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第1讲数与式
1
910
+⨯的正整数n ，有1(1)n n +
+
第2讲一元二次函数与二次不等式
第3讲一元二次方程与韦达定理
第4讲绝对值不等式与无理式不等式
第5讲集合的基本概念
知识点五、集合间的基本关系
【典型例题—1】子集的概念：
例1.观察下列几组集合，有什么共同的地方
（1）A={1，2，3} B={1，2，3，4，5}
（2）A={3，5，7} B={3，5，7}
（3）A=2{|210}x x x -+= B=2{|230}x x x --=
我们可以发现A 中的任何一个元素在B 中都能找到。那么这样的两个集合是什么样的关系呢 ？
【概括】
对于集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就 说这两个集合是包含关系，集合A 为集合B 的子集。记作()A B B A ⊆⊇或 读作A 含于B
例2.用符号“⊆”、“⊇”、“∈”或“∉”填空：
(1)
{},,,a b c d {},a b ； (2) ∅ {}1,2,3； (3) N Q ； (4) 0 R ； (5) d {},,a b c ； (6) {}|35x x << {}|0
6x x <．
例3.写出集合｛a ，b ｝的所有子集，
例4.说出下列每对集合之间的关系．
（1）A ＝｛1，2，3，4，｝，B ＝｛3，4｝． （2）P ＝｛x ｜x 2＝1｝，Q ＝｛-1，1｝． （3）N ，N*． 例5.设集合}{12A x x =<<，}
{B x x a =<，且A B ⊆，则实数a 的范围是（ ） .2A a ≥ B.2a > C.1a > D.1a ≤
变式：若A=｛ｘ｜ｘ2－３ｘ＋２＝０｝，B=｛ｘ｜ｘ2
－a ｘ＋a －１＝０｝，且Ｂ⊆Ａ，则a 的值为___ ___
【典型例题—2】韦恩图：
【内容概述】
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图。
例6. 求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．
A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，
B ＝｛x ｜x 是菱形｝，
C ＝｛x ｜x 是矩形｝，
D ＝｛x ｜x 是正方形｝．
【典型例题—3】集合相等：
设集合A={x|x 2
-1=0}，B ={-1,1}，那么这两个集合会有什么关系呢？ 【概括】
集合A 与集合B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A 与集合B 相等，
即：A=B
例7.判断集合{}2A x x ==与集合{}240B x x =-=的关系．
例8.判断集合A 与B 是否相等？
(1) A={0}，B= ?；
(2) A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z } ；
(3) A={x| x=2m-1 ,m ∈Z }，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }．
变式：已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．
【典型例题—4】真子集：
【内容概述】
如果集合B 是集合A 的子集，并且集合A 中至少有一个元素不属于集合B ，那么把集合B 叫做集合A 的真子集．记作B A (或A B)， 读作“A 真包含B ”（或“B 真包含于A ”）．
[不包含本身的子集叫做真子集] 对于集合A 、B 、C ，如果A
B ，B
C ，则A C ． 例9.选用适当的符号“⊂≠”或“”填空：
(1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}； (2){2}_ _ {x| |x|=2}； (3){1} _?． 例10.设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集
变式：已知集}{2230A x x x =--=，}
{10B x ax =-= 若Ｂ⊂≠Ａ，求a 的值所组成的集合Ｍ．
第6讲集合的基本运算
数学语言表述为B A ，},|{B x A x x B A ∈∈=且 . 2、交集的运算必须掌握的几条性质：
（1）A B B A =； （2）B B A A B A ⊆⊆ ,； （3）∅=∅=∅=A A A A A ,； （4）A B A B A =⇔⊆ ； （5）)()(C B A C B A =. 【典型例题】
例3.设}6,5,3,1{},4,3,1{},3,2,1{===C B A ,求)(,)(C B A C B A .
变式1：已知集合},019|{2
2为常数a a ax x x A =-+-=，}065|{2
=+-=x x x B ，
}082|{2=-+=x x x C ，求当a 为何值时，∅≠B A 与∅=C A 同时成立.
变式2：已知集合}9,1,5{},,12,0{2
a a B a a A --=-=分别符合下列条件的a 的值.
（1）B A ∈9； （2）{}B A =9.
例4.设集合}|{},1,0,1{2
x x x N M ≤=-=，则N M =_______________________.
变式1：图中阴影部分用集合表示为_______________.
变式2：已知集合}3|{},42|{a x a x B x x A <<=<<=.
（1）若∅=B A ，求a 的取值范围；
（2）若}4|{<<=x a x B A ，求a 的取值范围.
