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多元统计分析课后习题解答_第四章

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第四章 判别分析 4.1 简述欧几里得距离与马氏距离的区别和联系。

答： 设p维欧几里得空间中的两点X=和Y=。则欧几里得距离为。欧几里得距离的局限有①在多元数据分析中，其度量不合理。②会受到实际问题中量纲的影响。 设X,Y是来自均值向量为，协方差为

的总体G中的p维样本。则马氏距离为D(X,Y)=

。当即单位阵时，D(X,Y)==即欧几里得距离。 因此，在一定程度上，欧几里得距离是马氏距离的特殊情况，马氏距离是欧几里得距离的推广。

4.2 试述判别分析的实质。 答：判别分析就是希望利用已经测得的变量数据，找出一种判别函数，使得这一函数具有某种最优性质，能把属于不同类别的样本点尽可能地区别开来。设R1，R2，…，Rk是p维空

间R p的k个子集，如果它们互不相交，且它们的和集为，则称为的一个划分。判别分析问题实质上就是在某种意义上，以最优的性质对p维空间构造一个“划分”，这个“划分”就构成了一个判别规则。

4.3 简述距离判别法的基本思想和方法。 答：距离判别问题分为①两个总体的距离判别问题和②多个总体的判别问题。其基本思想都是分别计算样本与各个总体的距离（马氏距离），将距离近的判别为一类。 ①两个总体的距离判别问题 设有协方差矩阵∑相等的两个总体G1和G2，其均值分别是1和 2，对于一个新的样品X，要判断它来自哪个总体。计算新样品X到两个总体的马氏距离D2（X，G1）和D2（X，G2），则

X ，D2（X，G1）D2（X，G2） X ，D2（X，G1）> D2（X，G2， 具体分析，

记 则判别规则为 22

12(,)(,)DGDGXX

111122111111111222111211122()()()()2(2)2()

XμΣXμXμΣXμ

XΣXXΣμμΣμXΣXXΣμμΣμXΣμμμΣμμΣμ11211212112122()()()2()22()2()



XΣμμμμΣμμ

μμXΣμμ

XμααXμ()()WXαXμ X ，W(X) X ，W(X)<0 ②多个总体的判别问题。 设有k个总体kGGG,,,21

，其均值和协方差矩阵分别是和kΣΣΣ,,,21，

且ΣΣΣΣk21。计算样本到每个总体的马氏距离，到哪个总体的距离最小就属于哪个总体。 具体分析，

取μΣI1，μΣμ121C，k,,2,1。 可以取线性判别函数为 ， k,,2,1

相应的判别规则为 若

4.4 简述贝叶斯判别法的基本思想和方法。 基本思想：设k个总体，其各自的分布密度函数)(,),(),(21xxxkfff，假设k

个总体各自出现的概率分别为kqqq,,,21，0iq，11kiiq。设将本来属于iG总体的样品错判到总体jG时造成的损失为)|(ijC，。 设k个总体相应的p维样本空间为 ),,,(21kRRRR。 在规则R下，将属于的样品错判为jG的概率为 xxdfRijPjRi)(),|( jikji,,2,1,

kμμμ,,,2121(,)()()DG

XXμΣXμ

111122()C

XΣXμΣXμΣμ

XΣXIX

()WCXIXiGX1()max()ikWC

XIX

kGGG,,,21

kji,,2,1,kGGG,,,21

iG则这种判别规则下样品错判后所造成的平均损失为 kjRijPijCRir1)],|()|([)|( ki,,2,1

则用规则R来进行判别所造成的总平均损失为 kiiRirqRg1),()(

kikjiRijPijCq11),|()|(

贝叶斯判别法则，就是要选择一种划分，使总平均损失)(Rg达到极小。 基本方法：kikjiRijPijCqRg11),|()|()( xxdfijCqkikjRiij11)()|(

kjRkiiijdfijCq11))()|((xx

令，则 kjRjjdhRg1)()(xx 若有另一划分),,,(**2*1*kRRRR，kjRjjdhRg1**)()(xx 则在两种划分下的总平均损失之差为 

kikjRRjijidhhRgRg11*

*)]()([)()(xxx

因为在iR上)()(xxjihh对一切j成立，故上式小于或等于零，是贝叶斯判别的解。 从而得到的划分),,,(21kRRRR为 ki,,2,1

4.5 简述费希尔判别法的基本思想和方法。 答：基本思想：从k个总体中抽取具有p个指标的样品观测数据，借助方差分析的思想构造一个线性判别函数

kRRR,,,211(|)()()kiijiqCjifhxx1{|()min()}iijjkRhhxxx

系数),,,(21puuuu可使得总体之间区别最大，而使每个总体内部的离差最小。将新样品的p个指标值代入线性判别函数式中求出值，然后根据判别一定的规则，就可以判别新的样品属于哪个总体。

4.6 试析距离判别法、贝叶斯判别法和费希尔判别法的异同。 答：① 费希尔判别与距离判别对判别变量的分布类型无要求。二者只是要求有各类母体的两阶矩存在。而贝叶斯判别必须知道判别变量的分布类型。因此前两者相对来说较为简单。

② 当k=2时，若则费希尔判别与距离判别等价。当判别变量服从正态分布时，二者与贝叶斯判别也等价。

③ 当时，费希尔判别用作为共同协差阵，实际看成等协差阵，此与距离判别、贝叶斯判别不同。 ④ 距离判别可以看为贝叶斯判别的特殊情形。贝叶斯判别的判别规则是 X

，W(X) X ，W(X)距离判别的判别规则是

X ，W(X) X ，W(X)<0 二者的区别在于阈值点。当21qq，)1|2()2|1(CC时，1d，0lnd。二者完全

1122()ppUuXuXuXXuX()UX相同。

4.7 设有两个二元总体和 ，从中分别抽取样本计算得到 ,, 假设，试用距离判别法建立判别函数和判别规则。 样品X=（6，0）’应属于哪个总体？

解：= ，= ， ==

即样品X属于总体 4.8 某超市经销十种品牌的饮料，其中有四种畅销，三种滞销，三种平销。下表是这十种品牌饮料的销售价格（元）和顾客对各种饮料的口味评分、信任度评分的平均数。 销售情况 产品序号 销售价格 口味评分 信任度评分 畅销 1 2.2 5 8 2 2.5 6 7 3 3.0 3 9 4 3.2 8 6

平销 5 2.8 7 6 6 3.5 8 7 7 4.8 9 8

滞销 8 1.7 3 4 9 2.2 4 2 10 2.7 4 3 ⑴ 根据数据建立贝叶斯判别函数，并根据此判别函数对原样本进行回判。 ⑵ 现有一新品牌的饮料在该超市试销，其销售价格为3.0，顾客对其口味的评分平均为8，信任评分平均为5，试预测该饮料的销售情况。

解：增加group变量，令畅销、平销、滞销分别为group1、2、3；销售价格为X1，口味评分为X2，信任度评分为X3，用spss 解题的步骤如下： 1. 在SPSS窗口中选择Analyze→Classify→Discriminate，调出判别分析主界面，将左边的变量列表中的“group”变量选入分组变量中，将X1、X2、X3变量选入自变量中，并选择Enter independents together单选按钮，即使用所有自变量进行判别分析。 2. 点击Define Range按钮，定义分组变量的取值范围。本例中分类变量的范围为1到3，所以在最小值和最大值中分别输入1和3。单击Continue按钮，返回主界面。如图4.1

图4.1 判别分析主界面 3. 单击Statistics…按钮，指定输出的描述统计量和判别函数系数。选中Function Coefficients栏中的Fisher’s：给出Bayes判别函数的系数。（注意：这个选项不是要给出Fisher判别函数的系数。这个复选框的名字之所以为Fisher’s，是因为按判别函数值最大的一组进行归类这种思想是由Fisher提出来的。这里极易混淆，请读者注意辨别。）如图4.2。单击Continue按钮，返回主界面。

图4.2 statistics子对话框

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14统计《应用多元统计分析》第04章_判别分析gxs

14统计《应用多元统计分析》第04章_判别分析gxs

今按照欧氏距离计算，有
AB 102 52 125 ； CD 12 102 101
如果我们将长度单位变为 mm，那么，有
AB 102 502 2600 ； CD 12 1002 10001
量纲的变化，将影响欧氏距离计算的结果。
为此，我们引入一种由印度著名统计学家马哈拉诺比斯 （Mahalanobis, 1936）提出的“马氏距离”的概念。
这里 I
Σ 1μ ， C
1 2
μ
Σ1μ
，
1,2,, k
。
由（ 4.8）式，可以取线性判别函数为
W (X) I X C ， 1,2,, k
相应的判别规则为
X Gi 如果 Wi (X) m1axk (I X C )
（ 4.9）
针对实际问题，当 μ1, μ 2 ,, μ k 和 Σ 均未知时，可以通过相应的
其中
将上边计算结果代人统计量后可得：
故在 函数有效。
检验水平下，两总体间差异显著，即判别
(6)对待判样品判别归类结果如下表：
2、继续用前面距离判别法例1的人文发展指数的数据作Bayes 判别分析。
这里组数k＝2，指标数p＝3，n1＝n2＝5
代人判别函数：
得两组的判别函数分别为：
将原各组样品进行回判结果如下一灯片表： 待判样品判别结果如下：
把这类问题用数学语言来表达，可以叙述如下：设有n个样 本，对每个样本测得p项指标（变量）的数据，已知每个样 本属于k个类别（或总体）G1，G2， …，Gk中的某一类，且 它们的分布函数分别为F1(x)，F2(x)， …，Fk(x)。我们希望 利用这些数据，找出一种判别函数，使得这一函数具有某种
最优性质，能把属于不同类别的样本点尽可能地区别开来，
应用多元统计分析课后答案-朱建平版

应用多元统计分析课后答案-朱建平版

统计量 拒绝域
均值向量的检验： 在单一变量中 当已知 当未知
（作为的估计量） 一个正态总体 协差阵已知 协差阵未知
（） 两个正态总体 有共同已知协差阵 有共同未知协差阵
（其中 ） 协差阵不等 协差阵不等 多个正态总体 单因素方差 多因素方差 协差阵的检验 检验
检验 统计量
3.2 试述多元统计中霍特林
，使总平均损失达到极小。 基本方法： 令，则 若有另一划分， 则在两种划分下的总平均损失之差为
因为在上对一切成立，故上式小于或等于零，是贝叶斯判别的解。 从而得到的划分为 4.5 简述费希尔判别法的基本思想和方法。 答：基本思想：从个总体中抽取具有个指标的样品观测数据，借助方差 分析的思想构造一个线性判别函数 系数可使得总体之间区别最大，而使每个总体内部的离差最小。将新样 品的个指标值代入线性判别函数式中求出值，然后根据判别一定的规 则，就可以判别新的样品属于哪个总体。 4.6 试析距离判别法、贝叶斯判别法和费希尔判别法的异同。 答：① 费希尔判别与距离判别对判别变量的分布类型无要求。二者只 是要求有各类母体的两阶矩存在。而贝叶斯判别必须知道判别变量的分 布类型。因此前两者相对来说较为简单。 ② 当k=2时，若
0 10 210 543 0 876 30 10 9 8 5 2 0 由上表易知
中最小元素是 于是将
， ， 聚为一类，记为 计算距离阵
0 30 63 0 85 2 0
中最小元素是 =2 于是将 ， 聚为一类，记为 计算样本距离阵
0 30 63 0
中最小元素是 于是将 ， 聚为一类，记为 因此，
，其各自的分布密度函数，假设k个总体各自出现的概率分别为，，。设将 本来属于总体的样品错判到总体时造成的损失为，
。 设个总体
《多元统计分析》习题

《多元统计分析》习题

《多元统计分析》习题分为三部分：思考题、验证题和论文题思考题第一章绪论1﹑什么是多元统计分析？2﹑多元统计分析能解决哪些类型的实际问题？第二章聚类分析1﹑简述系统聚类法的基本思路。

2﹑写出样品间相关系数公式。

3﹑常用的距离及相似系数有哪些？它们各有什么特点？4﹑利用谱系图分类应注意哪些问题？5﹑在SAS和SPSS中如何实现系统聚类分析？第三章判别分析1﹑简述距离判别法的基本思路，图示其几何意义。

2﹑判别分析与聚类分析有何异同？3﹑简述贝叶斯判别的基本思路。

4﹑简述费歇判别的基本思路。

5﹑简述逐步判别法的基本思想。

6﹑在SAS和SPSS软件中如何实现判别分析？第四章主成分分析1﹑主成分分析的几何意义是什么？2﹑主成分分析的主要作用有那些？3﹑什么是贡献率和累计贡献率，其意义何在？4﹑为什么说贡献率和累计贡献率能反映主成分中所包含的原始变量的信息？5﹑为什么要用标准化数据去估计V的特征向量与特征值？6﹑证明：对于标准化数据有S=R。

7﹑主成分分析在SAS和SPSS中如何实现？第五章因子分析1﹑因子得分模型与主成分分析模型有何不同？2﹑因子载荷阵的统计意义是什么？3﹑方差旋转的目的是什么？4﹑因子分析有何作用？5﹑因子模型与回归模型有何不同？6﹑在SAS和SPSS中如何实现因子分析？第六章对应分析1﹑简述对应分析的基本思想。

2﹑简述对应分析的基本原理。

3﹑简述因子分析中Q型与R 型的对应关系。

4﹑对应分析如何在SAS和SPSS中实现？第七章典型相关分析1﹑典型相关分析适合分析何种类型的数据？2﹑简述典型相关分析的基本思想。

3﹑典型变量有哪些性质？4﹑典型相关系数和典型变量有何意义？5﹑典型相关分析有何作用？6 ﹑在SAS和SPSS中如何实现典型相关分析？验证题第二章聚类分析1、为了更深入了解我国人口的文化程度，现利用1990年全国人口普查数据对全国30个省、直辖市、自治区进行聚类分析。

分析选用了三个指标：(1)大学以上文化程度的人口占全部人口的比例(DXBZ)；(2)初中文化程度的人都占全部人口的比例(CZBZ)；(3)文盲半文盲人口占全部人口的比例(WMBZ)，分别用来反映较高、中等、较低文化程度人口的状况。

多元统计分析第四章 多元回归分析

多元统计分析第四章 多元回归分析

第4章多元回归分析简单说，回归分析是根据统计资料建立经验公式的统计方法。

例如统计若干焊接点数据，从而建立由焊接点直径预报焊点剪切强度的预报公式；又如统计若干棵松树的胸径与材积（可利用木材体积），建立由胸径预报材积公式，也用到回归分析方法。

当然回归分析不只是建立预报公式，还要对预报误差的大小，预报公式的合理性等问题讨论，有着非常丰富的内容。

回归分析可用于预测和控制，在自然科学，社会科学和应用技术中都有重要应用,它是统计学最重要的工具。

回归分析方法和理论从Gauss提出最小二乘法开始，至今已近200年，目前仍在蓬勃发展，例如在回归诊断、维度缩减、半参数回归、非参数回归、LOGISTIC 回归等方向不断有新的突破。

本章介绍参数回归分析模型及其参数估计、检验、模型选择等理论和有关计算方法。

参数回归分析主要分三类：线性回归、可以转化为线性回归的回归和非线性回归。

本章依次介绍这三类模型。

有关回归分析的一般理论可参见陈希儒（1984），方开泰（1988），Seber（1976），何晓群（1997），何晓群、刘文卿（2001）、Richard（2003）。

Robert(1999)和王吉利（2004）提供了许多有趣的应用例子。

4.1多元线性回归模型首先让我们看一个例子：x表示目标例4.1 对15个地区调查某种护肤霜销量得表4-1，其中y表示销量（打），1x表示人均可支配收入（美元）。

试建立由目标人口和人均可支配收入预人口数（千人），2测销量的公式。

表4-1 护肤霜销量数据这个问题中，每个地区销量受该地区目标人口数和人均可支配收入数影响，3个变量y 、1x 、2x 间存在密切关系。

但是它们的关系不是确定性关系而是相关关系。

常见的变量间关系分为两大类：确定性关系和相关关系。

确定性关系也称为函数关系。

具有确定性关系时，自变量完全确定因变量的值。

例如存款的年利率c 固定，那么存款数z 与总利息y 的关系就是确定性关系；z 知道后，y 就由y=cz 确定。