修2◆导学案 编写：赵进 校审：王艳艳7§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系（练习）学习目标1. 理解和掌握平面的性质定理，能合理运用；2. 掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位 置关系；3. 会判断异面直线，掌握异面直线的求法；4. 会用图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系.学习过程一、课前准备（预习教材 P 40~ P 50，找出疑惑之处） 复习 1：概念与性质⑴平面的特征和平面的性质(三个公理)； ⑵平行公理、等角定理；⑶直线与直线的位置关系 ì ïí ï î 平行 相交异面 ⑷直线与平面的位置关系 ì ïí ï î在平面内 相交平行 ⑸平面与平面的位置关系 ìíî平行 相交 复习 2：异面直线夹角的求法：平移线段作角，解 三角形求角.复习 3：图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系⑴点与线、点与面的关系； ⑵线与线、线与面的关系； ⑶面与面的关系.二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 如图 4­1, ABC D 在平面a 外，AB P a = I ， BC Q a = I ， AC R a = I ，求证：P ,Q ,R 三点共线.图 4­1小结：证明点共线的基本方法有两种⑴找出两个面的交线，证明若干点都是这两个平面 的公共点，由公理 3 可推知这些点都在交线上，即 证若干点共线. ⑵选择其中两点确定一条直线，证明另外一些点也 都在这条直线上. 例 2 如图 4­2,空间四边形ABCD 中，E ,F 分别是AB 和CB 上的点，G ,H 分别是CD和 AD 上的点，且EH FG 与 相交于点K .求证：EH,BD ,FG 三条直线相交于同一点.图 4­2小结：证明三线共点的基本方法为：先确定待证的三线中的两条相交于一点,再证明此点是二直线所 在平面的公共点，第三条直线是两个平面的交线， 由公理 3 得证这三线共点.例 3 如图 4­3,如果两条异面直线称作“一对” ，那么在正方体的 12 条棱中，共有异面直线多少对? 图 4­3反思：分析清楚几何特点是避免重复计数的关键，计数问题必须避免盲目乱数，分类时要不重不漏.※ 动手试试练 1. 如图 4­4,是正方体的平面展开图,图 4­4则在这个正方体中：2008年下学期◆高一 月 日 班级： 姓名： 第二章 点、 线、 面的位置关系8①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成60°角 ④DM 与BN 是异面直线其中正确命题的序号是（ ）A.①②③B.②④C.③④D.②③④练 2. 如图 4­5， 在正方体中，E ,F 分别为AB 、AA ¢的中点，求证：CE ,D F¢ ,DA 三线交于一点. 图 4­5练3. 由一条直线和这条直线外不共线的三点,能确 定平面的个数为多少? 小结：分类讨论的数学思想三、总结提升※ 学习小结1. 平面及平面基本性质的应用；2. 点、线、面的位置关系；3. 异面直线的判定及夹角问题.※ 知识拓展异面直线的判定方法：①定义法：利用异面直线的定义，说明两直线不平 行，也不相交，即不可能在同一个平面内. ②定理法：利用异面直线的判定定理说明.③反证法(常用)：假设两条直线不异面，则它们一 定共面，即这两条直线可能相交，也可能平行，然 后根据题设条件推出矛盾.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 直线 1 l ∥ 2 l ,在 1 l 上取 3 个点，在 2 l 上取 2 个点， 由这 5 个点确定的平面个数为（ ）. A.1 个 B.3 个 C.6个 D.9 个 2. 下列推理错误的是（ ）. A. A l Î , A a Î ,B l Î ,B a Î l aÞÌ B. A a Î , A b Î ,B a Î ,B b Î AB a b Þ= I C.l a Ë , A l A aÎÞÏ D.A ,B ,C a Î , A ,B ,C b Î ,且 A ,B ,C 不共线 a b Þ 与 重合3. a ,b 是异面直线,b ,c 是异面直线， 则a ,c 的位置 关系是（ ）.A.相交、平行或异面B.相交或平行C.异面D.平行或异面4. 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行， 则它与另一平面____________.5. 垂直于同一条直线的两条直线位置关系是_____ _____________；两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，则另一条和这条直线______.课后作业1. 如图 4­6,在正方体中M ,N 分别是 AB 和DD ¢的 中点，求异面直线B M ¢ 与CN 所成的角.图 4­62. 如图 4­7,已知不共面的直线a ,b ,c 相交于O 点， M ,P 点是直线a 上两点，N ,Q 分别是直线b ,c 上 一点.求证：MN 和PQ 是异面直线.图 4­7P NM O中山市东升高中 高一数学◆必修2◆导学案 编写：赵进 校审：王艳艳9§2.2.1 直线与平面平行的判定学习目标1. 通过生活中的实际情况，建立几何模型，了解直 线与平面平行的背景；2. 理解和掌握直线与平面平行的判定定理， 并会用 其证明线面平行.学习过程一、课前准备（预习教材 P 54~ P 55，找出疑惑之处）复习：直线与平面的位置关系有______________， _______________，_________________.讨论：直线和平面的位置关系中，平行是最重要的关系之一，那么如何判定直线和平面是平行的呢？ 根据定义好判断吗？二、新课导学 ※ 探索新知探究 1：直线与平面平行的背景分析实例 1：如图 5­1，一面墙上有一扇门，门扇的两边 是平行的.当门扇绕着墙上的一边转动时， 观察门扇 转动的一边l 与墙所在的平面位置关系如何？图 5­1实例 2：如图 5­2，将一本书平放在桌面上，翻动书 的封面，观察封面边缘所在直线l 与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？图 5­2结论：上述两个问题中的直线l 与对应平面都是平 行的.探究 2：直线与平面平行的判定定理 问题： 探究1两个实例中的直线l 为什么会和对应的 平面平行呢？你能猜想出什么结论吗？能作图把 这一结论表示出来吗？新知：直线与平面平行的判定定理定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平 行， 则该直线与此平面平行. 如图 5­3所示， a ∥a .图 5­3反思：思考下列问题⑴用符号语言如何表示上述定理；⑵上述定理的实质是什么？它体现了什么数学思 想？⑶如果要证明这个定理，该如何证明呢？※ 典型例题 例 1 有一块木料如图5­4 所示，P 为平面BCEF 内一点，要求过点P 在平面BCEF 内作一条直线与平 面ABCD 平行，应该如何画线？图 5­4例 2 如图 5­5，空间四边形ABCD 中， , E F 分别是, AB AD 的中点，求证：EF ∥平面BCD .图 5­5※ 动手试试练1. 正方形ABCD 与正方形ABEF 交于AB ， M 和N 分别为AC 和BF 上的点，且AM FN = ， 如图 5­6 所示.求证：MN ∥平面BEC .图 5­6练 2. 已知 ABC D , , D E 分别为 , AC AB 的中点，沿 DE 将 ADE D 折起，使A 到 A ¢的位置，设M 是 A B ¢ 的中点，求证：ME ∥平面A CD ¢ .三、总结提升※ 学习小结1. 直线与平面平行判定定理及其应用,其核心是线 线平行Þ线面平行；2. 转化思想的运用：空间问题转化为平面问题. ※ 知识拓展判定直线与平面平行通常有三种方法： ⑴利用定义： 证明直线与平面没有公共点.但直接证 明是困难的，往往借助于反正法来证明. ⑵利用判定定理， 其关键是证明线线平行.证明线线 平行可利用平行公理、中位线、比例线段等等. ⑶利用平面与平面平行的性质.(后面将会学习到)学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ ） . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 若直线与平面平行， 则这条直线与这个平面内的 （ ）.A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.任意一条直线都不相交D.无数条直线不相交 2. 下列结论正确的是（ ）. A.平行于同一平面的两直线平行B.直线l 与平面a 不相交，则l ∥平面aC. , A B 是平面a 外两点， , C D 是平面a 内两点， 若 AC BD = ，则AB ∥平面aD.同时与两条异面直线平行的平面有无数个3. 如果AB 、BC 、CD 是不在同一平面内的三条线 段，则经过它们中点的平面和直线 AC 的位置关系 是（ ）.A.平行B.相交C.AC 在此平面内D.平行或相交 4. 在正方体 1111 ABCD A B C D - 的六个面和六个对角 面中，与棱AB 平行的面有________个.5. 若直线 , a b 相交，且a ∥a ，则b 与平面a 的位 置关系是_____________.课后作业1. 如图 5­7，在正方体中，E 为 1 DD 的中点，判断1 BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由.图 5­72. 如图 5­8，在空间四边形ABCD 中，P 、Q 分别是 ABC D 和 BCD D 的重心.求证：PQ ∥平面ACD .图 5­8N MFEDBA§2.2. 2 平面与平面平行的判定学习目标1. 能借助于长方体模型讨论直线与平面、 平面与平 面的平行问题；2. 理解和掌握两个平面平行的判定定理及其运用；3. 进一步体会转化的数学思想.学习过程一、课前准备（预习教材 P 56~ P 57，找出疑惑之处） 复习 1： 直线与平面平行的判定定理是___________ ___________________________________________. 复习 2：两个平面的位置关系有___种，分别为____ ___和_______.讨论：两个平面平行的定义是两个平面没有公共点, 怎样证明两个平面没有公共点呢?你觉得好证吗? 二、新课导学 ※ 探索新知探究：两个平面平行的判定定理问题 1：平面可以看作是由直线构成的.若一平面内 的所有直线都与另一个平面平行，则这两个平面平 行吗？由此你可以得到什么结论？结论：两个平面平行的问题可以转化为一个平面内 的直线与另一个平面平行的问题.问题 2：一个平面内所有直线都平行于另外一个平 面好证明吗？能否只证明一个平面内若干条直线 和另外一个平面平行，那么这两个平面就平行呢？ 试试：在长方体中，回答下列问题 ⑴如图 6­1， AA AA B B ¢¢¢ Ì面, AA ¢∥面BB C C ¢¢ ， 则面AA B B ¢¢ ∥面BB C C ¢¢ 吗？图 6­1⑵如图 6­2，AA ¢∥EF ，AA ¢∥ DCC D¢¢ 面，EF ∥ DCC D ¢¢ 面 ，则 A ADD ¢¢ 面 ∥ DCC D¢¢ 面 吗？ 图 6­2⑶如图 6­3，直线A C ¢¢和B D ¢¢相交，且A C ¢¢、B D ¢¢ 都和平面ABCD 平行(为什么)，则平面A B C D ¢¢¢¢∥ 平面ABCD 吗？图 6­3反思：由以上 3 个问题，你得到了什么结论？新知：两个平面平行的判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 则这两个平面平行. 如图 6­4所示，a ∥b .图 6­4反思：⑴定理的实质是什么? ⑵用符号语言把定理表示出来.⑶如果要证明定理，该怎么证明呢？ ※ 典型例题例 1 已知正方体 1111ABCD A B C D - ， 如图 6­5， 求证： 平面 11 AB D ∥1 CB D . 图 6­5例 2 如图 6­6， 已知 , a b 是两条异面直线， 平面a 过a ，与b 平行，平面b 过b ，与a 平行， 求证：平面a ∥平面b图 6­6小结：证明面面平行，只需证明线线平行，而且这 两条直线必须是相交直线. ※ 动手试试练. 如图 6­7， 正方体中， ,,, M N E F 分别是棱A B ¢¢， A D ¢¢，B C ¢¢，C D ¢¢的中点，求证：平面AMN ∥ 平面EFDB . 图 6­7三、总结提升 ※ 学习小结1. 平面与平面平行的判定定理及应用；2. 转化思想的运用.※ 知识拓展判定平面与平面平行通常有 5种方法 ⑴根据两平面平行的定义(常用反证法)； ⑵根据两平面平行的判定定理；⑶垂直于同一条直线的两个平面平行(以后学习)； ⑷两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面 平行(平行的传递性)；⑸一个平面内的两条相交直线分别平行于另外一 个平面内的两条直线， 则这两个平面平行(判定定理 的推论).学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ ） . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 平面a 与平面b 平行的条件可以是（ ）. A.a 内有无穷多条直线都与b 平行B.直线a 与 , a b 都平行，且不在a 和b 内C.直线a a Ì ,直线b b Ì ,且a ∥b ,b ∥aD.a 内的任何直线都与b 平行2. 经过平面a 外的一条直线a 且与平面a 平行的 平面（ ）. A.有且只有一个 B.不存在 C.至多有一个 D.至少有一个3. 设有不同的直线 , a b ，及不同的平面a 、b ，给出的三个命题中正确命题的个数是（ ）. ①若a ∥a ,b ∥a ,则a ∥b ②若a ∥a ,a ∥b ,则a ∥b ③若 , a a a Ì ∥b ,则a ∥b .A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个4. 如果两个平面分别经过两条平行线中的一条， 则 这两个平面的位置关系是________________.5. 若两个平面都平行于两条异面直线中的每一条, 则这两平面的位置关系是_______________.课后作业1. 如图 6­8，在几何体ABC A B C ¢¢¢ - 中， 1 Ð +2180 Ð= °, 34180 Ð+Ð= °,求证：平面ABC ∥ 平面A B C ¢¢¢.图 6­82. 如图 6­9，A ¢、B ¢、C ¢分别是 PBC D 、 PCA D 、 PAB D 的重心.求证：面A B C ¢¢¢∥ ABC 面 .图 6­9baF EM N BC ¢ ADCAD ¢。

中山市东升高中高一年级校本教材开发小组编印数学导学案2008～2009 学年第二学期模块： 必 修④章节： 第二章 平面向量班级： 姓名：中山市东升高中 高一数学◆必修4◆导学案 编写：王艳艳 校审：赵进1§2.1 平面向量的实际背景及基本概念⑴学习目标1. 通过对物理中有关概念的分析， 了解向量的实际 背景，进而深刻理解向量的概念；2. 掌握向量的几何表示；3. 理解向量的模、零向量与单位向量的概念.学习过程 一、课前准备（预习教材 82 P ～ 84P ，找出疑惑之处） 复习 1： 位置是日常生活中我们提到较多的一个词，在几何中常用点表示位置，研究如何用一点的位置 确定另外一点的位置，请同学们以学校（点 A ）为 参照点，用图形确定出自己家的位置.复习 2：力是常见的物理量，重力、浮力、弹力等都是既有 又有 的量；而有一类量如长度、质量、面积、体积等，只有 没有 ，这类量我们称之为数量. 二、新课导学※ 学习探究新知 1：向量的概念数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量（vector ）.数量和向量的异同点有哪些？试试 1：下列物理量：①质量；②速度；③位移； ④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功. 其中不 是向量的有（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常 常用数轴上的一个点表示，那么不同的点就表示不 同的数量.向量能不能用几何表示出来？如果能， 该 如何表示呢？新知 2：向量的表示法⑴我们常用带箭头的线段来表示向量，线段按一定比例画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向 表示向量的方向.如下图，在有向线段的终点处画上箭头表示它的方 向.⑵以A 为起点，B 为终点的有向线段记作ABuuu r（注：起点在前，终点在后）. 已知AB uuu r ，线段AB的长度也叫做有向线段 AB uuu r 的长度，也称为模，记作 AB uuu r .有向线段包含三个要素：起点，方向，长度.⑶有向线段也可用字母如a r ，b r ，c r，L 表示. 反思：⑴“向量就是有向线段，有向线段就是向量” 的说法对吗？⑵为什么三要素中不包含终点？⑶数量能比较大小吗？向量呢？向量的模呢？新知 3：两个特殊的向量 零向量（zero vector ）：长度为0的向量； 单位向量(unit vector)：长度等于1的向量.平行向量(parallel vectors)：方向相同或相反的非零向量. 若向量a r ，b r 平行，记作： // a b r r .规定： ①零向量与任一向量平行， 即对任意向量a r ， 都有0//a r r.②零向量的方向不确定，是任意的.试试 2：下列说法中正确的有（ ）个⑴零向量是没有方向的向量；⑵零向量与任一向量平行；⑶零向量的方向是任意的；⑷零向量只能与零向量平行.A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个 ※典型例题例 1 在如图所示的坐标纸中，用直尺和圆规画出下 列向量：⑴ 3 OA = uuu r，点A 在点O 的正北方向； ⑵ 22 OB = uuu r ，点B 在点O 南偏东60 o方向.2009年上学期◆高一 月 日 班级： 姓名： 第二章 平面向量2例 2 如下图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A 地至B 、C 两地的位移，并求出 A 地至B 、C 两地的实际距离.（精确 到1km ）.※ 动手试试练 1. 画出有向线段，分别表示一个竖直向上、大 小为 2N 的力和一个水平向左、大小为 4N 的 力.(1cm 长表示1N ) 练 2. 某同学向北走了2km ，又向东走了1km ，则 该同学走过的路程是多少？位移的长度是多少？ 并选择适当的比例尺，用向量表示这个人的位移.三、总结提升 ※ 学习小结1. 向量的相关概念；2. 向量的两种表示法；3. 两 个特殊的向量，尤其要注意零向量的方向. ※ 知识拓展向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多 物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强 度等都是向量．大约公元前 350年前，古希腊著名 学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个 力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得 到． “向量”一词来自力学、解析几何中的有向线 段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家 牛顿．学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列各量中不是向量的是（ ）. A ．浮力 B ．风速 C ．位移 D ．密度 2. 下列说法正确的是（ ）.A ．向量 AB uuu r 与向量BA uuu r的长度不等B ．两个有共同起点长度相等的向量,则终点相同C ．零向量没有方向D ．任一向量与零向量平行3. 某人南行100 米，后向东行 100 米，则这时他位 移的方向是（ ）.A ．东偏南30 oB ．南偏东30oC ．东偏南45 oD ．南偏东25 o4. 物理中的作用力与反作用力 一对平行向 量.（是或不是）5. 已知腰为2， 底边为 3 的等边 ABC D ，则底边BC 上的中线向量AD uuu r 的模 AD uuu r为 .课后作业1. 某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点，然后 改变方向向西偏北60 o走了400m 到达C 点，最后 又改变方向，向东走了200m 到达D 点，⑴作出向量AB uuu r 、BC uuu r 、CD uuu r（1cm 表示200m ）；⑵求DA uuu r的模.2. 在正方体 '''' ABCD A B C D - 中，与 AB uuu r 平行的向量有哪些？中山市东升高中 高一数学◆必修4◆导学案 编写：王艳艳 校审：赵进3§2.1 平面向量的实际背景及基本概念⑵学习目标在理解向量和平行向量的基础上掌握相等向 量和共线向量的概念.学习过程一、课前准备 （预习教材 84 P ～ 86 P ，找出疑惑之处）复习 1：向量是 的量； 数量是 的量； 有向线段是 的线段，它的三要素 是 ， ， ； 零向量是 的向量； 单位向量是 的向量； 平行向量是 的非零向量. 复习 2：下列说法中正确的有①向量可以比较大小；②零向量与任一向量平行； ③向量就是有向线段；④非零向量a r 的单位向量是 aarr .二、新课导学 ※ 学习探究新知 4：相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 （equal vector ），如下图， 用有向线段表示的向量a r与b r 相等，记作：ab = r r .思考：任意两个相等的非零向量，是否可用同一条 有向线段来表示？与有向线段的起点有关吗？新知 5：平行向量和共线向量同学们知道，方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 如果a r 、b r 、c r是平行向量，则可记为 //// a b c r r r. 因为任一组平行向量都可以移动到同一 条直线上， 因此， 平行向量也叫做共线向量(collinear vectors).试试：下列说法中正确的是①若 // a b r r ，则a b = r r ；②若 a b = r r ，则a b = r r； ③若 a b = r r ，则 // a b rr； ④若a b = r r ，则 a b = r r . ※ 典型例题例 1 如下图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OD uuu r ，OE uuu r ，OF uuu r 相等的向量.变式：与AB uuu r相等的向量有哪些？例 2 如下图所示，D 、E 、F 分别是正 ABC D 的 各边中点，则在以 A 、B 、C 、D 、E 、F 六个 点中任意两点为起点与终点的向量中，找出与向量 DE uuu r平行的向量.注意：共线向量的端点不一定共线，注意向量的可以平行移动性. ABCEFD2009年上学期◆高一 月 日 班级： 姓名： 第二章 平面向量4※ 动手试试练 1. 在四边形ABCD 中，AB DC = uuu r uuu r，则相等的向量是( ) . A. AD uuu r 与CB uuu r C. AC uuu r 与BD uuu r B.OB uuu r 与OD uuu r D.AO uuu r 与OC uuu r 练 2. 判断下列说法的正误：①向量的模是一个正实数； ②若两个向量平行，则两个向量相等；③若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相 等； ④温度有零上和零下温度，所以温度是向量； ⑤物理中的作用力与反作用力是一对共线向量；三、总结提升 ※ 学习小结①相等向量的概念；②平行向量也称为共线向量.※ 知识拓展本章中所提到的向量都是自由向量，所谓自由 向量就是在不改变长度和方向的前提下，向量可以 在空间自由移动，所以在此基础上理解共线向量就 是平行向量概念较容易.学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列命题中，正确的是（ ）.A. a b = r r Þ a b = r rB. a b > r r Þ a b> r r C.a b = r r Þ // a b r r D. 0 a = r Þ 0 a = r2. 若 AB AD = uuu r uuu r ， 且BA CD = uuu r uuu r ， 则四边形ABCD 的形状为（ ）.A.平行四边形B.菱形C.矩形D.等腰梯形3. 一木块放在桌面上，木块所受重力为G ，桌面所 受压力为 1 G ，则G 与 1 G 之间的关系为（ ）. A.大小不等，方向相同 B.大小相等，方向不同 C.大小相等，方向相同 D.大小不等，方向不同4. B 、C 是线段AD 的三等分点，分别以图中各点 为起点和终点，最多可以写出 个互不相同的 向量.5. 下列命题中，说法正确的有①若a b = r r ，b c = r r ，则a c = r r ；②若 // a b r r ， // b c r r ，则 // a c r r ；③若 a b = r r ，则 a b = r r 或 a b =- r r；④若 AB DC = uuu r uuu r ，则 A ,B ,C ,D 是一个平行四边形的四个顶点. 课后作业1. 四边形ABCD 和 ABDE 都是平行四边形.⑴与向量ED uuu r相等的向量有哪些？⑵若 3 AB = uuu r ，则向量EC uuu r的模等于多少？2. 一位模型赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进 1m ，逆时针方向转变a 度，继续按直线向前行进1m ，再逆时针方向转变a 度， 按直线向前行进1m ， 按此方向继续操作下去. ⑴按1:100比例作图说明当 45 a = o时，操作几次时 赛车的位移为零？⑵按此法操作使赛车能回到出发点，a 应满足什么条件？请写出其中两个. A B C D OABCD E ABCD中山市东升高中 高一数学◆必修4◆导学案 编写：王艳艳 校审：赵进5§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义学习目标1. 掌握向量加法的概念， 结合物理学中的相关知识 理解向量加法的意义；2. 熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则； 3. 理解向量加法的运算律.学习过程（预习教材 89 P ～ 94 P ，找出疑惑之处） 一、课前准备复习 1：下列说法正确的有①向量可以用有向线段来表示；②两个有共同起点且长度相等的向量，其终点必相 同；③两个有共同终点的向量，一定是共线向量；④向量AB uuu r 与向量CD uuu r是共线向量， 则点 A ， B ， C ， D 必在同一条直线上；⑤若 AB DC = uuu r uuu r，则 A ，B ，C ，D 是一个平行四边形的四个顶点.复习 2：周三大清洁时，两个同学抬着回收箱去卖 废品，请同学们做出回收箱的受力图，并思考拉力 和重力满足什么条件便可将回收箱抬起.二、新课导学 ※ 学习探究问题：在复习 2 中回收箱所受的重力与两个同学拉力的合力有什么关系呢？数的加法启示我们，从运算的角度看，重力和 拉力的合力是一对大小相等，方向相反的力.如图，已知非零向量a r 、b r，在平面内任取一 点 A ，做AB a = uuu rr ，BC b = uuu r r ，则向量AC uuu r 叫做a r 与br 的和，记作：a b + r r ，即a b AB BC AC +=+= r r uuu r uuu r uuu r.新知 1：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这 种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.自学90 P 的向量加法的平行四边形法则，想想两个 法则有没有共通的地方？ 规定：零向量与向量a r 的加法： 00 a a a +=+= r r r r r※ 典型例题例 1 已知向量a r 、b r ，求作向量a b + r r.小结 1： 在使用三角形法则特别要注意 “首尾相接” ， 即第二个向量的起点与第一个向量的终点重合.变式：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加 法与数的加法有什么关系？ 小结 2：当a r ，b r不共线时， a b a b +<+ r r r r ；当a r ，b r同向时， a b a b +=+ r r r r ；当a r ，b r反向时， a b a b +=- r r r r （或 b a - r r ）.思考：数的运算律有哪些？类似的，向量的加法是否也有运算律呢？新知 2：向量加法的交换律和结合律： a b b a +=+ r r r r ；( ) ( )a b c a b c ++=++ r r r r r r例 2 一架飞机向北飞行 400km ， 然后改变方向向东 飞行 300km ， 求飞机飞行的路程及两次位移的合成.2009年上学期◆高一 月 日 班级： 姓名： 第二章 平面向量6※ 动手试试练 1. 如图，已知a r 、b r，用向量加法的三角形法则和平行四边形法则做出a b+ r r.练 2. 在静水中划船速度是每分钟 20m ，水流速度 是每分钟 20m ，如果船从岸边出发径直沿垂直于水 流方向行走，那么船实际行进速度应是多少？实际 行进方向与水流方向的夹角为多少？三、总结提升 ※ 学习小结1. 向量求和的三角形法则和平行四边形法则；2. 向量加法满足的两个运算律：交换律和结合律.※ 知识拓展向量在引入运算之后，向量的工具作用才能得 到充分发挥. 实际上，引入一个新的量后，考察它 的运算及运算律是数学研究的基本问题. 另外，向 量的线性运算的另一个特点是它有深刻的物理背 景和几何意义，因此在引入一种运算后，总是要考 察一下它的几何意义，也使得向量在解决几何问题 时可以发挥很好的作用.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ ） . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 平行四边形 ABCD 中， AB a = uuu r r ， AD b = uuu r r ，则 AC BA + uuu r uu u r等于（ ）.A.a rB.b rC.0 rD.a b + r r 2. 下列等式不正确的是（ ）. A. 0 a a += r r r B.a b b a +=+ r r r r C. ( ) ( )a b c a b c ++¹++ r r r r r r D. AC DC AB BD=++ uuu r uuu r uuu r uuu r 3.在 ABCD Y 中，BC DC BA ++ uuu r uuur uu u r等于（ ）.A.BC uuu rB.DA uuu rC.AB uuu rD.AC uuu r4. AB BC CD ++ uuu r uuu r uuu r = ； OA OC BO CO +++ uuu r uuu r uuu r uuu r = .5. 已知向量 a r 、 b r 满足 a b b += r r r且 1 b = r ，则a ab ++ r r r=. 课后作业1. 已知正六边形 ABCDEF ，O 是它的中心，若 BA a = uuu r r ，BC b = uuu r r ，试用a r 、b r 表示向量OE uuu r .2. 在菱形 ABCD 中， 60 DAB Ð= o ， 1 AB = uuu r，求 BC DC + uuu r uuu r的值.a rbr中山市东升高中 高一数学◆必修4◆导学案 编写：王艳艳 校审：赵进7§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义学习目标1. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何 意义；2. 能运用向量减法的几何意义解决一些问题. 学习过程（预习教材 94 P ～ 96 P ，找出疑惑之处） 一、课前准备复习：⑴设AB a = uuu r r ，BC b = uuu r r ，则 叫做a r与 b r的和，记作 . ⑵a + r =0+ r =a r ⑶向量加法运算的交换律： ； 结合律 . ⑷求作两个向量和的方法有 法则和法则.二、新课导学 ※ 学习探究问题： 我们知道，在数的运算中，减去一个数等 于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似 的法则？如何理解向量的减法呢？规定 1： 与a r 长度相等， 方向相反的向量， 叫做a r的相反向量，记作 a - r.由于方向反转两次仍然回到原来的方向，因此a r 和 a - r 互为相反向量，即 ( )a a =-- r r .规定 1：零向量的相反向量仍是零向量. 思考：任一向量a r 与其相反向量 a - r的和是什么？如果a r 、b r 是互为相反的向量， 那么a = r ， b = r ，a b += r r .请同学们利用相反向量的概念， 思考 ( )a b+- r r的作图方法.如下图，已知a r 、b r，在平面内任取一点O ， 做OA a = uuu r r ，OB b = uuu r r ，则BA a b =- uuu r r r . 即a b - r r可以表示为从向量b r的终点指向向量a r的终点的向量， 这就是向量减法的几何意义.以上做法称为向量减法的三角形法则，可以 归纳为“起点相接，连接两向量的终点，箭头指向 被减数”.※ 典型例题例 1 如下图，已知向量a r 、b r 、c r 、d u r ，求作向量a b - r r ，c d - r u r .变式：作出向量a b c d +-- r r r u r.例 2 在 ABC V 中，O 是重心，D 、E 、F 分别是BC 、 AC 、AB 的中点，化简下列两式： ⑴CB CE BA -+ uuu r uuu r uuu r ；⑵OE OA EA -+ uuu r uuu r uuu r.变式：化简AB FE DC ++ uuu r uuu r uuu r.2009年上学期◆高一 月 日 班级： 姓名： 第二章 平面向量8※ 动手试试练 1. 已知a r 、b r ，求作a b - r r.练 2. 设AB a = uuu r r ，AD b = uuu r r ，BC c = uuu r r ，试用 ,, a b c r r r 表示DC uuur .三、总结提升※ 学习小结1. 相反向量的概念；2. 向量减法的三角形法则，要注意“起点相接，连 接两向量的终点，箭头指向被减数”. ※ 知识拓展以向量 AB a = uuu r r 、 AD b = uuu r r为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为 AC a b =+ uuu r r r， BD b a =- uuu r r r ，DB a b =- uuu r r r，这一结论在以后应用还 是非常广泛的，应该加强理解并记住.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ ） . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列等式中正确的个数是（ ）.①a o a -= r r r ；②b a a b +=+ r r r r；③ ( )a a --= r r ； ④ ( ) 0 a a +-= r r ；⑤ ( )a b a b+-=- r r r r A.2 B.3 C.4 D.52. 在 ABC V 中，, BC a CA b == uuu r r uuu r r ， 则 AB uuu r等于 （ ） . A.a b + r r B. ( )a b -+- r r C.a b - r r D. a b-+ r r3. 化简OP QP PS SP -++ uuu r uuu r uuu r uur的结果等于（ ）.A.QP uuu rB.OQ uuu rC.SP uurD.SQuuu r 4. 在正六边形 ABCDEF 中，AE m = uuu r u r ， AD n = uuu r r， 则BA uuu r= .5. 已知a r 、b r 是非零向量，则 a b a b -=+ r r r r 时， 应满足条件 .课后作业1. 化简下列各式：①AB AC DB -- uuu r uuu r uuu r ； ②AB BC AD DB +-- uuu r uuu r uuu r uuu r .2. 已知O 是 ABCD Y 的对角线AC 与BD 的交点， 若 AB a = uuu r r ，BC b = uuu r r ，OD c = uuu r r，试证明：c a b OB +-= r r r uuu r.中山市东升高中 高一数学◆必修4◆导学案 编写：王艳艳 校审：赵进9§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义⑴学习目标1. 掌握向量数乘运算，并理解其几何意义；2. 理解两个向量共线的含义；3. 掌握向量的线性运算性质及其几何意义.学习过程一、课前准备 复习： ⑴向量a r 的相反向量是指与a r的向量， 记作 . 零向量的相反向量是 .⑵ ( )a -- r = ， ( )a a +- r r = .⑶若a b =- r r ，则a r 、b r 是 ，且a b + r r = .⑷向量a r 加上b r的相反向量，叫做 ，即：a b a -=+ r r r .二、新课导学 ※ 学习探究问题：已知非零向量a r，作出：①a a a ++ r r r；②( ) ( ) ( )a a a -+-+- r r r .通过图形，同学们能否说明它们的几何意义？新知：我们规定实数l 与向量a r的积是一个向量， 这种运算叫做向量的数乘（multiplication of vectorby scalar ）,记作： a l r，它的长度和方向规定如下：⑴ a a l l = r r ；⑵当 0 l > 时， a l r 的方向与a r的方向相同；当 0 l < 时， a l r 的方向与a r的方向相反. 思考：当 0 l = 时， a l r的值是一个向量还是一个实 数？根据实数与向量的积的定义，我们有以下的运 算律：⑴ ( )( ) a a l m lm = r r ； ⑵( )a a a l m l m +=+ r r r ；⑶ ( )a b a b l l l +=+ r r r r .根据以上的运算律，填空： ⑴( )a l -=- r=l ；⑵ ( )a b l -= r r - .※ 典型例题 例 1 计算：⑴( ) 76a -´ r； ⑵ () ( )438 a b a b a +--- r r r r r ； ⑶() ()54232 a b c a b c -+--+ r r r r r r. 思考：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与 原向量之间的位置关系吗？新知：向量 ( )0 a a ¹ r r r 与b r共线，当且仅当有唯一一个实数l ，使b a l = r r.例 2 已知两个两个向量 1 e u r 和 2 e u u r不共线 ， 12 AB e e =- uuu r u r u u r ， 12 28 BC e e =- uuu r u r u u r ， 12 33 CD e e =+ uuu r u r u u r ，求 证：A 、B 、D 三点共线.变式 ： 在四边形 ABCD 中 ， 2 AB a b =+ uuu r r r，4 BC a b =-- uuu r r r ， 53 CD a b =-- uuu r r r，证明： ABCD 是梯形.ar2009年上学期◆高一 月 日 班级： 姓名： 第二章 平面向量※ 动手试试 练 1. 计算：⑴ () () ( )64222 a b c a b c b c -+--+--+ r r r r r r r r ；⑵( )( ) ( )( )m n a b m n a b +--++ r r r r.练 2. 已知向量 a r ， b r 不共线，问 2 c a b =- r r r与 32 d a b =- u r r r 是否共线？三、总结提升※ 学习小结1. 向量数乘的定义；2. 实数与向量的积满足的运算律；3. 两向量共线所满足的条件.※ 知识拓展1.实数与向量的积的特殊情况：当 0 l = 时， 0 a l = r r ；而 0 l ¹ ，若 0 a = r r 时，也有 0 a l = r r .2.实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如 a l + r ， a l - r无法运算.3.数乘向量还是一个向量.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ ） . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列各式中不表示向量的是（ ）A.0 a × rB. 3 a b+ r r C. 3a r D. 1 e x y- r （ , x y R Î ，且x y ¹ ）2. 在 ABC D 中，E 、F 分别是AB 、 AC 的中点，若 AB a = uuu r r ，AC b = uuu r r，则EF uuu r 等于（ ）A. ( ) 1 2 a b + r rB. ( )1 2 a b - r r C. ( ) 1 2 b a - r r D. ( )1 2 a b-+ r r 3. 12 2 a e e =+ r u r u u r ， 12 34 b e e =- r u r u u r ，且 1 e u r 、 2 e u u r共线，则 a r 与b r（ ） A.共线 B.不共线 C.不确定 D.可能共线也可能不共线4. 若 3 a = r ，b r 与a r的方向相反，且 5 b = r ，则 a r = b r .5. 已知 12 2 a e e =- r u r u u r ， 12 2 b e e =+ r u r u u r ， 12 62 c e e =- r u r u u r， 则a b + r r 与c r （填共线、不共线）.课后作业1. 已知 ABCD 的三边BC a = uuu r r ，CA b = uuu r r ， AB c = uuu r r， 三边中点分别为D 、E 、F ，求证： 0 AD BE CF ++= uuu r uuu r uuu r r.2. 用向量的方法证明： 对角线互相平分的四边形是 平行四边形.中山市东升高中 高一数学◆必修4◆导学案编写：王艳艳 校审：赵进§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义⑵学习目标1. 掌握向量数乘运算，并理解其几何意义；2. 理解两个向量共线的含义；3. 掌握向量的线性运算性质及其几何意义.学习过程一、课前准备复习： ⑴实数l 与向量a r的积是一个 ， 记作 .⑵ R l Î ， a l r= .⑶当 0 l > 时， a l r 的方向与a r的方向 ；当 0 l < 时， a l r 的方向与a r的方向 ；当 0 l = 时， a l r= ；⑷ , R l m Î ， ( )a l m r= ；( )a l m + r=； ( )a b l + r r = .⑸判断正误：向量b r 与向量a r共线，当且仅当只有一个实数l ，使得b a l = r r.二、新课导学 ※ 学习探究新知：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 对于任意向量a r 、b r，以及任意实数l 、 1 m 、2 m ，恒有 ( )1212 a b a b l m m lm lm+=± r r r r. 请同学们解释它的几何意义.※ 典型例题例 3 如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且 AB a = uuu r r ，AD b = uuu r r ，你能用a r 、b r表示 AM uuuu r 、BM uuuu r 、CM uuuu r 、DM uuuur 吗？变式：若O 为平行四边形的中心， 1 4 AB e = uuu r u r， 2 6 BC e = uuu r u u r ，则 21 32 e e - 等于多少？例 4 已知任意四边形ABCD ，E 为 AD 的中点，F为BC 的中点，求证：EF EF AB DC +=+ uuu r uuu r uuu r uuu r.2009年上学期◆高一 月 日 班级： 姓名： 第二章 平面向量※ 动手试试 练 1.已知四边形 ABCD 是等腰梯形，E 、F 分别是腰AD 、BC 的中点，M 、N 是线段EF 上的两个点，且EM MN NF == ，下底是上底的 2 倍，若AB a = uuu r r ，BC b = uuu r r ，求AM uuuu r .练 2. ABC V 中， 1 3AD AB = uuu r uuu r ， // DE BC ，且与边 AC 相交于点E ， ABC D 的中线AM 与DE 相交于 点N .设AB a = uuu r r ，AC b = uuu r r ，用a r 、b r分别表示向量 ,,,,, AE CB DE CE DN NA uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r . 三、总结提升※ 学习小结1. 进一步理解向量数乘的定义；2. 熟练应用实数与向量的积满足的运算律计算；3. 应用两向量共线所满足的条件解决几个点共线 的问题. ※ 知识拓展 ⑴要证明向量a r 、b r共线，只需证明存在实数 l ，使得b a l = r r即可.⑵如果 0 a b == r r r，数l 依然存在，此时l 并不 唯一，是任意数值.⑶要特别注意向量共线定理中的向量 a r必须 是非零向量.学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列各式计算正确的是（ ）A. ( ) 22 a b c a b c++=++ r r r r r r B. ( ) ()330 a b a b ++-= r r r r r C. 2 AB BA AB += uuu r uuu r uuu r D. 3544 a b a b a b++-=- r r r r r r 2. 下列向量a r 、b r共线的有（ ）① 12 2, a e b e ==- r u r r u u r ；② 1212 ,22 a e e b e e =-=-+ r u r u u r r u r u u r ； ③ 1212 21 4, 510a e eb e e =-=- r u r u u r r u r u u r ；④ 1212 ,22 a e e b e e =+=- r u r u u r r u r u u r （ 12 , e e u r u u r 不共线） A.②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④3. 若 8,5 AB AC == uuu r uuu r ，则 BC uuu r 的取值范围是 （ ） A.[ ] 3,8 B.( ) 3,8 C.[ ] 3,13 D.( ) 3,13 4. ( )2 a a b a éù --- ëû r r r r = ； 322 a b c b -+-=- r r r r . 5. 设 12 , e e u r u u r 是两个不共线向量， 若向量 12b e e l =+ r u r u u r ， 与向量 12 2 a e e =- r u r u u r共线，则实数l 的值为 .课后作业1. 化简：① ( ) ( )1 228442 12a b a b éù +-- ëû r r r r ；② ( ) ( )11 4346 32a b c a b c éùéù-+--- ëûëû r r r r r r 2. 在平行四边形 ABCD 中，点M 是 AB 的中点，点N 在BD 上，且 13 BN BD = ，求证：M 、N 、C三点共线.中山市东升高中 高一数学◆必修4◆导学案 编写：王艳艳 校审：赵进§2.3.1 平面向量基本定理§2.3.2 平面向量正交分解及坐标表示学习目标1. 掌握平面向量基本定理；2. 了解平面向量基本定理的意义；3. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 学习过程 一、课前准备 复习 1： 向量b r 、 ( )0 a a ¹ r r r 是共线的两个向量， 则a r 、 b r之间的关系可以表示为 .复习 2：给定平面内任意两个向量1 e u r 、2 e u u r，请同学们作出向量 12 32 e e + u r u u r 、 12 2 e e - u r u u r .二、新课导学※ 学习探究问题：在复习 2 中，请大家想一想，平面内的任一向量是否都可以用形如 1122 e e l l + u r uur 的向量表示呢？ 如下图，设 1 e u r 、 2 e u u r 是同一平面内两个不共线的 向量，a r 是这一平面内的任一向量，通过作图，发 现任一向量a r都可以表示成 1122e e l l + u r u u r . 新知 1：平面向量基本定理平面向量基本定理： 如果 1 e u r 、 2 eu u r是同一平面内 两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a r， 有且只有一对实数 1 l 、 2 l ， 使 1122 a e e l l =+ r u r u u r . 其中，我们把不共线的向量 1 e u r 、 2 e u u r 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(base). 理解此定理要注意：① 1 e u r 、 2 eu u r是同一平面内两 个不共线的向量；②该平面内的任意向量a r都可以 用 1 e u r 、 2 eu u r 线性表示，且这种表示是唯一的；③对于 基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共 线向量都可以作为基底.思考：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我 们怎么表示呢？新知 2：两向量的夹角与垂直如图，已知两个非零向量a r和 b r . 作 OA a = uuu r r ， OB b = uuu r r，则 ( ) 0180 AOB q q Ð=££ o o 叫做向量a r 与b r的夹角.特别地，⑴当 0 q = o 时，a r 与b r 同向；⑵当 180 q = o时，a r 与b r 反向； ⑶当 90 q = o 时，a r 与b r 垂直，记作：a b ^ r r .在不共线的两个向量中， 90 q = o ，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解成两个互相 垂直的向量，叫做把向量正交分解.例如把图中木 块所受的重力分解为向 下的力 1 F 和对斜面的压 力 2 F .思考：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对 有序实数（即它的坐标）表示. 对于直角坐标平面 内的每一个向量，如何表示呢？新知 3：向量的坐标表示如图， 根据平面向量基本定理，有且只有一对实数x 、 y 使得a xi y j =+ r r r， 我们把有 序数对( ) , x y 叫做向量 a r 的坐标，记作： ( ) , a x y = r ，其中x 叫做a r在x 轴上的坐标，y 叫做a r在 y 轴上的坐标.注意：符号( ) , x y 在平面直角坐标系中有了双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个 向量，为了加以区别，在叙述中，常说点( ) , x y ，或向量( ) , x y . ※ 典型例题 例1 已知梯形ABCD 中， // AB DC ， 且 2ABCD = ， E 、F 分别是DC 、AB 的中点， 设AD a = uuu r r ，AB b = uuu r r 试用 , a b r r 为基底表示DC uuur 、BC uuu r .2009年上学期◆高一 月 日 班级： 姓名： 第二章 平面向量例 2 已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限， 43 OA = uuu r ， 60 xOA Ð= o ，求向量OA uuu r 的坐标.※ 动手试试练 1. 在矩形 ABCD 中， AC 与BD 交于点O ，若 1 5 BC e = uuu r u r ， 2 3 DC e = uuu r u u r ，则OC uuu r 等于多少？练 2. 若 0 a ¹ r r ， 且 0 b ¹ r r ， 且 a b a b ==- r r r r ， 求a r 与 a b + r r的夹角.三、总结提升 ※ 学习小结1. 平面向量基本定理；2. 两向量的夹角与垂直；3. 平面向量的坐标表示.※ 知识拓展在解具体问题时，要适当地选取基底，但其他 向量能够用基底来表示，选择了不共线的两个向量 1 e u r 、 2 e u u r ， 平面上的任何一个向量a r 都可以用 1 e u r 、 2 e u u r 唯一表示为 1122 a e e l l =+ r u r u u r ， 这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有 1 e u r 、 2 e u u r的代数运算.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 设O 是平行四边形 ABCD 两对角线 AC 与BD 的交点，下列向量组，其中可作为这个平行四边形 所在平面表示所有向量的基底是（ ） ① AD uuu r 与 AB uuu r ②DA uuu r 与BC uuu r ③CA uuu r 与DC uuur ④OD uuu r 与OB uuu r A.①② B.③④ C.①③ D.①④2. 已知向量 1 e u r 、 2 e u u r不共线，实数 x 、 y 满足( ) ( ) 1212 342363 x y e x y e e e-+-=+ u r u u r u r u u r，则x y - 的值 等于（ ）A.3B. 3- C.0 D.2 3. 若O 、A 、B 为平面上三点，C 为线段AB 的中 点，则（ ）A.OC OA OB =+ uuu r uuu r uuu rB. ( )1 2 OC OA OB=+ uuu r uuu r uuu r C. 2 AB OC = uuu r uuu rD. ( )1 2OC OA OB=- uuu r uuu r uuu r 4. 若a r 、b r不共线，且 ( ) 0, a b R l m l m +=Î r r r ，则l = ，m =. 5. 已知两向量 1 e u r 、 2 e u u r 不共线， 12 2 a e e =+ r u r u u r， 12 32 b e e l =- r u r u u r ，若a r 与b r 共线，则实数l = .课后作业1. 已知向量 12 23 a e e =- r u r u u r ， 12 23 b e e =+ r u r u u r ，其中 1 e u r 、 2 e u u r 不共线，向量 12 29 c e e =- u r u u r ，问是否存在这样的实数l 、m ，使d a b l m =+ u r r r 与c r共线？2. 设OA uuu r 、OB uuu r不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内， 且 ( ) ( ) 1 OP t OA tOB t R =-+Î uuu r uuu r uuu r， 求证：A 、B 、P 三点共线.。

广东省东升高一数学3.1.1两角差的余弦公式（一）第一课时教案教学要求：经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用 教学重点：用向量的数量积推导出两角差的余弦公式教学难点：两角差的余弦公式的推导及运用教学过程：一、复习准备：1. 向量的知识：数量积cos a b a b θ=; ()()11221212,,a b x y x y x x y y ==+二、讲授新课： 1. 新课导入：①情景导入：我们在初中时就知道 2cos 45=，3cos30=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家可以猜想，是不是等于cos 45cos30-呢？ 根据第一章所学的知识可知猜想是错误的！下面一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-= 在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？2.教学：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+记忆：右端为,αβ的同名．．三角函数积．的和．左端为两角差．的余弦．．例1、利用余弦公式计算cos15的值()cos15cos 4530=-()cos15cos 6045=-点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，要学会灵活运用. 例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值. 点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.3.小结：学习两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.三、巩固练习：1. 已知33cos ,,2cos 523ππααπα⎛⎫⎛⎫=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求 2. ()34cos cos sin sin .5,5αβαβαβ+=+=,求cos -的值 3. cos35cos10cos55+求cos80的值.作业：课本第150页第2、3、4题第二课时 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学要求：理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用教学过程：一、复习准备：1. ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+，讨论当β为β-时呢？()()cos cos αβαβ⎡--⎤=+⎣⎦再利用两角差的余弦公式得出()()()cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβ+=-+-=-二、讲授新课：1. 新课教学：思考两角和与差的正弦公式是怎样的呢？提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差的正弦、正切公式.()sin αβ+=sin cos cos sin αβαβ=+．()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈ 以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推导出两角差的正切公式呢？2.例题教学：例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）sin 72cos 42cos72sin 42-；（2）cos 20cos70sin 20sin 70-；（3）1tan151tan15+- 分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.3. 小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用三、巩固练习：1.x x2.已知()21tan ,tan ,544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．（322） 3.已知33350,cos ,sin 4445413ππππβααβ⎛⎫⎛⎫<<<<-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()sin αβ+的值．第三课时 二倍角的正弦、余弦和正切公式教学要求：以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，了解它们的内在联系，并能运用上述公式进行简单的恒等变换.教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用教学过程：一、复习准备：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 思考：当β=α这些公式会变成怎么样呢？二、讲授新课：1. 新课教学：()sin2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos 2α的式子能否化为只含有sin α或cos α形式的式子吗？2cos212sin αα=-；2cos22cos 1αα=-．22tan tan 21tan ααα=- 2. 例题教学：例1、已知5sin2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 例２、已知1tan 2,3α=求tan α的值． 解：22tan 1tan 21tan 3ααα==-，由此得2tan 6tan 10αα+-=解得tan 2α=-或tan 2α=-例3.① 化简cos71cos36；②求sin10sin30sin50sin 70的值3. 小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.三、巩固练习：1. 练习：求证2222sin()sin()tan 1sin cos tan αβαββαβα+-=-2. 变式：化简βαβαβα22cos sin )cos()cos(-+ 3.求证)6sin(2sin 3cos απαα+=+ 4.化简：cos20cos40cos60cos80作业：课本150页11题，14题，15题第四课时 两角和与差的正弦、余弦、正切（综合练习）教学要求：以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用教学重点：公式的理解及熟练运用、灵活运用教学难点：公式的理解及其灵活运用教学过程：一、复习准备：首先回顾两角和的正弦、余弦和正切公式，()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-．sin 22sin cos ααα=；22cos 2cos sin ααα=- ；22cos212sin 2cos 1ααα=-=- ； 22tan tan 21tan ααα=- 二、讲授新课：1. 教学：⑴例题： 已知一元二次方程)0(02c a a c bx ax ≠≠=++且的两个根为βαtan ,tan ，求)t a n (βα+的值；变式：求)cos()sin(βαβα-+的值.说明：虽然βαtan ,tan 是方程的两个根，但我们并不需要求出 ⑵求值： （1）0015sin 255sin 15cos 285cos -；（2） 307cos 83sin 37cos 7sin -⑶求角度:如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，且BD ：DC ：AD=2：3：6，求∠BAC 的度数.⑷求三角函数最值：已知函数cos ,y x x x R =+∈当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合.2.小结：在本小节的公式中，两角和与差的正弦、余弦公式是基础，特别是两角和的余弦公式，它几乎是这一章的中心公式，我们今后要学的其他三角公式，全部可以由它推导，甚至是诱导公式。

必修三：§3.3.1几何概型【自主学习】先学习课本P135 -P140 然后开始做导学案，记住知识梳理部分的内容；一、学习目标：1、初步体会几何概型的意义.2、理解几何概型的定义、特点.3、能区分古典概型与几何概型.4、初步学会使用几何概型概率计算公式.二、知识梳理：1.几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_______(_______或_____)_________，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。

2.古典概型的两个特点：（1）_________性（2）__________性.几何概型的两个特点：（1）_________性（2）__________性.3.几何概型概率计算公式：P(A)=三、自我检测：1.判断下列问题是古典概型还是几何概型：（1）一只口袋内装有大小相同的10只球，其中7只白球,3只红球，从中摸出一只球,摸出的球是红球中奖，问中奖的的概率是多少？向区域B时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率.（3）在区间[1,3]上任取一数，求这个数大于1.5的概率.（4）抛掷两颗骰子，求出现两个“6点”的概率；写出是古典概型的序号：____________，写出是几何概型的序号：__________.2.如图，假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆，则图1、图2落到阴影部分的概率分别为___________，__________.图1 图23. 取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都大于1米的概率是_______.必修三：§3.3.1几何概型【课堂检测】1．在1万平方米的海域中有40平方米的大陆架贮藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到石油层面的概率是_________.2、相距6米的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2米的概率是____________.3、径为1的半圆内，放置一个边长为21的正方形ABCD ，向半圆内任投一点，落在正方形内的概率为（ ）. A.21 B. 41 C. π41 D. π21 【拓展探究】探究一：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.变式练习：已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即上车的概率是_____________.探究二：在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心为起点作射线OC,求∠AOC 和∠BOC都不小于30°的概率.（请同学们考虑用多种方法解）【当堂训练】1．在1万平方米的海域中有40平方米的大陆架贮藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到石油层面的概率是_________.2.两根相距6米的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2米的概率是____________.3.在半径为1的半圆内，放置一个边长为21的正方形ABCD ，向半圆内任投一点，落在正方形内的概率为（ ）. A.21 B. 41 C. π41 D. π21小结与反馈：1．把握几何概型与古典概型的区别【课后拓展】1. 在ABC ∆内任取一点P,则ABP ∆与ABC ∆的面积之比大于32的概率为_________.2. 平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径为)(a r r <的硬币任意掷在这平面上(如图3)，则硬币不与任一条平行线相碰的概率是________.3. 在等腰ABC Rt ∆中，在线段AB （斜边）上任取一点M ，使AM<AC ，则AM<AC 的概率为___________.4.为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于252cm 与49 2cm 之间的概率为( ). A. 103 B. 51 C. 52 D. 545.设有一个等边三角形网格，其中每个最小等边三角形边长都是34cm ，现用直径为2cm 硬币投到此网格上，则硬币落下后与格线没有公共点的概率是__________.图3。

必修三：§3.2.1 古典概型【自主学习】先学习课本P125 -P 130 然后开始做导学案，记住知识梳理部分的内容；一、学习目标：1、理解基本事件的特点；2、通过实例，理解古典概型及其概率计算公式；3、会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.二、知识梳理：我们来考察两个试验：①掷一枚质地均匀的硬币；②掷一枚质地均匀的骰子.在试验①中，结果只有个，即在试验②中，结果只有个，即问题1：（1）在一次试验中，会同时出现“1点”和“2点”这两个事件吗？（2）事件“出现偶数点”包含了哪几个基本事件？新知1.基本事件的概念与特点基本事件的概念:一次试验，就称作一个基本事件.基本事件的两个特点:（1）任何两个基本事件是的；（2）任何一个事件(除不可能事件)都可以.问题2：观察对比，找出试验①和试验②的共同特点：(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件；(2)等可能性：各基本事件的出现是新知2.古典概型的定义将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.问题3：在古典概型下，基本事件出现的概率是多少？随机事件出现的概率又如何计算？观察试验，分组讨论下面的三个问题：（1）掷1枚硬币试验中，“正面朝上”与“反面朝上”的概率分别是多少？（2）掷一颗均匀的骰子,事件A为“出现偶数点”，请问事件A的概率是多少？（3）你能从这些试验中找出规律，总结出公式吗？新知3. 古典概型的概率公式设一试验有n个等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m个基本事件，则事件A的概率P(A)计算公式为：三、自我检测：1.从字母d,,中,任意取出两个不同字母的这一试验中,所有的基本事件a,cb是,共有个基本事件.2.（1）在一副扑克牌中随意抽出一张牌，你认为这是古典概型吗？为什么？（2）向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？（3）某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有：“命中10环”、“命中9认环”、“命中8环”、“命中7环”、“命中6环”、“命中5环”和“不中环”。

必修三：§3.1.3 概率的基本性质(一)【自主学习】先学习课本P119 -P121 然后开始做导学案，记住知识梳理部分的内容；一、 学习目标：1、正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；2、正确理解概率的几个基本性质：3、正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系.二、 知识梳理：(一) 事件的关系与运算1、 一般地，对于事件A 和事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，称事件B__________A（或事件A__________事件B ），记作B A ⊇（或A B ⊆）特殊地，不可能事件记为 ∅，任何事件都包含 ∅。

2、两个事件A ，B 中，若A B B A ⊇⊇，且，那么称事件A 与事件B_______，记作________3、某事件发生当且仅当事件A 发生或者事件B 发生称为事件A 和事件B 的_____事件，记作________.4、某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生称为事件A 和事件B 的_____事件，记为__________5、事件A 与事件B 的交事件的特殊情况，当A ∩B ＝∅（不可能事件）时，称事件A 与事件B__________。

（即两事件不能同时发生）6、在两事件互斥的条件上，再加上事件A ∪事件B 为必然事件，则称事件A 与事件B 为_________事件。

（即事件A 和事件B 有且只有一个发生）(二)、概率的基本性质：1、任何事件的概率P(A)，0≦P(A)≦1(1) 必然事件B 一定发生, 则 P(B)=______ (2) 不可能事件C 一定不发生, 则p(C)=______(3) 随机事件A发生的概率为 _________ (4) 若A B, 则 p(A) _____P(B) (5)、特别地，若A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1＝P(A)＋P(B)→P(A)＝______2、概率的加法公式（1）互斥事件时同时发生的概率：当事件A与B互斥时, A∪B发生的概率为_________ （2）对立事件有一个发生的概率：当事件A与B对立时, A发生的概率为_________三、自我检测：1、一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?事件A：命中环数大于7环事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6、7、 8 、9、10环.2、甲乙二人下棋，和棋的概率为1/2，乙胜得概率为1/3求（1)甲胜得概率（2）甲不输的的概率答案：1、互斥事件事件A与事件C 事件B与事件C 事件C与事件D 对立事件事件A与事件C2、甲胜 1/6 不输2/3【课堂检测】1、一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）（A）至少有一次中靶（B）两次都中靶（C）只有一次中靶（D）两次都不中靶2、把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）（A）对立事件（B）互斥但不对立事件（C）不可能事件（D）以上都不是。

§2.1.1 合情推理（1）1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.2830在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是的思维过程.二、新课导学※学习探究探究任务：归纳推理问题1:哥德巴赫猜想：观察6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜想：. 问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出.新知：归纳推理就是由某些事物的,推出该类事物的的推理，或者由的推理.简言之，归纳推理是由的推理.※典型例题例1 观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23，1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25，……你能猜想到一个怎样的结论？变式：观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100，……你能猜想到一个怎样的结论？例2已知数列{}n a的第一项11a=，且nnn aaa+=+11(1,2,3.n=，试归纳出这个数列的通项公式.变式：在数列{na}中，11()2n nna aa=+（2n≥），试猜想这个数列的通项公式.2※ 动手试试练1..练2. 在数列{n a }中，11a =，122nn n a a a +=+（*n N ∈）,试猜想这个数列的通项公式.三、总结提升※ 学习小结1．归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.※ 知识拓展1.费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F =+=，121215F =+=，2222117F =+=，32321257F =+=，4242165537F =+=的观察，发现其结果都是素数，提出猜想：对所有的自然数n ，任何形如221nn F =+的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉发现5252142949672976416700417F =+==⨯不是素数，推翻费马猜想.2.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）. A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2.若2()41,f n n n n N =++∈，下列说法中正确的是（ ）.A.()f n 可以为偶数B. ()f n 一定为奇数C. ()f n 一定为质数D. ()f n 必为合数3.已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为（ ）.A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21f x x =+4.111()1()23f n n N n +=+++⋅⋅⋅+∈，经计算得357(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222f f f f f =>>>>猜测当2n ≥时，有__________________________. 5. 从22211,2343,345675=++=++++=中得出_____________ . 1. 对于任意正整数n ，猜想(21)n -与2(1)n +的大小关系.2. 已知数列{n a }的前n 项和n S ，123a =-，满足12(2)n n n S a n S ++=≥，计算1234,,,,S S S S 并猜想n S 的表达式.4§2.1.2 演绎推理1.结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性；2.掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.3942复习1：归纳推理是由到的推理.类比推理是由到的推理.复习2：合情推理的结论.二、新课导学※学习探究探究任务一：演绎推理的概念问题：观察下列例子有什么特点？（1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所以；（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此；（3）在一个标准大气压下，水的沸点是100C︒，所以在一个标准大气压下把水加热到100C︒时，；（4）一切奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以；（5）三角函数都是周期函数，sinα是三角函数，所以；（6）两条直线平行，同旁内角互补.如果A与B是两条平行直线的同旁内角，那么. 新知：演绎推理是从出发，推出情况下的结论的推理.简言之，演绎推理是由到的推理.探究任务二：观察上述例子，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？新知：“三段论”是演绎推理的一般模式：大前提——；小前提——；结论——. 试试：请把探究任务一中的演绎推理（2）至（6）写成“三段论”的形式.※典型例题例1 在锐角三角形ABC中，,AD BC BE AC⊥⊥，D，E是垂足. 求证：AB的中点M到D，E的距离相等.新知：用集合知识说明“三段论”：大前提：小前提：结论：例2证明函数2()2f x x x=-+在(],1-∞-上是增函数.小结：应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略.例 3 下面的推理形式正确吗？推理的结论正确吗？为什么？所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前提）菱形是所有边长都相等的凸多边形，（小前提）菱形是正多边形. （结论）小结：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确.6§2.1 合情推理与演绎推理(练习)1. 能利用归纳推理与类比推理进行一些简单的推理;2. 掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理;3. 体会合情推理和演绎推理的区别与联系.2840复习1：归纳推理是由 到 的推理. 类比推理是由 到 的推理.合情推理的结论 .复习2：演绎推理是由 到 的推理.演绎推理的结论 .二、新课导学※ 典型例题 例1 观察（1）（2）000000tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101;++=000000tan5tan10tan10tan 75tan 75tan51++=由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论.变式：已知：23150sin 90sin 30sin 222=++23125sin 65sin 5sin 222=++ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明.例 2 在Rt ABC ∆中，若90C ∠=︒，则22cos cos 1A B +=，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想.变式：已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，有如下性质：（1）()n m a a n m d =+-，（2）若*,(,,,)m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q a a a a +=+，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，写出类似的性质.8§2.2.1 综合法和分析法（1）1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2. 会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.3. 根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.4547复习1：两类基本的证明方法: 和 . 复习2：直接证明的两中方法: 和 .二、新课导学※ 学习探究探究任务一：综合法的应用 问题：已知,0a b >, 求证:2222()()4a b c b c a abc +++≥.新知：一般地,利用,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法.反思：框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.※ 典型例题 例1已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c ++≥变式：已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证： 111(1)(1)(1)8a b c---≥.小结：用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明.例2 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.变式：设在四面体P ABC -中,90,,ABC PA PB PC ∠=︒==D 是AC 的中点.求证:PD 垂直于ABC ∆所在的平面.小结：解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来.1011§2.2.1 综合法和分析法(二)学习目标 1. 会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程. 2. 根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.学习过程一、课前准备（预习教材P 48~ P 50，找出疑惑之处） 复习1：综合法是由 导 ;复习2：基本不等式:二、新课导学※ 学习探究探究任务一：分析法 问题：如何证明基本不等式(0,0)2a bab a b +≥>>新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.反思：框图表示要点：逆推证法；执果索因※ 典型例题例1求证3526+>+变式：求证:3725+<小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.例 2 在四面体S ABC -中,,SA ABC AB BC ⊥⊥面,过A 作SB 的垂线,垂足为E ,过E 作SC 的垂线,垂足为F ,求证AF SC ⊥.变式：设,,a b c 为一个三角形的三边,1()2s a b c =++,且22s ab =,试证2s a <.小结：用题设不易切入,要注意用分析法来解决问题.12§2.2.1 综合法和分析法（3）1. 能结合已经学过的数学示例,了解综合法和分析法的思考过程和特点;2. 学会用综合法和分析法证明实际问题,并理解分析法和综合法之间的内在联系;3. 养成勤于观察、认真思考的数学品质.5051 复习1：综合法是由 导 ; 复习2：分析法是由 索 .二、新课导学※ 学习探究探究任务一：综合法和分析法的综合运用问题：已知,()2k k Z παβπ≠+∈,且2sin cos 2sin ,sin cos sin ,θθαθθβ+=∙=求证:22221tan 1tan 1tan 2(1tan )αβαβ--=++.新知：用P 表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q 表示要证明的结论，则上述过程可用框图表示为：试试：已知tan sin ,tan sin a b αααα+=-=，求证： 222()16a b ab -=.反思：在解决一些复杂、技巧性强的题目时，我们可以把综合法和分析法结合使用.※ 典型例题例 1 已知,A B 都是锐角，且2A B π+≠，(1tan )(1tan )2A B ++=，求证：45A B +=︒变式：已知1tan 12tan αα-=+，求证：3sin 24cos 2αα=-.小结：牢固掌握基础知识是灵活应用两种方法证明问题的前提，本例中，三角公式发挥着重要作用.例 2 在四面体P ABC -中，P D A B C ⊥∆，AC BC =，D 是AB 的中点，求证：AB PC ⊥.变式：如果,0a b >，则lg lg lg 22a b a b++≥.小结：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明.※知识拓展14§2.2.2 反证法1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；2. 了解反证法的思考过程、特点;3. 会用反证法证明问题.5254复习1：直接证明的两种方法: 和 ; 复习2： 是间接证明的一种基本方法.二、新课导学※ 学习探究探究任务：反证法 问题(1)：将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗? 问题(2):三十六口缸,九条船来装,只准装单,不准装双,你说怎么装?新知：一般地，假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设 ，从而证明了原命题 .这种证明方法叫 .试试：证明：5,3,2不可能成等差数列.反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.※ 典型例题例 1 已知0a ≠,证明x 的方程ax b =有且只有一个根.变式：证明在ABC ∆中,若C ∠是直角,那么B ∠一定是锐角.小结：应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.例2求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.变式：求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于60︒.小结：反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.16第二章 推理与证明(复习)1. 了解合情推理和演绎推理的含义；2. 能用归纳和类比进行简单的推理；掌握演绎推理的基本模式；3. 能用综合法和分析法进行数学证明；.2855复习1：归纳推理是由 到 的推理. 类比推理是由 到 的推理.合情推理的结论 .演绎推理是由 到 的推理. 演绎推理的结论 .复习2：综合法是由 导 ;分析法是由 索 .直接证明的两种方法: 和 ; 是间接证明的一种基本方法.二、新课导学※ 学习探究探究任务一：合情推理与演绎推理问题：合情推理与演绎推理是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.你能举出几个用合情推理和演绎推理的例子吗？探究任务一：直接证明和间接证明问题：你能分别说出这几种证明方法的特点吗？结合自己以往的数学学习经历，说说一般在什么情况下，你会选择什么相应的证明方法？※ 典型例题例1 已知数列{}n a 的通项公式 21()(1)n a n N n +=∈+，记12()(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值.变式：已知数列()()1111,,,,1335572121n n ⨯⨯⨯-+ ⑴求出1234,,,S S S S ；⑵猜想前n 项和n S . （理科）（3）并用数学归纳法证明你的猜想是否正确？小结：归纳推理是由特殊到一般的推理,是一种猜想，推理的结论都有待进一步证明.例2已知tan α，tan β是关于x 的一元二次方程x 2+px +2=0的两实根.（1）求证：tan()p αβ+=；（2）求证：3sin()cos()0p αβαβ++-=.变式：如右图所示，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F ，求证：⑴SAB BC ⊥面；⑵AF SC ⊥.小结：证明问题对思维的深刻性、严谨性和灵活性AB C S F E※知识拓展18理：§2.3 数学归纳法(1)1. 了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤;2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写; 3. 数学归纳法中递推思想的理解.104106，找出疑惑之处） 复习1：在数列{}n a 中，*111,,()1n n n aa a n N a +==∈+，先算出a 2，a 3，a 4的值，再推测通项a n 的公式.复习2：2()41f n n n =++，当n ∈N 时，()f n 是否都为质数？二、新课导学※ 学习探究探究任务：数学归纳法 问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?新知：数学归纳法两大步：（1）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立;（2）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.试试：你能证明数列的通项公式1n a n=这个猜想吗?反思：数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.关键：从假设n =k 成立，证得n =k +1成立.※ 典型例题例1 用数学归纳法证明2222*(1)(21)123,6n n n n n N ++++++=∈变式：用数学归纳法证明2*1427310(31)(1),n n n n n N ⨯+⨯+⨯+++=+∈小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.例2 用数学归纳法证明:首项是1a ,公差是d 的等差数列的通项公式是1(1)n a a n d =+-,前n 项和的公式是1(1)2n n n S na d -=+.变式：用数学归纳法证明:首项是1a ,公比是q 的等差数列的通项公式是11n n a a q-=,前n 项和的公式是1(1)1n n a q S q-=-.(1q ≠)小结：数学归纳法经常证明数列的相关问题.)*20中山市东升高中 高二数学◆选修1-2&2-2◆导学案 执笔：董卜毓 审核：李志敏理：§2.3 数学归纳法(2)1.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;2.数学归纳法中递推思想的理解.107108，找出疑惑之处） 复习1：数学归纳法的基本步骤？复习2：数学归纳法主要用于研究与 有关的数学问题.二、新课导学※ 学习探究探究任务：数学归纳法的各类应用 问题：已知数列 1111,,,,1447710(32)(31)n n ⋅⋅⋅⨯⨯⨯-⨯+，猜想n S 的表达式，并证明.新知：数学归纳法可以应用于：(1)数列的先猜后证;(2)证明不等式;(3)证明整除性问题;(4)证明几何问题.试试：已知数列1111,,,,,1223314(1)n n ⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯+ ,计算123,,S S S ,由此推测计算n S 的公式.反思：用数学归纳法证明时,要注意从n k =时的情形到1n k =+的情形是怎样过渡的.※ 典型例题例1平面内有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n 个圆将平面分成f (n )=n 2－n +2个部分变式：证明凸n 边形的对角线的条数1()(3)(4)2f n n n n =-≥小结：用数学归纳法证明几何问题的关键是找项,即几何元素从k 到1k +所证的几何量增加多少.例2 证明:3*5()n n n N +∈能被6整除.变式：证明:2121n n x y --+能被x y +整除.小结：数学归纳法证明整除性问题的关键是凑项,而采用增项、减项、拆项和因式分解的手段，凑出n k =的情形，从而利用归纳假设使问题获证.22。

2.1.1 指数与指数幂的运算（1）1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性；2. 了解根式的概念及表示方法；3. 理解根式的运算性质.一、课前准备（预习教材P48~ P50，找出疑惑之处）复习1：正方形面积公式为；正方体的体积公式为 .复习2：（初中根式的概念）如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的，记作；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a 的，记作 .二、新课导学※学习探究探究任务一：指数函数模型应用背景探究下面实例及问题，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.实例1. 某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a万，则x年后人口数为多少万？实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次？你能超过8次吗？计算：若报纸长50cm，宽34cm，厚0.01mm，进行对折x次后，求对折后的面积与厚度？问题1：国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP（国内生产总值）年平均增长率达7.3℅，则x年后GDP为2000年的多少倍？问题2：生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t年后体内碳14的含量P 与死亡时碳14关系为57301()2tP=. 探究该式意义？小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学.探究任务二：根式的概念及运算考察：2(2)4±=，那么2±就叫4的；3327=，那么3就叫27的；4(3)81±=，那么3±就叫做81的 . 依此类推，若n x a=,，那么x叫做a 的 .新知：一般地，若n x a=,那么x叫做a的n次方根( n th root )，其中1n>,n*∈N.例如：328=2 =.反思：当n为奇数时, n次方根情况如何？33-,记：x=当n为偶数时，正数的n次方根情况？例如：81的4次方根就是，记：.强调：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0 =.试试：4b a=，则a的4次方根为；3b a=，则a的3次方根为 .新知：（radical），这里n叫做根指数（radical exponent），a叫做被开方数（radicand）.试试：计算2.反思：从特殊到一般，n结论：n a=. 当na=；当n是(0)||(0)a aaa a≥⎧=⎨-<⎩.※典型例题例1求下类各式的值：（1）；（2）；（3；（4）a b<）.变式：计算或化简下列各式.（1（2.推广：（a≥0）.※动手试试练1.-练2.化简三、总结提升※学习小结1. n次方根，根式的概念；2. 根式运算性质.※ 知识拓展1. 整数指数幂满足不等性质：若0a >，则0n a >.2. 正整数指数幂满足不等性质： ① 若1a >，则1n a >；② 若01a <<，则01n a <<. 其中n ∈N *.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：）.A. 3B. －3C. ±3D. 81 2. 625的4次方根是（ ）.A. 5B. －5C. ±5D. 253. 化简2是（ ）. A. b - B. b C. b ± D. 1b4.= .5. 计算：3=；1. 计算：（1 （2）2. 计算34a a -⨯和3(8)a +-，它们之间有什么关系？ 你能得到什么结论？3. 对比()nn nab a b =与()nn n a a b b=，你能把后者归入前者吗？§2.1.1 指数与指数幂的运算（2）1. 理解分数指数幂的概念；2. 掌握根式与分数指数幂的互化；3. 掌握有理数指数幂的运算.一、课前准备（预习教材P 50~ P 53，找出疑惑之处）复习1：一般地，若n x a =，则x 叫做a 的 ，其中1n >,n *∈N . 简记为：. 的式子就叫做，具有如下运算性质：n =；= ；= .复习2：整数指数幂的运算性质.（1）m na a =；（2）()m na=；（3）()nab= .二、新课导学※学习探究探究任务：分数指数幂引例：a>01025a a=，则类似可得=；23a== .新知：规定分数指数幂如下*(0,,,1)mna a m n N n=>∈>；*1(0,,,1)mnmna a m n N na-==>∈>.试试：（1）将下列根式写成分数指数幂形式：= ；= ；= (0,)a m N*>∈.（2）求值：238；255；436-；52a-.反思：幂为 .②分数指数幂有什么运算性质？小结：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．指数幂的运算性质：（0,0,,a b r s Q>>∈）ra·r r sa a+=；()r s rsa a=；()r r sab a a=．※典型例题例1 求值：2327；4316-；33()5-；2325()49-.变式：化为根式.例2 用分数指数幂的形式表示下列各式(0)b>：（1）2b b；（2）533b b；（3例3 计算（式中字母均正）：（1）211511336622(3)(8)(6)a b a b a b -÷-； （2）311684()m n .小结：例2，运算性质的运用；例3，单项式运算. 例4 计算： （1334a a a(0)a >；（2）312103652(2)()m n m n --÷- (,)m n N *∈；（3）÷小结：在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则.反思：①结论：无理指数幂.（结合教材P 53利用逼近的思想理解无理指数幂意义）② 无理数指数幂(0,)a a αα>是无理数是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质如何？※ 动手试试练1. 把851323x --⎫⎪⎪⎝⎭化成分数指数幂.练2. 计算：（1443327； （2三、总结提升※ 学习小结①分数指数幂的意义；②分数指数幂与根式的互化；③有理指数幂的运算性质.※ 知识拓展放射性元素衰变的数学模型为：0t m m e λ-=，其中t 表示经过的时间，0m 表示初始质量，衰减后的质量为m ，λ为正的常数.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若0a >，且,m n 为整数，则下列各式中正确的是（ ）.A. mmnna a a ÷= B. m n mn a a a ⋅=C. ()nm m n a a += D. 01n n a a -÷=2.化简3225的结果是（ ）. A. 5 B. 15 C. 25 D. 125 3. 计算(122--⎡⎤⎢⎥⎣⎦的结果是（ ）.AB．Ｃ．2 D．24. 化简2327-= . 5. 若102,104mn==，则3210m n -= .1. 化简下列各式：（1）3236()49； （2. 2.1⎛- ⎝.§2.1.1 指数与指数幂的运算（练习）2. 会用分数指数幂表示根式；3. 掌握根式与分数指数幂的运算.一、课前准备（复习教材P 48~ P 53，找出疑惑之处） 复习1：什么叫做根式?运算性质？的式子就叫做 ，具有性质：n =；=；= .复习2：分数指数幂如何定义？运算性质？ ① m na = ；m na-= .其中*0,,,1a m n N n >∈>②r s a a = ； ()r s a = ； ()s ab = .复习3：填空.① n为 时，(0)||...........(0)x x x ≥⎧==⎨<⎩.② 求下列各式的值：= ；= ；= ；=；= ；= ；= .二、新课导学※ 典型例题例1 已知1122a a-+=3，求下列各式的值：（1）1a a -+； （2）22a a -+； （3）33221122a a a a----．补充：立方和差公式3322()()a b a b a ab b±=±+. 小结：①平方法；②乘法公式；③根式的基本性质=（a≥0）等.注意，a≥0十分重要，无此条件则公式不成立.≠.变式：已知11223a a--=，求：（1）1122a a-+；（2）3322a a--.例2从盛满1升纯酒精的容器中倒出13升，然后用水填满，再倒出13升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？变式：n次后？小结：①方法：摘要→审题；探究→结论；②解应用问题四步曲：审题→建模→解答→作答.※动手试试练1. 化简：11112244()()x y x y-÷-.练2. 已知x+x-1=3，求下列各式的值.（1）1122x x-+；（2）3322x x-+.练3. 已知12(),0xf x x x π=⋅>，试求.三、总结提升※ 学习小结1. 根式与分数指数幂的运算；2. 乘法公式的运用.※ 知识拓展 1. 立方和差公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+； 3322()()a b a b a ab b -=-++.2. 完全立方公式：33223()33a b a a b ab b +=+++；33223()33a b a a b ab b -=-+-.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：）.354a a a(a >0)的值是（ ）.A. 1B. aC. 15aD. 1710a3. 下列各式中成立的是（ ）.A ．1777()n n m m=B=C 34()x y + D ．=4. 化简3225()4-= .5. 化简2115113366221()(3)()3a b a b a b -÷= .1. 已知32x a b --=+, .2.2n a +=时, 实数a 和整数n 所应满足的条件.§2.1.2 指数函数及其性质（1）1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；2. 理解指数函数的概念和意义；3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（单调性、特殊点）.一、课前准备（预习教材P54~ P57，找出疑惑之处）复习1：零指数、负指数、分数指数幂怎样定义的？（1）0a=；（2）na-=；（3）mna=；mna-= .其中*0,,,1a m n N n>∈>复习2：有理指数幂的运算性质.（1）m na a=；（2）()m na=；（3）()nab= .二、新课导学※学习探究探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念实例：A．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？B．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？新知：一般地，函数(0,1)xy a a a=>≠且叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R.反思：为什么规定a＞0且a≠1呢？否则会出现什么情况呢？试试：举出几个生活中有关指数模型的例子？探究任务二：指数函数的图象和性质引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？回顾：研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．作图：在同一坐标系中画出下列函数图象：1()2xy=，2xy=讨论：（1）函数2xy =与1()2x y =的图象有什么关系？如何由2x y =的图象画出1()2x y =的图象？（2）根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. 变底数为3或13后呢？新知：根据图象归纳指数函数的性质.a >1 0<a <1图 象性质(1)定义域：R (2)值域：（0，+∞） (3)过点（0，1），即x =0时，y =1(4)在 R 上是增函数 (4)在R 上是减函数※ 典型例题例1函数()xf x a =（0,1a a >≠且）的图象过点(2,)π，求(0)f ,(1)f -,(1)f 的值.小结：①确定指数函数重要要素是 ； ② 待定系数法. 例2比较下列各组中两个值的大小： （1）0.60.52,2； （2）2 1.50.9,0.9-- ；（3）0.5 2.12.1,0.5 ； （4）231-与.小结：利用单调性比大小；或间接利用中间数.※ 动手试试练1. 已知下列不等式，试比较m 、n 的大小：（1）22()()33m n >； （2） 1.1 1.1m n <.练2. 比较大小：（1）0.70.90.80.8,0.8, 1.2a b c ===；（2）01, 2.50.4,-0.22-, 1.62.5.三、总结提升※ 学习小结①指数函数模型应用思想；②指数函数概念；③指数函数的图象与性质；③单调法.※ 知识拓展因为(01)x y a a a =>≠，且的定义域是R ， 所以()(01)f x y a a a =>≠，且的定义域与()f x 的定义域相同. 而()(01)x y a a a ϕ=>≠，且的定义域，由()y t ϕ=的定义域确定.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为（ ）.A. 1B. 2C. 1或2D. 任意值 2. 函数f (x )=21x a -+ (a >0,a ≠1)的图象恒过定点（ ）.A. (0,1)B. (0,2)C. (2,1)D. (2,2)3. 指数函数①()x f x m =，②()x g x n =满足不等式01m n <<<，则它们的图象是（ ）.4. 比较大小：23( 2.5)- 45( 2.5)-.5. 函数1()19x y =-的定义域为 .课后作业1. 求函数y =1151x x--的定义域.2. 探究：在[m ，n ]上，()(01)x f x a a a =>≠且值域？§2.1.2 指数函数及其性质（2）学习目标1. 熟练掌握指数函数概念、图象、性质；2. 掌握指数型函数的定义域、值域，会判断其单调性；3. 培养数学应用意识. 学习过程一、课前准备（预习教材P 57~ P 60，找出疑惑之处）复习1：指数函数的形式是 ， 其图象与性质如下a >1 0<a <1复习2：在同一坐标系中，作出函数图象的草图：2xy=,1()2xy=,5xy=,1()5xy=,10x y=,1()10xy=.思考：指数函数的图象具有怎样的分布规律？二、新课导学※典型例题例1我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．（1）按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？（2）从2000年起到2020年我国人口将达到多少？小结：学会读题摘要；掌握从特殊到一般的归纳法. 试试：2007年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x年后的总产值为原来的多少倍？多少年后产值能达到120亿？小结：指数函数增长模型.设原有量N，每次的增长率为p，则经过x次增长后的总量y= . 我们把形如xy ka= (,0,1)k R a a∈>≠且的函数称为指数型函数.例2 求下列函数的定义域、值域：（1）21xy=+; （2）y=（3）110.4xy-=. 变式：单调性如何？小结：单调法、基本函数法、图象法、观察法.试试：求函数y=论其单调性.※ 动手试试练 1. 求指数函数212x y +=的定义域和值域，并讨论其单调性.练2. 已知下列不等式，比较,m n 的大小. （1）33m n <； （2）0.60.6m n >； （3）(1)m n a a a >> ；（4） (01)m n a a a <<<.练3. 一片树林中现有木材30000 m 3，如果每年增长5%，经过x 年树林中有木材y m 3，写出x ，y 间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m 3.三、总结提升※ 学习小结1. 指数函数应用模型(,01)x y ka k R a a =∈>≠且；2. 定义域与值域； 2. 单调性应用（比大小）.※ 知识拓展形如()(01)f x y a a a =>≠，且的函数值域的研究，先求得()f x 的值域，再根据t a 的单调性，列出简单的指数不等式，得出所求值域，注意不能忽视()0f x y a =>. 而形如()(01)x y a a a ϕ=>≠，且的函数值域的研究，易知0x a >，再结合函数()t ϕ进行研究. 在求值域的过程中，配合一些常用求值域的方法，例如观察法、单调性法、图象法等.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 如果函数y =a x(a >0,a ≠1)的图象与函数y =bx(b >0,b ≠1)的图象关于y 轴对称，则有（ ）. A. a >b B. a <bC. ab =1D. a 与b 无确定关系2. 函数f (x )=3－x－1的定义域、值域分别是（ ）. A. R ， RB. R ， (0,)+∞C. R ，(1,)-+∞D.以上都不对3. 设a 、b 均为大于零且不等于1的常数，则下列说法错误的是（ ）.A. y =a x 的图象与y =a －x的图象关于y 轴对称 B. 函数f (x )=a 1－x(a >1)在R 上递减C. 若a2>a21-，则a >1D. 若2x >1，则1x > 4. 比较下列各组数的大小： 122()5- 320.4-（）；0.7633（）0.753-（）. 5. 在同一坐标系下，函数y =a x , y =b x , y =c x , y =d x 的图象如右图，则a 、b 、c 、d 、1之间从小到大的顺序是 .课后作业1. 已知函数f (x )=a －221x +(a ∈R )，求证：对任何a R ∈， f (x )为增函数.2. 求函数2121x x y -=+的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.§2.2.1 对数与对数运算（1）学习目标1. 理解对数的概念；2. 能够说明对数与指数的关系；3. 掌握对数式与指数式的相互转化.学习过程一、课前准备（预习教材P 62~ P 64，找出疑惑之处）复习1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭. （1）取4次，还有多长？ （2）取多少次，还有0.125尺？复习2：假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产 是2002年的2倍？ （只列式）二、新课导学※ 学习探究探究任务：对数的概念问题：截止到1999年底，我国人口约13亿. 如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么多少年后人口数可达到18亿，20亿，30亿？讨论：（1）问题具有怎样的共性？（2）已知底数和幂的值，求指数 怎样求呢？例如：由1.01x m =，求x .新知：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数试试：将复习2及问题中的指数式化为对数式.新知：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N试试：分别说说lg5 、lg3.5、ln10、ln3的意义.反思：（1）指数与对数间的关系？0,1a a >≠时，x a N =⇔ .（2）负数与零是否有对数？为什么？ （3）log 1a = ， log a a = .※ 典型例题例1下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. （1）35125= ；（2）712128-=；（3）327a =； （4） 2100.01-=； （5）12log 325=-；（6）lg0.001=3-； （7）ln100=4.606.变式：12log 32?= lg0.001=？小结：注意对数符号的书写，与真数才能构成整体. 例2求下列各式中x 的值： （1）642log 3x =； （2）log 86x =-； （3）lg 4x =； （4）3ln e x =.小结：应用指对互化求x .※ 动手试试练1. 求下列各式的值. （1）5log 25 ； （2）21log 16 ； （3）lg 10000.练2. 探究log ?n a a = log ?a N a =三、总结提升※ 学习小结①对数概念；②lg N 与ln N ；③指对互化；④如何求对数值※ 知识拓展对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔（Napier ，1550-1617年）男爵. 在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科. 可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间. 纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若2log 3x =，则x =（ ）.A. 4B. 6C. 8D. 92. log = （ ）.A. 1B. －1C. 2D. －23. 对数式2log (5)a a b --=中，实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,5)-∞B ．(2,5)C ．(2,)+∞D ． (2,3)(3,5)4.计算：1(3+= .5. 若log 1)1x =-，则x =________，若y =，则y =___________.1. 将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式. （1）53243=； （2）51232-=； （3）430a = （4）1() 1.032m =； （5）12log 164=-；（6）2log 1287=； （7）3log 27a =.2. 计算：（1）9log 27； （2）3log 243； （3）； （3）(2log (2； （4）625.§§2.2.1 对数与对数运算（2）1. 掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；2. 能较熟练地运用对数运算法则解决问题..一、课前准备（预习教材P 64~ P 66，找出疑惑之处） 复习1：（1）对数定义：如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数x 叫做 ，记作 .（2）指数式与对数式的互化：x a N =⇔ .复习2：幂的运算性质.（1）m n a a = ；（2）()m n a = ； （3）()n ab = .复习3：根据对数的定义及对数与指数的关系解答： （1）设log 2a m =，log 3a n =，求m n a +； （2）设log a M m =，log a N n =，试利用m 、n 表示log (a M ·)N ．二、新课导学※ 学习探究探究任务：对数运算性质及推导问题：由p q p q a a a +=，如何探讨log a MN 和log a M 、log a N 之间的关系？问题：设log a M p =, log a N q =， 由对数的定义可得：M =p a ，N =a∴MN =p a q a =p q a +，∴log a MN =p +q ，即得log a MN =log a M + log a N 根据上面的证明，能否得出以下式子？ 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，则 （1）log ()log log a a a MN M N =+； （2）log log log aa a MM N N=-； （3） log log ()n a a M n M n R =∈.反思：自然语言如何叙述三条性质？ 性质的证明思路？（运用转化思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式）※ 典型例题例1用log a x , log a y , log a z 表示下列各式： （1）2log a xyz ； （2）log a .例2计算：（1）5log 25； （2）0.4log 1； （3）852log (42)⨯； （4）探究：根据对数的定义推导换底公式log log log c a c bb a=（0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）．试试：2000年人口数13亿，年平均增长率1℅，多少年后可以达到18亿？※ 动手试试练1. 设lg2a =,lg3b =，试用a 、b 表示5log 12.变式：已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg6、.练2. 运用换底公式推导下列结论. （1）log log m n a a nb b m=；（2）1log log a b b a =.练 3. 计算：（1）7lg142lg lg7lg183-+-；（2）lg 243lg9.三、总结提升※ 学习小结①对数运算性质及推导；②运用对数运算性质；③换底公式.※ 知识拓展① 对数的换底公式log log log b a b NN a=； ② 对数的倒数公式1log log a b b a=.③ 对数恒等式：log log n n a a N N =，log log m n a a nN N m=，log log log 1a b c b c a =.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列等式成立的是（ ） A ．222log (35)log 3log 5÷=- B ．222log (10)2log (10)-=- C ．222log (35)log 3log 5+= D ．3322log (5)log 5-=-2. 如果lgx =lga +3lgb －5lgc ，那么（ ）.A ．x =a +3b －cB ．35abx c =C ．35ab x c= D ．x =a +b 3－c 33. 若()2lg 2lg lg y x x y -=+，那么（ ）. A ．y x = B ．2y x =C ．3y x =D ．4y x =4. 计算：（1）99log 3log 27+= ； （2）2121log log 22+= . 5.计算：15lg 23= .1. 计算： （1；（2）2lg 2lg 2lg5lg5+⋅+.2. 设a 、b 、c 为正数，且346a b c ==，求证：1112c a b -=.§2.2.1 对数与对数运算（3）1. 能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题；2. 加强数学应用意识的训练，提高解决应用问题的能力.一、课前准备（预习教材P 66~ P 69，找出疑惑之处） 复习1：对数的运算性质及换底公式. 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，则 （1）log ()a MN = ； （2）log aMN= ； （3） log na M = .换底公式log a b = .复习2：已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b ，用 a ，b 表示42log 56.复习3：1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1.25℅，问哪一年我国人口总数将超过14亿？ （用式子表示）二、新课导学※ 典型例题例1 20世纪30年代，查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为：0lg lg M A A =-，其中A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）.（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001, 计算这次地震的震级（精确到0.1）；（2）5级地震给人的振感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？（精确到1）小结：读题摘要→寻找数量关系→利用对数计算.例2当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P 与生物死亡年数t 之间的关系．回答下列问题：（1）求生物死亡t 年后它机体内的碳14的含量P ，并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（2）已知一生物体内碳14的残留量为P ，试求该生物死亡的年数t ，并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（3）长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%，试推算古墓的年代？反思：① P 和t 之间的对应关系是一一对应；② P 关于t的指数函数(x P =，则t 关于P的函数为 .※ 动手试试练1. 计算：（1）0.21log 35-； （2）4912log 3log 2log ⋅-练2. 我国的GDP 年平均增长率保持为7.3%，约多少年后我国的GDP 在2007年的基础上翻两番？三、总结提升※ 学习小结1. 应用建模思想（审题→设未知数→建立x 与y之间的关系→求解→验证）； 2. 用数学结果解释现象.※ 知识拓展在给定区间内，若函数()f x 的图象向上凸出，则函数()f x 在该区间上为凸函数，结合图象易得到1212()()()22x x f x f x f ++≥； 在给定区间内，若函数()f x 的图象向下凹进，则函数()f x 在该区间上为凹函数，结合图象易得到1212()()()22x x f x f x f ++≤.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：25()a-（a≠0）化简得结果是（）.A．－a B．a2C．｜a｜D．a2. 若 log7［log3（log2x）］＝0，则12x=（）.A. 3B.3. 已知35a b m==，且112a b+=，则m之值为（）.A．15 B．2254. 若3a＝2，则log38－2log36用a表示为 .5. 已知lg20.3010=，lg1.07180.0301=，则lg2.5=；1102=．1. 化简：（1）222lg5lg8lg5lg20(lg2)3+++；（2）()()24525log5+log0.2log2+log0.5.2. 若()()lg lg2lg2lg lgx y x y x y-++=++，求xy的值．§2.2.2 对数函数及其性质（1）1. 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；2. 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3. 通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法.一、课前准备（预习教材P70~ P72，找出疑惑之处）复习1：画出2xy=、1()2xy=的图象，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质.复习2：生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时，碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代.（列式）二、新课导学※ 学习探究探究任务一：对数函数的概念问题：根据上题，用计算器可以完成下表：讨论：t 与P 的关系？（对每一个碳14的含量P 的取值，通过对应关系logt P =，生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应，从而t 是P 的函数）新知：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数log a y x =叫做对数函数(logarithmic function)，自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞）.反思：对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：22log y x =，5log (5)y x = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制 (0a >，且1)a ≠．探究任务二：对数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．试试：同一坐标系中画出下列对数函数的图象.2log y x =；0.5log y x =.反思：（1）根据图象，你能归纳出对数函数的哪些性质？（2）图象具有怎样的分布规律？※ 典型例题例1求下列函数的定义域：（1）2log a y x =；（2）log (3)a y x =-；变式：求函数y =.例2比较大小：（1）ln3.4,ln8.5； （2）0.30.3log 2.8,log 2.7； （3）log 5.1,log 5.9a a .小结：利用单调性比大小；注意格式规范.※ 动手试试练1. 求下列函数的定义域.（1）0.2log (6)y x =--； （2）32log 1y x =-.练2. 比较下列各题中两个数值的大小.（1）22log 3log 3.5和； （2）0.30.2log 4log 0.7和； （3）0.70.7log 1.6log 1.8和； （4）23log 3log 2和．三、总结提升※ 学习小结1. 对数函数的概念、图象和性质；2. 求定义域；3. 利用单调性比大小.※ 知识拓展对数函数凹凸性：函数()log ,(0,1)a f x x a a =>≠，12,x x 是任意两个正实数.当1a >时，1212()()()22f x f x x xf ++≤；当01a <<时，1212()()()22f x f x x xf ++≥.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 当a >1时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象是（ ）.2. 函数22log (1)y x x =+≥的值域为（ ）. A. (2,)+∞ B. (,2)-∞ C. [)2,+∞ D. [)3,+∞3. 不等式的41log 2x >解集是（ ）. A. (2,)+∞ B. (0,2)B. 1(,)2+∞ D. 1(0,)24. 比大小：（1）log 67 log 76 ； （2）log 31.5 log20.8.5. 函数(-1)log (3-)x y x =的定义域是 .1. 已知下列不等式，比较正数m 、n 的大小： （1）3log m ＜3log n ； （2）0.3log m ＞0.3log n ； （3）log a m ＞log a n (a ＞1)2. 求下列函数的定义域：（1）y =（2）y =§2.2.2 对数函数及其性质（2）1. 解对数函数在生产实际中的简单应用；2. 进一步理解对数函数的图象和性质；3. 学习反函数的概念,理解对数函数和指数函数互为反函数,能够在同一坐标上看出互为反函数的两个函数的图象性质.一、课前准备（预习教材P 72~ P 73，找出疑惑之处）复习1：对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且图象和性质.复习2：比较两个对数的大小.（1）10log 7与10log 12 ；（2）0.5log 0.7与0.5log 0.8.复习3：求函数的定义域. （1）311log 2y x=- ； （2）log (28)a y x =+.二、新课导学※ 学习探究探究任务：反函数问题：如何由2x y =求出x ？反思：函数2log x y =由2x y =解出，是把指数函数2x y =中的自变量与因变量对调位置而得出的. 习惯上我们通常用x 表示自变量，y 表示函数，即写为2log y x =.新知：当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function ）例如：指数函数2x y =与对数函数2log y x =互为反函数.试试：在同一平面直角坐标系中，画出指数函数2x y =及其反函数2log y x =图象，发现什么性质？反思：（1）如果000(,)P x y 在函数2xy =的图象上，那么P 0关于直线y x =的对称点在函数2log y x =的图象上吗？为什么？（2）由上述过程可以得到结论：互为反函数的两个函数的图象关于 对称.※ 典型例题例1求下列函数的反函数：（1） 3x y =； （2）log (1)a y x =-.小结：求反函数的步骤（解x →习惯表示→定义域）变式：点(2,3)在函数log (1)a y x =-的反函数图象上，求实数a 的值.例2溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度pH 的计算公式lg[]pH H +=-，其中[]H +表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.（1）分析溶液酸碱度与溶液中氢离子浓度之间的变化关系？（2）纯净水7[]10H +-=摩尔/升，计算其酸碱度.小结：抽象出对数函数模型，然后应用对数函数模型解决问题，这就是数学应用建模思想.※ 动手试试练 1. 己知函数()x f x a k =-的图象过点（1，3）。

高中新课标数学必修③与必修④教学体会某某省某某市东升高中〔528414〕高建彪〔0760-*******〕摘要：本文结合本校几年以来参与高中数学新课程标准实验教学的切身体会，从教材顺序、教材内容、教学组织、教学问题等方面，介绍了关于高中新课标数学必修③与必修④这两个模块内容的教学经验. 面对课标实验教学，老师们感觉到困难重重，如果都能互相共享教学资源，积极交流教学经验，相信能达到良好的实验效果. 希望此文能抛砖引玉.关键词：课程标准课改实验把握教材教学体会从2004年9月开始，某某、某某、某某、某某四省区率先进行普通高中课程标准的实验教学，之后又有某某、某某、某某、某某、某某、某某六省市陆续进入实验. 本人作为参与普通高中课程标准第一批实验的老师，有责任总结出课标实验教学中的一些体会. 下面结合人教A版《普通高中课程标准实验教科书.数学3〔必修〕》〔以下简称《必修3》〕及《必修4》两册教材，与各位某某探讨高一年级第二学期数学新课标教学中的假设干问题.一、教材顺序安排的讨论：1. 先上必修③，还是必修④？从大纲教材过渡到课标教材，参与实验的老师最不满意的是数学新课程中的模块化结构，认为打乱了高中数学知识的体系，所以教学中出现各种打乱模块顺序的情况.我们在高一年级第一学期完成必修①与必修②的教学之后，新学期又面临着先上必修③，还是必修④的激烈讨论. 在讨论中，部分老师认为先上必修④，理由主要是两条：必修③的教学比较陌生；必修④三角函数内容在大纲教材体系中比较提前，且内容重要.其实，内容陌生只是老师单方面的原因，对学生来说，两个模块的内容都是新知识，我们的教学不能因为教师的原因而打乱实验顺序，一切应从学生的实际情况来考虑. 我校在连续几年的实验中，都是严格按照模块顺序组织教学，认为先上必修③有如下优势：〔1〕遵循了课程标准实验的原那么，不以主观意识随意打乱模块实验的顺序，也没有给数学教学带来混乱的感觉.〔2〕重视必修③中算法、统计、概率的教学. 我们先用大约7周的时间完成必修③的教学，本模块的内容在这7周内都得到了强化训练，而不是放在必修④之后，然后跑马观花过一遍. 认真学好必修③的内容，可以把算法、统计、概率思想融入今后的学习中.〔3〕高效率地完成必修③的教学之后，有足够的时间进行必修④中重点内容的训练.〔4〕学生学习必修③的效果强于必修④. 大部分学生感觉必修③的学习较为容易，原因是题型的变化不太多. 相反，必修④题型变化较为灵活，学生感觉棘手.〔5〕在学期结束前的期末复习时，由于必修④的内容刚刚结束，复习重点可以放在必修④的强化训练及必修③的重点题型归类上，从而可以用较短的时间组织好期末复习.2. 必修④中三角恒等变换是否提前？在大纲教材中，是先学完三角函数及三角恒等变换后，再进入平面向量的学习，然后是学习解三角形. 而课标教材中，学习三角函数的知识之后，进入平面向量的学习，然后是学习三角恒等变换及解三角形〔必修⑤中〕. 基于以上顺序的对比，部分老师提出是否可以把三角恒等变换安排在平面向量之前学习，更突出三角内容的连续性和整体性.个人认为，课标教材中这样安排顺序，其主要意图是突出三个方面，即三角函数的函数特征；向量工具的重要性；三角恒等变换及解三角形是平面向量的应用. 我们不能因为大纲教材如此安排，就打乱课标教材的实验顺序，而应当认真体会课程标准的精神，强化向量的工具特征，认真贯彻用向量方法解决数学问题的基本思想. 结合向量的物理背景和几何背景，扎扎实实学好向量的相关知识，并利用向量工具解决假设干问题. 例如，向量在物理、几何中的应用，用向量方法推导两角差的余弦公式等.二、教学内容处理的建议：1. 算法章节：新课标中算法内容的引入，是适应信息技术高速发展的需要，算法表达了通用化、机械化、程序化等特点，在算法教学中的几点建议如下：〔1〕同时走好算法表示的三条路，即自然语言、程序框图、算法语句. 在教学中，可以结合具体的算法实例，分析用自然语言表示算法的步骤，绘制相应算法的程序框图，并编写相应框图的算法程序. 注意三条途径的目的都是体会其中的算法思想.〔2〕剖析清楚教材中的几例典型算法实例. 例如解一元二次方程、二元一次方程组，质数的判定，按大小顺序输出三个数，1～100的累加，二分法求方程近似解，分段函数的求值等.〔3〕学习程序框图时，先结合一个流程图的实例，认知基本的程序框及功能，并分析出其中的逻辑结构. 各种逻辑结构〔顺序结构、条件结构、当循环结构、直到循环结构〕的学习，都应当配合一个具体的例子来逐步分析，特别是循环结构，要一次次循环进行分析，让学生彻底理解框图的功能，提高逻辑思维能力.〔4〕可以根据实际情况调整教材中框图的实例. 我们在教学中，感觉必修③第5页的框图引例的理解有一定难度，从而结合前面所练的自然语言表示的算法，用框图表示出来，让学生认知框图符号与逻辑结构. 参考的算法实例如下：例1 任意给定一个正实数，设计一个算法求以这个数为半径的圆的面积；〔教材P4〕例2 任意给定一个正整数n，试设计一个算法判断n是否为偶数；〔教材P3例1改编〕例3 设计一个计算1+2+…+100的值的算法. 〔教材P9例5提前〕〔5〕大胆试验，程序框图与算法语句同步教学. 我们在分析顺序结构的框图时，讲授算法语句中的输入语句INPUT、输出语句PRINT和赋值语句. 在分析条件结构框图时，讲授条件语句，即IF-THEN语句. 在分析两种循环结构的框图时，讲授两类循环语句，即WHILE语句与UNTIL语句. 每种类型的语句，都配以相应的程序框图进行流程分析，强调语句的格式及功能，结合几个典型实例进行算法分析、框图设计、程序编写等，三者的配合训练，才能更好地加强、巩固算法知识.〔6〕典型算法案例〔辗转相除法与更相减损术、秦久韶算法、进位制〕的学习，都必须奠基在其历史背景之上，讲清楚具体的解题步骤，剖析如此解题的原理，在熟练解题的基础上，再结合框图或语句，从算法思维的角度进行分析.2. 统计章节：统计是研究如何收集、整理、分析数据的科学. 必修③第二章的学习过程，实质就是学习如何逐步解决一个实际问题，我们先认识随机抽样的重要性，并掌握随机抽样的三种类型，通过科学的抽样得到样本，进一步研究如何用样本的频率分布去估计总体分布，又如何用样本的数字特征估计总体的数字特征. 在样本数据的分析过程中，发现一些变量之间有一定的规律，例如两个变量的线性相关等.统计部分的教学，我们需遵循以上认知规律，密切联系现实生活来渗透统计方法与思想，强化抽样方法的步骤及区别、频率分布直方图的五步曲〔极差→组距→分组→列表→画图〕、数字特征〔众数、中位数、平均数、标准差、方差〕的计算、线性回归中的数形结合思想及计算器的配合使用. 教学中重点训练的一些题型是：关于分层抽样的数字客观题、频率分布直方图的研究、标准差与方差的实际应用、线性回归模型的求解等.3. 概率章节：概率是研究随机现象规律性的科学. 对比大纲教材，课标教材在概率部分有较大的区别. 在必修③概率一章中，利用随机事件的频率给出概率的定义，并学习概率的基本性质及两个概率模型〔古典概型、几何概型〕. 我们在教学中需注意如下几个方面：〔1〕坚决不补充排列与组合. 必修③概率的计算，不是建立在排列组合的计数基础上，而是通过逐一列举来进行计数，或者由简单的分类加法计数方法及分步乘法计数方法来进行计数，两种计数方法也不必上升到计数原理的学习，结合简单的实例渗透计数方法的学习即可. 补充排列与组合，违背了课标的精神，淡化了概率思想，也加重了学生的学习负担. 排列与组合只是选修2-3的内容，以后选修文科的学生根本不学，概率的学习只是要求达到必修③概率一章的水平.〔2〕强调概率意义的理解. 教材中呈现了广泛的实例，例如购买彩票中奖的可能性、游戏的公平性、决策中的概率思想、天气预报的概率解释、生物试验中的发现、遗传机理中的统计规律等，通过这些实例阐述了概率的意义，这部分内容往往却被教师轻描淡写的一带而过. 我们在教学中，应当认真剖析这些实例，让概率的意义在学生脑海中根深蒂固，从而激发学生进一步学习概率知识的欲望.〔3〕在古典概型的基础上，类比学习几何概型. 可以从模型特征的共同点与不同点，计算公式及求解步骤等方面进行比较. 特别注意古典概型的计算是以简单计数为基础，几何概型的计算那么需运用数形结合思想.本章教学中，重点训练的一些题型是：由概率性质进行概率计算、古典概型的概率计算、几何概型的概率计算. 常常融合的实际背景是抛掷硬币、摸球、质检、会面等，渗透的数学思想那么以分类讨论思想、数形结合思想为主.4. 三角函数章节：对比大纲教材，课标教材中的“三角函数〞一章，突出了三角函数的函数特征，即函数是描述客观世界变化规律的数学模型，可以从实际背景、解析式、性质、图象、应用等方面进行研究. 在教学中注意以下问题：〔1〕强化单位圆的作用，特别是借助单位圆上点的坐标来定义三角函数，这与大纲教材中用角的终边上点的坐标来定义三角函数有所不同. 由单位圆定义三角函数，可以更好的表现出三角函数的周期性，为以后利用单位圆研究三角函数的图象与性质奠定基础.〔2〕按照课标要求，不要擅自补充内容. 大纲教材中，三角函数有六个，同角关系式有八个，而课标教材中，三角函数只需要学习正弦、余弦、正切，同角关系式也只有两个，即sintancosααα=、22sin cos1αα+=. 我们在本章教学中，只是拓广了三角函数的定义，在学习单位圆定义三角函数的同时，补充了如何通过角的终边上点的坐标来定义三角函数，并比较了两种定义.〔3〕加强三角函数模型的应用. 教材中把三角函数模型的简单应用单独成为一节内容，以四个例题为载体呈现出来，我们在教学中对此进行了适当的处理，将例2移到前面三角函数的图象与性质中进行练习，删去例3，重点训练例1、例4的两种题型，强化了给图求式及数学应用建模的思想. 认真分析例4，它实质是由统计知识得到数据，作出散点图并观察变化规律，然后选择适当的模型进行拟合，再应用所得模型解决实际问题.5. 平面向量章节：从向量的物理背景与几何背景出发，学习向量的概念及运算，然后把向量作为重要的工具，应用解决一些实际问题，特别是物理中的力学问题和几何中的证明与计算. 关于向量的教学，有如下几点建议：〔1〕通过数的类比来学习向量. 例如向量的运算及运算律与数的运算及运算律的类比，向量的坐标表示与在数轴上的点表示数的类比. 这种类比思维的训练，提高了解答创新思维问题的能力，为以后理科学生学习空间向量铺垫了类似的学习模式.〔2〕突出数形结合思想的渗透. 向量运算的几何意义，向量方法计算长度、角度，应用向量证明垂直、平行等问题，都是渗透数形结合思想的载体.〔3〕正确处理线段定比分点的坐标公式. 在大纲教材中，这一公式是重要的学习内容，而课标教材中，只是把它作为平面向量的一个应用，因而降低了要求，我们只需利用向量工具推导出定比分点的坐标公式，不必要求记住公式并用来解决问题.6. 三角恒等变换章节：对比大纲教材，三角恒等变换降低了一些要求，不再要求利用积化和差、和差化积、半角公式进行复杂的恒等变形，而只是把它们作为三角恒等变换的基本训练题. 我们在进行三角变换的训练中，应当紧扣和差角、二倍角这两组公式及变形式子，注重一些三角变换技巧〔降次、化一、变角、切弦互化〕的训练，但不再训练运用积化和差等公式进行三角变换的题型.三、教学过程组织的体会：1. 课时保障及教学进度的制订：课标教材实验教学中的一个困扰是教学任务难于完成，主要原因是有大纲教材教学经验的老师，拔高了许多教学要求，以大纲教材的定位来对待课标教材，其次是部分教辅资料滥竽充数，教师在帮助学生解答教辅资料的疑难问题上耽误过多的时间.即使严格按照课标要求组织教学，学生学习的技能也普遍达不到相应的要求，所以增加适度的训练是极为正常的. 我校在课标教材实验的几年中，认真落实以下两方面：〔1〕数学教学课时量的保障. 高一、高二年级在周一～周五的学习日中，安排6节数学课，在周六的课外活动日中，安排1～2课时的学习. 每周累计共7～8课时，新授课安排5课时，其余2～3课时进行强化训练及相关的数学实践活动.〔2〕学期初认真制订教学进度表，制订时兼顾两个原那么，一是依据课标要求，二是结合教学实际. 在全期教学中，以周为单位严格控制教学进度，确保圆满完成教学任务，且留有期末复习的充裕时间.2. 算法教学中上机练习的安排：部分学校算法教学，存在的误区是由计算机老师完成. 其实，算法教学必须由数学老师完成，程序编写也应安排上机验证，不只是纸上谈兵学习编程. 我校安排了三周时间进行算法教学，并利用这三周内每周1～2节电脑课进行BASIC的编程练习，请电脑老师组织上机课的训练，数学老师明确每节课的训练任务，并到机房对学生进行编程指导.算法编程训练的平台选用Windows下运行DOS程序Qbasic，训练的重点是在Qbasic 下输入教材上例题与习题的相关程序，并调试其正确性.通过适当的上机训练，让学生对算法有了一种真切感，激发了学生学习算法的兴趣，巩固了算法中所学习的内容，也提高了学生运用计算机的操作水平.3. 科学型计算器在教学中的使用：必修③与必修④的教学中，有几处地方必须训练学生使用计算器解决问题的能力：〔1〕“统计〞一章关于样本数字特征的学习中，必须要求学生会使用科学型计算器的统计功能，完成一组数据的平均数、标准差、方差的计算；〔2〕在统计中求解线性回归模型时，也要求学生会使用科学型计算器，计算关于两个变量的一组样本数据的线性回归方程；〔3〕在古典概型与几何概型的学习中，要求学生会使用科学型计算器的随机函数功能，产生某个X围内的随机数，并用随机模拟的方法完成一些概率计算的试验；〔4〕在三角函数中学习弧度制与角度制的转换时，要求学生会使用科学型计算器，后面的学习中，也要求学生会用计算器求三角函数值；〔5〕在解决实际问题的过程中，可以运用计算器完成结果的计算.教学中计算器的使用，应有所保留，只在要求用的时候才用，不要在进行简单运算时也使用计算器. 这点要特别强调学生，注意不能因为计算器的使用而削弱笔算的能力.4. 通过数学应用激发学习兴趣：必修③与必修④共六个章节的内容，都可以联系到一些实际问题作为学习数学知识的情景. 我们要多联系身边的生活问题，让学生感觉到数学就在身边，数学是有用的.多谈数学的应用，既能提高学生学习数学的兴趣，也能提高解决实际问题的能力. 两个模块的课标教材主要的实际应用有：〔1〕算法思想解决实际问题，如过河问题、的计费等；〔2〕统计抽样中频率分布直方图的研究、平均数与标准差的计算、线性回归模型等；〔3〕概率中的古典概型与几何概型；〔4〕三角函数与生活中有周期性变换规律现象的联系；〔5〕向量在物理中的应用；〔6〕结合三角变换，借助三角函数模型，研究实际生活中的最优化问题.5. 模块监测与期末复习的有效性：教学质量的提高，与课堂教学的有效性密切相关，也离不开各单元、各模块知识的过关训练. 每单元的学习，应当配合单元试题进行检测，各模块学习完毕，也要进行模块学习情况的监测.一个学期学习两个模块的数学内容，不应当只是停留了各模块学分认定的形式上，而应当认真组织好期末复习，以两个模块内容的综合试卷的形式来训练全期学习内容，并认真组织全期学习效果的检测.我校的期末复习时间一般控制在3周左右，前2周进行两个模块的重点题型归类复习，最后1周通过1～2套试卷来检测效果. 在命制期末复习试卷时，一定要符合课标的教学要求，既要突出两个模块的重点题型，也要突出数学应用及创新思维能力的考查.四、教材实验问题的斟酌：1. 正确对待教材及教参的错误：本次各版课标教材都是一些编者在较短的时间内完成，并没有经历试验成功之后的反复修订. 由于编写的紧迫，教材及教参中的各种错误都在所难免，战斗在教学第一线的教师，有反馈错误和修订建议的权利和义务.我校在教学中，鼓励师生参与查错，并通过积极向人教社反映. 关于必修③与必修④两册教材，所发现的一些错误有：〔1〕《人教A版必修④》〔2005年3月第3次印刷〕第148页〔即3.1.3 例6 解法2〕第3行，分子少了2. 由我校高一12班岑志华同学发现，在2004年12月第1次印刷的第150页，也出现同样错误.〔2〕《人教A 版必修④》〔2005年3月第3次印刷〕教材P 44例5 求函数1sin(),[2,2]23y x x πππ=+∈-的单调递增区间.教材P 44 解法的最后一行： 5244233k k ππππππ-≤-++≤且. 个人认为应当修订为： 5244233k k ππππππ-≤+-+≤且. 2. 适度化解教材中的繁难问题：我们所使用的教材，只是部分学者的劳动成果，并不是全体一线教师的智慧结晶. 教材的编写也受课程标准的约束. 所以，课标教材有它亮点，也有一些弱处. 我们在教学中应当灵活处理教材，选取适当的例题与习题，完成课程标准的教学要求.在解答数学问题的教学过程中，既要重视解题方法的理解，也要突出解决数学问题的步骤性. 如必修③几何概型一节中类似例2的问题，我们采用四步曲“构设变量→集合表示→作出区域→计算概率〞来求解，具体格式如下：例 两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去. 求两人能够会面的概率.解：设两人到达的时间分别为7点到8点之间的x 分钟、y 分钟.用(,)x y 表示每次试验的结果，那么所有可能结果为{(,)|060,060}x y x y Ω=≤≤≤≤；记两人能够会面为事件A ，那么事件A 的可能结果为{(,)|||20,060,060}A x y y x x y =-≤≤≤≤≤.如下图，试验全部结果构成区域Ω为正方形ABCD . 而事件A所构成区域是正方形内两条直线20y x -=，20x y -=所夹中间的阴影部分. 根据几何概型公式，得到 222(6020)60252()609S P A S --⨯===阴影正方形. 所以，两人能够会面的概率为59. 3. 课标教材及实验中的其它问题：〔1〕算法案例中更相减损术，《九章算术》中的口诀是“可半者半之，不可半者…〞.在实际运用中，发现两个数都是偶数时，不用2约简也可相减而求，但口诀为何如此呢？〔2〕必修③与必修④的教学中，师生都可能存在一些失误，如何有效地避免这些误区，例如错算几何概型中个别问题、混淆三角变换顺序等.〔3〕课标教材实验教学中，教师如何把握好教学要求，做到不超出课标要求，不加重学生负担，大胆删去教辅资料上的超标练习，合理选用教材上适合学生的例题及习题.〔写于2007年2月16日〕参考文献:[1] 教育部，《普通高中数学课程标准〔实验〕》，人民教育，2003[2]章建跃，A版数学教材的改革与创新，《试教通讯》2006年第4期[3]宋莉莉，A版数学三简介，《试教通讯》2006年第4期。

§1.1.1集合的含义及其表示[自学目标]1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法;2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义; 3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1． 集合和元素(1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ∉. 2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性. 3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图. 4.集合的分类:有限集;无限集;空集.5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作*N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R . [预习自测]例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. （1）小于5的自然数; （2）某班所有高个子的同学; （3）不等式217x +>的整数解; （4）所有大于0的负数;（5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性.例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形 一定是 ( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例3.设()()(){}22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值.分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A.例4.已知{}2,,M a b =,{}22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值.[课内练习]1．下列说法正确的是（ ）（A ）所有著名的作家可以形成一个集合 （B ）0与 {}0的意义相同 （C ）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+N n n x x A ,1是有限集 （D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素 2．下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x x D ．}01|{2=+-x x x 3．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是（ ）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{.4．已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝5．若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x xB ∈==，用列举法表示B= . [归纳反思]1．本课时的重点内容是集合的含义及其表示方法，难点是元素与集合间的关系以及集合元素的三个重要特性的正确使用；2．根据元素的特征进行分析，运用集合中元素的三个特性解决问题，叫做元素分析法。