含有绝对值的方程组

解方程的常见方法知识点总结一、一次方程的解法一次方程是指未知数的指数为1的方程。

解一次方程的常见方法有：1. 相加相减法：通过加减运算来消去未知数的系数，得到方程的解。

2. 乘法法则：通过乘法运算来消去未知数的系数，得到方程的解。

3. 代入法：将一个方程的解代入另一个方程中，求解未知数的值。

4. 变量转移法：通过将未知数的系数移到等号另一边，得到方程的解。

二、二次方程的解法二次方程是指未知数的指数为2的方程。

解二次方程的常见方法有：1. 因式分解法：将二次方程因式分解后，令各因式等于零，得到方程的解。

2. 公式法：使用二次方程的求根公式，直接计算出方程的解。

3. 完全平方式：将二次方程转换为完全平方式，求解方程的解。

4. 提取根号法：通过提取未知数的平方根，得到方程的解。

三、分式方程的解法分式方程是指未知数出现在分式中的方程。

解分式方程的常见方法有：1. 通分法：将分式方程的分母通分，然后进行运算，求解未知数的值。

2. 消元法：通过消去分式方程的分母，将方程转化为一次方程来求解。

3. 变量替换法：通过引入新的变量或替换未知数，将分式方程转化为一次方程或二次方程进行求解。

四、绝对值方程的解法绝对值方程是指方程中含有绝对值符号的方程。

解绝对值方程的常见方法有：1. 分类讨论法：根据绝对值的定义，分别讨论绝对值内外的正负情况，得到方程的解。

2. 去绝对值法：将方程的绝对值拆分成正负两部分，得到多个方程，分别求解并取并集。

五、方程组的解法方程组是指多个方程同时出现的一组方程。

解方程组的常见方法有：1. 消元法：通过消去方程组中的未知数，将方程组转化为简化的方程组来求解。

2. 代入法：通过将一个方程的解代入另一个方程中，求解未知数的值。

3. 变量替换法：通过引入新的变量或替换未知数，将方程组转化为简化的方程组进行求解。

六、无理方程的解法无理方程是指方程中含有无理数（如根号）的方程。

解无理方程的常见方法有：1. 平方去根法：通过平方运算，将方程中的根号消去，得到方程的解。

初中七年级数学上册绝对值专项练习题下面是一些初中七年级数学上册的绝对值专项练习题，共30道题目。

你可以针对每个题目进行解答，每题解答约100字，这样总字数将达到3000字以上。

1. 计算下列各式的值：a) |-5| b) |4| c) |-7| d) |-3 - 11|2. 如果x = -8，计算 |x - 5|。

3. 如果y = 10，计算 |y - 8|。

4. 计算下列各式的值：a) |2 - 4| b) |7 - 10| c) |-6 - 3| d) |3 - (-5)|5. 如果a = -6，计算 |a + 2|。

6. 如果b = -3，计算 |b + 7|。

7. 查找 |7 - 10| 的值。

8. 查找 |5 - (-12)| 的值。

9. 查找 |-7 + 19| 的值。

10. 查找 |12 - (-18)| 的值。

11. 解方程 |x - 3| = 7.12. 解方程 |2x - 5| = 11.13. 解方程 |3x + 5| = 10.14. 解方程 |4x - 8| = 20.15. 解方程 |2x - 3| = 14.16. 计算下列各式的值：a) |3x - 4| + 2 b) |4x + 5| - 317. 解不等式 |x - 5| ≥ 10.18. 解不等式 |3x - 1| < 7.19. 解不等式 |2x - 3| ≤ 5.20. 解不等式 |x + 4| > 9.21. 计算下列各式的值：a) |x - 3| + |x + 2| b) |2x - 5| - |3x + 1|22. 如果|x + 3| = 7，求x的值。

23. 如果|2x - 5| = 11，求x的值。

24. 如果|3x + 5| = 10，求x的值。

25. 如果|4x - 8| = 20，求x的值。

26. 如果|2x - 3| = 14，求x的值。

27. 解方程组：{ |x - 3| = 7{ x - 2y = 5.28. 解方程组：{ |2x - 5| = 11{ 3x + 2y = 0.29. 解方程组：{ |3x + 5| = 10{ 2x - y = 7.30. 解方程组：{ |4x - 8| = 20{ x + y = 10.以上是初中七年级数学上册的绝对值专项练习题，希望能够帮助到你。

专题41 含绝对值的一次函数1．请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数y x =的图象和性质，并解决问题： （1）完成下列步骤，画出函数y x =的图象； ①列表、填空：②描点； ③连线．（2）观察函数图象，写出该函数图象的一条性质．2．请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数|1|y x =+的图象和性质，并解决问题．(1)按照下列步骤，画出函数|1|y x =+的图象； ①列表；②描点； ③连线．(2)观察图象，填空；①当x ___________时，y 随x 的增大而减小；x ___________时，y 随x 的增大而增大； ②此函数有最 ___________值（填“大”或“小” ），其值是 ___________； (3)根据图象，不等式11|1|22x x +>+的解集为 ___________．3．请你用学习“一次函数和二次根式”时积累的经验和方法解决下列问题：(1)在平面直角坐标系中，画出函数|1|y x =-的图象； ①列表填空：②描点、连线，画出|1|y x =-的图象；(2)结合所画函数图象，写出|1|y x =-两条不同类型的性质；(3)1102x -=的近似解． 4．某班“数学兴趣小组”对函数11y x =---的图象和性质进行了探究，探究过程如下： (1)自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值如下：其中，m = ___________，n = ___________．(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象．(3)观察这个函数图象，写出它的两条性质：①___________；②___________．(4)请根据函数图象，直接写出当方程111x m ---=-有解时，m 的取值范围___________． 5．某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数13y x =+-的图像和性质做了探究． 下面是该学习小组的探究过程，请补充完整； (1)下表是y 与x 的几组对应值，请将表格补充完整：表格中m 的值为__________，n 的值为___________．(2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图像：（提示：先用铅笔画图确定后用签字笔画图）(3)请观察函数的图像，直接写出如下结论；①当自变量x ________时，函数y 随x 的增大而增大； ②方程132x +-=的解是x =____________； ③不等式14x +<的解集为________．6．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．结合学习函数的经验，探究函数1y x a =-+的图象与性质，探究过程如下．请补充完整．(1)列表：请根据表格中的信息，可得=a __________，b = __________．(2)①根据（1）中结果，请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象．②若点()11,A x y ，()22,B x y 在函数图象上，且121x x <<，观察图像写出1y 、2y 的大小关系． 并说明理由．(3)结合画出的函数图象，解决问题：若关于x 的方程112x a x m -+=+有且只有一个正数解和一个负数解，则满足条件的m 取值范围是___________．7．在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．小红对函数1(3)2(3)x x y x -<⎧=⎨≥⎩的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：（1）请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：（2）根据函数图象，以下判断该函数 性质的说法，正确的有 ． ①函数图象关于y 轴对称； ②此函数无最小值；③当x ＜3时，y 随x 的增大而增大；当x ≥3时，y 的值不变．（3）若直线y ＝12x +b 与函数y ＝1(3)2(3)x x x -<⎧⎨≥⎩的图象只有一个交点，则b ＝ ．8．某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数312y x =+-的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）如图，在平面直角坐标系xoy 中，请同学们自己列表并画出函数图象；（2）根据函数图象，写出该函数的两条性质： ①____________②_____________（3）若关于x 的方程312x b +-=有两个互不相等的实数根，则实数b 的取值范围是______． 9．请你用学习“一次函数和二次根式”时积累的经验和方法解决下列问题： （1）在平面直角坐标系中，画出函数|1|y x =-的图象： ①列表填空：②描点、连线，画出|1|y x =-的图象：（2）结合所画函数图象，写出|1|y x =-两条不同类型的性质； （3）结合所画函数图象，当x =________时，|1|1x -=． 10．已知函数32x ky -+=，且当1x =时2y =；请对该函数及其图像进行如下探究： (1)根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为___________； (2)根据解折式，求出如表的m ，n 的值；m =___________，n =___________．(3)根据表中数据．在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出函数图像； (4)写出函数图像一条性质___________； (5)请根据函数图像写出当312x kx -+>+时，x 的取值范围．11．请你用学习一次函数时积累的经验和方法研究函数1y x =-的图象和性质，并解决问题． (1)根据函数数表达式，填写下表：m =______，n =______．(2)利用（1）中表格画出函数1y x =-的图象．(3)观察图象，当x ______时，y 随x 的增大而减小． (4)利用图象，直接写出不等式1112x x -<+的解集． 12．小颖根据学习函数的经验，对函数11y x =--的图象与性质进行了探究，下面是小颖的探究过程，请你补充完整． (1)列表：①k =______；②若()7,5A -，(),5B m -为该函数图象上不同的两点，则m =______． (2)描点并画出该函数的图象．(3)根据函数图象可得： ①该函数的最大值为______；②观察函数11y x =--的图象，写出该图象的两条性质：______，______； ③已知直线1112y x =-与函数11y x =--的图象相交，则当1y y ≤时x 的取值范围是______． 13．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．学习了一次函数之后，现在来解决下面的问题： 在y a x b =+中，下表是y 与x 的几组对应值．(1)求a 、b 的值；(2)m =______，n =______；(3)在给出的平面直角坐标系xOy 中，描出以上表格中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象．根据函数图象可得： ①该函数的最小值为______；②写出该函数的另一条性质____________；(4)已知直线14y x =+与函数y a x b =+的图象交于两点，则当1y y >时，x 的取值范围为______． 14．小时在学习了一次函数知识后，结合探究一次函数图像与性质的方法，对新函数21y x =--及其图像进行如下探究．(1)自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值如表：其中m = ，n = ．(2)请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并结合图像写出该函数的一条性质： ．(3)当112133x x --≤+时，x 的取值范围为___________．15．小颖根据学习函数的经验，对函数1|1|y x =--的图象与性质进行了探究，下面是小颍的探究过程，请你补充完整．(1)列表：①k =__________；②若(8,6),(,6)A B m --为该函数图象上不同的两点，则m =___________； (2)描点并画出该函数的图象．(3)根据函数图象可得：该的数的最大值为_____________；观察函数1|1|y x =--的图象，写出该图象的一条性质：_____________________； (4)已知直线1112y x =-与函数1|1|y x =--的图象相交，则当1y y <时x 的取值范围是__________．16．九年级某数学兴趣小组在学习了一次函数的图象与性质后，进一步研究了函数1y x =+的图象与性质．其探究过程如下：(1)绘制函数图象，列表：下表是x 与y 的几组对应值，其中m = ．描点：根据表中各组对应值(),x y ，在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点； 连线：顺次连接各点，已经画出了部分图象，请你把图象补充完整；(2)通过观察图象，下列关于该函数的性质表述正确的是： ；（填写代号） ①函数值y 随x 的增大而减小； ②1y x =+关于y 轴对称； ③1y x =+有最小值1． (3)在上图中，若直线1522y x =+交函数1y x =+的图象于A ，B 两点（A 在B 左侧），记()0,1为C 点．则ABC S ∆= ．17．某校数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数13y x =+-的图象和性质进行了探究，探究过程如下：自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值如下表：(1)①表中a 的值为 ，b 的值为 ；②以每组对应值作为一个点的坐标，在平面直角坐标系中描出表中的所有点，并按照自变量从小到大的顺序连线，画出该函数的图象，并观察图象，发现函数的最小值为 ； (2)在函数13y x =+-的图象所在坐标系中，作13y x =的图象，交13y x =+-的图象于点A ，B （A 在B 的左侧），并观察图象，直接写出下列结果： ①方程组1313y x y x ⎧=+-⎪⎨=⎪⎩的解为 ； ②不等式1133x x +-＜的解集为 ．18．有这样一个问题：探究函数21y x =-+的图像与性质．小明根据学习函数的经验，对函数21y x =-+的图像与性质进行了探究．(1)①函数21y x =-+的自变量x 的取值范围是_____________；②若点A （－7，a ），B （9，b ）是该函数图像上的两点，则a ___________b （填“＞”“＜”或“＝”）；(2)请补全下表，并在平面直角坐标系xOy 中，画出该函数的图像：(3)函数12y x =-和函数2211y x =-++的图像如图所示，观察函数图像可发现：①12y x =-的图像向___________平移________个单位长度得到21y x =-+，2211y x =-++的图像向___________平移________个单位长度得到21y x =-+； ②当21211x x -+=-++时，x ＝_____________；③观察函数2211y x =-++的图像，写出该图像的一条性质．19．学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数2y x =-+的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题．(1)列表：y 与x 的部分对应值如下表，则m =______，n =______；(2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数2y x =-+的图象；(3)结合图象，写一条函数2y x =-+的性质：________________； (4)根据函数图象填空：①方程22x -+=有______个解；②若关于x 的方程2x a -+=无解，则a 的取值范围是______．20．小慧根据学习函数的经验，对函数y ＝|x ﹣1|+1的图象与性质进行了探究，下面是小慧的探究过程，请补充完整．（1）函数y ＝|x ﹣1|+1的自变量x 可以取 ； （2）列表，找出y 与x 的几组对应值．若A （8，8），B （m ，8）为该函数图象上不同的两点，则m ＝ ；（3）在平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象，根据函数图象可得： ①该函数的最小值为 ；x+3与函数y＝|x﹣1|+1的图象交于C，D两点，当y1≥y时x的取值范围②已知直线y1＝12是．。

不等式组的解法与绝对值不等式不等式是数学中常见的一种表示数值大小关系的关系式，对于求解不等式组以及绝对值不等式，我们需要掌握一些解法的方法和技巧。

本文将介绍不等式组的解法和绝对值不等式的求解方法，帮助读者更好地理解和应用不等式的解法。

一、不等式组的解法不等式组是指一组由不等式关系组成的方程组。

解不等式组需要满足所有不等式的约束条件。

下面分别介绍常见的不等式组的解法。

1. 图像法图像法是解不等式组时常用的一种方法。

首先，我们将每个不等式关系转化为直线或曲线在坐标系中的图像。

然后，通过观察图像的交点和区域来确定解的范围。

2. 代入法代入法是一种直接将不等式约束条件代入到其他方程中的方法。

通过将一个不等式的约束条件代入到另一个不等式中，可以简化方程组，使得求解更加容易。

3. 分区间讨论法对于包含多个不等式的不等式组，可以通过分区间讨论法逐个讨论每个不等式的解的范围。

这种方法在处理复杂的不等式组时非常有效。

二、绝对值不等式的解法绝对值不等式是一种特殊的不等式，其解法相对简单。

绝对值不等式通常包含一个或多个绝对值表达式，下面介绍两种常见的绝对值不等式的解法。

1. 分类讨论法对于形如|ax + b| < c的绝对值不等式，我们可以通过分类讨论解出不等式的范围。

具体的做法是将绝对值中的表达式分为正负两种情况，然后分别解出不等式，最后得到整体的解的范围。

2. 移项和平方法对于形如|ax + b| > c的绝对值不等式，我们可以通过移项和平方的方式将绝对值不等式转化为普通的二次方程不等式。

然后再通过求解二次方程不等式得到绝对值不等式的解。

绝对值不等式的解法还有其他的方法和技巧，例如绝对值的性质和不等式的性质等，读者可以根据具体问题选择合适的解法。

总结：本文介绍了不等式组的解法和绝对值不等式的求解方法。

对于不等式组，可以通过图像法、代入法和分区间讨论法等方法来求解；对于绝对值不等式，可以通过分类讨论法和移项和平方法等方法来求解。

初中数学代数知识点整理数学是一门离不开代数的学科，代数是数学中基础而重要的一个分支。

在初中阶段，学生们学习了很多关于代数的知识点。

本文将对初中数学代数知识点进行整理。

一、代数式与等式代数式是由变量、常数和运算符构成的表达式。

它可以通过代入不同的值来求出结果。

代数式没有等号连接，例如：3x+5、2y²-7等。

等式是由两个代数式用等号连接的表达式。

它表示两个代数式的值相等，例如：2x-3=7、x+y²=25等。

二、一元一次方程一元一次方程是含有一个未知数的一次方程。

它的一般形式为ax+b=c，在解方程时，我们通过化整、去分、交换、合并同类项等步骤将方程化简为形如x=d的解。

三、二元一次方程组二元一次方程组是含有两个未知数的一次方程组。

它的一般形式为⎧⎨⎩ax+by=cdx+ey=f要解决二元一次方程组，可以通过消元法或代入法进行求解。

四、乘法公式与因式分解乘法公式是指将两个或多个因数相乘得到积的规律。

常见的乘法公式有平方差公式、完全平方公式等。

通过运用乘法公式，可以将代数式进行因式分解。

五、平方根与立方根平方根就是一个数的二次方等于该数的运算。

如果一个数的平方等于一个已知的数，那么这个数就是这个已知数的平方根。

例如，√9=3，表示3是9的平方根。

立方根类似，表示一个数的三次方等于该数的运算。

六、负数与绝对值负数代表小于零的数。

在代数中，负数可以进行运算，例如加减乘除。

绝对值表示一个数离零点的距离，不管这个数是正数还是负数，它的绝对值都是正数。

七、多项式多项式是由单项式相加而成的代数式。

单项式是只含有一个变量的代数式，多项式是由多个单项式相加而成，例如4x³+2x²-3x+5。

在多项式中，我们可以进行加减乘除等运算。

八、平方差公式与配方法平方差公式是一种对于含有两个变量的二次多项式进行因式分解的方法。

它的一般形式为a²-2ab+b²=(a-b)²。

解方程的常用方法与技巧解方程是数学中常见的问题，也是数学学习的基础。

在解方程的过程中，我们可以运用一些常用的方法和技巧来简化问题，提高解题效率。

本文将介绍解方程的常用方法与技巧，帮助读者更好地掌握解方程的技巧。

一、一元一次方程的解法一元一次方程是最简单的方程形式，通常可以通过逆向运算来求解。

例如，对于方程2x + 3 = 7，我们可以通过逆向运算将3移到等号右边，得到2x = 7 - 3，进而得到x = 4/2 = 2的解。

当方程中存在括号时，我们可以运用分配律来简化方程。

例如，对于方程2(x+ 3) = 10，我们可以先将括号内的表达式展开，得到2x + 6 = 10，再通过逆向运算求解。

二、一元二次方程的解法一元二次方程是一种常见的二次方程形式，通常可以通过配方法或公式法来求解。

配方法是指通过变形将方程转化为完全平方的形式，再进行求解。

例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 25，我们可以将其变形为(x + 3)^2 = 25，再通过开方运算得到x + 3 = ±5，进而得到x = 2或x = -8的解。

公式法是指利用一元二次方程的求根公式来求解方程。

一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)，其中a、b、c分别为方程ax^2 + bx + c = 0的系数。

通过代入系数的值，我们可以得到方程的解。

三、分式方程的解法分式方程是含有分式的方程，通常可以通过通分、约分等方法来求解。

例如，对于方程(3x + 2)/(x - 1) = 2，我们可以通过通分将方程转化为3x + 2 = 2(x - 1)，再通过逆向运算求解。

在解分式方程时，我们需要注意分母不能为零的情况。

如果方程中存在使分母为零的解，则该解需被排除。

四、绝对值方程的解法绝对值方程是含有绝对值符号的方程，通常可以通过分情况讨论来求解。

例如，对于方程|2x - 3| = 5，我们可以将其分为两种情况讨论：当2x - 3 ≥ 0时，方程变为2x - 3 = 5，解得x = 4；当2x - 3 < 0时，方程变为-(2x - 3) = 5，解得x = -1。

数学中的方程与不等式在数学中，方程和不等式是两个常见的概念。

它们在解决实际问题和研究数学性质时起着重要作用。

方程和不等式都是数学语言中的基本工具，通过利用代数关系，我们可以找到变量的可能取值范围或确定变量之间的关系。

一、方程方程是等式的一种形式，其中包含一个或多个未知数，我们需要找到使等式成立的未知数的值。

方程可以用于解决各种实际问题，例如计算物体的速度、找到几何图形的参数等。

1. 一元一次方程：一元一次方程是最简单的方程形式，它只包含一个未知数，并且未知数的最高次数为一。

一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b是常数，x是未知数。

解一元一次方程可以通过移项、合并同类项和消元等方法。

2. 二元一次方程：二元一次方程是方程中包含两个未知数，并且未知数的最高次数为一。

二元一次方程的一般形式为ax + by = c，其中a、b和c是已知常数，x和y是未知数。

解二元一次方程通常可以通过代入、消元或图解等方法。

3. 多元一次方程组：多元一次方程组是包含多个未知数和多个方程的方程组。

解多元一次方程组的常见方法有高斯消元法、矩阵法和代数法等。

4. 高次方程：高次方程是最高次数大于一的方程。

常见的高次方程有二次方程、三次方程和高次多项式方程等。

解高次方程的方法通常是利用求根公式、因式分解、配方法和图解等。

二、不等式不等式描述了数值之间的大小关系。

与方程不同，不等式的解通常是一组满足不等式条件的值。

1. 一元一次不等式：一元一次不等式是最简单的不等式形式，它只包含一个未知数，并且未知数的最高次数为一。

一元一次不等式的一般形式为ax + b > c或ax + b < c，其中a、b和c是已知常数，x是未知数。

解一元一次不等式通常可以通过移项、合并同类项和比较大小等方法。

2. 二元一次不等式：二元一次不等式是不等式中包含两个未知数，并且未知数的最高次数为一。

二元一次不等式的一般形式为ax + by > c 或ax + by < c，其中a、b和c是已知常数，x和y是未知数。

2.2.4 含有绝对值的不等式备课组：高一年级 主备人：祁鑫 时间：10、17学习目标：1. 理解绝对值的几何意义；掌握简单的含有绝对值的不等式的解法，2. 掌握含有绝对值的不等式的等价形式．| x |≤a ⇔ －a ≤x ≤a ；| x |≥a ⇔ x ≤－a 或 x ≥a （a ＞0）．3. 通过教学，体会数形结合、等价转化的数学思想方法．学习重点：含有绝对值的不等式的解法．学习难点：理解绝对值的几何意义．学习过程：一、复习导入1、正数的绝对值是它 ，负数的绝对值是它 ；零的绝对值是2、 | a |＝ ⎩⎪⎨⎪⎧ (a ＞0)(a ＝0) (a ＜0)二、新课讲解1、|a |的几何意义数 a 的绝对值|a |，在数轴上等于对应实数a 的点到原点的距离．例如，|－3|＝|3|＝2、|x |＞a 与|x |＜a 的几何意义问题（1）若解方程|x |=3，则x=几何意义：问题（2）试叙述|x |＞3，|x |＜3的几何意义，你能写出其解集吗？ 0|x|＞3的几何意义：解集为：|x|＜3的几何意义：解集为：3、结论：|x|＞a (a＞0) 的几何意义是到原点的距离a的点，其解集是{x|x＞a或x＜-a}．|x|＜a (a＞0) 的几何意义是到原点的距离a的点，其解集是{x|-a＜x＜a}．4、解含有绝对值的不等式练习1 解下列不等式（1）|x|＜5；（2）|x|－3＞0；（3）3|x|＞12．（4）|3x|<2例1解不等式(1) |2x－3|＜5 (2) |2 x－3|≥5．练习2 解下列不等式（1）|x ＋5|≤7 ； （2）|5 x －3|＞2 ．（3) |2x －1| ≥ 8 （4) |21x+1|<3（5） 3 ≤|8—2x | （6）|8—3x| <65、含有绝对值的不等式的解法小结1、|a x ＋b |＜c (c ＞0) 的解法是先化不等式组 ，再由不等式的性质求出原不等式的解集．2、|a x ＋b |＞c （c ＞0）的解法是先化不等式组 或 ，再由不等式的性 质求出原不等式的解集．三、当堂检测1、在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是( )A ．｛x ｜－2＜x ＜2}B ．｛x ｜0＜x ≤2}C ．｛x ｜－2≤x ≤2｝D ．｛x ｜x ≥2或x ≤－2｝2、不等式｜1－2x ｜＜3的解集是( )A ．｛x ｜x ＜1}B ．｛x ｜－1＜x ＜2}C ．｛x ｜x ＞2｝D ．｛x ｜x ＜－1或x ＞2｝3、解不等式（1）2|x| +1≤5 （2）8 ≥ |3x —5|(3) |2—3x | > 7 （4）21|2+3x | < 1四、能力提升不等式|x —a|≤b 的解集为｛x|—3≤x ≤2｝，求a,b 的值。

各类方程组的解法 The pony was revised in January 2021一、一元一次方程步骤：系数化整、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1。

1、系数化整：分子分母带有小数或分数的系数化成整数，方法是分子分母同时乘一个数使得系数变成整数；2、去分母：将包含的分母去掉，方法是等式两边同时乘所有分母的最小公倍数；3、去括号：根据去括号法则将括号去掉；4、移项：过等号要变号，将含未知数的放等号左边，常数放等号右边；5、合并同类项：根据合并同类项法则将同类项合并：6、系数化1：将未知数的系数化成1，方法是等式两边同时除以未知数的系数。

注：不一定严格按照步骤，例如移项的同时可以合并同类项，a(A)=b（a、b是已知数，A是含未知数的一次二项式）型方程可以先将括号前的系数化成1，第5步系数为1时省略1且第6步不需要写。

二、二元一次方程（组）一个二元一次方程有无数个解，它表示平面内一条直线，直线上每个点的坐标都是方程的解。

由两个二元一次方程联立成的二元一次方程组代表空间内两条直线，其公共点坐标就是方程组的解。

当然，若两直线平行则方程组无解，若两直线重合则方程组有无数个解。

当方程组形式复杂时先根据一元一次方程的解法化简成一般形式，然后求解。

1、代入消元法：⑴将任意一个方程变形成“y=带x的式子”或者“x=带y的式子”的形式，代入另一个方程，变成一个一元一次方程；⑵解一元一次方程；⑶将解代入任意一个原方程解出另一个未知数的值，并写出解。

2、加减消元法：⑴方程两边同时乘一个合适的数使得有同一个未知数的系数的绝对值相等（若已有系数的绝对值相等则这一步跳过）；⑵两个方程左右加或减变成一元一次方程（系数相等用减，系数互为相反数用加）；⑶解一元一次方程；⑷将解代入任意一个方程解出另一个未知数的值，并写出解。

3、图像解法：根据图像与方程的关系，在同一个平面直角坐标系中画出两个方程代表的直线，找出公共点的横坐标与纵坐标（不推荐此方法，因为当解为分数时看不出，这只能表示一种关系）。

解绝对值不等式题根探讨题根四 解不等式2|55|1x x -+<．［题根4］解不等式2|55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜<a(a>0) ⇔-a<f(x)<a去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等式组21551x x -<-+<即22551(1)551(2)x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩求解。

［解题］原不等式等价于21551x x -<-+<，即22551(1)551(2)x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩由（1）得：14x <<；由（2）得：2x <或3x >，所以，原不等式的解集为{|12x x <<或34}x <<．［收获］1）一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础，无论是解高次不等式、绝对值不等式还是解无理根式不等式，最终是通过代数变形后，转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。

2）本题也可用数形结合法来求解。

在同一坐标系中画出函数2551y x x y =-+=与的的图象，解方程2551x x -+=，再对照图形写出此不等式的解集。

第1变 右边的常数变代数式［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x［思路］利用｜f(x)｜<g(x) ⇔-g(x)<f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。

解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x )解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12} (2)原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或2<x <6所以原不等式的解集是{x |2<x <6}［收获］形如|()f x |<()g x ，|()f x |>()g x 型不等式这类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ①|()f x |<()g x ⇔－()g x <()f x <()g x ②|()f x |>()g x ⇔()f x >()g x 或()f x <－()g x［请你试试4—1］1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）234xx -≤1 解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于：x-x 2-2>x 2-3x-4 ①或x-x 2-2<-(x 2-3x-4) ② 解①得：1-2<x<1+2 解②得：x>-3故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2-x+2｜ 而x 2-x+2＝(x-14)2+74>0 所以｜x-x 2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.故原不等式等价于x 2-x+2>x 2-3x-4 解得：x>-3∴ 原不等式解集为｛x>-3｝ （2）分析 不等式可转化为-1≤234xx -≤1求解，但过程较繁，由于不等式234x x -≤1两边均为正，所以可平方后求解.原不等式等价于2234xx -≤1⇒9x 2≤(x 2-4)2 (x ≠±2) ⇒x 4-17x 2+16≥0 ⇒x 2≤1或x 2≥16⇒-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程.第2变 含两个绝对值的不等式［变题2］解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5. ［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜⇒f 2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。

初一绝对值化简练习题初一数学上册学习资料第三讲绝对值绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。

绝对值的定义及性质绝对值简单的绝对值方程化简绝对值式，分类讨论绝对值几何意义的使用绝对值的定义：绝对值的性质：绝对值的非负性，可以用下式表示|a|=若|a|=a，则；若|a|=-a，则；任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，若|a|=|b|，则|ab|= ；|ab|= ；|a|2= = ；|a+b||a|+|b| |a-b|||a|-|b|| |a|+|b||a+b| |a|+|b||a-b|[例1]绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？若ab A.a＜0，b＜0B.a＞0，b＜0C.a＜0，b＞0D.ab ＜0下列各组判断中，正确的是A．若|a|=b，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a＞bC. 若|a|＞b，则一定有|a|＞|b|D.若|a|=b，则一定有a2=设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？[巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？[巩固] 有理数a与b满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确A.a＞bB.a=bC.a [巩固] 若|x-3|=3-x，则x的取值范围是____________[巩固] 若a＞b，且|a| A.a＜0B.a＞0 C.b＜0 D.b ＞0[巩固] 设a，b是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？[例2]若3|x-2|+|y+3|=0，则若|x+3|+2=0，求2+2=0,则；若|x-a|+2=0,则；若|x-a|+|x-b|=0，则；已知x是有理数，且|x|=|-4|，那么x=＿＿＿＿已知x是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿已知x是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿如果x，y表示有理数，且x，y满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x，那么x+y的值是多少？巩固|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值3解方程：|x?5|?5?0 |4x+8|=1 |3x+2|=-1y的值是多少？ x?4n)的值 y?x已知|x-1|=2，|y|=3，且x与y互为相反数，求13x2?xy?4y的值若已知a与b互为相反数，且|a-b|=4，求a?ab?b a2?ab?1的值已知a=-1|2a?4b2，b=-13，求|2?4|a?2b|?2|4b?3?|2a?3||的值若|a|=b，求|a+b|的值化简：|a-b|化简：|3.14-π| |8-x|有理数a，b，c在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b| C B 0 A已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|数a，b在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||若a b?0，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab|若-2≤a≤0，化简|a+2|+|a-2|已知x0,|y|>|z|>|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值如果0 已知x 若a ||3a|?a|若abc≠0，则abc|a|?|b|?|c|的所有可能值有理数a，b，c，d，满足|abcd||a||b||c||d|abcd??1，求a?b?c?d的值化简|x+5|+|2x-3|化简：|2x-1|求|m|+|m-1+|m-2|的值1、什么叫绝对值？在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．例如+5的绝对值等于5，记作|+5|=5；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．拓展：︱x－2︱表示的是点x到点2的距离。

考点1实数1.实数的分类(1)有理数(2)无理数2.实数的相关概念(1)数轴(2)绝对值绝对值的意义：数轴上的点到原点的距离.正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.实数a 的绝成考高起专、高起本数学（理）-考点汇编第一部分代数第一章数、式、方程和方程组(预备知识)对值可表示为a ，即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩若a，b 为实数，则(1)a ≥0，当且仅当0a =时取等号.(2)||||00a b a +=⇔=且0b =.(3)||||a a =-.(3)相反数(4)倒数3.实数的运算(1)运算法则数的运算顺序：先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减，有括号先算括号(即从内往外的顺序)考点2整式的运算1.整式的加减运算2.整式的乘法运算(1)单项式乘单项式(2)多项式乘单项式(3)多项式乘多项式(4)常用乘法公式平方差公式：22()()a b a b a b +-=-；完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+；立方和、差公式：()()33223322(),()a b a b a ab bab a b a ab b +=+-+-=-++；完全立方公式：33223()33a b a a b ab b ±=±+±.3.多项式的因式分解4.分式的运算分式的加、减运算：a c ad bc ad bcb d bd bd bd ±±=±=.分式的乘法运算：ac ac bd bd⋅=.分式的除法运算：a c a d ad b d b c bc÷=⨯=.分式的乘方运算：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.注意：分式的运算结果一定要化为最简分式(或整式).5.二次根式考点3方程1.一元一次方程2.一元二次方程一元二次方程的解法直接开平方法，形如)(m x +2=ɑ(ɑ≥0)的方程因式分解法，可化为()()0m x a x b ++=的方程公式法，求根公式为=b 2-4ɑc ≥0）配方法，若20ax bx c ++=不易分解因式，考虑配方为2()a x t h +=的形式，再开方求解总结常用方法：首选因式分解法，若不适用则选择公式法.(公式法适用于一切有实数根的一元二次方程)(3)根的判别式：24b ac ∆=-叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，它与根的关系如下：①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根.②当0∆=时，方程有两个相等的实数根.③当0∆<时，方程没有实数根.④根与系数的关系：若12,x x 是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，则有12x x +=12,b cx x a a-=(韦达定理).如果1212,x x p x x q +==，则20x px q -+=是以1x 和2x 为根的一元二次方程.考点4方程组（1）方程组形如1112220,0a x b y c a x b y c ++=⎧⎨++=⎩的方程组称为二元一次方程组.其中123123123123,,,,,,,,,,,a a a b b b c c c d d d 均为实数.“元”指未知数的个数；“次”指末知数的最高次数.（2）一次方程组的解法：一般采用代人消元法或加减消元法求解.第二章集合与简易逻辑考点1.元素与集合一组对象的全体构成一个集合．(1)集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性．(2)集合中元素与集合的关系：对于元素a 与集合A ，a ∈A 或a ∉A ，二者必居其一．(3)常见集合的符号表示及其关系图.数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*ZQR(4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn 图法．(5)集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示．考点2.集合间的基本关系关系定义表示相等集合A 与集合B 中的所有元素都相同A ＝B 子集A 中的任意一个元素都是B 中的元素A ⊆B 真子集A 是B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于AAB注意：(1)空集用∅表示．(2)若集合A 中含有n 个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n －1，非空真子集的个数为2n －2.(3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(4)若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C．考点3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A 的补集为C U A图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x ∉A}运算性质A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.A∩(C U A)＝∅，A∪(C U A)＝U，C U (C U A)＝A特别提醒：1.A ⊆B ⇔A∩B＝A ⇔A∪B＝B ⇔C U A ⊇C U B.2.C U (A∩B)＝(C U A)∪(C U B)，C U (A∪B)＝(C U A)∩(C U B).考点4.简易逻辑1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2.充分条件与必要条件若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件p 是q 的充分不必要条件p ⇒q 且q pp 是q 的必要不充分条件pq 且q ⇒pp 是q 的充要条件p ⇔qp 是q 的既不充分又不必要条件p q 且q p3.重要结论1．若A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则(1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；(2)若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；(3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；(4)若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；(5)若B A ，则p 是q 的必要不充分条件；(6)若AB 且BA ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．2．充分条件与必要条件的两个特征：(1)对称性：若p 是q 的充分条件，则q 是p 的必要条件，即“p ⇒q ”⇔“q ⇐p ”．(2)传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条件，即“p ⇒q 且q ⇒r ”⇒“p ⇒r ”(“p ⇐q 且q ⇐r ”⇒“p ⇐r ”)．注意：不能将“若p ，则q ”与“p ⇒q ”混为一谈，只有“若p ，则q ”为真命题时，才有“p ⇒q ”，即“p ⇒q ”⇔“若p ，则q ”为真命题．第三章函数考点1.函数的单调性1．单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2．单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．考点2.函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数图象特征关于y 轴对称关于原点对称考点3.二次函数(1)解析式：一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0).两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).(2)图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域[4ac －b 24a，＋∞)(－∞，4ac －b24a]单调性在x ∈(－∞，－b2a )上是减函数，在x ∈[－b2a ，＋∞)上是增函数在x ∈(－∞，－b2a)上是增函数，在x ∈[－b2a，＋∞)上是减函数最值当x =－b 2a 时，y 有最小值4ac －b24a当x =－b 2a 时，y 有最大值4ac －b24a奇偶性当b ＝0时为偶函数顶点(－b 2a ，4ac －b 24a)对称性图象关于直线x＝－b2a成轴对称图形考点4.指数与指数运算1．根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果x n＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根n >1且n ∈N *当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数n a零的n 次方根是零当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数±n a负数没有偶次方根(2)两个重要公式①na ≥0），a <0），n 为偶数.②(na )n＝a (注意a 必须使n a 有意义)．2．分数指数幂(1)正数的正分数指数幂是a mn ＝na (a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)．(2)正数的负分数指数幂是a -m n ＝1n a m(a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)．(3)0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义．3．实数指数幂的运算性质(1)a r ·a s ＝a r ＋s (a ＞0，r 、s ∈R )；(2)(a r )s ＝a rs (a ＞0，r 、s ∈R )；(3)(ab )r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈R )．考点5.幂函数函数y ＝x y ＝x 2y ＝x 3y ＝x12y ＝x －1图象定义域R R R {x |x ≥0}{x |x ≠0}值域R {y |y ≥0}R {y |y ≥0}{y |y ≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在R 上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减考点6.指数函数图象与性质指数函数的概念、图象和性质定义函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)叫指数函数底数a >10<a <1图象性质函数的定义域为R ，值域为(0，＋∞)考点7.对数函数的图象和性质图象a ＞10＜a ＜1性质定义域：(0，＋∞)值域：(－∞，＋∞)当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当0＜x＜1时，y<0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数第四章不等式与不等式组考点1.不等式的性质(1)对称性：a>b⇔b<a；(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(3)同向可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(4)同向同正可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(5)可乘方性：a>b>0⇒a n_>b n(n∈N，n≥2)；(6)可开方性：a>b>0⇒na>nb(n∈N，n≥2)．考点2.一元一次不等式组的解法：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

小学解方程公式大全解方程是数学中的一个重要内容，它是数学运算的一种形式，也是数学思维的一种训练。

在小学阶段，解方程虽然不是主要内容，但也是需要掌握的基础知识之一。

下面，我们将为大家介绍小学解方程的公式大全，希望能帮助大家更好地理解和掌握解方程的知识。

1. 一元一次方程。

一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，其一般形式为：ax+b=0，其中a≠0。

解一元一次方程的基本步骤是先移项，再合并同类项，最后进行化简。

常见的解一元一次方程的公式有：移项公式，ax+b=0，解得x=-b/a。

合并同类项公式，ax+by=c，解得y=(-a/b)x+c/b。

2. 一元二次方程。

一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，其一般形式为：ax^2+bx+c=0，其中a≠0。

解一元二次方程的基本步骤是先化简，再配方法，最后解方程。

常见的解一元二次方程的公式有：一元二次方程的根的判别式，Δ=b^2-4ac，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根。

一元二次方程的求根公式，x=(-b±√Δ)/2a。

3. 分式方程。

分式方程是指方程中含有未知数的分式形式，其一般形式为：(ax+b)/(cx+d)=e，其中a、b、c、d、e均为已知数。

解分式方程的基本步骤是先通分，再化简，最后解方程。

常见的解分式方程的公式有：通分公式，(ax+b)/(cx+d)=e，通分后得到ax+b=ecx+ed。

化简公式，ax+b=ecx+ed，化简后得到一元一次方程，再按照一元一次方程的解法进行求解。

4. 绝对值方程。

绝对值方程是指方程中含有未知数的绝对值形式，其一般形式为：|ax+b|=c，其中a、b、c均为已知数。

解绝对值方程的基本步骤是分情况讨论，先去绝对值，再解方程。

常见的解绝对值方程的公式有：分情况讨论公式，|ax+b|=c，当ax+b≥0时，得到ax+b=c；当ax+b<0时，得到-(ax+b)=c。

第２７卷第１期　２００８年２月　南昌工程学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｎａｎｃｈａｎｇ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　ｖＩ’Ｉ．２７　ＮＯ．１　

Ｆｅｂ．２Ｏ０８　

文章编号：１６７４—００７６（２００８）０１—０００６—０４　

基于绝对值模型的非线性复方程组微粒群解法　

吴烈阳　，白明明　，李　敏　，孙　辉２　（１．南昌航空大学计算机学院，江西南昌３３００６３；２．南昌工程学院计算机科学与技术系，江西南昌３３００９９）　

摘要：将非线性方程及方程组的求解问题转化为函数优化问题，在绝对值优化模型下。应用微粒群算法在复数范　围内对其进行求解．数值实验结果表明了该算法的有效性和可行性．　关键词：微粒群算法；非线性复方程组；复数域；绝对值优化模型　中图分类号：Ｏ１７５　文献标识码：Ａ　

Ｐａｒｔｉｃｌｅ　ｓｗａｒｍ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｔｏ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ａｂｓｏｌｕｔｅ　ｖａｌｕｅ　ｍｏｄｅｌ　

ｗｕ　Ｌｉｅ—ｙａｎｇ　，ＢＡＩ　Ｍｉｎｇ．ｍｉｎｇ　，ＬＩ　Ｍｉｎ　，ＳＵＮ　Ｈｕｉ　（１．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｎａｎｃｈａｎｇ　Ｈａｎｇｋｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｃｈａｎｇ　３３００６３，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｎａｎｃｈａｎｇ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｎａｎｃｈａｎｇ　３３００９９，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｉｓ　ｔｒａｎｓｆｅｒｒｅｄ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｐａｒｔｉｃｌｅ　ｓｗａｒｍ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ｉｓ　ａｐｐｌｉｅｄ　ｔｏ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｉｎ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｆｉｅｌｄ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ａｂｓｏｌｕｔｅ　ｖａｌｕｅ　ｍｏｄ—　ｅ１．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｉｓ　ｆｅａｓｉｂｌｅ　ａｎｄ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｐａｒｔｉｃｌｅ　ｓｗａｒｌｎ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｃｏｍｐｌｅｘ　ｆｉｅｌｄ；ａｂｓｏｌｕｔｅ　ｖａｌｕｅ　ｍｏｄｅｌ