七年级上学期数学奥赛绝对值与方程

的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0． • 再根据绝对值的概念，得 • |b-a|=a-b，|a+c|=-(a+c)，|c-b|=b-c．于是有 • 原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．
c b0 a x 图1－1
例 3 、已知x<-3，化简： |3+|2-|1+x|||．
• 解： 因为 abc≠0，所以 a≠0，b≠0，c≠0．
• (1)当 a，b，c 均大于零时，原式=3；
• (2)当 a，b，c 均小于零时，原式=-3；
• (3)当 a，b，c 中有两个大于零，一个小于零时，
• 原式=1；
• (4)当 a，b，c 中有两个小于零，一个大于零时，
• 原式=-1a． b c • 所以 | a | | b | | c | 的所有可能值是±3, ±1 • 说明本例的解法是采取把 a，b，c 中大于零与小于零的
• 例如，化简|3x+1|，只要考虑 3x+1 的正负，即
可去掉绝对值符号．这里我们是分 x 1 与x 1
•
两种情况加以讨论的，此时 x
类似地，对于|2x-1|而言，x
1 2
13是一个分3 界点3， 是一个分界点，为
同时去掉两个绝对值符号，我们把两个分界点
• 所 化示13简和)了即12 。标x 在13,数13轴x上12，, x 把，12 数这轴样分我为们三就部可份以(分如类图1讨－论2
• 2x-5x+3x=0 一种情况．因此必须有
• |4-5x|=4-5x 且|1-3x|=3x-1．
• 故 x 应满足的条件是 4 5x 0
1
• 解之得：3

绝对值与一元一次方程知识纵横绝对值是初中数学最活跃的概念之一,•能与数学中很多知识关联而生成新的问题,我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程,简称绝对值方程.解绝对值方程的基本方法有:一是设法去掉绝对值符号,将绝对值方程转化为常见的方程求解;一是数形结合,借助于图形的直观性求解.前者是通法,后者是技巧.解绝对值方程时,常常要用到绝对值的几何意义,去绝对值的符号法则,•非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法.例题求解【例1】方程│5x+6│=6x-5的解是_______.(2000年重庆市竞赛题)思路点拨设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解.解:x=11提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0讨论.【例2】适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a的值的个数有( ).A.5B.4C.3D.2 (第11届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径.解:选B提示:由已知即在数轴上表示2a的点到-7与+1的距离和等于8,•所以2a表示-7到1之间的偶数.【例3】解方程:│x-│3x+1││=4; (天津市竞赛题)思路点拨从内向外,根据绝对值定义性质简化方程.解:x=-54或x=32提示:原方程化为x-│3x+1=4或x-│3x+1│=-4【例4】解下列方程:(1)│x+3│-│x-1│=x+1; (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)│x-1│+│x-5│=4. (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段实行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解.解:(1)提示:当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.(2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数x的点到表示数1及5的距离和等于4,画出数轴易得满足条件的数为1≤x≤5,此即为原方程的解.【例5】已知关于x的方程│x-2│+│x-3│=a,研究a存有的条件,对这个方程的解实行讨论.思路点拨方程解的情况取决于a的情况,a与方程中常数2、3有依存关系,这种关系决定了方程解的情况,所以,探求这种关系是解本例的关键,•使用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解.解:提示:数轴上表示数x的点到数轴上表示数2,3的点的距离和的最小值为1,由此可得方程解的情况是:(1)当a>1时,原方程解为x=52a;(2)当a=1时,原方程解为2≤x≤3;(3)当a<1时,原方程无解.学力训练一、基础夯实1.方程3(│x│-1)= ||5x+1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____.2.已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.3.已知│x│=x+2,那么19x99+3x+27的值为________.4.关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=0,则a的值是______;关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=1,则有理数a的取值范围是________.5.使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x的值是( ).A.-2B.0C. 23D.不存有6.方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).A.不确定B.无数个C.2个D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)7.已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-12|-1=0,则m的值是( ).A.10或25B.10或-25C.-10或25D.-10或-25(2000年山东省竞赛题)8.若│2000x+2000│=20×2000,则x等于( ).A.20或-21B.-20或21C.-19或21D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)9.解下列方程:(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.10.讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.二、水平拓展11.方程││x-2│-1│=2的解是________.12.若有理数x满足方程│1-x│=1+│x│,则化简│x-1│的结果是_______.13.若a>0,b<0,则使│x-a│+│x-b│=a-b成立的x的取值范围是______.(武汉市选拨赛试题)14.若0<x<10,则满足条件│x-3│=a•的整数a•的值共有_____•个,•它们的和是____.15.若m是方程│2000-x│=2000+│x│的解,则│m-2001│等于( ).A.m-2001B.-m-2001C.m+2001D.-m+200116.若关于x的方程│2x-3│+m=0无解,│3x-4│+n=0只有一个解,│4x-5│+•k=0有两个解,则m、n、k的大小关系是( ).A.m>n>kB.n>k>mC.k>m>nD.m>k>n17.适合关系式│3x-4│+│3x+2│=6的整数x的值有( )个.A.0B.1C.2D.大于2的自然数18.方程│x+5│-│3x-7│=1的解有( ).A.1个B.2个C.3个D.无数个19.设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值.(“华杯赛”邀请赛试题)20.当a满足什么条件时,关于x的方程│x-2│-│x-5│=a有一解?有无数多个解?无解?三、综合创新21.已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)22.(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.【学力训练】(答案)1.±107、2或0 2.0或-1 3.54.-1,a≥0 提示:由│a+1│=│a│+1得a×1≥0,即a≥05.D6.B7.A8.D9.(1)x=3或x=13;(2)x=9或x=-37;(3)x=-43或x=2;(4)提示:分x<-1、-1≤x<12、 •12≤x≤2、x≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到12≤x≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足12≤x≤2的x值都是方程的解.10.当k<0时,原方程无解;当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k,此时原方程有四解:x=-3±(2±k);当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).11.±5 12.1-x 13.b≤x≤a 提示:利用绝对值的几何意义解.14.7、21提示:当0<x<3时,则有│x-3│=3-x=a,a的解是1,2;当3≤x<10时,则有│x-3│=x-3=a,a的解为0,1,2,3,4,5,615.D 提示:m≤0 16.A 17.C 提示:-2≤3x≤4 18.B19.提示:若b+3、b-3都是非负的,而且如果其中一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b=3.20.提示:由绝对值几何意义知:当-3<a<3时,方程有一解;当a=±3时,•方程有无穷多个解;当a>3或a<-3时,方程无解.21.提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,•由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1且-1≤y≤5时,上式成立,故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.22.(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.。

专题26 含绝对值的一元一次方程1．求解含绝对值的一元一次方程的方法我们没有学习过，但我们可以采用分类讨论思想先把绝对值去除，使得方程成为一元一次方程，这样我们就能轻松求解了，比如求解：|3|2x -=．解：当30x -时，原方程可化为32x -=，解得5x =；当30x -<时，原方程可化为32x -=-，解得1x =．所以原方程的解是5x =或1x =．请你依据上面的方法求解方程：|37|80x --=，则得到的解为 5x =或13x =- ． 【解答】解：|37|80x --=，378x ∴-=或378x -=-，解得5x =或13x =-， 故答案为：5x =或13x =-． 2．我们已经知道“非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数”，利用这个知识可以解含有绝对值的方程，如：解方程|3|2x -=．解：当30x -时，3x ，方程化为32x -=，解得5x =（符合题意）；当30x -<时，3x <，方程化为(3)2x --=，解得1x =（符合题意）．∴方程|3|2x -=的解为5x =或1x =．（1）方程|4|3x x -=的解为 1x = ；（2）方程|3||2|3x x x --+=的解为 ．【解答】解：（1）当40x -时，即4x 时，方程化为43x x -=，解得2x =-，因为4x ，所以2x =-不合题意；当40x -<时，即4x <时，方程化为(4)3x x --=，解得1x =，因为4x <，所以1x =符合题意；所以方程的解为1x =．（2）当2x -时，原方程化为：323x x x -++=，解得53x =， 因为2x -， 所以53x =不符合题意； 当23x -<时，原方程化为：3(2)3x x x --+=， 解得15x =， 因为23x -<， 所以15x =符合题意； 当3x >时，原方程化为：3(2)3x x x --+=， 解得53x =-， 因为3x >， 所以53x =-不符合题意； 故方程的解为15x =． 3．某班数学兴趣小组探索绝对值方程的解法．例如解绝对值方程：|2|1x =．解：分类讨论：当0x 时，原方程可化为21x =，它的解是12x =． 当0x <时，原方程可化为21x -=，它的标是12x =-． ∴原方程的解为12x =或12x =-． （1）依例题的解法，方程1||32x =的解是 6x =或6x =- ． （2）在尝试解绝对值方程|2|3x -=时，小明提出想法可以继续依例题的方法用分类讨论的思想把绝对值方程转化为不含绝对值方程，试按小明的思路完成解方程过程；（3）在尝试解绝对值方程|3|5x -=时，小丽提出想法，也可以利用数形结合的思想解绝对值方程，在前面的学习中我们知道，||a b -表示数a ，b 在数轴上对应的两点A 、B 之间的距离，则|3|5x -=表示数x 与3在数轴上对应的两点之间的距离为5个单位长度，结合数轴可得方程的解是 ；（4）在理解上述解法的基础上，自选方法解关于x 的方程|2||1|(0)x x m m -+-=>；（如果用数形结合的思想，简要画出数轴，并加以必要说明）．【解答】解：（1）当0x 时，原方程可化为132x =，它的解是6x =， 当0x <时，原方程可化为132x -=，它的解是6x =-， ∴原方程的解为6x =或6x =-，故答案为：6x =或6x =-；（2）当2x 时，原方程可化为23x -=，它的解是5x =，当2x <时，原方程可化为23x -+=，它的解是1x =-，∴原方程的解为5x =或1x =-，故答案为：5x =或1x =-；（3）数轴上与3的点距离是5的点分别是8或2-，∴方程的解是8x =或2x =-，故答案为：8x =或2x =-；（4）当2x 时，21x x m -+-=，解得32m x +=； 当12x <<时，21x x m -+-=，可得1m =；当1x 时，21x x m -+-=，解得32m x -=； ∴当1m =时，方程有无数解；当01m <<时，方程无解；当1m >时，32m x +=或32m x -=． 4．【我阅读】解方程：|5|2x +=．解：当50x +时，原方程可化为：52x +=，解得3x =-；当50x +<时，原方程可化为：52x +=-，解得7x =-．所以原方程的解是3x =-或7x =-．【我会解】解方程：|32|50x --=．【解答】解：当320x -时，原方程可化为：3250x --=， 解得73x =； 当320x -<时，原方程可化为：3250x -+-=，解得1x =-． 所以原方程的解是73x =或1x =．5．[现场学习]定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：||2x =，|21|3x -=，1||22x x --=，⋯都是含有绝对值的方程． 怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． 我们知道，根据绝对值的意义，由||2x =，可得2x =或2x =-．[例]解方程：|21|3x -=．我们只要把21x -看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义，得213x -=或21x -= 3- ．解这两个一元一次方程，得2x =或1x =-；经检验可知，原方程的解是2x =或1x =-．[解决问题] 解方程：1||22x x --=． 解：根据绝对值的意义，得12x -= 或12x -= ， 解这两个一元一次方程，得x = 或x = ，经检验可知，原方程的解是 ．[学以致用]解方程：|21||56|x x +=-．【解答】解：[解决问题]1||22x x --=， 根据绝对值的意义，得122x x --=或122x x ---=， ∴122x x -=+或122x x -=--， 解这两个一元一次方程，得5x =-或1x =-，经检验可知，原方程的解是1x =-；故答案为：2x +，2x --，5-，1-，1x =-；[学以致用]|21||56|x x +=-，根据绝对值的意义，得2156x x +=-或2156x x +=-+，解这两个一元一次方程，得73x =或57x =， 经检验可知，原方程的解是73x =或57x =． 6．有些含绝对值的方程，可以通过分类讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程2||3x x +=．解：当0x 时，方程可化为：23331x x x x +===，符合题意．当0x <时，方程可化为：2333x x x x -=-==-，符合题意．所以原方程的解为：1x =或3x =-．仿照上面解法，解方程：3|1|7x x +-=．【解答】解：当1x 时，3(1)7x x +-=， 解得52x =； 当1x <时，3(1)7x x --=，解得2x =-；∴原方程的解为：52x =或2x =-． 7．阅读下题和解题过程：化简|2|12(2)x x -+--，使结果不含绝对值．解：①当20x -时，即2x 时，原式21243x x x =-+-+=-+；②当20x -<，即2x <时，原式(2)124x x =--+-+37x =-+这种解题的方法叫“分类讨论法”．请你用“分类讨论法”解下列方程：（1）|3|5x -=；（2）2(|2|1)3x x +-=+．【解答】解：（1）①当30x -时，即3x ，35x -=，解得：8x =；②当30x -<，即3x <，35x -+=，解得：2x =-；∴方程|3|5x -=的解为8x =或2-；（2）①当20x +时，即2x -，2(21)3x x +-=+，解得：1x =；②当20x +<，即2x <-，2(21)3x x ---=+，解得：3x =-；∴方程2(|2|1)3x x +-=+的解为1x =或3-．8．阅读下列问题：例．解方程|2|5x =．解：当20x ，即0x 时，25x =，52x ∴=； 当20x <，即0x <时，25x -=，52x ∴=-． ∴方程|2|5x =的解为52x =或52x =． 请你参照例题的解法，求方程21||13x -=的解． 【解答】解：当210x -时，即12x， 2113x -=， 2x ∴=；当210x -<时，即12x <， 2113x -=-， 1x ∴=-；∴方程21||13x -=的解为1x =-或2x =． 9．阅读下列材料，回答问题：“数形结合”的思想是数学中一种重要的思想．例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点A 表示的数为a ，B 表示的数为b ，则A 、B 两点的距离可用式子||a b -表示．例如：5和2-的距离可用|5(2)|--或|25|--来表示．【知识应用】我们解方程|5|2x -=时，可用把|5|x -看作一个点x 到5的距离，则该方程可看作在数轴上找一点(P P 表示的数为)x 与5的距离为2，所以该方程的解为7x =或3x =．所以，方程|5|2x +=的解为 3x =-或7x =- ．（直接写答案，不需过程）【知识拓展】我们在解方程|5||2|7x x -++=时，可以设A 表示数5，B 表示数2-，P 表示数x ，该方程可以看作在数轴上找一点P 使得7PA PB +=，因为7AB =，所以由图可知，P 在线段AB 上都可，所以该方程有无数解，x 的取值范围是25x -．类似的，方程|4||6|10x x ++-=的解 （填“唯一”或“不唯一” )，x 的取值是 ．( “唯一”填x 的值，“不唯一”填x 的取值范围）；【拓展应用】解方程|4||6|14x x ++-=．【解答】解：【知识应用】|5||(5)|x x +=--，|5|x ∴+可以看成是数轴上点A 所表示的数x 与5-的距离， 52x ∴+=或52x +=-，解得：3x =-或7x =-，故答案为：3x =-或7x =-；【知识拓展】设A 表示数4-，B 表示数6，P 表示数x ， ∴方程|4||6|10x x ++-=可以看作在数轴上找一点P 使得10PA PB +=， ∴点P 必在线段AB 上，∴该方程的解不唯一，x 的取值范围是46x -，故答案为：不唯一，46x -，【拓展应用】|4||6|14x x ++-=，设A 表示数4-，B 表示数6，P 表示数x ，①当点P 位于线段AB 上时，|4||6|4610x x x x ++-=++-=（不合题意，舍去）， ②当点P 位于A 点左侧时，|4||6|462214x x x x x ++-=---+=-+=，解得：6x =-，③当点P 位于B 点右侧时，|4||6|462214x x x x x ++-=++-=-=，解得：8x =，综上，6x =-或8x =．10．先阅读下列解题过程，然后回答问题．解方程：|4|3x +=．解：当40x +时，原方程可化为43x +=，解得1x =-； 当40x +<时，原方程可化为43x +=-，解得7x =-． ∴原方程的解是1x -或7x =-．根据上面的解题过程，解方程：|33|60x --=．【解答】解：当330x -时，原方程可化为3360x --=，解得3x =； 当330x -<时，原方程可化为(33)60x ---=，解得1x =-． 所以原方程的解是3x =或1x =-．11．阅读下面的解题过程：解方程：|5|2x =．解：（1）当50x 时，原方程可化为一元一次方程52x =，解得25x =； （2）当50x <时，原方程可化为一元一次方程52x -=，解得25x =-． 请同学们仿照上面例题的解法，解方程3|1|210x --=．【解答】解：（1）当10x -时，原方程可化为一元一次方程3(1)210x --=，解得5x =；（2）当10x -<时，原方程可化为一元一次方程3(1)210x ---=，解得3x =-．12．（1）阅读下列材料并填空．例：解方程|2||3|5x x +++=解：①当3x <-时，20x +<，30x +<，所以|2|2x x +=--，|3|3x x +=--所以原方程可化为 （1） 5=解得x =②当32x -<-时，20x +<，30x +，所以|2|2x x +=--，|3|3x x +=+所以原方程可化为235x x --++=15=所以此时原方程无解③当2x -时，20x +，30x +>，所以|2|x += ，|3|x +=所以原方程可化为 5=解得x =（2）用上面的解题方法解方程：|1||2|6x x x +--=-．【解答】解：（1）①当3x <-时，20x +<，30x +<， 所以|2|2x x +=--，|3|3x x +=--所以原方程可化为：235x x ----=解得：5x =-②当32x -<-时，20x +<，30x +，所以|2|2x x +=--，|3|3x x +=+所以原方程可化为235x x --++=15=所以此时原方程无解③当2x -时，20x +，30x +>，所以|2|2x x +=+，|3|3x x +=+所以原方程可化为235x x +++=解得0x =故答案为：23x x ----，5-，2x +，3x +，23x x +++，0（2）令10x +=，20x -=时，1x ∴=-或2x =．当1x <-时，10x ∴+<，20x -<，|1|1x x ∴+=--，|2|2x x -=-+，1(2)6x x x ∴----+=-3x ∴=（不符合题意，所以无解）当12x -<时，|1|1x x ∴+=+，|2|2x x -=-+，126x x x ∴++-=-5x ∴=-（不符合题意，所以无解）当2x 时，|1|1x x ∴+=+，|2|2x x -=-，126x x x ∴+-+=-9x ∴=．综上所述，x 的解为：9x =．13．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）解方程：|3|1x = 解：①当30x 时，原方程可化为一元一次方程为31x =，它的解是13x =②当30x <时，原方程可化为一元一次方程为31x -=，它的解是13x =-． （1）请你模仿上面例题的解法，解方程：2|3|513x -+=（2）探究：当b 为何值时，方程|2|1x b -=+①无解；②只有一个解；③有两个解．【解答】（1）解：当30x -时，原方程可化为一元一次方程为2(3)513x -+=，方程的解是7x =；②当30x -<时，原方程可化为一元一次方程为2(3)513x -+=，方程的解是1x =-；所以方程的解是7x =或1x =-；（2）解：|2|0x -，∴当10b +<，即1b <-时，方程无解；当10b +=，即1b =-时，方程只有一个解；当10b +>，即1b >-时，方程有两个解．14．先阅读，后解题：符号|2|-表示2-的绝对值为2，|2|+表示2+的绝对值为2，如果||2x =那么2x =或2x =-． 若解方程|1|2x -=，可将绝对值符号内的1x -看成一个整体，则可得12x -=或12x -=-，分别解方程可得3x =或1x =-，利用上面的知识，解方程：|21|70x --=．【解答】解：移项得，|21|7x -=，根据绝对值的意义，得217x -=或217x -=-，解得4x =或3x =-．15．定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做含有绝对值的方程．如||2x =，|21|3x -=，1||12x x --=，⋯，都是含有绝对值的方程．含有绝对值的方程的解题思路是将含有绝对值的方程转化为不含有绝对值的方程．我们知道，根据绝对值的意义，由||2x =，可得2x =或2x =-．[例]解方程：|21|3x -=．解析：我们只要把21x -看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得213x -=或21x -= 3- ．解这两个一元一次方程，得2x =或1x =-．检验：（1）当2x =时，原方程的左边|21||221|3x =-=⨯-=，右边3=，因为左边=右边，所以2x =是原方程的解．（2）当1x =-时，原方程的左边|21||2(1)1|3x =-=⨯--=．右边3=，因为左边=右边，所以1x =-是原方程的解．综合（1）（2）可知，原方程的解是2x =或1x =-． 【解决问题】解方程：1||12x x --=． 【解答】解：1||12x x --=， 1||12x x -∴=+， ∴112x x -=+或112x x -=--， 解得3x =-或13x =-， 检验：当3x =-时，原方程的左边131||||3522x x ---=-=+=，右边≠右边，因为左边=右边，所以3x =-不是原方程的解， （2）当13x =-时，原方程的左边11113||||1223x x ---=-=+=．右边1=，因为左边=右边，所以13x =-是原方程的解， ∴原方程的解是13x =-．16．阅读所给材料，解决问题：分类讨论思想是求解带绝对值的方程的常用方法，例如，解方程|2|3x -=时，我们需要讨论2x -的正负性，当20x -时，原方程可化为23x -=，解得5x =；当20x -<时，原方程可化为(2)3x --=，即23x -=，解得1x -，所以原绝对值方程的解为5x =，或1x =-．（1）求解方程|1|52x x +-=； （2）若关于x 的方程|3|123x m +-=-+只有1个解，求方程的解及m 的值．【解答】解：（1）|1|52x x +-=， 当1x 时 原方程可化为152x x +-=； 解得4x =， 当1x <时，原方程可化为程152x x +-=； 解得8x =-， ∴原方程的解为8x =-或4x =；（2）|3|123x m +-=-+，当3x -时，原方程可化为3123x m +-=-+，解得12x m =-，当3x <-时，原方程可化为3123x m ---=-+，解得27x m =-，方程只有一个解，当123m -<-时，2m >，则273m ->-，此时方程无解；当273m --时，2m ，则123m --，此时方程有一个解，2m ∴=，方程的解为3x =-．17．阅读理解：在解形如3|2||2|4x x -=-+这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分2x <和2x 两种情况讨论：当2x <时，原方程可化为3(2)(2)4x x --=--+，解得：0x =，符合2x <． 当2x 时，原方程可化为3(2)(2)4x x -=-+，解得：4x =，符合2x ． ∴原方程的解为：0x =或4x =．解题回顾：本题中，2为(2)x -的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了2x <和2x 两部分，所以分2x <和2x 两种情况讨论．尝试应用：（1）仿照上面方法解方程：|3|83|3|x x -+=-．迁移拓展：（2）运用分类讨论先去绝对值符号的方法解方程：|3|3|2|9x x x --+=-． （提示：本题中有两个零点，它们把数轴上的点所对应的数分成了几部分呢？)【解答】解：（1）分两种情况：当3x <时，原方程可化为：383(3)x x -+=-，解得：1x =-，符合3x <， 当3x 时，原方程可化为：383(3)x x -+=-，解得：7x =，符合3x ， ∴原方程的解为：1x =-或7x =；（2）分三种情况讨论：当2x <-时，原方程可化为：33(2)9x x x -++=-，解得：18x =-，符合2x <-， 当23x -<时，原方程可化为：33(2)9x x x --+=-，解得：65x =，符合23x -<， 当3x 时，原方程可化为：33(2)9x x x --+=-，解得：0x =，不符合3x ， ∴原方程的解为：18x =-或65x =．。

第八讲 绝对值与一元一次方程绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程．解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法，后者是技巧．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．纯粹数学，就其本质而言，是逻辑思想的诗篇．——爱因斯坦爱因斯坦（1879~1955），生于德国，近代最伟大的理论物理学家，相对论的创立者，曾获得诺贝尔物理学奖．例题讲解【例1】方程5665-=+x x 的解是 ． (重庆市竞赛题)思路点拨 设法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解．【例2】 适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有( )．A ．5B ．4C ． 3D ．2 （希望杯邀请赛试题）思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径．链接：形如d cx b ax +=+的绝对值方程可变形为)(d cx b ax +±=+且0≥+d cx ，才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验．【例3】解方程：413=+-x x ； (天津市竞赛题)思路点拨 从内向外，根据绝对值定义性质简化方程．形如e d c b ax =+++的方程，含有多层的绝对值，可从外向内逐层去掉绝对值符号，将原方程化为形如d cx b ax +=+的方程求解．【例4】解下列方程： (1)113+=--+x x x (北京市“迎春杯”竞赛题) (2)451=-+-x x ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨 解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解．【例5】已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论．思路点拨 方程解的情况取决于a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解．题中给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究．【例6】方程431=-++x x 的整数解有（ ）．A ．2个B ．3个C ．5个D ．无穷多个 （希望杯邀请赛试题）思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简洁的解题途径．基础训练一、基础夯实1.方程3(│x │-1)= ||5x +1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____. 2.已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.3.已知│x │=x+2,那么19x 99+3x+27的值为________.4.关于x 的方程│a │x=│a+1│-x 的解是x=0,则a 的值是______;关于x 的方程│a │x=│a+1│-x 的解是x=1,则有理数a 的取值范围是________.5.使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x 的值是( ). A.-2 B.0 C. 23D.不存在 6.方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).A.不确定B.无数个C.2个D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)7.已知关于x 的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-12|-1=0,则m 的值是( ). A.10或25 B.10或-25C.-10或25D.-10或-25(2000年山东省竞赛题) 8.若│2000x+2000│=20×2000,则x 等于( ).A.20或-21B.-20或21C.-19或21D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)9.解下列方程:(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.10.讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.二、能力拓展11.方程│││x-2│-1│=2的解是________.12.若有理数x满足方程│1-x│=1+│x│,则化简│x-1│的结果是_______.13.若a>0,b<0,则使│x-a│+│x-b│=a-b成立的x的取值范围是______.(武汉市选拨赛试题)14.若0<x<10,则满足条件│x-3│=a•的整数a•的值共有_____•个,•它们的和是____.15.若m是方程│2000-x│=2000+│x│的解,则│m-2001│等于( ).A.m-2001B.-m-2001C.m+2001D.-m+200116.若关于x的方程│2x-3│+m=0无解,│3x-4│+n=0只有一个解,│4x-5│+•k=0有两个解,则m、n、k的大小关系是( ).A.m>n>kB.n>k>mC.k>m>nD.m>k>n17.适合关系式│3x-4│+│3x+2│=6的整数x的值有( )个.A.0B.1C.2D.大于2的自然数18.方程│x+5│-│3x-7│=1的解有( ).A.1个B.2个C.3个D.无数个19.设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值. (“华杯赛”邀请赛试题)20.当a满足什么条件时,关于x的方程│x-2│-│x-5│=a有一解?有无数多个解?无解?三、综合创新21.已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)22.(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.答案：1.±107、2或0 2.0或-1 3.54.-1,a≥0 提示:由│a+1│=│a│+1得a×1≥0,即a≥05.D6.B7.A8.D9.(1)x=3或x=13;(2)x=9或x=-37;(3)x=-43或x=2;(4)提示:分x<-1、-1≤x<12、 •12≤x≤2、x≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到12≤x≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足12≤x≤2的x值都是方程的解.10.当k<0时,原方程无解;当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k,此时原方程有四解:x=-3±(2±k);当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).11.±5 12.1-x 13.b≤x≤a 提示:利用绝对值的几何意义解.14.7、21提示:当0<x<3时,则有│x-3│=3-x=a,a的解是1,2;当3≤x<10时,则有│x-3│=x-3=a,a的解为0,1,2,3,4,5,615.D 提示:m≤0 16.A 17.C 提示:-2≤3x≤4 18.B19.提示:若b+3、b-3都是非负的,而且如果其中一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b=3.20.提示:由绝对值几何意义知:当-3<a<3时,方程有一解;当a=±3时,•方程有无穷多个解;当a>3或a<-3时,方程无解.21.提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,•由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1且-1≤y≤5时,上式成立, 故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.22.(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.提高训练1．若方程32100210021002=-x 的解分别是1x 、2x ，则21x x +=______．（希望杯邀请赛试题）2．方程11213=++--x x x 的解是______． （希望杯邀请赛试题）3．已知：有理数x 、y 、z 满足0<xy ，0>yz ，并且3=x ，2=y ，21=+z ，则z y x ++=______． (北京市迎春杯竞赛题)4．已知13+=x x ，则=++20092)94864(x x ________． （广东省竞赛题）5．方程133=+-x x 的解是_________． （山东省竞赛题）6．满足方程123422-=--x x 的所有解的和为______． (新加坡竞赛题)7．若关于x 的方程a x =--12有三个整数解，则a 的值为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3 （重庆市竞赛题） ★8．如果关于x 的方程a x x =-++11有实根，那么实数a 的取值范围是（ ）．A ．0≥aB ．0>aC ．1≥aD ．2≥a （CASIO 杯武汉市选拔赛试题）9．用符号“⊕”定义一种新运算：对于有理数a 、b 0(≠a ，)1≠a ，有a ⊕b =a a b a -+220042003，已知2004⊕x =2，求x 的值． （北京市迎春杯竞赛题）。