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1 / 1 考研数学真题点评：矩阵的合同与相似
来源：文都教育
相似与合同是矩阵的两种重要关系，也是考研数学重要考点之一。今年线性代数的第二道大题考查的就是一般方阵相似的证明。下面我们把相似与合同的判定方法，以及它们之间的关系总结一下：
（）n 阶方阵A 与B 相似⇒A 与B 特征值相同，反之不成立
（）n 阶方阵A 与B 特征值相同，且都可对角化⇒n 阶方阵A 与B 相似
（）实对称矩阵 A 与B 相似⇔A 与B 特征值相同
（）实对称矩阵A 与B 合同⇔A 与B 具有相同的正惯性指数和秩。
（）实对称矩阵A 与B 相似⇒实对称矩阵A 与B 合同，反之不成立。
（）一般n 阶方阵A 与B 相似⇒A 与B 合同
一般n 阶方阵A 与B 合同⇒A 与B 相似
真题解读如下：
证明n 阶矩阵
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111111 与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛n 00200100 相似。 【证明】 令⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=111111111 A ，
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n B 00200100 ， 由0||=-A E λ得A 的特征值为n n n ====-λλλ,011
， 由0||=-B E λ得B 的特征值为n n n ====-λλλ,011
。 因为A A T =，所以A 可对角化；
对B ，因为1)()0(==-B r B E r ，所以B 可对角化，
因为B A ,特征值相同且都可对角化，所以B A ~。
