教案-预初—三元一次方程组及一次方程的应用(4.30)

三元一次方程组及其应用要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1. 三元一次方程的定义:含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．要点诠释：(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．2．三元一次方程组的定义：一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．(2) 在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解要点二、三元一次方程组的解法解三元一次方程组的一般步骤(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．要点诠释：（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法要点三、三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤：1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；4．解这个方程组，求出未知数的值；5．写出答案(包括单位名称)．要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1. 下列方程组不是三元一次方程组的是（）．A． B． C．D．类型二、三元一次方程组的解法2. 解三元一次方程组3. 已知方程组的解使得代数式x-2y+3z的值等于-10，求a的值．【巩固训练】：知识点1.三元一次方程组的概念1．下列是三元一次方程组的是( )A.⎩⎨⎧2x ＝5，x 2＋y ＝7，x ＋y ＋z ＝6B.⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋z ＝－2，x －2y ＋z ＝9，y ＝－3C.⎩⎨⎧x ＋y －z ＝7，xyz ＝1，x －3y ＝4D.⎩⎨⎧x ＋y ＝2，y ＋z ＝1，x ＋z ＝9知识点2.三元一次方程组的解法2．将三元一次方程组⎩⎨⎧5x ＋4y ＋z ＝0，①3x ＋y －4z ＝11，②x ＋y ＋z ＝－2，③经过步骤①－③和③×4＋②消去未知数z 后，得到的二元一次方程组是( )A.⎩⎨⎧4x ＋3y ＝2，7x ＋5y ＝3B.⎩⎨⎧4x ＋3y ＝2，23x ＋17y ＝11C.⎩⎨⎧3x ＋4y ＝2，7x ＋5y ＝3D.⎩⎨⎧3x ＋4y ＝2，23x ＋17y ＝113．对于方程组⎩⎨⎧x ＋y ＋z ＝6，①y －z ＝4，②x －y －2z ＝3.③(1)若先消去x ，可得含y ，z 的方程组是__ __；(2)若先消去y ，可得含x ，z 的方程组是__ 或 或 __；(3)若先消去z ，可得含x ，y 的方程组是__ 或 或 __．知识点3.利用三元一次方程组求待定系数4．当x ＝0，1，－1时，二次三项式ax 2＋bx ＋c 的值分别为5，6，10，则a ＝__ __，b ＝__ __，c ＝__ __．5．在等式y ＝ax 2＋bx ＋c 中，当x ＝－1时，y ＝4；当x ＝2时，y ＝4；当x ＝1时，y ＝2.(1)求a ，b ，c 的值；(2)当x ＝－2时，求y 的值．知识点4.三元一次方程组的简单应用6．某次知识竞赛共出了30道试题，评分标准如下：答对一题加4分，答错一题扣1分，不答记0分，已知小丰同学不答的题比答错的题多3道，他的总分为81分，则他答对了( )A ．19道题B ．20道题C ．21道题D ．22道题【易错点】忽略集中消同一未知数导致不会解三元一次方程组．7．解下列三元一次方程组：(1)⎩⎨⎧2x ＋y ＝4，①x ＋3z ＝1，②x ＋y ＋z ＝7；③ (2)⎩⎨⎧x ＋z －3＝0，①2x －y ＋2z ＝2，②x －y －z ＝－3.③8、如图所示，已知前两架天平两端保持平衡．要使第三架天平两端保持平衡，则应在天平的右托盘上放__ __个圆形物品．9．有一个三位数，它的十位上的数字等于个位上的数字与百位上的数字的和，个位上的数字与十位上的数字之和等于8，百位上的数字与个位上的数字对调后所得的三位数比原来的三位数大99.求原来的三位数．10．某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，因为行驶中有一坡度均匀的小山，该汽车从甲地到乙地需要2.5 h，而从乙地到甲地需要2.3 h，假设汽车在平地、上坡、下坡的行驶过程中的时速分别为30 km，20 km，40 km.问：从甲地到乙地的过程中，平地路、上坡路、下坡路各为多少千米．11．小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入y元．(1)求x，y的值；(2)若营业员小丽某月的总收入不低于3 800元，那么小丽当月至少要卖服装多少件？(3)商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需315元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需285元．求某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元．【作业】：一、选择题1. 下列方程组中是三元一次方程组的是（ ）.A ．2258232a b c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪+=⎩B ．2222225810x y y z x z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩C ．1141171110x y y z z x⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ D ．::3:4:524x y z x y z =⎧⎨++=⎩ 2. 已知方程370x y --=，231x y +=，9y kx =-有公共解，则k 的值为（ ）.A. 3B.4C.0D.-13. 下列说法正确的是（ ）.A.方程3220x y z ++=有唯一组解.B.若x 、y 、z 是非负数，则三元一次方程3x+5y+2z ＝0只有一组解.C. 方程4x+y+2z ＝7是三元一次方程.D.三元一次方程组有且只有一组解.4．已知代数式2ax bx c ++，当x ＝-1时，其值为4；当x ＝1时，其值为8；当x ＝2时，其值为25；则当x ＝3时，其值为 （ ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后，他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，则这对夫妇共有（ ）个子女.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买( ) .A ．11支B ．9支C ．7支D ．5支二、填空题7. 若12||(1)5210b a a x y z +--++=是一个三元一次方程，那么a ＝_______，b ＝________．8．已知2234x y y z x z +++===-，则x+2y+z ＝________． 9．当a ＝________时，方程组352,2718x y a x y a -=⎧⎨+=-⎩的解x 、y 互为相反数． 10．已知303340x y z x y z -+=⎧⎨--=⎩，则x :y :z ＝________． 11．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件、丙1件共需315元；购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需________元钱．12. 方程x+2y+3z ＝14 (x ＜y ＜z)的正整数解是 ．三、解答题13．解方程组：（1）:3:2:5:466x y y z x y z =⎧⎪=⎨⎪++=⎩ （2）3222311410x y x x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪--=-⎩14. 已知等式(27)(38)810-+-=+对于一切有理数x都成立，求A，B的值．A B x A B x15.某工程由甲、乙两队合作需6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合作需10天完，此时厂家需付甲、丙成，厂家需支付乙、丙两队共8000元；甲、丙两队合作5天完成全部工程的23两队共5500元．(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?(2)若要不超过15天完成全部工程，问由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．。

4.通过总结归纳，帮助学生巩固知识体系，提高数学思维能力。
五、作业布置
为了巩固学生对三元一次方程组解法的理解和应用，特布置以下作业：
1.完成课本第128页的练习题1、2、3，每个题目都要尝试使用代入法和消元法进行解答，并比较两种方法的优劣。
2.从生活中找一个涉及三元一次方程组的问题，将其转化为数学模型，并求解。要求学生写下问题的背景、转化过程以及解答步骤，并在下次课堂上进行分享。
4.通过课堂练习，学生巩固所学知识，提高解题能力。
（五）总结归纳，500字
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，总结三元一次方程组的解法（代入法、消元法）及其关键步骤。
2.学生分享自己在解题过程中的心得体会，以及在小组讨论中的收获。
3.教师对学生的表现给予积极评价，强调数学知识在实际生活中的应用价值。
4.在讲授过程中，教师注重启发学生思考，引导学生总结代入法和消元法的解题规律。
（三）学生小组讨论，500字
1.教师将学生分成若干小组，每组4-6人，要求学生针对课堂例题进行讨论。
2.学生在小组内部分享自己的解题思路和方法，互相交流代入法和消元法的应用心得。
3.教师巡回指导，关注每个小组的讨论情况，及时解答学生的疑问，引导学生深入探讨。
3.培养学生的合作精神，使其在合作交流中学会尊重他人、倾听他人意见，共同解决问题。
4.培养学生面对困难的勇气和信心，使其在克服困难的过程中，不断积累成功的经验，形成自信、自强的品质。
二、学情分析
七年级学生在上学期已经学习了二元一次方程组的解法，具备了一定的方程求解基础。在此基础上，本章节的三元一次方程组对学生来说，既有挑战性，又是提高他们数学思维能力的良好契机。学生在这个阶段好奇心强，求知欲旺盛，但注意力容易分散，对复杂问题的耐心和毅力有待提高。因此，在教学过程中，应注重激发学生的兴趣，引导他们主动探究，同时关注学生的个体差异，给予不同层次的学生适当的指导和支持，帮助他们克服困难，增强解决问题的信心。此外，学生的合作交流能力也需在教学过程中加以培养，使其在团队中发挥各自优势，共同进步。

数学教案：三元一次方程组的解法举例引言三元一次方程组是高中数学中的重要内容，解三元一次方程组是求解多元线性方程组的基础。

本文将以举例的方式介绍解三元一次方程组的具体步骤与方法。

问题描述给定一个三元一次方程组：a₁x + b₁y + c₁z = d₁a₂x + b₂y + c₂z = d₂a₃x + b₃y + c₃z = d₃我们的任务是求解方程组的解(x, y, z)。

方法一：消元法步骤：1.通过行初等变换将方程组化为阶梯型方程组。

2.对阶梯型方程组进行回代，求解未知数的值。

举例考虑以下三元一次方程组：2x + 3y - z = -1x - y + 3z = 93x + 2y + 2z = 7Step 1：将方程组化为阶梯型方程组首先，我们可以通过多次行初等变换将方程组化为阶梯型方程组。

具体的步骤如下： 1. 将第二行乘以2，得：2x - 2y + 6z = 18 2. 将第三行减去3倍的第一行，得：-7y - z = 10 3. 将第三行减去5倍的第二行，得：-7y - 5z = -23现在，方程组变为：2x + 3y - z = -12x - 2y + 6z = 18-7y - 5z = -23Step 2：回代求解未知数的值从最后一行开始，一步一步回代求解未知数的值。

1. 从最后一行可得 -7y - 5z = -23，解得 y = -2 - z 2. 将 y 的值代入到第一行，得 2x + 3(-2 - z) - z = -1，整理得到 2x - 6 - 3z - z = -1 3. 继续整理可得 2x - 4z = 5现在，我们得到了两个含有未知量的方程：2x - 4z = 5y = -2 - z通过进一步的求解，可以求得 (x, y, z) 的具体值。

方法二：矩阵法步骤：1.将三元一次方程组表示成矩阵形式。

2.应用矩阵的行列式和逆矩阵的性质求解未知数的值。

举例我们继续使用上面的三元一次方程组作为例子：2x + 3y - z = -1x - y + 3z = 93x + 2y + 2z = 7Step 1：表示矩阵形式将方程组的系数矩阵记为A，未知数矩阵记为X，常数矩阵记为B，则方程组可表示为 AX = B。

三元一次方程组的解法【教学目标】1．通过教学三元一次方程组，培养学生的运算能力、推理能力。

2．了解三元一次方程组的定义；3．掌握三元一次方程组的解法。

【教学重难点】重点：三元一次方程组的解法难点：三元一次方程组的解法过程中的方法选择【课时设计】2课时【第一课时】【教学过程】（一）课前设计一、预习任务阅读教材，思考：什么是三元一次方程？什么是三元一次方程组？解三元一次方程组的步骤是？二、预习自测1．下列方程，是三元一次方程的是（ D ）A ．B ．073223=-++x x x 532=+y x C ． D ．421=++z y xπ2=--z y x 2．下列方程组中，是三元一次方程组的是（ B ）A ．B ．⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-72,72,32y x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+632,73,52z y z x y xC ．D ．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=+-=-+43,52,31z y x z y x z y x ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=++7,6,5b a y y x z y x 3．解方程组要使运算简便，消元应选（ B ）333,4211,57x y z x y z x y z -+=⎧⎪-++=⎨⎪++⎩A ．先消xB ．先消yC ．先消zD ．先消常数项（二）课堂设计1．知识回顾（1）解二元一次方程组的基本思想：消元思想；（2）解二元一次方程组的常见消元方法：（3）代入消元法；（4）加减消元法。

2．问题探究探究1：认识三元一次方程组小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍。

求1元、2元、5元的纸币各多少张？设1元、2元、5元的纸币分别是张、张、张，根据题意可以得到下列三个方程：x y z ⎪⎩⎪⎨⎧==++=++y x z y x z y x 4225212三元一次方程组：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。