等价、相似、合同的关系

合同线性代数篇一：线性代数中的合同关系、正定矩阵什么是线性代数中的合同？惯性定律？“合同”是矩阵之间的一种关系。

两个n阶方阵A与B 叫做合同的，是说存在一个满秩n阶方阵P,使得P′AP＝B.“合同”这种关系，是一种“等价关系”。

按照它可以对n 阶方阵的全体进行分类。

对于n阶实对称矩阵而言，线性代数中有两个结果。

①每个n阶实对称矩阵，都一定与实对角矩阵合同，并且此时P也是实的。

②对于一个n阶实对称矩阵A，与它合同的实对角矩阵当然不只一个，（相应的P也变化）。

但是这些实对角矩阵的对角元中，正数的个数是一定的（叫A的正惯性指数），负数的个数也是一定的（叫A的负惯性指数）。

结果②就是“惯性定理”。

一个矩阵是正定矩阵的充要条件是:矩阵的主对角线元素全大于0.这个命题是否正确不对，反例： 1221只有主对角矩阵才能说对角元素全大与0就正定设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量X=(x_1,...x_n) 都有 XMX′>0，就称M正定(PositiveDefinite)。

正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。

所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。

另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵.正定矩阵的一些判别方法由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。

证明：若，则有∴λ＞0反之，必存在U使即： A正定由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。

特征值都在主对角线上运算你知道的吧。

行列式小结一、行列式定义行列式归根结底就是一个数值，只不过它是由一大堆数字经过一种特殊运算规则而得出的数而已。

当然这堆数排列成相当规范的n行n列的数表形式了。

所以我们可以把行列式当成一个数值来进行加减乘除等运算。

举个例子：比如说电视机（看做一个行列式），是由很多个小的元件（行列式中的元素）构成的，经过元件的相互作用、联系最终成为一台电视机（行列式）。

矩阵的合同变换摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。

在《高等代数》里,我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。

关键词：矩阵秩合同对角化定义1：如果矩阵A可以经过一系列初等变换变成B，则积A与B等价，记为定义2:设A，B都是数域F上的n阶方阵，如果存在数域F上的n阶段可逆矩阵P使得，则称A和B相似定义3：设A,B都是数域F上的n阶矩阵，如果存在数域F上的一个n阶可逆矩阵P，使得那么就说，在数域F上B与A合同。

以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、性。

定理1：合同变换与相似变换都是等价变换证明：仅证合同变换，相似变换完全相似因为P可逆,所以P存在一系列初等矩阵的乘积，即。

此时边为一系列初等矩阵的乘积若则B由A经过一系列初等变换得到。

所以，从而知合同变换是等价变换.定理2:合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩证明:由知,合同变换与相似变换都是等价变换,所以不改变秩定理3：相似矩阵有相同特征多项式证明:共又因为为对称矩阵所以注①合同不一定有相同特征多项式定理4：如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同特征根，则A与B相似且合同论:设A，B为特征根均为，因为A与B实对称矩阵,所以则在n阶正矩阵，使得从而有由从而有从而又由于为正交矩阵所以且定时5:两合同矩阵，若即，若A为对称矩阵,则B为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质证明:即，若对称阵，则所以B边为对称阵[注］：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢?引理6：对称矩阵相似于对角阵A的每一个特征根有秩，S为的重数。

证明：任给对称的n阶矩阵A一个特征根,以其重数以秩，则，线性无关的解向量个数为个，即5个又因属不同特征根的特征向量线性无关n阶对称阵A有n个线性无关的特征向量n阶对称阵可对角化从定理5,引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点，如对二次型应用例求一非线性替换，把二次型二次型矩阵为对A相同列与行初等变换,对矩阵E,施行列初等变换可把二次型化为标准型解法（2）此时此时非线性退化替换为发现在注[1]：任意对称阵合同的对角阵及其变换阵不是唯一确定的特性1:在合同变换中具有变换和结果的多样性［注]:在对角阵上元素相等及其它元素元素边相等情况下又有哪些性质呢?例3．用可逆性变换化二次型解:对二次型矩阵为标准形，则［注］当P改变两行的位置交换后，发现定理2：在A为对角线上元素相等，其余元素也相等，则若有，则调整P的任意两行，对角阵形式不变.证明：设初等变换的对调变换矩阵为J，显然于是有而P与JP相比仅是行的排列顺序不同，因此任意调整P的行，所得对角阵相同.［注]以上为特殊条件下成立，如果在一般情况下呢?例4．求实对称矩阵求可逆阵P使得为对角阵我们得到定理7：设对称矩阵,B为对角矩阵,若要调换B对角线上任意两个元素的位置得到，则只要调控B中对左的两列，可得到P，使得，即P的列与B中元素的对应性。

什么是等价_等价的介绍对于两个命题p,q，如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件，也称p与q等价。

那么你对等价了解多少呢?以下是由店铺整理关于什么是等价的内容，希望大家喜欢!什么是等价设有两个命题p和q,如果由p作为条件能使得结论q成立，则称p是q的充分条件;若由q能使p成立则称p是q的必要条件;如果p 与q能互推(即无论是由q推出p还是p推出q都成立)，则称p是q 的充分必要条件，简称充要条件，也称p与q等价。

集合中的等价关系定义若关系R在集合A中是自反、对称和传递的，则称R为A上的等价关系。

所谓关系R 就是笛卡尔积 A×A 中的一个子集。

A中的两个元素x,y有关系R, 如果(x,y)∈R.我们常简记为 xRy.自反: 任意x属于A,则x与自己具有关系R,即xRx;对称: 任意x,y属于A,如果x与y具有关系R，即xRy,则y与x也具有关系R，即yRx;传递: 任意x,y,z属于A,如果xRy且yRz,则xRzx,y具有等价关系R，则称x,y R等价，有时亦简称等价。

举例例如：在全体人的集合A中，室友是A上的一种关系,如果认为自己跟自己可以称为室友，则满足自反性，但如果甲是乙的室友，则必定乙是甲的室友，满足对称性，同时，如果甲是乙的室友，乙是丙的室友，则甲是丙的室友，满足传递性;因此，室友关系可以称为等价关系。

于是在代表宿舍参加活动这一点上，宿舍成员身份是等同的，不论甲还是乙，对外不加区别，即甲乙等价。

其他等价的定义另外，三角形的全等也是等价关系。

因为A全等A;A全等B=>B 全等A,;A全等B，B全等C=>A全等CA中与元素x 等价的所有元素构成的子集叫做x 所在等价类，x 也称为这个等价类的代表元。

集合A可以划分为一些等价类的并集，这些等价类两两不相交。

任何元素都必定落在某个等价类里面。

更广泛意义的等价，是集合在某种变换下保持不变性。

如：矩阵A与称为等价的，如果B可以是A经过一系列初等变换得到。

线代合同的条件线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间和线性映射等概念及其性质。

在线性代数中，合同是一个常见的概念，用于描述两个矩阵之间的相似关系。

在本文中，我们将详细介绍线性代数中合同的条件。

合同的定义在线性代数中，给定两个n阶方阵A和B，如果存在一个可逆方阵P使得P-1AP = B，则称矩阵A与B合同。

合同关系是一种等价关系，即满足以下三个条件：1.自反性：任意方阵A都与自身合同。

2.对称性：如果A与B合同，则B与A也合同。

3.传递性：如果A与B合同，并且B与C合同，则A与C也合同。

合同的条件要判断两个矩阵是否合同，需要满足以下条件：1.维度相等：两个矩阵A和B必须具有相同的维度n×n。

2.特征值相等：矩阵A和B必须具有相同的特征值。

特征值是指方阵A满足|λI - A| = 0时的λ。

3.特征向量相等：对于每个特征值λ，矩阵A和B必须具有相同的特征向量。

特征向量是指方阵A满足(A - λI)x = 0时的非零向量x。

4.秩相等：矩阵A和B的秩必须相等。

秩是指矩阵A经过初等行变换或初等列变换后的非零行数或非零列数。

5.对角化条件：如果矩阵A与B合同，则它们都可以对角化，即存在可逆方阵P和对角阵D，使得P-1AP = D和P-1BP = D。

合同的性质合同关系具有以下性质：1.线性性质：如果矩阵A与B合同，则对于任意标量c，cA与cB也合同；对于任意两个矩阵C和D，如果C与D合同，则A+C与B+D也合同。

2.迹不变性：如果矩阵A与B合同，则它们的迹相等，即tr(A) = tr(B)。

迹是指方阵主对角线上元素之和。

3.行列式不变性：如果矩阵A与B合同，则它们的行列式相等，即det(A) =det(B)。

行列式是指方阵的特征值之积。

合同的应用合同关系在线性代数中有广泛的应用，包括：1.矩阵相似性：合同关系是矩阵相似性的一种特殊情况。

如果两个矩阵A和B合同，则它们是相似矩阵，具有相同的特征值和特征向量。

矩阵的三种等价关系及其一些应用姓名：郭长琦学号200740510208 指导教师：刘敏摘要：高等代数范围内,有关矩阵等价关系的计算是一个具有普遍重要的基本问题，在有限维线性空间中，矩阵的等价关系运算往往用到线性变换，由于线性变换在高等代数中的重要性，使得矩阵等价关系在高等代数中占有重要的地位。

本文主要简单地讨论了矩阵等价、矩阵合同、矩阵相似的条件及其应用，给出了这三种矩阵关系间的联系，即合同阵、相似阵必是等价阵;反之，不一定成立；正交相似与正交合同是一致的，并给出说明．关键词：等价矩阵相似矩阵合同矩阵Ｔhree kinds equivalence relation of the matrix and some applicationsAbstract: matrix equivalence relation in higher algebra occupies an important position. This paper briefly discusses matrix equivalent, matrix contract, matrix similar conditions and its application, give the relation between these three matrix of contact, namely contract array, similar array is equivalent array; Conversely, not necessarily to be formed; Orthogonal similarity and orthogonal contract is consistent, and give instructions.Keywords: rotation matrix similar matrix contract matrix矩阵是高等代数中最重要的知识点，贯穿于高等代数中，矩阵等价、矩阵合同、矩阵相似则是矩阵的三种基本关系，故首先给出其基本定义。

矩阵合同的性质矩阵合同是线性代数中一个重要的概念，它描述了两个矩阵之间的一种等价关系。

具体地说，如果存在一个可逆矩阵P，使得两个矩阵A和B满足等式A = PBP^-1，那么我们称矩阵A和B是合同的。

矩阵合同有以下几个性质：1.自反性：任意矩阵A与自身都是合同的，即A和A是合同的。

这是因为可以取P为单位矩阵，使得A = IA = PAP^-1成立。

2.对称性：如果矩阵A和B是合同的，那么矩阵B和A也必然是合同的。

这是因为如果A = PBP^-1，那么将等式两边同时左乘P^-1并右乘P，得到等式B = (P^-1AP)(PP^-1) = (P^-1AP)I = (P^-1AP)，即B和A也是合同的。

3.传递性：如果矩阵A和B是合同的，矩阵B和C也是合同的，那么矩阵A和C也必然是合同的。

这可以通过合同的定义推导得出：如果A = PBP^-1且B = QCQ^-1，那么A =P(QCQ^-1)P^-1 = (PQ)C(Q^-1P^-1)，即矩阵A和C是合同的。

4.等价类：由矩阵合同所定义的等价关系可以将所有的矩阵划分为不同的等价类。

对于任意的矩阵A，其所属的等价类可以表示为[A] = {B | A 与 B 是合同的}。

等价类具有以下性质：(1)等价类是一个非空的集合；(2)等价类之间是互不相交的；(3)所有矩阵的集合可以表示为不同等价类的并集：{所有矩阵} =[A1]∪[A2]∪...∪[An]。

5.合同矩阵的性质：合同的矩阵具有一些相同的性质。

例如，对于合同矩阵A和B，它们具有相同的秩、特征值和迹。

此外，如果A经过相似变换变为B，那么A和B也是合同的。

矩阵合同的性质是线性代数中的基础性质之一。

它不仅在理论上有重要意义，还在实际问题中有着广泛的应用。

矩阵合同的概念和性质为我们理解矩阵之间的关系提供了一个有效的方法，并且为矩阵的运算和分析提供了便利。

矩阵的相似名词解释矩阵是线性代数中的重要概念，也是许多科学领域和工程应用中常见的数学工具。

在矩阵的研究中，我们经常会遇到相似矩阵、合同矩阵和共轭矩阵等名词。

本文将对这些名词进行解释，并探讨它们之间的联系与区别。

相似矩阵是矩阵理论中一种重要的关系。

给定两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP = B，则称矩阵A和B相似。

矩阵的相似关系具有如下的性质：1. 相似关系是一种等价关系：即对于任意矩阵A，它与自身相似，且如果A与B相似，则B与A相似。

2. 相似矩阵具有相同的特征值：即A和B相似，则它们的特征多项式相同，从而它们的特征值也相同。

3. 相似矩阵具有相同的特征向量：即如果A和B相似，则它们对应的特征向量空间相同。

在实际应用中，矩阵的相似关系具有重要的意义。

比如，在数量上相似的矩阵可以表示相似的变换关系或物理过程。

相似矩阵的研究还与线性代数中的矩阵对角化和特征值问题密切相关。

与相似矩阵类似，合同矩阵也是一种与矩阵间关系相关的概念。

给定两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^TAP = B，则称矩阵A和B合同。

合同矩阵的研究在对称矩阵的性质和对角化问题中具有重要应用。

合同矩阵的相似性质与相似矩阵类似，比如具有相同的特征值和特征向量。

另一种常见的矩阵概念是共轭矩阵。

对于一个复数矩阵A，它的共轭矩阵记作A^*，其中A^*的第(i,j)个元素等于A的第(i,j)个元素的共轭复数。

共轭矩阵的研究在复数矩阵线性代数的应用中具有重要作用。

共轭矩阵与原矩阵有相似的性质，比如共轭矩阵的共轭还是原矩阵本身，共轭矩阵的转置等于原矩阵的转置的共轭。

虽然相似矩阵、合同矩阵和共轭矩阵都是矩阵间的关系，但它们之间并不完全相同。

相似矩阵和合同矩阵是定义在实数域上的概念，而共轭矩阵是定义在复数域上的概念。

相似矩阵和合同矩阵具有相同的特征值和特征向量，而共轭矩阵则保持了原矩阵的结构和属性。

此外，相似矩阵和合同矩阵是可逆线性变换的关系，而共轭矩阵则是复数域上的共轭变换。

矩阵合同的定义
矩阵合同是线性代数中的一个重要概念，它描述了两个矩阵之间的一种特定关系。

在矩阵合同的定义中，我们将会探讨矩阵合同的概念、性质以及在实际问题中的应用。

首先，让我们来看一下矩阵合同的定义。

给定两个n阶矩阵A和B，如果存在
一个n阶可逆矩阵P，使得A = P^TBP，那么我们称矩阵A和B是合同的。

换句话说，矩阵A和B是通过一个可逆矩阵P相似的。

接下来，让我们来探讨一下矩阵合同的性质。

首先，矩阵合同是一种等价关系，即满足自反性、对称性和传递性。

其次，矩阵合同保持了矩阵的一些重要性质，比如秩、行列式、特征值等。

另外，矩阵合同还满足一些运算性质，比如矩阵的转置、逆矩阵等。

最后，矩阵合同与矩阵相似有着密切的联系，它们在一定条件下是等价的。

在实际问题中，矩阵合同有着广泛的应用。

首先，在线性代数中，矩阵合同可
以用来简化矩阵的运算，比如求矩阵的秩、行列式、特征值等。

其次，在矩阵分析中，矩阵合同可以用来研究矩阵的结构和性质，比如正定矩阵、对称矩阵等。

另外，在工程和科学领域，矩阵合同也有着重要的应用，比如在信号处理、控制系统、优化问题等方面。

总之，矩阵合同是线性代数中一个重要且有着丰富性质的概念。

它不仅可以用
来描述矩阵之间的相似关系，还可以用来简化矩阵的运算和研究矩阵的性质。

在实际问题中，矩阵合同也有着广泛的应用，为我们解决问题提供了有力的工具。

因此，对于矩阵合同的理解和应用，对于我们深入理解线性代数和解决实际问题都具有重要的意义。

数学系毕业论文开题报告数学系毕业论文开题报告1一、选题的依据及课题的意义1、选题的依据：数学在现在科学发展中起着很重要的作用，矩阵是数学的一个分支，通过本专业开的《高等代数》这门课程的学习，对矩阵有了一定的了解。

在课余时间对矩阵理论与矩阵分析等相关书籍的阅读，了解到矩阵对于分析问题解决问题有很大的帮助。

矩阵理论也在很多领域里有所应用，可以说矩阵对于现代科学具有不可替代的作用。

为此我们需要深入了解矩阵的一些性质及其关系。

矩阵的等价、相似、合同是矩阵很重要的性质，这些性质对于解决问题有很大的帮助。

2、课题的意义：通过对矩阵等价、相似、合同的探讨加深对矩阵的了解。

也通过本次研究更深入的理解并运用矩阵理论的性质特别是矩阵的等价、相似、合同这三大性质来解决社会活动的所会遇到的问题。

通过对矩阵等价、相似、合同这三大关系的探讨，能够了解它们的标准形的应用有助于提高学生利用矩阵等价、相似、合同这三大关系来分析问题和解决问题的能力。

二、研究动态及创新点1、研究动态：目前已经有许多国内外的知名学者对矩阵进行研究，矩阵理论对于问题的解决有着很重要的作用。

就我阅读一些参考文献：《矩阵分析与应用》张贤达著、《矩阵理论及其应用》将正新，施国梁著、《矩阵论》戴华著等了解到现在已经有很多学者对矩阵有了一定的研究。

这些文献对矩阵的一些理论及其性质都做了较深入的阐述，对于矩阵的等价、相似、合同一些相关的理论证明和应用都有了相关说明。

2、创新点：通过对矩阵论及矩阵分析的学习，熟练掌握矩阵的等价、相似、合同的相关性质和判别。

并且对这三者的区别与联系做了相关阐述。

同时通过对矩阵的这些理论研究，总结了矩阵在等价变换，合同变换，相似变换下的标准形及其在矩阵的分解，矩阵的秩和矩阵的特征值等方面的应用。

同时还运用对矩阵的等价、相似、合同的性质对一些相关问题的简化及解决。

三、研究内容及实验方案研究内容：1、矩阵的概念及其一般特性。

2、矩阵等价、相似、合同三大关系的性质、判别。

矩阵的三种等价关系及其分类黄述亮【摘要】讨论了矩阵等价、矩阵相似和矩阵合同三种等价关系,并由此确定了矩阵在这些等价关系下的分类.此外,举例说明了三者的区别和联系及其在证明相关问题中的应用.【期刊名称】《武夷学院学报》【年(卷),期】2018(037)003【总页数】3页(P7-9)【关键词】等价关系;矩阵等价;矩阵相似;矩阵合同【作者】黄述亮【作者单位】滁州学院数学与金融学院,安徽滁州 239000【正文语种】中文【中图分类】O151线性代数在自然科学和社会科学的等众多领域（如计算机辅助设计、软件工程、数字信号处理等）中有着广泛的应用，其中包含的矩阵思想和方法是处理很多数学问题的重要工具。

线性代数的主要研究内容基本上可以归结为矩阵问题，涉及到的主要运算是矩阵的初等变换。

将集合按照一定的规则进行分类是集合论中的一种常用方法，而等价关系对于集合的分类起着重要的作用。

同时，等价关系是进一步学习相关数学课程（如抽象代数）的基础，不少学者在这方面做了探讨，得到了很多结果[1-5]。

特别需要指出，智婕[6]利用非常直观的形式展示了利用等价矩阵求逆矩阵、相似矩阵求Jordan标准形、合同矩阵化二次型标准形时的作用。

总之，等价矩阵、相似矩阵及合同矩阵这三个概念非常重要，在学习线性代数的过程中出现的频率很高，并且和许多问题有内在联系。

文章将深入挖掘三者之间的关系，这将有助于加深对相关问题的理解和把握。

1 等价关系与集合的分类在集合论中，假设集合A≠Ø，则称A×A的一个子集R为A的一个二元关系，它可以用来判断集合的元素之间是否具有某种性质。

特别的，条件更强且更重要的的二元关系是所谓的等价关系，它要求具备自反性、对称性和传递性三个条件。

集合的分类是数学中一个非常重要的概念，如果蕴含A i∩ A j=Ø，那么子集族称为A 的一个分类，其中I为指标集。

在给定集合的一个分类后，每一个子集A i（i∈I）都是A的一个类，关键的一个问题就是类中代表元的选择。

矩阵相似与合同和二次型的关系矩阵相似、合同与二次型这三者之间的关系就像一个神秘的三角关系，特别有趣。

咱们先来说说矩阵相似。

你可以把矩阵相似想象成是两个人长得特别像，不是那种普通的像，而是有着内在的相似性。

相似矩阵有相同的特征值，就好比两个人虽然外貌上有小差别，但本质上某些特性是一样的。

比如说，在一个家族里，家族成员可能外貌有差异，但都有着家族遗传的一些特征，像都有高鼻梁或者大眼睛的基因，这特征值就类似家族遗传基因。

那这和二次型有啥关系呢？如果一个二次型对应的矩阵是相似变换得到的，这个二次型的一些本质性质其实是不变的，就像不管家族里的人怎么变，家族遗传的那些核心特征还是在的。

再看看矩阵合同。

矩阵合同有点像两个东西虽然外表看起来不太一样，但是在某种衡量标准下是等价的。

打个比方，你有两个不同形状的容器，一个是圆柱形的桶，一个是长方体的箱子，表面上看形状完全不同，可要是用来装水，在能装多少水这个衡量标准下，它们可能是一样的，这就类似于矩阵合同。

对于二次型来说，矩阵合同就意味着二次型经过了一种线性变换后，它的正定性、负定性这些性质是不变的。

这就好比不管你把装水的容器怎么变形，只要不改变它能装多少水的这个本质，那在这个装水的事情上它就是等效的。

那矩阵相似和矩阵合同之间又有啥联系呢？有时候它们是有重合的部分的。

就像在一群人中，有些人既有着相似的外貌特征（类似矩阵相似），又在某些特殊的能力上是等效的（类似矩阵合同）。

但是也不是所有相似的矩阵就一定合同，也不是所有合同的矩阵就一定相似。

这就好比不是所有长得像的人能力就一样，也不是所有能力一样的人就长得像。

二次型呢，它就像是一个大舞台上的主角，矩阵相似和合同就像是它的两个幕后助手。

二次型的很多性质都依赖于它对应的矩阵是相似或者合同于什么样的矩阵。

比如说二次型的标准形，就和矩阵的相似变换、合同变换密切相关。

如果把二次型看成是一件艺术品，那矩阵相似和合同就像是不同的制作工艺，不同的工艺会让这个艺术品呈现出不同的状态，但又都保留着艺术品的某些核心价值。

合同矩阵求ab矩阵的合同与相似及其等价条件矩阵的相似与合同及其等价条件研究（数学与统计学院09级数学与应用数学一班）指导老师：王晶晶引言矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用[1-10]，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化[9]，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助.1 矩阵的等价与相似及其合同的基本概念1.1矩阵等价的定义[1]定义1.1 如果矩阵A可以有矩阵B经过有限次初等变换得到，称A与B是等价的.由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到：定义1.2 如果n阶矩阵A可以由n阶矩阵B进过有限次初等变换得到，则称A与B是等价的.根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描述：定义1.3 设矩阵A,B为n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P和Q,使得PAQ?B,则称矩阵A与B等价，记作A∽B. 1.2 矩阵相似的定义[2]定义1.4 设矩阵A，B为n阶矩阵，如果存在一个是n阶可逆矩阵P，使得P?1AP?B,则称矩阵A与矩阵B相似，记作A～B.1.2.1 n阶矩阵的相似关系，具有下列性质[3]:性质1.1 反身性，即任一n阶矩阵A与自身相似. 性质1.2 对称性，即如果A～B，则B～A. 性质1.3 传递性，如果A～B，B～C，则A～C.性质 1.4 P?1(k1A1?k2A2)P?k1P?1AP?k2A2P. （k,k是任意常数）12性质1.5 P?1(A1A2)P?(P?1A1P)(P?1A2P).性质1.6 若矩阵A与矩阵B相似，则Am与Bm相似.（m为正整数）证明存在一个可逆矩阵P，使得P?1AP?B，那么P?1AP 可以得到Am与相Bm相似.性质1.7 如果矩阵A、B都是满秩，则A～B，那么B～A. 证明存在一个可逆矩阵P，使得P?1AP?B，那么P?1AP故可以得到B～A.性质1.8 如果矩阵A～B，那么A?B.证明存在一个可逆矩阵P，使得P?1AP?B，又因为P?1AP?B，P?1P?1，故可以得到A?B.性质1.9 相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆.并且当它们都可逆时候，它们的逆矩阵也相似.证明设B?P?1AP，若矩阵B可逆，B?1?P?1AP也相似.若B不可逆，则P?1AP不可逆，即A也不可逆.性质1.10 相似矩阵有相同的特征值.证明设B?P?1AP，?E?B?P?1?EP?P?1AP1111mBmP1AmP，故1B1P1A1P，1P1A1P，从而B?1和A?1P1EAPEA故矩阵A的特征值与矩阵B有相同的特征值.性质1.11 相似矩阵有相同的迹.证明可以设矩阵A与矩阵B相似，那么存在一个可逆矩阵P,使得P?1AP?B，tr?B??trP?1APtrP1PAtrA2030例1 A??，B??03??02??，求分别求矩阵A、B的特征多项式，特征值秩,迹，行列式，矩阵A与B是否相似，它们之间有什么关系？解从已知可知A?20036，Rank(A)?2,tr(A)?5对于A的特征多项式?E?A?故A的特征值为2和3.对于矩阵B,B?30022??3(2)(3)6，Rank(B)?2,tr(B)?5矩阵B的特征多项式B?300(2)(3). 2故矩阵B的特征值是2和3.011PAP?B，从定义矩阵B与矩阵A相似. ? 存在一个可逆矩阵P?? 使得?10?从结果看到相似矩阵有相同的特征多项式、相同的特征值、相等的行列式的值、相等的迹[2-4].124例2设实数域上的3级实对称矩阵A24?2?，对角矩阵4?21500?B??050?.求矩阵A、B的特征值，特征多项式并且矩阵A与矩阵B相似吗？如004果相似求出可逆矩阵P.1解由矩阵A的特征多项式为2424211202442??42 ?2??10??11242204?? ?(??5)2(??4) 故矩阵A的特征值为5和—4.容易知道矩阵B的特征多项式和矩阵A的相同，15??525故矩阵B的特征值为5和-4.那么存在一个可逆矩阵P,P5??0?4152151?532??3?1? 3?2??3?验证得到P?1AP?B，那么矩阵A与矩阵B相似，它们有相同的特征值和特征多项式. 1.3 矩阵合同的定义[2]定义1.5 设A，B为n阶矩阵，如果存在一个n阶可逆矩阵C，使得CTAC?B，则称A与B合同，记作A?B.n阶矩阵的合同关系具有下列性质：⑴反身性: 即任一n级矩阵与自身合同. ⑵对称性: 即如A 与B合同，则B与A合同.⑶传递性: A与B合同，B与C合同，则A与C合同. ⑷合同的两矩阵有相同的二次型标准型. ⑸任何一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵.⑹两个实对称矩阵合同，它们的秩相等，而且正惯性指数相等.2. 合同矩阵与相似矩阵的关系2.1矩阵的相似与合同的相同点[5].⑴从上面可以看到，相似关系满足反身性、对称性、传递性；合同关系也具有反身性、对称性、传递性.⑵相似、合同矩阵均有相同的秩.(A)?Rank(B)，若矩阵A合同于矩阵B，则若矩阵A相似与矩阵B，则RankRank(A)?Rank(B).可见，如果两个矩阵相似或合同，那么它们的秩相同.⑶相似与合同的矩阵要求是同型的方阵.若矩阵A于矩阵B相似，则要求A、B都是方阵；若A合同与B，则要求A、B都方阵.就是说相似与合同的矩阵要求是同型矩阵，而且都是方阵. 2.2矩阵的相似与合同的不同点[5].矩阵的相似与合同有一些不同之处，如A～B ，则A?B，A与B 有相同的特征值.但若A?B，那么A与B的行列式的值不一定相等；A与B也不一定有相同的特征值.22221例1 设A??25?4?,T??2?45?02454?455451??3??100?2?,B?010, 300102?3?不难验证：TTAT?B，有A?B.我们可以知道上面的矩阵等式满足矩阵的合同同时满足矩阵的相似，能够知道矩阵T为正交矩阵，故A～B，矩阵A的行列式可以等于B的行列式，下面举出合同但是行列式不等的情况.121410例2 A??，，B?C??23412??0?2??.经过验证可以知道A??1，B??4，然而CTAC?B，A?B，可以得到矩阵A合同于B，但是行列式可以不等.我们知道矩阵相似具有相同的特征值，这是因为相似矩阵有相同的特征多项式. 我们设A～B，则有可逆矩阵P，使得B?P?1AP，于是EBEP1APP1(E)PP1AP1=P(?E?A)P篇二：矩阵的合同变换矩阵的合同变换摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。