矩阵的合同与相似及其等价条件

矩阵等价、相似与合同的区别与联系等价、相似与合同是矩牡的三大变换•应了解其定义.关系及有关性质.1）定义及相互之间的关系设K是淤心矩阵，若存在M阶可逆矩阵P和以阶可逆矩阵©•使得PAQ=B f则称Z 与3等价，记为A=B.设£是以阶方阵，若存在池阶可艾矩阵P,使得P S P =E，则称A^R 相似，记为A〜R：若存在总阶可逆矩阵P,使得pT AP =孙，则称/与亦合同，记为A + ;若存在以阶正交•矩阵使得Q~l AQ= Q T AQ= 5,则称/与不正交相似.由走义可知其关系，如下冒所示・正交相似2)性质(1)等价、相似与合同都具有反身性、对称性及传递性，即/二4〜/, A-反身性)；若A", /〜力，A"，则A, R〜A, A (对称性)；若A", B = C则A M C;若A〜E,运〜C■则N~C；若B = C则传递性).(2) A = R O A 与*司型，且rank A = rank B .若rank A = r则(E r O\A= r,称后者为矩阵/的等价标准形I。

O)(3) B => rank A = rank B , det A= detB /与* 的粹征值相同.注所给的都是必要条件，即Efe rank A - rank B ,或d et A = det B ,或/ 与力的特征值相同不能推知A^B. fe若/与*都可对角化，且特征值相同，贝U A〜孙.(4) A-B =>ranky4 = rank^ ,对称性不变(如果/或B对称的话). 若A与R是实对称矩阵，则与/?有相同的正、负惯性指数.3)实对•称矩阵的亿简设Z是以阶实对称矩阵，rank A = r ;是/的特征值.(1)用初等变换可将/化简成PAQ=%O6(2)用合同变换可将/化简成P^AP =O O2O6P是正惯性指数.（3）弔正交相似变换可倚力化怪成0^(2= 0^(2 =対实对称矩阵虫的这三种变换，一个比一个特殊，一个比一个限制更多，各有其优诜点•总的来说则为：限制越少则化简后的形式越程旦，伍变换后丢掉'原症阵的性疾就越多.如〔1）的形式最简单，但变唤后只保留了秩不变；（2）的形式虽然比（1）稍复杂，但变换后保留秩不变，对称性不变’正、负慣•性指数不变；（3）的形式文更复杂一点，但变换石保密秩不变.对称性不变，正、负慣性指数不变，特征值不变.。

矩阵的合同，等价与相似一、矩阵的合同，等价与相似的定义、性质及判定条件（一）矩阵的等价：1、定义：若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ≅。

2、性质：（1）反身性：即A A ≅.（2）对称性：若A B ≅，则B A ≅（3）传递性：即若A B ≅，B C ≅，则A C ≅（4） 若A 为m n ⨯矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和Q （n 阶），使得000rm nI PAQ B ⨯⎛⎫==⎪⎝⎭.其中r I 为r 阶单位矩阵. （5） 设A B 、是两m n ⨯矩阵，则A B ≅当且仅当()()r A r B =3、判定：矩阵等价的充要条件：两个s n ⨯矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的n 阶矩阵Q ，使B PAQ =由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件： （1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）.（2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =.（二）矩阵的合同： 1、定义：两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。

2、性质：（1）反身性：任意矩阵A 都与自身合同.（2）对称性：如果B 与A 合同，那么A 也与B 合同.（3）传递性：如果B 与A 合同，C 又与B 合同，那么C 与A 合同. 因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.（4） 数域F 上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同. （5） 复数域上秩为r 的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形： 22212r f y y y =++3、判定定义2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件： (1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵. (2) 存在数域p 上的n 阶矩阵p ,T P AP B =（三）矩阵的相似 1、定义：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。

矩阵的合同,等价与相似的联系与区别全套资料(全套资料，可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质 （一）等价：1、概念.若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ≅.2、矩阵等价的充要条件：A B ≅.{P Q A B ⇔同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同. （二）合同：1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P,使得A B ≅P T AP B =成立,则称A ，B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换.2、矩阵合同的充要条件：矩阵A ，B 均为实对称矩阵,则A B ≅二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。

（三）相似1、概念:n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。

2、矩阵相似的性质：~A B 11~,~,~(,)|E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-⇒=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立）r(A)=r(B)即的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。

②充要条件:~()()A B E A E B λλ⇔-≅- 二、矩阵相等、合同、相似的关系 （一）、矩阵相等与向量组等价的关系： 设矩阵 12(,,,)n A λλλ=,12(,,,)m B βββ=1、若向量组(12,,,m βββ)是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同,钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。

商贸教育现代商贸工业２０２１年第４期１３８㊀㊀矩阵等价、相似、合同的区别与联系李伯忍(东莞理工学院计算机科学与技术学院,广东东莞５２３０００)摘㊀要:矩阵的等价㊁相似与合同在线性代数课程教学中占据非常关键的地位,但是学生学习过程中对这一部分的内容往往很难准确把握.为此,本文针对它们之间的区别和联系进行探讨,为学生对这些概念的理解提供一定的帮助.关键词:等价;相似;合同中图分类号:G ４㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀㊀㊀d o i :１０．１９３１１/j ．c n k i ．１６７２Ｇ３１９８．２０２１．０４．０６５㊀㊀«线性代数»是大学数学中的一门非常重要的必修基础课程.学好这一门课程,不仅有利于对学生的理解和逻辑推理能力的培养与训练,而且对其后续专业课程的学习也发挥着极其重要的支撑作用.本文将就线性代数课程矩阵之间的非常重要的关系:矩阵的等价㊁相似与合同进行讨论,着重探讨三者之间的区别与联系,为学生对这些概念的理解提供一定的支持.１㊀基本概念矩阵等价定义:假定矩阵A 和B 为同型矩阵,若存在可逆的矩阵P ,Q ,满足P A Q ＝B ,那么称A 和B 是等价的.矩阵相似定义:假定矩阵A 和B 均为n 阶方阵,若存在可逆的矩阵P ,满足P －１A P ＝B ,那么称A 和B 是相似的.矩阵合同定义:假定矩阵A 和B 均为n 阶方阵,若存在可逆的矩阵P ,满足P TA P ＝B ,那么称A 和B 是合同的.２㊀区别和联系(１)矩阵的等价只是要求矩阵A 和B 是具有相同的行和列的矩阵,不要求必须是方形矩阵,但是相似和合同则要求矩阵A 和B 必定是同阶的方形矩阵.(２)等价的矩阵㊁相似的矩阵以及合同的矩阵均是同可逆或者同为不可逆.(３)等价的矩阵㊁相似的矩阵以及合同的矩阵均满足反身性㊁对称性和传递性.(４)矩阵的等价㊁相似以及矩阵合同实际上均是矩阵和矩阵之间进行初等变换,只是初等变换的要求有些区别.详细的说明展示如下:依据可逆矩阵的充要条件,n 阶方形矩阵阵A 是可逆的⇔矩阵A 等于一系列初等矩阵的乘积.故矩阵A 和B 等价的条件P A Q ＝B 可转化成:存在m 阶初等矩阵P １,P ２, P s 和n 阶初等矩阵Q １,Q ２, Q t ,使得P s P ２P １A Q １Q ２ Q t ＝B .相似的条件P －１A P ＝B 可转化成:存在n 阶初等矩阵P １,P ２, P s 使得P s －１ P ２－１P １－１A P １P ２ P s ＝B .合同的条件P T A P ＝B 可转化成:存在n 阶初等矩阵P １,P ２, P s 使得P s T P ２T P １TA P １P ２ P s ＝B .可见等价变换是对矩阵作一系列的有限次初等行或列变换;相似变换和合同变换也是作一系列的有限次初等行或列变换,但行变换的次数与列变换的次数是相同的,而且矩阵行变换与矩阵列变换的变换方式是相对应的;相似变换要求作一次矩阵列变换,相应的也要求作一次矩阵逆行变换;合同变换要求作一次矩阵列变换,也相应的作一次相同的矩阵行变换.３㊀文氏关系图图１㊀矩阵等价㊁相似㊁合同的区别与联系４㊀如何判定矩阵与矩阵之间的相互关系在判定矩阵的等价关系㊁相似以及合同关系时,满足矩阵等价㊁矩阵相似或者矩阵合同的两个矩阵的秩都必定相等,再适当的利用特征值与正负惯性指数来判定矩阵相似或者矩阵合同.(１)矩阵A 与B 等价⇔R (A )＝R (B ).(２)判定矩阵相似的四个必要条件:①A 与B 的秩相等;②A 与B 的特征值相同;③A 与B 的特征多项式相等;④A 与B 的行列式相等.假定满足上述的必要性,我们还不可以判定矩阵是相似的,如何判别两个一般矩阵的相似,一般考试大纲不做要求,但如果矩阵A 和B 均与一个对角阵相似,那么可由相似矩阵满足传递性,可以知道A 和B 是相似的.(３)对实对称矩阵,有一些非常重要的结论,可用于判断矩阵是相似的或者是合同的:①A 与B 均是实对称矩阵并且是相似的⇔矩阵A 和B 的特征值相同;②A 与B 均是实对称矩阵并且是合同的⇔二次型x T A x 和x T B x 的正负惯性指数是相同的;③A 与B 均是实对称矩阵并且是相似的⇒A 与B 必定是合同的.矩阵的合同主要应用于二次型,故判定矩阵是否合同的前提主要是在实对称矩阵的前提下进行,所以实对称矩阵A 和B 是否合同,只需要判定矩阵A 与B 的特征值符号是否一样;矩阵相似是指两个矩阵的特征值相同;矩阵等价是指两个矩阵的秩相等.５㊀矩阵的等价㊁相似以及合同关系,有下面的几个结论(１)矩阵A 和B 是相似的,则矩阵A 和B 一定是等价的,反之不一定成立.(２)矩阵A 和B 是合同的,则矩阵A 和B 一定是等价的,反之不一定成立.(３)若矩阵A 和B 均是实对称矩阵且相似,则矩阵A 和B 一定是合同的,反之则不一定成立.参考文献[１]同济大学数学系．工程数学线性代数[M ]．北京:高等教育出版社,２０１６．[２]周勇．线性代数[M ]．北京:北京大学出版社,２０１８．[３]孙瑶,杜润梅．线性代数中两个矩阵相似㊁合同㊁等价的关系[J ]．教育,２０１５,(４６):２５１．。

考研数学：令人头大的相似、合同、等价摘要：考研数学里关于矩阵的相似、合同、等价的关系有时令大家头晕脑胀，就需要大家对它们的性质、定义要更加清楚，得分才不难。

接下来一起看看三者的纠缠吧。

关于矩阵的相似、合同、等价的关系总结起来就是一句话相似必合同，合同必等价（反之，则不一定）...........背好这一句话基本可以应付70%的填空选择，至于剩下那30%，则需要对各自的性质、定义以及判别的条件有充分的了解。

分割线卡通一、等价的定义两个SxN矩阵A,B等价的充要条件为：存在可逆的s阶矩阵p与可逆的n阶矩阵Q，使得B=PAQ矩阵A与B等价必须具备的两个条件(1)矩阵A与B必为同型矩阵(不要求是方阵)(2)存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q，使B=PAQ矩阵等价的性质(1)反身性:即A~=A(2)对称性:若A~=B，则B~=A.(3)传递性:若A~=B，B~=C，则A~=C.(4)A等价于B的充要条件是r(A)=r(B)(5)设A为m*n矩阵，r(A)合同，C又与B合同，那么C与A合同.(4)合同的两矩阵有相同的二次型标准型.(5)任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵(6)合同矩阵的秩相等三、相似的定义设A,B均为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使P1AP=B，则称矩阵A与B为相似矩阵(若n阶可逆矩阵P为正交阵，则称A与B为正交相似矩阵).矩阵A与B相似，必须同时具备两个条件(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵(2)存在n阶可逆矩阵P，使得P1AP=B矩阵相似的性质(1)反身性:即A~A(2)对称性:若A~B，则B~A.(3)传递性:若A~B，B~C，则A~C.(4)若矩阵A、B相似，则r(A)=r(B)(5)若矩阵A、B相似，则KA~KB(6)若矩阵A、B相似，则A(7)若矩阵A、B相似，f(x)是一个多项式，则f(A)~f(B)注：(1)与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵E本身，与数量矩阵kE相似的n阶方阵只有数量阵kE本身。

1 、引 言矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍 ，对矩阵的应用学习有一定的帮助.2、矩阵的等价，相似，合同2.1矩阵的等价2.1.1矩阵等价的定义：矩阵等价用矩阵乘法表示出来就是，如果有两个m ×n 阶矩阵A 和B ，而且这两个矩阵满足B=QAP ，其中P 是n ×n 阶可逆矩阵，Q 是m ×m 阶可逆矩阵，那么这两个矩阵是等价的。

即，矩阵A 经过有限次的初等变换得到矩阵B2.1.2初等变换（1）换法变换：对调矩阵的两行（列），得初等矩阵E(i,j).用m 阶初等矩阵),mj i E （左乘nm ij a A ⨯=)(，相等于对矩阵A 实行第一种矩阵初等行变换，把A 的第i 行与第j 行对调，记作（r r j i ↔）类似的，用n 阶初等矩阵()j i E n ,右乘矩阵n m ij a ⨯=）（A ，相当于都矩阵A 实行第一种矩阵初等列变换，把A 的第i 列与第j 列对调，记作)c c j i ↔（ （2）倍法变换：以数K ≠0乘某一行（列）中的全部元素，得初等矩阵))((K i E 。

用））（（K i m E 左乘矩阵A ，相当于以数K 乘A 的第i 行，记作（K r i ⨯）。

用））（（K i nE 右乘矩阵A ，相当于以数K 乘A 的第i 列，记作（K ⨯c i ）。

（3）消法变换： 以数K 乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵））（（K E ij ，以））（（K E ij m 左乘矩阵A ，相当于把A 的第j 行乘以K 加到第i 行上，记作（r r j i K +）。

以））（（K E ij n右乘矩阵A ，相当于把A 的第i 列乘以K 加到第j 列上，记作（c c i j K +）。

矩阵等价相似合同的关系等价指的是两个矩阵的秩一样。

合同指的是两个矩阵的正定性一样，也就是说，两个矩阵对应的特征值符号一样。

相似是指两个矩阵特征值一样。

相似必等价，合同必等价。

1.等价矩阵：同型矩阵A，B的秩相等，那么A，B等价，即是随意两个秩相等的同型矩阵通过初等变换都可以相互转化相等与另一个。

2.相似矩阵的定义是:存在可逆矩阵P，使得P--1AP=B，则称B是A的相似矩阵。

原因：A与B相似有一个必要条件就是A与B的特征值相同，即|B-aE|=|A-aE|所以|B-aE|=|P--1||A-aE||P|，所以|B-aE|=|P--1AP-aP--1EP|，即|B-aE|=|P--1AP-aE|所以B=P--1AP3.合同矩阵定义：若存在可逆矩阵C,使得C T AC=B，即A与B合同。

对于合同矩阵要从二次型说起，二次型为：f=X T AX。

可通过X=CY变换，即把X=CY带入，于是f=（CY)T A(CY)=Y T[C T AC]Y，其中令C T AC=B，即A与B合同。

首先相似不一定合同，合同也不一定相似，但是如果相似或者合同则必然等价，而等价却不能反推出相似或者合同，原因是前者只能是对方阵，而后者则只需要同型。

相似合同和等价都具有反身性。

对称性和传递性，合同和相似能推出等价是因为他们的秩相等。

而对于矩阵A只有当他是实对称矩阵时，存在C T AC=C--1AC，即这个时候矩阵合同和相似可以等价，这个时候C是正交矩阵，然而当C 不是正交矩阵时，则只能满足其中一个条件，或者说如果P--1AP=B,即A与B相似，但如果P不是正交矩阵，则不能称A与B合同，如果P T AP=B，即A与B合同，但是PP T≠I,则一样不能推出相似。

相似必合同，合同必等价。

等价就是矩阵拥有相同的r。

矩阵合同，C T AC=B，矩阵乘以可逆矩阵他的r不变，r(B)=r(C T AC)=r(AC)=r（A），等价。

同理两矩阵相似一定等价。

矩阵的相似与合同及其等价条件研究（数学与统计学院09级数学与应用数学一班）指导老师：王晶晶引言矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用[1-10]，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化[9]，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助.1矩阵的等价与相似及其合同的基本概念1.1矩阵等价的定义[1]定义1.1如果矩阵A 可以有矩阵B 经过有限次初等变换得到，称A 与B 是等价的.由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到：定义1.2如果n 阶矩阵A 可以由n 阶矩阵B 进过有限次初等变换得到，则称A 与B 是等价的.根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描述：定义1.3设矩阵A ,B 为n 阶矩阵，如果存在n 阶可逆矩阵P 和Q ,使得B P AQ =,则称矩阵A 与B 等价，记作A ∽B .1.2矩阵相似的定义[2]定义1.4设矩阵A ，B 为n 阶矩阵，如果存在一个是n 阶可逆矩阵P，使得B AP P =-1,则称矩阵A 与矩阵B 相似，记作A ～B .1.2.1n 阶矩阵的相似关系，具有下列性质[3]:性质1.1反身性，即任一n 阶矩阵A 与自身相似.性质1.2对称性，即如果A ～B ，则B ～A .性质1.3传递性，如果A ～B ，B ～C ，则A ～C .性质1.4P A k AP P k P A k A k P 221122111)(+=+--.（21,k k 是任意常数）性质1.5))(()(2111211P A P P A P P A A P ---=.性质1.6若矩阵A 与矩阵B 相似，则m A 与m B 相似.（m 为正整数）证明存在一个可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，那么()P A P B AP P m m m11--==，故可以得到m A 与相m B 相似.性质1.7如果矩阵A 、B 都是满秩，则A ～B ，那么1-B ～1-A .证明存在一个可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，那么()P A P B AP P 11111-----==，故可以得到1-B ～1-A .性质1.8如果矩阵A ～B ，那么B A =.证明存在一个可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，又因为B AP P =-1，11=-P P ，故可以得到B A =.性质1.9相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆.并且当它们都可逆时候，它们的逆矩阵也相似.证明设AP P B 1-=，若矩阵B 可逆，()P A P AP P B 11111-----==，从而1-B 和1-A 也相似.若B 不可逆，则AP P 1-不可逆，即A 也不可逆.性质1.10相似矩阵有相同的特征值.证明设AP P B 1-=，APP EP P B E 11---=-λλ()P A E P -=-λ1AE -=λ故矩阵A 的特征值与矩阵B 有相同的特征值.性质1.11相似矩阵有相同的迹.证明可以设矩阵A 与矩阵B 相似，那么存在一个可逆矩阵P ,使得B AP P =-1，()()APP t B t r r 1-=()P A P t r 1-=()A t r =例1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3002A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2003B ，求分别求矩阵A 、B 的特征多项式，特征值秩,迹，行列式，矩阵A 与B 是否相似，它们之间有什么关系？解从已知可知63002==A ，,2)(=A Rank 5)(=A t r 对于A 的特征多项式3002--=-λλλA E )3)(2(--=λλ故A 的特征值为2和3.对于矩阵B ,62003==B ，,2)(=B Rank 5)(=B t r 矩阵B 的特征多项式)3)(2(2003--=--=λλλλB .故矩阵B 的特征值是2和3.存在一个可逆矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110P 使得B AP P =-1，从定义矩阵B 与矩阵A 相似.从结果看到相似矩阵有相同的特征多项式、相同的特征值、相等的行列式的值、相等的迹[2-4].例2设实数域上的3级实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=124242421A ，对角矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=400050005B .求矩阵A 、B 的特征值，特征多项式并且矩阵A 与矩阵B 相似吗？如果相似求出可逆矩阵P .解由矩阵A 的特征多项式为11020242421124242421-+---=---λλλλλλλ100242421---=λλλ)4()5(2+-=λλ故矩阵A 的特征值为5和—4.容易知道矩阵B 的特征多项式和矩阵A 的相同，故矩阵B 的特征值为5和-4.那么存在一个可逆矩阵P ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=325310315152552325154551P 验证得到B AP P =-1，那么矩阵A 与矩阵B 相似，它们有相同的特征值和特征多项式.1.3矩阵合同的定义[2]定义1.5设A ，B 为n 阶矩阵，如果存在一个n 阶可逆矩阵C ，使得B AC C T =，则称A 与B 合同，记作B A ≅.n 阶矩阵的合同关系具有下列性质：⑴反身性:即任一n 级矩阵与自身合同.⑵对称性:即如A 与B 合同，则B 与A 合同.⑶传递性:A 与B 合同，B 与C 合同，则A 与C 合同.⑷合同的两矩阵有相同的二次型标准型.⑸任何一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵.⑹两个实对称矩阵合同，它们的秩相等，而且正惯性指数相等.2.合同矩阵与相似矩阵的关系2.1矩阵的相似与合同的相同点[5].⑴从上面可以看到，相似关系满足反身性、对称性、传递性；合同关系也具有反身性、对称性、传递性.⑵相似、合同矩阵均有相同的秩.若矩阵A 相似与矩阵B ，则)()(B Rank A Rank =，若矩阵A 合同于矩阵B ，则)()(B Rank A Rank =.可见，如果两个矩阵相似或合同，那么它们的秩相同.⑶相似与合同的矩阵要求是同型的方阵.若矩阵A 于矩阵B 相似，则要求A 、B 都是方阵；若A 合同与B ，则要求A 、B 都方阵.就是说相似与合同的矩阵要求是同型矩阵，而且都是方阵.2.2矩阵的相似与合同的不同点[5].矩阵的相似与合同有一些不同之处，如A ～B ，则B A =，A 与B 有相同的特征值.但若A ≅B ，那么A 与B 的行列式的值不一定相等；A 与B 也不一定有相同的特征值.例1设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=542452222A ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32455032454513145252T ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000010001B ,不难验证：B AT T T =，有B A ≅.我们可以知道上面的矩阵等式满足矩阵的合同同时满足矩阵的相似，能够知道矩阵T 为正交矩阵，故A ～B ，矩阵A 的行列式可以等于B 的行列式，下面举出合同但是行列式不等的情况.例2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3221A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12441B ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2001C .经过验证可以知道1-=A ，4-=B ，然而B AC C T =，B A ≠，可以得到矩阵A 合同于B ，但是行列式可以不等.我们知道矩阵相似具有相同的特征值，这是因为相似矩阵有相同的特征多项式.我们设A ～B ，则有可逆矩阵P ，使得AP P B 1-=，于是111()E B E P AP P E P P APλλλ----=-=-=1()P E A Pλ--=E Aλ-故特征值相同.然而对于矩阵A 合同与矩阵B，但是它们的特征值不一定相同:例3设⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=121211A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=43001B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10211C 不难验证B AC C T =,即B A ≅，但是A 的特征值为21和23，B 的特征值为1和43显然，矩阵的相似与矩阵的合同是不同的概念.2.3矩阵等价、合同与相似的联系[7].结论2.1相似矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵.证明设n 级矩阵A 、B 相似，从定义知道存在n 阶矩阵P ，使得B AP P =-1，从等价的定义B A ≅.反过来，对于矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010001A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010121B ，A 与B 等价，但是A 与B 并不相似.结论2.2合同矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必是合同矩阵.证明设n 阶方阵B A ,合同，由定义1.5有，存在n 阶可逆矩阵1P ，使得B AP P T =1，若记11,P Q P P T==,则有B PAQ =因此由定义1.3得到n 阶方阵B A ,等价.反过来对于矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1021B 等价，但是A 与B 并不合同，即等价矩阵未必合同．2.4矩阵合同与相似的关系[7]结论2.3如果M 与N 都是n 级对称矩阵，且有相同的特征值，则M 与N 既合同又相似.证明设M 、N 的特征值均为1λ、2λ、 n λ，因为M 与N 都是n 级实对称矩阵，则一定存在n 阶正交矩阵P ，使得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n MP P λλ 11同理，可以找到一个正交矩阵Q ，使得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n NQ Q λλ 11从上面两式有：NQQ MP P 11--=将上式两边分别左乘Q 和又乘1-Q ，得：MPQ QP N 1`-=()()11`1---=PQ M PQ 由于EQQ E PP T T ==,故T PQ 可逆，又由于：（1111)()()T TPQ PQ PQ Q P ----=T T QP PQ =E=所以1-PQ 是正交矩阵故M ～N NM ≅,结论2.4若n 阶矩阵A 与B 中只要有一个正交矩阵，则AB 与BA 相似且合同．证明不妨A 是正交矩阵,则A 可逆取,A P =,有()()BA BA A A ABA A ABP P ===---111，则AB 与BA 相似，又A 是正交阵，所以AB 与BA 既相似又合同.结论2.5若A ～B ,且B A ≅，C ～D 且D C ≅，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00～⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B0，⎪⎪⎭⎫⎝⎛≅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D BC A 0000证明从已知，C ～B ,C ～D ，故存在可逆矩阵1P ，2P 使得BAP P =-111DCP P =-212令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210P P P 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---1211100P P P且⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---21211110000CP P AP P P C A P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D B00故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00～⎪⎪⎭⎫⎝⎛D B0又因为D C B A ≅≅，，，故存在可逆矩阵1T ，2T ，使得1122,T T T AT B T CT D==令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2100T T T 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T TT T T T 2100然而112200000000T TT T A A T T T T C C T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11220000TT T T T T ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11220000T TB T AT D T CT ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00≅⎪⎪⎭⎫⎝⎛D B 03相似矩阵的应用3.1相似矩阵的简单应用[8]在矩阵m A 的求解过程中，很难得到它的值，然而可以找到与矩阵A 相似的简单的矩阵，可把矩阵化简为对角矩阵，使得BP P A 1-=，其中P 为可逆矩阵,B 对角矩阵，可知矩阵A 与矩阵B 相似，那么()P B P BP P A m mm 11--==，从而可以使得不宜求的矩阵简单化。

矩阵等价相似合同的关系等价指的是两个矩阵的秩一样。

合同指的是两个矩阵的正定性一样，也就是说，两个矩阵对应的特征值符号一样。

相似是指两个矩阵特征值一样。

相似必等价，合同必等价。

1.等价矩阵：同型矩阵A，B的秩相等，那么A，B等价，即是随意两个秩相等的同型矩阵通过初等变换都可以相互转化相等与另一个。

2.相似矩阵的定义是:存在可逆矩阵P，使得P--1AP=B，则称B是A的相似矩阵。

原因：A与B相似有一个必要条件就是A与B的特征值相同，即|B-aE|=|A-aE|所以|B-aE|=|P--1||A-aE||P|，所以|B-aE|=|P--1AP-aP--1EP|，即|B-aE|=|P--1AP-aE|所以B=P--1AP3.合同矩阵定义：若存在可逆矩阵C,使得C T AC=B，即A与B合同。

对于合同矩阵要从二次型说起，二次型为：f=X T AX。

可通过X=CY变换，即把X=CY带入，于是f=（CY)T A(CY)=Y T[C T AC]Y，其中令C T AC=B，即A与B合同。

首先相似不一定合同，合同也不一定相似，但是如果相似或者合同则必然等价，而等价却不能反推出相似或者合同，原因是前者只能是对方阵，而后者则只需要同型。

相似合同和等价都具有反身性。

对称性和传递性，合同和相似能推出等价是因为他们的秩相等。

而对于矩阵A只有当他是实对称矩阵时，存在C T AC=C--1AC，即这个时候矩阵合同和相似可以等价，这个时候C是正交矩阵，然而当C 不是正交矩阵时，则只能满足其中一个条件，或者说如果P--1AP=B,即A与B相似，但如果P不是正交矩阵，则不能称A与B合同，如果P T AP=B，即A与B合同，但是PP T≠I,则一样不能推出相似。

相似必合同，合同必等价。

等价就是矩阵拥有相同的r。

矩阵合同，C T AC=B，矩阵乘以可逆矩阵他的r不变，r(B)=r(C T AC)=r(AC)=r（A），等价。

同理两矩阵相似一定等价。

矩阵的合同,等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质(一）等价：1、概念。

若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为。

2、矩阵等价的充要条件:3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同,但两向量组各自的线性相关性却不相同。

(二）合同:1、概念,两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得成立,则称A，B合同,记作该过程成为合同变换。

2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵,则二次型与有相等的E负惯性指数,即有相同的标准型。

（三）相似1、概念：n阶方阵A，B，若存在一个可逆矩阵P使得成立,则称矩阵A,B相似，记为.2、矩阵相似的性质：3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A，B有相同的不变因子或行列式因子。

②充要条件：二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵，1、若向量组（）是向量组(）的极大线性无关组，则有，即有两向量等价,而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。

而矩阵B与A亦不同型，虽然但不能得出.2、若m=n，两向量组（）()则有矩阵A,B同型且。

3、若两向量组秩相同，两向量组等价，即有综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。

（二）、矩阵合同。

相似,等价的关系.1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。

2、合同、相似、等价之间的递推关系①相似等价：A,B同型且②合同等价:同型且③相似与合同之间一般情况不能递推，但有一下附加条件时可以Ⅰ、若A,B均为实对称矩阵，则有A，B一定可以合同于对角矩阵当时,二次型与有相同的标准型，即二者有相同的正负惯性指数即有Ⅱ、存在一个正交矩阵P，即使得即则有即有Ⅲ、若A，B实对称，且存在一个正交矩阵P，则时有Ⅳ、、、下面讨论时成立的条件。

由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的论述可知存在正交矩阵P时，有，则记则此时即P为正交矩阵时,由（三）1、矩阵等价:①同型矩阵而言②一般与初等变换有关③秩是矩阵等价的不变量,同次，两同型矩阵相似的本质是秩相等2、矩阵相似：①针对方阵而言②秩相等是必要条件③本质是二者有相等的不变因子3、矩阵合同：①针对方阵而言,一般是对称矩阵②秩相等是必需条件③本质是秩相等且存在惯性指数相等,即标准型同由以上知,秩是矩阵等价的不变量;不变因子是矩阵相似的不变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，存在负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关于最弱、合同与相似是特殊的等价关系。

目录摘要 (I)引言 (1)1矩阵间的三种关系 (1)1.1 矩阵的等价关系 (1)1.2 矩阵的合同关系 (1)1.3. 矩阵的相似关系 (2)2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系 (3)3矩阵的等价、合同和相似之间的区别 (5)结束语 (6)参考文献 (6)摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系. 根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质．其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化．关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件引言：在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致．还有矩阵的相似与合同之等价条件．并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量.1矩阵间的三种关系1.1 矩阵的等价关系定义1 两个s n ⨯矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的 n 阶矩阵Q ，使B PAQ =由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件：（1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）.（2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =.性质1（1）反身性：即A A ≅.（2）对称性：若A B ≅，则B A ≅（3）传递性：即若A B ≅，B C ≅，则A C ≅定理1 若A 为m n ⨯矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和Q （n 阶），使得000r m nI PAQ B ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭.其中r I 为r 阶单位矩阵. 推论1 设A B 、是两m n ⨯矩阵，则A B ≅当且仅当()()r A r B =.1.2 矩阵的合同关系定义2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件：(1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵.(2) 存在数域p 上的n 阶矩阵p ,T P AP B =性质2（1）反身性：任意矩阵A 都与自身合同.（2）对称性：如果B 与A 合同，那么A 也与B 合同.（3）传递性：如果B 与A 合同，C 又与B 合同，那么C 与A 合同.因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.定理2 数域F 上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.定理3 复数域上秩为r 的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：22212r f y y y =++ 1.3. 矩阵的相似关系定义3 设,A B 均为数域p 上n 阶方阵，若存在数域p 上n 阶可逆矩阵p 使得B AP P =-1,则称矩阵A 与B 为相似矩阵（若n 级可逆矩阵p 为正交阵，则称A 与B 为正交相似矩阵）由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A 与B 相似，必须同时具备两个条件(1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵(2) 在数域p 上n 阶可逆矩阵P ，使得B AP P =-1性质3(1)反身性 T A E AE = ;(2)对称性 由T B C AC =即得()11T A C BC --=;（3）传递性 111T A C AC =和2212T A C AC =即得 ()()21212T A C C A C C总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.(4) 11111221122()P k A k A P k P A P k P A P ---+=+（其中12,k k 是任意常数）； (5）1111212()()()P A A P P A P P A P ---=；(6）若A 与B 相似，则m A 与m B 相似（m 为正整数）；(7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果1B P AP -=为满秩矩阵，那么11111()B P AP P A P -----==.即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.(8）相似的矩阵有相同的行列式；因为如果1B P AP -=，则有：11B P AP P A P A --===(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；设1B P AP -=，若B 可逆，则11111()B P AP PA P -----==从而A 可逆.且1B -与1A -相似.若B 不可逆，则1()P AP -不可逆，即A 也不可逆.下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理定理4 相似矩阵的特征值相同.推论3 相似矩阵有相同的迹.2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系（1） 由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系定理5 相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵．证明： 设n 阶方阵,A B 相似，由定义3知存在n 阶可逆矩阵1P ，使得111P AP B -=，此时若记11P P -=,1Q P = ,则有PAQ B =,因此由定义1得到n 阶方阵,A B 等价反过来，对于矩阵100010A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,121010B ⎛⎫= ⎪⎝⎭等价，但是A 与B 并不相似，即等价矩阵未必相似．定理 6 对于n 阶方阵,A B ，若存在n 阶可逆矩阵,P Q 使PAQ B =,(即A 与B等价)，且PQ E = (E 为n 阶单位矩阵)，则A 与B 相似．证明： 设对于n 阶方阵A 与B ,若存在n 阶可逆矩阵,P Q ,使PAQ B =,即A 与B 等价．又知PQ E =,若记11P P -= ,那么1Q P =,也即111P AP B -=,则矩阵,A B 也相似．定理7 合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．证明： 设n 阶方阵,A B 合同，由定义2有，存在n 阶可逆矩阵1P ，使得11TP AP B =，若记1TP P =,1Q P =,则有PAQ B =因此由定义1得到n 阶方阵,A B 等价反过来对于矩阵1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭等价，但是A 与B 并不合同，即等价矩阵未必合同．定理8 正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵．证明：若存在一个正交矩阵P ,即T P P E =使得1P AP B -=即~A B ，则有1T B P AP P AP -==，即A 与B 合同.同理，若存在一个正交矩阵P ，即T P P E =使得T P AP B =即A 与B 合同，则有1~T B P AP P AP A B -==⇒由此可得1.相似阵、合同阵必为等价阵，但过来必成立2.相似阵为正交相似，合同阵为正交合同时，相似与合同一致.（2）但相似矩阵与合同矩阵有着一定的内在联系，如果两者都具有反身性、对称性和传递性，即两者都是等价关系．另外，在一定条件下，两者是等价的．若矩阵A 与B 正交相似，则它们既是相似也是合同的．对于相似与合同矩阵之等价条件有以下定理，定理9 如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则A 与B 既相似又合同．证明：设A 与B 的特征根均为n λλλ ,,21因为A 与n 阶实对称矩阵，则一定存在一个n 阶正交矩阵 Q 使得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n AQ Q λλλ..211同理，一定能找到一个正交矩阵P 使得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n BP P λλλ..211从而有BP P AQ Q 11--= 将上式两边左乘P 和右乘1-P ,得()()()1111111-------===QP A QP QP AQP PQ B 由于T Q Q E =,T P P E =,1P P E -=有()()()()1111111T T T T QP QP P Q QP P EP PP E -------====,所以，1-P Q 是正交矩阵，由定理8知A 与B 相似．定理10 若n 阶矩阵A 与B 中只要有一个正交矩阵，则AB 与BA 相似且合同． 证明：不妨设A 是正交矩阵，则A 可逆，取U A =,有()()111U ABU A ABA A A BA BA ---===，则AB 与BA 相似，又知A 是正交阵，所以AB 与BA 既相似又合同．定理11 若A 与B 相似且又合同，C 与D 相似也合同，则有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00 既相似又合同． 证明: 因为A 与B ,C 与D 相似，故存在可逆矩阵1P ,2P ，使111122,P AP B P CP D --==,令1200P P P ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则1111200P P P ---⎛⎫= ⎪⎝⎭且10000A B P P C D -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00相似． 又因为A 与B 合同，C 与D 合同,故存在可逆矩阵12,Q Q , 122,T T Q AQ B Q CQ D ==令1200Q Q Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭而1200T T T Q Q Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭11112222000000000000T T T T T Q Q A A Q Q A Q Q Q Q C C Q Q C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11220000T T B Q AQ D Q CQ ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00合同． 3矩阵的等价、合同和相似之间的区别1、矩阵等价：a.同型矩阵而言b.一般与初等变换有关c.秩是矩阵等价的不变量，其次，两同型矩阵相似的本质是秩相等2、矩阵相似：a.针对方阵而言b.秩相等是必要条件c.本质是二者有相等的不变因子3、矩阵合同：a.针对方阵而言，一般是对称矩阵b.秩相等是必需条件c.本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关系最弱、合同与相似是特殊的等价关系.由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立.相似与合同不可互推，需要一定的条件.而且等价是经过有限次初等变换变得；相似不一定会都与对角阵相似，相似矩阵可看作是同一线性变换在不同基下的矩阵；合同可以通过二次型的非退化的线性替换来理解.结束语：矩阵中的这三种关系，在高等代数中是至关重要的，他们既包含着联系，又蕴涵着差别.相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵不一定是相似矩阵也不一定是合同矩阵；相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致；秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量，特征值是可对角化矩阵相似的不变量，正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量.参考文献：[1]张禾瑞.高等代数[M].北京：高等教育出版社,1983.[2]姚慕生.高等代数学[M].复旦：复旦大学出版社,1999.[3]北大数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1988 .[4]李志惠，李永明.高等代数中的典型问题与方法[M].北京：科学出版社，2006.[5]同济大学教研室. 线性代数[M].北京：高等教育出版社.，2001.[6]阎家灏.线性代数[M].重庆：重庆大学出版社.，1994.。

矩阵的相似与合同及其等价条件研究（数学与统计学院 09级数学与应用数学一班） 指导老师：王晶晶引言矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用[1-10]，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化[9]，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助.1 矩阵的等价与相似及其合同的基本概念1.1矩阵等价的定义[1]定义 1.1 如果矩阵A 可以有矩阵B 经过有限次初等变换得到，称A 与B 是等价的.由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到：定义1.2 如果n 阶矩阵A 可以由n 阶矩阵B 进过有限次初等变换得到，则称A 与B 是等价的.根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描述：定义1.3 设矩阵A ,B 为n 阶矩阵，如果存在n 阶可逆矩阵P 和Q ,使得B PAQ =,则称矩阵A 与B 等价，记作A ∽B . 1.2 矩阵相似的定义[2]定义 1.4 设矩阵A ，B 为n 阶矩阵，如果存在一个是n 阶可逆矩阵P ，使得B AP P =-1,则称矩阵A 与矩阵B 相似，记作A ～B .1.2.1 n 阶矩阵的相似关系，具有下列性质[3]:性质1.1 反身性，即任一n 阶矩阵A 与自身相似. 性质1.2 对称性，即如果A ～B ，则B ～A . 性质1.3 传递性，如果A ～B ，B ～C ，则A ～C .性质1.4 P A k AP P k P A k A k P 221122111)(+=+--. （21,k k 是任意常数）性质1.5 ))(()(2111211P A P P A P P A A P ---=.性质1.6 若矩阵A 与矩阵B 相似，则m A 与m B 相似. （m 为正整数） 证明 存在一个可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，那么()P A P B AP P m m m11--==，故可以得到m A 与相m B 相似.性质1.7 如果矩阵A 、B 都是满秩，则A ～B ，那么1-B ～1-A . 证明 存在一个可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，那么()P A P B AP P 11111-----==，故可以得到1-B ～1-A .性质1.8 如果矩阵A ～B ，那么B A =.证明 存在一个可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，又因为B AP P =-1，11=-P P ，故可以得到B A =.性质1.9 相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆.并且当它们都可逆时候，它们的逆矩阵也相似.证明 设AP P B 1-=，若矩阵B 可逆，()P A P AP P B 11111-----==，从而1-B 和1-A 也相似.若B 不可逆，则AP P 1-不可逆，即A 也不可逆.性质1.10 相似矩阵有相同的特征值.证明 设AP P B 1-=，AP P EP P B E 11---=-λλ ()PA E P -=-λ1A E -=λ故矩阵A 的特征值与矩阵B 有相同的特征值.性质1.11 相似矩阵有相同的迹.证明 可以设矩阵A 与矩阵B 相似，那么存在一个可逆矩阵P ,使得B AP P =-1，()()AP P t B t r r 1-=()PA P t r 1-= ()A t r =例1 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3002A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2003B ，求分别求矩阵A 、B 的特征多项式，特征值秩,迹，行列式，矩阵A 与B 是否相似，它们之间有什么关系？解 从已知可知63002==A ，,2)(=A Rank 5)(=A t r 对于A 的特征多项式3002--=-λλλA E )3)(2(--=λλ 故A 的特征值为2和3.对于矩阵B ,62003==B ，,2)(=B Rank 5)(=B t r 矩阵B 的特征多项式)3)(2(23--=--=λλλλB .故矩阵B 的特征值是2和3.存在一个可逆矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110P 使得B AP P =-1，从定义矩阵B 与矩阵A 相似. 从结果看到相似矩阵有相同的特征多项式、相同的特征值、相等的行列式的值、相等的迹[2-4].例2 设实数域上的3级实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=124242421A ，对角矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=400050005B .求矩阵A 、B 的特征值，特征多项式并且矩阵A 与矩阵B 相似吗？如果相似求出可逆矩阵P .解 由矩阵A 的特征多项式为11020242421124242421-+---=---λλλλλλλ1242421---=λλλ )4()5(2+-=λλ 故矩阵A 的特征值为5和—4.容易知道矩阵B 的特征多项式和矩阵A 的相同，故矩阵B 的特征值为5和-4.那么存在一个可逆矩阵P ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=325310315152552325154551P 验证得到B AP P =-1，那么矩阵A 与矩阵B 相似，它们有相同的特征值和特征多项式. 1.3 矩阵合同的定义[2]定义1.5 设A ，B 为n 阶矩阵，如果存在一个n 阶可逆矩阵C ，使得B AC C T =，则称A 与B 合同，记作B A ≅.n 阶矩阵的合同关系具有下列性质：⑴ 反身性: 即任一n 级矩阵与自身合同. ⑵ 对称性: 即如A 与B 合同，则B 与A 合同. ⑶ 传递性: A 与B 合同，B 与C 合同，则A 与C 合同. ⑷ 合同的两矩阵有相同的二次型标准型. ⑸ 任何一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵.⑹ 两个实对称矩阵合同，它们的秩相等，而且正惯性指数相等.2. 合同矩阵与相似矩阵的关系2.1 矩阵的相似与合同的相同点[5].⑴ 从上面可以看到，相似关系满足反身性、对称性、传递性；合同关系也具有反身性、对称性、传递性.⑵ 相似 、合同矩阵均有相同的秩.若矩阵A 相似与矩阵B ，则)()(B Rank A Rank =，若矩阵A 合同于矩阵B ，则)()(B Rank A Rank =.可见，如果两个矩阵相似或合同，那么它们的秩相同.⑶ 相似与合同的矩阵要求是同型的方阵.若矩阵A 于矩阵B 相似，则要求A 、B 都是方阵；若A 合同与B ，则要求A 、B 都方阵.就是说相似与合同的矩阵要求是同型矩阵，而且都是方阵. 2.2 矩阵的相似与合同的不同点[5].矩阵的相似与合同有一些不同之处，如A ～B ，则B A =，A 与B 有相同的特征值.但若A ≅B ，那么A 与B 的行列式的值不一定相等；A 与B 也不一定有相同的特征值.例1 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=542452222A ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32455032454513145252T ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000010001B , 不难验证：B AT T T =，有B A ≅.我们可以知道上面的矩阵等式满足矩阵的合同同时满足矩阵的相似，能够知道矩阵T 为正交矩阵，故A ～B ，矩阵A 的行列式可以等于B 的行列式，下面举出合同但是行列式不等的情况.例2 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3221A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12441B ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2001C . 经过验证可以知道1-=A ，4-=B ，然而B AC C T =，B A ≠，可以得到矩阵A 合同于B ，但是行列式可以不等.我们知道矩阵相似具有相同的特征值，这是因为相似矩阵有相同的特征多项式. 我们设A ～B ，则有可逆矩阵P ，使得AP P B 1-=，于是111()E B E P AP P E P P AP λλλ----=-=-=1()P E A P λ--=E A λ-故特征值相同.然而对于矩阵A 合同与矩阵B ，但是它们的特征值不一定相同:例3 设⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=121211A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=43001B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10211C 不难验证B AC C T =,即B A ≅，但是A 的特征值为21和23，B 的特征值为1和43显然，矩阵的相似与矩阵的合同是不同的概念. 2.3 矩阵等价、合同与相似的联系[7].结论2.1 相似矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵.证明 设n 级矩阵A 、B 相似，从定义知道存在n 阶矩阵P ，使得B AP P =-1，从等价的定义B A ≅.反过来，对于矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010001A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010121B ，A 与B 等价，但是A 与B 并不相似.结论2.2 合同矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必是合同矩阵.证明 设n 阶方阵B A ,合同，由定义1.5有，存在n 阶可逆矩阵1P ，使得B AP P T =1，若记11,P Q P P T== ,则有B PAQ =因此由定义1.3得到n 阶方阵B A ,等价.反过来对于矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1021B 等价，但是A 与B 并不合同，即等价矩阵未必合同．2.4矩阵合同与相似的关系[7]结论2.3 如果M 与N 都是n 级对称矩阵，且有相同的特征值，则M 与N 既合同又相似.证明 设M 、N 的特征值均为1λ 、2λ、 n λ，因为M 与N 都是n 级实对称矩阵，则一定存在n 阶正交矩阵P ，使得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n MP P λλ 11同理，可以找到一个正交矩阵Q ，使得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n NQ Q λλ 11从上面两式有：NQ Q MP P 11--=将上式两边分别左乘Q 和又乘1-Q ，得：MPQ QP N 1`-= ()()11`1---=PQ M PQ由于 E QQ E PP T T ==, 故 T PQ 可逆，又由于：（1111)()()T TPQ PQ PQ Q P ----=T T QP PQ =E =所以1-PQ 是正交矩阵故M ～N N M ≅,结论2.4 若n 阶矩阵A 与B 中只要有一个正交矩阵，则AB 与BA 相似且合同． 证明 不妨A 是正交矩阵,则A 可逆取,A P =, 有()()BA BA A A ABA A ABP P ===---111，则AB 与BA 相似， 又A 是正交阵，所以AB 与BA 既相似又合同.结论2.5 若A ～B ,且B A ≅，C ～D 且D C ≅，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00～⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00，⎪⎪⎭⎫⎝⎛≅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B C A 0000证明 从已知，C ～B , C ～D ，故存在可逆矩阵1P ，2P 使得BAP P =-111D CP P =-212令 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210P P P 则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---1211100P P P且 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---21211110000CP P AP P P C A P⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D B 00故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00～⎪⎪⎭⎫⎝⎛D B 00又因为D C B A ≅≅，，，故存在可逆矩阵1T ，2T ，使得 1122,T TT AT B T CT D ==令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100T T T则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T TTT T T 2100 然而 112200000000T TT T A A T T T T C C T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11220000TT T T T T ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11220000T TBT AT D T CT ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00≅⎪⎪⎭⎫⎝⎛D B 003 相似矩阵的应用3.1 相似矩阵的简单应用[8]在矩阵m A 的求解过程中，很难得到它的值，然而可以找到与矩阵A 相似的简单的矩阵，可把矩阵化简为对角矩阵，使得BP P A 1-=，其中P 为可逆矩阵,B 对角矩阵，可知矩阵A 与矩阵B 相似，那么()P B P BPP A m mm 11--==，从而可以使得不宜求的矩阵简单化。

矩阵合同与相似矩阵合同与相似是线性代数领域中重要且相关的概念。

矩阵合同是指两个矩阵A和B满足一定的条件，而矩阵相似是指两个矩阵A和B之间存在一个可逆矩阵P，使得A=PBP⁻¹。

下面将详细介绍这两个概念及其相关性。

首先，我们来定义矩阵合同。

给定n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得A=PBP⁻¹，那么矩阵A和B就是合同的。

换句话说，两个矩阵合同的条件是它们可以通过一次相似变换后得到。

根据矩阵合同的定义，我们可以得出以下结论：1. 矩阵合同是一个等价关系。

即，对于任意的矩阵A、B和C，有以下三个性质：- 自反性：A合同于自身，即A≈A；- 对称性：如果A合同于B，则B合同于A；- 传递性：如果A合同于B，且B合同于C，则A合同于C。

2. 矩阵合同保持矩阵的特征值不变。

如果A合同于B，那么A和B具有相同的特征值。

接下来，我们来介绍矩阵相似。

给定n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得A=PBP⁻¹，那么矩阵A和B就是相似的。

与矩阵合同相似，矩阵相似也是一个等价关系，具有自反性、对称性和传递性。

矩阵合同和相似的联系在于它们都描述了矩阵之间的一种等价关系。

矩阵相似是一种较强的等价关系，因为它要求矩阵A和B之间存在一个可逆矩阵P。

而矩阵合同是相似的一种特殊情况，它只要求存在一个非奇异矩阵P即可。

因此，矩阵相似是矩阵合同的一种更加严格的要求。

矩阵相似在线性代数中有着广泛的应用。

例如，矩阵相似关系可以帮助我们简化矩阵的计算。

通过寻找一组相似变换，我们可以将一个复杂的矩阵转化为一个更加简单的形式，从而便于计算和分析。

此外，矩阵相似还可以帮助我们理解矩阵的几何意义。

对于一个可对角化的矩阵A，如果存在一个相似变换P，使得A=PDP⁻¹，其中D是对角矩阵，那么矩阵A的几何意义就可以通过对角矩阵D来表示。

换句话说，相似变换可以将原始矩阵的几何性质转化为对角矩阵的几何性质，从而更容易理解。

矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。

若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ≅。

2、矩阵等价的充要条件：3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。

（二）合同：1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。

2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ≅⇔二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。

（三）相似1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。

2、矩阵相似的性质：3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。

②充要条件：~()()A B E A E B λλ⇔-≅-二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 12(,,,)n A λλλ=，12(,,,)m B βββ=1、若向量组（12,,,m βββ）是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。

而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ≅。

2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλ）≅（12,,,m βββ）则有矩阵A,B同型且()()~,,r A r B A B A B A B =⇒≅r()()A r B A B =⇒≅。

3、若r()()A B A r B ≅⇒=⇒两向量组秩相同，⇐两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ≅≠>≅综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。

矩阵等价,相似,合同的数学符号矩阵等价、相似和合同分别用数学符号表示如下：
1. 矩阵等价，若存在可逆矩阵P和Q，使得A=PBQ，其中B是对角矩阵，则用符号A≡B表示。

这意味着矩阵A和B在某种意义上是等价的。

2. 矩阵相似，如果存在一个可逆矩阵P，使得B=P^(-1)AP，则称矩阵B是矩阵A的相似矩阵，用符号A~B表示。

3. 矩阵合同，如果存在可逆矩阵P和Q，使得B=P^(-1)AQ，则称矩阵A和B是合同的，用符号A≅B表示。

这些符号和定义可以帮助我们在矩阵理论中准确地描述矩阵之间的关系，从而更好地理解它们之间的性质和特征。

希望这些信息能够帮助到你。

如何矩阵的等价,相似,合同？(1)A 与B 等价:A 可以经一系列初等变换得B ÛPAQ B =Û()()r A r B =(,A B 同型同型,,,P Q 可逆可逆.).).)判断等价只需同型且秩相等判断等价只需同型且秩相等判断等价只需同型且秩相等. .(2)A 与B 相似:1P AP B -=,P 可逆可逆. .相似有四个必要条件相似有四个必要条件::秩相同秩相同,,特征值相同特征值相同,,特征多项式相同特征多项式相同,,行列式相同，如何判断两个一般的矩阵是否相似，考研大纲并不要求，但是如果,A B 相似于相同的对角阵，则由相似关系有传递性知,A B 相似相似. .(3)A 与B 合同(仅限于对称矩阵仅限于对称矩阵)):T C AC B =(C 可逆可逆))ÛA 与B 的正负惯性指数相同惯性指数相同. . 判断合同前提都是实对称矩阵，然后判断正负特征值的个数是否完全相同，也即正负惯性指数相同即可惯性指数相同即可. . 注:,A B 合同®¬,A B 等价等价,A B 相似®¬,A B 等价等价,,例1011,0101A B æöæö==ç÷ç÷èøèø等价但不相似等价但不相似在,A B 实对称的前提下实对称的前提下,,,A B 相似®¬,A B 合同合同. .【例1】 判定下列矩阵哪些等价，哪些相似判定下列矩阵哪些等价，哪些相似, , , 哪些合同哪些合同哪些合同? ?111110100000000,001,000,011000000000011A B C D æöæöæöæöç÷ç÷ç÷ç÷====ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø. 【解】先看等价：()1,()2,()1,()1r A r B r C r D ====，故,,A C D 等价等价. .再看相似：()()()1,()2,r A r C r D r B ====排除B ，考虑,,A C D ，,A C 的特征值为1,0,0，D 的特征值为2,0,0，从而排除D 仅仅考虑,A C ，A 的特征值为1,0,0，且二重特征值0对应两个线性无关的特征向量，A 相似于对角阵100000000C æöç÷=ç÷ç÷èø，从而,A C 相似相似. . 最后看合同：合同仅限对称阵，仅仅考虑,C D ，C 的特征值为1,0,0，D 的特征值为2,0,0，C 的正惯性指数为1,负惯性指数为0，D 的正惯性指数也为1,负惯性指数为0，,C D 合同合同. .【例2】 判断111111111A æöç÷=ç÷ç÷èø,300000000B æöç÷=ç÷ç÷èø是否等价，相似是否等价，相似,,合同合同,? ,? 【解】()()1r A r B ==，二者等价；，二者等价；A为对称阵一定相似于对角阵300000000Bæöç÷=ç÷ç÷èø；从而A一定合同于对角阵B.。

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若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为A?B。

2、矩阵等价的充要条件：A?B?{A.B同型，且人r(A)=r(B) 存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。

（二）合同：1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A?BPTAP=B成立，则称A,B合同，记作A?B该过程成为合同变换。

2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A?B?二次型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。

（三）相似1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得B=P-1AP成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。

2、矩阵相似的性质：AT~BT,Ak~Bk,A-1~B-1(前提，A,B均可逆)|λE-A|=|λE-B|即A,B有相同的特征值（反之不成立）A~B?r(A)=r(B)tr(A)=tr(B)即A,B的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。

②充要条件：A~B?(λE-A)?(λE-B)二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵A=(λ1,λ2, ,λn)，B=(β1,β2, ,βm)1、若向量组（β1,β2, ,βm）是向量组（λ1,λ2, ,λn）的极大线性无关组,则有m≤n，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。